Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 soru

Tüm türler376Çoktan seçmeli189Doğru / Yanlış46Sayısal122Sıralama19
Soru 41Soru →

Bir su deposunun içinde başlangıçta belirli bir miktar su bulunmaktadır. Bu depoyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu depoya 3030 litre su eklenirse depodaki suyun hacmi, deponun boş kısmının hacminin 33 katı olmaktadır.
* Eğer depodan 1010 litre su boşaltılırsa deponun boş kısmının hacmi, depodaki suyun hacminin 22 katı olmaktadır.

Başlangıçta depodaki su miktarının litre cinsinden bir pozitif tam sayı olduğu bilindiğine göre, bu miktar kaç litredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Başlangıçta depoda bulunan su miktarı 42 litredir.
İkinci durumdan hareketle deponun kapasitesi 3x−303x - 30 olarak bulunur. Birinci durumda su miktarı x+30x+30 ve boş kısım 2x−602x-60 olur. Kurulan x+30=3(2x−60)x + 30 = 3(2x - 60) denklemi çözüldüğünde x=42x = 42 elde edilir. Bu değer bir pozitif tam sayıdır ve koşulları sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve deponun toplam kapasitesinin ifade edilmesi.
Başlangıçtaki su miktarına xx litre diyelim. İkinci durumda depodan 1010 litre su boşaltıldığında depodaki su miktarı x−10x - 10 litre olur. Bu durumda boş kısmın hacmi, dolu kısmın 22 katı olduğuna göre boş kısım 2(x−10)2(x - 10) litredir. Deponun toplam kapasitesi (VV), dolu ve boş kısımların toplamı olacağından V=(x−10)+2(x−10)=3(x−10)=3x−30V = (x - 10) + 2(x - 10) = 3(x - 10) = 3x - 30 litre olarak bulunur.
Deponun toplam kapasitesini tek bir değişken (xx) cinsinden ifade ederek tek bilinmeyenli bir denklem kurabilmek için.
2
Birinci durum için denklemin kurulması.
Birinci durumda depoya 3030 litre su eklendiğinde depodaki su miktarı x+30x + 30 litre olur. Bu durumda deponun boş kısmının hacmi, toplam kapasiteden yeni su miktarının çıkarılmasıyla bulunur: (3x−30)−(x+30)=2x−60(3x - 30) - (x + 30) = 2x - 60 litre. Soruda verilen bilgiye göre depodaki suyun hacmi, boş kısmın 33 katı olmalıd��r: x+30=3(2x−60)x + 30 = 3(2x - 60).
Soruda verilen birinci durum ilişkisini kullanarak çözülebilir birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde etmek için.
3
Denklemin çözülmesi.
x+30=3(2x−60)⇒x+30=6x−180⇒5x=210⇒x=42x + 30 = 3(2x - 60) \Rightarrow x + 30 = 6x - 180 \Rightarrow 5x = 210 \Rightarrow x = 42 bulunur. Bulunan 4242 değeri bir pozitif tam sayı olduğundan sorudaki sayı kümesi koşulunu da sağlar.
Bilinmeyen xx değerini yalnız bırakarak başlangıçtaki su miktarını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sözel bir senaryodan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve bu denklemi cebirsel kurallara uygun olarak çözme.

Alternatif Yöntem

Denklemi kurmak yerine seçeneklerdeki değerler denenebilir. Örneğin başlangıçta 42 litre su varsa: 10 litre boşaltıldığında 32 litre kalır, boş kısım 64 litre olur ve toplam kapasite 96 litre bulunur. 30 litre eklendiğinde ise su 72 litre olur, boş kısım 24 litre kalır. 72, 24'ün 3 katı olduğundan 42 litrelik değer doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 42Soru →
a, b ve c sıfırdan farklı gerçel sayıları için,
∣a∣<b|a| < b
∣b∣<−c|b| < -c
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∣a+c∣−∣b+c∣a−b\frac{|a + c| - |b + c|}{a - b}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1 değeri
Doğru cevap olan -1 değerine ulaşmak için değişkenlerin işaret analizi doğru yapılmalıdır. ∣a∣<b|a| < b ifadesinden b>0b > 0 ve ∣b∣<−c|b| < -c ifadesinden c<0c < 0 olduğu bulunur. b<−cb < -c eşitsizliğinden b+c<0b + c < 0 ve a<ba < b ile c<−bc < -b eşitsizliklerinin toplamından a+c<0a + c < 0 elde edilir. Negatif olan bu ifadeler mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkarıldığında pay kısmı b - a olur. Payda ise a - b olduğundan oran -1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk eşitsizlikten yola çıkarak b sayısının işaretini ve sınırlarını belirleme.
∣a∣<b|a| < b eşitsizliğinde mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağından b>0b > 0 olmalıdır. Buradan −b<a<b-b < a < b elde edilir.
Mutlak değerin tanımı gere��i, bir mutlak değerden büyük olan herhangi bir sayı pozitif olmak zorundadır.
2
İkinci eşitsizlikten yola çıkarak c sayısının işaretini ve b ile c arasındaki ilişkiyi belirleme.
∣b∣<−c|b| < -c eşitsizliğinden −c>0-c > 0 yani c<0c < 0 elde edilir. Bu eşitsizlik açıldığında −(−c)<b<−c-(-c) < b < -c yani c<b<−cc < b < -c elde edilir.
Mutlak değerin tanımı ve eşitsizlik özellikleri kullanılarak c'nin işareti ve sınırları bulunur.
3
Mutlak değerlerin içerisindeki ifadelerin işaretlerini analiz etme.
a<ba < b olduğundan a−b<0a - b < 0 olur. b<−cb < -c olduğundan b+c<0b + c < 0 olur. a<ba < b ve c<−bc < -b eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa a+c<0a + c < 0 elde edilir.
Mutlak değerlerin dışına çıkarma kurallarını uygulayabilmek için mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek gerekir.
4
Mutlak değerli ifadeleri dışarı çıkarma ve rasyonel ifadeyi sadeleştirme.
a+c<0a+c < 0 olduğundan ∣a+c∣=−(a+c)=−a−c|a + c| = -(a + c) = -a - c olur. b+c<0b+c < 0 olduğundan ∣b+c∣=−(b+c)=−b−c|b + c| = -(b + c) = -b - c olur. İfadeleri yerine yazarsak:
(−a−c)−(−b−c)a−b=−a−c+b+ca−b=b−aa−b=−1\frac{(-a - c) - (-b - c)}{a - b} = \frac{-a - c + b + c}{a - b} = \frac{b - a}{a - b} = -1
elde edilir.
İşaretlerine göre mutlak değer dışına çıkarılan ifadeler pay kısmında yerine yazılarak cebirsel sadeleştirme tamamlanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin özellikleri, mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaretlerine göre dışarı çıkarılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 43Soru →

Bir hibrit otomobil, bataryası tamamen doluyken sadece elektrik motoruyla, bataryası boşaldığında ise sadece benzinli motoruyla hareket etmektedir. Bu aracın elektrik motoruyla gittiği her 11 kilometre için enerji maliyeti 1,51,5 TL, benzinli motoruyla gittiği her 11 kilometre için ise 3,23,2 TL'dir. Bu araçla bataryası tam doluyken yola çıkan bir sürücü, yolculuk boyunca kilometre cinsinden birer tam sayı olan mesafeleri elektrikli ve benzinli motorlarla katetmiştir. Yolculuk sonunda toplam 120120 kilometre yol giden aracın toplam enerji maliyeti 248248 TL olduğuna göre, bu araç benzinli motoruyla kaç kilometre yol gitmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Araç benzinli motoruyla 4040 kilometre yol gitmiştir.
Toplam yol 120120 km olduğundan benzinli motorla gidilen yola xx km dersek, elektrikli motorla gidilen yol 120−x120 - x km olur. Buradan kurulan maliyet denklemi 3,2x+1,5(120−x)=2483,2x + 1,5(120 - x) = 248 olur. Denklem çözüldüğünde 1,7x=68⇒x=401,7x = 68 \Rightarrow x = 40 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4040'tır.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri belirleme ve değişken tanımlama
Benzinli motorla gidilen yol xx km, elektrik motoruyla gidilen yol 120−x120 - x km olarak tanımlanır.
Toplam yolun 120120 km olduğu bilgisini kullanarak değişken sayısını bire indirmek.
2
Maliyet denklemini kurma
3,2⋅x+1,5⋅(120−x)=2483,2 \cdot x + 1,5 \cdot (120 - x) = 248
Her bir motorun birim maliyetleri ile gidilen yolları çarpıp toplayarak toplam enerji maliyetine eşitlemek.
3
Denklemi çözme
3,2x+180−1,5x=248⇒1,7x=68⇒x=403,2x + 180 - 1,5x = 248 \Rightarrow 1,7x = 68 \Rightarrow x = 40
Dağılma özelliğini uygulayarak benzer terimleri birleştirmek ve bilinmeyeni yalnız bırakmak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 44Soru →

Her aa ve bb gerçel sayısı için ∣a−b∣=∣a∣−∣b∣|a - b| = |a| - |b| eşitliği yalnızca a≥b≥0a \ge b \ge 0 koşulu sağlandığında geçerlidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Verilen eşitlik yalnızca a≥b≥0a \ge b \ge 0 durumunda değil, aynı zamanda a≤b≤0a \le b \le 0 durumunda da sağlanır.
İfadenin yanlış olmasının nedeni, verilen eşitliğin negatif gerçel sayılar için de (örneğin a≤b≤0a \le b \le 0 koşulunda) geçerli olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak ifadenin sağlanma koşulunu belirleyelim.
∣a−b∣2=(∣a∣−∣b∣)2⇒a2−2ab+b2=a2−2∣ab∣+b2⇒ab=∣ab∣|a - b|^2 = (|a| - |b|)^2 \Rightarrow a^2 - 2ab + b^2 = a^2 - 2|ab| + b^2 \Rightarrow ab = |ab| elde edilir.
Mutlak değerli ifadelerin karesini almak, mutlak değer dışına çıkarmayı kolaylaştırır.
2
Eşitliğin sol tarafının tanımlı olabilmesi için sağ tarafın negatif olmaması gerektiğini kontrol edelim.
∣a∣−∣b∣≥0⇒∣a∣≥∣b∣|a| - |b| \ge 0 \Rightarrow |a| \ge |b| olmalıdır.
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu asla negatif olamaz.
3
Elde edilen ab=∣ab∣ab = |ab| ve ∣a∣≥∣b∣|a| \ge |b| koşullarını birlikte değerlendirelim.
ab≥0ab \ge 0 olmalıdır, yani aa ve bb aynı işaretli (veya en az biri sıfır) olmalıdır. ∣a∣≥∣b∣|a| \ge |b| koşuluyla birleştirildiğinde; pozitif sayılar için a≥b≥0a \ge b \ge 0 ve negatif sayılar için a≤b≤0a \le b \le 0 koşulları elde edilir.
Eşitliğin geçerli olduğu tüm durumları belirlemek için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin fark özelliği ve işaret analizine göre dışarı çıkma kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 45Soru →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a⋅b<0a \cdot b < 0
b⋅c<0b \cdot c < 0
∣a∣<∣b∣<∣c∣|a| < |b| < |c|
a+b<0a + b < 0
olduğuna göre,
∣a−b∣+∣c−b∣−∣c−a∣∣b∣+a \frac{|a - b| + |c - b| - |c - a|}{|b| + a}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin eşiti 2'dir.
Verilen öncüllerden değişkenlerin işaretleri ve sıralaması b<0<a<cb < 0 < a < c şeklinde elde edilir. Bu sıralamaya göre mutlak değerli terimler dışarı çıkarıldığında pay 2(a−b)2(a-b) ve payda a−ba-b olur. Oranlandığında sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ve toplam eşitsizliklerini kullanarak değişkenlerin işaretlerini belirleyin.
b<0b < 0, a>0a > 0 ve c>0c > 0 bulunur.
a⋅b<0a \cdot b < 0 ve b⋅c<0b \cdot c < 0 olduğundan aa ile cc aynı işaretli, bb ise bunlarla zıt işaretlidir. a+b<0a + b < 0 ve ∣a∣<∣b∣|a| < |b| bilgileri birleştirildiğinde, mutlak değerce daha büyük olan bb sayısının negatif olması gerektiği anlaşılır. Buradan b<0b < 0 ve dolayısıyla a>0a > 0, c>0c > 0 elde edilir.
2
Değişkenlerin mutlak değer büyüklüklerine göre sıralamasını oluşturun.
b<0<a<cb < 0 < a < c sıralaması elde edilir.
aa ve cc pozitif sayılardır. ∣a∣<∣c∣|a| < |c| verildiğinden, pozitif iki sayı için bu durum doğrudan a<ca < c anlamına gelir. bb negatif olduğundan en küçüktür.
3
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaretlerini inceleyerek mutlak değer dışına çıkarın.
∣a−b∣=a−b|a - b| = a - b, ∣c−b∣=c−b|c - b| = c - b, ∣c−a∣=c−a|c - a| = c - a ve ∣b∣=−b|b| = -b olur.
a>ba > b olduğundan a−b>0a - b > 0'dır ve aynen çıkar. c>bc > b olduğundan c−b>0c - b > 0'dır ve aynen çıkar. c>ac > a olduğundan c−a>0c - a > 0'dır ve aynen çıkar. b<0b < 0 olduğundan ∣b∣|b| önüne eksi alarak −b-b olarak çıkar.
4
Bulunan ifadeleri sorudaki kesirde yerine yazarak sadeleştirme işlemini yapın.
Kesrin değeri 2 olarak bulunur.
Pay kısmı: (a−b)+(c−b)−(c−a)=2a−2b=2(a−b)(a - b) + (c - b) - (c - a) = 2a - 2b = 2(a - b) olur. Payda kısmı: −b+a=a−b-b + a = a - b olur. Pay paydaya bölündüğünde 2(a−b)/(a−b)=22(a - b) / (a - b) = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer dışına çıkarma kuralları ve işaret analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 46Soru →

Bir şehirde uygulanan iki farklı taksi ücret tarifesine ilişkin bilgiler aşağıdaki gibidir:

* Birinci tarifede; açılış ücreti 30 TL30\text{ TL} olup gidilen her bir kilometre için 15 TL15\text{ TL} ücret alınmaktadır.
* İkinci tarifede; açılış ücreti alınmayıp gidilen her bir kilometre için 20 TL20\text{ TL} ücret alınmaktadır.

Bu şehirde birinci tarifeyi kullanan bir müşterinin xx kilometre yolculuk sonunda ödediği toplam ücret, aynı mesafeyi ikinci tarifeyle gitmesi durumunda ödeyeceği toplam ücretten 10 TL10\text{ TL} daha az olmaktadır.

Buna göre, müşterinin gittiği xx yol mesafesi kilometre cinsinden bir tam sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Müşterinin gittiği yol mesafesi olan 88 bir tam sayıdır, dolayısıyla önerme doğrudur.
Doğru kurulan 15x+30=20x−1015x + 30 = 20x - 10 denkleminin çözümü x=8x = 8 olup, bu değer bir tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci tarifeye göre ödenecek toplam ücreti xx değişkenine bağlı olarak ifade edin.
15x+3015x + 30
Açılış ücreti sabit olup, gidilen her kilometre için 15 TL15\text{ TL} eklenir.
2
İkinci tarifeye göre ödenecek toplam ücreti xx değişkenine bağlı olarak ifade edin.
20x20x
Açılış ücreti yoktur ve her kilometre için 20 TL20\text{ TL} alınır.
3
Birinci tarifedeki ücretin ikinci tarifedekinden 10 TL10\text{ TL} az olduğunu belirten denklemi kurun ve çözün.
15x+30=20x−10⇒5x=40⇒x=815x + 30 = 20x - 10 \Rightarrow 5x = 40 \Rightarrow x = 8
10 TL10\text{ TL} eksik olma durumu ikinci tarifeden çıkarılarak eşitlik sağlanır.
4
Bulunan x=8x = 8 değerinin sayı kümesini kontrol edin.
8∈Z8 \in \mathbb{Z} (tam sayı)
88 sayısı kesirsiz bir sayı olduğundan tam sayıdır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla problem çözme
Soru 47Soru →

Bir kargo firması, taşıma kapasiteleri kendi içlerinde eşit olan A tipi kutular ile B tipi kutuları kullanarak toplam 170 kg170\text{ kg} ağırlığındaki malzemeyi taşıyacaktır. Bu taşıma işlemiyle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Sadece A tipi kutular kullanıldığında, belirli sayıdaki kutu tamamen doldurulmakta ve geriye 10 kg10\text{ kg} malzeme kalmaktadır.
* A tipi kutulardan başlangıçta planlanan sayıdan 33 adet eksik, B tipi kutulardan ise başlangıçta planlanan A tipi kutu sayısından 22 adet fazla kullanılıp hepsi tamamen doldurulduğunda malzemenin tamamı taşınabilmektedir.
* Bir adet A tipi kutunun taşıma kapasitesi 20 kg20\text{ kg}'dır.

Buna göre, B tipi bir kutunun taşıma kapasitesinin 7 kg7\text{ kg} olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

B tipi bir kutunun taşıma kapasitesi 7 kg7\text{ kg} olarak hesaplandığı için verilen ifade doğrudur.
Başlangıçta planlanan A tipi kutu sayısı xx olsun. İlk durumdan 20x+10=170  ⟹  x=820x + 10 = 170 \implies x = 8 bulunur. İkinci durumda kullanılan A tipi kutu sayısı 8−3=58 - 3 = 5 ve B tipi kutu sayısı 8+2=108 + 2 = 10 olur. B tipi kutunun kapasitesi yy ise, 5⋅20+10y=170  ⟹  10y=70  ⟹  y=7 kg5 \cdot 20 + 10y = 170 \implies 10y = 70 \implies y = 7\text{ kg} bulunur. Bu durumda ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki bilgiler kullanılarak planlanan A tipi kutu sayısını veren denklemi kurma.
Planlanan A tipi kutu sayısı xx olsun. 20x+10=17020x + 10 = 170 denklemi elde edilir.
Sadece A tipi kutular kullanıldığında kalan miktar ile kutuların taşıdığı toplam miktarın toplamı toplam ağırlığa eşit olmalıdır.
2
Kurulan birinci dereceden denklemi çözerek planlanan A tipi kutu sayısını bulma.
20x=160  ⟹  x=820x = 160 \implies x = 8 olarak bulunur.
İkinci durumdaki kutu sayılarını belirlemek için başlangıçta planlanan kutu sayısının bilinmesi gerekir.
3
İkinci durum için denklem kurup B tipi kutunun kapasitesini hesaplama.
Kullanılan A tipi kutu sayısı 8−3=58 - 3 = 5, B tipi kutu sayısı 8+2=108 + 2 = 10 olur. B tipi kutunun kapasitesi yy olsun. 5⋅20+10y=170  ⟹  100+10y=170  ⟹  10y=70  ⟹  y=7 kg5 \cdot 20 + 10y = 170 \implies 100 + 10y = 170 \implies 10y = 70 \implies y = 7\text{ kg} bulunur.
İkinci durumda malzemenin tamamı taşındığı için kutuların toplam kapasitesi 170 kg170\text{ kg}'a eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 48Soru →
xx ve yy gerçel sayıları için x<0<yx < 0 < y ve ∣x∣<∣y∣|x| < |y| olduğu bilinmektedir.
∣x−y∣+∣2x−y∣=16 |x - y| + |2x - y| = 16
∣x+y∣=3 |x + y| = 3
olduğuna göre, y−xy - x farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen y−xy - x farkı 7'dir.
Verilen x<0<yx < 0 < y ve ∣x∣<∣y∣|x| < |y| koşullarına göre mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işaretleri sırasıyla negatif, negatif ve pozitif olarak belirlenir. Bu ifadeler mutlak değer dışına doğru işaretlerle çıkarılıp denklem sistemi çözüldüğünde x=−2x = -2 ve y=5y = 5 değerlerine ulaşılır. Buradan y−x=7y - x = 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerlerin içerisindeki ifadelerin işaretlerini belirleme
x−y<0x - y < 0, 2x−y<02x - y < 0 ve x+y>0x + y > 0
x<0<yx < 0 < y olduğundan xx negatif, yy pozitiftir. Bu nedenle farkları negatiftir. ∣x∣<∣y∣|x| < |y| ve x<0<yx < 0 < y koşulu ise pozitif olan yy değerinin mutlak değerce xx'ten büyük olduğunu gösterir, bu da toplamlarını pozitif yapar.
2
İfadeleri mutlak değer dışına çıkarma
∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x, ∣2x−y∣=y−2x|2x - y| = y - 2x ve ∣x+y∣=x+y|x + y| = x + y
Mutlak değer içerisindeki ifade negatif ise önüne eksi alarak çıkar, pozitif ise aynen çıkar.
3
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazıp sadeleştirme
2y−3x=162y - 3x = 16 ve x+y=3x + y = 3
Denklemleri çözülebilir doğrusal bir sisteme dönüştürmek için.
4
Denklem sistemini çözerek xx ve yy değerlerini bulma
x=−2x = -2 ve y=5y = 5
y=3−xy = 3 - x eşitliğini birinci denklemde yerine koyarak bilinmeyenleri bulmak için.
5
İstenen farkı hesaplama
y−x=5−(−2)=7y - x = 5 - (-2) = 7
Soru kökünde bizden istenen değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin tanımı, mutlak değerli ifadelerin işaretlerine göre dışarı çıkarılması ve mutlak değer özelliklerinin kullanımı.
Soru 49Soru →

Bir tekstil atölyesinde A ve B makinelerinin birer adet tişörtü dikim ve ütüleme süreleri ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A makinesi, bir tişörtü her biri xx saniye süren 3 farklı dikim aşamasından geçirerek tamamlamaktadır.
* B makinesi ise bir tişörtü her biri xx saniye süren 2 farklı dikim aşamasından geçirdikten sonra, bu tişörtü aa saniye süren tek bir ütüleme aşamasından geçirerek tamamlamaktadır.

A makinesinin bir tişörtü tamamlama süresinin 5 katı, B makinesinin bir tişörtü tamamlama süresinin 3 katına eşittir.

aa bir tam sayı ve xx bir pozitif tam sayı olduğuna göre, aa'nın değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 değeri, denklem çözümünde x'i pozitif tam sayı yapan tek seçenektir.
A makinesinin süresi 3x saniye, B makinesinin süresi 2x + a saniyedir. Kurulan 5 * (3x) = 3 * (2x + a) denklemi açılıp sadeleştirildiğinde 9x = 3a, buradan da x = a/3 bağıntısı elde edilir. x'in bir pozitif tam sayı olabilmesi için a sayısının 3'ün pozitif bir katı olması zorunludur. Seçeneklerde 3'ün katı olan tek pozitif tam sayı 15 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B makinelerinin birer tişörtü tamamlama sürelerini x ve a cinsinden ifade edin.
A makinesinin toplam s��resi: 3x saniye. B makinesinin toplam süresi: 2x + a saniye.
Soruda verilen aşamaların toplam sürelerini belirlemek için.
2
Süreler arasındaki kat ilişkisini kullanarak denklemi kurun.
5 * (3x) = 3 * (2x + a) => 15x = 6x + 3a
A makinesinin süresinin 5 katı, B makinesinin süresinin 3 katına eşitlendiği için.
3
Elde edilen denklemi düzenleyerek x değişkenini yalnız bırakın.
15x - 6x = 3a => 9x = 3a => x = a/3
x değerini a cinsinden bulup sayı kümesi kısıtlamasını uygulayabilmek için.
4
Sayı kümesi koşulunu uygulayın.
x bir pozitif tam sayı olduğundan, a/3 ifadesi de pozitif bir tam sayı olmalıdır. Bu durum a'nın 3'ün pozitif bir katı olmasını gerektirir.
Soruda x'in pozitif tam sayı, a'nın ise tam sayı olduğu koşulu verildiği için.
5
Seçenekleri inceleyerek 3'ün katı olan pozitif tam sayıyı bulun.
Seçenekler arasında 3'ün katı olan tek pozitif tam sayı 15'tir.
Koşulları sağlayan a değerini netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve sayı kümeleri kısıtlamalarına göre çözülmesi.
Soru 50Soru →

Bir akıllı tarım serasında bulunan otomatik sulama sistemi, bitkilerin ihtiyacına göre "Standart Sulama" ve "Hassas Sulama" olmak üzere iki farklı modda çalışmaktadır. Standart sulama modunda günde xx litre su tüketen sistem, hassas sulama modunda ise standart sulama modunda tükettiği su miktarının 3 katından 20 litre daha az su tüketmektedir.

Seradaki bitkiler için sistem 12 gün boyunca standart sulama modunda ve 8 gün boyunca hassas sulama modunda çalıştırılarak toplam 1640 litre su tüketilmiştir.

Buna göre, bu sulama sisteminin hassas sulama modunda çalıştığı bir günde tükettiği su miktarı kaç litredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130

Cevap

Hassas sulama modunda bir günde tüketilen su miktarı 130 litredir.
Hassas sulama modunun günlük su tüketimi 3x−203x - 20 olarak modellenir. 12 gün boyunca standart ve 8 gün boyunca hassas modda çalıştırıldığında toplam tüketim 12x+8(3x−20)=164012x + 8(3x - 20) = 1640 olur. Bu denklemin çözülmesiyle standart mod günlük tüketimi x=50x = 50 litre olarak bulunur. Hassas mod günlük tüketimi ise 3⋅50−20=1303 \cdot 50 - 20 = 130 litre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart ve hassas sulama modlarının günlük tüketim miktarlarını bilinmeyen cinsinden ifade etmek.
Standart sulama modunun günlük tüketimi xx litre, hassas sulama modunun günlük tüketimi ise 3x−203x - 20 litredir.
Soruda verilen ilişkileri matematiksel olarak modellemek için.
2
Toplam gün sayıları ile günlük t��ketim miktarlarını çarparak toplam tüketim denklemini kurmak.
12x+8(3x−20)=164012x + 8(3x - 20) = 1640 denklemi elde edilir.
Toplamda tüketilen su miktarının 1640 litre olduğu bilgisiyle denklemi eşitlemek için.
3
Kurulan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözmek.
12x+24x−160=1640  ⟹  36x=1800  ⟹  x=5012x + 24x - 160 = 1640 \implies 36x = 1800 \implies x = 50 bulunur.
Standart sulama modunun günlük tüketim miktarını (xx) bulmak için.
4
Bulunan xx değerini hassas sulama modu tüketim formülünde yerine yazmak.
3⋅50−20=1303 \cdot 50 - 20 = 130 litre bulunur.
Soruda bizden hassas sulama modunun günlük tüketim miktarı istendiği için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme
Soru 51Soru →

Bir marangoz, elindeki özdeş tahta blokları keserek iki farklı uzunlukta parçalar elde etmektedir:
- Kısa parçanın uzunluğu santimetre cinsinden iki basamaklı abab doğal sayısıdır.
- Uzun parçanın uzunluğu santimetre cinsinden iki basamaklı baba doğal sayısıdır.
Bu iki basamaklı sayıların rakamları arasında b=a+3b = a + 3 ilişkisi bulunmaktadır.

Marangoz, 3 adet kısa parça ve 18 cm18\text{ cm} uzunluğundaki bir ek parçayı uç uca eklediğinde elde ettiği toplam uzunluğun, 2 adet uzun parçanın uç uca eklenmesiyle elde edilen toplam uzunluğa eşit olduğunu görüyor.

Buna göre, bir adet kısa parçanın uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Kısa parçanın uzunluğu 36 santimetredir.
Kısa parçanın uzunluğu 36 cm'dir. İki basamaklı ab sayısı 10a+b, ba sayısı ise 10b+a olarak çözümlenir. b = a+3 yazıldığında kısa parça 11a+3, uzun parça 11a+30 olur. Sorudaki 3(11a+3)+18 = 2(11a+30) eşitliğinden 11a=33 ve a=3 bulunur. Buradan b=6 ve kısa parça ab = 36 cm olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve değişkenlerin tek bilinmeyene indirgenmesi.
Kısa parça ab=10a+bab = 10a + b ve uzun parça ba=10b+aba = 10b + a olarak çözümlenir. b=a+3b = a + 3 ilişkisi kullanılarak; kısa parça 11a+311a + 3, uzun parça ise 11a+3011a + 30 olarak ifade edilir.
Sorudaki iki basamaklı sayıları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade ederek birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde etmek için bu çözümleme gereklidir.
2
Soruda verilen uzunluk eşitliği ilişkisine göre denklemin kurulması.
3 adet kısa parça ve 18 cm'lik ek parçanın toplam uzunluğu 2 adet uzun parçaya eşitlendiğinde denklem: 3(11a+3)+18=2(11a+30)3(11a + 3) + 18 = 2(11a + 30) şeklinde kurulur.
Parçaların uç uca eklenmesiyle elde edilen toplam uzunlukların eşitliği, çözülecek olan cebirsel denklemi oluşturur.
3
Kurulan denklemin ��özülmesi ve bilinmeyenin bulunması.
33a+9+18=22a+60  ⟹  33a+27=22a+60  ⟹  11a=33  ⟹  a=333a + 9 + 18 = 22a + 60 \implies 33a + 27 = 22a + 60 \implies 11a = 33 \implies a = 3 bulunur. Buradan b=3+3=6b = 3 + 3 = 6 elde edilir.
Parçaların uzunluğunu bulmak için kullanılan rakamların sayısal değerlerini belirlemek için denklem çözülür.
4
Kısa parçanın uzunluğunun hesaplanması.
Kısa parçanın uzunluğu abab iki basamaklı sayısı olduğundan, a=3a = 3 ve b=6b = 6 değerleri yerleştirilerek 36 cm36\text{ cm} olarak bulunur.
Bulunan rakam değerleri kullanılarak soruda istenen kısa parçanın uzunluğuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi yapılarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürülmesi ve çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 52Soru →

Bir eşit kollu terazinin sol kefesinde her birinin kütlesi xx kg olan 3 adet özdeş küre ve 55 kg'lık bir ağırlık, sağ kefesinde ise xx kg ağırlığında 1 adet küre ile her birinin kütlesi 88 kg olan 2 adet özdeş küp ağırlık bulunmaktadır. Terazi dengede olduğuna göre, kürelerden birinin kilogram cinsinden kütlesini ifade eden xx değeri bir tam sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Terazinin dengede olmasından elde edilen denklem çözüldüğünde kürelerden birinin kütlesi 5.55.5 kg olarak bulunur ve bu değer bir tam sayı olmadığından iddia yanlıştır.
Terazi dengesinden kurulan 3x+5=x+163x + 5 = x + 16 denkleminin çözümü olan x=5.5x = 5.5 bir tam sayı değil, rasyonel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Terazinin sol ve sağ kefelerindeki toplam kütleleri eşitleyerek denge denklemini kurun.
3x+5=x+2⋅83x + 5 = x + 2 \cdot 8
Terazinin dengede durması, iki kefedeki toplam ağırlıkların birbirine eşit olduğunu gösterir.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirerek bilinmeyen xx değerini yalnız bırakın ve çözün.
3x+5=x+16  ⟹  2x=11  ⟹  x=5.53x + 5 = x + 16 \implies 2x = 11 \implies x = 5.5
Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafında, sabit sayılar diğer tarafında toplanarak denklem çözülür.
3
Bulunan xx değerinin tam sayı olup olmadığını sayı kümeleri kurallarına göre inceleyin.
x=5.5=112∉Zx = 5.5 = \frac{11}{2} \notin \mathbb{Z}
5.55.5 değeri rasyonel bir sayıdır ancak tam sayılar kümesinin bir elemanı değildir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma, çözme ve kök değerinin sayı kümeleri ile ilişkisi
Soru 53Soru →
Dik koordinat düzleminde verilen
(a−1)x+5y=2 (a - 1)x + 5y = 2
x+(a+3)y=b+1 x + (a + 3)y = b + 1
denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.

a+2b=4a + 2b = 4 olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

-16 (doğru olan çarpım değeri)
Denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için katsayılar oranı eşit olmalı ancak sabitlerin oranı bu eşitliğe dahil olmamalıdır. a−11=5a+3\frac{a-1}{1} = \frac{5}{a+3} eşitliğinden a=−4a = -4 veya a=2a = 2 bulunur. a=2a = 2 için b=1b = 1 olur ve tüm oranlar eşitlendiği için çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur, bu yüzden elenir. a=−4a = -4 için ise b=4b = 4 bulunur ve sabitlerin oranı eşitliği bozduğu için çözüm kümesi boş küme olur. Bu değerlerin çarpımı (−4)⋅4=−16(-4) \cdot 4 = -16 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için değişkenlerin katsayıları arasındaki oranı yazın.
a−11=5a+3≠2b+1\frac{a - 1}{1} = \frac{5}{a + 3} \neq \frac{2}{b + 1} bağıntısı elde edilir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması için katsayılar oranının eşit, ancak sabit terimlerin oranının bu değerden farklı olması gerekir.
2
Katsayılar oranının eşitliğinden faydalanarak a parametresinin alabileceği değerleri bulun.
(a−1)(a+3)=5  ⟹  a2+2a−3=5  ⟹  a2+2a−8=0(a - 1)(a + 3) = 5 \implies a^2 + 2a - 3 = 5 \implies a^2 + 2a - 8 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılırsa (a+4)(a−2)=0(a + 4)(a - 2) = 0 olur. Buradan a=−4a = -4 veya a=2a = 2 bulunur.
Değişken katsayılarını birbirine oranlayarak sistemi paralel doğrular haline getirecek a adaylarını belirlemek gerekir.
3
Her bir a değeri için a+2b=4a + 2b = 4 eşitliğini kullanarak b değerlerini bulun ve boş küme şartını kontrol edin.
Eğer a=2a = 2 ise, 2+2b=4  ⟹  b=12 + 2b = 4 \implies b = 1 olur. Bu durumda sabit terimlerin oran�� 2b+1=21+1=1\frac{2}{b + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1 olur. Katsayılar oranı da 2−1=12 - 1 = 1 olduğundan tüm oranlar eşitlenir ve çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur (boş küme olmaz). Dolayısıyla a=2a = 2 alınamaz. Eğer a=−4a = -4 ise, −4+2b=4  ⟹  b=4-4 + 2b = 4 \implies b = 4 olur. Bu durumda sabit terimlerin oranı 2b+1=25\frac{2}{b+1} = \frac{2}{5} olur. Katsayılar oranı −4−1=−5-4 - 1 = -5 olduğundan −5≠25-5 \neq \frac{2}{5} şartı sağlanır ve sistemin çözüm kümesi boş küme olur.
Bulunan parametrelerin sistemi çakışık (sonsuz çözüm) yapıp yapmadığını test etmek için üçüncü oran kontrol edilmelidir.
4
Doğru a ve b değerlerinin çarpımını hesaplayın.
a⋅b=(−4)⋅4=−16a \cdot b = (-4) \cdot 4 = -16 bulunur.
Soruda istenen a⋅ba \cdot b çarpım değerine ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çözüm kümesinin boş küme olma şartı
Soru 54Soru →

Bir marangoz atölyesinde üretilen küçük ve büyük boy ahşap kutularla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her bir küçük boy kutunun yapımı için kullanılan kereste miktarı xx desimetredir.
* Her bir büyük boy kutunun yapımı için kullanılan kereste miktarı, küçük boy kutunun yapımı için kullanılan kereste miktarının 22 katından 11 desimetre eksiktir.
* Kutuların yapımında kullanılan kereste miktarları desimetre cinsinden birer tam sayıdır.

Bu atölyede 33 adet küçük boy ve 44 adet büyük boy kutu üretildiğinde toplam 117117 desimetre kereste harcanmıştır.

Buna göre, bir adet büyük boy kutunun yapımı için harcanan kereste miktarı kaç desimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2121

Cevap

Bir adet büyük boy kutunun yapımı için harcanan kereste miktarı 2121 desimetredir.
Küçük boy kutu xx, büyük boy kutu 2x−12x-1 desimetre kereste gerektirir. 33 adet küçük ve 44 adet büyük kutu üretildiğinde harcanan toplam kereste miktarı 3x+4(2x−1)=1173x + 4(2x-1) = 117 denklemine eşittir. Bu denklem çözüldüğünde 11x−4=117⇒11x=121⇒x=1111x - 4 = 117 \Rightarrow 11x = 121 \Rightarrow x = 11 bulunur. Büyük boy kutu için gereken kereste miktarı 2x−1=2(11)−1=212x-1 = 2(11)-1 = 21 desimetre olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kutuların kereste miktarları için cebirsel ifadeleri belirlemek.
Küçük boy kutu = xx desimetre, Büyük boy kutu = 2x−12x - 1 desimetre.
Büyük boy kutunun kereste miktarının küçük boy kutunun 22 katından 11 eksik olduğu belirtilmiştir.
2
Verilen adetlere göre toplam kereste miktarını veren denklemi kurmak.
Denklem: 3x+4(2x−1)=1173x + 4(2x - 1) = 117.
33 adet küçük ve 44 adet büyük boy kutu için toplam 117117 desimetre kereste harcanmıştır.
3
Denklemi çözerek xx değerini bulmak.
3x+8x−4=117⇒11x−4=117⇒11x=121⇒x=113x + 8x - 4 = 117 \Rightarrow 11x - 4 = 117 \Rightarrow 11x = 121 \Rightarrow x = 11.
Dağılma özelliği uygulanıp benzer terimler toplandıktan sonra bilinmeyen yalnız bırakılır.
4
Büyük boy kutu için harcanan kereste miktarını hesaplamak.
2x−1=2(11)−1=212x - 1 = 2(11) - 1 = 21 desimetre.
Büyük boy kutunun kereste miktarı 2x−12x - 1 ifadesiyle tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi
Soru 55Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının 33 ve −3-3 noktalarına olan uzaklıklar��nın toplamı, xx'in alacağı her değer için 66 birimden büyüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Sayı doğrusu üzerindeki xx gerçel sayısının −3-3 ve 33 noktalarına olan uzaklıklarının toplamı, xx sayısı [−3,3][-3, 3] kapalı aralığında olduğunda 66'ya eşittir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü xx gerçel sayısı [−3,3][-3, 3] kapalı aralığında seçildiğinde, bu sayının 33 ve −3-3 noktalarına olan uzaklıklarının toplamı her zaman tam olarak 66 birimdir ve bu toplam 66'dan büyük değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusu üzerindeki bir noktanın diğer noktalara olan uzaklıklarını mutlak değer sembolü kullanarak ifade etme.
xx sayısının 33 noktasına olan uzaklığı ∣x−3∣|x - 3|, −3-3 noktasına olan uzaklığı ise ∣x−(−3)∣=∣x+3∣|x - (-3)| = |x + 3| olarak yazılır. Toplam uzaklık ise ∣x−3∣+∣x+3∣|x - 3| + |x + 3| olur.
Uzaklık kavramını matematiksel olarak modellemek için.
2
Toplam uzaklık ifadesinin alabileceği en küçük değeri üçgen eşitsizliği yardımıyla inceleme.
∣x−3∣+∣x+3∣=∣3−x∣+∣x+3∣≥∣(3−x)+(x+3)∣=6|x - 3| + |x + 3| = |3 - x| + |x + 3| \geq |(3 - x) + (x + 3)| = 6 elde edilir. Buradan uzaklıklar toplamının en az 66 birim olabileceği görülür.
Toplamın alt sınırını belirlemek için.
3
Alt sınır olan 66 değerinin hangi xx değerleri için sağlandığını bulma.
−3≤x≤3-3 \leq x \leq 3 aralığındaki tüm xx gerçel sayıları için ∣x−3∣+∣x+3∣=(3−x)+(x+3)=6|x - 3| + |x + 3| = (3 - x) + (x + 3) = 6 olur. Bu durumda toplam 66'dan büyük değil, tam olarak 66'ya eşittir.
İfadedeki 'her değer için 66'dan büyüktür' iddiasının doğruluğunu test etmek için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin geometrik yorumu (sayı doğrusunda iki nokta arası uzaklık) ve üçgen eşitsizliği.
Soru 56Soru →

Bir kırtasiyeci, elindeki özdeş defterleri paketleyerek satışa sunacaktır. Kırtasiyeci bu defterleri;

* Onlar basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamdan 11 fazla olan iki basamaklı abab adet defter içeren paketlere koyarsa 44 paket elde etmekte ve geriye 1212 defter kalmaktadır.
* İki basamaklı baba adet defter içeren paketlere koyarsa 66 paket elde etmekte ve geriye 22 defter kalmaktadır.

Buna göre, kırtasiyecinin elindeki toplam defter sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

140
Doğru olan 140 sayısı, basamak çözümlemesi doğru yapılıp birinci dereceden denklem çözüldüğünde elde edilen toplam defter miktarıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin belirlenmesi ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi
Birler basamağındaki rakama b=xb = x dersek, onlar basamağındaki rakam a=x+1a = x + 1 olur. Bu durumda iki basamaklı sayılar:
ab=10a+b=10(x+1)+x=11x+10ab = 10a + b = 10(x + 1) + x = 11x + 10
ba=10b+a=10x+(x+1)=11x+1ba = 10b + a = 10x + (x + 1) = 11x + 1 olarak yazılır.
Toplam defter sayısını tek bir bilinmeyen (xx) cinsinden ifade edebilmek için basamak çözümlemesi yapılır.
2
Toplam defter sayısı denklemlerinin kurulması ve eşitlenmesi
Birinci durumdaki toplam defter sayısı: N=4⋅(11x+10)+12=44x+52N = 4 \cdot (11x + 10) + 12 = 44x + 52
İkinci durumdaki toplam defter sayısı: N=6⋅(11x+1)+2=66x+8N = 6 \cdot (11x + 1) + 2 = 66x + 8
Toplam defter sayıları eşit olduğundan: 44x+52=66x+844x + 52 = 66x + 8 denklemi elde edilir.
Her iki durumda da toplam defter sayısı aynı olduğundan bu ifadeler birbirine eşitlenir.
3
Denklemin çözülmesi ve defter sayısının hesaplanması
66x−44x=52−8⇒22x=44⇒x=266x - 44x = 52 - 8 \Rightarrow 22x = 44 \Rightarrow x = 2 bulunur.
Buradan b=2b = 2 ve a=3a = 3 (yani sayılar 3232 ve 2323) elde edilir.
Toplam defter sayısı: N=44(2)+52=140N = 44(2) + 52 = 140 olarak bulunur.
Elde edilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözülerek bilinmeyen rakam bulunur ve toplam defter sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi ile basamak çözümlemesi ilişkisi.
Soru 57Soru →

Bir GSM operatörünün A ve B olarak adlandırılan iki farklı tarifesiyle ilgili bilgiler aşağıdaki gibidir:

* A tarifesinde aylık sabit ücret 60 TL60\text{ TL} olup konuşulan her dakika için 0,25 TL0,25\text{ TL} ücret alınmaktadır.
* B tarifesinde ise aylık sabit ücret bulunmayıp konuşulan her dakika için 0,6 TL0,6\text{ TL} ücret alınmaktadır.

Bu operatörden aynı miktarda konuşma hizmeti alan ve her iki tarifeye göre de ödeyecekleri toplam fatura tutarı eşit olan bir abonenin aylık konuşma süresi dakika cinsinden bir tam sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Ücretlerin eşitlendiği konuşma süresi olan 12007\frac{1200}{7} değeri bir tam sayı belirtmez.
Ücretlerin eşitlendiği konuşma süresi 12007\frac{1200}{7} rasyonel sayısıdır. Bu sayı bir tam sayı olmadığından verilen önerme yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B tarifeleri için konuşma süresi xx dakika kabul edilerek fatura tutarını veren denklemleri kurmak.
A tarifesi tutarı: 60+0,25x60 + 0,25x TL; B tarifesi tutarı: 0,60x0,60x TL.
Konuşma süresine bağlı ücret bağıntılarını ifade etmek.
2
Tarifelerin fatura tutarlarını eşitleyip elde edilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözmek.
60+0,25x=0,60x⇒60=0,35x⇒x=600,35=1200760 + 0,25x = 0,60x \Rightarrow 60 = 0,35x \Rightarrow x = \frac{60}{0,35} = \frac{1200}{7} dakika.
Her iki seçenekte de aynı faturayı getiren konuşma süresini hesaplamak.
3
Elde edilen xx değerinin tam sayı olup olmadığını kontrol etmek.
x=12007x = \frac{1200}{7} sayısı rasyonel sayıdır ancak tam sayı değildir.
İfadenin doğruluğunu test etmek.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kurma ve Çözme
Soru 58Soru →

Bir dijital termometrenin ölçüm hassasiyetinden dolayı, ekranda gösterilen sıcaklık değeri (TT °C) ile ölçülen ortamın gerçek sıcaklık değeri (xx °C) arasındaki ilişki

∣x−T∣=1.5|x - T| = 1.5

denklemi ile belirlenmektedir.

Ortamın gerçek sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin çarpımı 1818 olduğuna göre, termometrenin ekranında gösterilen TT sıcaklık değerinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

Termometrenin ekranında gösterilen TT sıcaklık değerinin alabileceği pozitif değer 4.54.5'tir.
Gerçek sıcaklığın alabileceği değerler T+1.5T + 1.5 ve T−1.5T - 1.5 olup, bunların çarpımı iki kare farkı özdeşliğinden T2−2.25=18T^2 - 2.25 = 18 denklemini verir. Buradan T2=20.25T^2 = 20.25 elde edilir. Bu denklemi sağlayan pozitif TT değeri 4.54.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
∣x−T∣=1.5|x - T| = 1.5 denklemini mutlak değer özelliklerini kullanarak iki ayrı denklem olarak yazalım.
x−T=1.5  ⟹  x1=T+1.5x - T = 1.5 \implies x_1 = T + 1.5 ve x−T=−1.5  ⟹  x2=T−1.5x - T = -1.5 \implies x_2 = T - 1.5 olur.
Bir gerçek sayının mutlak değeri pozitif bir sayıya eşit olduğunda, mutlak değerin içi bu sayıya ya da bu sayının negatiflisine eşit olmalıdır.
2
Gerçek sıcaklığın alabileceği farklı değerlerin (x1x_1 ve x2x_2) çarpımını 1818'e eşitleyelim.
(T+1.5)⋅(T−1.5)=18  ⟹  T2−1.52=18  ⟹  T2−2.25=18(T + 1.5) \cdot (T - 1.5) = 18 \implies T^2 - 1.5^2 = 18 \implies T^2 - 2.25 = 18 elde edilir.
Soruda gerçek sıcaklığın alabileceği değerlerin çarpımının 1818 olduğu verilmiştir. İki kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpım kolayca basitleştirilir.
3
T2−2.25=18T^2 - 2.25 = 18 denklemini çözerek pozitif TT değerini bulalım.
T2=20.25  ⟹  T=4.5T^2 = 20.25 \implies T = 4.5 veya T=−4.5T = -4.5 bulunur. Pozitif değer istendiği için yanıt 4.54.5 olur.
4.54.5 sayısının karesi 20.2520.25'tir ve bizden pozitif değer istenmektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 59Soru →
Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için,
∣x⋅y∣=−x⋅y |x \cdot y| = -x \cdot y
∣x−y∣=y−x |x - y| = y - x
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∣x∣⋅y−∣x⋅y−y∣∣y∣ \frac{|x| \cdot y - |x \cdot y - y|}{|y|}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Negatif bir değer olan -1 sayısı
Verilen eşitlikler analiz edildiğinde xx'in negatif, yy'nin ise pozitif olduğu bulunur. Buradan hareketle x⋅y−yx \cdot y - y ifadesinin negatif olduğu tespit edilir. Mutlak değer dışına çıkarma kuralları doğru uygulandığında pay kısmı −y-y, payda kısmı ise yy olarak elde edilir ve bu iki değerin oranı −1-1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
xx ve yy gerçel sayılarının işaretlerini belirlemek amacıyla verilen eşitlikleri analiz etmek.
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olarak bulunur.
∣x⋅y∣=−x⋅y|x \cdot y| = -x \cdot y eşitliği x⋅y<0x \cdot y < 0 olduğunu gösterir. ∣x−y∣=y−x|x - y| = y - x eşitliği ise x−y<0  ⟹  x<yx - y < 0 \implies x < y olduğunu gösterir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde x<0x < 0 ve y>0y > 0 sonucu elde edilir.
2
∣x⋅y−y∣|x \cdot y - y| ifadesinin işaretini belirleyerek mutlak değer dışına çıkarmak.
x⋅y−y<0x \cdot y - y < 0 olduğundan bu ifade dışarı −(x⋅y−y)=y−xy-(x \cdot y - y) = y - x y olarak çıkar.
x<0x < 0 ve y>0y > 0 olduğu için x⋅yx \cdot y çarpımı negatiftir. Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı olan yy çıkarıldığında sonuç yine negatif olur.
3
İfadedeki diğer mutlak değerli terimleri dışarı çıkarıp ifadeyi tamamen sadeleştirmek.
İfadenin sonucu −1-1 bulunur.
x<0x < 0 olduğundan ∣x∣=−x|x| = -x ve y>0y > 0 olduğundan ∣y∣=y|y| = y olur. Bu değerler ifadede yerine yazıldığında pay kısmı (−x)⋅y−(y−xy)=−xy−y+xy=−y(-x) \cdot y - (y - x y) = -x y - y + x y = -y olur. Payda ise yy olduğundan oran −yy=−1\frac{-y}{y} = -1 bulunur.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaretlerinin belirlenerek dışarıya doğru işaretle çıkarılması özelliğidir.
Soru 60Soru →
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için,
∣a−b∣<∣a∣+∣b∣|a - b| < |a| + |b|
eşitliği sağlanmamaktadır.
Buna göre,
∣a⋅b∣−a⋅∣b∣+∣a∣⋅ba⋅b\frac{|a \cdot b| - a \cdot |b| + |a| \cdot b}{a \cdot b}
ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı -2'dir.
Verilen koşul aa ve bb sayılarının zıt işaretli olmasını gerektirir (a⋅b<0a \cdot b < 0). Bu duruma göre ifadenin alabileceği değerler 1 ve -3 olarak bulunur, bu değerlerin toplamı ise -2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sağlanmama koşulunun analiz edilmesi
a⋅b<0a \cdot b < 0
Her aa ve bb gerçel sayısı için ∣a−b∣≤∣a∣+∣b∣|a - b| \leq |a| + |b| eşitsizliği geçerlidir. ∣a−b∣<∣a∣+∣b∣|a - b| < |a| + |b| eşitsizliğinin sağlanmaması, ancak ve ancak ∣a−b∣=∣a∣+∣b∣|a - b| = |a| + |b| olması durumunda mümkündür. Sıfırdan farklı aa ve bb sayıları için bu eşitlik, aa ve bb'nin zıt işaretli olması (a⋅b<0a \cdot b < 0) durumunda sağlanır.
2
Birinci durum olan a>0a > 0 ve b<0b < 0 durumunun incelenmesi
İfadenin değeri 1'dir.
a>0a > 0 ise ∣a∣=a|a| = a ve b<0b < 0 ise ∣b∣=−b|b| = -b olur. Ayrıca a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan ∣a⋅b∣=−a⋅b|a \cdot b| = -a \cdot b olur. Bu değerler ifadede yerine konulduğunda −ab−a(−b)+abab=abab=1\frac{-ab - a(-b) + ab}{ab} = \frac{ab}{ab} = 1 elde edilir.
3
İkinci durum olan a<0a < 0 ve b>0b > 0 durumunun incelenmesi
İfadenin değeri -3'tür.
a<0a < 0 ise ∣a∣=−a|a| = -a ve b>0b > 0 ise ∣b∣=b|b| = b olur. Ayrıca a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan ∣a⋅b∣=−a⋅b|a \cdot b| = -a \cdot b olur. Bu değerler ifadede yerine konulduğunda −ab−ab−abab=−3abab=−3\frac{-ab - ab - ab}{ab} = \frac{-3ab}{ab} = -3 elde edilir.
4
Farklı değerlerin toplamının hesaplanması
-2
İfadenin alabileceği farklı değerler 1 ve -3 olduğundan, bu değerlerin toplamı 1+(−3)=−21 + (-3) = -2 olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin üçgen eşitsizliği özellikleri ve mutlak değer dışına çıkarma kuralları
ÖncekiSayfa 3 / 19Sonraki
Denklem ve Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin