Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 321Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
S2n−Sn=3n2+5nS_{2n} - S_n = 3n^2 + 5n
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Dizinin 10. terimi 24'tür.
Verilen S2n−Sn=3n2+5nS_{2n} - S_n = 3n^2 + 5n eşitliğinden yararlanarak dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=n2+5nS_n = n^2 + 5n olarak belirlenir. Ardından 10. terim olan a10a_{10}, ilk 10 terim toplamı (S10=150S_{10} = 150) ile ilk 9 terim toplamının (S9=126S_9 = 126) farkı alınarak 24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamının genel biçimini belirlemek
Sn=An2+BnS_n = An^2 + Bn (burada A=d/2A = d/2 ve B=a1−d/2B = a_1 - d/2)
Herhangi bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir polinomdur.
2
S2n−SnS_{2n} - S_n farkını genel formül cinsinden ifade etmek
S2n−Sn=3An2+BnS_{2n} - S_n = 3An^2 + Bn
S2nS_{2n} ve SnS_n ifadeleri genel formüle göre yazılarak birbirinden çıkarılır.
3
Verilen bağıntı ile genel ifadeyi karşılaştırarak katsayıları eşitlemek
A=1A = 1 ve B=5B = 5
3An2+Bn=3n2+5n3An^2 + Bn = 3n^2 + 5n eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
4
İlk nn terim toplamı formülünü (SnS_n) yazmak
Sn=n2+5nS_n = n^2 + 5n
Bulunan AA ve BB değerleri genel formülde yerine konur.
5
Dizinin 10. terimini (a10a_{10}) ilk nn terim toplamı cinsinden ifade etmek
a10=S10−S9a_{10} = S_{10} - S_9
Bir dizide nn. terim, ilk nn terimin toplamı ile ilk n−1n-1 terimin toplamının farkına eşittir (an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}).
6
S10S_{10} ve S9S_9 değerlerini hesaplayarak sonucu bulmak
a10=150−126=24a_{10} = 150 - 126 = 24
S10=102+5(10)=150S_{10} = 10^2 + 5(10) = 150 ve S9=92+5(9)=126S_9 = 9^2 + 5(9) = 126 değerleri çıkarılarak 10. terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide ilk nn terim toplamı SnS_n ile genel terim ana_n arasındaki ilişki (an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}) ve ilk nn terim toplamının ikinci dereceden polinom yapısıdır.
Soru 322Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,

a3⋅a19−a6⋅a16=−39a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = -39

ve

a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
Verilen iki denklem çözüldüğünde ortak farkın karesi r2=1r^2 = 1 olarak bulunur. İkinci denklemden a1+10r=12a_1 + 10r = 12 bağıntısı elde edilir. Dizinin tüm terimlerinin pozitif kalabilmesi için ortak farkın negatif olmaması (r=1r = 1) gerekir, çünkü negatif bir ortak fark diziyi bir noktadan sonra negatif terimli yapacaktır. r=1r = 1 için a1=2a_1 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ortak fark rr ve ilk terim a1a_1 cinsinden yazalım.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a19=a1+18ra_{19} = a_1 + 18r, a6=a1+5ra_6 = a_1 + 5r ve a16=a1+15ra_{16} = a_1 + 15r olur.
Verilen çarpımları tek bir bilinmeyenli terimler cinsinden ifade etmek.
2
Çarpımların farkını hesaplayalım.
a3⋅a19−a6⋅a16=(a12+20a1r+36r2)−(a12+20a1r+75r2)=−39r2a_3 \cdot a_{19} - a_6 \cdot a_{16} = (a_1^2 + 20a_1r + 36r^2) - (a_1^2 + 20a_1r + 75r^2) = -39r^2 elde edilir.
Ortak farkın karesini bulmak için cebirsel sadeleştirme yapmak.
3
Elde edilen farkı verilen −39-39 değerine eşitleyelim.
−39r2=−39  ⟹  r2=1  ⟹  r=1-39r^2 = -39 \implies r^2 = 1 \implies r = 1 veya r=−1r = -1 bulunur.
Dizinin ortak farkının alabileceği değerleri belirlemek.
4
a2+a20=24a_2 + a_{20} = 24 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile rr arasındaki ilişkiyi bulalım.
(a1+r)+(a1+19r)=24  ⟹  2a1+20r=24  ⟹  a1+10r=12(a_1 + r) + (a_1 + 19r) = 24 \implies 2a_1 + 20r = 24 \implies a_1 + 10r = 12 elde edilir.
İlk terim ile ortak farkı ilişkilendiren doğrusal denklemi kurmak.
5
Dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılar olma koşulunu iki rr durumu için inceleyelim.
Eğer r=−1r = -1 ise a1=22a_1 = 22 olur ancak bu durumda a23=22+22(−1)=0a_{23} = 22 + 22(-1) = 0 ve sonraki terimler negatif olur. Eğer r=1r = 1 ise a1=2a_1 = 2 olur ve tüm terimler (an=n+1a_n = n+1) pozitif kalır. Dolayısıyla a1=2a_1 = 2 olmalıdır.
Sonsuz elemanlı dizinin tüm terimlerinin pozitif olmasını sağlayan geçerli ilk terim değerini seçmek.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri ve tüm terimlerinin pozitif olma koşulunun ortak farkın işaretine etkisi.
Soru 323Soru →

Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için (an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri

an=∑i=1nlog⁡3(1−2(i+1)(i+2))a_n = \sum_{i=1}^{n} \log_3\left(1 - \frac{2}{(i+1)(i+2)}\right)
bn=log⁡9(n2+A⋅n+B9n2+C⋅n+9)b_n = \log_9\left( \frac{n^2 + A \cdot n + B}{9n^2 + C \cdot n + 9} \right)

genel terimleriyle tanımlanıyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) eşit diziler olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Dizilerin eşitliği koşulundan yararlanılarak A + B + C toplamı 33 olarak bulunur.
Logaritmik terimlerin toplamı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirilip taban eşitlemesi uygulandığında genel terimi veren ifade elde edilir. Bu ifade diğer diziyle eşitlendiğinde katsayılar belirlenir ve toplamları hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terimdeki logaritma argümanını rasyonel biçimde düzenleme.
i(i+3)(i+1)(i+2)\frac{i(i+3)}{(i+1)(i+2)}
Logaritmik toplamın sadeleştirilebilir bir çarpım yapısına dönüştürülmesi hedeflenir.
2
Teleskopik çarpım sadeleştirmesiyle toplamı hesaplama.
an=log⁡3(n+33n+3)a_n = \log_3\left(\frac{n+3}{3n+3}\right)
Logaritmaların toplamı, içlerinin çarpımına eşittir. Çarpım açılıp sadeleştirildiğinde genel terim tek bir logaritmik ifadeye indirgenir.
3
Taban eşitleme kuralı uygulanarak tabanın 9 yapılması.
an=log⁡9(n2+6n+99n2+18n+9)a_n = \log_9\left(\frac{n^2 + 6n + 9}{9n^2 + 18n + 9}\right)
bnb_n dizisinin logaritma tabanı 9 olduğu için ana_n dizisi ile doğrudan karşılaştırma yapılabilmesi amacıyla tabanlar eşitlenir.
4
İki dizinin eşitliğinden yararlanarak katsayıların karşılaştırılması.
A=6,B=9,C=18A = 6, B = 9, C = 18
Her n pozitif tam sayısı için iki ifadenin rasyonel kısımları özdeş olmalıdır.
5
Bilinmeyenlerin toplanması.
3333
Soru kökünde istenen A + B + C toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki dizinin eşit olması için tanım kümelerindeki her n pozitif tam sayısı için genel terimlerinin değerleri eşit olmalıdır.
Soru 324Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin tüm terimleri pozitif gerçek sayılardır. Bu dizinin ilk beş teriminin toplamı 3131 ve bu beş terimin her birinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 3116\frac{31}{16} olarak veriliyor.

Dizi artan olduğuna ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 eşitliği sağlandığına göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Dizinin sekizinci terimi 128'dir.
Çözüm adımları takip edildiğinde, geometrik dizinin terimleri ile terslerinin toplamı arasındaki ilişkiden a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir. Verilen a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 bilgisi ve dizinin artan olması kullanılarak a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 olarak belirlenir. Bu değerler kullanılarak dizinin sekizinci terimi a8=a1⋅r7=128a_8 = a_1 \cdot r^7 = 128 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 5 terimin toplamı (S5S_5) ile bu terimlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı (T5T_5) arasındaki genel ili��kiyi kurmak.
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir.
Bir geometrik dizide terimler toplamı Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n-1}{r-1} ve tersleri toplam�� Tn=1a11−(1/r)n1−(1/r)=Sna1⋅anT_n = \frac{1}{a_1} \frac{1-(1/r)^n}{1-(1/r)} = \frac{S_n}{a_1 \cdot a_n} şeklindedir. Buradan T5=S5a1⋅a5  ⟹  3116=31a1⋅a5  ⟹  a1⋅a5=16T_5 = \frac{S_5}{a_1 \cdot a_5} \implies \frac{31}{16} = \frac{31}{a_1 \cdot a_5} \implies a_1 \cdot a_5 = 16 bulunur.
2
Ortadaki terim olan a3a_3 değerini bulmak.
a3=4a_3 = 4 bulunur.
Geometrik dizilerde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir, yani a1⋅a5=a32a_1 \cdot a_5 = a_3^2. Buradan a32=16a_3^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a3=4a_3 = 4 olur.
3
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 denklem sistemini çözerek birinci ve beşinci terimleri belirlemek.
a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur.
Çarpımları 16, toplamları 17 olan sayılar 1 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için küçük olan terim birinci terim, büyük olan ise beşinci terim olmalıdır. Dolayısıyla a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 olur.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
a5=a1⋅r4  ⟹  16=1⋅r4  ⟹  r4=16a_5 = a_1 \cdot r^4 \implies 16 = 1 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Terimler pozitif olduğundan ortak çarpan r=2r = 2 olarak elde edilir.
5
Dizinin sekizinci terimini (a8a_8) hesaplamak.
a8=128a_8 = 128 bulunur.
a8=a1⋅r7a_8 = a_1 \cdot r^7 formülü kullanılarak a8=1⋅27=128a_8 = 1 \cdot 2^7 = 128 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler toplamı ile çarpmaya göre terslerinin toplamı arasındaki ilişki ve genel terim özellikleri.
Soru 325Soru →

Genel terimi an=2⋅3n−1a_n = 2 \cdot 3^{n-1} olan bir geometrik dizinin ilk 44 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Genel terimi verilen geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamı 80'dir.
Genel terimi verilen geometrik dizinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 ve ortak çarpanı r=3r = 3 olarak bulunur. Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı formülü olan Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ifadesinde bu değerler ve n=4n = 4 yerine yazıldığında S4=2⋅34−13−1=80S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 80 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terimi ve ortak çarpanı belirleme
a1=2a_1 = 2 ve r=3r = 3
Dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} biçiminde yazıldığında ilk terim ve ortak çarpan doğrudan tespit edilebilir.
2
Toplam formülünü kurma
S4=2⋅34−13−1S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1}
Geometrik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} formülü ile hesaplanır.
3
Hesaplamayı gerçekleştirme
S4=80S_4 = 80
Üslü ifadenin değeri bulunarak sadeleştirme işlemleri tamamlanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü
Soru 326Soru →
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için log⁡xy\log_x y bir tam sayıdır.
log⁡x(y2)+log⁡y(x9)=9\log_x(y^2) + \log_y(x^9) = 9
olduğuna göre,
log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin doğru değeri 4'tür.
Verilen denklem log⁡xy=u\log_x y = u dönüşümüyle 2u2−9u+9=02u^2 - 9u + 9 = 0 denklemine dönüşür. Bu denklemin kökleri 33 ve 1.51.5 değerleridir. Soruda log⁡xy\log_x y ifadesinin bir tam sayı olduğu belirtildiğinden log⁡xy=3\log_x y = 3 alınmalıdır. İstenen ifade ise log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)=23log⁡xy+6log⁡xy\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6) = \frac{2}{3}\log_x y + \frac{6}{\log_x y} olarak sadeleşir. Burada log⁡xy=3\log_x y = 3 değeri yerine yazıldığında sonuç 23(3)+63=2+2=4\frac{2}{3}(3) + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki logaritmik ifadeleri aynı tabana dönüştürmek amacıyla log⁡xy\log_x y cinsinden yazarız.
log⁡x(y2)=2log⁡xy\log_x(y^2) = 2\log_x y ve log⁡y(x9)=9log⁡yx=9log⁡xy\log_y(x^9) = 9\log_y x = \frac{9}{\log_x y} ifadeleri elde edilir.
Taban değiştirme ve logaritma özelliklerini uygulayarak tek bir değişken üzerinden denklem kurabilmek.
2
log⁡xy=u\log_x y = u değişken değiştirmesini uygularız.
2u+9u=92u + \frac{9}{u} = 9 denklemi elde edilir.
Denklemin çözümünü daha kolay ve anlaşılır hale getirmek.
3
Elde edilen rasyonel denklemi, her iki tarafı uu ile çarparak ikinci dereceden bir denkleme dönüştürürüz.
2u2−9u+9=02u^2 - 9u + 9 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden denklem çözme yöntemlerini uygulayabilmek.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırırız.
(2u−3)(u−3)=0(2u - 3)(u - 3) = 0 elde edilir, buradan u=32u = \frac{3}{2} veya u=3u = 3 bulunur.
Değişkenin alabileceği olası değerleri belirlemek.
5
Soruda verilen 'log⁡xy\log_x y bir tam sayıdır' koşulunu kullanarak uygun uu değerini seçeriz.
u=3u = 3 seçilir.
Tam sayı olma koşulunu sağlayan tek kök 33 olduğu için.
6
İstenen ifadeyi logaritma özelliklerini kullanarak uu cinsinden yazarız.
log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)=23log⁡xy+6log⁡yx=23u+6u\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6) = \frac{2}{3}\log_x y + 6\log_y x = \frac{2}{3}u + \frac{6}{u} elde edilir.
Sorulan ifadeyi hesaplamaya uygun hale getirmek.
7
u=3u = 3 değerini elde ettiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu buluruz.
23(3)+63=2+2=4\frac{2}{3}(3) + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 hesaplanır.
İstenen ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} ve logaritmanın log⁡an(bm)=mnlog⁡ab\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n}\log_a b özelliğinin uygulanması.
Soru 327Soru →

Bir sinema salonundaki koltuklar, ilk sırada belirli sayıda olmak üzere arkaya doğru her sırada sabit sayıda artarak yerleştirilmiştir. Bu salondaki ilk 6 sıradaki toplam koltuk sayısı 102, ilk 10 sıradaki toplam koltuk sayısı ise 250'dir.

Buna göre, bu sinema salonunun sadece 12. sırasında kaç adet koltuk vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Sinema salonunun 12. sırasında 51 adet koltuk vardır.
Verilen ilk 6 sıranın toplamı (S6=102S_6 = 102) ve ilk 10 sıranın toplamı (S10=250S_{10} = 250) aritmetik dizi toplam formülü ile 2a1+5d=342a_1 + 5d = 34 ve 2a1+9d=502a_1 + 9d = 50 denklemlerini verir. Bu sistem çözüldüğünde ortak fark d=4d = 4 ve ilk terim a1=7a_1 = 7 bulunur. 12. sıradaki koltuk sayısı ise genel terim formülünden a12=a1+11d=7+11×4=51a_{12} = a_1 + 11d = 7 + 11 \times 4 = 51 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülünü yazmak
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]
Soruda verilen toplam koltuk sayılarını modellemek için aritmetik dizi toplam formülüne ihtiyaç duyulmaktadır.
2
İlk 6 sıradaki toplam koltuk sayısı bilgisisi ile birinci denklemi elde etmek
2a1+5d=342a_1 + 5d = 34
S6=102S_6 = 102 eşitliğini formülde yerine koyup sadeleştirmek için.
3
İlk 10 sıradaki toplam koltuk sayısı bilgisi ile ikinci denklemi elde etmek
2a1+9d=502a_1 + 9d = 50
S10=250S_{10} = 250 eşitliğini formülde yerine koyup sadeleştirmek için.
4
Denklem sistemini ortak çözerek ilk terim a1a_1 ve ortak fark dd değerlerini bulmak
d=4d = 4 ve a1=7a_1 = 7
12. sıradaki koltuk sayısını hesaplamak için gerekli olan ilk terim ve ortak farkı elde etmek amacıyla.
5
Dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değerini hesaplamak
a12=51a_{12} = 51
Aritmetik dizinin genel terim formülü an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesinde bulunan değerleri yerine yazarak istenen sıradaki koltuk sayısını bulmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] formülü ile bulunur.
Soru 328Soru →
Bir ABCABC üçgeninde aa, bb ve cc sırasıyla AA, BB ve CC açılarının karşılarındaki kenar uzunluklarıdır.
Bu üçgende,
b⋅cos⁡C+c⋅cos⁡B=63b \cdot \cos C + c \cdot \cos B = 6\sqrt{3}
bağıntısı sağlanmaktadır.
Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 66 birim olduğuna göre, AA dar açısının ölçüsü kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

A dar açısının ölçüsü 60 derecedir.
Üçgende kenarlar arasındaki projeksiyon bağıntısı gereği bcos⁡C+ccos⁡B=ab \cos C + c \cos B = a eşitliği yazılabilir. Buradan a=63a = 6\sqrt{3} birim elde edilir. Sinüs teoremine göre asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R olduğundan, yarıçap R=6R = 6 için 63sin⁡A=12\frac{6\sqrt{3}}{\sin A} = 12 eşitliği kurulur. Buradan sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir. AA açısı dar açı olarak belirtildiği için ölçüsü 60 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Projeksiyon formülünü kullanarak a kenar uzunluğunu belirleyin.
a=63a = 6\sqrt{3}
Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın komşu açılarla olan kosinüs bileşenlerinin toplamına eşittir (a=bcos⁡C+ccos⁡Ba = b \cos C + c \cos B).
2
Sinüs teoreminde bilinen değerleri yerine yazarak sin A değerini elde edin.
sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}
Sinüs teoremine göre bir üçgenin kenar uzunluğu, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine bölündüğünde çevrel çemberin çapına (2R2R) eşit olur.
3
Sinüs değeri 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan dar açının ölçüsün�� derece cinsinden bulun.
A=60∘A = 60^\circ
0∘<A<90∘0^\circ < A < 90^\circ aralığında sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan açı 60 derecedir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Kenar Projeksiyon Bağıntıları
Soru 329Soru →
a<b<c<da < b < c < d olmak üzere,
log⁡13(log⁡2(x2−5))≥0\log_{\frac{1}{3}} \left( \log_2(x^2 - 5) \right) \geq 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [a,b)∪(c,d][a, b) \cup (c, d] olduğuna göre, a2+b2+c2+d2a^2 + b^2 + c^2 + d^2 toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin sınır değerlerinin kareleri toplamı 26'dır.
Verilen nested (iç içe) logaritmik eşitsizlikte hem en içteki ifadenin pozitifliği (x2−5>0x^2-5 > 0) hem de dıştaki logaritmanın argümanının pozitifliği (log⁡2(x2−5)>0  ⟹  x2>6\log_2(x^2-5) > 0 \implies x^2 > 6) sağlanmalıdır. Eşitsizlik çözülürken taban 1/3<11/3 < 1 olduğundan yön değiştirilir ve log⁡2(x2−5)≤1  ⟹  x2≤7\log_2(x^2-5) \leq 1 \implies x^2 \leq 7 bulunur. Koşulların kesişiminden 6<x2≤76 < x^2 \leq 7 elde edilir. Bu aralık [−7,−6)∪(6,7][-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}] biçiminde olup sınır değerlerinin kareleri toplamı 7+6+6+7=267 + 6 + 6 + 7 = 26 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki logaritmanın tanım kümesini belirlemek
x2−5>0  ⟹  x2>5x^2 - 5 > 0 \implies x^2 > 5
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanı sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Dıştaki logaritmanın tanım kümesini belirlemek
log⁡2(x2−5)>0  ⟹  x2−5>20  ⟹  x2>6\log_2(x^2 - 5) > 0 \implies x^2 - 5 > 2^0 \implies x^2 > 6
Dıştaki logaritmanın argümanı olan log⁡2(x2−5)\log_2(x^2 - 5) ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Logaritmik eşitsizliği çözmek
log⁡2(x2−5)≤(13)0  ⟹  log⁡2(x2−5)≤1  ⟹  x2−5≤21  ⟹  x2≤7\log_2(x^2 - 5) \leq (\frac{1}{3})^0 \implies \log_2(x^2 - 5) \leq 1 \implies x^2 - 5 \leq 2^1 \implies x^2 \leq 7
Logaritmanın tabanı 1'den küçük olduğundan dış logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir. İç logaritmanın tabanı 1'den büyük olduğundan yön değişmez.
4
Tanım kümesi ile çözüm kümesini kesiştirip sın��r değerlerin kareleri toplamını hesaplamak
6<x2≤7  ⟹  x∈[−7,−6)∪(6,7]6 < x^2 \leq 7 \implies x \in [-\sqrt{7}, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \sqrt{7}]. Buradan a=−7a = -\sqrt{7}, b=−6b = -\sqrt{6}, c=6c = \sqrt{6}, d=7d = \sqrt{7} elde edilir. Kareler toplamı: (−7)2+(−6)2+(6)2+(7)2=7+6+6+7=26(-\sqrt{7})^2 + (-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{7})^2 = 7 + 6 + 6 + 7 = 26 bulunur.
Bulunan tüm eşitsizlik koşullarının ortak kesişim kümesi alınarak en geniş çözüm aralığı belirlenir ve sınır değerlerin kareleri toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tabanın 1'den küçük veya büyük olmasına göre yön değiştirme kuralı ve logaritmanın tanımlı olma şartlarının kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 330Soru →
x∈(0,π)x \in (0, \pi) olmak üzere,
sin⁡(3x)+sin⁡(x)=sin⁡(2x)\sin(3x) + \sin(x) = \sin(2x)
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.
Verilen denklem toplam-çarpım dönüşümü yardımıyla sin⁡(2x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0 şeklinde yazılır. (0,π)(0, \pi) açık aralığında sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 denklemini sağlayan tek kök x=π2x = \frac{\pi}{2}'dir (00 ve π\pi açık aralıkta değildir). Aynı aralıkta cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan tek kök x=π3x = \frac{\pi}{3}'tür. Bu durumda denklemin bu aralıkta toplam 2 farklı kökü bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡(3x)+sin⁡(x)\sin(3x) + \sin(x) ifadesine toplam-çarpım dönüşüm formülünü uygulayın.
2sin⁡(2x)cos⁡(x)2\sin(2x)\cos(x)
Trigonometrik denklemleri çarpanlarına ayırabilmek için toplam şeklindeki ifadeleri çarpım şekline dönüştürmek gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazıp tüm terimleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.
sin⁡(2x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0
Kök kaybını önlemek amacıyla her iki tarafı sadeleştirmek yerine ortak paranteze alma yöntemi kullanılır.
3
sin⁡(2x)=0\sin(2x) = 0 denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki köklerini inceleyin.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
2x=kπ  ⟹  x=kπ22x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2} genel çözümünden, (0,π)(0, \pi) açık aralığına sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} düşer. Sınır değerleri olan 00 ve π\pi açık aralığa dahil değildir.
4
2cos⁡(x)−1=0  ⟹  cos⁡(x)=122\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki köklerini bulun.
x=π3x = \frac{\pi}{3}
Kosinüs fonksiyonunun birinci bölgede 12\frac{1}{2} değerini aldığı açı π3\frac{\pi}{3} radyandır.
5
Bulunan farklı kök sayılarını toplayarak sonuca ulaşın.
{π3,π2}\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right\} kümesinden 2 farklı kök elde edilir.
Bulunan köklerin her ikisi de verilen açık aralıkta yer alan ve birbirinden farklı olan geçerli gerçel köklerdir.

Anahtar Kavram

Toplam-çarpım formülleri yardımıyla trigonometrik denklemlerin çarpanlarına ayrılması ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Soru 331Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡2(x−2)<log⁡12(x−4)+4\log_2(x - 2) < \log_{\frac{1}{2}}(x - 4) + 4
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 18'dir.
Logaritma tanımlarından gelen x>4x > 4 kısıtlaması ile eşitsizlik çözümü olan x<3+17x < 3 + \sqrt{17} aralığının kesişimi (4,3+17)(4, 3 + \sqrt{17}) aralığını verir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar 5,6,75, 6, 7 olup toplamları 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi: x>4x > 4
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifadeler pozitif olmalıdır. x−2>0x - 2 > 0 ve x−4>0x - 4 > 0 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
2
Logaritma tabanlarını eşitlemek ve düzenlemek
log⁡2((x−2)(x−4))<4\log_2((x - 2)(x - 4)) < 4
log⁡12(a)=−log⁡2(a)\log_{\frac{1}{2}}(a) = -\log_2(a) dönüşümü yapılıp logaritma toplam özelliği yardımıyla ifadeler tek bir logaritma altında çarpım olarak yazılır.
3
Logaritmayı kaldırmak ve cebirsel eşitsizliği elde etmek
x2−6x−8<0x^2 - 6x - 8 < 0
Taban 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmeden logaritmadan çıkarılır ve elde edilen ikinci dereceden ifade düzenlenir.
4
Cebirsel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak
x∈(3−17,3+17)x \in (3 - \sqrt{17}, 3 + \sqrt{17})
x2−6x−8=0x^2 - 6x - 8 = 0 denkleminin kökleri 3±173 \pm \sqrt{17} olarak bulunur ve baş katsayı pozitif olduğu için kökler arası bölge negatif işaretlidir.
5
Tanım kümesiyle kesiştirip tam sayı çözümlerinin toplamını bulmak
5+6+7=185 + 6 + 7 = 18
x>4x > 4 koşulu altında (4,3+17)(4, 3 + \sqrt{17}) aralığı elde edilir. 17≈4,12\sqrt{17} \approx 4,12 olduğundan aralıktaki tam sayılar 5,6,75, 6, 7 olur.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde taban 1'den küçük olduğunda dönüşüm yaparken işaret değişimlerine dikkat edilmesi ve tanım kümesi sınırlarının her aşamada kontrol edilmesi.
Soru 332Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
cos⁡(4x)+sin⁡(3x)=cos⁡(2x)\cos(4x) + \sin(3x) = \cos(2x)
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 6'dır.
Denklemin çözümü için öncelikle kosinüs fark formülü uygulanarak ifade sin⁡(3x)(1−2sin⁡(x))=0\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan sin⁡(3x)=0\sin(3x) = 0 ve sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} denklemleri elde edilir. İlk denklemin [0,π][0, \pi] aralığında 4 farklı kökü, ikinci denklemin ise 2 farklı kökü vardır. Bu köklerin tamamı birbirinden farklı olduğundan denklemin toplam 6 farklı gerçel kökü bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin terimleri tek bir tarafa toplanır.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+sin⁡(3x)=0\cos(4x) - \cos(2x) + \sin(3x) = 0
Dönüşüm formüllerini uygulayabilmek için terimleri gruplandırmak gerekir.
2
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)\cos(4x) - \cos(2x) ifadesine dönüşüm formülü uygulanır.
−2sin⁡(3x)sin⁡(x)+sin⁡(3x)=0-2\sin(3x)\sin(x) + \sin(3x) = 0
cos⁡(A)−cos⁡(B)=−2sin⁡(A+B2)sin⁡(A−B2)\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) özdeşliği kullanılır.
3
Ortak çarpan olan sin⁡(3x)\sin(3x) parantezine alınır.
sin⁡(3x)(1−2sin⁡(x))=0\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0
Çarpanlarına ayırarak her bir çarpanın sıfır olabileceği durumlar incelenir.
4
sin⁡(3x)=0\sin(3x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulunur.
x∈{0,π3,2π3,π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\right\}
3x∈[0,3π]3x \in [0, 3\pi] olduğundan 3x=0,π,2π,3π3x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi değerlerini alabilir.
5
1−2sin⁡(x)=01 - 2\sin(x) = 0 yani sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulunur.
x∈{π6,5π6}x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}
[0,π][0, \pi] aralığında sinüsü 12\frac{1}{2} olan açılar π6\frac{\pi}{6} ve 5π6\frac{5\pi}{6}'dır.
6
Tüm farklı kökler birleştirilerek toplam kök sayısı hesaplanır.
x∈{0,π6,π3,2π3,5π6,π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\right\} olmak üzere 6 farklı kök vardır.
Bulunan tüm kökler birbirinden farklıdır ve verilen aralığın içindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri dönüşüm formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Soru 333Soru →

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

f(x)=g(x2−x)f(x) = g(x^2 - x)

eşitliği verilmiştir.

g′(2)=5g'(2) = 5 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Türevlenebilir iki fonksiyon arasındaki ilişki zincir kuralı ile türetilip verilen değer yerine yazıldığında aranan türev değeri 15 olarak bulunur.
Verilen f(x)=g(x2−x)f(x) = g(x^2 - x) eşitliğinde her iki tarafın türevi alındığında, zincir kuralı gereği f′(x)=g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) elde edilir. Bu eşitlikte x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=g′(2)⋅(2⋅2−1)=g′(2)⋅3f'(2) = g'(2) \cdot (2 \cdot 2 - 1) = g'(2) \cdot 3 olur. g′(2)=5g'(2) = 5 değeri yerine yazıldığında doğru yanıt 5⋅3=155 \cdot 3 = 15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının türevi alınır.
f′(x)=g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Türev eşitliğinde x=2x = 2 değeri yerine yazılır.
f′(2)=g′(2)⋅3f'(2) = g'(2) \cdot 3
x=2x = 2 değeri için x2−xx^2 - x ifadesi 2 değerini alır ve iç kısmın türevi olan 2x−12x - 1 ifadesi 3 olur.
3
Verilen g′(2)=5g'(2) = 5 değeri yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
f′(2)=15f'(2) = 15
f′(2)=5⋅3f'(2) = 5 \cdot 3 çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralının uygulanması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 334Soru →
f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,a](-\infty, a] olduğuna göre, aa sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen aa değeri 2'dir.
Verilen fonksiyonun türevi f′(x)=6x−12f'(x) = 6x - 12 olarak bulunur. Fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevi sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Buradan 6x−12≤0  ⟹  x≤26x - 12 \leq 0 \implies x \leq 2 elde edilir. Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,2](-\infty, 2] olduğundan, sınır değeri olan aa sayısı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=6x−12f'(x) = 6x - 12
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevi sıfır veya sıfırdan küçük yapan değerler için eşitsizlik kurulur.
6x−12≤06x - 12 \leq 0
Sürekli bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
3
Kurulan birinci dereceden eşitsizlik çözülür.
x≤2x \leq 2 yani (−∞,2](-\infty, 2]
Eşitsizliğin çözüm kümesi fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı verir. Bu aralık (−∞,a](-\infty, a] olarak tanımlandığı için a=2a = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.
Soru 335Soru →

Tanımlı olduğu aralıklarda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

f(g(x))=3x2−5x+2f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2
g(x)=x+1x−2g(x) = \frac{x+1}{x-2}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -75

Cevap

-75
Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre, [f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) olur. Eşitliğin sağ tarafının türevi ise 6x−56x - 5 olarak bulunur. g(x)=2g(x) = 2 koşulunu sağlayan değer x=5x = 5 olduğundan, türev denkleminde x=5x = 5 yazıldığında f′(2)⋅g′(5)=25f'(2) \cdot g'(5) = 25 elde edilir. Bölümün türevi kuralıyla g′(5)=−13g'(5) = -\frac{1}{3} olarak hesaplanır. Buradan f′(2)⋅(−13)=25  ⟹  f′(2)=−75f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2g(x) = 2 eşitliğini sağlayan xx değerini bulmak.
x=5x = 5
f′(2)f'(2) değerini elde etmek için bileşke fonksiyonun içindeki g(x)g(x) ifadesinin 22 olması gerekir. x+1x−2=2  ⟹  x+1=2x−4  ⟹  x=5\frac{x+1}{x-2} = 2 \implies x+1 = 2x-4 \implies x = 5 bulunur.
2
f(g(x))=3x2−5x+2f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2 eşitliğinde her iki tarafın xx değişkenine göre türevini almak.
f′(g(x))⋅g′(x)=6x−5f'(g(x)) \cdot g'(x) = 6x - 5
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafın türevi alınır.
3
g(x)=x+1x−2g(x) = \frac{x+1}{x-2} fonksiyonunun türevini alıp x=5x = 5 değerini yerine yazmak.
g′(5)=−13g'(5) = -\frac{1}{3}
Bölümün türevi kuralı uygulanır: g′(x)=1⋅(x−2)−(x+1)⋅1(x−2)2=−3(x−2)2g'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}. Buradan g′(5)=−3(5−2)2=−13g'(5) = \frac{-3}{(5-2)^2} = -\frac{1}{3} elde edilir.
4
Türev denkleminde x=5x = 5 yazarak f′(2)f'(2) değerini çekmek.
f′(2)=−75f'(2) = -75
f′(g(5))⋅g′(5)=6(5)−5  ⟹  f′(2)⋅(−13)=25  ⟹  f′(2)=−75f'(g(5)) \cdot g'(5) = 6(5) - 5 \implies f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması unutulmamalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 336Soru →
f(x)=x3−ax2+bx+4f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [1,5][1, 5] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktaları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği sıfır noktalarıdır. Dolayısıyla x=1x = 1 ve x=5x = 5 değerleri f′(x)=3x2−2ax+b=0f'(x) = 3x^2 - 2ax + b = 0 denkleminin kökleridir. Vieta formülleri kullanılarak kökler toplamı 1+5=2a/3  ⟹  a=91+5 = 2a/3 \implies a = 9 ve kökler çarpımı 1⋅5=b/3  ⟹  b=151 \cdot 5 = b/3 \implies b = 15 bulunur. Buradan a+b=24a+b = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3x2−2ax+bf'(x) = 3x^2 - 2ax + b
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Azalanlık aralığının sınırları ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurun.
f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x1=1x_1 = 1 ve x2=5x_2 = 5 olmalıdır.
Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [1,5][1, 5] ise, bu aralığın uç noktalarında türev sıfıra eşittir ve bu aralıkta türev negatif değerler alır.
3
Kökler toplamı ve çarpımı bağıntılarını kullanarak aa ve bb değerlerini bulun ve toplayın.
a=9a = 9, b=15b = 15 ve buradan a+b=24a + b = 24 elde edilir.
Kökler toplamı formülünden 1+5=2a3  ⟹  a=91 + 5 = \frac{2a}{3} \implies a = 9 ve kökler çarpımı formülünden 1⋅5=b3  ⟹  b=151 \cdot 5 = \frac{b}{3} \implies b = 15 bulunur.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarının azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktalarında birinci türevinin sıfıra eşit olması.

Alternatif Yöntem

Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanmak yerine, f′(1)=0f'(1) = 0 ve f′(5)=0f'(5) = 0 eşitlikleri doğrudan yazılabilir. Buradan 3−2a+b=03 - 2a + b = 0 ve 75−10a+b=075 - 10a + b = 0 denklemleri elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkararak 72−8a=0  ⟹  a=972 - 8a = 0 \implies a = 9 bulunur. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında da b=15b = 15 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 337Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(3x−1)=g(x2+1)+x2−xf(3x - 1) = g(x^2 + 1) + x^2 - x
eşitliğini sağlamaktadır.

g′(2)=4g'(2) = 4 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İstenen türev değeri 3 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı gereğince 3⋅f′(3x−1)=2x⋅g′(x2+1)+2x−13 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1 elde edilir. f′(2)f'(2) değerine ulaşmak için x=1x = 1 yazıldığında 3⋅f′(2)=2⋅g′(2)+13 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 bağıntısı oluşur. g′(2)=4g'(2) = 4 değeri yerine yazıldığında 3⋅f′(2)=93 \cdot f'(2) = 9 ve buradan f′(2)=3f'(2) = 3 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır.
3⋅f′(3x−1)=2x⋅g′(x2+1)+2x−13 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1
Bileşke fonksiyon türev kuralları ve zincir kuralı gereği, içteki fonksiyonların türevleri çarpım olarak dışarıya yazılır.
2
f′(2)f'(2) değerini elde etmek için xx yerine yazılması gereken değer bulunur.
3x−1=2  ⟹  x=13x - 1 = 2 \implies x = 1
Türev ifadesinde f′f' fonksiyonunun içinin 2 olması istenir.
3
Türev eşitliğinde x=1x = 1 yazılarak işlem tamamlanır.
3⋅f′(2)=2⋅g′(2)+1  ⟹  3⋅f′(2)=2⋅4+1=9  ⟹  f′(2)=33 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 \implies 3 \cdot f'(2) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \implies f'(2) = 3
g′(2)=4g'(2) = 4 değeri yerine yazılarak bilinmeyen f′(2)f'(2) değeri çekilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x)(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x).
Soru 338Soru →
Her xx gerçel sayısı için tanımlı olan
f(x)=ln⁡(x2−2x+k)−13xf(x) = \ln(x^2 - 2x + k) - \frac{1}{3}x
fonksiyonu her xx gerçel sayısı için azalandır.

Buna göre, kk gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 10'dur.
Fonksiyonun tanımlı ve azalan olması için k>1k > 1 ve k≥10k \ge 10 şartlarının birlikte sağlanması gerekir. Bu iki koşulu da sağlayan en küçük tam sayı değeri 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlılık şartını belirleme
k>1k > 1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif olması gerekir. x2−2x+k>0x^2 - 2x + k > 0 ifadesinin her xx için sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir.
2
Türev fonksiyonunu hesaplama ve azalanlık eşitsizliğini kurma
f′(x)=2x−2x2−2x+k−13≤0f'(x) = \frac{2x-2}{x^2-2x+k} - \frac{1}{3} \le 0
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta daima azalan olması, türevinin o aralıkta daima sıfırdan küçük veya eşit olmasını gerektirir.
3
Türev eşitsizliğini ikinci dereceden bir eşitsizliğe d��nüştürme
x2−8x+k+6≥0x^2 - 8x + k + 6 \ge 0
Paydanın daima pozitif olduğu birinci adımdan bilindiği için, içler dışlar çarpımı yapılarak eşitsizlik yön değiştirmeden düzenlenebilir.
4
İkinci dereceden eşitsizliğin daima sağlanma şartını uygulama ve ortak çözümü bulma
k≥10k \ge 10
x2−8x+k+6≥0x^2 - 8x + k + 6 \ge 0 eşitsizliğinin her xx gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır (Δ2≤0\Delta_2 \le 0). Buradan k≥10k \ge 10 bulunur. Tanımlılık şartı olan k>1k > 1 ile kesişim alındığında en küçük tam sayı değeri 10 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi ile türev yardımıyla fonksiyonların artanlık/azalanlık incelemesi.
Soru 339Soru →
Her uu ve xx gerçel sayısı için türevlenebilen y=f(u)y = f(u) ve u=g(x)u = g(x) fonksiyonları sırasıyla
y=u2+uy = u^2 + u
u=3x−2u = 3x - 2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, yy değişkeninin xx değişkenine göre türevinin x=1x = 1 için değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

y değişkeninin x değişkenine göre türevinin x = 1 için değeri 9'dur.
Zincir kuralı uygulanarak dy/dx = (dy/du) * (du/dx) şeklinde türev ifadesi yazılır. x = 1 için u = 1 elde edilir. dy/du türevinde u yerine 1 yazıldığında 3, du/dx türevinden ise 3 değeri bulunur. Bu iki değerin çarpımı olan 9, y'nin x'e göre türevidir.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı formülünü oluşturmak.
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
y değişkeni doğrudan x'e bağlı olmayıp u aracılığıyla bağlı olduğundan, x'e göre türevi bulmak için zincir kuralı uygulanmalıdır.
2
y'nin u'ya göre ve u'nun x'e göre türevlerini ayrı ayrı hesaplamak.
dydu=2u+1\frac{dy}{du} = 2u + 1 ve dudx=3\frac{du}{dx} = 3
Zincir kuralı formülünde çarpım durumundaki türev bileşenlerini elde etmek gerekir.
3
x = 1 noktasındaki u değerini bulmak.
u=3(1)−2=1u = 3(1) - 2 = 1
y'nin u'ya göre türevinde u yerine yazılacak değeri belirlemek gerekir.
4
Bulunan değerleri zincir kuralı formülünde yerine koyarak türev değerini hesaplamak.
dydx=(2⋅1+1)⋅3=3⋅3=9\frac{dy}{dx} = (2 \cdot 1 + 1) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9
x = 1 noktasında elde edilen türev bileşenlerini çarparak nihai dy/dx sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve zincir kuralı (chain rule) kullanılarak türev hesabı.

Alternatif Yöntem

y = u^2 + u fonksiyonunda u yerine 3x - 2 yazılarak y doğrudan x cinsinden y = (3x-2)^2 + (3x-2) şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadenin x'e göre türevi alındığında dy/dx = 2(3x-2) * 3 + 3 elde edilir. x = 1 yazıldığında dy/dx = 2(1) * 3 + 3 = 9 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 340Soru →
Tanımlı ve türevlenebilir y=f(u)y = f(u) ve u=g(x)u = g(x) fonksiyonları için
y=u2−3u+1y = u^2 - 3u + 1
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, dydx\frac{dy}{dx} ifadesinin x=2x = 2 noktasındaki değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Aranan t��rev değeri 2'dir.
Zincir kuralı formülü olan dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ifadesinde ilgili türev değerleri sırasıyla dydu=3\frac{dy}{du} = 3 ve dudx=23\frac{du}{dx} = \frac{2}{3} olarak bulunur. Bu iki değer çarpıldığında doğru sonuç 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı ilişkisini yazma
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
yy değişkeninin xx'e göre türevi, aradaki ortak uu değişkenine bağlı olarak zincir kuralı yardımıyla elde edilir.
2
x=2x = 2 için uu değerini hesaplama
u=3u = 3
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5} ifadesinde x=2x = 2 yazılarak ilgili uu değeri tespit edilir.
3
yy'nin uu'ya göre türevini alıp u=3u = 3 noktasındaki değerini bulma
dydu=3\frac{dy}{du} = 3
y=u2−3u+1y = u^2 - 3u + 1 fonksiyonunun uu değişkenine göre türevi 2u−32u - 3 olur. u=3u = 3 için 2(3)−3=32(3) - 3 = 3 elde edilir.
4
uu'nun xx'e göre türevini alıp x=2x = 2 noktasındaki değerini bulma
dudx=23\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5} fonksiyonunun xx'e göre türevi zincir kuralı gereği 12x2+5⋅2x=xx2+5\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}} olur. x=2x = 2 yazıldığında 23\frac{2}{3} değeri bulunur.
5
Türev değerlerini çarparak sonucu hesaplama
2
Bulunan türev değerleri zincir kuralı formülünde yerine konulup çarpılır: 3⋅23=23 \cdot \frac{2}{3} = 2.

Anahtar Kavram

Bağlı değişkenlerde türev hesabı için zincir kuralının uygulanması.
ÖncekiSayfa 17 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin