Examkin

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

120 soru

Tüm türler120Çoktan seçmeli50Doğru / Yanlış15Sayısal53Eşleştirme2
Soru 41Soru →
x2−5x+4x−1≤0\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} \leq 0
x2−4<0x^2 - 4 < 0

eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−2,1)∪(1,2)(-2, 1) \cup (1, 2)

Cevap

(−2,1)∪(1,2)(-2, 1) \cup (1, 2)
Sistemdeki birinci eşitsizlik sadeleştirildiğinde x≤4x \leq 4 elde edilir ancak paydanın sıfır olmaması koşulundan dolayı x≠1x \neq 1 şartı aranır. İkinci eşitsizlik ise xx değerinin −2-2 ile 22 açık aralığında olmasını gerektirir. Bu iki çözüm kümesinin kesişimi alındığında, (−2,2)(-2, 2) aralığından tanımsızlık yapan 11 değeri çıkarılarak (−2,1)∪(1,2)(-2, 1) \cup (1, 2) doğru çözümüne ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin pay kısmını çarpanlarına ayırıp kökleri bulalım.
(x−1)(x−4)x−1≤0\frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 1} \leq 0 ifadesinde payın kökleri x=1x = 1 ve x=4x = 4, paydanın kökü ise x=1x = 1'dir.
Eşitsizliğin sınır değerlerini ve tanımsızlık noktalarını belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
2
Birinci eşitsizlik için tanım kümesi kısıtlamasını belirleyelim ve çözüm kümesini bulalım.
x−1x - 1 ifadesi sadeleştirildiğinde x−4≤0  ⟹  x≤4x - 4 \leq 0 \implies x \leq 4 elde edilir. Ancak payda sıfır olamayacağı için x≠1x \neq 1 olmalıdır. Dolayısıyla birinci eşitsizliğin çözüm kümesi: C\c1=(−∞,4]∖{1}Ç_1 = (-\infty, 4] \setminus \{1\} olur.
Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığından çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
3
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım.
x2−4<0  ⟹  (x−2)(x+2)<0x^2 - 4 < 0 \implies (x - 2)(x + 2) < 0 eşitsizliğinden kökler −2-2 ve 22 olarak bulunur. İşaret incelemesiyle ��özüm aralığı: C\c2=(−2,2)Ç_2 = (-2, 2) olur.
İkinci dereceden eşitsizliğin kökleri bulunarak negatif olduğu aralık tespit edilir.
4
İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini bulmak için kesişim işlemini uygulayalım.
C\c1∩C\c2=((−∞,4]∖{1})∩(−2,2)=(−2,2)∖{1}Ç_1 \cap Ç_2 = \left((-\infty, 4] \setminus \{1\}\right) \cap (-2, 2) = (-2, 2) \setminus \{1\} Bu küme açık aralıklar şeklinde yazıldığında (−2,1)∪(1,2)(-2, 1) \cup (1, 2) olarak ifade edilir.
Eşitsizlik sistemlerinin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerin kesişim kümesidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizlik sistemlerinde payda kökünün hariç tutularak ortak çözüm kümesinin bulunması.
Soru 42Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−2x−3)⋅(x2−4)2(x2−x−2)⋅(x2−9)≤0 \frac{(x^2 - 2x - 3) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - 9)} \le 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı -1'dir.
Çarpanlarına ayrılmış eşitsizlikte sadeleştirmeler yapıldıktan sonra elde edilen (x−2)(x+2)2x+3≤0\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0 ifadesinde kökler x=−3x = -3, x=−2x = -2 (çift katlı) ve x=2x = 2 olarak bulunur. İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık (−3,2](-3, 2] aralığıdır. Ancak ilk ifadede paydayı sıfır yapan x=−1x = -1, x=2x = 2 ve x=3x = 3 değerleri tanımsızlık oluşturduğundan çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Buradan çözüm kümesi S=(−3,2)∖{−1}S = (-3, 2) \setminus \{-1\} olur. Bu kümedeki tam sayılar −2-2, 00 ve 11 olup toplamları −1-1 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırın.
(x−3)(x+1)(x−2)2(x+2)2(x−2)(x+1)(x−3)(x+3)≤0\frac{(x-3)(x+1)(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0
Ortak çarpanları ve kökleri belirleyebilmek için.
2
Paydayı sıfır yapan (tanımsızlık oluşturan) xx değerlerini belirleyin.
x≠−3x \neq -3, x≠−1x \neq -1, x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamayacağı için bu değerler çözüm k��mesine dahil edilemez.
3
Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.
(x−2)(x+2)2x+3≤0\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0 (burada x∉{−3,−1,2,3}x \notin \{-3, -1, 2, 3\})
İşaret incelemesini daha basit bir ifade üzerinden gerçekleştirmek için.
4
Sadeleşmiş ifadenin köklerini bulup işaret tablosunu hazırlayın.
Kökler: x=−3x = -3 (tek katlı payda kökü), x=−2x = -2 (çift katlı pay kökü), x=2x = 2 (tek katlı pay kökü). İşaretler en sağdan sola doğru sırasıyla: (2,∞)→(+)(2, \infty) \rightarrow (+), (−2,2)→(−)(-2, 2) \rightarrow (-), (−3,−2)→(−)(-3, -2) \rightarrow (-), (−∞,−3)→(+)(-\infty, -3) \rightarrow (+) şeklindedir.
Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgeleri tespit etmek için.
5
İşaret tablosunu ve payda kısıtlamalarını birleştirerek çözüm kümesini oluşturun.
Çözüm kümesi: S=(−3,2)∖{−1}S = (-3, 2) \setminus \{-1\}
Tablodaki negatif ve sıfır yapan bölgeler alınır ((−3,2](-3, 2]); ancak payda kökleri olan x=−1x = -1 ve x=2x = 2 bu kümeden çıkarılır.
6
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.
x∈{−2,0,1}  ⟹  (−2)+0+1=−1x \in \{-2, 0, 1\} \implies (-2) + 0 + 1 = -1
Soruda istenen sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde ortak çarpanların sadeleştirilmesi durumunda payda köklerinin tanımsızlık oluşturması nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması ve çift katlı köklerin işaret tablosundaki etkisi.
Soru 43Soru →
(x−3)2⋅(8−x)>0 (x - 3)^2 \cdot (8 - x) > 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı pozitif tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı değerlerinin sayısı 6'dır.
Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların sayısı 6'dır. (x−3)2(x-3)^2 ifadesi x≠3x \neq 3 için her zaman pozitif olduğundan, (x−3)2⋅(8−x)>0(x-3)^2 \cdot (8-x) > 0 eşitsizliğinin sağlanması için 8−x>08-x > 0 yani x<8x < 8 olmalıdır. Ancak x=3x=3 için ifade sıfır olduğundan bu değer çözüm kümesinden çıkarılır. Buradan çözüm kümesi (−∞,8)∖{3}(-\infty, 8) \setminus \{3\} olarak bulunur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar {1,2,4,5,6,7}\{1, 2, 4, 5, 6, 7\} olup toplamda 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği oluşturan çarpanların köklerini bulalım.
(x−3)2=0  ⟹  x=3(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 (çift katlı kök)
8−x=0  ⟹  x=88 - x = 0 \implies x = 8 (tek katlı kök)
İşaret tablosu oluşturmak için eşitsizliğin sınır değerlerini (köklerini) belirlememiz gerekir.
2
İşaret tablosunu oluşturup en sağdaki bölgenin işaretini belirleyelim.
En büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı: (+)2⋅(−)=(−)(+)^2 \cdot (-) = (-) olduğundan tabloya en sağdan (8'in sağından) eksi (−-) işareti ile başlanır.
Eşitsizliğin hangi aralıklarda hangi işaretleri alacağını saptamak için baş katsayının işaretini belirlemeliyiz.
3
Köklerden geçerek işaret tablosunu tamamlayalım.
8 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir ve artı (++) olur. 3 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez, artı (++) olarak kalır.
Çift katlı köklerde işaretin değişmediği kuralını uygulayarak tüm bölgelerin işaretini buluruz.
4
Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini ve bu kümedeki pozitif tam sayıları belirleyelim.
Eşitsizlikte sıfırdan büyük (>0> 0) bölgeler istendiği için artı (++) olan bölgeler alınır. Ancak x=3x = 3 değeri ifadeyi sıfır yaptığı ve eşitsizlikte eşitlik bulunmadığı için çözüm kümesine dahil edilmez. Çözüm kümesi: (−∞,8)∖{3}(-\infty, 8) \setminus \{3\} olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar: 1,2,4,5,6,71, 2, 4, 5, 6, 7 olmak üzere 6 tanedir.
Soruda istenen koşulu sağlayan pozitif tam sayıların sayısını bulmak için doğru çözüm kümesini analiz ederiz.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden ve yüksek dereceden eşitsizliklerin çözümünde işaret tablosu oluşturma ve çift katlı köklerin incelenmesi.
Tahmini Süre:45s
Soru 44Soru →
(x−3)3⋅(x2−2x−8)(x2−9)⋅(x2−4x+4)≤0 \frac{(x-3)^3 \cdot (x^2 - 2x - 8)}{(x^2 - 9) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı değerleri 1 ve 4 olup, bu değerlerin toplamı 5'tir.
Eşitsizliğin tablosu yapıldığında negatif veya sıfıra eşit olmasını sağlayan aralıklar (−∞,−3)∪[−2,2)∪(2,3)∪(3,4](-\infty, -3) \cup [-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sadece 1 ve 4 değerleridir. Bu iki değerin toplamı 5 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırarak pay ve paydanın köklerini belirleyin.
Payın kökleri: (x−3)3=0  ⟹  x=3(x-3)^3 = 0 \implies x = 3 (katlılığı 3), x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4 ve x=−2x = -2 olur. Paydanın kökleri: x2−9=0  ⟹  (x−3)(x+3)=0  ⟹  x=3x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3 ve x=−3x = -3, x2−4x+4=0  ⟹  (x−2)2=0  ⟹  x=2x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2 (katlılığı 2) olur.
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için sınır değerlerini (kökleri) ve bunların katlılık derecelerini belirlemek gerekir.
2
Köklerin net katlılık derecelerini analiz edin ve paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden hariç tutun.
x=−3x = -3 paydanın tek katlı köküdür (hariç tutulur). x=−2x = -2 payın tek katlı köküdür (dahil edilebilir). x=2x = 2 paydanın çift katlı köküdür (hariç tutulur). x=3x = 3 hem payın (katlılığı 3) hem de paydanın (katlılığı 1) köküdür. Net katlılığı 3−1=23 - 1 = 2 olup çift katlı köktür. Paydada yer aldığı için çözüm kümesinden hariç tutulur. x=4x = 4 payın tek katlı köküdür (dahil edilebilir).
Çift katlı köklerde işaretin değişmeyeceğini belirlemek ve paydayı sıfır yapan değerlerin tanımsızlık yaratacağını garanti etmek için bu analiz gereklidir.
3
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturun ve en sağdaki aralığın işaretini belirleyerek sola doğru ilerleyin.
Köklerin sıralaması: −3<−2<2<3<4-3 < -2 < 2 < 3 < 4. En sağdaki aralık olan (4,∞)(4, \infty) için işaret belirlenir: İfadelerdeki en yüksek dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için tablo sağdan "+" ile başlar. x=4x = 4 (tek katlı)   ⟹  \implies işaret "-" olur. x=3x = 3 (çift katlı)   ⟹  \implies işaret değişmez, "-" kalır. x=2x = 2 (çift katlı)   ⟹  \implies işaret değişmez, "-" kalır. x=−2x = -2 (tek katlı)   ⟹  \implies işaret "+" olur. x=−3x = -3 (tek katlı)   ⟹  \implies işaret "-" olur. İşaret dağılımı: (−∞,−3)→(−)(-\infty, -3) \rightarrow (-), (−3,−2]→(+)(-3, -2] \rightarrow (+), [−2,2)→(−)[-2, 2) \rightarrow (-), (2,3)→(−)(2, 3) \rightarrow (-), (3,4]→(−)(3, 4] \rightarrow (-), [4,∞)→(+)[4, \infty) \rightarrow (+).
Eşitsizliğin ≤0\leq 0 olduğu bölgeleri tespit etmek için işaret tablosu gereklidir.
4
Eşitsizliği sağlayan (≤0\leq 0 olan) aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyin ve toplamını bulun.
Eşitsizliğin sağlandığı aralıklar: (−∞,−3)∪[−2,2)∪(2,3)∪(3,4](-\infty, -3) \cup [-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4] şeklindedir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar: [−2,2)[-2, 2) aralığında sadece 11 vardır (2 tanımsızlık yaptığı için hariç tutulur). (2,3)(2, 3) aralığında pozitif tam sayı yoktur. (3,4](3, 4] aralığında sadece 44 vardır (3 tanımsızlık yaptığı için hariç tutulur). Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayılar kümesi {1,4}\{1, 4\} olup toplamları 1+4=51 + 4 = 5 olarak bulunur.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamını istediği için bu son hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri
Soru 45Soru →
x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0
x2−xy+y2−2x+4y=12x^2 - xy + y^2 - 2x + 4y = 12

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları rasyonel sayılar olan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklem sistemini sağlayan rasyonel koordinatlı gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer 6'dır.
İlk denklem çarpanlarına ayrıldığında x=2yx = 2y veya x=−yx = -y elde edilir. Bu iki durum ikinci denklemde yerine yazıldığında, yalnızca x=2yx = 2y durumu rasyonel koordinatlara sahip (4,2)(4, 2) ve (−4,−2)(-4, -2) çözümlerini verir. Diğer durum irrasyonel koordinatlı çözümler üretir. Rasyonel çözümlerin koordinatları toplamı sırasıyla 66 ve −6-6 olup, bu değerlerin en büyüğü 66'dır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi çarpanlarına ayırma
x2−xy−2y2=0  ⟹  (x−2y)(x+y)=0  ⟹  x=2yx^2 - xy - 2y^2 = 0 \implies (x - 2y)(x + y) = 0 \implies x = 2y veya x=−yx = -y
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkileri belirleyerek sistemi indirgemek
2
x=2yx = 2y durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme
3y2=12  ⟹  y2=4  ⟹  y=±23y^2 = 12 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2. Buradan (4,2)(4, 2) ve (−4,−2)(-4, -2) rasyonel çözümleri elde edilir.
Birinci koldan gelen rasyonel koordinatlı adayları belirlemek
3
x=−yx = -y durumunu ikinci denklemde yerine yazıp çözme
3y2+6y−12=0  ⟹  y2+2y−4=0  ⟹  y=−1±53y^2 + 6y - 12 = 0 \implies y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y = -1 \pm \sqrt{5} (irrasyonel)
İkinci koldan gelen çözümlerin koordinatlarının rasyonel olup olmadığını kontrol etmek
4
Rasyonel çözümler için koordinat toplamlarını karşılaştırma
4+2=64 + 2 = 6 ve −4+(−2)=−6  ⟹  -4 + (-2) = -6 \implies En büyük değer 66 olur.
İstenen en büyük toplam değerini belirlemek

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme, çarpanlara ayırma yöntemi ve rasyonel/irrasyonel kök analizi
Soru 46Soru →
x2−4x−5<0x^2 - 4x - 5 < 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 5 farklı tam sayı değeri vardır.
Verilen x2−4x−5<0x^2 - 4x - 5 < 0 eşitsizliğinde ifade (x−5)(x+1)<0(x-5)(x+1) < 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Kökler −1-1 ve 55 olup başkatsayı pozitif olduğu için işaret tablosunda kökler arası negatif (−-) işaretlidir. Dolayısıyla çözüm kümesi (−1,5)(-1, 5) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulun.
(x−5)(x+1)=0⇒x1=−1(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1 ve x2=5x_2 = 5 elde edilir.
Eşitsizlik işaret tablosunun sınır noktalarını belirlemek için öncelikle ifadenin kökleri bulunur.
2
Bulunan köklerle işaret tablosu oluşturun ve ifadenin işaretini inceleyin.
Başkatsayı (x2x^2'nin katsayısı) +1+1 (pozitif) olduğundan tablonun en sağından ++ ile başlanır. Köklerden geçildikçe işaret değiştirilir ve tablo +∣−∣++ \mid - \mid + şeklinde oluşur. Eşitsizlik <0<0 olduğundan negatif bölge olan (−1,5)(-1, 5) aralığı çözüm kümesi olarak seçilir.
İkinci dereceden ifadenin hangi aralıklarda negatif değer aldığını belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
3
(−1,5)(-1, 5) açık aralığında yer alan tam sayıları belirleyin ve sayısını bulun.
Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 değerleridir. Toplamda 5 adet tam sayı değeri vardır.
Bizden istenen, eşitsizliği sağlayan tam sayıların adedidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çarpanlara ayrılarak köklerinin bulunması ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesinin belirlenmesi.
Soru 47Soru →

Eşitsizlik sistemleri konusunu çalışan bir öğrenci, aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulmak istemektedir:

x2−9≤0x^2 - 9 \leq 0
x−1x+2>0\frac{x - 1}{x + 2} > 0

Buna göre, bu eşitsizlik sistemini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı 2'dir.
Eşitsizlik sisteminin her iki eşitsizliğini de sağlayan ortak çözüm kümesi [−3,−2)∪(1,3][-3, -2) \cup (1, 3] olarak bulunur. Bu kümedeki tam sayılar −3,2,3-3, 2, 3 olup toplamları 22 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma
x∈[−3,3]x \in [-3, 3]
x2−9≤0x^2 - 9 \leq 0 eşitsizliğinin kökleri x=−3x = -3 ve x=3x = 3'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan [−3,3][-3, 3] aralığında ifade negatif veya sıfırdır.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma
x∈(−∞,−2)∪(1,∞)x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)
x−1x+2>0\frac{x - 1}{x + 2} > 0 ifadesinin kökleri x=1x = 1 ve x=−2x = -2'dir. İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin pozitif olduğu bölgeler belirlenir.
3
Ortak çözüm kümesini (kesişimini) belirleme
x∈[−3,−2)∪(1,3]x \in [-3, -2) \cup (1, 3]
Her iki eşitsizliğin de sağlandığı aralıklar kesiştirilir.
4
Ortak çözüm kümesindeki tam sayıları bulma
−3,2-3, 2 ve 33
[−3,−2)[-3, -2) aralığındaki tek tam sayı −3-3'tür (−2-2 paydanın kökü olduğu için a��ık aralıktır). (1,3](1, 3] aralığındaki tam sayılar ise 22 ve 33'tür (11 dahil değildir).
5
Tam sayıların toplamını hesaplama
2
Bulunan tam sayı değerleri toplanır: (−3)+2+3=2(-3) + 2 + 3 = 2.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 48Soru →
(x−2)2x−5≤0\frac{(x - 2)^2}{x - 5} \leq 0
x−1≥0x - 1 \geq 0

Yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,5)[1, 5)

Cevap

Çözüm kümesi [1,5)[1, 5) yarı açık aralığıdır.
Birinci eşitsizlik olan (x−2)2x−5≤0\frac{(x-2)^2}{x-5} \leq 0 ifadesinde payın çift katlı kökü x=2x=2 ve paydanın kökü x=5x=5'tir. Paydanın sıfır olamayacağı göz önüne alındığında bu eşitsizliği sağlayan aralık (−∞,5)(-\infty, 5) olur. İkinci eşitsizlik olan x−1≥0x - 1 \geq 0 ifadesinden x≥1x \geq 1 yani [1,∞)[1, \infty) aralığı elde edilir. İki kümenin kesişimi [1,5)[1, 5) aralığı olduğundan bu aralık doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz edelim: (x−2)2x−5≤0\frac{(x-2)^2}{x-5} \leq 0.
x<5x < 5 elde edilir. Payın kökü olan x=2x=2 çift katlı köktür. Paydanın kökü x=5x=5 tek katlı köktür ve payda sıfır olamayacağı için x≠5x \neq 5 olmalıdır. (x−2)2(x-2)^2 ifadesi her xx gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olduğundan, ifadenin işareti paydanın işaretine bağlıdır. Eşitsizliğin negatif olması için x−5<0⇒x<5x-5 < 0 \Rightarrow x < 5 olmalıdır. Ayrıca eşitlik durumu nedeniyle payı sıfır yapan x=2x=2 değeri de çözüm kümesine dahildir. Buradan birinci eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,5)(-\infty, 5) olarak bulunur.
Eşitsizlik sistemindeki birinci ifadenin çözüm aralığını bulmak.
2
İkinci eşitsizliği analiz edelim: x−1≥0x - 1 \geq 0.
x≥1x \geq 1 elde edilir, yani çözüm kümesi [1,∞)[1, \infty) aralığıdır.
Eşitsizlik sistemindeki ikinci ifadenin çözüm aralığını bulmak.
3
Her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alalım.
(−∞,5)∩[1,∞)=[1,5)(-\infty, 5) \cap [1, \infty) = [1, 5) aralığı elde edilir. Bu aralıkta x=2x=2 çift katlı kökü de yer aldığı için kümeden herhangi bir eleman çıkarmaya gerek yoktur.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesini belirlemek.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde, her bir eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunarak ortak kesişim kümesi elde edilir.
Soru 49Soru →
−x2+8x−16≥0-x^2 + 8x - 16 \geq 0

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{4\}

Cevap

Çözüm kümesi yalnızca 4 elemanını içeren tek elemanlı kümedir.
Verilen −x2+8x−16≥0-x^2 + 8x - 16 \geq 0 eşitsizliğinde sol taraf eksi parantezine alındığında −(x2−8x+16)≥0-(x^2 - 8x + 16) \geq 0 ve buradan da −(x−4)2≥0-(x-4)^2 \geq 0 elde edilir. Her iki taraf −1-1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve (x−4)2≤0(x-4)^2 \leq 0 olur. Reel sayılarda bir ifadenin karesi daima sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğundan, bu eşitsizliğin sağlanabilmesi için tek durum ifadenin sıfıra eşit olmasıdır. Buradan x−4=0x - 4 = 0 ve x=4x = 4 bulunur. Dolayısıyla çözüm kümesi yalnızca tek bir elemandan oluşur ve bu eleman 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki ifadeyi eksi parantezine alarak tam kare ifadeye dönüştürün.
−(x2−8x+16)≥0⇒−(x−4)2≥0-(x^2 - 8x + 16) \geq 0 \Rightarrow -(x-4)^2 \geq 0 ifadesi elde edilir.
İfadenin kökünü ve işaret yapısını daha kolay analiz edebilmek için tam kare biçimine getirmek gerekir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarparak eşitsizliği yön değiştirin.
(x−4)2≤0(x-4)^2 \leq 0 eşitsizliği elde edilir.
Karesel bir ifadenin i��aretini incelemeyi kolaylaştırmak.
3
Reel sayılarda bir ifadenin karesinin işaretini göz önüne alarak çözüm kümesini belirleyin.
Bir gerçel sayının karesi daima sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Bu yüzden (x−4)2≤0(x-4)^2 \leq 0 durumunun sağlanabilmesi için tek olasılık (x−4)2=0(x-4)^2 = 0 olmasıdır. Buradan x=4x = 4 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan gerçel sayı değerlerini belirlemek.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde çift katlı köklerin işaret tablosundaki davranışı ve başkatsayı işaretinin tespiti.
Soru 50Soru →
(x2−6x+8)(x−5)2x2−9x+20≤0\frac{(x^2 - 6x + 8)(x - 5)^2}{x^2 - 9x + 20} \leq 0
x2−2x−15x+1≤0\frac{x^2 - 2x - 15}{x + 1} \leq 0

eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplam�� kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 5'tir.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi [2,4)∪(4,5)[2, 4) \cup (4, 5) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3 olup, toplamları 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizli��in pay ve paydasındaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
Pay: (x−2)(x−4)(x−5)2(x-2)(x-4)(x-5)^2, Payda: (x−4)(x−5)(x-4)(x-5) olur. Eşitsizlik (x−2)(x−4)(x−5)2(x−4)(x−5)≤0\frac{(x-2)(x-4)(x-5)^2}{(x-4)(x-5)} \leq 0 halini alır. Tanımlılık için payda sıfırdan farklı olmalıdır, yani x≠4x \neq 4 ve x≠5x \neq 5 olmalıdır.
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi bulunurken öncelikle ifadelerin en sade hali elde edilmeli ve tanımsızlık oluşturan noktalar belirlenmelidir.
2
Birinci eşitsizliği sadeleştirerek çözüm kümesini bulalım.
x≠4x \neq 4 ve x≠5x \neq 5 koşulu altında, ortak olan (x−4)(x-4) ve bir adet (x−5)(x-5) çarpanları sadeleşir. Eşitsizlik (x−2)(x−5)≤0(x-2)(x-5) \leq 0 biçimine dönüşür. Buradan çözüm aralığı [2,5][2, 5] olarak bulunur. 44 ve 55 değerleri hariç tutulduğunda birinci eşitsizliğin çözüm kümesi C\c1=[2,5)∖{4}Ç_1 = [2, 5) \setminus \{4\} olur.
Sadeleşen çarpanlar ifadenin işaretini değiştirmese de tanımsızlık sınırlarını belirler.
3
İkinci eşitsizliği çarpanlarına ayıralım ve işaret tablosunu oluşturalım.
Pay çarpanlarına ayrıldığında (x−5)(x+3)(x-5)(x+3) elde edilir. Eşitsizlik (x−5)(x+3)x+1≤0\frac{(x-5)(x+3)}{x+1} \leq 0 olur. Kökler x=−3x = -3, x=−1x = -1 (payda kökü, tanımsız) ve x=5x = 5 şeklindedir. İşaret tablosu yapıldığında negatif olan aralıklar C\c2=(−∞,−3]∪(−1,5]Ç_2 = (-\infty, -3] \cup (-1, 5] olarak bulunur.
Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde pay ve paydanın kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alalım.
C\c1∩C\c2=[2,5)∖{4}Ç_1 \cap Ç_2 = [2, 5) \setminus \{4\} kesişim kümesi elde edilir.
Eşitsizlik sistemlerinde her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan ortak bölge çözüm kümesini oluşturur.
5
Kesişim kümesindeki tam sayıları bulup toplayalım.
[2,4)∪(4,5)[2, 4) \cup (4, 5) aralığındaki tam sayılar yalnızca 22 ve 33'tür. Toplamları 2+3=52 + 3 = 5 olur.
44 değeri paydayı sıfır yaptığı için, 55 değeri ise birinci eşitsizlikte açık uçlu sınır olduğu için çözüm kümesine dahil edilmez.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerinin bulunması ve rasyonel ifadelerde sadeleştirme yaparken payda köklerinin hariç tutulması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 51Soru →
x2−6x+9≤0x^2 - 6x + 9 \le 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme değil, tek elemanlı olan {3}\{3\} kümesidir. Bu nedenle önerme yanlıştır.
Verilen önerme yanlıştır çünkü x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 ifadesi her xx gerçel sayısı için pozitif veya sıfıra eşittir. Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (≤\le) sembolü kullanıldığı için ifadenin sıfır olduğu x=3x = 3 değeri eşitsizliği sağlar. Bu sebeple çözüm kümesi {3}\{3\} kümesidir ve boş küme değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.
x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 tam kare ifadesi elde edilir.
İfadenin köklerini ve işaret durumunu incelemek için çarpanlarına ayırma işlemi yapılır.
2
Eşitsizliği sağlayan kökleri belirleyin.
(x−3)2=0⇒x=3(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 (çift katlı kök).
Tam kare ifadelerin kökleri çift katlı köktür ve işaret tablosunda işaret değişimi yaratmaz.
3
Kök değerinin eşitsizlik şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=3x = 3 için (3−3)2=0≤0(3 - 3)^2 = 0 \le 0 sağlandığından, x=3x = 3 değeri çözüm kümesine dahildir.
Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (≤\le) sembolü kullanıldığı için sıfır yapan değer çözüm kümesine eklenmelidir.
4
Çözüm kümesini tanımlayın ve önermenin doğruluğunu belirleyin.
Çözüm kümesi {3}\{3\} olarak bulunur. Küme boş olmadığından önerme yanlıştır.
Önerme çözüm kümesinin boş küme olduğunu iddia etmektedir, bu iddia gerçeği yansıtmamaktadır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde tam kare ifadeler, çift katlı kökler ve eşitlik durumunun çözüm kümesine etkisi.
Soru 52Soru →
x2−3xy+2y2+x−y=0x2−y2−x+y=4\begin{aligned} x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y &= 0 \\ x^2 - y^2 - x + y &= 4 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı 3'tür.
Sistemin ilk denkleminden (x−y)(x−2y+1)=0(x-y)(x-2y+1)=0 çarpanları elde edilir. x=yx=y eşitliği ikinci denklemde çelişkiye sebep olduğundan çözüm üretmez. x=2y−1x=2y-1 eşitliği ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen 3y2−5y−2=03y^2-5y-2=0 denkleminin kökleri y=2y=2 ve y=−1/3y=-1/3 olarak bulunur. Bu değerlere karşılık gelen xx değerleriyle birlikte çözüm ikilileri (3,2)(3,2) ve (−5/3,−1/3)(-5/3, -1/3) olur. Bu ikililer için x+yx+y toplamları sırasıyla 55 ve −2-2 olup, bu değerlerin toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x2−3xy+2y2+x−y=0  ⟹  (x−y)(x−2y)+(x−y)=0  ⟹  (x−y)(x−2y+1)=0x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y = 0 \implies (x-y)(x-2y) + (x-y) = 0 \implies (x-y)(x-2y+1) = 0 elde edilir.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini daha basit doğrusal ilişkilere indirgemek için.
2
İlk çarpanı sıfır yapan x=yx=y durumunu ikinci denklemde inceleyin.
x2−y2−x+y=4  ⟹  y2−y2−y+y=4  ⟹  0=4x^2 - y^2 - x + y = 4 \implies y^2 - y^2 - y + y = 4 \implies 0 = 4 çelişkisi elde edilir.
x=yx=y durumundan herhangi bir gerçek sayı çözümü gelip gelmediğini kontrol etmek için.
3
İkinci çarpanı sıfır yapan x−2y+1=0  ⟹  x=2y−1x-2y+1=0 \implies x=2y-1 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
İkinci denklem (x−y)(x+y)−(x−y)=4  ⟹  (x−y)(x+y−1)=4(x-y)(x+y) - (x-y) = 4 \implies (x-y)(x+y-1) = 4 olarak yazılabilir. Burada x=2y−1x=2y-1 yazılırsa:
(y−1)(3y−2)=4  ⟹  3y2−5y−2=0  ⟹  (3y+1)(y−2)=0(y-1)(3y-2) = 4 \implies 3y^2 - 5y - 2 = 0 \implies (3y+1)(y-2) = 0 elde edilir.
Buradan y=2y = 2 veya y=−13y = -\frac{1}{3} bulunur.
Tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklem elde edip yy koordinatlarını çözmek için.
4
Bulunan yy değerlerine karşılık gelen xx değerlerini ve x+yx+y toplamlarını hesaplayıp toplayın.
Eğer y=2y=2 ise x=2(2)−1=3x=2(2)-1 = 3 olur. Çözüm ikilisi (3,2)(3, 2) ve bu durumda x+y=5x+y = 5'tir.
Eğer y=−13y=-\frac{1}{3} ise x=2(−13)−1=−53x=2\left(-\frac{1}{3}\right)-1 = -\frac{5}{3} olur. Çözüm ikilisi (−53,−13)\left(-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right) ve bu durumda x+y=−2x+y = -2'dir.
Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı: 5+(−2)=35 + (-2) = 3 bulunur.
Sistemi sağlayan tüm çözümler üzerinden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözümü
Soru 53Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

(∣x−2∣−3)⋅(x2−9)2(x2−2x−8)⋅(25−x2)≥0 \frac{(|x - 2| - 3) \cdot (x^2 - 9)^2}{(x^2 - 2x - 8) \cdot (25 - x^2)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı -2'dir.
İşaret tablosu doğru oluşturulup payda kökleri dışlandığında, eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi {-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3} olarak elde edilir. Bu sayıların toplamı -2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Payın köklerini ve bu köklerin katlarını belirleme.
∣x−2∣−3=0  ⟹  x=5|x - 2| - 3 = 0 \implies x = 5 (1. kat) ve x=−1x = -1 (1. kat). (x2−9)2=0  ⟹  x=3(x^2 - 9)^2 = 0 \implies x = 3 (2. kat, çift katlı) ve x=−3x = -3 (2. kat, çift katlı).
Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulup işaret tablosuna yerleştirmek gerekir.
2
Paydanın köklerini belirleme ve tanımsızlık koşullarını yazma.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4 (payda kökü, 1. kat) ve x=−2x = -2 (payda kökü, 1. kat). 25−x2=0  ⟹  (5−x)(5+x)=0  ⟹  x=525 - x^2 = 0 \implies (5 - x)(5 + x) = 0 \implies x = 5 (payda kökü, 1. kat) ve x=−5x = -5 (payda kökü, 1. kat). Payda kökleri (x≠4,−2,5,−5x \neq 4, -2, 5, -5) çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.
3
Köklerin net katlarını analiz etme.
x=5x = 5 kökü hem payın hem paydanın köküdür. Her ikisinde de 1. kattan olduğu için ifadenin genelinde çift katlı kök gibi davranır (işaret değiştirmez), ancak paydada da bulunduğu için çözüm kümesine alınamaz (x≠5x \neq 5). Diğer köklerin net katları tektir.
Aynı kökten hem pay hem paydada bulunması durumunda katların toplamı alınarak işaret değişimi incelenir.
4
İşaret tablosunu oluşturma.
En sağ aralık olan x>5x > 5 için ifadenin işareti negatiftir (−-). İşaret tablosu: x∈(5,∞)  ⟹  −x \in (5, \infty) \implies -, x∈(4,5)  ⟹  −x \in (4, 5) \implies -, x∈(3,4)  ⟹  +x \in (3, 4) \implies +, x∈(−1,3)  ⟹  +x \in (-1, 3) \implies +, x∈(−2,−1)  ⟹  −x \in (-2, -1) \implies -, x∈(−3,−2)  ⟹  +x \in (-3, -2) \implies +, x∈(−5,−3)  ⟹  +x \in (-5, -3) \implies +, x∈(−∞,−5)  ⟹  −x \in (-\infty, -5) \implies -.
Baş katsayıların ve mutlak değerli terimlerin işaretleri incelenerek en sağ aralığın işareti belirlenir ve köklerden geçerken işaret değiştirilir.
5
Çözüm kümesini bulma ve tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama.
Eşitsizliğin ≥0\geq 0 olduğu çözüm kümesi: (−5,−2)∪[−1,4)(-5, -2) \cup [-1, 4) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar: −4,−3,−1,0,1,2,3-4, -3, -1, 0, 1, 2, 3'tür. Toplamları ise: (−4)+(−3)+(−1)+0+1+2+3=−2(-4) + (-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -2 olur.
Eşitsizliği sağlayan aralıklardaki tam sayılar toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin hariç tutulması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve ortak köklerin kat analizi.
Soru 54Soru →
(x−1)2⋅(x2−4)x2−x−2≤0 \frac{(x - 1)^2 \cdot (x^2 - 4)}{x^2 - x - 2} \le 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı -1'dir.
Verilen rasyonel eşitsizlikte pay ve payda çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde, x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1 koşulları altında (x−1)2(x+2)x+1≤0\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x + 1} \le 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2, x=−1x = -1 ve çift katlı kök olan x=1x = 1 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin negatif olduğu tek aralığın [−2,−1)[-2, -1) olduğu görülür. Ayrıca x=1x = 1 değeri ifadeyi sıfır yaptığı ve tanımlı olduğu için çözüm kümesine eklenir. Dolayısıyla çözüm kümesi [−2,−1)∪{1}[-2, -1) \cup \{1\} olur. Bu aralıktaki tam sayılar yalnızca −2-2 ve 11 değerleridir, toplamları ise −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki polinom ifadelerini çarpanlarına ayırın.
Pay: (x−1)2(x−2)(x+2)(x - 1)^2(x - 2)(x + 2), Payda: (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1)
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve sadeleşen terimleri belirlemek amacıyla çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
2
Tanım kümesini belirlemek için paydayı sıfır yapan değerleri saptayın.
x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1 olmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tan��msız kılacağı için çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Ortak terimleri sadeleştirerek kalan ifadenin köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını analiz edin.
Sadeleşmiş ifade: (x−1)2(x+2)x+1≤0\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x + 1} \le 0. Kökler: x=−2x = -2 (tek katlı), x=−1x = -1 (payda kökü, tek katlı), x=1x = 1 (çift katlı).
Sadeleşen (x−2)(x - 2) çarpanının kökü olan x=2x = 2 değeri eşitsizliği bozmaz fakat tanım kümesinden çıkarılmalıdır. Kalan köklerin katları işaret tablosundaki geçişleri belirler.
4
İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliğin sağlandığı aralıkları bulun.
Çözüm kümesi: [−2,−1)∪{1}[-2, -1) \cup \{1\}
Eşitsizliği sıfırdan küçük veya eşit yapan xx değerlerini tespit etmek için işaret incelemesi yapılır. x=1x = 1 çift katlı kökü ifadeyi sıfır yaptığı için kümeye dahil edilir.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların değerlerini belirleyin ve toplayın.
Ç��züm kümesindeki tam sayılar −2-2 ve 11 olup, toplamları (−2)+1=−1(-2) + 1 = -1 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamına ulaşmak için küme içindeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde sadeleştirme yapıldığında payda köklerinin tanım kümesi dışı bırakılması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve eşitlik durumunda payın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmesi.
Soru 55Soru →

Her xx gerçel sayısı için (m−2)x2−2(m−2)x+3>0(m-2)x^2 - 2(m-2)x + 3 > 0 eşitsizliği sağlanırken, her xx gerçel sayısı için (m−6)x2−2(m−6)x+m−8<0(m-6)x^2 - 2(m-6)x + m - 8 < 0 eşitsizliğinin de sağlanması için mm'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 9'dur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur. Koşulları sağlayan mm tam sayılarının toplamı gerçekten 9'dur.
Verilen önermedeki her iki eşitsizlik de başkatsayıların sıfır olma durumları dahil edilerek çözüldüğünde elde edilen m∈[2,5)m \in [2, 5) aralığındaki tam sayıların (2,3,42, 3, 4) toplamı gerçekten 9 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin daima sağlanma durumunu inceleme
m=2m=2 için 3>03>0 (doğru). m≠2m \neq 2 için m−2>0  ⟹  m>2m-2>0 \implies m>2 ve Δ1=4(m−2)2−12(m−2)<0  ⟹  4(m−2)(m−5)<0  ⟹  2<m<5\Delta_1 = 4(m-2)^2 - 12(m-2) < 0 \implies 4(m-2)(m-5) < 0 \implies 2 < m < 5. Birleşimden m∈[2,5)m \in [2, 5) elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx için pozitif olması, başkatsayısının pozitif ve diskriminantının negatif olmasına bağlıdır. Ayrıca başkatsayının sıfır olması durumu doğrusal terimleri yok ederek sabit bir pozitif sayı bırakıyorsa bu durum da çözüme dahil edilmelidir.
2
İkinci eşitsizliğin daima sağlanma durumunu inceleme
m=6m=6 için −2<0-2<0 (doğru). m≠6m \neq 6 için m−6<0  ⟹  m<6m-6<0 \implies m<6 ve Δ2=4(m−6)2−4(m−6)(m−8)<0  ⟹  8(m−6)<0  ⟹  m<6\Delta_2 = 4(m-6)^2 - 4(m-6)(m-8) < 0 \implies 8(m-6) < 0 \implies m < 6. Birleşimden m∈(−∞,6]m \in (-\infty, 6] elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin her xx için negatif olması, başkatsayısının negatif ve diskriminantının negatif olmasına bağlıdır. Başkatsayının sıfır olması durumu da ayrıca kontrol edilmelidir.
3
İki durumun kesişimini alarak ortak mm değerlerini belirleme
m∈[2,5)∩(−∞,6]  ⟹  m∈[2,5)m \in [2, 5) \cap (-\infty, 6] \implies m \in [2, 5) aralığı elde edilir.
Her iki eşitsizliğin de aynı anda her xx gerçel sayısı için sağlanması istendiğinden elde edilen iki aralığın kesişimi alınmalıdır.
4
Aralıktaki tam sayıların toplamını bulma
m∈{2,3,4}m \in \{2, 3, 4\} olup toplamları 2+3+4=92+3+4=9 olarak bulunur.
Belirlenen aralıktaki tam sayı değerleri toplanarak önermenin doğruluğu test edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima sağlanması (işaretinin sabit kalması) durumunda başkatsayı ve diskriminant incelemesi ile başkatsayının sıfır olma durumunun kontrolü.
Soru 56Soru →
x2−4x+4x−5<0\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 5} < 0

eşitsizliğini sağlayan farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı 3'tür.
İfadenin pay kısmı (x−2)2(x-2)^2 şeklinde yazıldığında x=2x = 2 çift katlı kök olur. Paydanın kökü ise x=5x = 5'tir. İşaret tablosu yapıldığında, en sağdan pozitif işaretle başlanır, x=5x = 5 kökünde işaret negatif olur ve x=2x = 2 çift katlı kökünde işaret değişmeden negatif kalır. Eşitsizlik sıfırdan kesin küçük (<0< 0) arandığı için sıfır yapan x=2x = 2 değeri çözüm kümesinden atılır. Dolayısıyla çözüm kümesi (−∞,5)∖{2}(-\infty, 5) \setminus \{2\} olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 1, 3 ve 4 olmak üzere toplamda 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki pay kısmını çarpanlarına ayırın.
x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 elde edilir.
Eşitsizliğin köklerini ve bu köklerin katlılık durumunu belirlemek için ifadeleri çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
Pay ve paydanın köklerini bulun.
Payın kökü: (x−2)2=0⇒x=2(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 (çift katlı kök). Paydanın kökü: x−5=0⇒x=5x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 (tek katlı kök).
İşaret tablosu oluşturabilmek için eşitsizliği sıfır veya tanımsız yapan tüm kritik noktaları bulmalıyız.
3
İşaret tablosunu oluşturun ve eşitsizliğin işaretini inceleyin.
Baş katsayılar pozitif olduğu için tablonun en sağından ++ ile başlanır. x=5x = 5 tek katlı kökünden geçerken işaret −- olur. x=2x = 2 çift katlı kökünden geçerken işaret de��işmez ve −- olarak kalır.
Çift katlı köklerde işaretin değişmediği kuralı uygulanarak ifadenin hangi aralıklarda negatif olduğu belirlenir.
4
Çözüm kümesini yazın ve pozitif tam sayıları belirleyin.
Eşitsizlik <0< 0 (kesin küçük) olduğu için sıfıra eşit olan x=2x = 2 değeri ve paydayı sıfır yapan x=5x = 5 değeri çözüm kümesine alınmaz. Çözüm kümesi: (−∞,5)∖{2}(-\infty, 5) \setminus \{2\} olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar: 1,3,41, 3, 4 olmak üzere 3 tanedir.
Bulunan işaret aralığından, eşitsizlik kesin küçüktür şeklinde verildiği için köklerin ve tanımsızlık noktalarının çıkarılması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde çift katlı köklerin ve payda köklerinin işaret tablosundaki davranışları ve çözüm kümesine dahil edilme durumları.
Soru 57Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x+3)⋅(x−2)2(x2−9)⋅(x−1)≥0 \frac{(x + 3) \cdot (x - 2)^2}{(x^2 - 9) \cdot (x - 1)} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı 11'dir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi incelendiğinde, x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktalarının paydayı sıfır yaptığı için hariç tutulduğu görülür. Çift katlı kök olan x=2x = 2 noktası ise ifadeyi sıfıra eşitlediği için çözüm kümesine dahildir. Bu doğrultuda çözüm kümesindeki en küçük pozitif tam sayılar sırasıyla 22, 44 ve 55 değerleridir. Bu sayıların toplamı ise 1111 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadelerin köklerini bulalım ve paydayı sıfır yapan değerleri belirleyelim.
Payın kökleri: x=−3x = -3 ve x=2x = 2 (çift katlı kök).
Paydanın kökleri: x=−3x = -3, x=3x = 3 ve x=1x = 1.
Eşitsizlik tablosu yapabilmek için sınır değerleri ve tanımsızlık noktalarını belirlememiz gerekir.
2
Köklerin katlarını ve sistemdeki durumlarını analiz edelim.
x=−3x = -3 kökü hem pay hem de paydada birer kez bulunduğu için çift katlı kök gibi davranır fakat paydayı sıfır yaptığı için tanımsızlık noktasıdır.
x=2x = 2 kökü pay kısmında (x−2)2(x-2)^2 ifadesinden geldiği için çift katlı köktür.
x=1x = 1 ve x=3x = 3 kökleri tek katlı payda kökleridir.
Çift katlı köklerde işaretin değişmeyeceğini ve payda köklerinin çöz��m kümesine dahil edilemeyeceğini belirlemek için bu analiz gereklidir.
3
İşaret tablosunu oluşturup bölgelerin işaretlerini inceleyelim.
En yüksek dereceli terimlerin işaretleri çarpımı pozitif olduğu için tabloya en sağdan (+) ile başlanır:
- (3,∞)(3, \infty) aralığında +
- (2,3)(2, 3) aralığında -
- (1,2)(1, 2) aralığında -
- (−3,1)(-3, 1) aralığında +
- (−∞,−3)(-\infty, -3) aralığında +
Eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları bulmak amacıyla işaret tablosu oluşturulur.
4
Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini yazalım.
Çözüm Kümesi: (−∞,−3)∪(−3,1)∪{2}∪(3,∞)(-\infty, -3) \cup (-3, 1) \cup \{2\} \cup (3, \infty)
Eşitsizlikte ≥0\geq 0 koşulu arandığından pozitif aralıklar ve payı sıfır yapan dahil edilebilir kökler birleştirilir.
5
Çözüm kümesindeki en küçük üç farklı pozitif tam sayıyı bulup toplayalım.
Pozitif tam sayılar 1,2,3,4,5,…1, 2, 3, 4, 5, \dots şeklindedir.
- 11 ve 33 değerleri paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesinde yer almaz.
- 22 değeri çözüm kümesindedir.
- 44 ve 55 değerleri (3,∞)(3, \infty) aralığından dolayı çözüm kümesindedir.
En küçük üç farklı pozitif tam sayı 2,42, 4 ve 55 olup toplamları 2+4+5=112 + 4 + 5 = 11 olur.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak için en küçük pozitif tam sayı çözümleri toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 58Soru →
x2−2x−8≤0x^2 - 2x - 8 \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı 77'dir.
İfade çarpanlarına ayrıldığında (x−4)(x+2)≤0(x-4)(x+2) \leq 0 elde edilir. Kökler −2-2 ve 44'tür. Başkatsayı pozitif olduğundan işaret tablosu en sağdan ++ ile başlar ve köklerde işaret değiştirir. İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölge [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği oluşturan ikinci dereceden ifadenin köklerini bulun.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x = 4 ve x=−2x = -2
Eşitsizliğin sınır noktalarını belirlemek ve işaret tablosunu oluşturabilmek için köklerin bulunması gerekir.
2
İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
Çözüm kümesi [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır.
İfadenin başkatsayısı (11) pozitif olduğundan en sağdaki aralık ++ işareti ile başlar. Her kökte işaret değiştirilir (++, −-, ++). Sıfırdan küçük veya eşit (≤0\leq 0) koşulunu sağlayan aralık [−2,4][-2, 4] kapalı aral��ğıdır.
3
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.
−2+(−1)+0+1+2+3+4=7-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7
İstenen tam sayıların toplamını bulmak için aralıktaki tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin işaret tablosu yardımıyla çözülmesi
Soru 59Soru →

aa bir tam sayı olmak üzere,

x2−(a2−3a)x−3a3≤0x^2 - (a^2 - 3a)x - 3a^3 \le 0

eşitsizliğini sağlayan 1919 farklı xx tam sayısı olduğuna göre, aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı aa tam sayı değerlerinin toplamı −3-3'tür.
Verilen ikinci dereceden eşitsizlik (x−a2)(x+3a)≤0(x - a^2)(x + 3a) \le 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Kökler a2a^2 ve −3a-3a'dır. a2>−3aa^2 > -3a durumu için çözüm kümesi [−3a,a2][-3a, a^2] kapalı aralığı olur ve bu aralıktaki tam sayı sayısı a2+3a+1=19  ⟹  a2+3a−18=0a^2 + 3a + 1 = 19 \implies a^2 + 3a - 18 = 0 denklemiyle belirlenir. Bu denklemin kökleri a=3a = 3 ve a=−6a = -6'dır. Diğer aralık durumlarından 19 elemanlı bir çözüm gelmediğinden, aa'nın alabileceği değerler toplamı −3-3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
(x−a2)(x+3a)≤0(x - a^2)(x + 3a) \le 0
Çarpımları −3a3-3a^3 ve toplamları −(a2−3a)-(a^2 - 3a) olan iki sayı a2a^2 ve −3a-3a'dır.
2
Eşitsizliğin köklerini bulup büyüklük karşılaştırması yaparız.
Kökler x1=a2x_1 = a^2 ve x2=−3ax_2 = -3a'dır. a2−(−3a)=a(a+3)a^2 - (-3a) = a(a+3) ifadesinin işaretine göre iki ana durum incelenir.
Çözüm aralığının sınırlarını doğru belirlemek için hangi kökün daha küçük olduğunu tespit etmemiz gerekir.
3
a>0a > 0 veya a<−3a < -3 durumunu inceleriz.
a2>−3aa^2 > -3a olur. Çözüm kümesi [−3a,a2][-3a, a^2] aralığıdır. Aralıktaki tam sayı adedi a2−(−3a)+1=19  ⟹  a2+3a−18=0  ⟹  a=3a^2 - (-3a) + 1 = 19 \implies a^2 + 3a - 18 = 0 \implies a = 3 veya a=−6a = -6 bulunur. Her iki değer de koşulu sağlar.
Sınırlar tam sayı olduğundan kapalı aralıktaki tam sayı sayısı formülü uygulanarak aa değerleri belirlenir.
4
−3<a<0-3 < a < 0 durumunu inceleriz.
a2<−3aa^2 < -3a olur. Bu aralıktaki a=−1a = -1 ve a=−2a = -2 tam sayıları için çözüm aralığı sadece 3 tam sayı içerir, dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez.
Tüm olası tam sayı parametre değerlerinin kontrol edilmesi gerekir.
5
a=0a = 0 ve a=−3a = -3 durumlarını inceleriz.
Çift katlı kök oluşur ve çözüm kümesi tek elemanlıdır (sırasıyla {0}\{0\} ve {9}\{9\}), dolayısıyla 19 tam sayı çözümünü vermez.
Köklerin eşit olduğu sınır durumlarındaki çözüm kümesi boyutunu analiz etmek gerekir.
6
Bulunan geçerli aa değerlerini toplarız.
3+(−6)=−33 + (-6) = -3
Soruda aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden parametrik eşitsizliklerin çarpanlara ayrılması, köklerin büyüklük ilişkisine göre işaret tablosu oluşturulması ve kapalı aralıktaki tam sayı adedinin hesaplanması.
Soru 60Soru →
(x2−4x)⋅(x−5)2(x−2)⋅(5−x)≥0 \frac{(x^2 - 4x) \cdot (x - 5)^2}{(x - 2) \cdot (5 - x)} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Bu eşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı 5'tir.
Doğru çözüm, ifadenin çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilmesi ve payda köklerinin (x = 2 ve x = 5) hariç tutulmasıyla [0,2)∪[4,5)[0, 2) \cup [4, 5) çözüm kümesinin elde edilmesidir. Bu aralıktaki tam sayılar olan 0, 1 ve 4 toplandığında 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımsızlık yapan noktaları ve çarpanları belirleme
Payda kökleri x=2x = 2 ve x=5x = 5 olduğundan x≠2x \neq 2 ve x≠5x \neq 5 olmalıdır. Pay kısmı ise x(x−4)(x−5)2x(x - 4)(x - 5)^2 şeklindedir.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlığa yol açar.
2
İfadeleri sadeleştirerek eşitsizliği düzenleme
(x−5)25−x=−(x−5)\frac{(x - 5)^2}{5 - x} = -(x - 5) sadeleştirmesiyle yeni eşitsizlik x(x−4)(5−x)x−2≥0\frac{x(x - 4)(5 - x)}{x - 2} \geq 0 olur.
Ortak çarpanları sadeleştirerek eşitsizlik tablosunu daha kolay incelemek için.
3
Kökleri bulma ve işaret tablosunu oluşturma
Kökler x=0x = 0, x=2x = 2, x=4x = 4, x=5x = 5 olup işaret tablosunda en sağdan −- ile başlanarak sırasıyla −,+,−,+,−-, +, -, +, - işaretleri yerleştirilir. Çözüm kümesi [0,2)∪[4,5)[0, 2) \cup [4, 5) olarak belirlenir.
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret değişimi kök noktalarında gerçekleşir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplama
Tam sayılar: 00, 11 ve 44. Toplam: 0+1+4=50 + 1 + 4 = 5 bulunur.
Soruda istenen sağlayan tüm tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
ÖncekiSayfa 3 / 6Sonraki