Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 21Soru →
Tüm elemanları pozitif olan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde
a4⋅a6=144a_4 \cdot a_6 = 144
a3+a7=51a_3 + a_7 = 51
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.
Geometrik dizinin an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği kullanılarak a5=12a_5 = 12 ve ardından a3⋅a7=144a_3 \cdot a_7 = 144 olarak bulunur. Toplamları 51 ve çarpımları 144 olan pozitif sayılar 3 ve 48'dir. Dizi artan olduğu için a3=3a_3 = 3 ve a7=48a_7 = 48 olmalıdır. a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 eşitliğinden r4=16r^4 = 16 elde edilir ve pozitif terimli dizi şartından dolayı ortak çarpan 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a4⋅a6=a52a_4 \cdot a_6 = a_5^2 eşitliğini kullanarak a5a_5 terimini hesaplama.
a52=144⇒a5=12a_5^2 = 144 \Rightarrow a_5 = 12 (tüm terimler pozitif olduğu için a5>0a_5 > 0 olmalıdır).
Geometrik dizide ardışık terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir.
2
a3⋅a7a_3 \cdot a_7 çarpımını a5a_5 cinsinden yazarak değerini bulma.
a3⋅a7=a52=144a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 144
Geometrik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=5+53+7 = 5+5 olduğundan a3⋅a7=a52a_3 \cdot a_7 = a_5^2 olur).
3
a3+a7=51a_3 + a_7 = 51 ve a3⋅a7=144a_3 \cdot a_7 = 144 bilgilerini kullanarak a3a_3 ve a7a_7 değerlerini belirleme.
t2−51t+144=0⇒(t−48)(t−3)=0t^2 - 51t + 144 = 0 \Rightarrow (t - 48)(t - 3) = 0 denkleminin kökleri 33 ve 4848'dir.
Toplamları ve çarpımları bilinen iki sayıyı bulmak için kökleri bu sayılar olan ikinci dereceden denklem çözülür.
4
Dizinin artan olma koşulunu uygulayarak a3a_3 ve a7a_7 değerlerini atama.
a3=3a_3 = 3 ve a7=48a_7 = 48 olmalıdır.
Dizi artan ve tüm terimleri pozitif olduğundan, indisi daha büyük olan terim daha büyük olmalıdır (a3<a7a_3 < a_7).
5
a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 ilişkisini kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplama.
48=3⋅r4⇒r4=16⇒r=248 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16 \Rightarrow r = 2 (terimler pozitif olduğundan r>0r > 0 olmalıdır).
Geometrik dizinin genel terim tanımından a7=a3⋅r7−3a_7 = a_3 \cdot r^{7-3} yazılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve genel terim formülü.
Soru 22Soru →

Aşağıdaki cümlede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde a3=2a_3 = 2 ve a9=128a_9 = 128 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı ve dizinin altıncı terimi a6a_6 değeri olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Ortak çarpan 2, altıncı terim 16'dır.
Verilen geometrik dizide a3=2a_3 = 2 ve a9=128a_9 = 128 değerleri kullanılarak a9=a3⋅r6a_9 = a_3 \cdot r^6 eşitliğinden r6=64r^6 = 64 ve pozitif terimlilik şartından r=2r = 2 elde edilir. Altıncı terim olan a6a_6 ise a3a_3 ile a9a_9 terimlerine eşit uzaklıkta bulunduğundan geometrik ortalama özelliğinden a6=2⋅128=16a_6 = \sqrt{2 \cdot 128} = 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiden ortak çarpan (r) belirlenir.
a9=a3⋅r6⇒128=2⋅r6⇒r6=64⇒r=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \Rightarrow 128 = 2 \cdot r^6 \Rightarrow r^6 = 64 \Rightarrow r = 2 bulunur.
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki oran sabit olup an=ak⋅rn−ka_n = a_k \cdot r^{n-k} ilişkisi geçerlidir. Dizinin tüm terimlerinin pozitif olduğu belirtildiğinden ortak çarpan pozitif seçilir (r=2r = 2).
2
Dizinin altıncı terimi (a6a_6) hesaplanır.
a6=a3⋅r3=2⋅23=16a_6 = a_3 \cdot r^3 = 2 \cdot 2^3 = 16 veya terimlerin simetrik konumda bulunmasından hareketle a6=a3⋅a9=2⋅128=16a_6 = \sqrt{a_3 \cdot a_9} = \sqrt{2 \cdot 128} = 16 bulunur.
Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasına eşittir (a62=a3⋅a9a_6^2 = a_3 \cdot a_9).

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arasındaki ortak çarpan ilişkisi ve indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpım özelliklerinin uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 23Soru →
an=k−nn−5a_n = \sqrt{\frac{k - n}{n - 5}}

ifadesi bir (an)(a_n) sonlu gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, bu dizinin terim sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin terim sayısı en fazla 4 olabilir.
Dizi tanımı gereği terimler n=1'den başlamalıdır. n=1 için kök içinin tanımlı olabilmesi k <= 1 olmasını gerektirir. k <= 1 durumunda n=1, 2, 3, 4 için terimler tanımlı olup, n=5 için payda sıfır olduğundan tanımsızlık oluşur. Dolayısıyla en fazla 4 terim tanımlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içi ifadenin tanımlılık koşulunu belirleme
k−nn−5≥0\frac{k - n}{n - 5} \ge 0 ve n≠5n \neq 5 olmalıdır.
Kareköklü bir ifadenin gerçel sayı belirtmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir.
2
Dizinin ilk terimi olan a_1'in tanımlı olma koşulunu inceleme
k≤1k \le 1 olmalıdır.
Dizi tanımı gereği n=1 indisinden başlamalıdır. n=1 için payda negatif olduğundan kök içinin pozitif kalabilmesi için payın da negatif ya da sıfır olması gerekir.
3
Tanımlı terimlerin indis sınırını bulma ve terim sayısını hesaplama
Dizi en fazla {a1,a2,a3,a4}\{a_1, a_2, a_3, a_4\} terimlerinden oluşabilir, yani en fazla 4 terimlidir.
k <= 1 iken n=1, 2, 3, 4 için terimler gerçel sayıdır ancak n=5 için payda sıfır olduğundan terim tanımsızdır. Dizi indisleri kesintiye uğrayamayacağı için terim sayısı en fazla 4 olur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin terimlerinin indis kümesi pozitif tam sayılar kümesinin bir alt kümesidir ve her n indisi için genel terim tanımlı olmalıdır.
Soru 24Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin terimleri arasında, a1=2a_1 = 2 başlangıç koşulu ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n+1n⋅an+n+1a_{n+1} = \frac{n+1}{n} \cdot a_n + n + 1
indirgeme bağıntısı bulunmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri 156'dır.
Verilen bağıntıda her iki tarafı n+1n+1 ifadesine böldüğümüzde an+1n+1=ann+1\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1 elde ederiz. Buradan bn=annb_n = \frac{a_n}{n} dönüşümü yapıldığında bn+1=bn+1b_{n+1} = b_n + 1 aritmetik dizisi oluşur. b1=2b_1 = 2 olduğuna göre genel terim bn=n+1b_n = n+1 olur. Buradan an=n(n+1)a_n = n(n+1) genel terimine ulaşılır ve a12=12⋅13=156a_{12} = 12 \cdot 13 = 156 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntının her iki tarafını n+1n+1 ile bölmek.
an+1n+1=ann+1\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1
Dizideki indisli terimlerin katsayılarını eşitleyerek ortak bir form oluşturmak.
2
bn=annb_n = \frac{a_n}{n} değişken değiştirmesi yapmak.
bn+1=bn+1b_{n+1} = b_n + 1
İndirgemeli diziyi kolayca çözülebilen birinci dereceden bir aritmetik dizi biçimine dönüştürmek.
3
Yeni bnb_n dizisinin ilk terimi b1b_1 değerini hesaplamak.
b1=a11=2b_1 = \frac{a_1}{1} = 2
Aritmetik dizinin genel terimini yazabilmek için başlangıç değerini belirlemek.
4
bnb_n aritmetik dizisinin genel terimini elde etmek.
bn=n+1b_n = n + 1
İlk terimi 2 ve ortak farkı 1 olan dizinin kuralını oluşturmak.
5
ana_n dizisinin genel terimini yalnız bırakarak bulmak.
an=n(n+1)a_n = n(n + 1)
bn=annb_n = \frac{a_n}{n} tanımından yararlanarak asıl dizinin kuralına geri dönmek.
6
Genel terimde n=12n = 12 yazarak sonucu bulmak.
a12=12⋅13=156a_{12} = 12 \cdot 13 = 156
İstenen 12. terimin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun değişken değiştirme (oranlama) yöntemiyle genel terim elde etme.
Soru 25Soru →
an=3n+5n−ka_n = \frac{3n + 5}{n - k}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Sıfır
Genel terimin her pozitif tam sayı değeri için tanımlı olması gerektiğinden, paydayı sıfır yapan n=kn = k değeri pozitif bir tam sayı olamaz. Bu durum k≤0k \leq 0 olmasını gerektirir ve kk tam sayısının alabileceği en büyük değer sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımını ve n parametresinin tanım kümesini belirlemek.
Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için tanım kümesinin pozitif tam sayılar kümesi, yani n∈{1,2,3,… }n \in \{1, 2, 3, \dots\} olması gerekir.
Diziler, tanım kümesi pozitif tam sayılar olan özel fonksiyonlardır.
2
İfadenin tanımsız olduğu durumu incelemek.
an=3n+5n−ka_n = \frac{3n + 5}{n - k} ifadesinde paydayı sıfır yapan n=kn = k değeri için terim tanımsız olur.
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olduğunda ifade tanımsız hale gelir.
3
Tanımsızlık olmaması için k parametresinin alabileceği değerleri bulmak.
Dizinin hiçbir teriminin tanımsız olmaması için kk değerinin hiçbir pozitif tam sayı değerini almaması gerekir. Dolayısıyla, k∉{1,2,3,… }k \notin \{1, 2, 3, \dots\} olmalıdır.
nn pozitif tam sayı olduğundan, kk sayısı pozitif tam sayı olamaz.
4
Koşulu sağlayan en büyük k tam sayısını belirlemek.
k≤0k \leq 0 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı değeri 00 olarak bulunur.
Pozitif tam sayı olmayan en büyük tam sayı sıfırdır.

Anahtar Kavram

Bir gerçel sayı dizisinin genel terimi, tüm pozitif tam sayılar için tanımlı olmalıdır.
Soru 26Soru →

(an)(a_n) bir sonlu dizi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

an=24−2n−n2+log⁡(5−n)(n+2)a_n = \sqrt{24 - 2n - n^2} + \log_{(5-n)}(n+2)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu (an)(a_n) sonlu dizisinin terim sayısı en fazla ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Dizinin terim sayısı en fazla 3'tür.
Dizinin genel terimini oluşturan kareköklü ifadenin tanımlı olması için n≤4n \leq 4, logaritma tabanının tanımlı olması için n<5n < 5 ile n≠4n \neq 4, logaritmanın içinin tanımlı olması için ise n>−2n > -2 olmalıdır. Bir dizinin terimleri pozitif tam sayılar ile indekslendiğinden bu koşulların tamamını sağlayan değerler 1,21, 2 ve 33'tür. Dolayısıyla dizinin terim sayısı en fazla 3 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme
−6≤n≤4-6 \leq n \leq 4
Çift dereceden köklü bir ifadenin gerçek sayılarda tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan 24−2n−n2≥0  ⟹  n2+2n−24≤0  ⟹  (n+6)(n−4)≤024 - 2n - n^2 \geq 0 \implies n^2 + 2n - 24 \leq 0 \implies (n+6)(n-4) \leq 0 eşitsizliği elde edilir ve bu eşitsizliğin çözüm kümesi [−6,4][-6, 4] aralığıdır.
2
Logaritmalı ifadenin tanımlı olma koşullarını belirleme
n<5n < 5, n≠4n \neq 4 ve n>−2n > -2
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Taban için 5−n>0  ⟹  n<55 - n > 0 \implies n < 5 ve 5−n≠1  ⟹  n≠45 - n \neq 1 \implies n \neq 4 elde edilir. Logaritmanın içi için n+2>0  ⟹  n>−2n + 2 > 0 \implies n > -2 elde edilir.
3
Dizi tanımını uygulayarak ortak çözüm kümesini bulma
n∈{1,2,3}n \in \{1, 2, 3\}
Bir genel terimin dizi belirtebilmesi için tanım kümesindeki nn değerlerinin pozitif tam sayılar kümesinin (Z+\mathbb{Z}^+) bir elemanı olması gerekir. Birinci ve ikinci adımlarda elde edilen −6≤n≤4-6 \leq n \leq 4, n<5n < 5, n≠4n \neq 4 ve n>−2n > -2 koşullarının tamamını sağlayan pozitif tam sayılar kümesi {1,2,3}\{1, 2, 3\} elemanlarından oluşur. Bu nedenle dizi en fazla 3 terimlidir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olabilmesi için indis değişkeninin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması ve genel terimi oluşturan diğer fonksiyonların (karekök, logaritma vb.) gerçek sayılardaki tanım kümeleriyle çelişmemesi gerekir.
Soru 27Soru →
Genel terimi
an=n2−6n+kn+4a_n = \frac{n^2 - 6n + k}{n + 4}
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin en küçük terimi a3a_3 olduğuna göre, kk tam sayısı en az kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin en küçük teriminin a_3 olması için k tam sayısı en az 2 olmalıdır.
k = 2 değeri için dizinin terimleri a_2 = a_3 = -1 değerine ulaşır ve bu değer dizinin en küçük terimidir. Daha küçük k değerleri için a_2 terimi a_3'ten daha küçük olacağından en küçük terim a_3 olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük terim olma koşulunun belirlenmesi
a_3 \leq a_2 ve a_3 \leq a_4
Dizinin en küçük terimi a_3 ise, bu terim sağındaki ve solundaki komşu terimlerden küçük veya eşit olmalıdır.
2
Terimlerin k cinsinden ifadelerinin yaz��lması
a_2 = \frac{k - 8}{6}, a_3 = \frac{k - 9}{7}, a_4 = \frac{k - 8}{8}
Dizinin genel teriminde n yerine sırasıyla 2, 3 ve 4 değerleri yazılır.
3
a3≤a2es\citsizlig˘ininc\co¨zu¨lmesia_3 \leq a_2 eşitsizliğinin çözülmesi
k≥2k \geq 2
\frac{k - 9}{7} \leq \frac{k - 8}{6} eşitsizliğinde paydalar eşitlenerek k yalnız bırakılır.
4
a3≤a4es\citsizlig˘ininc\co¨zu¨lmesia_3 \leq a_4 eşitsizliğinin çözülmesi
k≤16k \leq 16
\frac{k - 9}{7} \leq \frac{k - 8}{8} eşitsizliğinde paydalar eşitlenerek k yalnız bırakılır.
5
Eşitsizliklerin birleştirilmesi ve en küçük k tam sayısının bulunması
2 \leq k \leq 16 aralığından k = 2 elde edilir.
k'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri alt sınırdan 2 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin en küçük veya en büyük terimini bulmak için, dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan komşu terimlerin kıyaslanması yöntemi kullanılır.
Soru 28Soru →
an=n2−11n+ka_n = \sqrt{n^2 - 11n + k}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

k tam sayısının alabileceği en küçük değer 30'dur.
Dizinin genel teriminin gerçel sayı belirtmesi için kök içindeki ifadenin tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen k≥11n−n2k \geq 11n - n^2 eşitsizliğinde, 11n−n211n - n^2 ifadesinin pozitif tam sayılarda alabileceği en büyük değer tepe noktası r=5.5r = 5.5 civarındaki n=5n=5 ve n=6n=6 değerleri için 30'dur. Dolayısıyla k≥30k \geq 30 olmalıdır ve kk'nın alabileceği en küçük değer 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesi kuralını uygulamak.
ana_n ifadesinin bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilmesi için tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ (pozitif tam sayılar) değerleri için tanımlı olması gerekir.
Bir dizinin terimleri a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots şeklinde pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonlardır.
2
Kareköklü ifadenin reel sayılarda tanımlılık şartını belirlemek.
Kökün içindeki ifade negatif olmamalıdır: Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2−11n+k≥0n^2 - 11n + k \geq 0 sağlanmalıdır.
Çift dereceli köklü ifadelerin gerçel sayı belirtmesi için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması şarttır.
3
Eşitsizliği kk parametresi cinsinden düzenlemek.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için k≥11n−n2k \geq 11n - n^2 elde edilir.
Parametrenin alabileceği değer aralığını bulmak için bilinmeyen terimleri karşı tarafa toplarız.
4
f(n)=11n−n2f(n) = 11n - n^2 ifadesinin pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulmak.
f(n)f(n) parabolünün tepe noktası r=5.5r = 5.5 apsisli noktadadır. nn tam sayı olması gerektiğinden, tepe noktasına en yakın tam sayılar olan n=5n=5 veya n=6n=6 için en büyük değer elde edilir: f(5)=f(6)=11(5)−52=30f(5) = f(6) = 11(5) - 5^2 = 30.
Karesel bir ifadenin en büyük değeri tepe noktasında veya tepe noktasına en yakın tam sayı değerlerinde elde edilir.
5
kk için alt sınırı belirlemek ve en küçük tam sayı değerini bulmak.
k≥30k \geq 30 olmalıdır. Dolayısıyla kk'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 30'dur.
Her nn pozitif tam sayısı için eşitsizliğin sağlanabilmesi, kk değerinin bu kümedeki maksimum değerden küçük olmamasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Dizi genel teriminin tanımlı olması için indis değişkeninin pozitif tam sayılar kümesinde yer alması ve bu kümedeki sınır koşullarının incelenmesi.
Soru 29Soru →
(an)(a_n) genel terimi
an=n+82n−ka_n = \frac{n + 8}{2n - k}
olan bir gerçel sayı dizisidir.

Buna göre, kk pozitif tam sayısının alabileceği en küçük iki farklı değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En küçük iki farklı değerin toplamı olan 4 sayısı
Dizinin her pozitif tam sayı için tanımlı olması gerektiğinden, paydayı sıfır yapan n=k2n = \frac{k}{2} değeri pozitif bir tam sayı olmamalıdır. Bu nedenle kk çift sayı olamaz. kk pozitif tek tam sayı olmalıdır ve en küçük iki değer 1 ile 3 olup toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesini kontrol etme.
ana_n ifadesinin bir dizi belirtebilmesi için tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımlı olması gerekir. Bu da paydanın hiçbir pozitif tam sayı değeri için sıfır olmaması demektir.
Diziler, tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan fonksiyonlardır.
2
Paydayı sıfır yapan değeri bulma.
2n−k=0  ⟹  n=k22n - k = 0 \implies n = \frac{k}{2}
Diziyi tanımsız yapan nn indis değerini kk cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Tanımsızlık değerinin pozitif tam sayılar kümesinde bulunmamasını sağlama.
n=k2n = \frac{k}{2} değerinin bir pozitif tam sayı olmaması gerekir. Dolayısıyla kk sayısı çift bir pozitif tam sayı olamaz. Buradan kk sayısının pozitif tek tam sayı olması gerektiği anlaşılır.
kk çift bir tam sayı olursa n=k2n = \frac{k}{2} bir pozitif tam sayı olur ve dizinin ilgili terimi tanımsız kalır.
4
En küçük iki tek pozitif tam sayıyı belirleyip toplama.
kk sayısının alabileceği en küçük iki değer 11 ve 33'tür. Bu değerlerin toplamı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
kk pozitif tam sayısı için en küçük tek sayılar seçilerek toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Dizi kavramında genel terimin her pozitif tam sayı (n≥1n \ge 1) için tanımlı olması kuralı.
Soru 30Soru →

a1=4a_1 = 4 olmak üzere, pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı (an)(a_n) dizisi için her n≥1n \geq 1 için

an+1=an+na_{n+1} = a_n + n

bağıntısı veriliyor. Buna göre, bu dizinin dördüncü terimi olan a4a_4 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dizinin dördüncü terimi 10 olarak bulunur.
Verilen an+1=an+na_{n+1} = a_n + n bağıntısında sırasıyla n=1n=1 için a2=5a_2 = 5, n=2n=2 için a3=7a_3 = 7 ve n=3n=3 için a4=10a_4 = 10 değerleri elde edilir. Dolayısıyla doğru değer 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n=1 için indirgeme bağıntısını uygulayarak ikinci terimi bulunuz.
a2=a1+1=4+1=5a_2 = a_1 + 1 = 4 + 1 = 5 olur.
Bir sonraki terime geçebilmek için başlangıç terimini ve birinci adımı kullanmamız gerekir.
2
n=2n=2 için indirgeme bağıntısını uygulayarak üçüncü terimi bulunuz.
a3=a2+2=5+2=7a_3 = a_2 + 2 = 5 + 2 = 7 olur.
Dördüncü terime ulaşmak için ardışık adımları izlemeye devam etmemiz gerekir.
3
n=3n=3 için indirgeme bağıntısını uygulayarak dördüncü terimi bulunuz.
a4=a3+3=7+3=10a_4 = a_3 + 3 = 7 + 3 = 10 olur.
Dizinin istenen dördüncü terimi a4a_4 olduğundan, n=3n=3 değeriyle son adımı tamamlarız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde verilen başlangıç koşulu kullanılarak sonraki terimler adım adım elde edilir.

Alternatif Yöntem

Bağıntıyı taraf tarafa toplayarak da çözebiliriz:

a2−a1=1a_2 - a_1 = 1
a3−a2=2a_3 - a_2 = 2
a4−a3=3a_4 - a_3 = 3

Bu eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda sol taraftaki a2a_2 ve a3a_3 terimleri birbirini götürür:

a4−a1=1+2+3a_4 - a_1 = 1 + 2 + 3
a4−4=6⇒a4=10a_4 - 4 = 6 \Rightarrow a_4 = 10 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 31Soru →

Genel terimi

an=n2−8n+122n−15a_n = \frac{n^2 - 8n + 12}{2n - 15}

olan (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.

Buna göre, bu dizinin negatif olan terimlerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin negatif olan terimlerinin sayısı 2'dir.
Doğru cevap olan 2 sayısı, dizinin negatif olan terimlerinin sayısıdır. Genel terimi sıfırdan küçük yapan pozitif tam sayıları bulmak için eşitsizlik çözüldüğünde, n<2n < 2 veya 6<n<7,56 < n < 7,5 aralıkları elde edilir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sırasıyla n=1n = 1 ve n=7n = 7 olup, negatif olan terimler a1a_1 ve a7a_7 olmak üzere 2 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin negatif terimlerini bulmak için genel terimi sıfırdan küçük yapan eşitsizliği yazarız.
an<0  ⟹  n2−8n+122n−15<0a_n < 0 \implies \frac{n^2 - 8n + 12}{2n - 15} < 0
Dizinin negatif terimleri, terim değerinin sıfırdan küçük olduğu durumlardır.
2
Eşitsizliğin pay ve payda kısımlarını sıfıra eşitleyerek köklerini buluruz.
Pay için: n2−8n+12=0  ⟹  (n−2)(n−6)=0  ⟹  n=2n^2 - 8n + 12 = 0 \implies (n-2)(n-6) = 0 \implies n = 2 ve n=6n = 6. Payda için: 2n−15=0  ⟹  n=7,52n - 15 = 0 \implies n = 7,5.
İşaret tablosu oluşturarak ifadenin işaretini incelemek için kritik noktaları belirleriz.
3
Bulduğumuz köklerle işaret tablosu oluşturup ifadenin işaretini inceleriz.
İşaret tablosuna göre, ifadenin negatif olduğu aralıklar n<2n < 2 veya 6<n<7,56 < n < 7,5 olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin pay ve paydasının işaret değişimine göre negatif olduğu bölgeleri belirlemek gerekir.
4
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) olması şartını uygularız.
n<2n < 2 aralığından sadece n=1n = 1 pozitif tam sayısı gelir. 6<n<7,56 < n < 7,5 aralığından ise sadece n=7n = 7 pozitif tam sayısı gelir. Bu durumda negatif olan terimler a1a_1 ve a7a_7 olmak üzere 2 tanedir.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olduğundan, çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları seçeriz.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin dizi genel terimi olabilmesi ve terimlerinin incelenmesinde tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması şartı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →
Genel terimi
an=4n−18n+1a_n = \frac{4n - 18}{n + 1}
olan (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin kaç terimi negatiftir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin negatif olan terim sayısı 4'tür.
Dizinin genel terimini negatif yapan nn pozitif tam sayıları belirlendiğinde n<4,5n < 4,5 eşitsizliği elde edilir. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44 olduğundan dizinin tam olarak 4 tane terimi negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin negatif terimlerini bulmak için genel terimi sıfırdan küçük eşitleyin.
4n−18n+1<0\frac{4n - 18}{n + 1} < 0
Dizinin hangi terimlerinin negatif değerli olduğunu tespit etmek amacıyla an<0a_n < 0 eşitsizliğini çözmemiz gerekir.
2
Dizi tanım kümesi koşulunu kullanarak paydanın işaretini belirleyin.
Her n≥1n \ge 1 için n+1>0n + 1 > 0 olur.
Dizilerin indis kümesi pozitif tam sayılardan oluştuğu için nn daima en az 1 değerini alır ve payda her zaman pozitif kalır.
3
Eşitsizliği sadeleştirip nn için bir üst sınır bulun.
4n−18<0⇒n<4,54n - 18 < 0 \Rightarrow n < 4,5
Payda pozitif olduğundan, kesirli ifadenin negatif çıkabilmesi için pay kısmının negatif olması şarttır.
4
nn değerinin alabileceği pozitif tam sayı değerlerini listeleyin.
n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\} olup toplam 4 tanedir.
Dizi indisi nn sadece pozitif tam sayılar olabileceğinden, 4,5'ten küçük pozitif tam sayılar çözümü oluşturur.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi sınırlaması ve genel terim eşitsizlik çözümü

Alternatif Yöntem

Dizinin ilk birkaç terimi sırayla yazılıp işaretleri kontrol edilebilir: a1=4(1)−181+1=−7<0a_1 = \frac{4(1)-18}{1+1} = -7 < 0, a2=8−183=−103<0a_2 = \frac{8-18}{3} = -\frac{10}{3} < 0, a3=12−184=−1.5<0a_3 = \frac{12-18}{4} = -1.5 < 0, a4=16−185=−0.4<0a_4 = \frac{16-18}{5} = -0.4 < 0, a5=20−186=13>0a_5 = \frac{20-18}{6} = \frac{1}{3} > 0. Böylece sadece ilk 4 terimin negatif olduğu doğrudan görülür.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 33Soru →

(an)(a_n) dizisinin genel terimi

an=n2−(k+3)n+4ka_n = \sqrt{n^2 - (k+3)n + 4k}

olarak veriliyor.

Bu ifadenin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için kk gerçel sayısının alabileceği tüm değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [3, 5]

Cevap

Sınır noktalarını da kapsayan üç ile beş kapalı aralığıdır.
Dizi tanımı gereği genel terim her pozitif tam sayı nn için tanımlı olmalıdır. Kareköklü bir genel terimin her pozitif tam sayı için gerçel sayı belirtmesi ise kök içinin negatif olmamasını gerektirir. n2−(k+3)n+4k≥0n^2 - (k+3)n + 4k \geq 0 ifadesi (n−4)(n−k)≥0(n-4)(n-k) \geq 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, kökler 44 ve kk olur. İşaret tablosuna göre bu ifadenin negatif olduğu tek yer bu iki kök arasıdır. Pozitif tam sayılarda tanımsızlık olmaması için bu kökler arasına hiçbir pozitif tam sayı girmemelidir. kk sayısı en küçük 33 (3 ile 4 arasında tam sayı yoktur), en büyük 55 (4 ile 5 arasında tam sayı yoktur) olabilir. Dolayısıyla kk değerlerinin kümesi üç ile beş kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımından yola çıkarak karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık şartını belirleyin.
n2−(k+3)n+4k≥0n^2 - (k+3)n + 4k \geq 0 eşitsizliği her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için sağlanmalıdır.
Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisinde tanımlı ve gerçel sayı olması, yani karekökün içinin negatif olmaması gerekir.
2
Karekök içerisindeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.
(n−4)(n−k)≥0(n-4)(n-k) \geq 0 eşitsizliği elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulmak ve işaret incelemesini kolaylaştırmak için çarpanlara ayırma yapılır.
3
Eşitsizliğin pozitif tam sayılarda her zaman sağlanma koşulunu köklerin konumuna göre analiz edin.
İfadenin kökleri 44 ve kk sayılarıdır. Çarpımın negatif olduğu bölge bu iki kökün arasıdır. Dolayısıyla bu iki kök arasındaki açık aralıkta hiçbir pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) bulunmamalıdır.
Eğer kökler arasında bir pozitif tam sayı kalırsa, o terim için genel terimin içi negatif olur ve dizi tanımsızlaşır.
4
Kökler arasındaki aralıkta pozitif tam sayı bulunmaması için sınır durumlarını inceleyin.
Eğer k<3k < 3 olursa 33 pozitif tam sayısı kk ile 44 arasında kalır. Eğer k>5k > 5 olursa 55 pozitif tam sayısı 44 ile kk arasında kalır. Bu durumda 3≤k≤53 \leq k \leq 5 olmalıdır.
Sınır değerleri olan 3 ve 5 değerleri kök aralığının sınırında olduğu için aralığın içine tam sayı düşmesini engeller. Bu değerler test edildiğinde de eşitsizliği her pozitif tam sayı için sıfır veya sıfırdan büyük yaptığı görülür.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi kısıtı ve genel terimin pozitif tam sayılarda tanımlı olma şartı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 34Soru →

(an)(a_n) bir aritmetik dizi olmak üzere,

a5+a15=32a_5 + a_{15} = 32

olduğuna göre, bu dizinin a10a_{10} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Dizinin onuncu terimi 16 değerine eşittir.
Aritmetik dizilerde ap+aq=as+ata_p + a_q = a_s + a_t eşitliği p+q=s+tp + q = s + t durumu için her zaman geçerlidir. Sorumuzda 5+15=10+105 + 15 = 10 + 10 olduğundan, a5+a15=a10+a10=2⋅a10a_5 + a_{15} = a_{10} + a_{10} = 2 \cdot a_{10} yazılabilir. Bize a5+a15=32a_5 + a_{15} = 32 olarak verildiği için, 2⋅a10=322 \cdot a_{10} = 32 eşitliğinden a10=16a_{10} = 16 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizideki terimlerin indisleri arasındaki ilişkiyi belirleme
5+15=10+10=205 + 15 = 10 + 10 = 20 bağıntısı elde edilir.
Bir aritmetik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
2
İndis özelliğini kullanarak terimler arasında denklem kurma
a5+a15=2⋅a10a_5 + a_{15} = 2 \cdot a_{10} denklemi kurulur.
İndislerin toplamı eşit olduğundan, a5a_5 ve a15a_{15} terimlerinin toplamı, a10a_{10} teriminin 2 katına eşittir.
3
Verilen toplam değerini denklemde yerine yazarak bilinmeyen terimi hesaplama
32=2⋅a10⇒a10=1632 = 2 \cdot a_{10} \Rightarrow a_{10} = 16 bulunur.
a5+a15a_5 + a_{15} toplamı 3232 olarak verildiği için denklem çözülerek a10a_{10} elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide herhangi bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki (indisleri toplamı o terimin indisinin iki katı olan) terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir.
Soru 35Soru →

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisidir.

an=1log⁡2(n2+4n+k)−3a_n = \frac{1}{\log_2(n^2 + 4n + k) - 3}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

k tam sayısının alabileceği en küçük değer -3'tür.
Dizi terimlerinin tanımlı olabilmesi için logaritmanın içi her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için pozitif olmalı ve payda sıfırdan farklı olmalıdır. Parabolün artanlığı analiz edilerek logaritmanın içi için k≥−4k \ge -4 koşulu bulunur. Ancak k=−4k = -4 değeri n=2n = 2 için paydayı sıfır yaptığından elenir ve en küçük uygun değerin −3-3 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanımlı olması için gerekli koşulları belirleme
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2+4n+k>0n^2 + 4n + k > 0 ve n2+4n+k≠8n^2 + 4n + k \neq 8 olmalıdır.
Gerçel sayı dizisinin her terimi tanımlı olmalıdır. Bu yüzden logaritmanın içi pozitif olmalı ve payda sıfırdan farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın içi için tanımlılık sınırını bulma
k≥−4k \ge -4
n2+4n+kn^2 + 4n + k ifadesi n≥1n \ge 1 için artan olduğundan en küçük değerini n=1n = 1 noktasında alır. f(1)>0  ⟹  k>−5f(1) > 0 \implies k > -5 elde edilir.
3
Paydayı sıfır yapan durumları kontrol etme
k=−4k = -4 değeri için n=2n = 2 terimi paydayı sıfır yapar, bu yüzden k≥−3k \ge -3 olmalıdır.
n2+4n+k=8n^2 + 4n + k = 8 denkleminin pozitif tam sayılarda kökü bulunmamalıdır.
4
Koşulları sağlayan en küçük tam sayıyı belirleme
En küçük kk değeri −3-3 olarak bulunur.
k=−3k = -3 değeri hem logaritmanın içinin pozitif olmasını sağlar hem de paydayı sıfır yapmaz.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin genel terim belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesindeki her nn değeri için tanımlı bir gerçel sayıya karşılık gelmesi gerekir.
Soru 36Soru →

(an)(a_n) dizisi, genel terimi

an=k⋅n+123n+4a_n = \frac{k \cdot n + 12}{3n + 4}

olan bir sabit dizidir.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Sabit dizinin genel terimindeki pay ve payda kısımlarında bulunan terimlerin katsayıları oranlanarak kk değeri 9 olarak bulunur.
Genel terimi rasyonel fonksiyon şeklinde olan bir dizinin sabit dizi belirtebilmesi için pay ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayılarının oranı birbirine eşit olmalıdır. Tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan paydanın kökü olan −43-\frac{4}{3} değeri tanım kümesinde yer almaz ve dizi her nn pozitif tam sayısı için tanımlıdır. Bu doğrultuda paydaki nn'nin katsayısı olan kk'nin paydadaki nn'nin katsayısı olan 33'e oranı, paydaki sabit terim 1212'nin paydadaki sabit terim 44'e oranına eşit olmalıdır. Buradan k3=124⇒k3=3⇒k=9\frac{k}{3} = \frac{12}{4} \Rightarrow \frac{k}{3} = 3 \Rightarrow k = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki nn terimlerinin katsayıları oranı ile sabit terimlerin oranını birbirine eşitlemek.
k3=124\frac{k}{3} = \frac{12}{4}
Bir rasyonel ifadenin nn değişkeninin her pozitif tam sayı değeri için aynı sabit değere eşit olabilmesi için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayılarının orantılı olması gerekir.
2
Elde edilen rasyonel denklemi çözmek.
k=9k = 9
124=3\frac{12}{4} = 3 olduğundan k3=3\frac{k}{3} = 3 eşitliği elde edilir ve buradan k=9k = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Rasyonel İfadeli Sabit Dizilerde Katsayılar Oranı
Soru 37Soru →
İlk terimi a1=2a_1 = 2 olan bir (an)(a_n) dizisinin ardışık terimleri arasındaki ilişki, n≥1n \geq 1 olmak üzere
an+1=n+2n⋅ana_{n+1} = \frac{n+2}{n} \cdot a_n
bağıntısıyla verilmektedir.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 440

Cevap

Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 440'tır.
Verilen bağıntı an+1an=n+2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{n} olarak düzenlenip n=1n=1'den n=9n=9'a kadar çarpıldığında a10=10⋅112a1a_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} a_1 elde edilir. Buradan genel terim ak=k(k+1)a_k = k(k+1) olarak bulunur. Terimlerin toplamı olan 2+6+12+⋯+1102 + 6 + 12 + \dots + 110 ifadesi toplandığında 440 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleme
an+1an=n+2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{n}
Teleskopik çarpım yöntemini uygulayabilmek için terimleri oran biçiminde yazarız.
2
Taraf tarafa çarpma işlemi
aka1=k(k+1)2\frac{a_k}{a_1} = \frac{k(k+1)}{2}
n=1,2,3,…,k−1n = 1, 2, 3, \dots, k-1 değerleri için eşitlikler yazılıp taraf tarafa çarpıldığında sol tarafta sadeleşmeler olur. Sağ tarafta ise 3/1⋅4/2⋅5/3…3/1 \cdot 4/2 \cdot 5/3 \dots çarpımından ardışık sadeleşmelerle pay kısmında k(k+1)k(k+1), payda kısmında ise 1⋅21 \cdot 2 kalır.
3
Genel terimi bulma
ak=k(k+1)=k2+ka_k = k(k+1) = k^2 + k
a1=2a_1 = 2 başlangıç değeri yerine yazıldığında ak=2⋅k(k+1)2=k(k+1)a_k = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) elde edilir.
4
Toplamı hesaplama
S10=385+55=440S_{10} = 385 + 55 = 440
İlk 10 terimin toplamı ∑k=110(k2+k)=∑k=110k2+∑k=110k\sum_{k=1}^{10} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=1}^{10} k formülleriyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi ve serilerin toplam formüllerinin uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 38Soru →

Bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=2n2+nS_n = 2n^2 + n formülü ile veriliyor. Buna göre, bu dizinin 5.5. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Dizinin 5. terimi 19'dur.
Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı S_n verildiğinde, n. terim a_n = S_n - S_{n-1} formülüyle hesaplanır. Bu bağıntıdan yararlanılarak S_5 ve S_4 değerleri hesaplanmış ve farkları alınarak 5. terim 19 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde n. terim ile ilk n terim toplamı arasındaki a_n = S_n - S_{n-1} bağıntısını kullanarak a_5'i S_5 ve S_4 cinsinden ifade etmek.
a_5 = S_5 - S_4
Dizinin ilk 5 teriminin toplamından ilk 4 teriminin toplamı çıkarıldığında sadece 5. terim kalır.
2
S_n = 2n^2 + n formülünde n yerine 5 yazarak S_5 değerini hesaplamak.
S_5 = 2(5)^2 + 5 = 55
İlk 5 terimin toplamını elde etmek için.
3
S_n = 2n^2 + n formülünde n yerine 4 yazarak S_4 değerini hesaplamak.
S_4 = 2(4)^2 + 4 = 36
İlk 4 terimin toplamını elde etmek için.
4
Hesaplanan S_5 ve S_4 değerlerini a_5 = S_5 - S_4 eşitliğinde yerine yazmak.
a_5 = 55 - 36 = 19
5. terimin sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı S_n ile n. terim a_n arasındaki ilişki: a_n = S_n - S_{n-1}
Soru 39Soru →

Terimleri birer gerçel sayı olan bir aritmetik dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 ve onuncu terimi a10=41a_{10} = 41 olarak veriliyor. Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 230

Cevap

Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 230'dur.
Verilen aritmetik dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 ve onuncu terimi a10=41a_{10} = 41 olduğuna göre, ilk 10 terim toplamı S10=102(a1+a10)=5×(5+41)=230S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5 \times (5 + 41) = 230 olarak bulunur. Bu nedenle 230 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı (SnS_n) formülünü belirleme
Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
İlk ve son terimi bilinen bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamını hesaplamak için bu formül kullanılır.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazarak S10S_{10} değerini hesaplama
S10=102(a1+a10)=5(5+41)=5×46=230S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 41) = 5 \times 46 = 230
n=10n=10, a1=5a_1=5 ve a10=41a_{10}=41 değerleri formüle yerleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı formülü
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 40Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n olmak üzere,

S15−S10=235S_{15} - S_{10} = 235
a8=27a_8 = 27

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 170

Cevap

170
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S15−S10=5a1+60d=235S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 denklemi ve dizinin 8. terimi olan a8=a1+7d=27a_8 = a_1 + 7d = 27 denklemi ortak çözüldüğünde dizinin ortak farkı d=4d = 4 ve ilk terimi a1=−1a_1 = -1 olarak bulunur. Bu değerler ilk 10 terim toplamı formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 170 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim toplamı formülü olan Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ifadesini kullanarak S15S_{15} ve S10S_{10} toplamlarını a1a_1 ve ortak fark dd cinsinden yazalım.
S15=15a1+105dS_{15} = 15a_1 + 105d ve S10=10a1+45dS_{10} = 10a_1 + 45d elde edilir.
S15−S10S_{15} - S_{10} farkını elde etmek ve bu farkı verilen sayısal değere eşitlemek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
S15−S10S_{15} - S_{10} ifadesini hesaplayalım ve verilen a8a_8 terimini a1a_1 ve dd cinsinden yazarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kuralım.
S15−S10=5a1+60d=235  ⟹  a1+12d=47S_{15} - S_{10} = 5a_1 + 60d = 235 \implies a_1 + 12d = 47 ve a8=a1+7d=27a_8 = a_1 + 7d = 27 denklemleri elde edilir.
Dizinin birinci terimi (a1a_1) ve ortak farkını (dd) bulmak için iki bağımsız denklem elde etmemiz gerekir.
3
Elde edilen a1+12d=47a_1 + 12d = 47 ve a1+7d=27a_1 + 7d = 27 denklemlerini taraf tarafa çıkararak dd ve a1a_1 değerlerini hesaplayalım.
5d=20  ⟹  d=45d = 20 \implies d = 4 ve a1=−1a_1 = -1 bulunur.
Ortak fark ve ilk terim bilindiğinde dizinin herhangi bir terimi veya terimler toplamı hesaplanabilir.
4
Hesaplanan a1=−1a_1 = -1 ve d=4d = 4 değerlerini kullanarak ilk 10 terim toplamı olan S10S_{10} değerini hesaplayalım.
S10=102(2a1+9d)=5(2(−1)+9(4))=5(−2+36)=170S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 5(2(-1) + 9(4)) = 5(-2 + 36) = 170 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen ilk 10 terim toplamına ulaşmak için SnS_n formülünde n=10n=10 yazılarak sonuca gidilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk nn terimin toplamı Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülü ile hesaplanır ve ardışık terimler toplamı arasındaki fark Sn−Sn−1=anS_n - S_{n-1} = a_n ilişkisiyle ifade edilir.
ÖncekiSayfa 2 / 10Sonraki
Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin