Tüm alıştırma soruları

Soru 361Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonu yalnızca $(-3, 5)$ açık aralığında pozitif değerler almaktadır.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - 4x)$ fonksiyonunun artan olduğu sınırlı aralıklarda yer alan farklı tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Sınırlı artanlık aralıklarında yer alan tam sayıların toplamı 15'tir.

Fonksiyonun artan olduğu sınırlı aralıklar

[1, 2]

ve

[3, 5]

aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla {1, 2} ve {3, 4, 5} olup toplamları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = f(x^2 - 4x)

fonksiyonunun türevi alınır.

g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x)

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.

2

f'(x^2 - 4x)

ifadesinin pozitif olduğu

x

değerleri belirlenir.

x \in (-1, 1) \cup (3, 5)

için

f'(x^2 - 4x) > 0

ve diğer durumlarda

f'(x^2 - 4x) \le 0

olur.

f'(u)

fonksiyonu yalnızca

u \in (-3, 5)

için pozitif olduğundan

-3 < x^2 - 4x < 5

eşitsizlik sistemi çözülür.

3

g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x) \ge 0

eşitsizliği için işaret tablosu oluşturulur.

İşaret tablosu incelendiğinde

g'(x) \ge 0

olan aralıklar

(-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, 5]

olarak bulunur.

Çarpanların işaret de��işimleri

x = -1, 1, 2, 3, 5

noktalarında gerçekleşir.

4

Sınırlı artanlık aralıklarındaki tam sayılar belirlenip toplanır.

[1, 2]

aralığından

1, 2

ve

[3, 5]

aralığından

3, 4, 5

sayıları alınarak toplam

1+2+3+4+5=15

bulunur.

Soru sınırlı aralıkları istediğinden

(-\infty, -1]

aralığı dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların bulunması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 362Soru →

f(x) = (x^2 + 2x)^3

olduğuna göre, $f'(1)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Doğru cevap 108'dir.

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.

f(x) = (x^2 + 2x)^3

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2)

şeklindedir. Burada

x = 1

yazıldığında

f'(1) = 3 \cdot (1 + 2)^2 \cdot (2 + 2) = 3 \cdot 9 \cdot 4 = 108

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyon türev kuralını uygulayarak fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 3(x^2 + 2x)^2 \cdot (2x + 2)

Zincir kuralı gereğince dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadenin türevi ile çarpılması gerekir.

2

Türev fonksiyonunda

x

yerine

1

yazın.

f'(1) = 3(1^2 + 2 \cdot 1)^2 \cdot (2 \cdot 1 + 2)

f'(1)

değerini bulmak için türev fonksiyonundaki

x

değişkenlerinin yerine

1

koyulmalıdır.

3

İşlemleri tamamlayarak nihai sonucu hesaplayın.

108

3 \cdot 9 \cdot 4 = 108

çarpımı yapılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanır:

[g(x)^n]' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)

Soru 363Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $y = f(t)$ ve $t = g(x)$ fonksiyonları

y = t^2 - 3t

t = \sqrt{x^2 + 5}

eşitlikleriyle veriliyor.

Buna göre, $x = 2$ değeri için $\frac{dy}{dx}$ türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

x = 2 değeri için dy/dx türevinin değeri 2'dir.

Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi, y'nin t'ye göre türevi ile t'nin x'e göre türevinin çarpımına eşittir. x = 2 değeri için t = 3 olur. Bu noktalardaki dy/dt = 3 ve dt/dx = 2/3 değerleri çarpıldığında doğru türev değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

x = 2 değeri için t değişkeninin değerini bulma

t = 3

Zincir kuralında türev değerlerini doğru noktalarda değerlendirebilmek için x'e karşılık gelen t değerini bilmemiz gerekir.

2

y fonksiyonunun t değişkenine göre türevini alıp t = 3 için değerini hesaplama

dy/dt = 3

y = t^2 - 3t ifadesinin t'ye göre türevi dy/dt = 2t - 3'tür. t = 3 yazıldığında 2(3) - 3 = 3 elde edilir.

3

t fonksiyonunun x değişkenine göre t��revini alıp x = 2 için değerini hesaplama

dt/dx = 2/3

t = (x^2 + 5)^(1/2) fonksiyonunun x'e göre türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: dt/dx = (1/2) * (x^2 + 5)^(-1/2) * 2x = x / \sqrt{x^2 + 5} olur. x = 2 için bu değer 2 / \sqrt{9} = 2/3 olarak bulunur.

4

Zincir kuralını uygulayarak dy/dx değerini hesaplama

dy/dx = 2

Zincir kuralına göre dy/dx = (dy/dt) * (dt/dx) olur. Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak dy/dx = 3 * (2/3) = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Zincir Kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonların türevinin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Zincir kuralını doğrudan uygulamak yerine y fonksiyonunda t yerine eşiti olan ifadeyi yazarak y'yi doğrudan x cinsinden elde edebiliriz:

y = (\sqrt{x^2 + 5})^2 - 3\sqrt{x^2 + 5} = x^2 + 5 - 3\sqrt{x^2 + 5}

. Buradan doğrudan x'e göre türev alırsak:

y' = 2x - 3 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = 2x - \frac{3x}{\sqrt{x^2+5}}

.

x = 2

için

y' = 2(2) - \frac{3(2)}{\sqrt{2^2+5}} = 4 - \frac{6}{3} = 4 - 2 = 2

bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 364Soru →

x + y = \frac{\pi}{4}

ve

\tan x

,

\tan y

tanımlı olduğuna göre,

(1 + \tan x) \cdot (1 + \tan y)

çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.

Verilen

x+y = \frac{\pi}{4}

eşitliğinden faydalanarak

\tan(x+y) = 1

olduğu görülür. Tanjant toplam formülü olan

\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1

eşitliğinden

\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1

bağıntısı elde edilir. Sorulan çarpım ifadesi dağıtıldığında

1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y

elde edilir ve elde edilen bağıntı burada yerine yazıldığında sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tanjant toplam formülünü yazma

\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}

Açıların toplamı ile tanjant değerleri arasındaki bağlantıyı kurmak amacıyla formül yazılır.

2

x+y = \frac{\pi}{4}

bilgisini kullanma ve içler dışlar çarpımı yapma

\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1 \implies \tan x + \tan y = 1 - \tan x \tan y \implies \tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1

Tanjant terimlerinin toplamı ve çarpımı arasındaki cebirsel ilişkiyi elde etmek için.

3

İstenen çarpım ifadesini parantezleri açarak genişletme

(1 + \tan x)(1 + \tan y) = 1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y

Elde edilen cebirsel ilişkiyi sorulan ifade içerisinde yerine yazabilmek için.

4

Elde edilen bağıntıyı yerine yazarak sonucu bulma

1 + (\tan x + \tan y + \tan x \tan y) = 1 + 1 = 2

\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1

eşitliği yerine koyularak sayısal değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjantı formülü:

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}

Soru 365Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 5x + 4|}{x - 1} + 2a, & x < 1 \\ ax^2 - 7, & x \ge 1 \end{cases}

fonksiyonunun

x = 1

noktasında limiti olduğuna göre,

a

gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İstenen a gerçel sayısı -4'tür.

Fonksiyonun

x=1

noktasında limitinin var olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.

x \to 1^-

iken

x < 1

olduğundan

x^2 - 5x + 4

ifadesi pozitif değerler alır ve mutlak değer dışına aynen çıkar. Sadeleşme sonrasında sol limit

2a - 3

bulunur. Sağdan limit ise

a - 7

olarak elde edilir. Eşitlik kurulduğunda

2a - 3 = a - 7 \implies a = -4

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Limit varlığı için sağdan ve soldan limit eşitliği koşulunun belirlenmesi.

x \to 1^-

ve

x \to 1^+

limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Bir fonksiyonun kritik bir noktada limitinin olması için, o noktaya sağdan ve soldan yaklaşıldığında elde edilen limit değerlerinin eşit olması şarttır.

2

Soldan limitin hesaplanması ve mutlak değer için işaret analizi yapılması.

\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2a - 3

x \to 1^-

yaklaşımında

x < 1

olur. Bu durumda

x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)

ifadesinin her iki çarpanı da negatif olacağından çarpım pozitif olur. Dolayısıyla ifade mutlak değer dışına aynen çıkar:

|x^2 - 5x + 4| = (x-1)(x-4)

. Pay ve paydadaki

(x-1)

terimleri sadeleştiğinde limit

\lim_{x \to 1^-} (x - 4 + 2a) = 2a - 3

olarak bulunur.

3

Sağdan limitin hesaplanması.

\lim_{x \to 1^+} f(x) = a - 7

x \to 1^+

yaklaşımında

x \ge 1

olduğundan

f(x) = ax^2 - 7

kuralı geçerlidir. Polinom fonksiyonlarında limit doğrudan yerine koyarak bulunur:

a(1)^2 - 7 = a - 7

.

4

Elde edilen limit değerlerinin birbirine eşitlenerek a parametresinin çözülmesi.

a = -4

Limitin var olması için sol limit (

2a - 3

) ile sağ limit (

a - 7

) birbirine eşit olmalıdır. Buradan

2a - 3 = a - 7 \implies a = -4

bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değerli ifadelerde limit noktasına yaklaşılan yöne göre iç kısmın işareti belirlenip mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılır.

Soru 366Soru →

Her noktada türevlenebilen

f

ve

g

fonksiyonları arasında

f(x) \cdot g(x) = x^3 - 2x^2 + 5

ilişkisi bulunmaktadır.

g(2) = 5

g'(2) = 3

olduğuna göre,

f'(2)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.2

Cevap

Hesaplanan f'(2) türev değeri 0.2 olarak bulunur.

Verilen fonksiyonların çarpım ilişkisinden öncelikle

f(2) = 1

bulunur. Daha sonra her iki tarafın türevi çarpım kuralıyla alınarak

f'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2) = 3x^2 - 4x

eşitliğine ulaşılır. Burada

x=2

ve bilinen değerler yerine yazılarak

f'(2) = 0.2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x = 2

için eşitliği kullanarak

f(2)

değerini bulunuz.

f(2) = 1

f(2) \cdot g(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 5

ve

g(2) = 5

olduğundan

f(2) \cdot 5 = 5

ve

f(2) = 1

elde edilir.

2

Eşitliğin her iki tarafının türevini alınız.

f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) = 3x^2 - 4x

Sol tarafta çarpımın türevi kuralı, sağ tarafta ise kuvvet kuralı uygulanmıştır.

3

Türev denkleminde

x = 2

yazarak

f'(2)

değerini hesaplayınız.

f'(2) = 0.2

f'(2) \cdot 5 + 1 \cdot 3 = 3(2)^2 - 4(2) \implies 5f'(2) + 3 = 4 \implies 5f'(2) = 1 \implies f'(2) = 0.2

olur.

Anahtar Kavram

Çarpımın Türevi ve Temel Türev Kuralları

Soru 367Soru →

$t$ ve $u$ gerçel sayılar olmak üzere,

t = x^2 - x

u = t^2 - 3t

y = u^3 - 2u^2

eşitlikleri tanımlanıyor.

Buna göre, $\frac{dy}{dx}$ ifadesinin $x = 2$ için değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

İfadelerin birbirine bağlı türevleri zincir kuralı yardımıyla çarpıldığında x = 2 için türevin değeri 60 olarak elde edilir.

Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi alınırken dy/du, du/dt ve dt/dx türevleri sırasıyla hesaplanıp çarpılmalıdır. x = 2 noktası için t = 2 ve u = -2 değerleri bulunur. Bu noktalardaki türevlerin çarpımı 20 * 1 * 3 = 60 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Zincir kuralı ilişkisini belirleme

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

y

değişkeni

u

ya,

u

değişkeni

t

ye,

t

değişkeni de

x

e bağlı olduğu için türev zincir kuralı ile hesaplanır.

2

x = 2

noktasındaki

t

ve

u

değerlerini hesaplama

t = 2^2 - 2 = 2

ve

u = 2^2 - 3(2) = -2

Türev fonksiyonlarının hangi noktalarda değerlendirileceğini bulmak için ara değişken değerleri hesaplanmalıdır.

3

Her bir ifadenin türevini alıp değerlerini yerine yazma

\frac{dt}{dx} = 2x - 1 \implies x = 2 \text{ için } 3

\frac{du}{dt} = 2t - 3 \implies t = 2 \text{ için } 1

\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u \implies u = -2 \text{ için } 3(-2)^2 - 4(-2) = 20

Zincir kuralı bileşenlerinin sayısal değerlerini bulmak için her aşamadaki türevler hesaplanır.

4

Türev değerlerini çarparak nihai sonucu elde etme

3 \cdot 1 \cdot 20 = 60

Elde edilen türev değerleri zincir kuralında çarpım durumundadır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı (Chain Rule) yardımıyla çok katmanlı bağlı değişkenlerin türevini alma

Soru 368Soru →

f(x) = \begin{cases} ax - 3, & x < 4 \\ 2x + 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Süreklilik şartını sağlayan

a

değeri 4'tür.

Fonksiyonun her noktada sürekli olabilmesi için parçalandığı

x = 4

sınır değerinde de sürekli olması şarttır.

x = 4

'teki soldan limit

4a - 3

, sağdan limit ve

f(4)

değeri ise 13'tür. Bu iki değerin birbirine eşitlenmesiyle

4a - 3 = 13

denklemi elde edilir ve buradan

a = 4

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kritik noktada süreklilik şartını belirleme

\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)

olmalıdır.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.

2

x = 4

noktasındaki soldan limiti hesaplama

\lim_{x \to 4^-} (ax - 3) = 4a - 3

x < 4

için fonksiyon

ax - 3

kuralını kullanır.

3

x = 4

noktasındaki sağdan limiti ve fonksiyon değerini hesaplama

\lim_{x \to 4^+} (2x + 5) = f(4) = 13

x \geq 4

için fonksiyon

2x + 5

kuralını kullanır.

4

Elde edilen limit değerlerini eşitleyip

a

değerini çözme

4a - 3 = 13 \implies a = 4

Sürekliliğin sağlanması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarında limit ve süreklilik incelemesi

Soru 369Soru →

Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen

f

fonksiyonu için

f(1) = 1

f'(1) = 3

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $g(x) = f(2x - f(x))$ biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

g fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri -3'tür.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulandığında g'(x) = f'(2x - f(x)) * (2 - f'(x)) elde edilir. x = 1 için bu ifade g'(1) = f'(1) * (2 - f'(1)) = 3 * (2 - 3) = -3 olur.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = f(2x - f(x))

fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak ifade etme.

g'(x) = f'(2x - f(x)) \cdot (2 - f'(x))

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre

(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)

şeklindedir. Burada

u(x) = 2x - f(x)

olup,

u'(x) = 2 - f'(x)

'tir.

2

Türev fonksiyonunda

x = 1

değerini yerine yazma.

g'(1) = f'(2(1) - f(1)) \cdot (2 - f'(1))

x = 1

noktasındaki türev değerini bulmak için

g'(x)

ifadesinde

x

yerine

1

yazılır.

3

Verilen

f(1) = 1

ve

f'(1) = 3

değerlerini yerine koyarak hesaplama yapma.

g'(1) = f'(1) \cdot (2 - 3) = 3 \cdot (-1) = -3

Soru kökündeki bilinen değerler yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Soru 370Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = x^2 + 5x

fonksiyonunun grafiğine $x = -1$ noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğrinin belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 3'tür.

Türevin geometrik yorumuna göre, bir fonksiyonun grafiğine

x = x_0

apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi

f'(x_0)

değeridir.

f(x) = x^2 + 5x

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 2x + 5

olup,

x = -1

için bu değer

f'(-1) = 3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 2x + 5

Bir fonksiyona herhangi bir noktadan ��izilen teğet doğrusunun eğimi, o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir.

2

Türev fonksiyonunda teğet noktasının apsisi olan

x = -1

değerini yerine yazın.

f'(-1) = 3

x = -1

noktasındaki teğet doğrusunun eğimi

f'(-1)

değerine karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine

x = x_0

noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine (

f'(x_0)

) eşittir.

Soru 371Soru →

Türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun grafiğine $x = 2$ apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

f(2) = 3

olmak üzere,

g

fonksiyonu

g(x) = f\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $g'(2)$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için zincir kuralı ve bölüm türevi kuralları uygulanarak

g'(2)

değeri

0.75

olarak bulunur.

Orijinden ve

(2,3)

noktasından geçen teğet doğrusunun eğimi

\frac{3}{2}

'dir. Dolayısıyla

f'(2) = 1.5

olur. Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı ve bölüm türevi uygulandığında içteki fonksiyonun türevi

0.5

olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı

1.5 \cdot 0.5 = 0.75

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun eğimini hesaplama

f'(2) = 1.5

x=2

apsisli teğet noktası

(2, 3)

olup bu noktadan çizilen teğet doğrusu

(0,0)

noktasından geçtiği için eğimi

m = \frac{3-0}{2-0} = 1.5

olur. Bu eğim değeri fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

2

g(x)

fonksiyonuna zincir kuralını uygulama

g'(x) = f'\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right) \cdot \left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)'

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, dıştaki fonksiyonun içinin türevi ile dıştaki fonksiyonun türevinin çarp��mı alınmalıdır.

3

İçteki fonksiyonun

x=2

noktasındaki değerini ve türevini hesaplama

u(2) = 2

ve

u'(2) = 0.5

u(x) = \frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}

olsun. Bölüm türevi kuralı uygulandığında

u'(x) = \frac{(2x - f'(x))(x-1) - (x^2 - f(x) + 1)}{(x-1)^2}

elde edilir.

x=2

için bu değerler yerine konulur.

4

Elde edilen tüm değerleri birleştirerek nihai türevi bulma

g'(2) = 0.75

g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot u'(2) = 1.5 \cdot 0.5 = 0.75

bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Soru 372Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 5

olarak veriliyor.

Buna göre, pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı $g(x) = f(x^2 - 2x)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.

Verilen f(x) fonksiyonunun türevi alınıp g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonuna zincir kuralı uygulandığında g'(x) = 2x(x - 2)(x - 4)(x + 2)(x - 1) türev fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif gerçel sayılar kümesindeki azalan aralıklar [0, 1] ve [2, 4] olarak belirlenir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4 olup toplamları 10 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun birinci türevini bulma

f'(x) = x^2 - 8x

Bileşke fonksiyonun türevini alırken dıştaki fonksiyonun türevi kullanılacaktır.

2

g(x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama

g'(x) = 2(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 8)(x - 1)

Bileşke fonksiyon türevlenirken içteki fonksiyonun türevi olan (2x - 2) terimi çarpan olarak eklenmelidir.

3

g'(x) = 0 denkleminin köklerini bularak kritik noktaları belirleme

x_1 = -2

,

x_2 = 0

,

x_3 = 1

,

x_4 = 2

,

x_5 = 4

İşaret tablosunda kullanılacak sınır değerleri ve tek/çift katlı kök durumları bu noktalar üzerinden incelenir.

4

g'(x) için işaret tablosu oluşturarak türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri belirleme

Azalan olduğu bölgeler:

(-\infty, -2] \cup [0, 1] \cup [2, 4]

Bir fonksiyon türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda azalandır.

5

Tanım kümesine uygun pozitif tam sayıları seçip toplama

1 + 2 + 3 + 4 = 10

g(x) fonksiyonu pozitif gerçel sayılarda tanımlı olduğundan, azalan aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4'tür. 0 sayısı pozitif olmadığından işleme dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev yardımıyla artanlık ve azalanlık durumunun incelenmesi.

Soru 373Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x - 3$ eğrisine çizilen ve $y = 8x + 5$ doğrusuna paralel olan teğet doğrularının $y$ eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -38

Cevap

Teğet doğrularının

y

eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı

-38

'dir.

Doğru cevap olan

-38

sayısı, paralel teğetlerin eğrinin üzerindeki apsislerinin türev yardımıyla bulunup teğet denklemlerinin yazılması ve bu doğruların

y

-kesenlerinin ordinatlarının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen doğrunun eğimini belirlemek ve teğet doğrularının eğimiyle eşitlemek.

Teğet doğrularının eğimi

m = 8

olmalıdır.

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

2

Fonksiyonun türevini alıp teğet eğimi olan

8

'e eşitleyerek teğet noktalarının apsislerini bulmak.

x_1 = 0

ve

x_2 = 4

doğruları elde edilir.

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

3

Apsis değerlerini fonksiyonda yerine yazarak teğet noktalarının ordinatlarını hesaplamak.

f(0) = -3

ve

f(4) = -3

. Teğet noktaları

P_1(0, -3)

ve

P_2(4, -3)

'tür.

Değme noktaları fonksiyonun grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlarlar.

4

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülüyle teğet doğrularının denklemlerini yazıp

y

eksenini kestikleri ordinatları bulmak.

Birinci teğet doğrusunun

y

-keseni

-3

, ikinci teğet doğrusunun

y

-keseni

-35

'tir.

Teğet denklemlerinde

x = 0

yazılarak doğruların

y

eksenini kestiği noktalar belirlenir.

5

Bulunan

y

-keseni değerlerini toplamak.

(-3) + (-35) = -38

.

Soruda bizden teğet doğrularının

y

eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu uyarınca, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Paralel doğruların eğimleri eşittir.

Soru 374Soru →

L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - \cos(2x)}{x^2}

olduğuna göre, $2L$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Hesaplanan limit değerinin iki katı olan 7'dir.

Limit ifadesi parçalandığında köklü terimlerin oluşturduğu birinci kısmın limiti eşlenik yardımıyla 3/2, trigonometrik terimlerin oluşturduğu ikinci kısmın limiti ise yarım açı formülüyle 2 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı olan L sayısı 7/2'dir. Soruda istenen 2L ifadesinin değeri ise 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Belirsizlik durumunun belirlenmesi

x \to 0

için payda

0^2 = 0

ve pay

\sqrt{1+0} - \cos(0) = 1-1 = 0

olduğundan

\frac{0}{0}

belirsizliği mevcuttur.

Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü tespit etmek gerekir.

2

Limit ifadesinin iki parçaya ayrılması

L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} + \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \right)

Buradan

L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2}

ve

L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}

olsun.

Toplamsal ifadeleri ayrı ayrı limitler halinde incelemek çözümü kolaylaştırır.

3

Eşlenik çarpımı ile birinci limitin (

L_1

) hesaplanması

L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1)(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}

L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{x\sin(3x)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}

L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1}

L_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır ve

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a

kuralı kullanılır.

4

Trigonometrik yarım açı formülü ile ikinci limitin (

L_2

) hesaplanması

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \implies 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)

L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} = 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2

Trigonometrik belirsizliklerde yarım açı dönüşümü yapılarak

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1

kuralı uygulanır.

5

L ve 2L değerlerinin elde edilmesi

L = L_1 + L_2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}

Buradan,

2L = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7

bulunur.

İki ayrı parçadan elde edilen limit değerleri toplanarak L değeri ve ardından sorulan 2L değeri bulunur.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda köklü ifadeler için eşlenik çarpımı ve trigonometrik ifadeler için yarım açı formülleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.

Soru 375Soru →

$f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ fonksiyonu veriliyor. Buna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türev fonksiyonunda

x = 2

değeri yazıldığında elde edilen sonuç

-5

sayısıdır.

Verilen rasyonel fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı yardımıyla alınır. Payın türevi

2

ve paydanın türevi

1

olup türev fonksiyonu

f'(x) = \frac{2(x-1) - 1(2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}

olarak elde edilir. Bu fonksiyonda

x = 2

yazıldığında

f'(2) = \frac{-5}{(2-1)^2} = -5

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.

f'(x) = \frac{-5}{(x-1)^2}

Bölümün türevi kuralı

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

şeklindedir. Payın türevi

2

, paydanın türevi

1

olduğundan bu kural uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir.

2

Türev fonksiyonunda

x

yerine

2

yazarak değeri hesaplayınız.

f'(2) = -5

Soruda istenen

f'(2)

değerini elde etmek için türev fonksiyonunda

x

değişkeni yerine

2

sayısı yazılır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı

Soru 376Soru →

f(x) = x^3 - 4x^2 + 3

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Türevin geometrik yorumuna göre, bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bu fonksiyonun

x = 2

noktasındaki teğetinin eğimi

-4

olarak bulunur.

Bir fonksiyonun

x = a

noktasındaki teğetinin eğimi

f'(a)

değeridir.

f(x) = x^3 - 4x^2 + 3

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 3x^2 - 8x

olur. Bu türevde

x = 2

yazıldığında

f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) = 12 - 16 = -4

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevi alınır.

f'(x) = 3x^2 - 8x

Teğetin eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun türev fonksiyonu elde edilir.

2

Türev fonksiyonunda

x

yerine

2

yazılır.

f'(2) = -4

İstenen noktadaki teğetin eğimi, türevin o noktadaki değerine eşit olduğundan

x = 2

değeri türev fonksiyonunda yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

Soru 377Soru →

Türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

f(g(x) \cdot x^2 - x) = x^3 + 2[g(x)]^3

eşitliği sağlanmaktadır.

g

fonksiyonunun grafiğine

x = 2

apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi

y = 3x - 5

olduğuna göre,

f'(2)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

f'(2) değeri 2 olarak bulunur.

Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi zincir ve çarpım kuralları kullanılarak alınmıştır. x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi olan y = 3x - 5 kullanılarak g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri tespit edilmiştir. Bu değerler türev denkleminde yerlerine yazıldığında f'(2) * 15 = 30 bağıntısı elde edilmiş ve buradan f'(2) değeri 2 olarak hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusu denkleminden g(2) ve g'(2) değerlerini bulma

g(2) = 1 ve g'(2) = 3

g fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu y = 3x - 5 olduğundan, teğet noktası olan (2, g(2)) noktası bu doğrunun üzerindedir. Buradan g(2) = 3(2) - 5 = 1 elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi ise fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan g'(2) = 3 olur.

2

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alma

f'(g(x) * x^2 - x) * [g'(x) * x^2 + 2x * g(x) - 1] = 3x^2 + 6[g(x)]^2 * g'(x)

Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı, içteki g(x) * x^2 ifadesi için ise çarpım kuralı uygulanmıştır.

3

Türev denkleminde x = 2 yazarak f'(2) değerini bulma

f'(2) = 2

x = 2 için g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri türev denkleminde yerine yazıldığında, sol taraf f'(2) * [3 * 4 + 4 * 1 - 1] = f'(2) * 15 olur. Sağ taraf ise 3 * 4 + 6 * (1)^2 * 3 = 30 olur. f'(2) * 15 = 30 eşitliğinden f'(2) = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı ve teğet eğimi ilişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 378Soru →

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x - 3} + ax, & x < 3 \\ x^2 - 2ax + a^2 - 1, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonunun $x = 3$ noktasında limiti vardır.

Buna göre, $a$ gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

a

gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 9'dur.

Fonksiyonun

x = 3

noktasında limitinin olması için soldan limiti olan

3a - 6

ile sağdan limiti olan

a^2 - 6a + 8

değerleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen

a^2 - 9a + 14 = 0

denkleminin kökleri

2

ve

7

olup, bu değerlerin toplamı

9

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Limit varlığı şartını belirleme

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x)

olmalıdır.

Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.

2

Soldan limiti hesaplama ve mutlak değer analizi

\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3a - 6

x \to 3^-

için

x < 3

olduğundan

x^2 - 9 < 0

olur. Dolayısıyla

|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3)

olarak dışarı çıkar ve paydadaki

x-3

terimi ile sadeleşir.

3

Sağdan limiti hesaplama

\lim_{x \to 3^+} f(x) = a^2 - 6a + 8

x \to 3^+

için

x \ge 3

aralığındaki

x^2 - 2ax + a^2 - 1

kuralı kullanılır ve

x

yerine 3 yazılır.

4

Limit eşitliğini kurma ve ikinci dereceden denklemi çözme

a^2 - 9a + 14 = 0 \implies (a - 2)(a - 7) = 0 \implies a = 2

veya

a = 7

Sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenerek

a

parametresine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.

5

Değerlerin toplamını bulma

2 + 7 = 9

a

'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin incelenmesi, mutlak değer içerisindeki ifadenin işaret analizi ve sadeleştirme yöntemleri.

Soru 379Soru →

Tanımlı olduğu kümede $f(x) = \frac{18}{x+2}$ fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{f(1 - 2h) - f(1 + 4h)}{3h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limit ifadesinin değeri 4'tür.

Verilen limit ifadesi türevin limit tanımı kullanılarak

-2f'(1)

şeklinde yazılabilir.

f(x) = \frac{18}{x+2}

fonksiyonunun türevi

f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2}

olduğundan,

f'(1) = -2

olur. Buradan limitin değeri

-2 \cdot (-2) = 4

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alalım.

f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2}

f(x) = 18(x+2)^{-1}

şeklinde yazılarak türev alma kuralı uygulandığında

f'(x) = -18(x+2)^{-2}

elde edilir.

2

Türevin

x = 1

noktasındaki değerini bulalım.

f'(1) = -2

Türev fonksiyonunda

x

yerine

1

yazılarak

f'(1) = -\frac{18}{(1+2)^2} = -2

bulunur.

3

Limit ifadesini türevin tanımına göre düzenleyelim.

-2f'(1)

Pay kısmına

f(1)

eklenip çıkarılarak limit parçalandığında,

\lim_{h \to 0} \frac{f(1-2h)-f(1)}{3h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(1+4h)-f(1)}{3h} = -\frac{2}{3}f'(1) - \frac{4}{3}f'(1) = -2f'(1)

elde edilir.

4

Limit değerini hesaplayalım.

4

-2f'(1) = -2 \cdot (-2) = 4

elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve anlık değişim oranı

Soru 380Soru →

Türevlenebilir ve sıfırdan farklı değerler alan bir

f

fonksiyonu için

g(x) = f\left(\frac{x+1}{f(x)}\right)

biçiminde tanımlanıyor.

f(1) = 2

f'(1) = 4

olduğuna göre,

g'(1)

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Doğru cevap -6'dır.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı ve bölümün türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp

x=1

değeri yerine yazıldığında, içteki fonksiyonun değeri

1

ve bu noktadaki türevi

-\frac{3}{2}

olarak bulunur. Dıştaki fonksiyonun türevi olan

f'(1)=4

ile içteki kısmın türevi olan

-\frac{3}{2}

çarpıldığında doğru cevap

-6

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türevi kuralını uygulayarak genel türev denklemini oluşturun.

g'(x) = f'\left(\frac{x+1}{f(x)}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{f(x)}\right)'

Bileşke fonksiyon türevlenirken dıştaki fonksiyonun türevi alınıp içi aynen bırakılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.

2

Bölümün türevi kuralını kullanarak içteki

\frac{x+1}{f(x)}

ifadesinin türevini bulun.

h'(x) = \frac{1 \cdot f(x) - (x+1) \cdot f'(x)}{[f(x)]^2}

Bölüm durumundaki bir ifadenin türevi; payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi, bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.

3

x = 1 için içteki fonksiyonun değerini ve türevini hesaplayın.

İçteki fonksiyonun değeri:

h(1) = \frac{1+1}{f(1)} = \frac{2}{2} = 1

. İçteki fonksiyonun türevi:

h'(1) = \frac{f(1) - 2 \cdot f'(1)}{[f(1)]^2} = \frac{2 - 2 \cdot 4}{2^2} = -\frac{3}{2}

.

Türev ifadesinde

x = 1

yazılarak her bir bileşenin değeri hesaplanır.

4

Tüm değerleri birleştirerek

g'(1)

sonucuna ulaşın.

g'(1) = f'(1) \cdot h'(1) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6

Zincir kuralından elde edilen bileşenler çarpılarak nihai türev değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpan olarak eklenir.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm