Tüm alıştırma soruları

Terimleri pozitif tam sayılardan oluşan ve ortak farkı 1'den büyük olan bir

(a_n)

aritmetik dizisinde,

a_1 + a_2 + a_3 = 15

a_{a_1} = 7

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi ( $a_{10}$ ) kaçtır?

13

21

53

85

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

21

Dizinin ilk üç teriminin toplamından ortanca terim olan

a_2 = 5

elde edilir. Ortak fark

r

alındığında ilk terim

a_1 = 5-r

olur. İndis bağıntısı

a_{a_1} = 7

yerine yazıldığında

(5-r) + (4-r)r = 7

ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

r=1

veya

r=2

bulunur. Ortak farkı 1'den büyük olduğu koşulundan dolayı

r=2

seçilir. İlk terim

a_1 = 3

olur. Buradan dizinin 10. terimi

a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 18 = 21

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Aritmetik dizilerde ardışık terimlerin toplamı özelliğini kullanarak ikinci terimi belirleme.

a_1 + a_2 + a_3 = 3a_2 = 15 \implies a_2 = 5

olarak bulunur.

Bir aritmetik dizide terimlerin indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir (

a_1 + a_3 = 2a_2

).

2

Dizinin ortak farkını

r

kabul edip ilk terimi

r

cinsinden yazma ve indis bağıntısını kullanarak denklem kurma.

a_1 = a_2 - r = 5 - r

olur. Genel terim formülü olan

a_n = a_1 + (n-1)r

ifadesinde

n = a_1

yazılarak

a_{a_1} = a_1 + (a_1 - 1)r = 7 \implies (5-r) + (5-r-1)r = 7

denklemi elde edilir.

Verilen

a_{a_1} = 7

eşitliğinde terimlerin değerlerini tek bir değişkene bağlı olarak ifade etmek.

3

Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenleyip çözerek ortak farkı ve ilk terimi belirleme.

5 - r + (4-r)r = 7 \implies -r^2 + 3r + 5 = 7 \implies r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r-1)(r-2) = 0

olur. Buradan

r = 1

veya

r = 2

bulunur. Soruda ortak farkın 1'den büyük olduğu belirtildiği için

r = 2

alınır. İlk terim ise

a_1 = 5 - 2 = 3

olarak bulunur.

Soru kökündeki kısıtlamaları uygulayarak dizinin parametrelerini netleştirmek.

4

Dizinin 10. terimini hesaplama.

a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9(2) = 21

olarak hesaplanır.

Genel terim formülü kullanılarak hedef terime ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ardışık terimlerin ilişkisi, genel terim formülü ve indis özellikleri

Soru 2962Soru →

Sürtünmesiz yatay bir buz pistinde yan yana durmakta olan $40\text{ kg}$ kütleli Ahmet ve $60\text{ kg}$ kütleli Mehmet, birbirlerini yatay doğrultuda iterek zıt yönlerde harekete geçmektedir.

Mehmet'in kazandığı hızın büyüklüğü $2\text{ m/s}$ olduğuna göre;

I. Ahmet'in kazandığı hızın büyüklü��ü $3\text{ m/s}$ 'dir.
II. Mehmet'in Ahmet'e uyguladığı itmenin büyüklüğü, Ahmet'in Mehmet'e uyguladığı itmenin büyüklüğünden fazladır.
III. Ahmet ve Mehmet'in birbirlerine uyguladıkları ortalama kuvvetlerin büyüklükleri eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Ahmet'in kazandığı hızın

3\text{ m/s}

olduğunu ve Ahmet ile Mehmet'in birbirlerine uyguladıkları ortalama kuvvetlerin büyüklüklerinin eşit olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Ahmet ve Mehmet başlangıçta durgun olduklarından sistemin ilk çizgisel momentumu sıfırdır. Sürtünmesiz ortamda dış kuvvet etki etmediği için çizgisel momentum korunur. Mehmet'in kazandığı momentum

120\text{ kg}\cdot\text{m/s}

büyüklüğünde olduğundan, Ahmet'in de ters yönde aynı büyüklükte bir momentuma sahip olması gerekir, bu da Ahmet'in hızının büyüklüğünü

3\text{ m/s}

yapar (I. öncül doğrudur). Etkileşim süresince birbirlerine uyguladıkları kuvvetler etki-tepki çifti oluşturduğundan büyüklükleri eşit ve yönleri zıttır. Dolayısıyla ortalama kuvvetlerin büyüklükleri eşittir (III. öncül doğrudur). Aynı sürede gerçekleşen bu etkileşimde uygulanan itmelerin büyüklükleri de birbirine eşit olmalıdır (II. öncül yanlıştır). Bu nedenle Ahmet'in kazandığı hızın 3 m/s olduğu ve uyguladıkları ortalama kuvvetlerin büyüklüklerinin eşit olduğunu belirten öncüllerin yer aldığı seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Sistemin dış kuvvetlerden arındırılmış olması nedeniyle momentum korunumunun uygulanması

Sistemin ilk çizgisel momentumu sıfırdır (

P_{ilk} = 0

). Dış sürtünmeler önemsiz olduğundan son çizgisel momentum da sıfır olmalıdır (

P_{son} = 0

).

Sürtünmesiz yatay düzlemde sisteme etki eden net dış kuvvet sıfır olduğundan çizgisel momentum korunur.

2

Ahmet'in son hızının büyüklüğünün hesaplanması

m_A \cdot v_A + m_M \cdot v_M = 0 \Rightarrow 40 \cdot (-v_A) + 60 \cdot 2 = 0 \Rightarrow v_A = 3\text{ m/s}

elde edilir.

Mehmet ve Ahmet zıt yönlerde hareket ederler ve momentumlarının büyüklükleri birbirine eşit olmalıdır (

40 \cdot v_A = 60 \cdot 2

).

3

İtme (impulse) ve ortalama kuvvet ilişkisinin incelenmesi

Ahmet'in Mehmet'e uyguladığı itme ile Mehmet'in Ahmet'e uyguladığı itme büyüklükçe eşit (

120\text{ N}\cdot\text{s}

) ve zıt yönlüdür. Newton'ın üçüncü yasasına (etki-tepki) göre etkileşim süresince birbirlerine uyguladıkları ortalama kuvvetlerin büyüklükleri de birbirine eşittir.

İtme, momentum değişimine eşittir ve kuvvet ile zamanın çarpımıdır (

I = F_{ort} \cdot \Delta t

). Etkileşim süresi ortak olduğundan kuvvetlerin büyüklükleri de eşittir.

Anahtar Kavram

Sürtünmesiz sistemlerde çizgisel momentumun korunumu ve Newton'ın etki-tepki yasasının itme üzerindeki rolü.

Soru 2963Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2$ parabolü ile bu parabolün $x$ ekseni boyunca sağa $2$ birim ötelenmesiyle elde edilen $g(x)$ parabolü verilmiştir.

Buna göre; $f$ ve $g$ parabolleri ile $y$ ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

6

4

\frac{8}{3}

3

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.

Verilen

f(x) = x^2

parabolünün sağa

2

birim ötelenmesiyle

g(x) = (x-2)^2

parabolü elde edilir. Bu iki parabolün kesişim noktası

x=1

apsisli noktadır. İstenen bölge sol taraftan

y

ekseni (

x=0

) ve sağ taraftan kesişim noktası (

x=1

) ile sınırlandırılmıştır. Bu aralıkta

g(x) \geq f(x)

olduğundan alan integral yardımıyla

\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = 2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sa��a ötelenmiş parabol denklemini elde etme

g(x) = f(x - 2) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

Bir fonksiyonun grafiği

x

ekseni boyunca sağa

a

birim ötelendiğinde yeni fonksiyon

f(x-a)

olur.

2

Parabollerin kesişim noktasını bulma

x^2 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1

İki eğrinin kesişim noktasının apsisi, denklemlerinin ortak çözümü ile belirlenir.

3

İntegral sınırlarını belirleme ve alanı hesaplama

Alan =

\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (4 - 4x) \, dx = [4x - 2x^2]_0^1 = 4(1) - 2(1)^2 - 0 = 2

y

ekseni

x = 0

doğrusudur.

[0, 1]

aralığında

g(x) \geq f(x)

olduğundan üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak integral hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesabı ve fonksiyonların yatay ötelenmesi.

Soru 2964Soru →

Bir spor okulunda tenis oynayanların $\%60$ 'ı, yüzme sporunu yapanların ise $\%30$ 'u lisanslı sporcudur. Bu okulda tenis oynayanların sayısı, yüzme sporunu yapanların sayısının $2$ katıdır. Her öğrenci bu iki spordan yalnız birini yapmaktadır. Buna göre, bu okuldan rastgele seçilen bir öğrencinin lisanslı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin tenis oynayan biri olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

Seçilen öğrencinin tenis oynama olasılığı 0,8'dir.

Seçilen öğrencinin lisanslı olduğu bilindiği için örnek uzayımız lisanslı sporcular kümesi (

1,5x

) ile sınırlanır. Bu gruptaki tenis oynayanların sayısı

1,2x

olduğundan, koşullu olasılık

\frac{1,2x}{1,5x} = 0,8

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yüzme ve tenis oynayan öğrenci sayılarını değişken cinsinden belirleme

Yüzme oynayan öğrenci sayısı

x

ise tenis oynayan öğrenci sayısı

2x

olur.

Tenis oynayanların sayısının yüzme oynayanların 2 katı olduğu bilgisine dayanarak oran kurmak için.

2

Branşlarına göre lisanslı sporcu sayılarını hesaplama

Lisanslı tenisçiler

2x \times 0,60 = 1,2x

, lisanslı yüzücüler

x \times 0,30 = 0,3x

olur.

Koşullu olasılıkta kullanılacak olan kesişim kümelerinin eleman sayılarını bulmak için.

3

Toplam lisanslı sporcu sayısını bulma

Toplam lisanslı sporcu sayısı

1,2x + 0,3x = 1,5x

olur.

Verilen koşula göre örnek uzayımızı lisanslı sporcular kümesine daraltmak için.

4

Koşullu olasılık formülünü uygulayarak sonucu hesaplama

Olasılık =

\frac{1,2x}{1,5x} = 0,8

bulunur.

Lisanslı olduğu bilinen sporcular arasından tenis oynayanların oranını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Soru 2965Soru →

Ortak farkı sıfırdan farklı ve ilk terimine eşit olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisi veriliyor.

x^2 - (a_4 + 9)x + a_2 \cdot a_5 = 0

ikinci dereceden denkleminin kökleri bu dizinin $a_2$ ve $a_5$ terimleridir.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi ( $a_8$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Sekizinci terim (

a_8

) 24'tür.

İkinci dereceden denklemin kökler toplamı kuralından köklerin toplamı olan

a_2 + a_5

ifadesi,

a_4 + 9

'a eşit olur. Dizinin ilk terimi ortak farkına eşit olduğundan (

a_1 = r

), terimler

a_2 = 2r

,

a_4 = 4r

ve

a_5 = 5r

şeklinde yazılır. Buradan

2r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3

elde edilir. İlk terim

a_1 = 3

olup, sekizinci terim

a_8 = a_1 + 7r = 3 + 21 = 24

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dizinin genel terimlerini ortak fark

r

cinsinden ifade edin.

a_1 = r

,

a_2 = 2r

,

a_4 = 4r

,

a_5 = 5r

İlk terimin ortak farka eşit olduğu (

a_1 = r

) belirtilmiştir.

2

İkinci dereceden denklemin kökler toplamı bağıntısını yazın.

a_2 + a_5 = a_4 + 9

x^2 - Bx + C = 0

biçimindeki bir denklemde kökler toplamı

B

katsayısına eşittir.

3

Elde edilen denklemde terimlerin

r

cinsinden değerlerini yerine yazarak ortak farkı hesaplayın.

2r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3

Ortak farkı bulmak, dizinin tüm terimlerini belirlememizi sağlar.

4

Bulunan değerler yardımıyla dizinin sekizinci terimini hesaplayın.

a_8 = a_1 + 7r = 3 + 7 \cdot 3 = 24

Bir aritmetik dizide genel terim formülü

a_n = a_1 + (n-1)r

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin temel terim özellikleri ve ikinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (Vieta) ilişkisinin birlikte kullanımı.

Soru 2966Soru →

Bir su kuyusu açma firması, kuyunun ilk $1$ metresini kazmak için $1200\text{ TL}$ ücret almaktadır. Sonraki her $1$ metrelik kazı işlemi için alınan ücret, bir önceki metrenin ücretine göre sabit bir miktar artmaktadır.

Bu kuyunun sadece $10\text{.}$ metresini kazmanın ücreti $2100\text{ TL}$ olduğuna göre, toplam $15$ metre derinliğinde bir kuyu açtırmak isteyen bir kişinin ödeyeceği toplam tutar kaç $\text{TL}$ 'dir?

2600

27450

28500

29250

39000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $28500$

Cevap

Toplam ödenecek tutar

28500\text{ TL}

'dir.

Ortak farkı

d = 100

olan aritmetik dizinin ilk 15 teriminin toplamı

S_{15} = 28500

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kuyu kazma işleminde her metreye ait ücretlerin oluşturduğu diziyi tanımlamak.

a_1 = 1200

ve

a_{10} = 2100

olan bir aritmetik dizi elde edilir.

Ücret artışı her metre için sabit olduğundan bu kurgu bir aritmetik dizi belirtir.

2

Dizinin genel terim formülünü kullanarak ortak farkı (

d

) hesaplamak.

a_{10} = a_1 + 9d \implies 2100 = 1200 + 9d \implies 9d = 900 \implies d = 100\text{ TL}

olarak bulunur.

Aritmetik dizide terimler arasındaki geçişi sağlayan ortak farkı bulmak için.

3

İlk 15 terimin toplamı olan

S_{15}

değerini hesaplamak.

S_{15} = \frac{15}{2} \cdot [2a_1 + 14d] = 15 \cdot a_1 + 15 \cdot 7d = 15 \cdot 1200 + 15 \cdot 700 = 18000 + 10500 = 28500\text{ TL}

bulunur.

15 metre derinliğindeki kuyu için ödenecek toplam tutarı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.

Soru 2967Soru →

1'den büyük

x

ve

y

gerçel sayıları için,

\log_x (y \cdot x^2) + \log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right)

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Verilen ifade logaritma özellikleri yardımıyla sadeleştirildiğinde

\log_x y + 9\log_y x

ifadesine ulaşılır.

\log_x y = t

değişken değiştirmesi yapıldığında,

x > 1

ve

y > 1

koşullarından ötürü

t > 0

olur. Bu durumda ifade

t + \frac{9}{t}

biçimini alır. Pozitif sayılar için Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (

a + b \ge 2\sqrt{ab}

) uygulandığında

t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6

elde edilir. Dolayısıyla ifadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritmanın çarpım ve bölüm özelliklerini uygulayarak terimleri ayırın.

\log_x (y \cdot x^2) = \log_x y + 2

ve

\log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right) = 9\log_y x - 2

elde edilir.

Çarpım durumundaki argümanlar toplam, bölüm durumundakiler ise fark olarak yazılabilir.

2

Terimleri toplayarak ifadeyi sadeleştirin.

\log_x y + 9\log_y x

Sabit terimler olan

+2

ve

-2

birbirini götürür.

3

Taban değiştirme özelliğini uygulayarak değişken değiştirme yapın.

\log_x y = t

dersek,

\log_y x = \frac{1}{t}

olur. İfade

t + \frac{9}{t}

haline gelir.

x > 1

ve

y > 1

olduğu için

t > 0

'dır.

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliği taban değiştirmede temel bir kuraldır.

4

Aritmetik ve Geometrik Ortalama eşitsizliğini (AGO) uygulayarak en küçük değeri bulun.

t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6

Pozitif gerçel sayılar için aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük veya eşittir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun çarpım, bölüm ve taban değiştirme özelliklerinin aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ile birleştirilmesi.

Soru 2968Soru →

Bir hasta; 3 adedi özdeş sarı, 2 adedi özdeş mavi ve 1 adedi kırmızı olan toplam 6 ilacı, 6 gün boyunca her gün bir adet içecektir.

Mavi ilaçları ardışık günlerde içmek istemeyen bu hasta, bu ilaçların tamamını kaç farklı sıralamayla içebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Hasta bu ilaçları mavi ilaçlar ardışık günlerde olmayacak şekilde 40 farklı sıralamayla i��ebilir.

Toplam 6 ilacın (3 özdeş sarı, 2 özdeş mavi, 1 kırmızı) hiçbir koşul olmadan sıralanma sayısı

\frac{6!}{3! \cdot 2!} = 60

'tır. Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumlar için iki mavi ilaç tek bir eleman

(MM)

kabul edilir ve geriye kalan 3 sarı ile 1 kırmızı ilaçla birlikte {S, S, S, (MM), K} şeklinde

\frac{5!}{3!} = 20

farklı dizilim oluşturur. İstenen koşula uymayan bu 20 durum tüm durumlardan çıkarıldığında geriye kalan 40 durumda mavi ilaçlar hiçbir zaman ardışık günlerde içilmemiş olur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm olası sıralamaların sayısını hesaplama

Tüm durumlar = 60

Elimizde 3 özdeş sarı (S), 2 özdeş mavi (M) ve 1 kırmızı (K) olmak üzere toplam 6 ilaç vardır. Herhangi bir kısıtlama olmaksızın bu ilaçların sıralanma sayısı tekrarlı permütasyon ile

\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2} = 60

olarak bulunur.

2

Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumların sayısını hesaplama

Mavi ilaçların yan yana olduğu durumlar = 20

Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumları bulmak için iki mavi ilacı birbirine ba��lı tek bir eleman

(MM)

olarak kabul ederiz. Bu durumda sıralanacak elemanlar {S, S, S, (MM), K} olur. Burada 3 adet özdeş S, 1 adet (MM) grubu ve 1 adet K olmak üzere toplam 5 eleman vardır. Bu elemanların dizilim sayısı tekrarlı permütasyon ile

\frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{6} = 20

olur.

3

İstenen durumların sayısını bulma

İstenen durum sayısı = 40

Tüm durumlardan, mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği istenmeyen durumları çıkartarak sonuca ulaşırız:

60 - 20 = 40

.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması (tümleme yöntemi).

Soru 2969Soru →

Yarıçapı $6\text{ cm}$ olan bir yarım çemberin içine, tabanlarından biri çemberin çapı olacak şekilde bir ikizkenar yamuk çiziliyor. Buna göre, alanı en büyük olan bu yamuğun üst taban uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6; altı; 6 cm; 6cm

Cevap

Alanı en büyük olan ikizkenar yamuğun üst taban uzunluğu 6 cm'dir.

Yamuğun alanı fonksiyon olarak ifade edilip türevi sıfıra eşitlendiğinde en büyük alanı veren x değeri 3 olarak bulunur. Üst taban uzunluğu

2x

olduğu için cevap 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun boyutlarını değişkenler cinsinden belirleme

Yarım çemberin yarıçapı

R = 6\text{ cm}

olduğundan, çapı (ve dolayısıyla yamu��un alt tabanı)

AB = 12\text{ cm}

'dir. Yamuğun üst köşelerinden birini koordinat düzleminde çember üzerindeki

C(x, y)

noktası olarak alırsak, çember denklemi

x^2 + y^2 = 36

olduğundan yükseklik

y = \sqrt{36 - x^2}

olur. Yamuğun üst taban uzunluğu ise

2x

olur.

Yamuğun alanını tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek.

2

Alan fonksiyonunu oluşturma

Yamuğun alanı

Alan = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik}

formülüyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda:

A(x) = \frac{12 + 2x}{2} \cdot \sqrt{36 - x^2} = (6 + x)\sqrt{36 - x^2}

fonksiyonu elde edilir.

Maksimum alan değerini veren x değerini türev yardımıyla bulmak.

3

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleme

A(x)

fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyelim. Kolaylık olması açısından fonksiyonun karesi olan

f(x) = [A(x)]^2 = (6+x)^2(36-x^2)

fonksiyonunun türevini alabiliriz:

f'(x) = 2(6+x)(36-x^2) + (6+x)^2(-2x) = 2(6+x)[(36-x^2) - x(6+x)] = 2(6+x)(36 - 6x - 2x^2) = 0

. Buradan

2x^2 + 6x - 36 = 0 \implies x^2 + 3x - 18 = 0 \implies (x+6)(x-3) = 0

bulunur. Uzunluk pozitif olacağından

x = 3

olmalıdır.

Fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum) noktasını belirlemek.

4

İstenen üst taban uzunluğunu hesaplama

Maksimum alan için

x = 3\text{ cm}

olmalıdır. Yamuğun üst taban uzunluğu

2x

olarak tanımlandığı için üst taban uzunluğu

2 \cdot 3 = 6\text{ cm}

olarak bulunur.

Soruda doğrudan üst taban uzunlu��u sorulduğu için sonucu bu değişkene göre hesaplamak.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve geometrik şekillerin optimizasyonu.

Alternatif Yöntem

Bir yarım çember içine çizilebilecek maksimum alanlı yamuk, çemberin içine çizilen düzgün altıgenin yarısıdır. Düzgün altıgende köşegenler yardımıyla oluşan tüm üçgenler eşkenar üçgen olup kenar uzunlukları çemberin yarıçapına eşittir. Dolayısıyla en büyük alanlı yamuğun üst taban uzunluğu doğrudan çemberin yarıçapına eşit olup 6 cm'dir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2970Soru →

Sürtünmesiz yatay bir yolda $10\text{ m/s}$ sabit hızla hareket etmekte olan $2\text{ kg}$ kütleli bir blok, yalnızca $4,5\text{ m}$ uzunluğundaki bölümü pürüzlü (sürtünmeli) olan bir yola giriyor. Blok ile sürtünmeli yol arasındaki sürtünme katsayısı $\mu = 0,4$ olup blok bu bölümü geçtikten hemen sonra karşıdaki dik duvara çarparak $4\text{ m/s}$ hızla geri dönüyor.

Buna göre, çarpışma esnasında duvarın bloğa uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?
( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Duvarın bloğa uyguladığı itmenin büyüklüğü

24\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

Duvarın uyguladığı itme, bloğun momentumundaki değişime eşittir. Sürtünmeli yolda yavaşlayan bloğun duvara çarpmadan hemen önceki hızı

8\text{ m/s}

'dir. Duvara çarpıp zıt yönde

4\text{ m/s}

hızla geri döndüğünden, momentum değişimi yönler hesaba katılarak

\Delta \vec{p} = m \vec{v}_{son} - m \vec{v}_{ilk} = 2 \cdot (-4) - 2 \cdot 8 = -24\text{ kg}\cdot\text{m/s}

olarak hesaplanır. Bu da itmenin büyüklüğünün

24\text{ N}\cdot\text{s}

olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Sürtünmeli bölgede bloğa etki eden sürtünme kuvvetinin hesaplanması

f_s = 8\text{ N}

Sürtünme kuvveti

f_s = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g

bağıntısı ile bulunur. Buradan

f_s = 0,4 \cdot 2 \cdot 10 = 8\text{ N}

elde edilir.

2

İş-enerji teoremi yardımıyla bloğun sürtünmeli bölge sonundaki (duvara çarpmadan hemen önceki) hızının bulunması

v_1 = 8\text{ m/s}

Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş kinetik enerjideki değişime eşittir:

E_{ilk} - W_{sür} = E_{son} \implies \frac{1}{2}m v_0^2 - f_s \cdot d = \frac{1}{2}m v_1^2

. Değerler yazıldığında

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10^2 - 8 \cdot 4,5 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v_1^2 \implies 100 - 36 = v_1^2 \implies v_1 = 8\text{ m/s}

bulunur.

3

Duvarın bloğa uyguladığı itmenin momentum değişimi formülü ile hesaplanması

I = 24\text{ N}\cdot\text{s}

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (

\vec{I} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_{son} - \vec{p}_{ilk}

). Başlangıçtaki hareket yönü pozitif (+) kabul edilirse, duvara çarpma hızı

v_1 = +8\text{ m/s}

ve yansıma hızı

v_2 = -4\text{ m/s}

olur. Buradan

\vec{I} = m \cdot v_2 - m \cdot v_1 = 2 \cdot (-4) - 2 \cdot 8 = -24\text{ N}\cdot\text{s}

elde edilir. Büyüklük sorulduğu için cevap

24

olur.

Anahtar Kavram

İtme ve Çizgisel Momentum Değişimi İlişkisi ile İş-Enerji Teoreminin Birlikte Uygulanması

Alternatif Yöntem

Sürtünmeli yoldaki yavaşlama süresi bulunarak ivmeli hareket denklemleriyle de son hız hesaplanabilir. Bloğun ivmesi

a = \mu \cdot g = 4\text{ m/s}^2

olur. Zamansız hız formülü

v^2 = v_0^2 - 2ad

kullanılarak duvara çarpma hızı

v^2 = 10^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4,5 = 64 \implies v = 8\text{ m/s}

olarak doğrudan elde edilebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2971Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8

\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 16

\int_{1}^{e} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

4

-8

8

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin değeri 8'dir.

İntegralde

u = \ln x + 1

dönüşümü yapıldığında

du = \frac{1}{x} \, dx

olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır

x = 1

için

u = 1

, üst sınır

x = e

için

u = 2

olur. Böylece integral

\int_{1}^{2} f(u) \, du

şekline dönüşür. Verilen

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8

eşitliği kullanılarak doğru cevap 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = \ln x + 1

dönüşümü yapılır.

du = \frac{1}{x} \, dx

elde edilir. Bu durumda integraldeki

\frac{1}{x} \, dx

ifadesi

du

olur.

İntegral değişkenini

x

değişkeninden

u

değişkenine dönüştürmek için.

2

İntegralin sınırları yeni değişken

u

cinsinden güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = \ln 1 + 1 = 1

olur. Üst sınır için

x = e \implies u = \ln e + 1 = 2

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.

3

Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değerler kullanılarak hesaplanır.

Yeni integral

\int_{1}^{2} f(u) \, du

haline gelir. Soruda

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8

olarak verildiğinden integralin değeri 8 olarak bulunur.

Dönüşüm tamamlandıktan sonra integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral

\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx

ifadesinde

t = \ln x

dönüşümü yapılırsa, integral

\int_{0}^{1} f(t+1) \, dt

olur. Daha sonra

u = t+1

dönüşümü yapılarak yine

\int_{1}^{2} f(u) \, du

integraline ulaşılır ve sonuç 8 olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2972Soru →

Bir dijital içerik üreticisi, kanalında her hafta bir önceki haftadan daha fazla video yayınlamayı planlamaktadır. İlk hafta $4$ video yayınlayan bu üretici, takip eden her hafta yayınladığı video sayısını bir önceki haftaya göre sabit bir sayıda artırmıştır.

Bu üreticinin ilk $6$ haftada yayınladığı toplam video sayısı, ilk $3$ haftada yayınladığı toplam video sayısının $3$ katından $12$ fazladır.

Buna göre, üreticinin $10$ . haftada yayınladığı video sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Üreticinin 10. haftada yayınladığı video sayısı 40'tır.

Dizinin ilk terimi

a_1 = 4

ve ortak farkı

d

olarak alındığında, ilk

6

ve ilk

3

haftadaki toplam video sayıları sırasıyla

S_6 = 24 + 15d

ve

S_3 = 12 + 3d

olur.

S_6 = 3S_3 + 12

eşitliğinden

d = 4

bulunur. Buradan 10. haftadaki video sayısı

a_{10} = 4 + 9(4) = 40

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Adım 1: Haftalık yayınlanan video sayısının bir aritmetik dizi oluşturduğunu belirleme.

Sonuç: İlk terim

a_1 = 4

ve ortak fark

d

olarak alınır. Genel terim

a_n = a_1 + (n-1)d

ve ilk

n

terim toplamı

S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]

şeklindedir.

Neden: Her hafta yayınlanan video sayısı bir önceki haftaya göre sabit bir miktarda artmaktadır.

2

Adım 2: İlk

6

ve ilk

3

haftadaki toplam video sayılarını ortak fark

d

cinsinden yazma.

Sonuç:

S_6 = 3(8 + 5d) = 24 + 15d

ve

S_3 = \frac{3}{2}(8 + 2d) = 12 + 3d

elde edilir.

Neden: Soruda verilen toplam video sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak

d

bilinmeyenini bulmak hedeflenmektedir.

3

Adım 3: Verilen bağıntıyı kullanarak

d

ortak farkını bulma.

Sonuç:

24 + 15d = 3(12 + 3d) + 12 \implies 24 + 15d = 48 + 9d \implies 6d = 24 \implies d = 4

bulunur.

Neden: İlk

6

haftalık toplamın, ilk

3

haftalık toplamın

3

katından

12

fazla olduğu bilgisi eşitlik olarak kurulur.

4

Adım 4: 10. haftada yayınlanan video sayısını (

a_{10}

) hesaplama.

Sonuç:

a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9(4) = 40

olarak elde edilir.

Neden: Üreticinin sadece 10. haftada yayınladığı video sayısı dizinin 10. terimi olan

a_{10}

'a eşittir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerinde uygulanması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2973Soru →

Elektrikle yüklü noktasal $q_1$ ve $q_2$ cisimleri, aralarındaki uzaklık $2d$ olacak şekilde bir doğru üzerine sabitlenmiştir. Bu yüklerin oluşturduğu ortak elektrik alan çizgileri incelendiğinde, yüklerin bulunduğu doğru üzerinde ve $q_1$ yükünden $d$ kadar uzaklıkta bulunan $P$ noktasında bileşke elektrik alanın sıfır olduğu gözlenmektedir.

Buna göre;
I. $q_1$ ve $q_2$ yükleri zıt işaretlidir.
II. Yüklerin tam ortasındaki $K$ noktasında oluşan bileşke elektrik alanın büyüklüğü, $q_1$ yükünün bu noktada tek başına oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğünün $10$ katıdır.
III. $q_2$ yükünün $d$ kadar sağındaki $L$ noktasında oluşan bileşke elektrik alanın büyüklüğü, $q_1$ yükünün bu noktada tek başına oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğünün $80$ katıdır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III

Verilen tüm öncüller doğrudur. Yüklerin zıt işaretli olduğu, elektrik alanın dışarıda sıfır olmasından anlaşılır. Orta nokta olan

K

noktasında elektrik alanlar aynı yönlü olup toplanırken, sağ taraftaki

L

noktasında zıt yönlü olup çıkarılırlar. Yapılan hesaplamalar sonucunda her üç öncülün de doğru olduğu gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1

P noktasında bileşke elektrik alanın sıfır olmasından yararlanarak yüklerin büyüklük ve işaret ilişkisini belirlemek.

q_1

ve

q_2

yükleri zıt işaretlidir ve

q_2 = -9q_1

bağıntısı geçerlidir.

P

noktası yüklerin dışındadır. Dışarıdaki bir noktada elektrik alanın sıfır olabilmesi için yüklerin zıt işaretli olması gerekir. Coulomb yasasına göre

k \frac{|q_1|}{d^2} = k \frac{|q_2|}{(3d)^2} \implies |q_2| = 9|q_1|

olur. Bu durumda I. öncül doğrudur.

2

Yüklerin tam ortasındaki

K

noktasındaki bileşke elektrik alan şiddetini bulmak.

E_K = 10 E_1

olur.

K

noktası her iki yüke de

d

uzaklığındadır. Yükler zıt işaretli olduğundan,

K

noktasındaki elektrik alan vektörleri aynı yönlüdür. Bu nedenle büyüklükleri toplanır:

E_K = E_1 + E_2 = k \frac{|q_1|}{d^2} + k \frac{9|q_1|}{d^2} = 10 k \frac{|q_1|}{d^2} = 10 E_1

olur. Bu durumda II. öncül doğrudur.

3

q_2

yükünün

d

kadar sağındaki

L

noktasındaki bileşke elektrik alan şiddetini bulmak.

E_L = 80 E_{1,L}

olur.

L

noktası

q_2

yüküne

d

,

q_1

yüküne ise

3d

uzaklıktadır. Zıt işaretli yüklerin bu noktada oluşturduğu elektrik alanlar zıt yönlüdür.

q_1

yükünün oluşturduğu alan

E_{1,L} = k \frac{|q_1|}{(3d)^2} = \frac{1}{9} k \frac{|q_1|}{d^2}

iken,

q_2

yükünün oluşturduğu alan

E_{2,L} = k \frac{9|q_1|}{d^2} = 81 E_{1,L}

olur. Bileşke alan

E_L = E_{2,L} - E_{1,L} = 80 E_{1,L}

bulunur. Bu durumda III. öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Noktasal Yüklerin Oluşturduğu Elektriksel Alan ve Vektörel Toplam

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2974Soru →

1

'den farklı

a

ve

b

pozitif gerçel sayıları için

a \cdot b \neq 1

olmak üzere,

\log_a (a^2 \cdot b^3) = 8

olduğuna göre,

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{8}{3}

\frac{7}{2}

\frac{7}{3}

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{3}$

Cevap

İfadenin değeri

\frac{7}{3}

'tür.

Doğru cevap

\frac{7}{3}

'tür. Verilen

\log_a (a^2 \cdot b^3) = 8

eşitliği

\log_a a^2 + \log_a b^3 = 8 \Rightarrow 2 + 3\log_a b = 8

şeklinde açılır ve buradan

\log_a b = 2

elde edilir. İstenen

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesi

a

tabanında yazıldığında

\frac{\log_a (a^3 b^2)}{\log_a (ab)} = \frac{3 + 2\log_a b}{1 + \log_a b}

olur. Burada

\log_a b = 2

yazıldığında sonuç

\frac{3+2(2)}{1+2} = \frac{7}{3}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen logaritmik eşitliği logaritmanın çarpım ve üs özellikleri yardımıyla sadeleştirmek.

\log_a (a^2 \cdot b^3) = \log_a a^2 + \log_a b^3 = 2 \cdot \log_a a + 3 \cdot \log_a b = 2 + 3\log_a b = 8

elde edilir. Buradan

3\log_a b = 6

ve nihayetinde

\log_a b = 2

bulunur.

İstenen ifadeyi

a

tabanında yazıp hesaplayabilmek için

\log_a b

değerine ulaşmak gerekir.

2

İstenen

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesine

a

tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2) = \frac{\log_a (a^3 \cdot b^2)}{\log_a (ab)} = \frac{\log_a a^3 + \log_a b^2}{\log_a a + \log_a b} = \frac{3 \cdot \log_a a + 2 \cdot \log_a b}{\log_a a + \log_a b} = \frac{3 + 2\log_a b}{1 + \log_a b}

elde edilir.

Farklı tabandaki bir logaritmayı, değeri bilinen tabana dönüştürerek hesaplanabilir duruma getirmek.

3

Birinci adımda bulunan

\log_a b = 2

değerini ikinci adımda elde edilen rasyonel ifadede yerine yazmak.

\frac{3 + 2(2)}{1 + 2} = \frac{3 + 4}{3} = \frac{7}{3}

bulunur.

Logaritmik oranları sayısal sonuca ulaştırmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru 2975Soru →

Bir nükleer reaktördeki güvenlik kalkanının kalınlığı $x$ santimetre olup, bu kalkandan dışarı sızan radyasyon miktarı $R(x)$ (milisievert/saat) olmak üzere,

R(x) = R_0 \cdot e^{-k \cdot x}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu formülde $R_0$ başlangıçtaki radyasyon miktarını, $k$ ise kalkanın yapıldığı malzemenin radyasyon soğurma katsayısını göstermektedir.

Bir güvenlik duvarı için $k = 0{}05 \text{ cm}^{-1}$ olan bir yalıtım malzemesi kullanılmıştır.

Buna göre, kalkan dışına sızan radyasyon miktarının başlangıçtaki radyasyon miktarına göre $\%80$ oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı kaç santimetre olmalıdır?

( $\ln 5 \approx 1{}6$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Radyasyon miktarının başlangıçtaki değerine göre %80 oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı 32 santimetre olmalıdır.

Kalkan dışına sızan radyasyon miktarının %80 azaltılması, geriye başlangıçtaki radyasyonun %20'sinin kalması anlamına gelir. Bu durumda

R(x) = 0{}2 \cdot R_0

olur. Formülde yerine yazıp sadeleştirdiğimizde

e^{-0{}05 x} = 0{}2

elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritmasını aldığımızda

0{}05 x = \ln 5

olur.

\ln 5 \approx 1{}6

alındığında,

0{}05 x = 1{}6 \Rightarrow x = 32

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kalan radyasyon oranını belirleme.

Geriye kalan radyasyon miktarı başlangıç değerinin %20'sidir (

R(x) = 0{}20 \cdot R_0

).

Soruda radyasyonun %80 oranında azaltılması istendiği için geriye kalan radyasyon miktarı %20 olmalıdır.

2

Model denkleminde verileri yerine yazma.

0{}20 \cdot R_0 = R_0 \cdot e^{-0{}05 \cdot x}

Radyasyon miktarı

R(x)

ve soğurma katsayısı

k = 0{}05

formüle yerleştirilir.

3

Denklemi sadeleştirme ve e tabanında logaritma alma.

5^{-1} = e^{-0{}05 \cdot x} \Rightarrow -\ln 5 = -0{}05 \cdot x

R_0 terimleri sadeleştirilir,

0{}20 = 5^{-1}

olarak yazılır ve her iki tarafın doğal logaritması alınır.

4

Kalınlık değerini hesaplama.

x = 32

\ln 5 \approx 1{}6

değeri yerine yazıldığında

1{}6 = 0{}05 \cdot x

elde edilir, buradan

x = 32

bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların logaritma yardımıyla çözülmesi ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

0{}2 = e^{-0{}05 x}

denklemi

5 = e^{0{}05 x}

biçiminde yazılabilir. Her iki tarafın doğal logaritma tanımı kullanılarak doğrudan

0{}05 x = \ln 5

eşitliğine ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2976Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - (2m - 4)x + m^2 - 5

parabolünün tepe noktası

T(r, k)

'dir.
Bu parabolün simetri ekseni

x = 2

doğrusu olduğuna göre,

T

noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Parabolün tepe noktasının koordinatları çarpımı 14'tür.

Simetri ekseni

x = 2

doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi

r = 2

'dir.

r = -\frac{b}{2a}

bağıntısından

m = 4

elde edilir. Parabol denkleminde

m

yerine yazıldığında

f(x) = x^2 - 4x + 11

bulunur. Tepe noktasının ordinatı

k = f(2) = 7

olarak hesaplanır. Dolayısıyla, tepe noktasının koordinatları çarpımı

2 \times 7 = 14

'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün simetri ekseni formülünü uygulamak.

r = m - 2 = 2 \implies m = 4

Simetri ekseni

x = r = -\frac{b}{2a}

doğrusudur. Burada

b = -(2m - 4)

ve

a = 1

olduğu için

r = m - 2

olur.

2

m

değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini belirlemek.

f(x) = x^2 - 4x + 11

Tepe noktasının ordinatını bulmak için öncelikle fonksiyonun tam denklemini elde etmemiz gerekir.

3

Tepe noktasının ordinatı olan

k

değerini bulmak.

k = f(2) = 7

Tepe noktasının

y

koordinatı

k

, fonksiyonda

x

yerine simetri ekseni değeri olan

r = 2

yazılarak bulunur.

4

Tepe noktasının koordinatları çarpımını hesaplamak.

r \times k = 2 \times 7 = 14

Soru bizden tepe noktası

T(r, k)

'nin koordinatları çarpımını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni

x = r = -\frac{b}{2a}

doğrusudur ve tepe noktası

T(r, f(r))

koordinatlarına sahiptir.

Soru 2977Soru →

Sürtünmelerin önemsenmediği üç farklı basit makine düzeneğinde, özdeş $G$ ağırlıklı cisimler $F_1$ , $F_2$ ve $F_3$ büyüklüğündeki kuvvetlerle dengelenmiştir. Buna göre; $F_1$ , $F_2$ ve $F_3$ kuvvetlerinin büyüklüklerini en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Denge şartlarından elde edilen kuvvet büyüklükleri karşılaştırıldığında doğru sıralama en küçükten en büyüğe doğru III - I - II şeklindedir.

Denge prensipleri uygulandığında kuvvet büyüklükleri

F_3 \approx 0,33 G

,

F_1 = 0,5 G

ve

F_2 = 0,75 G

olarak hesaplanır. Bu değerler en küçükten en büyüğe sıralandığında

F_3 < F_1 < F_2

sıralaması elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eğik düzlemdeki cismin denge şartını yazarak

F_1

kuvvetini bulmak.

F_1 = G \sin(30^\circ) = 0,5 G

değeri elde edilir.

Eğik düzlemde cismin ağırlığının eğik düzleme paralel bileşeni, dengeleyici kuvvet olan

F_1

'e eşit olmalıdır.

2

Ağırlıklı hareketli makara sisteminde düşey kuvvet dengesini yazarak

F_2

kuvvetini bulmak.

2 F_2 = G + 0,5 G \Rightarrow F_2 = 0,75 G

değeri elde edilir.

Hareketli makarada yukarı yönlü ip gerilmelerinin toplamı, makaranın kendi a��ırlığı ile asılı yükün ağırlığının toplamını dengelemelidir.

3

Kaldıraç sisteminde desteğe göre tork dengesini yazarak

F_3

kuvvetini bulmak.

G \cdot 1 = F_3 \cdot 3 \Rightarrow F_3 = \frac{1}{3} G \approx 0,33 G

değeri elde edilir.

Çubuğun dönmeden dengede kalabilmesi için desteğin her iki yanındaki kuvvetlerin tork büyüklükleri birbirine eşit olmalıdır.

4

Hesaplanan kuvvet büyüklüklerini karşılaştırıp en küçükten en büyüğe doğru sıralamak.

0,33 G < 0,5 G < 0,75 G

olduğundan

F_3 < F_1 < F_2

sıralamasına ulaşılır.

Sayısal büyüklükler doğrudan karşılaştırılarak istenen sıralama belirlenir.

Anahtar Kavram

Basit makinelerde denge, tork ve kuvvet kazancı prensipleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2978Soru →

Sürtünmelerin önemsiz olduğu bir ortamda, $0,5\text{ kg}$ kütleli bir top $5\text{ m}$ yükseklikten serbest bırakılıyor. Yatay zemine çarpan top, düşey doğrultuda en fazla $1,8\text{ m}$ yüksekliğe kadar sıçrayabiliyor. Topun yerle temas süresi $0,1\text{ s}$ olduğuna göre, etkileşim süresince zeminin topa uyguladığı ortalama tepki kuvvetinin büyüklüğü kaç $\text{N}$ 'dur? ( $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

20

25

75

80

85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 85

Cevap

Zeminin topa uyguladığı ortalama tepki kuvvetinin büyüklüğü 85 N'dur.

Enerji korunumu yasası gereği topun yere çarpma hızı 10 m/s (aşağı), yansıma hızı ise 6 m/s (yukarı) olarak hesaplanır. Momentum değişimi vektörel bir çıkarma işlemiyle 8 kg.m/s (yukarı) bulunur. Ortalama net kuvvet, momentum değişiminin etkileşim süresine oranı olup 80 N'dur. Yerle temas anında net kuvvet, zeminin tepki kuvveti ile topun ağırlığı (5 N) farkına eşit olduğundan zeminin ortalama tepki kuvveti 85 N olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Topun yere çarpmadan hemen önceki hızını (

v_{ilk}

) ve sıçradıktan hemen sonraki hızını (

v_{son}

) enerji korunumu yardımıyla buluruz.

v_{ilk} = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10\text{ m/s}

(aşağı yönlü) ve

v_{son} = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1,8} = 6\text{ m/s}

(yukarı yönlü).

İtme hesabı için çarpışma öncesi ve sonrası hız büyüklüklerine ihtiyaç vardır.

2

Yukarı yönü pozitif (+) kabul ederek hızları ve momentumları yönleriyle yazarız.

v_{ilk} = -10\text{ m/s}

ve

v_{son} = +6\text{ m/s}

. Topun momentum değişimi vektörel olarak

\Delta \vec{p} = m(v_{son} - v_{ilk}) = 0,5 \cdot (6 - (-10)) = 8\text{ N}\cdot\text{s}

(yukarı yönlü) olur.

Momentum ve itme vektörel büyüklükler olduğu için yön tayini yapılmalıdır.

3

İtme-momentum ilişkisini kullanarak topa etki eden net ortalama kuvveti hesaplarız.

F_{net} \cdot \Delta t = \Delta p \Rightarrow F_{net} \cdot 0,1 = 8 \Rightarrow F_{net} = 80\text{ N}

(yukarı yönlü).

Net kuvvetin oluşturduğu itme, momentum değişimine eşittir.

4

Düşey doğrultudaki net kuvvet denkleminden zeminin tepki kuvvetini çekeriz.

F_{net} = F_{zemin} - G \Rightarrow 80 = F_{zemin} - (0,5 \cdot 10) \Rightarrow F_{zemin} = 85\text{ N}

elde edilir.

Temas süresince cisme hem zeminin tepki kuvveti hem de yer çekimi kuvveti etki eder.

Anahtar Kavram

İtme ve Çizgisel Momentum Değişimi

Soru 2979Soru →

Hava direncinin önemsenmediği ve yer çekimi ivmesinin sabit olduğu bir ortamda, yatayla $\theta$ açısı yapan yeterince uzun bir eğik düzlemin tepe noktasından bir cisim yatay doğrultuda $v_0$ ilk hızıyla fırlatılıyor. Cisim bir süre sonra eğik düzlem üzerindeki bir noktaya çarpıyor.

Buna göre, cismin hareketi ile ilgili;

I. Eğik düzleme çarpma süresi, cismin fırlatılma hızı $v_0$ ile doğru orantılıdır.
II. Çarpma anında hız vektörünün yatayla yaptığı açının tanjantı, eğik düzlemin eğim açısının tanjantının iki katıdır.
III. Cismin fırlatıldığı andan eğik düzleme çarptığı ana kadar geçen sürede hızındaki değişim vektörünün büyüklüğü, çarpma anındaki hızının büyüklüğü ile ilk hızının büyüklüğünün farkına ( $v_{\text{son}} - v_0$ ) eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Uçuş süresinin ilk hızla doğru orantılı olduğunu belirten birinci yargı ve çarpma açısının tanjantının eğik düzlem eğim açısının tanjantının iki katı olduğunu belirten ikinci yargı doğrudur. Hız değişimi vektörel bir büyüklük olduğundan skaler farka eşit değildir, dolayısıyla üçüncü yargı yanlıştır.

Uçuş süresi formülü

t = \frac{2v_0 \tan\theta}{g}

olduğundan ilk hızla doğru orantılıdır. Çarpma anında hızın yatayla yaptığı açının tanjantı

\tan\beta = \frac{v_y}{v_x} = 2\tan\theta

olduğundan eğik düzlem açısının tanjantının iki katıdır. Hız değişimi ise vektörel bir çıkarma işlemiyle bulunup

gt

büyüklüğlüğündedir, skaler farka eşit değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Eğik düzlem üzerindeki çarpma noktasının koordinatlarını yatay ve düşey hareket denklemleri cinsinden yazmak.

Cisim yatayda

x = v_0 t

kadar yol alırken, düşeyde

y = -\frac{1}{2}gt^2

kadar yer değiştirir.

Eğik düzlem üzerindeki her nokta için koordinatlar arasında

y = -x \tan\theta

ilişkisi vardır.

2

Koordinat ilişkisini kullanarak uçuş süresini (

t

) bulmak.

-\frac{1}{2}gt^2 = -(v_0 t) \tan\theta \implies t = \frac{2v_0 \tan\theta}{g}

elde edilir.

Bu eşitlik uçuş süresinin ilk hız

v_0

ile doğru orantılı olduğunu gösterir (I. yargı doğrudur).

3

Çarpma anındaki hız bileşenlerini belirleyerek çarpma açısının tanjantını hesaplamak.

Yatay hız

v_x = v_0

, düşey hız büyüklüğü

v_y = gt = g \left(\frac{2v_0 \tan\theta}{g}\right) = 2v_0 \tan\theta

olur. Çarpma açısı

\beta

ise

\tan\beta = \frac{v_y}{v_x} = 2\tan\theta

bulunur.

Bu sonuç çarpma açısının tanjantının, eğik düzlem açısının tanjantının iki katı olduğunu gösterir (II. yargı doğrudur).

4

Hızdaki değişim vektörünün büyüklüğünü bulup skaler farkla karşılaştırmak.

Hız değişimi

\Delta \vec{v} = \vec{v}_{son} - \vec{v}_0

olup sadece düşey doğrultudadır ve büyüklüğü

|\Delta \vec{v}| = gt = 2v_0 \tan\theta

kadardır. Ancak son hız ile ilk hızın skaler farkı

v_{son} - v_0 = \sqrt{v_0^2 + (2v_0 \tan\theta)^2} - v_0

olup bu değere eşit değildir.

Hız değişimi vektörel bir niceliktir ve doğrudan skaler farkla toplanamaz veya çıkarılamaz (III. yargı yanlıştır).

Anahtar Kavram

İki boyutta sabit ivmeli hareket yapan cisimlerin konum, hız ve hız değişimi vektörlerinin analiz edilmesi.

Soru 2980Soru →

Doğrusal bir yolda $30\text{ m/s}$ sabit süratle ilerlemekte olan bir otomobilin sürücüsü, önünde beliren engeli fark ettiği andan itibaren $0,5\text{ s}$ reaksiyon süresinin ardından frene basmaktadır. Frene basıldığı andan itibaren otomobil $5\text{ m/s}^2$ büyüklüğündeki sabit ivmeyle yavaşlayarak engele çarpmadan hemen önce durmaktadır. Buna göre, sürücünün engeli fark ettiği andan otomobilin durduğu ana kadar geçen sürede otomobil toplam kaç metre yol almıştır?

75

90

105

120

195

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 105

Cevap

Sürücünün engeli fark ettiği andan itibaren otomobilin duruncaya kadar aldığı toplam yol 105 metredir.

Sürücü engeli fark ettikten sonra geçen 0,5 saniyelik reaksiyon süresinde araç sabit hızla yol alır. Bu sürede alınan yol 15 metredir. Frene basıldıktan sonra araç düzgün yavaşlayarak durur ve durana kadar geçen 6 saniyede 90 metre yol alır. Toplam yol bu iki mesafenin toplamı olan 105 metredir.

Adım Adım Çözüm

1

Reaksiyon süresi boyunca otomobilin sabit hızla aldığı yolu hesaplama.

x_1 = v \cdot t_1 = 30 \cdot 0,5 = 15\text{ m}

Sürücü frene basana kadar otomobil başlangıçtaki sabit hızıyla yol almaya devam eder.

2

Frene basıldıktan sonra otomobilin durana kadar geçen yavaşlama süresini hesaplama.

t_2 = \frac{v_0}{a} = \frac{30}{5} = 6\text{ s}

Sabit ivmeyle yavaşlayan otomobilin hızını sıfıra indirmesi için gereken süre, ilk hızın ivmeye bölünmesiyle bulunur.

3

Yavaşlama süresince otomobilin aldığı yolu hesaplama.

x_2 = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{30^2}{2 \cdot 5} = 90\text{ m}

Düzgün yavaşlayan hareket için zamansız hız formülü veya ortalama hız yardımıyla alınan yol bulunur.

4

Toplam alınan yolu hesaplama.

x_{\text{toplam}} = x_1 + x_2 = 15 + 90 = 105\text{ m}

Otomobilin tüm hareket boyunca katettiği toplam mesafe, reaksiyon ve yavaşlama mesafelerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bir boyutta sabit ivmeli hareket ve sabit hızlı hareketin birleştirilmesi.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram