Examkin

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

120 soru

Tüm türler120Çoktan seçmeli50Doğru / Yanlış15Sayısal53Eşleştirme2
Soru 81Soru →
x2−6x−7<0x^2 - 6x - 7 < 0
x2−3x−10x−3≤0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Birinci eşitsizlikten (−1,7)(-1, 7) aralığı elde edilir. İkinci eşitsizlikten ise payda kökü hariç tutularak (−∞,−2]∪(3,5](-\infty, -2] \cup (3, 5] aralığı bulunur. İki kümenin kesişimi (3,5](3, 5] yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki xx tam sayıları 44 ve 55 olup toplamları 99'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizlik olan x2−6x−7<0x^2 - 6x - 7 < 0 ifadesinin köklerini bulun.
Kökler x1=−1x_1 = -1 ve x2=7x_2 = 7 olarak bulunur.
Eşitsizliğin sınır değerlerini ve işaret değişim noktalarını belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.
2
İkinci eşitsizlik olan x2−3x−10x−3≤0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0 ifadesinin pay ve paydasındaki kökleri bulun.
Payın kökleri x=−2x = -2 ve x=5x = 5, paydanın kökü ise x=3x = 3 olarak elde edilir.
Rasyonel ifadenin kritik noktalarını tespit ederek işaret tablosunu oluşturmak gerekir.
3
Eşitsizlikler için işaret tablosu oluşturup çözüm aralıklarını belirleyin.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi (−1,7)(-1, 7) açık aralığıdır. İkinci eşitsizlikte paydanın kökü olan x=3x = 3 ifadesi tanımsızlık oluşturduğundan dahil edilmeden elde edilen çözüm kümesi (−∞,−2]∪(3,5](-\infty, -2] \cup (3, 5] yarı açık aralığıdır.
Her bir eşitsizliği sağlayan gerçel sayı bölgelerini net olarak ortaya koymak için.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini (ortak çözüm kümesini) alın.
Kesi��im kümesi (3,5](3, 5] yarı açık aralığı olarak bulunur.
Sistemdeki tüm eşitsizliklerin aynı anda sağlanması gerektiği için ortak bölgeyi bulmamız gerekir.
5
Çözüm kümesindeki xx tam sayılarını toplayın.
4+5=94 + 5 = 9 elde edilir.
Soru kökünde istenen nihai sayısal değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu oluşturularak çözülmesi ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması.
Soru 82Soru →
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−2(m+1)x+m2+2m−3<0x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3 < 0
eşitsizliğini sağlayan en az bir negatif gerçel sayı var iken, bu eşitsizliği sağlayan hiçbir pozitif gerçel sayı bulunmamaktadır.

Buna göre, mm parametresinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,−3](-\infty, -3]

Cevap

Sonsuzdan −3-3 değerine kadar olan (ve −3-3'ü dahil eden) yarı açık aralıktır.
Sonsuzdan başlayıp −3-3 sınır değerine kadar giden (ve −3-3'ü dahil eden) yarı açık aralık doğrudur. Çünkü bu aralıktaki herhangi bir mm değeri için çözüm kümesi (m−1,m+3)(m-1, m+3) tamamen negatif bölgede kalır ve en az bir negatif sayı içerirken hiçbir pozitif sayı barındırmaz.

Adım Adım Çözüm

1
E��itsizliğin sol tarafındaki ifadenin köklerini çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemiyle bulalım.
x2−2(m+1)x+m2+2m−3=0x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3 = 0 denkleminin kökleri tam kareye tamamlama yöntemiyle (x−(m+1))2−4=0(x - (m+1))^2 - 4 = 0 şeklinde yazılabilir. Buradan x−(m+1)=±2x - (m+1) = \pm 2 elde edilir. Kökler x1=m−1x_1 = m - 1 ve x2=m+3x_2 = m + 3 olarak bulunur.
Eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek için öncelikle sınır değerleri olan kökleri bulmamız gerekir.
2
İşaret tablosunu oluşturup eşitsizliğin çözüm kümesini ifade edelim.
x2x^2 teriminin katsayısı pozitif (1>01 > 0) olduğu için işaret tablosu en sağdan ++ ile başlar: +∣−∣++ \mid - \mid +. Eşitsizlik sıfırdan küçük (<0< 0) değerleri aradığından çözüm kümesi x1x_1 ve x2x_2 köklerinin arasındaki açık aralıktır: Ç.K. = (m−1,m+3)(m - 1, m + 3).
İkinci dereceden ifadenin işaret incelemesini yaparak negatif olduğu bölgeyi saptamak için.
3
Çözüm kümesinde en az bir negatif gerçel sayı bulunması ko��ulunu inceleyelim.
(m−1,m+3)(m - 1, m + 3) aralığında en az bir negatif sayı bulunabilmesi için aralığın sol ucunun sıfırdan küçük olması yeterlidir. Buradan m−1<0  ⟹  m<1m - 1 < 0 \implies m < 1 elde edilir. Aralık genişliği 44 birim sabit olduğundan, sol uç negatif olduğunda aralık içinde mutlaka negatif sayılar yer alır.
İlk koşulun mm parametresi üzerindeki sınırlandırmasını belirlemek için.
4
Çözüm kümesinde hiçbir pozitif gerçel sayı bulunmaması koşulunu inceleyelim.
(m−1,m+3)(m - 1, m + 3) aralığında hiçbir pozitif sayı bulunmaması için bu aralığın pozitif gerçel sayılar kümesi (0,∞)(0, \infty) ile kesişimi boş küme olmalıdır. Bu durum aralığın sağ ucunun sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olmasıyla sağlanır: m+3≤0  ⟹  m≤−3m + 3 \le 0 \implies m \le -3. Burada aralık açık aralık olduğu için sağ uç sıfır olduğunda çözüm kümesi (m−1,0)(m-1, 0) olur ve bu kümede yine pozitif sayı bulunmaz, bu yüzden eşitlik dahil edilir.
İkinci koşulun mm parametresi üzerindeki sınırlandırmasını belirlemek için.
5
Bulunan iki koşulun kesişimini alarak mm parametresinin en geniş aralığını bulalım.
m<1m < 1 ve m≤−3m \le -3 eşitsizliklerinin her ikisini de sağlayan değerler kümesi m≤−3m \le -3 aralığıdır. Bu aralık aralık gösterimiyle (−∞,−3](-\infty, -3] şeklinde yazılır.
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için kesişim kümesini elde etmek amacıyla.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu oluşturma, köklerin bulunması ve sınır koşullarına göre çözüm kümesinin parametrik incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 83Soru →
x2−xy−y2=5x−2y=1\begin{aligned} x^2 - xy - y^2 &= 5 \\ x - 2y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer 28'dir.
Denklem sistemindeki birinci dereceden denklem kullanılarak x=2y+1x = 2y + 1 elde edilir. Bu değer ikinci dereceden denklemde yerine yazıldığında y2+3y−4=0y^2 + 3y - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (y+4)(y−1)=0(y + 4)(y - 1) = 0 olup kökleri y=1y = 1 ve y=−4y = -4'tür. Karşılık gelen xx değerleri sırasıyla 33 ve −7-7 olur. Çözüm ikililerinin çarpımları 3⋅1=33 \cdot 1 = 3 ve (−7)⋅(−4)=28(-7) \cdot (-4) = 28 olarak bulunur. Bu değerlerin en büyüğü 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci dereceden denklemden değişken çekme
x=2y+1x = 2y + 1
Yerine koyma metodunu uygulamak amacıyla linear denklemden xx yalnız bırakılır.
2
xx ifadesini ikinci dereceden denklemde yerine koyma
(2y+1)2−(2y+1)y−y2=5(2y + 1)^2 - (2y + 1)y - y^2 = 5
İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyenli bir denklem haline getirmek için.
3
Denklemi açma ve standart forma getirme
y2+3y−4=0y^2 + 3y - 4 = 0
Çarpanlarına ayırarak kökleri bulabilmek için denklemi sadeleştirip düzenlemek gerekir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulma
y=1y = 1 veya y=−4y = -4
(y+4)(y−1)=0(y + 4)(y - 1) = 0 çarpanlarına ayrılan denklemin köklerini bulmak için.
5
Bulunan yy değerlerine karşılık gelen xx değerlerini hesaplama
(3,1)(3, 1) ve (−7,−4)(-7, -4) çözüm ikilileri
Her bir yy değeri x=2y+1x = 2y + 1 eşitliğinde yazılarak çözüm kümesindeki ikililer oluşturulur.
6
Çarpımları hesaplayıp en büyüğünü belirleme
3⋅1=33 \cdot 1 = 3 ve (−7)⋅(−4)=28(-7) \cdot (-4) = 28 değerlerinden en büyüğü 28'dir.
Soruda istenen en büyük çarpım değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi.
Soru 84Soru →

Gerçel katsayılı f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dir. r>0r > 0 ve f(0)<0f(0) < 0 olduğu bilinmektedir. f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi boş kümeden farklı olduğuna göre, rr tepe noktasının apsisi f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin her zaman bir elemanıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme her zaman doğru olmadığından yanlıştır.
Verilen önerme yanlıştır çünkü a>0a > 0 olması durumunda f(0)=ar2+k<0f(0) = ar^2 + k < 0 koşulu f(r)=k<0f(r) = k < 0 olmasını zorunlu kılar. Bu durumda tepe noktasının apsisi olan rr değeri f(x)≥0f(x) \ge 0 eşitsizliğini sağlamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktası formunu yazma ve başlangıç koşullarını belirleme
f(x)=a(x−r)2+kf(x) = a(x-r)^2 + k şeklinde yazılır. Buradan f(0)=ar2+k<0f(0) = ar^2 + k < 0 ve r>0r > 0 olduğu bulunur.
f(0)f(0) değerini tepe noktası koordinatları cinsinden ifade ederek sınır şartını analiz etmek için.
2
Başkatsayı a>0a > 0 (kolları yukarı doğru olan parabol) durumunu inceleme
a>0a > 0 ise ar2>0ar^2 > 0 olur. ar2+k<0ar^2 + k < 0 eşitsizliğinden k<0k < 0 elde edilir. Bu durumda tepe noktasındaki değer f(r)=k<0f(r) = k < 0 bulunur.
Kolları yukarı doğru olan parabolde tepe noktasının x-ekseninin altında kalıp kalmadığını belirlemek için.
3
Başkatsayı a<0a < 0 (kolları aşağı doğru olan parabol) durumunu inceleme
a<0a < 0 ise en büyük değer tepe noktasında alınır. Çözüm kümesinin boş kümeden farklı olması için f(r)=k≥0f(r) = k \ge 0 olmalıdır.
Kolları aşağı doğru olan parabolde eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayı bulunma koşulunu belirlemek için.
4
Genellemenin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla karşıt örnek oluşturma
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonu için r=1>0r = 1 > 0, f(0)=−3<0f(0) = -3 < 0'dır. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−1]∪[3,∞)(-\infty, -1] \cup [3, \infty) olup bu küme r=1r=1 elemanını kapsamaz.
a>0a > 0 durumu için ifadenin yanlışlığını somut bir örnekle doğrulamak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümelerinin, parabolün kollarının yönü (başkatsayının işareti) ve tepe noktasının konumu ile ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 85Soru →
f(x)=(m−2)x2−2(m−2)x+m−5f(x) = (m-2)x^2 - 2(m-2)x + m - 5
üçterimlisi her xx gerçel sayısı için negatif değerler almaktadır.
Buna göre,
g(x)=x2−mx+m+3≤0g(x) = x^2 - mx + m + 3 \le 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş küme olmadığına göre, mm parametresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

En büyük tam sayı değeri −2-2'dir.
Verilen f(x)f(x) ifadesinin her xx için negatif olması m<2m < 2 koşulunu gerektirir. g(x)≤0g(x) \le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş kümeden farklı olması ise diskriminantın sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirir, bu da m≤−2m \le -2 veya m≥6m \ge 6 aralığını verir. Bu iki koşulun kesişimi alındığında m≤−2m \le -2 aralığı elde edilir ve bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri −2-2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)<0f(x) < 0 koşulunun her xx gerçel sayısı için sağlanması için gerekli şartları belirleme.
m<2m < 2 aralığı elde edilir.
Bir ikinci dereceden ifadenin daima negatif olması için başkatsayısının negatif (m−2<0  ⟹  m<2m-2 < 0 \implies m < 2) ve diskriminantının negatif (Δf<0  ⟹  12(m−2)<0  ⟹  m<2\Delta_f < 0 \implies 12(m-2) < 0 \implies m < 2) olması gerekir.
2
g(x)≤0g(x) \le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş küme olmaması koşulunu belirleme.
m≤−2m \le -2 veya m≥6m \ge 6 aralığı elde edilir.
Başkatsayısı pozitif olan parabolün ≤0\le 0 olduğu bir aralığın bulunması için parabolün x eksenini kesmesi veya teğet olması, dolayısıyla Δg≥0\Delta_g \ge 0 olması gerekir. Buradan m2−4m−12≥0  ⟹  (m−6)(m+2)≥0m^2 - 4m - 12 \ge 0 \implies (m-6)(m+2) \ge 0 elde edilir.
3
Elde edilen mm aralıklarının kesişimini alarak en büyük tam sayı değerini bulma.
m≤−2m \le -2 aralığından en büyük tam sayı değeri −2-2 bulunur.
m<2m < 2 ile (−∞,−2]∪[6,∞)(-\infty, -2] \cup [6, \infty) kümelerinin kesişim kümesi (−∞,−2](-\infty, -2] aralığıdır. Bu aralıkta yer alan en büyük tam sayı değeri −2-2'dir.

Anahtar Kavram

��kinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde daima sağlanma ve çözüm kümesinin varlığı koşullarının diskriminant ve başkatsayı işaretleri kullanılarak incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 86Soru →
x2−xy=xx2+y2=25\begin{aligned} x^2 - xy &= x \\ x^2 + y^2 &= 25 \end{aligned}

Yukarıda verilen denklem sistemini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilisi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklem sistemini sağlayan 4 farklı gerçel sayı ikilisi vardır.
Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikililerinin sayısı 4'tür. Birinci denklemden x=0x = 0 veya x−y=1x - y = 1 elde edilir. x=0x = 0 için ikinci denklemden y=±5y = \pm 5 gelir ve (0,5)(0, 5), (0,−5)(0, -5) çözümleri oluşur. x−y=1x - y = 1 yani x=y+1x = y + 1 için ikinci denklemden y2+y−12=0y^2 + y - 12 = 0 elde edilir, buradan y=3y = 3 ve y=−4y = -4 bulunarak sırasıyla (4,3)(4, 3) ve (−3,−4)(-3, -4) çözümleri elde edilir. Toplamda 4 farklı çözüm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi ortak çarpan parantezine alarak analiz edin.
x(x−y−1)=0x(x - y - 1) = 0 elde edilir.
Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
2
x=0x = 0 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
02+y2=25  ⟹  y2=25  ⟹  y=50^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 25 \implies y = 5 veya y=−5y = -5 bulunur. Buradan elde edilen ikililer (0,5)(0, 5) ve (0,−5)(0, -5)'dir.
Çarpanlardan birinin sıfır olması durumunda sistemin sağladığı çözümleri bulmak gerekir.
3
x−y=1  ⟹  x=y+1x - y = 1 \implies x = y + 1 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
(y+1)2+y2=25  ⟹  2y2+2y−24=0  ⟹  y2+y−12=0(y+1)^2 + y^2 = 25 \implies 2y^2 + 2y - 24 = 0 \implies y^2 + y - 12 = 0 elde edilir. Bu denklem (y+4)(y−3)=0(y+4)(y-3) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan y=3y = 3 veya y=−4y = -4 bulunur. y=3y = 3 için x=4  ⟹  (4,3)x = 4 \implies (4, 3); y=−4y = -4 için x=−3  ⟹  (−3,−4)x = -3 \implies (-3, -4) elde edilir.
Diğer çarpanın sıfır olma durumuna bağlı olarak sistemin diğer çözümlerini bulmak gerekir.
4
Bulunan tüm çözümleri birleştirerek toplam çözüm sayısını belirleyin.
Sistemi sağlayan ikililer: (0,5)(0, 5), (0,−5)(0, -5), (4,3)(4, 3) ve (−3,−4)(-3, -4) olmak üzere 4 tanedir.
Farklı durumlardan elde edilen tüm gerçel sayı ikililerinin birleşimi çözüm kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çarpanlara ayırma ve yerine koyma yöntemleri ile çözülmesi, sadeleştirme yaparken kök kaybına dikkat edilmesi.
Soru 87Soru →
x2−xy+y2=7x2+y2−x−y=8\begin{aligned} x^2 - xy + y^2 &= 7 \\ x^2 + y^2 - x - y &= 8 \end{aligned} denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx+y toplamının alabileceği pozitif değer 5'tir.
Denklem sisteminde x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapıldığında, x2−xy+y2=u2−3v=7x^2 - xy + y^2 = u^2 - 3v = 7 ve x2+y2−(x+y)=u2−2v−u=8x^2 + y^2 - (x+y) = u^2 - 2v - u = 8 denklemleri elde edilir. Buradan vv çekilip ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denkleminin kökleri 55 ve −2-2 olup, pozitif olan değer 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapılarak x2+y2x^2+y^2 ve x2−xy+y2x^2-xy+y^2 ifadeleri uu ve vv cinsinden yazılır.
x2+y2=u2−2vx^2+y^2 = u^2-2v ve x2−xy+y2=u2−3vx^2-xy+y^2 = u^2-3v elde edilir.
Denklem sistemini iki bilinmeyenli daha basit bir sisteme dönüştürmek için.
2
Elde edilen ifadeler denklem sisteminde yerine yazılır.
u2−3v=7u^2 - 3v = 7 ve u2−2v−u=8u^2 - 2v - u = 8 denklem sistemi elde edilir.
Sistemi çözmek için değişkenleri yerine koymak gerekir.
3
Birinci denklemden vv çekilerek ikinci denklemde yerine yazılır.
v=u2−73v = \frac{u^2-7}{3} ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında u2−2(u2−73)−u=8u^2 - 2\left(\frac{u^2-7}{3}\right) - u = 8 denklemi elde edilir.
Sistemden vv değişkenini yok edip tek değişkenli bir denklem elde etmek için.
4
Denklem paydadan kurtarılarak düzenlenir.
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Denklemi standart formda yazıp çözebilmek için.
5
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır.
(u−5)(u+2)=0(u-5)(u+2) = 0 elde edilir, buradan u=5u = 5 veya u=−2u = -2 bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için.
6
u=x+yu = x+y olduğundan elde edilen uu değerleri incelenir.
x+yx+y toplamı 55 veya −2-2 olabilir. Pozitif değer sorulduğu için 55 seçilir.
Soruda bizden istenen pozitif x+yx+y değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin değişken değiştirme ve özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.
Soru 88Soru →
(x−3)2(x+1)x−3≤0\frac{(x - 3)^2(x + 1)}{x - 3} \le 0
x2−2x−15<0x^2 - 2x - 15 < 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam say��larının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 2'dir.
Eşitsizlik sistemini oluşturan ifadeler ayrı ayrı çözüldüğünde; ilk eşitsizlikten x≠3x \neq 3 koşuluyla [−1,3)[-1, 3) aralığı, ikinci eşitsizlikten ise (−3,5)(-3, 5) aralığı elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi [−1,3)[-1, 3) aralığı olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin tanım kümesini ve köklerini belirleme
x≠3x \neq 3 koşuluyla eşitsizlik (x−3)(x+1)≤0(x - 3)(x + 1) \le 0 biçimine sadeleşir ve çözüm kümesi [−1,3)[-1, 3) olur.
Rasyonel bir ifadede paydanın sıfır olamayacağı kuralını uygulamak ve sadeleştirme yaparken kök kaybını önlemek.
2
İkinci eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve köklerini bulma
(x−5)(x+3)<0(x - 5)(x + 3) < 0 eşitsizliğinden çözüm kümesi (−3,5)(-3, 5) olarak bulunur.
İkinci dereceden eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturmak için kökleri bulmak.
3
İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini elde etme
Ortak çözüm kümesi [−1,3)[-1, 3) yarı açık aralığıdır.
Eşitsizlik sisteminin her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerler kümesi olduğunu kullanmak.
4
Ortak çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplama
(−1)+0+1+2=2(-1) + 0 + 1 + 2 = 2
Soru kökünde istenen tam sayıların toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde rasyonel ifadelerin payda köklerinin hariç tutulması ve ortak çözüm kümesinin bulunması.
Soru 89Soru →
kk bir tam sayı olmak üzere,
x2−2(k−1)x+k2−3k−4<0x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 3k - 4 < 0
eşitsizliği en az bir negatif gerçel sayı için sağlanırken, x≤−3x \le -3 koşulunu sağlayan hiçbir gerçel sayı için sağlanmamaktadır.

Buna göre, kk sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 6'dır.
Eşitsizliğin köklerinin x_1 ve x_2 olduğu durumda, çözüm kümesi (x_1, x_2) aralığıdır. En az bir negatif sayı için sağlanması x_1 < 0 olmasını, x <= -3 için sağlanmaması ise x_1 >= -3 olmasını gerektirir. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde -3 <= x_1 < 0 elde edilir. Bu eşitsizlik sistemi çözüldüğünde k tam sayı değerlerinin 1, 2 ve 3 olduğu görülür. Toplamları ise 6 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden denklemin köklerini diskriminant yöntemiyle k parametresine bağlı olarak bulun.
Diskriminant Δ=4(k+5)\Delta = 4(k+5) ve kökler x1=k−1−k+5x_1 = k-1 - \sqrt{k+5}, x2=k−1+k+5x_2 = k-1 + \sqrt{k+5} olarak elde edilir. Reel köklerin varlığı için k>−5k > -5 olmalıdır.
Eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek için sınır noktaları olan köklerin k cinsinden ifadesine ihtiyaç vardır.
2
İlk koşul olan 'en az bir negatif gerçel sayı için sağlanması' durumunu analiz edin.
x2−2(k−1)x+k2−3k−4<0x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 3k - 4 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (x1,x2)(x_1, x_2) açık aralığıdır. Bu aralıkta negatif sayıların bulunması için en küçük sınır olan x1x_1'in sıfırdan küçük olması (x1<0x_1 < 0) gerekir. Buradan k−1<k+5k-1 < \sqrt{k+5} eşitsizliği elde edilir.
Baş katsayı pozitif olduğundan, ifadenin negatif olduğu bölge kökler arasıdır. Bu bölgenin negatif sayıları içermesi için sol ucun sıfırdan küçük olması gerekir.
3
İkinci koşul olan 'x \le -3 koşulunu sağlayan hiçbir değer için sağlanmama' durumunu analiz edin.
(x1,x2)(x_1, x_2) aralığının (−∞,−3](-\infty, -3] aralığıyla kesişimi boş küme olmalıdır. Bu durum x1≥−3x_1 \ge -3 olmasını gerektirir. Buradan k−1−k+5≥−3  ⟹  k+2≥k+5k-1 - \sqrt{k+5} \ge -3 \implies k+2 \ge \sqrt{k+5} eşitsizliği elde edilir.
Eğer x1<−3x_1 < -3 olsaydı, aralıkta −3-3'ten küçük sayılar bulunurdu ve eşitsizlik bu sayılar için sağlanmış olurdu.
4
Elde edilen −3≤x1<0-3 \le x_1 < 0 eşitsizlik sistemini k değişkeni için çözün ve k tam sayı değerlerini belirleyin.
k−1<k+5k-1 < \sqrt{k+5} eşitsizliğinden −5<k<4-5 < k < 4 elde edilir. k+2≥k+5k+2 \ge \sqrt{k+5} eşitsizliğinden ise k≥−3+132≈0.3k \ge \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \approx 0.3 elde edilir. İki aralığın kesişimi olan [1,4)[1, 4) aralığındaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olup, toplamları 1+2+3=61+2+3=6 olarak bulunur.
Her iki koşulu da aynı anda sağlayan k parametresinin alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 90Soru →
x2−2x−3x+1≤0\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1} \le 0
x2−x−12<0x^2 - x - 12 < 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 4'tür.
Eşitsizlik sistemini oluşturan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi, x = -1 tanımsızlık noktası hariç tutularak x <= 3 olur. İkinci eşitsizlikten ise -3 < x < 4 aralığı elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan (-3, 3] aralığından -1 çıkarıldığında sağlayan tam sayılar -2, 0, 1, 2, 3 olur ve toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çarpanlarına ayrılması ve çözüm kümesinin belirlenmesi
C_1 = (-\infty, 3] \setminus \{-1\}
İfade çarpanlarına ayrıldığında pay ve paydadaki (x+1) terimleri sadeleşebilir fakat paydayı sıfır yapan x = -1 değeri tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
2
İkinci eşitsizliğin çarpanlarına ayrılması ve çözüm kümesinin belirlenmesi
C_2 = (-3, 4)
x^2 - x - 12 < 0 ifadesinin kökleri -3 ve 4'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan bu kökler arasında ifade negatif değerler alır.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişiminin alınması
C = (-3, 3] \setminus \{-1\}
Sistemin ortak çözüm kümesi, her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişim kümesidir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
-2 + 0 + 1 + 2 + 3 = 4
Aralıktaki tam sayılar belirlenip toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 91Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

x2−(a2−a)x−a3≤0x^2 - (a^2 - a)x - a^3 \le 0

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,

I. a>0a > 0 ise eşitsizliği sağlayan en küçük xx tam sayı değeri negatiftir.

II. −1<a<0-1 < a < 0 ise eşitsizliği sağlayan hiçbir xx tam sayı değeri yoktur.

III. Eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlı ise aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı −1-1'dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
İkinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur. Birinci öncülde a=0,5 için en küçük tam sayı değeri negatif olmayıp 0'dır, dolayısıyla birinci öncül kesinlikle doğru değildir. İkinci öncülde kökler (0, 1) açık aralığında kaldığından aralıkta tam sayı bulunmaz. Üçüncü öncülde çözüm kümesinin tek elemanlı olması diskriminantın sıfır olmasına karşılık gelir ve buradan a değerleri 0 ve -1 bulunup toplamları -1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma.
x2−(a2−a)x−a3=(x−a2)(x+a)≤0x^2 - (a^2 - a)x - a^3 = (x - a^2)(x + a) \le 0 ifadesinden kökler x1=a2x_1 = a^2 ve x2=−ax_2 = -a olarak bulunur.
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için öncelikle ifadenin köklerinin bulunması gerekir.
2
Birinci öncülü analiz etme (a>0a > 0 durumu).
a=0,5a = 0,5 seçilirse kökler 0,250,25 ve −0,5-0,5 olur. Çözüm kümesi [−0,5;0,25][-0,5; 0,25] aralığıdır. Bu aralıktaki tek tam sayı 00 olup, negatif değildir. Dolayısıyla birinci öncül her zaman doğru değildir.
aa'nın gerçel sayı olduğu belirtildiğinden tam sayı olmayan değerler için öncülün doğruluğunu test etmek gerekir.
3
İkinci öncülü analiz etme (−1<a<0-1 < a < 0 durumu).
−1<a<0-1 < a < 0 için a2∈(0,1)a^2 \in (0,1) ve −a∈(0,1)-a \in (0,1) olur. Ayrıca a2<−aa^2 < -a olduğundan çözüm kümesi [a2,−a]⊂(0,1)[a^2, -a] \subset (0,1) aralığıdır ve bu aralıkta hiçbir tam sayı yoktur. Dolayısıyla ikinci öncül kesinlikle doğrudur.
Verilen parametre aralığında köklerin hangi değer aralıklarında olduğunu belirleyerek çözüm kümesindeki tam sayı varlığını incelemek gerekir.
4
Üçüncü öncülü analiz etme (çözüm kümesinin tek elemanlı olması durumu).
Başkatsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir ifadenin ≤0\le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için ifadenin tam kare olması (yani diskriminantının sıfır olması) gerekir. Δ=a2(a+1)2=0  ⟹  a=0\Delta = a^2(a+1)^2 = 0 \implies a = 0 veya a=−1a = -1 bulunur. Bu değerlerin toplamı 0+(−1)=−10 + (-1) = -1'dir. Dolayısıyla üçüncü öncül kesinlikle doğrudur.
Çözüm kümesinin tek elemanlı olma şartının çift katlı kök (tam kare) durumuyla ilişkisini kurmak gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin köklerinin analizi ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümelerinin incelenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 92Soru →

Her aa gerçel sayısı için, x2−(a−2)x+a2−a+1>0x^2 - (a-2)x + a^2 - a + 1 > 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi tüm gerçel sayılardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Çünkü a=0a = 0 durumunda eşitsizliğin çözüm kümesinde −1-1 sayısı bulunmaz, dolayısıyla çözüm kümesi tüm gerçel sayılar olamaz.
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olması diskriminantın kesinlikle negatif (Δ<0\Delta < 0) olmasına bağlıdır. Hesaplanan Δ=−3a2\Delta = -3a^2 ifadesi a=0a = 0 için sıfıra eşit olduğundan, bu parametre değerinde daima pozitiflik bozulur ve çift katlı kök noktası çözüm kümesini daraltır. Dolayısıyla ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin daima sağlanma koşulunu belirleme
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olması için baş katsayısının pozitif (1>01 > 0) ve diskriminantının kesinlikle negatif (Δ<0\Delta < 0) olması gerekir.
Eğer Δ≥0\Delta \geq 0 olursa, ifadenin gerçel kökü veya kökleri bulunur ve bu köklerde ifade sıfıra eşit veya negatif değerler alabilir.
2
Diskriminantı (Δ\Delta) hesaplama
Δ=[−(a−2)]2−4⋅1⋅(a2−a+1)=a2−4a+4−4a2+4a−4=−3a2\Delta = [-(a-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - a + 1) = a^2 - 4a + 4 - 4a^2 + 4a - 4 = -3a^2
Değişken katsayılarına bağlı diskriminant ifadesini elde ederek işaret analizi yapmak için.
3
Diskriminantın sıfırdan küçük olma durumunu inceleme
−3a2<0-3a^2 < 0 eşitsizliğinin her aa gerçel sayısı için sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir. a=0a = 0 için −3(0)2=0-3(0)^2 = 0 olur, yani Δ<0\Delta < 0 şartı bozulur.
Parametrenin hangi değerlerinde daima pozitiflik şartının sağlanmadığını bulmak için.
4
a=0a = 0 durumunda çözüm kümesini bulma
a=0a = 0 için eşitsizlik x2+2x+1>0⇒(x+1)2>0x^2 + 2x + 1 > 0 \Rightarrow (x+1)^2 > 0 olur. Bu eşitsizlik x=−1x = -1 değeri hariç tüm gerçel sayılar için sağlanır. Çözüm kümesi R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} olur.
Sınır durumu olan a=0a = 0 değerinin çözüm kümesini tüm gerçel sayılar yapmadığını somut olarak göstermek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin tüm gerçel sayılarda daima sağlanması koşulu (Δ<0\Delta < 0 ve a>0a > 0) ve çift katlı kök durumunun çözüm kümesine etkisi.
Soru 93Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−3)2(x+1)x−5≤0\frac{(x - 3)^2(x + 1)}{x - 5} \le 0
x2−7x+6≤0x^2 - 7x + 6 \le 0
eşitsizliklerinin her ikisini de sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 10'dur.
Sistemi oluşturan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,5)[-1, 5) ve ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi [1,6][1, 6] aralıklarıdır. Bu iki aralığın kesişimi [1,5)[1, 5) olup, bu aralıktaki tam sayıların (1,2,3,41, 2, 3, 4) toplamı 10 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulma.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,5)[-1, 5) aralığıdır.
Payın köklerinden x=3x = 3 çift katlı köktür ve paydanın kökü olan x=5x = 5 tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulma.
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi [1,6][1, 6] aralığıdır.
x2−7x+6≤0x^2 - 7x + 6 \le 0 ifadesi (x−6)(x−1)≤0(x - 6)(x - 1) \le 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır ve kökler yardımıyla çözüm aralığı elde edilir.
3
Çözüm kümelerinin kesişimini alma.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi [1,5)[1, 5) aralığıdır.
Sistemin her iki eşitsizliği de sağlaması için iki çözüm kümesinin kesişimi ([−1,5)∩[1,6][-1, 5) \cap [1, 6]) alınmalıdır.
4
Ortak aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplama.
Tam sayıların toplamı 10'dur.
[1,5)[1, 5) aralığındaki tam sayılar 1,2,3,41, 2, 3, 4 olup, bu sayıların toplamı 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10 olur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin ortak çözüm kümesini bulma, çift katlı kök ve payda köklerinin analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 94Soru →
mm bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−(m−1)x+m+2≤0x^2 - (m-1)x + m + 2 \le 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre,
I. m=−1m = -1 için eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
II. m∈(−1,7)m \in (-1, 7) için eşitsizliğin gerçel sayılardaki ç��züm kümesi boş kümedir.
III. m>7m > 7 için eşitsizliği sağlayan en az bir tane negatif xx gerçel sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Doğru seçenek olan 'I ve II' ifadelerinin kesin doğruluğu şu şekilde ispatlanır: m=−1m = -1 iken ifade (x+1)2≤0(x+1)^2 \le 0 biçimine dönüşür ve bunu sağlayan tek değer x=−1x = -1 olup çözüm kümesi tek elemanlıdır (I doğru). m∈(−1,7)m \in (-1, 7) aralığında diskriminant negatif ve başkatsayı pozitif olduğu için ifade daima pozitiftir ve sıfıra eşit ya da küçük olamaz; çözüm kümesi boş kümedir (II doğru). m>7m > 7 için köklerin toplamı ve çarpımı pozitif olduğundan her iki kök de pozitiftir, bu yüzden çözüm kümesinde negatif sayı yer alamaz (III yanlış).

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin diskriminantını (Δ\Delta) hesaplayın.
Δ=[−(m−1)]2−4⋅1⋅(m+2)=m2−2m+1−4m−8=m2−6m−7=(m−7)(m+1)\Delta = [-(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+2) = m^2 - 2m + 1 - 4m - 8 = m^2 - 6m - 7 = (m-7)(m+1) elde edilir.
İkinci dereceden ifadenin köklerinin varlığı ve çözüm kümesinin yapısı diskriminantın işaretine bağlıdır.
2
I. öncül için m=−1m = -1 değerini yerine yazarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
m=−1m = -1 için Δ=(−1−7)(−1+1)=0\Delta = (-1-7)(-1+1) = 0 olur. Eşitsizlik x2+2x+1≤0  ⟹  (x+1)2≤0x^2 + 2x + 1 \le 0 \implies (x+1)^2 \le 0 halini alır. Karesi sıfırdan küçük veya eşit olan tek gerçel sayı x=−1x = -1 olduğundan çözüm kümesi {−1}\{-1\} olup tek elemanlıdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Diskriminant sıfır olduğunda çift katlı kök oluşur ve eşitsizlikte eşitlik de arandığı için çözüm kümesi tek elemanlı olur.
3
II. önc��l için m∈(−1,7)m \in (-1, 7) aralığında diskriminantın işaretini analiz edin.
m∈(−1,7)m \in (-1, 7) için (m−7)<0(m-7) < 0 ve (m+1)>0(m+1) > 0 olduğundan Δ=(m−7)(m+1)<0\Delta = (m-7)(m+1) < 0 olur. Eşitsizliğin başkatsayısı 1>01 > 0 olduğundan, x2−(m−1)x+m+2x^2 - (m-1)x + m + 2 ifadesi her xx gerçel sayısı için daima pozitiftir. Bu durumda ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan hiçbir gerçel sayı yoktur; yani çözüm kümesi boş kümedir (∅\emptyset). Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Diskriminant negatif ve başkatsayı pozitif olduğunda, ikinci dereceden ifade tüm gerçel sayılar için pozitif değerler alır.
4
III. öncül için m>7m > 7 durumunda köklerin işaretlerini kökler toplamı ve çarpımı kuralları ile inceleyin.
m>7m > 7 için Δ>0\Delta > 0 olur ve ifadenin iki farklı gerçel kökü (x1<x2x_1 < x_2) vardır. Çözüm kümesi [x1,x2][x_1, x_2] aralığıdır. Kökler çarpımı x1⋅x2=m+2>9>0x_1 \cdot x_2 = m + 2 > 9 > 0 ve kökler toplamı x1+x2=m−1>6>0x_1 + x_2 = m - 1 > 6 > 0 olur. Çarpımları ve toplamları pozitif olan iki kök de pozitiftir (0<x1<x20 < x_1 < x_2). Bu durumda çözüm aralığındaki tüm gerçel sayılar pozitif olup negatif bir xx gerçel sayısı bulunmaz. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.
İki kök de pozitif olduğunda, bu köklerin arasındaki çözüm kümesi aralığı sadece pozitif sayılardan oluşur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde diskriminant durumuna göre işaret tablosu yapılması ve köklerin işaret analizi.
Soru 95Soru →
(x−2)2(x+1)x−3≤0\frac{(x - 2)^2(x + 1)}{x - 3} \le 0
x2−4x+3≤0x^2 - 4x + 3 \le 0

olduğuna göre, bu eşitsizlik sisteminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,3)[1, 3)

Cevap

[1,3)[1, 3) yarı açık aralığı
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi, çift katlı kök özelliği ve payda tanımsızlığı dikkate alınarak [−1,3)[-1, 3) olarak bulunur. İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi ise [1,3][1, 3] olarak elde edilir. İki aralığın kesişimi alındığında [1,3)[1, 3) yarı açık aralığı doğru cevap olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin köklerini belirleme ve işaret tablosunu oluşturma.
Payın kökleri x=2x = 2 (çift katlı) ve x=−1x = -1 (tek katlı). Paydanın kökü x=3x = 3 (tek katlı). İşaret tablosu en sağdan ++ ile başlar; 33 kökünde −- olur, 22 çift katlı kökünde değişmeyip −- kalır, −1-1 kökünde ++ olur.
Rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak amacıyla işaret tablosunu doğru şekilde hazırlamak gerekir.
2
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini yazma.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık [−1,3)[-1, 3) olarak bulunur. Paydayı sıfır yapan x=3x = 3 değeri çözüm kümesine dahil edilmez.
Eşitlik durumlarında payın kökleri dahil edilirken paydayı sıfır yapan kökler tanımsızlık nedeniyle hariç tutulur.
3
İkinci eşitsizliğin köklerini bulma ve çözüm kümesini yazma.
x2−4x+3≤0  ⟹  (x−1)(x−3)≤0x^2 - 4x + 3 \le 0 \implies (x - 1)(x - 3) \le 0 olduğundan kökler 11 ve 33'tür. Çözüm kümesi [1,3][1, 3] kapalı aralığıdır.
İkinci dereceden eşitsizliğin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulup çözüm aralığını belirlemek gerekir.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma.
[−1,3)∩[1,3]=[1,3)[-1, 3) \cap [1, 3] = [1, 3) aralığı elde edilir.
Eşitsizlik sisteminin genel çözüm kümesi, sistemi oluşturan tüm eşitsizliklerin ortak sağlandığı bölgedir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde her bir eşitsizliğin çözüm kümesi ayrı ayrı bulunup kesiştirilir. İşaret tablosu oluşturulurken çift katlı köklere ve paydayı sıfır yapan tanımsızlık değerlerine dikkat edilmelidir.
Soru 96Soru →
x2+xy−2x=0x^2 + xy - 2x = 0
y2−x2=16y^2 - x^2 = 16

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçel sayı ikililerinin oluşturduğu çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\}

Cevap

Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olan seçenektir.
Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olan seçenek doğrudur. Çünkü ilk denklemden x=0x = 0 alındığında y2=16y^2 = 16 ise y=±4y = \pm 4 elde edilerek (0,4)(0, 4) ve (0,−4)(0, -4) çözümlerine ulaşılır. x≠0x \neq 0 durumunda ise y=2−xy = 2 - x ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında x=−3x = -3 ve y=5y = 5 bulunarak (−3,5)(-3, 5) çözümü elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi ortak çarpan parantezine alarak çözümleri iki duruma ayırın.
x(x+y−2)=0x(x + y - 2) = 0 elde edilir. Buradan x=0x = 0 veya x+y−2=0x + y - 2 = 0 (yani y=2−xy = 2 - x) olur.
Çarpım durumundaki bir ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
2
Birinci durum olan x=0x = 0 değerini ikinci denklemde yerine yazın.
y2−02=16y^2 - 0^2 = 16 ise y2=16y^2 = 16 olur. Buradan y=4y = 4 veya y=−4y = -4 bulunur.
Sistemin birinci denklemini sağlayan x=0x = 0 değerinin, ikinci denklemi de sağlaması gerekir.
3
İkinci durum olan y=2−xy = 2 - x ifadesini ikinci denklemde yerine yazın ve xx değerini bulun.
(2−x)2−x2=16(2 - x)^2 - x^2 = 16 ise 4−4x+x2−x2=164 - 4x + x^2 - x^2 = 16 olur. Buradan −4x=12-4x = 12 ve x=−3x = -3 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli hale getirmek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan x=−3x = -3 değerini y=2−xy = 2 - x eşitliğinde yerine yazarak yy değerini hesaplayın.
y=2−(−3)=5y = 2 - (-3) = 5 bulunur. Buradan (−3,5)(-3, 5) çözüm ikilisi elde edilir.
Bulunan xx değerine karşılık gelen yy koordinatını belirlemek gerekir.
5
Elde edilen tüm (x,y)(x, y) sıralı ikililerini bir araya getirerek çözüm kümesini oluşturun.
Çözüm kümesi {(0,4),(0,−4),(−3,5)}\{(0, 4), (0, -4), (-3, 5)\} olarak elde edilir.
Denklem sistemini sağlayan tüm gerçel çözümler kümesini ifade etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma ve yerine koyma yöntemlerinin uygulanması.
Soru 97Soru →
x+4(x−1)2(x−3)≥0 \frac{x+4}{(x-1)^2(x-3)} \ge 0
x2−2x−15≤0 x^2 - 2x - 15 \le 0

eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Verilen eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi (3, 5] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 4 ve 5 olup, toplamları 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturma
Kökler: payın kökü x = -4, paydanın kökleri x = 1 (çift katlı) ve x = 3'tür. Çözüm aralığı: (-\infty, -4] \cup (3, \infty)
Eşitsizlik sisteminin birinci kısmının çözüm kümesini belirlemek için pay ve paydadaki ifadelerin sıfır olduğu noktalar bulunmalı ve işaret incelenmelidir. x = 1 paydanın kökü olduğu için tanımsızlık yaratır ve çift katlı köktür.
2
İkinci eşitsizliğin köklerini bulup çözüm aralığını belirleme
Kökler: x = 5 ve x = -3'tür. Çözüm aralığı: [-3, 5]
x^2 - 2x - 15 <= 0 ifadesi (x - 5)(x + 3) <= 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler tabloya yerleştirilerek baş katsayı pozitif olduğundan +, -, + şeklinde işaretlenir ve negatif veya sıfır olan bölge seçilir.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma
Kesişim kümesi: (3, 5]
Sistemi sağlayan x değerleri, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerdir. Bu nedenle birinci ve ikinci adımlarda elde edilen aralıkların kesişimi alınır.
4
Kesişim kümesindeki tam sayıları bulup toplama
Tam sayılar: 4 ve 5. Toplam: 4 + 5 = 9
(3, 5] yarı açık aralığındaki tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu tam sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 98Soru →
x2+3xy+y2=11x−y=1\begin{aligned} x^2 + 3xy + y^2 &= 11 \\ x - y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Sistemi sağlayan tüm gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının değeri 5'tir.
Denklem sisteminde birinci denklem (x−y)2+5xy=11(x-y)^2 + 5xy = 11 şeklinde yazılıp x−y=1x-y=1 eşitliği yerine konduğunda xy=2xy=2 bulunur. İstenen x2+y2x^2+y^2 toplamı ise (x−y)2+2xy(x-y)^2 + 2xy ifadesine eşit olup 12+2(2)=51^2 + 2(2) = 5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemdeki ifadeyi iki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanacak şekilde düzenlemek.
x2+3xy+y2=(x−y)2+5xy=11x^2 + 3xy + y^2 = (x - y)^2 + 5xy = 11
Sistemde verilen x−yx-y ifadesini doğrudan kullanabilmek.
2
x−y=1x - y = 1 değerini yerine yazarak xyxy çarpımını hesaplamak.
1+5xy=11  ⟹  xy=21 + 5xy = 11 \implies xy = 2
Bilinmeyenlerin çarpım değerini elde etmek.
3
x2+y2x^2 + y^2 toplamını elde etmek için farkın karesi açılımını uygulamak.
x2+y2=(x−y)2+2xy=12+2(2)=5x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 1^2 + 2(2) = 5
İstenen hedef ifadeyi hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin cebirsel özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.
Soru 99Soru →

f(x)=(a−1)x2−4x+a+2f(x) = (a-1)x^2 - 4x + a + 2 ifadesi veriliyor. Her xx gerçel sayısı için f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin sağlanması amacıyla aa parametresinin alabileceği en geniş değerler kümesi (−∞,−3)∪(2,∞)(-\infty, -3) \cup (2, \infty) olarak verilmiştir. Bu bilgiye göre, verilen bu küme ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen küme ifadesi yanlıştır. Doğru çöz��m kümesi (−∞,−3)(-\infty, -3) olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin tüm gerçel sayılarda negatif değer alması için başkatsayısının negatif ve diskriminantının negatif olması şarttır. Verilen ifadede başkatsayının negatif olma şartı (a<1a < 1) göz ardı edilerek sadece Δ<0\Delta < 0 koşuluna göre çözüm yapılmış ve hatalı bir küme elde edilmiştir. Doğru küme (−∞,−3)(-\infty, -3) olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima negatif olması koşullarını belirleyin.
Başkatsayı negatif (a−1<0a - 1 < 0) ve diskriminant negatif (Δ<0\Delta < 0) olmalıdır.
Grafiğin tamamen x-ekseninin altında kalması için kolların aşağı doğru olması ve ekseni kesmemesi gerekir.
2
Başkatsayı koşulunu çözün.
a−1<0  ⟹  a<1a - 1 < 0 \implies a < 1 bulunur.
Kolların aşağı yönlü olması için başkatsayı negatif olmalıdır.
3
Diskriminant koşulunu hesaplayın.
Δ=(−4)2−4(a−1)(a+2)<0  ⟹  16−4(a2+a−2)<0  ⟹  a2+a−6>0\Delta = (-4)^2 - 4(a-1)(a+2) < 0 \implies 16 - 4(a^2 + a - 2) < 0 \implies a^2 + a - 6 > 0 elde edilir. Eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında (a+3)(a−2)>0(a+3)(a-2) > 0 olur. Buradan a<−3a < -3 veya a>2a > 2 bulunur.
İfadenin gerçel kökünün olmaması için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır.
4
Bulunan iki koşulun kesişimini alın.
a<1a < 1 ile (a<−3a < -3 veya a>2a > 2) kümesinin kesişimi (−∞,−3)(-\infty, -3) aralığıdır.
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiğinden ortak çözüm kümesi aranır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima negatif olma koşulu ve başkatsayı incelemesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 100Soru →
x2−8x+16≤0x^2 - 8x + 16 \le 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi AA,
x2−8x+16>0x^2 - 8x + 16 > 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi BB dir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A={4}A = \{4\}

Cevap

A kümesinin tek elemanlı ve {4} şeklinde olması doğrudur.
x2−8x+16=(x−4)2x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 ifadesi her gerçel sayı değeri için sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan tek gerçel sayı değeri x=4x = 4 olduğundan A kümesinin {4} elemanından oluşması doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizliklerdeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.
x2−8x+16=(x−4)2x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 ifadesi elde edilir.
İfadenin köklerini ve işaret tablosunu oluşturmak için çarpanlara ayrılmış hali gereklidir.
2
İfadenin kökünü bulun ve çift katlılık durumunu inceleyin.
(x−4)2=0  ⟹  x=4(x-4)^2 = 0 \implies x = 4 çift katlı köktür.
Çift katlı köklerde işaret tablosunda sağdan sola geçerken işaretin değişmeyeceğini belirlemek için bu tespit önemlidir.
3
İşaret tablosunu oluşturun ve A kümesini belirleyin.
(x−4)2(x-4)^2 ifadesi x=4x=4 hariç her yerde pozitif (++), x=4x=4 için sıfırdır. Bu durumda (x−4)2≤0(x-4)^2 \le 0 eşitsizliğini sadece x=4x=4 sağlar. Buradan A={4}A = \{4\} bulunur.
Eşitsizliğin yönü küçük veya eşit (≤\le) olduğundan, ifadenin sıfıra eşit veya negatif olduğu bölge aranır.
4
B kümesini belirleyin ve seçenekleri değerlendirin.
(x−4)2>0(x-4)^2 > 0 eşitsizliği x=4x=4 dışındaki tüm gerçel sayılar için sağlanır, yani B=R∖{4}B = \mathbb{R} \setminus \{4\} olur. Bu durumda A kümesinin {4} olduğu seçeneğin doğru olduğu görülür.
Kümelerin elemanlarını karşılaştırarak doğru seçeneğe ulaşmak hedeflenir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden tam kare ifadelerin işaret incelemesi ve çift katlı köklerin çözüm kümesine etkisi.
ÖncekiSayfa 5 / 6Sonraki
İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 5 | Examkin