Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 41Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir ff fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f(f(x))=x3+x−1f(f(x)) = x^3 + x - 1
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, h(x)=f(x3⋅f(x))h(x) = f(x^3 \cdot f(x)) olarak tanımlanan hh fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Verilen f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılarak f(1) = 1 değeri elde edilir. Ardından eşitliğin her iki tarafının türevi alınıp x = 1 konulduğunda f'(f(1)) * f'(1) = 4 denklemiyle (f'(1))^2 = 4 bulunur. Fonksiyonun artan olmasından ötürü f'(1) = 2 olarak seçilir. h(x) = f(x^3 * f(x)) ifadesinin türevi zincir ve çarpım kurallarıyla alınarak x = 1 için h'(1) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) = 2 * (3 * 1 + 2) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 yazarak f(1) değerini elde ediniz.
f(1) = 1
f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılırsa f(f(1)) = 1 elde edilir. f fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde artan (ve dolayısıyla bire bir) olduğundan f(1) = 1 olmalıdır. Aksi halde f(1) = k > 1 için f(k) > f(1) yani 1 > k çelişkisi, f(1) = k < 1 için f(k) < f(1) yani 1 < k çelişkisi doğardı.
2
Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevini alarak f'(1) değerini bulunuz.
f'(1) = 2
f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinin iki tarafının türevi zincir kuralı ile alınırsa f'(f(x)) * f'(x) = 3x^2 + 1 olur. x = 1 için f'(f(1)) * f'(1) = 4 elde edilir. f(1) = 1 olduğundan (f'(1))^2 = 4 bulunur. f fonksiyonu artan olduğu için türevi negatif olamaz. Bu nedenle f'(1) = 2 olarak elde edilir.
3
h(x) = f(x^3 * f(x)) fonksiyonunun türevini bulunuz.
h'(x) = f'(x^3 * f(x)) * (3x^2 * f(x) + x^3 * f'(x))
Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve içteki ifadenin türevi için çarpım kuralı uygulanır.
4
Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazarak sonucu hesaplayınız.
h'(1) = 10
h'(1) = f'(1^3 * f(1)) * (3 * 1^2 * f(1) + 1^3 * f'(1)) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) yazılır. f(1) = 1 ve f'(1) = 2 değerleri yerlerine yazıldığında h'(1) = f'(1) * (3 * 1 + 2) = 2 * 5 = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpım unutulmamalıdır.
Soru 42Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(g(x)+x)=x3−x2+8x−2f(g(x) + x) = x^3 - x^2 + 8x - 2
eşitliği geçerlidir.

g(1)=2g(1) = 2 ve g′(1)=2g'(1) = 2 olduğuna göre, f′(3)f'(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Doğru cevap 3 değerini içeren seçenektir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte her iki tarafın türevi alındığında bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafta f'(g(x) + x) * (g'(x) + 1) ifadesi elde edilir. x = 1 değeri için g(1) = 2 ve g'(1) = 2 değerleri yerine yazıldığında f'(3) * 3 elde edilir. Sağ tarafın türevi olan 3x^2 - 2x + 8 ifadesinde x = 1 yazıldığında 9 elde edilir. Buradan 3 * f'(3) = 9 ve f'(3) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f′(g(x)+x)⋅(g′(x)+1)=3x2−2x+8f'(g(x) + x) \cdot (g'(x) + 1) = 3x^2 - 2x + 8
Bileşke fonksiyon türevi kuralı (f(u(x)))' = f'(u(x)) * u'(x) uygulanmıştır.
2
Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazılır.
f′(g(1)+1)⋅(g′(1)+1)=3(1)2−2(1)+8f'(g(1) + 1) \cdot (g'(1) + 1) = 3(1)^2 - 2(1) + 8
Bize verilen ve sorulan değerlerin elde edilmesi için uygun nokta seçilmiştir.
3
Verilen g(1) = 2 ve g'(1) = 2 değerleri denklemde yerine yazılır.
f′(2+1)⋅(2+1)=3−2+8  ⟹  f′(3)⋅3=9f'(2 + 1) \cdot (2 + 1) = 3 - 2 + 8 \implies f'(3) \cdot 3 = 9
Bilinmeyen f'(3) değerini yalnız bırakmak için aritmetik işlemler yürütülür.
4
Denklemin her iki tarafı 3'e bölünerek f'(3) değeri yalnız bırakılır.
f′(3)=3f'(3) = 3
İstenen türev değerine ulaşılmıştır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uyarınca içteki ifadenin türeviyle çarpmayı unutmamak gerekir.
Soru 43Soru →
f(x)=x3−12x+5f(x) = x^3 - 12x + 5

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 4 birimdir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12 ifadesinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık [−2,2][-2, 2] aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu ise 2−(−2)=42 - (-2) = 4 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için fonksiyonun birinci türevinin i��aretinin incelenmesi gerekir.
2
Türev fonksiyonunun sıfır veya sıfırdan küçük olduğu aralık (f′(x)≤0f'(x) \le 0) belirlenir.
[−2,2][-2, 2] aralığı
Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklar fonksiyonun azalan olduğu aralıkları verir.
3
Azalan olunan en geniş aralığın uzunluğu hesaplanır.
4
[−2,2][-2, 2] aralığının uzunluğunu bulmak için sağ uç noktadan sol uç nokta çıkarılır: 2−(−2)=42 - (-2) = 4.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda o fonksiyon azalandır.
Soru 44Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x2−4x+3)(x2−2x−8)f'(x) = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x - 8)
olarak verilmektedir.
Buna göre, g(x)=f(2x−x2)g(x) = f(2x - x^2) fonksiyonunun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşaret tablosu analizi sonucunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 3'tür.
Fonksiyonun türevi alınıp zincir kuralı uygulandığında elde edilen türev fonksiyonunun işaret tablosu incelenir. Pozitif olduğu aralıklar belirlenerek bu aralıklardaki pozitif tam sayılar toplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(2x−x2)g(x) = f(2x - x^2) fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alınız.
g′(x)=(2−2x)⋅f′(2x−x2)=2(1−x)⋅f′(2x−x2)g'(x) = (2 - 2x) \cdot f'(2x - x^2) = 2(1-x) \cdot f'(2x - x^2)
Bileşke fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türev fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine 2x−x22x - x^2 yazarak f′(2x−x2)f'(2x - x^2) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
f′(u)=(u−1)(u−3)(u−4)(u+2)f'(u) = (u-1)(u-3)(u-4)(u+2) ifadesinde u=2x−x2u = 2x - x^2 yazıldığında; f′(2x−x2)=−(x−1)2⋅[−(x2−2x+3)]⋅[−(x2−2x+4)]⋅[−(x2−2x−2)]f'(2x-x^2) = -(x-1)^2 \cdot [-(x^2 - 2x + 3)] \cdot [-(x^2 - 2x + 4)] \cdot [-(x^2 - 2x - 2)] elde edilir.
g′(x)g'(x) ifadesinin işaretini belirleyebilmek için f′(2x−x2)f'(2x - x^2) bileşeninin tüm çarpanlarını analiz etmeliyiz.
3
Tüm çarpanlar�� birleştirerek g′(x)g'(x) türev fonksiyonunun işaretini belirleyen sadeleşmiş ifadeyi yazınız.
g′(x)=−2(x−1)3(x2−2x+3)(x2−2x+4)(x2−2x−2)g'(x) = -2 (x-1)^3 (x^2 - 2x + 3) (x^2 - 2x + 4) (x^2 - 2x - 2) olur. Burada x2−2x+3>0x^2 - 2x + 3 > 0 ve x2−2x+4>0x^2 - 2x + 4 > 0 daima pozitif olduğundan, işaret yalnızca −2(x−1)3(x2−2x−2)-2(x-1)^3(x^2-2x-2) ifadesine bağlıdır.
Daima pozitif olan çarpanlar işaret tablosundaki işaret değişimini etkilemezler, bu nedenle kökleri ve işaret değişimini belirleyen kritik çarpanlara odaklanılır.
4
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulunuz ve işaret tablosunu oluşturunuz.
Kökler x=1x = 1 (tek katlı), x=1−3x = 1 - \sqrt{3} (tek katlı) ve x=1+3x = 1 + \sqrt{3} (tek katlı) şeklindedir. İşaret tablosunda g′(x)g'(x)'in işareti sağdan sola sırasıyla −-, ++, −-, ++ şeklinde değişir. Böylece artan olduğu aralıklar (−∞,1−3](-\infty, 1 - \sqrt{3}] ve [1,1+3][1, 1 + \sqrt{3}] olarak bulunur.
Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar, fonksiyonun artan olduğu aralıklara karşılık gelir.
5
Artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyip toplamını bulunuz.
1−3≈−0.731 - \sqrt{3} \approx -0.73 olduğundan birinci aralıkta pozitif tam sayı yoktur. İkinci aralık olan [1,1+3][1, 1 + \sqrt{3}] aralığında 1+3≈2.731 + \sqrt{3} \approx 2.73 olduğundan bu aralıktaki pozitif tam sayılar 11 ve 22'dir. Toplamları ise 1+2=31 + 2 = 3 olur.
Soru bizden artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.
Soru 45Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=13x3−a+12x2+ax+7f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax + 7
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 66 birim olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Pozitif a değeri 7'dir.
Verilen fonksiyonun türevi f'(x) = x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a) şeklindedir. Türevin işaret tablosunda negatif olduğu bölge azalanlığı belirler ve bu bölge 1 ile a kökleri arasındadır. Kökler arası mesafe aralığın uzunluğuna eşit olup |a-1| = 6 denkleminden a'nın pozitif değeri 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması
f'(x) = x^2 - (a+1)x + a
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
Türevin köklerinin bulunması
x_1 = 1 ve x_2 = a
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirlemek için türev fonksiyonu sıfıra eşitlenir.
3
Azalanlık aralığı ve uzunluğunun ifadesi
Aralık uzunluğu = |a - 1|
Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir türev fonksiyonu kökler arasında negatif değer alır. Bu nedenle azalan olduğu en geniş aralığın sınırları türevin kökleridir.
4
a parametresinin alabileceği değerlerin hesabı
a = 7 veya a = -5
|a - 1| = 6 mutlak değer eşitliği çözülerek a'nın olası değerleri bulunur.
5
Pozitif değerin seçilmesi
a = 7
Soruda a gerçel sayısının pozitif değeri istendiği için negatif olan -5 değeri elenerek 7 değeri seçilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f'(x) <= 0) olduğu aralıktır. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu aralığın uzunluğu kökler arasındaki farkın mutlak değerine eşittir.
Soru 46Soru →
Tanımlı olduğu gerçel sayılar kümesinde
f(x)=x2+3xx+4f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\}

Cevap

Azalan olduğu en geniş küme [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\} kümesidir.
Türevin işaret tablosu yapıldığında [−6,−2][-6, -2] aralığında türev işaretinin negatif olduğu görülür. Ancak fonksiyon x=−4x = -4 noktasında tanımsız olduğu için bu nokta çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş küme [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=(2x+3)(x+4)−(x2+3x)(x+4)2=x2+8x+12(x+4)2f'(x) = \frac{(2x+3)(x+4) - (x^2+3x)}{(x+4)^2} = \frac{x^2+8x+12}{(x+4)^2}
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretinin incelenmesi gerekir.
2
Türevin kökleri ve tanımsızlık noktaları belirlenir.
Payın kökleri: x2+8x+12=0  ⟹  (x+6)(x+2)=0  ⟹  x=−6x^2 + 8x + 12 = 0 \implies (x+6)(x+2) = 0 \implies x = -6 ve x=−2x = -2. Paydanın kökü (tanımsızlık noktası): x=−4x = -4.
İşaret tablosunda kullanılacak kritik noktaları bulmak için türevin pay ve paydasının kökleri tespit edilir.
3
İşaret tablosu oluşturulur ve yorumlanır.
x∈(−∞,−6)x \in (-\infty, -6) için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), x∈(−6,−4)x \in (-6, -4) için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x∈(−4,−2)x \in (-4, -2) için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x∈(−2,∞)x \in (-2, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan).
Türevin işaretine göre fonksiyonun artanlık ve azalanlık bölgeleri belirlenir.
4
Tanım kümesi dikkate alınarak en geniş azalanlık kümesi yazılır.
Fonksiyon x=−4x = -4 noktasında tanımsız olduğundan bu değer kümeden çıkarılır. Sonuç: [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\}
Bir fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktada artan veya azalan olmasından bahsedilemez.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir aralıkta azalan olması için o aralıktaki her nokta için türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f′(x)≤0f'(x) \le 0) olması gerekir. Tanımsız noktalar bu kümeye dahil edilmez.
Soru 47Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir yy, uu ve tt değişkenleri arasında
y=u3−4u2+6uy = u^3 - 4u^2 + 6u
u=4t3−2tu = 4t^3 - 2t
t=x2−3t = x^2 - 3
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x=2x = 2 için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80
Zincir kuralı kullanılarak dy/dx = (dy/du) * (du/dt) * (dt/dx) eşitliği elde edilir. x = 2 değeri için t = 1 ve u = 2 bulunur. Bu noktalardaki türevler sırasıyla 4, 10 ve 2 olarak hesaplanır. Bu değerlerin çarpımı olan 80 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin verilen x=2x = 2 noktasındaki karşılık gelen değerlerini hesaplamak
x=2  ⟹  t=1x = 2 \implies t = 1 ve t=1  ⟹  u=2t = 1 \implies u = 2
Zincir kuralında türevlerin hangi noktalarda değerlendirileceğini belirlemek için aracı değişkenlerin değerlerini bilmemiz gerekir.
2
Her bir değişkenin bir sonrakine göre türev fonksiyonunu bulmak ve ilgili noktadaki değerini hesaplamak
dtdx∣x=2=4\frac{dt}{dx}\Big|_{x=2} = 4, dudt∣t=1=10\frac{du}{dt}\Big|_{t=1} = 10, dydu∣u=2=2\frac{dy}{du}\Big|_{u=2} = 2
Zincir kuralı bileşenlerini elde etmek için her katmanın türevini alırız.
3
Zincir kuralı formülünü uygulamak ve değerleri çarpmak
dydx=2⋅10⋅4=80\frac{dy}{dx} = 2 \cdot 10 \cdot 4 = 80
Zincir kuralı gereği, bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre türevi, aradaki türevlerin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Zincir Kuralı ile türev hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 48Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi, her u∈Ru \in \mathbb{R} için
f′(u)=(u−4)2+1f'(u) = (u-4)^2 + 1
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x3−3x2+4)−(x3−3x2+4)g(x) = f(x^3 - 3x^2 + 4) - (x^3 - 3x^2 + 4)
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu ile ilgili,
I. (−∞,0](-\infty, 0] aralığında artandır.
II. [2,∞)[2, \infty) aralığında artandır.
III. x=3x = 3 noktası gg fonksiyonunun bir yerel ekstremum noktasıdır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri doğrudur.
Türev fonksiyonunun işaret analizi yapıldığında, türevin kökleri olan 0 (tek katlı) ve 2 (tek katlı) noktalarında işaret değişirken, çift katlı kök olan 3 noktasında işaret değişmez. Bu durum, fonksiyonun sırasıyla (−∞,0](-\infty, 0] ve [2,∞)[2, \infty) aralıklarında artan olduğunu gösterir. Çift katlı kökte işaret değişmediği için de bu nokta ekstremum olamaz. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevini alarak g′(x)g'(x) ifadesini elde etmek.
g′(x)=f′(x3−3x2+4)⋅(3x2−6x)−(3x2−6x)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 + 4) \cdot (3x^2 - 6x) - (3x^2 - 6x)
Bu ifadeyi ortak çarpan parantezine alırsak:
g′(x)=3x(x−2)[f′(x3−3x2+4)−1]g'(x) = 3x(x-2) \left[ f'(x^3 - 3x^2 + 4) - 1 \right]
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları türevinin işaretini inceleyerek belirlemek gerekir.
2
f′(u)=(u−4)2+1f'(u) = (u-4)^2 + 1 tanımını kullanarak köşeli parantez içindeki ifadeyi basitleştirmek.
u=x3−3x2+4u = x^3 - 3x^2 + 4 yazıldığında:
f′(x3−3x2+4)−1=(x3−3x2+4−4)2=(x3−3x2)2=[x2(x−3)]2=x4(x−3)2f'(x^3 - 3x^2 + 4) - 1 = (x^3 - 3x^2 + 4 - 4)^2 = (x^3 - 3x^2)^2 = [x^2(x-3)]^2 = x^4(x-3)^2
Türev fonksiyonunun tüm çarpanlarını elde edip köklerini bulmak.
3
g′(x)g'(x) fonksiyonunu çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp köklerinin katlılık durumunu incelemek.
g′(x)=3x(x−2)⋅x4(x−3)2=3x5(x−2)(x−3)2g'(x) = 3x(x-2) \cdot x^4(x-3)^2 = 3x^5(x-2)(x-3)^2
Buradan elde edilen kökler:
- x=0x = 0 noktası 1+4=51 + 4 = 5 katlı kök (tek katlı kök)
- x=2x = 2 noktası 1 katlı kök (tek katlı kök)
- x=3x = 3 noktası 2 katlı kök (çift katlı kök)
İşaret tablosunda köklerden geçerken işaret değişim kurallarını doğru uygulamak.
4
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturarak öncülleri değerlendirmek.
Türevin işaret tablosu incelendiğinde:
- (−∞,0)(-\infty, 0) aralığında g′(x)>0g'(x) > 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta artandır (I. öncül doğru).
- (0,2)(0, 2) aralığında g′(x)<0g'(x) < 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta azalandır.
- (2,3)(2, 3) ve (3,∞)(3, \infty) aralıklarında g′(x)>0g'(x) > 0 olup g′(x)≥0g'(x) \geq 0 şartı [2,∞)[2, \infty) aralığında sağlandığından fonksiyon bu aralıkta artandır (II. öncül doğru).
- x=3x = 3 noktası çift katlı kök olduğundan bu noktada türevin işareti yön değiştirmez (artandan artana devam eder), dolayısıyla yerel ekstremum noktası değildir (III. öncül yanlış).
Türevin işaretine göre fonksiyonun artanlık/azalanlık bölgelerini ve yerel ekstremum varlığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi, bileşke fonksiyon türevi ve türev işaret tablosunda çift katlı kök analizi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaretini incelerken, (x−3)2(x-3)^2 ve x4x^4 terimlerinin x=3x=3 ve x=0x=0 dışındaki tüm gerçel sayılar için kesinlikle pozitif olduğu gerçeğinden hareket edilebilir. Bu durumda g′(x)g'(x) ifadesinin işareti (bu kök noktaları hariç tutulmak üzere) doğrudan 3x(x−2)3x(x-2) ifadesinin işaretiyle aynı olur. 3x(x−2)3x(x-2) parabolünün kökleri 0 ve 2 olup, bu parabol (−∞,0)(-\infty, 0) ve (2,∞)(2, \infty) aralıklarında pozitif, (0,2)(0, 2) aralığında negatiftir. Süreklilik ve izole kök özellikleri kullanılarak aralıklar birleştirildiğinde aynı sonuca pratik yoldan ulaşılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 49Soru →
f(x)=x3−6x2−15x+12f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 12

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkta bulunan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x−5)(x+1)f'(x) = 3(x-5)(x+1) olup, türevin negatif veya sıfır olduğu [−1,5][-1, 5] aralığı fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini hesaplayın.
f′(x)=3x2−12x−15f'(x) = 3x^2 - 12x - 15
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar, birinci türevinin işareti incelenerek bulunur.
2
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 eşitsizliğini çözmek için türev fonksiyonunun köklerini bulun.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=5x_2 = 5
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar türevin kökleridir.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturarak azalan olduğu en geniş aralığı belirleyin.
[−1,5][-1, 5] aralığı
[−1,5][-1, 5] aralığında f′(x)≤0f'(x) \leq 0 olduğu için fonksiyon bu aralıkta azalandır.
4
Belirlenen aralıktaki xx tam sayılarını toplayın.
−1+0+1+2+3+4+5=14-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14
[−1,5][-1, 5] aralığındaki tam sayılar sırasıyla −1,0,1,2,3,4,5-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5'tir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, fonksiyonun birinci türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) olduğu aralıktır.
Soru 50Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff fonksiyonu
f(x)=x3−2x2+1f(x) = x^3 - 2x^2 + 1
ve x>−13x > -\frac{1}{3} için tanımlı gg fonksiyonu
g(x)=3x+1g(x) = \sqrt{3x + 1}
biçiminde veriliyor.

Buna göre, h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) olarak tanımlanan hh fonksiyonunun x=8x = 8 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16.5

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi kuralına göre h′(8)=16,5h'(8) = 16,5 olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı uygulandığında h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) eşitliği yazılır. g(8)=5g(8) = 5 ve g′(8)=0,3g'(8) = 0,3 değerleri ile f′(5)=55f'(5) = 55 değeri yerine yazılıp çarpıldığında doğru yanıt olan 16,516,5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını belirleme
h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) olup x=8x = 8 için h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) olur.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
g(8)g(8) ve g′(8)g'(8) değerlerini hesaplama
g(8)=3⋅8+1=25=5g(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{25} = 5 ve g′(x)=323x+1g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} olduğundan g′(8)=3225=310=0,3g'(8) = \frac{3}{2\sqrt{25}} = \frac{3}{10} = 0,3 bulunur.
Formülde kullanılmak üzere içteki fonksiyonun x=8x=8 noktasındaki değeri ve türev değeri hesaplanır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulma ve f′(g(8))f'(g(8)) değerini hesaplama
f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x olduğundan, f′(g(8))=f′(5)=3(5)2−4(5)=75−20=55f'(g(8)) = f'(5) = 3(5)^2 - 4(5) = 75 - 20 = 55 bulunur.
Dıştaki fonksiyonun türevinde, içteki fonksiyonun görüntüsü olan 55 değeri yerine yazılır.
4
Değerleri bileşke türev formülünde yerine yazarak sonucu bulma
h′(8)=f′(g(8))⋅g′(8)=55⋅0,3=16,5h'(8) = f'(g(8)) \cdot g'(8) = 55 \cdot 0,3 = 16,5 bulunur.
Elde edilen ara değerler çarpılarak bileşke fonksiyonun türev değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi hesaplanıp içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
Soru 51Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−2)2(x−5)f'(x) = (x - 2)^2 (x - 5)
olarak verilmektedir.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,5][2, 5]

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıklardan biri [2,5][2, 5] aralığıdır.
Zincir kuralı doğru uygulanıp çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo yapıldığında, türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıklardan biri [2,5][2, 5] olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak yazın.
g′(x)=f′(x2−4x)⋅(2x−4)g'(x) = f'(x^2 - 4x) \cdot (2x - 4)
Türevde zincir kuralı gereği dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılır.
2
f′(x)=(x−2)2(x−5)f'(x) = (x - 2)^2 (x - 5) ifadesinde xx yerine x2−4xx^2 - 4x yazarak f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesini elde edin.
f′(x2−4x)=(x2−4x−2)2(x2−4x−5)f'(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x - 2)^2 (x^2 - 4x - 5)
Bileşke fonksiyonun dıştaki bileşeninin türevine içteki fonksiyon yerleştirilir.
3
g′(x)=2(x−2)(x2−4x−2)2(x2−4x−5)g'(x) = 2(x - 2)(x^2 - 4x - 2)^2 (x^2 - 4x - 5) ifadesinin köklerini bulun.
x=−1x = -1 (tek katlı kök), x=2−6x = 2-\sqrt{6} (çift katlı kök), x=2x = 2 (tek katlı kök), x=2+6x = 2+\sqrt{6} (çift katlı kök) ve x=5x = 5 (tek katlı kök).
Türevin işaret tablosunu oluşturmak için tüm kökler ve katları belirlenir.
4
Elde edilen kökler yardımıyla g′(x)g'(x)'in işaret tablosunu oluşturun ve g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olan aralıkları belirleyin.
x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1] ve x∈[2,5]x \in [2, 5] aralıklarında g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olur. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş aralıklar (−∞,−1](-\infty, -1] ve [2,5][2, 5] olarak bulunur.
Çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo oluşturulduğunda türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler sürekli fonksiyonun azalanlık aralığını verir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bileşke fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve çift katlı kök içeren eşitsizliklerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 52Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen lim⁡h→0f(3+h)−f(3)h\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} limit ifadesi, türevin limit tanımı gereği doğrudan f′(3)f'(3) değerine karşılık gelmektedir. f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonunun türevi f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 olup, bu fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki değeri 2(3)−1=52(3) - 1 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit ifadesinin türev tanımıyla olan ilişkisini belirleme.
Tanım gereği, lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a) eşitliği vardır. Bu durumda sorulan limit ifadesi f′(3)f'(3) değerine eşittir.
Anlık değişim oranı ve türevin limit tanımı bu limit formülü ile ifade edilir.
2
f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x fonksiyonunun türevini hesaplama.
f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 bulunur.
Polinom fonksiyonların türev kuralı (d/dx(xn)=n⋅xn−1d/dx(x^n) = n \cdot x^{n-1}) uygulanmıştır.
3
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak nihai sonucu bulma.
f′(3)=2(3)−1=5f'(3) = 2(3) - 1 = 5 elde edilir.
İstenen noktadaki anlık değişim oranını bulmak için türev fonksiyonunda ilgili değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve anlık değişim oranı ilişkisi
Soru 53Soru →

f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x ve g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1 fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre, (f∘g)′(1)(f \circ g)'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevinin x=1x = 1 noktasındaki değeri 42'dir.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uyarınca içteki fonksiyonun türevi olan g′(1)=3g'(1) = 3 çarpanı ile dıştaki türev değeri olan f′(g(1))=14f'(g(1)) = 14 çarpılır ve sonuç 42 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı formülünü belirleme
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
İki fonksiyonun bileşkesinin türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki değerini ve türevini hesaplama
g(1)=2g(1) = 2 ve g′(1)=3g'(1) = 3
g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1 lineer fonksiyonunda x=1x = 1 yazılır ve fonksiyonun türevi alınarak türev değeri bulunur.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulma ve x=g(1)=2x = g(1) = 2 noktasındaki değerini hesaplama
f′(2)=14f'(2) = 14
f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x türevi f′(x)=3x2+2f'(x) = 3x^2 + 2 olup, x=2x = 2 için bu değer 1414'tür.
4
Elde edilen değerleri zincir kuralında yerine koyarak sonuca ula��ma
(f∘g)′(1)=14⋅3=42(f \circ g)'(1) = 14 \cdot 3 = 42
Zincir kuralı gereği dıştaki türev değeri ile içteki türev değeri çarpılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).
Soru 54Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu

g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1

biçiminde tanımlanıyor. Her x∈R−{0}x \in \mathbb{R} - \{0\} için ff fonksiyonu

f(x)=lim⁡t→xt3g(x)−x3g(t)t2−x2f(x) = \lim_{t \to x} \frac{t^3 g(x) - x^3 g(t)}{t^2 - x^2}

olarak veriliyor. Buna göre,

lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)h2+2h\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{h^2 + 2h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -17

Cevap

İstenen limit değeri -17 olarak bulunur.
Türevin limit tanımı kullanılarak f(x) fonksiyonu g(x) ve g'(x) cinsinden elde edilmiş, ardından istenen limit ifadesi f'(2) cinsinden yazılarak doğru sonuca ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun tanımındaki limiti t -> x yaklaşımı altında düzenlemek.
f(x) = 1.5*x*g(x) - 0.5*x^2*g'(x)
Limit tanımındaki belirsizliği gidermek ve ifadeyi g(x) ile g'(x) cinsinden yazabilmek için.
2
g(x) ve g'(x) fonksiyonlarını yerine yazarak f(x) ve f'(x) fonksiyonlarını elde etmek.
f'(2) = -8.5
f(x) fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türev değerine ulaşmak için.
3
İstenen limit ifadesini f'(2) türev değeri cinsinden ifade etmek.
Limit = 2*f'(2)
h -> 0 limitindeki belirsizliği türevin limit tanımı yardımıyla çözmek için.
4
Bulunan türev değerini limit ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplamak.
-17
Soruda istenen limitin nihai nümerik değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Anlık Değişim Oranı ve Türevin Limit Tanımı
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 55Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f′(x)=(x−8)(x−3)2f'(x) = (x-8)(x-3)^2
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x)
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş sınırlı aralık [a,b][a, b] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile alınıp çarpanlarına ayrıldığında g′(x)=2(x−1)(x−4)(x+2)(x−3)2(x+1)2g'(x) = 2(x-1)(x-4)(x+2)(x-3)^2(x+1)^2 fonksiyonu elde edilir. Bu ifadenin kökleri küçükten büyüğe sıralanıp işaret tablosu yapıldığında çift katlı kökler olan −1-1 ve 33 noktalarında işaret değişimi yaşanmaz. Türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeler incelendiğinde azalanlığın geçerli olduğu sınırlı en geniş aralığın [1,4][1, 4] olduğu görülür. Buradan sınır değerlerin toplamı 1+4=51+4=5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralı) uygulama
g′(x)=f′(x2−2x)⋅(x2−2x)′=f′(x2−2x)⋅(2x−2)g'(x) = f'(x^2 - 2x) \cdot (x^2 - 2x)' = f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)
g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) biçimindeki bir bileşke fonksiyonun türevi g′(x)=f′(u(x))⋅u′(x)g'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x) kuralı ile hesaplanır.
2
f′(x)f'(x) ifadesinde değişken dönüşümü yaparak g′(x)g'(x) fonksiyonunu açıkça yazma
g′(x)=2(x−1)⋅(x2−2x−8)⋅(x2−2x−3)2g'(x) = 2(x - 1) \cdot (x^2 - 2x - 8) \cdot (x^2 - 2x - 3)^2
f′(x)=(x−8)(x−3)2f'(x) = (x-8)(x-3)^2 olarak verildiği için, girdiyi x2−2xx^2-2x yaparak türev çarpanlarına ulaşılır.
3
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin tüm gerçel köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını bulma
Kökler: x=1x = 1 (tek katlı), x=4x = 4 (tek katlı), x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı), x=−1x = -1 (çift katlı)
x−1=0⇒x=1x-1=0 \Rightarrow x=1, x2−2x−8=(x−4)(x+2)=0⇒x=4,−2x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, -2 ve (x2−2x−3)2=((x−3)(x+1))2=0⇒x=3,−1(x^2-2x-3)^2 = ((x-3)(x+1))^2=0 \Rightarrow x=3, -1 (çift katlı) elde edilir.
4
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturma ve fonksiyonun azalan olduğu bölgeleri belirleme
İşaret tablosu: (−∞,−2)(-\infty, -2) için −-, (−2,−1)(-2, -1) için ++, (−1,1)(-1, 1) için ++, (1,3)(1, 3) için −-, (3,4)(3, 4) için −-, (4,∞)(4, \infty) için ++. Azalan aralıklar: (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4]
En sağdaki aralıkta (x>4x > 4) türev pozitif işaretlidir. Çift katlı köklerde (x=3x = 3 ve x=−1x = -1) işaret yön değiştirmezken tek katlı köklerde yön değiştirir. Süreklilikten dolayı [1,3][1, 3] ve [3,4][3, 4] aralıkları birleştirilerek [1,4][1, 4] elde edilir.
5
Bulunan azalan aralıklardan sınırlı olan en geniş aralığı seçip aralığın uç değerlerinin toplamın�� hesaplama
[a,b]=[1,4][a, b] = [1, 4] olup buradan a=1a = 1, b=4b = 4 ve a+b=5a + b = 5 bulunur.
(−∞,−2](-\infty, -2] aralığı sınırsız bir aralık olduğundan, soruda istenen en geniş sınırlı aralık koşulunu yalnızca [1,4][1, 4] aralığı sağlar.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artanlık ve azalanlık incelemesi yapılması, türevin köklerinin katlılık durumlarına göre işaret tablosunun oluşturulması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 56Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(g(x))=x2+2x+1f(g(x)) = x^2 + 2x + 1
g(f(x))=2x2+1g(f(x)) = 2x^2 + 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(2)=2f(2) = 2 ve f′(2)=4f'(2) = 4 olduğuna göre, f′(9)f'(9) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
Bileşke fonksiyonların türevleri zincir kuralı uyarınca alınmalıdır. İkinci denklemin türevi olan g'(f(x)) * f'(x) = 4x eşitliğinde verilen f'(2) = 4 değeri yerine koyulduğunda g'(2) = 2 bulunur. İlk denklemin türevi olan f'(g(x)) * g'(x) = 2x + 2 eşitliğinde g(2) = 9 ve g'(2) = 2 değerleri kullanıldığında f'(9) * 2 = 6 elde edilir ve buradan f'(9) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinde x = 2 yazarak g(2) değerini bulmak.
g(2) = 9
İlk eşitlikte f'(g(2)) terimini elde etmek ve g(2) değerinin neye eşit olduğunu saptamak.
2
f(g(x)) = x^2 + 2x + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.
f'(9) * g'(2) = 6
İstenen f'(9) terimini içeren bir türev denklemi oluşturmak.
3
g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.
g'(2) * f'(2) = 8
Bilinmeyen g'(2) değerini bulmamızı sağlayacak ikinci bir türev denklemi elde etmek.
4
f'(2) = 4 değerini g'(2) * f'(2) = 8 denkleminde yerine yazıp g'(2) değerini çözmek.
g'(2) = 2
f'(9) değerine ulaşmak için zincir kuralından gelen içteki fonksiyonun türev değerini hesaplamak.
5
g'(2) = 2 değerini f'(9) * g'(2) = 6 denkleminde yerine yazıp f'(9) değerini bulmak.
f'(9) = 3
Soruda bizden istenen nihai türev değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve fonksiyon değerlerinin yerine yazılması.
Soru 57Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=f(x3−12x)g(x) = f(x^3 - 12x)
eşitliği sağlanmaktadır.

ff fonksiyonunun türevi f′(x)=x2−256f'(x) = x^2 - 256 olduğuna göre, gg fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

g fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
g(x) fonksiyonunun türevi alındığında g′(x)=3(x−4)(x+4)(x−2)3(x+2)3g'(x) = 3(x-4)(x+4)(x-2)^3(x+2)^3 elde edilir. Kökler −4,−2,2,4-4, -2, 2, 4 olup tamamı tek katlı köktür. İşaret tablosu yapıldığında fonksiyonun azalan olduğu (g′(x)≤0g'(x) \le 0) en geniş aralıklar [−4,−2][-4, -2] ve [2,4][2, 4] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları ise 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama.
g′(x)=f′(x3−12x)⋅(3x2−12)g'(x) = f'(x^3 - 12x) \cdot (3x^2 - 12)
g(x) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine x3−12xx^3 - 12x yazarak bileşke ifadenin değerini bulma.
f′(x3−12x)=(x3−12x)2−256f'(x^3 - 12x) = (x^3 - 12x)^2 - 256
Zincir kuralında yerine koyarak g′(x)g'(x)'in çarpanlarını elde etmek.
3
g′(x)g'(x) türev fonksiyonunu çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma.
g′(x)=3(x2−4)[(x3−12x)2−162]=3(x−2)(x+2)(x3−12x−16)(x3−12x+16)g'(x) = 3(x^2 - 4)[(x^3 - 12x)^2 - 16^2] = 3(x-2)(x+2)(x^3 - 12x - 16)(x^3 - 12x + 16)
İşaret tablosu oluşturabilmek i��in fonksiyonun tüm köklerini ve katlılık derecelerini bulmamız gerekir.
4
Kübik ifadeleri çarpanlarına ayırma.
x3−12x−16=(x−4)(x+2)2x^3 - 12x - 16 = (x-4)(x+2)^2 ve x3−12x+16=(x+4)(x−2)2x^3 - 12x + 16 = (x+4)(x-2)^2
Kübik polinomların köklerini bulmak için rasyonel kök testini uygulayarak çarpanlarına ayırırız.
5
Tüm çarpanları birleştirerek köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirleme.
g′(x)=3(x−4)(x+4)(x−2)3(x+2)3g'(x) = 3(x-4)(x+4)(x-2)^3(x+2)^3
x=2x = 2 ve x=−2x = -2 kökleri hem kübik ifadelerden hem de zincir kuralından geldiği için toplamda 3'er adet (tek katlı) kök olurlar.
6
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturma ve g′(x)≤0g'(x) \le 0 olan azalanlık aralıklarını belirleme.
Azalanlık aralıkları: [−4,−2]∪[2,4][-4, -2] \cup [2, 4]
g′(x)g'(x)'in kökleri −4,−2,2,4-4, -2, 2, 4 olup hepsi tek katlı köktür. En sağdan pozitif işaretle başlanarak işaret tablosu oluşturulur.
7
Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları bulup toplama.
Pozitif tam sayılar: 2,3,42, 3, 4. Toplamları: 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9.
Soru bizden azalanlık aralığındaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu (f′(x)≤0f'(x) \le 0) aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalı ve köklerin katlılık dereceleri işaret tablosunda doğru incelenmelidir.
Soru 58Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları her xx gerçel sayısı için
f(g(2x−1)+x2)=3x3−2x2+5x+1f(g(2x - 1) + x^2) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 1
eşitliğini sağlamaktadır.

g(1)=5g(1) = 5 ve g′(1)=32g'(1) = \frac{3}{2} olduğuna göre, f′(6)f'(6) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen f'(6) değeri 2'dir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) doğru bir şekilde uygulanıp içteki fonksiyonların türevleri (özellikle g(2x-1) türevi alınırken gelen 2 çarpanı) hesaba katıldığında ve verilen değerler x = 1 için yerine yazıldığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f'(g(2x - 1) + x^2) * (2 * g'(2x - 1) + 2x) = 9x^2 - 4x + 5
Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralını uygulamak ve türev ilişkisini kurmak için.
2
f' ifadesinin parantez içini 6 yapmak için x = 1 seçilir.
x = 1 için g(2x - 1) + x^2 = g(1) + 1 = 5 + 1 = 6 elde edilir.
Soruda g(1) = 5 değeri verildiğinden, ifadenin içini 6 yapan uygun x değerini bulmak için.
3
x = 1, g(1) = 5 ve g'(1) = 3/2 değerleri türev denklemine yazılarak f'(6) hesaplanır.
f'(6) * 5 = 10 ise f'(6) = 2 bulunur.
Türev denklemindeki tüm bilinenleri yerine yazarak bilinmeyen f'(6) değerini yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır. f(u(x)) türevi f'(u(x)) * u'(x) şeklindedir.
Soru 59Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=2x2+5xf(x) = 2x^2 + 5x fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1 \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Limit ifadesinin değeri 9'dur.
Verilen limit ifadesi, ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki anlık değişim oranı olan f′(1)f'(1) değerinin tanımıdır. f(x)=2x2+5xf(x) = 2x^2 + 5x fonksiyonunun türevi f′(x)=4x+5f'(x) = 4x + 5 olduğundan, x=1x = 1 için türev değeri 4⋅1+5=94 \cdot 1 + 5 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesinin türev tanımıyla ilişkisini belirleme
Limit ifadesi f′(1)f'(1) değerine eşittir.
Türevin limit tanımına göre lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) eşitliği sağlanır. Burada a=1a = 1 alınmıştır.
2
f(x)=2x2+5xf(x) = 2x^2 + 5x fonksiyonunun türevini bulma
f′(x)=4x+5f'(x) = 4x + 5
Polinom fonksiyonların türev kuralı (d/dx(xn)=nxn−1d/dx(x^n) = n x^{n-1}) kullanılmıştır.
3
Türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazarak limit değerini hesaplama
9
f′(1)=4(1)+5=9f'(1) = 4(1) + 5 = 9 işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı kullanılarak bir noktadaki anlık değişim oranının (türevinin) hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Limit ifadesinde fonksiyon değerlerini doğrudan yerine yazarak da sonuca ulaşabiliriz: f(1)=7f(1) = 7 olduğundan limit lim⁡x→12x2+5x−7x−1\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + 5x - 7}{x - 1} olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırdığımızda lim⁡x→1(2x+7)(x−1)x−1=lim⁡x→1(2x+7)=9\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 7)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 7) = 9 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 60Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonu yalnızca (−3,5)(-3, 5) açık aralığında pozitif değerler almaktadır.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun artan olduğu sınırlı aralıklarda yer alan farklı tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Sınırlı artanlık aralıklarında yer alan tam sayıların toplamı 15'tir.
Fonksiyonun artan olduğu sınırlı aralıklar [1,2][1, 2] ve [3,5][3, 5] aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla {1, 2} ve {3, 4, 5} olup toplamları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun türevi alınır.
g′(x)=2(x−2)⋅f′(x2−4x)g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesinin pozitif olduğu xx değerleri belirlenir.
x∈(−1,1)∪(3,5)x \in (-1, 1) \cup (3, 5) için f′(x2−4x)>0f'(x^2 - 4x) > 0 ve diğer durumlarda f′(x2−4x)≤0f'(x^2 - 4x) \le 0 olur.
f′(u)f'(u) fonksiyonu yalnızca u∈(−3,5)u \in (-3, 5) için pozitif olduğundan −3<x2−4x<5-3 < x^2 - 4x < 5 eşitsizlik sistemi çözülür.
3
g′(x)=2(x−2)⋅f′(x2−4x)≥0g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x) \ge 0 eşitsizliği için işaret tablosu oluşturulur.
İşaret tablosu incelendiğinde g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan aralıklar (−∞,−1]∪[1,2]∪[3,5](-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, 5] olarak bulunur.
Çarpanların işaret de��işimleri x=−1,1,2,3,5x = -1, 1, 2, 3, 5 noktalarında gerçekleşir.
4
Sınırlı artanlık aralıklarındaki tam sayılar belirlenip toplanır.
[1,2][1, 2] aralığından 1,21, 2 ve [3,5][3, 5] aralığından 3,4,53, 4, 5 sayıları alınarak toplam 1+2+3+4+5=151+2+3+4+5=15 bulunur.
Soru sınırlı aralıkları istediğinden (−∞,−1](-\infty, -1] aralığı dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 3 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin