Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 161Soru →
Pozitif bir kk gerçel sayısı için f(x)=5cot⁡(kx+π3)f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right) fonksiyonunun esas periyodu π4\frac{\pi}{4} radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen fonksiyonun esas periyodu 4'tür.
Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle bulunur. Burada xx'in katsayısı a=ka=k olup, k>0k > 0 olduğu için periyot πk\frac{\pi}{k} olur. Soruda periyot π4\frac{\pi}{4} olarak verildiğinden πk=π4\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden k=4k = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kotanjant fonksiyonunun esas periyot formülünü yazma
g(x)=c⋅cot⁡(ax+b)g(x) = c \cdot \cot(ax + b) biçimindeki fonksiyonların esas periyodu T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle hesaplanır.
Kotanjant fonksiyonunun grafiği her π\pi radyanda bir kendini tekrar ettiği için esas periyodu bulurken tanım kümesindeki yatay daralma/genişleme katsayısı olan aa değerine bölme yapılır.
2
Periyot denklemini kurarak k değerini hesaplama
f(x)=5cot⁡(kx+π3)f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right) fonksiyonunda xx'in katsayısı kk olduğundan periyot T=π∣k∣T = \frac{\pi}{|k|} olur. k>0k > 0 olarak verildiğinden ∣k∣=k|k| = k alınır. Buradan πk=π4  ⟹  k=4\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} \implies k = 4 elde edilir.
Fonksiyonun esas periyodunun π4\frac{\pi}{4} olduğu soruda verildiği için bu iki değer birbirine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarında xx'in katsayısı olan aa değeri için esas periyot T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle elde edilir.
Soru 162Soru →
xinleft(fracpi2,frac3pi4right)x \\in \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}\\right) olmak üzere,
sqrt1−sin(2x)+sqrt1+sin(2x)=frac2413\\sqrt{1 - \\sin(2x)} + \\sqrt{1 + \\sin(2x)} = \\frac{24}{13}
olduğuna göre, cos(2x)\\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −frac119169-\\frac{119}{169}

Cevap

−frac119169-\\frac{119}{169}
Verilen aralıkta kareköklü ifadeler mutlak değer dışına sırasıyla sinx−cosx\\sin x - \\cos x ve sinx+cosx\\sin x + \\cos x olarak çıkar. Bu iki ifadenin toplamı 2sinx2\\sin x değerine eşittir. Buradan sinx=frac1213\\sin x = \\frac{12}{13} ve ikinci bölgedeki işaret dikkate alınarak cosx=−frac513\\cos x = -\\frac{5}{13} bulunur. Kosinüs yarım açı formülüyle cos(2x)=cos2x−sin2x=−frac119169\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x = -\\frac{119}{169} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin içindeki trigonometrik ifadeleri tam kare formuna dönüştürün.
1−sin(2x)=sin2x+cos2x−2sinxcosx=(sinx−cosx)21 - \\sin(2x) = \\sin^2 x + \\cos^2 x - 2\\sin x\\cos x = (\\sin x - \\cos x)^2
1+sin(2x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx=(sinx+cosx)21 + \\sin(2x) = \\sin^2 x + \\cos^2 x + 2\\sin x\\cos x = (\\sin x + \\cos x)^2
Kareköklü ifadeleri sadeleştirmek ve mutlak değer dışına çıkarabilmek için tam kare açılımlarından yararlanılır.
2
İfadeleri kök dışına mutlak değer olarak çıkarın ve verilen açı aralığına göre işaretlerini belirleyin.
sqrt(sinx−cosx)2=∣sinx−cosx∣\\sqrt{(\\sin x - \\cos x)^2} = |\\sin x - \\cos x|
sqrt(sinx+cosx)2=∣sinx+cosx∣\\sqrt{(\\sin x + \\cos x)^2} = |\\sin x + \\cos x|

xinleft(fracpi2,frac3pi4right)x \\in \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}\\right) aralığında (II. bölge):
* sinx>0\\sin x > 0 ve cosx<0\\cos x < 0 değerlerini alır.
* Bu aralıktaki açılar için sinx>∣cosx∣\\sin x > |\\cos x| olduğundan, sinx>−cosx\\sin x > -\\cos x olur.

Buradan:
* sinx−cosx>0implies∣sinx−cosx∣=sinx−cosx\\sin x - \\cos x > 0 \\implies |\\sin x - \\cos x| = \\sin x - \\cos x
* sinx+cosx>0implies∣sinx+cosx∣=sinx+cosx\\sin x + \\cos x > 0 \\implies |\\sin x + \\cos x| = \\sin x + \\cos x

Toplam ifadesi:
(sinx−cosx)+(sinx+cosx)=2sinx(\\sin x - \\cos x) + (\\sin x + \\cos x) = 2\\sin x şeklinde sadeleşir.
II. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini doğru tayin ederek mutlak değer dışına çıkarma işlemini hatasız tamamlamak gerekir.
3
Elde edilen denklemi çözerek sinx\\sin x değerini bulun, ardından cosx\\cos x ve cos(2x)\\cos(2x) değerlerini hesaplayın.
2sinx=frac2413impliessinx=frac12132\\sin x = \\frac{24}{13} \\implies \\sin x = \\frac{12}{13}

II. bölgede cosx<0\\cos x < 0 olduğundan:
cosx=−sqrt1−sin2x=−sqrt1−left(frac1213right)2=−frac513\\cos x = -\\sqrt{1 - \\sin^2 x} = -\\sqrt{1 - \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2} = -\\frac{5}{13}

Kosinüs yarım açı formülünü uygulayarak cos(2x)\\cos(2x) değerini bulun:
cos(2x)=cos2x−sin2x=left(−frac513right)2−left(frac1213right)2\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x = \\left(-\\frac{5}{13}\\right)^2 - \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2
cos(2x)=frac25169−frac144169=−frac119169\\cos(2x) = \\frac{25}{169} - \\frac{144}{169} = -\\frac{119}{169}
Yarım açı formülü yardımıyla tek bir açının trigonometrik değerinden iki katı olan açının kosinüs değerine geçiş yapılır.

Anahtar Kavram

Tam kare ifadelerin mutlak değer yardımıyla kök dışına çıkarılması ve kosinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.
Soru 163Soru →

Dik koordinat düzleminde, OO merkezli birim çember ile y=1y = 1 teğet doğrusu verilmiştir. Bir α\alpha dar açısı için, pozitif yönlü θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısının bitim kenarı birim çemberi PP noktasında, y=1y = 1 doğrusunu ise KK noktasında kesmektedir. Buna göre, KK noktasının apsisi ile PP noktasının apsisinin farkı (xK−xPx_K - x_P) ifadesinin α\alpha türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha

Cevap

cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha
Doğru cevap cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha ifadesidir. İkinci bölgedeki θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısı için birim çember üzerindeki PP noktasının apsisi −cos⁡α-\cos\alpha ve y=1y = 1 (kotanjant) doğrusu üzerindeki KK noktasının apsisi −cot⁡α-\cot\alpha olur. Bu iki apsis değerinin farkı (xK−xPx_K - x_P) hesaplandığında (−cot⁡α)−(−cos⁡α)=cos⁡α−cot⁡α(-\cot\alpha) - (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cot\alpha ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleme ve P noktasının apsisini bulma
xP=−cos⁡αx_P = -\cos\alpha
θ=π−α\theta = \pi - \alpha açısı ikinci bölgededir. Birim çember üzerindeki PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olduğundan xP=cos⁡(π−α)=−cos⁡αx_P = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha olur.
2
K noktasının apsisini bulma
xK=−cot⁡αx_K = -\cot\alpha
y=1y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir. θ\theta açısının bitim kenarının bu ekseni kestiği KK noktasının koordinatları (cot⁡θ,1)(\cot\theta, 1) biçimindedir. Dolayısıyla xK=cot⁡(π−α)=−cot⁡αx_K = \cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha olur.
3
Apsis farkını hesaplama
cos⁡α−cot⁡α\cos\alpha - \cot\alpha
İstenen fark xK−xP=(−cot⁡α)−(−cos⁡α)=cos⁡α−cot⁡αx_K - x_P = (-\cot\alpha) - (-\cos\alpha) = \cos\alpha - \cot\alpha olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları, kotanjant ekseni ile kesişim noktalarının bulunması ve ikinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların indirgenmesi.
Soru 164Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x−cos⁡x=15\sin x - \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.96

Cevap

İfadenin karesi alınarak temel trigonometrik özdeşlikler uygulandığında sin⁡(2x)\sin(2x) değeri 0,960,96 (yani 2425\frac{24}{25}) olarak elde edilir.
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında elde edilen sin⁡2x+cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x ifadesi 1'e eşittir. Karesel açılımdaki −2sin⁡xcos⁡x-2\sin x\cos x terimi ise −sin⁡(2x)-\sin(2x) yarım açı formülüne karşılık gelir. Buradan 1−sin⁡(2x)=1/251 - \sin(2x) = 1/25 denklemi çözülerek sin⁡(2x)=24/25=0,96\sin(2x) = 24/25 = 0,96 sonucuna doğrudan ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini almak
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=125\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}
İfadedeki terimlerin çarpımını ve kareler toplamını ortaya çıkararak bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek için.
2
Trigonometrik özdeşlikleri uygulamak
1−sin⁡(2x)=1251 - \sin(2x) = \frac{1}{25}
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 temel özdeşliği ile yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) eşitliklerini yerine koymak için.
3
sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakmak
sin⁡(2x)=1−125=2425=0,96\sin(2x) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} = 0,96
Soruda istenen yarım açı değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sinüs fonksiyonunun yarım açı formülü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x) ve temel trigonometrik özdeşliklerin (sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1) kullanımı.
Soru 165Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, m(ACB^)=150∘m(\widehat{ACB}) = 150^\circ ve ∣AB∣=10 cm|AB| = 10\text{ cm}'dir. Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 santimetredir.
Sinüs Teoremi'ne göre ∣AB∣sin⁡(C^)=2R\frac{|AB|}{\sin(\widehat{C})} = 2R bağıntısı vardır. ∣AB∣=10|AB| = 10 ve sin⁡(150∘)=1/2\sin(150^\circ) = 1/2 değerleri yerine yazıldığında 2R=202R = 20 bulunur. Buradan yarıçap R=10 cmR = 10\text{ cm} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi formülünü belirleme
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R
Bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi ve çevrel çemberin yarıçapını (RR) bağlayan teorem Sinüs Teoremi'dir.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazma
10sin⁡(150∘)=2R\frac{10}{\sin(150^\circ)} = 2R
Soruda ∣AB∣=c=10 cm|AB| = c = 10\text{ cm} ve bu kenarın karşısındaki açı m(C^)=150∘m(\widehat{C}) = 150^\circ olarak verilmiştir.
3
Geniş açının sinüs değerini indirgeme formülüyle hesaplama
\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
İkinci bölgedeki bir açının sinüs değerini bulmak için bütünler açısının sinüs değeri kullanılır.
4
Bulunan sinüs değerini yerine yazarak yarıçapı (RR) yalnız bırakma
\frac{10}{\frac{1}{2}} = 2R \implies 20 = 2R \implies R = 10
Eşitliğin sol tarafındaki bölme işlemi yapıldıktan sonra her iki taraf 2'ye bölünerek yarıçap bulunur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende Sinüs Teoremi yardımıyla çevrel çemberin yarıçapının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Çevrel çember çizildiğinde, 150∘150^\circ'lik çevre açının gördüğü yay 300∘300^\circ olur. Dolayısıyla geriye kalan küçük yay 60∘60^\circ olur. Bu yayı gören merkez açı da 60∘60^\circ olacaktır. Çemberin merkezi OO ise, OABOAB üçgeninde ∣OA∣=∣OB∣=R|OA| = |OB| = R (yarıçap) ve tepe açısı 60∘60^\circ olduğundan OABOAB eşkenar üçgendir. Buradan ∣AB∣=R=10 cm|AB| = R = 10\text{ cm} doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 166Soru →

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik ifadelerini en küçük değerden en büyük değere do��ru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı z, w, y, x şeklindedir.
İfadelerin doğru sıralanışı en küçük değerden en büyük değere doğru sırasıyla z, w, y, x şeklindedir. İndirgeme formüllerine göre z ifadesi en küçük negatif değer olan -sin(15) değerine eşitken, w ifadesi -tan(10) değerine eşittir. Pozitif değerlerden y ifadesi sin(15) değerine, x ifadesi ise en büyük değer olan tan(25) değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların bulundukları bölgeleri belirleyip indirgeme formüllerini uygulayarak ifadeleri birinci bölgeye taşıyın.
z=sin⁡(195∘)=sin⁡(180∘+15∘)=−sin⁡(15∘)z = \sin(195^\circ) = \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ)
w=cot⁡(100∘)=cot⁡(90∘+10∘)=−tan⁡(10∘)w = \cot(100^\circ) = \cot(90^\circ + 10^\circ) = -\tan(10^\circ)
y=cos⁡(285∘)=cos⁡(270∘+15∘)=sin⁡(15∘)y = \cos(285^\circ) = \cos(270^\circ + 15^\circ) = \sin(15^\circ)
x=tan⁡(205∘)=tan⁡(180∘+25∘)=tan⁡(25∘)x = \tan(205^\circ) = \tan(180^\circ + 25^\circ) = \tan(25^\circ)
İfadelerin işaretlerini belirlemek ve büyüklüklerini birinci bölgedeki bilinen dar açılar cinsinden karşılaştırabilmek için indirgeme yapılır.
2
Negatif değerleri kendi aralarında karşılaştırın.
Birinci bölgede 15∘>10∘15^\circ > 10^\circ olduğundan sin⁡(15∘)>tan⁡(10∘)\sin(15^\circ) > \tan(10^\circ) olur. Bu değerler negatif işaretle çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: −sin⁡(15∘)<−tan⁡(10∘)-\sin(15^\circ) < -\tan(10^\circ). Dolayısıyla z<wz < w elde edilir.
Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanı daha küçüktür.
3
Pozitif değerleri kendi aralarında karşılaştırın.
Birinci bölgede her α\alpha dar açısı için tan⁡α>sin⁡α\tan\alpha > \sin\alpha bağıntısı geçerlidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(25∘)>sin⁡(25∘)>sin⁡(15∘)\tan(25^\circ) > \sin(25^\circ) > \sin(15^\circ) sıralaması bulunur. Dolayısıyla y<xy < x elde edilir.
Pozitif trigonometrik değerlerin büyüklük sıralaması fonksiyonların birinci bölgedeki davranışlarına göre belirlenir.
4
Bulunan tüm sonuçları birleştirerek nihai sıralamayı oluşturun.
Negatif değerler pozitif değerlerden her zaman küçük olacağı için genel sıralama z<w<y<xz < w < y < x şeklindedir.
Tüm ifadelerin büyüklük ilişkisini tek bir eşitsizlik zincirinde toplamak için gruplar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve birinci bölgedeki değerlerin karşılaştırılması.
Soru 167Soru →

x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2425\frac{24}{25}

Cevap

Yirmi dört bölü yirmi beş
Verilen açının sinüs değeri 45\frac{4}{5} olduğuna göre, dik üçgen çizilerek komşu kenar 33 birim bulunur ve açının birinci bölgede olmasından dolayı cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5} elde edilir. Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x bağıntısında değerler yerine konulduğunda, aranan değer 2425\frac{24}{25} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesi ve temel trigonometrik özdeşlikler kullanılarak cos⁡x\cos x değeri bulunur.
cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5}
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) aralığında olduğundan kosinüs değeri pozitiftir. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğinden cos⁡x=1−(45)2=35\cos x = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5} bulunur.
2
Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x ifadesinde bilinen değerler yerine yazılır.
sin⁡(2x)=2⋅45⋅35\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}
Yarım açı ilişkisini kurarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplamak amaçlanır.
3
İfade çarpılarak sonuç elde edilir.
sin⁡(2x)=2425\sin(2x) = \frac{24}{25}
Çarpma işlemi tamamlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Formülü
Soru 168Soru →
cos⁡4(π8)−sin⁡4(π8)sin⁡(π8)⋅cos⁡(π8)\frac{\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin sadeleştirilmesi ve özel açı değerlerinin yerine konulması sonucunda elde edilen değer 2'dir.
Pay kısmında yer alan iki kare farkı açılımı yapıldığında cos⁡2(π/8)−sin⁡2(π/8)\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8) çarpanı elde edilir ve bu ifade kosinüsün yarım açı formülünden cos⁡(π/4)\cos(\pi/4)'e eşittir. Paydadaki sin⁡(π/8)cos⁡(π/8)\sin(\pi/8)\cos(\pi/8) çarpımı ise sinüsün yarım açı formülünden 12sin⁡(π/4)\frac{1}{2}\sin(\pi/4)'e eşittir. İki değerin birbirine oranı ise cot⁡(π/4)=1\cot(\pi/4) = 1 değerinin iki katı olan 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü ile sadeleştirmek
cos⁡(π4)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
a4−b4=(a2−b2)(a2+b2)a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) özdeşliği ve cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ile cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x yarım açı formülü birlikte kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki ifadeyi sinüs yarım açı formülü ile düzenlemek
12sin⁡(π4)\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yarım açı formülünden yararlanılmıştır.
3
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda oranını hesaplamak
22
cos⁡(π/4)12sin⁡(π/4)=2cot⁡(π/4)\frac{\cos(\pi/4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi/4)} = 2\cot(\pi/4) elde edilir. cot⁡(π/4)=1\cot(\pi/4) = 1 olduğundan sonuç 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 169Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik özdeşlikler ve aralık analizi yapıldığında ifadeler a<c<ba < c < b şeklinde sıralanır.
Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \sin(x) - \cos(x) değeri sıfır ile bir arasında pozitif bir değer alır, cc ifadesi sadeleşerek doğrudan bir değerine eşit olur, bb ifadesi ise mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarak birden büyük bir değer alır. Bu durum en küçük değerin ilk ifadeye, en büyük değerin ise ikinci ifadeye ait olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirelim.
a=(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)a = \frac{(\sin^2(x) - \cos^2(x))(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{\sin(x) + \cos(x)} elde edilir. sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olduğu için ifade a=(sin⁡(x)−cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \frac{(\sin(x) - \cos(x))(\sin(x) + \cos(x))}{\sin(x) + \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x) halini alır.
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapmak, sıralama kıyaslamasını kolaylaştırır.
2
bb ifadesini tam kare özdeşliği yardımıyla kök dışına çıkaralım.
1=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) yazıldığında kök içi (sin⁡(x)+cos⁡(x))2(\sin(x) + \cos(x))^2 olur. Buradan b=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣b = \sqrt{(\sin(x) + \cos(x))^2} = |\sin(x) + \cos(x)| elde edilir.
Derecesi çift olan köklü ifadeler dışarıya mutlak değer içinde çıkarılmalıdır.
3
cc ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazıp sadeleştirelim.
Pay kısmı: tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} olur. Payda kısmı: sec⁡(x)csc⁡(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\cos(x)\sin(x)} olur. İkisinin oranı c=1c = 1 sonucunu verir.
Temel trigonometrik kimlikler kullanılarak karmaşık rasyonel ifadeler sadeleştirilir.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre ifadelerin işaret ve büyüklük analizini yapalım.
Bu aralıkta (üçüncü bölgede) cos⁡(x)<sin⁡(x)<0\cos(x) < \sin(x) < 0 eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla:
- a=sin⁡(x)−cos⁡(x)>0a = \sin(x) - \cos(x) > 0 olup 0<a<10 < a < 1 aralığındadır.
- sin⁡(x)+cos⁡(x)<0\sin(x) + \cos(x) < 0 olduğundan b=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣=−sin⁡(x)−cos⁡(x)b = |\sin(x) + \cos(x)| = -\sin(x) - \cos(x) olur. Bu değer 1<b<21 < b < \sqrt{2} aralığındadır.
- c=1c = 1 sabittir.
Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri ve birbirlerine göre büyüklükleri sıralamayı belirler.
5
Elde edilen değer aralıklarını birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.
0<a<10 < a < 1, c=1c = 1 ve 1<b<21 < b < \sqrt{2} olduğundan sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Bulunan sayısal aralıklar sıralamayı tek bir şekilde belirlememizi sağlar.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 170Soru →

Bir ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. ∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}, ∣DC∣=4 birim|DC| = 4\text{ birim}, ∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim} olduğuna göre, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Köşegen uzunluğu 7 birimdir.
Yamuğun üst köşesinden yan kenara çizilen paralel doğru sayesinde elde edilen üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak açının kosinüsü bir bölü beş bulunur. Yamuktaki ardışık açıların bütünler olmasından yola çıkılarak geniş açının kosinüsü eksi bir bölü beş olarak belirlenir. Son olarak üstteki üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanmasıyla köşegen uzunluğu net bir şekilde yedi birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
[CE]∥[AD][CE] \parallel [AD] olacak şekilde EE noktası [AB][AB] üzerinde belirlenir.
AECDAECD paralelkenarı ve CEBCEB üçgeni oluşur. Buradan ∣AE∣=4 birim|AE| = 4\text{ birim}, ∣CE∣=5 birim|CE| = 5\text{ birim} ve ∣EB∣=6 birim|EB| = 6\text{ birim} bulunur.
Yamuk sorularında paralel kenar çizmek, Kosinüs Teoremini uygulayabileceğimiz bir üçgen elde etmemizi sağlar.
2
CEBCEB üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır.
72=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡(CEB^)7^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\widehat{CEB}) denkleminden cos⁡(CEB^)=15\cos(\widehat{CEB}) = \frac{1}{5} bulunur.
Üç kenarı bilinen bir üçgende açının kosinüs değerini belirlemek için Kosinüs Teoremi en uygun yöntemdir.
3
ADCADC açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−CEB^)=−cos⁡(CEB^)=−15\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{CEB}) = -\cos(\widehat{CEB}) = -\frac{1}{5} elde edilir.
Yamuğun paralel kenarları arasındaki ardışık açılar bütünler olduğundan açılardan birinin kosinüsü diğerinin kosinüsünün zıt işaretlisine eşittir.
4
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=52+42−2⋅5⋅4⋅(−15)=25+16+8=49|AC|^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = 25 + 16 + 8 = 49, buradan ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} bulunur.
İki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilinen ADCADC üçgeninde bilinmeyen üçüncü kenarı bulmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Yamuk içinde paralel doğru yardımıyla üçgen oluşturma ve bütünler açıların kosinüs ilişkisini Kosinüs Teoremi ile birleştirme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 171Soru →

arctan⁡(x−2)=π4\arctan(x - 2) = \frac{\pi}{4} olduğuna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemi sağlayan xx değeri 3'tür.
Ters tanjant fonksiyonunun tanımı gereği arctan⁡(x−2)=π4\arctan(x - 2) = \frac{\pi}{4} ifadesi x−2=tan⁡(π4)x - 2 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) eşitliğine denktir. tan⁡(π4)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 olduğu bilindiğinden, x−2=1x - 2 = 1 denkleminden x=3x = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters tanjant fonksiyonunun tanımını uygulayarak denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edin.
x−2=tan⁡(π4)x - 2 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)
arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u temel tanımı gereğidir.
2
Bilinen özel açının tanjant değerini denklemde yerine yazın.
x−2=1x - 2 = 1
π4\frac{\pi}{4} radyanlık (45∘45^\circ) açının tanjant değeri 1'e eşittir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek bilinmeyeni yalnız bırakın.
x=3x = 3
x−2=1x - 2 = 1 denkleminde −2-2 eşitliğin karşı tarafına +2+2 olarak geçirilerek xx değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı
Soru 172Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1+cos⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡x1+cos⁡x=3\sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}} + \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = 3

olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 454\sqrt{5}

Cevap

454\sqrt{5}
Verilen rasyonel köklü ifadelerin paydaları eşitlenip toplandığında ifade 2∣sin⁡x∣\frac{2}{|\sin x|} şekline sadeleşir. Açının üçüncü bölgede yer almasından dolayı sinüs fonksiyonu negatif değer alır ve mutlak değer dışına −sin⁡x-\sin x olarak çıkar. Buradan sin⁡x=−23\sin x = -\frac{2}{3} ve dik üçgen bağıntıları yardımıyla tan⁡x=25\tan x = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü uygulandığında doğru sonuç 454\sqrt{5} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen köklü ifadelerin paydaların�� eşitleyerek ortak paydada toplamak.
1+cos⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡x1+cos⁡x=(1+cos⁡x)+(1−cos⁡x)1−cos⁡2x=2sin⁡2x=2∣sin⁡x∣\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1-\cos x}} + \frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}} = \frac{(1+\cos x) + (1-\cos x)}{\sqrt{1-\cos^2 x}} = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{2}{|\sin x|}
Köklü ifadeleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek amacıyla payda eşitleme işlemi yapılır.
2
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak mutlak değer dışına çıkarma işlemini tamamlamak ve sin⁡x\sin x değerini elde etmek.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında (üçüncü bölge) sinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olur. Bu durumda,
2−sin⁡x=3  ⟹  sin⁡x=−23\frac{2}{-\sin x} = 3 \implies \sin x = -\frac{2}{3} elde edilir.
Karekök dışına çıkan ifadelerin işaret belirlemesi, açının tanımlı olduğu koordinat düzlemi bölgesine göre yapılır.
3
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla cos⁡x\cos x ve tan⁡x\tan x değerlerini bulmak.
Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından,
cos⁡x=−1−sin⁡2x=−1−49=−53\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}
Buradan tanjant değeri,
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−2/3−5/3=25\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}
olarak bulunur.
İki kat açı formülünü uygulamak için gerekli olan tek kat açının tanjant değeri belirlenir.
4
Tanjant iki kat açı formülünü uygulayarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplamak.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=2⋅251−(25)2=451−45=4515=205=45\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}
İki kat açıya geçiş yaparak soruda bizden istenen nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri ve bölge özelliklerine göre trigonometrik ifadelerin mutlak değer yardımıyla sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 173Soru →

Tanımlı olduğu aralıkta xx gerçel sayısı için,

sin⁡(5π2−x)−cos⁡(3π+x)tan⁡(7π2−x)⋅sin⁡(π−x)\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \cos(3\pi + x)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) \cdot \sin(\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

En sade biçimi 2 olan ifade
İndirgeme formülleri doğru bir şekilde uygulandığında pay kısmındaki ifade 2cos⁡x2\cos x, payda kısmındaki ifade ise cos⁡x\cos x olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin birbirine bölünmesiyle en sade biçim 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini belirleme
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2}, 3π3\pi açısının esas ölçüsü π\pi ve 7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} olarak bulunur.
2π2\pi değerinden büyük olan radyan cinsinden açıları indirgeyebilmek için öncelikle 2π2\pi katlarını çıkararak esas ölçülerini bulmamız gerekir.
2
Bölgelere göre indirgeme formüllerini uygulama
sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x (1. bölge, sinüs pozitif, isim değişir)
cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x (3. bölge, kosinüs negatif, isim değişmez)
tan⁡(3π2−x)=cot⁡x\tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cot x (3. bölge, tanjant pozitif, isim değişir)
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x (2. bölge, sinüs pozitif, isim değişmez)
Her bir trigonometrik fonksiyonun hangi bölgeye düştüğünü belirleyip o bölgedeki işaretine göre indirgeme kurallarını uygularız. Açı π2\frac{\pi}{2} veya 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığında fonksiyon isim değiştirir (sin ↔\leftrightarrow cos, tan ↔\leftrightarrow cot); π\pi cinsinden yazıldığında ise isim değişmez.
3
İfadeleri yerine yazarak sadeleştirme yapma
Pay kısmı: cos⁡x−(−cos⁡x)=2cos⁡x\cos x - (-\cos x) = 2\cos x
Payda kısmı: cot⁡x⋅sin⁡x=cos⁡xsin⁡x⋅sin⁡x=cos⁡x\cot x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x
Sonuç: 2cos⁡xcos⁡x=2\frac{2\cos x}{\cos x} = 2
Bulunan indirgenmiş ifadeler kesirde yerlerine yazılır ve cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} özdeşliği kullanılarak gerekli sadeleştirmeler yapılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve indirgeme formüllerinin uygulanması
Soru 174Soru →
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere,
cos⁡(2x)=1725\cos(2x) = \frac{17}{25}
olduğuna göre, sin⁡x\sin x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

0,4
Kosinüsün yarım açı açılımı olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x eşitliğinde cos⁡(2x)=17/25\cos(2x) = 17/25 yazıldığında sin⁡2x=4/25\sin^2 x = 4/25 bulunur. Birinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif olduğundan sin⁡x=2/5=0,4\sin x = 2/5 = 0,4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs yarım açı formülünü yazmak
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Bilinen cos⁡(2x)\cos(2x) değeri üzerinden aranan sin⁡x\sin x değerini bulabilmek için uygun olan yarım açı formülü seçilir.
2
Denklemde verilen değeri yerine yerleştirmek ve çözmek
1725=1−2sin⁡2x  ⟹  2sin⁡2x=1−1725=825  ⟹  sin⁡2x=425\frac{17}{25} = 1 - 2\sin^2 x \implies 2\sin^2 x = 1 - \frac{17}{25} = \frac{8}{25} \implies \sin^2 x = \frac{4}{25}
sin⁡x\sin x değerini elde etmek amacıyla sin⁡2x\sin^2 x ifadesi yalnız bırakılır.
3
Açının bulunduğu bölgeye göre doğru işareti belirlemek
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} aralığında sin⁡x\sin x pozitif olduğundan sin⁡x=25=0,4\sin x = \frac{2}{5} = 0,4 bulunur.
Birinci bölgede sinüs fonksiyonunun değeri pozitiftir.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 175Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak ��zere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=16cos⁡2(2x)\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16\cos^2(2x)

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2+22-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

Cevap

−2+22-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} değeri doğru cevaptır.
Verilen denklem payda eşitleme ve ardışık olarak sinüs yarım açı formülleri uygulandığında sin⁡2(4x)=1\sin^2(4x) = 1 denklemine dönüşür. Belirtilen x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında bu eşitliği sağlayan tek kök x=9π8x = \frac{9\pi}{8} açısıdır. Bu açının iki katı olan 2x=9π42x = \frac{9\pi}{4} açısının kosinüsü 22\frac{\sqrt{2}}{2} olup yarım açı formülü yardımıyla cos⁡2x=2+24\cos^2 x = \frac{2+\sqrt{2}}{4} elde edilir. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığından kosinüsü negatiftir ve karekök alındığında negatif olan değer doğru cevap olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde paydaları eşitleyerek sol taraftaki ifadeyi tek bir kesir haline getirin.
cos⁡2x+sin⁡2xsin⁡2x⋅cos⁡2x=1sin⁡2x⋅cos⁡2x\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} elde edilir.
Rasyonel ifadeleri sadeleştirmek ve bilinen trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
Sinüs yarım açı formülünü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x) kullanarak paydayı düzenleyin.
sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} olduğundan, paydadaki ifade sin⁡2xcos⁡2x=sin⁡2(2x)4\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2(2x)}{4} olur. Bu durumda denklemin sol tarafı 4sin⁡2(2x)\frac{4}{\sin^2(2x)} haline gelir.
Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri aynı açı cinsinden yazarak denklemi çözülebilir kılmak amaçlanmıştır.
3
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak içler dışlar çarpımı yapın ve sinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayın.
4sin⁡2(2x)=16cos⁡2(2x)  ⟹  4=16sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)  ⟹  sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)=14\frac{4}{\sin^2(2x)} = 16\cos^2(2x) \implies 4 = 16\sin^2(2x)\cos^2(2x) \implies \sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{1}{4} elde edilir. sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) formülünün karesini alırsak, sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)=sin⁡2(4x)4\sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{\sin^2(4x)}{4} olur. Buradan sin⁡2(4x)4=14  ⟹  sin⁡2(4x)=1\frac{\sin^2(4x)}{4} = \frac{1}{4} \implies \sin^2(4x) = 1 bulunur.
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon (sin⁡4x\sin 4x) cinsinden yazarak kökleri bulmayı kolaylaştırmak hedeflenmiştir.
4
xx açısının tanım aralığından yararlanarak 4x4x açısının aralığını belirleyin ve sin⁡(4x)=1\sin(4x) = 1 denklemini çözün.
x∈(π,5π4)  ⟹  4x∈(4π,5π)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) \implies 4x \in (4\pi, 5\pi) olur. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu pozitif değerler aldığından, sin⁡2(4x)=1  ⟹  sin⁡(4x)=1\sin^2(4x) = 1 \implies \sin(4x) = 1 olmalıdır. Buradan 4x=4π+π2=9π2  ⟹  x=9π84x = 4\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} \implies x = \frac{9\pi}{8} bulunur.
Açının bulunduğu bölge, trigonometrik fonksiyonların işaretini ve tam değerini belirlemek için kritiktir.
5
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın ve ardından kosinüs yarım açı formülüyle (cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}) cos⁡x\cos x değerini bulun.
2x=9π4=2π+π42x = \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} olduğundan, cos⁡(2x)=cos⁡(π4)=22\cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} olur. Yarım açı formülünden: cos⁡2x=1+222=2+24\cos^2 x = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4} elde edilir. x=9π8x = \frac{9\pi}{8} açısı üçüncü bölgede yer aldığı için kosinüs değeri negatif olmalıdır. Dolayısıyla, cos⁡x=−2+22\cos x = -\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} bulunur.
2x2x açısının kosinüs değerini yarım açı formülüyle xx açısına indirgeyerek nihai sonuca ulaşmak ve bölgeye göre doğru işareti seçmek gerekir.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarında yarım açı formüllerinin uygulanması ve trigonometrik denklemlerde aralığa bağlı olarak bölge ve işaret analizinin yapılması.
Soru 176Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası üçüncü bölgededir. OPOP doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı θ\theta olmak üzere, PP noktasından xx-eksenine inilen dikmenin ayağı AA, yy-eksenine inilen dikmenin ayağı BB noktasıdır. Buna göre, OAPBOAPB dikdörtgeninin çevresinin θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta)

Cevap

Dikdörtgenin çevresi −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta) birimdir.
Üçüncü bölgede bulunan PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)'dır. Bu bölgede kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının değerleri negatif olduğundan, OAPBOAPB dikdörtgeninin kenar uzunlukları ∣OA∣=−cos⁡θ|OA| = -\cos\theta ve ∣OB∣=−sin⁡θ|OB| = -\sin\theta olarak belirlenir. Çevre formülü olan 2(∣OA∣+∣OB∣)2(|OA| + |OB|) uygulandığında doğru çevre ifadesi −2(sin⁡θ+cos⁡θ)-2(\sin\theta + \cos\theta) olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
PP noktasının koordinatlarını belirleme.
PP noktasının koordinatları P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) olur.
Birim çember üzerindeki her noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
2
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını mutlak değerce ifade etme.
∣OA∣=−cos⁡θ|OA| = -\cos\theta ve ∣OB∣=−sin⁡θ|OB| = -\sin\theta birimdir.
θ\theta açısı üçüncü bölgede yer aldığı için bu bölgede hem sin⁡θ\sin\theta hem de cos⁡θ\cos\theta negatiftir. Uzunluk negatif olamayacağı için koordinatların önüne eksi işareti konularak pozitif değerler elde edilir.
3
Dikdörtgenin çevresini hesaplama.
Çevre =2(∣OA∣+∣OB∣)=2(−cos⁡θ−sin⁡θ)=−2(sin⁡θ+cos⁡θ)= 2(|OA| + |OB|) = 2(-\cos\theta - \sin\theta) = -2(\sin\theta + \cos\theta) birimdir.
Dikdörtgenin çevresi, komşu iki kenar uzunluğunun toplamının iki katına eşittir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik ifadeleri ve bölgelere göre işaret değişimi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 177Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x1+x2)+arccos⁡(1−x21+x2)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

3π[f(2−3)+f(3)]\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right]

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sayısal değeri 4'tür.
Tanım ve değer aralıklarına dikkat edilerek yapılan hesaplamalarda, f(2−3)=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ve f(3)=πf(\sqrt{3}) = \pi olarak bulunur. Bu değerlerin toplamının 3π\frac{3}{\pi} katı alındığında sonuç 4 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
x=2−3x = 2-\sqrt{3} değerini 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} ve 1−x21+x2\frac{1-x^2}{1+x^2} ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.
x2=(2−3)2=7−43x^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3}

2x1+x2=2(2−3)1+7−43=4−238−43=12\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{1+7-4\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}

1−x21+x2=1−(7−43)8−43=−6+438−43=23(2−3)4(2−3)=32\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-(7-4\sqrt{3})}{8-4\sqrt{3}} = \frac{-6+4\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Ters trigonometrik fonksiyonların içindeki cebirsel argümanları hesaplamak için.
2
f(2−3)f(2-\sqrt{3}) değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirelim.
f(2−3)=arcsin⁡(12)+arccos⁡(32)f(2-\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

arcsin⁡(12)=π6vearccos⁡(32)=π6\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{ve} \quad \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}

f(2−3)=π6+π6=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}
arcsin⁡\arcsin ve arccos⁡\arccos fonksiyonlarının [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] ve [0,π][0, \pi] değer aralıklarındaki karşılıklarını bulmak için.
3
x=3x = \sqrt{3} değerini 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} ve 1−x21+x2\frac{1-x^2}{1+x^2} ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.
2x1+x2=231+3=32\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1+3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

1−x21+x2=1−31+3=−12\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-3}{1+3} = -\frac{1}{2}
x=3x = \sqrt{3} noktası için fonksiyonun argümanlarını belirlemek için.
4
f(3)f(\sqrt{3}) değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirip ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre hesaplayalım.
f(3)=arcsin⁡(32)+arccos⁡(−12)f(\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)

arcsin⁡(32)=π3\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}

arccos⁡(−12)=π−π3=2π3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

f(3)=π3+2π3=πf(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi
arccos⁡(y)\arccos(y) fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan, kosinüsü −1/2-1/2 olan açı 2π3\frac{2\pi}{3} olmalıdır.
5
Elde edilen f(2−3)=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ve f(3)=πf(\sqrt{3}) = \pi değerlerini ana ifadede yerine koyalım.
3π[f(2−3)+f(3)]=3π(π3+π)=3π⋅4π3=4\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right] = \frac{3}{\pi} \left( \frac{\pi}{3} + \pi \right) = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3} = 4
İstenen cebirsel ifadenin nihai sayısal sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları (özellikle arccos⁡\arccos ve arcsin⁡\arcsin sınırları)
Soru 178Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x−3)f(x) = \arcsin(2x - 3)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,2][1, 2]

Cevap

[1,2][1, 2] aralığı
Ters sinüs fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının [−1,1][-1, 1] kapalı aralığında yer alması gerekir. Bu kurala göre oluşturulan −1≤2x−3≤1-1 \le 2x - 3 \le 1 eşitsizliği çözüldüğünde 1≤x≤21 \le x \le 2 elde edilir ve bu da [1,2][1, 2] aralığına karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin fonksiyonunun tanım aralığını belirleme.
f(x)=arcsin⁡(u)f(x) = \arcsin(u) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır. Bu soruda u=2x−3u = 2x - 3 olduğundan −1≤2x−3≤1-1 \le 2x - 3 \le 1 elde edilir.
arcsin fonksiyonu, sinüs fonksiyonunun [−1,1][-1, 1] aralığındaki değerlerine karşılık gelen açıları bulduğu için tanım kümesi [−1,1][-1, 1] ile sınırlıdır.
2
Elde edilen eşitsizliği çözerek xx değişkenini yalnız bırakma.
−1≤2x−3≤1-1 \le 2x - 3 \le 1 eşitsizliğinde her tarafa 3 eklenirse 2≤2x≤42 \le 2x \le 4 elde edilir. Ardından her taraf 2'ye bölünürse 1≤x≤21 \le x \le 2 bulunur.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için xx değişkeninin alabileceği değer aralığı elde edilmelidir.

Anahtar Kavram

Ters sinüs (arcsin) fonksiyonunun tanım kümesi [−1,1][-1, 1] aralığıdır. Bir f(x)=arcsin⁡(g(x))f(x) = \arcsin(g(x)) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için −1≤g(x)≤1-1 \le g(x) \le 1 eşitsizliği çözülür.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 179Soru →
sin⁡x≠0\sin x \neq 0 ve cos⁡x≠0\cos x \neq 0 olmak üzere,
sin⁡(2x)sin⁡x−cos⁡(2x)cos⁡x=4\frac{\sin(2x)}{\sin x} - \frac{\cos(2x)}{\cos x} = 4
olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

14\frac{1}{4}
Verilen denklemde sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x ve cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülleri yerine yazılıp sadeleştirildiğinde 1cos⁡x=4\frac{1}{\cos x} = 4 eşitliği elde edilir. Buradan cos⁡x=14\cos x = \frac{1}{4} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısımlarındaki sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) ifadeleri için yarım açı formüllerini yazalım.
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x ve cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülleri elde edilir.
Verilen denklemdeki çift açılı ifadeleri tekil açılara indirgeyerek sadeleştirmek için.
2
Bu formülleri denklemde yerlerine yerleştirelim.
2sin⁡xcos⁡xsin⁡x−2cos⁡2x−1cos⁡x=4\frac{2\sin x \cos x}{\sin x} - \frac{2\cos^2 x - 1}{\cos x} = 4 denklemi elde edilir.
Denklemi sadeleştirilebilir bir forma getirmek için.
3
İlk terimdeki ortak olan sin⁡x\sin x çarpanlarını sadeleştirelim.
2cos⁡x−2cos⁡2x−1cos⁡x=42\cos x - \frac{2\cos^2 x - 1}{\cos x} = 4 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltmak ve ifadeyi basitleştirmek için.
4
Denklemde payda eşitlemesi yaparak çıkarma işlemini gerçekleştirelim.
2cos⁡2x−(2cos⁡2x−1)cos⁡x=4\frac{2\cos^2 x - (2\cos^2 x - 1)}{\cos x} = 4 ifadesi elde edilir.
İki terimli ifadeyi tek bir rasyonel ifadeye dönüştürmek için.
5
Pay kısmındaki parantezi açıp sadeleştirmeyi tamamlayarak cos⁡x\cos x değerini çekelim.
2cos⁡2x−2cos⁡2x+1cos⁡x=4  ⟹  1cos⁡x=4  ⟹  cos⁡x=14\frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 x + 1}{\cos x} = 4 \implies \frac{1}{\cos x} = 4 \implies \cos x = \frac{1}{4} olarak bulunur.
Bilinmeyen olan cos⁡x\cos x değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 180Soru →
cos⁡(70∘)cos⁡(10∘)+sin⁡(70∘)sin⁡(10∘)\cos(70^\circ)\cos(10^\circ) + \sin(70^\circ)\sin(10^\circ) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Bir bölü iki
Verilen ifade kosinüs fark formülünün doğrudan bir uygulamasıdır. Formüle göre, cos⁡(70∘)cos⁡(10∘)+sin⁡(70∘)sin⁡(10∘)=cos⁡(70∘−10∘)=cos⁡(60∘)\cos(70^\circ)\cos(10^\circ) + \sin(70^\circ)\sin(10^\circ) = \cos(70^\circ - 10^\circ) = \cos(60^\circ) olur. cos⁡(60∘)\cos(60^\circ) değeri ise bir bölü ikiye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin yapısını inceleyerek uygun trigonometrik formülü belirlemek.
İfade cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) bi��imindedir. Bu yapı kosinüsün fark formülü olan cos⁡(a−b)\cos(a-b) ifadesinin açılımıdır.
Çarpım durumundaki kosinüs ve sinüs terimlerinin toplamı kosinüs fark formülüne işaret eder.
2
Açı değerlerini formülde yerine koyarak ifadeyi sadeleştirmek.
a=70∘a = 70^\circ ve b=10∘b = 10^\circ değerleri için ifade cos⁡(70∘−10∘)=cos⁡(60∘)\cos(70^\circ - 10^\circ) = \cos(60^\circ) şeklini alır.
Toplam-fark formülü yardımıyla iki ayrı açının trigonometrik çarpımları tek bir açının trigonometrik değerine dönüştürülür.
3
Elde edilen standart açının kosinüs değerini hesaplamak.
cos⁡(60∘)=12\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} sonucuna ulaşılır.
60∘60^\circ açısının kosinüs değeri trigonometride bilinen temel bir değerdir.

Anahtar Kavram

Kosinüs fark formülü
ÖncekiSayfa 9 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 9 | Examkin