Examkin

Sayma ve Olasılık

160 soru

Tüm türler160Çoktan seçmeli92Sayısal64Eşleştirme4
Soru 21Soru →

Bir bilim insanı, laboratuvarındaki 88 farklı deney tüpünden 33 tanesini seçerek bir deneyde kullanacaktır. Buna göre, bu bilim insanı bu seçim işlemini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

8 farklı deney tüpünden 3 tanesi sıraya bakılmaksızın 56 farklı şekilde seçilebilir.
Seçim işlemi sıraya bağlı olmaksızın yapıldığından kombinasyon formülü kullanılır. 8 farklı deney tüpünden 3 tanesi C(8, 3) = 56 farklı şekilde seçilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Seçim türünü belirleme
Kombinasyon (seçme) yöntemi kullanılmalıdır.
Tüplerin seçilme sırası önemsizdir.
2
Kombinasyon formülünü uygulama
C(8,3)C(8, 3) değeri hesaplanır.
88 farklı eleman arasından 33 eleman seçilmektedir.
3
Matematiksel işlemi yapma
C(8,3)=8×7×63×2×1=56C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
Pay ve payda sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon
Soru 22Soru →

Bir müzede sergilenecek olan 55 farklı kupa, yan yana duran 55 bölmeli bir rafa her bölmede bir kupa olacak şekilde dizilecektir. Bu kupalardan en değerli olan iki kupanın yan yana bölmelerde yer alması istenmektedir. Buna göre, bu kupalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Kupaların rafa dizilebileceği farklı durumların sayısı 48'dir.
Yan yana gelmesi istenen en değerli iki kupa tek bir kupa olarak kabul edilir. Bu durumda rafta dizilmesi gereken nesne sayısı 4'e düşer. 4 nesne yan yana 4!=244! = 24 farklı şekilde dizilebilir. Ayrıca, tek bir kupa olarak kabul ettiğimiz bu iki kupa kendi arasında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre, tüm koşulları sağlayan toplam dizilim sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yan yana durması istenen iki kupayı tek bir eleman olarak gruplandırın.
Bu iki kupa bir bütün olarak kabul edildiğinde, geriye kalan 3 kupa ile birlikte sıralanacak toplam eleman sayısı 4 olur.
Koşullu permütasyon sorularında yan yana olması istenen elemanlar tek bir nesne gibi düşünülerek işlem kolaylaştırılır.
2
Elde edilen 4 elemanın doğrusal bir rafa kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayın.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Farklı n elemanın doğrusal bir sıra boyunca dizilimlerinin sayısı n! permütasyon formülü ile bulunur.
3
Grup içindeki iki kupanın kendi arasındaki yer değiştirme durumunu hesaplayın ve toplam durum sayısını bulun.
Grup içindeki kupalar kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde sıralanabilir. Toplam dizilim sayısı ise 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.
Çarpma yoluyla sayma kuralı gereğince, bağımsız olarak gerçekleşen bu iki sıralama durumunun çarpılması gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu Permütasyon

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm olası dizilimlerin sayısından (5!=1205! = 120), bu iki değerli kupanın yan yana OLMADIĞI durumların sayısını çıkarabiliriz. İki değerli kupanın yan yana olmadığı durumları bulmak için önce diğer 3 kupayı dizeriz (3!=63! = 6 durum). Bu 3 kupanın oluşturduğu 4 boşluğa 2 değerli kupayı yerleştiririz. İlk değerli kupa için 4 boşluk, ikincisi için 3 boşluk vardır (4×3=124 \times 3 = 12 durum). Buradan yan yana olmadıkları durumlar 6×12=726 \times 12 = 72 olur. Tüm durumlardan çıkarırsak 120−72=48120 - 72 = 48 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 23Soru →

Şekilde bir çember üzerinde 5 farklı nokta ve bu çemberi kesmeyen bir dd doğrusu üzerinde 4 farklı nokta işaretlenmiştir. Çember üzerindeki noktaların herhangi ikisinden geçen doğruların hiçbiri dd doğrusu üzerindeki işaretli noktalardan geçmemektedir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen ve en az iki köşesi çember üzerinde olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Toplamda 50 farklı üçgen çizilebilir.
İstenen koşula göre çizilecek üçgenlerin en az iki köşesi çember üzerinde olmalıdır. Bu durum iki alt grupta incelenir: Çemberden 2 nokta, dd doğrusundan 1 nokta seçilmesiyle (52)×(41)=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40 üçgen; veya çemberden 3 nokta seçilmesiyle (53)=10\binom{5}{3} = 10 üçgen elde edilir. Bu iki bağımsız durum toplandığında toplam 50 üçgen bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci durumu (2 köşesi çember üzerinde, 1 köşesi dd doğrusu üzerinde olan üçgenler) hesaplama.
Çember üzerindeki 5 noktadan 2'si (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde, dd doğrusu üzerindeki 4 noktadan 1'i (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı şekilde seçilir. Bu durumda 10×4=4010 \times 4 = 40 farklı üçgen oluşur.
En az iki köşesi çember üzerinde olması istendiğinden, tam olarak iki köşenin çember üzerinde olduğu durumu belirlemek gerekir.
2
İkinci durumu (3 köşesi de çember üzerinde olan üçgenler) hesaplama.
Çember üzerindeki 5 noktadan 3'ü (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir. Bu durumda 10 farklı üçgen oluşur.
En az iki köşesi çember üzerinde koşulu, 3 köşenin de çember üzerinde olması durumunu kapsar.
3
Tüm durumları toplama.
40+10=5040 + 10 = 50 farklı üçgen çizilebilir.
Birbirinden bağımsız bu iki durumun toplamı, istenen koşula uygun tüm üçgenlerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) kullanarak geometrik şekiller oluşturma ve koşullu durumları ayrı ayrı inceleme.

Alternatif Yöntem

Tüm olası üçgenlerin sayısından, istenmeyen durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı (93)−(43)=80\binom{9}{3} - \binom{4}{3} = 80'dir (çünkü doğrunun üzerindeki 4 noktadan üçgen oluşmaz). İstenmeyen durum ise çemberden 1 nokta ve dd doğrusundan 2 nokta seçilmesidir. Bu durumun sayısı (51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30'dur. Tüm durumlardan istenmeyeni çıkardığımızda: 80−30=5080 - 30 = 50 sonucuna ulaşırız.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →

Bir düzlemde bulunan 66 doğrudan 33 tanesi sabit bir PP noktasından, diğer 33 tanesi ise PP noktasından farklı sabit bir RR noktasından geçmektedir.

Bu doğruların herhangi ikisi paralel değildir ve bu doğruların kesişim noktalarından, verilen 66 doğru üzerinde bulunanlar dışında, herhangi üçü doğrusal değildir.

Buna göre, bu doğruların kesişim noktaları köşe kabul edilerek kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 141

Cevap

141
Toplam 1111 kesişim noktası vardır (PP noktası, RR noktası ve bu iki noktadan çıkan doğruların kesişmesiyle oluşan 99 nokta). Bu 1111 noktadan seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısı (113)=165\binom{11}{3} = 165'tir. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz. PP noktasından geçen 33 doğrunun her birinde ve RR noktasından geçen 33 doğrunun her birinde olmak üzere toplam 66 doğrunun her birinin üzerinde 44 adet nokta bulunmaktadır. Her bir doğru için bu 44 noktadan seçilecek üçlüler (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı doğrusal grup oluşturur. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 doğrusal üçlü grubu üçgen oluşturamayacağı için tüm durumlardan çıkarılır ve 165−24=141165 - 24 = 141 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarının toplam sayısını bulun.
Toplam 1111 kesişim noktası vardır.
PP ve RR noktalarının kendileri birer kesişim noktasıdır. Ayrıca, PP noktasından geçen 33 doğru ile RR noktasından geçen 33 doğru, paralel olmadıkları için 3×3=93 \times 3 = 9 farklı noktada kesişir. Buradan toplam nokta sayısı 1+1+9=111 + 1 + 9 = 11 olur.
2
Bu noktalar arasından seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesaplayın.
(113)=165\binom{11}{3} = 165 farklı seçim yapılabilir.
Herhangi üç noktanın seçimi, sıranın önemsiz olduğu kombinasyon işlemiyle (113)=11×10×93×2×1=165\binom{11}{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 olarak bulunur.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan doğrusal nokta üçlülerinin sayısını hesaplayın.
Toplam 2424 doğrusal üçlü vardır.
PP noktasından geçen 33 doğrunun her biri üzerinde PP nokta ve diğer gruptaki doğrularla olan 33 kesişim noktası dahil olmak üzere toplam 44 nokta bulunur. Bir doğru üzerindeki 44 noktadan oluşturulabilecek doğrusal üçlü sayısı (43)=4\binom{4}{3} = 4'tür. PP'den geçen 33 doğru için 3×4=123 \times 4 = 12 doğrusal üçlü gelir. Benzer şekilde, RR noktasından geçen 33 doğrunun her birinin üzerinde de 44 nokta bulunur ve oradan da 3×4=123 \times 4 = 12 doğrusal üçlü gelir. Toplamda 12+12=2412 + 12 = 24 doğrusal üçlü elde edilir.
4
Oluşturulabilecek üçgen sayısını hesaplamak için tüm durumlardan doğrusal durumları çıkarın.
Toplam 141141 farklı üçgen oluşturulabilir.
Doğrusal üçlüler üçgen oluşturamayacağından, tüm durumlardan doğrusal durumlar çıkarılır: 165−24=141165 - 24 = 141.

Anahtar Kavram

Geometrik Kombinasyon ve Doğrusallık Analizi
Soru 25Soru →

KAYIK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerin kaç tanesi A harfi ile başlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Kelimelerin A harfi ile başlaması istendiği için ilk sıraya A harfi yerleştirilir. Geriye kalan 4 boşluğa K, Y, I, K harfleri sıralanacaktır. Bu harflerden 2 tanesi K harfi olduğundan, tekrarlı permütasyon kurallarına göre sıralama sayısı 4! / 2! = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula uygun sabitleme yapılması
Kelimelerin A harfi ile başlaması istendiğinden, ilk harf A olarak sabitlenir: A _ _ _ _
Soruda belirtilen başlangıç harfi koşulunu sağlamak için
2
Kalan harflerin belirlenmesi ve tekrarların sayılması
Geriye kalan 4 harf K, Y, I, K harfleridir. Bu harflerden K harfi 2 kez tekrarlamaktadır.
Tekrarlı permütasyon uygulanacak kümenin elemanlarını ve tekrar edenleri belirlemek için
3
Tekrarlı permütasyon hesabı yapılması
4!2!=242=12\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12
Tekrar eden K harflerinin kendi aralarındaki yer değişiminin farklı bir kelime oluşturmayacağını hesaba katarak sıralama sayısını bulmak için

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon formülünde, belirli bir elemanın konumu sabitlendiğinde geriye kalan elemanların tekrar sayılarına göre sıralanması.
Soru 26Soru →

Bir üniversitenin bilgisayar mühendisliği bölümünde a��ılan 88 farklı seçmeli dersten ikisi AA ve BB dersleridir. Bir öğrencinin bu derslerden seçim yaparken uyması gereken kurallar aşağıda verilmiştir:

* Öğrenci bu 88 dersten en az 33 tanesini seçmelidir.
* AA dersini seçen bir öğrenci, BB dersini de seçmek zorundadır.

Buna göre, bu öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 162

Cevap

Ders seçiminin yapılabileceği toplam farklı durum sayısı 162'dir.
Ders seçimlerinin geçerli olabilmesi için öğrencinin en az 33 ders seçmesi ve AA dersini seçtiğinde BB dersini de seçmiş olması gerekir. Koşulsuz olarak 88 dersten en az 33 ders seçme durumlarının sayısı 219219'dur. Kuralı ihlal eden durumlar ise AA dersinin seçildiği ama BB dersinin seçilmediği durumlardır. Bu durumlarda AA dersi seçilmiş, BB dersi elenmiştir. Toplamda en az 33 ders seçilmesi gerektiğinden, geriye kalan 66 dersten en az 22 ders seçilmelidir. Bu da 5757 farklı duruma karşılık gelir. Tüm durumlardan geçersiz durumlar çıkarıldığında 219−57=162219 - 57 = 162 geçerli durum bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
88 dersten en az 33 dersin seçilebileceği tüm koşulsuz durumların sayısını hesaplamak.
∑k=38(8k)=28−(80)−(81)−(82)=256−1−8−28=219\sum_{k=3}^{8} \binom{8}{k} = 2^8 - \binom{8}{0} - \binom{8}{1} - \binom{8}{2} = 256 - 1 - 8 - 28 = 219
Derslerin kuralsız biçimde en az 33 tane seçilebileceği tüm evrensel durumların sayısını bulmak için.
2
AA dersinin seçildiği ancak BB dersinin seçilmediği istenmeyen (kural ihlali oluşturan) durumların sayısını hesaplamak.
∑j=26(6j)=26−(60)−(61)=64−1−6=57\sum_{j=2}^{6} \binom{6}{j} = 2^6 - \binom{6}{0} - \binom{6}{1} = 64 - 1 - 6 = 57
AA dersi seçilip BB dersi seçilmediğinde, AA seçildiği için toplamda en az 33 derse ulaşmak adına kalan 66 dersten en az 22 ders daha seçilmelidir.
3
Tüm durumlardan geçersiz olan istenmeyen durumları çıkarmak.
219−57=162219 - 57 = 162
Koşullara uygun geçerli tüm seçimlerin sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu kombinasyon hesaplamalarında tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →

(x+2)5(x + 2)^5 ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında x3x^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4040

Cevap

Açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı 4040 olur.
Genel terim formülü olan (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r ifadesinde n=5n=5, a=xa=x, b=2b=2 ve r=2r=2 yazıldığında, terim (52)x322=10⋅4⋅x3=40x3\binom{5}{2} x^3 2^2 = 10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3 olur. Bu durumda katsayı 4040 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülünü belirleyelim.
(a+b)n(a + b)^n açılımında genel terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir.
İstenen terimin katsayısını bulmak için genel terim formülünü kullanırız.
2
Verilen (x+2)5(x + 2)^5 ifadesi için formüldeki terimleri yerleştirelim ve x3x^3 terimini elde etmek için rr değerini bulalım.
n=5n = 5, a=xa = x, b=2b = 2 yazıldığında genel terim (5r)x5−r2r\binom{5}{r} x^{5-r} 2^r olur. x3x^3 terimi için 5−r=3⇒r=25-r = 3 \Rightarrow r = 2 bulunur.
xx'in kuvvetinin 33 olmasını sağlayan terim sırasını (rr değerini) tespit etmek gerekir.
3
r=2r = 2 değerini genel terimde yerine yazarak terimin katsayısını hesaplayalım.
(52)x322=10⋅x3⋅4=40x3\binom{5}{2} x^3 2^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3 elde edilir. Katsayı 4040 olur.
İstenen terimin katsayısını bulmak için sayısal işlemleri tamamlarız.

Anahtar Kavram

Binom açılımında belirli bir terimin katsayısını bulma
Soru 28Soru →

22, 22, 33, 33, 55 rakamlarının tümü kullanılarak yazılabilecek beş basamaklı farklı doğal sayıların kaç tanesi tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Beş basamaklı bir sayının tek sayı olması için birler basamağında 3 veya 5 bulunmalıdır. Birler basamağı 3 olduğunda kalan {2, 2, 3, 5} rakamları 4! / 2! = 12 farklı şekilde sıralanır. Birler basamağı 5 olduğunda kalan {2, 2, 3, 3} rakamları 4! / (2! * 2!) = 6 farklı şekilde sıralanır. Bu iki durumun toplamı 12 + 6 = 18 farklı sayı üretir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek sayı olma koşulunu belirleme ve durumları sınıflandırma.
Birler basamağı 3 veya 5 olmalıdır.
Bir sayının tek sayı olması için birler basamağındaki rakamın tek sayı olması gerekir.
2
Birler basamağında 3 rakamı bulunan sayıların adedini hesaplama.
Kalan {2, 2, 3, 5} rakamları ile 12 farklı dizilim oluşturulur.
Tekrarlayan iki adet 2 rakamı olduğu için tekrarlı permütasyon formülü (4! / 2!) uygulanır.
3
Birler basamağında 5 rakamı bulunan sayıların adedini hesaplama.
Kalan {2, 2, 3, 3} rakamları ile 6 farklı dizilim oluşturulur.
Tekrarlayan iki adet 2 ve iki adet 3 rakamı olduğu için tekrarlı perm��tasyon formülü (4! / (2! * 2!)) uygulanır.
4
Elde edilen durum sayılarını toplama.
12 + 6 = 18
Birler basamağının 3 veya 5 olması ayrık olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon hesaplamalarında belirli basamak koşullarını (teklik/çiftlik) ayrı durumlar halinde inceleyerek hesaplama yapma.
Soru 29Soru →

Köşeleri, bir düzgün sekizgenin köşeleri arasından seçilen üçgenlerden kaç tanesinin en az bir kenarı bu düzgün sekizgenin bir kenarıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

En az bir kenarı düzgün sekizgenin bir kenarı olan üçgenlerin sayısı 40'tır.
Soruda en az bir kenarı düzgün sekizgenin bir kenarı olan üçgenler istendiği için, tam olarak bir kenarı ortak olan 32 üçgen ile iki kenarı ortak olan 8 üçgen toplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün sekizgenin köşeleri kullanılarak oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısını hesaplama.
(83)=56\binom{8}{3} = 56 farklı üçgen.
Sekizgenin 8 köşesinden herhangi 3 tanesi seçilerek bir üçgen oluşturulabilir.
2
Yalnızca bir kenarı sekizgenin kenarı olan üçgenlerin sayısını hesaplama.
8×4=328 \times 4 = 32 adet üçgen.
Ortak olan 1 kenar 8 farklı şekilde seçilebilir. Üçgenin üçüncü köşesi, seçilen kenarın köşeleri ve bunlara komşu olan köşeler olamaz; aksi takdirde ortak kenar sayısı 2 olur. Bu nedenle üçüncü köşe için kalan 4 köşeden biri seçilmelidir.
3
İki kenarı sekizgenin kenarları olan üçgenlerin sayısını hesaplama.
8 adet üçgen.
İki kenarın ortak olması için köşelerin sekizgen üzerinde ardışık üç köşe olması gerekir. Sekizgende ardışık üçlülerden oluşan 8 farklı grup vardır (örneğin A-B-C, B-C-D, ...).
4
Toplam üçgen sayısını bulma.
32+8=4032 + 8 = 40 adet üçgen.
En az bir kenarı ortak olan üçgenlerin sayısı, 1 kenarı ortak olanlar ile 2 kenarı ortak olanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle durum analizi ve geometrik şekillerin sayılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 30Soru →

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele 4 top çekiliyor.

Çekilen topların üzerindeki sayılar küçükten büyüğe doğru aa, bb, cc ve dd olarak sıralandığında;
b−a≥2ved−c≥2b - a \geq 2 \quad \text{ve} \quad d - c \geq 2
koşullarını sağlayan kaç farklı {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} kümesi seçilebilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Koşulları sağlayan 70 farklı küme seçilebilir.
Seçilen sayıların farkları arasındaki koşulları temsil eden değişkenler oluşturularak problem, negatif olmayan tam sayı denkleminin çözüm sayısını bulma (ayraç yöntemi) problemine dönüştürülmüştür. Bu yöntemle (84)=70\binom{8}{4} = 70 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Seçilecek elemanları küçükten büyüğe a<b<c<da < b < c < d olarak sıralayarak aralarındaki farklar üzerinden yeni değişkenler tanımlamak.
x1=a−1≥0x_1 = a - 1 \geq 0, x2=b−a−1≥0x_2 = b - a - 1 \geq 0, x3=c−b−1≥0x_3 = c - b - 1 \geq 0, x4=d−c−1≥0x_4 = d - c - 1 \geq 0 ve x5=10−d≥0x_5 = 10 - d \geq 0.
Topların numaralarının 1 ile 10 arasında olmasını ve aralarındaki sıralamayı kontrol altında tutmak.
2
Tanımlanan fark değişkenlerinin toplamını hesaplamak.
x1+x2+x3+x4+x5=6x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 6.
Değişkenlerin toplamının sınır değerlere bağlı sabit bir sayı verdiğini göstermek.
3
b−a≥2b - a \geq 2 ve d−c≥2d - c \geq 2 koşullarını değişkenler cinsinden yazıp değişken dönüşümü uygulamak.
x2≥1x_2 \geq 1 ve x4≥1x_4 \geq 1 koşullarını sağlamak için y2=x2−1≥0y_2 = x_2 - 1 \geq 0 ve y4=x4−1≥0y_4 = x_4 - 1 \geq 0 dönüşümü yapılır. Yeni denklem: x1+y2+x3+y4+x5=4x_1 + y_2 + x_3 + y_4 + x_5 = 4 olur.
Denklemi tüm değişkenlerin negatif olmayan tam sayılar (doğal sayılar) olduğu standart forma indirgemek.
4
Elde edilen denklemin doğal sayılardaki çözüm sayısını ayraç (tekrarlı kombinasyon) yöntemi ile hesaplamak.
(4+5−15−1)=(84)=70\binom{4 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{8}{4} = 70.
n=4n=4 özdeş nesneyi r=5r=5 farklı kutuya dağıtma probleminin çözümünü bulmak.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Ayraç Yöntemi (Tekrarlı Kombinasyon)
Soru 31Soru →

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları toplamı 3 ile tam bölünür ve elemanlarının çarpımı bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

Seçilen 4 elemanının toplamı 3 ile tam bölünen ve çarpımı bir çift sayı olan alt küme sayısı 160'tır.
Toplamı 3 ile tam bölünen tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 165'tir. Bu kümeler arasından elemanlarının tamamı tek sayılardan oluşan (ve dolayısıyla çarpımları tek sayı olan) 5 küme çıkarıldığında, geriye kalan 160 alt kümenin elemanları toplamı 3'e tam bölünür ve en az bir çift sayı içerdiklerinden çarpımları çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını 3 ile bölümünden kalanlarına göre R0={3,6,9,12}R_0 = \{3, 6, 9, 12\}, R1={1,4,7,10}R_1 = \{1, 4, 7, 10\} ve R2={2,5,8,11}R_2 = \{2, 5, 8, 11\} olmak üzere üç gruba ayırıp eleman sayılarını belirlemek.
Her grupta 4 eleman bulunur (∣R0∣=∣R1∣=∣R2∣=4|R_0| = |R_1| = |R_2| = 4).
Seçilecek sayıların toplamının 3 ile bölümünden kalanı, bu sayıların kendi kalanlarının toplamı üzerinden analiz etmek için.
2
Toplamı 3 ile tam bölünen 4 elemanlı seçimlerin durumlarını (a,b,c)(a, b, c) şeklinde (sırasıyla R0,R1,R2R_0, R_1, R_2 gruplarından seçilen eleman sayıları) analiz edip kombinasyonlarını toplamak.
1 + 96 + 36 + 16 + 16 = 165 farklı seçim belirlenir.
a+b+c=4a+b+c = 4 ve b+2c≡0(mod3)b+2c \equiv 0 \pmod 3 koşullarını sağlayan durumları tek tek bulup kombinasyon sayılarını hesaplamak için.
3
Çarpımı tek sayı olan (yani tamamı tek sayılardan oluşan) ve toplamları 3 ile bölünen alt kümelerin sayısını hesaplamak.
5 farklı istenmeyen seçim bulunur.
Çarpımın çift olması için en az bir çift sayının seçilmesi gerektiğinden, tüm elemanları tek olan istenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarmak için.
4
Toplam durum sayısından, sadece tek sayılardan oluşan istenmeyen durum sayısını çıkarmak.
165 - 5 = 160.
İstenen koşulları sağlayan (toplamı 3'e bölünen ve en az bir çift sayı barındıran) alt küme sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Kalan Sınıfları Yardımıyla Sayma
Soru 32Soru →

Aynı düzlemde bulunan 8 doğrudan 4 tanesi birbirine paralel, geri kalanlardan 3 tanesi ise bir AA noktasından geçmektedir.

Buna göre, bu doğruların en çok kaç farklı kesişim noktası olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

En çok 20 farklı kesişim noktası olabilir.
Herhangi bir kısıtlama olmasaydı 8 doğru en çok 28 noktada kesişirdi. Paralel 4 doğrudan dolayı 6 nokta, tek noktada kesişen 3 doğrudan dolayı ise 2 nokta kaybedilir. Böylece en çok 28 - 6 - 2 = 20 kesişim noktası elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 20 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlamasız durumdaki maksimum kesişim sayısı hesaplanır.
(82)=8×72=28\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28
Herhangi iki doğru en çok bir noktada kesişebileceği için 8 doğrudan seçilecek her iki doğru bir kesişim noktası belirtir.
2
Paralel olan 4 doğrunun oluşturduğu kesişim kaybı hesaplanır.
(42)=6\binom{4}{2} = 6
Paralel doğrular birbirini kesmeyeceğinden, bu 4 doğrunun kendi arasındaki kesişim noktaları toplam sayıdan düşülmelidir.
3
A noktasından geçen 3 doğrunun oluşturduğu kesişim kaybı hesaplanır.
(32)−1=3−1=2\binom{3}{2} - 1 = 3 - 1 = 2
Aynı noktadan geçen 3 doğru normalde 3 farklı noktada kesişebilecekken sadece 1 noktada (A noktasında) kesişirler. Dolayısıyla kesişim kaybı 2 olur.
4
Kayıplar kısıtlamasız durumdan çıkarılarak net sonuç bulunur.
28−6−2=2028 - 6 - 2 = 20
Paralel doğruların kaybı (6) ve noktadaş doğruların kaybı (2) toplam olasılıktan çıkarılarak maksimum kesişim sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla doğruların kesişim noktası sayısının hesaplanması
Soru 33Soru →

n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olmak üzere,

(2x+1x4)n\left(2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan 3. terimin katsayısının baştan 4. terimin katsayısına oranı 32\frac{3}{2}'dir.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Sabit terim 60 olarak bulunur.
Verilen binomial ifadenin terim katsayıları oranından n=6n = 6 elde edilir. Bu değer ile sabit terimi veren rr değeri belirlendiğinde r=4r = 4 bulunur. Buradan sabit terim (64)26−4=60\binom{6}{4} 2^{6-4} = 60 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Baştan 3. ve 4. terimlerin katsayılarını belirleme
Baştan 3. terim (r=2r = 2 için): C3=(n2)2n−2C_3 = \binom{n}{2} 2^{n-2}
Baştan 4. terim (r=3r = 3 için): C4=(n3)2n−3C_4 = \binom{n}{3} 2^{n-3}
(a+b)n(a+b)^n açılımında baştan (r+1)(r+1). terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülüyle bulunur.
2
Katsayıların oranından nn değerini bulma
C3C4=(n2)2n−2(n3)2n−3=6n−2=32  ⟹  n=6\frac{C_3}{C_4} = \frac{\binom{n}{2} 2^{n-2}}{\binom{n}{3} 2^{n-3}} = \frac{6}{n-2} = \frac{3}{2} \implies n = 6
Soruda verilen oran kullanılarak açılımın derecesi olan nn sayısı elde edilir.
3
Sabit terimi veren rr değerini belirleme
x6−r2−r4=x0  ⟹  12−3r4=0  ⟹  r=4x^{\frac{6-r}{2} - \frac{r}{4}} = x^0 \implies \frac{12-3r}{4} = 0 \implies r = 4
Sabit terimde xx değişkeninin üssü 0 olmalıdır.
4
Sabit terimi hesaplama
(64)26−4=15×4=60\binom{6}{4} 2^{6-4} = 15 \times 4 = 60
n=6n = 6 ve r=4r = 4 değerleri genel terim formülünde yerine yazılarak katsayı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Katsayı Oranları ve Sabit Terim Hesabı
Soru 34Soru →
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin en büyük elemanı ile en küçük elemanının toplamı bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Koşulları sağlayan 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 100'dür.
Koşulları sağlayan alt kümelerin bulunması için tüm olası en küçük ve en büyük eleman çiftleri farklarına göre sınıflandırılmış ve aralarında kalan sayılardan yapılan kombinasyon seçimleri toplanarak 100 sonucu elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük ve en büyük elemanların belirlenmesi ve çift toplam koşulunun analiz edilmesi.
En küçük eleman x1x_1, en büyük eleman x4x_4 olmak üzere, x1+x4x_1 + x_4 toplamının çift olması için x4−x1x_4 - x_1 farkının çift olması gerektiği belirlenir.
İki sayının toplamının çift olması için paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) aynı olması gerekir.
2
Alt kümedeki eleman sayısı sınırlamasına göre en büyük ve en küçük elemanlar arasındaki farkın sınırlarının belirlenmesi.
Arada en az 2 eleman bulunması gerektiğinden x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır. Bu durumda çift farklar 4,64, 6 ve 88 olarak belirlenir.
Küçükten büyüğe sıralı 4 elemanlı kümede x1<x2<x3<x4x_1 < x_2 < x_3 < x_4 eşitsizliğinden dolayı x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır.
3
Farkın 4 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=4x_4 - x_1 = 4 için 6 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (32)=3\binom{3}{2} = 3 seçim olmak üzere 6×3=186 \times 3 = 18 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 3 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
4
Farkın 6 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=6x_4 - x_1 = 6 için 4 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (52)=10\binom{5}{2} = 10 seçim olmak üzere 4×10=404 \times 10 = 40 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 5 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
5
Farkın 8 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=8x_4 - x_1 = 8 için 2 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (72)=21\binom{7}{2} = 21 seçim olmak üzere 2×21=422 \times 21 = 42 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 7 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
6
Tüm durumların toplanması.
Toplam alt küme sayısı 18+40+42=10018 + 40 + 42 = 100 olarak hesaplanır.
Ayrık durumların toplamı, toplam seçim sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Alt Küme Oluşturma

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da çözüme ulaşabiliriz. 10 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı toplam alt küme sayısı (104)=210\binom{10}{4} = 210 tanedir. İstenmeyen durum, en büyük ve en küçük elemanın toplamının tek sayı olmasıdır. Bu durum, x4−x1x_4 - x_1 farkının tek sayı olması anlamına gelir. x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olacağına göre fark 3,5,73, 5, 7 veya 99 olabilir. Bu farklar için olası durumlar hesaplanır:
- Fark 3 ise: 7 ikili ve (22)=1\binom{2}{2} = 1 seçimden 7×1=77 \times 1 = 7 durum.
- Fark 5 ise: 5 ikili ve (42)=6\binom{4}{2} = 6 seçimden 5×6=305 \times 6 = 30 durum.
- Fark 7 ise: 3 ikili ve (62)=15\binom{6}{2} = 15 seçimden 3×15=453 \times 15 = 45 durum.
- Fark 9 ise: 1 ikili ve (82)=28\binom{8}{2} = 28 seçimden 1×28=281 \times 28 = 28 durum.
İstenmeyen toplam durum sayısı 7+30+45+28=1107 + 30 + 45 + 28 = 110 olur. İstenen durum sayısı ise 210−110=100210 - 110 = 100 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 35Soru →

Aykut, {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanlarını istendiği kadar kullanarak 4 haneli bir şifre oluşturacaktır. Oluşturulacak şifrenin hanelerindeki rakamlar için aşa��ıdaki kurallar belirlenmiştir:

* Şifrede yan yana bulunan herhangi iki hanedeki rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreyi oluşturan tüm rakamların toplamı bir çift sayı olmalıdır.

Buna göre, Aykut bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 164

Cevap

164
Şifreyi oluşturan rakamların toplamının çift olması için kullanılan tek rakamların adedi çift sayıda olmalıdır. Buna göre şifrelerin parite dağılımları TTTT, ÇÇÇÇ veya 2T ve 2Ç rakam içeren 6 farklı dizilim (TTÇÇ, TÇTÇ, TÇÇT, ÇTTÇ, ÇTÇT, ÇÇTT) şeklinde olabilir. Her dizilim için çarpma yoluyla sayma uygulanıp yan yana aynı rakamın gelmeme koşulu yansıtıldığında sırasıyla 24, 2 ve 138 durum elde edilir. Bu durumların toplamı 164'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parite (Teklik-Çiftlik) durumlarının analizi
Dört rakamın toplamının çift olması için şifredeki tek rakamların (T) sayısı çift olmalıdır. Bu durumlar: 4 adet tek (TTTT), 0 adet tek (ÇÇÇÇ) ve 2 adet tek ile 2 adet çift (2T, 2Ç) şeklindedir. Kümedeki tek rakamlar {1,3,5}\{1, 3, 5\} (3 adet), çift rakamlar ise {2,4}\{2, 4\} (2 adet) tanedir.
Toplama yoluyla sayma yapabilmek için tüm olası durumları ayrık sınıflara ayırmamız gerekir.
2
TTTT (4 Tek Rakam) durumunun hesaplanması
3×2×2×2=243 \times 2 \times 2 \times 2 = 24 farklı şifre.
İlk hane için 3 tek rakamdan biri seçilir. Yan yana gelen rakamlar farklı olacağı için sonraki her hane için bir önceki hanede kullanılan rakam dışındaki 2 tek rakam seçilebilir.
3
ÇÇÇÇ (4 Çift Rakam) durumunun hesaplanması
2×1×1×1=22 \times 1 \times 1 \times 1 = 2 farklı şifre.
İlk hane için 2 çift rakamdan biri seçilir. Yan yana gelenler farklı olacağı için sonraki her haneye yalnızca bir önceki hanede kullanılmayan tek kalan çift rakam yazılabilir.
4
2 Tek (T) ve 2 Çift (Ç) Rakam Durumunun Dizilimlere Göre Hesaplanması
Dizilimler ve durum sayıları:
* TTÇÇ: 3×2×2×1=123 \times 2 \times 2 \times 1 = 12
* TÇTÇ: 3×2×3×2=363 \times 2 \times 3 \times 2 = 36
* TÇÇT: 3×2×1×3=183 \times 2 \times 1 \times 3 = 18
* ÇTTÇ: 2×3×2×2=242 \times 3 \times 2 \times 2 = 24
* ÇTÇT: 2×3×2×3=362 \times 3 \times 2 \times 3 = 36
* ÇÇTT: 2×1×3×2=122 \times 1 \times 3 \times 2 = 12

Bu durumların toplamı: 12+36+18+24+36+12=13812 + 36 + 18 + 24 + 36 + 12 = 138 farklı şifre.
Aynı paritedeki rakamlar yan yana geldiğinde bir önceki rakam hariç tutulurken, farklı pariteler yan yana geldiğinde kümedeki tüm elemanlar seçilebilir.
5
Toplam olası şifre sayısının bulunması
Toplam şifre sayısı: 24+2+138=16424 + 2 + 138 = 164 olur.
Ayrık durumların sayıları toplama yoluyla sayma kuralı gereği toplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu durumlarda toplama ve çarpma yoluyla sayma prensiplerinin birlikte uygulanması.
Soru 36Soru →

Bir torbada renkleri dışında özdeş olan 33 kırmızı ve 55 beyaz bilye bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki bilye çekiliyor.

Buna göre, çekilen bilyelerin en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 914\frac{9}{14}

Cevap

Çekilen bilyelerin en az birinin kırmızı olma olasılığı 914\frac{9}{14}'tür.
En az bir kırmızı bilye çekilmesi olayının olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) hiç kırmızı bilye çekilmeme (her ikisinin de beyaz olması) olasılığı çıkarılarak bulunur. Toplam 8 bilyeden 2 bilye (82)=28\binom{8}{2} = 28 farklı şekilde seçilebilir. İki bilyenin de beyaz olma durumlarının sayısı (52)=10\binom{5}{2} = 10'dur. Buradan hiç kırmızı bilye çekilmeme olasılığı 1028=514\frac{10}{28} = \frac{5}{14} olur. İstenen olasılık ise 1−514=9141 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Torbadaki toplam bilye sayısını ve seçilecek bilye sayısını belirleyerek tüm olası durumların sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplayın.
Torbadaki toplam bilye sayısı: 3+5=83 + 5 = 8'dir. Bu bilyeler arasından rastgele iki bilye seçimi tüm olas�� durumların sayısını verir: (82)=8×72=28\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28.
Olasılık hesabında paydayı (örnek uzayın eleman sayısını) bulmak için tüm olası seçimlerin sayısını bilmemiz gerekir.
2
İstenen durumun tümleyeni olan 'hiç kırmızı bilye çekilmeme' (yani çekilen iki bilyenin de beyaz olması) durumunun sayısını hesaplayın.
Torbada 5 beyaz bilye bulunmaktadır. Çekilen iki bilyenin de beyaz olma durumlarının sayısı: (52)=5×42=10\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10.
'En az bir' ifadesi içeren olasılık sorularında tümleyen olayı (hiç olmama durumu) kullanmak çözümü kolaylaştırır.
3
Tümleyen olayın olasılığını bulup, bu değeri 1'den çıkararak istenen olasılığı elde edin.
Hiç kırmızı bilye çekilmeme olasılığı: 1028=514\frac{10}{28} = \frac{5}{14}'tür. En az bir kırmızı bilye çekilme olasılığı: 1−514=9141 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14} olarak bulunur.
Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Bir olayın olasılığı, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır. 'En az bir' koşulunu taşıyan olayların olasılığını hesaplarken, tüm durumların olasılığından (1), istenen özelliğin hiç gerçekleşmediği durumun (tümleyen olayın) olasılığını çıkarmak pratik bir yöntemdir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 37Soru →
aa bir gerçel sayı ve nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(x2+ax)n\left(x^2 + \frac{a}{x}\right)^n
ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında:
- Sabit terim bulunmaktadır.
- x6x^6 lı terim, bu açılımdaki baştan 3. terimdir.
- x6x^6 lı terimin katsayısının, x3x^3 lü terimin katsayısına oranı 38\frac{3}{8}'dir.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Sabit terim 240'tır.
Baştan 3. terimin r=2r=2 değerine karşılık geldiği bilinerek 2n−6=6  ⟹  n=62n-6=6 \implies n=6 bulunur. Ardından x6x^6 ve x3x^3 terimlerinin katsayıları sırasıyla 15a215a^2 ve 20a320a^3 olarak yazılır. Bu katsayıların oranı 34a=38\frac{3}{4a} = \frac{3}{8} eşitliğinden a=2a=2 bulunur. Son olarak sabit terimi veren r=4r=4 değeri için (64)a4=15⋅16=240\binom{6}{4} a^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımdaki genel terim formülü yazılır ve baştan 3. terim kullanılarak n değeri bulunur.
Genel terim: Tr+1=(nr)(x2)n−r(ax)r=(nr)arx2n−3rT_{r+1} = \binom{n}{r} (x^2)^{n-r} \left(\frac{a}{x}\right)^r = \binom{n}{r} a^r x^{2n - 3r}. Baştan 3. terim için r=2r = 2 olur. Bu terim x6x^6 lı terim olduğuna göre, 2n−3(2)=6  ⟹  2n=12  ⟹  n=62n - 3(2) = 6 \implies 2n = 12 \implies n = 6 elde edilir.
n parametresini belirlemek, açılımın derecesini sabitlemek için gereklidir.
2
x6x^6 ve x3x^3 lü terimlerin katsayıları n = 6 değeri kullanılarak belirlenir.
x6x^6 lı terim için r=2r = 2 olup katsayısı (62)a2=15a2\binom{6}{2} a^2 = 15a^2 olur. x3x^3 lü terim için 12−3r=3  ⟹  r=312 - 3r = 3 \implies r = 3 olup katsayısı (63)a3=20a3\binom{6}{3} a^3 = 20a^3 olur.
Verilen katsayılar oranını kullanarak a değerini bulmak için terim katsayılarının açık ifadeleri gereklidir.
3
Katsayılar oranı eşitlenerek a değeri çözülür.
15a220a3=34a\frac{15a^2}{20a^3} = \frac{3}{4a} oranı 38\frac{3}{8} değerine eşitlenirse, 34a=38  ⟹  4a=8  ⟹  a=2\frac{3}{4a} = \frac{3}{8} \implies 4a = 8 \implies a = 2 bulunur.
Bilinmeyen a sabit sayısını bulmak için oran eşitliği çözülmelidir.
4
Sabit terim hesaplanır.
Sabit terim x0x^0 lı terimdir. 12−3r=0  ⟹  3r=12  ⟹  r=412 - 3r = 0 \implies 3r = 12 \implies r = 4 olur. Sabit terim: (64)a4=15⋅24=15⋅16=240\binom{6}{4} a^4 = 15 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240 olarak hesaplanır.
Soruda istenen sabit terim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü kullanılarak belirli dereceli terimlerin katsayılarının ve sabit terimin hesaplanması.
Soru 38Soru →

Bir çember üzerinde 6 farklı nokta ve bu çemberin tamamen dışındaki bir doğru üzerinde 4 farklı nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu 10 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 116

Cevap

Seçilebilecek tüm 3'lü noktaların sayısından doğrusal olan 3'lülerin sayısı çıkarıldığında 116 farklı üçgen oluşturulabilir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 10 noktadan normalde 120 üçgen oluşturulabilirdi. Ancak doğru üzerindeki 4 nokta doğrusal olduğundan, bu 4 noktadan seçilen 3'lü gruplar (4 adet) üçgen oluşturamaz. Bu yüzden 120'den 4 çıkarılarak 116 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı üzerinden seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı hesaplanır.
120
10 noktadan herhangi 3'ünün seçimi C(10,3) kombinasyonu ile bulunur.
2
Aynı doğru üzerindeki noktaların doğrusal olmasından dolayı üçgen oluşturmayan seçimler hesaplanır.
4
Doğru üzerindeki 4 noktadan seçilen 3 noktanın tamamı doğrusal olduğundan üçgen belirtmez.
3
Toplam seçim sayısından doğrusal olan seçim sayısı çıkarılır.
116
Doğrusal olmayan her 3 nokta bir üçgen oluşturduğu için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma kombinasyonları
Soru 39Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinin elemanlarından rastgele seçilen iki farklı sayının toplamının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

Seçilen iki farklı sayının toplamının çift sayı olma olasılığı 0.4'tür.
Kümedeki 6 elemandan seçilen iki sayının toplamının çift sayı olması için iki sayının da tek ya da iki sayının da çift olması gerekir. Tüm durumların sayısı 15, istenen durumların sayısı ise 6'dır. Olasılık bu iki değerin birbirine oranı olan 0.4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası seçim durumlarının sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplama.
Tüm durumların sayısı 15'tir.
6 elemanlı bir kümeden sırasız bir şekilde seçilen 2 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak.
2
Toplamı çift sayı yapan eleman çiftlerinin sayısını hesaplama.
İstenen durumların sayısı 6'dır.
İki sayının toplamının çift olması için sayıların ya ikisinin de tek (3 tek sayıdan 2'sinin seçimi) ya da ikisinin de çift (3 çift sayıdan 2'sinin seçimi) olması gerekliliği.
3
İstenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlayarak olasılık değerine ulaşma.
Olasılık değeri 0.4'tür.
Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesi gerekmektedir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 40Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen sayma problemlerini, sağ sütunda verilen doğru matematiksel hesaplama ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Bir AA kentinden BB kentine 3 farklı yol, BB kentinden CC kentine 4 farklı yol vardır. Ayrıca AA kentinden CC kentine BB'ye uğramadan giden 2 farklı doğrudan yol bulunmaktadır. AA'dan CC'ye gidip tekrar AA'ya dönecek olan bir kişi, giderken kullandığı hiçbir yol parçasını dönerken tekrar kullanmamak koşuluyla bu gidiş-dönüşü kaç farklı şekilde gerçekleştirebilir?
{0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı, 3 basamaklı ve en az iki basamağındaki rakamın toplamı çift sayı olan kaç farklı doğal sayı vardır?
Birer adet kırmızı, mavi, yeşil ve sarı kart arasından seçilen 3 kart, yan yana duran 3 boş kutuya her kutuda en fazla bir kart olacak şekilde yerleştirilecektir. Yeşil ve sarı kartların her ikisinin de seçilip kutulara yerleştirildiği durumlarda bu iki kartın yan yana olmaması koşuluyla bu yerleştirme kaç farklı şekilde yapılabilir?
Bir menüde 3 farklı çorba, 4 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Her bir gruptan en fazla birer adet seçmek ve en az iki farklı gruptan sipariş vermek koşuluyla bir müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eşleştirmeler sırasıyla: Birinci problem için 2×13+12×82 \times 13 + 12 \times 8, ikinci problem için 5×5×45 \times 5 \times 4, üçüncü problem için 4×3×2−234 \times 3 \times 2 - 2^3 ve dördüncü problem için 3×4×3+3×4+3×3+4×33 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3 şeklindedir.
Verilen problemlerın her biri toplama ve çarpma yoluyla sayma ilkelerinin doğru uygulanmasıyla çözülür. Eşleştirmelerde her bir probleme ait doğru matematiksel ifade verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci problemde gidiş yolları doğrudan (22 yol) ve BB üzerinden (1212 yol) olmak üzere ikiye ayrılır. Dönüşte kullanılan yol parçalarının tekrar kullanılamaması koşulundan hareketle, doğrudan gidiş durumunda dönüş için 1313 yol; dolaylı gidiş durumunda dönüş için 88 yol kaldığı hesaplanır.
Gidiş-dönüş yolları 2×13+12×8=1222 \times 13 + 12 \times 8 = 122 farklı şekilde seçilir.
Toplama ve çarpma yoluyla sayma kuralları ayrık durumlar için toplanarak, ardışık adımlar için çarpılarak uygulanır.
2
İkinci problemde en az iki basamaktaki rakamın toplamının çift olması için en az iki rakamın aynı paritede olması gerektiği saptanır. 3 basamaklı bir sayıda iki parite türü (tek/çift) bulunduğünden, her durumda en az iki rakam aynı paritededir ve toplamları çifttir.
Koşulu sağlayan sayıların sayısı, kümedeki rakamlarla yazılabilecek tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayıların sayısına eşittir ve miktarı 5×5×4=1005 \times 5 \times 4 = 100 adettir.
Koşulun tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayılar için daima sağlandığı gösterilir.
3
Üçüncü problemde tüm olası yerleşimlerin sayısından, istenmeyen durumların (yeşil ve sarı kartın yan yana geldiği durumlar) sayısı çıkarılır.
Yerleşim sayısı 4×3×2−23=164 \times 3 \times 2 - 2^3 = 16 olarak hesaplanır.
İstenen durumları bulmak için tüm durumlardan tüm istenmeyen durumları çıkarmak daha kolay ve hatasız bir yöntemdir.
4
Dördüncü problemde en az iki yemek grubundan sipariş verme koşulu; tüm grupların seçilmesi (Çorba-Yemek-Tatlı) ile ikili grup seçimlerinin (Çorba-Yemek, Çorba-Tatlı, Yemek-Tatlı) durum sayılarının toplanmasıyla elde edilir.
Toplam sipariş seçeneği sayısı 3×4×3+3×4+3×3+4×3=693 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3 = 69 olur.
Birbirinden bağımsız durumlar toplanarak genel toplam elde edilir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma İlkeleri ve Koşullu Sayma Problemleri

Alternatif Yöntem

İkinci problemde parite mantığını kullanmak yerine, tüm basamakların farklı paritede olma durumunu (yani bir basamağın çift, diğerlerinin tek veya tam tersi) inceleyerek de hiçbir durumun bu şartı bozmadığını doğrudan görebiliriz.
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 8Sonraki
Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin