Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 soru

Tüm türler230Çoktan seçmeli134Doğru / Yanlış2Sayısal84Eşleştirme10
Soru 101Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.

Her xx gerçek sayısı için,
f(x)−3f(−x)=4x3−8xf(x) - 3f(-x) = 4x^3 - 8x
eşitliği sağlanmaktadır.

g(x)=f(x−2)+4g(x) = f(x - 2) + 4 biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi A(a,b)A(a, b) noktasıdır.

Buna göre, f(a)+g(b)f(a) + g(b) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan f bir tek fonksiyondur. f(-x) = -f(x) yazılıp denklem çözüldüğünde f(x) = x^3 - 2x elde edilir. g(x) = f(x - 2) + 4 fonksiyonunun simetri merkezi, f fonksiyonunun simetri merkezi olan (0, 0) noktasının 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesiyle (2, 4) olarak bulunur. Buradan a = 2 ve b = 4 elde edilir. f(2) = 4 ve g(4) = f(2) + 4 = 8 değerlerinin toplamı 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun tek/çift olma durumunun belirlenmesi
f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan f bir tek fonksiyondur. Dolayısıyla her x gerçek sayısı için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır.
Orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.
2
f(x) fonksiyonunun kuralının elde edilmesi
f(-x) = -f(x) ifadesi verilen denklemde yerine yazıldığında f(x) - 3(-f(x)) = 4x^3 - 8x elde edilir. Buradan 4f(x) = 4x^3 - 8x ve f(x) = x^3 - 2x olarak bulunur.
Verilen fonksiyonel denklemde tek fonksiyon tanımı kullanılarak bilinmeyen fonksiyonun kuralı elde edilir.
3
g fonksiyonunun simetri merkezinin belirlenmesi
f fonksiyonunun simetri merkezi orijin yani (0, 0) noktasıdır. g(x) = f(x - 2) + 4 fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesiyle elde edildiği için g'nin simetri merkezi A(2, 4) olur. Buradan a = 2 ve b = 4 bulunur.
Bir fonksiyonun grafiği ötelendiğinde simetri merkezi de aynı miktarda ötelenir.
4
f(a) ve g(b) değerlerinin hesaplanması ve toplamın bulunması
a = 2 için f(2) = 2^3 - 2(2) = 4 olur. b = 4 için g(4) = f(4 - 2) + 4 = f(2) + 4 = 4 + 4 = 8 olur. Buradan f(a) + g(b) = 4 + 8 = 12 elde edilir.
Bulunan simetri merkezi koordinatları fonksiyon kurallarında yerine yazılarak istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tek fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki simetri merkezlerinin değişimi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 102Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−2x+7y = x^2 - 2x + 7 parabolü ile y=4x+cy = 4x + c doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, bu parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın apsisi 3'tür.
Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir. x2−2x+7=4x+cx^2 - 2x + 7 = 4x + c denklemi düzenlendiğinde x2−6x+(7−c)=0x^2 - 6x + (7-c) = 0 elde edilir. Bu denklemin çift katlı kökü, teğet noktasının apsisidir ve x0=−b2a=−−62=3x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−2x+7=4x+c⇒x2−6x+(7−c)=0x^2 - 2x + 7 = 4x + c \Rightarrow x^2 - 6x + (7-c) = 0
Kesişim veya teğetlik noktalarını bulmak için iki fonksiyonun ortak çözümü yapılmalıdır.
2
Teğet olma koşulunu (diskriminantın sıfıra eşit olması) kullanarak ortak çözüm denkleminin çift katlı kökünü hesaplayın.
Çift katlı kök (teğet noktasının apsisi) x0=−b2a=−−62⋅1=3x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 olarak bulunur.
İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı sıfır olduğunda, denklemin tek (çift katlı) kökü vardır ve bu kök −b2a-\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun teğet olması durumunda ortak denklemin tek kökünün (çift katlı kök) bulunması
Soru 103Soru →
kk bir gerçel sayı olmak üzere, [k,k+3][k, k+3] kapalı aralığında tanımlı
f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark 1515’tir.

Buna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farkın 15 olması koşulunu sağlayan farklı k değerlerinin çarpımı -6'dır.
Doğru yanıt olan değer, parabolün tepe noktası olan x = 2 apsisli noktanın sağında ve solunda kalan aralıkların her ikisinin de incelenmesiyle elde edilir. k = 3 durumunda fonksiyon [3, 6] aralığında artandır ve fark 15 olur. k = -2 durumunda ise fonksiyon [-2, 1] aralığında azalandır ve fark yine 15 olur. Bu iki değerin çarpımı -6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını bulma
r = 2
f(x) = x^2 - 4x + 5 parabolünün tepe noktasının apsisi r = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 2 olarak bulunur. a = 1 > 0 olduğundan kollar yukarı doğrudur ve fonksiyon x = 2'de minimum değerini alır.
2
k parametresine bağlı aralık durumlarını belirleme
Üç farklı durum: k >= 2 (artan), k+3 <= 2 (azalan) ve -1 < k < 2 (tepe noktası aralık içinde)
[k, k+3] aralığının tepe noktası olan 2'ye göre konumunu inceleyerek en büyük ve en küçük değerlerin hangi noktalarda oluştuğunu belirlemek gerekir.
3
Aralığın tepe noktasının sağında kalması durumunu (k >= 2) inceleme
k = 3
k >= 2 ise f(x) fonksiyonu [k, k+3] aralığında daima artandır. En küçük değer f(k), en büyük değer f(k+3) olur. Fark: f(k+3) - f(k) = (k+3)^2 - 4(k+3) + 5 - (k^2 - 4k + 5) = 6k - 3 olur. 6k - 3 = 15 denklemi çözüldüğünde k = 3 elde edilir. Bu değer k >= 2 koşulunu sağlar.
4
Aralığın tepe noktasının solunda kalması durumunu (k <= -1) inceleme
k = -2
k+3 <= 2 yani k <= -1 ise f(x) fonksiyonu [k, k+3] aralığında daima azalandır. En büyük değer f(k), en küçük değer f(k+3) olur. Fark: f(k) - f(k+3) = -(6k - 3) = -6k + 3 olur. -6k + 3 = 15 denklemi çözüldüğünde k = -2 elde edilir. Bu değer k <= -1 koşulunu sağlar.
5
Tepe noktasının aralık içinde olması durumunu (-1 < k < 2) inceleme
Reel kök bulunamaz
Bu durumda en küçük değer tepe noktasında oluşur: f(2) = 1. En büyük değer ise sınırlarda oluşur. Tepe noktasına uzak olan sınıra göre maksimum değer f(k) veya f(k+3) olur. (k-2)^2 = 15 veya (k+1)^2 = 15 denklemlerinden gelen kökler aralık sınırlarını sağlamaz.
6
Bulunan k değerlerinin çarpımını hesaplama
3 * (-2) = -6
Koşulları sağlayan k değerleri 3 ve -2'dir. Bu değerlerin çarpımı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktasının aralığa göre konumu incelenmelidir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa fonksiyon o aralıkta monotondur (artan veya azalan); içindeyse en büyük ya da en küçük değer tepe noktasında oluşur.
Soru 104Soru →

Analitik düzlemde, y=2x2−ax+3y = 2x^2 - ax + 3 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, aa gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2'dir.
Parabol ile doğrunun teğet olması, ortak kesim noktası denkleminin diskriminantının sıfır olması demektir. İki denklemi birbirine eşitlediğimizde elde ettiğimiz 2x2−(a+2)x+2=02x^2 - (a+2)x + 2 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(a+2)2−16=0\Delta = (a+2)^2 - 16 = 0 olmalıdır. Buradan (a+2)2=16(a+2)^2 = 16 olup, a+2=4  ⟹  a=2a+2 = 4 \implies a = 2 veya a+2=−4  ⟹  a=−6a+2 = -4 \implies a = -6 bulunur. Pozitif değer istendiği için doğru cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun ortak denklemini oluşturmak
2x2−(a+2)x+2=02x^2 - (a+2)x + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Parabol ve doğrunun kesişim ya da teğetlik noktalarını bulabilmek için denklemlerinin ortak çözülmesi gerekir.
2
Teğetlik şartını uygulamak
Δ=[−(a+2)]2−4⋅2⋅2=0\Delta = [-(a+2)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0 eşitliğinden (a+2)2=16(a+2)^2 = 16 elde edilir.
Bir doğru ile parabolün teğet olması, ortak denklemlerinin çift katlı köke sahip olması yani diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.
3
aa parametresinin alabileceği değerleri hesaplamak
a=2a = 2 veya a=−6a = -6 bulunur.
Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4 olduğundan a+2a+2 ifadesi bu sayılara eşitlenerek çözüme gidilir.
4
Koşula uygun değeri belirlemek
a=2a = 2 olarak seçilir.
Soruda aa sayısının alabileceği pozitif değer istendiği için negatif olan -6 elenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak denklemin diskriminantının sıfıra eşit olması
Soru 105Soru →

Dik koordinat düzleminde, başlangıçta (0,20)(0, 20) noktasında bulunan AA hareketlisi yy-ekseni boyunca negatif yönde saniyede 33 birim sabit hızla, (−10,0)(-10, 0) noktasında bulunan BB hareketlisi ise xx-ekseni boyunca pozitif yönde saniyede 44 birim sabit hızla aynı anda harekete başlamıştır.

Buna göre, hareketleri boyunca bu iki hareketli arasındaki mesafe en az kaç birim olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İki hareketli arasındaki en kısa mesafe 10 birimdir.
İki hareketli arasındaki mesafenin karesini veren fonksiyon f(t)=25t2−200t+500f(t) = 25t^2 - 200t + 500 şeklindedir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi t=4t = 4 olup, bu değer yerine yazıldığında mesafe en az f(4)=10\sqrt{f(4)} = 10 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hareketlilerin tt saniye sonraki konumlarını koordinat olarak ifade etme
AA hareketlisinin konumu A(0,20−3t)A(0, 20 - 3t), BB hareketlisinin konumu B(−10+4t,0)B(-10 + 4t, 0) olur.
Hareketliler sabit hızla hareket ettiklerinden geçen süre ile hızlarının çarpımı aldıkları yolu verir.
2
İki hareketli arasındaki mesafeyi tt değişkenine bağlı olarak formüle etme
d(t)=(−10+4t−0)2+(0−(20−3t))2=(−10+4t)2+(20−3t)2d(t) = \sqrt{(-10 + 4t - 0)^2 + (0 - (20 - 3t))^2} = \sqrt{(-10 + 4t)^2 + (20 - 3t)^2}
Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} şeklindedir.
3
Mesafe fonksiyonunun içindeki ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden fonksiyonu elde etme
f(t)=16t2−80t+100+9t2−120t+400=25t2−200t+500f(t) = 16t^2 - 80t + 100 + 9t^2 - 120t + 400 = 25t^2 - 200t + 500 elde edilir.
En küçük değeri bulabilmek için ifadeyi at2+bt+cat^2 + bt + c biçiminde bir parabol denklemine dönüştürmek gerekir.
4
Parabolün en küçük değerini aldığı tepe noktasının süresini (tt) bulma
t=r=−b2a=−−2002×25=4t = r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-200}{2 \times 25} = 4 saniye bulunur.
Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında (r,kr, k) alır.
5
Bulunan t=4t = 4 değerini mesafe formülünde yerine yazarak en küçük mesafeyi hesaplama
d(4)=25(4)2−200(4)+500=100=10d(4) = \sqrt{25(4)^2 - 200(4) + 500} = \sqrt{100} = 10 birim.
En küçük uzaklığı bulmak için tepe noktasının apsis değeri mesafe fonksiyonunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasında en küçük veya en büyük değerini alması uygulamaları.
Soru 106Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün grafiği aa birim sağa ve bb birim aşağı ötelendiğinde g(x)=x2−10x+22g(x) = x^2 - 10x + 22 parabolünün grafiği elde ediliyor.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Dokuz
Verilen parabollerin tepe noktaları sırasıyla T1(2,3)T_1(2, 3) ve T2(5,−3)T_2(5, -3) olarak bulunur. Apsisteki değişim 2→52 \rightarrow 5 olduğundan grafik 33 birim sağa ötelenmiştir (a=3a = 3). Ordinattaki değişim 3→−33 \rightarrow -3 olduğundan grafik 66 birim aşağı ötelenmiştir (b=6b = 6). Bu durumda a+b=9a + b = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasını bulma
f(x)=(x−2)2+3f(x) = (x - 2)^2 + 3 biçiminde yazılarak tepe noktası T1(2,3)T_1(2, 3) olarak elde edilir.
Öteleme hareketini takip edebilmek için başlangıç fonksiyonunun tepe noktasını belirlemeliyiz.
2
g(x)=x2−10x+22g(x) = x^2 - 10x + 22 parabolünün tepe noktasını bulma
g(x)=(x−5)2−3g(x) = (x - 5)^2 - 3 biçiminde yazılarak tepe noktası T2(5,−3)T_2(5, -3) olarak elde edilir.
Öteleme sonrasındaki fonksiyonun tepe noktasını bularak iki nokta arasındaki yer değiştirmeyi belirlemeliyiz.
3
Öteleme miktarlarını ve toplamı hesaplama
Apsis 22'den 55'e çıktığı için a=3a = 3 birim sağa öteleme yapılmıştır. Ordinat 33'ten −3-3'e indiği için b=6b = 6 birim aşağı öteleme yapılmıştır. Buradan a+b=3+6=9a + b = 3 + 6 = 9 bulunur.
Sağa öteleme miktarı olan aa ile aşağı öteleme miktarı olan bb'yi tespit edip toplamlarını bulmak.

Anahtar Kavram

Parabol grafiklerinde yatay öteleme f(x−a)f(x-a) ve dikey öteleme f(x)+bf(x)+b dönüşümleri tepe noktasının koordinatları üzerinden incelenebilir.
Soru 107Soru →

Dik koordinat düzleminde, [−3,2][-3, 2] kapalı aralığında tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafik, A(−3,0)A(-3, 0), B(0,3)B(0, 3) ve C(2,0)C(2, 0) noktalarını ardışık olarak birleştiren iki doğru parçasından oluşmaktadır.

g(x)=3−f(∣x∣)g(x) = 3 - f(|x|)
h(x)=f(1−x)h(x) = f(1-x)

biçiminde tanımlanan gg ve hh fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarının tüm koordinatlarının (apsis ve ordinatlarının) toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 174\frac{17}{4}

Cevap

Kesişim noktalarının koordinatları toplamı olan 17/4 ifadesidir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, g(x) = 1.5|x| ve h(x) = f(1-x) fonksiyonlarının kurallarının doğru aralıklarda yazılması ve ortak tanım kümesi olan [-1, 2] aralığındaki kesişim noktalarının apsis ve ordinat değerlerinin toplanmasıyla elde edilir. Bu noktalar (-1/2, 3/4) ve (8/5, 12/5) olup toplamları 17/4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme
g(x) = 3 - f(|x|) fonksiyonunda, f fonksiyonunun tanım kümesi [-3, 2] olduğundan, |x| ifadesi [0, 2] aralığında olmalıdır. Buradan g(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 2] olarak bulunur. x >= 0 için g(x) = 3 - f(x) = 3 - (3 - 1.5x) = 1.5x ve x < 0 için g(x) = 3 - f(-x) = 1.5|x| elde edilir. Yani, g(x) = 1.5|x| biçimindedir.
Kesişim noktalarını bulabilmek için öncelikle g(x) fonksiyonunun cebirsel ifadesini ve tanımlı olduğu aralığı bulmamız gerekir.
2
h(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme
h(x) = f(1-x) fonksiyonunda, f'in tanım kümesi [-3, 2] olduğundan -3 <= 1-x <= 2 eşitsizliğinden h fonksiyonunun tanım kümesi [-1, 4] olarak bulunur. 1-x >= 0 yani x <= 1 için h(x) = -1.5(1-x) + 3 = 1.5x + 1.5 olur. 1-x < 0 yani x > 1 için h(x) = (1-x) + 3 = -x + 4 olur.
h(x) fonksiyonunun farklı aralıklardaki doğrusal denklemlerini elde etmek kesişim denklemlerini kurmamızı sağlar.
3
Ortak tanım kümesindeki kesişim noktalarını hesaplama
g ve h fonksiyonlarının ortak tanım kümesi [-2, 2] ile [-1, 4] aralıklarının kesişimi olan [-1, 2] aralığıdır. Bu aralıkta kesişimleri incelersek: 1) [-1, 0] aralığında: -1.5x = 1.5x + 1.5 => 3x = -1.5 => x = -0.5 olur. Buradan y = g(-0.5) = 0.75 elde edilir. İlk nokta P_1(-0.5, 0.75) olur. 2) [0, 1] aralığında: 1.5x = 1.5x + 1.5 => 0 = 1.5 (��özüm yoktur). 3) [1, 2] aralığında: 1.5x = -x + 4 => 2.5x = 4 => x = 1.6 olur. Buradan y = g(1.6) = 2.4 elde edilir. İkinci nokta P_2(1.6, 2.4) olur.
İki grafiğin kesiştiği noktaların apsis ve ordinat değerlerini bulmak için fonksiyon kuralları ortak çözülür.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
Bulunan noktaların koordinatları toplamı: (-0.5) + 0.75 + 1.6 + 2.4 = 0.25 + 4 = 4.25 = 17/4 bulunur.
Soru kökünde istenen nihai toplam değerine ulaşmak için tüm bileşenler toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun mutlak değer dönüşümü y = f(|x|), y eksenine göre yansıması y = f(-x) ve yatay/dikey ötelemelerin bileşkesi altında grafiklerin analizi.
Soru 108Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* ff fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde K(2,3)K(2, 3) noktasına göre simetriktir.
* gg fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde x=1x = 1 doğrusuna göre simetriktir.
* Her xx gerçek sayısı için f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, g(f(3))g(f(3)) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen g(f(3)) ifadesinin değeri 18 olarak bulunur.
Verilen simetri kurallarına göre f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ve g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) eşitlikleri yazılır. Ana denklemde xx yerine 4−x4-x yazılıp iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 elde edilir. Bu kural ana denklemde yerine yazıldığında g(3−x)=x2−4x+6g(3-x) = x^2 - 4x + 6 bulunur. İstenen g(f(3))g(f(3)) değerinde f(3)=5f(3) = 5 olup, g(5)g(5) değerini hesaplamak için x=−2x = -2 yazıldığında sonuç 18 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların simetri özelliklerini matematiksel eşitlikler olarak ifade etmek.
f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ve g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) eşitliklerini elde etmek.
ff fonksiyonunun grafiği K(2,3)K(2,3) noktasına göre simetrik olduğundan her xx için f(2−x)+f(2+x)=2⋅3=6f(2-x) + f(2+x) = 2 \cdot 3 = 6 olur. Burada 2−x2-x yerine xx yazılırsa f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 elde edilir. gg fonksiyonunun grafiği x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğundan her xx için g(1−x)=g(1+x)g(1-x) = g(1+x) olur. Burada 1−x1-x yerine x−1x-1 yazılırsa g(x−1)=g(2−(x−1))=g(3−x)g(x-1) = g(2-(x-1)) = g(3-x) elde edilir.
2
Verilen ana denklemde xx yerine 4−x4-x yazarak yeni bir denklem elde etmek.
f(4−x)+g(x−1)=x2−6x+13f(4-x) + g(x-1) = x^2 - 6x + 13 denklemini bulmak.
f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ilişkisini kullanabilmek amacıyla ana denklemde değişken değiştirme yapılır. xx yerine 4−x4-x yazıldığında (4−x)2−2(4−x)+5=x2−8x+16−8+2x+5=x2−6x+13(4-x)^2 - 2(4-x) + 5 = x^2 - 8x + 16 - 8 + 2x + 5 = x^2 - 6x + 13 bulunur.
3
gg fonksiyonunun simetri özelliğini kullanarak denklemi düzenlemek ve f(x)f(x) fonksiyonunu bulmak.
f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 fonksiyonunu bulmak.
g(x−1)=g(3−x)g(x-1) = g(3-x) simetrisi kullanılarak ikinci denklem f(4−x)+g(3−x)=x2−6x+13f(4-x) + g(3-x) = x^2 - 6x + 13 haline getirilir. Bu denklem ilk denklem olan f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 ifadesinden çıkarıldığında f(x)−f(4−x)=4x−8f(x) - f(4-x) = 4x - 8 elde edilir. Bu eşitlik f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 ile taraf tarafa toplanarak 2f(x)=4x−2  ⟹  f(x)=2x−12f(x) = 4x - 2 \implies f(x) = 2x - 1 bulunur.
4
f(x)f(x) fonksiyonunu yerine yazarak g(3−x)g(3-x) ifadesini elde etmek ve istenen değeri hesaplamak.
g(f(3))=18g(f(3)) = 18 değerini elde etmek.
f(x)+g(3−x)=x2−2x+5f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5 denkleminde f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 yazılırsa g(3−x)=x2−4x+6g(3-x) = x^2 - 4x + 6 olur. İstenen değer g(f(3))g(f(3)) olup öncelikle f(3)=2(3)−1=5f(3) = 2(3) - 1 = 5 hesaplanır. g(5)g(5) değerini bulmak için 3−x=5  ⟹  x=−23-x=5 \implies x=-2 yazılarak g(5)=(−2)2−4(−2)+6=18g(5) = (-2)^2 - 4(-2) + 6 = 18 bulunur.

Anahtar Kavram

Noktaya ve doğruya göre simetri dönüşümlerinin fonksiyon denklemleri üzerindeki cebirsel etkileri.
Soru 109Soru →
Grafiği yy-eksenine göre simetrik olan ff fonksiyonu her xx gerçek sayısı için
f(x)+3f(−x)=2x2+8f(x) + 3f(-x) = 2x^2 + 8
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 değerini içeren seçenektir.
Grafiği yy-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlarda her xx gerçek sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır. Bu özellik verilen f(x)+3f(−x)=2x2+8f(x) + 3f(-x) = 2x^2 + 8 denkleminde yerine yazılırsa 4f(x)=2x2+84f(x) = 2x^2 + 8 elde edilir. Buradan f(x)=x22+2f(x) = \frac{x^2}{2} + 2 bulunur. x=2x = 2 yazılarak f(2)=222+2=4f(2) = \frac{2^2}{2} + 2 = 4 sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla doğru yanıt 4 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiğin yy-eksenine göre simetrik olmasından yararlanarak f(−x)f(-x) ifadesinin eşitini belirleyin.
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
yy-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve bu fonksiyonlarda her xx gerçek sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır.
2
Verilen denklemde f(−x)f(-x) yerine f(x)f(x) yazarak denklemi tek bir bilinmeyenli fonksiyon terimine dönüştürün.
f(x)+3f(x)=2x2+8⇒4f(x)=2x2+8f(x) + 3f(x) = 2x^2 + 8 \Rightarrow 4f(x) = 2x^2 + 8
Denklemi çözülebilir kılmak için f(−x)f(-x) terimini f(x)f(x) cinsinden yazıp benzer terimleri toplarız.
3
f(x)f(x) ifadesini yalnız bırakın ve x=2x = 2 değerini yerine yazarak f(2)f(2)'yi hesaplayın.
f(x)=2x2+84=x22+2⇒f(2)=222+2=2+2=4f(x) = \frac{2x^2 + 8}{4} = \frac{x^2}{2} + 2 \Rightarrow f(2) = \frac{2^2}{2} + 2 = 2 + 2 = 4
İstenen f(2)f(2) değerini elde etmek için fonksiyonda xx değişkeninin yerine 22 yazılır.

Anahtar Kavram

Grafiği y-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlarda f(-x) = f(x) olması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 110Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği 3 birim sola ve 2 birim yukarı ötelendiğinde y=g(x)y = g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5

olduğuna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun grafiğinin yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Grafiğin 3 birim sola ötelenmesi x yerine x+3 yazılması anlamına gelir. 2 birim yukarı ötelenmesi ise fonksiyona 2 eklenmesini gerektirir. Bu durumda yeni fonksiyon g(x)=f(x+3)+2g(x) = f(x+3) + 2 olur. yy eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için x=0x=0 yazıldığında g(0)=f(3)+2g(0) = f(3) + 2 elde edilir. f(3)=8f(3) = 8 olduğundan doğru yanıt 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Öteleme kurallarını kullanarak g(x) fonksiyonunu f(x) cinsinden ifade etme
g(x)=f(x+3)+2g(x) = f(x + 3) + 2
Bir fonksiyonun grafiği a birim sola ötelendiğinde x yerine x+a yazılır, b birim yukarı ötelendiğinde ise fonksiyona b eklenir.
2
g(x) fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın ordinatını veren g(0) ifadesini oluşturma
g(0)=f(3)+2g(0) = f(3) + 2
Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x yerine 0 yazılır.
3
f(3) değerini hesaplayıp g(0) ifadesinde yerine yazarak sonucu bulma
f(3)=32−2(3)+5=8  ⟹  g(0)=8+2=10f(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 8 \implies g(0) = 8 + 2 = 10
Verilen f(x) kuralında x yerine 3 yazılarak f(3) değeri hesaplanır ve ardından dikey öteleme miktarı eklenir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay öteleme f(x+a) ve dikey öteleme f(x)+b kurallarının uygulanması.
Soru 111Soru →
f:[4,7]→Rf: [4, 7] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=−x2+6x+10f(x) = -x^2 + 6x + 10
fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıktaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

En büyük ve en küçük değerlerin toplamı 21'dir.
Doğru cevap olan 21 değeri, fonksiyonun tepe noktasının apsisi olan 3'ün tanım aralığının solunda kaldığı ve a=−1<0a = -1 < 0 olduğu için fonksiyonun [4,7][4, 7] aralığında tamamen azalan olmasından kaynaklanır. Böylece en büyük değer sol uçta f(4)=18f(4) = 18, en küçük değer ise sağ uçta f(7)=3f(7) = 3 olarak bulunur ve toplamları 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama
r=−b2a=−62(−1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3
Parabolün yönünü ve artan/azalan olduğu aralıkları belirlemek için tepe noktasının apsisi bulunur.
2
Tepe noktasının verilen [4,7][4, 7] tanım aralığında olup olmadığını kontrol etme ve fonksiyonun bu aralıktaki karakterini belirleme
3∉[4,7]3 \notin [4, 7] ve a=−1<0a = -1 < 0 olduğundan, parabolün kolları aşağı doğrudur. Dolayısıyla fonksiyon x>3x > 3 için azalandır. Bu durumda [4,7][4, 7] aralığındaki fonksiyon tamamen azalandır.
Tanım kümesi sınırlandırılmış fonksiyonlarda en büyük ve en küçük değerler uç noktalarda veya aralığa düşen tepe noktasında oluşur.
3
Aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplama
En büyük değer sol uçta: f(4)=−(4)2+6(4)+10=−16+24+10=18f(4) = -(4)^2 + 6(4) + 10 = -16 + 24 + 10 = 18.
En küçük değer sağ uçta: f(7)=−(7)2+6(7)+10=−49+42+10=3f(7) = -(7)^2 + 6(7) + 10 = -49 + 42 + 10 = 3.
Azalan bir fonksiyonda en küçük girdi en büyük çıktıyı, en büyük girdi ise en küçük çıktıyı verir.
4
Elde edilen en büyük ve en küçük değerleri toplama
18+3=2118 + 3 = 21
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulmak amacıyla toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Sınırlandırılmış bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralık içinde olup olmadığının kontrol edilmesi.
Soru 112Soru →

Bir güneş enerjisi santralinde üretilen elektrik gücü (megavat cinsinden), günün 10.0010.00 ile 16.0016.00 saatleri arasında (bu saatler dahil) geçen süre tt (saat) olmak üzere,

P(t)=−t2+18t−30P(t) = -t^2 + 18t - 30

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu santralde belirtilen saat aralığında üretilen maksimum elektrik gücü ile minimum elektrik gücü arasındaki fark kaç megavattır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Belirtilen saat aralığında üretilen maksimum elektrik gücü ile minimum elektrik gücü arasındaki fark 48 megavattır.
Fonksiyonun tepe noktası t=9t = 9 olup [10,16][10, 16] aralığının dışındadır. t2t^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için parabol kolları aşağı bakar ve t>9t > 9 için fonksiyon azalandır. Dolayısıyla, [10,16][10, 16] aralığındaki maksimum değer sol uçta (t=10t = 10 için 5050), minimum değer ise sağ uçta (t=16t = 16 için 22) elde edilir. Bu iki değer arasındaki fark 50−2=4850 - 2 = 48 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplayın.
r=9r = 9
İkinci dereceden fonksiyonlarda en büyük veya en küçük değer genellikle tepe noktasında oluştuğundan öncelikle tepe noktasının konumu belirlenir.
2
Tepe noktasının verilen [10,16][10, 16] kapalı aralığında yer alıp almadığını kontrol edin.
9∉[10,16]9 \notin [10, 16] olduğundan, fonksiyon bu aralıkta tepe noktasında ekstremum değer alamaz. a<0a < 0 olduğu için fonksiyon bu aral��kta daima azalandır.
Sınırlandırılmış aralıklarda en büyük ve en küçük değerler araştırılırken tepe noktasının aralık içinde olup olmadığı kritik bir adımd��r.
3
Aralığın uç noktaları olan t=10t = 10 ve t=16t = 16 için fonksiyon değerlerini hesaplayarak maksimum ve minimum değerleri belirleyin.
P(10)=50P(10) = 50 (Maksimum) ve P(16)=2P(16) = 2 (Minimum)
Daima azalan bir fonksiyon sınırlı bir aralıkta en büyük değerini sol uçta, en küçük değerini ise sağ uçta alır.
4
Maksimum güç ile minimum güç değerleri arasındaki farkı hesaplayın.
50−2=4850 - 2 = 48
Soruda istenen maksimum ve minimum değerler arasındaki farkı bulmak için büyük değerden küçük değer çıkarılır.

Anahtar Kavram

Tanım kümesi [a,b][a, b] gibi kapalı bir aralıkla sınırlandırılmış ikinci dereceden bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri bulunurken, parabolün tepe noktasının (rr) bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Eğer r∉[a,b]r \notin [a, b] ise fonksiyon bu aralıkta monotondur (daima artan veya daima azalan) ve ekstremum değerlerini sadece aralığın uç noktalarında (f(a)f(a) ve f(b)f(b) değerlerinde) alabilir.
Soru 113Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonu veriliyor.

g(x)=f(∣x∣)g(x) = f(|x|)
h(x)=−g(x−1)+2h(x) = -g(x-1) + 2

olduğuna göre, h(x)=0h(x) = 0 denklemini sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 4'tür.
Doğru cevap olan 4 değeri, h(x) = 0 denkleminin tüm gerçel köklerinin bulunup toplanmasıyla elde edilir. h(x) fonksiyonu x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğundan, tüm kökler bu doğruya göre simetrik çiftler oluşturur ve toplamları 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) fonksiyonunu oluşturma
g(x)=f(∣x∣)=∣x∣2−4∣x∣+3=x2−4∣x∣+3g(x) = f(|x|) = |x|^2 - 4|x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyon y eksenine (x=0x = 0 doğrusuna) göre simetriktir.
h(x) fonksiyonunun tanımındaki g(x) bileşenini belirlemek için.
2
h(x) = 0 denklemini kurma ve sadeleştirme
−g(x−1)+2=0  ⟹  g(x−1)=2-g(x-1) + 2 = 0 \implies g(x-1) = 2 denklemi elde edilir.
h(x)'in sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için.
3
g(x-1) = 2 denklemini çözme
(∣x−1∣−2)2−1=2  ⟹  (∣x−1∣−2)2=3(|x-1| - 2)^2 - 1 = 2 \implies (|x-1| - 2)^2 = 3 olur. Buradan ∣x−1∣−2=3|x-1| - 2 = \sqrt{3} veya ∣x−1∣−2=−3|x-1| - 2 = -\sqrt{3} elde edilir.
Mutlak değerli denklemin köklerini bulmak için.
4
Kökleri tek tek hesaplama veya simetriyi kullanma
Birinci durumdan: ∣x−1∣=2+3  ⟹  x1=3+3|x-1| = 2 + \sqrt{3} \implies x_1 = 3 + \sqrt{3} ve x2=−1−3x_2 = -1 - \sqrt{3}. İkinci durumdan: ∣x−1∣=2−3  ⟹  x3=3−3|x-1| = 2 - \sqrt{3} \implies x_3 = 3 - \sqrt{3} ve x4=−1+3x_4 = -1 + \sqrt{3}. Tüm köklerin toplamı: (3+3)+(−1−3)+(3−3)+(−1+3)=4(3 + \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) + (-1 + \sqrt{3}) = 4 bulunur.
Denklemin tüm gerçel köklerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yansıma ve öteleme dönüşümlerinin simetri eksenine etkisi

Alternatif Yöntem

Denklemin köklerinin simetri ekseni olan x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik olmasından faydalanılabilir. g(x)=f(∣x∣)g(x) = f(|x|) fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan x=0x = 0 doğrusuna göre simetriktir. h(x)=−g(x−1)+2h(x) = -g(x-1) + 2 fonksiyonu ise bu grafiğin 1 birim sağa ötelenmesiyle elde edildiği için simetri ekseni x=1x = 1 doğrusu olur. h(x)=0h(x) = 0 denkleminin 4 farklı gerçel kökü olduğu belirlendikten sonra, kökler x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik çiftler halinde olacağından, toplamları 2×2=42 \times 2 = 4 olarak doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 114Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2+a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1
g(x)=−x2+2bx−b2−b+5g(x) = -x^2 + 2bx - b^2 - b + 5
parabolleri veriliyor.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2'dir.

T1T_1 ve T2T_2 noktaları y=x−1y = x - 1 doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8 değeri doğrudur.
Doğru cevap olan 8 değeri, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1(a,a+1)T_1(a, a+1) ve g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2(b,5−b)T_2(b, 5-b) olarak bulunduktan sonra, bu noktaların y=x−1y = x - 1 doğrusuna göre simetriklik şartları (b=4b = 4 ve a=2a = 2) uygulanarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının tepe noktalarının koordinatlarını parametrelere bağlı olarak bulalım.
f(x)=(x−a)2+a+1  ⟹  T1(a,a+1)f(x) = (x-a)^2 + a + 1 \implies T_1(a, a+1)
g(x)=−(x−b)2−b+5  ⟹  T2(b,5−b)g(x) = -(x-b)^2 - b + 5 \implies T_2(b, 5-b)
Parabollerin tepe noktalarını belirlemek, simetri kurallarını uygulamak için gereklidir.
2
T1T_1 ve T2T_2 noktalarının orta noktası olan MM noktasının koordinatlarını bulalım ve y=x−1y = x - 1 doğrusunun üzerinde olduğunu kullanalım.
M(a+b2,a−b+62)M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b+6}{2}\right) noktası doğru denklemini sağlar:
a−b+62=a+b2−1  ⟹  a−b+6=a+b−2  ⟹  2b=8  ⟹  b=4\frac{a-b+6}{2} = \frac{a+b}{2} - 1 \implies a-b+6 = a+b-2 \implies 2b = 8 \implies b = 4
İki noktanın bir doğruya göre simetrik olması, bu noktaları birleştiren doğru parçasının orta noktasının simetri doğrusu üzerinde olmasını gerektirir.
3
T1T2T_1 T_2 doğru parçasının eğimini bularak simetri doğrusunun eğimiyle ilişkisini kuralım.
y=x−1y = x - 1 doğrusunun eğimi 11 olduğundan, ona dik olan T1T2T_1 T_2 doğrusunun eğimi −1-1 olmalıdır:
mT1T2=(5−b)−(a+1)b−a=4−a−bb−a=−1  ⟹  4−a−b=−b+a  ⟹  2a=4  ⟹  a=2m_{T_1 T_2} = \frac{(5-b) - (a+1)}{b-a} = \frac{4-a-b}{b-a} = -1 \implies 4-a-b = -b+a \implies 2a = 4 \implies a = 2
İki noktanın bir doğruya göre simetrik olması, bu noktaları birleştiren doğrunun simetri doğrusuna dik olmasını gerektirir.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini çarparak sonucu elde edelim.
a⋅b=2⋅4=8a \cdot b = 2 \cdot 4 = 8
Soruda istenen a⋅ba \cdot b değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları ile iki noktanın bir doğruya göre simetrik olma koşullarının (orta noktanın doğru üzerinde olması ve eğimler çarpımının -1 olması) birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 115Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−15f(x) = x^2 - 2x - 15 fonksiyonunun grafiği aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

y=g(x)y = g(x) parabolünün tepe noktası y=−3xy = -3x doğrusu üzerinde olup, bu parabol yy eksenini (0,4)(0, 4) noktasında kesmektedir.

aa ve bb pozitif gerçek sayılar olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7 değeridir.
Doğru seçenekte verilen 7 değeri; tepe noktasının koordinatları ötelenip verilen doğru denkleminde yerine yazıldığında ve y-eksenini kesim noktası koşuluyla birleştirildiğinde elde edilen a = 3 ve b = 4 pozitif değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.
f(x)=x2−2x−15f(x) = x^2 - 2x - 15 parabolünün tepe noktasının apsisi r=−−22=1r = -\frac{-2}{2} = 1 ve ordinatı k=f(1)=12−2(1)−15=−16k = f(1) = 1^2 - 2(1) - 15 = -16 olur. Tepe noktası Tf(1,−16)T_f(1, -16) olarak bulunur.
Öteleme dönüşümünü uygulamak için orijinal parabolün tepe noktasını belirlememiz gerekir.
2
g(x) fonksiyonunun tepe noktasını öteleme miktarlarına bağlı olarak ifade edelim.
Grafik aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinden, yeni tepe noktası Tg(1+a,−16+b)T_g(1+a, -16+b) olur.
Yatayda sağa öteleme apsisi artırırken, dikeyde yukarı öteleme ordinatı artırır.
3
Yeni tepe noktasının doğru üzerindeki konumunu kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulalım.
TgT_g noktası y=−3xy = -3x doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları denklemi sağlar: −16+b=−3(1+a)⇒b=13−3a-16+b = -3(1+a) \Rightarrow b = 13 - 3a elde edilir.
Bir noktan��n bir doğru üzerinde olması, koordinatlarının doğrunun denklemini sağlamasını gerektirir.
4
g(x) fonksiyonunun y-eksenini kestiği nokta bilgisini kullanarak denklemi kuralım.
g(x)=f(x−a)+b=(x−a)2−2(x−a)−15+bg(x) = f(x-a) + b = (x-a)^2 - 2(x-a) - 15 + b şeklindedir. Parabol y-eksenini (0,4)(0,4) noktasında kestiği için g(0)=4g(0) = 4 olur: a2+2a−15+b=4⇒a2+2a+b=19a^2 + 2a - 15 + b = 4 \Rightarrow a^2 + 2a + b = 19.
y-eksenini kesim noktasını bulmak için x = 0 yazılır.
5
Elde edilen iki denklemi ortak çözerek a ve b değerlerini hesaplayalım.
b=13−3ab = 13 - 3a ifadesini a2+2a+b=19a^2 + 2a + b = 19 denkleminde yerine yazarsak: a2+2a+13−3a=19⇒a2−a−6=0⇒(a−3)(a+2)=0a^2 + 2a + 13 - 3a = 19 \Rightarrow a^2 - a - 6 = 0 \Rightarrow (a-3)(a+2) = 0 olur. aa pozitif bir gerçek sayı olduğundan a=3a = 3'tür. Buradan b=13−3(3)=4b = 13 - 3(3) = 4 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözmek için.
6
İstenen a + b toplamını bulalım.
a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 olarak bulunur.
Soruda bizden a ve b değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde tanım kümesindeki değişkenlerden öteleme miktarı çıkarılır (f(x-a)), yukarı ötelendiğinde ise fonksiyonun değerine öteleme miktarı eklenir (f(x)+b).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 116Soru →
Koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(−x)+3f(x)=4x3−2xf(-x) + 3f(x) = 4x^3 - 2x
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İstenen f(1) değeri 1 olarak bulunur.
Grafiği orijine göre simetrik olan ff fonksiyonu bir tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların tanımı gereği her xx gerçel sayısı için f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır. Verilen denklemde x=1x = 1 yazıldığında f(−1)+3f(1)=4(1)3−2(1)=2f(-1) + 3f(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 2 eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte tek fonksiyon özelliğinden ötürü f(−1)f(-1) yerine −f(1)-f(1) yazıldığında −f(1)+3f(1)=2-f(1) + 3f(1) = 2 elde edilir. Buradan 2f(1)=22f(1) = 2 ve f(1)=1f(1) = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonun simetri özelliğini belirleyin.
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)
Koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.
2
Verilen denklemde x=1x = 1 yazarak bir eşitlik elde edin.
f(−1)+3f(1)=4(1)3−2(1)=2f(-1) + 3f(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 2
f(1)f(1) değerine ulaşabilmek için bilinmeyenleri içeren sayısal bir denklem kurmamız gerekir.
3
f(−1)=−f(1)f(-1) = -f(1) eşitliğini kullanarak denklemdeki bilinmeyen sayısını bire indirin ve denklemi çözün.
−f(1)+3f(1)=2  ⟹  2f(1)=2  ⟹  f(1)=1-f(1) + 3f(1) = 2 \implies 2f(1) = 2 \implies f(1) = 1
Tek fonksiyon kuralını uygulayarak tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde eder ve çözüme ulaşırız.

Anahtar Kavram

Grafiği orijine göre simetrik olan tek fonksiyonlarda her xx gerçel sayısı için f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) özelliğinin sağlanması.
Soru 117Soru →

Bir kenarı düz bir nehir kıyısı boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir bahçe, nehre dik olan iki iç bölme çiti yardımıyla üç eş dikdörtgensel bölgeye ayrılacaktır. Bahçenin nehir kıyısındaki kenarında çit kullanılmayacaktır. Bahçenin dış sınırları (nehir kıyısı hariç) ve içindeki iki bölme için toplam 160160 metre çit kullanıldığına göre, bu bahçenin toplam alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1600

Cevap

Bahçenin alabileceği en büyük alan 1600 metrekaredir.
Bahçenin alanı A(x)=x(160−4x)=−4x2+160xA(x) = x(160 - 4x) = -4x^2 + 160x parabolü ile modellenir. Bu parabol en büyük değerini tepe noktasının ordinatında alır. Tepe noktasının koordinatları (20,1600)(20, 1600) olduğundan maksimum alan 1600 metrekaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Nehre dik olan çit parçalarının sayısını belirleme
Nehre dik toplam 44 çit parçası vardır ve her birinin uzunluğu xx metredir. Toplam uzunlukları 4x4x olur.
Bahçenin iki yan sınırı ve içini bölen iki çit de nehre diktir.
2
Nehre paralel olan kenarı xx cinsinden ifade etme
Nehre paralel kenar y=160−4xy = 160 - 4x olarak bulunur.
Toplam kullanılan çit uzunluğu 160160 metredir.
3
Alan fonksiyonunu oluşturma
Alan fonksiyonu A(x)=−4x2+160xA(x) = -4x^2 + 160x biçiminde ikinci dereceden bir fonksiyondur.
Dikdörtgenin alanı, dik komşu iki kenarın çarpımıdır.
4
Fonksiyonun en büyük değerini almasını sağlayan xx değerini bulma
Tepe noktasının apsisi r=20r = 20 olarak bulunur.
Kolları aşağı doğru olan parabolün en büyük değeri tepe noktasındadır.
5
Maksimum alan değerini hesaplama
En büyük alan A(20)=1600A(20) = 1600 metrekaredir.
Bulunan tepe noktası apsisi alan fonksiyonunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası ordinatı (k=f(r)k = f(r)) yardımıyla en büyük değerinin bulunması.
Soru 118Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köprünün kemerini temsil eden f(x)=−12x2+4xf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x parabolü ve bu kemerin tepe noktası ile orijini birleştiren lineer bir destek kirişi (doğru parçası) modellenmiştir. Bu köprüye, kemer ile destek kirişi arasına yy-eksenine paralel olacak şekilde düşey destek kolonları yerleştirilecektir.

Buna göre, yerleştirilecek düşey destek kolonunun uzunluğu en fazla olduğunda, bu kolonun destek kirişi üzerindeki ucunun parabolün tepe noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 252\sqrt{5}

Cevap

Kolonun uzunluğunun en fazla olduğu durumda, kolonun destek kirişi ��zerindeki ucunun parabolün tepe noktasına olan uzaklığı 252\sqrt{5} birimdir.
Düşey destek kolonunun uzunluğu parabol ile doğru arasındaki fark olan g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri x=2x = 2 noktasında gerçekleşir. Kolonun destek kirişi (y=2xy = 2x) üzerindeki ucu bu apsis değerinde (2,4)(2, 4) noktasıdır. Bu noktanın parabolün tepe noktası olan T(4,8)T(4, 8) noktasına olan uzaklığı ise (4−2)2+(8−4)2=25\sqrt{(4-2)^2 + (8-4)^2} = 2\sqrt{5} birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulma.
Tepe noktası T(4,8)T(4, 8) olarak bulunur.
f(x)=−12x2+4xf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x parabolünde tepe noktasının apsisi r=−b2a=−42⋅(−1/2)=4r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1/2)} = 4 ve ordinatı k=f(4)=−12(4)2+4(4)=8k = f(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) = 8 olur.
2
Orijin (0,0)(0,0) ile tepe noktası T(4,8)T(4,8) arasından geçen doğrunun denklemini bulma.
Doğru denklemi y=2xy = 2x olarak bulunur.
Orijinden geçen doğruların genel denklemi y=mxy = mx şeklindedir. Eğimi m=8−04−0=2m = \frac{8 - 0}{4 - 0} = 2 olduğundan denklem y=2xy = 2x olur.
3
Düşey destek kolonunun uzunluğunu veren fonksiyonu tanımlama.
Kolon uzunluğu fonksiyonu g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x olarak elde edilir.
0≤x≤40 \le x \le 4 aralığında parabol doğrunun üst kısmında yer aldığından, düşey kolonun uzunluğu parabolün ordinatı ile doğrunun ordinatı arasındaki farka eşittir: g(x)=f(x)−2x=−12x2+4x−2xg(x) = f(x) - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 2x.
4
Düşey kolonun uzunluğunu maksimum yapan apsis değerini bulma.
Maksimum kolon uzunluğu x=2x = 2 apsisinde elde edilir.
g(x)=−12x2+2xg(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x ikinci dereceden fonksiyonunun (parabolünün) kolları aşağı doğru olup en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi rg=−22⋅(−1/2)=2r_g = -\frac{2}{2 \cdot (-1/2)} = 2 olur.
5
Maksimum uzunluktaki kolonun destek kirişi üzerindeki ucunun koordinatlarını belirleme.
Uç noktanın koordinatları (2,4)(2, 4) olur.
Destek kirişi y=2xy = 2x doğrusu üzerinde olduğundan, x=2x = 2 için y değeri 2⋅2=42 \cdot 2 = 4 olarak bulunur.
6
Destek kirişi üzerindeki ucun tepe noktasına olan uzaklığını hesaplama.
Uzaklık 252\sqrt{5} birim olarak hesaplanır.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden, (2,4)(2, 4) noktasının T(4,8)T(4, 8) noktasına uzaklığı (4−2)2+(8−4)2=4+16=20=25\sqrt{(4-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} birimdir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini tepe noktası (r,kr, k) yardımıyla bulma ve koordinat geometrisi uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 119Soru →
Her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğini sağlayan ff fonksiyonu
f(x)=(a−2)x3+(a+1)x2+(b−3)x+bf(x) = (a - 2)x^3 + (a + 1)x^2 + (b - 3)x + b
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 değeri doğru cevaptır.
Verilen fonksiyon her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğini sağladığından bir çift fonksiyondur. Bu durumda tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Dolayısıyla x3x^3 teriminin katsayısı olan a−2=0a-2 = 0 ve xx teriminin katsayısı olan b−3=0b-3 = 0 eşitliklerinden a=2a = 2 ve b=3b = 3 bulunur. Bu değerler fonksiyonda yerine yazıldığında f(x)=3x2+3f(x) = 3x^2 + 3 elde edilir. Son olarak f(1)=3(1)2+3=6f(1) = 3(1)^2 + 3 = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tek dereceli terimlerin belirlenmesi ve katsayılarının sıfıra eşitlenmesi
a−2=0⇒a=2a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 ve b−3=0⇒b=3b - 3 = 0 \Rightarrow b = 3 elde edilir.
Her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitli��i, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir. Çift fonksiyonların kurallarında tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
2
Bulunan değerlerin fonksiyon kuralında yerine yazılması
f(x)=3x2+3f(x) = 3x^2 + 3 fonksiyonu elde edilir.
a=2a = 2 ve b=3b = 3 değerleri f(x)f(x) ifadesinde yerine yazılarak fonksiyon sadeleştirilir.
3
f(1)f(1) değerinin hesaplanması
f(1)=3(1)2+3=6f(1) = 3(1)^2 + 3 = 6 bulunur.
İstenen fonksiyon değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 11 yazılır.

Anahtar Kavram

Çift fonksiyonlarda tek dereceli terimlerin katsayılarının sıfır olması ve fonksiyon değerinin hesaplanması.
Soru 120Soru →
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−8f(x) = x^2 - 2x - 8 fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC (CC noktası yy-ekseni üzerindedir) olarak adlandırılıyor. Köşeleri bu AA, BB ve CC noktaları olan ABCABC üçgeninin diklik merkezi HH noktası olduğuna göre, HH noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Diklik merkezinin koordinatları toplamı -1'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(-2, 0), B(4, 0) ve C(0, -8) olarak bulunur. AB kenarı x-ekseni üzerinde olduğu için C köşesinden çizilen yükseklik y-eksenidir. Dolayısıyla diklik merkezi y-ekseni üzerinde, yani apsisi 0 olan bir H(0, y) noktasıdır. BC doğrusunun eğimi 2 olduğundan, A köşesinden inen yüksekliğin eğimi -1/2'dir. A(-2, 0) noktasından geçen ve eğimi -1/2 olan doğrunun denklemi y = -1/2(x+2) olup, bu doğrunun y-eksenini kestiği nokta H(0, -1) olur. Koordinatları toplamı ise -1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme
A(-2, 0), B(4, 0) ve C(0, -8)
x-eksenini kestiği noktaları bulmak için y = 0 yazılarak x^2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleri x = -2 ve x = 4 bulunur. y-eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 yazılarak y = -8 bulunur.
2
Diklik merkezinin apsisini bulma
H noktasının apsisi x = 0'dır.
A ve B noktaları x-ekseni üzerinde olduğundan, ABC üçgeninin AB kenarı x-ekseni üzerindedir. C(0, -8) noktasından AB kenarına inen yükseklik y-ekseni üzerindedir. Diklik merkezi yüksekliklerin kesim noktası olduğundan y-ekseni üzerinde olmalıdır, bu yüzden apsisi 0'dır.
3
A noktasından BC kenarına inen yüksekliğin denklemini bulma ve ordinatı belirleme
Yüksekliğin denklemi y = -1/2(x + 2) ve H noktasının ordinatı y = -1'dir.
B(4, 0) ve C(0, -8) noktalarından geçen BC doğrusunun eğimi m_BC = (0 - (-8)) / (4 - 0) = 2'dir. A(-2, 0) noktasından inen yükseklik BC doğrusuna dik olduğundan eğimi m = -1/2'dir. Bu yüksekliğin denklemi y - 0 = -1/2(x - (-2)) olur. H noktasının apsisi 0 olduğundan denklemde x = 0 yazılarak ordinat y = -1 bulunur.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
0 + (-1) = -1
Bulunan H(0, -1) noktasının koordinatları toplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulma ve koordinat düzleminde diklik merkezi özelliklerini uygulama.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 6 / 12Sonraki
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin