Examkin

Limit ve Süreklilik

122 soru

Tüm türler122Çoktan seçmeli78Doğru / Yanlış23Sayısal21
Soru 61Soru →

kk bir gerçel sayı olmak üzere, R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={∣x2−1∣x−1+3x,x<1x2−3x+2x−1+k,x>1f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + 3x, & x < 1 \\ \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} + k, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) limiti var olduğuna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

k = 2
Limitin varlığı için kritik nokta olan x=1x = 1 civarında sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ilkesi kullanılmış, mutlak değer ve çarpanlara ayırma işlemleriyle belirsizlikler giderilerek kk parametresi 22 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limit değerinin hesaplanması
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1
x<1x < 1 için x2<1x^2 < 1 olup x2−1<0x^2 - 1 < 0 elde edilir. Bu nedenle ∣x2−1∣=−(x2−1)=−(x−1)(x+1)|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1) olarak dışarı çıkar. Pay ve paydadaki (x−1)(x - 1) terimleri sadeleştiğinde geriye −(x+1)+3x-(x + 1) + 3x kalır. x→1−x \to 1^- için limit değeri −(1+1)+3(1)=1-(1 + 1) + 3(1) = 1 olur.
2
Sağ limit değerinin hesaplanması
\lim_{x \to 1^+} f(x) = k - 1
x>1x > 1 için rasyonel ifadedeki pay kısmı x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki (x−1)(x - 1) terimleri sadeleştiğinde geriye x−2+kx - 2 + k kalır. x→1+x \to 1^+ için limit değeri 1−2+k=k−11 - 2 + k = k - 1 olur.
3
Limitin varlık şartının uygulanması
k = 2
x=1x = 1 noktasında limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir. Buradan 1=k−11 = k - 1 eşitliği kurularak k=2k = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Mutlak değerli ifadelerin limiti hesaplanırken limit noktasının civarındaki işaret analizi kritik önem taşır.
Soru 62Soru →
lim⁡x→π41−tan⁡(x)cos⁡(2x)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \tan(x)}{\cos(2x)}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Limit değerinin 1 olduğunu belirten seçenek doğrudur.
Limit ifadesinde x=π4x = \frac{\pi}{4} yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Pay kısmındaki 1−tan⁡(x)1 - \tan(x) ifadesi cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)} şeklinde, payda kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi ise (cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) şeklinde yazılır. İfadeler oranlandığında belirsizliğe yol açan cos⁡(x)−sin⁡(x)\cos(x) - \sin(x) terimleri sadeleşir. Kalan ifadede x=π4x = \frac{\pi}{4} yazıldığında limit değeri 1 olarak bulunur. Bu nedenle 1 değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak, x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri limit ifadesinde yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.
x=π4x = \frac{\pi}{4} için tan⁡(π4)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 ve cos⁡(2⋅π4)=cos⁡(π2)=0\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 olduğundan pay 1−1=01 - 1 = 0, payda ise 00 olur. Bu durumda 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Belirsizlik türünü tespit edip uygun çözüm yöntemini (trigonometrik sadeleştirme) belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.
2
Pay ve paydadaki ifadeler trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilebilir hale getirilir.
Pay kısmında tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} yazılarak payda eşitlenir:
1−tan⁡(x)=1−sin⁡(x)cos⁡(x)=cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)1 - \tan(x) = 1 - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}

Payda kısmında ise yarım açı formülü kullanılarak iki kare farkı açılımı yapılır:
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))
Belirsizliğe neden olan ortak çarpanı (ortak sıfır noktasını) ortaya çıkarmak için ifadeler çarpanlarına ayrılır.
3
Elde edilen ifadeler birbirine oranlanarak ortak olan cos⁡(x)−sin⁡(x)\cos(x) - \sin(x) çarpanları sadeleştirilir.
Limit ifadesi şu şekle dönüşür:
lim⁡x→π4cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))=lim⁡x→π41cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}}{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos(x)(\cos(x) + \sin(x))}
Sıfır değerini üreten çarpanların sadeleştirilmesiyle belirsizlik giderilmiş olur.
4
Belirsizlik giderildikten sonra x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri sadeleşmiş ifadede yerine yazılarak limit değeri hesaplanır.
1cos⁡(π4)⋅(cos⁡(π4)+sin⁡(π4))=122⋅(22+22)=122⋅2=122=1\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\frac{2}{2}} = 1
Belirsizlik giderildiği için fonksiyonun o noktadaki limiti, doğrudan sadeleşmiş ifadenin fonksiyon değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler ve yarım açı formülleri kullanılarak 00\frac{0}{0} belirsizliğinin giderilmesi.

Alternatif Yöntem

L'Hospital kuralı kullanılarak da bu limit hesaplanabilir. Pay ve paydanın türevi alındığında:
lim⁡x→π4−sec⁡2(x)−2sin⁡(2x)=lim⁡x→π412cos⁡2(x)sin⁡(2x)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sec^2(x)}{-2\sin(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1}{2\cos^2(x)\sin(2x)}
Değerler yerine yazılırsa:
12⋅(22)2⋅sin⁡(π2)=12⋅12⋅1=1\frac{1}{2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1} = 1
bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 63Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→3x2+ax−12x2−5x+6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax - 12}{x^2 - 5x + 6}
limiti bir gerçel sayıya eşittir.

Buna göre, bu limitin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Limit değeri 7 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 7 değeri, limitin var olması için gereken a=1a=1 parametresi bulunduktan sonra limit ifadesindeki belirsizliğin (x−3)(x-3) çarpanlarının sadeleştirilmesiyle giderilmesi ve kalan ifadede x=3x=3 yazılıp hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın x=3x = 3 için sıfır olduğunu belirlemek ve limitin gerçel sayı olması için payın da sıfır olması gerektiğini saptamak.
Payda olan x2−5x+6x^2-5x+6 ifadesinde x=3x=3 yazıldığında 32−5(3)+6=9−15+6=03^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 olur. Limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için pay kısmının da x=3x=3 için sıfır olması gerekir: 32+3a−12=03^2 + 3a - 12 = 0.
Eğer pay sıfır olmasaydı, limit gerçel bir sayı yerine tanıms��z (sonsuz) olurdu.
2
aa parametresini hesaplamak.
9+3a−12=0⇒3a−3=0⇒a=19 + 3a - 12 = 0 \Rightarrow 3a - 3 = 0 \Rightarrow a = 1 bulunur.
Limit ifadesindeki payı tam olarak belirleyip çarpanlarına ayırabilmek için aa değerine ihtiyaç duyulmaktadır.
3
a=1a = 1 değerini yerine yazarak pay ve paydayı çarpanlarına ayırmak ve belirsizliği gidermek.
Limit ifadesi lim⁡x→3x2+x−12x2−5x+6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 5x + 6} haline gelir. Payı (x−3)(x+4)(x-3)(x+4) ve paydayı (x−3)(x−2)(x-3)(x-2) şeklinde çarpanlarına ayırırız. Buradan limit: lim⁡x→3(x−3)(x+4)(x−3)(x−2)=lim⁡x→3x+4x−2\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)}{(x-3)(x-2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+4}{x-2} olur.
0/00/0 belirsizliğine neden olan ortak (x−3)(x-3) çarpanını sadeleştirmek için.
4
Sadeleştirilmiş ifadede x=3x=3 değerini yerine yazarak limit değerini bulmak.
3+43−2=71=7\frac{3+4}{3-2} = \frac{7}{1} = 7 elde edilir.
Belirsizlik ortadan kalktığı için doğrudan yerine koyma yöntemi uygulanabilir.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/00/0 belirsizliği durumunda, belirsizliğe neden olan çarpanlar sadeleştirilerek limit hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 64Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları ile bir aa gerçel sayısı için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 olduğu bilinmektedir. Buna göre, 'lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} limitinin de��eri her zaman bir gerçel sayıya eşittir.' ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limitin bir gerçel sayı olması zorunlu değildir. Örneğin, pay xx ve payda x2x^2 iken sıfıra giderken bölümün limiti olan 1/x1/x limiti mevcut değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik kavramını ve limitin var olma koşulunu analiz etme.
lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 durumu 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşturur. Belirsizlik durumlarında limitin değeri bir gerçel sayı olabileceği gibi, limit var olmayabilir de.
Bölüm durumundaki limitlerde pay ve paydanın sıfıra gitmesi, limitin kesinlikle var olduğunu veya gerçel sayı olduğunu garanti etmez.
2
İfadeyi çürüten bir karşı örnek (karşıt örnek) bulma.
f(x)=xf(x) = x ve g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonlarını seçelim. a=0a = 0 olsun. Bu durumda lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} x = 0 ve lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0 olur.
Önermenin her zaman doğru olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.
3
Seçilen fonksiyonlar için limitin değerini hesaplama.
lim⁡x→0f(x)g(x)=lim⁡x→0xx2=lim⁡x→01x\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} limiti elde edilir. xx, 00'a sağdan yaklaşırken limit +∞+\infty, soldan yaklaşırken −∞-\infty olur. Dolayısıyla limit bir gerçel sayıya eşit değildir (limit yoktur).
Karşı örnekteki limitin bir gerçel sayıya eşit olmadığını göstererek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlarız.

Anahtar Kavram

Sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limitin varlığı her zaman garanti değildir; limit bir gerçel sayı olabilir, sonsuz olabilir veya hiç var olmayabilir.
Soru 65Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu
f(x)={log⁡2(a−x),x<2x2−b,2≤x≤3x−3x+c−3,x>3f(x) = \begin{cases} \log_2(a - x), & x < 2 \\ x^2 - b, & 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{x - 3}{\sqrt{x + c} - 3}, & x > 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı 13'tür.
Doğru cevap süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı olan 13 değeridir. x=3x = 3 noktasındaki sağdan limitin varlığı için 00\frac{0}{0} belirsizliği kullanılarak c=6c = 6 ve limit değeri 6 bulunur. Buradan soldan limit ile eşitleme yapılarak b=3b = 3 elde edilir. Son olarak x=2x = 2 noktasındaki soldan ve sağdan limit eşitliğinden a=4a = 4 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki süreklilik şartını belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)=f(3)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) olmalıdır. Burada f(3)=32−b=9−bf(3) = 3^2 - b = 9 - b olur.
Süreklilik tan��mı gereği bir noktadaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyonun değeri eşit olmalıdır.
2
x=3x = 3 noktasındaki sağdan limiti hesaplama ve cc değerini bulma
lim⁡x→3+x−3x+c−3\lim_{x \to 3^+} \frac{x - 3}{\sqrt{x + c} - 3} limitinin reel sayı çıkması için paydanın sıfır olması gerekir (00\frac{0}{0} belirsizliği). 3+c−3=0  ⟹  3+c=9  ⟹  c=6\sqrt{3 + c} - 3 = 0 \implies 3 + c = 9 \implies c = 6 bulunur.
Pay sıfıra giderken payda sıfıra gitmezse limit sıfır olur, bu da sürekli olmayan durumlar yaratabilir ya da tanımsızlık oluşturur. Burada limitin gerçel sayı olması için belirsizlik şarttır.
3
c=6c = 6 için limiti hesaplama
lim⁡x→3+x−3x+6−3=lim⁡x→3+(x−3)(x+6+3)x+6−9=lim⁡x→3+(x+6+3)=6\lim_{x \to 3^+} \frac{x - 3}{\sqrt{x + 6} - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)}{x + 6 - 9} = \lim_{x \to 3^+} (\sqrt{x + 6} + 3) = 6 olur.
Eşlenik çarpımı yapılarak belirsizliğe neden olan çarpanlar sadeleştirilir.
4
bb değerini bulma
9−b=6  ⟹  b=39 - b = 6 \implies b = 3 elde edilir.
x=3x = 3 noktasında soldan limit ile sağdan limitin eşit olması gerekir.
5
x=2x = 2 noktasındaki süreklilikten aa değerini bulma
lim⁡x→2−log⁡2(a−x)=lim⁡x→2+(x2−3)  ⟹  log⁡2(a−2)=1  ⟹  a−2=2  ⟹  a=4\lim_{x \to 2^-} \log_2(a - x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 3) \implies \log_2(a - 2) = 1 \implies a - 2 = 2 \implies a = 4 bulunur.
x=2x = 2 kritik noktasında limitlerin eşitliği sağlanmalıdır.
6
a+b+ca + b + c toplamını hesaplama
a+b+c=4+3+6=13a + b + c = 4 + 3 + 6 = 13 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değeridir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarda limit ve süreklilik şartları ile belirsizlik giderme yöntemleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 66Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar kümesi olan bir ff fonksiyonunun her x0x_0 gerçel sayısı için limiti mevcut ve lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣f(x0)∣\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)| eşitliği sağlandığına göre, ff fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda sürekli olduğu önermesi doğru bir önerme midir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır (False). Bir fonksiyonun mutlak değerinin limitinin o noktadaki görüntünün mutlak değerine eşit olmas�� ve fonksiyonun limitinin var olması, fonksiyonun kendisinin sürekli olduğunu garanti etmez; çünkü limit değeri ile fonksiyonun o noktadaki değeri zıt işaretli olabilir.
Verilen önerme yanlıştır. Çünkü bir fonksiyonun limitinin bulunması ve mutlak değerinin limitinin görüntüsünün mutlak değerine eşit olması, o noktada limitin görüntünün kendisine eşit olmasını garanti etmez. Limit değeri görüntünün zıt işaretlisine eşit olduğunda (L=−f(x0)≠0L = -f(x_0) \neq 0) fonksiyon süreksiz olur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik tanımını gözden geçirme ve verilen koşulları analiz etme
Bir ff fonksiyonunun x0x_0 noktasında sürekli olması için lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) olmalıdır. Bize verilenler ise lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L limitinin varlığı ve lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣f(x0)∣\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)| koşuludur.
Verilen koşulların süreklilik tanımıyla doğrudan uyuşup uyuşmadığını anlamak için.
2
Limit kurallarını mutlak değer fonksiyonuna uygulama
Eğer lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L ise, mutlak değer fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣L∣\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |L| olur. Bize verilen diğer eşitlikle birleştirirsek ∣L∣=∣f(x0)∣|L| = |f(x_0)| elde edilir.
Limit değerinin mutlak değeri ile fonksiyonun o noktadaki değerinin mutlak değerinin ilişkisini kurmak için.
3
Mutlak değer eşitliğini çözme ve olası durumları inceleme
∣L∣=∣f(x0)∣|L| = |f(x_0)| eşitliğinden L=f(x0)L = f(x_0) veya L=−f(x0)L = -f(x_0) elde edilir. Eğer L=−f(x0)L = -f(x_0) ve f(x0)≠0f(x_0) \neq 0 ise, lim⁡x→x0f(x)=−f(x0)≠f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = -f(x_0) \neq f(x_0) olacağından fonksiyon sürekli olmaz.
İfadenin her durumda doğru olup olmadığını belirlemek için karşıt bir durum aramaktır.
4
Karşıt örnek (aksine örnek) oluşturma
f(x)={1,x≠0−1,x=0f(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 0 \\ -1, & x = 0 \end{cases} fonksiyonunu tanımlayalım. Bu fonksiyon için x0=0x_0 = 0 noktasında limit lim⁡x→0f(x)=1\lim_{x \to 0} f(x) = 1 olur ve mevcuttur. lim⁡x→0∣f(x)∣=1\lim_{x \to 0} |f(x)| = 1 ve ∣f(0)∣=∣−1∣=1|f(0)| = |-1| = 1 eşitliği sağlanır. Ancak lim⁡x→0f(x)=1≠f(0)=−1\lim_{x \to 0} f(x) = 1 \neq f(0) = -1 olduğundan fonksiyon x=0x=0'da süreksizdir. Dolayısıyla önerme yanlıştır.
İddia edilen genel önermeyi çürüten somut bir örnek sunmak için.

Anahtar Kavram

Süreklilik tanımı, limit varlığı ve mutlak değer ilişkisi
Soru 67Soru →
lim⁡x→π4cos⁡(2x)1−tan⁡(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(2x)}{1 - \tan(x)}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru yanıt olan seçenek limit değerini 11 olarak belirtmektedir.
Limit ifadesinde yer alan belirsizliği gidermek üzere pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) terimi yarım açı formülüyle (cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) olarak, paydadaki 1−tan⁡(x)1 - \tan(x) terimi ise cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)} olarak yazılır. İfadeler sadeleştirildiğinde limit lim⁡x→π4cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos(x)(\cos(x) + \sin(x)) şekline dönüşür. Bu ifadede x=π4x = \frac{\pi}{4} değeri yerine yazıldığında sonuç 11 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik kontrolünü yapalım.
x→π4x \to \frac{\pi}{4} için hem pay cos⁡(2⋅π4)=0\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 0 hem de payda 1−tan⁡(π4)=01 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 değerini alır. Dolayısıyla 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik durumunu tespit etmek gerekir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek amacıyla trigonometrik özdeşlikleri kullanarak açalım.
Pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesi iki kare farkı biçiminde cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) olarak yazılır. Paydadaki tan⁡(x)\tan(x) ise sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} biçimine dönüştürülerek payda eşitlenir ve 1−tan⁡(x)=cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)1 - \tan(x) = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)} elde edilir.
Belirsizliği ortadan kaldırmak için ortak çarpanları bulup sadeleştirmek gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri oranlayıp sadeleştirelim.
(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)=cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))\frac{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))}{\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}} = \cos(x)(\cos(x) + \sin(x))
Ortak olan cos⁡(x)−sin⁡(x)\cos(x) - \sin(x) terimleri sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirilir.
4
Sadeleşmiş ifadede x=π4x = \frac{\pi}{4} değerini yerine yazarak limit değerini bulalım.
lim⁡x→π4cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))=cos⁡(π4)(cos⁡(π4)+sin⁡(π4))=22(22+22)=22⋅2=1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos(x)(\cos(x) + \sin(x)) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 1
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limitlerde yarım açı ve temel özdeşlikler yardımıyla 0/0 belirsizliğinin giderilmesi.
Soru 68Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} bir fonksiyon olmak üzere,
lim⁡x→2f(x−3)−4x2−4=18\lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x^2 - 4} = \frac{1}{8}
olduğuna göre,
lim⁡x→−1f2(x)−16x+5−2\lim_{x \to -1} \frac{f^2(x) - 16}{\sqrt{x+5} - 2}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Verilen ilk limit ifadesinde payda sıfıra yaklaştığından limitin varlığı için pay da sıfıra yaklaşmalıdır; buradan lim⁡x→−1f(x)=4\lim_{x \to -1} f(x) = 4 olduğu bulunur. Paydadaki x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4 = (x-2)(x+2) ifadesi açılıp limit kuralları uygulandığında lim⁡x→−1f(x)−4x+1=12\lim_{x \to -1} \frac{f(x)-4}{x+1} = \frac{1}{2} elde edilir. İstenen limitte iki kare farkı açılımı yapılarak ve payda x+5+2\sqrt{x+5}+2 eşleniğiyle çarpılarak sadeleştirildiğinde sonuç 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limitten f(x)f(x) fonksiyonunun x→−1x \to -1 noktasındaki limitini belirlemek.
lim⁡x→2f(x−3)=4\lim_{x \to 2} f(x-3) = 4 yani u=x−3u = x-3 dönüşümüyle lim⁡x→−1f(x)=4\lim_{x \to -1} f(x) = 4 elde edilir.
Payda x→2x \to 2 için sıfır olduğundan limitin bir gerçek sayı belirtmesi için payın da sıfır olması gerekir.
2
İlk limit ifadesini çarpanlarına ayırıp düzenleyerek lim⁡x→−1f(x)−4x+1\lim_{x \to -1} \frac{f(x) - 4}{x+1} değerini bulmak.
lim⁡x→2f(x−3)−4x−2⋅1x+2=18  ⟹  lim⁡x→2f(x−3)−4x−2⋅14=18  ⟹  lim⁡x→−1f(x)−4x+1=12\lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x-2} \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{8} \implies \lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x-2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \implies \lim_{x \to -1} \frac{f(x) - 4}{x+1} = \frac{1}{2} bulunur.
Belirsizlik içeren terimlerin limit değerini belirlemek için sadeleştirme işlemi uygulanır.
3
İstenen limiti iki kare farkı açılımı ve paydanın eşleniği ile çarparak düzenlemek ve hesaplamak.
lim⁡x→−1f2(x)−16x+5−2=lim⁡x→−1f(x)−4x+1⋅(f(x)+4)⋅(x+5+2)=12⋅8⋅4=16\lim_{x \to -1} \frac{f^2(x) - 16}{\sqrt{x+5} - 2} = \lim_{x \to -1} \frac{f(x)-4}{x+1} \cdot (f(x)+4) \cdot (\sqrt{x+5}+2) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 bulunur.
0/0 belirsizliğini ortadan kaldırmak için pay çarpanlara ayrılır, payda ise eşleniğiyle çarpılarak sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

0/0 Belirsizliği ve Limit Hesaplama Teknikleri
Soru 69Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→3x2−ax+1−2=b\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - a}{\sqrt{x+1} - 2} = b
olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Otuz üç
Limit değerinin bir gerçel sayı olması için payın da sıfıra gitmesi gerektiğinden a=9a = 9 olarak bulunur. İfade eşlenik ile genişletilip sadeleştirildiğinde limit değeri olan b=24b = 24 elde edilir. Bu iki değerin toplamı otuz üç olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini kontrol etme ve payın limitini sıfıra eşitleyerek aa değerini bulma.
a=9a = 9
x→3x \to 3 için payda sıfıra yaklaşmaktadır. Limitin bir gerçel sayı (bb) olabilmesi için payın limitinin de sıfır olması gerekir (0/0 belirsizliği).
2
Limit ifadesinde a=9a = 9 yazıp paydadaki ifadenin eşleniği olan x+1+2\sqrt{x+1} + 2 ile payı ve paydayı çarpma.
lim⁡x→3(x+3)(x+1+2)\lim_{x \to 3} (x+3)(\sqrt{x+1} + 2)
Paydadaki x+1−2\sqrt{x+1} - 2 köklü ifadesinin eşleniğiyle çarpılarak paydadaki belirsizliğe yol açan çarpanın sadeleştirilmesi amaçlanır.
3
Belirsizlik giderildikten sonra x=3x = 3 değerini yerine yazarak limit değeri olan bb sayısını ve ardından a+ba+b toplamını hesaplama.
b=24b = 24 ve a+b=33a + b = 33
x−3x - 3 çarpanları sadeleştikten sonra fonksiyon x=3x = 3 noktasında tanımlı hale gelir, bu noktadaki değer limit değerini verir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliğinde köklü ifadelerin eşlenik yardımıyla sadeleştirilmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 70Soru →
a, b ve c birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−ax+bx2−4x+3f(x) = \frac{x^2 - ax + b}{x^2 - 4x + 3}
fonksiyonu tanımlanıyor.
g(x)={f(x),x≠3c,x=3g(x) = \begin{cases} f(x), & x \neq 3 \\ c, & x = 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu x=1x = 1 hariç tüm gerçel sayılarda süreklidir.
Buna göre, a+2ca + 2c toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen toplamın değeri 6'dır.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, fonksiyonun x=3x=3 noktasında sürekli olabilmesi için limitinin var olması ve bu limitin g(3)=cg(3)=c değerine eşit olması şartından yola çıkılarak bulunur. Payda x=3x=3 için sıfır olduğundan payın da x=3x=3 köküne sahip olması gerekir. Pay (x−3)(x−k)(x-3)(x-k) şeklinde yazılıp limit alındığında c=3−k2c = \frac{3-k}{2} ve a=k+3a = k+3 bulunur. Buradan a+2c=6a+2c = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
gg fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları belirlemek için tanım kümesini ve parçalı yapıyı analiz edin.
g(x)g(x) fonksiyonu x≠3x \neq 3 için f(x)f(x) rasyonel fonksiyonuna eşittir. f(x)f(x) fonksiyonunun paydası x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) şeklindedir. Dolayısıyla f(x)f(x) fonksiyonu x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktalarında tanımsızdır.
Bir rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda sürekli olamaz.
2
x=3x = 3 noktasındaki süreklilik koşulunu uygulayın.
g(x)g(x) fonksiyonu x=3x = 3 noktasında cc değerini alır. Soruda gg fonksiyonunun yalnızca x=1x = 1 noktasında süreksiz olduğu belirtilmiştir. Bu durum, gg fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında sürekli olması gerektiği anlamına gelir. Süreklilik tanımı gereği, lim⁡x→3g(x)=g(3)=c\lim_{x \to 3} g(x) = g(3) = c olmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin var olması ve fonksiyon değerine eşit olması gerekir.
3
x→3x \to 3 limitinin var olabilmesi için pay ve payda arasındaki ilişkiyi kurarak aa parametresini belirleyin.
lim⁡x→3g(x)=lim⁡x→3x2−ax+b(x−1)(x−3)\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax + b}{(x-1)(x-3)} limitinin bir gerçel sayıya eşit olması için, payda x→3x \to 3 iken sıfıra gittiğinden, payın da sıfıra gitmesi gerekir (0/00/0 belirsizliği). Buradan x=3x = 3 değerinin payın bir kökü olması gerektiği anlaşılır. Dolayısıyla x2−ax+b=(x−3)(x−k)x^2 - ax + b = (x-3)(x-k) şeklinde yazılabilir. Buradan a=k+3a = k + 3 ve b=3kb = 3k elde edilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı olması ancak payın da aynı çarpanı içermesiyle (yani sıfıra yaklaşmasıyla) mümkündür.
4
cc değerini kk cinsinden hesaplayın ve a+2ca + 2c toplamını bulun.
Limit ifadesini sadeleştirerek hesaplayalım:
lim⁡x→3(x−3)(x−k)(x−1)(x−3)=lim⁡x→3x−kx−1=3−k3−1=3−k2\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x-k)}{(x-1)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-k}{x-1} = \frac{3-k}{3-1} = \frac{3-k}{2}
Bu limit değeri cc değerine eşit olmalıdır. Buradan c=3−k2  ⟹  2c=3−kc = \frac{3-k}{2} \implies 2c = 3 - k elde edilir.
a=k+3a = k + 3 olduğunu biliyoruz. O halde,
a+2c=(k+3)+(3−k)=6a + 2c = (k + 3) + (3 - k) = 6 bulunur.
Bulunan aa ve cc değerleri kk değişkenine bağlı olarak toplanırsa, kk değerleri birbirini götürür ve toplam sabit bir değer olan 6'ya ulaşır.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonlarda süreklilik tanımı, belirsizlik giderilmesi ve süreksizlik noktalarının belirlenmesi.
Soru 71Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları ile bir aa gerçel sayısı için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→af(x)g(x)=L\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L (L∈RL \in \mathbb{R}) limitleri veriliyor. Buna göre, lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 olmak zorundadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır. Limitin sıfıra eşit olduğu durumlarda paydanın limitinin sıfır olması gerekmez.
Limit değerinin sıfır olması halinde paydanın sıfıra gitmesi gerekmediği için bu genel iddia yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Önermedeki limitlerin varlığını ve LL değerinin alabileceği durumları inceleyin.
LL limit değerinin sıfır dahil olmak üzere her gerçel sayı olabileceği tespit edilmiştir.
Önermenin her durumda doğru olup olmadığını belirlemek için uç durumların (özellikle sıfır durumunun) kontrol edilmesi gerekir.
2
Koşulları sağlayan ancak sonucu yanlışlayan bir karşıt örnek oluşturun.
f(x)=xf(x) = x, g(x)=1g(x) = 1 ve a=0a = 0 olarak seçilmiştir.
Genel bir iddianın yanlış olduğunu kanıtlamak için iddiayı çürüten tek bir geçerli örnek sunmak yeterlidir.
3
Seçilen örnek fonksiyonlar için limitleri hesaplayarak doğruluğu test edin.
lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0 ve lim⁡x→0f(x)g(x)=0\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 (L=0L=0) limitleri mevcuttur ancak lim⁡x→0g(x)=1≠0\lim_{x \to 0} g(x) = 1 \neq 0 dır.
Örnek fonksiyonların verilen tüm ön koşulları sağladığını fakat iddia edilen sonucu sağlamadığını matematiksel olarak göstermek.

Anahtar Kavram

Bölümün limiti bir gerçel sayıya eşit ve payın limiti sıfır olduğunda, paydanın limitinin de sıfır olması yalnızca limitin sıfırdan farklı olduğu (L≠0L \neq 0) durumlar için bir zorunluluktur. Eğer limit değeri sıfır ise paydanın limiti sıfırdan farklı bir gerçel sayı olabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 72Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→3x+a−3x2−9=b\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+a} - 3}{x^2 - 9} = b
olduğuna göre, a+36ba + 36b toplamı ka��tır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen toplamın değeri 7'dir.
Limit değerinin gerçel sayı çıkması için paydanın sıfır olduğu durumda payın de sıfır olması gerekir. Buradan a=6a = 6 elde edilir. Limit ifadesinde payın eşleniği ile çarpma işlemi yapılıp belirsizlik giderildiğinde limit değeri b=136b = \frac{1}{36} bulunur. Buradan istenen a+36ba + 36b değeri 6+36⋅136=76 + 36 \cdot \frac{1}{36} = 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydanın limit durumunu incelemek
Paydanın limiti 0'dır, limitin var olması için payın limiti de 0 olmalıdır. Buradan a=6a = 6 bulunur.
x→3x \to 3 için payda sıfır olduğuna göre limitin gerçel sayı çıkması ancak 00\frac{0}{0} belirsizliğiyle mümkündür.
2
Payı eşleniğiyle çarparak belirsizliği gidermek
İfade x−3(x−3)(x+3)(x+6+3)\frac{x-3}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+6}+3)} şekline gelir ve x−3x-3 terimleri sadeleşerek 1(x+3)(x+6+3)\frac{1}{(x+3)(\sqrt{x+6}+3)} elde edilir.
00\frac{0}{0} belirsizliğini oluşturan x−3x-3 çarpanını sadeleştirmek gerekir.
3
Limit değerini hesaplamak ve bb değerini bulmak
b=1(3+3)(3+6+3)=136b = \frac{1}{(3+3)(\sqrt{3+6}+3)} = \frac{1}{36} bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine koyma yöntemiyle hesaplanır.
4
a+36ba + 36b değerini hesaplamak
6+36⋅136=76 + 36 \cdot \frac{1}{36} = 7 bulunur.
Soru kökündeki istenen cebirsel ifadeyi bulmak.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren rasyonel ifadelerde eşlenik çarpımı yardımıyla limit hesaplama.

Alternatif Yöntem

Belirsizlik durumlarında L'Hôpital kuralı uygulanabilir. Pay ve paydanın ayrı ayrı türevleri alınırsa:
lim⁡x→312x+62x=166=136\lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+6}}}{2x} = \frac{\frac{1}{6}}{6} = \frac{1}{36}
elde edilir. Buradan b=136b = \frac{1}{36} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 73Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu

f(x)={x2−ax+3x−3,x<3b,x=3c2x+3−3cx2−5x+6,x>3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}, & x < 3 \\ b, & x = 3 \\ \frac{c\sqrt{2x + 3} - 3c}{x^2 - 5x + 6}, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması, kritik nokta olan x = 3 noktasında da sürekli olmasını gerektirir. Süreklilik tanımına göre soldan limit, sağdan limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır. Sol limitin varlığından a = 4 ve limit değeri 2 bulunur. Buradan f(3) = b = 2 olur. Sağ limitin hesaplanmasında 0/0 belirsizliği giderilerek limit c/3 bulunur. c/3 = 2 eşitliğinden c = 6 elde edilir. Sonuç olarak a + b + c = 4 + 2 + 6 = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki soldan limitini inceleyerek a parametresini ve limit değerini belirlemek.
a = 4 ve soldan limit değeri 2 olarak bulunur.
Fonksiyonun x = 3 noktasında limitinin olması için sol limitin tanımlı olması gerekir. Payda x = 3 için sıfır olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın da sıfır olması gerekir. 3^2 - 3a + 3 = 0 denkleminden a = 4 elde edilir. Bu durumda limit lim_{x -> 3^-} (x^2 - 4x + 3)/(x - 3) = lim_{x -> 3^-} (x - 1) = 2 olur.
2
Bulunan soldan limit değerini f(3) değerine eşitleyerek b parametresini belirlemek.
b = 2 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması şarttır. Soldan limit değeri 2 olduğundan ve f(3) = b olarak tanımlandığından b = 2 olmalıdır.
3
f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sağdan limitini hesaplayarak c parametresini belirlemek.
c = 6 olarak bulunur.
x -> 3^+ için sağdan limit hesaplandığında 0/0 belirsizliği ortaya çıkar. Belirsizliği gidermek amacıyla pay ve payda (sqrt(2x + 3) + 3) ile çarpılarak sadeleştirme yapılır. limit değeri c/3 olarak elde edilir. Süreklilik şartı gereği sağdan limit de f(3) = 2 değerine eşit olmalıdır. Buradan c/3 = 2 denklemi ile c = 6 bulunur.
4
Elde edilen a, b ve c parametre değerlerinin toplamını hesaplamak.
a + b + c = 12 olarak bulunur.
a = 4, b = 2 ve c = 6 değerlerinin toplamı istenen sonucu verir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit ve bu ortak limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Limit hesaplarında karşılaşılan 0/0 belirsizlikleri çarpanlara ayırma ve köklü ifadelerde eşlenik kullanımıyla çözülür.
Soru 74Soru →
lim⁡x→π32cos⁡(x)−14cos⁡2(x)−1\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos(x) - 1}{4\cos^2(x) - 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Sadeleştirilmiş ifadede limit değeri yerine yazıldığında elde edilen 1/2 değeri doğru cevaptır.
Limit ifadesinde x=π3x = \frac{\pi}{3} yazıldığında 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşmaktadır. Paydadaki 4cos⁡2(x)−14\cos^2(x) - 1 ifadesi iki kare farkı özdeşliği kullanılarak (2cos⁡(x)−1)(2cos⁡(x)+1)(2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki 2cos⁡(x)−12\cos(x) - 1 terimleri sadeleştirilerek belirsizlik giderilir. Kalan 12cos⁡(x)+1\frac{1}{2\cos(x) + 1} ifadesinde x=π3x = \frac{\pi}{3} değeri yerine yazıldığında sonuç 1/21/2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limitteki değişkenin yaklaştığı değeri (x=π3x = \frac{\pi}{3}) fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.
2cos⁡(π3)−1=2(12)−1=02\cos(\frac{\pi}{3}) - 1 = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0 ve 4cos⁡2(π3)−1=4(14)−1=04\cos^2(\frac{\pi}{3}) - 1 = 4(\frac{1}{4}) - 1 = 0 olduğu için 00\frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limit değerini doğrudan hesaplayıp hesaplayamayacağımızı veya bir belirsizlik olup olmadığını belirlemek için bu işlem yapılır.
2
Paydadaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın ve pay ile sadeleştirin.
4cos⁡2(x)−1=(2cos⁡(x)−1)(2cos⁡(x)+1)4\cos^2(x) - 1 = (2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1) olduğundan limit ifadesi lim⁡x→π32cos⁡(x)−1(2cos⁡(x)−1)(2cos⁡(x)+1)=lim⁡x→π312cos⁡(x)+1\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos(x) - 1}{(2\cos(x) - 1)(2\cos(x) + 1)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1}{2\cos(x) + 1} haline gelir.
00\frac{0}{0} belirsizliğine neden olan 2cos⁡(x)−12\cos(x) - 1 çarpanını sadeleştirerek belirsizliği ortadan kaldırmak gerekir.
3
Sadeleştirilmiş ifadede x=π3x = \frac{\pi}{3} yazarak limit değerini hesaplayın.
12cos⁡(π3)+1=12(12)+1=11+1=12\frac{1}{2\cos(\frac{\pi}{3}) + 1} = \frac{1}{2(\frac{1}{2}) + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra fonksiyon o noktada tanımlı hale geldiğinden limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadeler içeren limitlerde iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme yaparak 0/0 belirsizliğini giderme.

Alternatif Yöntem

L'Hopital kuralı müfredat dışı olsa da kontrol amaçlı kullanılabilir: Payın türevi −2sin⁡(x)-2\sin(x), paydanın türevi −8cos⁡(x)sin⁡(x)=−4sin⁡(2x)-8\cos(x)\sin(x) = -4\sin(2x) olur. Türevlerin oranında x=π3x = \frac{\pi}{3} yazıldığında da aynı sonuç elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 75Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→1x+a−2x2−1=b\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - 2}{x^2 - 1} = b
olduğuna göre, 1b−a\frac{1}{b} - a farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İstenen farkın değeri 5'tir.
Limit değerinin bir gerçel sayı olabilmesi için paydanın sıfıra gittiği durumda payın da sıfıra gitmesi gerektiği kuralından aa değeri bulunur. Ardından eşlenik çarpımı yardımıyla 00\frac{0}{0} belirsizliği giderilerek limit değeri olan bb hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleyip payın limitini sıfıra eşitleyerek aa değerini bulma.
a=3a = 3 olarak bulunur.
x→1x \to 1 için payda sıfıra yaklaştığından, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için pay da sıfıra yaklaşmal��dır. Yani lim⁡x→1(x+a−2)=0  ⟹  1+a−2=0  ⟹  a=3\lim_{x \to 1} (\sqrt{x+a} - 2) = 0 \implies \sqrt{1+a} - 2 = 0 \implies a = 3 olur.
2
Bulunan a=3a = 3 değerini limitte yerine yazıp payı eşleniği ile çarparak belirsizliği giderme.
Limit ifadesi lim⁡x→11(x+1)(x+3+2)\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} şekline sadeleşir.
lim⁡x→1x+3−2x2−1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x^2 - 1} ifadesinde 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır. Payı ve paydayı x+3+2\sqrt{x+3} + 2 ile çarparsak: (x+3−2)(x+3+2)(x2−1)(x+3+2)=x−1(x−1)(x+1)(x+3+2)\frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x^2 - 1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} elde edilir. x≠1x \neq 1 olduğundan x−1x-1 terimleri sadeleşir.
3
Sadeleşen ifadede x=1x=1 yazarak limit değeri olan bb'yi bulma ve 1b−a\frac{1}{b} - a değerini hesaplama.
b=18b = \frac{1}{8} ve 1b−a=5\frac{1}{b} - a = 5 bulunur.
b=lim⁡x→11(x+1)(x+3+2)=12⋅4=18b = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} olur. Buradan 1b−a=8−3=5\frac{1}{b} - a = 8 - 3 = 5 elde edilir.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 belirsizliğinin köklü ifadeler içeren rasyonel fonksiyonlarda eşlenik çarpımı ile giderilmesi ve parametre bulma.
Soru 76Soru →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={x2−ax+2a−43(x−2),x>2b,x=2x2+5−3x−2,x<2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 2a - 4}{3(x-2)}, & x > 2 \\ b, & x = 2 \\ \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2}, & x < 2 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

Buna göre, 3a+6b3a + 6b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

3a + 6b toplamının değeri 10'dur.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olması için kritik nokta olan x = 2 noktasında sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Sol limit hesaplandığında 2/3 değeri elde edilir, dolayısıyla b = 2/3 olur. Sağ limit sadeleştirme sonrasında (4-a)/3 olarak bulunur ve bu değerin de 2/3'e eşit olması gerektiğinden a = 2 elde edilir. Buradan 3a + 6b = 3(2) + 6(2/3) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x = 2 noktasındaki sol limit hesaplanır.
L_sol = lim_{x -> 2^-} (sqrt(x^2 + 5) - 3) / (x - 2) = 2/3
0/0 belirsizliğini gidermek için pay ve payda, payın eşleniği olan (sqrt(x^2 + 5) + 3) ile çarpılır. Limit değeri (x+2)/(sqrt(x^2+5)+3) ifadesinde x = 2 yazılarak 4/6 = 2/3 olarak bulunur.
2
Süreklilik tanımı gereği fonksiyon değeri sol limite eşitlenir.
b = 2/3
Fonksiyonun x = 2 noktasında sürekli olması için f(2) = b değerinin sol limit değerine eşit olması gerekir.
3
x = 2 noktasındaki sağ limit hesaplanır ve sol limite eşitlenerek a parametresi bulunur.
L_sag = (4 - a)/3 = 2/3 => a = 2
Sağ parçanın payı olan x^2 - ax + 2a - 4 ifadesi (x-2)(x+2-a) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki 3(x-2) ile (x-2) terimleri sadeleştikten sonra x = 2 yazılarak limit (4-a)/3 bulunur. Bu limitin 2/3 olması için a = 2 olmalıdır.
4
İstenen 3a + 6b ifadesi hesaplanır.
3(2) + 6(2/3) = 6 + 4 = 10
Bulunan a = 2 ve b = 2/3 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 77Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x=x0x = x_0 noktasında sürekli olan bir ff fonksiyonu ile her gerçel sayı değeri için süreksiz olan bir gg fonksiyonunun bileşkesi olan (g∘f)(g \circ f) fonksiyonu da x=x0x = x_0 noktasında kesinlikle süreksizdir ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen bileşke fonksiyon iddia edildiği gibi kesinlikle süreksiz olmak zorunda değildir; sürekli de olabilir. Bu nedenle ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır. Sürekli bir sabit fonksiyon ile her noktada süreksiz olan bir fonksiyonun bileşkesi, her noktada sürekli olan sabit bir fonksiyon oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını ve verilen süreklilik koşullarını analiz edin.
ff fonksiyonu x=x0x = x_0 noktasında süreklidir. gg fonksiyonu ise tanım kümesindeki hiçbir noktada sürekli değildir. Bizden (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) fonksiyonunun x0x_0 noktasındaki süreklilik durumu istenmektedir.
Bileşke fonksiyonun yapısını belirleyerek analiz adımlarını oluşturmak.
2
İçteki sürekli ff fonksiyonunu sabit bir fonksiyon olarak seçerek karşıt örnek kurgulayın.
f(x)=cf(x) = c (c∈Rc \in \mathbb{R}) sabit fonksiyonunu seçelim. Sabit fonksiyonlar tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan, bu fonksiyon x0x_0 noktasında da süreklidir.
Sabit fonksiyonların süreklilik özelliğinden yararlanarak dıştaki süreksiz fonksiyonun etkisini sınırlandırmak.
3
Seçilen ff fonksiyonu ile bileşke fonksiyonu hesaplayın ve sürekliliğini inceleyin.
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(c)(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(c) olur. g(c)g(c) değeri bir gerçel sayı sabitidir (örneğin kk). Bu durumda (g∘f)(x)=k(g \circ f)(x) = k sabit fonksiyonu elde edilir. Sabit fonksiyonlar her noktada sürekli olduğundan, bileşke fonksiyon x=x0x = x_0 noktasında süreklidir. Bu durum, verilen genel iddianın her zaman doğru olmadığını gösterir.
Bileşke fonksiyonun sürekli olabileceğini göstererek önermenin yanlışlığını kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve karşıt örnek yöntemiyle önermelerin yanlışlanması
Soru 78Soru →
Her xx gerçel sayısı için f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu,
lim⁡x→2f(x)x2−4=3\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2 - 4} = 3
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -11

Cevap

−11-11
Limit değerinin gerçel sayı olması, payda sıfıra giderken payın da sıfıra gitmesini gerektirir. Bu durum, f(x)f(x) fonksiyonunun (x−2)(x-2) çarpanına sahip olduğunu gösterir. Çarpanlar sadeleştirilip limit hesaplandığında fonksiyon f(x)=(x−2)(x+10)f(x) = (x-2)(x+10) olarak belirlenir ve buradan f(1)=−11f(1) = -11 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değerinin bir gerçel sayı olması için belirsizlik durumunun belirlenmesi
x→2x \to 2 iken payda sıfıra yaklaştığından (22−4=02^2 - 4 = 0), limitin bir gerçel sayı (3) çıkabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Dolayısıyla, f(2)=0f(2) = 0 olmalıdır.
Payda sıfır iken pay sıfırdan farklı bir sayı olursa limit tanımsız ya da sonsuz olur. Limitin gerçel sayı olması ancak 0/00/0 belirsizliğinin bulunmasıyla mümkündür.
2
Fonksiyonun çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılması ve limitin hesaplanması
f(2)=0f(2) = 0 olduğundan, f(x)f(x) fonksiyonunun çarpanlarından biri (x−2)(x-2)'dir. Başkatsayısı 11 olan ikinci dereceden bir fonksiyon olduğu için fonksiyonu f(x)=(x−2)(x−k)f(x) = (x-2)(x-k) şeklinde yazabiliriz. Bu durumda limit:
lim⁡x→2(x−2)(x−k)(x−2)(x+2)=lim⁡x→2x−kx+2=2−k4=3\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-k)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-k}{x+2} = \frac{2-k}{4} = 3
Buradan 2−k=12  ⟹  k=−102-k = 12 \implies k = -10 bulunur.
Ortak çarpan olan (x−2)(x-2) sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve ardından xx yerine 22 yazılarak limit değeri elde edilir.
3
Fonksiyonun denkleminin yazılması ve f(1)f(1) değerinin hesaplanması
k=−10k = -10 değeri yerine yazıldığında fonksiyon f(x)=(x−2)(x+10)f(x) = (x-2)(x+10) olur. İstenen f(1)f(1) değeri:
f(1)=(1−2)(1+10)=(−1)⋅11=−11f(1) = (1-2)(1+10) = (-1) \cdot 11 = -11
olarak bulunur.
Fonksiyonun tam denklemi elde edildikten sonra istenen noktadaki değeri doğrudan değişken yerine yazılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilmesi ve belirsizlik durumunda payda sıfıra giderken limitin var olması için payın da sıfıra gitmesi gerekliliği.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 79Soru →
lim⁡x→1f(x)−2x−1=3 \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 3
ve
lim⁡x→1(g(x)⋅(x2−1))=4 \lim_{x \to 1} \left( g(x) \cdot (x^2 - 1) \right) = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→1(f(x)⋅g(x)−2g(x)) \lim_{x \to 1} \left( f(x) \cdot g(x) - 2g(x) \right)
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen limitin değeri 6 olarak bulunur.
İstenen limit ifadesi g(x)⋅(f(x)−2)g(x) \cdot (f(x) - 2) şeklinde ortak paranteze alındıktan sonra, f(x)−2x−1\frac{f(x)-2}{x-1} ve g(x)⋅(x−1)g(x) \cdot (x-1) limit bileşenlerine ayrıştırılır. Verilen limit eşitliklerinden bu bileşenlerin limit değerleri sırasıyla 33 ve 22 olarak hesaplanır. Bu iki değerin çarpımı bize doğru sonuç olan 66 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen limit ifadesini ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
lim⁡x→1(f(x)⋅g(x)−2g(x))=lim⁡x→1[(f(x)−2)⋅g(x)]\lim_{x \to 1} \left( f(x) \cdot g(x) - 2g(x) \right) = \lim_{x \to 1} \left[ (f(x) - 2) \cdot g(x) \right] elde edilir.
Limit kurallarını ve verilen eşitlikleri kullanabilmek amacıyla ifadeyi ortak terim parantezine almak işlemi kolaylaştırır.
2
Elde edilen ifadeyi, verilen birinci limit ifadesini kullanabilmek için (x−1)(x-1) terimiyle çarpıp bölün.
lim⁡x→1[f(x)−2x−1⋅g(x)⋅(x−1)]\lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x) - 2}{x - 1} \cdot g(x) \cdot (x - 1) \right] ifadesi oluşur. Limit özelliklerine göre bu ifade iki ayrı limitin çarpımı olarak yazılabilir:
(lim⁡x→1f(x)−2x−1)⋅(lim⁡x→1[g(x)⋅(x−1)])\left( \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 1} \left[ g(x) \cdot (x - 1) \right] \right)
Birinci limit değeri olan lim⁡x→1f(x)−2x−1=3\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 3 ifadesini nihai hesaplamaya dahil edebilmek için bu düzenleme gereklidir.
3
Verilen ikinci limit ifadesini çarpanlarına ayırarak lim⁡x→1[g(x)cdot(x−1)]\lim_{x \to 1} [g(x) cdot (x - 1)] değerini hesaplayın.
lim⁡x→1(g(x)cdot(x2−1))=lim⁡x→1(g(x)cdot(x−1)cdot(x+1))=4\lim_{x \to 1} \left( g(x) cdot (x^2 - 1) \right) = \lim_{x \to 1} \left( g(x) cdot (x - 1) cdot (x + 1) \right) = 4 olarak verilmiştir.

x→1x \to 1 için (x+1)→2(x+1) \to 2 olduğundan limit özelliklerine göre:
lim⁡x→1[g(x)cdot(x−1)]cdotlim⁡x→1(x+1)=4  ⟹  lim⁡x→1[g(x)cdot(x−1)]cdot2=4  ⟹  lim⁡x→1[g(x)cdot(x−1)]=2\lim_{x \to 1} \left[ g(x) cdot (x - 1) \right] cdot \lim_{x \to 1} (x + 1) = 4 \implies \lim_{x \to 1} \left[ g(x) cdot (x - 1) \right] cdot 2 = 4 \implies \lim_{x \to 1} \left[ g(x) cdot (x - 1) \right] = 2 bulunur.
x2−1x^2-1 ifadesi iki kare farkı özdeşliği kullanılarak açılır ve limit değeri bilinen bileşen yardımıyla aranan limit değeri elde edilir.
4
Bulunan limit değerlerini çarpım durumundaki ifadede yerlerine yazarak sonucu hesaplayın.
3⋅2=63 \cdot 2 = 6 elde edilir.
Parçaların limit değerlerinin çarpımı, çarpım şeklindeki ifadenin limitini verir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Şeklindeki Fonksiyonların Limit Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 80Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 koşulunu sağlayan her ff fonksiyonu için lim⁡x→a∣f(x)∣f(x)\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{f(x)} limiti her zaman mevcuttur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 koşulunu sağlayan her fonksiyon için bu limit mevcut olmak zorunda değildir; fonksiyonun limit noktasında işaret değiştirmesi durumunda sağ ve sol limitler farklı çıkacağından limit mevcut olmaz.
Verilen ifade yanlıştır. lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 olduğunda lim⁡x→a∣f(x)∣f(x)\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{f(x)} limiti 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşturur. Ancak bu limitin varlığı f(x)f(x) fonksiyonunun x=ax=a noktasındaki davranışına bağlıdır. Örneğin f(x)=x−af(x) = x-a gibi işaret değiştiren bir fonksiyonda sağ limit 11 iken sol limit −1-1 olur. Bu durumda limit mevcut olamaz. Dolayısıyla ifadenin her zaman doğru olduğu iddiası yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit tanımını ve mutlak değer özelliğini hatırlayarak sağdan ve soldan limit incelemesi yapalım.
x→a+x \to a^+ için f(x)f(x) pozitif değerler alıyorsa ∣f(x)∣=f(x)|f(x)| = f(x) olur ve oran 11 çıkar. x→a−x \to a^- için f(x)f(x) negatif değerler alıyorsa ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x) olur ve oran −1-1 çıkar.
Mutlak değerli ifadelerin limitini incelerken kritik noktadaki işaret değişimleri sağ ve sol limitleri doğrudan etkiler.
2
Karşıt bir örnek vererek ifadenin her durumda geçerli olmadığını gösterelim.
f(x)=x−af(x) = x - a fonksiyonu için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 olur. Ancak lim⁡x→a+∣x−a∣x−a=1\lim_{x \to a^+} \frac{|x-a|}{x-a} = 1 ve lim⁡x→a−∣x−a∣x−a=−1\lim_{x \to a^-} \frac{|x-a|}{x-a} = -1 olduğundan, sağ ve sol limitler eşit değildir ve limit yoktur.
Tüm fonksiyonlar için geçerli olduğu iddia edilen bir önermeyi çürütmek için tek bir karşıt örnek sunmak yeterlidir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren limitlerde sağdan ve soldan limit incelemesi yapılarak belirsizliğin giderilmesi.
ÖncekiSayfa 4 / 7Sonraki