Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2161Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılarda tanımlı

f(x)=x2−ax+4x2+1f(x) = \frac{x^2 - ax + 4}{x^2 + 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 33'tür.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Yerel ekstremum değerlerinin çarpımı 3'tür.
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen ax2−6x−a=0ax^2 - 6x - a = 0 denkleminin kökleri ekstremum apsisleridir. Apsisler toplamı 3 olarak verildiğinden a=2a = 2 bulunur. Bu durumda apsislerin sağladığı denklem x2−3x−1=0x^2 - 3x - 1 = 0 olur. Fonksiyonun kurallarında derecesi düşürülerek f(xi)=xi+53xi+2f(x_i) = \frac{x_i + 5}{3x_i + 2} elde edilir. Kökler toplamı (33) ve kökler çarpımı (−1-1) değerleri rasyonel çarpımda yerine yazıldığında aranan çarpım değeri 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak sıfıra eşitleyin.
f′(x)=(2x−a)(x2+1)−2x(x2−ax+4)(x2+1)2=ax2−6x−a(x2+1)2=0f'(x) = \frac{(2x - a)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - ax + 4)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{ax^2 - 6x - a}{(x^2 + 1)^2} = 0 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, fonksiyonun türevini sıfır yapan noktalardır.
2
Ekstremum noktalarının apsisleri toplamından faydalanarak aa değerini bulun.
ax2−6x−a=0ax^2 - 6x - a = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Kökler toplamı x1+x2=−−6a=6a=3  ⟹  a=2x_1 + x_2 = -\frac{-6}{a} = \frac{6}{a} = 3 \implies a = 2 bulunur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı formülü −b/a-b/a şeklindedir.
3
aa değerini yerine yazarak apsislerin sağladığı denklemi sadeleştirin.
2x2−6x−2=0  ⟹  x2−3x−1=0  ⟹  x2=3x+12x^2 - 6x - 2 = 0 \implies x^2 - 3x - 1 = 0 \implies x^2 = 3x + 1 bağıntısı elde edilir. Ayrıca kökler çarpımı x1x2=−1x_1 x_2 = -1 ve kökler toplamı x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 olur.
Fonksiyon değerlerini sadeleştirmek için x2x^2 yerine doğrusal bir ifade yazmak kolaylık sağlar.
4
Ekstremum noktalarındaki fonksiyon değerlerinin çarpımını hesaplayın.
f(xi)=xi2−2xi+4xi2+1=3xi+1−2xi+43xi+1+1=xi+53xi+2f(x_i) = \frac{x_i^2 - 2x_i + 4}{x_i^2 + 1} = \frac{3x_i + 1 - 2x_i + 4}{3x_i + 1 + 1} = \frac{x_i + 5}{3x_i + 2} olur. Değerlerin çarpımı:

f(x1)⋅f(x2)=x1+53x1+2⋅x2+53x2+2=x1x2+5(x1+x2)+259x1x2+6(x1+x2)+4f(x_1) \cdot f(x_2) = \frac{x_1 + 5}{3x_1 + 2} \cdot \frac{x_2 + 5}{3x_2 + 2} = \frac{x_1 x_2 + 5(x_1 + x_2) + 25}{9x_1 x_2 + 6(x_1 + x_2) + 4}

Burada bilinen değerler yerine yazıldığında:

−1+5(3)+259(−1)+6(3)+4=3913=3\frac{-1 + 5(3) + 25}{9(-1) + 6(3) + 4} = \frac{39}{13} = 3 bulunur.
Yerel ekstremum değerleri, fonksiyonun ekstremum apsislerindeki görüntüleridir. Bu değerlerin çarpımı rasyonel ifadelerin çarpımı ve kök katsayı ilişkileriyle bulunur.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonlarda türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi ve ikinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkilerinin fonksiyon değerlerine uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2162Soru →

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden doğru değerlerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında birinci bölgede (x≥0x \geq 0) kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge tanımı 1/6 birimkare ile, ikinci bölge tanımı 1/4 birimkare ile, üçüncü bölge tanımı ise 4/3 birimkare ile eşleşir.
Verilen her üç bölgenin alan hesabı, eğrilerin kesişim noktaları sınır kabul edilerek yapılan integral hesaplamalarıyla tam olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x2y = x^2 ve y=xy = x eğrileri için x2=x  ⟹  x(x−1)=0x^2 = x \implies x(x-1) = 0 denklemi kurulur. Kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=1x = 1 olarak belirlenir. Belirli integral ∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} birimkaredir.
İki eğrinin kesişim noktaları integralin sınırlarını tanımlar; üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak alan bulunur.
2
İkinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x3y = x^3 ve y=xy = x eğrileri için x3=x  ⟹  x(x−1)(x+1)=0x^3 = x \implies x(x-1)(x+1) = 0 denklemi kurulur. Birinci bölgede (x≥0x \geq 0) kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=1x = 1 olur. Belirli integral ∫01(x−x3) dx=[x22−x44]01=12−14=14\int_0^1 (x - x^3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} birimkaredir.
Pozitif bölgedeki alan sınırları belirlendikten sonra integrasyon kuralları uygulanarak alan değeri hesaplanır.
3
Üçüncü bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.
y=x2y = x^2 ve y=2xy = 2x eğrileri için x2=2x  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x(x-2) = 0 denklemi kurulur. Kesişim sınırları x=0x = 0 ve x=2x = 2 olur. Belirli integral ∫02(2x−x2) dx=[x2−x33]02=4−83=43\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} birimkaredir.
Doğru ve parabol sınırları belirlendikten sonra integral alma kuralları kullanılarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasındaki alan, kesişim noktaları sınır olmak üzere, üstteki fonksiyonun grafiğinden alttaki fonksiyonun grafiğinin farkının belirli integrali alınarak bulunur.
Soru 2163Soru →

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x2−4xy = x^2 - 4x parabolü ile y=2x−x2y = 2x - x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y=2−x2y = 2 - x^2 parabolü ile y=−xy = -x doğrusunun sınırladığı alan ∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx integrali ile; y=x2−4xy = x^2 - 4x ve y=2x−x2y = 2x - x^2 parabollerinin sınırladığı alan ∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx integrali ile; y=x3y = x^3 eğrisi ve y=4xy = 4x doğrusunun sınırladığı alan ise 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her üç sınırlı bölge için kesişim noktaları doğru şekilde bulunmuş ve ilgili aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğu tespit edilerek doğru belirli integral formülleriyle eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
2−x2=−x  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=0  ⟹  x=−12 - x^2 = -x \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=2x = 2
İntegral sınırlarını tespit etmek için eğrilerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.
2
Birinci bölgenin alan integralini yazma
[−1,2][-1, 2] aralığında üstteki eğri y=2−x2y = 2 - x^2, alttaki eğri y=−xy = -x olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(2−x2−(−x)) dx=∫−12(2+x−x2) dx\int_{-1}^{2} (2 - x^2 - (-x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx olur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki fonksiyonun denklemi ile alttaki fonksiyonun denkleminin farkının sınır değerleri arasında entegre edilmesiyle bulunur.
3
İkinci bölge için kesişim noktalarını belirleme
x2−4x=2x−x2  ⟹  2x2−6x=0  ⟹  2x(x−3)=0  ⟹  x=0x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0 \implies x = 0 ve x=3x = 3
İkinci alanın sınır değerlerini bulmak için iki parabolün kesişim noktaları hesaplanır.
4
İkinci bölgenin alan integralini yazma
[0,3][0, 3] aralığında üstteki parabol y=2x−x2y = 2x - x^2, alttaki parabol y=x2−4xy = x^2 - 4x olduğundan alan integral ifadesi ∫03((2x−x2)−(x2−4x)) dx=∫03(6x−2x2) dx\int_{0}^{3} ((2x - x^2) - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx olur.
Üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak integral kurulur.
5
Üçüncü bölge için kesişim noktalarını belirleme
x3=4x  ⟹  x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0  ⟹  x=−2x^3 = 4x \implies x^3 - 4x = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2
Eğri ve doğrunun kesiştiği tüm noktalar bulunarak sınır değerler tespit edilir.
6
Üçüncü bölgenin simetri özelliğini kullanarak alan integralini yazma
[−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar simetriden dolayı eşittir. [0,2][0, 2] aralığında üstteki doğru y=4xy = 4x ve alttaki eğri y=x3y = x^3 olduğundan toplam alan integral ifadesi 2∫02(4x−x3) dx2 \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Tek fonksiyonların simetrik sınırlardaki mutlak alanları eşit olduğundan, toplam alan tek bir bölgenin alanının iki katı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın hesabı, eğrilerin kesişim noktaları belirlendikten sonra, üstte kalan eğrinin denkleminden altta kalan eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen ifadenin bu kesişim noktaları sınırlarında integralinin alınmasıyla yapılır.
Soru 2164Soru →
∫13f(2x+3) dx\int_{1}^{3} f(2x + 3) \, dx

belirli integrali veriliyor.

Buna göre, bu integralde u=2x+3u = 2x + 3 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du

Cevap

12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du
Dönüşüm kuralları gereği, u=2x+3u = 2x + 3 seçildiğinde diferansiyel dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise alt sınır için 2(1)+3=52(1)+3=5, üst sınır için 2(3)+3=92(3)+3=9 olarak güncellenir. Bu değerler integralde yerine yazıldığında integralin eş değer hali 12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=2x+3u = 2x + 3 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
x=1x = 1 alt sınırı için u=2(1)+3=5u = 2(1) + 3 = 5 ve x=3x = 3 üst sınırı için u=2(3)+3=9u = 2(3) + 3 = 9 olur.
Değişken değiştirme yöntemi uygulandığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.
∫13f(2x+3) dx=∫59f(u)⋅du2=12∫59f(u) du\int_{1}^{3} f(2x + 3) \, dx = \int_{5}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du elde edilir.
Değişken değiştirme işlemini tamamlayıp integralin yeni halini yazmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2165Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 parabolünün tepe noktası TT'dir. Bu parabol ile y=x−3y = x - 3 doğrusu TT ve AA noktalarında kesişmektedir.

Buna göre, parabol ile TATA doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16\frac{1}{6}

Cevap

Sınırlandırılmıs\cbo¨lgeninalanı16birimkaredir.Sınırlandırılmış bölgenin alanı \frac{1}{6} birimkaredir.
Sınırlandırılmış bölgenin alanı, üstteki doğru (y=x−3y = x - 3) ile alttaki parabol (y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9) arasındaki farkın kesim noktaları olan x=3x=3 ve x=4x=4 sınırları boyunca integralinin alınmasıyla 16\frac{1}{6} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını bulmak.
y=x2−6x+9y = x^2 - 6x + 9 parabolü için a=1a = 1, b=−6b = -6, c=9c = 9 değerleri kullanılarak tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62(1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3 bulunur. Ordinatı ise k=32−6(3)+9=0k = 3^2 - 6(3) + 9 = 0 olup tepe noktası T(3,0)T(3, 0) olarak elde edilir.
Parabolün tepe noktasını belirlemek, doğrunun kesim noktalarından birini tespit etmek için gereklidir.
2
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak.
x2−6x+9=x−3  ⟹  x2−7x+12=0  ⟹  (x−3)(x−4)=0x^2 - 6x + 9 = x - 3 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies (x-3)(x-4) = 0 denklemi çözüldüğünde kesim noktalarının apsisleri x=3x = 3 ve x=4x = 4 bulunur. Buradan kesim noktaları T(3,0)T(3, 0) ve A(4,1)A(4, 1) olarak belirlenir.
Entegrasyon sınırlarını ve alanı sınırlayan eğrilerin kesişim noktalarını belirlemek için bu adım uygulanır.
3
Belirli integral yardımıyla alanı hesaplamak.
[3,4][3, 4] aralığında y=x−3y = x - 3 doğrusu parabolün üzerinde olduğundan, alan S=∫34(x−3−(x2−6x+9))dx=∫34(−x2+7x−12)dxS = \int_3^4 (x - 3 - (x^2 - 6x + 9)) dx = \int_3^4 (-x^2 + 7x - 12) dx integrali ile hesaplanır. u=x−3  ⟹  du=dxu = x-3 \implies du = dx dönüşümü yapıldığında sınırlar x=3  ⟹  u=0x=3 \implies u=0 ve x=4  ⟹  u=1x=4 \implies u=1 olur. İntegral ∫01(u−u2)du=[u22−u33]01=12−13=16\int_0^1 (u - u^2) du = \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan bölgenin alanını hesaplamak için üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral alınır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Pratik Parabol-Doğru Alan Formülü: Bir doğru ile bir parabolün kesişmesiyle oluşan sınırlı bölgenin alanı, kesim noktalarının apsisleri farkı Δx\Delta x ve parabolün başkatsayısı aa olmak üzere, S=∣a∣⋅(Δx)36S = \frac{|a| \cdot (\Delta x)^3}{6} formülüyle pratik olarak hesaplanabilir. Burada a=1a = 1 ve Δx=4−3=1\Delta x = 4 - 3 = 1 olduğundan, S=1⋅136=16S = \frac{1 \cdot 1^3}{6} = \frac{1}{6} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2166Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her x≠2x \neq 2 için
f′(x)=x3−8x−2−2xf'(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 2x
eşitliği sağlanmaktadır.

f(3)=10f(3) = 10 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -11

Cevap

-11
Türev fonksiyonundaki rasyonel ifade sadeleştirildiğinde f′(x)=x2+4f'(x) = x^2 + 4 elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x33+4x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + C fonksiyonuna ulaşılır. f(3)=10f(3) = 10 bilgisiyle 21+C=10  ⟹  C=−1121 + C = 10 \implies C = -11 olarak hesaplanır. f(0)=Cf(0) = C olduğundan doğru yanıt −11-11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonundaki rasyonel ifadeyi sadeleştirme
f′(x)=x2+4f'(x) = x^2 + 4 (her xx gerçel sayısı için)
x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) özdeşliği kullanılarak pay ve paydadaki (x−2)(x-2) ifadeleri sadeleştirilir: x3−8x−2−2x=(x2+2x+4)−2x=x2+4\frac{x^3-8}{x-2} - 2x = (x^2+2x+4) - 2x = x^2+4 bulunur. Fonksiyon türevlenebilir olduğundan türevi her yerde süreklidir.
2
Belirsiz integral alma kurallarını kullanarak fonksiyonu bulma
f(x)=x33+4x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + C
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınır: ∫f′(x) dx=∫(x2+4) dx=x33+4x+C\int f'(x) \, dx = \int (x^2 + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C.
3
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabitini hesaplama
C=−11C = -11
f(3)=10f(3) = 10 eşitliği fonksiyonda yerine yazılır: f(3)=333+4(3)+C=9+12+C=21+C=10f(3) = \frac{3^3}{3} + 4(3) + C = 9 + 12 + C = 21 + C = 10 denkleminden C=−11C = -11 bulunur.
4
İstenen fonksiyon değerini hesaplama
f(0)=−11f(0) = -11
Fonksiyonda x=0x = 0 yazıldığında f(0)=033+4(0)+C=Cf(0) = \frac{0^3}{3} + 4(0) + C = C olduğundan, f(0)=−11f(0) = -11 elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları ve başlangıç değer koşulu yardımıyla kendisinin bulunması
Soru 2167Soru →

Her noktada sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için

f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x)

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre,

∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğinden ötürü integral [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarına bölünür ve [1,3][1, 3] aralığındaki parça, yapılan değişken değiştirme ile [−1,1][-1, 1] aralığına taşınarak baştaki integral ile özdeş kılınır. Böylece tüm integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ifadesine eşit olur. f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinden yararlanılarak bu integralin değeri kolayca 1212 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğini kullanarak ∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx integralini x=1x=1 noktasından iki parçaya ayıralım.
∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliği fonksiyonun grafiğinin x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğunu belirtir, bu nedenle integrali bu simetri ekseninde parçalamak işlemleri kolaylaştırır.
2
İkinci integral olan ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesinde u=2−xu = 2-x dönüşümü uygulayalım ve integral sınırlarını güncelleyelim.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=3  ⟹  u=−1x=3 \implies u=-1 olur. Buradan ∫13f(x) dx=∫−11f(2−u) du\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(2-u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarını [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak ve birinci integral ile ilişkilendirmek için değişken değiştirme uygulanır.
3
f(2−u)=f(u)f(2-u) = f(u) eşitliğini kullanarak integral ifadesini sadeleştirelim.
∫13f(x) dx=∫−11f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx olur. Dolayısıyla, aradı��ımız integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx haline gelir.
Simetri özelliği sayesinde iki farklı aralıktaki integrallerin birbirine eşit olduğu gösterilmiş olur.
4
f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinin her iki yanının [−1,1][-1, 1] aralığında integralini alalım.
∫−11f(x) dx+∫−11f(−x) dx=∫−11(6x2+4) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{1} f(-x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx
Fonksiyonun tek-çift simetri özelliklerinden faydalanarak doğrudan ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin değerine ulaşmak hedeflenir.
5
∫−11f(−x) dx\int_{-1}^{1} f(-x) \, dx integralinde t=−xt = -x dönüşümü yaparak sadeleştirme sağlayalım.
2∫−11f(x) dx=∫−11(6x2+4) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx eşitliği elde edilir.
−x-x dönüşümü sınırları tersine çevirse de diferansiyeldeki eksi işareti ile sınırlar eski haline döner ve integralin değeri değişmez.
6
Sağ taraftaki belirli integrali hesaplayarak nihai sonucu bulalım.
[2x3+4x]−11=(2+4)−(−2−4)=6−(−6)=12\left[ 2x^3 + 4x \right]_{-1}^{1} = (2 + 4) - (-2 - 4) = 6 - (-6) = 12 bulunur.
Temel analiz teoremi (Newton-Leibniz) kullanılarak polinomun belirli integrali hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınır değiştirme, değişken değiştirme ve fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla integral hesabı.
Soru 2168Soru →

Bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonunun bir x0x_0 noktasında limitinin var olması ve lim⁡x→x0−f′(x)=lim⁡x→x0+f′(x)\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) koşulunun sağlanması, bu fonksiyonun x0x_0 noktasında türevlenebilir olması için her zaman yeterli bir koşul mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması şarttır. Fonksiyonun o noktada limitinin olması ve türev fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması, o noktada sürekli olduğunu garanti etmez. Dolayısıyla bu koşullar türevlenebilirlik için her zaman yeterli değildir.
Verilen ifade her zaman doğru değildir; çünkü türevlenebilirlik için süreklilik şarttır ve limitin varlığı ile türev limitlerinin eşitliği sürekliliği garanti etmez.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişkiyi hatırlayalım.
Bir fonksiyonun x=x0x = x_0 noktasında türevlenebilir olması için bu noktada sürekli olması gerekir. Yani, lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) eşitli��i sağlanmalıdır.
Süreklilik, türevlenebilmenin temel ve gerekli bir ön koşuludur.
2
Verilen koşulların sürekliliği garanti edip etmediğini inceleyelim.
Soruda ff fonksiyonunun x0x_0 noktasında limitinin var olduğu ve türev limitlerinin eşit olduğu verilmiştir. Ancak fonksiyonun bu noktadaki değeri olan f(x0)f(x_0) hakkında bilgi verilmemiştir. Dolayısıyla f(x0)≠lim⁡x→x0f(x)f(x_0) \neq \lim_{x \to x_0} f(x) durumu gerçekleşebilir.
Sürekliliğin sağlanması için limit değerinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması zorunludur.
3
İddianın her zaman doğru olmadığını gösteren bir karşıt örnek sunalım.
f(x)=xf(x) = x (eğer x≠0x \neq 0 ise) ve f(0)=1f(0) = 1 fonksiyonunu seçelim. Bu fonksiyon için x0=0x_0 = 0 noktasında limit lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0 olup mevcuttur. x≠0x \neq 0 için f′(x)=1f'(x) = 1 olduğundan lim⁡x→0−f′(x)=lim⁡x→0+f′(x)=1\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1 olur. Ancak f(0)=1≠0f(0) = 1 \neq 0 olduğundan fonksiyon sürekli değildir ve dolayısıyla x0=0x_0 = 0'da türevlenemez.
Tek bir karşıt örnek, genel bir iddianın her zaman doğru olmadığını göstermek için yeterlidir.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme için sürekliliğin gerekli bir koşul olması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2169Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→1x+a−2x2−1=b\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - 2}{x^2 - 1} = b
olduğuna göre, 1b−a\frac{1}{b} - a farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İstenen farkın değeri 5'tir.
Limit değerinin bir gerçel sayı olabilmesi için paydanın sıfıra gittiği durumda payın da sıfıra gitmesi gerektiği kuralından aa değeri bulunur. Ardından eşlenik çarpımı yardımıyla 00\frac{0}{0} belirsizliği giderilerek limit değeri olan bb hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleyip payın limitini sıfıra eşitleyerek aa değerini bulma.
a=3a = 3 olarak bulunur.
x→1x \to 1 için payda sıfıra yaklaştığından, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için pay da sıfıra yaklaşmal��dır. Yani lim⁡x→1(x+a−2)=0  ⟹  1+a−2=0  ⟹  a=3\lim_{x \to 1} (\sqrt{x+a} - 2) = 0 \implies \sqrt{1+a} - 2 = 0 \implies a = 3 olur.
2
Bulunan a=3a = 3 değerini limitte yerine yazıp payı eşleniği ile çarparak belirsizliği giderme.
Limit ifadesi lim⁡x→11(x+1)(x+3+2)\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} şekline sadeleşir.
lim⁡x→1x+3−2x2−1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x^2 - 1} ifadesinde 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır. Payı ve paydayı x+3+2\sqrt{x+3} + 2 ile çarparsak: (x+3−2)(x+3+2)(x2−1)(x+3+2)=x−1(x−1)(x+1)(x+3+2)\frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x^2 - 1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} elde edilir. x≠1x \neq 1 olduğundan x−1x-1 terimleri sadeleşir.
3
Sadeleşen ifadede x=1x=1 yazarak limit değeri olan bb'yi bulma ve 1b−a\frac{1}{b} - a değerini hesaplama.
b=18b = \frac{1}{8} ve 1b−a=5\frac{1}{b} - a = 5 bulunur.
b=lim⁡x→11(x+1)(x+3+2)=12⋅4=18b = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} olur. Buradan 1b−a=8−3=5\frac{1}{b} - a = 8 - 3 = 5 elde edilir.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 belirsizliğinin köklü ifadeler içeren rasyonel fonksiyonlarda eşlenik çarpımı ile giderilmesi ve parametre bulma.
Soru 2170Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=5g(2) = 5
g′(2)=−2g'(2) = -2
eşitlikleri verilmektedir.
Buna göre,
f(x)=x2⋅g(x)−2g(x)−xf(x) = \frac{x^2 \cdot g(x) - 2}{g(x) - x}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010

Cevap

1010 değeri doğru cevaptır.
Çarpım ve bölüm türevi kuralları eksiksiz uygulandığında, payın türevi 1212, paydanın türevi −3-3 olarak bulunur. Bölüm türevi formülüyle bu değerler yerine yazıldığında doğru değer olan 1010 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve payda fonksiyonlarının değerleri ile türev değerlerini belirleyin.
u(x)=x2⋅g(x)−2u(x) = x^2 \cdot g(x) - 2 ve v(x)=g(x)−xv(x) = g(x) - x olarak tanımlayalım. x=2x = 2 için u(2)=22⋅g(2)−2=4⋅5−2=18u(2) = 2^2 \cdot g(2) - 2 = 4 \cdot 5 - 2 = 18 ve v(2)=g(2)−2=5−2=3v(2) = g(2) - 2 = 5 - 2 = 3 olur.
Bölüm türevi formülünde kullanılacak temel bileşenlerin değerlerini bulmak için.
2
Çarpım kuralını kullanarak payın türevini bulun.
u′(x)=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)u'(x) = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) olur. x=2x = 2 noktasındaki değeri: u′(2)=2(2)g(2)+22g′(2)=4(5)+4(−2)=20−8=12u'(2) = 2(2)g(2) + 2^2 g'(2) = 4(5) + 4(-2) = 20 - 8 = 12 olarak hesaplanır.
Pay kısmındaki çarpım durumundaki ifadenin türevini elde etmek için.
3
Paydanın türevini bulun.
v′(x)=g′(x)−1v'(x) = g'(x) - 1 olur. x=2x = 2 noktasındaki değeri: v′(2)=g′(2)−1=−2−1=−3v'(2) = g'(2) - 1 = -2 - 1 = -3 olarak hesaplanır.
Payda kısmının türevini elde etmek için.
4
Bölüm türevi kuralını uygulayarak sonucu hesaplayın.
f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)[v(x)]2f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} formülünden f′(2)=12⋅3−18⋅(−3)32=36+549=909=10f'(2) = \frac{12 \cdot 3 - 18 \cdot (-3)}{3^2} = \frac{36 + 54}{9} = \frac{90}{9} = 10 elde edilir.
Bölüm fonksiyonunun türev değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Çarpım ve Bölüm Kuralları)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2171Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+x+2f(x) = x^2 + x + 2
g(x)=−x2+3x+1g(x) = -x^2 + 3x + 1

eğrilerinin her ikisine de teğet olan doğrulardan birinin yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak teğet doğrularından birinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2 olabilir.
Ortak teğet doğrularının denklemleri y=x+2y = x + 2 ve y=3x+1y = 3x + 1 olarak elde edilir. Bu doğruların y-eksenini kestiği noktaların ordinatları sırasıyla 2 ve 1'dir. Seçeneklerde verilen 2 değeri, bu ortak teğetlerden birinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak teğet doğrusunun denklemini y=mx+ny = mx + n olarak kabul edip, bu doğrunun f(x)=x2+x+2f(x) = x^2 + x + 2 parabolüne teğet olma koşulunu yazalım.
x2+(1−m)x+2−n=0x^2 + (1-m)x + 2-n = 0 denkleminin diskriminantı Δ1=0\Delta_1 = 0 olmalıdır. Buradan 4n=−m2+2m+74n = -m^2 + 2m + 7 elde edilir.
Bir doğrunun parabole teğet olması için ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalı, yani diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır.
2
y=mx+ny = mx + n doğrunun g(x)=−x2+3x+1g(x) = -x^2 + 3x + 1 parabolüne teğet olma koşulunu yazalım.
x2+(m−3)x+n−1=0x^2 + (m-3)x + n-1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ2=0\Delta_2 = 0 olmalıdır. Buradan 4n=m2−6m+134n = m^2 - 6m + 13 elde edilir.
Aynı teğet doğrusunun ikinci parabole de teğet olması için bu ortak çözümün de diskriminantı sıfır olmalıdır.
3
Elde edilen iki 4n4n ifadesini birbirine eşitleyerek ortak teğet doğrularının eğimleri olan mm değerlerini bulalım.
−m2+2m+7=m2−6m+13  ⟹  2m2−8m+6=0  ⟹  m2−4m+3=0  ⟹  m=1-m^2 + 2m + 7 = m^2 - 6m + 13 \implies 2m^2 - 8m + 6 = 0 \implies m^2 - 4m + 3 = 0 \implies m = 1 veya m=3m = 3 bulunur.
Her iki teğet koşulunu da sağlayan ortak eğim değerlerini bulmak amacıyla denklemler ortak çözülür.
4
Bulunan mm değerlerini kullanarak teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktaların ordinatları olan nn değerlerini hesaplayalım.
m=1m = 1 için 4n=−(1)2+2(1)+7=8  ⟹  n=24n = -(1)^2 + 2(1) + 7 = 8 \implies n = 2 bulunur. m=3m = 3 için 4n=−(3)2+2(3)+7=4  ⟹  n=14n = -(3)^2 + 2(3) + 7 = 4 \implies n = 1 bulunur.
nn değeri, doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. Seçeneklerde 2 değeri yer almaktadır.

Anahtar Kavram

İki eğrinin ortak teğet doğrularının bulunması ve türevin geometrik yorumu
Soru 2172Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=7 \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 7
olduğuna göre,
∫15(f(x)+k) dx=19 \int_{1}^{5} (f(x) + k) \, dx = 19
eşitliğini sağlayan kk gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k sayısı 3'tür.
Verilen belirli integral, integralin lineerlik özelliğinden yararlanılarak iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazılır. Sabit kk fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integrali 4k4k olarak bulunur. Bilinen değer yerine yazılarak 7+4k=197 + 4k = 19 denklemi elde edilir ve buradan k=3k = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali toplamsal lineerlik özelliğiyle iki ayrı integral olarak yazmak
∫15f(x) dx+∫15k dx=19\int_{1}^{5} f(x) \, dx + \int_{1}^{5} k \, dx = 19
Toplama işleminin belirli integral üzerindeki dağılma özelliğini kullanmak
2
Bilinen integral değerini yerine yazmak ve sabit terimin integralini almak
7+4k=197 + 4k = 19
∫abk dx=k(b−a)\int_{a}^{b} k \, dx = k(b-a) kuralını uygulamak ve verilen integral değerini yerine yerleştirmek
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözmek
k=3k = 3
7+4k=197 + 4k = 19 denkleminde bilinmeyeni yalnız bırakarak çözüme ulaşmak

Anahtar Kavram

Belirli İntegralin Lineerlik Özelliği ve Sabit Fonksiyon İntegrali
Soru 2173Soru →
f:R∖{−1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x)=x2−3xx+1f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı -2'dir.
Doğru seçenekte belirtilen -2 değeri, fonksiyonun tanımlı olduğu ve türevinin işaret değiştirdiği x = -3 ve x = 1 yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=(2x−3)(x+1)−(x2−3x)(1)(x+1)2=2x2−x−3−x2+3x(x+1)2=x2+2x−3(x+1)2f'(x) = \frac{(2x-3)(x+1) - (x^2-3x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 - x - 3 - x^2 + 3x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle birinci türevi hesaplamamız gerekir.
2
Türevin payını sıfır yapan kritik noktalar bulunur.
x2+2x−3=0  ⟹  (x+3)(x−1)=0  ⟹  x=−3 veya x=1x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0 \implies x = -3 \text{ veya } x = 1
Türevin sıfır olduğu noktalar, fonksiyonun yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur ve yerel ekstremum noktaları belirlenir.
Paydadaki (x+1)2(x+1)^2 ifadesi x≠−1x \neq -1 için daima pozitif olduğundan, türevin işareti payın işaretine bağlıdır. x=−1x = -1 çift katlı kök olup fonksiyon bu noktada tanımsızdır. İşaret tablosu incelendiğinde; x=−3x = -3 noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum, x=1x = 1 noktasında ise türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum noktası vardır.
Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olması için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir.
4
Bulunan yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplanır.
−3+1=−2-3 + 1 = -2
Soruda bizden yerel ekstremum noktalar��nın apsislerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların yerel ekstremum noktalarının türev yardımıyla bulunması ve paydanın köklerinin ekstremum noktası olamayacağının belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2174Soru →
∫01(3x+1)4 dx\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx

belirli integralinde u=3x+1u = 3x + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du

Cevap

13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du
Doğru seçenekte integral sınırları alt sınır için 3(0)+1=13(0)+1=1 ve üst sınır için 3(1)+1=43(1)+1=4 olarak güncellenmiş ve diferansiyel ifadesi dx=du3dx = \frac{du}{3} şeklinde doğru yazılarak integralin dışına 13\frac{1}{3} çarpanı getirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel hesabı yapılır.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden ifade etmek için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
2
İntegral sınırları güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=3(0)+1=1x = 0 \implies u = 3(0) + 1 = 1 ve üst sınır için x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması gerekir.
3
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır.
∫01(3x+1)4 dx=∫14u4⋅du3=13∫14u4 du\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx = \int_{1}^{4} u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du elde edilir.
Tüm terimler yeni uu değişkenine göre düzenlenerek integral yeniden yazılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) yeni değişken cinsinden yazılmalı hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 2175Soru →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x2−ax+2a−43(x−2),x>2b,x=2x2+5−3x−2,x<2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 2a - 4}{3(x-2)}, & x > 2 \\ b, & x = 2 \\ \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2}, & x < 2 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

Buna göre, 3a+6b3a + 6b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

3a + 6b toplamının değeri 10'dur.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için kritik nokta olan x = 2 noktasında sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Sol limit hesaplandığında 2/3 değeri elde edilir, dolayısıyla b = 2/3 olur. Sağ limit sadeleştirme sonrasında (4-a)/3 olarak bulunur ve bu değerin de 2/3'e eşit olması gerektiğinden a = 2 elde edilir. Buradan 3a + 6b = 3(2) + 6(2/3) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x = 2 noktasındaki sol limit hesaplanır.
L_sol = lim_{x -> 2^-} (sqrt(x^2 + 5) - 3) / (x - 2) = 2/3
0/0 belirsizliğini gidermek için pay ve payda, payın eşleniği olan (sqrt(x^2 + 5) + 3) ile çarpılır. Limit değeri (x+2)/(sqrt(x^2+5)+3) ifadesinde x = 2 yazılarak 4/6 = 2/3 olarak bulunur.
2
Süreklilik tanımı gereği fonksiyon değeri sol limite eşitlenir.
b = 2/3
Fonksiyonun x = 2 noktasında sürekli olması için f(2) = b değerinin sol limit değerine eşit olması gerekir.
3
x = 2 noktasındaki sağ limit hesaplanır ve sol limite eşitlenerek a parametresi bulunur.
L_sag = (4 - a)/3 = 2/3 => a = 2
Sağ parçanın payı olan x^2 - ax + 2a - 4 ifadesi (x-2)(x+2-a) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki 3(x-2) ile (x-2) terimleri sadeleştikten sonra x = 2 yazılarak limit (4-a)/3 bulunur. Bu limitin 2/3 olması için a = 2 olmalıdır.
4
İstenen 3a + 6b ifadesi hesaplanır.
3(2) + 6(2/3) = 6 + 4 = 10
Bulunan a = 2 ve b = 2/3 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 2176Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanmış olan bazı kapalı bölgelerin sözel ifadeleri soldaki sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral gösterimleri ise sağdaki sütunda verilmiştir. Buna göre, sol sütunda verilen her bir bölgeyi sağ sütundaki doğru integral gösterimiyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

I. bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=8−x2y = 8 - x^2 parabolü ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
I. bölgede y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
x=y2x = y^2 parabolü ile y=x−2y = x - 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=2y = 2 doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki bölgelerin doğru belirli integral gösterimleriyle eşleşmesi şu şekildedir: Birinci bölge integral gösterimlerinin üçüncüsüyle, ikinci bölge birincisiyle, üçüncü bölge ikincisiyle ve dördüncü bölge dördüncüsüyle eşleşir.
Her bir sınırlı bölgenin sınırları ortak çözüm yöntemiyle bulunmuş, üstteki (veya sağdaki) fonksiyondan alttaki (veya soldaki) fonksiyon çıkarılarak elde edilen integrandlar doğru integral sınırları ile eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x2=8−x2  ⟹  2x2=8  ⟹  x=2x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x = 2 (I. bölge için x≥0x \ge 0 alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Üstteki eğri y=8−x2y = 8 - x^2, alttaki eğri y=x2y = x^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur.
Eğrilerin kesim noktaları integralin sınırlarını, üstte ve altta kalma durumları ise integrandı belirler.
2
İkinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x3=4x  ⟹  x(x2−4)=0  ⟹  x=2x^3 = 4x \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 2 (I. bölge için pozitif kök alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Bu aralıkta y=4xy = 4x doğrusu y=x3y = x^3 eğrisinin üstünde yer aldığından alan integral ifadesi ∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Kesişim noktaları ve fonksiyonların birbirine göre konumları belirlenerek alan integral ifadesi oluşturulur.
3
Üçüncü bölge için y değişkenine göre kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x=y2x = y^2 ve x=y+2x = y + 2 denklemlerinin ortak çözümünden y2−y−2=0  ⟹  y=−1y^2 - y - 2 = 0 \implies y = -1 ve y=2y = 2 sınırları bulunur. Sağdaki doğru x=y+2x = y + 2, soldaki parabol ise x=y2x = y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olur.
Eğrilerin y eksenine göre konumları analiz edilerek integral değişkeni y olarak seçilmiştir.
4
Dördüncü bölge için y değişkenine göre sınırları belirleyip integral ifadesini yazma
y=x  ⟹  x=y2y = \sqrt{x} \implies x = y^2 parabolü, y ekseni (x=0x=0) ve y=2y=2 doğrusu ile sınırlanan bölgenin y sınırları 00 ile 22 arasındadır. Sağdaki sınır x=y2x=y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02y2 dy\int_{0}^{2} y^2 \, dy olur.
y ekseni boyunca dilimleme yapılarak alan doğrudan y cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla x veya y değişkenine göre hesaplanması.
Soru 2177Soru →

(2,∞)(\sqrt{2}, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için

f(x)=∫x5−x3−2xx2−2 dxf(x) = \int \frac{x^5 - x^3 - 2x}{x^2 - 2} \, dx

ve f(2)=7f(2) = 7 eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73

Cevap

73
Rasyonel ifadenin pay kısmı çarpanlarına ayrılıp payda ile sadeleştirildiğinde integrand x3+xx^3 + x olarak bulunur. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x44+x22+Cf(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C kuralı elde edilir. f(2)=7f(2) = 7 koşulu yerine yazılarak integral sabiti C=1C = 1 olarak hesaplanır. Fonksiyonda x=4x = 4 yazıldığında ise doğru değer olan 73 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içerisindeki rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
x5−x3−2xx2−2=x(x4−x2−2)x2−2=x(x2−2)(x2+1)x2−2=x(x2+1)=x3+x\frac{x^5 - x^3 - 2x}{x^2 - 2} = \frac{x(x^4 - x^2 - 2)}{x^2 - 2} = \frac{x(x^2 - 2)(x^2 + 1)}{x^2 - 2} = x(x^2 + 1) = x^3 + x
İntegral alma kurallarını doğrudan uygulayabilmek için rasyonel ifadeyi polinom biçimine getirmek gerekir.
2
Elde edilen ifadenin belirsiz integralini integral alma kurallarını kullanarak hesaplayın.
f(x)=∫(x3+x) dx=x44+x22+Cf(x) = \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C
Belirsiz integral kuralları gereği her terimin derecesi 1 artırılır, yeni dereceye bölünür ve ifadeye bir integral sabiti eklenir.
3
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan sabiti hesaplayın.
f(2)=244+222+C=7  ⟹  4+2+C=7  ⟹  C=1f(2) = \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} + C = 7 \implies 4 + 2 + C = 7 \implies C = 1
Fonksiyonun tek bir kuralını belirlemek amacıyla verilen nokta yardımıyla integral sabiti bulunur.
4
Elde edilen fonksiyon kuralında istenen değeri yerine yazarak hesaplayın.
f(x)=x44+x22+1  ⟹  f(4)=444+422+1=64+8+1=73f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 1 \implies f(4) = \frac{4^4}{4} + \frac{4^2}{2} + 1 = 64 + 8 + 1 = 73
Fonksiyonun kuralı tam olarak bilindiğinden xx yerine 4 yazılarak hedef sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Soru 2178Soru →

Aşağıdaki tabloda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonlarının bazı xx değerleri için değerleri ve türevleri verilmiştir:

xxf(x)f(x)f′(x)f'(x)g(x)g(x)g′(x)g'(x)
11223311−2-2
2211−4-41155

Buna göre, h(x)=(f∘g)(x2+x)h(x) = (f \circ g)(x^2 + x) biçiminde tanımlanan hh fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

45
Bileşke fonksiyon ve zincir kuralı adımları eksiksiz takip edildiğinde; h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅(2⋅1+1)h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot (2\cdot 1 + 1) ifadesi elde edilir. Tablodan g(2)=1g(2)=1, g′(2)=5g'(2)=5 ve f′(1)=3f'(1)=3 değerleri okunup yerine konulduğunda 3⋅5⋅3=453 \cdot 5 \cdot 3 = 45 sonucu bulunur. Dolayısıyla 45 olan cevap doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)=f(g(x2+x))h(x) = f(g(x^2 + x)) fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
h′(x)=f′(g(x2+x))⋅g′(x2+x)⋅(2x+1)h'(x) = f'(g(x^2 + x)) \cdot g'(x^2 + x) \cdot (2x + 1)
Bileşke fonksiyon türevinde dıştaki fonksiyonun türevi, içinin aynen kalmasıyla alınır ve ardından içinin türeviyle çarpılır.
2
Türev ifadesinde x=1x = 1 yazarak istenen değeri elde edin.
h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅3h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 3
x=1x=1 için x2+x=2x^2+x = 2 ve 2x+1=32x+1 = 3 olur.
3
Tablodan g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini bulun ve yerine yazın.
h′(1)=f′(1)⋅5⋅3h'(1) = f'(1) \cdot 5 \cdot 3
Tabloya göre g(2)=1g(2) = 1 ve g′(2)=5g'(2) = 5 olarak verilmiştir.
4
Tablodan f′(1)f'(1) değerini bulun, yerine yazarak çarpma işlemini tamamlayın.
h′(1)=3⋅5⋅3=45h'(1) = 3 \cdot 5 \cdot 3 = 45
Tabloya göre f′(1)=3f'(1) = 3 olarak verilmiştir. Bu değerleri çarptığımızda sonuç 4545 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve her bir iç fonksiyonun türevi dışarıya çarpım olarak yazılır.
Soru 2179Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için gg ve hh fonksiyonları
g(x)=∫(x2−4)⋅f′(x) dxg(x) = \int (x^2 - 4) \cdot f'(x) \, dx
h(x)=∫2x⋅f(x) dxh(x) = \int 2x \cdot f(x) \, dx
biçiminde tanımlanıyor.

f(3)=3f(3) = 3, f(1)=5f(1) = 5 ve g(3)+h(3)=22g(3) + h(3) = 22
olduğuna göre, g(1)+h(1)g(1) + h(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

-8
Doğru cevap -8 olmalıdır. g(x) ve h(x) integrallerinin toplamı alındığında, integralin içi çarpımın türevi kuralı gereğince (x^2 - 4)f(x) ifadesinin türevi olur. Belirsiz integral alındığında bir integral sabiti C eklenir. Verilen f(3) = 3 ve g(3) + h(3) = 22 değerleri kullanılarak C = 7 bulunur. Son olarak x = 1 için f(1) = 5 değeri yerine yazıldığında toplam -8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının toplamını tek bir integral altında birleştirin.
g(x) + h(x) = \int [ (x^2 - 4) \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) ] \, dx
Belirsiz integrallerin toplama özelliği kullanılarak iki ayrı integral tek bir çatı altında toplanır.
2
İntegralin içindeki ifadenin türevin çarpım kuralı açılımı olduğunu fark edin.
\frac{d}{dx} [ (x^2 - 4) \cdot f(x) ] = (x^2 - 4) \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x)
Çarpımın türevi kuralına göre, ifadenin (x^2 - 4)f(x) fonksiyonunun türevi olduğu görülür.
3
Türevi bilinen ifadenin belirsiz integralini integral sabiti C ekleyerek yazın.
g(x) + h(x) = (x^2 - 4) \cdot f(x) + C
Bir fonksiyonun türevinin belirsiz integrali, fonksiyonun kendisine bir sabit eklenerek elde edilir.
4
x = 3 değerini yerleştirerek integral sabiti C'yi hesaplayın.
22 = (3^2 - 4) \cdot f(3) + C \implies 22 = 5 \cdot 3 + C \implies C = 7
Soruda verilen g(3) + h(3) = 22 ve f(3) = 3 değerlerini denklemde yerine koyarak C sabiti bulunur.
5
x = 1 değerini ve C = 7 sabitini kullanarak g(1) + h(1) değerini bulun.
g(1) + h(1) = (1^2 - 4) \cdot f(1) + 7 = -3 \cdot 5 + 7 = -8
İstenen g(1) + h(1) değerini elde etmek için formülde x = 1 ve f(1) = 5 değerleri yazılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral tanımı ve integral alma kuralları ile türevin çarpım kuralının tersinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integralin içindeki ifadelerin toplamının türevin çarpım kuralı açılımı olduğu doğrudan fark edilip d[(x^2 - 4)f(x)] = (x^2 - 4)f'(x)dx + 2xf(x)dx şeklinde yazılabilir ve her iki tarafın integrali alınarak sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2180Soru →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve iki kez türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiği [2,8][2, 8] aralığında azalan ve konveks (yukarı bükülmüş) bir yapıya sahiptir.

Bu aralık, eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre;
I. Riemann alt toplamı AA,
II. Riemann üst toplamı U¨Ü,
III. Riemann orta toplamı OO

değerleri hesaplanıyor.

Buna göre; AA, U¨Ü ve OO değerleri ile I=∫28f(x) dxI = \int_{2}^{8} f(x) \, dx belirli integralinin değeri arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A<O<I<U¨A < O < I < Ü

Cevap

A<O<I<U¨A < O < I < Ü sıralaması doğrudur.
Fonksiyonun azalan olması (f′(x)<0f'(x) < 0) nedeniyle Riemann alt toplamı integralden küçük, Riemann üst toplamı ise integralden büyüktür. Fonksiyonun konveks (f′′(x)>0f''(x) > 0) olması nedeniyle, her alt aralıkta orta noktadan çizilen teğetlerin altında kalan alan (orta toplam) integral alanından küçüktür. Son olarak, fonksiyon azalan olduğundan orta noktadaki yükseklik sağ uçtaki yükseklikten büyük olup, orta toplam alt toplamdan büyüktür. Bu üç bilgi birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu inceleyerek alt ve üst Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi kuralım.
A<I<U¨A < I < Ü
f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan fonksiyon azalandır. Azalan bir fonksiyonda her alt aralıktaki minimum değer sağ uç noktada (alt toplamı üretir), maksimum değer ise sol uç noktada (üst toplamı üretir) alınır. Dolayısıyla alt toplam integralden küçük, üst toplam ise integralden büyüktür.
2
Fonksiyonun konvekslik durumunu inceleyerek Riemann orta toplamı ile integral arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
O<IO < I
f′′(x)>0f''(x) > 0 olduğundan fonksiyon konvekstir (yukarı bükülmüştür). Konveks eğrilerde, alt aralıkların orta noktalarından çizilen teğet doğruları daima fonksiyon grafiğinin altında kalır. Orta toplam, bu teğet doğrularının altında kalan alanların toplamına eşit olduğundan, eğri altında kalan net alandan (integral) küçüktür.
3
Riemann alt toplamı ile Riemann orta toplamı arasındaki ilişkiyi karşılaştıralım.
A<OA < O
Her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında, orta nokta mim_i değeri sağ uç nokta xix_i değerinden küçüktür (mi<xim_i < x_i). Fonksiyon azalan olduğundan f(mi)>f(xi)f(m_i) > f(x_i) olur. Bu durum, orta toplamı oluşturan dikdörtgenlerin yüksekliklerinin, alt toplamı oluşturan dikdörtgenlerin y��ksekliklerinden daha büyük olmasını sağlar.
4
Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek kesin sıralamayı elde edelim.
A<O<I<U¨A < O < I < Ü
A<OA < O, O<IO < I ve I<U¨I < Ü eşitsizlikleri birleştirildiğinde istenen sıralama doğrudan elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerinin işaretleri sırasıyla onun artanlık/azalanlık ve konvekslik/konkavlık durumunu belirler; bu durumlar ise Riemann alt, üst ve orta toplamlarının belirli integral değeriyle olan büyüklük ilişkisini tayin eder.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 109 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin