Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 42

Soru 821Soru →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda A ve B olmak üzere iki farklı tip şarj ünitesi bulunmaktadır. Bu ünitelerin saatlik enerji aktarım miktarları ve bir günde kaçar saat çalıştırıldıkları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Şarj Ünitesi Tipi	Saatlik Enerji Aktarımı ( $\text{kWh}$ )	Günlük Çalışma Süresi (Saat)
A	$15$	$8$
B	$25$	$6$

İstasyonda toplam $18$ adet şarj ünitesi bulunmaktadır. Bir günün sonunda B tipi ünitelerin tümünden aktarılan toplam elektrik enerjisi, A tipi ünitelerin tümünden aktarılan toplam elektrik enerjisinden $540\text{ kWh}$ daha fazladır.

Buna göre, bu istasyondaki A tipi şarj ünitesi sayısı kaçtır?

6

8

10

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $8$

Cevap

A tipi şarj ünitesi sayısı

8

'dir.

A tipi şarj ünitesi sayısının

8

olması durumunda, B tipi şarj ünitesi sayısı

10

olur. Bu durumda A tipi ünitelerden aktarılan toplam elektrik enerjisi

8 \times 120 = 960\text{ kWh}

ve B tipi ünitelerden aktarılan toplam elektrik enerjisi

10 \times 150 = 1500\text{ kWh}

olur. İki grup arasındaki enerji farkı

1500 - 960 = 540\text{ kWh}

olarak elde edilir ve soruda verilen tüm koşullar sağlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B tipi ünitelerin birer tanesinin bir günde aktardığı toplam enerji miktarı hesaplanır.

Bir adet A tipi ünitenin günlük aktardığı enerji:

15 \times 8 = 120\text{ kWh}

. Bir adet B tipi ünitenin günlük aktardığı enerji:

25 \times 6 = 150\text{ kWh}

olur.

Her bir ünitenin günlük enerji üretimini bulmak, toplam enerji farkını veren denklemi kurmak için gereklidir.

2

Ünite sayıları için değişken tanımlanarak toplam enerji farkı denklemi kurulur.

A tipi ünite sayısı

x

ise, toplam

18

ünite olduğu için B tipi ünite sayısı

18 - x

olur. Toplam enerji farkı denklemi:

150(18 - x) - 120x = 540

şeklindedir.

Soruda B tipi ünitelerden aktarılan enerjinin A tipi ünitelerden

540\text{ kWh}

fazla olduğu belirtilmiştir.

3

Denklem çözülerek A tipi ünite sayısı (

x

) bulunur.

2700 - 150x - 120x = 540 \implies 2700 - 270x = 540 \implies 270x = 2160 \implies x = 8

olarak bulunur.

Denklemin çözülmesiyle doğrudan aranan A tipi şarj ünitesi sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem yardımıyla sayı problemi çözme

Soru 822Soru →

Bir tiyatro salonunda yan yana bulunan A ve B bloklarındaki toplam koltuk sayısı $180$ 'dir. Bu salondaki koltukların bilet ücretleri ve bir oyun için satılan biletlerin oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Blok	Bir Koltuğun Bilet Ücreti (TL)	Satılan Bilet Oranı
A	250	$\frac{1}{2}$
B	300	$\frac{2}{3}$

Bu oyunda salondaki satılmayan koltukların toplam bilet değeri $21.000$ TL olduğuna göre, B bloğundan satılan bilet sayısı kaçtır?

20

30

40

60

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

B bloğundan satılan bilet sayısı 40'tır.

B bloğundaki toplam koltuk sayısı 60 olarak hesaplandıktan sonra satılan bilet oranı olan 3'te 2 ile çarpıldığında satılan bilet sayısı 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bloklardaki toplam koltuk sayısı ve satılmayan bilet oranlarını belirleme

A bloğundaki koltuk sayısı

A

, B bloğundaki koltuk sayısı

B

olsun.

A + B = 180

olur. A blo��unda satılmayan koltukların oranı

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

, B bloğunda satılmayan koltukların oranı ise

1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

'tür.

Koltuk sayıları arasındaki ili��kiyi kurmak ve boş kalan koltukların oranını elde etmek için.

2

Satılmayan koltukların toplam bilet değeri üzerinden denklem kurma

A bloğundaki satılmayan koltukların bilet değeri

A \cdot \frac{1}{2} \cdot 250 = 125A

TL, B bloğundaki satılmayan koltukların bilet değeri ise

B \cdot \frac{1}{3} \cdot 300 = 100B

TL olur. Toplam değer:

125A + 100B = 21.000

olarak elde edilir.

Verilen toplam bilet değerini veren denklemi oluşturmak için.

3

Denklem sistemini çözerek B bloğundaki toplam koltuk sayısını bulma

A = 180 - B

ifadesi toplam değer denkleminde yerine yazılır:

125(180 - B) + 100B = 21.000 \implies 22.500 - 25B = 21.000 \implies 25B = 1500 \implies B = 60

ve

A = 120

bulunur.

Her iki bloktaki koltuk sayılarını ayrı ayrı belirlemek için.

4

B bloğundan satılan bilet sayısını hesaplama

B bloğunda toplam

60

koltuk olduğuna göre, satılan bilet sayısı

60 \cdot \frac{2}{3} = 40

olarak hesaplanır.

Soruda istenen satılan bilet sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Denklem Kurma

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 823Soru →

Bir okulda düzenlenen 'Sıfır Atık' kampanyasında, öğrenciler topladıkları her $3\text{ kg}$ gazete kağıdı için $4\text{ puan}$ , her $5\text{ kg}$ karton kutu için ise $7\text{ puan}$ kazanmaktadır.

Bu kampanya kapsamında bir sınıf, toplam $95\text{ kg}$ gazete kağıdı ve karton kutu teslim ederek $131\text{ puan}$ toplamıştır.

Buna göre, bu sınıfın topladığı karton kutu miktarı gazete kağıdı miktarından kaç $\text{kg}$ fazladır?

3

23

35

30

65

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Karton kutu miktarı gazete kağıdı miktarından 35 kg fazladır.

Sınıfın topladığı karton kutu miktarı

65\text{ kg}

, gazete kağıdı miktarı ise

30\text{ kg}

'dır. Karton kutu miktarının gazete kağıdı miktarından ne kadar fazla olduğunu bulmak için aralarındaki fark alınır:

65 - 30 = 35\text{ kg}

bulunur. Bu nedenle doğru cevap 35'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve toplam ağırlık denkleminin kurulması

Gazete kağıdı miktarı

g = 3x

kg ve karton kutu miktarı

k = 5y

kg olsun. Bu durumda toplam ağırlık denklemi:

3x + 5y = 95

olur.

Toplanan kağıtların ağırlıkları sırasıyla 3 ve 5'in katı olmalıdır ki puan hesaplamaları tam sayı çıksın.

2

Toplam puan denkleminin kurulması

Her

3\text{ kg}

gazete için

4\text{ puan}

(

x

paket için

4x

puan) ve her

5\text{ kg}

karton için

7\text{ puan}

(

y

paket için

7y

puan) kazanılır. Toplam puan denklemi:

4x + 7y = 131

olur.

Sınıfın topladığı toplam puanın 131 olduğu bilgisi kullanılarak ikinci bir denklem elde edilir.

3

Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi

3x + 5y = 95 \implies 12x + 20y = 380

ve

4x + 7y = 131 \implies 12x + 21y = 393

olur. Taraf tarafa çıkarıldığında

y = 13

bulunur. Birinci denklemde yerine yazıldığında

3x + 65 = 95 \implies 3x = 30 \implies x = 10

elde edilir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek paket sayılarını bulmak.

4

Toplam miktarların ve farkın hesaplanması

Gazete kağıdı miktarı

g = 3 \times 10 = 30\text{ kg}

, karton kutu miktarı

k = 5 \times 13 = 65\text{ kg}

'dır. Aralarındaki fark:

65 - 30 = 35\text{ kg}

olarak bulunur.

Soru kökünün bizden istediği karton kutu miktarının gazete kağıdı miktarından ne kadar fazla olduğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler yardımıyla doğrusal denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 824Soru →

Bir kargo firması, taşıdığı kolilerin hacimlerine göre belirlediği ücret tarifesinde her bir koli için sabit bir temel ücret almakta ve kolinin hacmindeki her $1\text{ dm}^3$ artış için sabit bir ek ücret uygulamaktadır.

Bu firma ile hacimleri sırasıyla $12\text{ dm}^3$ ve $20\text{ dm}^3$ olan iki koli gönderen Ayşe toplam $116\text{ TL}$ , hacimleri $15\text{ dm}^3$ ve $25\text{ dm}^3$ olan iki koli gönderen Barış ise toplam $140\text{ TL}$ ödeme yapmıştır.

Buna göre, bu firmayla hacmi $30\text{ dm}^3$ olan tek bir koli gönderen Can kaç TL ödeme yapar?

90

95

100

105

110

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Hacmi

30\text{ dm}^3

olan tek bir koli gönderen Can,

100\text{ TL}

ödeme yapar.

Doğru çözümde, kargo ücret tarifesi

x + V \cdot y

şeklinde modellenmiştir. Ayşe ve Barış'ın gönderdiği ikişer koli için kurulan

2x + 32y = 116

ve

2x + 40y = 140

denklemlerinden birim ek ücret

y = 3\text{ TL}

ve koli başına temel ücret

x = 10\text{ TL}

bulunur. Can tek koli gönderdiği için ödeyeceği tutar

x + 30y = 10 + 30 \times 3 = 100\text{ TL}

olarak hesaplanır. Dolayısıyla

100

cevabının yer aldığı seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Koli başına alınan sabit temel ücreti

x

TL, kolinin hacmindeki her

1\text{ dm}^3

artış için uygulanan ek ücreti

y

TL olarak tanımlayıp Ayşe'nin gönderim ücretini denklemleştirme

Ayşe iki koli gönderdiği için ödediği toplam ücret:

(x + 12y) + (x + 20y) = 2x + 32y = 116

olur.

Her bir koli için ayrı ayrı temel ücret ve hacme bağlı ek ücret hesaplanmalıdır.

2

Barış'ın gönderim ücretini benzer şekilde denklemleştirme

Barış iki koli gönderdiği için ödediği toplam ücret:

(x + 15y) + (x + 25y) = 2x + 40y = 140

olur.

İki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde etmek için ikinci bağıntı kurulur.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme

2x + 40y = 140

2x + 32y = 116

İkinci denklemi birinciden çıkardığımızda:

8y = 24 \implies y = 3

y = 3

değerini ilk denklemde yerine yazarak

x

değerini bulalım:

2x + 32(3) = 116 \implies 2x + 96 = 116 \implies 2x = 20 \implies x = 10

Sistemdeki değişkenlerin (temel ücret ve birim ek ücret) değerlerini ayrı ayrı hesaplamak gerekir.

4

Can'ın göndereceği tek koli için toplam ücreti hesaplama

Can'ın hacmi

30\text{ dm}^3

olan tek kolisi için ödeyeceği ücret:

x + 30y = 10 + 30(3) = 10 + 90 = 100\text{ TL}

olur.

Can tek bir koli gönderdiği için

1

adet temel ücret ve

30\text{ dm}^3

ek ücret ödemelidir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Soru 825Soru →

Bir grup arkadaş, ortak alacakları bir doğum günü hediyesinin ücretini eşit olarak paylaşmaya karar vermiştir. Ancak hediyeyi almaya giderken gruptaki $3$ kişinin yanında para olmadığı için, para ödeyenlerin her biri başlangıçta planlanana göre $20\text{ TL}$ fazla ödeme yapmıştır.

Eğer yanında para olmayan kişi sayısı $3$ değil de $5$ olsaydı, para ödeyenlerin her biri başlangıçta planlanana göre $40\text{ TL}$ fazla ödeme yapacaktı.

Buna göre, bu gruptaki toplam kişi sayısı kaçtır?

10

12

15

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Gruptaki toplam kişi sayısı 15'tir.

Gruptaki kişi sayısı

x

ve hediyenin toplam bedeli

G

olsun. İlk durumda kişi başı düşen pay

\frac{G}{x}

olur. 3 kişinin yanında para olmaması durumunda kalan

x-3

kişi

\frac{G}{x-3}

öder ve aradaki fark 20 TL'dir. Buradan

3G = 20x(x-3)

elde edilir. Benzer şekilde, 5 kişinin ödememesi durumunda kalan

x-5

kişi

\frac{G}{x-5}

öder ve fark 40 TL'dir. Buradan

G = 8x(x-5)

elde edilir. Bu iki denklem birleştirildiğinde

x = 15

olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Gruptaki toplam kişi sayısını

x

ve hediyenin toplam fiyatını

G

olarak belirleyip ilk durumdaki kişi başı düşen payı yazın.

İlk durumda kişi başı düşen pay

\frac{G}{x}

TL'dir.

Toplam maliyetin gruptaki tüm kişilere eşit olarak bölünmesi gerekir.

2

3 kişinin ödeme yapmadığı durum için denklemi kurun ve

G

ile

x

arasındaki ilk ilişkiyi elde edin.

x-3

kişi ödeme yapmıştır.

\frac{G}{x-3} - \frac{G}{x} = 20 \implies \frac{3G}{x(x-3)} = 20 \implies 3G = 20x(x-3)

olur.

Kişi başı ödemedeki artış miktarı 20 TL olarak verilmiştir.

3

5 kişinin ödeme yapmadığı durum için ikinci denklemi kurun ve

G

ile

x

arasındaki ikinci ilişkiyi elde edin.

x-5

kişi ödeme yapmıştır.

\frac{G}{x-5} - \frac{G}{x} = 40 \implies \frac{5G}{x(x-5)} = 40 \implies G = 8x(x-5)

olur.

Kişi başı ödemedeki artış miktarı bu durumda 40 TL olmaktadır.

4

Elde edilen iki denklemi birbirine eşitleyerek

x

değerini çözün.

3G ifadesinde G yerine ikinci denklemdeki değeri yazarsak:

3 \cdot (8x(x-5)) = 20x(x-3) \implies 24x(x-5) = 20x(x-3) \implies 6(x-5) = 5(x-3) \implies 6x - 30 = 5x - 15 \implies x = 15

bulunur.

Her iki durumda da hediyenin toplam fiyatı (

G

) aynıdır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri

Alternatif Yöntem

Oran-orantı mantığıyla da çözülebilir. Gruptaki kişi sayısı x olsun. 3 kişi ödemediğinde kalan x-3 kişinin her biri 20 TL fazla ödüyorsa, ödenmeyen toplam miktar 20(x-3) TL'dir. Bu miktar, ödeme yapmayan 3 kişinin başlangıçtaki payına eşittir. Buradan başlangıçtaki kişi başı düşen pay 20(x-3)/3 TL olur. Benzer şekilde 5 kişi ödemediğinde başlangıçtaki kişi başı düşen pay 40(x-5)/5 = 8(x-5) TL olur. Başlangıçtaki paylar eşit olduğundan, 20(x-3)/3 = 8(x-5) eşitliğinden x = 15 bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 826Soru →

Bir restoranda satılan A, B ve C menülerinin adet fiyatları sırasıyla $120\text{ TL}$ , $150\text{ TL}$ ve $180\text{ TL}$ 'dir. Bir gün boyunca bu menülerden toplam $80$ adet satılmış ve toplam $12.900\text{ TL}$ gelir elde edilmiştir.

Bu günde her menüden en az birer adet satıldığı ve en çok satılan menünün B menüsü olduğu bilindiğine göre, A menüsünden en çok kaç adet satılmıştır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6

Verilen denklem sisteminden

b = 50 - 2a

ve

c = a + 30

bağıntıları elde edilir. En çok satılan menünün B menüsü olması koşuluyla

b > a

ve

b > c

eşitsizlikleri kurulur.

b > c

eşitsizliğinden

50 - 2a > a + 30 \implies a < 20/3 \approx 6,67

sonucuna ulaşılır. Adet miktarı tam sayı olacağından bu koşulu sağlayan en büyük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Menü adetlerini değişkenlerle ifade edip toplam adet ve toplam gelir denklemlerini kurun.

A, B ve C menülerinin adetleri sırasıyla

a

,

b

ve

c

olsun. Toplam adet denklemi:

a + b + c = 80

. Toplam gelir denklemi:

120a + 150b + 180c = 12900

.

Soruda verilen adet ve gelir bilgilerini matematiksel denklemlere dökmek için.

2

Gelir denklemini sadeleştirin ve iki denklemi ortak çözerek değişkenleri birbirleri cinsinden yazın.

120a + 150b + 180c = 12900

denklemi

30

ile sadeleştirilirse

4a + 5b + 6c = 430

elde edilir. Birinci denklemi

4

ile genişletip çıkarırsak:

(4a + 5b + 6c) - 4(a + b + c) = 430 - 320 \implies b + 2c = 110

bulunur. Buradan

b = 110 - 2c

elde edilir. Toplam adet denkleminden

b = 80 - a - c

yazılarak

80 - a - c = 110 - 2c \implies c - a = 30 \implies c = a + 30

bulunur. Bu değer yerine yazılırsa

b = 50 - 2a

elde edilir.

Çözüm kümesini tek bir değişken (a) cinsinden analiz edebilmek için.

3

En çok satılan menünün B menüsü olma koşulunu eşitsizlik olarak uygulayın.

b > a

ve

b > c

olmalıdır.

b > c \implies 50 - 2a > a + 30 \implies 20 > 3a \implies a < \frac{20}{3} \approx 6,67

elde edilir. Diğer taraftan

b > a \implies 50 - 2a > a \implies 50 > 3a \implies a < \frac{50}{3} \approx 16,67

bulunur.

Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için en dar aralığı bulmak amacıyla.

4

Bulunan aralıktaki en büyük tam sayıyı belirleyin.

a < 6,67

eşitsizliğini sağlayan en büyük

a

tam sayısı

6

'dır. Bu durumda

c = 36

ve

b = 38

olur ki bu değerler tüm koşulları sağlar.

Menü adedi bir tam sayı olmak zorunda olduğundan bu aralıktaki en büyük tam sayıyı seçeriz.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden çok bilinmeyenli denklemlerin belirli tam sayı kısıtları ve eşitsizlikler altında çözülmesi.

Soru 827Soru →

Bir manav, elindeki elmaların tamamını her birinde eşit sayıda elma olacak şekilde kasalara dolduracaktır. Manav, her kasaya $10$ 'ar elma koyarsa elmaların tamamını yerleştirmek için iki basamaklı $AB$ tane kasaya ihtiyaç duyuyor. Eğer her kasaya $12$ 'şer elma koyarsa, elmaların tamamını yerleştirmek için iki basamaklı $BA$ tane kasa kullanıyor ve hiç elma artmıyor. Buna göre, manavın elindeki toplam elma sayısı kaçtır?

450

480

540

600

650

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 540

Cevap

Toplam elma sayısı 540'tır.

Toplam elma sayısını veren iki durum birbirine eşitlenir:

10 \cdot (10A + B) = 12 \cdot (10B + A)

. Buradan

100A + 10B = 120B + 12A

elde edilir ve sadeleştirildiğinde

4A = 5B

bağıntısına ulaşılır. A ve B sıfırdan farklı rakamlar olduğu için bu eşitliği sağlayan tek değer çifti A = 5 ve B = 4'tür. Toplam elma sayısı da

10 \cdot 54 = 540

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam elma sayısı için iki farklı durumdaki kasa sayılarını kullanarak denklem kurma.

10 \times (AB) = 12 \times (BA)

Toplam elma sayısı, kasa sayısı ile her kasaya konulan elma sayısının çarpımına eşittir.

2

İki basamaklı AB ve BA sayılarını basamak analizi yöntemiyle çözümleme.

10 \times (10A + B) = 12 \times (10B + A) \Rightarrow 100A + 10B = 120B + 12A

AB sayısı 10A + B ve BA sayısı 10B + A şeklinde çözümlenir.

3

Elde edilen denklemi sadeleştirerek A ve B rakamları arasındaki bağıntıyı bulma.

88A = 110B \Rightarrow 4A = 5B

Benzer terimler bir araya getirildikten sonra eşitliğin her iki tarafı 22 ile sadeleştirilir.

4

A ve B'nin sıfırdan farklı birer rakam olması koşuluyla denklemi sağlayan değerleri belirleme.

A = 5

ve

B = 4

4 ve 5 aralarında asal olduğundan, bu eşitliği sağlayan tek basamaklı rakam değerleri yalnızca A = 5 ve B = 4 olabilir.

5

Bulunan rakam değerlerini kullanarak toplam elma sayısını hesaplama.

10 \times 54 = 540

Hesaplanan A ve B rakamları yerine yazıldığında toplam elma sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Sayı problemleri ve iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi.

Soru 828Soru →

Bir tekstil atölyesinde üretilen tişörtler, her birinde $AB$ adet tişört olacak şekilde kolilenmiştir. Kolileme işlemi tamamlandıktan sonra yapılan kontrolde, 6 kolinin üzerindeki ürün sayısı etiketinin yanlışlıkla iki basamaklı $BA$ sayısı olarak yazıldığı fark edilmiştir.

* Üzerinde $BA$ yazan bu kolilerin her birinde gerçekte $AB$ adet tişört bulunmaktadır.
* Bu etiketleme hatası nedeniyle, kolilerdeki toplam tişört sayısı hesaplanırken gerçek durumdan 270 adet fazla tişört olduğu hesaplanmıştır.

$AB$ ve $BA$ iki basamaklı doğal sayılar olduğuna göre, bir kolide bulunması gereken gerçek tişört sayısı ( $AB$ ) en fazla kaçtır?

16

38

49

59

94

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 49

Cevap

Bir kolide bulunması gereken gerçek tişört sayısı en fazla 49'dur.

Koli başına düşen fark

BA - AB = 45

olarak bulunur. Basamak çözümlemesi yapıldığında

9(B - A) = 45 \implies B - A = 5

ilişkisine ulaşılır. İki basamaklı en büyük

AB

sayısını bulmak için birer rakam olan

A

ve

B

değerlerinden

B

en fazla 9 seçilebilir. Bu durumda

A = 4

olur ve aranan en büyük değer 49 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hatalı etiketlenen koli sayısı ile tek bir kolideki etiket farkını çarparak toplam fazlalık denklemine eşitleyin.

6 \times (BA - AB) = 270 \implies BA - AB = 45

olur.

Toplamda 6 koli hatalı etiketlenmiş ve bu hata 270 adet fazlalığa neden olmuştur. Koli başına farkı bulmak için toplam fazlalık koli sayısına bölünür.

2

İki basamaklı

BA

ve

AB

sayılarını basamak çözümlemesi kullanarak birbirinden çıkarın.

BA - AB = (10B + A) - (10A + B) = 9(B - A) = 45 \implies B - A = 5

elde edilir.

Sayıların basamak değerlerini yazarak aralarındaki rakamsal ilişkiyi bulmak için çözümleme yapılır.

3

B = A + 5

koşulunu sağlayan ve

AB

sayısını en büyük yapan rakamları belirleyin.

B

en fazla 9 olabileceğinden,

A = 4

ve

B = 9

olur. Buradan en büyük

AB

sayısı 49 olarak bulunur.

AB

sayısının en büyük olması için onlar basamağındaki

A

rakamının en büyük seçilmesi gerekir.

B

bir rakam olduğundan en fazla 9 değerini alabilir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve değer aralığı analizi ile sayı problemlerinin çözümü.

Soru 829Soru →

Bir pastanede üretilen kurabiyeler, her bir pakette 8 veya 12 kurabiye olacak şekilde paketlenmiştir. Bu pastanede başlangıçta 12'li paketlerin sayısı, 8'li paketlerin sayısının 2 katıdır.

Daha sonra, 12'li paketlerin bir kısmı açılarak içlerindeki kurabiyelerin tamamı her bir pakette 8 kurabiye olacak şekilde yeniden paketlenmiştir. Son durumda pastanedeki 8'li paketlerin sayısı 12'li paketlerin sayısına eşit olmuştur.

Buna göre, başlangıçtaki 12'li paketlerin yüzde kaçı açılmıştır?

15

20

25

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Başlangıçtaki 12'li paketlerin %20'si açılmıştır.

Başlangıçta

x

adet 8'li ve

2x

adet 12'li paket vardır. Açılan

y

adet 12'li paketten

12y

kurabiye elde edilir. Bu kurabiyelerle

1.5y

adet yeni 8'li paket yapılır. Son durumda 8'li paket sayısı

x + 1.5y

, 12'li paket sayısı ise

2x - y

olur. Bunlar eşitlendiğinde

x = 2.5y

yani

y = 0.4x

bulunur. Açılan paketlerin başlangıçtaki 12'li paketlere oranı

\frac{0.4x}{2x} = 0.2

olup bu da yüzde 20'ye karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki paket sayılarını değişkenlerle ifade etme

8'li paket sayısı

x

ise 12'li paket sayısı

2x

olur.

Başlangıçta 12'li paketlerin sayısının 8'li paketlerin sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.

2

Açılan paketlerden elde edilen yeni paket sayısını hesaplama

Açılan 12'li paket sayısı

y

olsun. Bu paketlerden çıkan toplam kurabiye sayısı

12y

olur. Bu kurabiyelerle

\frac{12y}{8} = 1.5y

adet yeni 8'li paket oluşturulur.

Açılan paketlerdeki tüm kurabiyeler 8'li paketler halinde yeniden paketlenmektedir.

3

Son durumdaki paket sayılarını eşitleyerek değişkenler arasındaki ilişkiyi bulma

Son durumda kalan 12'li paket sayısı

2x - y

, 8'li paket sayısı ise

x + 1.5y

olur. Bu iki değer eşitlendiğinde:

x + 1.5y = 2x - y \implies x = 2.5y \implies y = 0.4x

elde edilir.

Son durumda 8'li paket sayısının 12'li paket sayısına eşit olduğu verilmiştir.

4

Açılan 12'li paketlerin oranını yüzde olarak bulma

Açılma oranı:

\frac{y}{2x} = \frac{0.4x}{2x} = 0.2

yani

\%20

'dir.

Bizden açılan 12'li paket sayısın��n (

y

), başlangıçtaki 12'li paket sayısına (

2x

) oranı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Denklem Kurma

Alternatif Yöntem

Değişken kullanmak yerine başlangıçtaki 8'li paket sayısına 10 diyerek somut değerler üzerinden gidilebilir. Bu durumda 12'li paket sayısı 20 olur. Toplam kurabiye sayısı

10 \times 8 + 20 \times 12 = 320

olur. Son durumda 8'li ve 12'li paket sayıları eşit ve

N

olsun. Toplam kurabiye değişmeyeceğinden

8N + 12N = 320 \implies 20N = 320 \implies N = 16

bulunur. Son durumda 12'li paket sayısı 16 olduğuna göre, açılan 12'li paket sayısı

20 - 16 = 4

olur. Başlangıçtaki 20 adet 12'li paketin 4 tanesi açıldığına göre açılma oranı

4/20 = \%20

olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 830Soru →

Bir iş merkezinde A ve B tipi olmak üzere toplam 60 adet ofis bulunmaktadır. Bu ofislerin bir kısmı dolu, geri kalanları ise boştur.

* A tipi ofislerin kapasitesi en fazla 4 kişi, B tipi ofislerin kapasitesi ise en fazla 6 kişidir.
* Dolu olan her bir A tipi ofiste tam kapasiteyle (4 kişi), dolu olan her bir B tipi ofiste ise tam kapasiteyle (6 kişi) çalışılmaktadır.
* Bu iş merkezindeki toplam dolu ofis sayısı 42'dir.
* Dolu ofislerde çalışan toplam kişi sayısı 188'dir.
* İş merkezindeki A tipi ofislerin toplam sayısı, B tipi ofislerin toplam sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu iş merkezindeki B tipi boş ofis sayısı kaçtır?

3

5

8

10

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

B tipi boş ofis sayısı 5'tir.

İş merkezindeki toplam B tipi ofis sayısı 15, denklem sistemi çözüldüğünde elde edilen dolu B tipi ofis sayısı ise 10'dur. B tipi toplam ofis sayısından dolu olanlar çıkarıldığında boş ofis sayısı 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B tipi ofislerin toplam sayılarını belirleyelim.

B tipi ofis sayısı

b

ise A tipi ofis sayısı

3b

olur. Toplam ofis sayısı

3b + b = 60 \implies 4b = 60 \implies b = 15

ve

a = 45

bulunur.

İş merkezindeki A tipi ofis sayısının B tipi ofis sayısının 3 katı olduğu bilgisi verilmiştir.

2

Dolu A ve B tipi ofis sayılarını bulmak için denklem kuralım.

Dolu A tipi ofis sayısı

x

, dolu B tipi ofis sayısı

y

olsun. Bu durumda, toplam dolu ofis sayısı

x + y = 42

ve dolu ofislerde çalışan toplam kişi sayısı

4x + 6y = 188

olur.

Dolu ofislerde çalışan kişi sayıları ofis tiplerinin kapasitelerine göre belirlenir.

3

Elde edilen denklem sistemini çözerek dolu B tipi ofis sayısını (

y

) bulalım.

Birinci denklemi

-4

ile çarpıp ikinci denklemle toplarsak:

-4x - 4y = -168

ve

4x + 6y = 188 \implies 2y = 20 \implies y = 10

bulunur. Buradan dolu A tipi ofis sayısı da

x = 32

olur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini yok etme metodu ile çözerek dolu B tipi ofis sayısına ulaşırız.

4

B tipi boş ofis sayısını hesaplayalım.

B tipi toplam ofis sayısı 15 ve dolu B tipi ofis sayısı 10 olduğuna göre, boş ofis sayısı

15 - 10 = 5

olarak bulunur.

Bir ofis tipindeki boş ofis sayısı, o tipteki toplam ofis sayısından dolu olanların çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri kurma ve çözme yöntemiyle sayı problemlerinin modellenmesi.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilebilir. Toplam 15 adet B tipi ofis olduğu bilinmektedir. Eğer boş B tipi ofis sayısı 5 ise, dolu B tipi ofis sayısı 10 olur. Dolu ofislerin toplamı 42 olduğundan, dolu A tipi ofis sayısı 32 olmalıdır. Bu durumda toplam çalışan sayısı

32 \times 4 + 10 \times 6 = 128 + 60 = 188

olur ve soruda verilen bilgiyi doğrular.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 831Soru →

Bir güneş enerjisi firması, müşterilerine sunmak üzere Standart ve Premium olmak üzere iki farklı montaj paketi hazırlamıştır. Bu paketlerin içerdiği panel sayıları ve montaj süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Paket Türü	Panel Sayısı (Adet)	Montaj Süresi (Saat)
Standart	$6$	$4$
Premium	$10$	$5$

Bu firmadan belirli sayıda Standart ve Premium paket satın alan bir grup müşterinin tüm montaj işlemleri toplam $80$ saat sürmüştür. Satın alınan tüm Premium paketlerdeki toplam panel sayısı, Standart paketlerdeki toplam panel sayısından $20$ adet fazladır.

Buna göre, bu grup müşteri toplam kaç adet Standart paket satın almıştır?

6

8

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$

Cevap

Standart paket sayısı 10 olarak bulunur.

Doğru seçenekte verilen 10 değeri, kurulan denklem sisteminin çözümünden elde edilen Standart paket sayısıdır. Toplam montaj süresi denklemi

4x + 5y = 80

ve panel sayısı farkı denklemi

10y - 6x = 20

(sadeleştirilmiş haliyle

5y - 3x = 10

) ortak çözüldüğünde Standart paket sayısı (

x

) 10, Premium paket sayısı (

y

) ise 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Satın alınan Standart paket sayıs��

x

, Premium paket sayısı

y

olarak belirlenir ve toplam montaj süresini veren denklem kurulur.

4x + 5y = 80

denklemi elde edilir.

Her bir Standart paket 4 saat, Premium paket 5 saat montaj süresi gerektirdiğinden ve toplam süre 80 saat olduğundan bu denklem kurulur.

2

Toplam panel sayıları arasındaki ilişkiyi veren denklem kurulur ve sadeleştirilir.

10y - 6x = 20 Rightarrow 5y - 3x = 10

denklemi elde edilir.

Premium paketlerdeki toplam panel sayısı

10y

, Standart paketlerdeki toplam panel sayısı

6x

'tir. Premium panel sayısı Standart'tan 20 fazla olduğundan fark 20'ye eşitlenir ve işlem kolaylığı için denklem 2 ile sadeleştirilir.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemi kullanılarak çözülür.

(4x + 5y) - (5y - 3x) = 80 - 10 Rightarrow 7x = 70 Rightarrow x = 10

bulunur.

Her iki denklemde de

+5y

terimi ortak olduğundan, taraf tarafa çıkarma işlemi yapılarak

y

değişkeni yok edilir ve Standart paket sayısı olan

x

değeri doğrudan bulunur.

Anahtar Kavram

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri yardımıyla Sayı Problemlerinin Çözümü

Soru 832Soru →

Bir okul kantinindeki otomat makinesinde meyve suyu ve süt olmak üzere iki çeşit içecek satılmaktadır. Bu içeceklerin satış fiyatları ve boş şişelerinin geri dönüşüm kutusuna atılması durumunda elde edilen iade (depozito) bedelleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

İçecek Türü	Satış Fiyatı (TL)	Boş Şişe İade Bedeli (TL)
Meyve Suyu	$18$	$2$
Süt	$24$	$3$

Bu otomattan belirli bir günde toplam $70$ adet içecek satın alınmış ve bu alımlar için toplam $1440$ TL ödenmiştir. Gün sonunda satın alınan bu içeceklerin tamamının boş şişeleri geri dönüşüm kutusuna atılarak iade bedelleri alınmıştır.

Buna göre, süt şişelerinin geri iadesinden elde edilen toplam iade bedeli kaç TL'dir?

60

80

90

120

170

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Süt şişelerinin geri iadesinden elde edilen toplam iade bedeli 90 TL'dir.

Doğru yanıt olan 90 değeri, otomattan satın alınan 30 adet süt şişesinin her birinin 3 TL olan iade bedeliyle çarpılması (

30 \times 3 = 90

) sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Satın alınan meyve suyu ve süt miktarları için değişkenler belirlenir ve toplam içecek sayısı denklemi kurulur.

Meyve suyu sayısı

m

ve süt sayısı

s

olsun. Toplam içecek sayısı:

m + s = 70

.

İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için birinci bağıntıyı elde etmek.

2

İçeceklerin birim fiyatları kullanılarak toplam ödenen tutar üzerinden ikinci denklem kurulur.

18m + 24s = 1440

TL.

Toplam harcama miktarını veren denklem ile sistemin ikinci bağıntısını elde etmek.

3

Kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.

İkinci denklem 6 ile sadeleştirildiğinde

3m + 4s = 240

elde edilir. Birinci denklem 3 ile çarpılarak (

3m + 3s = 210

) bu denklemden çıkarılırsa,

s = 30

ve buradan

m = 40

bulunur.

Satın alınan meyve suyu ve süt adetlerini tek tek belirlemek.

4

Süt şişelerinden elde edilen toplam iade bedeli hesaplanır.

30 \times 3 = 90

TL.

İstenen süt şişesi adetini birim iade bedeliyle çarparak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ve Sayı Problemleri

Soru 833Soru →

Bir müzeye giriş ücretleri ve gruplara uygulanan indirim oranları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Müzenin kişi başı tam giriş ücreti $30\text{ TL}$ 'dir.
* Kişi sayısı en az 10, en fazla 24 olan gruplardaki her bir kişiye giriş ücretinde $5\text{ TL}$ indirim uygulanmaktadır.
* Kişi sayısı en az 25 olan gruplardaki her bir kişiye ise giriş ücretinde $8\text{ TL}$ indirim uygulanmaktadır.

Bu müzeyi aynı gün ziyaret eden iki farklı gruptan birinci gruptaki kişi sayısı, ikinci gruptaki kişi sayısının 2 katıdır.

Bu iki grubun müzeye ödediği toplam ücret $1035\text{ TL}$ olduğuna göre, ikinci gruptaki kişi sayısı kaçtır?

12

13

14

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İkinci gruptaki kişi sayısı 15'tir.

İkinci gruptaki kişi sayısı 15 olarak alındığında, bu grup 10 ile 24 kişi arasında olduğu için kişi başı 25 TL öder ve toplam ödemesi 375 TL olur. Birinci grup ise bunun iki katı olan 30 kişiden oluşur ve 25 kişiden fazla olduğu için kişi başı 22 TL öder, toplam ödemesi 660 TL olur. İki grubun toplam ödemesi 375 + 660 = 1035 TL olarak şartı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Gruplardaki kişi sayılarını değişkenler cinsinden belirleme

İkinci grubun kişi sayısı

x

ise birinci grubun kişi sayısı

2x

olur.

Birinci grubun kişi sayısının ikinci grubun kişi sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.

2

Kişi sayılarına göre indirimli fiyatları ve toplam ücret denklemini oluşturma

x

sayısının

10 \leq x < 25

aralığında olduğu varsayıldığında, ikinci grup kişi başı

30 - 5 = 25\text{ TL}

öder. Bu durumda birinci grubun kişi sayısı

2x \geq 25

olacağından birinci grup kişi başı

30 - 8 = 22\text{ TL}

öder. Denklem:

25 \cdot x + 22 \cdot (2x) = 1035

olarak kurulur.

Grupların kişi sayıları farklı indirim aralıklarına denk geldiği için kişi başı ücretler farklılaşmaktadır.

3

Kurulan denklemi çözerek bilinmeyeni bulma ve aralık kontrolü yapma

25x + 44x = 1035 \implies 69x = 1035 \implies x = 15

bulunur. Bulunan

15

değeri

10 \leq x < 25

koşulunu ve

2 \cdot 15 = 30 \geq 25

koşulunu sağlamaktadır.

Denklemin çözümünden elde edilen değerin başlangıçta kabul edilen aralık kabulleriyle uyuşup uyuşmadığı doğrulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde aralıklara göre değişen doğrusal ilişkileri kullanarak denklem kurma ve çözme.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerde verilen değerler doğrudan denenerek toplam bilet fiyatının 1035 TL olup olmadığı kontrol edilebilir. Örneğin 15 değeri için gruplar 15 ve 30 kişidir. 15 kişilik grup için kişi başı bilet 25 TL, 30 kişilik grup için ise 22 TL olduğundan toplam tutar

15 \times 25 + 30 \times 22 = 375 + 660 = 1035\text{ TL}

olarak kolayca bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 834Soru →

Bir çiçekçi, elindeki güller ve papatyalarla her bir buket içinde eşit sayıda çiçek olacak şekilde iki farklı türde buket hazırlamaktadır. Buketlerin içerdiği çiçek sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buket Türü	Gül Sayısı	Papatya Sayısı
1. Tür	3	5
2. Tür	5	3

Çiçekçinin hazırladığı 1. tür buketlerin sayısı, 2. tür buketlerin sayısının 2 katından 4 eksiktir.

Çiçekçi bu buketlerin tamamını hazırlamak için toplam 131 adet gül kullandığına göre, bu buketlerde kullanılan toplam papatya sayısı kaçtır?

110

131

149

169

175

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 149

Cevap

Hazırlanan buketlerde kullanılan toplam papatya sayısı 149'dur.

Verilen ilişkiler doğrultusunda 2. tür buket sayısı

x

alındığında, 1. tür buket sayısı

2x-4

olur. Gül sayıları üzerinden kurulan

3(2x-4) + 5x = 131

denklemi çözüldüğünde

x=13

bulunur. Buradan 1. tür buket sayısı 22, 2. tür buket sayısı 13 olarak elde edilir. Toplam papatya sayısı ise

22 \times 5 + 13 \times 3 = 149

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Buket sayıları için değişken tanımlama ve bağıntı kurma

2. tür buket sayısı

x

olarak belirlenirse, 1. tür buket sayısı

2x - 4

olur.

Soruda verilen 1. tür buket sayısının, 2. tür buket sayısının 2 katından 4 eksik olduğu bilgisi cebirsel olarak ifade edilmiştir.

2

Kullanılan toplam gül sayısı üzerinden denklem oluşturma ve çözme

3(2x - 4) + 5x = 131 \Rightarrow 6x - 12 + 5x = 131 \Rightarrow 11x = 143 \Rightarrow x = 13

bulunur.

1. tür buketlerin her birinde 3 gül, 2. tür buketlerin her birinde 5 gül bulunduğu bilgisi kullanılarak toplam gül sayısına eşitlenmiştir.

3

Buket türlerinin adetlerini bulma

1. tür buket sayısı

2(13) - 4 = 22

adet, 2. tür buket sayısı ise

13

adettir.

Bulunan

x

değeri yerine yazılarak her bir buket türünün toplam miktarı hesaplanmıştır.

4

Toplam papatya sayısını hesaplama

5 \times 22 + 3 \times 13 = 110 + 39 = 149

adet papatya bulunur.

1. tür buketlerde 5'er, 2. tür buketlerde 3'er adet papatya kullanıldığı bilgisiyle toplam papatya miktarına ulaşılmıştır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen değişkenler arasında doğrusal bağıntı kurma ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözme

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine sayısal tahminlerden gidilebilir. Toplam gül sayısı 131 tek bir sayı olduğundan ve 2. tür buketlerdeki gül sayısı 5 (sonu 0 veya 5 ile biten bir sayı) olduğundan, 1. tür buketlerin gül toplamı (

3 \times \text{Buket Sayısı}

) tek sayı olmalıdır. Buradan deneme yanılma yapılarak da sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 835Soru →

Bir şehrin bisiklet paylaşım sisteminde A ve B olmak üzere iki farklı tipte toplam 34 adet istasyon bulunmaktadır. Bu istasyonlardaki bisikletler ve park yerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Başlangıçta tüm istasyonlardaki bisiklet park yerleri tamamen doludur.
* Gün içinde A tipi istasyonların yarısının her birinden 3'er bisiklet, B tipi istasyonların ise ��çte birinin her birinden 5'er bisiklet alınmıştır.
* Son durumda sistemdeki toplam boş park yeri sayısı 54 olmuştur.

Buna göre, bu bisiklet paylaşım sistemindeki B tipi istasyon sayısı kaçtır?

12

15

16

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

B tipi istasyon sayısı 18'dir.

B tipi istasyon sayısı

y

, A tipi istasyon sayısı

x

olarak belirlendiğinde; toplam istasyon sayısı

x + y = 34

ve boş park yerlerinin toplamı

1.5x + \frac{5}{3}y = 54

olarak yazılır. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

y = 18

ve

x = 16

değerleri elde edilir. Dolayısıyla B tipi istasyon sayısı 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve istasyon sayısına göre ilk denklemin kurulması.

A tipi istasyon sayısı

x

, B tipi istasyon sayısı

y

olsun. Toplam istasyon sayısı 34 olduğundan

x + y = 34

denklemi elde edilir.

İstasyonlar arasındaki ilişkiyi cebirsel olarak ifade etmek.

2

Alınan bisiklet miktarlarına ve oluşan boş park yeri sayısına göre ikinci denklemin kurulması.

A tipi istasyonların yarısından (

x/2

) 3'er bisiklet alınırsa

3 \cdot \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}

boş yer oluşur. B tipi istasyonların üçte birinden (

y/3

) 5'er bisiklet alınırsa

5 \cdot \frac{y}{3} = \frac{5y}{3}

boş yer oluşur. Toplam boş yer sayısı 54 olduğuna göre,

\frac{3x}{2} + \frac{5y}{3} = 54

denklemi elde edilir.

Oluşan boş yer miktarını veren bağıntıyı kurmak.

3

İkinci denklemin paydalarının eşitlenerek sadeleştirilmesi.

\frac{3x}{2} + \frac{5y}{3} = 54 \implies \frac{9x + 10y}{6} = 54 \implies 9x + 10y = 324

denklemi elde edilir.

İşlemleri kolaylaştırmak için rasyonel ifadeyi tam sayılı denkleme dönüştürmek.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözülmesi.

x + y = 34

denkleminden

x = 34 - y

ifadesi bulunur. Bu ifade

9x + 10y = 324

denkleminde yerine yazılırsa:

9(34 - y) + 10y = 324 \implies 306 - 9y + 10y = 324 \implies y = 18

bulunur.

Soruda istenen B tipi istasyon sayısını (

y

) bulmak.

Anahtar Kavram

İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Sayı Problemleri Kurma

Soru 836Soru →

Bir metro hattında sefer yapan bir tren, her biri eşit yolcu kapasitesine sahip $6$ vagondan oluşmaktadır. Bu trendeki yolcu sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İlk $3$ vagondaki toplam yolcu sayısı, trenin toplam yolcu kapasitesinin $\frac{1}{4}$ 'ine eşittir.
* Son $3$ vagondaki toplam yolcu sayısı, ilk $3$ vagondaki toplam yolcu sayısının $2$ katından $40$ eksiktir.
* Bir durakta, ilk $3$ vagondan toplam $40$ yolcu inmiş, son $3$ vagondan ise toplam $60$ yolcu inmiştir. Trendeki diğer vagonlardan yolcu inmemiş ve trene yeni yolcu binmemiştir.
* Son durumda trendeki toplam yolcu sayısı, trenin toplam yolcu kapasitesinin $\frac{1}{3}$ 'üne eşit olmuştur.

Buna göre, başlangıçta trendeki toplam yolcu sayısı kaçt��r?

104

148

180

212

244

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $212$

Cevap

Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı

212

'dir.

Trenin vagon kapasitesi

C

olarak belirlendiğinde, verilen sözel ifadelerden ilk 3 vagondaki yolcu sayısı

1{}5C

, son 3 vagondaki yolcu sayısı

3C - 40

ve başlangıçtaki toplam yolcu sayısı

4{}5C - 40

olarak elde edilir. Duraktaki toplam 100 kişilik azalmayla birlikte son durumdaki yolcu sayısı

4{}5C - 140

olur. Bu sayı toplam kapasitenin üçte biri olan

2C

'ye eşitlendiğinde vagon kapasitesi

C = 56

bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam yolcu sayısı

4{}5 \times 56 - 40 = 212

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Trenin her bir vagonunun kapasitesine

C

diyelim. Bu durumda trenin toplam yolcu kapasitesi

6C

olur. Verilen ilk bilgiyi kullanarak ilk

3

vagondaki yolcu sayısını (

P_1

) ifade edelim.

P_1 = \frac{1}{4} \times 6C = 1{}5C

İlk 3 vagondaki yolcu sayısı toplam kapasitenin dörtte birine eşit olarak verilmiştir.

2

Son

3

vagondaki yolcu sayısını (

P_2

), ilk

3

vagondaki yolcu sayısının

2

katından

40

eksik olacak şekilde ifade edelim ve başlangıçtaki toplam yolcu sayısını

C

cinsinden bulalım.

P_2 = 2 \times (1{}5C) - 40 = 3C - 40

Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı:

P_1 + P_2 = 1{}5C + 3C - 40 = 4{}5C - 40

Son 3 vagondaki yolcu sayısının ilişkisi ilk 3 vagondakine bağlı olarak tanımlanmıştır.

3

Durakta vagonlardan inen yolcu sayılarını hesaba katarak yeni toplam yolcu sayısını belirleyelim ve bunu son durumdaki toplam kapasite ilişkisine eşitleyelim.

Yeni toplam yolcu sayısı:

(P_1 - 40) + (P_2 - 60) = 4{}5C - 140

Son durum ilişkisi:

4{}5C - 140 = \frac{1}{3} \times 6C = 2C

İlk 3 vagondan 40 yolcu, son 3 vagondan 60 yolcu indiği ve bu durumun trenin toplam kapasitenin üçte birine karşılık geldiği belirtilmiştir.

4

Elde edilen denklemi çözerek

C

değerini bulalım ve ard��ndan başlangıçtaki toplam yolcu sayısını hesaplayalım.

4{}5C - 2C = 140 \implies 2{}5C = 140 \implies C = 56

Başlangıçtaki toplam yolcu sayısı:

4{}5 \times 56 - 40 = 252 - 40 = 212

Vagon kapasitesi bulunduktan sonra başlangıçtaki toplam yolcu sayısı formülünde yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri değişkenler kullanarak denklem sistemine dönüştürme ve çözme.

Alternatif Yöntem

Bilinmeyenleri vagon kapasitesi yerine doğrudan toplam kapasite üzerinden tanımlayarak da çözüme ulaşılabilir. Trenin toplam kapasitesine

T

denirse, ilk 3 vagondaki yolcu sayısı

P_1 = \frac{T}{4}

, son 3 vagondaki yolcu sayısı ise

P_2 = \frac{T}{2} - 40

olur. Durakta gerçekleşen inişlerden sonra trendeki toplam yolcu sayısı

(P_1 + P_2) - 100 = \frac{3T}{4} - 140

olur. Bu değer

\frac{T}{3}

'e eşitlenerek

T = 336

bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam yolcu sayısı

\frac{3 \times 336}{4} - 40 = 212

olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 837Soru →

Bir serada yetiştirilen domatesler, her birinde kendi içinde eşit sayıda domates bulunan küçük veya büyük boy kasalara doldurulacaktır.

* Küçük kasalardaki domates sayısı, büyük kasalardaki domates sayısının yarısından $4$ fazladır.
* Seradaki domateslerin tamamı, sadece küçük kasalar kullanılarak doldurulduğunda $30$ kasa tam dolmaktadır.
* Seradaki domateslerin tamamı, sadece büyük kasalar kullanılarak doldurulduğunda ise $18$ kasa tam dolmakta ve geriye $12$ adet domates kalmaktadır.

Buna göre, bir küçük kasada kaç adet domates vardır?

10

22

24

26

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Bir küçük kasadaki domates sayısı 22'dir.

Küçük kasadaki domates sayısı

y

, büyük kasadaki domates sayısı

x

olarak tanımlandığında, verilen bilgilerden

y = \frac{x}{2} + 4

ve dolayısıyla

x = 2y - 8

elde edilir. Toplam domates sayısı her iki paketleme türünde de aynı olacağından

30y = 18x + 12

eşitliği yazılır. Bu eşitlikte

x

yerine

2y - 8

yazıldığında

30y = 18(2y - 8) + 12

denklemi elde edilir. Denklem çözüldüğünde

30y = 36y - 132 \Rightarrow 6y = 132 \Rightarrow y = 22

sonucuna ulaşılır. Bu değer bir küçük kasadaki domates sayısını vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Küçük kasadaki domates sayısını

y

, büyük kasadaki domates sayısını

x

değişkeni ile ifade edip aralarındaki ilişkiyi yazalım.

y = \frac{x}{2} + 4 \Rightarrow x = 2y - 8

elde edilir.

Küçük kasadaki domates sayısının, büyük kasadakinin yarısından

4

fazla olduğu belirtilmiştir. Denklem çözümünü kolaylaştırmak adına

x

değerini

y

türünden ifade ederiz.

2

Toplam domates miktarını her iki durum için de birbirine eşitleyen denklemi kuralım.

30y = 18x + 12

Toplam domates sayısı, 30 küçük kasanın kapasitesine veya 18 büyük kasanın kapasitesine 12 eklenmesine eşittir.

3

Birinci adımda bulduğumuz

x = 2y - 8

ifadesini ikinci adımdaki denklemde yerine yazarak

y

değerini çözelim.

30y = 18(2y - 8) + 12 \Rightarrow 30y = 36y - 144 + 12 \Rightarrow 6y = 132 \Rightarrow y = 22

bulunur.

Soruda bizden istenen küçük kasadaki domates sayısı (

y

) olduğu için tek bilinmeyenli denklemi çözerek sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla sayı problemi çözme

Alternatif Yöntem

Denklem çözmek yerine seçenekler elenerek de kontrol edilebilir. Ancak en sistematik yol, küçük kasadaki domates sayısına

y

deyip toplam domates miktarını

y

cinsinden ifade etmektir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 838Soru →

Bir kafede bulunan masalar 4 kişilik veya 6 kişiliktir. Bu kafedeki 4 kişilik masaların bir kısmında dörder kişi oturmakta, geri kalan 4 kişilik masaların her birinde ise ikişer sandalye boş kalmaktadır. 6 kişilik masaların ise tamamında altışar kişi oturmaktadır.

Bu kafede toplam 18 masa, boş kalan toplam 10 sandalye ve kafede oturan toplam 80 müşteri bulunmaktadır.

Buna göre, kafede bulunan toplam 4 kişilik masa sayısı kaçtır?

8

9

10

11

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Kafede bulunan toplam 4 kişilik masa sayısı 9'dur.

Kafedeki toplam masa sayısı 18, boş sandalye sayısı 10 ve oturan kişi sayısı 80'dir. 4 kişilik masaların her birinde 2 sandalye boş kaldığına göre, bu durumda 5 adet kısmen dolu masa vardır. Geriye kalan 13 masa ise tam doludur. Tam dolu 4 kişilik masa sayısı

x

, 6 kişilik masa sayısı

z

dersek,

x+z=13

olur. Müşteri sayısı denkleminden

4x + 6z + 10 = 80 \implies 4x + 6z = 70

elde edilir. Bu iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde

x=4

ve

z=9

bulunur. Toplam 4 kişilik masa sayısı ise tam dolu ve kısmen dolu olanların toplamı olup

4+5=9

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin tanımlanması ve boş sandalye sayısından yola çıkarak kısmen dolu masaların belirlenmesi

Kısmen dolu 4 kişilik masa sayısı

y = 5

olarak bulunur.

4 kişilik masaların bir kısmında 4 kişi oturmakta (0 boş sandalye), kalan kısmında ise her masada 2 sandalye boş kalmaktadır. Toplam boş sandalye sayısı 10 olduğuna göre, boş sandalyesi olan 4 kişilik masa sayısı

y

olmak üzere,

2y = 10 \implies y = 5

olur.

2

Toplam masa sayısı denkleminden tam dolu 4 kişilik ve 6 kişilik masa sayıları arasında ilişki kurulması

x + z = 13

denklemi elde edilir.

Kafedeki tam dolu 4 kişilik masa sayısı

x

, 6 kişilik masa sayısı

z

olsun. Toplam masa sayısı 18 olduğuna göre,

x + y + z = 18 \implies x + 5 + z = 18 \implies x + z = 13

olur.

3

Müşteri sayısı bilgisini kullanarak ikinci bir denklem elde edilmesi ve bu denklemlerin ortak çözülmesi

z = 9

ve

x = 4

bulunur.

Kafedeki toplam müşteri sayısı 80'dir. Dolu 4 kişilik masalarda

4x

kişi, kısmen dolu masalarda

2y = 2 \times 5 = 10

kişi ve 6 kişilik masalarda

6z

kişi oturmaktadır. Buradan

4x + 10 + 6z = 80 \implies 4x + 6z = 70 \implies 2x + 3z = 35

denklemi kurulur.

x + z = 13

denklemini

-2

ile çarpıp taraf tarafa toplarsak:

-2x - 2z = -26

ve

2x + 3z = 35

ifadelerinden

z = 9

bulunur.

x + z = 13 \implies x + 9 = 13 \implies x = 4

elde edilir.

4

Toplam 4 kişilik masa sayısının hesaplanması

Toplam 4 kişilik masa sayısı

4 + 5 = 9

olarak bulunur.

Kafedeki 4 kişilik masa sayısı, tam dolu masalar ile kısmen dolu masaların toplamıdır. Bu değer

x + y = 4 + 5 = 9

olur.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve denklem sistemlerini çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 839Soru →

Bir okul kütüphanesine yeni alınan kitapların tamamı, her bir rafta eşit sayıda kitap olacak şekilde boş raflara dizilecektir.

* Kitaplar $12$ rafa dizildiğinde, son raf hariç diğer tüm raflar tamamen dolmakta; son rafta ise $4$ kitaplık boş yer kalmaktadır.
* Kitaplar $8$ rafa dizildiğinde, her raftaki kitap sayısı ilk durumdaki dolu bir raftaki kitap sayısından $5$ fazla olmakta ve tüm raflar tamamen dolmaktadır.

Buna göre, kütüphaneye yeni alınan toplam kitap sayısı kaçtır?

96

112

120

128

132

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Toplam kitap sayısı 128'dir.

Kitapların dizilim senaryolarına göre yazılan

12x - 4 = 8(x+5)

denkleminden dolu raf kapasitesi

x = 11

bulunur. Buradan toplam kitap sayısı

8 \times (11 + 5) = 128

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk durumdaki dolu bir rafın alacağı kitap sayısına

x

diyelim. Bu durumda toplam kitap sayısını veren ifadeyi yazalım.

Toplam kitap sayısı:

12x - 4

12 rafın 11 tanesi tamamen dolu (

11x

kitap), son rafta ise 4 kitaplık boş yer kalmıştır yani

x-4

kitap vardır. Toplamda

11x + x - 4 = 12x - 4

kitap olur.

2

İkinci durumdaki raf sayısını ve her raftaki kitap sayısını kullanarak toplam kitap sayısını veren ikinci ifadeyi yazalım.

Toplam kitap sayısı:

8(x + 5)

Kitaplar 8 rafa dizildiğinde her rafta ilk durumdakinden 5 fazla kitap (

x+5

) bulunmakta ve tüm raflar dolmaktadır.

3

Her iki durumda da toplam kitap sayısı aynı olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek

x

değerini bulalım.

12x - 4 = 8(x + 5) \implies 12x - 4 = 8x + 40 \implies 4x = 44 \implies x = 11

Eşitliğin iki tarafındaki benzer terimleri düzenleyip bilinmeyeni çekeriz.

4

Bulduğumuz

x = 11

değerini denklemlerden birinde yerine yazarak toplam kitap sayısını hesaplayalım.

8 \times (11 + 5) = 8 \times 16 = 128

Toplam kitap sayısını bulmak için ikinci durumdaki

8(x+5)

ifadesinde

x

yerine

11

yazarız.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve doğrusal denklem sistemlerini çözme.

Soru 840Soru →

Bir lojistik firması, taşıma kapasiteleri sırasıyla $3$ ton ve $5$ ton olan A ve B tipi kamyonlarla toplam $120$ ton yük taşıyacaktır.

Bu taşıma işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Kamyonlar her seferinde tamamen dolu olarak hareket etmektedir.
* A tipi kamyonların yaptığı toplam sefer sayısı, B tipi kamyonların yaptığı toplam sefer sayısının en az $2$ kat�� olmalıdır.

Buna göre, taşıma işleminin tamamlanması için B tipi kamyonların yaptığı sefer sayısı en fazla kaç olabilir?

6

9

10

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

B tipi kamyonların yapabileceği sefer sayısı en fazla 9'dur.

B tipi kamyonların sefer sayısı en fazla 9 olabilir. Toplam yük denkleminden

x = 40 - \frac{5}{3}y

bağıntısı elde edilir ve sefer sayısının tam sayı olması için B tipi kamyon sefer sayısı 3'ün katı olmalıdır.

x \ge 2y

eşitsizliği çözüldüğünde B tipi kamyon sefer sayısının en fazla 10,91 olabileceği görülür. Bu aralıkta 3'ün katı olan en büyük değer 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Kamyonların sefer sayılarına göre toplam yük denklemini kurma

A tipi kamyonların sefer sayısı

x

, B tipi kamyonların sefer sayısı

y

olsun. Toplam taşınan yük

120

ton olduğuna göre denklemimiz:

3x + 5y = 120

olur.

Her kamyonun taşıdığı yük miktarı ile sefer sayısının çarpımı toplam yükü vermelidir.

2

Sefer sayılarının tam sayı olma koşulunu analiz etme

3x = 120 - 5y \implies x = 40 - \frac{5}{3}y

elde edilir. Sefer sayısı negatif olamayacak bir tam sayı olduğundan,

y

değeri mutlaka

3

'ün bir katı (

0, 3, 6, 9, \dots

) olmalıdır.

Kamyon sefer sayısının fiziksel olarak tam sayı olması zorunluluğundan

y

değişkeninin kısıtını belirlemek için.

3

Eşitsizlik kısıtlamasını uygulayarak en büyük sefer sayısını belirleme

A tipi sefer sayısı, B tipi sefer sayısının en az 2 katı olmalıdır:

x \ge 2y

. Bir önceki adımda bulduğumuz

x

değerini yerine yazarsak:

40 - \frac{5}{3}y \ge 2y \implies 40 \ge \frac{11}{3}y \implies 120 \ge 11y \implies y \le \frac{120}{11} \approx 10,91

elde edilir.

y

değeri 3'ün katı olan bir doğal sayı olduğuna göre bu koşulu sağlayan en büyük

y

değeri

9

olarak bulunur.

Verilen kat ilişkisine dayalı eşitsizliği çözerek en büyük sınır değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde doğrusal denklem sistemleri, eşitsizlik kısıtları ve tam sayı bölünebilme özelliklerinin birlikte uygulanması

Alternatif Yöntem

Deneme metoduyla değer tablosu oluşturulabilir.

y

değerine sırasıyla 3'ün katları olan

0, 3, 6, 9, 12

değerleri verilerek karşılık gelen

x

değerleri

x = 40 - \frac{5}{3}y

formülünden hesaplanır.

y = 9

için

x = 25

bulunur ve

25 \ge 2 \cdot 9

(yani

25 \ge 18

) koşulu sağlanır. Bir sonraki kat olan

y = 12

için

x = 20

bulunur fakat

20 \ge 2 \cdot 12

(yani

20 \ge 24

) koşulu sağlanmadığı için en büyük değerin 9 olduğu bu şekilde de görülebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Problemler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar