Examkin

Temel Türev Alma Kuralları

49 soru

Tüm türler49Çoktan seçmeli25Sayısal24
Soru 21Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları, x≠−1x \neq -1 olmak üzere,
f(x)=(x2+2)⋅g(x)f(x) = (x^2 + 2) \cdot g(x)
g(x)=x2⋅f(x)−8x+1g(x) = \frac{x^2 \cdot f(x) - 8}{x + 1}
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -152

Cevap

f'(1) değeri -152 olarak bulunur.
Verilen iki fonksiyonel denklemde x = 1 yazarak f(1) ve g(1) değerleri bulunur. Ardından her iki denklemin türevi alınarak x = 1 için türev değerleri arasında bir sistem kurulur. Bu sistemi çözdüğümüzde aranan türev değeri -152 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 için f(1) ve g(1) değerlerini hesaplama
f(1) = 24 ve g(1) = 8
Verilen eşitliklerde x yerine 1 yazıldığında f(1) = 3g(1) ve g(1) = (f(1) - 8)/2 denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden g(1) = 8 ve f(1) = 24 bulunur.
2
f(x) fonksiyonunun t��revini alıp x = 1 yazma
f'(1) = 16 + 3g'(1)
f(x) = (x^2 + 2) * g(x) ifadesine çarpım kuralı uygulanır: f'(x) = 2x * g(x) + (x^2 + 2) * g'(x). x = 1 yazılıp g(1) = 8 değeri yerine konduğunda f'(1) = 16 + 3g'(1) ilişkisine ulaşılır.
3
g(x) fonksiyonunun türevini alıp x = 1 yazma
g'(1) = 20 + f'(1)/2
g(x) = (x^2 * f(x) - 8) / (x + 1) ifadesine bölüm ve çarpım kuralları uygulanır: g'(x) = [(2x * f(x) + x^2 * f'(x)) * (x + 1) - (x^2 * f(x) - 8)] / (x + 1)^2. x = 1 ve f(1) = 24 yazıldığında g'(1) = [(48 + f'(1)) * 2 - 16] / 4 = 20 + f'(1)/2 ilişkisi bulunur.
4
Oluşan denklem sistemini çözme
f'(1) = -152
f'(1) = 16 + 3 * g'(1) denkleminde g'(1) yerine (20 + f'(1)/2) yazılarak f'(1) = 76 + 1.5 * f'(1) elde edilir. Buradan f'(1) = -152 bulunur.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm türev kurallarının fonksiyonel denklem sistemlerinde uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi
y=3x−5y = 3x - 5
olarak verilmiştir.
Buna göre,
g(x)=f(x2+1)2x+1g(x) = \frac{f(x^2 + 1)}{2x + 1}
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi olan g′(1)g'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 169\frac{16}{9}

Cevap

Doğru cevap 169\frac{16}{9} değeridir.
Doğru cevap, bölüm kuralı ve zincir kuralı tam ve doğru olarak uygulandığında elde edilen 169\frac{16}{9} değeridir. Teğet doğrusunun denkleminden elde edilen f(2)=1f(2) = 1 ve f′(2)=3f'(2) = 3 değerleri formülde yerlerine yazıldığında bu sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminden fonksiyonun de��erini ve türevini elde etme
f(2)=1f(2) = 1 ve f′(2)=3f'(2) = 3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=3x−5y = 3x - 5 olduğundan, bu noktanın ordinatı f(2)=3(2)−5=1f(2) = 3(2) - 5 = 1 ve teğet doğrusunun eğimi fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan f′(2)=3f'(2) = 3 olur.
2
Bölüm ve zincir kurallarını uygulayarak g′(x)g'(x) ifadesini oluşturma
g′(x)=f′(x2+1)⋅2x⋅(2x+1)−f(x2+1)⋅2(2x+1)2g'(x) = \frac{f'(x^2 + 1) \cdot 2x \cdot (2x + 1) - f(x^2 + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}
Bölüm kuralı uygulandıktan sonra pay kısmındaki f(x2+1)f(x^2+1) ifadesinin türevi için zincir kuralı (f′(x2+1)⋅2xf'(x^2+1) \cdot 2x) kullanılmıştır.
3
x=1x = 1 değerini yerine yazarak sonucu hesaplama
g′(1)=169g'(1) = \frac{16}{9}
g′(1)=f′(2)⋅2(1)⋅(2(1)+1)−f(2)⋅2(2(1)+1)2=3⋅2⋅3−1⋅29=18−29=169g'(1) = \frac{f'(2) \cdot 2(1) \cdot (2(1) + 1) - f(2) \cdot 2}{(2(1) + 1)^2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{9} = \frac{18 - 2}{9} = \frac{16}{9} bulunur.

Anahtar Kavram

Bölüm kuralı, zincir kuralı ve teğet doğrusu denklemi aracılığıyla türev değeri bulma
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir hh fonksiyonu için
h(2)=5h(2) = 5
h′(2)=4h'(2) = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(x)=x2⋅h(x)f(x) = x^2 \cdot h(x)
g(x)=f(x)x2+1g(x) = \frac{f(x)}{x^2+1}

olduğuna göre, g′(2)g'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen türev değeri 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2⋅h(x)f(x) = x^2 \cdot h(x) fonksiyonunun türevi çarpım kuralı yardımıyla hesaplanır.
f′(x)=2x⋅h(x)+x2⋅h′(x)f'(x) = 2x \cdot h(x) + x^2 \cdot h'(x)
Çarpımın türevi kuralını uygulamak.
2
x=2x = 2 için f(2)f(2) ve f′(2)f'(2) değerleri hesaplanır.
f(2)=20f(2) = 20 ve f′(2)=36f'(2) = 36
Bir sonraki adımda bölüm türevinde kullanılacak olan fonksiyon ve türev değerlerini elde etmek.
3
g(x)=f(x)x2+1g(x) = \frac{f(x)}{x^2+1} fonksiyonunun türevi bölüm kuralı yardımıyla hesaplanır.
g′(x)=f′(x)⋅(x2+1)−f(x)⋅2x(x2+1)2g'(x) = \frac{f'(x) \cdot (x^2+1) - f(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
Bölümün türevi kuralını uygulamak.
4
g′(x)g'(x) ifadesinde x=2x = 2 yazılır ve elde edilen değerler yerine konur.
g′(2)=36⋅5−20⋅425=4g'(2) = \frac{36 \cdot 5 - 20 \cdot 4}{25} = 4
g′(2)g'(2) değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kurallarından çarpım ve bölüm kurallarının uygulanması.
Soru 24Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=5g(2) = 5
g′(2)=−2g'(2) = -2
eşitlikleri verilmektedir.
Buna göre,
f(x)=x2⋅g(x)−2g(x)−xf(x) = \frac{x^2 \cdot g(x) - 2}{g(x) - x}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1010

Cevap

1010 değeri doğru cevaptır.
Çarpım ve bölüm türevi kuralları eksiksiz uygulandığında, payın türevi 1212, paydanın türevi −3-3 olarak bulunur. Bölüm türevi formülüyle bu değerler yerine yazıldığında doğru değer olan 1010 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve payda fonksiyonlarının değerleri ile türev değerlerini belirleyin.
u(x)=x2⋅g(x)−2u(x) = x^2 \cdot g(x) - 2 ve v(x)=g(x)−xv(x) = g(x) - x olarak tanımlayalım. x=2x = 2 için u(2)=22⋅g(2)−2=4⋅5−2=18u(2) = 2^2 \cdot g(2) - 2 = 4 \cdot 5 - 2 = 18 ve v(2)=g(2)−2=5−2=3v(2) = g(2) - 2 = 5 - 2 = 3 olur.
Bölüm türevi formülünde kullanılacak temel bileşenlerin değerlerini bulmak için.
2
Çarpım kuralını kullanarak payın türevini bulun.
u′(x)=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)u'(x) = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) olur. x=2x = 2 noktasındaki değeri: u′(2)=2(2)g(2)+22g′(2)=4(5)+4(−2)=20−8=12u'(2) = 2(2)g(2) + 2^2 g'(2) = 4(5) + 4(-2) = 20 - 8 = 12 olarak hesaplanır.
Pay kısmındaki çarpım durumundaki ifadenin türevini elde etmek için.
3
Paydanın türevini bulun.
v′(x)=g′(x)−1v'(x) = g'(x) - 1 olur. x=2x = 2 noktasındaki değeri: v′(2)=g′(2)−1=−2−1=−3v'(2) = g'(2) - 1 = -2 - 1 = -3 olarak hesaplanır.
Payda kısmının türevini elde etmek için.
4
Bölüm türevi kuralını uygulayarak sonucu hesaplayın.
f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)[v(x)]2f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} formülünden f′(2)=12⋅3−18⋅(−3)32=36+549=909=10f'(2) = \frac{12 \cdot 3 - 18 \cdot (-3)}{3^2} = \frac{36 + 54}{9} = \frac{90}{9} = 10 elde edilir.
Bölüm fonksiyonunun türev değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Çarpım ve Bölüm Kuralları)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 25Soru →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,

f(x)=x2+ax+bx2−x+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - x + 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

f′(0)=3f'(0) = 3
f′(1)=2f'(1) = 2

olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

f'(2) değeri -1'dir.
Bölümün türevi kuralı doğru uygulanıp, verilen başlangıç koşullarıyla a ve b katsayıları sırasıyla 4 ve -1 olarak bulunduktan sonra türev fonksiyonunda x = 2 yazıldığında sonuç -1 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türev kuralını uygulayarak f'(x) türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=(2x+a)(x2−x+1)−(x2+ax+b)(2x−1)(x2−x+1)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x^2-x+1) - (x^2+ax+b)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}
Rasyonel bir fonksiyonun türevini hesaplamak için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
f'(0) = 3 eşitliğini kullanarak a ve b arasındaki ilk denklemi elde edin.
f'(0) = \frac{a \cdot 1 - b \cdot (-1)}{1} = a + b \implies a + b = 3
Türev fonksiyonunda x = 0 yazılarak verilen değere eşitlenir.
3
f'(1) = 2 eşitliğini kullanarak a ve b değerlerini bulun.
f'(1) = \frac{(2+a)(1) - (1+a+b)(1)}{1^2} = 2 + a - 1 - a - b = 1 - b \implies 1 - b = 2 \implies b = -1$. Buradan a - 1 = 3 \implies a = 4 bulunur.
Türev fonksiyonunda x = 1 yazılarak elde edilen ifade verilen değere eşitlenir ve a ile b bilinmeyenleri çözülür.
4
Bulunan a = 4 ve b = -1 değerlerini türev fonksiyonunda yerine yazarak f'(2) değerini hesaplayın.
f'(2) = \frac{(2(2)+4)(2^2-2+1) - (2^2+4(2)-1)(2(2)-1)}{(2^2-2+1)^2} = \frac{24 - 33}{9} = -1
Elde edilen fonksiyon kuralı kullanılarak x = 2 noktasındaki türev hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi ve Bilinmeyen Katsayıların Bulunması
Soru 26Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 noktasından çizilen teğet doğrusu, xx ekseniyle pozitif yönde 135∘135^\circ lik açı yapmakta ve yy eksenini (0,3)(0, 3) noktasında kesmektedir. Ayrıca ff fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusu, y=3x−1y = 3x - 1 doğrusuna paraleldir. Buna göre, g(x)=f(x2⋅f(x))g(x) = f(x^2 \cdot f(x)) biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için g′(1)g'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Türevin geometrik yorumundan f′(1)=−1f'(1) = -1, teğet doğrusunun denkleminden f(1)=2f(1) = 2 ve paralel teğet doğrusundan f′(2)=3f'(2) = 3 değerleri elde edilir. g(x)=f(x2⋅f(x))g(x) = f(x^2 \cdot f(x)) fonksiyonunun türevi zincir ve çarpım kuralları yardımıyla alınıp x=1x = 1 yazıldığında g′(1)=f′(2)⋅(2f(1)+f′(1))=3⋅(4−1)=9g'(1) = f'(2) \cdot (2f(1) + f'(1)) = 3 \cdot (4 - 1) = 9 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev değerini teğet doğrusunun eğiminden belirleme
f′(1)=tan⁡(135∘)=−1f'(1) = \tan(135^\circ) = -1
Bir fonksiyona teğet olan doğrunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini kurarak teğet noktasındaki fonksiyon değerini bulma
y−3=−1(x−0)  ⟹  y=−x+3y - 3 = -1(x - 0) \implies y = -x + 3 doğrusu üzerinde x=1x = 1 için f(1)=2f(1) = 2 bulunur.
Teğet noktası hem fonksiyona hem de teğet doğrusuna ait olduğundan doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
3
Paralel doğru bilgisinden diğer türev değerini bulma
f′(2)=3f'(2) = 3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=3x−1y = 3x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimi 33 olmalıdır.
4
g(x)g(x) fonksiyonunun türev kuralını belirleme
g′(x)=f′(x2⋅f(x))⋅(2x⋅f(x)+x2⋅f′(x))g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x))
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı ve içteki çarpım durumundaki ifadenin türevi için çarpım kuralı uygulanır.
5
g′(1)g'(1) değerini hesaplama
g′(1)=f′(2)⋅(4−1)=3⋅3=9g'(1) = f'(2) \cdot (4 - 1) = 3 \cdot 3 = 9
x=1x = 1 yazılarak elde edilen ifadede bilinen f(1)f(1), f′(1)f'(1) ve f′(2)f'(2) değerleri yerine konur.

Anahtar Kavram

Bileşke ve çarpım fonksiyonlarının türev kuralları ile türevin geometrik yorumunun bir arada kullanılması.
Soru 27Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
g(x)=(x2−x+2)⋅f(x)g(x) = (x^2 - x + 2) \cdot f(x)
h(x)=f(x)x2−x+2h(x) = \frac{f(x)}{x^2 - x + 2}
fonksiyonları tanımlanıyor.
g′(1)=8g'(1) = 8
h′(1)=1h'(1) = 1

olduğuna göre, k(x)=f(x)⋅(x3+f(x))k(x) = f(x) \cdot (x^3 + f(x)) fonksiyonu için k′(1)k'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

k'(1) değeri 21'dir.
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının türevleri sırasıyla çarpım ve bölüm kuralları uygulanarak alınır. Elde edilen g'(1) = f(1) + 2f'(1) = 8 ve h'(1) = (2f'(1) - f(1))/4 = 1 denklemlerinden f(1) = 2 ve f'(1) = 3 değerlerine ulaşılır. Sonrasında k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) fonksiyonunun türevi çarpım kuralı ile alınarak k'(1) = f'(1)(1 + f(1)) + f(1)(3 + f'(1)) = 3(3) + 2(6) = 21 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) fonksiyonunun türevini çarpım kuralı ile alıp x = 1 yazarak ilk denklemi oluşturun.
f(1) + 2f'(1) = 8
Çarpım kuralına göre g'(x) = (2x - 1)f(x) + (x^2 - x + 2)f'(x) olur.
2
h(x) fonksiyonunun türevini bölüm kuralı ile alıp x = 1 yazarak ikinci denklemi oluşturun.
2f'(1) - f(1) = 4
Bölüm kuralına göre h'(x) = [f'(x)(x^2 - x + 2) - f(x)(2x - 1)] / (x^2 - x + 2)^2 olur.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek f(1) ve f'(1) değerlerini hesaplayın.
f(1) = 2 ve f'(1) = 3
Denklemleri taraf tarafa topladığımızda 4f'(1) = 12 elde edilir.
4
k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) ifadesinin türevini çarpım kuralı ile hesaplayıp x = 1 yazın.
k'(1) = 21
k'(x) = f'(x)(x^3 + f(x)) + f(x)(3x^2 + f'(x)) türevinde f(1) ve f'(1) değerlerini yerine koyarız.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları (çarpım ve bölüm kuralları)
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 28Soru →

ff ve gg fonksiyonları, tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilir iki fonksiyondur.

f(2)=2f(2) = 2
f′(2)=1f'(2) = 1
g(2)=1g(2) = 1
g′(2)=2g'(2) = 2

olduğuna göre,

h(x)=f(x)⋅g(x)−x2f(x)+g(x)h(x) = \frac{f(x) \cdot g(x) - x^2}{f(x) + g(x)}

biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

h'(2) değeri 1'dir.
Bölüm ve çarpım kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerlerine yazıldığında, payın türevi 1, payda değeri 3, pay değeri -2 ve paydanın türevi 3 olarak bulunur. Bu değerlerin formülde yerine yazılmasıyla h′(2)h'(2) değeri 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralının uygulanması
h′(x)=[f(x)⋅g(x)−x2]′⋅(f(x)+g(x))−(f(x)⋅g(x)−x2)⋅[f(x)+g(x)]′(f(x)+g(x))2h'(x) = \frac{[f(x) \cdot g(x) - x^2]' \cdot (f(x) + g(x)) - (f(x) \cdot g(x) - x^2) \cdot [f(x) + g(x)]'}{(f(x) + g(x))^2}
Bölüm biçimindeki bir ifadenin türevini almak için payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralı uygulanır.
2
Çarpım türevi ve kuvvet kuralı yardımıyla pay ve paydanın türevlerinin bulunması
[f(x)⋅g(x)−x2]′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)−2x[f(x) \cdot g(x) - x^2]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) - 2x ve [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
Toplama, çıkarma ve çarpım durumundaki ifadelerin türevini almak için temel türev alma kuralları uygulanır.
3
x = 2 noktası için türev de��erlerinin hesaplanması
Payın türevinin değeri: 1⋅1+2⋅2−2(2)=11 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 2(2) = 1.
Paydanın türevinin değeri: 1+2=31 + 2 = 3.
Verilen f(2)f(2), f′(2)f'(2), g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerleri türev ifadelerinde yerine yazılır.
4
Elde edilen değerlerin bölüm türevi formülünde yerine yazılarak h'(2) değerinin bulunması
h′(2)=1⋅3−(2⋅1−22)⋅332=3−(−2)⋅39=99=1h'(2) = \frac{1 \cdot 3 - (2 \cdot 1 - 2^2) \cdot 3}{3^2} = \frac{3 - (-2) \cdot 3}{9} = \frac{9}{9} = 1
Bulunan tüm bileşenler bir araya getirilerek işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölüm ve çarpım kuralları yardımıyla türev alma
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →
Her x>1x > 1 gerçel sayısı için pozitif değerli ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları
f(x)⋅g(x)=x3+4f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4
f(x)g(x)=x+1x−1\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x+1}{x-1}
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Aranan türev değeri 11 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm ilişkilerinden hareketle, çarpım ve bölüm türevi kuralları uygulanarak x=2x=2 noktasındaki türev değerleri için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur. Bu sistem çözüldüğünde türev değeri 11 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 noktasındaki f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerini bulmak için verilen eşitlikleri kullanırız.
f(2)⋅g(2)=23+4=12f(2) \cdot g(2) = 2^3 + 4 = 12 ve f(2)g(2)=2+12−1=3\frac{f(2)}{g(2)} = \frac{2+1}{2-1} = 3 elde edilir. Buradan f(2)=3g(2)f(2) = 3g(2) yazılabilir. Çarpım eşitliğinde yerine yazıldığında 3[g(2)]2=12  ⟹  [g(2)]2=43[g(2)]^2 = 12 \implies [g(2)]^2 = 4 olur. Fonksiyonlar pozitif değerli olduğundan g(2)=2g(2) = 2 ve f(2)=6f(2) = 6 bulunur.
Türev kurallarını uyguladıktan sonra fonksiyonların o noktadaki değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.
2
Çarpım eşitliğinin her iki tarafının türevini alırız.
(f(x)⋅g(x))′=(x3+4)′  ⟹  f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=3x2(f(x) \cdot g(x))' = (x^3 + 4)' \implies f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 olur. x=2x = 2 için f′(2)g(2)+f(2)g′(2)=12  ⟹  2f′(2)+6g′(2)=12  ⟹  f′(2)+3g′(2)=6f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 12 \implies 2f'(2) + 6g'(2) = 12 \implies f'(2) + 3g'(2) = 6 denklemi elde edilir.
f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerleri arasında birinci bağıntıyı kurmak için.
3
Bölüm eşitliğinin her iki tarafının türevini alırız.
(f(x)g(x))′=(x+1x−1)′  ⟹  f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2=1(x−1)−(x+1)1(x−1)2=−2(x−1)2\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' \implies \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{1(x-1) - (x+1)1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} olur. x=2x = 2 için 2f′(2)−6g′(2)4=−2  ⟹  f′(2)−3g′(2)=−4\frac{2f'(2) - 6g'(2)}{4} = -2 \implies f'(2) - 3g'(2) = -4 denklemi elde edilir.
f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerleri arasında ikinci bağıntıyı kurmak için.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözeriz.
f′(2)+3g′(2)=6f'(2) + 3g'(2) = 6 ve f′(2)−3g′(2)=−4f'(2) - 3g'(2) = -4 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2f′(2)=2  ⟹  f′(2)=12f'(2) = 2 \implies f'(2) = 1 bulunur.
f′(2)f'(2) değerini yalnız bırakıp sonucu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm kuralları kullanılarak türev alma ve türev değerlerini içeren denklem sistemlerini çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 30Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=6x−2y = 6x - 2 olarak verilmiştir.

Buna göre,
f(x)=g(x2)x+1f(x) = \frac{g(x^2)}{x+1}
fonksiyonu için f′(1)f'(1) değeri kaçt��r?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Türev kuralının doğru uygulanmasıyla elde edilen sonuç 5 sayısıdır.
Verilen teğet doğrusu yardımıyla g(1)=4g(1) = 4 ve g′(1)=6g'(1) = 6 değerleri bulunur. Bölümün türevi ve zincir kuralları doğru bir biçimde uygulanarak elde edilen türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında pay kısmındaki değer 2020, payda kısmındaki değer ise 44 olur. Bu iki değerin oranı bize doğru cevap olan 5 sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminden fonksiyonun o noktadaki değerini ve türevini bulunuz.
g(1)=4g(1) = 4 ve g′(1)=6g'(1) = 6
Teğet noktasının koordinatları teğet doğrusunu sağlar, dolayısıyla x=1x=1 için g(1)=6(1)−2=4g(1) = 6(1) - 2 = 4 olur. Teğet doğrusunun eğimi o noktadaki türev değerine eşit olduğundan g′(1)=6g'(1) = 6 elde edilir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini almak için bölüm türevi ve zincir kuralını uygulayınız.
f′(x)=2x⋅g′(x2)⋅(x+1)−g(x2)(x+1)2f'(x) = \frac{2x \cdot g'(x^2) \cdot (x+1) - g(x^2)}{(x+1)^2}
Bölümün türevi kuralına göre payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi uygulanır. Paydaki g(x2)g(x^2) fonksiyonunun türevi alınırken zincir kuralı gereği içinin türevi olan 2x2x çarpanı başa gelir.
3
Türev ifadesinde x=1x = 1 yazarak hesaplamayı tamamlayınız.
f′(1)=5f'(1) = 5
f′(1)=2(1)⋅g′(1)⋅(1+1)−g(1)(1+1)2=2⋅6⋅2−44=24−44=5f'(1) = \frac{2(1) \cdot g'(1) \cdot (1+1) - g(1)}{(1+1)^2} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 2 - 4}{4} = \frac{24 - 4}{4} = 5 bulunur.

Anahtar Kavram

Bölüm türevi kuralı, zincir kuralı ve teğet eğimi-türev ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(2)=4g(2) = 4
g′(2)=3g'(2) = 3
f′(2)=5f'(2) = 5

eşitlikleri verilmektedir.
h(x)=f(g(x)x)h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right)

biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Beş bölü iki
Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralı ve içteki fonksiyon için bölümün türev kuralı eksiksiz uygulandığında h′(2)=f′(2)⋅g′(2)⋅2−g(2)4h'(2) = f'(2) \cdot \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{4} ifadesine ulaşılır. Verilen değerler yerleştirildiğinde doğru değer beş bölü iki olur.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)=f(g(x)x)h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right) fonksiyonunun türevi zincir kuralı yardımıyla yazılır.
h′(x)=f′(g(x)x)⋅(g(x)x)′h'(x) = f'\left( \frac{g(x)}{x} \right) \cdot \left( \frac{g(x)}{x} \right)' elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi alınarak içi aynen yazılır ve bu ifade içinin türevi ile çarpılır.
2
İçteki g(x)x\frac{g(x)}{x} ifadesinin türevi bölümün türev kuralı kullanılarak bulunur.
(g(x)x)′=g′(x)⋅x−g(x)⋅1x2\left( \frac{g(x)}{x} \right)' = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2} olur.
İki fonksiyonun bölümünün türevi alınırken payın türevi ile paydanın çarpımından, pay ile paydanın türevinin çarpımı çıkarılır ve sonuç paydanın karesine bölünür.
3
x=2x = 2 değeri türev denkleminde yerine yazılarak verilen fonksiyon ve türev değerleri yerine konur.
h′(2)=f′(g(2)2)⋅g′(2)⋅2−g(2)22h'(2) = f'\left( \frac{g(2)}{2} \right) \cdot \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{2^2} ifadesinde değerler yazıldığında h′(2)=f′(2)⋅3⋅2−44=5⋅24=52h'(2) = f'(2) \cdot \frac{3 \cdot 2 - 4}{4} = 5 \cdot \frac{2}{4} = \frac{5}{2} bulunur.
g(2)=4g(2) = 4, g′(2)=3g'(2) = 3 ve f′(2)=5f'(2) = 5 bilgileri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Bölüm Fonksiyonlarının Türev Kuralları
Soru 32Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff fonksiyonu

f(x)={x2+ax+1,x<1bx3−2x,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1, & x < 1 \\ bx^3 - 2x, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

g(x)=f(x2+x−1)g(x) = f(x^2 + x - 1) olduğuna göre, g′(1)g'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6
Doğru cevap, süreklilik ve türevlenebilirlik şartlarının her ikisi de sağlanarak f′(1)=−2f'(1) = -2 bulunduktan sonra, zincir kuralı ile g′(1)=3⋅f′(1)=−6g'(1) = 3 \cdot f'(1) = -6 olarak hesaplanan değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında türevlenebilir olması için bu noktada sürekli olması gerekir. Sol ve sağ limitleri eşitleyerek aa ve bb arasındaki ilişkiyi bulalım.
a+2=b−2  ⟹  b−a=4a + 2 = b - 2 \implies b - a = 4
Türevlenebilir her fonksiyon tanımlı olduğu noktada sürekli olmak zorundadır.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki sol ve sağ türevlerini eşitleyerek aa ve bb arasındaki ikinci ilişkiyi bulalım.
a+2=3b−2  ⟹  3b−a=4a + 2 = 3b - 2 \implies 3b - a = 4
x=1x = 1 kritik noktasında türevin var olması için sağ ve sol türevlerin birbirine eşit olması gerekir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini, ardından f′(1)f'(1) değerini bulalım.
b=0b = 0, a=−4a = -4 ve f′(1)=−2f'(1) = -2
Denklemleri ortak çözdüğümüzde 2b=0  ⟹  b=02b = 0 \implies b = 0 bulunur. Buradan a=−4a = -4 elde edilir. Sol veya sağ türev fonksiyonunda yerine yazarak f′(1)=−2f'(1) = -2 bulunur.
4
g(x)=f(x2+x−1)g(x) = f(x^2 + x - 1) fonksiyonunun türevini zincir kuralı yardımıyla alıp x=1x = 1 değerini yerine yazalım.
g′(1)=3⋅f′(1)=3⋅(−2)=−6g'(1) = 3 \cdot f'(1) = 3 \cdot (-2) = -6
Bileşke fonksiyon türevi kuralına göre g′(x)=f′(x2+x−1)⋅(2x+1)g'(x) = f'(x^2 + x - 1) \cdot (2x + 1) olur. x=1x = 1 için g′(1)=f′(1)⋅3g'(1) = f'(1) \cdot 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları, parçalı fonksiyonların türevlenebilirliği ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı)
Soru 33Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=kx−3x2+2f(x) = \frac{kx - 3}{x^2 + 2}
kuralıyla tanımlanmıştır.
f′(1)=1f'(1) = 1
olduğuna göre, kk sabit sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k sabit sayısı 3'tür.
Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralıyla f′(x)=k(x2+2)−2x(kx−3)(x2+2)2f'(x) = \frac{k(x^2 + 2) - 2x(kx - 3)}{(x^2 + 2)^2} olarak elde edilir. x=1x = 1 için türev değeri f′(1)=k+69f'(1) = \frac{k + 6}{9} olur. Soruda verilen f′(1)=1f'(1) = 1 bilgisi kullanıldığında k+69=1\frac{k + 6}{9} = 1 denklemi çözülerek k=3k = 3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=k(x2+2)−2x(kx−3)(x2+2)2f'(x) = \frac{k(x^2 + 2) - 2x(kx - 3)}{(x^2 + 2)^2}
f(x)=u(x)v(x)f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} biçimindeki bir bölümün türevi f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)(v(x))2f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} formülüyle hesaplanır.
2
x=1x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazınız.
f′(1)=k+69f'(1) = \frac{k + 6}{9}
Türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=k(12+2)−2(1)(k(1)−3)(12+2)2=3k−2k+69=k+69f'(1) = \frac{k(1^2 + 2) - 2(1)(k(1) - 3)}{(1^2 + 2)^2} = \frac{3k - 2k + 6}{9} = \frac{k + 6}{9} elde edilir.
3
f′(1)=1f'(1) = 1 eşitliğini çözerek kk değerini bulunuz.
k=3k = 3
k+69=1\frac{k + 6}{9} = 1 ise k+6=9k + 6 = 9 olur. Buradan k=3k = 3 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün Türev Kuralı
Soru 34Soru →
f(x)=x2+ax+1x2+2f(x) = \frac{x^2 + ax + 1}{x^2 + 2}

fonksiyonu için f′(1)=1f'(1) = 1 olduğuna göre, f′(0)f'(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Türev fonksiyonunda a = 7 değeri yerine yazılarak f'(0) değeri 3,5 olarak bulunur.
Bölümün türevi kuralı uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir. x = 1 yazılıp ifadenin değeri 1'e eşitlenerek a = 7 bulunur. Türev fonksiyonunda a yerine 7 ve x yerine 0 yazıldığında pay 14, payda ise 4 gelmekte olup f'(0) = 3,5 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralın�� uygulayarak f'(x) ifadesini elde edin.
f′(x)=(2x+a)(x2+2)−(x2+ax+1)(2x)(x2+2)2f'(x) = \frac{(2x + a)(x^2 + 2) - (x^2 + ax + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralı ile hesaplanır.
2
f'(1) = 1 eşitliğini kullanarak a değerini çözün.
a=7a = 7
x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazıp 1'e eşitleyerek a parametresi elde edilir.
3
a = 7 değerini yerine yazarak f'(0) değerini hesaplayın.
f′(0)=3,5f'(0) = 3,5
Türev fonksiyonunda a yerine 7 ve x yerine 0 yazarak f'(0) değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı
Soru 35Soru →

gg ve hh, x=2x = 2 noktasında türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,

g(2)=5h(2)=6h′(2)=−1\begin{aligned} g(2) &= 5 \\ h(2) &= 6 \\ h'(2) &= -1 \end{aligned}

eşitlikleri verilmektedir.
f(x)=(x2−2x)⋅g(x)+h(x)xf(x) = (x^2 - 2x) \cdot g(x) + \frac{h(x)}{x}

şeklinde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Türevlenebilir iki fonksiyonun toplam, çarpım ve bölüm türev kuralları kullanılarak x = 2 noktasındaki türevi hesaplandığında sonuç 8 olarak bulunur.
Toplam, çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla f'(x) türev fonksiyonu oluşturulup x = 2 değeri yazıldığında, g'(2) ifadesinin katsayısı 0 olduğundan bu terim elenir ve verilen diğer değerlerle f'(2) değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevini almak için toplam, çarpım ve bölüm kurallarını uygulayal��m.
f'(x) = (2x - 2) * g(x) + (x^2 - 2x) * g'(x) + (h'(x) * x - h(x)) / x^2
Toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir. Birinci terim için çarpım kuralı (u * v)' = u' * v + u * v', ikinci terim için ise bölüm kuralı (u / v)' = (u' * v - u * v') / v^2 uygulanır.
2
Elde ettiğimiz türev fonksiyonunda x yerine 2 yazalım.
f'(2) = (2*2 - 2) * g(2) + (2^2 - 2*2) * g'(2) + (h'(2) * 2 - h(2)) / 2^2
f'(2) değerini elde etmek için türev fonksiyonunun kuralında x değişkeni yerine 2 sayısı yazılır.
3
Verilen g(2) = 5, h(2) = 6 ve h'(2) = -1 değerlerini yerine koyarak hesaplamayı tamamlayalım.
f'(2) = 2 * 5 + 0 * g'(2) + (-1 * 2 - 6) / 4 = 10 - 2 = 8
x = 2 noktasında x^2 - 2x ifadesi 0 değerini aldığından g'(2) değerine ihtiyaç duyulmaz. Bölüm türevi kısmından gelen terim -2, çarpım türevi kısmından gelen terim 10 olur ve toplamları 8'i verir.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları kullanılarak çarpım ve bölüm durumundaki fonksiyonların türevlerinin hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(1)=3g(1) = 3
g′(1)=−2g'(1) = -2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
f(x)=x2⋅g(x)x−2f(x) = \frac{x^2 \cdot g(x)}{x - 2}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

-7
Verilen fonksiyonun türevini hesaplamak için bölüm türevi formülü uygulanır. Pay kısmındaki çarpım ifadesi için de çarpım türevi kuralı kullanılarak payın türevi 2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) olarak belirlenir. x=1x = 1 noktasında bu ifadeler ve g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=−2g'(1) = -2 değerleri yerine yazıldığında payın türevi 44, paydanın türevi 11 ve paydanın kendisi −1-1 olur. Buradan bölüm türevi formülü uygulandığında doğru sonuç −7-7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak f′(x)f'(x) ifadesini genel formda yazalım.
f′(x)=[x2⋅g(x)]′⋅(x−2)−[x2⋅g(x)]⋅(x−2)′(x−2)2f'(x) = \frac{[x^2 \cdot g(x)]' \cdot (x - 2) - [x^2 \cdot g(x)] \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi alınırken (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} kuralı uygulanmalıdır.
2
Pay kısmında yer alan çarpım durumundaki x2⋅g(x)x^2 \cdot g(x) ifadesinin türevini çarpım kuralını kullanarak hesaplayalım.
[x2⋅g(x)]′=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)[x^2 \cdot g(x)]' = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)
İki fonksiyonun çarpımının türevi (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv' kuralı ile bulunur.
3
Elde edilen türev ifadesinde x=1x = 1 değerini ve verilen g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=−2g'(1) = -2 değerlerini yerine yazarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f′(1)=[2(1)g(1)+12g′(1)]⋅(1−2)−[12g(1)]⋅1(1−2)2=[2(3)+(−2)]⋅(−1)−3(−1)2=4⋅(−1)−31=−7f'(1) = \frac{[2(1)g(1) + 1^2 g'(1)] \cdot (1 - 2) - [1^2 g(1)] \cdot 1}{(1 - 2)^2} = \frac{[2(3) + (-2)] \cdot (-1) - 3}{(-1)^2} = \frac{4 \cdot (-1) - 3}{1} = -7
Tüm türev bileşenleri bulunduktan sonra aranan noktadaki türev değerine ulaşmak için değerler yerine yazılıp aritmetik işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölüm ve Çarpım Türev Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 37Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=2g′(2)=3\begin{aligned} g(2) &= 2 \\ g'(2) &= 3 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
f(x)=g(x)x2+g(x)f(x) = \frac{g(x)}{x^2 + g(x)}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevi olan f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19\frac{1}{9}

Cevap

Türevin doğru değeri 19\frac{1}{9} olarak bulunur.
Bölümün türevi kuralı (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} doğru bir şekilde uygulanıp x=2x=2 için verilen g(2)=2g(2)=2 ve g′(2)=3g'(2)=3 değerleri yerine konulduğunda sonuç 19\frac{1}{9} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm kuralını uygulayarak f(x)f(x) fonksiyonunun türev ifadesini yazalım.
f′(x)=g′(x)⋅(x2+g(x))−g(x)⋅(2x+g′(x))(x2+g(x))2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot (x^2 + g(x)) - g(x) \cdot (2x + g'(x))}{(x^2 + g(x))^2}
Bölümün türevi formülü (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} şeklindedir.
2
Türev ifadesinde x=2x = 2 yazalım.
f′(2)=g′(2)⋅(22+g(2))−g(2)⋅(2(2)+g′(2))(22+g(2))2f'(2) = \frac{g'(2) \cdot (2^2 + g(2)) - g(2) \cdot (2(2) + g'(2))}{(2^2 + g(2))^2}
x=2x = 2 noktasındaki türev değerini bulmak için değişken yerine 2 yazarız.
3
Verilen g(2)=2g(2) = 2 ve g′(2)=3g'(2) = 3 değerlerini yerleştirip işlemleri yapalım.
f′(2)=3⋅(4+2)−2⋅(4+3)(4+2)2=18−1436=436=19f'(2) = \frac{3 \cdot (4 + 2) - 2 \cdot (4 + 3)}{(4 + 2)^2} = \frac{18 - 14}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}
Sayısal değerleri yerine koyarak sadeleştirme yaparız.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı
Soru 38Soru →
Türevlenebilir gg fonksiyonu ve x≠0x \neq 0 olmak üzere, ff fonksiyonu
f(x)=x⋅g(x)−g(x)xf(x) = x \cdot g(x) - \frac{g(x)}{x}
kuralıyla verilmiştir.

g(2)=4g(2) = 4 ve g′(2)=6g'(2) = 6 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Çarpım ve bölüm türev kuralları uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında doğru yanıt 14 olarak bulunur.
Çarpım ve bölüm türevi kuralları sırasıyla uygulanıp türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında ve verilen g(2)=4g(2) = 4, g′(2)=6g'(2) = 6 değerleri yerleştirildiğinde f′(2)f'(2) değeri 1414 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x⋅g(x)−g(x)xf(x) = x \cdot g(x) - \frac{g(x)}{x} fonksiyonunun türevini alalım.
f′(x)=[g(x)+x⋅g′(x)]−g′(x)⋅x−g(x)x2f'(x) = [g(x) + x \cdot g'(x)] - \frac{g'(x) \cdot x - g(x)}{x^2}
İlk terimde çarpım kuralı, ikinci terimde ise bölüm kuralı uygulanmıştır.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazalım.
f′(2)=[g(2)+2⋅g′(2)]−2⋅g′(2)−g(2)4f'(2) = [g(2) + 2 \cdot g'(2)] - \frac{2 \cdot g'(2) - g(2)}{4}
f′(2)f'(2) değerini hesaplamak için xx yerine 22 yazılır.
3
g(2)=4g(2) = 4 ve g′(2)=6g'(2) = 6 değerlerini yerleştirip işlemi tamamlayalım.
f′(2)=[4+2(6)]−2(6)−44=16−2=14f'(2) = [4 + 2(6)] - \frac{2(6) - 4}{4} = 16 - 2 = 14
Verilen sayısal değerler yerine konulur ve temel aritmetik işlemler yapılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kuralları
Soru 39Soru →

Gerçel sayılar kümesinin −1-1 dışındaki tüm elemanları üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu, aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere

f(x)=x2+ax+bx+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x + 1}

kuralıyla verilmektedir.

f(1)=2f(1) = 2
f′(1)=2f'(1) = 2

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Doğru cevap −4-4 olarak bulunur.
Doğru cevap −4-4 değeridir. Fonksiyonun verilen noktadaki değeri ve bölüm türevi yardımıyla elde edilen türev değeri kullanılarak a=4a = 4 ve b=−1b = -1 olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı −4-4 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)=2f(1) = 2 eşitliğini kullanarak aa ve bb arasındaki ilk denklemi elde etmek.
a+b=3a + b = 3
Fonksiyonun tanımından f(1)=1+a+b2=2  ⟹  a+b=3f(1) = \frac{1 + a + b}{2} = 2 \implies a + b = 3 olur.
2
Bölümün türevi kuralını uygulayarak f′(x)f'(x) türev fonksiyonunu bulmak ve x=1x = 1 yazarak ikinci denklemi elde etmek.
a−b=5a - b = 5
f′(x)=(2x+a)(x+1)−(x2+ax+b)(x+1)2f'(x) = \frac{(2x + a)(x + 1) - (x^2 + ax + b)}{(x + 1)^2} olup x=1x = 1 için f′(1)=(2+a)(2)−(1+a+b)4=2  ⟹  4+2a−(1+a+b)=8  ⟹  3+a−b=8  ⟹  a−b=5f'(1) = \frac{(2 + a)(2) - (1 + a + b)}{4} = 2 \implies 4 + 2a - (1 + a + b) = 8 \implies 3 + a - b = 8 \implies a - b = 5 elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini bulmak.
a=4a = 4 ve b=−1b = -1
a+b=3a + b = 3 ve a−b=5a - b = 5 denklemleri taraf tarafa toplanarak 2a=8  ⟹  a=42a = 8 \implies a = 4 bulunur. Bu değer birinci denklemde yerine yazıldığında b=−1b = -1 elde edilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
−4-4
a=4a = 4 ve b=−1b = -1 olduğundan, çarpımları 4⋅(−1)=−44 \cdot (-1) = -4 olur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve fonksiyonlarda türev uygulamaları.
Soru 40Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=4g′(2)=6\begin{aligned} g(2) &= 4 \\ g'(2) &= 6 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.
f(x)=g(x2−2)+g(x)xf(x) = g(x^2 - 2) + \frac{g(x)}{x}
olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında sonuç 26 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği içinin türeviyle çarpılır ve bölümün türevi kuralı doğru uygulanarak x=2x=2 için tüm değerler yerine yazıldığında sonuç 26 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun genel türev ifadesini yazmak için toplamın türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=[g(x2−2)]′+[g(x)x]′f'(x) = [g(x^2 - 2)]' + \left[\frac{g(x)}{x}\right]'
Toplamın türevi, her bir terimin türevlerinin toplamına eşittir.
2
Bileşke fonksiyon ve bölüm fonksiyonu türev kuralları uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir.
f′(x)=(x2−2)′⋅g′(x2−2)+g′(x)⋅x−g(x)⋅(x)′x2=2x⋅g′(x2−2)+g′(x)⋅x−g(x)x2f'(x) = (x^2 - 2)' \cdot g'(x^2 - 2) + \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot (x)'}{x^2} = 2x \cdot g'(x^2 - 2) + \frac{g'(x) \cdot x - g(x)}{x^2}
Zincir kuralı ve bölümün türevi kuralı uygulanmıştır.
3
Elde edilen türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılır ve bilinen g(2)=4g(2) = 4, g′(2)=6g'(2) = 6 değerleri yerleştirilir.
f′(2)=2(2)⋅g′(22−2)+g′(2)⋅2−g(2)22=4⋅g′(2)+2g′(2)−g(2)4=4(6)+2(6)−44=24+12−44=24+2=26f'(2) = 2(2) \cdot g'(2^2 - 2) + \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{2^2} = 4 \cdot g'(2) + \frac{2g'(2) - g(2)}{4} = 4(6) + \frac{2(6) - 4}{4} = 24 + \frac{12 - 4}{4} = 24 + 2 = 26
Türev değerini bulmak için fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki görüntüsü hesaplanır.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Zincir Kuralı ve Bölümün Türevi)
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Temel Türev Alma Kuralları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin