Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 21Soru →
Türevi tüm gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olan bir ff fonksiyonunun birinci türevi f′f' ile ifade edilmektedir. x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} olmak üzere,
f′(x)=2x3+x2−2x−1x2−1f'(x) = \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^2 - 1}
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Fonksiyonun integral sabitiyle beraber doğru ifadesi f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1 olup, buradan f(0)=−1f(0) = -1 elde edilir.
Doğru cevap olan -1 değeri, integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel ifadesi olan f(x)=x2+x+Cf(x) = x^2 + x + C bulunduktan sonra f(2)=5f(2) = 5 başlangıç koşulundan C=−1C = -1 sabiti elde edilerek bulunur. Buradan f(0)=−1f(0) = -1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapmak.
x≠±1x \neq \pm 1 için f′(x)=(x2−1)(2x+1)x2−1=2x+1f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(2x + 1)}{x^2 - 1} = 2x + 1 elde edilir.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla rasyonel ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun genel kuralını bulmak.
f(x)=∫(2x+1) dx=x2+x+Cf(x) = \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C elde edilir.
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral kuralları uygulanır.
3
Verilen f(2)=5f(2) = 5 koşulunu kullanarak integral sabiti CC'yi hesaplamak.
22+2+C=5  ⟹  6+C=5  ⟹  C=−12^2 + 2 + C = 5 \implies 6 + C = 5 \implies C = -1 bulunur.
Belirsiz integraldeki sabit sayıyı tek bir fonksiyona indirgemek için sınır koşulu kullanılır.
4
Bulunan f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1 kuralında x=0x = 0 yazarak f(0)f(0) değerini bulmak.
f(0)=02+0−1=−1f(0) = 0^2 + 0 - 1 = -1 elde edilir.
Soru bizden f(0)f(0) değerini istemektedir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin başlangıç koşulu yardımıyla bulunması.
Soru 22Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=3x2−2x+4f'(x) = 3x^2 - 2x + 4
olarak verilmiştir.

f(1)=5f(1) = 5 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İntegral sabiti doğru hesaplandığında elde edilen fonksiyon yardımıyla aranan değer 13 olarak bulunur.
Verilen türev fonksiyonunun belirsiz integrali alındığında f(x)=x3−x2+4x+Cf(x) = x^3 - x^2 + 4x + C ifadesine ulaşılır. f(1)=5f(1) = 5 başlangıç koşulu yerine yazıldığında 1−1+4+C=51 - 1 + 4 + C = 5 denklemi elde edilir ve buradan C=1C = 1 bulunur. Fonksiyonun kuralı f(x)=x3−x2+4x+1f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1 olarak belirlenir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında sonuç 8−4+8+1=138 - 4 + 8 + 1 = 13 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak fonksiyonun genel kuralını yazın.
f(x)=∫(3x2−2x+4) dx=x3−x2+4x+Cf(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = x^3 - x^2 + 4x + C (burada CC bir gerçel sayı olan integral sabitidir)
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini elde etmek için belirsiz integral kuralları uygulanır.
2
f(1)=5f(1) = 5 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerini hesaplayın.
f(1)=13−12+4(1)+C=5  ⟹  4+C=5  ⟹  C=1f(1) = 1^3 - 1^2 + 4(1) + C = 5 \implies 4 + C = 5 \implies C = 1
İntegral sabitinin tek bir değere sahip olması için verilen özel nokta denklemde yerine yazılır.
3
Belirlenen f(x)=x3−x2+4x+1f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1 fonksiyonunda x=2x = 2 yazarak sonucu bulun.
f(2)=23−22+4(2)+1=8−4+8+1=13f(2) = 2^3 - 2^2 + 4(2) + 1 = 8 - 4 + 8 + 1 = 13
Fonksiyonun kuralı tamamen bulunduktan sonra istenen girdi değeri yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları kullanılarak elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Soru 23Soru →
∫(3x2−4x+1) dx\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C

Cevap

x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C
Verilen integral ifadesindeki terimler tek tek entegre edildiğinde 3x23x^2 terimi x3x^3 ifadesine, −4x-4x terimi −2x2-2x^2 ifadesine ve 11 sabit terimi de xx ifadesine dönüşür. Belirsiz integralin tanımı gereği sonucun sonuna mutlaka bir integral sabiti (+C+C) eklenmelidir. Bu işlemler sonucunda doğru ifade x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integralin terim terim ayrılabilme özelliğini uygulayın.
∫3x2 dx−∫4x dx+∫1 dx\int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 1 \, dx
Toplam ve fark durumundaki ifadelerin integrali, her bir terimin ayrı ayrı integrallerinin toplamına veya farkına eşittir.
2
Her bir terim için polinom integral alma kuralını (üssü 1 artırıp yeni üsse bölme) uygulayın.
3⋅x33−4⋅x22+1⋅x3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 1 \cdot x
n≠−1n \neq -1 olmak üzere ∫xn dx=xn+1n+1\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} temel integral alma kuralıdır.
3
Katsayıları sadeleştirin ve ifadenin sonuna integral sabiti olan CC'yi ekleyin.
x3−2x2+x+Cx^3 - 2x^2 + x + C
Belirsiz integralde türevi sıfır olan sabit sayıları temsil etmesi amacıyla sonuca her zaman CC sabit sayısı eklenir.

Anahtar Kavram

Polinom tipindeki ifadelerin belirsiz integrali ve integral sabiti
Soru 24Soru →
f(x)=∫(6x2−4x) dxf(x) = \int (6x^2 - 4x) \, dx

ve f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Fonksiyonun integral sabiti hesaba katılarak elde edilen f(0) değeri 3'tür.
Verilen integral ifadesi hesaplandığında f(x)=2x3−2x2+Cf(x) = 2x^3 - 2x^2 + C elde edilir. f(1)=3f(1) = 3 koşulu sağlandığında 2(1)3−2(1)2+C=3  ⟹  C=32(1)^3 - 2(1)^2 + C = 3 \implies C = 3 olur. Buradan f(0)=Cf(0) = C olduğundan doğru yanıt 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak fonksiyonu bulmak.
f(x)=2x3−2x2+Cf(x) = 2x^3 - 2x^2 + C
Belirsiz integral alındığında fonksiyonun genel ifadesi bir C sabitiyle birlikte elde edilir.
2
Verilen f(1)=3f(1) = 3 bilgisini kullanarak C sabitini hesaplamak.
C=3C = 3
Fonksiyonda x yerine 1 yazıldığında elde edilen değer 3'e eşitlenerek integral sabiti belirlenir.
3
Bulunan C değeriyle f(0)f(0) değerini hesaplamak.
f(0)=3f(0) = 3
x yerine 0 yazıldığında x'li terimler sıfırlanır ve geriye sadece C sabiti kalır.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Soru 25Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta sürekli olan f(x)=x+1f(x) = x + 1 fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki grafiği verilmiştir. Bu aralık, eşit uzunlukta iki alt aralığa bölünüyor. Buna göre, ff fonksiyonunun bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Riemann alt toplamının değeri 5'tir.
Doğru cevap 5'tir. Eşit uzunluktaki iki alt aralık [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olup genişlikleri 1'dir. f(x)=x+1f(x) = x + 1 fonksiyonu artan olduğundan Riemann alt toplamı için sol uç noktalar kullanılır: f(1)⋅1+f(2)⋅1=2⋅1+3⋅1=5f(1) \cdot 1 + f(2) \cdot 1 = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğinin hesaplanması
Δx=1\Delta x = 1
[1,3][1, 3] aralığı 2 eşit alt aralığa bölündüğünde alt aralıklar [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olur. Genişlik Δx=3−12=1\Delta x = \frac{3-1}{2} = 1 birimdir.
2
Fonksiyon değerlerinin belirlenmesi
f(1)=2f(1) = 2 ve f(2)=3f(2) = 3
Riemann alt toplamı için her bir alt aralıktaki en küçük fonksiyon değerleri (artan fonksiyon olduğu için sol uç noktalar) seçilir.
3
Riemann alt toplamının hesaplanması
2⋅1+3⋅1=52 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5
Belirlenen fonksiyon değerleri ile alt aralık genişliği çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun her bir alt aralıktaki en küçük değerleri ile alt aralık genişlikleri çarpılıp toplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →
f:[0,3]→Rf: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

fonksiyonu veriliyor. [0,3][0, 3] aralığı 33 eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre Riemann alt toplamı AA ve Riemann üst toplamı U¨Ü hesaplanıyor.

Buna göre, U¨−AÜ - A farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 9'dur.
Doğru cevap 9'dur. [0,3][0, 3] aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği Δx=1\Delta x = 1 olur. f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonu bu aralıkta artan olduğundan, Riemann alt toplamı alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerlerle A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=8A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 8 olarak hesaplanır. Riemann üst toplamı ise sağ uç noktalardaki değerlerle U¨=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=17Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 17 olarak elde edilir. Bu iki toplamın farkı U¨−A=17−8=9Ü - A = 17 - 8 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüntünün alt aralık genişliğini (Δx \Delta x) hesaplayın.
Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1 elde edilir. Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamlarında her bir dikdörtgenin taban genişliğini belirlemek gerekir.
2
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonunun verilen aralıktaki artanlık durumunu inceleyerek alt ve üst toplam için fonksiyon değerlerini belirleyin.
f′(x)=2x>0f'(x) = 2x > 0 olduğundan fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında artandır. Bu nedenle Riemann alt toplamı için aralıkların sol uç değerleri (x=0,1,2x = 0, 1, 2), Riemann üst toplamı için ise sağ uç değerleri (x=1,2,3x = 1, 2, 3) kullanılır.
Artan fonksiyonlarda alt toplam sol uç noktalarla, üst toplam ise sağ uç noktalarla hesaplanır.
3
Riemann alt toplamını (AA) ve Riemann üst toplamını (U¨Ü) hesaplayıp aralarındaki farkı bulun.
A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=1⋅(1+2+5)=8A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 1 \cdot (1 + 2 + 5) = 8 ve U¨=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=1⋅(2+5+10)=17Ü = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (2 + 5 + 10) = 17 bulunur. Buradan U¨−A=17−8=9Ü - A = 17 - 8 = 9 elde edilir.
Soruda istenen üst toplam ile alt toplam arasındaki farkı bulmak için elde edilen değerler birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması ve artan/azalan fonksiyonlarla ilişkisi.
Soru 27Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı 33 eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye karşılık gelen Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Riemann alt toplamı 15 olarak bulunur.
Verilen [1,4][1, 4] aralığı 33 eş parçaya bölündüğünde aralık genişliği Δx=1\Delta x = 1 olur. Fonksiyon artan olduğu için Riemann alt toplamında her alt aralığın sol ucundaki değerler (f(1)=3,f(2)=5,f(3)=7f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7) yükseklik olarak alınır. Dikdörtgenlerin alanları toplamından Riemann alt toplamı 3+5+7=153+5+7=15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme
Genişlik Δx=1\Delta x = 1 ve aralıklar [1,2][1, 2], [2,3][2, 3], [3,4][3, 4]
Riemann toplamı hesaplanırken aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.
2
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumuna göre alt toplam için temsilci noktaları seçme
Sol uç noktalar seçilir: x=1,2,3x = 1, 2, 3
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 artan olduğundan her alt aralıktaki en küçük değer sol uçta alınır.
3
Seçilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(1)=3f(1) = 3, f(2)=5f(2) = 5, f(3)=7f(3) = 7
Riemann dikdörtgenlerinin yüksekliklerini bulmak için.
4
Riemann alt toplamı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
1⋅3+1⋅5+1⋅7=151 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 = 15
Dikdörtgenlerin alanları toplamı Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı, artan fonksiyonlarda alt aralıkların sol uç noktalarındaki değerler kullanılarak hesaplanır.
Soru 28Soru →
∫f(x) dx=x2−4x+C\int f(x) \, dx = x^2 - 4x + C

olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegral tanımı kullanılarak elde edilen 2 değeri
Belirsiz integralin tanımı gereği, bir fonksiyonun integralinin türevi kendisine eşittir. ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C ise F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) olur. Verilen ∫f(x) dx=x2−4x+C\int f(x) \, dx = x^2 - 4x + C eşitliğinde her iki tarafın türevi alınırsa sol tarafta integral işareti kalkar ve f(x)f(x) kalır, sağ tarafın türevi ise 2x−42x - 4 olur. Böylece f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4 fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonda xx yerine 33 yazıldığında f(3)=2⋅3−4=2f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alarak integral işaretini kaldırın.
ddx(∫f(x) dx)=ddx(x2−4x+C)\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} (x^2 - 4x + C)

f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine 33 yazarak sonucu hesaplayın.
f(3)=2(3)−4=2f(3) = 2(3) - 4 = 2
Soruda bizden f(3)f(3) değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki
Soru 29Soru →

f:[2,8]→Rf: [2, 8] \rightarrow \mathbb{R} sürekli ve artan bir fonksiyondur. [2,8][2, 8] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.

Bu bölüntüye göre; ff fonksiyonunun [2,8][2, 8] aralığındaki Riemann alt toplamı AA, Riemann üst toplamı UU ve belirli integral değeri I=∫28f(x) dxI = \int_{2}^{8} f(x) \, dx olarak tanımlanıyor.

Buna göre;

I. A<I<UA < I < U
II. U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big)
III. n=3n = 3 ve f(x)=x2f(x) = x^2 için U−A=40U - A = 40 olur.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.
Sürekli ve artan bir fonksiyonda Riemann alt toplamı belirli integralden küçük, Riemann üst toplamı ise büyüktür. Bu nedenle A<I<UA < I < U ifadesi her zaman doğrudur. Riemann üst ve alt toplamlarının farkı ise U−A=(f(8)−f(2))⋅ΔxU - A = (f(8) - f(2)) \cdot \Delta x formülüyle bulunur. Eşit aralıklı bölüntüde Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n} olduğundan U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot (f(8) - f(2)) elde edilir ve bu ifade de her zaman doğrudur. n=3n = 3 ve f(x)=x2f(x) = x^2 için fark (f(8)−f(2))⋅63=(64−4)⋅2=120(f(8) - f(2)) \cdot \frac{6}{3} = (64 - 4) \cdot 2 = 120 olur, dolayısıyla üçüncü öncül yanlıştır. Bu yüzden doğru cevap 'I ve II' öncüllerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık özelliğine göre Riemann toplamları ile integral değerinin büyüklük ilişkisini belirlemek.
A<I<UA < I < U eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu bulunur.
ff fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun minimum de��eri sol uçta, maksimum değeri ise sağ uçta alınır. Bu durum alt toplamın integralden küçük, üst toplamın ise integralden büyük olmasını gerektirir.
2
Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki farkın genel formülünü türetmek.
U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big) elde edilir.
Eş alt aralık genişliği Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8 - 2}{n} = \frac{6}{n} dir. Alt toplam sol uç değerleriyle, üst toplam ise sağ uç değerleriyle hesaplanır. Fark alındığında aradaki tüm terimler sadeleşir ve geriye yalnızca sınır değerleri kalır: (f(8)−f(2))⋅Δx(f(8) - f(2)) \cdot \Delta x.
3
Üçüncü öncülde verilen özel durumu formül yardımıyla hesaplamak.
U−A=120U - A = 120 bulunur.
n=3n = 3 için Δx=2\Delta x = 2 olur. f(x)=x2f(x) = x^2 için f(8)=64f(8) = 64 ve f(2)=4f(2) = 4 olduğundan fark (64−4)⋅2=120(64 - 4) \cdot 2 = 120 olur. Öncüldeki 40 değeri yanlıştır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve aralarındaki farkın hesaplanması
Soru 30Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
F(x)=∫x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2 dxF(x) = \int \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx
eşitliği veriliyor.
f(1)=2f(1) = 2, F(1)=4F(1) = 4 ve f(3)=6f(3) = 6 olduğuna göre, F(3)F(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Doğru cevap 33 olarak bulunur.
İntegrali alınacak ifade, bölümün türevi kuralına göre −x2f(x)-\frac{x^2}{f(x)} fonksiyonunun türevidir. Bu sayede belirsiz integral F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C şeklinde elde edilir. Verilen başlangıç değerleri kullanılarak integral sabiti C=92C = \frac{9}{2} olarak bulunur. Sonrasında x=3x=3 yazılarak doğru sonuca (33) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadenin yapısını inceleme
İntegral içindeki x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2\frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} ifadesinin, bölümün türevi kuralı olan (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} formülü ile ilişkili olduğu görülür.
Karmaşık görünümlü integrallerde ifadenin hangi bilinen fonksiyonun türevi veya diferansiyeli olduğunu bulmak temel yöntemdir.
2
Bölüm türevi kuralını uygulama
d(−x2f(x))=x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2 dxd\left(-\frac{x^2}{f(x)}\right) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx olduğu doğrulanır.
x2f(x)\frac{x^2}{f(x)} ifadesinin türevi alındığında pay kısmında 2x⋅f(x)−x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) - x^2 \cdot f'(x) oluşur. Verilen integral bunun tam eksilisidir. Bu yüzden −x2f(x)-\frac{x^2}{f(x)} ifadesi kullanılır.
3
İntegrali hesaplama ve integral sabitini (CC) bulma
F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C olur. x=1x=1 yazılarak F(1)=−1f(1)+C  ⟹  4=−12+C  ⟹  C=92F(1) = -\frac{1}{f(1)} + C \implies 4 = -\frac{1}{2} + C \implies C = \frac{9}{2} bulunur.
Belirsiz integral hesaplandıktan sonra ortaya çıkan integral sabitini (CC) bulabilmek için fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri kullanılır.
4
F(3)F(3) değerini hesaplama
F(3)=−32f(3)+92=−96+92=−32+92=3F(3) = -\frac{3^2}{f(3)} + \frac{9}{2} = -\frac{9}{6} + \frac{9}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 3 elde edilir.
Elde edilen genel F(x)F(x) fonksiyonunda istenen x=3x=3 değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı yardımıyla belirsiz integral alma ve integral sabiti hesabı

Alternatif Yöntem

Türevin tanımı kullanılarak eşitliğin her iki tarafının türevi alınabilir: F′(x)=x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2F'(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2}. Bu ifadenin F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C biçiminde bir fonksiyonun türevi olduğu görülerek aynı sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 31Soru →
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığı eş alt aralıklara bölünerek elde edilen her Riemann üst toplamı, ∫153x dx\int_1^5 3^x \, dx belirli integralinin değerinden büyüktür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Doğru
Verilen fonksiyon sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun alacağı en büyük değer sağ uç noktada gerçekleşir. Bu sağ uç noktalarla oluşturulan Riemann üst toplamı, integralin temsil ettiği alanın her zaman üstünde kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun belirlenmesi.
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun türevi f′(x)=3xln⁡(3)>0f'(x) = 3^x \ln(3) > 0 olduğundan, fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında sürekli artandır.
Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi belirlemek için fonksiyonun yönü tespit edilmelidir.
2
Riemann üst toplamı tanımının artan fonksiyonlar için incelenmesi.
Artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değeri o aralığın sağ ucunda gerçekleşir. Riemann üst toplamı da sağ uç değerlerle hesaplanan dikdörtgen alanlarının toplamı olduğundan, bu toplam integral eğrisinin üzerinde kalan alanları da kapsar.
Üst toplamın integral ile olan geometrik ilişkisini kurmak için.
3
Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki büyüklük ilişkisinin yazılması.
Her PP bölüntüsü için Riemann üst toplamı U¨(f,P)>∫153x dxÜ(f, P) > \int_1^5 3^x \, dx eşitsizliğini sağlar. Bu durum ifadenin doğru olduğunu gösterir.
İfadenin doğruluk değerini kesin olarak tayin etmek için.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonların Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki ilişki
Soru 32Soru →

f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere tanımlı f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] aralığında 44 eşit alt aralığa göre hesaplanan Riemann orta toplamı, bu aralıktaki ∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx belirli integralinin değerinden daha büyüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Riemann orta toplamının değeri (2727), belirli integralin değerinden (803≈2667\frac{80}{3} \approx 26{}67) daha büyüktür.
Verilen f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] aralığındaki Riemann orta toplamı 2727 olarak hesaplanır. Bu aralıktaki belirli integral değeri ise 803≈2667\frac{80}{3} \approx 26{}67 olduğundan, Riemann orta toplamı integral değerinden büyüktür. Bu durum geometrik olarak fonksiyonun konkav (aşağı doğru içbükey) olmasından kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini ve alt aralıkların orta noktalarını belirleme
Aralık genişliği Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1 ve orta noktalar: m1=05m_1 = 0{}5, m2=15m_2 = 1{}5, m3=25m_3 = 2{}5, m4=35m_4 = 3{}5
Riemann orta toplamını hesaplamak için alt aralıkların orta noktalarına ve ortak aralık genişliğine ihtiyaç duyulur.
2
Orta noktaların fonksiyon altındaki görüntülerini hesaplama
f(05)=1175f(0{}5) = 11{}75, f(15)=975f(1{}5) = 9{}75, f(25)=575f(2{}5) = 5{}75, f(35)=−025f(3{}5) = -0{}25
Riemann orta toplamı formülündeki yükseklik değerlerini bulmak için orta noktaların fonksiyon değerleri hesaplanır.
3
Riemann orta toplamını (SortaS_{orta}) hesaplama
Sorta=[f(05)+f(15)+f(25)+f(35)]⋅Δx=(1175+975+575−025)⋅1=27S_{orta} = [f(0{}5) + f(1{}5) + f(2{}5) + f(3{}5)] \cdot \Delta x = (11{}75 + 9{}75 + 5{}75 - 0{}25) \cdot 1 = 27
Her alt aralığın orta noktasındaki fonksiyon değeri ile aralık genişliği çarpılıp toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.
4
Belirli integrali hesaplama ve Riemann orta toplamı ile karşılaştırma
∫04(12−x2) dx=[12x−x33]04=48−643=803≈2667\int_{0}^{4} (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = 48 - \frac{64}{3} = \frac{80}{3} \approx 26{}67 ve 27>266727 > 26{}67 olduğu görülür.
İfadenin doğruluğunu teyit etmek için Riemann orta toplamı ile integral değeri karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Riemann Orta Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Soru 33Soru →
Bir ff fonksiyonu, x≠0x \neq 0 olmak üzere,
f(x)=∫2x2−2xx dxf(x) = \int \frac{2x^2 - 2x}{x} \, dx
eşitliğini sağlamaktadır.
f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen değer olan 4 sayısıdır.
İntegral içerisindeki ifade sadeleştirilip 2x−22x - 2 biçimine getirildikten sonra belirsiz integrali alınarak f(x)=x2−2x+Cf(x) = x^2 - 2x + C kuralı bulunur. Verilen f(2)=5f(2) = 5 koşulu kullanıldığında integral sabiti C=5C = 5 olarak elde edilir. Bu kuralda x=1x = 1 yazıldığında fonksiyon değeri 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içerisindeki rasyonel ifadeyi sadeleştirelim.
x≠0x \neq 0 için 2x2−2xx=2x(x−1)x=2x−2\frac{2x^2 - 2x}{x} = \frac{2x(x - 1)}{x} = 2x - 2 olur.
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştiririz.
2
Elde edilen ifadenin belirsiz integralini hesaplayalım.
f(x)=x2−2x+Cf(x) = x^2 - 2x + C (burada CC integral sabitidir)
Polinom fonksiyonların integral alma kurallarını uygularız.
3
f(2)=5f(2) = 5 eşitliğini kullanarak CC integral sabitini belirleyelim.
f(2)=22−2(2)+C=5  ⟹  4−4+C=5  ⟹  C=5f(2) = 2^2 - 2(2) + C = 5 \implies 4 - 4 + C = 5 \implies C = 5 bulunur. Buradan f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 kuralına ulaşılır.
Fonksiyonun tek bir kural belirtmesi için verilen sınır koşulunu kullanarak integral sabitini buluruz.
4
f(x)f(x) fonksiyonunda x=1x = 1 yazarak istenen değeri hesaplayalım.
f(1)=12−2(1)+5=1−2+5=4f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 elde edilir.
Soruda bizden istenen f(1)f(1) değerini bulmak için fonksiyon kuralını uygularız.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin bulunması
Soru 34Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde iki kez türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=∫(x3⋅f′′(x)+6x2⋅f′(x)+6x⋅f(x))dxg(x) = \int \left(x^3 \cdot f''(x) + 6x^2 \cdot f'(x) + 6x \cdot f(x)\right) dx
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f′(1)=−1g(1)=82⋅f′(2)+3⋅f(2)=9\begin{aligned} f(1) &= 2 \\ f'(1) &= -1 \\ g(1) &= 8 \\ 2 \cdot f'(2) + 3 \cdot f(2) &= 9 \end{aligned}

olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

İntegral işlemleri ve verilen sınır koşulları doğru uygulandı��ında sonuç otuz dokuz olarak bulunur.
İntegral altındaki ifadenin, x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x)x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevi olduğu fark edilir. İntegral alındığında elde edilen fonksiyona sabit sayı eklenir. Verilen başlangıç koşullarıyla sabit sayı üç olarak bulunur. İkinci noktadaki fonksiyon değeri hesaplanırken katsayı ilişkisi düzenlenerek otuz dokuz sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içerisindeki ifadeyi çarpım türevi kuralına göre analiz etme.
d(x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x))=(x3⋅f′′(x)+6x2⋅f′(x)+6x⋅f(x))dxd(x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x)) = (x^3 \cdot f''(x) + 6x^2 \cdot f'(x) + 6x \cdot f(x)) dx olduğu görülür.
İntegrali alınacak karmaşık ifadenin temel türev kuralları cinsinden eşiti belirlenmelidir.
2
Belirsiz integrali hesaplama ve integral sabitini ekleme.
g(x)=x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x)+Cg(x) = x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x) + C elde edilir.
Türevi bilinen ifadenin belirsiz integrali, integral sabiti eklenerek yazılır.
3
x=1x = 1 için verilen değerleri kullanarak integral sabiti CC'yi bulma.
8=13⋅(−1)+3⋅12⋅2+C  ⟹  8=5+C  ⟹  C=38 = 1^3 \cdot (-1) + 3 \cdot 1^2 \cdot 2 + C \implies 8 = 5 + C \implies C = 3 bulunur.
Fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri sayesinde belirsiz integraldeki sabit sayı hesaplanır.
4
x=2x = 2 noktasındaki değeri verilen bağıntı cinsinden düzenleme ve hesaplama.
g(2)=8⋅f′(2)+12⋅f(2)+3=4(2⋅f′(2)+3⋅f(2))+3g(2) = 8 \cdot f'(2) + 12 \cdot f(2) + 3 = 4(2 \cdot f'(2) + 3 \cdot f(2)) + 3 şeklinde yazılır. Buradan g(2)=4⋅9+3=39g(2) = 4 \cdot 9 + 3 = 39 elde edilir.
Ortak çarpan parantezi kullanılarak bilinmeyen ifadeler verilen eşitliğe benzetilir ve sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve çarpım kuralının tersten uygulanması.
Soru 35Soru →
f:[0,3]→Rf: [0, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
[0,3][0, 3] kapalı aralığı, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü elde ediliyor.
- AA, bu bölüntüye ait sol uç noktalar yardımıyla hesaplanan Riemann toplamı,
- BB, bu bölüntüye ait sağ uç noktalar yardımıyla hesaplanan Riemann toplamı,
- I=∫03f(x) dxI = \int_0^3 f(x) \, dx belirli integralinin değeri
olduğuna göre; AA, BB ve II değerleri arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: B<I<AB < I < A

Cevap

Sol uç noktalarla hesaplanan toplamın integralden büyük, sağ uç noktalarla hesaplanan toplamın ise integralden küçük olduğunu gösteren sıralama doğrudur.
Doğru sıralama olan B<I<AB < I < A ifadesi, f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] aralığında azalan olmasından kaynaklanır. Azalan fonksiyonlarda sol uç noktalar yardımıyla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı (AA) eğrinin üzerinde kalarak üst toplamı oluştururken, sağ uç noktalarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı (BB) eğrinin altında kalarak alt toplamı oluşturur. Belirli integralin değeri (II) ise bu iki toplam arasında yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun incelenmesi
f′(x)=−2xf'(x) = -2x olup, (0,3](0, 3] aralığında f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonu [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve azalandır.
Riemann toplamlarının integral değeriyle olan ilişkisini belirlemek amacıyla fonksiyonun karakteri tespit edilir.
2
Riemann toplamları ile belirli integral ilişkisinin teorik olarak kurulması
Azalan bir fonksiyonda, her alt aralıkta maksimum değer sol uç noktada, minimum değer ise sağ uç noktada alınır. Dolayısıyla sol uç noktalarla hesaplanan Riemann toplamı (AA) Riemann üst toplamını (A=U¨st ToplamA = \text{Üst Toplam}); sağ uç noktalarla hesaplanan Riemann toplamı (BB) ise Riemann alt toplamını (B=Alt ToplamB = \text{Alt Toplam}) oluşturur. Sürekli ve azalan fonksiyonlar için bu değerler arasında B<∫03f(x) dx<AB < \int_0^3 f(x) \, dx < A ilişkisi mevcuttur.
Azalan fonksiyonlarda sol uç değerlerin daima sağ uç değerlerden büyük olması eşitsizliğin yönünü belirler.
3
Sayısal hesaplama ile sonucun teyit edilmesi
Aralık genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1'dir. Alt aralıklar: [0,1][0,1], [1,2][1,2], [2,3][2,3]'tür.
- A=1⋅(f(0)+f(1)+f(2))=12+11+8=31A = 1 \cdot (f(0) + f(1) + f(2)) = 12 + 11 + 8 = 31
- B=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=11+8+3=22B = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 11 + 8 + 3 = 22
- I=∫03(12−x2) dx=[12x−x33]03=36−9=27I = \int_0^3 (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = 36 - 9 = 27
Sayısal değerler karşılaştırıldığında 22<27<3122 < 27 < 31 yani B<I<AB < I < A sıralaması doğrulanır.
Teorik analizin doğruluğu sayısal hesaplama adımlarıyla kesinleştirilir.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →

Bir f(x)=x2+mxf(x) = x^2 + mx fonksiyonu [1,5][1, 5] kapalı aralığında tanımlı ve artandır. Bu aralık nn adet eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor. ff fonksiyonunun bu b��lüntüye göre Riemann üst toplamı UU ve Riemann alt toplamı AA olarak hesaplanıyor.

n=8n = 8 için U−A=16U - A = 16 olduğuna göre, ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integralinin değeri ile n=4n = 4 eş alt aralık için hesaplanan Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 463\frac{46}{3}

Cevap

Belirli integral değeri olan 1963\frac{196}{3} ile Riemann alt toplamı değeri olan 5050 arasındaki fark 463\frac{46}{3}'tür.
Fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında artan olup Riemann üst ve alt toplam farkından m=2m = 2 olarak bulunur. Elde edilen f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integral değeri 1963\frac{196}{3} ve n=4n=4 için Riemann alt toplamı sol uç noktalarla 5050 olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark ise 463\frac{46}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliği formülün�� yazıp Riemann üst ve alt toplamlarının farkını veren bağıntıyı belirleyin.
Alt aralık genişliği Δx=5−1n=4n\Delta x = \frac{5-1}{n} = \frac{4}{n} olur. Fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında artan olduğundan, üst toplam ile alt toplam arasındaki fark U−A=(f(5)−f(1))⋅Δx=((25+5m)−(1+m))⋅4n=(24+4m)⋅4nU - A = (f(5) - f(1)) \cdot \Delta x = ((25 + 5m) - (1 + m)) \cdot \frac{4}{n} = (24 + 4m) \cdot \frac{4}{n} ��eklinde ifade edilir.
Artan fonksiyonlarda Riemann üst ve alt toplamlarının farkı, uç noktalardaki fonksiyon değerlerinin farkı ile aralık genişliğinin çarpımına eşittir.
2
Verilen n=8n=8 ve U−A=16U-A=16 değerlerini denklemde yerine koyarak mm parametresini hesaplayın.
(24+4m)⋅48=16  ⟹  12+2m=16  ⟹  2m=4  ⟹  m=2(24 + 4m) \cdot \frac{4}{8} = 16 \implies 12 + 2m = 16 \implies 2m = 4 \implies m = 2 bulunur. Böylece fonksiyon f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x olarak elde edilir.
Riemann toplamı ve integral işlemlerini gerçekleştirebilmek için öncelikle fonksiyondaki bilinmeyen katsayının bulunması gerekir.
3
f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integralini hesaplayın.
∫15(x2+2x) dx=[x33+x2]15=(1253+25)−(13+1)=1243+24=1963\int_1^5 (x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^5 = \left( \frac{125}{3} + 25 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{124}{3} + 24 = \frac{196}{3} elde edilir.
Riemann alt toplamı ile integral arasındaki farkı bulmak için öncelikle eğri altında kalan alanın kesin değerini temsil eden belirli integrali hesaplamamız gerekir.
4
n=4n=4 eş alt aralık için Riemann alt toplamını hesaplayın.
Alt aralık genişliği Δx=5−14=1\Delta x = \frac{5-1}{4} = 1 olur. Alt aralıklar [1,2],[2,3],[3,4],[4,5][1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5] şeklindedir. Fonksiyon artan olduğu için her aralığın sol uç noktasındaki değerler kullanılır: A4=(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))⋅1=(3+8+15+24)⋅1=50A_4 = (f(1) + f(2) + f(3) + f(4)) \cdot 1 = (3 + 8 + 15 + 24) \cdot 1 = 50 bulunur.
Artan bir fonksiyonun Riemann alt toplamını bulmak için her alt aralıktaki minimum değer olan sol uç noktaların görüntülerinin toplamı alınır.
5
Hesaplanan belirli integral değeri ile Riemann alt toplamı arasındaki farkı bulun.
1963−50=463\frac{196}{3} - 50 = \frac{46}{3} olarak bulunur.
Sorunun bizden istediği nihai fark değerine ulaşmak için iki değeri birbirinden çıkarırız.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile olan ilişkisi, artan fonksiyonlarda alt/üst toplam sınırlarının belirlenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 37Soru →

Türevi f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2 olan bir ff fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde (1,4)(1, 4) noktasından geçmektedir.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Türev fonksiyonunun integrali alındığında f(x)=3x2−2x+Cf(x) = 3x^2 - 2x + C elde edilir. (1,4)(1, 4) noktası denklemde yerine yazıldığında C=3C = 3 olarak bulunur. Buradan f(x)=3x2−2x+3f(x) = 3x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak doğru sonuç 1111 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevi verilen f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2 fonksiyonunun belirsiz integralini alalım.
f(x)=∫(6x−2) dx=3x2−2x+Cf(x) = \int (6x - 2) \, dx = 3x^2 - 2x + C elde edilir.
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
2
f(1)=4f(1) = 4 eşitliğini kullanarak 3x2−2x+C3x^2 - 2x + C ifadesinde xx yerine 11 yazalım.
f(1)=3(1)2−2(1)+C=4⇒1+C=4⇒C=3f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + C = 4 \Rightarrow 1 + C = 4 \Rightarrow C = 3 bulunur.
Grafiğin geçtiği nokta fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.
3
f(x)=3x2−2x+3f(x) = 3x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda xx yerine 22 yazalım.
f(2)=3(2)2−2(2)+3=12−4+3=11f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 3 = 12 - 4 + 3 = 11 elde edilir.
Bulunan genel fonksiyon kuralında istenen girdi yerine yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral yardımıyla ve başlangıç koşulu kullanılarak bulunması.
Soru 38Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
A(x)=∫(x2⋅f′(x)+2x⋅f(x))dxA(x) = \int \left( x^2 \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) \right) dx
B(x)=∫(x⋅f′(x)+f(x))dxB(x) = \int \left( x \cdot f'(x) + f(x) \right) dx
eşitlikleri veriliyor.
A(1)=4A(1) = 4, B(1)=2B(1) = 2, A(2)=15A(2) = 15 ve B(2)=7B(2) = 7 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Aranan değer olan 3 sayısı elde edilir.
Doğru cevaba ulaşmak için integrallerin içindeki ifadelerin çarpım türevi kuralları olduğunu fark etmeliyiz. A(x)=x2⋅f(x)+C1A(x) = x^2 \cdot f(x) + C_1 ve B(x)=x⋅f(x)+C2B(x) = x \cdot f(x) + C_2 olarak integre edilir. x=1x = 1 için verilenlerden C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 bağıntısı çıkarılır. Ardından x=2x = 2 için 4⋅f(2)+C1=154 \cdot f(2) + C_1 = 15 ve 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 denklemleri yazılır. İlk denklemde C1C_1 yerine C2+2C_2 + 2 yazıldığında 4⋅f(2)+C2=134 \cdot f(2) + C_2 = 13 elde edilir. Bu denklemden 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 çıkarıldığında 2⋅f(2)=62 \cdot f(2) = 6 ve buradan f(2)=3f(2) = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral kurallarını kullanarak A(x)A(x) ve B(x)B(x) ifadelerinin belirsiz integrallerini belirleyelim.
A(x)=x2⋅f(x)+C1A(x) = x^2 \cdot f(x) + C_1 ve B(x)=x⋅f(x)+C2B(x) = x \cdot f(x) + C_2 elde edilir.
Çarpım türevi kuralından (x2⋅f(x))′=x2⋅f′(x)+2x⋅f(x)(x^2 \cdot f(x))' = x^2 \cdot f'(x) + 2x \cdot f(x) ve (x⋅f(x))′=x⋅f′(x)+f(x)(x \cdot f(x))' = x \cdot f'(x) + f(x) olduğunu biliyoruz. Belirsiz integral, türevin tersi olduğundan bu sonuçlara ulaşılır.
2
x=1x = 1 için verilen değerleri kullanarak integral sabitleri C1C_1 ve C2C_2 arasındaki ilişkiyi bulalım.
C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 bağıntısı elde edilir.
A(1)=12⋅f(1)+C1=4A(1) = 1^2 \cdot f(1) + C_1 = 4 ve B(1)=1⋅f(1)+C2=2B(1) = 1 \cdot f(1) + C_2 = 2 eşitlikleri taraf tarafa çıkarılarak f(1)f(1) terimi yok edilir.
3
x=2x = 2 için verilen değerleri ve bulduğumuz sabit ilişkisini kullanarak bir denklem sistemi kuralım.
A(2)=4⋅f(2)+C1=15A(2) = 4 \cdot f(2) + C_1 = 15 ve B(2)=2⋅f(2)+C2=7B(2) = 2 \cdot f(2) + C_2 = 7 denklem sistemi elde edilir.
Belirsiz integral sonuçlarında x=2x = 2 yazılarak bu eşitlikler elde edilir.
4
C1=C2+2C_1 = C_2 + 2 ilişkisini A(2)A(2) denkleminde yerine yazıp denklem sistemini çözelim.
f(2)=3f(2) = 3 bulunur.
4⋅f(2)+C2+2=15  ⟹  4⋅f(2)+C2=134 \cdot f(2) + C_2 + 2 = 15 \implies 4 \cdot f(2) + C_2 = 13 elde edilir. Bu denklemden 2⋅f(2)+C2=72 \cdot f(2) + C_2 = 7 çıkarıldığında 2⋅f(2)=6  ⟹  f(2)=32 \cdot f(2) = 6 \implies f(2) = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi ve çarpım türevinin tersini bulma
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 39Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=−x2+18x+20f(x) = -x^2 + 18x + 20
fonksiyonunun [2,8][2, 8] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu kapalı aralık nn adet eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye ait Riemann üst toplamı UnU_n ve Riemann alt toplamı LnL_n hesaplanıyor.
Buna göre,
Un−Ln<3U_n - L_n < 3
eşitsizliğini sağlayan en küçük nn doğal sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 97

Cevap

97
Fonksiyonun tepe noktası apsisi 99 olduğundan, [2,8][2, 8] kapalı aralığında fonksiyon sürekli ve artandır. Artan bir fonksiyonun nn eş alt aralığa göre Riemann üst ve alt toplamlarının farkı Un−Ln=b−an(f(b)−f(a))U_n - L_n = \frac{b-a}{n}(f(b) - f(a)) formülü ile hesaplanır. Buradan 6n(100−52)=288n<3\frac{6}{n}(100 - 52) = \frac{288}{n} < 3 eşitsizliği elde edilir ve n>96n > 96 koşulundan en küçük doğal sayı değeri 97 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parabolün tepe noktasını bulup [2,8][2, 8] aralığındaki artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.
f(x)=−x2+18x+20f(x) = -x^2 + 18x + 20 fonksiyonunun tepe noktası apsisi r=−182(−1)=9r = -\frac{18}{2(-1)} = 9 olarak bulunur. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan, fonksiyon (−∞,9](-\infty, 9] aralığında artandır. Bu nedenle, [2,8][2, 8] aralığında da sürekli ve kesin artandır.
Riemann alt ve üst toplamlarının hangi uç değerlerde hesaplanacağını belirlemek için fonksiyonun bu aralıkta artan mı azalan mı olduğunu saptamak gerekir.
2
Riemann üst toplamı (UnU_n) ile Riemann alt toplamı (LnL_n) arasındaki farkı veren genel formülü oluşturun.
ff fonksiyonu [2,8][2, 8] aralığında artan olduğundan, her bir eş alt aralıkta Riemann üst toplamı için aralığın sağ ucu, alt toplam�� için ise sol ucu kullanılır. Alt aralık genişliği Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n} olmak üzere, üst toplam ile alt toplam arasındaki fark: Un−Ln=Δx⋅(f(8)−f(2))U_n - L_n = \Delta x \cdot (f(8) - f(2)) olarak elde edilir.
Ardışık alt aralıkların uç noktalarındaki fonksiyon değerleri Riemann toplamlarının farkında birbirini sadeleştirir (teleskopik toplam) ve geriye sadece sınır değerleri kalır.
3
f(8)f(8) ve f(2)f(2) değerlerini hesaplayıp fark formülünde yerine koyun.
f(8)=−82+18(8)+20=−64+144+20=100f(8) = -8^2 + 18(8) + 20 = -64 + 144 + 20 = 100
f(2)=−22+18(2)+20=−4+36+20=52f(2) = -2^2 + 18(2) + 20 = -4 + 36 + 20 = 52
Fark: f(8)−f(2)=48f(8) - f(2) = 48
Buradan: Un−Ln=6n⋅48=288nU_n - L_n = \frac{6}{n} \cdot 48 = \frac{288}{n} bulunur.
Eşitsizliği çözebilmek için Riemann toplamların��n farkını nn cinsinden sayısal bir ifadeye dönüştürmek gerekir.
4
288n<3\frac{288}{n} < 3 eşitsizliğini çözerek en küçük nn doğal sayısını bulun.
288n<3  ⟹  288<3n  ⟹  n>96\frac{288}{n} < 3 \implies 288 < 3n \implies n > 96
nn bir doğal sayı olduğundan, bu eşitsizliği sağlayan en küçük değer n=97n = 97 olarak bulunur.
İstenen eşitsizlik koşulunu sağlayan en küçük tam sayı (doğal sayı) sınır değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 40Soru →

f:[1,4]→Rf: [1, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonu veriliyor. [1,4][1, 4] kapalı aralığı 33 eşit alt aralığa bölünerek elde edilen bölüntüye göre, ff fonksiyonunun bu aralıktaki Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Riemann alt toplamı 7'dir.
Verilen fonksiyon [1,2][1, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aralığında ise artandır. Bu nedenle [1,2][1, 2] alt aralığında minimum değer f(2)=2f(2) = 2, [2,3][2, 3] alt aralığında minimum değer f(2)=2f(2) = 2 ve [3,4][3, 4] alt aralığında minimum değer f(3)=3f(3) = 3 olur. Genişlik olan 1 ile bu değerler çarpılıp toplandığında Riemann alt toplamı 1⋅2+1⋅2+1⋅3=71 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini bulma
Δx=1\Delta x = 1
[1,4][1, 4] aralığının 3 eşit parçaya bölünmesi nedeniyle aralık uzunluğu olan 3 değeri 3'e bölünür.
2
Her alt aralıktaki minimum değerleri belirleme
[1,2][1, 2] aralığı için minimum değer 2, [2,3][2, 3] aralığı için minimum değer 2, [3,4][3, 4] aralığı için minimum değer 3'tür.
Fonksiyonun tepe noktası x=2x=2 olduğundan, bu noktada en küçük değerini alır. Parabolün tepe noktasının solunda azalan, sağında artan olması incelenir.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
7
Her bir alt aralık için elde edilen minimum değerler alt aralık genişliği olan 1 ile çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, tanım aralığının alt aralıklarında sürekli fonksiyonun aldığı mutlak minimum değerler ile alt aralık genişlikleri çarpılır ve bu değerler toplanır.
ÖncekiSayfa 2 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin