Examkin

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

120 soru

Tüm türler120Çoktan seçmeli50Doğru / Yanlış15Sayısal53Eşleştirme2
Soru 61Soru →
(x−2)2(x−5)x+3≤0\frac{(x - 2)^2 (x - 5)}{x + 3} \leq 0
(x+1)2(x−4)x−1≥0\frac{(x + 1)^2 (x - 4)}{x - 1} \geq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 6'dır.
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümeleri doğru belirlenip kesişimleri alındığında, sistemi sağlayan tam sayıların {−2,−1,0,4,5}\{-2, -1, 0, 4, 5\} olduğu görülür. Bu sayıların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizlik için payın kökleri x=2x = 2 (çift katlı) ve x=5x = 5 (tek katlı), paydanın kökü ise x=−3x = -3 (tek katlı) olarak belirlenir. Eşitsizliğin başkatsayısı pozitif olduğundan işaret tablosu en sağdan ++ ile başlatılır.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi S1=(−3,5]S_1 = (-3, 5] olarak bulunur. Eşitlik durumundan dolayı payın kökleri (22 ve 55) çözüm kümesine dahil edilirken paydanın kökü (−3-3) tanımsızlık yarattığı için dahil edilmez.
Birinci eşitsizliği sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek için.
2
İkinci eşitsizlik için payın kökleri x=−1x = -1 (çift katlı) ve x=4x = 4 (tek katlı), paydanın kökü ise x=1x = 1 (tek katlı) olarak belirlenir. Başkatsayı pozitif olduğundan tablo en sağdan ++ ile başlatılır.
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi S2=(−∞,1)∪[4,∞)S_2 = (-\infty, 1) \cup [4, \infty) olarak bulunur. Çift katlı kök olan x=−1x = -1 noktasında işaret değişmez ve sıfıra eşitlik sağlandığı için çözüm kümesine dahil edilir. Paydanın kökü olan 11 ise açık bırakılır.
İkinci eşitsizliği sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek için.
3
Elde edilen iki çözüm kümesinin kesişimi (S1∩S2S_1 \cap S_2) alınır.
Ortak çözüm kümesi S=(−3,1)∪[4,5]S = (-3, 1) \cup [4, 5] olarak elde edilir.
Eşitsizlik sisteminin her iki şartını birden sağlayan ortak bölgeyi bulmak için.
4
Bulunan ortak çözüm kümesindeki tam sayılar tespit edilerek toplanır.
Bu kümedeki tam sayılar −2,−1,0,4-2, -1, 0, 4 ve 55 olup toplamları (−2)+(−1)+0+4+5=6(-2) + (-1) + 0 + 4 + 5 = 6 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 62Soru →

aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,

x2−(a+b)x+ab≤0x^2 - (a+b)x + ab \le 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının kümesi AA,
x2−(a−b)x−ab≤0x^2 - (a-b)x - ab \le 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının kümesi BB'dir.

A∩B={3}A \cap B = \{3\} ve AA kümesinin eleman sayısı 8 olduğuna göre, bb tam sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -40

Cevap

b tam sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı -40'tır.
Ortak sınır noktası a = 3 olarak belirlendikten sonra, b'nin pozitif olduğu durumda [3, b] aralığında 8 tam sayı bulunması için b = 10 olmalıdır. b'nin negatif olduğu durumda [b, 3] aralığında 8 tam sayı bulunması için b = -4 olmalıdır. Bu iki değerin çarpımı -40'tır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliklerin sol tarafındaki ifadeleri çarpanlarına ayırma.
x2−(a+b)x+ab=(x−a)(x−b)≤0x^2 - (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) \le 0 ve x2−(a−b)x−ab=(x−a)(x+b)≤0x^2 - (a-b)x - ab = (x-a)(x+b) \le 0 elde edilir.
Eşitsizliklerin köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
2
Çözüm kümelerinin kesişimini analiz etme.
Birinci eşitsizliğin çözüm aralığı aa ve bb kökleri arasında, ikinci eşitsizliğin ise aa ve −b-b kökleri arasındadır. Kesişim kümesinin yalnızca {3}\{3\} tekil kümesi olabilmesi için ortak kök olan aa değerinin 3 olması gerekir (a=3a = 3). Ayrıca aralıklar 3 noktasından zıt yönlere doğru uzanmalıdır.
Kesişim k��mesinde sadece tek bir tam sayı bulunması, ortak uç değerin bu sayı olmasını ve aralıkların zıt yönlere yayılmasını gerektirir.
3
b tam sayısının pozitif olduğu durumu inceleme.
b>3b > 3 ise A kümesi [3,b][3, b] aralığındaki tam sayılardır. Eleman sayısı 8 olduğundan b−3+1=8  ⟹  b=10b - 3 + 1 = 8 \implies b = 10 bulunur. Bu durumda B kümesi [−10,3][-10, 3] olur ve kesişimleri yalnızca {3}\{3\} kümesini verir.
A kümesinin eleman sayısı formülü kullanılarak pozitif b değeri elde edilir.
4
b tam sayısının negatif olduğu durumu inceleme.
b<−3b < -3 ise A kümesi [b,3][b, 3] aralığındaki tam sayılardır. Eleman sayısı 8 olduğundan 3−b+1=8  ⟹  b=−43 - b + 1 = 8 \implies b = -4 bulunur. Bu durumda B kümesi [3,4][3, 4] olur ve kesişimleri yine yalnızca {3}\{3\} kümesini verir.
b değerinin negatif olabileceği simetrik durum göz önüne alınarak diğer olası değer hesaplanır.
5
Elde edilen b değerlerinin çarpımını hesaplama.
10×(−4)=−4010 \times (-4) = -40 bulunur.
b'nin alabileceği farklı değerlerin çarpımı hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çarpanlara ayrılarak işaret tablosunun incelenmesi ve çözüm aralıklarının kesişim kümesinin bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 63Soru →
(x2−x−6)⋅(x−1)2x2−4≤0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x - 1)^2}{x^2 - 4} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı 4'tür.
Çözüm kümesi {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] olarak bulunur. Bu kümedeki tam sayılar 11 ve 33 olup, toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırın.
Pay kısmındaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesi (x−3)(x+2)(x - 3)(x + 2) olarak, paydadaki x2−4x^2 - 4 ifadesi ise (x−2)(x+2)(x - 2)(x + 2) olarak yazılır. Eşitsizlik (x−3)(x+2)⋅(x−1)2(x−2)(x+2)≤0 \frac{(x - 3)(x + 2) \cdot (x - 1)^2}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 haline gelir.
Çarpanlara ayırma yöntemi, eşitsizliğin köklerini belirlemeyi ve sadeleştirmeleri yapmayı sağlar.
2
Tanımsızlık koşullarını belirleyerek sadeleştirme yapın.
Paydanın sıfır olmaması gerektiğinden x≠2x \neq 2 ve x≠−2x \neq -2 olmalıdır. Bu koşul altında pay ve paydadaki (x+2)(x + 2) çarpanları sadeleştirilir. Eşitsizlik (x−3)(x−1)2x−2≤0(x≠−2) \frac{(x - 3)(x - 1)^2}{x - 2} \leq 0 \quad (x \neq -2) haline gelir.
Paydanın kökleri paydayı sıfır yaparak ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Sadeleşmiş eşitsizliğin köklerini bularak işaret tablosunu hazırlayın.
Payın kökleri x=3x = 3 (tek katlı kök) ve x=1x = 1 (çift katlı kök) olarak bulunur. Paydanın kökü ise x=2x = 2 (tek katlı kök) olarak elde edilir. İşaret tablosunda kökler −2,1,2,3-2, 1, 2, 3 sırasıyla dizilir. En sağ aralıkta (x>3x > 3 için) ifadenin işareti (+) ile başlar.
Eşitsizlik sisteminin çözüm aralıklarını belirlemek için her kökün katı ve ifadenin baş katsayı işareti kullanılarak işaret tablosu oluşturulur.
4
İ��aret tablosuna göre çözüm kümesini belirleyin.
İşaretler sağdan sola sırasıyla: x>3x > 3 için (+), 2<x<32 < x < 3 için (-), 1<x<21 < x < 2 için (+), −2<x<1-2 < x < 1 için (+), x<−2x < -2 için (+) olur. Eşitsizlik ≤0\leq 0 durumunu aradığı için çözüm kümesi {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] olarak belirlenir. Tanımsızlık noktası olan x=−2x = -2 bu aralıkların dışındadır.
Eşitsizliğin negatif veya sıfır olduğu bölgeler ile payın sıfır olduğu noktalar çözüm kümesini oluşturur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini toplayın.
Belirlenen {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] kümesindeki tam sayılar sadece 11 ve 33'tür (22 değeri payda kökü olduğundan açık aralıktadır ve dahil edilmez). Bu tam sayıların toplamı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamına ulaşmak için çözüm kümesindeki tüm tam sayılar tespit edilir ve toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Çift Katlı Kökler ve Tanımsızlık Noktalarının İncelenmesi

Alternatif Yöntem

İşaret tablosu oluşturmak yerine, kritik noktaların belirlediği aralıklardan temsilci tam sayı değerleri seçilerek (örneğin x = 0, x = 1.5, x = 2.5 vb.) eşitsizlikte yerine yazılır ve hangi aralıkların eşitsizliği sağladığı doğrudan kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 64Soru →
P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c ve Q(x)=dx2+ex+fQ(x) = dx^2 + ex + f başkatsayıları sırasıyla aa ve dd olan ikinci dereceden gerçel katsayılı iki polinomdur. Bu polinomların diskriminantları sırasıyla Δ1\Delta_1 ve Δ2\Delta_2 olmak üzere, Δ1>0\Delta_1 > 0 ve Δ2>0\Delta_2 > 0 olduğu bilinmektedir. Buna göre, her x∈Rx \in \mathbb{R} için P(x)⋅Q(x)≥0P(x) \cdot Q(x) \ge 0 eşitsizliğinin sağlanması durumunda P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümelerinin aynı olması zorunludur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Her x∈Rx \in \mathbb{R} için P(x)⋅Q(x)≥0P(x) \cdot Q(x) \ge 0 eşitsizliğinin sağlanması durumunda P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümelerinin aynı olması zorunludur ifadesi doğrudur.
Çarpım fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için negatif olmaması (sıfırdan büyük veya eşit olması), işaret tablosunda tek katlı kök bulunmadığını gösterir. P(x)P(x)'in iki farklı gerçel kökü olduğu için, bu köklerin çarpımda çift katlı köke dönüşmesi amacıyla Q(x)Q(x)'in de aynı köklere sahip olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliklerde işaret değişim kuralını hatırlayınız.
Bir polinom çarpımının veya bölümünün işaret tablosunda, tek katlı köklerden geçilirken işaret değişir, çift katlı köklerden geçilirken ise işaret değişmez.
Çarpımın daima sıfırdan büyük veya eşit kalabilmesi için işaret tablosunda hiçbir kökte işaret değişimi gerçekleşmemelidir.
2
P(x)P(x) polinomunun kök karakterini analiz ediniz.
Δ1>0\Delta_1 > 0 olduğundan, P(x)P(x) polinomunun iki farklı reel kökü (x1x_1 ve x2x_2) vardır ve bunlar P(x)P(x) için tek katlı köklerdir.
Köklerin tek katlı olması, tek başına P(x)P(x)'in bu noktalarda işaret değiştireceği anlamına gelir.
3
P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) çarpımının işaret değiştirmeme koşulunu inceleyiniz.
Çarpım fonksiyonunun x1x_1 ve x2x_2 noktalarında işaret değiştirmemesi için, bu noktaların P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) çarpım polinomunun çift katlı kökleri olması gerekir. Bu da ancak x1x_1 ve x2x_2 değerlerinin aynı zamanda Q(x)Q(x)'in de kökleri olmasıyla mümkündür.
Tek katlı köklerin çarpım altında çift katlı köke dönüşmesi için her iki polinomda da ortak olarak bulunmaları zorunludur.
4
Q(x)Q(x) polinomunun derecesini ve kök sayısını kontrol ederek sonucu elde ediniz.
Q(x)Q(x) ikinci dereceden bir polinom olduğundan en fazla iki köke sahip olabilir. Bu kökler x1x_1 ve x2x_2 olmak zorundadır. Dolayısıyla P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümeleri aynıdır.
Q(x)Q(x)'in derecesi 2 olduğundan başka bir kökü olamaz, bu yüzden kök kümeleri birebir eşleşir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde köklerin katlılık durumuna göre işaret tablosunda işaret değişiminin incelenmesi
Soru 65Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta
f(x)=x2−2x−8 f(x) = x^2 - 2x - 8
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
f(x−2)⋅(x−1)3−x≥0 \frac{f(x-2) \cdot (x-1)}{3-x} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam say��larının toplamı 16'dır.
Eşitsizlik tablosu oluşturulduğunda çözüm kümesi [0,1]∪(3,6][0, 1] \cup (3, 6] aralığı olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,4,50, 1, 4, 5 ve 66 olup toplamları 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x−8f(x) = x^2 - 2x - 8 fonksiyonunun köklerini bulalım.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 denkleminden kökler x=4x = 4 ve x=−2x = -2 olarak bulunur.
f(x−2)f(x-2) ifadesinin köklerini elde etmek için öncelikle f(x)f(x)'in köklerini belirlememiz gerekir.
2
f(x−2)f(x-2) ifadesinin köklerini bulalım.
f(x)f(x)'in köklerini 2 birim sağa öteleyerek x1=−2+2=0x_1 = -2 + 2 = 0 ve x2=4+2=6x_2 = 4 + 2 = 6 köklerini elde ederiz. Yani f(x−2)=x(x−6)f(x-2) = x(x-6) olur.
Yatay öteleme kuralına göre, f(x−c)f(x-c) ifadesinin kökleri, f(x)f(x)'in köklerinin cc birim sağa ötelenmiş halidir.
3
Eşitsizliği oluşturan tüm çarpanların köklerini ve paydanın kökünü belirleyelim.
Eşitsizlik: x(x−6)(x−1)3−x≥0\frac{x(x-6)(x-1)}{3-x} \geq 0 şekline dönüşür. Payın kökleri x=0x = 0, x=1x = 1, x=6x = 6 (dahil) ve paydanın kökü x=3x = 3 (dahil değil) olarak bulunur.
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için pay ve paydadaki tüm çarpanların köklerini bulmalıyız.
4
Kökleri tabloya yerleştirip işaret incelemesi yapalım.
Sıralı kökler: 0,1,3,60, 1, 3, 6. En sağdaki aralıkta derecesi en büyük olan terimlerin katsayılarının işareti (+)⋅(+)⋅(+)(−)=(−)\frac{(+)\cdot(+)\cdot(+)}{(-)} = (-) olduğu için tabloya en sağdan (−-) ile başlanır. İşaret tablosu şu şekildedir:

xx−∞-\infty00113366∞\infty
g(x)g(x)−-00++00−-∥\Vert++00−-
İşaret tablosu sayesinde eşitsizliğin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar tespit edilir.
5
Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulup toplayalım.
Çözüm kümesi [0,1]∪(3,6][0, 1] \cup (3, 6] aralığıdır. Buradaki tam sayılar 0,1,4,5,60, 1, 4, 5, 6 olup toplamları 0+1+4+5+6=160 + 1 + 4 + 5 + 6 = 16 olur.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği çözmek için f(x-2) fonksiyonunu bulmak yerine f(x) fonksiyonunun köklerini bulup bu kökleri 2 birim sağa öteleyerek f(x-2)'nin köklerini doğrudan elde edebiliriz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 66Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−4x+3)⋅(2−x)x2−5x−6≥0 \frac{(x^2 - 4x + 3) \cdot (2 - x)}{x^2 - 5x - 6} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı -1'dir.
Eşitsizlik tablosu incelendiğinde eşitsizliği sağlayan çözüm kümesinin (−∞,−1)∪[1,2]∪[3,6)(-\infty, -1) \cup [1, 2] \cup [3, 6) olduğu görülür. Bu kümedeki en büyük negatif tam sayı −2-2 (−1-1 tanımsızlık nedeniyle hariç tutulmuştur) ve en küçük pozitif tam sayı 11'dir. İkisinin toplamı −2+1=−1-2 + 1 = -1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Payın çarpanları:
x2−4x+3=(x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1 ve x=3x = 3
2−x=0  ⟹  x=22 - x = 0 \implies x = 2
Payın kökleri: 1, 2 ve 3'tür.

Paydanın çarpanları:
x2−5x−6=(x−6)(x+1)=0  ⟹  x=−1x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=6x = 6
Paydanın kökleri: -1 ve 6'dır.
İşaret tablosu oluşturmak amacıyla tüm sınır değerleri (kökleri) tespit etmek için bu adım uygulanır.
2
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturun ve aralıkların işaretlerini belirleyin.
Köklerin sıralaması: −1<1<2<3<6-1 < 1 < 2 < 3 < 6
Baş katsayıların işareti:
- x2−4x+3x^2 - 4x + 3 için ++
- 2−x2 - x için −-
- x2−5x−6x^2 - 5x - 6 için ++
Toplam işaret: (+)⋅(−)+=−\frac{(+) \cdot (-)}{+} = -

Bu nedenle tablonun en sağından (6'nın sağından) eksi (−-) işareti ile başlanır ve her kökten geçildiğinde işaret değiştirilir:
- x>6x > 6 için −-
- 3<x<63 < x < 6 için ++
- 2<x<32 < x < 3 için −-
- 1<x<21 < x < 2 için ++
- −1<x<1-1 < x < 1 için −-
- x<−1x < -1 için ++

Paydanın kökleri olan −1-1 ve 66 ifadeyi tanımsız yaptığından çözüm kümesine dahil edilmez. Eşitsizlik ≥0\ge 0 şeklinde olduğundan payın kökleri (1,2,31, 2, 3) dahil edilir. Çözüm kümesi: (−∞,−1)∪[1,2]∪[3,6)(-\infty, -1) \cup [1, 2] \cup [3, 6)
Eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu bölgeleri (pozitif bölgeleri) tespit etmek için.
3
Çözüm kümesindeki en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayıyı belirleyip toplayın.
Çözüm kümesindeki negatif sayılar (−∞,−1)(-\infty, -1) aralığındadır. Bu aralıktaki en büyük negatif tam sayı −2-2'dir (−1-1 paydayı sıfır yaptığı için dahil edilemez).

Çözüm kümesindeki pozitif sayılar [1,2]∪[3,6)[1, 2] \cup [3, 6) aralıklarındadır. Bu aralıklardaki en küçük pozitif tam sayı 11'dir.

İki değerin toplamı: (−2)+1=−1(-2) + 1 = -1 bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözümünde pay ve paydadaki ifadelerin tüm kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur. Paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine dahil edilmez.
Soru 67Soru →
(x−2)2(x2−2x−8)x2−36≤0\frac{(x - 2)^2 (x^2 - 2x - 8)}{x^2 - 36} \leq 0
x2−3x−10x−5≥0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5} \geq 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Sistemin ortak çözüm kümesindeki tam sayılar -2, 2 ve 4'tür. Bunların toplamı 4 yapar. x = 2 çift katlı kökü birinci eşitsizliği sağladığı ve ikinci eşitsizliğin tanım kümesinde olduğu için çözüme dahil edilirken; x = 5 değeri payda kökü olduğu için hariç tutulur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadelerin kökleri belirlenir.
Payın kökleri x = 2 (çift katlı), x = 4 ve x = -2; paydanın kökleri x = 6 ve x = -6 (payda kökleri çözüm kümesine dahil edilmez).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturmak için kritik noktaları belirlemek gerekir.
2
Birinci eşitsizlik için işaret tablosu yapılarak çözüm kümesi bulunur.
Çözüm kümesi S1 = (-6, -2] U {2} U [4, 6) olarak elde edilir.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıkları ve değerleri belirlemek amaçlanır. Çift katlı kök olan x = 2 değeri ifadeyi sıfır yaptığı için çözüm kümesine tek nokta olarak eklenmelidir.
3
İkinci eşitsizlik çarpanlarına ayrılır ve sadeleştirilir.
x != 5 kısıtı altında x + 2 >= 0 eşitsizliği elde edilir ve S2 = [-2, 5) U (5, sonsuz) bulunur.
Ortak çarpanları sadeleştirirken paydanın sıfır olamayacağı (x != 5) kuralı unutulmamalıdır.
4
S1 ve S2 çözüm kümelerinin kesişim kümesi oluşturulur.
Kesişim kümesi S = {-2, 2} U [4, 5) U (5, 6) olur.
Eşitsizlik sisteminin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerin kümesidir.
5
Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Tam sayılar: -2, 2 ve 4. Toplam: (-2) + 2 + 4 = 4.
Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamını bulmak hedeflenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 68Soru →
x2+y2−4x−6y=3x2−4x−y=−3\begin{aligned} x^2 + y^2 - 4x - 6y &= 3 \\ x^2 - 4x - y &= -3 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Denklem sistemini sağlayan tüm gerçek sayı ikililerinin bileşenleri çarpımının toplamı 22'dir.
Denklem sistemi çözüldüğünde elde edilen üç gerçek sayı ikilisinin bileşenleri çarpımları sırasıyla 6x16x_1, 6x26x_2 ve −2-2'dir. Burada x1x_1 ve x2x_2 değerleri x2−4x−3=0x^2 - 4x - 3 = 0 denkleminin kökleri olup toplamları Vieta formülüne göre 44'tür. Dolayısıyla çarpımların toplamı 6(x1+x2)−2=6(4)−2=226(x_1 + x_2) - 2 = 6(4) - 2 = 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemden x2−4xx^2 - 4x ifadesini yy cinsinden çekin.
x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3
Birinci denklemde ortak olan x2−4xx^2 - 4x teriminin yerine yazarak değişken sayısını teke düşürmek için.
2
x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3 ifadesini birinci denklemde yerine yazın ve denklemi düzenleyin.
y2−5y−6=0y^2 - 5y - 6 = 0
yy değişkenine bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde etmek için.
3
y2−5y−6=0y^2 - 5y - 6 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak yy değerlerini bulun.
y1=6y_1 = 6 ve y2=−1y_2 = -1
Denklem sistemini sağlayan yy koordinatlarını belirlemek için.
4
Bulunan yy değerlerini x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3 eşitliğinde yerine yazarak her bir duruma karşılık gelen xx değerlerini veya bu değerlerin ilişkisini bulun.
y=6  ⟹  x2−4x−3=0y = 6 \implies x^2 - 4x - 3 = 0 (kökler x1x_1 ve x2x_2 olup x1+x2=4x_1+x_2 = 4); y=−1  ⟹  x2−4x+4=0  ⟹  x3=2y = -1 \implies x^2 - 4x + 4 = 0 \implies x_3 = 2
Çözüm kümesindeki gerçek sayı ikililerinin xx bileşenlerini belirlemek veya kökler toplamı ilişkisini kullanmak için.
5
Elde edilen (x,y)(x, y) ikililerinin çarpımlarının toplamını hesaplayın.
x1⋅6+x2⋅6+2⋅(−1)=6(x1+x2)−2=6(4)−2=22x_1 \cdot 6 + x_2 \cdot 6 + 2 \cdot (-1) = 6(x_1 + x_2) - 2 = 6(4) - 2 = 22
Soruda istenen çarpımların toplamı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme ve yerine koyma metotları ile Vieta formüllerinin (kökler toplamı) birlikte uygulanması.
Soru 69Soru →

İki veya daha fazla fonksiyonun çarpımı veya bölümü şeklinde verilen eşitsizlikler çözülürken her bir çarpanın kökleri bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.

Buna göre,
(9−x2)⋅(x−2)3(x2−2x−3)⋅∣x−4∣≥0 \frac{(9 - x^2) \cdot (x - 2)^3}{(x^2 - 2x - 3) \cdot |x - 4|} \ge 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının [−5,5][-5, 5] kapalı aralığındaki toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Verilen eşitsizliği [−5,5][-5, 5] kapalı aralığında sağlayan tam sayıların toplamı -9'dur.
Verilen eşitsizlik rasyonel bir ifadedir. Pay ve payda çarpanlara ayrılarak kökler bulunur. Paydadaki ∣x−4∣|x-4| ifadesi x=4x = 4 noktasında çift katlı kök oluştururken paydayı sıfır yaptığı için tanımsızlığa sebep olur. x=3x = 3 değeri ise hem pay hem de paydada yer alıp sadeleşse de paydayı sıfır yaptığı için tanım kümesinden hariç tutulmalıdır. İşaret tablosu çıkarıldığında ifadenin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar (−∞,−3]∪(−1,2](-\infty, -3] \cup (-1, 2] olarak bulunur. Bu aralıktaki [−5,5][-5, 5] kapsamındaki tam sayılar −5,−4,−3,0,1,2-5, -4, -3, 0, 1, 2 olup toplamları −9-9 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki çarpanların köklerini belirleme.
Payın kökleri: x=−3,3,2x = -3, 3, 2; Paydanın kökleri: x=−1,3x = -1, 3 ve çift katlı kök x=4x = 4.
İşaret incelemesi için kritik noktaların ve tan��msızlık yapan değerlerin bulunması gerekir.
2
Payda sıfırlayan kökleri tanım kümesinden hariç tutma.
x≠−1x \neq -1, x≠3x \neq 3 ve x≠4x \neq 4 şartları elde edilir.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlığa yol açar.
3
Ortak çarpanları sadeleştirme ve işaret tablosu yönünü belirleme.
(x+3)(x−2)3(x+1)∣x−4∣≤0\frac{(x+3)(x-2)^3}{(x+1)|x-4|} \le 0 eşitsizliğine ulaşılır.
9−x29-x^2 ifadesi −(x−3)(x+3)-(x-3)(x+3) şeklinde yazılarak paydadaki (x−3)(x-3) ile sadeleştirilir ve negatif katsayı eşitsizliğin yönünü değiştirir.
4
İşaret tablosu yardımıyla eşitsizliğin sağlandığı aralığı bulma.
x∈(−∞,−3]∪(−1,2]x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 2] aralığı elde edilir.
Sadeleşen ifadenin kökleri üzerinden yapılan işaret incelemesinde negatif bölgeler belirlenir.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayıları [−5,5][-5, 5] aralığına göre sınırlayarak toplama.
(−5)+(−4)+(−3)+0+1+2=−9(-5) + (-4) + (-3) + 0 + 1 + 2 = -9
Koşulları sağlayan tam sayılar belirlenerek toplam işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin İşaret Tablosu ile Çözümü
Soru 70Soru →
(x+3)2(x2−5x+6)x2−4≤0\frac{(x + 3)^2 (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 4} \leq 0
x2−x−6(x−1)2≤0\frac{x^2 - x - 6}{(x - 1)^2} \leq 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 2'dir.
Eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizlik ayrı ayrı çözülüp kesiştirildiğinde, paydayı sıfır yapan ve sadeleşen köklerin (x=2x = 2, x=−2x = -2, x=1x = 1) elenmesi ve çift katlı köklerin (x=−3x = -3) her iki eşitsizliği de sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir. Bu işlemler yapıldığında ortak sağlayan tam sayıların yalnızca −1,0,3-1, 0, 3 olduğu görülür ve bu sayıların toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma
S1=(−2,2)∪(2,3]∪{−3}S_1 = (-2, 2) \cup (2, 3] \cup \{-3\}
(x+3)2(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)≤0\frac{(x+3)^2(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} \leq 0 ifadesinde x−2x-2 terimleri sadeleştiğinde x≠2x \neq 2 koşulu eklenir. Paydanın kökü x=−2x = -2 ve payın kökleri x=−3x = -3 (çift katlı) ile x=3x = 3 (tek katlı) kullanılarak işaret tablosu oluşturulur.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma
S2=[−2,3]∖{1}S_2 = [-2, 3] \setminus \{1\}
(x−3)(x+2)(x−1)2≤0\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)^2} \leq 0 eşitsizliğinde payın kökleri x=3x = 3 ve x=−2x = -2 (tek katlı), paydanın kökü ise x=1x = 1 (çift katlı) olup paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesinden atılır.
3
Çözüm kümelerini kesiştirerek ortak kökleri bulma
x∈{−1,0,3}x \in \{-1, 0, 3\}
Her iki eşitsizliği de sağlayan ortak tam sayılar belirlenir. x=−3x = -3 ikinci eşitsizliği, x=−2x = -2 ve x=2x = 2 birinci eşitsizliği tanımsız yaptığı için ortak çözüm kümesine dahil edilmez. x=1x = 1 ise ikinci eşitsizlikte paydayı sıfır yaptığı için dahil edilmez.
4
Ortak tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama
2
Bulunan x=−1x = -1, x=0x = 0 ve x=3x = 3 tam say��larının toplamı (−1)+0+3=2(-1) + 0 + 3 = 2 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizlik sistemlerinde sadeleştirme hatası yapmamak, payda köklerini ve çift katlı kökleri doğru değerlendirmek.
Soru 71Soru →
x+yx−y+x−yx+y=103x2+2xy+y2−x−y=12\begin{aligned} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} &= \frac{10}{3} \\ x^2 + 2xy + y^2 - x - y &= 12 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları birer tam sayı olan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Tam sayı olan koordinat ikilileri için koordinatların çarpımının alabileceği en büyük değer 2'dir.
İkinci denklem (x+y−4)(x+y+3)=0(x+y-4)(x+y+3) = 0 şeklinde yazılıp x+yx+y için aday değerler belirlenir. Birinci denklemden gelen oranlar kullanılarak her iki durum için x−yx-y farkları hesaplanır. Ortaya çıkan üç farklı tam sayı koordinatlı çözüm ikilisinin koordinat çarpımları karşılaştırıldığında en büyük sonucun 2 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemi düzenleyip çarpanlarına ayırın.
(x+y)2−(x+y)−12=0  ⟹  (x+y−4)(x+y+3)=0(x+y)^2 - (x+y) - 12 = 0 \implies (x+y-4)(x+y+3) = 0 Buradan x+y=4x+y = 4 veya x+y=−3x+y = -3 elde edilir.
Sistemdeki x+yx+y ifadesinin alabileceği değerleri belirleyerek denklemi basitleştirmek amacıyla.
2
Birinci denklemde değişken değiştirme yöntemi uygulayın.
x+yx−y=u\frac{x+y}{x-y} = u dönüşümü yapılırsa denklem u+1u=103  ⟹  3u2−10u+3=0u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3} \implies 3u^2 - 10u + 3 = 0 halini alır. Bu denklemin kökleri u=3u = 3 veya u=13u = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin çözümünü kolaylaştırmak ve x+yx+y ile x−yx-y aras��ndaki oranları tespit etmek amacıyla.
3
Bulunan x+yx+y değerleri ve uu oranları yardımıyla olası x−yx-y değerlerini hesaplayıp denklem sistemlerini çözün.
1. Durum (x+y=4x+y = 4):
- u=3  ⟹  x−y=4/3  ⟹  x=8/3,y=4/3u = 3 \implies x-y = 4/3 \implies x = 8/3, y = 4/3 (tam sayı değil).
- u=1/3  ⟹  x−y=12  ⟹  x=8,y=−4u = 1/3 \implies x-y = 12 \implies x = 8, y = -4 (tam sayı).

2. Durum (x+y=−3x+y = -3):
- u=3  ⟹  x−y=−1  ⟹  x=−2,y=−1u = 3 \implies x-y = -1 \implies x = -2, y = -1 (tam sayı).
- u=1/3  ⟹  x−y=−9  ⟹  x=−6,y=3u = 1/3 \implies x-y = -9 \implies x = -6, y = 3 (tam sayı).
Tüm olası (x,y)(x, y) gerçek sayı ikililerini bulmak ve bunlar arasından koordinatları tam sayı olanları seçmek amacıyla.
4
Elde edilen tam sayı koordinat ikililerinin çarpımlarını hesaplayıp karşılaştırın.
Tam sayı çözümlerin çarpımları:
- 8⋅(−4)=−328 \cdot (-4) = -32
- (−2)⋅(−1)=2(-2) \cdot (-1) = 2
- (−6)⋅3=−18(-6) \cdot 3 = -18
Bu değerlerden en büyüğü 2'dir.
Soru kökünde istenen en büyük çarpım değerini belirlemek amacıyla.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Alternatif Yöntem

Birinci denklemde paydalar eşitlenerek içler dışlar çarpımı yapıldığında 3(x+y)2+3(x−y)2=10(x2−y2)3(x+y)^2 + 3(x-y)^2 = 10(x^2-y^2) elde edilir. Bu ifade düzenlendiğinde 4x2−16y2=0  ⟹  x2=4y2  ⟹  x=2y4x^2 - 16y^2 = 0 \implies x^2 = 4y^2 \implies x = 2y veya x=−2yx = -2y bağıntılarına ulaşılır. Bu iki doğrusal bağıntı ikinci denklemde yerine yazılarak da aynı tam sayı ikililerine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 72Soru →
Gerçek say��lar kümesinde tanımlı
(4−x2)⋅(x−3)2x2−5x+6≥0 \frac{(4 - x^2) \cdot (x - 3)^2}{x^2 - 5x + 6} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı -2'dir.
Çözüm kümesi [−2,2)∪(2,3)[-2, 2) \cup (2, 3) aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların toplamı (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırırız.
Pay kısm�� −(x−2)(x+2)(x−3)2-(x-2)(x+2)(x-3)^2, payda kısmı ise (x−2)(x−3)(x-2)(x-3) olarak çarpanlarına ayrılır. Eşitsizlik:
−(x−2)(x+2)(x−3)2(x−2)(x−3)≥0 \frac{-(x-2)(x+2)(x-3)^2}{(x-2)(x-3)} \geq 0
şeklini alır.
Eşitsizli��in köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak için öncelikle çarpanlara ayırma yapılır.
2
Paydayı sıfır yapan tanımsızlık noktalarını belirleriz.
x2−5x+6≠0  ⟹  (x−2)(x−3)≠0  ⟹  x≠2x^2 - 5x + 6 \neq 0 \implies (x-2)(x-3) \neq 0 \implies x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır.
Paydayı sıfır yapan değerler rasyonel ifadeyi tanımsız kılacağından eşitsizlikte eşitlik sembolü olsa dahi çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Ortak çarpanları sadeleştirerek daha basit bir eşitsizlik elde ederiz.
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 koşulları altında ortak (x−2)(x-2) ve (x−3)(x-3) çarpanları sadeleştirildiğinde eşitsizlik:
−(x+2)(x−3)≥0  ⟹  (x+2)(x−3)≤0 -(x+2)(x-3) \geq 0 \implies (x+2)(x-3) \leq 0
biçimine dönüşür.
İfadeyi sadeleştirmek tablo analizini kolaylaştırır, fakat başlangıçtaki paydayı sıfır yapan noktaların bilgisi tanımsızlık getirdiği için çözüm kümesinden elenmek üzere saklı tutulur.
4
Sadeleşmiş ifadenin işaret tablosunu oluştururuz.
İfadenin kökleri x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olup her ikisi de tek katlı köktür. Başkatsayı negatif olduğundan en sağdan eksi ile başlanır: x<−2x < -2 için (−)(-), −2<x<3-2 < x < 3 için (+)(+), x>3x > 3 için (−)(-) olur.
Eşitsizliğin sağlandığı pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri belirlemek için işaret incelemesi gerekir.
5
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini bulur ve toplarız.
İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık [−2,3][-2, 3]'tür. Ancak x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Dolayısıyla çözüm kümesi [−2,2)∪(2,3)[-2, 2) \cup (2, 3) olur. Bu aralıktaki tam sayılar −2,−1,0,1-2, -1, 0, 1'dir. Toplamları ise:
(−2)+(−1)+0+1=−2 (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2
olarak bulunur.
Bulunan aralıktan tanımsızlık noktaları çıkarılarak çözüm kümesindeki tam sayıların toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken tanımsızlık yapan köklerin çözüm kümesinden çıkarılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 73Soru →
(x2−x−6)⋅(5−x)x2−6x+9≥0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (5 - x)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp x≠3x \neq 3 koşuluyla sadeleştirildiğinde (x+2)(5−x)x−3≥0\frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 3} \geq 0 elde edilir. Bu ifadenin işaret tablosuna göre pozitif tam sayı çözümleri sadece 3<x≤53 < x \leq 5 aralığındadır. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar olan 4 ve 5'in toplamı 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırma
Paydaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesi (x−3)(x+2)(x - 3)(x + 2) ve paydadaki x2−6x+9x^2 - 6x + 9 ifadesi (x−3)2(x - 3)^2 olarak yazılır. Eşitsizlik: \frac{(x - 3)(x + 2)(5 - x)}{(x - 3)^2} \geq 0 halini alır.
İfadenin köklerini daha kolay belirlemek ve sadeleştirme yapabilmek için çarpanlara ayırma gereklidir.
2
Tanım kümesini kısıtlama ve sadeleştirme yapma
Paydanın kökü x=3x = 3 olduğundan x≠3x \neq 3 olmalıdır. Bu kısıtlama altında pay ve paydadaki (x−3)(x - 3) terimleri sadeleştirilerek eşitsizlik \frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 3} \geq 0 şekline dönüştürülür.
Payda sıfır olamayacağı için x=3x = 3 değeri çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
3
Kökleri bulma ve işaret tablosu hazırlama
Kökler küçükten büyüğe: x=−2x = -2 (payın kökü), x=3x = 3 (paydanın kökü) ve x=5x = 5 (payın kökü). En sağ aralıktaki işaret, en büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpılarak (+\cdot-/+ = -) eksi (-) olarak belirlenir. İşaret tablosu sağdan sola: x > 5 için (-), 3 < x \leq 5 için (+), -2 \leq x < 3 için (-), x < -2 için (+) şeklindedir.
Eşitsizliğin hangi aralıklarda pozitif veya negatif olduğunu belirlemek için işaret tablosu oluşturulmalıdır.
4
Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıları belirleme
Sağlanan aralıklardan pozitif olan tek bölge 3 < x \leq 5 aralığıdır. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 4 ve 5'tir. (x≤−2x \leq -2 aralığında pozitif tam sayı yoktur ve x = 3 payda kökü olduğundan dahil edilemez.)
Soru bizden sadece pozitif tam sayı çözümlerini istediği için bu kısıtlamaya uygun kökler seçilir.
5
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları toplama
4 + 5 = 9
Bulunan pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve İşaret Tablosu
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 74Soru →
x2+y2−2x+4y=5xy−x+2y=2\begin{aligned} x^2 + y^2 - 2x + 4y &= 5 \\ xy - x + 2y &= 2 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Denklem sistemini sağlayan tüm gerçek say�� ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı −4-4 olur.
Doğru cevap olan −4-4 değeri; ikinci denklem çarpanlarına ayrıldığında elde edilen x=−2x = -2 ve y=1y = 1 doğrusal durumlarının birinci denklemde ayrı ayrı yerine yazılmasıyla elde edilen (−2,−1)(-2, -1), (−2,−3)(-2, -3), (0,1)(0, 1) ve (2,1)(2, 1) gerçek sayı ikililerinin koordinatları toplamının farklı değerleri olan −3,−5,1,3-3, -5, 1, 3 sayılarının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemi çarpanlarına ayırarak doğrusal ilişkileri bulma.
xy−x+2y−2=0⇒x(y−1)+2(y−1)=0⇒(x+2)(y−1)=0xy - x + 2y - 2 = 0 \Rightarrow x(y - 1) + 2(y - 1) = 0 \Rightarrow (x + 2)(y - 1) = 0 elde edilir. Buradan x=−2x = -2 veya y=1y = 1 bulunur.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için denklemlerden birini doğrusal çarpanlarına ayırarak değişkenler arası ilişkileri tespit etmek gerekir.
2
x=−2x = -2 durumunu birinci denklemde yerine yazarak yy değerlerini bulma.
(−2)2+y2−2(−2)+4y=5⇒4+y2+4+4y=5⇒y2+4y+3=0⇒(y+1)(y+3)=0(-2)^2 + y^2 - 2(-2) + 4y = 5 \Rightarrow 4 + y^2 + 4 + 4y = 5 \Rightarrow y^2 + 4y + 3 = 0 \Rightarrow (y + 1)(y + 3) = 0 Buradan y=−1y = -1 veya y=−3y = -3 elde edilir. Çözüm ikilileri: (−2,−1)(-2, -1) ve (−2,−3)(-2, -3) olur. Bu ikililer için x+yx + y değerleri sırasıyla −3-3 ve −5-5 olarak bulunur.
Elde edilen ilk doğrusal değişken ilişkisini birinci denklemde yerine yazarak bu durumu sağlayan tüm gerçek sayı çözümlerine ulaşırız.
3
y=1y = 1 durumunu birinci denklemde yerine yazarak xx değerlerini bulma.
x2+12−2x+4(1)=5⇒x2+1−2x+4=5⇒x2−2x=0⇒x(x−2)=0x^2 + 1^2 - 2x + 4(1) = 5 \Rightarrow x^2 + 1 - 2x + 4 = 5 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 Buradan x=0x = 0 veya x=2x = 2 elde edilir. Çözüm ikilileri: (0,1)(0, 1) ve (2,1)(2, 1) olur. Bu ikililer için x+yx + y değerleri sırasıyla 11 ve 33 olarak bulunur.
Elde edilen ikinci doğrusal değişken ilişkisini birinci denklemde yerine yazarak bu durumu sağlayan tüm gerçek sayı çözümlerine ulaşırız.
4
Elde edilen farklı x+yx + y değerlerini toplama.
Farklı x+yx + y değerleri: −3,−5,1,3-3, -5, 1, 3 olarak belirlenir. Bu değerlerin toplamı: (−3)+(−5)+1+3=−4(-3) + (-5) + 1 + 3 = -4 bulunur.
Soruda bizden istenen tüm farklı toplamların nihai toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma ve yerine koyma metodu ile çözüm kümesi bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 75Soru →
(x−1)2(x+3)(x−2)x−2≥0\frac{(x - 1)^2 (x + 3)(x - 2)}{x - 2} \geq 0
x2−2x−3≤0x^2 - 2x - 3 \leq 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 33'tür.
Eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizliğin çözüm kümeleri sırasıyla [−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\} ve [−1,3][-1, 3] olarak bulunur. Bu iki kümenin kesişimi [−1,3]∖{2}[-1, 3] \setminus \{2\} aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar −1,0,1,3-1, 0, 1, 3 olup, toplamları 33 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme ve çözüm kümesini bulma.
x≠2x \neq 2 olmak üzere, çözüm kümesi [−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\}'dir.
Payda sıfır olamayacağı için x≠2x \neq 2 olmalıdır. x−2x-2 terimleri sadeleştiğinde geriye kalan (x−1)2(x+3)≥0(x-1)^2(x+3) \geq 0 eşitsizliğinde x=1x=1 çift katlı kök olup eşitsizliği sağlar, geriye kalan terimden ise x≥−3x \geq -3 elde edilir.
2
İkinci eşitsizliği analiz etme ve çözüm k��mesini bulma.
Çözüm kümesi [−1,3][-1, 3]'tür.
x2−2x−3≤0x^2 - 2x - 3 \leq 0 ifadesi (x−3)(x+1)≤0(x-3)(x+1) \leq 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Başkatsayı pozitif olduğundan köklerin iç bölgesi [−1,3][-1, 3] çözüm kümesidir.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerini kesiştirme ve tam sayı değerlerini toplama.
Tam sayıların toplamı 33 olarak bulunur.
[−3,∞)∖{2}[-3, \infty) \setminus \{2\} ile [−1,3][-1, 3] kümelerinin kesişim kümesi [−1,3]∖{2}[-1, 3] \setminus \{2\}'dir. Bu aralıktaki tam sayılar −1,0,1,3-1, 0, 1, 3 olup toplamları 33'tür.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 76Soru →
(x−2)2(x+1)x−2≤0\frac{(x - 2)^2 (x + 1)}{x - 2} \le 0
x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \le 0
yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,2)[-1, 2)

Cevap

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığıdır.
Sistemdeki birinci eşitsizlikte x=2x = 2 değeri paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesinde yer alamaz. Eşitsizlik sadeleştirilip incelendiğinde birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığı bulunur. İkinci eşitsizlik olan x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \le 0 ifadesinin kökleri −2-2 ve 33 olup çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] kapalı aralığıdır. İki aralığın ortak kesişim bölgesi alındığında [−1,2)[-1, 2) yarı açık aralığı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme ve kökleri belirleme.
Paydayı sıfır yapan x=2x = 2 değeri tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesine dahil edilemez (x≠2x \neq 2). x≠2x \neq 2 koşulu altında pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirildiğinde birinci eşitsizlik (x−2)(x+1)≤0(x - 2)(x + 1) \le 0 halini alır. Bu ifadenin kökleri x=−1x = -1 ve x=2x = 2 değerleridir. x=2x = 2 değeri hariç tutulduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığı olur.
İlk eşitsizliğin çözüm aralığını bulmak.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve kökleri belirleme.
x2−x−6≤0⇒(x−3)(x+2)≤0x^2 - x - 6 \le 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 2) \le 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2 ve x=3x = 3 değerleridir. Baş katsayı pozitif olduğundan, kökler arasında ifade negatif değerler alır. Bu durumda ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] aralığı olur.
İkinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulmak.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma.
Sistemin ortak çözüm kümesi [−1,2)∩[−2,3]=[−1,2)[-1, 2) \cap [-2, 3] = [-1, 2) olarak bulunur.
Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan ortak xx değerlerinin aralığını tespit etmek.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik sistemlerinde her bir eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunup bu kümelerin kesişimi alınır. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan kökler asla çözüm kümesine dahil edilemez.
Soru 77Soru →
x2−xy−2y2=0x2+y2−10y=0\begin{aligned} x^2 - xy - 2y^2 &= 0 \\ x^2 + y^2 - 10y &= 0 \end{aligned}

denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, bu denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -17

Cevap

-17 sayısıdır
Verilen denklem sisteminin ilk denklemi x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0 şeklinde olup çarpanlarına (x−2y)(x+y)=0(x-2y)(x+y) = 0 olarak ayrılır. Buradan x=2yx = 2y veya x=−yx = -y ilişkileri elde edilir. Bu ilişkiler sırasıyla ikinci denklemde yerine yazıldığında (0,0)(0,0), (4,2)(4,2) ve (−5,5)(-5,5) gerçek sayı ikilileri bulunur. Bu ikililerin elemanlarının çarpımı sırasıyla 00, 88 ve −25-25 olup toplamları −17-17 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi çarpanlarına ayırın.
x2−xy−2y2=0⇒(x−2y)(x+y)=0x^2 - xy - 2y^2 = 0 \Rightarrow (x - 2y)(x + y) = 0. Buradan iki durum elde edilir: x=2yx = 2y veya x=−yx = -y.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için denklemlerden birini doğrusal çarpanlarına ayırarak değişkenler arası ilişkileri belirlemek gerekir.
2
x=2yx = 2y durumunu ikinci denklemde yerine yazarak yy değerlerini bulun.
(2y)2+y2−10y=0⇒5y2−10y=0⇒5y(y−2)=0(2y)^2 + y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 5y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 5y(y - 2) = 0. Buradan y=0y = 0 veya y=2y = 2 bulunur. x=2yx = 2y bağıntısından (x,y)(x,y) ikilileri (0,0)(0,0) ve (4,2)(4,2) olarak elde edilir.
Belirlenen doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine yazıp tek değişkenli ikinci dereceden bir denklem elde ederek çözümleri bulmak.
3
x=−yx = -y durumunu ikinci denklemde yerine yazarak yy değerlerini bulun.
(−y)2+y2−10y=0⇒2y2−10y=0⇒2y(y−5)=0(-y)^2 + y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 2y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 2y(y - 5) = 0. Buradan y=0y = 0 veya y=5y = 5 bulunur. x=−yx = -y bağıntısından (x,y)(x,y) ikilileri (0,0)(0,0) ve (−5,5)(-5,5) olarak elde edilir.
Değişkenler arasındaki ikinci doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine koyup diğer olası çözümleri tespit etmek.
4
Elde edilen tüm (x,y)(x, y) ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarını hesaplayıp toplayın.
Çözüm kümesi S={(0,0),(4,2),(−5,5)}S = \{(0,0), (4,2), (-5,5)\} elemanlarından oluşur. Çarpımlar: 0⋅0=00 \cdot 0 = 0, 4⋅2=84 \cdot 2 = 8, −5⋅5=−25-5 \cdot 5 = -25. Bu değerlerin toplamı 0+8−25=−170 + 8 - 25 = -17 olur.
Soru kökünün bizden istediği çarpımların toplamını nihai olarak hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çarpanlara Ayırma ve Yerine Koyma Yöntemi ile Çözülmesi
Soru 78Soru →
Her xx gerçel sayısı için
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0
eşitsizliği sağlandığına göre, f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m fonksiyonunun grafiği xx-eksenini daima iki farklı noktada keser.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır (False). Çünkü birinci eşitsizlikten elde edilen m∈(−2,6)m \in (-2, 6) aralığında m=2m = 2 değeri de yer almaktadır. m=2m = 2 için ikinci dereceden fonksiyonun grafiği xx-eksenine teğet olup ekseni iki farklı noktada kesmez.
Verilen ifade yanlıştır. İlk eşitsizlikten mm parametresinin (−2,6)(-2, 6) aralığında yer alması gerektiği bulunur. f(x)f(x) fonksiyonunun xx-eksenini kestiği noktalar x=2x = 2 ve x=mx = m değerleridir. Eğer m=2m = 2 seçilirse bu kökler çakışık hale gelir ve grafik ekseni iki farklı noktada kesmek yerine teğet geçer. 22 sayısı (−2,6)(-2, 6) aralığında bulunduğundan, grafiğin ekseni daima iki farklı noktada keseceği iddiası geçersiz kılınır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanma koşulunu belirleyin.
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0 eşitsizliğinde başkatsayı 1>01 > 0 olduğundan, ifadenin daima pozitif olması için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır: Δ1=(−m)2−4(1)(m+3)<0  ⟹  m2−4m−12<0\Delta_1 = (-m)^2 - 4(1)(m+3) < 0 \implies m^2 - 4m - 12 < 0.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif kalabilmesi, grafiksel olarak parabolün kollarının yukarı bakması ve xx-eksenini kesmemesi (Δ<0 \Delta < 0 ) ile mümkündür.
2
mm parametresinin değer aralığını bulmak için işaret tablosu oluşturun.
m2−4m−12=(m−6)(m+2)<0m^2 - 4m - 12 = (m-6)(m+2) < 0 eşitsizliğinin kökleri m1=−2m_1 = -2 ve m2=6m_2 = 6 olup, işaret tablosuna göre çözüm aralığı m∈(−2,6)m \in (-2, 6) olarak bulunur.
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek amacıyla işaret incelemesi yapılması gerekir.
3
f(x)=x2−(m+2)x+2mf(x) = x^2 - (m+2)x + 2m fonksiyonunun xx-eksenini kestiği noktaları inceleyin.
f(x)=0  ⟹  x2−(m+2)x+2m=0  ⟹  (x−2)(x−m)=0f(x) = 0 \implies x^2 - (m+2)x + 2m = 0 \implies (x-2)(x-m) = 0 elde edilir. Buradan kökler x1=2x_1 = 2 ve x2=mx_2 = m bulunur. Diskriminant ise Δ2=(m−2)2\Delta_2 = (m-2)^2 olur.
Grafiğin xx-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonu sıfır yapan gerçel kök değerleridir.
4
Köklerin çakışık olma durumunu kontrol ederek ifadeyi değerlendirin.
Eğer m=2m = 2 ise, kökler x1=x2=2x_1 = x_2 = 2 olur (çift katlı kök). Bu durumda parabol xx-eksenine (2,0)(2,0) noktasında teğet olur ve ekseni iki farklı noktada kesmez. m∈(−2,6)m \in (-2, 6) aralığında m=2m = 2 değeri mevcut olduğundan, grafik her zaman iki farklı noktada kesmek zorunda değildir.
İfadenin 'daima' doğru olup olmadığını doğrulamak için mm aralığındaki tüm olası uç durumlar ve özel değerler kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden ifadelerin daima pozitif olma şartı ve diskriminant ile eksen kesim noktaları arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 79Soru →

a,ba, b ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak ��zere,

ax2+bx+c≤0ax^2 + bx + c \le 0

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Buna göre,

I. a⋅c>0a \cdot c > 0
II. a+b+c>0a + b + c > 0
III. ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi R∖{−b2a}\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{b}{2a}\right\} kümesidir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri kesinlikle doğrudur.
Verilen eşitsizliğin tek elemanlı bir çözüm kümesine sahip olması, ifadenin disriminantının sıfır (Δ=0 \Delta = 0) ve baş katsayısının pozitif (a>0a > 0) olmasını gerektirir. Δ=0⇒b2=4ac\Delta = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac eşitliğinde bb sıfırdan farklı olduğundan a⋅c>0a \cdot c > 0 elde edilir (I. öncül doğrudur). Ayrıca, ifadenin tek kökü (çift katlı kök) −b2a-\frac{b}{2a} olduğundan, ifade bu değer hariç tüm gerçel sayılar için kesinlikle pozitiftir (III. öncül doğrudur). a+b+ca + b + c toplamı ise a=ca=c ve b<0b < 0 iken sıfıra eşit olabileceğinden kesinlikle sıfırdan büyük olmak zorunda değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin çözüm kümesinin tek elemanlı olmasının grafiksel ve cebirsel şartlarını belirleme.
a>0a > 0 ve Δ=b2−4ac=0\Delta = b^2 - 4ac = 0 olmalıdır.
ax2+bx+c≤0ax^2 + bx + c \le 0 eşitsizliğinin yalnızca tek bir gerçel sayı için sağlanması, y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolünün xx eksenine teğet olması ve kollarının yukarı doğru (a>0a > 0) olması anlamına gelir. Eğer a<0a < 0 olsaydı, çözüm kümesi sonsuz elemanlı bir aralık olurdu.
2
I. öncülün doğruluğunu test etme.
a⋅c>0a \cdot c > 0 elde edilir.
b2−4ac=0⇒b2=4acb^2 - 4ac = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac olur. bb sıfırdan farklı bir gerçel sayı olduğundan b2>0b^2 > 0'dır. Dolayısıyla 4ac>04ac > 0 olmal��dır, bu da a⋅c>0a \cdot c > 0 olmasını gerektirir. I. öncül kesinlikle doğrudur.
3
II. öncülün doğruluğunu test etme.
a+b+c≥0a + b + c \ge 0 olup kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekmez.
a>0a > 0 ve ac>0ac > 0 olduğundan c>0c > 0'dır. b2=4ac⇒b=2acb^2 = 4ac \Rightarrow b = 2\sqrt{ac} veya b=−2acb = -2\sqrt{ac} olur. b=−2acb = -2\sqrt{ac} durumunda, a+b+c=a−2ac+c=(a−c)2≥0a + b + c = a - 2\sqrt{ac} + c = (\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 \ge 0 elde edilir. Eğer a=ca = c ise (örneğin a=1,b=−2,c=1a=1, b=-2, c=1) a+b+c=0a + b + c = 0 olur ve ifade sıfırdan büyük olmaz. II. öncül kesinlikle doğru değildir.
4
III. öncülün doğruluğunu test etme.
Çözüm kümesi R∖{−b2a}\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{b}{2a}\right\} kümesidir.
ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 eşitsizliğinde, ifademiz teğetlikten dolayı a(x−(−b2a))2>0a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 > 0 şeklinde yazılabilir. a>0a > 0 olduğundan, bu ifade tepe noktasının apsisi olan çift katlı kök x=−b2ax = -\frac{b}{2a} dışındaki tüm gerçel sayılar için pozitiftir. III. öncül kesinlikle doğrudur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli ifadelerin işaret incelemesi ve teğetlik (çift katlı kök) durumlarında çözüm kümesi analizi.
Soru 80Soru →
aa bir tam sayı olmak üzere,
x2−2ax+a2−a−4≤0x^2 - 2ax + a^2 - a - 4 \le 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının sayısı 55 olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Farklı aa tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Verilen x2−2ax+a2−a−4≤0x^2 - 2ax + a^2 - a - 4 \le 0 eşitsizliği (x−a)2≤a+4(x-a)^2 \le a+4 şeklinde yazılabilir. Çözüm kümesi [a−a+4,a+a+4][a-\sqrt{a+4}, a+\sqrt{a+4}] kapalı aralığıdır. Merkez elemanı aa tam sayısı olan bu simetrik aralıkta tam olarak 5 tane tam sayı bulunabilmesi için bu sayıların a−2,a−1,a,a+1,a+2a-2, a-1, a, a+1, a+2 olması gerekir. Bu durum 2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3 koşulunu gerektirir. Buradan 4≤a+4<9  ⟹  0≤a<54 \le a+4 < 9 \implies 0 \le a < 5 elde edilir. aa'nın alabileceği tam sayı değerleri 0, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik ifadesini tam kareye tamamlayarak düzenleyin.
(x−a)2≤a+4(x-a)^2 \le a+4
Eşitsizliğin sınırlarını ve köklerin simetrisini aa parametresi cinsinden daha kolay analiz edebilmek için.
2
Eşitsizliğin çözüm kümesini aa cinsinden kapalı aralık olarak yazın.
a−a+4≤x≤a+a+4a - \sqrt{a+4} \le x \le a + \sqrt{a+4}
x2−2ax+a2=(x−a)2x^2 - 2ax + a^2 = (x-a)^2 ifadesinin karekökü alınarak xx yalnız bırakılır. Eşitsizliğin gerçel sayılarda çözümünün olabilmesi için a+4≥0a+4 \ge 0 olmalıdır.
3
Çözüm aralığındaki tam sayı adedinin 5 olmasını sağlayan eşitsizlik koşulunu belirleyin.
2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3
aa bir tam sayı olduğundan, aralık aa noktasına göre simetriktir. Aralıktaki 5 tam sayı a−2,a−1,a,a+1,a+2a-2, a-1, a, a+1, a+2 olmalıdır. Bu durum, üst sın��r olan a+a+4a+\sqrt{a+4} değerinin a+2a+2 ile a+3a+3 arasında (alt sınıra eşit olabilir, üst sınıra eşit olamaz) olmasını gerektirir.
4
Elde edilen eşitsizliği çözerek aa tam sayısının alabileceği değerler kümesini bulun.
4≤a+4<9  ⟹  0≤a<54 \le a+4 < 9 \implies 0 \le a < 5
2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3 eşitsizliğinde her iki tarafın karesi alınarak aa yalnız bırakılır.
5
Koşulu sağlayan farklı aa tam sayılarının toplamını bulun.
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
0≤a<50 \le a < 5 aralığındaki aa tam sayıları {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\} değerleridir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde tam kareye tamamlama yöntemi ve çözüm aralığındaki tam sayıların simetri analizi.
ÖncekiSayfa 4 / 6Sonraki
İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin