Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 soru

Tüm türler230Çoktan seçmeli134Doğru / Yanlış2Sayısal84Eşleştirme10
Soru 41Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x2−6x+5,x<4−x2+10x−17,x≥4f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 5, & x < 4 \\ -x^2 + 10x - 17, & x \ge 4 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [1,7][1, 7] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı 4'tür.
Fonksiyonun [1,4)[1, 4) aralığındaki parçası kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir ve en küçük değerini tepe noktası olan x=3x=3'te alır; bu değer −4-4'tür. [4,7][4, 7] aralığındaki parçası ise kolları aşağı doğru olan bir parabol belirtir ve en büyük değerini tepe noktası olan x=5x=5'te alır; bu değer 88'dir. Fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı 8+(−4)=48 + (-4) = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci parçasını tanımlı olduğu aralıkta incelemek.
x<4x < 4 için f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 kuralı geçerlidir. Bu bir paraboldür ve tepe noktasının apsisi r=−−62(1)=3r = -\frac{-6}{2(1)} = 3 olarak bulunur. 3∈[1,4)3 \in [1, 4) olduğundan, fonksiyon bu aralıktaki en küçük değerini tepe noktasında alır. Bu değer f(3)=32−6(3)+5=−4f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = -4'tür. Aralığın sınır değerleri ise f(1)=0f(1) = 0 ve x→4−x \to 4^- için f(x)→−3f(x) \to -3'tür.
Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri tepe noktalarında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
2
Fonksiyonun ikinci parçasını tanımlı olduğu aralıkta incelemek.
x≥4x \ge 4 için f(x)=−x2+10x−17f(x) = -x^2 + 10x - 17 kuralı geçerlidir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r=−102(−1)=5r = -\frac{10}{2(-1)} = 5 olarak bulunur. 5∈[4,7]5 \in [4, 7] olduğundan, kollar aşağı doğru olduğu için fonksiyon bu aralıktaki en büyük değerini tepe noktasında alır. Bu değer f(5)=−(5)2+10(5)−17=8f(5) = -(5)^2 + 10(5) - 17 = 8'dir. Aralığın sınır değerleri ise f(4)=7f(4) = 7 ve f(7)=−(7)2+10(7)−17=4f(7) = -(7)^2 + 10(7) - 17 = 4'tür.
Tepe noktası incelenen aralığın içinde yer aldığı için bu noktadaki ordinat değeri yerel ve mutlak maksimum adayıdır.
3
Tüm aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri belirleyip toplamı hesaplamak.
Fonksiyonun [1,7][1, 7] aralığındaki en küçük değeri −4-4 (x = 3 noktasında) ve en büyük değeri 88 (x = 5 noktasında) olarak belirlenir. Bu değerlerin toplamı 8+(−4)=48 + (-4) = 4 olur.
İki parçadan elde edilen tüm olası ekstremum değerler karşılaştırılarak mutlak maksimum ve mutlak minimum değerler bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların belirli bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için her parçanın tepe noktası ve sınır değerleri ayrı ayrı incelenmelidir.

Alternatif Yöntem

Koordinat düzleminde [1,7][1, 7] aralığında fonksiyonun grafiği taslak olarak çizilebilir. x∈[1,4)x \in [1, 4) için tepe noktası (3,−4)(3, -4) olan ve (1,0)(1, 0) ile (4,−3)(4, -3) noktalarından geçen parabol çizilir. x∈[4,7]x \in [4, 7] için ise tepe noktası (5,8)(5, 8) olan ve (4,7)(4, 7) ile (7,4)(7, 4) noktalarından geçen aşağı yönlü parabol çizilir. Grafik üzerinde en çukur noktanın y=−4y = -4 seviyesinde, en tümsek noktanın ise y=8y = 8 seviyesinde olduğu doğrudan görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 42Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 44'tür.

g(x)=x2⋅f(2x−1)g(x) = x^2 \cdot f(2x - 1)

olmak üzere, f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

g fonksiyonunun [1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 80'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, ortalama değişim hızı formülünün g(x) bileşke ve çarpım fonksiyonuna doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir. Öncelikle f(5) değeri 18 olarak bulunur, ardından g(3) = 162 ve g(1) = 2 değerleri hesaplanarak (162 - 2) / (3 - 1) = 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun verilen aralıktaki ortalama değişim hızı tanımı kullanılarak f(5) değeri bulunur.
f(5)=18f(5) = 18
ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı f(5)−f(1)5−1=4\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = 4 olarak verilmiştir. f(1)=2f(1) = 2 değeri yerine yazıldığında, f(5)−24=4  ⟹  f(5)−2=16  ⟹  f(5)=18\frac{f(5) - 2}{4} = 4 \implies f(5) - 2 = 16 \implies f(5) = 18 bulunur.
2
g fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki uç noktalarındaki değerleri hesaplanır.
g(1)=2g(1) = 2 ve g(3)=162g(3) = 162
g(x)=x2⋅f(2x−1)g(x) = x^2 \cdot f(2x - 1) kuralında uç değerler yerine yazılır:
g(1)=12⋅f(2⋅1−1)=1⋅f(1)=1⋅2=2g(1) = 1^2 \cdot f(2 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot f(1) = 1 \cdot 2 = 2
g(3)=32⋅f(2⋅3−1)=9⋅f(5)=9⋅18=162g(3) = 3^2 \cdot f(2 \cdot 3 - 1) = 9 \cdot f(5) = 9 \cdot 18 = 162 elde edilir.
3
g fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı formülü uygulanır.
8080
gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı g(3)−g(1)3−1\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} formülü ile hesaplanır. Bulunan değerler yerine yazıldığında: 162−22=1602=80\frac{162 - 2}{2} = \frac{160}{2} = 80 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun verilen bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkının, bağımsız değişkenin farkına oranına eşittir.
Soru 43Soru →

Bir hareketlinin zamana (tt) bağlı konumunu gösteren s(t)s(t) fonksiyonu için;

- [1,4][1, 4] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı v1v_1,
- [4,9][4, 9] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı v2v_2,
- [1,9][1, 9] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı v3v_3

olarak tanımlanmıştır.

Bu değerler arasında

3v1+5v2−4v3=123v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12

bağıntısı olduğuna göre, v3v_3 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Ortalama değişim hızları arasındaki ilişkiden elde edilen 3v1+5v2=8v33v_1 + 5v_2 = 8v_3 denklemi, soruda verilen 3v1+5v2−4v3=123v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12 eşitliğinde yerine yazıldığında v3=3v_3 = 3 olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülü uygulandığında s(4)−s(1)=3v1s(4) - s(1) = 3v_1, s(9)−s(4)=5v2s(9) - s(4) = 5v_2 ve s(9)−s(1)=8v3s(9) - s(1) = 8v_3 eşitlikleri bulunur. Değişimlerin toplamı özelliğinden dolayı 3v1+5v2=8v33v_1 + 5v_2 = 8v_3 yazılır. Verilen denklemde bu ifade yerine konulduğunda 8v3−4v3=128v_3 - 4v_3 = 12 denkleminden v3=3v_3 = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
v1v_1, v2v_2 ve v3v_3 değerlerini ortalama değişim hızı tanımına göre s(t)s(t) cinsinden ifade edin.
v1=s(4)−s(1)3v_1 = \frac{s(4) - s(1)}{3}, v2=s(9)−s(4)5v_2 = \frac{s(9) - s(4)}{5} ve v3=s(9)−s(1)8v_3 = \frac{s(9) - s(1)}{8} elde edilir.
Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a} formülüyle hesaplanır.
2
Elde edilen ifadeleri düzenleyerek aralarındaki cebirsel ilişkiyi belirleyin.
s(4)−s(1)=3v1s(4) - s(1) = 3v_1, s(9)−s(4)=5v2s(9) - s(4) = 5v_2 ve s(9)−s(1)=8v3s(9) - s(1) = 8v_3 olur. [1,9][1, 9] aralığındaki toplam değişim, [1,4][1, 4] ve [4,9][4, 9] aralıklarındaki değişimlerin toplamına eşit olduğundan (s(4)−s(1))+(s(9)−s(4))=s(9)−s(1)(s(4) - s(1)) + (s(9) - s(4)) = s(9) - s(1) yazılır. Buradan 3v1+5v2=8v33v_1 + 5v_2 = 8v_3 eşitliğine ulaşılır.
Farklı alt aralıklardaki net değişim miktarlarının toplamı, birleşik aralıktaki toplam değişime eşittir.
3
3v1+5v2=8v33v_1 + 5v_2 = 8v_3 ilişkisini soruda verilen denklemde yerine yazarak bilinmeyen v3v_3 değerini çözün.
3v1+5v2−4v3=12  ⟹  8v3−4v3=12  ⟹  4v3=12  ⟹  v3=33v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12 \implies 8v_3 - 4v_3 = 12 \implies 4v_3 = 12 \implies v_3 = 3 bulunur.
Tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edip sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, fonksiyonun o aralıktaki değişim miktarının aralık uzunluğuna oranıdır.
Soru 44Soru →
f(x)=2x2−mx+nf(x) = 2x^2 - mx + n
parabolü koordinat eksenlerini A(0,−12)A(0, -12) ve B(2,0)B(2, 0) noktalarında kesmektedir.

Buna göre, bu parabolün xx-eksenini kestiği diğer noktanın apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Parabolün x-eksenini kestiği diğer noktanın apsisi -3'tür.
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatları fonksiyonda yerine yazıldığında denklemi sağlar. A(0, -12) noktası n = -12 değerini verir. B(2, 0) noktası ise f(2) = 8 - 2m - 12 = 0 eşitliğinden m = -2 değerini verir. Parabol denklemi f(x) = 2x^2 + 2x - 12 olur. Bu fonksiyonu sıfır yapan x değerleri x = 2 ve x = -3 olduğundan, diğer noktanın apsisi -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kestiği noktayı denklemde yerine yazarak n katsayısını bulma
n = -12
Parabolün y-eksenini kestiği A(0, -12) noktası fonksiyonu sağlamalıdır. f(0) = -12 eşitliğinden n = -12 elde edilir.
2
x-eksenini kestiği bilinen noktayı denklemde yerine yazarak m katsayısını bulma
m = -2
Parabolün x-eksenini kestiği B(2, 0) noktası fonksiyonu sağlamalıdır. f(2) = 2(2)^2 - m(2) - 12 = 0 denkleminden m = -2 bulunur.
3
Katsayıları yerine yazıp elde edilen denklemin diğer kökünü bulma
x = -3
f(x) = 2x^2 + 2x - 12 = 2(x^2 + x - 6) = 2(x + 3)(x - 2) = 0 denkleminin kökleri x = 2 ve x = -3'tür. Bize sorulan diğer noktanın apsisi -3'tür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulmak için x = 0 (y-kesim noktası) ve y = 0 (x-kesim noktaları) değerleri kullanılır.
Soru 45Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda verilen ve bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili olan geometrik ve analitik özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5
g(x)=x2−2x−8g(x) = x^2 - 2x - 8
h(x)=−x2+x+6h(x) = -x^2 + x + 6

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki birinci parabol, eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı 11/3 olan özellik ile; ikinci parabol, eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıkları toplamı 14 birim olan özellik ile; üçüncü parabol ise eksenleri kestiği noktalardan geçen doğrulardan eğimi pozitif olanın eğiminin 3 olduğu özellik ile eşleşmektedir.
Verilen parabollerin eksenleri kestiği noktalar tek tek bulunup analitik geometri kuralları uygulandığında; birinci parabolün eksen kesim noktalarından oluşan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı 11/3, ikinci parabolün eksen kesim noktalarının orijine uzaklıkları toplamı 14 birim, üçüncü parabolün ise eksen kesim noktalarından geçen doğruların pozitif olanının eğimi 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün (f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5) eksenleri kestiği noktaları ve bu noktaların oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulalım.
x=0⇒y=5x = 0 \Rightarrow y = 5 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,5)(0, 5)'tir. y=0⇒x2−6x+5=0⇒(x−1)(x−5)=0y = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-5) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (1,0)(1, 0) ve (5,0)(5, 0) olarak bulunur. Köşeleri A(1,0)A(1, 0), B(5,0)B(5, 0) ve C(0,5)C(0, 5) olan üçgenin ağırlık merkezi G(1+5+03,0+0+53)=G(2,53)G\left(\frac{1+5+0}{3}, \frac{0+0+5}{3}\right) = G\left(2, \frac{5}{3}\right) olur. Koordinatlar toplamı ise 2+53=1132 + \frac{5}{3} = \frac{11}{3}'tür.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir. Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
2
İkinci parabolün (g(x)=x2−2x−8g(x) = x^2 - 2x - 8) eksenleri kestiği noktaları ve bu noktaların orijine olan uzaklıklarının toplamını hesaplayalım.
x=0⇒y=−8x = 0 \Rightarrow y = -8 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,−8)(0, -8)'dir. y=0⇒x2−2x−8=0⇒(x−4)(x+2)=0y = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (4,0)(4, 0) ve (−2,0)(-2, 0) olarak bulunur. Bu noktaların orijine olan uzaklıkları sırasıyla ∣−8∣=8|-8| = 8 birim, ∣4∣=4|4| = 4 birim ve ∣−2∣=2|-2| = 2 birimdir. Toplam uzaklık ise 8+4+2=148 + 4 + 2 = 14 birimdir.
Eksenler üzerindeki noktaların orijine olan uzaklığı, sıfır dışındaki koordinatın mutlak değerine eşittir.
3
Üçüncü parabolün (h(x)=−x2+x+6h(x) = -x^2 + x + 6) eksenleri kestiği noktaları bulalım ve bu noktalardan geçen doğruların eğimlerini inceleyelim.
x=0⇒y=6x = 0 \Rightarrow y = 6 olduğundan yy-eksenini kestiği nokta (0,6)(0, 6)'dır. y=0⇒−x2+x+6=0⇒x2−x−6=0⇒(x−3)(x+2)=0y = 0 \Rightarrow -x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0 denkleminden xx-eksenini kestiği noktalar (3,0)(3, 0) ve (−2,0)(-2, 0) olarak bulunur. Bu noktaların ikişerli birleştirilmesiyle elde edilen doğruların eğimleri: xx-ekseninin eğimi 00, (−2,0)(-2,0) ve (0,6)(0,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi 6−00−(−2)=3\frac{6-0}{0-(-2)} = 3, (3,0)(3,0) ve (0,6)(0,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise 6−00−3=−2\frac{6-0}{0-3} = -2 olur. Pozitif eğimli olan doğrunun eğimi 33 olarak belirlenir.
İki noktası bilinen doğrunun eğimi ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların analitik/geometrik özelliklerinin incelenmesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 46Soru →
aa bir gerçek sayı olmak üzere,
f(x)=−x2+6x+af(x) = -x^2 + 6x + a
fonksiyonunun [0,4][0, 4] kapalı aralığındaki en büyük değeri 1414 olduğuna göre, bu fonksiyonun aynı aralıktaki en küçük değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Fonksiyonun [0,4][0, 4] kapal�� aralığındaki en küçük değeri 5'tir.
Tepe noktası x=3x=3 aralığın içindedir ve parabol kolları aşağı doğru olduğu için en büyük değer buradadır. Buradan a=5a=5 bulunur. Uç noktalardan tepe noktasına en uzak olanı x=0x=0 olup en küçük değer f(0)=5f(0)=5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının koordinatlarını bulma
r=3r = 3
Parabolün maksimum ya da minimum değerleri tepe noktasında veya aralık uçlarında gerçekleşebilir. Tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü ile hesaplanır.
2
Bilinmeyen aa katsayısını hesaplama
a=5a = 5 ve f(x)=−x2+6x+5f(x) = -x^2 + 6x + 5
r=3r = 3 apsisi [0,4][0, 4] aralığına dahildir. Kolları aşağı doğru olan bu parabolün en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır. f(3)=14f(3) = 14 eşitliği çözülerek aa bulunur.
3
Uç noktaları test etme
f(0)=5f(0) = 5 ve f(4)=13f(4) = 13
Tepe noktası en büyük değeri verdiğinden, en küçük değer aralığın uç noktalarından birinde yer alır. Uç noktaların görüntüleri hesaplanarak karşılaştır��lır.

Anahtar Kavram

Parabolün belirli bir aralıktaki ekstremum değerleri bulunurken tepe noktası ve uç noktalar kontrol edilir.
Soru 47Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçek sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a
g(x)=−x2+(8a+2)x−16a2−5a−3g(x) = -x^2 + (8a+2)x - 16a^2 - 5a - 3
parabolleri veriliyor.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2 olduğuna göre, aa parametresi değiştikçe T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Tepe noktaları arasındaki en küçük uzaklık 2 birimdir.
Tepe noktalarının koordinatları doğru bir şekilde T1(a,−a)T_1(a, -a) ve T2(4a+1,3a−2)T_2(4a+1, 3a-2) olarak bulunduktan sonra, iki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla elde edilen 25a2−10a+525a^2 - 10a + 5 ifadesinin en küçük değeri a=1/5a = 1/5 için 4 olur. Bu değerin karekökü alındığında en küçük uzaklık 2 birim olarak bulunur. Bu nedenle 2 birim olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) parabol��nün tepe noktası olan T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatlarını bulalım.
T1(a,−a)T_1(a, -a)
Tepe noktasının apsisi r1=−−2a2=ar_1 = -\frac{-2a}{2} = a ve ordinatı k1=f(a)=a2−2a2+a2−a=−ak_1 = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - a = -a olarak elde edilir.
2
g(x)g(x) parabolünün tepe noktası olan T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatlarını bulalım.
T2(4a+1,3a−2)T_2(4a+1, 3a-2)
Tepe noktasının apsisi r2=−8a+22(−1)=4a+1r_2 = -\frac{8a+2}{2(-1)} = 4a+1 ve ordinatı g(4a+1)=−(4a+1)2+2(4a+1)2−16a2−5a−3=3a−2g(4a+1) = -(4a+1)^2 + 2(4a+1)^2 - 16a^2 - 5a - 3 = 3a-2 olarak elde edilir.
3
T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığı veren d(a)d(a) fonksiyonunu oluşturalım.
d(a)=(3a+1)2+(4a−2)2d(a) = \sqrt{(3a+1)^2 + (4a-2)^2}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} kullanılarak koordinat farkları yerine yazılır.
4
Kökün içerisindeki tam kare ifadeleri açarak düzenleyelim.
d(a)2=25a2−10a+5d(a)^2 = 25a^2 - 10a + 5
(3a+1)2=9a2+6a+1(3a+1)^2 = 9a^2+6a+1 ve (4a−2)2=16a2−16a+4(4a-2)^2 = 16a^2-16a+4 ifadeleri toplanarak sadeleştirilir.
5
İkinci dereceden bu ifadenin en küçük değerini bulup karekökünü alalım.
En küçük uzaklık 2 birimdir.
25a2−10a+525a^2 - 10a + 5 parabolünün en küçük değeri tepe noktasında, yani a=15a = \frac{1}{5} için gerçekleşir. Bu değer 1−2+5=41 - 2 + 5 = 4 olup, karekökü alındığında minimum uzaklık 4=2\sqrt{4} = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Soru 48Soru →

Analitik düzlemde f(x)=x2−6x+10f(x) = x^2 - 6x + 10 parabolü verilmiştir. Bu parabolün tepe noktası 22 birim sola ve 33 birim yukarı ötelendiğinde elde edilen yeni parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (1,4)(1, 4)

Cevap

Yeni parabolün tepe noktasının koordinatları (1,4)(1, 4) noktasıdır.
Verilen parabolün tepe noktası T(3,1)T(3, 1) olarak hesaplanır. Bu noktanın sola 22 birim ötelenmesiyle apsisi 3−2=13 - 2 = 1, yukarı 33 birim ötelenmesiyle ordinatı 1+3=41 + 3 = 4 olur. Bu durumda yeni tepe noktası (1,4)(1, 4) koordinatlarına sahip olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
f(x)=x2−6x+10f(x) = x^2 - 6x + 10 parabolünün tepe noktası T(r,k)=(3,1)T(r, k) = (3, 1) olarak bulunur.
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62⋅1=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 formülü ile, ordinatı ise bu değerin fonksiyonda yerine yazılmasıyla k=f(3)=32−6⋅3+10=1k = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 1 olarak elde edilir.
2
Tepe noktasına yatay ötelemeyi uygulamak.
22 birim sola öteleme sonucunda yeni apsis değeri 3−2=13 - 2 = 1 olur.
Analitik düzlemde bir noktanın sola ötelenmesi, apsis değerinin öteleme miktarı kadar azaltılması anlamına gelir.
3
Tepe noktasına dikey ötelemeyi uygulamak.
33 birim yukarı öteleme sonucunda yeni ordinat değeri 1+3=41 + 3 = 4 olur.
Analitik düzlemde bir noktanın yukarı ötelenmesi, ordinat değerinin öteleme miktarı kadar artırılması anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması ve analitik düzlemde öteleme dönüşümleri.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 49Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2∣x∣−3f(x) = x^2 - 2|x| - 3
fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [−2,3][-2, 3] kapalı aralığındaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı −4-4 olur.
En büyük değer ile en küçük değerin toplamını −4-4 olarak veren seçenek doğrudur. Çünkü [−2,3][-2, 3] kapalı aralığında fonksiyonun alabileceği en küçük değer x=1x = 1 ve x=−1x = -1 noktalarında −4-4, en büyük değer ise x=3x = 3 noktasında 00 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı −4-4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer tanımına göre fonksiyonu parçalı biçimde yazalım.
f(x)={x2−2x−3,x≥0x2+2x−3,x<0f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x - 3, & x \geq 0 \\ x^2 + 2x - 3, & x < 0 \end{cases}
Değişkenin işaretine göre mutlak değer dışına nasıl çıkacağını belirlemek için.
2
Her iki parçanın [−2,3][-2, 3] aralığı içindeki tepe noktalarını ve bu noktalardaki değerleri bulalım.
x≥0x \geq 0 için parabolün tepe noktası r=−(−2)2(1)=1r = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1 olup bu değer aralıktadır. En küçük değer f(1)=12−2(1)−3=−4f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4 olur.

x<0x < 0 için parabolün tepe noktası r=−22(1)=−1r = \frac{-2}{2(1)} = -1 olup bu değer de aralıktadır. En küçük değer f(−1)=(−1)2+2(−1)−3=−4f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 olur.
Kollar yukarı doğru olan parabollerin en küçük değerlerini tepe noktalarında almasından dolayı minimum değer adaylarını belirlemek amacıyla.
3
Sınır noktalarındaki (x=−2x = -2 ve x=3x = 3) ve parçaların birleştiği noktadaki (x=0x = 0) fonksiyon değerlerini hesaplayalım.
f(−2)=(−2)2−2∣−2∣−3=4−4−3=−3f(-2) = (-2)^2 - 2|-2| - 3 = 4 - 4 - 3 = -3
f(0)=02−2∣0∣−3=−3f(0) = 0^2 - 2|0| - 3 = -3
f(3)=32−2∣3∣−3=9−6−3=0f(3) = 3^2 - 2|3| - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
Sınır değerlerinde veya kritik noktalarda fonksiyonun alabileceği en büyük ve en küçük değerleri kontrol etmek için.
4
Elde edilen tüm değerleri karşılaştırarak en büyük ve en küçük değerleri belirleyip toplayalım.
En küçük değer: −4-4 (x=1x = 1 ve x=−1x = -1 noktalarında)
En büyük değer: 00 (x=3x = 3 noktasında)
Toplam: 0+(−4)=−40 + (-4) = -4
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki maksimum ve minimum değerlerini bulmak için aralık içindeki tepe noktaları (varsa) ile aralığın uç noktalarındaki değerler hesaplanıp karşılaştırılır.
Soru 50Soru →

Simetri ekseni x=2x = 2 doğrusu olan f(x)=x2−ax+a+3f(x) = x^2 - ax + a + 3 parabolünün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı 3'tür.
Parabolün simetri ekseni tepe noktasının apsis değerine (r) eşittir. Simetri ekseni x=2x = 2 olarak verildiğinden r=2r = 2 olur. r=−b2a=a2=2r = -\frac{b}{2a} = \frac{a}{2} = 2 eşitliğinden a=4a = 4 bulunur. Fonksiyon denkleminde aa yerine yazıldığında f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 elde edilir. Tepe noktasının ordinatı k=f(2)k = f(2) olduğundan, f(2)=22−4(2)+7=3f(2) = 2^2 - 4(2) + 7 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün simetri ekseni formülü yardımıyla a parametresini bulmak
a=4a = 4
Simetri ekseni x=r=2x = r = 2 doğrusudur. r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü kullanılarak r=a2=2r = \frac{a}{2} = 2 eşitliğinden a=4a = 4 elde edilir.
2
Bulunan a değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini elde etmek
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7
Tepe noktasının ordinatını hesaplayabilmek için öncelikle fonksiyonun kuralı tam olarak belirlenmelidir.
3
Tepe noktasının ordinatı olan k=f(r)=f(2)k = f(r) = f(2) değerini hesaplamak
k=3k = 3
Tepe noktasının apsisi fonksiyonda yerine yazıldığında elde edilen değer tepe noktasının ordinatını verir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a} doğrusudur. Tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarına sahip olup ordinat değeri k=f(r)k = f(r) formülüyle hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 51Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5 parabolünün simetri ekseni x=ax = a doğrusu ve tepe noktasının ordinatı bb'dir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru yanıt 7'dir.
Parabolün simetri ekseni olan x=rx = r doğrusu r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır. f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5 parabolü için bu değer r=−62(−1)=3r = -\frac{6}{2(-1)} = 3'tür. Dolayısıyla a=3a = 3 olur. Tepe noktasının ordinatı b=f(3)=−(3)2+6(3)−5=4b = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = 4'tür. Bu iki değer toplandığında a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün simetri eksenini bulma
a=3a = 3
y=Ax2+Bx+Cy = Ax^2 + Bx + C parabolünün simetri ekseni x=−B2Ax = -\frac{B}{2A} formülüyle bulunur. f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5 fonksiyonunda A=−1A = -1 ve B=6B = 6 olduğundan simetri ekseni x=−62(−1)=3x = -\frac{6}{2(-1)} = 3 doğrusudur. Buradan a=3a = 3 elde edilir.
2
Tepe noktasının ordinatını bulma
b=4b = 4
Tepe noktasının ordinatı, simetri ekseni değerinin fonksiyondaki görüntüsüdür. b=f(a)=f(3)b = f(a) = f(3) olduğuna göre, f(3)=−(3)2+6(3)−5=−9+18−5=4f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 bulunur. Buradan b=4b = 4 elde edilir.
3
İstenen toplamı hesaplama
a+b=7a + b = 7
a=3a = 3 ve b=4b = 4 değerleri toplanarak a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktası T(r,k)T(r, k) ve simetri ekseni x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a} doğrusudur. Tepe noktasının ordinatı ise k=f(r)k = f(r) değeri ile hesaplanır.
Soru 52Soru →

40 cm uzunluğundaki bir tel iki parçaya ayrılıyor. Bu parçalardan biriyle bir kare, diğeriyle ise bir kenar uzunluğu 4 cm olan bir dikdörtgen yapılıyor.

Buna göre, elde edilen kare ve dikdörtgenin alanları toplamının alabileceği en küçük değer kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Karenin ve dikdörtgenin alanları toplamının alabileceği en küçük değer 48 olur.
Kare ve dikdörtgenin alanları toplamını veren T(x)=x216−2x+64T(x) = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir. Bu fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Tepe noktasının apsisi r=16r = 16 olup bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük alan 48 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kare için kullanılan tel parçasına xx cm diyelim. Bu durumda karenin bir kenar uzunluğu x4\frac{x}{4} cm ve alanı Akare=(x4)2=x216A_{\text{kare}} = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16} cm2\text{cm}^2 olur.
Karenin alanı: x216\frac{x^2}{16}
Telden kare yapıldığında çevre uzunluğu telin boyuna eşit olur, alan ise kenar uzunluğunun karesidir.
2
Kalan 40−x40-x cm uzunluğundaki tel parçası ile bir kenarı 4 cm olan bir dikdörtgen oluşturulur. Dikdörtgenin diğer kenar uzunluğuna bb dersek çevre uzunluğu 2(4+b)=40−x  ⟹  8+2b=40−x  ⟹  b=16−x22(4 + b) = 40 - x \implies 8 + 2b = 40 - x \implies b = 16 - \frac{x}{2} cm olur. Dikdörtgenin alanı ise Adikdo¨rtgen=4⋅(16−x2)=64−2xA_{\text{dikdörtgen}} = 4 \cdot \left(16 - \frac{x}{2}\right) = 64 - 2x cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Dikdörtgenin alanı: 64−2x64 - 2x
Çevre formülünden bilinmeyen kenar uzunluğu ��ekilerek alan formülünde yerine yazılır.
3
Toplam alan fonksiyonunu T(x)=Akare+Adikdo¨rtgen=x216−2x+64T(x) = A_{\text{kare}} + A_{\text{dikdörtgen}} = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 olarak yazalım. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için tepe noktasının apsisini (rr) hesaplayalım: r=−−22⋅116=16r = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{16}} = 16 bulunur.
Tepe noktası apsisi r=16r = 16
Kollar yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
4
Bulduğumuz r=16r = 16 değerini toplam alan fonksiyonunda yerine yazarak en küçük alanı hesaplayalım: T(16)=16216−2(16)+64=16−32+64=48T(16) = \frac{16^2}{16} - 2(16) + 64 = 16 - 32 + 64 = 48 cm2\text{cm}^2 bulunur.
En küçük alan: 48
Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, tepe noktasının ordinatı olan k=T(r)k = T(r) değeridir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) kapalı veya açık bir aralıkta alabileceği en küçük (minimum) değeri bulma.

Alternatif Yöntem

Türevin limit tanımı ve türev kuralları biliniyorsa, toplam alan fonksiyonu olan T(x)=x216−2x+64T(x) = \frac{x^2}{16} - 2x + 64 fonksiyonunun birinci türevi sıfıra eşitlenerek yerel ekstremum (minimum) noktası bulunabilir: T′(x)=2x16−2=0  ⟹  x8=2  ⟹  x=16T'(x) = \frac{2x}{16} - 2 = 0 \implies \frac{x}{8} = 2 \implies x = 16 olur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında minimum alan T(16)=48T(16) = 48 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 53Soru →

Analitik düzlemde f(x)=(x−3)2+4f(x) = (x - 3)^2 + 4 fonksiyonunun grafiği xx ekseni boyunca sola doğru 22 birim, yy ekseni boyunca aşağı doğru 33 birim ötelenerek g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, elde edilen g(x)g(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: g(x)=(x−1)2+1g(x) = (x - 1)^2 + 1

Cevap

Elde edilen fonksiyonun kuralı (x−1)2+1(x - 1)^2 + 1 şeklindedir.
Fonksiyonun sola 22 birim ötelenmesi için xx değişkeni yerine x+2x+2 yazılır. Bu işlem sonucunda (x−3)2+4(x-3)^2 + 4 ifadesi (x−1)2+4(x-1)^2 + 4 haline gelir. Ardından fonksiyonun aşağı 33 birim ötelenmesi için fonksiyondan 33 çıkarılır. Böylece (x−1)2+4−3=(x−1)2+1(x-1)^2 + 4 - 3 = (x-1)^2 + 1 elde edilir. Bu durum doğru ötelemelerin sırasıyla yapılmasıyla ulaşılan sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay öteleme kuralını uygulayarak fonksiyonu düzenleyin.
f(x+2)=((x+2)−3)2+4=(x−1)2+4f(x + 2) = ((x + 2) - 3)^2 + 4 = (x - 1)^2 + 4
Bir fonksiyonun grafiği xx ekseni boyunca sola doğru aa birim ötelenirken fonksiyonda xx yerine x+ax + a yazılır. Burada 22 birim sola öteleme yapıldığı için xx yerine x+2x + 2 yazılmıştır.
2
Dikey öteleme kuralını uygulayarak nihai fonksiyonu elde edin.
g(x)=f(x+2)−3=(x−1)2+4−3=(x−1)2+1g(x) = f(x + 2) - 3 = (x - 1)^2 + 4 - 3 = (x - 1)^2 + 1
Bir fonksiyonun grafiği yy ekseni boyunca aşağı doğru bb birim ötelenirken fonksiyondan bb değeri çıkarılır. Burada 33 birim aşağı öteleme yapıldığı için elde edilen ifadeden 33 çıkarılmıştır.

Anahtar Kavram

Bir f(x)f(x) fonksiyonunun aa birim sola ötelenmesi f(x+a)f(x+a) ile, bb birim aşağı ötelenmesi ise f(x)−bf(x)-b ile elde edilir.
Tahmini Süre:50s
Soru 54Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=∣x−2∣−3f(x) = |x - 2| - 3 fonksiyonunun grafiği aa birim sola ve bb birim yukarı ötelendiğinde g(x)=∣x+1∣+2g(x) = |x + 1| + 2 fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, h(x)=f(x−b)−ah(x) = f(x - b) - a fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36
Doğru cevap 36 birimkaredir. Verilen f(x)=∣x−2∣−3f(x) = |x - 2| - 3 fonksiyonunun tepe noktası (2,−3)(2, -3) olup, g(x)=∣x+1∣+2g(x) = |x + 1| + 2 fonksiyonunun tepe noktası (−1,2)(-1, 2)'dir. Apsisteki değişim 33 birim sola ötelemeyi (a=3a = 3), ordinattaki değişim ise 55 birim yukarı ötelemeyi (b=5b = 5) gösterir. Bu değerler h(x)=f(x−b)−ah(x) = f(x - b) - a ifadesinde yazıldığında h(x)=∣x−7∣−6h(x) = |x - 7| - 6 elde edilir. Bu fonksiyonun xx eksenini kestiği noktalar x=1x = 1 ve x=13x = 13 olup taban uzunluğu 12 birim, yüksekliği ise 6 birimdir. Buradan alan 36 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) ve g(x) fonksiyonlarının köşe noktalarını belirleyerek a ve b öteleme değerlerini bulma.
f(x)=∣x−2∣−3f(x) = |x - 2| - 3 fonksiyonunun köşe noktası (2,−3)(2, -3)'tür. g(x)=∣x+1∣+2g(x) = |x + 1| + 2 fonksiyonunun köşe noktası (−1,2)(-1, 2)'dir. Grafiğin 33 birim sola ötelenmesiyle apsis 22'den −1-1'e düşer (a=3a = 3), 55 birim yukarı ötelenmesiyle ordinat −3-3'ten 22'ye çıkar (b=5b = 5).
Fonksiyonların dikey ve yatay öteleme miktarlarını tespit etmek için.
2
h(x)=f(x−b)−ah(x) = f(x - b) - a fonksiyonunun denklemini yazma.
a=3a = 3 and b=5b = 5 değerleri yerine yazıldığında, h(x)=f(x−5)−3h(x) = f(x - 5) - 3 elde edilir. Buradan h(x)=∣(x−5)−2∣−3−3=∣x−7∣−6h(x) = |(x - 5) - 2| - 3 - 3 = |x - 7| - 6 bulunur.
Alanı hesaplanacak olan yeni fonksiyonun kuralını oluşturmak için.
3
h(x)h(x) fonksiyonunun grafiğinin xx eksenini kestiği noktaları ve tepe noktasını bulma.
h(x)=0  ⟹  ∣x−7∣−6=0  ⟹  ∣x−7∣=6h(x) = 0 \implies |x - 7| - 6 = 0 \implies |x - 7| = 6 olur. Buradan x1=1x_1 = 1 ve x2=13x_2 = 13 bulunur. Fonksiyonun köşe noktası (7,−6)(7, -6)'dır.
Grafik ile eksen arasında kalan üçgensel bölgenin tabanını ve yüksekliğini belirlemek için.
4
Oluşan üçgensel bölgenin alanını hesaplama.
Üçgenin tabanı xx ekseni üzerinde [1,13][1, 13] aralığında olup uzunluğu 13−1=1213 - 1 = 12 birimdir. Yüksekliği ise köşe noktasının ordinatının mutlak değeri olan ∣−6∣=6|-6| = 6 birimdir. Alan =12×62=36= \frac{12 \times 6}{2} = 36 birimkaredir.
İstenen sınırlı bölgenin alanını bulmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey ötelenmesi kurallarının koordinat düzleminde uygulanması ve mutlak değer fonksiyonunun geometrik yorumu.
Soru 55Soru →
f(x)=−x2+8x+12f(x) = -x^2 + 8x + 12 fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 28'dir.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−82(−1)=4r = -\frac{8}{2(-1)} = 4 olarak bulunur. Fonksiyonun en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olduğundan f(4)=−(4)2+8(4)+12=−16+32+12=28f(4) = -(4)^2 + 8(4) + 12 = -16 + 32 + 12 = 28 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
r=4r = 4
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c biçimindeki bir parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur. Verilen fonksiyonda a=−1a = -1 ve b=8b = 8 olduğundan, r=−82(−1)=4r = -\frac{8}{2(-1)} = 4 elde edilir.
2
Tepe noktasının ordinatını (kk) yani fonksiyonun alabileceği en b��yük değeri bulma.
k=28k = 28
Parabolün baş katsayısı negatif (a=−1<0a = -1 < 0) olduğundan kolları aşağı doğrudur ve fonksiyon en büyük değerini tepe noktasında alır. Bu en büyük değer k=f(r)=f(4)k = f(r) = f(4) hesaplanarak bulunur: f(4)=−(4)2+8(4)+12=−16+32+12=28f(4) = -(4)^2 + 8(4) + 12 = -16 + 32 + 12 = 28 olur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün alabileceği en büyük veya en küçük değer, tepe noktasının ordinatıdır (k=f(r)k = f(r)).
Soru 56Soru →

Dik koordinat düzleminde, [−5,5][-5, 5] kapalı aralığında tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafiğin yerel minimum noktası A(−2,−3)A(-2, -3) ve yerel maksimum noktası B(3,4)B(3, 4) olarak belirlenmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x+2)−1g(x) = f(x + 2) - 1 biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun yerel minimum noktası A′A' ve yerel maksimum noktası B′B' olduğuna göre, A′A' ve B′B' noktalarının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4 değeri doğrudur.
Fonksiyonun grafiği yatayda sola 22 birim ve dikeyde aşağı 11 birim ötelenmiştir. Bu kurallarla A(−2,−3)A(-2, -3) noktası A′(−4,−4)A'(-4, -4) noktasına, B(3,4)B(3, 4) noktası ise B′(1,3)B'(1, 3) noktasına taşınır. Bu noktaların koordinatları toplamı (−4)+(−4)+1+3=−4(-4) + (-4) + 1 + 3 = -4 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay öteleme analizini yapma
f(x+2)f(x + 2) dönüşümü, fonksiyonun grafiğinin yatay eksende sola doğru 22 birim ötelenmesi anlamına gelir. Bu durumda tüm noktaların apsis (xx) değerleri 22 azalır.
Yatay ötelemede f(x+a)f(x + a) ifadesinde a>0a > 0 ise grafik sola ötelenir.
2
Dikey öteleme analizini yapma
f(x)−1f(x) - 1 dönüşümü, fonksiyonun grafiğinin dikey eksende aşağıya doğru 11 birim ötelenmesi anlamına gelir. Bu durumda tüm noktaların ordinat (yy) değerleri 11 azalır.
Dikey ötelemede f(x)+bf(x) + b ifadesinde b<0b < 0 ise grafik a��ağı ötelenir.
3
Yeni noktaların koordinatlarını hesaplama
Yerel minimum noktası A(−2,−3)→A′(−2−2,−3−1)=A′(−4,−4)A(-2, -3) \rightarrow A'(-2 - 2, -3 - 1) = A'(-4, -4) olur.
Yerel maksimum noktası B(3,4)→B′(3−2,4−1)=B′(1,3)B(3, 4) \rightarrow B'(3 - 2, 4 - 1) = B'(1, 3) olur.
Öteleme kurallarını başlangıç noktalarına tek tek uygularız.
4
Koordinatlar toplamını bulma
(−4)+(−4)+1+3=−4(-4) + (-4) + 1 + 3 = -4 olarak bulunur.
Soru bizden elde edilen bu yeni noktaların tüm koordinatlarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiği f(x+a)+bf(x + a) + b biçiminde ötelendiğinde, grafik a>0a > 0 için sola aa birim, b>0b > 0 için yukarı bb birim ötelenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 57Soru →

Bir firmanın ürettiği bir ürünün adet satış fiyatı xx TL iken, günlük satılan ürün miktarı 120−2x120 - 2x adettir. Bu ürünün bir adedinin üretim maliyeti sabit ve 2020 TL'dir. Buna göre, bu ürünün satışından elde edilebilecek günlük kâr en fazla kaç TL olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 800

Cevap

Maksimum günlük kâr 800 TL'dir.
Maksimum kâr, kâr fonksiyonunun tepe noktasının ordinatıdır. Kâr fonksiyonu K(x)=−2x2+160x−2400K(x) = -2x^2 + 160x - 2400 şeklinde yazılıp tepe noktasının apsisi r=40r = 40 olarak bulunduktan sonra fonksiyonda yerine yazıldığında 800 TL elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Günlük kâr fonksiyonunu oluşturma.
K(x)=(x−20)(120−2x)=−2x2+160x−2400K(x) = (x - 20)(120 - 2x) = -2x^2 + 160x - 2400
Bir adet ürünün kârı, satış fiyatı (xx) ile maliyet fiyatının (2020) farkıdır. Günlük toplam kâr ise birim kâr ile satılan ürün miktarının (120−2x120 - 2x) çarpımıyla hesaplanır.
2
Kâr fonksiyonunu maksimum yapan satış fiyatını bulmak için tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
r=−1602(−2)=40r = -\frac{160}{2(-2)} = 40 TL
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün baş katsayısı negatif (a=−2<0a = -2 < 0) olduğundan, fonksiyon en büyük değerini tepe noktasının apsisi olan r=−b2ar = -\frac{b}{2a} değerinde alır.
3
Maksimum kâr miktarını bulmak için elde edilen apsis değerini kâr fonksiyonunda yerine yazma.
K(40)=(40−20)(120−2⋅40)=20⋅40=800K(40) = (40 - 20)(120 - 2 \cdot 40) = 20 \cdot 40 = 800 TL
Parabolün alabileceği en büyük değer, tepe noktasının ordinat değeri olan k=f(r)k = f(r) ile bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası yardımıyla en büyük ve en küçük değer (optimizasyon) problemlerinin çözülmesi.
Soru 58Soru →

Dik koordinat düzleminde y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir nokta A(2,5)A(2, 5) olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x+3)−4g(x) = f(x + 3) - 4 biçiminde tanımlanan y=g(x)y = g(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki karşılık gelen BB noktasının koordinatları aşağ��dakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−1,1)(-1, 1)

Cevap

(−1,1)(-1, 1) noktası
Verilen g(x)=f(x+3)−4g(x) = f(x + 3) - 4 fonksiyonunda, parantez içindeki +3+3 ifadesi grafiğin xx ekseni boyunca 33 birim sola, sondaki −4-4 ifadesi ise yy ekseni boyunca 44 birim aşağı öteleneceğini belirtir. A(2,5)A(2, 5) noktasının apsisinden 33 çıkarılıp ordinatından 44 çıkarıldığında elde edilen (−1,1)(-1, 1) noktası doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay öteleme miktarını ve yönünü belirleme
f(x+3)f(x + 3) dönüşümü, grafiğin xx ekseni boyunca 33 birim sola öteleneceğini gösterir.
f(x−a)f(x - a) dönüşümünde parantez içi +3+3 olduğundan a=−3a = -3 olur, bu da sola ötelemeyi ifade eder.
2
Dikey öteleme miktarını ve yönünü belirleme
Fonksiyonun sonundaki −4- 4 terimi, grafiğin yy ekseni boyunca 44 birim aşağı öteleneceğini gösterir.
f(x)+bf(x) + b dönüşümünde dıştaki sabit sayı negatif olduğundan aşağı doğru öteleme yapılır.
3
Yeni koordinatları hesaplama
Yeni noktanın koordinatları x=2−3=−1x = 2 - 3 = -1 ve y=5−4=1y = 5 - 4 = 1 olur. Böylece BB noktası B(−1,1)B(-1, 1) olarak elde edilir.
Başlangıçtaki A(2,5)A(2, 5) noktasına belirlenen öteleme miktarları uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların dikey ve yatay öteleme kuralları: y=f(x−a)+by = f(x - a) + b dönüşümünde grafik aa birim yatay (sağa/sola), bb birim dikey (yukarı/aşağı) ötelenir.
Soru 59Soru →

Analitik düzlemde, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun grafiği olan parabol üzerindeki bir noktanın, A(2,32)A\left(2, \frac{3}{2}\right) noktasına olan uzaklığı en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

Parabol üzerindeki bir noktanın belirtilen noktaya uzaklığı en az 1,5 birimdir.
Parabol üzerindeki genel bir noktanın koordinatları arasındaki bağıntı kullanılarak yazılan uzaklık fonksiyonu g(y)=y2−2y+3,25g(y) = y^2 - 2y + 3,25 şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyona dönüşür. Bu fonksiyonun tepe noktası y=1y=1 değerindedir ve parabolün alabileceği y≥−1y \ge -1 değerleri aralığındadır. Dolayısıyla, en küçük uzaklık y=1y=1 için hesaplanan 1,51,5 birim değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel noktanın koordinatları arasındaki ilişkiyi belirlemek.
y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 denklesinden (x−2)2=y+1(x-2)^2 = y+1 elde edilir. Parabolün en küçük y değeri −1-1 olduğundan y≥−1y \ge -1 olmalıdır.
Uzaklık formülünü tek değişkene indirgemek için iki koordinat arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Uzaklık karesi denklemini kurmak.
d2=(x−2)2+(y−1,5)2=y+1+y2−3y+2,25=y2−2y+3,25d^2 = (x-2)^2 + (y - 1,5)^2 = y + 1 + y^2 - 3y + 2,25 = y^2 - 2y + 3,25
xx değişkenini yok ederek uzaklık ifadesini yy değişkenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak yazmak.
3
Elde edilen ikinci dereceden fonksiyonun en küçük değerini tepe noktası yardımıyla bulmak.
y=1y = 1 için d2=2,25d^2 = 2,25 minimum değerini alır.
y2−2y+3,25y^2 - 2y + 3,25 parabolik fonksiyonunun tepe noktası y=1y = 1 konumundadır ve bu değer y≥−1y \ge -1 tanım kümesine dahildir.
4
Kareköklü ifadeyi hesaplayarak en kısa uzaklığı bulmak.
d=2,25=1,5d = \sqrt{2,25} = 1,5 birim.
Uzaklığın karesinden uzaklığın kendisine geçiş yapmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) sınırlı bir aralıkta alabileceği en büyük veya en küçük değeri, tepe noktasının konumu ve sınır değerleri incelenerek bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 60Soru →

Analitik düzlemde tepe noktası T(2,−3)T(2, -3) olan y=f(x)y = f(x) parabolü verilmiştir.

Bu parabolün grafiği;
* xx ekseni boyunca sağa 33 birim,
* yy ekseni boyunca yukarı 44 birim

ötelenerek y=g(x)y = g(x) parabolü elde ediliyor.

Buna göre, g(x)g(x) parabolünün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (5,1)(5, 1)

Cevap

Apsisi 55 ve ordinatı 11 olan (5,1)(5, 1) noktasıdır.
Bir fonksiyon grafiği sağa ötelendiğinde her noktasının apsis değeri artar, yukarı ötelendiğinde ise ordinat değeri artar. Dolayısıyla tepe noktası T(2,−3)T(2, -3) olan parabolün öteleme sonrası yeni tepe noktası (2+3,−3+4)=(5,1)(2 + 3, -3 + 4) = (5, 1) koordinatlarına sahip olur.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleyin.
T(2,−3)T(2, -3) tepe noktasıdır; apsis x0=2x_0 = 2 ve ordinat y0=−3y_0 = -3 olur.
Öteleme işlemlerini gerçekleştirmek için başlangıç koordinatlarını bilmemiz gerekir.
2
Yatay öteleme miktarını apsise uygulayın.
Sağa 33 birim öteleme yapıldığından yeni apsis 2+3=52 + 3 = 5 olur.
Bir grafiğin sağa ötelenmesi, üzerindeki noktaların apsis değerlerinin öteleme miktarı kadar artması demektir.
3
Dikey öteleme miktarını ordinata uygulayın.
Yukarı 44 birim öteleme yapıldığından yeni ordinat −3+4=1-3 + 4 = 1 olur.
Bir grafiğin yukarı ötelenmesi, üzerindeki noktaların ordinat değerlerinin öteleme miktarı kadar artması demektir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun veya parabolün grafiği yatay veya dikey ötelendiğinde, tepe noktası da aynı doğrultuda ve miktarda ötelenir.
Tahmini Süre:1m 0s
ÖncekiSayfa 3 / 12Sonraki
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin