Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 soru

Tüm türler230Çoktan seçmeli134Doğru / Yanlış2Sayısal84Eşleştirme10
Soru 141Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5

fonksiyonunun [a,b][a, b] kapalı aralığındaki en küçük değeri −4-4, en büyük değeri ise 1212'dir.

Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en büyük değer ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

a + b toplamının alabileceği en büyük değer 10'dur.
Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan en küçük değer tepe noktası olan r=3r=3 apsisli noktada alınır ve bu değer f(3)=−4f(3)=-4'tür. Dolayısıyla a≤3≤ba \leq 3 \leq b olmalıdır. En büyük değer 1212 olduğuna göre uç noktalardan en az biri f(x)=12f(x)=12 denkleminin kökleri olan −1-1 veya 77 değerlerinden birine eşit olmalıdır. a+ba+b toplamını en büyük yapmak için b=7b=7 ve a=3a=3 seçilmelidir, bu durumda en büyük toplam 1010 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını bulmak ve en küçük değer koşuluyla aralık sınırlarını belirlemek.
a≤3≤ba \leq 3 \leq b
Parabolün kolları yukarı doğrudur ve en küçük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=3r = 3 ve bu noktadaki değeri f(3)=−4f(3) = -4 oldu��undan tepe noktası [a,b][a, b] aralığına dahil olmalıdır.
2
Fonksiyonun en büyük değeri olan 1212'ye ulaştığı xx değerlerini bulmak.
x=−1x = -1 veya x=7x = 7
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük değeri uç noktalardan birinde gerçekleşir. f(x)=12f(x) = 12 denklemi çözülerek bu noktalar belirlenir.
3
a≤3≤ba \leq 3 \leq b ve max⁡(f(a),f(b))=12\max(f(a), f(b)) = 12 koşulları altında a+ba + b toplamını en büyük yapmak.
a=3a = 3 ve b=7b = 7 seçilerek en büyük toplam 1010 bulunur.
bb değerini en fazla 77 seçebiliriz (çünkü b>7b > 7 olursa en büyük değer 1212'yi aşar). Bu durumda aa değeri tepe noktasını aralıkta tutmak için en fazla 33 olabilir. Dolayısıyla en büyük toplam 3+7=103 + 7 = 10'dur.

Anahtar Kavram

Parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri tepe noktasında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.

Alternatif Yöntem

Bu soru türev yardımıyla da çözülebilir. Fonksiyonun yerel minimum noktası f′(x)=2x−6=0f'(x) = 2x - 6 = 0 eşitliğinden x=3x = 3 olarak bulunur. Bu noktadaki minimum değer f(3)=−4f(3) = -4'tür. Aralık sınırları için fonksiyonun türevi işaret değiştirmediğinden, en büyük değer sınır noktalarında aranır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 142Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktası TT dir.
- ff fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği alınarak g(x)=−f(−x)g(x) = -f(-x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve bu grafiğin tepe noktası AA olarak adlandırılıyor.
- ff fonksiyonunun grafiğine sırasıyla yy-eksenine göre simetri alma, xx-ekseni boyunca pozitif yönde 22 birim öteleme ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 22 birim öteleme dönüşümleri uygulanarak h(x)=f(2−x)+2h(x) = f(2-x) + 2 fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve bu grafiğin tepe noktası BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre, AA ve BB noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 olan seçenektir.
Doğru cevap olan 4 seçeneği, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası olan (2,3)(2,3) noktasının dönüşümler altındaki görüntülerinin sırasıyla A(−2,−3)A(-2, -3) ve B(0,5)B(0, 5) olarak doğru belirlenmesi ve bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğiminin formülüne uygun şekilde hesaplanmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasını bulalım.
f(x)=(x−2)2+3f(x) = (x-2)^2 + 3 olduğundan tepe noktası Tf(2,3)T_f(2, 3) olur.
Symmetry dönüşümlerini uygulamak için referans noktamız olan tepe noktasının koordinatlarını bulmamız gerekir.
2
g(x)=−f(−x)g(x) = -f(-x) fonksiyonunun tepe noktası olan AA noktasını belirleyelim.
A(−2,−3)A(-2, -3) olur.
g(x)=−f(−x)g(x) = -f(-x) dönüş��mü, grafiğin orijine göre simetriğinin alınması anlamına gelir. Bu durumda (x,y)(x, y) koordinatları (−x,−y)(-x, -y) olur.
3
h(x)=f(2−x)+2h(x) = f(2-x) + 2 fonksiyonunun tepe noktası olan BB noktasını belirleyelim.
B(0,5)B(0, 5) olur.
h(x)=f(−(x−2))+2h(x) = f(-(x-2)) + 2 olduğundan, tepe noktası Tf(2,3)T_f(2,3) önce yy-eksenine göre simetri ile (−2,3)(-2, 3) noktasına gelir, ardından xx-ekseni boyunca pozitif yönde 22 birim ötelenerek (0,3)(0, 3) olur ve son olarak yy-ekseni boyunca pozitif yönde 22 birim ötelenerek B(0,5)B(0, 5) noktasına ulaşır.
4
A(−2,−3)A(-2, -3) ve B(0,5)B(0, 5) noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.
m=5−(−3)0−(−2)=82=4m = \frac{5 - (-3)}{0 - (-2)} = \frac{8}{2} = 4 olur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} şeklinde uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların eksenlere ve orijine göre simetrileri ile öteleme dönüşümlerinin tepe noktası koordinatları üzerindeki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 143Soru →

Dik koordinat düzleminde, [−4,6][-4, 6] kapalı aralığında tanımlı bir ff fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu fonksiyon [−4,1][-4, 1] aralığında artan, [1,6][1, 6] aralığında azalandır.

Buna göre,
g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşa��ıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−4,1][-4, 1]

Cevap

En geniş artanlık aralığı [−4,1][-4, 1] aralığıdır.
Verilen g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3 fonksiyonunun artan olması için, bağımsız değişken xx arttıkça g(x)g(x) değerinin artması gerekir. Ancak 2−x2-x ifadesinde xx arttıkça değer küçülür. Dolayısıyla, g(x)g(x)'in artan olması için ff fonksiyonunun azalan olduğu [1,6][1, 6] aralığında işlem yapılması gerekir. Buradan 1≤2−x≤61 \le 2 - x \le 6 eşitsizliği elde edilir ve çözüldüğünde en geniş aralık [−4,1][-4, 1] olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(2−x)−3g(x) = f(2 - x) - 3 fonksiyonunun artan olabilmesi için gerekli koşulu belirleme.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olması, x1<x2x_1 < x_2 için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) olmasını gerektirir. Bu da f(2−x1)−3<f(2−x2)−3  ⟹  f(2−x1)<f(2−x2)f(2 - x_1) - 3 < f(2 - x_2) - 3 \implies f(2 - x_1) < f(2 - x_2) demektir.
Artan fonksiyon tanımını uygulayarak ff fonksiyonunun davranışını analiz etmek.
2
2−x2-x ifadesinin değişim yönü ile ff fonksiyonunun artan/azalan olduğu aralıkları ilişkilendirme.
x1<x2  ⟹  2−x1>2−x2x_1 < x_2 \implies 2 - x_1 > 2 - x_2 olur. u=2−x1u = 2 - x_1 ve v=2−x2v = 2 - x_2 dersek, u>vu > v iken f(u)<f(v)f(u) < f(v) olması gerekir. Bu durum, ff fonksiyonunun azalan olduğu aralıkta gerçekleşir.
Bağıms��z değişkenin işaretinin yön değiştirmesinin ff fonksiyonunun artanlık/azalanlık karakterine etkisini belirlemek.
3
ff fonksiyonunun azalan olduğu aralığı kullanarak xx için eşitsizliği çözme.
ff fonksiyonu [1,6][1, 6] aralığında azalandır. O halde 1≤2−x≤61 \le 2 - x \le 6 olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde:
1≤2−x≤6  ⟹  −1≤−x≤4  ⟹  −4≤x≤11 \le 2 - x \le 6 \implies -1 \le -x \le 4 \implies -4 \le x \le 1 elde edilir.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun simetri ve öteleme dönüşümleri altındaki artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi
Soru 144Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından ff'nin grafiği yy-eksenine göre, gg'nin grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
x2⋅f(x)+x⋅g(x)+f(−x)−g(−x)=x4+4x2+3xx^2 \cdot f(x) + x \cdot g(x) + f(-x) - g(-x) = x^4 + 4x^2 + 3x

eşitliği sağlandığına göre, f(2)+g(2)f(2) + g(2) toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

f(2)+g(2)f(2) + g(2) toplamının değeri 1010'dur.
f(2)=4f(2) = 4 ve g(2)=6g(2) = 6 olarak elde edilir, bu değerlerin toplamı 1010'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Grafik simetrilerinden fonksiyonların tek veya çift olma durumlarını belirleme
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitlikleri elde edilir.
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur.
2
Verilen denklemde x=2x = 2 yazarak birinci denklemi oluşturma
5f(2)+3g(2)=385f(2) + 3g(2) = 38 denklemi elde edilir.
x=2x=2 için denklem 4f(2)+2g(2)+f(−2)−g(−2)=16+16+64f(2) + 2g(2) + f(-2) - g(-2) = 16 + 16 + 6 olur. Simetri kuralları (f(−2)=f(2)f(-2)=f(2) ve g(−2)=−g(2)g(-2)=-g(2)) uygulandığında bu denklem elde edilir.
3
Verilen denklemde x=−2x = -2 yazarak ikinci denklemi oluşturma
5f(2)+g(2)=265f(2) + g(2) = 26 denklemi elde edilir.
x=−2x=-2 için denklem 4f(−2)−2g(−2)+f(2)−g(2)=16+16−64f(-2) - 2g(-2) + f(2) - g(2) = 16 + 16 - 6 olur. Simetri kuralları uygulandığında 4f(2)+2g(2)+f(2)−g(2)=26  ⟹  5f(2)+g(2)=264f(2) + 2g(2) + f(2) - g(2) = 26 \implies 5f(2) + g(2) = 26 elde edilir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme
g(2)=6g(2) = 6 ve f(2)=4f(2) = 4 bulunur.
5f(2)+3g(2)=385f(2) + 3g(2) = 38 denkleminden 5f(2)+g(2)=265f(2) + g(2) = 26 denklemi ��ıkarılarak 2g(2)=12  ⟹  g(2)=62g(2) = 12 \implies g(2) = 6 bulunur. Bulunan değer yerine yazılarak f(2)=4f(2) = 4 elde edilir.
5
f(2)+g(2)f(2) + g(2) toplamını hesaplama
f(2)+g(2)=10f(2) + g(2) = 10
İstenen değer iki fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel özellikleri ve grafik simetrileri
Soru 145Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−4x+ay = x^2 - 4x + a parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu AA ve BB noktalarında kesişmektedir. AA ve BB noktalarının apsisleri arasındaki fark 44 birim olduğuna göre, aa gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki farkın 4 birim olmasını sağlayan a gerçek sayısı 6'dır.
Ortak çözüm denklemi olan x2−6x+a−1=0x^2 - 6x + a - 1 = 0 denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsisleridir. Apsisler arasındaki fark 4 birim olduğundan kökler farkı ∣x1−x2∣=4|x_1 - x_2| = 4 olur. İkinci dereceden denklemlerde kökler farkı ile kökler toplamı ve çarpımı arasındaki (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 ilişkisi kullanılarak 16=36−4(a−1)16 = 36 - 4(a-1) eşitliğine ulaşılır. Buradan a=6a = 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyip ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−4x+a=2x+1  ⟹  x2−6x+a−1=0x^2 - 4x + a = 2x + 1 \implies x^2 - 6x + a - 1 = 0
Kesişim noktalarının apsisleri, bu ikinci dereceden denklemin kökleridir.
2
Elde edilen denklemin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olmak üzere, kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini yazın.
x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 ve x1⋅x2=a−1x_1 \cdot x_2 = a - 1
Kökler arasındaki farkı katsayılara bağlamak için kök-katsayı ilişkilerini kullanmamız gerekir.
3
Köklerin farkının mutlak değeri ∣x1−x2∣=4|x_1 - x_2| = 4 bilgisini kullanarak özdeşlik yardımıyla aa değerini hesaplayın.
(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2  ⟹  16=36−4(a−1)  ⟹  16=40−4a  ⟹  4a=24  ⟹  a=6(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \implies 16 = 36 - 4(a - 1) \implies 16 = 40 - 4a \implies 4a = 24 \implies a = 6
İki kök arasındaki farkın karesi, kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifade edilerek bilinmeyen parametre bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun ortak çözüm denkleminin kökleri ve kök-katsayı ilişkileri

Alternatif Yöntem

Kökler farkı formülü olan ∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} doğrudan kullanılabilir. x2−6x+a−1=0x^2 - 6x + a - 1 = 0 denkleminde baş katsayı 11 olduğundan, ∣x1−x2∣=Δ=4  ⟹  Δ=16|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta} = 4 \implies \Delta = 16 olur. Δ=(−6)2−4⋅1⋅(a−1)=36−4a+4=40−4a\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = 36 - 4a + 4 = 40 - 4a olduğundan, 40−4a=16  ⟹  4a=24  ⟹  a=640 - 4a = 16 \implies 4a = 24 \implies a = 6 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 146Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−4x+5y = x^2 - 4x + 5 parabolü ile y=2x+ky = 2x + k doğrusu AA ve BB noktalarında kesişmektedir.

[AB][AB] kirişinin uzunluğu 656\sqrt{5} birim olduğuna göre, kk gerçek sayısı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatını belirleyen kk parametresinin değeri 5 olarak bulunur.
Ortak çözüm denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olmak üzere, kesişim noktaları arasındaki uzaklık ∣AB∣=1+m2∣x1−x2∣|AB| = \sqrt{1 + m^2} |x_1 - x_2| formülüyle pratikçe bulunur. Burada eğim m=2m = 2 ve ∣x1−x2∣=16+4k|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4k}'dir. Uzaklık 656\sqrt{5} olarak eşitlendiğinde k=5k = 5 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini bulunuz.
x2−6x+(5−k)=0x^2 - 6x + (5 - k) = 0
Kesişim noktalarının apsislerini belirleyen ikinci dereceden denklemi elde etmek için.
2
Ortak çözüm denkleminin kökler farkının mutlak değerini diskriminant yardımıyla ifade ediniz.
∣x1−x2∣=16+4k|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4k}
Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki mesafeyi kk parametresine bağlı olarak yazmak için.
3
Kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkı apsisler farkı cinsinden yazınız.
∣y1−y2∣=2∣x1−x2∣|y_1 - y_2| = 2|x_1 - x_2|
Noktalar doğru üzerinde olduğundan, ordinatlar farkı apsisler farkı ile doğrunun eğiminin çarpımına eşittir.
4
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak [AB][AB] kirişinin uzunluğunu kk cinsinden ifade ediniz.
∣AB∣=5∣x1−x2∣=516+4k|AB| = \sqrt{5}|x_1 - x_2| = \sqrt{5}\sqrt{16 + 4k}
Kiriş uzunluğunu veren cebirsel ifadeyi oluşturmak için.
5
Elde edilen kiriş uzunluğu ifadesini verilen 656\sqrt{5} değerine eşitleyerek kk'yi bulunuz.
k=5k = 5
Kiriş uzunluğu şartını sağlayan tek kk gerçek sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktaları arasındaki uzaklık (kiriş uzunluğu), ortak çözüm denkleminin kökleri ve doğrunun eğimi kullanılarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 147Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sıfırdan farklı ff ve gg fonksiyonlarından ff'nin grafiği düşey eksene göre, gg'nin grafiği ise başlangıç noktasına göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için,
3f(x)−x⋅g(−x)=2x2+53f(x) - x \cdot g(-x) = 2x^2 + 5
eşitliği sağlanmaktadır.
Ayrıca,
f(2)+g(−2)=1f(2) + g(-2) = 1
olduğuna göre, f(−2)−3g(2)f(-2) - 3g(2) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −3-3

Cevap

−3-3
Grafiği düşey eksene göre simetrik olan fonksiyonlar çift (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)), başlangıç noktasına göre simetrik olan fonksiyonlar ise tektir (g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)). Bu kurallar doğrultusunda cebirsel ifadeler düzenlendiğinde 3f(2)+2g(2)=133f(2) + 2g(2) = 13 ve f(2)−g(2)=1f(2) - g(2) = 1 denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde g(2)=2g(2) = 2 ve f(2)=3f(2) = 3 değerlerine ulaşılır. ff çift fonksiyon olduğundan f(−2)=f(2)=3f(-2) = f(2) = 3 olur. Buradan istenen f(−2)−3g(2)f(-2) - 3g(2) ifadesinin değeri 3−3(2)=−33 - 3(2) = -3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların simetri özelliklerini belirleme ve cebirsel olarak ifade etme.
ff fonksiyonunun grafiği düşey eksene göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, yani her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olur. gg fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur, yani her xx için g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olur.
Soruda verilen geometrik simetri tanımlarını cebirsel denklemlere dönüştürmek için.
2
Birinci denklemde g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özelliğini yerine yazma ve x=2x = 2 değerini yerleştirme.
−x⋅g(−x)=−x⋅(−g(x))=x⋅g(x)-x \cdot g(-x) = -x \cdot (-g(x)) = x \cdot g(x) olur. Bu durumda denklem 3f(x)+x⋅g(x)=2x2+53f(x) + x \cdot g(x) = 2x^2 + 5 halini alır. x=2x = 2 için 3f(2)+2g(2)=2(22)+5=133f(2) + 2g(2) = 2(2^2) + 5 = 13 elde edilir.
f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerine bağlı birinci doğrusal denklemi kurmak için.
3
İkinci verilen eşitlikten ikinci denklemi oluşturma.
g(−2)=−g(2)g(-2) = -g(2) yazılırsa f(2)+g(−2)=1  ⟹  f(2)−g(2)=1f(2) + g(-2) = 1 \implies f(2) - g(2) = 1 elde edilir. Buradan f(2)=g(2)+1f(2) = g(2) + 1 yazılabilir.
f(2)f(2) ve g(2)g(2) bilinmeyenlerini içeren ikinci bağımsız denklemi elde etmek için.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.
3(g(2)+1)+2g(2)=13  ⟹  5g(2)+3=13  ⟹  g(2)=23(g(2) + 1) + 2g(2) = 13 \implies 5g(2) + 3 = 13 \implies g(2) = 2 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında f(2)=2+1=3f(2) = 2 + 1 = 3 elde edilir.
Fonksiyonların 22 noktasındaki değerlerini kesin olarak hesaplamak için.
5
İstenen ifadeyi bulma.
ff çift fonksiyon olduğundan f(−2)=f(2)=3f(-2) = f(2) = 3 olur. Buradan f(−2)−3g(2)=3−3(2)=3−6=−3f(-2) - 3g(2) = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3 olarak bulunur.
Çift fonksiyon simetri özelliğini kullanarak nihai cevaba ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri ile cebirsel tanımlarının (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)) bir arada kullanılarak fonksiyonel denklem sistemlerinin çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 148Soru →

Koordinat düzleminde, y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 parabolü ile bu parabolü kesmeyen y=2x+ky = 2x + k doğrusu arasındaki en kısa uzaklık 5\sqrt{5} birimdir. Buna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

Parabolü kesmeyen doğrunun denklemindeki sabit terim olan k gerçek sayısı -7 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabole teğet ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemini yazmak.
Teğet doğrusunun denklemi y=2x+my = 2x + m şeklindedir.
Parabol ile doğru arasındaki en kısa uzaklık, parabolün verilen doğruya paralel olan teğet doğrusu üzerinden hesaplanır.
2
Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturmak ve teğetlik şartını (diskriminantın sıfıra eşitliğini) uygulamak.
x2−4x+7=2x+m  ⟹  x2−6x+(7−m)=0x^2 - 4x + 7 = 2x + m \implies x^2 - 6x + (7 - m) = 0 elde edilir. Bu denklemin diskriminantı Δ=36−4(7−m)=0  ⟹  8+4m=0  ⟹  m=−2\Delta = 36 - 4(7 - m) = 0 \implies 8 + 4m = 0 \implies m = -2 bulunur. Teğet doğrusu y=2x−2y = 2x - 2 yani 2x−y−2=02x - y - 2 = 0 olur.
Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.
3
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak k parametresinin alabileceği değerleri bulmak.
d=∣k−(−2)∣22+(−1)2=∣k+2∣5=5  ⟹  ∣k+2∣=5d = \frac{|k - (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |k + 2| = 5. Buradan k=3k = 3 veya k=−7k = -7 bulunur.
Paralel iki doğru ax+by+c1=0ax + by + c_1 = 0 ve ax+by+c2=0ax + by + c_2 = 0 arasındaki uzaklık d=∣c1−c2∣a2+b2d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} formülü ile hesaplanır.
4
Bulunan k değerlerinin kesişmeme şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
k=3k = 3 için doğru ile parabol kesişirken (x2−6x+4=0  ⟹  Δ=20>0x^2 - 6x + 4 = 0 \implies \Delta = 20 > 0), k=−7k = -7 için kesişmezler (x2−6x+14=0  ⟹  Δ=−20<0x^2 - 6x + 14 = 0 \implies \Delta = -20 < 0).
Soruda doğrunun parabolü kesmediği belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları ve paralel doğrular arasındaki uzaklık yardımıyla en yakın noktanın analizi.
Soru 149Soru →
Her xx gerçel sayısı için
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(x)+x⋅g(x)=3x2+(a−2)x+a+bf(x) + x \cdot g(x) = 3x^2 + (a - 2)x + a + b
g(x)−x⋅f(x)=x3+(b−6)x2−4xg(x) - x \cdot f(x) = x^3 + (b - 6)x^2 - 4x

olduğuna göre, f(a)+g(b)f(a) + g(b) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Doğru cevap 28'dir.
Verilen simetri kurallarına göre sol taraftaki ifadelerin teklik-çiftlik durumları belirlenir. f(x)+x⋅g(x)f(x) + x \cdot g(x) ifadesinin çift, g(x)−x⋅f(x)g(x) - x \cdot f(x) ifadesinin ise tek fonksiyon olduğu görülür. Buradan tek dereceli terimlerin ve çift dereceli terimlerin katsayıları sıfıra eşitlenerek a=2a = 2 ve b=6b = 6 bulunur. Elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde f(x)=8−x2f(x) = 8 - x^2 ve g(x)=4xg(x) = 4x kurallarına ulaşılır. İstenen f(2)+g(6)f(2) + g(6) değeri ise 28 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)+x⋅g(x)f(x) + x \cdot g(x) ifadesinin teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
f(−x)+(−x)⋅g(−x)=f(x)+(−x)⋅(−g(x))=f(x)+x⋅g(x)f(-x) + (-x) \cdot g(-x) = f(x) + (-x) \cdot (-g(x)) = f(x) + x \cdot g(x) olduğundan bu ifade bir çift fonksiyondur.
Eşitliğin sol tarafındaki ifadenin simetrisini belirleyerek sağ taraftaki katsayıyı bulmak.
2
Çift fonksiyon özelliğini kullanarak aa değerini bulun.
3x2+(a−2)x+a+b3x^2 + (a - 2)x + a + b ifadesinde tek dereceli terimin katsayısı sıfır olmalıdır. Buradan a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2 bulunur.
Çift fonksiyonların polinomiyal gösteriminde tek dereceli terimlerin bulunmaması kuralını uygulamak.
3
g(x)−x⋅f(x)g(x) - x \cdot f(x) ifadesinin simetri durumunu inceleyip bb değerini bulun.
g(−x)−(−x)⋅f(−x)=−g(x)+x⋅f(x)=−(g(x)−x⋅f(x))g(-x) - (-x) \cdot f(-x) = -g(x) + x \cdot f(x) = -(g(x) - x \cdot f(x)) olduğundan bu ifade tek fonksiyondur. Tek fonksiyonlarda çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır: b−6=0  ⟹  b=6b - 6 = 0 \implies b = 6 elde edilir.
Tek fonksiyonun özelliklerini kullanarak bilinmeyen katsayıyı belirlemek.
4
a=2a = 2 ve b=6b = 6 değerlerini yerine yazarak fonksiyon kurallarını belirleyin.
f(x)+x⋅g(x)=3x2+8f(x) + x \cdot g(x) = 3x^2 + 8 ve g(x)−x⋅f(x)=x3−4xg(x) - x \cdot f(x) = x^3 - 4x denklem sistemi elde edilir. İkinci denklemden g(x)=x⋅f(x)+x3−4xg(x) = x \cdot f(x) + x^3 - 4x yazılıp birinci denklemde yerine konulursa; f(x)+x2⋅f(x)+x4−4x2=3x2+8  ⟹  (1+x2)⋅f(x)=−x4+7x2+8=−(x2+1)(x2−8)  ⟹  f(x)=8−x2f(x) + x^2 \cdot f(x) + x^4 - 4x^2 = 3x^2 + 8 \implies (1+x^2) \cdot f(x) = -x^4 + 7x^2 + 8 = -(x^2+1)(x^2-8) \implies f(x) = 8 - x^2 ve g(x)=4xg(x) = 4x bulunur.
Elde edilen katsayılarla oluşturulan denklem sistemini çözerek fonksiyonları tanımlamak.
5
f(a)+g(b)f(a) + g(b) yani f(2)+g(6)f(2) + g(6) değerini hesaplayın.
f(2)=8−22=4f(2) = 8 - 2^2 = 4 ve g(6)=4⋅6=24g(6) = 4 \cdot 6 = 24 olup, toplam 4+24=284 + 24 = 28 bulunur.
İstenen nihai sayısal değeri elde etmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel özellikleri ve fonksiyonların simetri dönüşümleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 150Soru →

Köşeleri A(−4,0)A(-4, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(4,0)C(4, 0) noktaları olan bir üçgenin üst sınır çizgisi y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiğidir. Pozitif kk ve mm gerçel sayıları için g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) fonksiyonu oluşturuluyor.

g(0)=8g(0) = 8 olduğu ve gg fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanının 88 birimkare olduğu bilindiğine göre, k+mk + m toplamı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k + m toplamının değeri 6'dır.
g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) dönüşümünde, kk katsayısı fonksiyonu dikey doğrultuda esnetirken (yy-değerlerini kk ile çarpar), mm katsayısı fonksiyonu yatay doğrultuda sıkıştırır (xx-değerlerini mm'ye böler). g(0)=8g(0) = 8 bilgisiyle k=2k = 2 bulunmuş ve alanın 1616 birimkareden 88 birimkareye düşmesi kullanılarak yatayda 44 kat sıkıştırma yapıldığı belirlenmiştir (m=4m = 4). Bu iki değerin toplamı olan 2+4=62 + 4 = 6 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayalım.
f(x)f(x) grafiği köşeleri A(−4,0)A(-4, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(4,0)C(4, 0) olan bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin taban uzunluğu 88 birim ve yüksekliği 44 birimdir. Alanı ise 8×42=16\frac{8 \times 4}{2} = 16 birimkaredir.
g(x)g(x) fonksiyonunun alan dönüşümünü bulabilmek için öncelikle f(x)f(x) fonksiyonunun sınırladığı alanı bilmemiz gerekir.
2
g(0)=8g(0) = 8 eşitliğini kullanarak kk dikey esnetme katsayısını bulalım.
g(0)=k⋅f(m⋅0)=k⋅f(0)g(0) = k \cdot f(m \cdot 0) = k \cdot f(0) yazılır. f(0)=4f(0) = 4 olduğundan, g(0)=4k=8g(0) = 4k = 8 elde edilir. Buradan k=2k = 2 bulunur.
yy-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfır olduğundan, yatay sıkıştırma katsayısı mm bu noktadaki değeri etkilemez ve doğrudan dikey esnetme katsayısı kk'yi bulmamızı sağlar.
3
g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan alan bilgisini kullanarak mm yatay sıkıştırma katsayısını bulalım.
Dikey esnetme katsayısı k=2k = 2 ve yatay sıkıştırma katsayısı mm (m>0m > 0) olan g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) fonksiyonunun sınırladığı alan, f(x)f(x)'in alanının km\frac{k}{m} katıdır. Buradan Alan(g)=km⋅Alan(f)⇒8=2m⋅16⇒8=32m⇒m=4\text{Alan}(g) = \frac{k}{m} \cdot \text{Alan}(f) \Rightarrow 8 = \frac{2}{m} \cdot 16 \Rightarrow 8 = \frac{32}{m} \Rightarrow m = 4 bulunur.
Bir fonksiyon yy-doğrultusunda kk katına çıkarıldığında alan kk katına çıkar, xx-doğrultusunda mm kat sıkıştırıldığında (yani xx değerleri mm'ye bölündüğünde) alan 1m\frac{1}{m} katına iner.
4
kk ve mm değerlerini toplayarak sonucu bulalım.
k+m=2+4=6k + m = 2 + 4 = 6 bulunur.
Soruda bizden istenen k+mk + m toplamıdır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında alan ve koordinat değişimleri.
Soru 151Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−mx+1y = x^2 - mx + 1 parabolü ile y=x−3y = x - 3 doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının oluşturduğu kirişin orta noktasının koordinatları toplamı 44 olduğuna göre, mm kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Kesişim noktalarının apsisleri toplamının yarısı orta noktanın apsisini (x0=m+12x_0 = \frac{m+1}{2}) verir. Orta nokta doğrunun üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlar ve ordinatı (y0=m−52y_0 = \frac{m-5}{2}) olarak bulunur. Koordinatlar toplamı olan m−2=4m - 2 = 4 eşitliğinden aranan parametre 66 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyelim.
x2−mx+1=x−3⇒x2−(m+1)x+4=0x^2 - mx + 1 = x - 3 \Rightarrow x^2 - (m+1)x + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsisleri bu ortak çözüm denkleminin kökleridir.
2
Kesi��im noktaları AA ve BB olsun. Bu noktaların oluşturduğu [AB][AB] kirişinin orta noktasının apsisini (x0x_0) bulalım.
x0=x1+x22=m+12x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+1}{2} olur.
Kirişin orta noktanın apsisi, kesişim noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasıdır.
3
Orta noktanın ordinatını (y0y_0) bulmak için bu noktanın doğru denklemini sağlaması gerektiği bilgisini kullanalım.
y0=x0−3=m+12−3=m−52y_0 = x_0 - 3 = \frac{m+1}{2} - 3 = \frac{m-5}{2} olur.
Orta nokta [AB][AB] kirişi üzerinde, dolayısıyla y=x−3y = x - 3 doğrusu üzerindedir.
4
Orta noktanın koordinatları toplamını 44'e eşitleyerek mm değerini bulalım.
x0+y0=m+12+m−52=m−2=4⇒m=6x_0 + y_0 = \frac{m+1}{2} + \frac{m-5}{2} = m - 2 = 4 \Rightarrow m = 6 elde edilir.
Soruda orta noktanın koordinatları toplamı 44 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesim noktalarının oluşturduğu kirişin orta noktasının koordinatlarının analitik yöntemlerle bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 152Soru →

Bir ff fonksiyonu, grafiği analitik düzlemde tepe noktası yy-ekseni üzerinde olan ve xx-eksenini x=−4x = -4 ile x=4x = 4 noktalarında kesen bir yarım çemberin üst yarısı olacak şekilde tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı 8π8\pi birimkaredir.

Buna göre,
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x)
kuralı ile verilen gg fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8π8\pi

Cevap

Doğru cevap 8π8\pi birimkaredir.
Doğru cevap olan 8π8\pi seçeneği, fonksiyona uygulanan yatayda 22 kat sıkıştırma (alanı yarıya indiren) ve dikeyde 22 kat esnetme (alanı iki katına çıkaran) dönüşümlerinin birleşik etkisinin alanı değiştirmemesinden kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği altındaki alanı belirlemek
Alan(f)=8π\text{Alan}(f) = 8\pi birimkare
Soru metninde ff fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasındaki bölgenin alanı doğrudan 8π8\pi olarak verilmiştir.
2
Yatayda sıkıştırma işleminin alan üzerindeki etkisini analiz etmek
f(2x)f(2x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan 8π2=4π\frac{8\pi}{2} = 4\pi birimkare olur.
f(2x)f(2x) dönüşümü, grafiği xx-ekseni doğrultusunda yarıya sıkıştırır. Bu durum tanım kümesinin genişliğini yarıya indirirken y-değerlerini değiştirmediği için alan yarıya düşer.
3
Dikeyde esnetme işleminin alan üzerindeki etkisini analiz etmek
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan 2×4π=8π2 \times 4\pi = 8\pi birimkare olur.
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x) dönüşümündeki 22 katsayısı, grafiği düşey eksen doğrultusunda 22 katına esnetir. Genişliği 4π4\pi olan bölgenin yükseklikleri iki katına çıktığından alan iki katına çıkar.

Anahtar Kavram

Bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan AA ise, a⋅f(b⋅x)a \cdot f(b \cdot x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan ∣a∣∣b∣⋅A\frac{|a|}{|b|} \cdot A formülü ile hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 153Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−x+ky = x^2 - x + k parabolü ile y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkın mutlak değeri 1212 birim olduğuna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

k gerçek sayısı -1 olmalıdır.
Doğrunun eğimi 3 olduğundan, kesişim noktalarının ordinatları arasındaki fark, apsisleri arasındaki farkın 3 katına eşittir. Buradan apsisler farkının mutlak değeri 4 olarak bulunur. Kesişim noktalarının apsislerini veren ortak çözüm denklemi x2−4x+k+1=0x^2 - 4x + k + 1 = 0 olup, kökler farkı formülünden Δ=4  ⟹  12−4k=16  ⟹  k=−1\sqrt{\Delta} = 4 \implies 12 - 4k = 16 \implies k = -1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−x+k=3x−1  ⟹  x2−4x+k+1=0x^2 - x + k = 3x - 1 \implies x^2 - 4x + k + 1 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsisleri, bu ortak çözüm denkleminin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 değerleridir.
2
Kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkı, apsisler farkı cinsinden yazarak analiz edin.
Kesişim noktaları A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) olsun. Bu noktalar y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu üzerinde bulundu��undan, y1=3x1−1y_1 = 3x_1 - 1 ve y2=3x2−1y_2 = 3x_2 - 1 olur. Ordinatlar farkının mutlak değeri: ∣y1−y2∣=∣(3x1−1)−(3x2−1)∣=3∣x1−x2∣|y_1 - y_2| = |(3x_1 - 1) - (3x_2 - 1)| = 3|x_1 - x_2| olarak bulunur. Soruda bu fark 1212 birim verildiğinden, 3∣x1−x2∣=12  ⟹  ∣x1−x2∣=43|x_1 - x_2| = 12 \implies |x_1 - x_2| = 4 elde edilir.
Doğru üzerindeki iki noktanın dikey uzaklığı (ordinat farkı), yatay uzaklıklarının (apsis farkının) doğrunun eğimi ile çarpımına eşittir.
3
Ortak çözüm denkleminde kökler farkı formülünü (∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}) kullanarak kk değerini hesaplayın.
x2−4x+k+1=0x^2 - 4x + k + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(−4)2−4(1)(k+1)=12−4k\Delta = (-4)^2 - 4(1)(k+1) = 12 - 4k şeklindedir. Kökler farkı ∣x1−x2∣=12−4k1=4  ⟹  12−4k=4  ⟹  12−4k=16  ⟹  4k=−4  ⟹  k=−1|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{12 - 4k}}{1} = 4 \implies \sqrt{12 - 4k} = 4 \implies 12 - 4k = 16 \implies 4k = -4 \implies k = -1 bulunur.
Apsisler arasındaki farkın 4 birim olmasını sağlayan k parametresi, ikinci dereceden ortak çözüm denkleminin diskriminant bağıntısı yardımıyla belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının koordinat ilişkileri ve ortak çözüm denklemi

Alternatif Yöntem

Kökler farkı ∣x1−x2∣=4|x_1 - x_2| = 4 olarak belirlendikten sonra, (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 özdeşliği kullanılabilir. Ortak çözüm denkleminden kökler toplamı x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve kökler çarpımı x1x2=k+1x_1x_2 = k+1 değerleri yerine yazıldığında; 42=42−4(k+1)  ⟹  16=16−4(k+1)  ⟹  4(k+1)=0  ⟹  k=−14^2 = 4^2 - 4(k+1) \implies 16 = 16 - 4(k+1) \implies 4(k+1) = 0 \implies k = -1 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 154Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı bir ff fonksiyonunun yerel maksimum noktası A(6,12)A(6, 12), yerel minimum noktası ise B(−3,−6)B(-3, -6)'dır.

Buna göre,
g(x)=2⋅f(x3)g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right)

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık 45 birimdir.
Yerel maksimum noktası A(6,12)A(6,12) ve yerel minimum noktası B(−3,−6)B(-3,-6) olan ff fonksiyonuna uygulanan g(x)=2⋅f(x/3)g(x) = 2 \cdot f(x/3) dönüşümü, grafiği yatayda 3 kat ve dikeyde 2 kat esnetir. Bu dönüşüm sonucunda yeni yerel ekstremum noktaları A′(18,24)A'(18, 24) ve B′(−9,−12)B'(-9, -12) olur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık analitik düzlemde (18−(−9))2+(24−(−12))2=272+362=45\sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 45 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2⋅f(x3)g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatlarını belirlemek için ff fonksiyonunun maksimum noktası olan A(6,12)A(6, 12) referans alınır.
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktası A′(18,24)A'(18, 24) olarak bulunur.
g(x)g(x) fonksiyonunun maksimum değere ulaşması için ff fonksiyonunun girdisinin 66 olması gerekir. Buradan x3=6  ⟹  x=18\frac{x}{3} = 6 \implies x = 18 elde edilir. Dikey esneme katsayısı 22 olduğundan ordinat değeri 2⋅12=242 \cdot 12 = 24 olur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel minimum noktasının koordinatlarını belirlemek için ff fonksiyonunun minimum noktası olan B(−3,−6)B(-3, -6) referans alınır.
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel minimum noktası B′(−9,−12)B'(-9, -12) olarak bulunur.
g(x)g(x) fonksiyonunun minimum değere ulaşması için ff fonksiyonunun girdisinin −3-3 olması gerekir. Buradan x3=−3  ⟹  x=−9\frac{x}{3} = -3 \implies x = -9 elde edilir. Dikey esneme katsayısı 22 olduğundan ordinat değeri 2⋅(−6)=−122 \cdot (-6) = -12 olur.
3
Elde edilen A′(18,24)A'(18, 24) ve B′(−9,−12)B'(-9, -12) noktaları arasındaki uzaklık iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplanır.
Uzaklık 4545 birim olarak hesaplanır.
Uzaklık formülü ∣A′B′∣=(18−(−9))2+(24−(−12))2=272+362=9⋅32+42=9⋅5=45|A'B'| = \sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 9 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = 9 \cdot 5 = 45 birimdir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümlerinin koordinatlar üzerindeki etkisi.
Soru 155Soru →

Yukarıdaki dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+ax+bf(x) = -x^2 + ax + b parabolü ile bu parabole A(2,k)A(2, k) noktasında teğet olan dd doğrusu verilmiştir.

dd doğrusu koordinat eksenlerini (−1,0)(-1, 0) ve (0,3)(0, 3) noktalarında kesti��ine göre, a⋅ba \cdot b çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

Çarpımın değeri -7 olarak bulunur.
Doğrunun eksenleri kestiği noktalardan denklemi y = 3x + 3 olarak bulunur. Teğet noktası olan A(2, k) doğrunun üzerinde olduğundan k = 9 elde edilir. A(2, 9) noktası parabol üzerinde yerine yazıldığında 2a + b = 13 bağıntısına ulaşılır. Parabol ile doğrunun ortak çözüm denklemi olan x^2 + (3-a)x + (3-b) = 0 denkleminin x = 2 noktasında teğetlikten ötürü çift katlı kökü vardır. Bu durumda ortak çözüm denklemi (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 = 0 olmalıdır. Buradan a = 7 ve b = -1 bulunur. Bu değerlerin çarpımı ise -7 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
d doğrusunun denkleminin yazılması.
d doğrusunun denklemi y = 3x + 3 olarak bulunur.
Eksenleri kestiği noktalar (-1, 0) ve (0, 3) olan doğrunun eğimi m = 3 olup denklemi y = 3x + 3 şeklindedir.
2
Teğet noktası A(2, k)'nin koordinatlarının belirlenmesi.
A(2, 9) noktası elde edilir.
A noktası d doğrusunun üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlar: k = 3(2) + 3 = 9 olur.
3
A(2, 9) noktasının parabol denkleminde yerine yazılması.
2a + b = 13 denklemi elde edilir.
A(2, 9) noktası parabol üzerinde olduğundan f(2) = 9 olmalıdır. Buradan 9 = -4 + 2a + b elde edilir.
4
Ortak çözüm denkleminden çift katlı kök koşulunun uygulanması.
a = 7 ve b = -1 olarak bulunur.
Parabol ve doğrunun ortak çözümü -x^2 + ax + b = 3x + 3 olup x^2 + (3-a)x + (3-b) = 0 denklemini verir. x = 2 noktasında teğetlik olduğundan bu denklemin (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 = 0 olması gerekir. Katsayıların eşitliğinden a = 7 ve b = -1 bulunur.
5
a ve b değerlerinin çarpılması.
a * b = -7 olarak hesaplanır.
Soruda istenen a * b değerine ulaşmak için bulunan a = 7 ve b = -1 değerleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun teğetlik durumu, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması (çift katlı kök) anlamına gelir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 156Soru →

Analitik düzlemde, y=−x2+ax−3y = -x^2 + ax - 3 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu birbirine teğettir.

Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olmasını sağlayan farklı aa değerlerinin çarpımı −12-12 olur.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlendiğinde elde edilen aa değerleri −2-2 ve 66 olup, bu değerlerin çarpımı −12-12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde etmek.
x2+(2−a)x+4=0x^2 + (2-a)x + 4 = 0
Doğru ve parabolün ortak noktalarını incelemek amacıyla iki denklem birbirine eşitlenir.
2
Ortak çözüm denkleminin diskriminantını sıfıra eşitlemek.
(2−a)2−16=0(2-a)^2 - 16 = 0
Bir doğru ile bir parabolün birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit (Δ=0\Delta = 0) olması anlamına gelir.
3
Elde edilen denklemi çözerek aa sayısının alabileceği değerleri belirlemek.
a=−2a = -2 ve a=6a = 6
(2−a)2=16(2-a)^2 = 16 eşitliğinden 2−a2-a ifadesi 44 veya −4-4 olabilir.
4
Bulunan aa değerlerinin çarpımını hesaplamak.
−12-12
Soru kökünde bizden aa sayısının alabileceği değerlerin çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması (Δ=0\Delta = 0).
Soru 157Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−mx+2y = x^2 - mx + 2 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu iki farklı noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarından biri parabolün tepe noktası olduğuna göre, mm sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4
Parabolün tepe noktasının ordinat ve apsis değerleri doğru denklemini sağlamak zorundadır. Buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde ve kökler toplamı formülü uygulandığında, alabileceği değerler toplamının −4-4 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını mm değişkeni cinsinden ifade etmek.
Tepe noktası T(m2,2−m24)T\left(\frac{m}{2}, 2 - \frac{m^2}{4}\right) olarak bulunur.
Genel denklemi y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c olan parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olmak üzere r=−b2ar = -\frac{b}{2a} ve k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır. Burada a=1a = 1 ve b=−mb = -m olduğundan r=m2r = \frac{m}{2} ve k=(m2)2−m(m2)+2=2−m24k = \left(\frac{m}{2}\right)^2 - m\left(\frac{m}{2}\right) + 2 = 2 - \frac{m^2}{4} elde edilir.
2
Tepe noktasının doğrunun üzerinde olması koşulunu kullanarak mm'ye bağlı bir denklem elde etmek.
m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Tepe noktası doğrunun üzerinde olduğundan, koordinatları doğrunun denklemini sağlamalıdır. y=2x+1y = 2x + 1 denkleminde x=m2x = \frac{m}{2} ve y=2−m24y = 2 - \frac{m^2}{4} yazılırsa: 2−m24=2(m2)+1  ⟹  2−m24=m+12 - \frac{m^2}{4} = 2\left(\frac{m}{2}\right) + 1 \implies 2 - \frac{m^2}{4} = m + 1 elde edilir. Her iki taraf 4 ile çarpılıp düzenlendiğinde m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 bulunur.
3
İki farklı noktada kesişim koşulunun (mm'nin bulunan değerleri için) geçerliliğini kontrol etmek.
Her iki mm değeri için de parabol ve doğrunun iki farklı noktada kesiştiği doğrulanır.
Ortak çözüm denklemi x2−mx+2=2x+1  ⟹  x2−(m+2)x+1=0x^2 - mx + 2 = 2x + 1 \implies x^2 - (m+2)x + 1 = 0 olur. Bu denklemin diskriminantı Δ=(m+2)2−4=m2+4m\Delta = (m+2)^2 - 4 = m^2 + 4m şeklindedir. İkinci adımda m2+4m=4m^2 + 4m = 4 olduğunu bulmuştuk. Buradan Δ=4>0\Delta = 4 > 0 bulunur. Δ>0\Delta > 0 olduğundan parabol ile doğru daima iki farklı noktada kesişir.
4
mm'nin alabileceği farklı değerlerin toplamını hesaplamak.
Değerlerin toplamı −4-4 olarak bulunur.
m2+4m−4=0m^2 + 4m - 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δm=42−4(1)(−4)=32>0\Delta_m = 4^2 - 4(1)(-4) = 32 > 0 olduğundan mm'nin iki farklı gerçel sayı değeri vardır. İkinci dereceden denklemin kökler toplamı formülü olan −ba-\frac{b}{a} uygulandığında, değerlerin toplamı −41=−4-\frac{4}{1} = -4 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim durumlarının ortak çözüm denklemi ve diskriminant yardımıyla incelenmesi, tepe noktası koordinatlarının geometrik yorumu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 158Soru →

Analitik düzlemde, y=x2+3x+8y = x^2 + 3x + 8 parabolüne A(0,−1)A(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrulardan birinin parabole değme noktası koordinat düzleminin II. bölgesindedir. Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Teğet doğrunun eğimi -3'tür.
A(0, -1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y=mx−1y = mx - 1 şeklindedir. Parabol denklemi ile ortak çözülüp teğetlik şartı olan Δ=0\Delta = 0 uygulandığında m=−3m = -3 ve m=9m = 9 değerleri elde edilir. Değme noktası II. bölgede (apsisi negatif, ordinatı pozitif) olan doğru incelendiğinde m=−3m = -3 için değme noktasının T1(−3,8)T_1(-3, 8) olduğu görülür ve bu durum şartı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
A(0, -1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemini yazma
y=mx−1y = mx - 1
Teğet doğrunun denklemini belirlemek için.
2
Parabol ile doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturma
x2+(3−m)x+9=0x^2 + (3 - m)x + 9 = 0
Kesişim noktalarını veya teğetlik şartını incelemek için.
3
Teğetlik şartı için diskriminantı sıfıra eşitleyip m değerlerini bulma
Δ=(3−m)2−36=0  ⟹  m=−3\Delta = (3 - m)^2 - 36 = 0 \implies m = -3 veya m=9m = 9
Doğru parabole teğet olduğundan ortak denklemin çift katlı kökü (tek ortak noktası) olmalıdır.
4
Bulunan m değerlerine göre değme noktalarının koordinatlarını kontrol etme
m=−3m = -3 için değme noktası T1(−3,8)T_1(-3, 8) (II. bölge), m=9m = 9 için değme noktası T2(3,26)T_2(3, 26) (I. bölge)
Soruda değme noktasının koordinat düzleminin II. bölgesinde olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşittir (Δ=0\Delta = 0).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 159Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−2xy = x^2 - 2x parabolü ile y=mxy = mx doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının orta noktasının koordinatları toplamı 1515 olduğuna göre, mm değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 değeri doğrudur.
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının ortak çözüm denkleminden x1=0x_1 = 0 ve x2=m+2x_2 = m+2 apsis değerleri bulunur. Bu apsislere karşılık gelen ordinatlar sırasıyla y1=0y_1 = 0 ve y2=m(m+2)y_2 = m(m+2) olup, bu noktaların orta noktası M(m+22,m(m+2)2)M\left(\frac{m+2}{2}, \frac{m(m+2)}{2}\right) olur. Koordinatlar toplamı 1515 olarak eşitlendiğinde (m+1)(m+2)=30(m+1)(m+2) = 30 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı değeri 44 olduğundan doğru yanıt 44 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsislerini bulmak için denklemler birbirine eşitlenir.
x2−2x=mx  ⟹  x2−(m+2)x=0x^2 - 2x = mx \implies x^2 - (m+2)x = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarını veren ortak çözüm denklemini oluşturmak için.
2
Ende edilen ikinci dereceden denklemin kökleri (kesişim noktalarının apsisleri) bulunur.
x(x−(m+2))=0  ⟹  x1=0x(x - (m+2)) = 0 \implies x_1 = 0 ve x2=m+2x_2 = m+2 bulunur.
Kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemek amacıyla apsis değerlerine ulaşmak için.
3
Kesişim noktalarının ordinatları, y=mxy = mx doğrusu üzerinde oldukları için denklemde yerine yazılarak bulunur.
A(0,0)A(0, 0) ve B(m+2,m(m+2))B(m+2, m(m+2)) noktaları elde edilir.
Orta noktanın koordinatlarını hesaplayabilmek için kesişim noktalarının tam koordinatlarını bulmak.
4
Kesişim noktalarının orta noktası olan M(x0,y0)M(x_0, y_0) koordinatları hesaplanır.
x0=0+m+22=m+22x_0 = \frac{0 + m + 2}{2} = \frac{m+2}{2} ve y0=0+m(m+2)2=m(m+2)2y_0 = \frac{0 + m(m+2)}{2} = \frac{m(m+2)}{2} elde edilir.
Orta noktanın koordinatlarını iki noktanın aritmetik ortalaması formülüyle bulmak.
5
Orta noktanın koordinatları toplamı 1515 olarak verildiğinden bu değerler toplanıp 1515'e eşitlenir ve mm değeri çözülür.
m+22+m(m+2)2=15  ⟹  (m+1)(m+2)2=15  ⟹  (m+1)(m+2)=30  ⟹  m2+3m−28=0  ⟹  (m−4)(m+7)=0\frac{m+2}{2} + \frac{m(m+2)}{2} = 15 \implies \frac{(m+1)(m+2)}{2} = 15 \implies (m+1)(m+2) = 30 \implies m^2 + 3m - 28 = 0 \implies (m-4)(m+7) = 0 elde edilir. Buradan pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.
Verilen koordinat toplamı eşitliğini kullanarak bilinmeyen mm parametresini bulmak.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının bulunması ve bu noktaların orta noktasının koordinatlarının analitik olarak hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Kirişin orta noktasının koordinatları, doğrudan kökler toplamı formülüyle de bulunabilir. Ortak çözüm denklemi x2−(m+2)x=0x^2 - (m+2)x = 0 olduğuna göre kökler toplamı x1+x2=m+2x_1 + x_2 = m+2 olur. Orta noktanın apsisi x0=x1+x22=m+22x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+2}{2} olur. Orta nokta doğru üzerinde yer aldığından ordinatı y0=m⋅x0=m(m+2)2y_0 = m \cdot x_0 = \frac{m(m+2)}{2} olur. Buradan x0+y0=15x_0 + y_0 = 15 denklemi çözülerek m=4m = 4 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 160Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 parabolü ile y=2x+ky = 2x + k doğrusu AA ve BB noktalarında kesişmektedir.

[AB][AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı 1111 olduğuna göre, kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k değeri 2'dir.
Ortak çözüm denklemi olan x2−6x+7−k=0x^2 - 6x + 7 - k = 0 denkleminin kökler toplamı x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 olarak bulunur. Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi x0=x1+x22=3x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = 3 olur. Bu nokta y=2x+ky = 2x + k doğrusu üzerinde olduğundan ordinatı y0=6+ky_0 = 6 + k şeklindedir. Koordinatlar toplamı 3+6+k=113 + 6 + k = 11 eşitliğinden k=2k = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−6x+7−k=0x^2 - 6x + 7 - k = 0
Kesişim noktalarının apsislerini veren denklemi elde etmek için iki fonksiyon birbirine eşitlenmelidir.
2
Kökler toplamı formülünü kullanarak orta noktanın apsisini hesaplayın.
x0=3x_0 = 3
Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi, kesişim noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
3
Orta noktanın ordinatını doğru denklemini kullanarak ifade edin.
y0=6+ky_0 = 6 + k
Orta nokta kesim doğrusunun üzerinde olduğundan, doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Orta noktanın koordinatları toplamını 11'e eşitleyerek bilinmeyen sabit değeri bulun.
k=2k = 2
Elde edilen apsis ve ordinat değerlerinin toplamı, soruda verilen koordinatlar toplamına eşitlenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının orta noktasının koordinatları, ortak çözüm denkleminin kökleri ve kesim doğrusunun denklemi yardımıyla bulunur.
ÖncekiSayfa 8 / 12Sonraki
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 8 | Examkin