Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 21Soru →

Yarıçapı 99 birim olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En büyük hacimli dik dairesel koninin yüksekliği 12 birimdir.
Kürenin merkezinden koninin tabanına olan dik uzaklık ∣h−9∣|h-9| birimdir. Küre yüzeyindeki bir nokta ile merkez ve taban merkezi arasında oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı yazıldığında r2+(h−9)2=81  ⟹  r2=18h−h2r^2 + (h-9)^2 = 81 \implies r^2 = 18h - h^2 elde edilir. Koninin hacmi V(h)=13πr2h=π3(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3) olarak bulunur. Maksimum hacim için türev alındığında V′(h)=πh(12−h)=0V'(h) = \pi h(12-h) = 0 denklemi elde edilir. h>0h > 0 koşulunu sağlayan kök h=12h = 12 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik modelin kurulması ve değişkenlerin belirlenmesi
Kürenin yarıçapı R=9R = 9 birim, koninin yüksekliği hh ve taban yarıçapı rr olsun.
Koninin hacmini maksimum yapabilmek için boyutları arasındaki ilişkiyi veren bir denklem kurmamız gerekir.
2
Küre içindeki dik üçgen yardımıyla bağıntı oluşturulması
r2+(h−9)2=92  ⟹  r2=18h−h2r^2 + (h - 9)^2 = 9^2 \implies r^2 = 18h - h^2
Kürenin merkezi OO, koninin tepe noktası AA ve tabanının merkezi MM olsun. Koni tabanının çemberi üzerindeki bir BB noktası için OB=9OB = 9 (yarıçap) ve OM=∣h−9∣OM = |h - 9| olur. OMBOMB dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır.
3
Hacim formülünün tek değişkene bağlı yazılması
V(h)=13πr2h=π3(18h−h2)h=π3(18h2−h3)V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}(18h - h^2)h = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3)
Türev alarak ekstremum noktayı bulabilmek için fonksiyonun tek değişken (hh) cinsinden ifade edilmesi gerekir.
4
Hacim fonksiyonunun türevinin sıfıra eşitlenmesi
V′(h)=π3(36h−3h2)=πh(12−h)=0  ⟹  h=12V'(h) = \frac{\pi}{3}(36h - 3h^2) = \pi h(12 - h) = 0 \implies h = 12 birim
Bir fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktada birinci türevi sıfırdır. 0<h<180 < h < 18 aralığında türevi sıfır yapan tek değer h=12h = 12 olup, bu değer hacmi maksimum yapar.

Anahtar Kavram

Maksimum-minimum problemlerinde, optimize edilecek büyüklük (hacim, alan vb.) tek bir değişkene bağlı fonksiyon olarak ifade edilir. Bu fonksiyonun birinci türevinin işaret değiştirdiği (özellikle pozitiften negatife geçtiği) yerel maksimum noktası aranır.
Soru 22Soru →

f(x)=ax2−6x+5f(x) = ax^2 - 6x + 5 parabolünün x=1x = 1 apsisli noktasındaki normal doğrusu, x−2y+1=0x - 2y + 1 = 0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a parametresinin değeri 2 olmalıdır.
Parabolün teğetinin eğimi, o noktadaki türeve eşittir. Normal doğrusu verilen doğruya paralel olduğundan eğimleri eşittir ve teğet ile normal dik olduğundan teğet eğimi -2 olarak bulunur. Buradan türev değeri -2'ye eşitlenerek a = 2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulmak için denklem düzenlenir.
y=12x+12y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} elde edilir ve doğrunun eğimi m=12m = \frac{1}{2} olarak bulunur.
Normal doğrusunun eğimini belirlemek için paralel olduğu doğrunun eğimine ihtiyaç vardır.
2
Normal doğrusunun eğimi belirlenir.
mn=12m_n = \frac{1}{2} olur.
Paralel doğruların eğimleri eşittir.
3
Teğet doğrusunun eğimi (mtm_t) hesaplanır.
mt=−2m_t = -2 bulunur.
Aynı noktadaki teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).
4
Fonksiyonun türevi alınıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimine eşitlenerek aa değeri bulunur.
f′(x)=2ax−6  ⟹  f′(1)=2a−6=−2  ⟹  a=2f'(x) = 2ax - 6 \implies f'(1) = 2a - 6 = -2 \implies a = 2 elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri sırasıyla o noktadaki türeve ve türevin negatif çarpmaya göre tersine eşittir.
Soru 23Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f′(x)=(x−3)2(x+1)(x−a)x2+1f'(x) = \frac{(x - 3)^2(x + 1)(x - a)}{x^2 + 1}
biçimindedir.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 66 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 66 olan durum için aa değeri 77 olmalıdır.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin köklerinden x=3x = 3 çift katlı kök olduğundan bu noktada işaret değişmez ve yerel ekstremum noktası değildir. x=−1x = -1 ve x=ax = a noktaları tek katlı kökler olduğundan bu noktalarda işaret değişir ve yerel ekstremum noktalarıdır. Apsisler toplamı −1+a=6  ⟹  a=7-1 + a = 6 \implies a = 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunu sıfır yapan kritik noktaları belirlemek.
f′(x)=0  ⟹  (x−3)2(x+1)(x−a)=0f'(x) = 0 \implies (x - 3)^2(x + 1)(x - a) = 0 denkleminden elde edilen kökler x=3x = 3 (çift katlı), x=−1x = -1 ve x=ax = a'dır.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Bu noktalar türevin sıfır olduğu yerlerde aranır.
2
Köklerin katlılık durumunu inceleyerek işaret değişimini analiz etmek.
x=3x = 3 noktası çift katlı kök olduğundan türev bu noktada işaret değiştirmez. x=−1x = -1 ve x=ax = a noktaları tek katlı kökler olduğundan türev bu noktalarda işaret değiştirir.
Çift katlı köklerde fonksiyonun türevi işaret değiştirmediği için bu noktalar yerel ekstremum noktası olamaz.
3
Ekstremum noktalarının apsisleri toplamını kullanarak aa değerini hesaplamak.
Ekstremum noktalarının apsisleri −1-1 ve aa olduğundan, toplamları −1+a=6  ⟹  a=7-1 + a = 6 \implies a = 7 olarak elde edilir.
Soruda yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamının 66 olduğu verilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi işaret değiştirmelidir. Türevin çift katlı köklerinde işaret değişimi olmadığından bu noktalar yerel ekstremum noktası olamaz.
Soru 24Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları

f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f∘g)′(2)(f \circ g)'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Bileşke fonksiyonun türev kuralı doğru bir şekilde uygulandığında elde edilen 27 sayısıdır.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı olan (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) ifadesinde verilen fonksiyonların değerleri yerine yazıldığında, (f∘g)′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)=f′(4)⋅g′(2)=9⋅3=27(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(4) \cdot g'(2) = 9 \cdot 3 = 27 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralını) belirlemek
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2 fonksiyonunun türevini almak ve x=2x = 2 noktasındaki değerini bulmak
g′(x)=3g'(x) = 3 ve dolayısıyla g′(2)=3g'(2) = 3 olur.
Zincir kuralında çarpım durumunda olan içteki fonksiyonun türev değerini bulmak gerekir.
3
g(2)g(2) değerini hesaplamak
g(2)=3(2)−2=4g(2) = 3(2) - 2 = 4 olur.
Dıştaki fonksiyonun türevinin hangi noktada değerlendirileceğini bulmak için içteki fonksiyonun değerine ihtiyaç vardır.
4
f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x fonksiyonunun türevini almak ve bulduğumuz g(2)=4g(2) = 4 noktasındaki değerini hesaplamak
f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 ve f′(4)=2(4)+1=9f'(4) = 2(4) + 1 = 9 olur.
Zincir kuralındaki f′(g(2))f'(g(2)) teriminin değerini belirlemek gerekir.
5
Elde edilen değerleri türev formülünde yerine koyarak bileşke fonksiyonun türevini hesaplamak
(f∘g)′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)=f′(4)⋅g′(2)=9⋅3=27(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(4) \cdot g'(2) = 9 \cdot 3 = 27 olur.
Formüldeki tüm bileşenler hesaplanmış olup son çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 25Soru →
f(x)=(x−3)3+2f(x) = (x - 3)^3 + 2

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: R\mathbb{R}

Cevap

Tüm gerçek sayılar kümesi (R\mathbb{R})
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3(x−3)2f'(x) = 3(x - 3)^2 ifadesi, tüm gerçek sayılar için sıfırdan büyük veya eşittir (f′(x)≥0f'(x) \geq 0). Türevin sıfır olduğu tek nokta x=3x = 3 olup bu nokta izole bir noktadır. Dolayısıyla, fonksiyon tüm gerçek sayılar kümesinde artandır. Bu nedenle doğru cevap tüm gerçek sayılar kümesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3(x−3)2f'(x) = 3(x - 3)^2 elde edilir.
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu noktalar (kökler) bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.
3(x−3)2=0⇒x=33(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 çift katlı köktür. x=3x = 3 dışındaki tüm gerçek sayılar için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
(x−3)2(x - 3)^2 ifadesi bir tam kare olduğundan x≠3x \neq 3 için daima pozitiftir. Çift katlı köklerde işaret değişmez.
3
Türevin işaretine göre fonksiyonun artan olduğu en geniş aralık belirlenir.
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 koşulu tüm x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanır ve f′(x)=0f'(x) = 0 yapan x=3x = 3 noktası izole bir noktadır. Dolayısıyla fonksiyon tüm gerçek sayılarda artandır.
Türevin sıfır olduğu izole noktalar sürekli fonksiyonlarda artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işareti incelenir. Sürekli bir fonksiyon için türevi sıfır yapan izole noktalar artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.
Soru 26Soru →

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

f(x)=g(x2−x)f(x) = g(x^2 - x)

eşitliği verilmiştir.

g′(2)=5g'(2) = 5 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Türevlenebilir iki fonksiyon arasındaki ilişki zincir kuralı ile türetilip verilen değer yerine yazıldığında aranan türev değeri 15 olarak bulunur.
Verilen f(x)=g(x2−x)f(x) = g(x^2 - x) eşitliğinde her iki tarafın türevi alındığında, zincir kuralı gereği f′(x)=g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) elde edilir. Bu eşitlikte x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=g′(2)⋅(2⋅2−1)=g′(2)⋅3f'(2) = g'(2) \cdot (2 \cdot 2 - 1) = g'(2) \cdot 3 olur. g′(2)=5g'(2) = 5 değeri yerine yazıldığında doğru yanıt 5⋅3=155 \cdot 3 = 15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının türevi alınır.
f′(x)=g′(x2−x)⋅(2x−1)f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Türev eşitliğinde x=2x = 2 değeri yerine yazılır.
f′(2)=g′(2)⋅3f'(2) = g'(2) \cdot 3
x=2x = 2 değeri için x2−xx^2 - x ifadesi 2 değerini alır ve iç kısmın türevi olan 2x−12x - 1 ifadesi 3 olur.
3
Verilen g′(2)=5g'(2) = 5 değeri yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
f′(2)=15f'(2) = 15
f′(2)=5⋅3f'(2) = 5 \cdot 3 çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralının uygulanması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 27Soru →
f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,a](-\infty, a] olduğuna göre, aa sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen aa değeri 2'dir.
Verilen fonksiyonun türevi f′(x)=6x−12f'(x) = 6x - 12 olarak bulunur. Fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevi sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Buradan 6x−12≤0  ⟹  x≤26x - 12 \leq 0 \implies x \leq 2 elde edilir. Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,2](-\infty, 2] olduğundan, sınır değeri olan aa sayısı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=6x−12f'(x) = 6x - 12
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevi sıfır veya sıfırdan küçük yapan değerler için eşitsizlik kurulur.
6x−12≤06x - 12 \leq 0
Sürekli bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
3
Kurulan birinci dereceden eşitsizlik çözülür.
x≤2x \leq 2 yani (−∞,2](-\infty, 2]
Eşitsizliğin çözüm kümesi fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı verir. Bu aralık (−∞,a](-\infty, a] olarak tanımlandığı için a=2a = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.
Soru 28Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin gerçek sayılardaki köklerinin kümesi {−1,3,8}\{-1, 3, 8\}'dir.
* f′f' fonksiyonunun grafiği, x=3x = 3 noktasında xx eksenine teğet olup bu noktanın civarında xx ekseninin üst tarafındadır.
* x>8x > 8 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x<−1x < -1 için f′(x)<0f'(x) < 0'dır.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4]

Cevap

(−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4] aralığıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) şeklinde elde edilir. Bu ifadenin kökleri ve katlılık durumları incelendiğinde; x=−2x = -2 ve x=4x = 4 tek katlı, x=−1x = -1 ve x=3x = 3 çift katlı, x=1x = 1 ise tek katlı (3. dereceden) kök olarak bulunur. İşaret tablosu en sağdan negatif işaretle başlanarak doldurulduğunda, türevin pozitif veya sıfır olduğu bölgelerin (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4] aralıkları olduğu görülür. Dolayısıyla en geniş artanlık aralığı bu iki aralığın birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini alma
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x)
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar�� bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu kritik noktaları (kökleri) bulma
g′(x)=0  ⟹  2(x−1)=0g'(x) = 0 \implies 2(x-1) = 0 veya f′(x2−2x)=0f'(x^2 - 2x) = 0

1) 2(x−1)=0  ⟹  x=12(x-1) = 0 \implies x = 1 (1. dereceden/tek katlı kök)

2) f′(t)=0f'(t) = 0 denkleminin kökleri t=−1t = -1 (tek katlı), t=3t = 3 (çift katlı) ve t=8t = 8 (tek katlı) olarak verilmiştir. Buradan t=x2−2xt = x^2 - 2x yazarak kökleri bulalım:

* x2−2x=−1  ⟹  (x−1)2=0  ⟹  x=1x^2 - 2x = -1 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 (çift katlı denklem kökü)
* x2−2x=3  ⟹  x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0  ⟹  x=3x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x = 3 ve x=−1x = -1
* x2−2x=8  ⟹  x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x = 8 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4 ve x=−2x = -2
İşaret tablosu oluşturmak için türevin tüm köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirlemeliyiz.
3
K��klerin toplam katlılık derecelerini belirleme
* x=−2x = -2 ve x=4x = 4 noktaları tek katlı köklerdir (toplam katları 1).
* x=−1x = -1 ve x=3x = 3 noktaları çift katlı köklerdir. Çünkü t=3t = 3, f′(t)f'(t) fonksiyonunun çift katlı kökü olduğundan, buradan gelen x=3x = 3 ve x=−1x = -1 kökleri g′(x)g'(x) için de çift katlı olur.
* x=1x = 1 noktası için: 2(x−1)2(x-1) çarpanından tek katlı kök (üs 1) gelirken, f′(x2−2x)f'(x^2 - 2x) kısmından (x−1)2(x-1)^2 çarpanından dolayı çift katlı kök (üs 2) gelmektedir. Toplamda x=1x = 1 kökünün derecesi 1+2=31 + 2 = 3 (tek katlı) olur.
Hangi noktalarda türevin işaret değiştireceğini belirlemek için köklerin tek veya çift katlı olduğunu netleştirmeliyiz.
4
Türevin işaret tablosunu oluşturma
Kökler küçükten büyüğe: −2,−1,1,3,4-2, -1, 1, 3, 4

En sağdaki bölgeyi (x>4x > 4 için) inceleyelim:
x>4  ⟹  x−1>0x > 4 \implies x-1 > 0 ve t=x2−2x>8t = x^2 - 2x > 8 olur. Soruda t>8t > 8 için f′(t)<0f'(t) < 0 verildiğinden f′(x2−2x)<0f'(x^2-2x) < 0 olur. Dolayısıyla g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)<0g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) < 0 (negatif) olur.

İşaret tablosu sağdan sola:
* (4,∞)(4, \infty) aralığında: −-
* x=4x = 4 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir: ++
* (3,4)(3, 4) aralığında: ++
* x=3x = 3 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez: ++
* (1,3)(1, 3) aralığında: ++
* x=1x = 1 tek katlı (3. derece) kökünden geçerken işaret değişir: −-
* (−1,1)(-1, 1) aralığında: −-
* x=−1x = -1 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez: −-
* (−2,−1)(-2, -1) aralığında: −-
* x=−2x = -2 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir: ++
Türevin işaret tablosunu oluşturarak fonksiyonun artan (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) ve azalan (g′(x)≤0g'(x) \leq 0) olduğu aralıkları tam olarak belirleriz.
5
Artan aralıkların birleşimini yazma
Türevin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar: (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4] (Burada x=3x = 3 noktasında türev sıfırdır ancak işaret değiştirmediği için aralık bölünmez ve [1,4][1, 4] olarak birleştirilir).

En geniş artanlık aralığı: (−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4]
Sürekli bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artandır. Uç noktalar kapalı aralık olarak dahil edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması, işaret tablosunda tek ve çift katlı köklerin analizi.
Soru 29Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f′f' fonksiyonu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her x∈(−∞,−3)∪(8,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (8, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0'dır.
* Her x∈(−3,8)∖{0}x \in (-3, 8) \setminus \{0\} için f′(x)<0f'(x) < 0'dır.
* f′(−3)=f′(0)=f′(8)=0f'(-3) = f'(0) = f'(8) = 0'dır.

g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) olmak üzere,

I. gg fonksiyonu [1,4][1, 4] aralığında azalandır.
II. g(0)>g(−1)g(0) > g(-1)'dir.
III. g(2)>g(1)g(2) > g(1)'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Doğru yanıt olan ifadeler I ve II'dir. Türev tablosu yapıldığında g′(x)g'(x)'in [−2,1][-2, 1] aralığında pozitif veya sıfır olduğu ve sadece izole noktalarda sıfırlandığı görülür. Bu yüzden g(x)g(x) bu aralıkta kesin artandır, dolayısıyla g(0)>g(−1)g(0) > g(-1) eşitsizliği sağlanır. Benzer şekilde, g′(x)g'(x)'in [1,4][1, 4] aralığında negatif veya sıfır olması fonksiyonun bu aralıkta azalan olduğunu gösterir. Bu durumda birinci öncül doğru olurken, azalanlık tanımı gereği g(2)<g(1)g(2) < g(1) olması gerektiğinden üçüncü öncül yanlış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) yardımıyla g(x)g(x) fonksiyonunun türevi bulunur.
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2-2x)
g(x)=f(h(x))g(x) = f(h(x)) ise g′(x)=h′(x)⋅f′(h(x))g'(x) = h'(x) \cdot f'(h(x)) kuralını uygulamak gerekir.
2
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin kökleri belirlenir.
2x−2=0  ⟹  x=12x-2 = 0 \implies x=1 (tek katlı kök) ve f′(x2−2x)=0  ⟹  x2−2x∈{−3,0,8}f'(x^2-2x) = 0 \implies x^2-2x \in \{-3, 0, 8\}. Bunlardan;
* x2−2x=−3  ⟹  x2−2x+3=0x^2-2x = -3 \implies x^2-2x+3=0 denkleminin diskriminantı Δ<0\Delta < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur. Her xx için x2−2x>−3x^2-2x > -3 sağlanır.
* x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0  ⟹  x=0x^2-2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x=0 ve x=2x=2 kökleri bulunur. Grafikte f′(u)f'(u) fonksiyonu u=0u=0'da işaret değiştirmediği (x-eksenine teğet olduğu) için bu kökler g′(x)g'(x) için işaret değiştirmeyen (çift katlı) köklerdir.
* x2−2x=8  ⟹  x2−2x−8=0  ⟹  x=−2x^2-2x = 8 \implies x^2-2x-8=0 \implies x=-2 ve x=4x=4 tek katlı kökleri bulunur.
İşaret tablosu yapmak için türevi sıfır yapan tüm kritik noktaların ve köklerin türünün (tek/çift katlı) bilinmesi gerekir.
3
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturulur.
* x<−2x < -2 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* −2<x<0-2 < x < 0 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
* 0<x<10 < x < 1 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
* 1<x<21 < x < 2 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* 2<x<42 < x < 4 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* x>4x > 4 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin her bir çarpanının işaretleri çarpılarak toplam türevin işareti bulunur.
4
Monotonluk aralıkları birleştirilerek öncüller incelenir.
gg fonksiyonu sürekli olduğundan, artan olduğu aralıklar birleştirilerek [−2,1][-2, 1] aralığında artan, azalan olduğu aralıklar birleştirilerek [1,4][1, 4] aralığında azalan olduğu görülür. Buradan;
* I. öncül: [1,4][1, 4] aralığında azalandır ifadesi doğrudur.
* II. öncül: [−2,1][-2, 1] aralığında artan olduğundan ve −1<0-1 < 0 olduğundan g(−1)<g(0)g(-1) < g(0), yani g(0)>g(−1)g(0) > g(-1) ifadesi doğrudur.
* III. öncül: [1,4][1, 4] aralığında azalan olduğundan ve 1<21 < 2 olduğundan g(1)>g(2)g(1) > g(2), yani g(2)>g(1)g(2) > g(1) ifadesi yanlıştır.
Öncüllerdeki eşitsizliklerin doğruluğu tanımlı oldukları monotonluk aralıklarındaki davranışlara göre test edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve türev yardımıyla artan/azalan aralıkların bulunması
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 30Soru →

Tanımlı olduğu aralıklarda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

f(g(x))=3x2−5x+2f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2
g(x)=x+1x−2g(x) = \frac{x+1}{x-2}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -75

Cevap

-75
Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre, [f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) olur. Eşitliğin sağ tarafının türevi ise 6x−56x - 5 olarak bulunur. g(x)=2g(x) = 2 koşulunu sağlayan değer x=5x = 5 olduğundan, türev denkleminde x=5x = 5 yazıldığında f′(2)⋅g′(5)=25f'(2) \cdot g'(5) = 25 elde edilir. Bölümün türevi kuralıyla g′(5)=−13g'(5) = -\frac{1}{3} olarak hesaplanır. Buradan f′(2)⋅(−13)=25  ⟹  f′(2)=−75f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2g(x) = 2 eşitliğini sağlayan xx değerini bulmak.
x=5x = 5
f′(2)f'(2) değerini elde etmek için bileşke fonksiyonun içindeki g(x)g(x) ifadesinin 22 olması gerekir. x+1x−2=2  ⟹  x+1=2x−4  ⟹  x=5\frac{x+1}{x-2} = 2 \implies x+1 = 2x-4 \implies x = 5 bulunur.
2
f(g(x))=3x2−5x+2f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2 eşitliğinde her iki tarafın xx değişkenine göre türevini almak.
f′(g(x))⋅g′(x)=6x−5f'(g(x)) \cdot g'(x) = 6x - 5
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafın türevi alınır.
3
g(x)=x+1x−2g(x) = \frac{x+1}{x-2} fonksiyonunun türevini alıp x=5x = 5 değerini yerine yazmak.
g′(5)=−13g'(5) = -\frac{1}{3}
Bölümün türevi kuralı uygulanır: g′(x)=1⋅(x−2)−(x+1)⋅1(x−2)2=−3(x−2)2g'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}. Buradan g′(5)=−3(5−2)2=−13g'(5) = \frac{-3}{(5-2)^2} = -\frac{1}{3} elde edilir.
4
Türev denkleminde x=5x = 5 yazarak f′(2)f'(2) değerini çekmek.
f′(2)=−75f'(2) = -75
f′(g(5))⋅g′(5)=6(5)−5  ⟹  f′(2)⋅(−13)=25  ⟹  f′(2)=−75f'(g(5)) \cdot g'(5) = 6(5) - 5 \implies f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması unutulmamalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →
f(x)=x3−ax2+bx+4f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [1,5][1, 5] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktaları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği sıfır noktalarıdır. Dolayısıyla x=1x = 1 ve x=5x = 5 değerleri f′(x)=3x2−2ax+b=0f'(x) = 3x^2 - 2ax + b = 0 denkleminin kökleridir. Vieta formülleri kullanılarak kökler toplamı 1+5=2a/3  ⟹  a=91+5 = 2a/3 \implies a = 9 ve kökler çarpımı 1⋅5=b/3  ⟹  b=151 \cdot 5 = b/3 \implies b = 15 bulunur. Buradan a+b=24a+b = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3x2−2ax+bf'(x) = 3x^2 - 2ax + b
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Azalanlık aralığının sınırları ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurun.
f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x1=1x_1 = 1 ve x2=5x_2 = 5 olmalıdır.
Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [1,5][1, 5] ise, bu aralığın uç noktalarında türev sıfıra eşittir ve bu aralıkta türev negatif değerler alır.
3
Kökler toplamı ve çarpımı bağıntılarını kullanarak aa ve bb değerlerini bulun ve toplayın.
a=9a = 9, b=15b = 15 ve buradan a+b=24a + b = 24 elde edilir.
Kökler toplamı formülünden 1+5=2a3  ⟹  a=91 + 5 = \frac{2a}{3} \implies a = 9 ve kökler çarpımı formülünden 1⋅5=b3  ⟹  b=151 \cdot 5 = \frac{b}{3} \implies b = 15 bulunur.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarının azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktalarında birinci türevinin sıfıra eşit olması.

Alternatif Yöntem

Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanmak yerine, f′(1)=0f'(1) = 0 ve f′(5)=0f'(5) = 0 eşitlikleri doğrudan yazılabilir. Buradan 3−2a+b=03 - 2a + b = 0 ve 75−10a+b=075 - 10a + b = 0 denklemleri elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkararak 72−8a=0  ⟹  a=972 - 8a = 0 \implies a = 9 bulunur. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında da b=15b = 15 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(3x−1)=g(x2+1)+x2−xf(3x - 1) = g(x^2 + 1) + x^2 - x
eşitliğini sağlamaktadır.

g′(2)=4g'(2) = 4 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İstenen türev değeri 3 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı gereğince 3⋅f′(3x−1)=2x⋅g′(x2+1)+2x−13 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1 elde edilir. f′(2)f'(2) değerine ulaşmak için x=1x = 1 yazıldığında 3⋅f′(2)=2⋅g′(2)+13 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 bağıntısı oluşur. g′(2)=4g'(2) = 4 değeri yerine yazıldığında 3⋅f′(2)=93 \cdot f'(2) = 9 ve buradan f′(2)=3f'(2) = 3 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır.
3⋅f′(3x−1)=2x⋅g′(x2+1)+2x−13 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1
Bileşke fonksiyon türev kuralları ve zincir kuralı gereği, içteki fonksiyonların türevleri çarpım olarak dışarıya yazılır.
2
f′(2)f'(2) değerini elde etmek için xx yerine yazılması gereken değer bulunur.
3x−1=2  ⟹  x=13x - 1 = 2 \implies x = 1
Türev ifadesinde f′f' fonksiyonunun içinin 2 olması istenir.
3
Türev eşitliğinde x=1x = 1 yazılarak işlem tamamlanır.
3⋅f′(2)=2⋅g′(2)+1  ⟹  3⋅f′(2)=2⋅4+1=9  ⟹  f′(2)=33 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 \implies 3 \cdot f'(2) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \implies f'(2) = 3
g′(2)=4g'(2) = 4 değeri yerine yazılarak bilinmeyen f′(2)f'(2) değeri çekilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (u(v(x)))′=u′(v(x))⋅v′(x)(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x).
Soru 33Soru →
Her xx gerçel sayısı için tanımlı olan
f(x)=ln⁡(x2−2x+k)−13xf(x) = \ln(x^2 - 2x + k) - \frac{1}{3}x
fonksiyonu her xx gerçel sayısı için azalandır.

Buna göre, kk gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 10'dur.
Fonksiyonun tanımlı ve azalan olması için k>1k > 1 ve k≥10k \ge 10 şartlarının birlikte sağlanması gerekir. Bu iki koşulu da sağlayan en küçük tam sayı değeri 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlılık şartını belirleme
k>1k > 1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif olması gerekir. x2−2x+k>0x^2 - 2x + k > 0 ifadesinin her xx için sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir.
2
Türev fonksiyonunu hesaplama ve azalanlık eşitsizliğini kurma
f′(x)=2x−2x2−2x+k−13≤0f'(x) = \frac{2x-2}{x^2-2x+k} - \frac{1}{3} \le 0
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta daima azalan olması, türevinin o aralıkta daima sıfırdan küçük veya eşit olmasını gerektirir.
3
Türev eşitsizliğini ikinci dereceden bir eşitsizliğe d��nüştürme
x2−8x+k+6≥0x^2 - 8x + k + 6 \ge 0
Paydanın daima pozitif olduğu birinci adımdan bilindiği için, içler dışlar çarpımı yapılarak eşitsizlik yön değiştirmeden düzenlenebilir.
4
İkinci dereceden eşitsizliğin daima sağlanma şartını uygulama ve ortak çözümü bulma
k≥10k \ge 10
x2−8x+k+6≥0x^2 - 8x + k + 6 \ge 0 eşitsizliğinin her xx gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır (Δ2≤0\Delta_2 \le 0). Buradan k≥10k \ge 10 bulunur. Tanımlılık şartı olan k>1k > 1 ile kesişim alındığında en küçük tam sayı değeri 10 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi ile türev yardımıyla fonksiyonların artanlık/azalanlık incelemesi.
Soru 34Soru →
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,3][-1, 3]

Cevap

[−1,3][-1, 3] aralığıdır.
Verilen fonksiyonun birinci türevi olan f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x - 3)(x + 1) ifadesinin işaret tablosu yapıldığında, türevin [−1,3][-1, 3] aralığında negatif değerler aldığı görülür. Bu nedenle fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−1,3][-1, 3] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin köklerini bulmak için türev ifadesi sıfıra eşitlenir.
3x2−6x−9=0  ⟹  3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03x^2 - 6x - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 Denklemden kökler x1=−1x_1 = -1 ve x2=3x_2 = 3 olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirebileceği kritik noktaları belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.
3
Birinci türev için işaret tablosu oluşturulur.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Buna göre, fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−1,3][-1, 3] kapalı aralığıdır.
Türevin negatif (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) olduğu aralıklar fonksiyonun azalan olduğu bölgeleri gösterir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 35Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1
f′(2)=5f'(2) = 5
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre doğru cevap 15 olmalıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereğince (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) formülü kullanılır. Soruda verilen g(x)=x3+1g(x) = x^3 + 1 fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değeri g(1)=2g(1) = 2 ve türevi g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2 olduğundan g′(1)=3g'(1) = 3 olarak elde edilir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında (f(g(1)))′=f′(2)⋅g′(1)=5⋅3=15(f(g(1)))' = f'(2) \cdot g'(1) = 5 \cdot 3 = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini veren kuralı (zincir kuralını) yazmak.
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Soruda istenen (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değerini hesaplamak için genel türev ifadesini elde etmeliyiz.
2
x=1x = 1 için içteki fonksiyonun değerini (g(1)g(1)) ve türevinin değerini (g′(1)g'(1)) hesaplamak.
g(1)=13+1=2g(1) = 1^3 + 1 = 2 ve g′(x)=3x2  ⟹  g′(1)=3⋅12=3g'(x) = 3x^2 \implies g'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon türevinde kullanılacak olan bileşenlerin sayısal değerlerini bulmak.
3
Hesaplanan değerleri türev formülünde yerine yazıp sonucu bulmak.
(f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)=f′(2)⋅g′(1)=5⋅3=15(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) = f'(2) \cdot g'(1) = 5 \cdot 3 = 15 bulunur.
Türev ifadesinde tüm bilinenleri yerine yerleştirerek nihai sayısal sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve dıştaki fonksiyonun türevi alınarak içi aynen bırakıldıktan sonra içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 36Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(3)=2g(3) = 2
g′(3)=4g'(3) = 4
f′(2)=5f'(2) = 5
bilgileri veriliyor.
h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1))
olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Doğru cevap 60 değeridir.
Zincir kuralına göre h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1)) fonksiyonunun türevi h′(x)=f′(g(x2−x+1))⋅g′(x2−x+1)⋅(2x−1)h'(x) = f'(g(x^2 - x + 1)) \cdot g'(x^2 - x + 1) \cdot (2x - 1) olarak bulunur. Burada x=2x=2 yazıldığında h′(2)=f′(g(3))⋅g′(3)⋅3h'(2) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 3 elde edilir. Verilen değerler yerine yerleştirildiğinde h′(2)=5⋅4⋅3=60h'(2) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen h(x)=f(g(x2−x+1))h(x) = f(g(x^2 - x + 1)) fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
h′(x)=f′(g(x2−x+1))⋅g′(x2−x+1)⋅(2x−1)h'(x) = f'(g(x^2 - x + 1)) \cdot g'(x^2 - x + 1) \cdot (2x - 1) ifadesi elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştan içe doğru her bir fonksiyonun içinin türevi çarpan olarak eklenmelidir.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda xx yerine 2 yazarak ifadeyi düzenleyin.
h′(2)=f′(g(22−2+1))⋅g′(22−2+1)⋅(2⋅2−1)=f′(g(3))⋅g′(3)⋅3h'(2) = f'(g(2^2 - 2 + 1)) \cdot g'(2^2 - 2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 - 1) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 3 olur.
h′(2)h'(2) değerini bulmak için fonksiyondaki xx değişkenleri yerine 2 yazılmalıdır.
3
Soruda verilen g(3)=2g(3) = 2, g′(3)=4g'(3) = 4 ve f′(2)=5f'(2) = 5 değerlerini türev ifadesinde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayın.
h′(2)=f′(2)⋅4⋅3=5⋅4⋅3=60h'(2) = f'(2) \cdot 4 \cdot 3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 olarak bulunur.
Verilen sayısal değerlerin yerine konulmasıyla nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Soru 37Soru →
Her uu ve xx gerçel sayısı için türevlenebilen y=f(u)y = f(u) ve u=g(x)u = g(x) fonksiyonları sırasıyla
y=u2+uy = u^2 + u
u=3x−2u = 3x - 2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, yy değişkeninin xx değişkenine göre türevinin x=1x = 1 için değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

y değişkeninin x değişkenine göre türevinin x = 1 için değeri 9'dur.
Zincir kuralı uygulanarak dy/dx = (dy/du) * (du/dx) şeklinde türev ifadesi yazılır. x = 1 için u = 1 elde edilir. dy/du türevinde u yerine 1 yazıldığında 3, du/dx türevinden ise 3 değeri bulunur. Bu iki değerin çarpımı olan 9, y'nin x'e göre türevidir.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı formülünü oluşturmak.
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
y değişkeni doğrudan x'e bağlı olmayıp u aracılığıyla bağlı olduğundan, x'e göre türevi bulmak için zincir kuralı uygulanmalıdır.
2
y'nin u'ya göre ve u'nun x'e göre türevlerini ayrı ayrı hesaplamak.
dydu=2u+1\frac{dy}{du} = 2u + 1 ve dudx=3\frac{du}{dx} = 3
Zincir kuralı formülünde çarpım durumundaki türev bileşenlerini elde etmek gerekir.
3
x = 1 noktasındaki u değerini bulmak.
u=3(1)−2=1u = 3(1) - 2 = 1
y'nin u'ya göre türevinde u yerine yazılacak değeri belirlemek gerekir.
4
Bulunan değerleri zincir kuralı formülünde yerine koyarak türev değerini hesaplamak.
dydx=(2⋅1+1)⋅3=3⋅3=9\frac{dy}{dx} = (2 \cdot 1 + 1) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9
x = 1 noktasında elde edilen türev bileşenlerini çarparak nihai dy/dx sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve zincir kuralı (chain rule) kullanılarak türev hesabı.

Alternatif Yöntem

y = u^2 + u fonksiyonunda u yerine 3x - 2 yazılarak y doğrudan x cinsinden y = (3x-2)^2 + (3x-2) şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadenin x'e göre türevi alındığında dy/dx = 2(3x-2) * 3 + 3 elde edilir. x = 1 yazıldığında dy/dx = 2(1) * 3 + 3 = 9 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 38Soru →
Tanımlı ve türevlenebilir y=f(u)y = f(u) ve u=g(x)u = g(x) fonksiyonları için
y=u2−3u+1y = u^2 - 3u + 1
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, dydx\frac{dy}{dx} ifadesinin x=2x = 2 noktasındaki değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Aranan t��rev değeri 2'dir.
Zincir kuralı formülü olan dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ifadesinde ilgili türev değerleri sırasıyla dydu=3\frac{dy}{du} = 3 ve dudx=23\frac{du}{dx} = \frac{2}{3} olarak bulunur. Bu iki değer çarpıldığında doğru sonuç 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Zincir kuralı ilişkisini yazma
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
yy değişkeninin xx'e göre türevi, aradaki ortak uu değişkenine bağlı olarak zincir kuralı yardımıyla elde edilir.
2
x=2x = 2 için uu değerini hesaplama
u=3u = 3
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5} ifadesinde x=2x = 2 yazılarak ilgili uu değeri tespit edilir.
3
yy'nin uu'ya göre türevini alıp u=3u = 3 noktasındaki değerini bulma
dydu=3\frac{dy}{du} = 3
y=u2−3u+1y = u^2 - 3u + 1 fonksiyonunun uu değişkenine göre türevi 2u−32u - 3 olur. u=3u = 3 için 2(3)−3=32(3) - 3 = 3 elde edilir.
4
uu'nun xx'e göre türevini alıp x=2x = 2 noktasındaki değerini bulma
dudx=23\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}
u=x2+5u = \sqrt{x^2 + 5} fonksiyonunun xx'e göre türevi zincir kuralı gereği 12x2+5⋅2x=xx2+5\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}} olur. x=2x = 2 yazıldığında 23\frac{2}{3} değeri bulunur.
5
Türev değerlerini çarparak sonucu hesaplama
2
Bulunan türev değerleri zincir kuralı formülünde yerine konulup çarpılır: 3⋅23=23 \cdot \frac{2}{3} = 2.

Anahtar Kavram

Bağlı değişkenlerde türev hesabı için zincir kuralının uygulanması.
Soru 39Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x
g(x)=2x+1g(x) = 2x + 1
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi 6 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre (f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1) eşitliği geçerlidir. g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=2g'(1) = 2 ve f′(3)=3f'(3) = 3 değerleri yerlerine yazıldığında çarpımın sonucu 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı yazılır.
(f∘g)′(1)=f′(g(1))⋅g′(1)(f \circ g)'(1) = f'(g(1)) \cdot g'(1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi içteki fonksiyonun değerinde hesaplanır ve içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
g(1)g(1) ve g′(1)g'(1) değerleri hesaplanır.
g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=2g'(1) = 2
g(x)=2x+1g(x) = 2x + 1 fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında g(1)=3g(1) = 3 ve türevi alındığında g′(x)=2g'(x) = 2 olup g′(1)=2g'(1) = 2 bulunur.
3
f′(x)f'(x) bulunur ve f′(g(1))f'(g(1)) değeri hesaplanır.
f′(g(1))=f′(3)=3f'(g(1)) = f'(3) = 3
f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x fonksiyonunun türevi f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olup, x=3x = 3 noktasındaki değeri f′(3)=2(3)−3=3f'(3) = 2(3) - 3 = 3 olarak elde edilir.
4
Elde edilen değerler çarpılarak sonuç bulunur.
(f∘g)′(1)=3⋅2=6(f \circ g)'(1) = 3 \cdot 2 = 6
Zincir kuralı formülünde bulduğumuz değerler yerine yazılıp çarpma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı
Soru 40Soru →
f(x)=x3−3x2+kx+5f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 5 fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde daima artan olması için kk gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesi üzerinde daima artan olması, birinci türevinin her gerçel sayı için sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirir. f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için baş katsayısı pozitif olduğundan diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit (Δ≤0\Delta \leq 0) olması gerekir. Buradan 36−12k≤036 - 12k \leq 0 eşitsizliğinden k≥3k \geq 3 bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük kk tam sayısı 33'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun birinci türevini hesaplayın.
f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k
Bir fonksiyonun artan veya azalan oldu��u aralıklar birinci türevinin işaretiyle belirlenir.
2
Fonksiyonun daima artan olması için gerekli türev koşulunu yazın.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olmalıdır.
Türevin negatif olmadığı (sıfırdan büyük veya eşit olduğu) aralıklarda fonksiyon artandır.
3
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminant koşulunu uygulayın.
f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k ikinci dereceden ifadesinin baş katsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, daima pozitif veya sıfır olması için Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin işaret tablosunda işaret değiştirmemesi ve daima pozitif kalması için gerçek kökünün olmaması ya da yalnızca çift katlı kökünün olması gerekir.
4
Diskriminant (Δ\Delta) ifadesini hesaplayıp sıfırdan küçük veya eşit olacak şekilde eşitsizliği çözün.
Δ=(−6)2−4⋅3⋅k≤0⇒36−12k≤0⇒12k≥36⇒k≥3\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot k \leq 0 \Rightarrow 36 - 12k \leq 0 \Rightarrow 12k \geq 36 \Rightarrow k \geq 3
kk değerlerinin aralığını bulmak için eşitsizlik çözülür.
5
k≥3k \geq 3 şartını sağlayan en küçük tam sayı değerini belirleyin.
k=3k = 3
33 veya 33'ten büyük tam sayılar arasından en küçüğü seçilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her noktada sıfırdan büyük veya eşit olması ve türevin sıfır olduğu noktaların ayrık (tekil) olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin