Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 soru

Tüm türler376Çoktan seçmeli189Doğru / Yanlış46Sayısal122Sıralama19
Soru 221Soru →

Bir kahve dükkanında satılan büyük ve küçük boy kahveler ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Küçük boy kahvenin fiyatı, büyük boy kahvenin fiyatının yarısından 1515 TL fazladır.
* 33 adet küçük boy ve 22 adet büyük boy kahve alan bir müşteri toplam 290290 TL ödemiştir.

Buna göre, büyük boy kahvenin fiyatının 7070 TL olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Büyük boy kahvenin fiyatı 7070 TL'dir ifadesi doğrudur.
Denklem çözüldüğünde bilinmeyen olan büyük boy kahve fiyatı (xx) 7070 TL olarak bulunur, dolayısıyla önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük boy kahvenin fiyatını değişken olarak belirleyip küçük boy kahvenin fiyatını bu değişken cinsinden yazmak.
Büyük boy kahve fiyatı xx TL ise, küçük boy kahve fiyatı x2+15\frac{x}{2} + 15 TL olur.
Bilinmeyenler arasında birinci dereceden bir ilişki kurarak problemi tek bilinmeyenli denkleme indirgemek.
2
Müşterinin satın aldığı ürünlerin adetlerini ve toplam tutarını kullanarak denklemi oluşturmak.
3⋅(x2+15)+2x=2903 \cdot \left(\frac{x}{2} + 15\right) + 2x = 290
33 adet küçük boy ve 22 adet büyük boy kahvenin toplam fiyatının 290290 TL'ye eşit olması gerekir.
3
Oluşturulan denklemi dağılma özelliğini uygulayarak ve payda eşitleyerek çözmek.
3x2+45+2x=290⇒7x2+45=290⇒7x2=245⇒7x=490⇒x=70\frac{3x}{2} + 45 + 2x = 290 \Rightarrow \frac{7x}{2} + 45 = 290 \Rightarrow \frac{7x}{2} = 245 \Rightarrow 7x = 490 \Rightarrow x = 70 TL.
Değişkeni yalnız bırakarak büyük boy kahvenin fiyatını bulmak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme

Alternatif Yöntem

Büyük boy kahvenin fiyatı olan 7070 TL değeri doğrudan test edilebilir. Büyük boy 7070 TL ise, küçük boy 70/2+15=5070/2 + 15 = 50 TL olur. 33 adet küçük boy (3⋅50=1503 \cdot 50 = 150 TL) ve 22 adet büyük boy (2⋅70=1402 \cdot 70 = 140 TL) kahvenin toplamı 150+140=290150 + 140 = 290 TL yapar. Bu değer sorudaki toplam tutarla uyuştuğu için ifade doğrudur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 222Soru →

Bir çikolata fabrikasında üretilen çikolatalar, her birinde 10 adet çikolata olacak şekilde kutulanmaktadır. Ayrıca kutulanmamış tekli çikolatalar da satılmaktadır. Bir market sahibi, bu fabrikadan içinde 10'ar adet çikolata bulunan kutulardan xx tane ve ayrıca 4 adet tekli çikolata satın almıştır. Market sahibinin aldığı toplam çikolata sayısı iki basamaklı bir x4x4 doğal sayısıdır. Eğer market sahibi bu kutulardan (x+2)(x + 2) tane ve 8 adet tekli çikolata satın alsaydı, toplam çikolata sayısı 98 olacaktı. Buna göre, market sahibinin ilk durumda aldığı toplam çikolata sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 74

Cevap

Market sahibinin ilk durumda aldığı toplam çikolata sayısı 74'tür.
İkinci durumdaki çikolata miktarı olan 10(x+2)+810(x+2)+8 ifadesi 98'e eşitlendiğinde 10x+28=9810x + 28 = 98 denklemi elde edilir. Buradan 10x=7010x = 70 ve x=7x = 7 bulunur. İlk durumdaki çikolata sayısı olan iki basamaklı x4x4 sayısı, x=7x=7 için 74 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci durumdaki toplam çikolata sayısı için denklem kurulur.
10(x+2)+8=9810(x + 2) + 8 = 98
Her bir kutuda 10 çikolata bulunduğundan (x+2)(x+2) kutuda 10(x+2)10(x+2) çikolata vardır. Buna 8 adet tekli çikolata eklendiğinde toplam sayı 98 olmalıdır.
2
Kurulan birinci dereceden denklem çözülerek xx bilinmeyeni bulunur.
10x+20+8=98⇒10x+28=98⇒10x=70⇒x=710x + 20 + 8 = 98 \Rightarrow 10x + 28 = 98 \Rightarrow 10x = 70 \Rightarrow x = 7
Dağılma özelliği kullanılarak parantez açılır, benzer terimler bir araya getirilerek xx yalnız bırakılır.
3
Bulunan xx değeri ilk durumdaki toplam çikolata sayısı ifadesinde yerine yazılır.
10x+4=10(7)+4=7410x + 4 = 10(7) + 4 = 74
İlk durumda alınan toplam çikolata sayısı iki basamaklı x4x4 sayısıdır. x=7x = 7 olduğuna göre bu sayı 74 olur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi, iki basamaklı sayıların çözümlenmesi ile ilişkilendirilerek uygulanır.
Soru 223Soru →

−1<a<0-1 < a < 0 olmak üzere, tt değişkenine bağlı aşağıdaki eşitsizlikler veriliyor:

* I. eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (−∞,x)(-\infty, x) aralığıdır:
a⋅t−a2a−1>t+a\frac{a \cdot t - a^2}{a - 1} > t + a
* II. eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi [y,∞)[y, \infty) aralığıdır:
(a+1)t−a2−aa≤t−a\frac{(a+1)t - a^2 - a}{a} \leq t - a
* III. eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (z,∞)(z, \infty) aralığıdır:
a⋅t−a3a2<t−1\frac{a \cdot t - a^3}{a^2} < t - 1

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama y<z<xy < z < x şeklindedir.
I. eşitsizlikte negatif olan a−1a-1 ile çarpım yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve x=2a2−ax = 2a^2 - a bulunur. II. eşitsizlikte negatif olan aa ile çarpım yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve y=ay = a bulunur. III. eşitsizlikte ise aa ile sadeleştirme ve çarpım adımlarının ardından z=−az = -a bulunur. −1<a<0-1 < a < 0 aralığında yy negatif, zz pozitif ve xx değeri zz'den büyüktür. Bu nedenle sıralama y<z<xy < z < x şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
I. eşitsizliği tt değişkeni için çözelim.
t<2a2−at < 2a^2 - a elde edilir, buradan x=2a2−ax = 2a^2 - a olur.
−1<a<0-1 < a < 0 olduğundan a−1<0a - 1 < 0 olur. Eşitsizliğin her iki tarafını negatif olan a−1a - 1 ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
2
II. eşitsizliği tt değişkeni için çözelim.
t≥at \geq a elde edilir, buradan y=ay = a olur.
−1<a<0-1 < a < 0 olduğundan a<0a < 0 olur. Paydadaki negatif olan aa değerini yok etmek için her iki tarafı aa ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
3
III. eşitsizliği tt değişkeni için çözelim.
t>−at > -a elde edilir, buradan z=−az = -a olur.
Eşitsizliğin sol tarafındaki pay ve paydayı sıfırdan farklı olan aa ile sadeleştirdikten sonra, negatif olan aa paydası ile her iki tarafı çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir ve t(1−a)>a(a−1)t(1 - a) > a(a - 1) elde edilir. 1−a>01 - a > 0 olduğundan her iki tarafı 1−a1 - a ile böldüğümüzde yön değişmez.
4
xx, yy ve zz ifadelerini −1<a<0-1 < a < 0 koşulunu dikkate alarak karşılaştıralım.
y<z<xy < z < x sıralaması bulunur.
y=ay = a negatif, z=−az = -a pozitiftir. x=2a2−a=2a2+zx = 2a^2 - a = 2a^2 + z olup, 2a2>02a^2 > 0 olduğundan x>zx > z olur. Dolayısıyla y<z<xy < z < x sıralaması elde edilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı ve parametrik ifadelerin işaret analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 224Soru →
aa ve bb sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x−2)<b(x+3)a(x - 2) < b(x + 3)
eşitsizliğinin çözüm kümesi (−∞,−4)(-\infty, -4) aralığıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<0a < 0

Cevap

a'nın sıfırdan küçük olması
Verilen eşitsizlik düzenlendiğinde (a−b)x<2a+3b(a-b)x < 2a+3b elde edilir. Çözüm kümesi (−∞,−4)(-\infty, -4) olduğundan eşitsizlik yön değiştirmemiştir, bu yüzden a−b>0a-b > 0 yani a>ba > b olmalıdır. Sınır değerin eşitlenmesiyle 2a+3ba−b=−4  ⟹  b=6a\frac{2a+3b}{a-b} = -4 \implies b = 6a bağıntısına ulaşılır. b=6ab = 6a ifadesi a>ba > b eşitsizliğinde yerine yazıldığında a>6a  ⟹  0>5a  ⟹  a<0a > 6a \implies 0 > 5a \implies a < 0 sonucu elde edilir. Dolayısıyla a'nın sıfırdan küçük olduğu ifadesi her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği düzenleyerek x terimini yalnız bırakmak için gruplama yaparız.
(a−b)x<2a+3b(a - b)x < 2a + 3b ifadesi elde edilir.
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulabilmek için değişkeni bir tarafta toplamamız gerekir.
2
Çözüm kümesinin (−∞,−4)(-\infty, -4) yani x<−4x < -4 olduğunu kullanarak a−ba - b ifadesinin işaretini belirleriz.
a−b>0a - b > 0 olmalıdır, dolayısıyla a>ba > b elde edilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı a−ba - b ifadesine bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmediği için bölen sayı pozitif olmalıdır.
3
Sınır değerini eşitleyerek a ve b arasındaki cebirsel ilişkiyi buluruz.
2a+3ba−b=−4  ⟹  2a+3b=−4a+4b  ⟹  6a=b\frac{2a + 3b}{a - b} = -4 \implies 2a + 3b = -4a + 4b \implies 6a = b elde edilir.
Eşitsizliğin çözüm kümesinin üst sınırı -4 olarak verilmiştir.
4
Bulunan b=6ab = 6a eşitliğini a>ba > b eşitsizliğinde yerine yazarak a'nın işaretini inceleriz.
a>6a  ⟹  0>5a  ⟹  a<0a > 6a \implies 0 > 5a \implies a < 0 elde edilir.
a ve b parametrelerinin işaretlerini ve alabilecekleri değer aralıklarını netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde yön değiştirme kuralı ve parametre analizi
Soru 225Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının 22 noktasına olan uzaklığı 55 birimdir.

Buna göre, xx sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -21

Cevap

Alabileceği farklı değerlerin çarpımı −21-21 olur.
Sayı doğrusunda bir xx sayısının 22 noktasına olan uzaklığı ∣x−2∣|x - 2| ile gösterilir. Bu uzaklık 55 birim olarak verildiği için denklem ∣x−2∣=5|x - 2| = 5 olur. Bu eşitliği sağlayan değerler x−2=5⇒x=7x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7 ve x−2=−5⇒x=−3x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3 olarak bulunur. Farklı xx değerlerinin çarpımı ise 7×(−3)=−217 \times (-3) = -21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer tanımını kullanarak denklemi kurmak.
∣x−2∣=5|x - 2| = 5 denklemi elde edilir.
Sayı doğrusunda bir xx sayısının aa sayısına olan uzaklığı ∣x−a∣|x - a| ifadesi ile gösterilir.
2
Mutlak değerli denklemin iki farklı durumunu yazarak çözmek.
x−2=5x - 2 = 5 veya x−2=−5x - 2 = -5 eşitlikleri yazılır.
Mutlak değeri 55 olan iki sayı vardır: 55 ve −5-5.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemlerden xx değerlerini çekmek.
x=7x = 7 ve x=−3x = -3 bulunur.
Her iki denklemde de −2-2 karşı tarafa +2+2 olarak geçirilerek xx yalnız bırakılır.
4
Bulunan farklı xx değerlerini çarpmak.
7×(−3)=−217 \times (-3) = -21 elde edilir.
Soru kökünde bu değerlerin çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin sayı doğrusundaki uzaklık anlamı ve mutlak değerli denklemlerin çözümü.
Soru 226Soru →

aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayıları için a<0<ba < 0 < b eşitsizliği sağlanmaktadır.

xx değişkenine bağlı
ax−bb≥bx−aa\frac{a x - b}{b} \geq \frac{b x - a}{a}

eşitsizliğiyle ilgili;

I. a+b>0a + b > 0 ise eşitsizliğin çözüm kümesi [0,∞)[0, \infty) aralığıdır.
II. a+b<0a + b < 0 ise eşitsizliğin en büyük xx tam sayı değeri −1-1'dir.
III. a2<b2a^2 < b^2 ise eşitsizliği sağlayan en küçük xx doğal sayısı 00'dır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Eşitsizlik sadeleştirildiğinde (a2−b2ab)x≥0\left(\frac{a^2 - b^2}{ab}\right)x \geq 0 elde edilir. Burada a<0<ba < 0 < b olduğundan payda ab<0ab < 0 negatiftir. a+b>0a+b > 0 (veya buna eş değer olarak a2<b2a^2 < b^2) durumunda pay a2−b2<0a^2 - b^2 < 0 negatif olur, bu da katsayının pozitif olmasını sağlar. Katsayı pozitif olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez ve x≥0x \geq 0 elde edilir. Bu durum birinci öncüldeki [0,∞)[0, \infty) aralığını doğrular. Aynı koşul altında, bu aralıktaki en küçük doğal sayı 00 olduğundan üçüncü öncül de kesinlikle doğrudur. İkinci öncülde ise a+b<0a+b < 0 iken x≤0x \leq 0 elde edilir ve bu kümenin en büyük tam sayı elemanı 00 olup öncül yanlıştır. Dolayısıyla sadece birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin her iki yanındaki ifadeleri sadeleştirip x parantezine alın.
abx−1≥bax−1  ⟹  abx≥bax  ⟹  (ab−ba)x≥0\frac{a}{b}x - 1 \geq \frac{b}{a}x - 1 \implies \frac{a}{b}x \geq \frac{b}{a}x \implies \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right)x \geq 0
Eşitsizliği daha sade bir biçimde analiz etmek ve x'in katsayısını belirlemek için.
2
Parantez içindeki ifadenin paydalarını eşitleyip katsayıyı bulun.
(a2−b2ab)x≥0\left(\frac{a^2 - b^2}{ab}\right)x \geq 0
x'in katsayısının işaretini belirlemek amacıyla ortak paydada yazmamız gerekir.
3
Paydadaki abab ifadesinin işaretini belirleyin.
a<0a < 0 ve b>0b > 0 olduğu için ab<0ab < 0 olur.
Paydanın işareti, toplam katsayının işaretini belirlemede kritik bir rol oynar.
4
Birinci ve üçüncü öncüller için a+b>0a + b > 0 (yani a2<b2a^2 < b^2) durumunu inceleyin.
a2<b2  ⟹  a2−b2<0a^2 < b^2 \implies a^2 - b^2 < 0 olur. Bu durumda, katsayının payı negatif (a2−b2<0a^2 - b^2 < 0) ve paydası da negatiftir (ab<0ab < 0). Dolayısıyla katsayı pozitif olur: a2−b2ab>0\frac{a^2 - b^2}{ab} > 0. Pozitif bir katsayı ile çarpılan eşitsizlikte yön değişmez ve x≥0x \geq 0 elde edilir. Çözüm kümesi [0,∞)[0, \infty) aralığıdır. En küçük doğal sayı çözümü ise 00'dır. Yani I ve III. öncüller doğrudur.
Verilen koşullara göre eşitsizliğin yönünü ve çözüm kümesini netleştirmek için.
5
İkinci öncül için a+b<0a + b < 0 (yani a2>b2a^2 > b^2) durumunu inceleyin.
a2>b2  ⟹  a2−b2>0a^2 > b^2 \implies a^2 - b^2 > 0 olur. Katsayının payı pozitif, paydası negatif olduğundan katsayı negatif olur: a2−b2ab<0\frac{a^2 - b^2}{ab} < 0. Negatif katsayıya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir ve x≤0x \leq 0 elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri −1-1 değil, 00'dır. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
İkinci öncülün doğruluğunu test etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme işlemlerinde yön değiştirme kuralı ve parametrik katsayı analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 227Soru →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler konusunu çalışan bir öğrenci, aşağıdaki üç farklı eşitsizliği incelemektedir:

I. 2(x−3)−3(x+1)>−82(x - 3) - 3(x + 1) > -8 eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı aa'dır.
II. 7−3x2≤5\frac{7 - 3x}{2} \leq 5 eşitsizliğini sağlayan en küçük xx tam sayısı bb'dir.
III. 1−x−13>x+221 - \frac{x-1}{3} > \frac{x+2}{2} eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı cc'dir.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Elde edilen değerler sırasıyla a=−2a = -2, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 olduğundan, doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen eşitsizlikler kurallara uygun olarak çözüldüğünde elde edilen sınır aralıkları sırasıyla x<−1x < -1, x≥−1x \geq -1 ve x<0.4x < 0.4 şeklindedir. Bu aralıklardan elde edilen en büyük/en küçük tam sayı değerleri a=−2a = -2, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 olduğundan doğru sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla aa, bb ve cc şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
I. eşitsizliği düzenleyip çözelim.
2(x−3)−3(x+1)>−8  ⟹  2x−6−3x−3>−8  ⟹  −x−9>−8  ⟹  −x>1  ⟹  x<−12(x - 3) - 3(x + 1) > -8 \implies 2x - 6 - 3x - 3 > -8 \implies -x - 9 > -8 \implies -x > 1 \implies x < -1 elde edilir.
Parantezleri dağıttıktan sonra benzer terimleri topladık. Eşitsizliğin her iki tarafını −1-1 ile çarptığımız için eşitsizlik yön değiştirdi.
2
aa tam sayı değerini belirleyelim.
x<−1x < -1 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı a=−2a = -2 olarak bulunur.
Sınır değeri olan −1-1 açık aralığa dahil olmadığından, bu değerden küçük en büyük tam sayı seçilir.
3
II. eşitsizliği düzenleyip çözelim ve bb değerini belirleyelim.
7−3x2≤5  ⟹  7−3x≤10  ⟹  −3x≤3  ⟹  x≥−1\frac{7 - 3x}{2} \leq 5 \implies 7 - 3x \leq 10 \implies -3x \leq 3 \implies x \geq -1 elde edilir. Buradan en küçük tam sayı değeri b=−1b = -1 olarak bulunur.
Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı olan 22 ile çarpıldığında yön değişmez. Ancak her iki taraf negatif bir sayı olan −3-3'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir. Sınır değeri kapalı aralığa dahil olduğundan en küçük değer −1-1'dir.
4
III. eşitsizliği düzenleyip çözelim ve cc değerini belirleyelim.
1−x−13>x+221 - \frac{x-1}{3} > \frac{x+2}{2} eşitsizliğinin her iki tarafını 66 ile çarparsak: 6−2(x−1)>3(x+2)  ⟹  6−2x+2>3x+6  ⟹  8−2x>3x+6  ⟹  2>5x  ⟹  x<0.46 - 2(x-1) > 3(x+2) \implies 6 - 2x + 2 > 3x + 6 \implies 8 - 2x > 3x + 6 \implies 2 > 5x \implies x < 0.4 elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı c=0c = 0 olarak bulunur.
Kesirlerin paydalarını eşitlemek için eşitsizliğin tamamını pozitif en küçük ortak kat olan 66 ile çarptık. Dağıtma işlemlerinde eksi işaretinin parantez içine etkisine dikkat ettik. 0.40.4'ten küçük en büyük tam sayı 00'dır.
5
Bulunan aa, bb ve cc değerlerini karşılaştırarak sıralayalım.
a=−2a = -2, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 değerleri için −2<−1<0-2 < -1 < 0 olduğundan sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünde, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı uygulanır. Çözüm kümelerindeki açık ve kapalı sınır değerlerine göre en büyük veya en küçük tam sayı değerleri belirlenir.
Soru 228Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ∣3x−15∣=−5|3x - 15| = -5 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Mutlak değer fonksiyonunun tanımı gereği, elde edilen sonuç negatif olamaz. ∣3x−15∣=−5|3x - 15| = -5 eşitliğinde mutlak değer negatif bir sayıya eşitlendiği için denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sağ tarafındaki değerin işaretini inceleme
Eşitliğin sağ tarafındaki değer −5-5 olup negatiftir.
Mutlak değerli bir ifadenin eşit olduğu sayının pozitiflik veya negatiflik durumunu belirlemek çözümün varlığını kontrol etmek için ilk adımdır.
2
Mutlak değerin temel tanımını uygulama
Her xx gerçek sayısı için ∣3x−15∣≥0|3x - 15| \geq 0 olmalıdır.
Mutlak değer bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığını temsil eder ve uzaklık negatif olamaz.
3
Çözüm kümesini yazma
Denklemi sağlayan bir xx gerçek sayısı bulunmadığından çözüm kümesi boş kümedir (∅\emptyset).
∣3x−15∣≥0|3x - 15| \geq 0 ifadesi ile −5<0-5 < 0 değerinin eşitlenmesi çelişki oluşturur.

Anahtar Kavram

Bir mutlak değerli ifadenin sonucu negatif bir gerçek sayıya eşit olamaz.
Soru 229Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
ax−12−2x−a3<x+16\frac{a x - 1}{2} - \frac{2x - a}{3} < \frac{x+1}{6}
eşitsizliğinin çözüm kümesindeki en küçük tam sayı değeri −2-2 olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (32,117](\frac{3}{2}, \frac{11}{7}]

Cevap

(32,117]ac\cık−kapalıaralıg˘ı(\frac{3}{2}, \frac{11}{7}] açık-kapalı aralığı
Verilen eşitsizlik düzenlendiğinde (3a−5)x<4−2a(3a-5)x < 4-2a biçimine ulaşılır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesinde en küçük tam sayı değerinin bulunabilmesi için xx katsayısının negatif (3a−5<03a-5 < 0) olması ve bölme işlemi sırasında eşitsizlik yönünün değişerek x>4−2a3a−5x > \frac{4-2a}{3a-5} halini alması gerekir. Bu durumda en küçük tam sayı çözümünün −2-2 olması, alt sınır olan 4−2a3a−5\frac{4-2a}{3a-5} değerinin −3-3 ile −2-2 arasında ( −3-3 dahil, −2-2 hariç) bulunmasını gerektirir. Negatif olan 3a−53a-5 ile çarpım yapılıp eşitsizlik yönleri tekrar değiştirilerek çözüldüğünde elde edilen değer aralığı (32,117](\frac{3}{2}, \frac{11}{7}] olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaları eşitlemek amacıyla eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı olan 6 ile çarpılır.
3(ax−1)−2(2x−a)<x+13(ax - 1) - 2(2x - a) < x + 1
Kesirli ifadelerden kurtularak eşitsizliği doğrusal formda düzenlemek.
2
Parantezler dağıtılarak xx değişkenine bağlı terimler bir araya getirilir.
3ax−3−4x+2a<x+1  ⟹  (3a−5)x<4−2a3ax - 3 - 4x + 2a < x + 1 \implies (3a - 5)x < 4 - 2a
Birinci dereceden eşitsizlik biçimine (cx<dcx < d) dönüştürmek.
3
Çözüm kümesinde en küçük tam sayı değerinin tanımlı olabilmesi için xx katsayısının işareti analiz edilir.
3a−5<0  ⟹  a<533a - 5 < 0 \implies a < \frac{5}{3} olmalıdır. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirir: x>4−2a3a−5x > \frac{4-2a}{3a-5}.
Eğer 3a−5≥03a-5 \geq 0 olsaydı çözüm kümesi (−∞,K)(-\infty, K) şeklinde olurdu ve en küçük tam sayı değeri bulunamazdı.
4
Çözüm kümesindeki (x>Kx > K) en küçük tam sayının −2-2 olması için gerekli sınır koşulu kurulur.
−3≤4−2a3a−5<−2-3 \leq \frac{4-2a}{3a-5} < -2
Açık aralıkta −2-2 elemanının bulunması fakat −3-3'ün bulunmaması için alt sınırın bu değerler arasında olması gerekir.
5
Elde edilen çift yönlü eşitsizlik, negatif olan 3a−53a - 5 ifadesiyle çarpılarak çözülür.
Negatif sayı ile çarpıldığından yönler değişir: −3(3a−5)≥4−2a>−2(3a−5)  ⟹  −9a+15≥4−2a>−6a+10-3(3a-5) \geq 4-2a > -2(3a-5) \implies -9a + 15 \geq 4 - 2a > -6a + 10
Bilinmeyen olan aa parametresinin aralığını bulmak.
6
İki parçalı eşitsizlik ayrı ayrı çözülür ve kesişimleri alınır.
−9a+15≥4−2a  ⟹  a≤117-9a + 15 \geq 4 - 2a \implies a \leq \frac{11}{7} ve 4−2a>−6a+10  ⟹  a>324 - 2a > -6a + 10 \implies a > \frac{3}{2}. Buradan 32<a≤117\frac{3}{2} < a \leq \frac{11}{7} elde edilir.
Her iki eşitsizlik koşulunu aynı anda sağlayan ortak aa değer aralığını belirlemek.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde katsayının işaretine göre yön değiştirme kuralı ve aralık uç değerlerinin dahil olup olmama analizi.
Soru 230Soru →

Bir soğuk hava deposunun sıcaklığı TT (°C) bir doğal sayı olmak üzere, ideal sıcaklık olan 8∘C8^\circ\text{C} ile mevcut sıcaklık arasındaki farkın mutlak değerini veren denklem

∣T−8∣=12|T - 8| = 12

olarak belirlenmiştir.

Buna göre, deponun sıcaklığının alabileceği de��erlerin toplamı kaç °C'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Deponun sıcaklığının alabileceği değerlerin toplamı 20'dir.
Deponun sıcaklığının alabileceği değerlerin toplamı 20'dir. ∣T−8∣=12|T - 8| = 12 denklemi çözüldüğünde T−8=12T - 8 = 12 veya T−8=−12T - 8 = -12 olmalıdır. Buradan T=20T = 20 veya T=−4T = -4 bulunur. Soruda sıcaklığın bir doğal sayı olduğu belirtildiğinden T=−4T = -4 değeri alınamaz. Dolayısıyla sıcaklığın alabileceği tek değer 20 olur ve bu değerlerin toplamı da 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli denklemi iki durum için açın.
T−8=12T - 8 = 12 veya T−8=−12T - 8 = -12
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşit olduğunda, mutlak değerin içi bu sayının kendisine veya negatifine eşit olabilir.
2
Her iki denklemi de çözerek olası TT değerlerini bulun.
T=20T = 20 veya T=−4T = -4
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 8 eklenir.
3
Bulunan köklerin tanımlanan sayı kümesine uygunluğunu kontrol edin.
T=20T = 20 (doğal sayı), T=−4T = -4 (doğal sayı değil)
Soruda sıcaklığın bir doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Negatif sayılar doğal sayı kümesine dahil değildir.
4
Koşulu sağlayan değerlerin toplamını hesaplayın.
Toplam = 20
Koşulu sağlayan tek değer 20 olduğundan toplam da 20 olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözüm kümesi ve sayı kümeleriyle ilişkisi
Soru 231Soru →

Bir hassas sıcaklık ölçer cihazı, bulunduğu ortamın gerçek sıcaklığı olan TT değeri ile kendi ekranında gösterdiği sıcaklık değeri olan xx arasındaki farkı ölçmektedir. Bu cihazda, gerçek sıcaklık ile gösterilen sıcaklık değeri arasındaki farkın mutlak değerinin, gösterilen sıcaklık değerinin 22 katının 3∘C3^\circ\text{C} eksiğine eşit olduğu bilinmektedir.

Ortamın gerçek sıcaklığı 24∘C24^\circ\text{C} olduğuna göre, cihazın ekranında görünebilecek farklı sıcaklık değerlerinin toplamı kaç ∘C^\circ\text{C}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Cihazın ekranında görünebilecek farklı sıcaklık değerlerinin toplamı 9'dur.
Denklemin çözümünden elde edilen aday köklerden yalnızca 9 değeri tanımlı olma koşulunu (x≥1,5x \geq 1,5) sağlar. Diğer aday kök olan -21 değeri, eşitliğin sağ tarafını negatif yaptığı için elenir. Dolayısıyla, ekran üzerinde görünebilecek tek değer 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel bir denkleme dönüştürün.
∣24−x∣=2x−3|24 - x| = 2x - 3 denklemi elde edilir.
Gerçek sıcaklık ile gösterilen sıcaklık arasındaki farkın mutlak değeri ∣24−x∣|24 - x| olup, bu değer gösterilen sıcakl��ğın 2 katının 3 eksiği olan 2x−32x - 3 ifadesine eşittir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin mutlak değer tanımı gereği negatif olamayacağı koşulunu belirleyin.
2x−3≥0  ⟹  x≥1,52x - 3 \geq 0 \implies x \geq 1,5 olmalıdır.
Bir mutlak değerli ifadenin sonucu negatif bir sayıya eşit olamaz.
3
Mutlak değerli denklemi iki ayrı durumda inceleyerek çözün.
Birinci durum: 24−x=2x−3  ⟹  3x=27  ⟹  x=924 - x = 2x - 3 \implies 3x = 27 \implies x = 9. İkinci durum: 24−x=−(2x−3)  ⟹  24−x=−2x+3  ⟹  x=−2124 - x = -(2x - 3) \implies 24 - x = -2x + 3 \implies x = -21.
Mutlak değerin içi ya sağdaki ifadeye ya da onun ters işaretlisine eşittir.
4
Elde edilen köklerin tanımlı olma koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=9x = 9 değeri x≥1,5x \geq 1,5 koşulunu sağlarken, x=−21x = -21 değeri bu koşulu sağlamaz ve elenir.
x=−21x = -21 için 2x−3=2(−21)−3=−45<02x - 3 = 2(-21) - 3 = -45 < 0 olmaktadır ve mutlak değer negatif bir sayıya eşit olamaz.
5
Koşulu sağlayan farklı sıcaklık değerlerinin toplamını bulun.
Toplam değer 9 olarak bulunur.
Tek geçerli kök x=9x = 9 olduğu için toplam da 9'dur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir denklemin çözüm kümesi bulunurken, mutlak değerin eşit olduğu ifadenin negatif olamayacağı koşulu göz önünde bulundurulmalıdır.
Soru 232Soru →

Bir hava sıcaklığı ölçümünde, ölçülen sıcaklık değerinin −4∘C-4^\circ\text{C} değerine olan uzaklığı 6∘C6^\circ\text{C} olarak belirlenmiştir.

Ölçülen sıcaklık sıfırın altında bir değer olduğuna göre, bu sıcaklık kaç ∘C\circ\text{C}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Sıcaklığın sıfırın altında olduğu belirtildiği için elde edilen köklerden negatif olan −10-10 değeri doğru cevaptır.
Uzaklık tanımından elde edilen ∣x+4∣=6|x + 4| = 6 denkleminin kökleri 22 ve −10-10 olup, sıcaklığın sıfırın altında olduğu koşulundan dolayı doğru değer −10-10 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Ölçülen sıcaklığı xx olarak tanımlayıp −4∘C-4^\circ\text{C}'ye olan uzaklık denklemini yazmak.
∣x−(−4)∣=∣x+4∣=6|x - (-4)| = |x + 4| = 6
Bir sayının başka bir sayıya uzaklığı, bu iki sayının farkının mutlak değeriyle ifade edilir.
2
Mutlak değerli denklemi iki durum için çözmek.
x+4=6⇒x=2x + 4 = 6 \Rightarrow x = 2 veya x+4=−6⇒x=−10x + 4 = -6 \Rightarrow x = -10
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşitse, içi bu sayının kendisine veya negatiflisine eşittir.
3
Sıfırın altında olma koşulunu kontrol etmek.
x<0⇒x=−10x < 0 \Rightarrow x = -10
Ölçülen sıcaklığın sıfırın altında (negatif) olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı mutlak değer ile ifade edilir. ∣x−a∣=b|x - a| = b denklemi x−a=bx - a = b veya x−a=−bx - a = -b durumları incelenerek çözülür.
Soru 233Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x+2)+22≤7x+a−52+x−1 \frac{a(x + 2) + 2}{2} \leq \frac{7x + a - 5}{2} + x - 1
eşitsizliği veriliyor.

Bu eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin boş küme olmadığı ve bu eşitsizliği sağlayan en küçük xx tam sayı değerinin 33 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aa parametresinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (3,92](3, \frac{9}{2}]

Cevap

Eşitsizliği sağlayan aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı (3,92](3, \frac{9}{2}] yarı açık aralığıdır.
Doğru olan seçenek, eşitsizliğin çözüm kümesini alttan sınırlı yapan a<9a < 9 koşulu altında en küçük tam sayı çözümünün 3 olmasını sağlayan sınır değer aralığını tam olarak (3,92](3, \frac{9}{2}] şeklinde ifade eder. a=92a = \frac{9}{2} iken sınır değer tam olarak 3 olur ve en küçük tam sayı çözüm koşulu sağlanır; ancak a=3a = 3 iken sınır değer 2 olacağından en küçük çözüm 2 olur ve koşul sağlanmaz.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği düzenleyerek xx terimlerini bir araya getirelim.
Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarptığımızda:
a(x+2)+2≤7x+a−5+2(x−1) a(x + 2) + 2 \leq 7x + a - 5 + 2(x - 1)
ax+2a+2≤7x+a−5+2x−2 a x + 2a + 2 \leq 7x + a - 5 + 2x - 2
ax+2a+2≤9x+a−7 a x + 2a + 2 \leq 9x + a - 7
xx içeren terimleri sol tarafa, diğer sabitleri sağ tarafa toplarsak:
(a−9)x≤−a−9 (a - 9)x \leq -a - 9
Her iki tarafı −1-1 ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir:
(9−a)x≥a+9 (9 - a)x \geq a + 9
Eşitsizliği sadeleştirerek xx katsayısını ve sabit terimi belirlemek için bu düzenleme gereklidir.
2
Eşitsizliğin en küçük tam sayı çözümünün var olabilmesi için 9−a9-a katsayısının işaretini analiz edelim.
En küçük tam sayı çözümünün var olabilmesi için çözüm kümesinin alttan sınırlı olması, yani x≥kx \geq k şeklinde olması gerekir.
- Eğer 9−a<0  ⟹  a>99 - a < 0 \implies a > 9 olursa, her iki tarafı negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirir ve x≤a+99−ax \leq \frac{a+9}{9-a} olur. Bu durumda çözüm kümesi üstten sınırlı olacağından en küçük tam sayı değeri bulunamaz.
- Eğer 9−a=0  ⟹  a=99 - a = 0 \implies a = 9 olursa, 0≥180 \geq 18 çelişkisi elde edilir ve çözüm kümesi boş küme olur.
Dolayısıyla, çözüm kümesinin alttan sınırlı olması için 9−a>0  ⟹  a<99 - a > 0 \implies a < 9 olmalıdır. Bu koşul altında her iki tarafı pozitif olan 9−a9-a değerine böldüğümüzde yön değişmez:
x≥a+99−a x \geq \frac{a + 9}{9 - a}
Çözüm kümesinin sınır tipini (alttan veya üstten sınırlı) katsayının işaretine göre belirlemek gerekir.
3
Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değerinin 3 olması koşulunu sınır değerine uygulayalım.
x≥a+99−ax \geq \frac{a + 9}{9 - a} eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayının 3 olması için sınır değerinin 2 ile 3 arasında olması gerekir:
2<a+99−a≤3 2 < \frac{a + 9}{9 - a} \leq 3
Burada sınır değeri 2 olursa (x≥2x \geq 2), en küçük tam sayı çözümü 2 olacağından 2 dahil edilmemiştir. Sınır değeri 3 olursa (x≥3x \geq 3), en küçük tam sayı çözümü 3 olacağından 3 dahil edilmiştir.
Çözüm kümesindeki en küçük tam sayının tam olarak 3 olmasını sağlayan reel sayı sınırlarını belirlemek için bu aralık kurulur.
4
Elde edilen rasyonel eşitsizlik sistemini a<9a < 9 (yani 9−a>09 - a > 0) koşulu altında çözelim.
Her tarafı pozitif olan 9−a9 - a ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmez:
2(9−a)<a+9≤3(9−a) 2(9 - a) < a + 9 \leq 3(9 - a)
18−2a<a+9≤27−3a 18 - 2a < a + 9 \leq 27 - 3a
Sistemi iki parçaya ayırarak çözelim:
1) 18−2a<a+9  ⟹  9<3a  ⟹  a>318 - 2a < a + 9 \implies 9 < 3a \implies a > 3
2) a+9≤27−3a  ⟹  4a≤18  ⟹  a≤92a + 9 \leq 27 - 3a \implies 4a \leq 18 \implies a \leq \frac{9}{2}
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, a<9a < 9 şartını da sağlayan en geniş aralık:
3<a≤92 3 < a \leq \frac{9}{2}
olarak bulunur.
aa parametresinin alabileceği değerlerin sınırlarını ve doğru aralık gösterimini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli parametrik eşitsizliklerin çözümü, yön değiştirme kuralları ve sınır değer analizi.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerdeki sınır değerleri asıl eşitsizlikte yerine yazılarak deneme yapılabilir. Örneğin, a=3a = 3 için eşitsizlik çözüldüğünde x≥2x \geq 2 elde edilir ve en küçük tam sayı çözümü 2 olur; bu durum a=3a = 3 değerinin çözüm aralığında bulunmaması gerektiğini (a>3a > 3) gösterir. a=4a = 4 için x≥2,6x \geq 2,6 elde edilir ve en küçük tam sayı çözümü 3 olur; bu durum 4 değerinin aralıkta bulunması gerektiğini doğrular. Bu şekilde uç noktalar test edilerek doğru seçeneğe ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 234Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ∣x2−4x∣=∣x−4∣|x^2 - 4x| = |x - 4| denkleminin çözüm kümesi 3 elemanlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur; çünkü verilen denklemin çözüm kümesi {−1,1,4}\{-1, 1, 4\} olmak üzere tam olarak 3 elemandan oluşmaktadır.
İfadenin doğru olmasının nedeni, denklemi sağlayan köklerin x = 4, x = 1 ve x = -1 olmak üzere 3 tane olması ve çözüm kümesinin 3 elemanlı olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki yanındaki mutlak değerli ifadeleri çarpanlarına ayırarak ortak terimi belirleyin.
∣x(x−4)∣=∣x−4∣⇒∣x∣⋅∣x−4∣=∣x−4∣|x(x-4)| = |x-4| \Rightarrow |x| \cdot |x-4| = |x-4|
Ortak bir çarpan elde ederek denklemi daha basit hale getirmek.
2
Ortak çarpan olan ∣x−4∣|x-4| ifadesini sıfır yapan değeri inceleyin.
x−4=0⇒x=4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 kökü bulunur.
Her iki tarafı sadeleştirmeden önce, sadeleştirilecek terimin sıfır olma durumu denklemin bir kökünü verir.
3
x≠4x \neq 4 için her iki tarafı ∣x−4∣|x-4| ile sadeleştirerek kalan denklemi çözün.
∣x∣=1⇒x=1|x| = 1 \Rightarrow x = 1 veya x=−1x = -1
Sıfırdan farklı ortak terimler sadeleştirilerek bilinmeyen diğer kökler tespit edilir.
4
Bulunan tüm kökleri bir araya getirerek çözüm kümesini yazın.
Çözüm kümesi {−1,1,4}\{-1, 1, 4\} olup eleman sayısı 3'tür.
Denklemi sağlayan tüm gerçek sayı değerlerinin kümesini belirlemek.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yaparken kök kaybetmeme kuralı.

Alternatif Yöntem

Denklemin her iki tarafının karesi alınarak da çözüme ulaşılabilir: (x2−4x)2=(x−4)2⇒[x(x−4)]2−(x−4)2=0⇒(x−4)2(x2−1)=0(x^2 - 4x)^2 = (x - 4)^2 \Rightarrow [x(x-4)]^2 - (x-4)^2 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 (x^2 - 1) = 0. Buradan (x−4)2=0⇒x=4(x-4)^2 = 0 \Rightarrow x=4 ve x2−1=0⇒x=1x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x=1 veya x=−1x=-1 elde edilir. Bu yöntem mutlak değerlerin dışarı nasıl çıkacağını düşünme zorunluluğunu ortadan kaldırır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 235Soru →

Bir laboratuvardaki kimyasal sıvının sıcaklığı t∘Ct^\circ\text{C} olarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık değerinin 3∘C3^\circ\text{C} değerine olan uzaklığı 5∘C5^\circ\text{C} olduğuna göre, tt değişkeninin alabileceği farklı doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Farklı doğal sayı değerlerinin toplamı 8'dir
Kimyasal sıvının sıcaklığı tt olmak üzere, bu değerin 33 değerine olan uzaklığı ∣t−3∣|t - 3| olarak ifade edilir. Bu uzaklık 55 birim olduğundan ∣t−3∣=5|t - 3| = 5 denklemi elde edilir. Mutlak değer tanımından, t−3=5t - 3 = 5 veya t−3=−5t - 3 = -5 olmalıdır. Buradan kökler sırasıyla t=8t = 8 ve t=−2t = -2 olarak bulunur. tt değişkeninin bir doğal sayı olması gerektiği belirtildiğinden, negatif bir sayı olan −2-2 elenir. Bu durumda denklemi sağlayan tek doğal sayı değeri 88 olup, bu değerlerin toplamı da 88'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Sıcaklık değerinin 3∘C3^\circ\text{C} değerine olan uzaklığını mutlak değerli denklem olarak ifade etme
∣t−3∣=5|t - 3| = 5
Bir sayının diğer bir sayıya uzaklığı, bu iki sayının farkının mutlak değeri alınarak hesaplanır.
2
Mutlak değerli denklemin köklerini bulmak için iki farklı durum olarak çözme
t−3=5⇒t=8t - 3 = 5 \Rightarrow t = 8 ve t−3=−5⇒t=−2t - 3 = -5 \Rightarrow t = -2
Mutlak değer içerisindeki ifade, dışarıdaki pozitif değerin kendisine veya negatifine eşit olabilir.
3
Bulunan değerlerin doğal sayı olma koşulunu sağlama durumunu inceleme
88 sayısı doğal sayılar kümesinin bir elemanıdır (8∈N8 \in \mathbb{N}), ancak −2-2 sayısı bir doğal sayı değildir (−2∉N-2 \notin \mathbb{N})
Soruda sıvı sıcaklığı tt'nin doğal sayı değerlerinin toplamı istenmiştir.
4
Koşulu sağlayan doğal sayı değerlerinin toplamını hesaplama
Toplam =8= 8
Koşulu sağlayan tek bir doğal sayı kökü bulunduğundan, toplamın değeri de doğrudan bu köke eşittir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 236Soru →

Bir GSM operatörüne ait A ve B konuşma paketlerinin aylık ücretlendirme detayları aşağıda verilmiştir:

* A Paketi: Aylık sabit ücret 30 TL30\text{ TL} ve konuşulan her bir dakika için 0,4 TL0,4\text{ TL} kullanım ücreti.
* B Paketi: Aylık sabit ücret x TLx\text{ TL} (burada xx bir tam sayıdır) ve konuşulan her bir dakika için 0,6 TL0,6\text{ TL} kullanım ücreti.

Bir ay boyunca 120120 dakikadan fazla konuşan bir abonenin ödeyeceği fatura tutarının, A paketini tercih etmesi durumunda B paketine göre her zaman daha az olduğu bilinmektedir.

Buna göre, B paketinin aylık sabit ücreti olan xx değerinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

B paketinin aylık sabit ücreti olan xx değerinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 6'dır.
A paketinin maliyetinin B paketinin maliyetinden her zaman daha düşük olması koşulu 30+0,4m<x+0,6m30 + 0,4m < x + 0,6m şeklinde ifade edilir. Bu eşitsizlik mm yalnız bırakılarak çözüldüğünde m>150−5xm > 150 - 5x elde edilir. Bu durumun m>120m > 120 koşulunu sağlayan her dakika için geçerli olması için başlangıç noktası olan 150−5x150 - 5x sınır değerinin 120120'den küçük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen 150−5x≤120150 - 5x \leq 120 eşitsizliği çözülürken, negatif katsayıya bölme yapıldığından yön değiştirme kuralı uygulanır ve x≥6x \geq 6 bulunur. Dolayısıyla xx tam sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Fatura tutarlarını veren cebirsel ifadelerin yazılması.
Konuşulan süre mm dakika (m>120m > 120) olmak üzere;
A paketinin faturası: 30+0,4m30 + 0,4m
B paketinin faturası: x+0,6mx + 0,6m
Müşterinin ödeyeceği fatura tutarlarını süreye bağlı olarak ifade etmek gerekir.
2
A paketinin daha ekonomik olmasını belirten eşitsizliğin kurulması.
30+0,4m<x+0,6m30 + 0,4m < x + 0,6m
A paketinin faturasının, B paketinin faturasından her zaman daha az olması istenmektedir.
3
Eşitsizliğin mm değişkenine göre çözülmesi.
30−x<0,6m−0,4m30 - x < 0,6m - 0,4m
30−x<0,2m30 - x < 0,2m
30−x0,2<m\frac{30 - x}{0,2} < m
5(30−x)<m5(30 - x) < m
m>150−5xm > 150 - 5x
mm değişkeninin hangi aralıkta olması gerektiğini belirleyerek verilen konuşma süresi şartıyla karşılaştırmak gerekir.
4
m>120m > 120 şartı ile eşitsizlik çözüm kümesinin karşılaştırılması.
150−5x≤120150 - 5x \leq 120
m>120m > 120 koşulunu sağlayan her mm değerinin m>150−5xm > 150 - 5x eşitsizliğini de sağlaması için (120,∞)(120, \infty) aralığı (150−5x,∞)(150 - 5x, \infty) aralığının bir alt kümesi olmalıdır.
5
Eşitsizliğin çözülmesi ve yön değiştirme kuralının uygulanması.
−5x≤−30-5x \leq -30
Eşitsizliğin her iki tarafı −5-5'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir:
x≥6x \geq 6
Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığı için eşitsizlik sembolü yön değiştirir. Buradan xx tam sayısının en küçük değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik sembolünün yön değiştirmesi ve parametrik sınır analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 237Soru →

Bir teknoloji firmasının ürettiği bir yazılımın xx adet lisansının toplam üretim maliyeti C(x)C(x) TL, bu lisansların satışından elde edilen toplam gelir ise R(x)R(x) TL'dir.

aa bir gerçel sayı olmak üzere,
C(x)=(3a−12)x+150C(x) = (3a - 12)x + 150
R(x)=(a+8)x+30R(x) = (a + 8)x + 30

olarak modellenmiştir. Lisans başına düşen üretim maliyeti katsayısı ve lisans başına düşen satış fiyatı katsayısı pozitif birer gerçel sayıdır.

Bu firmanın yazılım satışından kâr elde edebilmesi (toplam gelirin toplam üretim maliyetinden fazla olması) için 20'den fazla lisans satmasının yeterli olduğu bilindiğine göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

a parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 18'dir.
Kâr elde etme koşulu olan R(x)>C(x)R(x) > C(x) eşitsizliği çözüldüğünde (20−2a)x>120(20-2a)x > 120 elde edilir. Bu eşitsizliğin x≥21x \ge 21 aralığında sağlanabilmesi için 20−2a>020-2a > 0 (yani a<10a < 10) olmalı ve x>6010−ax > \frac{60}{10-a} eşitsizliğinde en küçük değer olan 2121 bu koşulu sağlamalıdır. Buradan 21>6010−a  ⟹  a<507≈7,1421 > \frac{60}{10-a} \implies a < \frac{50}{7} \approx 7,14 bulunur. Katsayıların pozitiflik şartından gelen a>4a > 4 sınırı ile birleştirildiğinde 4<a<7,144 < a < 7,14 aralığındaki aa tam sayıları 5,6,75, 6, 7 olup toplamları 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayıların pozitif olma koşullarını belirleme
a>4a > 4
Lisans başına düşen üretim maliyeti katsayısı (3a−123a-12) ve satış fiyatı katsayısı (a+8a+8) pozitif olmalıdır.
2
Kâr eşitsizliğini oluşturma
(20−2a)x>120(20-2a)x > 120
Kâr elde etmek için toplam gelirin (R(x)R(x)), toplam maliyetten (C(x)C(x)) büyük olması gerekir.
3
x katsayısının işaretini analiz etme
20−2a>0  ⟹  a<1020-2a > 0 \implies a < 10
Pozitif xx değerleri için eşitsizliğin sağlanabilmesi amacıyla xx'in katsayısı pozitif olmalıdır. Negatif veya sıfır olması durumunda eşitsizlik sağlanamaz.
4
Eşitsizliği x yalnız kalacak şekilde çözme
x>6010−ax > \frac{60}{10-a}
20−2a>020-2a > 0 olduğundan bölme işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
5
20'den fazla lisans satışı (x≥21x \ge 21) şartını uygulama
a<507a < \frac{50}{7}
x≥21x \ge 21 olan tüm tam sayıların eşitsizliği sağlaması için en küçük sınır olan 2121'in eşitsizliği sağlaması (21>6010−a21 > \frac{60}{10-a}) gerekir.
6
a tam sayı değerlerini bulma ve toplama
5, 6, 7 tam sayılarının toplamı 18'dir.
4<a<7,144 < a < 7,14 aralığındaki tam sayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde değişkenlerin katsayılarının işaretine göre eşitsizlik yönünün incelenmesi ve çözüm kümesi sınırlarının analizi.
Soru 238Soru →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x−2)<b(3−x) a(x - 2) < b(3 - x)
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (5,∞)(5, \infty) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a>0a > 0 ve 3a+2b=03a + 2b = 0

Cevap

a>0a > 0 ve 3a+2b=03a + 2b = 0 ifadelerinin birlikte sağlandığı durumdur.
Verilen eşitsizlik düzenlendiğinde (a+b)x<2a+3b(a + b)x < 2a + 3b elde edilir. Çözüm kümesi (5,∞)(5, \infty) yani x>5x > 5 olduğuna göre, eşitsizlik yön değiştirmiştir. Bu durum a+b<0a + b < 0 olmasını gerektirir. Her iki taraf a+ba + b ile bölündüğünde x>2a+3ba+bx > \frac{2a + 3b}{a + b} olur. Sınır değer eşitliğinden 2a+3ba+b=5\frac{2a + 3b}{a + b} = 5 yazılarak 3a+2b=03a + 2b = 0 bağıntısına ulaşılır. Buradan b=−32ab = -\frac{3}{2}a elde edilir. Bu değer a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinde yerine yazıldığında −12a<0-\frac{1}{2}a < 0 yani a>0a > 0 sonucuna varılır. Bu nedenle doğru seçenek a>0a > 0 ve 3a+2b=03a + 2b = 0 ifadelerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki parantezleri açarak düzenleyelim.
ax−2a<3b−bxax - 2a < 3b - bx
Değişkenleri ve sabitleri gruplandırabilmek için öncelikle parantezleri açmalıyız.
2
xx içeren terimleri sol tarafta, sabit terimleri ise sağ tarafta toplayalım.
ax+bx<2a+3b  ⟹  (a+b)x<2a+3bax + bx < 2a + 3b \implies (a + b)x < 2a + 3b
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik çözümlerinde bilinmeyeni yalnız bırakmak için terimleri gruplandırırız.
3
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin (5,∞)(5, \infty) yani x>5x > 5 olduğunu değerlendirelim.
Başlangıçtaki << sembolünün >> sembolüne dönüşmesi, xx'in katsayısı olan a+ba + b ifadesinin negatif olduğunu gösterir: a+b<0a + b < 0.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
4
Eşitsizliğin her iki tarafını a+ba + b değerine bölerek xx'i yalnız bırakalım ve yönü değiştirelim.
x>2a+3ba+bx > \frac{2a + 3b}{a + b}
a+b<0a + b < 0 olduğundan bölme işlemi sonucunda yön << iken >> olur.
5
Elde ettiğimiz sınır değerini verilen çözüm kümesinin sınırı olan 5 değerine eşitleyelim.
2a+3ba+b=5  ⟹  2a+3b=5(a+b)  ⟹  2a+3b=5a+5b  ⟹  3a+2b=0\frac{2a + 3b}{a + b} = 5 \implies 2a + 3b = 5(a + b) \implies 2a + 3b = 5a + 5b \implies 3a + 2b = 0
Çözüm kümesinin alt sınırı olan 5 sayısı, eşitsizlik sınır değerine eşit olmalıdır.
6
a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinde bb yerine −32a-\frac{3}{2}a yazarak aa'nın işaretini belirleyelim.
a−32a<0  ⟹  −12a<0  ⟹  a>0a - \frac{3}{2}a < 0 \implies -\frac{1}{2}a < 0 \implies a > 0
Bulduğumuz bağıntıyı katsayı toplamının negatif olması koşuluyla birleştirerek parametrelerin işaretini kesinleştiririz.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 239Soru →

Sayı doğrusu üzerinde 22 noktasına olan uzaklığı, −4-4 noktasına olan uzaklığına eşit olan yalnızca bir xx gerçek sayısı vardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Sayı doğrusu üzerinde verilen iki noktaya eşit uzaklıkta olan yalnızca bir gerçek sayı vardır ve bu ifade doğrudur.
Sayı doğrusu üzerinde 22 ve −4-4 noktalarına eşit uzaklıktaki tek nokta bu iki noktanın aritmetik ortalaması olan −1-1 noktasıdır. Dolayısıyla bu koşulu sağlayan yalnızca bir gerçek sayı vardır ifadesi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi mutlak değerli denklem biçiminde yazın.
∣x−2∣=∣x−(−4)∣|x - 2| = |x - (-4)| yani ∣x−2∣=∣x+4∣|x - 2| = |x + 4| denklemi elde edilir.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların farkının mutlak değeri ile bulunur.
2
Elde edilen mutlak değerli denklemi çözün.
x−2=x+4x - 2 = x + 4 (çözüm yok) veya x−2=−(x+4)⇒2x=−2⇒x=−1x - 2 = -(x + 4) \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1 bulunur.
İki mutlak değerli ifadenin eşitliğinde ifadeler ya birbirine eşittir ya da biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
3
Bulunan çözümün doğruluğunu kontrol edin.
x=−1x = -1 için ∣−1−2∣=∣−3∣=3|-1 - 2| = |-3| = 3 ve ∣−1+4∣=∣3∣=3|-1 + 4| = |3| = 3 olup eşitlik sağlanır. Çözüm kümesi {−1}\{-1\} tek elemanlıdır.
Bulunan kökün denklemi sağlayıp sağlamadığını ve çözüm kümesinin eleman sayısını doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklık mutlak değerle ifade edilir. ∣x−a∣=∣x−b∣|x - a| = |x - b| denkleminin çözüm kümesi, bu iki noktanın orta noktası olan tek bir elemandan oluşur.
Soru 240Soru →

Bir şehirdeki anlık sıcaklık değeri TT santigrat derece bir tam sayıdır. Bu sıcaklık değerinin 5∘C5^\circ\text{C} ve −3∘C-3^\circ\text{C} değerlerine olan uzaklıklarının çarpımı 9∘C9^\circ\text{C}'ye eşittir.

Buna göre, bu şehrin sıcaklığının alabileceği farklı TT tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Sıcaklığın alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 2'dir.
Sıcaklığın alabileceği tam sayı değerleri 6 ve -4 olup, bu iki değerin toplamı 2'dir. İkinci durumdan gelen irrasyonel kökler tam sayı olmadığından çözüme dahil edilmez.

Adım Adım Çözüm

1
Sıcaklık değeri TT için verilen uzaklık ifadesini mutlak değerli denklem olarak yazın.
∣T−5∣⋅∣T−(−3)∣=9  ⟹  ∣(T−5)(T+3)∣=9|T - 5| \cdot |T - (-3)| = 9 \implies |(T - 5)(T + 3)| = 9
Bir xx sayısının yy sayısına olan uzaklığı ∣x−y∣|x - y| mutlak değer ifadesiyle temsil edilir.
2
Mutlak değer tanımını kullanarak denklemi iki farklı duruma ayırın.
1. Durum: (T−5)(T+3)=9(T - 5)(T + 3) = 9 veya 2. Durum: (T−5)(T+3)=−9(T - 5)(T + 3) = -9
∣A∣=9|A| = 9 ise A=9A = 9 veya A=−9A = -9 olmalıdır.
3
1. Durumdaki ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve köklerini bulun.
T2−2T−15=9  ⟹  T2−2T−24=0  ⟹  (T−6)(T+4)=0  ⟹  T=6T^2 - 2T - 15 = 9 \implies T^2 - 2T - 24 = 0 \implies (T - 6)(T + 4) = 0 \implies T = 6 veya T=−4T = -4.
Denklemin çarpanlarına ayrılmasıyla elde edilen 66 ve −4-4 değerleri birer tam sayıdır ve koşulu sağlar.
4
2. Durumdaki ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve köklerini kontrol edin.
T2−2T−15=−9  ⟹  T2−2T−6=0T^2 - 2T - 15 = -9 \implies T^2 - 2T - 6 = 0. Bu denklemin diskriminantı Δ=(−2)2−4(1)(−6)=28>0\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 28 > 0 olup kökleri T=1±7T = 1 \pm \sqrt{7}'dir.
Bu kökler irrasyonel sayılardır ve tam sayı değildir. Soruda TT'nin tam sayı olduğu belirtildiğinden bu kökler çözüm kümesine dahil edilmez.
5
Elde edilen tam sayı TT değerlerini toplayın.
6+(−4)=26 + (-4) = 2
Sıcaklığın alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümü ve sayı kümelerinin sınırlandırılması

Alternatif Yöntem

Denklemi ∣(T−5)(T+3)∣=9  ⟹  ∣T2−2T−15∣=9|(T - 5)(T + 3)| = 9 \implies |T^2 - 2T - 15| = 9 şeklinde tek bir mutlak değer altında birleştirerek T2−2T−15=9T^2 - 2T - 15 = 9 veya T2−2T−15=−9T^2 - 2T - 15 = -9 ikinci dereceden denklemlerini ayrı ayrı çözebiliriz.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 12 / 19Sonraki
Denklem ve Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 12 | Examkin