Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 7

Düşey eksene (

y

-eksenine) göre simetrik bir grafiğe sahip olan

f

fonksiyonu için

\begin{aligned} f(4) &= 3k - 2 \\ f(-4) &= k + 6 \end{aligned}

eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, $f(-4)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Doğru cevap 10'dur.

Düşey eksene (

y

-eksenine) göre simetriklik, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir. Çift fonksiyonların tanımı gereği

f(-x) = f(x)

olduğundan

f(-4) = f(4)

eşitliği yazılır. Bu eşitlikten

k + 6 = 3k - 2

elde edilir ve buradan

k = 4

bulunur.

k

değeri yerine yazıldığında

f(-4) = 4 + 6 = 10

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Düşey eksene (

y

-eksenine) göre simetrik olan fonksiyonların özelliğini belirleme.

f(-x) = f(x)

eşitliği geçerlidir, dolayısıyla

f(-4) = f(4)

olur.

Y-eksenine göre simetriklik çift fonksiyon tanımıdır.

2

f(-4)

ve

f(4)

değerlerini birbirine eşitleyerek

k

bilinmeyenini bulma.

k + 6 = 3k - 2 \implies 2k = 8 \implies k = 4

Tanım gereği iki değer birbirine eşit olmalıdır.

3

k

değerini yerine yazarak

f(-4)

değerini hesaplama.

f(-4) = 4 + 6 = 10

Soruda istenen

f(-4)

değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Düşey eksene göre simetrik fonksiyonlar (çift fonksiyonlar) için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır.

Soru 122Soru →

Bir su deposundaki suyun hacminin (

V

, litre) zamana (

t

, saat) göre değişimi

V(t) = -t^2 + 10t + 50

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu depodaki su hacminin

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı

v_1

,

[3, 6]

aralığındaki ortalama değişim hızı

v_2

olduğuna göre,

v_1 - v_2

farkı kaçtır?

-5

3

4

5

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Değişim hızlarının farkı olan 5

Ortalama değişim hızı formülü olan

\frac{V(b) - V(a)}{b - a}

ifadesi

[1, 3]

ve

[3, 6]

aralıkları için sırasıyla uygulandığında

v_1 = 6

ve

v_2 = 1

değerleri elde edilir. Bu iki değerin farkı olan

6 - 1 = 5

doğru sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı olan

v_1

'i hesaplamak için aralığın uç noktalarındaki hacim değerlerini buluruz.

V(1) = -(1)^2 + 10(1) + 50 = 59

litre ve

V(3) = -(3)^2 + 10(3) + 50 = 71

litre.

Değişim hızı formülü için uç noktalardaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç vardır.

2

v_1

ortalama değişim hızını formüle göre hesaplarız.

v_1 = \frac{V(3) - V(1)}{3 - 1} = \frac{71 - 59}{2} = \frac{12}{2} = 6

L/saat.

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

formülüyle bulunur.

3

[3, 6]

aralığındaki ortalama değişim hızı olan

v_2

'yi hesaplamak için

t = 6

anındaki hacim değerini buluruz.

V(6) = -(6)^2 + 10(6) + 50 = -36 + 60 + 50 = 74

litre.

İkinci aralığın bitiş noktasındaki fonksiyon değerini belirlemek gerekir.

4

v_2

ortalama değişim hızını formüle göre hesaplarız.

v_2 = \frac{V(6) - V(3)}{6 - 3} = \frac{74 - 71}{3} = \frac{3}{3} = 1

L/saat.

[3, 6]

aralığı için zaman farkı

6 - 3 = 3

saattir.

5

Bulunan

v_1

ve

v_2

değerlerinin farkını hesaplarız.

v_1 - v_2 = 6 - 1 = 5

.

Soruda bizden istenen iki değişim hızının farkıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı, bu aralıkta fonksiyonun aldığı değerlerin farkının, bağımsız değişkenin farkına oranıdır ve geometrik olarak grafik üzerindeki uç noktaları birleştiren kesen doğrunun eğimine eşittir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 123Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 2x + k$ parabolü ile $y = 4x + 1$ doğrusu verilmiştir. Parabolün bu doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı $12$ olduğuna göre, bu doğrunun parabolü kestiği noktalar arasındaki uzaklığın karesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 272

Cevap

Doğrunun parabolü kestiği noktalar arasındaki uzaklığın karesi 272'dir.

Parabol üzerindeki bir noktanın doğruya en yakın olduğu yer, parabole çizilen teğet doğrusunun verilen doğruya paralel olduğu değme noktasıdır. Bu nokta P(3, 9) olarak bulunur ve buradan parabolün k parametresi k = 6 elde edilir. Parabol ile doğrunun ortak çözümü sonucu kesişim noktaları A(1, 5) ve B(5, 21) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklığın karesi ise 272 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun eğimini belirleme

Teğet doğrusunun eğimi m = 4 olmalıdır.

Parabolün doğruya en yakın noktasındaki teğet, verilen doğruya paraleldir.

2

Teğetlik şartını kullanarak c parametresini k cinsinden yazma

c = k - 9

Ortak çözüm denkleminde teğetlik için diskriminant (Δ) sıfır olmalıdır.

3

Teğet noktasının koordinatlarını k cinsinden bulma

P(3, 3 + k)

Apsisi ortak çözüm denkleminin kökünden, ordinatı ise parabol denkleminden hesaplanır.

4

Koordinatlar toplamını kullanarak k değerini bulma

k = 6 ve parabol denklemi y = x^2 - 2x + 6

Teğet noktasının koordinatları toplamı 12 olarak verilmiştir.

5

Parabol ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini bulma

x_1 = 1 ve x_2 = 5

Parabol ve doğrunun denklemleri ortak çözülür.

6

Kesim noktalarının ordinatlarını ve koordinatlarını bulma

A(1, 5) ve B(5, 21)

Bulunan apsis değerleri doğru denkleminde yerine yazılır.

7

Noktalar arasındaki uzaklığın karesini hesaplama

272

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır: |AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları ve en yakın nokta analizi

Soru 124Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir $f$ fonksiyonunun grafiği $A(2, -3)$ noktasından geçmektedir.

Buna göre,

g(x) = -f(1 - x) + 4

biçiminde tanımlanan

g

fonksiyonunun grafiği aşağıdaki noktalardan hangisinden kesinlikle geçer?

(-1, 7)

(1, 7)

(-1, 1)

(1, 1)

(3, 7)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(-1, 7)$

Cevap

g fonksiyonunun grafiği kesinlikle (-1, 7) noktasından geçer.

f fonksiyonu A(2, -3) noktasından geçtiği için f(2) = -3 olur. g(x) = -f(1-x) + 4 ifadesinde f(2) değerini kullanabilmek için 1-x = 2 eşitliğinden x = -1 bulunmalıdır. Bu x değeri için g(-1) = -f(2) + 4 = -(-3) + 4 = 7 elde edilir. Dolayısıyla g fonksiyonu kesinlikle (-1, 7) noktasından geçer.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen noktanın fonksiyon üzerindeki karşılığını yazma

f(2) = -3

f

fonksiyonunun grafiği

A(2, -3)

noktasından geçtiği için bu nokta fonksiyon denklemini sağlar.

2

g fonksiyonunda f(2) değerini elde etmek için gereken x girdisini bulma

x = -1

g(x) = -f(1-x) + 4

ifadesinde

f

fonksiyonunun içinin

2

olması gerekir. Buradan

1-x = 2 \implies x = -1

denklemi çözülür.

3

Bulunan x değerini g(x) denkleminde yerine yazıp y değerini hesaplama

g(-1) = 7

g(-1) = -f(1 - (-1)) + 4 = -f(2) + 4

olur.

f(2) = -3

değeri yerine yazıldığında

-(-3) + 4 = 3 + 4 = 7

elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yansıma ve öteleme dönüşümleri altında grafik üzerindeki noktaların koordinatlarının değişimi.

Soru 125Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - (m+2)x + 2m$ parabolü ile $y = mx - 1$ doğrusu iki farklı $A$ ve $B$ noktasında kesişmektedir.

Buna göre, $[AB]$ kirişinin orta noktasının koordinatları toplamı $3$ olduğuna göre, $m$ gerçek sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

-5

-3

-2

-1

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-3$

Cevap

-3

Ortak çözüm denkleminden elde edilen kesişim noktalarının apsislerinin ortalaması orta noktanın apsisini verir. Bu apsis değeri doğru denkleminde yerine yazıldığında ordinat bulunur. Koordinatların toplamı

3

'e eşitlendiğinde elde edilen

m^2+2m-3=0

denkleminin kökleri çarpımı

-3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim noktalarının apsislerini bulmak için parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenir.

x^2 - (m+2)x + 2m = mx - 1 \implies x^2 - (2m+2)x + (2m+1) = 0

ortak çözüm denklemi elde edilir.

Parabol ile doğrunun ortak noktalarının apsisleri, bu ortak çözüm denkleminin kökleridir.

2

Kesişimin iki farklı noktada gerçekleştiği belirtildiğinden, diskriminant kontrolü yapılır.

\Delta = [-(2m+2)]^2 - 4(1)(2m+1) = 4m^2 + 8m + 4 - 8m - 4 = 4m^2 > 0 \implies m \neq 0

elde edilir.

İki farklı kesim noktasının varlığı ortak çözüm denkleminin iki farklı gerçek kökünün olmasını gerektirir.

3

[AB]

kirişinin orta noktasının apsisi (

x_0

), kesim noktalarının apsisleri toplamının yarısı olarak hesaplanır.

x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-( -(2m+2) )}{2 \cdot 1} = m + 1

bulunur.

Kirişin orta noktası, uç noktalarının aritmetik ortalamasıdır.

4

Orta nokta doğrunun üzerinde yer alacağından, bulunan

x_0

değeri doğru denkleminde yerine yazılarak ordinat (

y_0

) hesaplanır.

y_0 = m \cdot x_0 - 1 \implies y_0 = m(m+1) - 1 = m^2 + m - 1

bulunur.

Orta nokta, kesişim noktalarını birleştiren doğru segmentinin üzerinde olduğundan doğru denklemini sağlamak zorundadır.

5

Orta noktanın koordinatları toplamı

3

'e eşitlenerek

m

değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.

x_0 + y_0 = (m+1) + (m^2+m-1) = 3 \implies m^2 + 2m = 3 \implies m^2 + 2m - 3 = 0

denklemi elde edilir.

Orta noktanın koordinatları toplamı soruda

3

olarak verilmiştir.

6

Elde edilen denklemden

m

'in alabileceği değerlerin çarpımı kökler çarpımı formülü kullanılarak bulunur.

m^2 + 2m - 3 = 0

denkleminde kökler çarpımı

\frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3

olarak bulunur. (

m = -3

ve

m = 1

değerlerinin ikisi de

m \neq 0

koşulunu sağlamaktadır.)

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin çarpımı sabitin başkatsayıya oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını birleştiren kirişin orta noktasının bulunması ve analitik özellikleri

Soru 126Soru →

Dik koordinat düzleminde, eksenleri $A(0, 8)$ ve $B(6, 0)$ noktalarında kesen $AB$ doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan dik üçgensel bölgenin içerisine; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi $AB$ doğru parçası üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen yerleştiriliyor. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En büyük dikdörtgen alanı 12 birimkaredir.

Doğru cevap 12'dir. Dikdörtgenin kenarlarından biri

x

ekseni üzerinde

x

birim, diğeri

y

ekseni üzerinde

y

birim uzunluğunda olup köşesi

AB

doğrusu üzerinde olduğundan

y = 8 - \frac{4}{3}x

ilişkisi mevcuttur. Alan fonksiyonu olan

A(x) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x

parabolünün tepe noktası

x = 3

olup en büyük alan değeri 12 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Do��ru denklemini oluşturmak ve y değişkenini x cinsinden ifade etmek.

Eksenleri kestiği noktalar

A(0, 8)

ve

B(6, 0)

olan doğrunun denklemi

\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1

olup, buradan

y = 8 - \frac{4}{3}x

elde edilir.

Dikdörtgenin bir köşesi bu doğru üzerinde bulunduğundan, kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.

2

Dikdörtgenin alanını tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazmak.

A(x) = x \cdot y = x \left(8 - \frac{4}{3}x\right) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x

Alanı en büyük yapacak değeri bulmak amacıyla ikinci dereceden bir parabol fonksiyonu elde edilir.

3

Elde edilen parabol fonksiyonunun tepe noktasını bulup maksimum alanı hesaplamak.

Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{8}{2 \cdot (-\frac{4}{3})} = 3

ve bu değer için maksimum alan

A(3) = 12

birimkaredir.

Baş katsayısı negatif olan ikinci dereceden fonksiyonlar en büyük değerini tepe noktasında (

r

apsisinde) alır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasında en büyük veya en küçük değerini alması.

Soru 127Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = x^2 - 5x + 7$ parabolü üzerindeki bir noktanın $y = x - 5$ doğrusuna olan uzaklığı en az kaç birimdir?

\frac{13\sqrt{2}}{8}

3

\frac{3\sqrt{2}}{2}

6\sqrt{2}

\frac{39\sqrt{2}}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Cevap

Parabolün doğruya olan en kısa uzaklığı

\frac{3\sqrt{2}}{2}

birimdir.

Parabol üzerindeki genel bir

P(a, a^2 - 5a + 7)

noktasının

x - y - 5 = 0

doğrusuna olan dik uzaklığı formülle kurulduğunda pay kısmında

|-a^2 + 6a - 12|

ifadesi elde edilir. Bu ifadenin tepe noktasında alabileceği minimum mutlak değer 3'tür. Formüldeki payda değeri olan

\sqrt{2}

'ye bölündüğünde en kısa uzaklık

\frac{3\sqrt{2}}{2}

birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol üzerindeki genel bir nokta tanımlanır.

Nokta

P(a, a^2 - 5a + 7)

olarak ifade edilir.

En yakın noktanın koordinatlarını tek bir değişkene bağlı olarak yazmak için.

2

Noktanın doğruya olan uzaklık formülü uygulanır.

Uzaklık

d = \frac{|a - (a^2 - 5a + 7) - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-a^2 + 6a - 12|}{\sqrt{2}}

olarak elde edilir.

Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığını hesaplamak için.

3

Mutlak değerin içindeki ikinci dereceden ifadenin alabileceği en büyük değer tepe noktası yardımıyla bulunur.

-a^2 + 6a - 12

ifadesinin tepe noktasının apsisi

r = \frac{-6}{2(-1)} = 3

olur. Bu değer yerine yazıldığında en büyük değer

-3^2 + 6(3) - 12 = -3

olarak bulunur. İfade daima negatif değerler aldığı için mutlak değeri en az

|-3| = 3

olur.

Uzaklık fonksiyonunu en küçük yapan değeri belirlemek için.

4

En küçük uzaklık hesaplanarak payda rasyonel hale getirilir.

d_{\text{min}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}

birimdir.

Köklü ifadenin eşleniği ile çarpılarak nihai sonucun bulunması için.

Anahtar Kavram

Bir parabol üzerindeki bir noktanın bir doğruya olan en kısa uzaklığının ikinci dereceden fonksiyonların en büyük/en küçük değeri yardımıyla bulunması.

Alternatif Yöntem

Parabolün doğruya en yakın olduğu noktadaki teğetinin eğimi, doğrunun eğimine eşit olmalıdır.

y = x - 5

doğrusunun eğimi

1

olduğundan, parabolün türevi olan

y' = 2x - 5

ifadesi

1

'e eşitlenir. Buradan

2x - 5 = 1 \implies x = 3

bulunur. Noktanın parabol üzerindeki ordinatı ise

y = 3^2 - 5(3) + 7 = 1

olur. Böylece en yakın nokta

P(3, 1)

olarak elde edilir. Bu noktanın

x - y - 5 = 0

doğrusuna olan uzaklığı

\frac{|3 - 1 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}

birim olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 128Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. $f(x)$ fonksiyonuna sırasıyla aşağıdaki öteleme işlemleri uygulanıyor:

* $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $x$ ekseni boyunca sağa doğru $4$ birim ötelenerek $g(x)$ fonksiyonu,
* $f(x)$ fonksiyonunun grafiği $y$ ekseni boyunca yukarı doğru $2$ birim ötelenerek $h(x)$ fonksiyonu

elde ediliyor. Buna göre, dik koordinat düzleminde

g(x) \le y \le h(x)

y \le 6

eşitsizlik sisteminin sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

11

18

27

15

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Sınırları belirlenen kapalı bölgenin alanı 27 birimkaredir.

Ötelemeler sonucunda oluşan

g(x) = |x-4|

ve

h(x) = |x| + 2

fonksiyonları ile

y = 6

doğrusu arasında kalan bölge, köşeleri

(1,3)

,

(4,6)

,

(10,6)

ve

(4,0)

olan bir dörtgendir. Bu dörtgen

x=4

doğrusu boyunca bölündüğünde tabanı ortak ve

6

birim olan iki üçgene ayrılır. Bu üçgenlerin alanları toplamı

9 + 18 = 27

birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ötelenen fonksiyonların denklemlerini yazma

g(x) = |x-4|

ve

h(x) = |x| + 2

x

ekseninde sağa

4

birim öteleme

f(x-4)

dönüşümüne,

y

ekseninde yukarı

2

birim öteleme ise

f(x)+2

dönüşümüne karşılık gelir.

2

İki fonksiyonun kesişim noktasını bulma

x = 1

için

y = 3

noktası

Bölgenin sol sınırını bulmak için

g(x) = h(x)

eşitliği çözülür.

|x-4| = |x| + 2

denkleminden

x \ge 0

bölgesinde

4-x = x+2 \implies 2x = 2 \implies x = 1

elde edilir. Bu noktada

y = g(1) = 3

olur.

3

Üst sınır doğrusu ile kesişim noktalarını belirleme

h(x) = 6 \implies x = 4

ve

g(x) = 6 \implies x = 10

y \le 6

üst sınırının fonksiyonları kestiği noktalar alan sınırlarını belirler.

x \ge 0

için

x+2 = 6 \implies x = 4

ve

x \ge 4

için

x-4 = 6 \implies x = 10

bulunur.

4

Kapalı bölgeyi iki parçaya ayırarak alanı hesaplama

9 + 18 = 27

birimkare

Bölge

x=4

dikey doğrusuyla ikiye bölünür.

x=4

doğrusu üzerinde bölgenin yüksekliği

6 - g(4) = 6 - 0 = 6

birimdir. Sol taraftaki üçgenin tabanı

6

ve yüksekliği

4-1=3

birim olup alanı

\frac{6 \times 3}{2} = 9

birimkaredir. Sağ taraftaki dik üçgenin tabanı

6

ve yüksekliği

10-4=6

birim olup alanı

\frac{6 \times 6}{2} = 18

birimkaredir. Toplam alan

9 + 18 = 27

birimkaredir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer fonksiyonlarının yatay ve dikey ötelenmesiyle oluşan grafiklerin analitik düzlemde alan hesabı

Soru 129Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 2x - 2$ parabolü ile $y = 2x + m$ doğrusunun kesişim noktaları $A$ ve $B$ olarak adlandırılıyor.

Koordinat sisteminin başlangıç noktası $O(0, 0)$ olmak üzere, $OA \perp OB$ olduğuna göre, $m$ gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak çözüm denkleminin kökleri ve diklik şartı kullanılarak elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde m gerçek sayısının alabileceği pozitif değer 2 olarak bulunur.

Ortak çözüm denkleminden elde edilen apsisler ve ordinatlar arasındaki diklik şartı (

x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0

) uygulandığında

m^2 + 3m - 10 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü olan 2 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenerek ortak çözüm denklemi oluşturulur.

x^2 - 4x - (m+2) = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir.

Kesişim noktalarının apsislerini veren denklemi bulmak için ortak çözüm yapılır.

2

Ortak çözüm denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımı Vieta formülleriyle ifade edilir.

x_1 + x_2 = 4

ve

x_1 x_2 = -m - 2

Noktaların apsisleri arasındaki cebirsel ilişkileri doğrudan bulabilmek amacıyla kökler toplamı ve çarpımı kullanılır.

3

Kesişim noktalarının ordinatları (

y_1

ve

y_2

), noktalar doğrunun üzerinde olduğu için doğru denkleminde yerine yazılarak apsisler cinsinden ifade edilir.

y_1 = 2x_1 + m

ve

y_2 = 2x_2 + m

Koordinatlar arasında tek bir değişken türünden ilişki kurabilmek için ordinat değerleri doğrunun denklemine yerleştirilir.

4

OA \perp OB

diklik şartı koordinatlar cinsinden

x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0

olarak kurulur.

x_1 x_2 + (2x_1 + m)(2x_2 + m) = 0 \implies 5x_1 x_2 + 2m(x_1 + x_2) + m^2 = 0

denklemi elde edilir.

İki vektörün dik olması, analitik düzlemde bu vektörlerin bileşenlerinin iç çarpımının sıfır olması şartına bağlıdır.

5

Kökler toplamı ve çarpımı değerleri diklik denkleminde yerine yazılır ve oluşan

m

'ye bağlı denklem çözülür.

m^2 + 3m - 10 = 0 \implies (m+5)(m-2) = 0 \implies m = 2

veya

m = -5

m parametresinin alabileceği değerleri bulmak için denklem m cinsinden tek değişkene indirgenir.

6

Bulunan

m

değerlerinin parabol ve doğrunun kesişmesini sağlayıp sağlamadığı diskriminant kontrolüyle test edilir ve pozitif olan kök seçilir.

\Delta = 4m + 24 > 0

eşitsizliğinden

m > -6

olmalıdır. Hem 2 hem de -5 bu şartı sağlar. Pozitif değer istendiğinden

m = 2

seçilir.

Kesişim noktalarının reel koordinatlara sahip olabilmesi için ortak çözümün diskriminantı pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun ortak çözüm denkleminin kökleri ile kesişim noktalarının analitik diklik şartı arasındaki ilişki.

Soru 130Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = x^2 - 4x + 5$ fonksiyonu veriliyor. $f$ fonksiyonunun grafiğinin $y$ -eksenine göre simetriği alındıktan sonra, elde edilen grafik $x$ -ekseni boyunca sağa 3 birim, $y$ -ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelenerek $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Buna göre, $g(x)$ fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

x^2 + 10x + 28

x^2 - 10x + 28

x^2 + 2x + 4

x^2 - 2x + 4

x^2 - 10x + 44

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x^2 - 2x + 4$

Cevap

g(x) = x^2 - 2x + 4

Doğru seçenekteki

x^2 - 2x + 4

ifadesi, sırasıyla uygulanan

y

-eksenine göre yansıma (

x \rightarrow -x

), sağa 3 birim öteleme (

x \rightarrow x-3

) and yukarı 2 birim öteleme (

y \rightarrow y+2

) adımlarının doğru şekilde işletilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun y-eksenine göre simetriğini bulmak için fonksiyonda x yerine -x yazılır.

f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) + 5 = x^2 + 4x + 5

elde edilir.

Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenine göre simetriği f(-x) dönüşümü ile bulunur.

2

Elde edilen grafiği x-ekseni boyunca sağa 3 birim ötelemek için x yerine x-3 yazılır.

f(-(x-3)) = (x-3)^2 + 4(x-3) + 5 = x^2 - 6x + 9 + 4x - 12 + 5 = x^2 - 2x + 2

elde edilir.

Yatay doğrultuda sa��a doğru a birimlik öteleme, fonksiyonda x yerine x-a yazılarak gerçekleştirilir.

3

Bulunan fonksiyon grafiğini y-ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelemek için fonksiyona 2 eklenir.

g(x) = (x^2 - 2x + 2) + 2 = x^2 - 2x + 4

elde edilir.

Dikey doğrultuda yukarı doğru b birimlik öteleme, fonksiyona b birim eklenerek gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda y-eksenine göre simetri (yansıma) ve yatay/dikey öteleme dönüşümlerinin cebirsel olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

Dönüşümleri doğrudan fonksiyonun tepe noktası üzerinden gerçekleştirebiliriz.

f(x) = (x-2)^2 + 1

parabolünün tepe noktası

T(2, 1)

'dir.

y

-eksenine göre simetri alındığında tepe noktası

T'(-2, 1)

olur. Sağa 3 ve yukarı 2 birim ötelendiğinde yeni tepe noktası

T''(1, 3)

olur. Başkatsayı değişmediği için yeni fonksiyon

g(x) = (x-1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 4

olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 131Soru →

Analitik düzlemde, $A(1, 3)$ noktasından geçen ve eğimi $m$ olan bir doğru, $y = x^2 - 4x + 8$ parabolünü kesmemektedir. Buna göre, $m$ gerçek sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

-15

-12

-10

-8

-5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Doğrunun parabolü kesmemesini sağlayan

m

tam sayılarının toplamı

-10

olmalıdır.

Ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan küçük olması koşulundan elde edilen

-2 - 2\sqrt{2} < m < -2 + 2\sqrt{2}

aralığındaki tam sayılar

-4, -3, -2, -1, 0

değerleridir. Bu değerlerin toplamı

-10

yaptığı için doğru cevap bu seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru denklemini yazma

A(1, 3)

noktasından geçen ve eğimi

m

olan doğrunun denklemi:

y - 3 = m(x - 1) \implies y = mx - m + 3

olarak elde edilir.

Parabol ile ortak çözüm yapabilmek için do��runun cebirsel ifadesini oluşturmamız gerekir.

2

Ortak çözüm denklemini elde etme

x^2 - 4x + 8 = mx - m + 3 \implies x^2 - (4 + m)x + (m + 5) = 0

denklemi elde edilir.

Doğru ile parabolün kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleriz.

3

Kesişmeme koşulu için diskriminant incelemesi

\Delta = [-(4 + m)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 5) < 0 \implies m^2 + 8m + 16 - 4m - 20 < 0 \implies m^2 + 4m - 4 < 0

eşitsizliği bulunur.

Doğrunun parabolü kesmemesi, ortak çözüm denkleminin gerçel kökünün olmaması, yani diskriminantının sıfırdan küçük olmasıyla mümkündür.

4

Eşitsizlik sınır değerlerini (kökleri) bulma

m^2 + 4m - 4 = 0 \implies m = -2 \pm 2\sqrt{2}

kökleri elde edilir. Yaklaşık olarak

2\sqrt{2} \approx 2,8

olduğundan, sınır kökler

m_1 \approx -4,8

ve

m_2 \approx 0,8

olarak hesaplanır. Eşitsizliğin çözüm kümesi

(-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})

aralığıdır.

Eşitsizliğin çözüm aralığını belirlemek amacıyla ilgili ikinci dereceden denklemin sınır köklerini bulmamız gerekir.

5

Tam sayı değerlerini belirleme ve toplama

Belirlenen aralıktaki

m

tam sayı değerleri

\{-4, -3, -2, -1, 0\}

olup, bu değerlerin toplamı

(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -10

olarak hesaplanır.

Bulunan aralıkta yer alan

m

tam sayılarının toplamına ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun ortak noktalarının olmaması (kesişmemeleri) durumu, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan küçük (

\Delta < 0

) olması koşuluna bağlıdır.

Soru 132Soru →

Dik koordinat düzleminde, $[-6, 12]$ kapalı aralığında tanımlı, grafiği doğrusal parçalardan oluşan ve $x$ -ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanı $36$ birimkare olan bir $f$ fonksiyonu verilmiştir.

a

ve

b

pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

g(x) = a \cdot f(b \cdot x)

fonksiyonunun tanım kümesi

[-2, 4]

ve

x

-ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanı

96

birimkaredir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

a + b toplamının değeri 11'dir.

g(x) = a * f(b * x) dönüşümünde, tanım kümesi [-6/b, 12/b] = [-2, 4] eşitliğinden b = 3 bulunur. Alan ise dikey esneme ve yatay sıkışma sonucu a/b oranında değişir. 36 * (a/3) = 96 eşitliğinden a = 8 bulunur. Toplamları 8 + 3 = 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım kümesi dönüşümünü analiz ederek b katsayısını belirleme

b = 3

f(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-6, 12] iken g(x) = a * f(b * x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 4] olarak verilmiştir. Tanım kümesinin sınırları b kat daraldığı için b = 3 olmalıdır.

2

Alan değişimini analiz ederek a katsayısını belirleme

a = 8

Yatay olarak b = 3 oranında sıkışan grafiğin alanı 1/3 katına iner. Dikey olarak a oranında esnetilen grafiğin alanı a katına çıkar. Toplam alan (a/3) katına çıkacağından 96 = (a/3) * 36 eşitliğinden a = 8 elde edilir.

3

Bulunan katsayıların toplamını hesaplama

11

a = 8 ve b = 3 değerlerinin toplamı sorulduğu için 8 + 3 = 11 bulunur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay esnetme/sıkıştırma dönüşümü f(b*x) tanım kümesini 1/b oranında değiştirirken, dikey esnetme/sıkıştırma a*f(x) görüntü kümesini a katına çıkarır. Bu iki dönüşümün alanı etkileme oranı a/b olur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 133Soru →

Bir tüccar, tanesini

x

TL'ye satın aldığı bir ürünün satış fiyatını

y

TL olarak belirlemiştir. Bu ürünün alış fiyatı ile satış fiyatı arasında

y = -x^2 + 13x - 20

bağıntısı bulunmaktadır.
Buna göre, bu tüccarın bir adet ürünün satışından elde edebileceği kâr en fazla kaç TL'dir?

7

22

16

29

88

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Maksimum kâr 16 TL'dir.

Kâr fonksiyonu olan

K(x) = y - x = -x^2 + 12x - 20

ifadesinin tepe noktasının ordinatı hesaplandığında en büyük kâr değeri 16 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kâr fonksiyonunu alış fiyatı (

x

) cinsinden yazalım.

K(x) = y - x = (-x^2 + 13x - 20) - x = -x^2 + 12x - 20

Bir ürünün satışından elde edilen kâr, ürünün satış fiyatından (

y

) alış fiyatının (

x

) çıkarılmasıyla hesaplanır.

2

Elde edilen kâr fonksiyonunun tepe noktasının apsisini (

r

) bulalım.

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6

Kolları aşağı doğru olan

y = ax^2 + bx + c

(

a < 0

) biçimindeki ikinci dereceden bir fonksiyon, en büyük değerini tepe noktasının apsisinde (

r

) alır.

3

Bulduğumuz

r = 6

değerini kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı hesaplayalım.

K(6) = -(6)^2 + 12(6) - 20 = -36 + 72 - 20 = 16

Maksimum kâr miktarı, kâr fonksiyonunun tepe noktasının ordinatına (

k = K(r)

) eşittir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) maksimum değerini bulmak için fonksiyonun tepe noktasının ordinatı (

k = f(r)

) hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 134Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası $T(4, 6)$ olan ve $x$ -eksenini $x_1 = -2$ ve $x_2 = 10$ noktalarında kesen bir $y = f(x)$ parabolü verilmiştir.

$g(x) = k \cdot f(p \cdot x)$ ( $k$ ve $p$ pozitif gerçek sayılar) biçiminde tanımlanan $y = g(x)$ parabolünün tepe noktası $T'(2, 18)$ 'dir.

Buna göre, $y = g(x)$ parabolünün $x$ -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

3

4

6

12

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni parabolün eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birimdir.

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni parabolün eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birimdir. Orijinal parabolün tepe noktası T(4, 6) iken g(x) = k * f(p * x) parabolünün tepe noktası T'(2, 18) olarak verilmiştir. Buradan yatay sıkışma katsayısı p = 2 ve dikey esneme katsayısı k = 3 bulunur. f(x)'in kökleri -2 ve 10 olduğu için g(x) = 3 * f(2x) fonksiyonunun kökleri bu değerlerin yarısı olan -1 ve 5 olacaktır. Bu iki nokta arasındaki uzaklık ise 5 - (-1) = 6 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinal y = f(x) parabolünün tepe noktası koordinatlarını ve g(x) = k * f(p * x) fonksiyonunun dönüşüm kurallarını belirlemek.

f(x) fonksiyonunun tepe noktası T(4, 6) olarak verilmiştir. y = k * f(p * x) dönüşümü uygulandığında, tepe noktasının yeni koordinatları T'(4/p, 6k) olur.

Yatay esneme/sıkışma çarpanı (p) x-koordinatını 1/p oranında etkilerken, dikey esneme/sıkışma çarpanı (k) y-koordinatını k oranında etkiler.

2

Dönüşüm katsayıları olan k ve p değerlerini hesaplamak.

T'(4/p, 6k) = T'(2, 18) olduğundan, 4/p = 2 ise p = 2 ve 6k = 18 ise k = 3 bulunur. Böylece g(x) = 3 * f(2x) fonksiyonu elde edilir.

Yeni tepe noktasının koordinatları verilmiştir, bu sayede bilinmeyen katsayılara ulaşılır.

3

g(x) parabolünün x-eksenini kestiği noktaları f(x)'in köklerini kullanarak bulmak.

f(x) fonksiyonunun kökleri -2 ve 10'dur. g(x) = 3 * f(2x) = 0 denkleminin kökleri ise 2x = -2 ise x = -1 ve 2x = 10 ise x = 5 olarak bulunur.

g(x) = 0 olması için f(2x) = 0 olmalıdır. Bu durum, x-eksenini kesen noktaların apsislerinin yarıya düşmesi anlamına gelir.

4

Yeni kökler arasındaki uzaklığı hesaplamak.

Yeni kökler -1 ve 5 olup, aralarındaki uzaklık 5 - (-1) = 6 birimdir.

İki nokta arasındaki uzaklık, büyük olan apsis değerinden küçük olan apsis değerinin çıkarılması ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri.

Soru 135Soru →

Analitik düzlemde, tepe noktası $T$ olan $y = -x^2 + 4x$ parabolü ile $y = x + c$ doğrusu iki farklı $A$ ve $B$ noktasında kesişmektedir.

$TAB$ üçgeninin alanı $15$ birimkare olduğuna göre, $c$ gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Doğru cevap

-4

olarak bulunur.

Parabolün tepe noktası

T(2, 4)

olarak belirlenir. Parabol ile doğrunun kesişim noktaları

A(x_1, x_1+c)

ve

B(x_2, x_2+c)

dir. Bu üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı

\frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c}

formülüyle elde edilir. Alan

15

birimkareye eşitlendiğinde ve

\Delta > 0

şartı gözetildiğinde tek reel çözüm

c = -4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.

T(2, 4)

y = ax^2 + bx + c

parabolünün tepe noktasının apsisi

r = -b/(2a)

ve ordinatı

k = f(r)

formülü ile hesaplanır.

2

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsislerini veren ortak denklemi oluşturmak.

x^2 - 3x + c = 0

denkleminin kökleri

x_1

ve

x_2

olur.

Kesişim noktalar��nı bulmak için parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenir.

3

TAB

üçgeninin alan formülünü

c

parametresi cinsinden ifade etmek.

\text{Alan}(TAB) = \frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c}

[AB]

taban uzunluğu

|x_2 - x_1|\sqrt{2} = \sqrt{2(9-4c)}

ile

T(2,4)

noktasının

x-y+c=0

doğrusuna olan dik uzaklığı (yükseklik

h = |c-2|/\sqrt{2}

) çarpılıp ikiye bölündüğünde bu alan ifadesine ulaşılır.

4

Alan ifadesini

15

değerine eşitleyerek

c

parametresini çözmek.

c = -4

\frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c} = 15 \Rightarrow (2-c)^2(9-4c) = 900

denklemini sağlayan ve parabol ile do��runun iki farklı noktada kesişmesi için gerekli olan

\Delta = 9-4c > 0

(

c < 2.25

) şartına uyan tek reel sayı

c = -4

değeridir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktalarının bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Kesişim noktaları

A

ve

B

arasındaki uzaklık

[AB]

taban uzunluğu olarak alınabilir.

T(2,4)

noktasının

x-y+c=0

doğrusuna olan dik uzaklığı ise yükseklik (

h

) olarak hesaplanır. Taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı

15

birimkareye eşitlenerek

c

değeri bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 136Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası $y$ -ekseni üzerinde olan ve denklemi $y = 12 - x^2$ olan parabol verilmiştir. Bu parabol ile $x$ -ekseni arasında kalan bölgeye; tabanı $x$ -ekseni üzerinde, diğer iki köşesi ise parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor. Buna göre, çizilebilecek bu dikdörtgenin çevresi en fazla kaç birim olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Çizilebilecek dikdörtgenin çevresi en fazla 26 birimdir.

Parabolün simetri ekseni

y

-ekseni olduğundan, içerisine çizilen dikdörtgen de

y

-eksenine göre simetriktir. Taban köşeleri

(-x, 0)

ve

(x, 0)

alındığında taban uzunluğu

2x

, yüksekliği ise parabol üzerindeki noktaların ordinatı olan

12 - x^2

olur. Bu durumda çevre fonksiyonu

C(x) = -2x^2 + 4x + 24

biçiminde kurulur. Kolları aşağı doğru olan bu parabolün en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Apsis

r = 1

iken ordinat

C(1) = 26

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bir değişken cinsinden ifade etmek.

Dikdörtgenin

x

-ekseni üzerindeki köşeleri

(-x, 0)

ve

(x, 0)

olsun (

x > 0

). Bu durumda dikdörtgenin taban uzunluğu

2x

birim olur. Diğer iki köşesi parabol üzerinde yer aldığından, bu köşelerin koordinatları

(-x, 12 - x^2)

ve

(x, 12 - x^2)

olur. Dolayısıyla dikdörtgenin yüksekliği

12 - x^2

birimdir.

Çevre fonksiyonunu oluşturabilmek için kenar uzunluklarını tek bir bilinmeyen cinsinden yazmamız gerekir.

2

Dikdörtgenin çevresini veren fonksiyonu oluşturmak.

Çevre fonksiyonu

C(x) = 2 \cdot (\text{Taban} + \text{Yükseklik}) = 2 \cdot (2x + 12 - x^2) = -2x^2 + 4x + 24

olarak elde edilir.

En büyük çevre de��erini bulmak için çevre uzunluğunu temsil eden ikinci dereceden fonksiyonu tanımlamamız gerekir.

3

İkinci dereceden çevre fonksiyonunun maksimum değerini hesaplamak.

Baş katsayısı negatif olan

C(x) = -2x^2 + 4x + 24

parabolü en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1

olur. Bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak en büyük çevre değeri

C(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 24 = 26

birim olarak hesaplanır.

Bir parabolün alabileceği en büyük değer, tepe noktasının ordinatıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik optimizasyon problemlerinde istenen büyüklük (çevre, alan vb.) tek bir değişken cinsinden modellenerek ikinci dereceden bir fonksiyon elde edilir. Bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri tepe noktasının ordinatı yardımıyla bulunur.

Soru 137Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 3x + 1$ parabolüne üzerindeki bir $A$ noktasından çizilen teğet doğrusu, $y = x^2 - 7x + 13$ parabolüne de $B$ noktasında teğettir. Buna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

\sqrt{2}

2

2\sqrt{2}

4

4\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\sqrt{2}$

Cevap

Teğet noktaları arasındaki uzaklık

2\sqrt{2}

birimdir.

Ortak teğet doğrusunun denklemi olan

y = x - 3

doğrusu ile parabollerin ortak çözümünden elde edilen teğet noktaları sırasıyla

A(2, -1)

ve

B(4, 1)

olarak bulunur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık, iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle

\sqrt{(4-2)^2 + (1 - (-1))^2} = 2\sqrt{2}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak teğet doğrusunun denklemini tanımlama

Ortak teğet doğrusu

y = mx + n

olsun.

Her iki parabole de teğet olan doğrunun eğimini (

m

) ve

y

eksenini kestiği noktayı (

n

) bulmak i��in genel bir doğru modeli oluşturulur.

2

Birinci parabol ile doğrunun teğetlik şartını (diskriminant) uygulama

x^2 - 3x + 1 = mx + n \Rightarrow x^2 - (m+3)x + (1-n) = 0

denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır:

\Delta_1 = (m+3)^2 - 4(1-n) = 0 \Rightarrow 4(1-n) = (m+3)^2

.

Bir doğru bir parabole teğet ise, ortak çözümlerinden elde edilen ikinci dereceden denklemin çakışık iki kökü olmalıdır, yani diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır.

3

İkinci parabol ile doğrunun teğetlik şartını uygulama

x^2 - 7x + 13 = mx + n \Rightarrow x^2 - (m+7)x + (13-n) = 0

denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır:

\Delta_2 = (m+7)^2 - 4(13-n) = 0 \Rightarrow 4(13-n) = (m+7)^2

.

Doğru aynı zamanda ikinci parabole de teğet olduğundan, bu ortak çözüm denkleminin de diskriminantı sıfır olmalıdır.

4

Denklemleri ortak çözerek doğrunun eğimini (

m

) bulma

4(13-n) = 52 - 4n

ve

4(1-n) = 4 - 4n

ifadelerini taraf tarafa çıkarırsak;

48 = (m+7)^2 - (m+3)^2 \Rightarrow 48 = 8m + 40 \Rightarrow 8m = 8 \Rightarrow m = 1

elde edilir.

İki bilinmeyenli iki diskriminant denkleminden

n

parametresini yok ederek tek bilinmeyenli

m

değerine ulaşmak amaçlanır.

5

Doğrunun sabit terimini (

n

) bulma ve denklem oluşturma

m = 1

için

4(1-n) = 16 \Rightarrow 1-n = 4 \Rightarrow n = -3

bulunur. Ortak teğet doğrusunun denklemi

y = x - 3

olur.

Bulunan eğim değeri diskriminant denklemlerinden birinde yerine yazılarak doğrunun tam denklemi elde edilir.

6

Teğet noktaları olan

A

ve

B

koordinatlarını belirleme

Birinci parabol için:

x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x_A = 2

ve

y_A = 2 - 3 = -1 \Rightarrow A(2, -1)

bulunur. İkinci parabol için:

x^2 - 8x + 16 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 = 0 \Rightarrow x_B = 4

ve

y_B = 4 - 3 = 1 \Rightarrow B(4, 1)

bulunur.

Teğet noktalarının apsisleri, ortak çözüm denkleminin çakışık kökleridir. Ordinatlar ise doğrunun denkleminde apsislerin yerine yazılmasıyla elde edilir.

7

Teğet noktaları arasındaki uzaklığı hesaplama

|AB| = \sqrt{(4-2)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

birim bulunur.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü (

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

) kullanılarak

A

ve

B

noktaları arasındaki mesafe hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki parabolün ortak teğet doğrusunun bulunması ve teğet noktaları arasındaki uzaklığın diskriminant yardımıyla hesaplanması.

Soru 138Soru →

Bir tiyatro toplulu��u, sahneleyecekleri yeni oyun için bilet fiyatını belirlemek amacıyla bir pazar araştırması yapmıştır. Bu araştırmaya göre;

* Bilet fiyatı $x$ TL olarak belirlendiğinde oyunu izlemeye gelecek seyirci sayısı $200 - 2x$ kişi olmaktadır.
* Topluluğun bu oyun için yapacağı salon kirası ve reklam gibi sabit giderlerin toplamı 1200 TL'dir.
* Sabit giderlerin yanı sıra, oyunu izleyen her bir seyirci için telif ve ikram gibi 10 TL değişken gider bulunmaktadır.

Buna göre, bu tiyatro topluluğunun bu oyundan elde edebileceği maksimum kâr kaç TL'dir?

1850

2800

2850

3800

4050

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2850

Cevap

Maksimum kâr 2850 TL'dir.

Tiyatro topluluğunun kâr fonksiyonu

K(x) = -2x^2 + 220x - 3200

olarak modellenir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi

r = 55

olup, maksimum kârı veren bilet fiyatıdır. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında maksimum kâr 2850 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bilet fiyatına bağlı olarak elde edilecek toplam gelir fonksiyonunu oluşturmak.

G(x) = x \cdot (200 - 2x) = 200x - 2x^2

Toplam gelir, satılan bilet fiyatı ile seyirci sayısının çarpımı ile hesaplanır.

2

Bilet fiyatına bağlı olarak oluşacak toplam gider fonksiyonunu oluşturmak.

C(x) = 1200 + 10 \cdot (200 - 2x) = 3200 - 20x

Toplam gider, sabit gider ile seyirci başına düşen değişken giderin toplamından oluşur.

3

Kâr fonksiyonunu elde etmek.

K(x) = G(x) - C(x) = -2x^2 + 220x - 3200

Kâr, toplam gelirden toplam giderin çıkarılmasıyla bulunur.

4

Kârı maksimum yapan bilet fiyatını (tepe noktasının apsisini) bulmak.

r = -\frac{220}{2(-2)} = 55

İkinci dereceden bir fonksiyonun baş katsayısı negatif olduğundan, en büyük değerini tepe noktasında alır.

5

Maksimum kâr değerini hesaplamak.

K(55) = -2(55)^2 + 220(55) - 3200 = 2850

Kârı en yüksek yapan bilet fiyatı kâr fonksiyonunda yerine yazılarak maksimum kazanç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün maksimum değerini bulmak için öncelikle model fonksiyonunun oluşturulması ve ardından tepe noktasının ordinatının (k) hesaplanması gerekir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 139Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x|x| - 4x

fonksiyonu veriliyor.

$f$ fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği alınarak $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Daha sonra $g$ fonksiyonunun grafiği $2$ birim sağa ve $1$ birim aşağı ötelenerek $h$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, $h(4)$ değeri kaçtır?

11

-3

-5

3

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Dönüşümler doğru uygulandığında

h(4)

değeri

-5

olarak bulunur.

Doğru cevap

-5

'tir. Orijine göre simetri alındığında

g(x) = -f(-x) = x|x| - 4x

fonksiyonu elde edilir. Bu grafik

2

birim sağa ve

1

birim aşağı ötelendiğinde

h(x) = g(x-2) - 1

fonksiyonuna ulaşılır. Buradan

h(4) = g(2) - 1 = f(2) - 1 = -4 - 1 = -5

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x|x| - 4x

fonksiyonunun orijine göre simetriği olan

g(x)

fonksiyonunu belirlemek.

g(x) = x|x| - 4x

Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetriği

g(x) = -f(-x)

dönüşümüyle elde edilir.

f(-x) = (-x)|-x| - 4(-x) = -x|x| + 4x

olur. Buradan

g(x) = -(-x|x| + 4x) = x|x| - 4x

bulunur. (

f

tek fonksiyon olduğu için orijine göre simetriği kendisine eşittir).

2

g

fonksiyonunun grafiğinin

2

birim sağa ve

1

birim aşağı ötelenmesiyle oluşan

h(x)

fonksiyonunu yazmak.

h(x) = g(x-2) - 1

Yatayda

a

birim sağa öteleme

g(x-a)

ile, dikeyde

b

birim aşağı öteleme ise fonksiyondan

b

çıkarılarak yapılır.

3

h(4)

değerini hesaplamak.

h(4) = -5

h(4) = g(4-2) - 1 = g(2) - 1

olur.

g(2) = 2|2| - 4(2) = 4 - 8 = -4

olduğuna göre,

h(4) = -4 - 1 = -5

elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların eksenlere ve orijine göre simetri dönüşümleri ile yatay/dikey öteleme kuralları.

Soru 140Soru →

Tanım kümeleri gerçel sayılar kümesi olan $f$ ve $g$ fonksiyonlarından; $f$ fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre simetrik, $g$ fonksiyonunun grafiği ise $y$ -eksenine göre simetriktir.

Her

x

gerçel sayısı için

f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2

koşulu sağlandığına göre,

f(2) - g(3)

farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İstenen farkın değeri 11'dir.

Fonksiyonların tek ve çift fonksiyon tanımları gereği f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri kullanılır. Eşitlikte x yerine -x yazılıp taraf tarafa toplandığında g(x) = x^2 + 2 ve f(x) = 2x^3 + 3x elde edilir. Buradan f(2) = 22 ve g(3) = 11 bulunarak farkları 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Grafik simetrilerinden fonksiyonların cebirsel kurallarını belirleme.

f

fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur ve her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = -f(x)

eşitliğini sağlar.

g

fonksiyonunun grafiği

y

-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur ve her

x

gerçel sayısı için

g(-x) = g(x)

eşitliğini sağlar.

Fonksiyonların tek veya çift olma durumları grafiklerinin koordinat sistemindeki simetrileriyle tanımlanır.

2

Verilen denklemde

x

yerine

-x

yazarak yeni bir denklem sistemi kurma.

Verilen denklemde

x

yerine

-x

yazıldığında:

f(-x) + (-x - 1) \cdot g(-x) = 3(-x)^3 - (-x)^2 + 5(-x) - 2

Simetri özellikleri (

f(-x) = -f(x)

ve

g(-x) = g(x)

) uygulandığında denklem:

-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2

halini alır.

Aynı bilinmeyen fonksiyonları içeren ikinci bir bağımsız eşitlik elde edilerek denklem sistemi oluşturulur.

3

İki denklemi taraf tarafa toplayarak

g(x)

fonksiyonunu yalnız bırakma.

Eldeki iki denklem taraf tarafa toplanır:
1)

f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2

2)

-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2

Toplama işlemi sonucunda:

[f(x) - f(x)] + [(x - 1) \cdot g(x) - (x + 1) \cdot g(x)] = (3x^3 - 3x^3) + (-x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-2 - 2)

-2 \cdot g(x) = -2x^2 - 4 \implies g(x) = x^2 + 2

bulunur.

f(x)

terimi elenerek doğrudan

g(x)

kuralına ulaşılır.

4

g(x)

ifadesini ilk denklemde yerine koyup

f(x)

fonksiyonunu çözme.

f(x) + (x - 1)(x^2 + 2) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2

f(x) + x^3 - x^2 + 2x - 2 = 3x^3 - x^2 + 5x - 2

f(x) = 2x^3 + 3x

bulunur.

Bilinmeyenlerden biri bulunduktan sonra diğeri yerine yazma yöntemiyle çözülür.

5

f(2)

ve

g(3)

değerlerini hesaplayıp farklarını alma.

f(2) = 2(2^3) + 3(2) = 16 + 6 = 22

g(3) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11

f(2) - g(3) = 22 - 11 = 11

bulunur.

Bulunan genel fonksiyon kuralları üzerinde istenen noktalardaki değerler hesaplanıp işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Simetri özellikleri yardımıyla fonksiyon denklemlerini çözme ve değer hesaplama.

Tahmini Süre:2m 30s

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar