Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 41Soru →

Grafikte [0,6][0, 6] kapalı aralığında tanımlı f(x)=x+2f(x) = x + 2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, [0,6][0, 6] aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann üst toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36
Doğru cevap 36'dır. f(x)=x+2f(x) = x + 2 artan bir fonksiyondur. [0,6][0, 6] aralığı 3 eş alt aralığa bölündüğünde alt aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 olur. Artan fonksiyonlar için Riemann üst toplamı hesaplanırken her aralığın sağ uç noktasındaki fonksiyon değerleri yükseklik olarak alınır. Bu değerler f(2)=4f(2) = 4, f(4)=6f(4) = 6 ve f(6)=8f(6) = 8 olup Riemann üst toplamı 2⋅(4+6+8)=362 \cdot (4 + 6 + 8) = 36 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüntünün alt aralık genişliğini bulunuz.
Δx=6−03=2\Delta x = \frac{6 - 0}{3} = 2
[0,6][0, 6] aralığı 3 eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n} formülü ile hesaplanır.
2
Alt aralıkları ve bu aralıkların sağ uç noktalarını belirleyiniz.
Alt aralıklar [0,2][0, 2], [2,4][2, 4] ve [4,6][4, 6] olup, sağ uç noktalar sırasıyla 22, 44 ve 66 elemanlarıdır.
Artan bir fonksiyonda Riemann üst toplamı hesaplanırken her alt aralığın sağ uç noktasındaki fonksiyon değeri kullanılır.
3
Riemann üst toplamını hesaplayınız.
Üst Toplam =Δx⋅[f(2)+f(4)+f(6)]=2⋅(4+6+8)=2⋅18=36= \Delta x \cdot [f(2) + f(4) + f(6)] = 2 \cdot (4 + 6 + 8) = 2 \cdot 18 = 36
Bölüntünün her bir alt aralık genişliği ile o aralıktaki sağ uç noktanın fonksiyon değerinin çarpımlarının toplamı Riemann üst toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann üst toplamı, tanımlı olduğu aralıkta sürekli ve artan bir fonksiyon için, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliklerinin çarpımlarının toplamıdır.
Soru 42Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonunun [0,1][0, 1] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bir bölüntü oluşturulmaktadır. Bu bölüntüye bağlı Riemann alt toplamı AnA_n, Riemann üst toplamı U¨nÜ_n ve Riemann orta toplamı OnO_n olarak belirleniyor. Buna göre, her n∈N+n \in \mathbb{N}^+ için On<∫01ex dx<An+U¨n2O_n < \int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2} eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu yönündeki iddia doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur.
Doğru olan seçenektir. f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonu dışbükey olduğu için, grafiğin teğetlerinin altında kalmasından ötürü Riemann orta toplamı integralden küçük, kirişlerinin üzerinde kalmasından ötürü ise alt-üst Riemann toplamlarının ortalaması integralden büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonunun türevlerini alarak bükülme yönünü (konvekslik durumunu) belirleyin.
f′(x)=exf'(x) = e^x ve f′′(x)=exf''(x) = e^x bulunur. Her x∈[0,1]x \in [0, 1] için f′′(x)>0f''(x) > 0 olduğundan, fonksiyon [0,1][0, 1] aralığında kesinlikle dışbükeydir.
Fonksiyonun grafik bükülme yönü, Riemann toplamlarının belirli integral değeriyle olan büyüklük ilişkisini geometrik olarak belirler.
2
Dışbükey bir fonksiyon için Riemann orta toplamı (OnO_n) ile integral alanı arasındaki ilişkiyi analiz edin.
Dışbükey bir fonksiyonda, herhangi bir noktadan çizilen teğet doğrusu daima fonksiyon grafiğinin altında kalır. Her alt aralığın orta noktası mim_i için f(x)>f(mi)+f′(mi)(x−mi)f(x) > f(m_i) + f'(m_i)(x - m_i) eşitsizliği (orta nokta hariç) ge��erlidir. Bu eşitsizlik aralık boyunca entegre edildiğinde, orta toplam dikdörtgeninin alanının integralden daha küçük olduğu görülür. Tüm aralıklar toplandığında On<∫01ex dxO_n < \int_0^1 e^x \, dx elde edilir.
Teğetlerin grafiğin altında kalması özelliğinin Riemann orta toplamı üzerindeki etkisini matematiksel olarak göstermek amacıyla yapılır.
3
Riemann alt (AnA_n) ve üst (U¨nÜ_n) toplamlarının aritmetik ortalamasının geometrik anlamını inceleyin ve integral ile karşılaştırın.
Eşit alt aralıklı bir bölüntüde, alt ve üst Riemann toplamlarının aritmetik ortalaması Yamuk Yöntemi alanına karşılık gelir: An+U¨n2=∑i=1nf(xi−1)+f(xi)2Δx\frac{A_n + Ü_n}{2} = \sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x. Dışbükey fonksiyonlarda grafik üzerindeki iki noktayı birleştiren kirişler daima grafiğin üstünde yer alır. Dolayısıyla bu yamukların alanları toplamı integralden büyüktür: ∫01ex dx<An+U¨n2\int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2}.
Kirişlerin grafik üstünde kalması prensibini yamukların alan toplamıyla ilişkilendirip integralden büyük olduğunu göstermek için yapılır.
4
Bulunan iki eşitsizlik sonucunu birleştirerek öncülü değerlendirin.
Analiz edilen iki parçadan On<∫01ex dx<An+U¨n2O_n < \int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2} eşitsizliğinin her n∈N+n \in \mathbb{N}^+ için her zaman sağlandığı doğrulanmış olur.
Soruda sunulan genel iddianın kesin doğruluğunu kanıtlamak için adımlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Dışbükey (konveks) fonksiyonlarda Riemann toplamları, belirli integral ve yamuk alanı arasındaki geometrik ilişkiler.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 43Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫x⋅f′(x) dx=2x3−3x2+C\int x \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 - 3x^2 + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7'dir.
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında x⋅f′(x)=6x2−6xx \cdot f'(x) = 6x^2 - 6x elde edilir. Her iki taraf xx ile bölündüğünde f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=3x2−6x+C1f(x) = 3x^2 - 6x + C_1 bulunur. f(1)=4f(1) = 4 koşuluyla C1=7C_1 = 7 olarak elde edilir. Buradan f(2)=3(2)2−6(2)+7=7f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
x⋅f′(x)=6x2−6xx \cdot f'(x) = 6x^2 - 6x
Belirsiz integralin türevi, integralin içerisindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen eşitlikte her iki taraf xx ile bölünerek f′(x)f'(x) yalnız bırakılır.
f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6
f(x)f(x) fonksiyonuna ulaşmak için öncelikle türev fonksiyonunun kuralı bulunmalıdır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak genel f(x)f(x) kuralı yazılır.
f(x)=∫(6x−6) dx=3x2−6x+C1f(x) = \int (6x - 6) \, dx = 3x^2 - 6x + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulan��r ve integral sabiti eklenir.
4
f(1)=4f(1) = 4 başlangıç koşulu kullanılarak C1C_1 integral sabiti hesaplanır.
f(1)=3(1)2−6(1)+C1=4  ⟹  −3+C1=4  ⟹  C1=7f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + C_1 = 4 \implies -3 + C_1 = 4 \implies C_1 = 7
Fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri yardımıyla belirsiz integraldeki sabit terim netleştirilir.
5
Kuralı f(x)=3x2−6x+7f(x) = 3x^2 - 6x + 7 olarak bulunan fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak sonuç elde edilir.
f(2)=3(2)2−6(2)+7=12−12+7=7f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 12 - 12 + 7 = 7
Fonksiyonun kuralı tam olarak belirlendikten sonra istenen herhangi bir noktadaki değeri doğrudan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevi ve temel integral alma kuralları yardımıyla fonksiyon kurallarının bulunması.

Alternatif Yöntem

Elde edilen f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6 fonksiyonu için belirli integral yardımıyla da sonuca ulaşılabilir. ∫12f′(x) dx=f(2)−f(1)\int_{1}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(1) eşitliği yazılırsa, ∫12(6x−6) dx=[3x2−6x]12=(12−12)−(3−6)=3\int_{1}^{2} (6x - 6) \, dx = [3x^2 - 6x]_{1}^{2} = (12 - 12) - (3 - 6) = 3 olur. Buradan f(2)−f(1)=3  ⟹  f(2)−4=3  ⟹  f(2)=7f(2) - f(1) = 3 \implies f(2) - 4 = 3 \implies f(2) = 7 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 44Soru →
f:[1,3]→Rf: [1, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=3xf(x) = 3^x
fonksiyonu tanımlanıyor. [1,3][1, 3] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bu fonksiyonun Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı hesaplanıyor.
Hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 33 olduğuna göre, alt aralık sayısı olan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki farkın 3 olması için alt aralık sayısı (nn) 16 olmalıdır.
Tanımlanan f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonu artan olduğundan, her bir alt aralıktaki maksimum ve minimum değerler sırasıyla sağ ve sol uç noktalarda alınır. Riemann üst ve alt toplamları farkı, aralık uç değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımına eşittir: (2/n)∗(27−3)=48/n(2/n) * (27 - 3) = 48/n. Bu farkın 3 olması için n = 16 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık durumunu belirleme
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun türevi f′(x)=3xln⁡3>0f'(x) = 3^x \ln 3 > 0 olduğundan fonksiyon [1,3][1, 3] aralüğında sürekli ve kesinlikle artandır.
Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamının sol uç noktalarla, üst toplamının ise sağ uç noktalarla oluşturulacağını saptamak için.
2
Üst ve alt toplam farkını formüle etme
Genel olarak, [a,b][a, b] aralığında tanımlı artan bir ff fonksiyonunun nn eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann üst toplamı (U¨nÜ_n) ve alt toplamı (AnA_n) arasındaki fark: U¨n−An=b−an(f(b)−f(a))Ü_n - A_n = \frac{b-a}{n} (f(b) - f(a)) şeklinde ifade edilir. Burada a=1a = 1, b=3b = 3 ve Δx=2n\Delta x = \frac{2}{n}'dir. f(1)=3f(1) = 3 ve f(3)=27f(3) = 27 değerleri yerine yazıldığında: U¨n−An=2n(27−3)=48nÜ_n - A_n = \frac{2}{n} (27 - 3) = \frac{48}{n} elde edilir.
Teleskobik toplam sadeleştirmesiyle fark ifadesini nn cinsinden yazmak için.
3
Bölüntü sayısı olan n değerini hesaplama
Verilen fark değeri 3 olduğundan: 48n=3  ⟹  3n=48  ⟹  n=16\frac{48}{n} = 3 \implies 3n = 48 \implies n = 16 bulunur.
Riemann toplamları arasındaki farkın 3'e eşit olması koşulunu sağlayan alt aralık sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Artan bir fonksiyonun Riemann üst ve alt toplamları arasındaki farkın hesaplanması
Soru 45Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann alt toplamı 55 olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] aralığında 33 eş alt aralığa göre Riemann alt toplamı 55'tir.
Verilen fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve artan olduğundan, sol uç noktalardaki değerler kullanılarak yapılan Riemann alt toplamı hesabı 1⋅(0+1+4)=51 \cdot (0 + 1 + 4) = 5 sonucunu verir. Bu nedenle ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini (\Delta x) hesaplayın.
Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1
Kapalı aralık [a,b]=[0,3][a, b] = [0, 3] ve alt aralık sayısı n=3n = 3 olduğundan aralık genişliği Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n} formülüyle bulunur.
2
Alt aralıkları belirleyin ve her aralıktaki sol uç noktaları tespit edin.
Aral��klar: [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3]. Sol uç noktalar: x0=0x_0 = 0, x1=1x_1 = 1, x2=2x_2 = 2.
Fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında artan olduğundan, her alt aralıktaki minimum değer sol uç noktada ger��ekleşir.
3
Sol uç noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0, f(1)=12=1f(1) = 1^2 = 1, f(2)=22=4f(2) = 2^2 = 4.
Alt toplam hesabında kullanılacak dikdörtgen yüksekliklerini bulmak için fonksiyon değerleri hesaplanır.
4
Riemann alt toplamını hesaplayın.
Alt Toplam=Δx⋅[f(0)+f(1)+f(2)]=1⋅(0+1+4)=5\text{Alt Toplam} = \Delta x \cdot [f(0) + f(1) + f(2)] = 1 \cdot (0 + 1 + 4) = 5.
Alt aralık genişliği ile elde edilen yüksekliklerin çarpılarak toplanması Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann Alt Toplamı

Alternatif Yöntem

Grafik üzerinde [0,3][0, 3] aralığında xx-ekseni ile y=x2y = x^2 eğrisi arasında kalan bölge çizilebilir. Tabanı 1 birim olan ve yükseklikleri sırasıyla f(0)=0f(0)=0, f(1)=1f(1)=1 ve f(2)=4f(2)=4 olan üç adet dikdörtgenin alanları toplamı doğrudan 0+1+4=50 + 1 + 4 = 5 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 46Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları,
∫(f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x))dx=2x2+3x+C\int \left( f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \right) dx = 2x^2 + 3x + C
f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x
eşitliklerini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 değeridir.
Çarpımın türevi kuralı kullanılarak belirsiz integralden f(x)⋅g(x)=2x2+3x+C0f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + C_0 ifadesi elde edilir. x=1x = 1 için sınır koşulları (f(1)=3f(1) = 3 ve g(1)=2g(1) = 2) yerine yazıldığında integral sabiti C0=1C_0 = 1 olarak bulunur. Sonrasında x=2x = 2 için oluşturulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, fonksiyonların sürekliliği göz önüne alınarak g(2)=3g(2) = 3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen belirsiz integralin sol tarafındaki ifadeyi çarpımın türevi kuralı yardımıyla sadeleştirmek.
∫(f(x)⋅g(x))′ dx=2x2+3x+C\int (f(x) \cdot g(x))' \, dx = 2x^2 + 3x + C ifadesinden f(x)⋅g(x)=2x2+3x+C0f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + C_0 elde edilir (burada C0C_0 bir integral sabitidir).
İntegral altındaki f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) ifadesi, f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x) çarpımının türevidir.
2
f(1)=3f(1) = 3 bilgisini ve f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x eşitliğini kullanarak g(1)g(1) değerini bulmak.
x=1x = 1 için f(1)−g(1)=1  ⟹  3−g(1)=1  ⟹  g(1)=2f(1) - g(1) = 1 \implies 3 - g(1) = 1 \implies g(1) = 2 bulunur.
C0C_0 sabitini belirlemek amacıyla öncelikle g(1)g(1) değerinin bulunması gerekir.
3
f(1)=3f(1) = 3 ve g(1)=2g(1) = 2 değerlerini çarpım denkleminde yerine yazarak C0C_0 sabitini hesaplamak.
f(1)⋅g(1)=2(1)2+3(1)+C0  ⟹  3⋅2=5+C0  ⟹  C0=1f(1) \cdot g(1) = 2(1)^2 + 3(1) + C_0 \implies 3 \cdot 2 = 5 + C_0 \implies C_0 = 1 bulunur. Böylece her xx gerçel sayısı için f(x)⋅g(x)=2x2+3x+1f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + 1 fonksiyon ilişkisi kurulmuş olur.
İntegral sabitinin net değerini bulmak, fonksiyonun diğer noktalardaki değerlerini doğru hesaplayabilmek için şarttır.
4
x=2x = 2 için f(2)⋅g(2)f(2) \cdot g(2) değerini hesaplamak ve f(x)−g(x)=xf(x) - g(x) = x eşitliğini x=2x = 2 için yazmak.
f(2)⋅g(2)=2(2)2+3(2)+1=15f(2) \cdot g(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 15
f(2)−g(2)=2  ⟹  f(2)=g(2)+2f(2) - g(2) = 2 \implies f(2) = g(2) + 2 elde edilir.
g(2)g(2) değerine ulaşmak için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur.
5
f(2)f(2) değerini çarpım denkleminde yerine yazarak g(2)g(2) değerine bağlı ikinci dereceden denklemi çözmek.
(g(2)+2)⋅g(2)=15  ⟹  [g(2)]2+2g(2)−15=0  ⟹  (g(2)+5)(g(2)−3)=0(g(2) + 2) \cdot g(2) = 15 \implies [g(2)]^2 + 2g(2) - 15 = 0 \implies (g(2) + 5)(g(2) - 3) = 0
Buradan g(2)=3g(2) = 3 veya g(2)=−5g(2) = -5 bulunur.
g(2)g(2) değerinin alabileceği olası kökleri belirlemek.
6
ff ve gg fonksiyonlarının gerçel sayılarda türevlenebilir (dolayısıyla sürekli) olmasını kullanarak doğru kökü seçmek.
g(x)=−x+∣3x+2∣2=x+1g(x) = \frac{-x + |3x+2|}{2} = x + 1 (çünkü g(1)=2>0g(1) = 2 > 0 olup fonksiyonun işareti x>−2/3x > -2/3 için pozitiftir). Dolayısıyla g(2)=2+1=3g(2) = 2 + 1 = 3 olmalıdır.
Fonksiyonun süreklilik koşulu altında tek bir tanımlı dalı olabileceğinden negatif kök elenir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi, çarpımın türevi integrali ve sınır koşulları yardımıyla fonksiyon tayini.
Soru 47Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(2x+1)⋅f′(x) dx=2x3+x22−x+C\int (2x + 1) \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=32f(1) = \frac{3}{2} olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

f(2) = 5
Verilen integral eşitliğinin her iki yanının türevi alındığında (2x+1)f′(x)=(2x+1)(3x−1)(2x + 1) f'(x) = (2x+1)(3x-1) elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında f′(x)=3x−1f'(x) = 3x - 1 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=3x22−x+C1f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + C_1 bulunur. f(1)=32f(1) = \frac{3}{2} koşulu kullanılarak C1=1C_1 = 1 olarak elde edilir. Buradan fonksiyon f(x)=3x22−x+1f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1 bulunur ve f(2)=5f(2) = 5 değeri hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
(2x+1)⋅f′(x)=6x2+x−1(2x + 1) \cdot f'(x) = 6x^2 + x - 1
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
Türev alma sonucu oluşan 6x2+x−16x^2 + x - 1 ifadesi çarpanlarına ayrılır.
(2x+1)⋅f′(x)=(2x+1)(3x−1)(2x + 1) \cdot f'(x) = (2x + 1)(3x - 1)
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak çarpanları sadeleştirmek için sağ taraf çarpanlarına ayrılmalıdır.
3
Her iki taraf 2x+12x + 1 ile sadeleştirilerek f′(x)f'(x) fonksiyonu yalnız bırakılır.
f′(x)=3x−1f'(x) = 3x - 1
f(x) fonksiyonunu bulmak için öncelikle türev fonksiyonu olan f'(x) elde edilmelidir.
4
Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integrali alınarak f(x) fonksiyonu bulunur.
f(x)=∫(3x−1) dx=3x22−x+C1f(x) = \int (3x - 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} - x + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulanır ve integral sabiti eklenir.
5
Verilen f(1)=32f(1) = \frac{3}{2} başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti C1C_1 hesaplanır.
f(1)=3(1)22−1+C1=32  ⟹  C1=1f(1) = \frac{3(1)^2}{2} - 1 + C_1 = \frac{3}{2} \implies C_1 = 1
Fonksiyonun tam kuralını bulabilmek için belirsiz integralden gelen sabit sayı belirlenmelidir.
6
f(x)=3x22−x+1f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1 fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak istenen değer hesaplanır.
f(2)=3(2)22−2+1=6−2+1=5f(2) = \frac{3(2)^2}{2} - 2 + 1 = 6 - 2 + 1 = 5
Soruda bizden istenen f(2) değerini elde etmek için fonksiyonda x yerine 2 yazılır.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral ve integral alma kuralları kullanılarak kendisinin elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Soru 48Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=2xy = 2x doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Sın��rlı bölgenin alanı 43\frac{4}{3} birimkaredir.
Kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunan y=2xy = 2x doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan alan, üstte yer alan doğrudan alttaki parabolün çıkarılmasıyla oluşturulan ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx belirli integrali ile hesaplanır ve bu integralin değeri 43\frac{4}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru ile parabolün kesim noktalarını bulmak için fonksiyon denklemlerini birbirine eşitleriz.
x2=2x  ⟹  x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 denkleminden kesim noktalarının apsisleri x1=0x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği noktaları bulmamız gerekir.
2
Belirlenen sınırlar arasında üstte kalan eğriden altta kalan eğriyi çıkararak alan integralini kurarız.
[0,2][0, 2] aralığında y=2xy = 2x doğrusu y=x2y = x^2 parabolünün üstünde yer aldığından, alan A=∫02(2x−x2) dxA = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx integrali ile ifade edilir.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen belirli integral ile hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplarız.
A=[x2−x33]02=(22−233)−0=4−83=43A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} birimkare bulunur.
İntegral alma kuralları ve belirli integral tanımı uygulanarak alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 49Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı; [1,5][1, 5] kapalı aralığında sürekli, türevlenebilir ve azalan bir ff fonksiyonu için [1,5][1, 5] aralığı nn adet eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye ait Riemann alt toplamı LnL_n ve Riemann üst toplamı UnU_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
Un−Ln=12nU_n - L_n = \frac{12}{n}
eşitliği sağlanmaktadır.

[1,5][1, 5] aralığı 22 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann üst toplamı U2=24U_2 = 24 olduğuna göre,
I. ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18
II. f(3)<6f(3) < 6
III. f(5)>3f(5) > 3

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III
Sürekli ve azalan bir fonksiyonun belirli integral değeri, aynı aralıktaki Riemann alt toplamından daima büyüktür. Riemann üst toplamı U2=24U_2 = 24 ve iki toplam arasındaki fark U2−L2=6U_2 - L_2 = 6 olduğundan Riemann alt toplamı L2=18L_2 = 18 olarak elde edilir. Bu nedenle belirli integral değeri 18'den büyüktür. Ayrıca fonksiyonun azalanlık koşulu olan f(1)>f(3)>f(5)f(1) > f(3) > f(5) eşitsizliği ve verilen denklemler çözüldüğünde f(3)<6f(3) < 6 ve f(5)>3f(5) > 3 sınırları kesin olarak elde edilir. Bu sebeple her üç ifadenin de doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Riemann üst ve alt toplamları arasındaki fark formülünü yazarak fonksiyon değerleri arasındaki ilişkiyi bulunuz.
f(1)−f(5)=3f(1) - f(5) = 3
Azalan bir fonksiyon için Un−Ln=b−an(f(a)−f(b))U_n - L_n = \frac{b-a}{n}(f(a) - f(b)) eşitliği geçerlidir. Burada b−a=5−1=4b-a = 5-1=4 olduğundan, Un−Ln=4n(f(1)−f(5))=12n  ⟹  f(1)−f(5)=3U_n - L_n = \frac{4}{n}(f(1) - f(5)) = \frac{12}{n} \implies f(1) - f(5) = 3 elde edilir.
2
n=2n=2 için Riemann üst toplamı formülünü kullanarak f(1)+f(3)f(1) + f(3) değerini hesaplayınız.
f(1)+f(3)=12f(1) + f(3) = 12
[1,5][1, 5] aralığı 2 eş alt aralığa bölündüğünde alt aralıklar [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olur. Aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 birimdir. Azalan bir fonksiyon için Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak hesaplanır: U2=2⋅(f(1)+f(3))=24  ⟹  f(1)+f(3)=12U_2 = 2 \cdot (f(1) + f(3)) = 24 \implies f(1) + f(3) = 12 bulunur.
3
ff fonksiyonunun azalanlık özelliğini kullanarak fonksiyon değerleri için eşitsizlik sistemini kurup çözünüz.
6<f(1)<7.56 < f(1) < 7.5, 4.5<f(3)<64.5 < f(3) < 6 ve 3<f(5)<4.53 < f(5) < 4.5
Fonksiyon azalan olduğundan f(1)>f(3)>f(5)f(1) > f(3) > f(5) olmalıdır. f(3)=12−f(1)f(3) = 12 - f(1) ve f(5)=f(1)−3f(5) = f(1) - 3 ifadelerini bu eşitsizlikte yerine yazarsak:
1) f(1)>12−f(1)  ⟹  2f(1)>12  ⟹  f(1)>6f(1) > 12 - f(1) \implies 2f(1) > 12 \implies f(1) > 6 elde edilir.
2) 12−f(1)>f(1)−3  ⟹  15>2f(1)  ⟹  f(1)<7.512 - f(1) > f(1) - 3 \implies 15 > 2f(1) \implies f(1) < 7.5 elde edilir.
Buradan 6<f(1)<7.56 < f(1) < 7.5 aralığı bulunur. Bu aralık kullanılarak f(3)=12−f(1)  ⟹  4.5<f(3)<6f(3) = 12 - f(1) \implies 4.5 < f(3) < 6 ve f(5)=f(1)−3  ⟹  3<f(5)<4.5f(5) = f(1) - 3 \implies 3 < f(5) < 4.5 elde edilir. Dolayısıyla II. ve III. öncüller her zaman doğrudur.
4
Riemann alt toplamı L2L_2 değerini bulup integral değeri ile karşılaştırınız.
L2=18L_2 = 18 ve ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18
U2−L2=6U_2 - L_2 = 6 ve U2=24U_2 = 24 olduğundan L2=18L_2 = 18 olur. Sürekli ve azalan bir fonksiyon için belirli integral, Riemann alt toplamından daima büyüktür. Bu durumda ∫15f(x) dx>18\int_1^5 f(x) \, dx > 18 ifadesi (I. öncül) her zaman doğrudur.

Anahtar Kavram

Riemann alt/üst toplamları ile belirli integral ve fonksiyonun monotonluğu (artanlık/azalanlık) arasındaki ilişkiler
Soru 50Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, x≠2x \neq 2 için

f(x)=∫3x3−6x2x−2 dxf(x) = \int \frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} \, dx

eşitliğini sağlamaktadır.

f(2)=10f(2) = 10 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 değeridir.
Verilen rasyonel ifade sadeleştirilip integral kuralları uygulandığında f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C elde edilir. Süreklilik gereği f(2)=10f(2) = 10 olduğundan C=2C = 2 bulunur. Buradan f(x)=x3+2f(x) = x^3 + 2 kuralına ulaşılır ve f(1)=3f(1) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içindeki rasyonel ifadeyi sadeleştirelim.
x≠2x \neq 2 için 3x3−6x2x−2=3x2(x−2)x−2=3x2\frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} = \frac{3x^2(x - 2)}{x - 2} = 3x^2 elde edilir.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla cebirsel sadeleştirme yapılır.
2
Sadeleşen ifadenin belirsiz integralini alalım.
f(x)=∫3x2 dx=x3+Cf(x) = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C bulunur.
Belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
3
f(2)=10f(2) = 10 sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (CC) hesaplayalım.
f(2)=23+C=10⇒8+C=10⇒C=2f(2) = 2^3 + C = 10 \Rightarrow 8 + C = 10 \Rightarrow C = 2 bulunur.
Sürekli bir fonksiyonun verilen noktadaki değeri kullanılarak bilinmeyen integral sabiti belirlenir.
4
Fonksiyon denkleminde x=1x = 1 yazarak istenen değeri bulalım.
f(1)=13+2=3f(1) = 1^3 + 2 = 3 elde edilir.
Fonksiyonun kuralı tam olarak belirlendikten sonra istenen noktadaki değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve temel belirsiz integral alma kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 51Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu kapalı aralık, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.
Buna göre,
I. ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı 22'dir.
II. ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne göre Riemann üst toplamı 1010'dur.
III. ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x) \, dx belirli integralinin değeri, PP bölüntüsüne göre Riemann orta toplamından büyüktür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III (yani tüm ifadeler doğrudur)
Verilen üç öncül de doğru hesaplanmıştır. Riemann alt toplamı 22, Riemann üst toplamı 1010 ve belirli integralin değeri (5255{}25), Riemann orta toplamından (48754{}875) büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyelim.
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) elde edilir. İşaret tablosuna göre, x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığında f′(x)≤0f'(x) \le 0 olduğundan fonksiyon azalandır. x∈[2,3]x \in [2, 3] aralığında ise f′(x)≥0f'(x) \ge 0 olduğundan fonksiyon artandır.
Riemann alt ve üst toplamlarında hangi noktada en küçük veya en büyük değerin alınacağın�� bulmak için fonksiyonun artan/azalanlık analizi gereklidir.
2
[0,3][0, 3] aralığını 33 eş alt aralığa bölerek her aralık için sınır değerlerini yazalım.
Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olup her birinin genişliği Δx=1\Delta x = 1'dir. [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] aralıklarında fonksiyon azalan; [2,3][2, 3] aralığında ise artandır.
Bölüntünün alt aralıklarını belirlemek, Riemann toplamı hesaplamalarının temel adımıdır.
3
Riemann alt ve üst toplamlarını hesaplayalım.
Riemann alt toplamı için aralıklardaki en küçük değerler: [0,1][0, 1] aralığında f(1)=2f(1) = 2, [1,2][1, 2] aralığında f(2)=0f(2) = 0, [2,3][2, 3] aralığında f(2)=0f(2) = 0'dır. Alt toplam: A=(2+0+0)⋅1=2A = (2 + 0 + 0) \cdot 1 = 2. Riemann üst toplamı için aralıklardaki en büyük değerler: [0,1][0, 1] aralığında f(0)=4f(0) = 4, [1,2][1, 2] aralığında f(1)=2f(1) = 2, [2,3][2, 3] aralığında f(3)=4f(3) = 4'tür. Üst toplam: U=(4+2+4)⋅1=10U = (4 + 2 + 4) \cdot 1 = 10. Bu durumda I ve II. öncüller doğrudur.
Riemann alt ve üst toplam tanımlarını kullanarak öncüllerin doğruluğunu test ederiz.
4
Belirli integral ile Riemann orta toplamını hesaplayıp karşılaştıralım.
Belirli integral değeri: ∫03(x3−3x2+4) dx=[x44−x3+4x]03=525\int_0^3 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 4x \right]_0^3 = 5{}25 bulunur. Riemann orta toplamı için orta noktalar 050{}5, 151{}5 ve 252{}5 alınır. Orta toplam: O=f(05)⋅1+f(15)⋅1+f(25)⋅1=3375+0625+0875=4875O = f(0{}5) \cdot 1 + f(1{}5) \cdot 1 + f(2{}5) \cdot 1 = 3{}375 + 0{}625 + 0{}875 = 4{}875 olur. 525>48755{}25 > 4{}875 olduğundan integral değeri orta toplamdan büyüktür. Dolayısıyla III. öncül de doğrudur.
Belirli integralin değeri ile Riemann orta toplamının sayısal değerlerini karşılaştırarak son öncülün doğruluğunu kontrol ederiz.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Alternatif Yöntem

Riemann orta toplamı hesaplanırken her aralıktaki orta noktaların görüntüleri tek tek hesaplanıp toplanır. Parabolik ve kübik fonksiyonların simetri özellikleri veya integral alan yaklaşımları kullanılarak da kabaca bir kıyaslama yapılabilir ancak kesin sonuç için sayısal hesaplama tercih edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 52Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için x>0x > 0 olmak üzere,
∫x⋅f′(x)−2f(x)x3 dx=x2−3x+C\int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx = x^2 - 3x + C
eşitliği verilmektedir.
f(1)=4f(1) = 4
olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16 değeri doğrudur.
Bölümün türevi kuralı hatırlandığında integralin içindeki ifadenin f(x)x2\frac{f(x)}{x^2} fonksiyonunun türevi olduğu fark edilir. İntegral alındığında elde edilen f(x)x2=x2−3x+K\frac{f(x)}{x^2} = x^2 - 3x + K eşitliğinde f(1)=4f(1) = 4 başlangıç koşulu yerine yazılırsa integral sabiti K=6K = 6 olarak bulunur. Buradan f(x)=x4−3x3+6x2f(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2 fonksiyonuna ulaşılır ve bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında doğru değer olan 1616 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içindeki ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu bölüm kuralı yardımıyla belirleme.
(f(x)x2)′=f′(x)⋅x2−2x⋅f(x)x4=x⋅f′(x)−2f(x)x3\left( \frac{f(x)}{x^2} \right)' = \frac{f'(x) \cdot x^2 - 2x \cdot f(x)}{x^4} = \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3}
olduğu görülür.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla integrali alınan ifadenin bilinen bir türev kalıbı olup olmadığını incelemek gerekir.
2
Elde edilen türev ilişkisini integral eşitliğinde yerine yazarak her iki tarafın integralini alma.
f(x)x2=x2−3x+K\frac{f(x)}{x^2} = x^2 - 3x + K
(burada KK gerçel sayı olan bir integral sabitidir) bağıntısı elde edilir.
Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyonun kendisini (bir sabit farkıyla) bulma işlemidir.
3
f(1)=4f(1) = 4 bilgisini kullanarak KK integral sabitini bulma.
f(1)12=12−3(1)+K  ⟹  4=−2+K  ⟹  K=6\frac{f(1)}{1^2} = 1^2 - 3(1) + K \implies 4 = -2 + K \implies K = 6
Buradan fonksiyon f(x)=x4−3x3+6x2f(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2 olarak elde edilir.
Özel bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla genel integral ailesinden spesifik fonksiyonumuza ait sabit değer tespit edilir.
4
Bulunan f(x)f(x) fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak sonucu hesaplama.
f(2)=24−3(23)+6(22)=16−24+24=16f(2) = 2^4 - 3(2^3) + 6(2^2) = 16 - 24 + 24 = 16 bulunur.
Soruda bizden istenen f(2)f(2) değerine ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Bölüm türevi kalıbını fark ederek belirsiz integral alma kuralları yardımıyla fonksiyonu inşa etme.
Soru 53Soru →

[0,4][0, 4] kapalı aralığında tanımlı f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun bu aralıkta 22 eş alt aralığa göre hesaplanan Riemann alt toplamı 88'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Riemann alt toplamı 88 olarak hesaplanır.
Fonksiyon [0,4][0, 4] aralığında sürekli azalan olduğundan, her alt aralıktaki en küçük değerler sağ uç noktalarda gerçekleşir. [0,2][0, 2] aralığı için en küçük değer f(2)=8f(2) = 8, [2,4][2, 4] aralığı için en küçük değer f(4)=−4f(4) = -4 olup Riemann alt toplamı 2⋅(8+(−4))=82 \cdot (8 + (-4)) = 8 bulunur. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini (Δx\Delta x) ve alt aralıkları belirleme
Δx=4−02=2\Delta x = \frac{4 - 0}{2} = 2 olup alt aralıklar [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] şeklinde elde edilir.
Riemann toplamı hesaplanırken aralığın kaç eş parçaya bölündüğü ve her bir parçanın genişliği temel alınır.
2
Fonksiyonun artan/azalan olma durumunu inceleme
f′(x)=−2xf'(x) = -2x olup, x∈[0,4]x \in [0, 4] için f′(x)≤0f'(x) \le 0 olduğundan fonksiyon azalandır. En küçük değerler alt aralıkların sağ uçlarında (x=2x = 2 ve x=4x = 4) oluşur.
Riemann alt toplamında, fonksiyonun her bir alt aralıktaki minimum değerleri yükseklik olarak seçilmelidir.
3
Belirlenen noktalardaki değerleri hesaplama ve alt toplamı bulma
f(2)=12−22=8f(2) = 12 - 2^2 = 8 ve f(4)=12−42=−4f(4) = 12 - 4^2 = -4 bulunur. Buradan Riemann alt toplamı L=2⋅(f(2)+f(4))=2⋅(8−4)=8L = 2 \cdot (f(2) + f(4)) = 2 \cdot (8 - 4) = 8 elde edilir.
Her bir alt aralığın genişliği ile o aralıktaki minimum fonksiyon değerinin çarpımlarının toplamı Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun ilgili aralıktaki monotonluk (artan/azalan) durumuna göre alt aralıklardaki minimum değerlerin belirlenmesi gerekir.
Soru 54Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(x)=∫(3x2−2ax+5) dxf(x) = \int (3x^2 - 2ax + 5) \, dx
eşitliği verilmektedir.
f(1)=4f(1) = 4 ve f(2)=7f(2) = 7 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 olan seçenektir.
Verilen belirsiz integralin kurallara göre integrali alındığında fonksiyon f(x)=x3−ax2+5x+Cf(x) = x^3 - ax^2 + 5x + C biçiminde elde edilir. f(1)=4f(1) = 4 koşulundan C−a=−2C - a = -2 ve f(2)=7f(2) = 7 koşulundan C−4a=−11C - 4a = -11 denklemlerine ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=3a = 3 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel kuralını integral sabiti ile birlikte yazmak.
f(x)=x3−ax2+5x+Cf(x) = x^3 - ax^2 + 5x + C
Belirsiz integral kurallarına göre ∫3x2 dx=x3\int 3x^2 \, dx = x^3, ∫−2ax dx=−ax2\int -2ax \, dx = -ax^2 ve ∫5 dx=5x\int 5 \, dx = 5x olarak integral dışına çıkar ve ifadeye bir CC integral sabiti eklenir.
2
f(1)=4f(1) = 4 sınır koşulunu kullanarak integral sabiti ile bilinmeyen parametre arasındaki ilk ilişkiyi bulmak.
C=a−2C = a - 2
Fonksiyonda x=1x = 1 yazıldığında 13−a(1)2+5(1)+C=4  ⟹  6−a+C=41^3 - a(1)^2 + 5(1) + C = 4 \implies 6 - a + C = 4 elde edilir ve bu eşitlikten CC yalnız bırakılır.
3
f(2)=7f(2) = 7 sınır koşulunu kullanarak ikinci denklemi kurmak ve elde edilen denklem sistemini çözmek.
a=3a = 3 ve C=1C = 1
Fonksiyonda x=2x = 2 yaz��ldığında 23−a(2)2+5(2)+C=7  ⟹  18−4a+C=7  ⟹  C−4a=−112^3 - a(2)^2 + 5(2) + C = 7 \implies 18 - 4a + C = 7 \implies C - 4a = -11 elde edilir. C=a−2C = a - 2 ifadesi bu denklemde yerine yazıldığında (a−2)−4a=−11  ⟹  −3a=−9  ⟹  a=3(a - 2) - 4a = -11 \implies -3a = -9 \implies a = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral kuralları ve integral sabitinin sınır koşullarıyla belirlenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 55Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫−11f(x) dx=4\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 4
∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6
∫35f(x) dx=9\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13f(x+2) dx\int_{1}^{3} f(x+2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegralin değeri 9 olarak bulunur.
İntegralde u=x+2u = x+2 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=dxdu = dx olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=3u=3 ve x=3x=3 için u=5u=5 olarak güncellenir. Böylece integral ∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du haline gelir ve bu değer soruda 9 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x+2u = x+2 ve du=dxdu = dx olarak belirlenir.
İntegralin içindeki f(x+2)f(x+2) ifadesini sadeleştirmek ve bilinen integral değerleriyle ilişkilendirmek için.
2
Değişken değiştirmeye uygun olarak belirli integralin sınırları güncellenir.
x=1x = 1 için u=1+2=3u = 1+2 = 3 ve x=3x = 3 için u=3+2=5u = 3+2 = 5 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre hesaplanması gerektiği için.
3
Yeni sınırlar ve değişken integralde yerine yazılarak sonuç bulunur.
∫13f(x+2) dx=∫35f(u) du=9\int_{1}^{3} f(x+2) \, dx = \int_{3}^{5} f(u) \, du = 9
Soruda verilen ∫35f(x) dx=9\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9 bilgisi kullanılarak belirli integralin değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi özellikleri.
Tahmini Süre:45s
Soru 56Soru →
∫022x(x2+1)3 dx\int_{0}^{2} 2x(x^2+1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

İntegralin değeri 156 olarak bulunur.
İntegral, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılarak 11 ile 55 sınırları arasında u3u^3 integraline dönüştürülür. Bu integral hesaplandığında doğru değer olan 156 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=x2+1u = x^2 + 1 olsun. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir.
İntegralin içindeki 2x dx2x \, dx ifadesini dudu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0x = 0 iken u=02+1=1u = 0^2 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2x = 2 iken u=22+1=5u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Yeni değişkene göre integral kurulur ve hesaplanır.
∫15u3 du=[u44]15=544−144=625−14=156\int_{1}^{5} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625 - 1}{4} = 156 elde edilir.
Basit üs integrali kuralı uygulanarak belirli integralin sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 57Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫03f(x) dx=12\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 12
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
∫12f(x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(x+1) \, dx = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(2−x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2 - x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Beş bölü iki
Verilen integrallerde gerekli değişken değiştirmeler yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde ∫01f(x) dx=5\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 değeri elde edilir. Sorulan integralde u=2−x2u = 2 - x^2 dönüşümü uygulandığında integral 12∫01f(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesine eşit olur. Bu değer de beş bölü ikiye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
∫12f(x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(x+1) \, dx = 3 integralinde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫23f(u) du=3\int_{2}^{3} f(u) \, du = 3 elde edilir.
u=x+1u = x+1 dönüşümü için du=dxdu = dx olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=3u=3 olarak güncellenir.
2
Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılarak ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx değeri bulunur.
∫01f(x) dx=5\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 olur.
∫03f(x) dx=∫01f(x) dx+∫12f(x) dx+∫23f(x) dx\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx yazılabilir. Verilen değerler yerine konduğunda 12=∫01f(x) dx+4+3  ⟹  ∫01f(x) dx=512 = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + 4 + 3 \implies \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 bulunur.
3
İstenen integralde değişken değiştirme uygulanır.
12∫01f(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesi elde edilir.
u=2−x2u = 2 - x^2 dönüşümü yapılırsa du=−2x dx  ⟹  x dx=−12 dudu = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=1u=1 ve x=2x=\sqrt{2} için u=0u=0 olur. Buradan ∫10f(u)(−12)du=12∫01f(u) du\int_{1}^{0} f(u) \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du elde edilir.
4
Ende edilen son ifadede ∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du değeri yerine yazılır.
52\frac{5}{2} bulunur.
12∫01f(u) du=12⋅5=52\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
Soru 58Soru →
Dik koordinat düzleminde, [0,4][0, 4] kapalı aralığında tanımlı
f(x)=∣x2−4x+3∣f(x) = |x^2 - 4x + 3|
fonksiyonu veriliyor. [0,4][0, 4] aralığı 4 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.

ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı UU, Riemann alt toplamı LL ve [0,4][0, 4] aralığındaki belirli integralinin değeri II olduğuna göre, U−L+IU - L + I ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Riemann üst toplamı ile belirli integralin toplamından Riemann alt toplamı çıkarıldığında elde edilen sonuç 12'dir.
Fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann üst toplamı U=8U = 8, minimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann alt toplamı L=0L = 0 ve fonksiyonun sınırlandırdığı toplam alanı veren belirli integral değeri I=4I = 4 olduğundan, U−L+I=8−0+4=12U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini belirleme
Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1
Alt aralıkların uzunluklarını ve sınırlarını bulmak için bölüntü sayısı kullanılır.
2
Fonksiyonun her alt aralıktaki uç ve yerel ekstremum değerlerini analiz etme
[0,1][0, 1] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=3\max = 3; [1,2][1, 2] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=1\max = 1; [2,3][2, 3] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=1\max = 1; [3,4][3, 4] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=3\max = 3.
Riemann alt ve üst toplamlarını bulmak için her alt aralıktaki mutlak minimum ve mutlak maksimum değerleri belirlemek gerekir.
3
Riemann alt ve ��st toplamlarını hesaplama
L=0L = 0 ve U=8U = 8
Alt aralıkların genişlikleri ile elde edilen minimum ve maksimum değerler çarpılıp toplanır.
4
Mutlak değerli fonksiyonun belirli integralini parçalı olarak hesaplama
I=∫04∣x2−4x+3∣ dx=4I = \int_{0}^{4} |x^2 - 4x + 3| \, dx = 4
İntegral alanı, mutlak değerin işaret değiştirdiği x=1x=1 ve x=3x=3 noktalarında parçalanarak hesaplanır.
5
Sonucu bulma
U−L+I=8−0+4=12U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12
Bulunan tüm değerler sorudaki cebirsel ifadede yerine konur.

Anahtar Kavram

Monoton olmayan fonksiyonlarda alt aralıkların uç değerleri ve yerel ekstremum noktaları göz önüne alınarak Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması, belirli integral ile ilişkilendirilmesi.
Soru 59Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu için [1,3][1, 3] kapalı aralığı 4 eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann alt toplamı LL, Riemann üst toplamı UU ve fonksiyonun bu aralıktaki belirli integral değeri II olmak üzere, U−I>I−LU - I > I - L eşitsizliği sağlanmaktadır ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu [1, 3] aralığında artan ve dışbükey olduğundan U - I > I - L eşitsizliği sağlanır.
Verilen fonksiyon artan ve dışbükey (konveks) olduğundan, Riemann üst toplamı ile integral arasındaki fark, integral ile Riemann alt toplamı arasındaki farktan büyüktür. Sayısal olarak hesaplandığında da bu eşitsizlik doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkların genişliğini (\Delta x) hesaplama
\Delta x = 0.5
Toplam aralık uzunluğu olan 3 - 1 = 2 birimlik mesafe, 4 eş alt aralığa bölündüğü için her bir aralığın genişliği 2/4 = 0.5 olur.
2
Belirlenen alt aralıkların uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulma
f(1) = 3, f(1.5) = 4.25, f(2) = 6, f(2.5) = 8.25, f(3) = 11
Riemann alt ve üst toplamlarını hesaplamak için bu uç noktalardaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç duyulur.
3
Riemann alt toplamı L ve Riemann üst toplamı U değerlerini hesaplama
L = 10.75 ve U = 14.75
f(x) artan olduğu için alt toplamda sol uç noktalar (1, 1.5, 2, 2.5), üst toplamda ise sağ uç noktalar (1.5, 2, 2.5, 3) kullanılır.
4
Belirli integral I değerini hesaplama
I=383≈12.67I = \frac{38}{3} \approx 12.67
Fonksiyonun grafiği altındaki gerçek alanı bulmak için integral alınır.
5
U - I ve I - L farklarını karşılaştırarak eşitsizliğin doğruluğunu kontrol etme
U - I = \frac{25}{12} ve I - L = \frac{23}{12} olduğundan U - I > I - L eşitsizliği doğrudur.
Elde edilen sayısal değerler karşılaştırıldığında eşitsizliğin sağlandığı görülür.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve dışbükey fonksiyonlarda fark analizi
Soru 60Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
olduğuna göre,
∫14(2f(x)−3) dx\int_{1}^{4} (2f(x) - 3) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

��ntegralin değeri 7'dir.
Belirli integralin doğrusal özellikleri kullanılarak integral parçalandığında, ifade 2∫14f(x) dx−∫143 dx2\int_{1}^{4} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} 3 \, dx haline gelir. Birinci integralin değeri 8 olup 2 ile çarpıldığında 16 elde edilir. İkinci integral ise sabit fonksiyonun integrali olup değeri 3×(4−1)=93 \times (4 - 1) = 9 dur. Bu iki değerin farkı 16−9=716 - 9 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesini lineerlik (doğrusallık) özelliği yardımıyla parçalamak ve sabit katsayıyı dışarı almak.
∫14(2f(x)−3) dx=2∫14f(x) dx−∫143 dx\int_{1}^{4} (2f(x) - 3) \, dx = 2\int_{1}^{4} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} 3 \, dx
Belirli integralde toplama ve çıkarma işlemleri ayrı integral parçaları olarak yazılabilir, sabit çarpanlar ise integralin dışına alınabilir.
2
Sabit fonksiyon olan 3'ün [1,4][1, 4] aralığındaki belirli integralini hesaplamak.
∫143 dx=3⋅(4−1)=9\int_{1}^{4} 3 \, dx = 3 \cdot (4 - 1) = 9
Sabit bir cc sayısının [a,b][a, b] aralığındaki integral değeri c⋅(b−a)c \cdot (b - a) formülü ile hesaplanır.
3
Verilen integral değerini yerine yazıp aritmetik işlemleri tamamlamak.
2⋅8−9=72 \cdot 8 - 9 = 7
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 olarak soru kökünde verilmiştir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin lineerlik özellikleri ve sabit fonksiyonun belirli integrali.
ÖncekiSayfa 3 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin