Examkin

Problemler

889 soru

Tüm türler889Çoktan seçmeli593Sayısal232Eşleştirme29Sıralama35
Soru 841Soru →

Bir metro istasyonunda çalışmayan bir yürüyen merdiveni yürüyerek çıkan Burak ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Burak merdiveni çıkarken her adımda ya 22 basamak ya da 33 basamak çıkmıştır.
* Burak'ın 22 basamak çıktığı adım sayısı, 33 basamak çıktığı adım sayısının 33 katından 44 eksiktir.
* Burak bu merdiveni toplam 2828 adımda tamamlamıştır.

Buna göre, bu merdiven toplam kaç basamaklıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Toplam basamak sayısı 64'tür.
Soruda verilen bilgiler doğrultusunda denklem kurulduğunda Burak'ın 33 basamak çıktığı adım sayısı 88, 22 basamak çıktığı adım sayısı ise 2020 olarak elde edilir. Buradan toplam basamak sayısı 3×8+2×20=643 \times 8 + 2 \times 20 = 64 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması
Burak'ın 33 basamak çıktığı adım sayısı xx, 22 basamak çıktığı adım sayısı yy olsun.
Problemi matematiksel olarak modellemek için bilinmeyenleri belirleriz.
2
Denklem sisteminin kurulması
Toplam adım sayısı: x+y=28x + y = 28
Adım sayıları arasındaki ilişki: y=3x−4y = 3x - 4
Soruda verilen toplam adım sayısını ve adımlar arasındaki bağıntıyı matematiksel ifadelere dönüştürürüz.
3
Denklem sisteminin çözülmesi
yy ifadesini toplam adım denkleminde yerine yazarsak:
x+(3x−4)=28  ⟹  4x−4=28  ⟹  4x=32  ⟹  x=8x + (3x - 4) = 28 \implies 4x - 4 = 28 \implies 4x = 32 \implies x = 8 bulunur.
Buradan y=28−8=20y = 28 - 8 = 20 elde edilir.
Yerine koyma metodu yardımıyla her bir adım türünün sayısını hesaplarız.
4
Toplam basamak sayısının hesaplanması
Toplam basamak sayısı: 3x+2y=3(8)+2(20)=24+40=643x + 2y = 3(8) + 2(20) = 24 + 40 = 64 olarak bulunur.
Adım sayılarını adım büyüklükleri ile çarparak merdivenin toplam basamak sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel durumları birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürerek çözme.
Soru 842Soru →

Bir kargo şubesinde bulunan iki farklı teraziyle ilgili a��ağıdakiler bilinmektedir:

* I. terazi, üzerine konulan bir cismin ağırlığının 22 katından 100100 gram eksik göstermektedir.
* II. terazi, üzerine konulan bir cismin ağırlığının 33 katından 200200 gram eksik göstermektedir.

Bu terazilerden birine A cismi, diğerine ise B cismi konulduğunda göstergelerdeki değerlerin toplamı 48004800 gram olmaktadır. Eğer A cismi II. teraziye, B cismi ise I. teraziye konulsaydı göstergelerdeki değerlerin toplamı 54005400 gram olacaktı.

Buna göre, A cisminin gerçek ağırlığı B cisminin gerçek ağırlığından kaç gram fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 600

Cevap

A cisminin gerçek ağırlığı B cisminin gerçek ağırlığından 600 gram fazladır.
Doğru olan 600 değeri, iki durum için yazılan 2a+3b=51002a + 3b = 5100 ve 3a+2b=57003a + 2b = 5700 denklemlerinin taraf tarafa çıkarılması sonucunda doğrudan elde edilen a−b=600a - b = 600 eşitliğinden bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve terazi denklemlerini oluşturma
A cisminin gerçek ağırlığı aa gram, B cisminin gerçek ağırlığı bb gram olsun. I. terazinin gösterdiği değer 2x−1002x - 100, II. terazinin gösterdiği değer ise 3x−2003x - 200 olur.
Soruda verilen bilgileri matematiksel model haline getirmek için değişkenler tanımlanır.
2
Birinci durum için denklem kurma
A cismi I. terazide (2a−1002a - 100), B cismi II. terazide (3b−2003b - 200) iken toplam ağırlık:
(2a−100)+(3b−200)=4800⇒2a+3b=5100(2a - 100) + (3b - 200) = 4800 \Rightarrow 2a + 3b = 5100
İlk durumdaki toplam gösterge değerini veren denklemi oluşturmak için.
3
İkinci durum için denklem kurma
A cismi II. terazide (3a−2003a - 200), B cismi I. terazide (2b−1002b - 100) iken toplam ağırlık:
(3a−200)+(2b−100)=5400⇒3a+2b=5700(3a - 200) + (2b - 100) = 5400 \Rightarrow 3a + 2b = 5700
İkinci durumdaki toplam gösterge değerini veren denklemi oluşturmak için.
4
Denklem sistemini çözerek aralarındaki farkı bulma
Elde edilen denklemleri taraf tarafa çıkaralım:
(3a+2b)−(2a+3b)=5700−5100⇒a−b=600(3a + 2b) - (2a + 3b) = 5700 - 5100 \Rightarrow a - b = 600
Soruda bizden istenen A ve B cisimlerinin gerçek ağırlıkları arasındaki farkı (a−ba - b) doğrudan elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi.
Soru 843Soru →

Bir çiçek serasında bulunan A ve B türü saksı çiçeklerinin sulanmasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Serada bu iki türden toplam 8080 adet saksı çiçeği bulunmaktadır.
* A türündeki her bir çiçek günde 33 defa, B türündeki her bir çiçek ise günde 22 defa sulanmaktadır.
* A türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarı, B türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarının 22 katıdır.
* A türündeki bir çiçeğin bir sulamada tükettiği su miktarı 44 birimdir.
* Gün boyunca seradaki tüm çiçeklerin sulanması için toplam 560560 birim su kullanılmıştır.

Buna göre, serada B türünde kaç adet saksı çiçeği vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

B türündeki saksı çiçeği sayısı 50'dir.
A türündeki bir çiçeğin günlük tüketimi 12 birim, B türündeki bir çiçeğin günlük tüketimi 4 birimdir. Toplam 80 çiçek ve 560 birim su bilgisiyle kurulan denklem sisteminden B türündeki çiçek sayısı 50 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Çiçek sayıları için değişkenleri belirleyelim.
A türü çiçek sayısı xx ve B türü çiçek sayısı yy olsun. Toplam çiçek sayısı 8080 olduğundan ilk denklem: x+y=80x + y = 80 olur.
Çiçeklerin sayıları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Çiçeklerin günlük su tüketim miktarlarını hesaplayalım.
A türü çiçeğin bir sulamada tükettiği su 44 birimdir ve günde 33 kez sulanmaktadır. Dolayısıyla bir A türü çiçeğin günlük su tüketimi 3×4=123 \times 4 = 12 birimdir. B türü çiçeğin bir sulamadaki tüketimi A'nın yarısı kadar (4÷2=24 \div 2 = 2 birim) olup günde 22 kez sulanmaktadır. Dolayısıyla bir B türü çiçeğin günlük su tüketimi 2×2=42 \times 2 = 4 birimdir.
Çiçeklerin toplam günlük su tüketimini veren denklemi oluşturmak için tür başına günlük su kullanımını belirlemek gerekir.
3
Toplam su tüketimini veren denklemi kuralım.
Toplam su tüketimi 560560 birim olduğuna göre, ikinci denklem: 12x+4y=56012x + 4y = 560 olur.
Çiçek sayısını bulabilmek için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak gerekir.
4
Oluşan denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim.
İlk denklemi 44 ile çarparak yazalım: 4x+4y=3204x + 4y = 320. İkinci denklemden bu denklemi taraf tarafa çıkaralım: (12x+4y)−(4x+4y)=560−320  ⟹  8x=240  ⟹  x=30(12x + 4y) - (4x + 4y) = 560 - 320 \implies 8x = 240 \implies x = 30 bulunur. Bu değeri ilk denklemde yerine koyalım: 30+y=80  ⟹  y=5030 + y = 80 \implies y = 50 elde edilir.
Bilinmeyenlerden birini yok ederek diğerinin değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Alternatif Yöntem

Denklemleri sadeleştirerek çözebiliriz: 12x+4y=56012x + 4y = 560 denkleminin her terimini 44'e böldüğümüzde 3x+y=1403x + y = 140 elde ederiz. Bu denklemden x+y=80x + y = 80 denklemini çıkardığımızda 2x=60  ⟹  x=302x = 60 \implies x = 30 bulunur. Buradan da B türündeki çiçek sayısı y=80−30=50y = 80 - 30 = 50 olarak kolayca bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 844Soru →

Bir kahve dükkanında uygulanan 'Askıda Kahve' kampanyasında müşteriler kendilerine kahve alırken aynı zamanda ihtiyaç sahipleri için askıya kahve bırakabilmektedir. Bu dükkanda satılan bir fincan kahvenin fiyatı 6060 TL'dir. Dükkan sahibi kampanya kapsamında askıya bırakılan her 33 fincan kahve için kendisi de askıya 11 fincan kahve eklemektedir.

Bir gün boyunca bu dükkandan toplam 120120 fincan kahve satın alınmış ve bu kahvelerin bir kısmı müşteriler tarafından kendileri için içilmiş, geri kalan kısmı ise askıya bırakılmıştır.

Gün sonunda dükkan sahibinin ekledikleriyle birlikte askıda toplam 4848 fincan kahve biriktiğine göre, bu gün boyunca müşteriler kendileri için kaç fincan kahve satın almıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

Müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı 84'tür.
Müşterilerin askıya bıraktığı kahve sayısı yy olsun. Dükkan sahibi askıya bırakılan her 33 kahve için 11 kahve eklediğinden, dükkan sahibinin eklediği kahve sayısı y3\frac{y}{3} olur. Askıda biriken toplam kahve sayısı y+y3=4y3y + \frac{y}{3} = \frac{4y}{3} olarak ifade edilir. Bu değer 4848'e eşitlendiğinde 4y3=48\frac{4y}{3} = 48 denkleminden y=36y = 36 bulunur. Toplam satın alınan 120120 kahveden askıya bırakılan 3636 kahve çıkarıldığında, müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı 120−36=84120 - 36 = 84 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Müşterilerin askıya bıraktığı kahve sayısına yy denilerek değişken tanımlanır.
Müşterilerin askıya bıraktı��ı kahve sayısı = yy
Bilinmeyen değerler arasında matematiksel ilişki kurabilmek için.
2
Dükkan sahibinin katkısını hesaba katarak askıdaki toplam kahve sayısını veren denklem kurulur.
Dükkan sahibi y3\frac{y}{3} kahve ekler. Toplam askıdaki kahve sayısı: y+y3=4y3y + \frac{y}{3} = \frac{4y}{3} olur.
Her 3 fincan kahve için dükkan sahibinin de 1 fincan eklediği bilgisine dayanarak.
3
Askıdaki toplam kahve sayısı olan 4848 değeri kurulmuş olan denkleme eşitlenerek çözülür.
4y3=48⇒4y=144⇒y=36\frac{4y}{3} = 48 \Rightarrow 4y = 144 \Rightarrow y = 36 olarak bulunur.
Müşteriler tarafından askıya bırakılan asıl kahve adedini tespit etmek için.
4
Müşterilerin kendileri için satın aldığı kahve sayısı hesaplanır.
Toplam satın alınan 120120 fincan kahveden askıya bırakılan 3636 fincan kahve çıkarıldığında, kendileri için alınan kahve sayısı 120−36=84120 - 36 = 84 olarak hesaplanır.
Müşterilerin satın aldığı toplam kahve miktarı kendi içtikleri ve askıya bıraktıklarının toplamına eşit olduğu için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde oran-orantı mantığıyla bilinmeyenleri belirleyip denklem kurma ve çözme.
Soru 845Soru →

Bir şehirde bulunan akıllı bisiklet kiralama istasyonunda tek kişilik ve iki kişilik olmak üzere toplam 4545 adet bisiklet bulunmaktadır. Bu istasyondan bisiklet kiralayan bir grup turistle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Gruptaki her bir turist bir bisiklete binmiştir.
* Tek kişilik bisikletlerin her birine 11 kişi, iki kişilik bisikletlerin her birine ise 22 kişi binmiştir.
* İstasyondaki tek kişilik bisikletlerin tamamı kiralanmış, iki kişilik bisikletlerin ise bir kısmı boş kalmıştır.
* Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı, boş kalan iki kişilik bisiklet sayısının 33 katıdır.

Gruptaki toplam turist sayısı 5757 olduğuna göre, bu istasyondaki iki kişilik bisiklet sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İstasyondaki iki kişilik bisiklet sayısı 24'tür.
İki kişilik bisiklet sayısına DD, tek kişilik bisiklet sayısına TT denildiğinde; toplam bisiklet sayısı T+D=45T + D = 45 olur. Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı DkD_k ve boş kalan iki kişilik bisiklet sayısı DbD_b olmak üzere, Dk=3DbD_k = 3D_b ilişkisiyle D=4DbD = 4D_b elde edilir. Bisikletlerdeki toplam kişi sayısı T+2Dk=T+6Db=57T + 2D_k = T + 6D_b = 57 olur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde Db=6D_b = 6 ve buradan toplam iki kişilik bisiklet sayısı olan 4⋅6=244 \cdot 6 = 24 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bisiklet türleri ve durumlarına göre değişkenleri tanımlama
Tek kişilik bisiklet sayısı TT, iki kişilik bisiklet sayısı DD olsun. T+D=45T + D = 45 olur. İki kişilik bisikletlerden boş kalanlar DbD_b, kiralananlar DkD_k ise D=Db+DkD = D_b + D_k olur. Dk=3DbD_k = 3D_b olduğundan D=4DbD = 4D_b elde edilir.
Sorudaki toplam bisiklet sayısını ve iki kişilik bisikletlerin durumunu matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Turist sayısına göre ikinci denklemi kurma
Tek kişilik bisikletlerin tamamı kiralandığı için binen kişi sayısı T⋅1=TT \cdot 1 = T olur. Kiralanan iki kişilik bisikletlere binen kişi sayısı 2⋅Dk=2(3Db)=6Db2 \cdot D_k = 2(3D_b) = 6D_b olur. Toplam turist sayısı: T+6Db=57T + 6D_b = 57 elde edilir.
Turist sayısının bisiklet türlerine göre dağılımını kullanarak yeni bir denklem oluşturmak için.
3
Elde edilen denklem sistemini çözme
T+4Db=45T + 4D_b = 45 ve T+6Db=57T + 6D_b = 57 denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında 2Db=12  ⟹  Db=62D_b = 12 \implies D_b = 6 bulunur. Buradan toplam iki kişilik bisiklet sayısı D=4⋅6=24D = 4 \cdot 6 = 24 olarak hesaplanır.
Değişkenleri yok etme metodunu kullanarak bilinmeyenleri bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 846Soru →

Bir konser salonundaki koltuk düzeni ve bilet satışları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki koltuklar arka arkaya sıralar halinde dizilmiştir ve her sırada eşit sayıda koltuk bulunmaktadır.
* Salondaki toplam sıra sayısı, bir sıradaki koltuk sayısından 44 fazladır.
* Bu salonda her sıradaki koltuk sayıs�� 22 azaltılıp toplam sıra sayısı 33 artırılsaydı salondaki toplam koltuk sayısı değişmeyecekti.
* Salondaki tüm koltukların biletleri satıldığında elde edilen toplam gelir 5040050400 TL'dir.

Buna göre, bu konser salonunda satılan bir biletin fiyatı kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Bir biletin satış fiyatı 200 TL'dir.
Salondaki koltuk düzenine göre sıra sayısı rr ve her sıradaki koltuk sayısı ss olmak üzere r=s+4r = s + 4 ve (r+3)(s−2)=r⋅s(r+3)(s-2) = r \cdot s denklemleri kurulur. Bu denklem sistemi çözüldüğünde koltuk sayısı 1414 ve sıra sayısı 1818 bulunur. Toplam koltuk sayısı 18×14=25218 \times 14 = 252 olur. Toplam gelir olan 5040050400 TL, toplam koltuk sayısı olan 252252'ye bölündüğünde bilet fiyatı 200200 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Salondaki toplam sıra sayısına rr, bir sıradaki koltuk sayısına ss diyelim. Verilen bilgileri kullanarak değişkenler arasındaki ilişkileri denklem olarak yazalım.
Sıra sayısı koltuk sayısından 44 fazla olduğu için r=s+4r = s + 4 olur. Her sıradaki koltuk sayısı 22 azaltılıp (s−2s-2), sıra sayısı 33 artırıldığında (r+3r+3) toplam koltuk sayısı değişmediği için (r+3)(s−2)=r⋅s(r + 3)(s - 2) = r \cdot s denklemi elde edilir.
Problemi matematiksel olarak modellemek ve bilinmeyenleri bulmak için denklem sistemini kurmamız gerekir.
2
Elde edilen ikinci denklemde parantezleri açarak sadeleştirme yapalım.
(r+3)(s−2)=r⋅s  ⟹  r⋅s−2r+3s−6=r⋅s  ⟹  3s−2r=6(r + 3)(s - 2) = r \cdot s \implies r \cdot s - 2r + 3s - 6 = r \cdot s \implies 3s - 2r = 6 denklemine ulaşılır.
Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi basitleştirmek ve birinci derece denkleme dönüştürmek için.
3
r=s+4r = s + 4 eşitliğini 3s−2r=63s - 2r = 6 denkleminde yerine koyarak ss ve rr değerlerini bulalım.
3s−2(s+4)=6  ⟹  3s−2s−8=6  ⟹  s=143s - 2(s + 4) = 6 \implies 3s - 2s - 8 = 6 \implies s = 14 olarak bulunur. Buradan r=14+4=18r = 14 + 4 = 18 olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözerek koltuk ve sıra sayılarını belirlemek için.
4
Toplam koltuk sayısını hesaplayalım.
Toplam koltuk sayısı = r⋅s=18×14=252r \cdot s = 18 \times 14 = 252 adettir.
Bir biletin fiyatını bulabilmek için toplam koltuk sayısına ihtiyacımız vardır.
5
Toplam geliri toplam koltuk sayısına bölerek bir biletin fiyatını bulalım.
Bilet fiyatı = 50400/252=20050400 / 252 = 200 TL olur.
Tüm koltukların satılması durumunda elde edilen toplam gelirden tek bir biletin fiyatına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri kurma ve sayı problemlerinde değişkenler arası ilişkileri modelleme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 847Soru →

Ayhan'ın cüzdanında 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik banknotlardan oluşan toplam 35 adet kâğıt para vardır. Bu paralarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* 10 TL'lik banknotların toplam değeri, 20 TL'lik banknotların toplam değerine eşittir.
* Cüzdandaki paraların toplam değeri en az 650 TL'dir.

Buna göre, Ayhan'ın cüzdanındaki 50 TL'lik banknotların sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Ayhan'ın cüzdanındaki 50 TL'lik banknotların sayısı en az 5'tir.
Cüzdandaki 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik banknot sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olarak tanımlanırsa; toplam banknot sayısı x+y+z=35x + y + z = 35 olur. 10 TL'liklerin toplam değeri 20 TL'liklerin toplam değerine eşit olduğundan 10x=20y10x = 20y yani x=2yx = 2y elde edilir. Bu durumda toplam banknot sayısı 2y+y+z=35  ⟹  3y+z=352y + y + z = 35 \implies 3y + z = 35 olur. Buradan y=35−z3y = \frac{35 - z}{3} yazılabilir. Toplam para miktarı en az 650 TL olduğundan 10x+20y+50z≥65010x + 20y + 50z \geq 650 eşitsizliği yazılır. x=2yx = 2y ifadesi yerine yazılırsa 40y+50z≥650  ⟹  4y+5z≥6540y + 50z \geq 650 \implies 4y + 5z \geq 65 elde edilir. Burada yy yerine 35−z3\frac{35 - z}{3} yazılırsa 4(35−z3)+5z≥65  ⟹  140−4z+15z≥195  ⟹  11z≥55  ⟹  z≥54\left(\frac{35 - z}{3}\right) + 5z \geq 65 \implies 140 - 4z + 15z \geq 195 \implies 11z \geq 55 \implies z \geq 5 bulunur. Dolayısıyla 50 TL'lik banknot sayısı en az 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Banknot sayıları için değişkenleri tanımlama ve toplam banknot sayısı denklemini yazma.
xx: 10 TL'lik, yy: 20 TL'lik, zz: 50 TL'lik banknot sayısı olmak üzere; x+y+z=35x + y + z = 35.
Problemi matematiksel olarak ifade edebilmek için değişkenleri belirlememiz gerekir.
2
10 TL ve 20 TL'lik banknotların değer eşitliğinden yararlanarak değişkenleri birbiri cinsinden ifade etme.
10x=20y  ⟹  x=2y10x = 20y \implies x = 2y. Bu ifadeyi toplam banknot sayısında yerine yazarsak: 2y+y+z=35  ⟹  3y+z=352y + y + z = 35 \implies 3y + z = 35 elde edilir. Buradan y=35−z3y = \frac{35 - z}{3} olur.
Bilinmeyen sayısını azaltmak ve eşitsizlikte tek bir değişken bırakmak için.
3
Toplam para miktarı için en az 650 TL koşulunu kullanarak eşitsizlik kurma ve çözme.
10x+20y+50z≥650  ⟹  10(2y)+20y+50z≥650  ⟹  40y+50z≥650  ⟹  4y+5z≥6510x + 20y + 50z \geq 650 \implies 10(2y) + 20y + 50z \geq 650 \implies 40y + 50z \geq 650 \implies 4y + 5z \geq 65. Bu eşitsizlikte yy yerine 35−z3\frac{35 - z}{3} yazarsak: 4(35−z3)+5z≥65  ⟹  140−4z+15z≥195  ⟹  11z≥55  ⟹  z≥54\left(\frac{35 - z}{3}\right) + 5z \geq 65 \implies 140 - 4z + 15z \geq 195 \implies 11z \geq 55 \implies z \geq 5 bulunur.
50 TL'lik banknot sayısının alabileceği en küçük değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişkenler arasında ilişki kurma ve birinci dereceden eşitsizlik modellemesi.

Alternatif Yöntem

Değer vererek ve seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. En az değeri aradığımız için en küçük seçenekten başlanarak deneme yapılabilir. Örneğin, 50 TL'lik banknot sayısı 5 olarak seçilirse geriye kalan 30 banknot 10 TL ve 20 TL'liklerden oluşur. x+y=30x+y=30 ve x=2yx=2y eşitliklerinden y=10y=10 ve x=20x=20 bulunur. Bu durumda toplam para 20×10+10×20+5×50=200+200+250=65020 \times 10 + 10 \times 20 + 5 \times 50 = 200 + 200 + 250 = 650 TL olur ve en az 650 TL şartını tam olarak sağlar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 848Soru →

Bir okul kütüphanesindeki iki basamaklı abab tane rafın her birine eşit sayıda kitap dizilecektir. Bu işlemle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kitaplar her rafa 1212 adet dizilirse tüm kitaplar dizilmekte ve boş raf kalmamaktadır.
* Eğer kütüphanedeki raf sayısı iki basamaklı baba olsaydı ve her rafa 2121 kitap dizilseydi, yine tüm kitaplar dizilecek ve boş raf kalmayacaktı.
* Kütüphanedeki toplam kitap sayısı 300300 ile 600600 arasındadır.

Buna göre, kütüphanedeki raf sayısı (abab) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Kütüphanedeki raf sayısı 42'dir.
Kütüphanedeki toplam kitap sayısı her iki durumda da aynı kalmaktadır. 12⋅ab=21⋅ba12 \cdot ab = 21 \cdot ba eşitliğinde basamak çözümlemesi yapıldığında a=2ba = 2b ilişkisine ulaşılır. abab ve baba iki basamaklı sayılar olduğu için aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan ve toplam kitap sayısı olan 12⋅ab12 \cdot ab değerini 300300 ile 600600 arasında tutan tek seçenek ab=42ab = 42 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kütüphanedeki toplam kitap sayısını veren denklemi abab ve baba iki basamaklı sayıları cinsinden yazın.
Toplam kitap sayısı T=12⋅ab=21⋅baT = 12 \cdot ab = 21 \cdot ba olur.
12'şerli ve 21'erli dizimlerde kitap sayısının değişmediğini kullanarak iki basamaklı sayılarla bir eşitlik elde etmek gerekir.
2
İki basamakl�� sayıları çözümleyerek aa ve bb rakamları arasındaki ilişkiyi bulun.
12⋅(10a+b)=21⋅(10b+a)  ⟹  4⋅(10a+b)=7⋅(10b+a)  ⟹  40a+4b=70b+7a  ⟹  33a=66b  ⟹  a=2b12 \cdot (10a + b) = 21 \cdot (10b + a) \implies 4 \cdot (10a + b) = 7 \cdot (10b + a) \implies 40a + 4b = 70b + 7a \implies 33a = 66b \implies a = 2b elde edilir.
Basamak çözümlemesi yapılarak bilinmeyen rakamlar arasındaki doğrusal ilişkiyi sade bir biçimde ortaya çıkarmak gerekir.
3
aa ve bb rakamlarının alabileceği değerleri belirleyerek toplam kitap sayılarını hesaplayın.
aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olduğundan:
* b=1  ⟹  a=2  ⟹  ab=21b = 1 \implies a = 2 \implies ab = 21 ve T=12⋅21=252T = 12 \cdot 21 = 252
* b=2  ⟹  a=4  ⟹  ab=42b = 2 \implies a = 4 \implies ab = 42 ve T=12⋅42=504T = 12 \cdot 42 = 504
* b=3  ⟹  a=6  ⟹  ab=63b = 3 \implies a = 6 \implies ab = 63 ve T=12⋅63=756T = 12 \cdot 63 = 756
* b=4  ⟹  a=8  ⟹  ab=84b = 4 \implies a = 8 \implies ab = 84 ve T=12⋅84=1008T = 12 \cdot 84 = 1008
Olası tüm durumları inceleyerek hangi durumun kütüphanedeki kitap sayısı sınırlamasına uyacağını belirlemek gerekir.
4
Toplam kitap sayısının 300300 ile 600600 arasında olması koşulunu uygulayın.
300<T<600300 < T < 600 koşulunu sağlayan tek kitap sayısı T=504T = 504 olup, bu durum ab=42ab = 42 raf sayısına karşılık gelir.
Soruda verilen aralık kısıtına göre tek bir benzersiz çözüm seçilir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi yöntemiyle sayı problemlerinde denklem kurma ve kısıtlara göre değer verme işlemleri.
Soru 849Soru →

Bir grup arkadaş, toplam kiralama ücretini eşit olarak paylaşarak bir halı saha kiralamıştır. Bu gruptaki kişi sayısı iki basamaklı bir abab sayısıdır.

Eğer gruba 66 kişi daha katılsaydı ve toplam ücret yine eşit olarak paylaşılsaydı, kişi başına düşen ücret ilk duruma göre %25\%25 daha az olacaktı.

Buna göre, başlangıçtaki grupta bulunan kişi sayısının rakamları toplamı (a+ba+b) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Başlangıçtaki grupta bulunan kişi sayısının rakamları toplamı 99'dur.
Kurulan rasyonel denklem çözüldüğünde başlangıçtaki kişi sayısı 1818 olarak bulunur. Bu sayının rakamları toplamı 1+8=91 + 8 = 9 olduğu için doğru seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki kişi sayısını ve kişi başına düşen ücreti sembollerle ifade etme.
Gruptaki kişi sayısı n=abn = ab ve toplam kiralama ücreti TT olsun. Bu durumda başlangıçta kişi başına düşen ücret Tn\frac{T}{n} olur.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi kurabilmek için ilk durumun matematiksel modelini oluşturmak gerekir.
2
Gruba 66 kişi katıldığında oluşan yeni durumu ifade etme.
Gruptaki kişi sayısı n+6n+6 olur. Bu durumda kişi başına düşen yeni ücret Tn+6\frac{T}{n+6} olur.
Kişi sayısı arttığında kişi başına düşen ücretin nasıl değiştiğini belirlemek gerekir.
3
Yeni ücretin ilk ücrete göre %25\%25 daha az olması koşulunu kullanarak denklem kurma.
Bir değerin %25\%25 azalması, o değerin %75\%75'ine (yani 34\frac{3}{4}'üne) eşit olması demektir. Buradan kurulan denklem: Tn+6=34⋅Tn\frac{T}{n+6} = \frac{3}{4} \cdot \frac{T}{n} olur.
Soruda verilen yüzdece azalma bilgisini matematiksel bir eşitliğe dönüştürmek gerekir.
4
Kurulan denklemi çözerek başlangıçtaki kişi sayısını bulma.
Denklemde TT terimleri sadeleştirilirse 1n+6=34n\frac{1}{n+6} = \frac{3}{4n} elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında 4n=3(n+6)  ⟹  4n=3n+18  ⟹  n=184n = 3(n+6) \implies 4n = 3n + 18 \implies n = 18 bulunur.
Değişken sadeleştirmesi ve cebirsel işlemler yardımıyla bilinmeyen kişi sayısına ulaşmak amaçlanır.
5
Başlangıçtaki kişi sayısının rakamları toplamını hesaplama.
Kişi sayısı ab=18ab = 18 olduğundan, a=1a = 1 ve b=8b = 8 değerleri elde edilir. Rakamları toplamı ise a+b=1+8=9a + b = 1 + 8 = 9 olur.
Soruda bizden doğrudan kişi sayısı değil, bu sayının rakamları toplamı istendiği için son adımı tamamlamak gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri rasyonel ifadeler ve oran-orantı yardımıyla cebirsel denklemlere dönüştürme ve çözme.
Soru 850Soru →

Bir seramik atölyesinde üretilen tabaklar, her birinde eşit sayıda tabak bulunan kutulara yerleştirilecektir. Bu tabaklar kutulara yerleştirilirken iki farklı paketleme seçeneği belirlenmiştir:

* 1. Seçenek: Tabakların bir kısmı her kutuda 1212 tabak olacak şekilde, kalan tabaklar ise her kutuda 1818 tabak olacak şekilde kutulanıyor. Bu durumda toplam 2525 kutu kullanılıyor.
* 2. Seçenek: Tabakların tamamı her kutuda 1515 tabak olacak şekilde kutulanıyor. Bu durumda ise toplam 2626 kutu kullanılıyor.

Buna göre, 1. seçenekteki kutulardan kaç tanesinde 1212 tabak bulunmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

1. seçenekteki kutulardan 10 tanesinde 12 tabak bulunmaktadır.
Toplam tabak sayısı 2. seçenekten 15×26=39015 \times 26 = 390 olarak bulunur. 1. seçenekteki 12 tabaklık kutu sayısına x, 18 tabaklık kutu sayısına y dersek x+y=25x + y = 25 ve 12x+18y=39012x + 18y = 390 denklemleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde 12 tabak bulunan kutu sayısı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam tabak sayısını hesaplama
Toplam tabak sayısı: 15×26=39015 \times 26 = 390
2. seçenekte tüm tabaklar her birinde 15 tabak olan 26 kutuya konulduğu için toplam tabak sayısı bu iki değerin çarpımına eşittir.
2
Değişkenleri tanımlama ve denklem sistemini kurma
x+y=25x + y = 25 ve 12x+18y=39012x + 18y = 390
1. seçenekteki 12 tabaklık kutu sayısı x, 18 tabaklık kutu sayısı y olarak belirlenirse toplam kutu sayısı 25, toplam tabak sayısı ise 390 olur.
3
Denklem sistemini çözerek 12 tabaklık kutu sayısını bulma
x=10x = 10
İlk denklemden y = 25 - x yazılarak ikinci denklemde yerine konur: 12x+18(25−x)=390⇒12x+450−18x=390⇒−6x=−60⇒x=1012x + 18(25 - x) = 390 \Rightarrow 12x + 450 - 18x = 390 \Rightarrow -6x = -60 \Rightarrow x = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem kurma ve çözme yoluyla sayı problemlerini modelleme.
Soru 851Soru →

Bir belediye, çevre duyarlılığını artırmak amacıyla mahallelere akıllı geri dönüşüm otomatları yerleştirmiştir. Bu otomatlara atılan atık türlerine göre kartlara yapılacak puan etkileri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Atık TürüPuan Etkisi
Cam Şişe+15+15
Plastik Şişe+10+10
Karton Kutu−5-5

Bir gün içerisinde bu otomata cam şişe, plastik şişe ve karton kutulardan oluşan toplam 4040 adet atık atan Ceren'in kartındaki puan değişimi net +250+250 puan olmuştur.

Ceren'in otomata attığı plastik şişe sayısı, cam şişe sayısının 22 katı olduğuna göre, Ceren otomata kaç adet karton kutu atmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Ceren'in otomata attığı karton kutu sayısı 13'tür.
Cam şişe sayısı xx, plastik şişe sayısı 2x2x ve karton kutu sayısı yy olarak seçildiğinde, toplam atık sayısından 3x+y=403x + y = 40 elde edilir. Puan hesabından ise 15x+10(2x)−5y=250  ⟹  7x−y=5015x + 10(2x) - 5y = 250 \implies 7x - y = 50 denklemi bulunur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 10x=9010x = 90 eşitliğinden x=9x = 9 olarak hesaplanır. Buradan karton kutu sayısı olan yy değeri 40−3(9)=1340 - 3(9) = 13 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri tanımlayarak değişkenleri belirleyelim.
Cam şişe sayısı xx olsun. Plastik şişe sayısı, cam şişe sayısının 2 katı olduğundan 2x2x olur. Karton kutu sayısı ise yy olsun.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel modele dökebilmek için değişken ataması yapılır.
2
Toplam atık sayısı ve puan değişimi bilgilerini kullanarak denklemleri kuralım.
Toplam atık sayısı 40 olduğundan: x+2x+y=40  ⟹  3x+y=40x + 2x + y = 40 \implies 3x + y = 40 elde edilir.

Puan hesabı yapıldığında: 15x+10(2x)−5y=250  ⟹  35x−5y=25015x + 10(2x) - 5y = 250 \implies 35x - 5y = 250 elde edilir. Bu denklemi 5 ile sadeleştirirsek 7x−y=507x - y = 50 olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemi elde ederek ortak çözüm yapabilmek için.
3
Elde edilen denklemleri ortak çözerek karton kutu sayısını bulalım.
3x+y=403x + y = 40
7x−y=507x - y = 50

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
10x=90  ⟹  x=910x = 90 \implies x = 9 bulunur.

İlk denklemde xx yerine 9 yazarak yy değerini bulalım:
3(9)+y=40  ⟹  27+y=40  ⟹  y=133(9) + y = 40 \implies 27 + y = 40 \implies y = 13 elde edilir.
Denklem sistemini yok etme metoduyla çözerek bizden istenen karton kutu sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen ilişkileri değişkenler yardımıyla modellemek ve birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerini yok etme yöntemiyle çözmek.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 852Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan A, B ve C marka tabletlerin adetleri ve birim satış fiyatları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A marka bir tabletin birim satış fiyatı, B marka bir tabletin birim satış fiyatının 22 katıdır.
* C marka bir tabletin birim satış fiyatı, A marka bir tabletin birim satış fiyatından 15001500 TL eksiktir.
* Mağazadaki B marka tabletlerin sayısı, C marka tabletlerin sayısının 22 katıdır.

Bu mağazada bulunan A, B ve C marka tabletlerin toplam sayısı 4545'tir.

C marka bir tabletin birim satış fiyatı 45004500 TL olduğuna göre, mağazadaki tüm tabletlerin satışından toplam 195.000195.000 TL gelir elde edildiğinde başlangıçta mağazada kaç tane A marka tablet vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Tabletlerin birim fiyatları sırasıyla C marka için 45004500 TL, A marka için 60006000 TL ve B marka için 30003000 TL olarak bulunur. Adet ilişkilerinden hareketle C marka sayısı xx, B marka sayısı 2x2x ve A marka sayısı 45−3x45 - 3x olarak belirlenir. Toplam gelir denklemi yazılıp çözüldüğünde x=10x = 10 bulunur. Buradan A marka tablet sayısı 45−3⋅10=1545 - 3 \cdot 10 = 15 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
C marka tabletin birim satış fiyatından yola çıkarak diğer markaların birim satış fiyatlarını bulal��m.
C marka tabletin fiyatı 45004500 TL ise, A marka tabletin fiyatı 4500+1500=60004500 + 1500 = 6000 TL olur. B marka tabletin fiyatı ise 6000/2=30006000 / 2 = 3000 TL olur.
Toplam geliri hesaplamak için her bir markanın birim fiyatını bilmemiz gerekir.
2
Tablet adetleri arasındaki ilişkileri belirleyip değişkenler cinsinden ifade edelim.
C marka tabletlerin sayısı xx olsun. Bu durumda B marka tabletlerin sayısı 2x2x olur. Toplam tablet sayısı 4545 olduğuna göre, A marka tabletlerin sayısı 45−(x+2x)=45−3x45 - (x + 2x) = 45 - 3x olur.
Tek bilinmeyenli bir denklem kurmak amacıyla adetleri tek bir değişken cinsinden ifade etmeliyiz.
3
Toplam geliri veren denklemi kurup çözelim.
(45−3x)⋅6000+2x⋅3000+x⋅4500=195.000(45 - 3x) \cdot 6000 + 2x \cdot 3000 + x \cdot 4500 = 195.000 denklemini sadeleştirip çözdüğümüzde x=10x = 10 buluruz.
Mağazanın elde ettiği toplam gelir bilgisi kullanılarak C marka tablet sayısı (xx) elde edilir.
4
Bulunan xx değerini kullanarak A marka tablet sayısını hesaplayalım.
A marka tablet sayısı: 45−3⋅10=1545 - 3 \cdot 10 = 15 adettir.
Soruda bizden istenen başlangıçtaki A marka tablet sayısıdır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 853Soru →

Bir bulut depolama şirketi, kullanıcılarına depoladıkları veri miktarına göre ücretlendirilen iki farklı aylık abonelik planı sunmaktadır:

* A Planı: Depolanan her 1 GB1\text{ GB} veri için 5 TL5\text{ TL} ve sabit 20 TL20\text{ TL} sistem kullanım ücreti.
* B Planı: Depolanan her 1 GB1\text{ GB} veri için 3 TL3\text{ TL} ve sabit 50 TL50\text{ TL} sistem kullanım ücreti.

B Planı'nı tercih eden bir kullanıcının ödeyeceği ayl��k ücret, A Planı'nı tercih etmesi durumunda ödeyeceği ücretten daha azdır.

Buna göre, bu kullanıcının depoladığı veri miktarı gigabayt cinsinden bir tam sayı olmak üzere en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Depolanan veri miktarının en az 16 olması gerekir.
B Planı'nın aylık ücretini gösteren 3x+503x + 50 ifadesi, A Planı'nın ücretini gösteren 5x+205x + 20 ifadesinden küçük olmalıdır. Kurulan 3x+50<5x+203x + 50 < 5x + 20 eşitsizliği çözüldüğünde 15<x15 < x bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki plan için aylık ücreti ifade eden eşitsizliği kurmak.
A Planı ücreti: 5x+205x + 20 TL, B Planı ücreti: 3x+503x + 50 TL. B Planı daha ekonomik olduğundan 3x+50<5x+203x + 50 < 5x + 20 elde edilir.
Depolanan veri miktarı xx olmak üzere, planların maliyetlerini karşılaştırmak.
2
Kurulan eşitsizliği çözmek.
30<2x⇒15<x30 < 2x \Rightarrow 15 < x
xx değişkenini yalnız bırakarak veri miktarının alabileceği değer aralığını bulmak.
3
Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değerini belirlemek.
xx en az 16 olmalıdır.
Veri miktarı gigabayt cinsinden bir tam sayı olarak istendiği için 15'ten büyük en küçük tam sayı seçilir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik kurma ve çözme yöntemiyle sayı problemlerinin modellenmesi.
Soru 854Soru →

Bir tiyatro salonunda A ve B olmak üzere iki farklı koltuk grubu bulunmaktadır. Bu salonla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A grubundaki her bir sırada 88 koltuk, B grubundaki her bir sırada ise 1212 koltuk bulunmaktadır.
* Salonda toplam 1818 sıra vardır.
* A grubundaki tüm koltuklar doludur.
* B grubundaki koltukların ise bir kısmı doludur.
* Salondaki toplam dolu koltuk sayısı, toplam boş koltuk sayısının 33 katıd��r.

Buna göre, bu salondaki boş koltuk sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Boş koltuk sayısı en az 40'tır.
Doğru cevap 40'tır. Toplam koltuk kapasitesi ve doluluk oranları analiz edildiğinde, boş koltuk sayısını veren E=54−xE = 54 - x bağıntısı bulunur. B grubundaki boş koltuk sayısı bu grubun toplam koltuk kapasitesini aşamayacağı için 54−x≤216−12x54 - x \le 216 - 12x eşitsizliğinden x≤14x \le 14 elde edilir. Boş koltuk sayısının en az olması için xx en büyük tam sayı değeri olan 14 olarak seçilmelidir, bu da en az 40 boş koltuk olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Salondaki A ve B grubu sıralarının sayılarını sırasıyla xx ve 18−x18-x olarak belirleyip toplam koltuk sayısını bulalım.
A grubundaki koltuk sayısı 8x8x, B grubundaki koltuk sayısı ise 12(18−x)=216−12x12(18-x) = 216 - 12x olur. Toplam koltuk sayısı: 8x+216−12x=216−4x8x + 216 - 12x = 216 - 4x bulunur.
Gruptaki koltuk kapasitelerini sıra sayısı cinsinden ifade etmek için.
2
Dolu ve boş koltuk sayıları arasındaki ilişkiden yararlanarak boş koltuk sayısını (EE) bulalım.
Toplam boş koltuk sayısı EE olsun. Dolu koltuk sayıs�� bunun 3 katı olduğuna göre 3E3E olur. Toplam koltuk sayısı E+3E=4EE + 3E = 4E olacaktır. Buradan 216−4x=4E⇒E=54−x216 - 4x = 4E \Rightarrow E = 54 - x elde edilir.
Boş koltuk sayısını A grubunun sıra sayısı olan xx değişkenine bağlı olarak ifade etmek için.
3
B grubundaki boş koltuk sayısının, bu grubun toplam kapasitesini aşamayacağı sınırını kullanarak xx için bir eşitsizlik kuralım.
B grubundaki boş koltuk sayısı EE olduğuna göre, E≤216−12xE \le 216 - 12x olmalıdır. 54−x≤216−12x⇒11x≤162⇒x≤16211≈14,7254 - x \le 216 - 12x \Rightarrow 11x \le 162 \Rightarrow x \le \frac{162}{11} \approx 14,72 bulunur. xx bir tam sayı olduğundan en fazla 1414 olabilir.
Fiziksel sınırları göz önünde bulundurarak xx sıra sayısının üst sınırını belirlemek için.
4
E=54−xE = 54 - x ifadesinde boş koltuk sayısı EE'nin en az olabilmesi için xx'in en büyük değerini yazalım.
x=14x = 14 için E=54−14=40E = 54 - 14 = 40 elde edilir.
En az boş koltuk sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde doğrusal denklemler ve eşitsizlik sınırları kurma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 855Soru →

Bir kargo firması, gönderilen her bir paket için sabit bir taşıma ücreti ve ağırlığı 5 kg5\text{ kg}'ı aşan paketler için bu sınırı aşan her bir kilogram başına ek ücret uygulamaktadır. Bu firmayla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ağırlığı 5 kg5\text{ kg} ve altında olan paketlerden sadece 30 TL30\text{ TL} sabit taşıma ücreti alınmaktadır.
* Ağırlığı 5 kg5\text{ kg}'ın üzerinde olan paketlerden 30 TL30\text{ TL} sabit taşıma ücretine ek olarak, 5 kg5\text{ kg}'ı aşan her bir kilogram için 4 TL4\text{ TL} ek ücret alınmaktadır.

Bu kargo firmasıyla her biri ya 3 kg3\text{ kg} ya da 9 kg9\text{ kg} ağırlığında olan toplam 1212 paket gönderen bir müşteri, gönderdiği tüm paketler için toplam 488 TL488\text{ TL} ücret ödemiştir.

Buna göre, bu müşterinin gönderdiği paketlerden ağırlığı 9 kg9\text{ kg} olanların sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Müşterinin gönderdiği paketlerden ağırlığı 9 kg olanların sayısı 8'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer olan 8, kurulan denklem sistemini sağlamaktadır. 9 kg'lık her bir paket için 30+(9−5)×4=46 TL30 + (9-5) \times 4 = 46\text{ TL} ödenir. 8 tane 9 kg'lık paket için 8×46=368 TL8 \times 46 = 368\text{ TL} ödenir. Geriye kalan 4 tane 3 kg'lık paket için ise 4×30=120 TL4 \times 30 = 120\text{ TL} ödenir. Toplam tutar 368+120=488 TL368 + 120 = 488\text{ TL} olup soruda verilen toplam ücretle eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir paket türü için ödenecek ücretleri ayrı ayrı hesaplayalım.
3 kg'lık paketin ağırlığı 5 kg ve altında olduğundan ücreti 30 TL30\text{ TL}'dir. 9 kg'lık paketin ağırlığı 5 kg'ın üzerinde olduğundan, 9−5=49 - 5 = 4 kg'lık aşım miktarı vardır. Bu paket için ek ücret 4×4=16 TL4 \times 4 = 16\text{ TL} olur ve toplam ücret 30+16=46 TL30 + 16 = 46\text{ TL} olarak bulunur.
Denklem kurmak için her bir paket ağırlığına karşılık gelen ücret katsayılarını belirlememiz gerekir.
2
9 kg'lık paketlerin sayısına xx diyerek denklem kuralım.
Toplam paket sayısı 12 olduğundan, 3 kg'lık paketlerin sayısı 12−x12 - x olur. Toplam ücret denklemi: 46×x+30×(12−x)=48846 \times x + 30 \times (12 - x) = 488 şeklindedir.
Verilen toplam paket sayısı ve toplam ücret bilgilerini bir araya getirerek tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek için.
3
Kurulan denklemi çözerek xx değerini bulalım.
46x+360−30x=488  ⟹  16x+360=488  ⟹  16x=128  ⟹  x=846x + 360 - 30x = 488 \implies 16x + 360 = 488 \implies 16x = 128 \implies x = 8 bulunur.
9 kg'lık paketlerin sayısını veren bilinmeyeni yalnız bırakmak için cebirsel işlemleri uygularız.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve çözme yöntemleri

Alternatif Yöntem

Toplam 12 paketin tamamının 3 kg olduğu varsayılırsa, ödenecek ücret 12×30=360 TL12 \times 30 = 360\text{ TL} olur. Gerçekte ödenen tutar 488 TL488\text{ TL} olduğundan, aradaki fark 488−360=128 TL488 - 360 = 128\text{ TL}'dir. Bu farkın tamamı 9 kg'lık paketlerin 5 kg'ı aşan kısımlarından kaynaklanır. Her bir 9 kg'lık paket için 9−5=49 - 5 = 4 kg aşım gerçekleşir ve paket başına 4×4=16 TL4 \times 4 = 16\text{ TL} ek ücret alınır. Dolayısıyla, 9 kg'lık paketlerin sayısı 128/16=8128 / 16 = 8 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 856Soru →

Bir bilgisayar programı, sisteme girilen iki basamaklı bir abab doğal sayısı için ekrana bir sonuç yazdırmaktadır. Bu programın çalışma adımları aşağıda verilmiştir:

* Sayının rakamları toplamı olan a+ba+b değerini hesapla.
* Eğer a>ba > b ise ekrana 3⋅(a+b)⋅ab3 \cdot (a+b) \cdot ab değerini yaz.
* Eğer a≤ba \leq b ise ekrana −2⋅(a+b)⋅ab-2 \cdot (a+b) \cdot ab değerini yaz.

Sisteme girilen iki basamaklı bir abab sayısı için ekranda yazan değer −560-560 olmuştur.

Buna göre, bu koşulu sağlayan abab sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Koşulları sağlayan iki basamaklı sayıların toplamı 63'tür.
Doğru seçenekte belirtilen 63 değeri, programın negatif çıktı vermesinden hareketle a≤ba \leq b koşulunun sağlandığını belirleyip elde edilen (a+b)⋅ab=280(a+b) \cdot ab = 280 denklemini sağlayan ve rakam kısıtlarına uyan tüm iki basamaklı sayıların (28 ve 35) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Ekranda yazan değerin işaretini inceleyerek hangi koşulun sağlandığını belirleme.
Ekranda yazan değer −560-560 olup negatif bir sayıdır. aa ve bb rakam olduğundan a+b>0a+b > 0 ve ab>0ab > 0 olmalıdır. Dolayısıyla 3⋅(a+b)⋅ab3 \cdot (a+b) \cdot ab ifadesi her zaman pozitif değer alacağından, ekrandaki negatif sonuç ancak a≤ba \leq b durumunda elde edilebilir.
Programın hangi dallanmayı takip ettiğini bulmak için sonucun işareti incelenmelidir.
2
Koşula uygun denklemi kurma ve sadeleştirme.
−2⋅(a+b)⋅ab=−560-2 \cdot (a+b) \cdot ab = -560 denkleminden (a+b)⋅ab=280(a+b) \cdot ab = 280 elde edilir.
Bilinmeyen abab sayısının basamak analizi ve rakamları toplamı arasındaki ilişkiyi kurmak için denklem düzenlenmelidir.
3
Çözümleme (basamak analizi) yaparak basamak değerlerini ve rakam sınırlarını uygulama.
abab iki basamaklı sayısı 10a+b10a+b olarak çözümlenir. Böylece denklem (a+b)⋅(10a+b)=280(a+b) \cdot (10a+b) = 280 halini alır. Burada a≤ba \leq b koşuluyla birlikte 280 sayısının iki basamaklı çarpanları incelenir:
* 10a+b=2810a+b = 28 için a=2,b=8a=2, b=8 olur. Rakamlar toplamı a+b=10a+b = 10 olup 28⋅10=28028 \cdot 10 = 280 sağlanır. Ayrıca 2≤82 \leq 8 koşulu geçerlidir.
* 10a+b=3510a+b = 35 için a=3,b=5a=3, b=5 olur. Rakamlar toplamı a+b=8a+b = 8 olup 35⋅8=28035 \cdot 8 = 280 sağlanır. Ayrıca 3≤53 \leq 5 koşulu geçerlidir.
Diğer iki basamaklı bölenler (10, 14, 20, 40, 56, 70) bu eşitliği ve rakam olma şartlarını sağlamaz.
Çarpanlarına ayırma yöntemi ve rakam kısıtları kullanılarak denklemi sağlayan tüm iki basamaklı doğal sayılar belirlenir.
4
Elde edilen sayıların toplamını bulma.
Koşula uyan abab sayıları 28 ve 35'tir. Bu sayıların toplamı 28+35=6328 + 35 = 63 olarak hesaplanır.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için bulunan tüm olası sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel/algoritmik yönergeleri denkleme dökme, iki basamaklı sayıların basamak analizi ve rakam kısıtlarına göre çarpan incelemesi yapma.
Soru 857Soru →

Bir kırtasiyeci, birim fiyatı iki basamaklı abab TL olan defterlerden baba adet satın aldığında toplam 252 TL ödemektedir.

Buna göre, bu defterlerin birim fiyatı a+ba+b TL olsaydı, kırtasiyeci aynı parayla kaç adet defter satın alabilirdi?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

84
Toplam tutarı veren ab×ba=252ab \times ba = 252 eşitliğini sağlayan iki basamaklı doğal sayılar 12 ve 21'dir. Buradan rakamlar a=1a=1 ve b=2b=2 olarak belirlenir. Yeni fiyat a+b=3a+b=3 TL olduğuna göre, 252 TL ile 252÷3=84252 \div 3 = 84 adet defter satın alınabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Defterlerin birim fiyatı ve adet miktarının çarpımını toplam tutara eşitleyen denklemi kurmak.
(10a+b)(10b+a)=252(10a+b)(10b+a) = 252
Birim fiyat ile adet miktarının çarpımı toplam ödenen tutarı verir.
2
Çarpımları 252 olan ve basamakları yer değiştirmiş iki basamaklı doğal sayı çiftini çarpanlara ayırma yoluyla belirlemek.
ab=12ab = 12 ve ba=21ba = 21 (veya tam tersi; a=1,b=2a=1, b=2)
252 sayısının bu koşulu sağlayan tek rakam çifti 1 ve 2'dir.
3
Bulunan rakamlar yardımıyla yeni birim fiyatını hesaplamak.
a+b=1+2=3a+b = 1+2 = 3 TL
Soruda yeni birim fiyatın a+ba+b TL olacağı ifade edilmiştir.
4
Aynı toplam bütçe ile yeni fiyattan kaç defter alınacağını bulmak.
252÷3=84252 \div 3 = 84 adet
Toplam bütçe yeni birim fiyata bölünerek satın alınabilecek maksimum defter adedi hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sayı basamakları çözümlemesi yardımıyla denklem kurma ve sayı problemlerini çözme

Alternatif Yöntem

Çarpanlara ayırma yöntemiyle, iki basamaklı iki sayının çarpımı 252 olacak şekilde 12×2112 \times 21 çifti doğrudan deneme yoluyla da hızlıca belirlenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 858Soru →

Aşağıdaki tabloda bir kafede satılan çay ve kahve çeşitlerinin küçük ve büyük boy bardak fiyatları verilmiştir:

İçecek TürüKüçük Boy Fiyatı (TL)Büyük Boy Fiyatı (TL)
Çay1525
Kahve4060

Bir gün içinde bu kafeden toplam 45 bardak çay ve kahve satın alınmış ve bu içecekler için toplam 1625 TL1625\text{ TL} ödenmiştir. Kafeden alınan toplam kahve sayısının, toplam çay sayısının 2 katı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu kafeden alınan büyük boy içeceklerin toplam sayısı en fazla kaç olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Kafeden alınan büyük boy içeceklerin toplam sayısı en fazla 17 olabilir.
Büyük boy içecek sayısının en fazla olması için fiyat denkleminin sadeleştirilmiş hali olan tb+2kb=20t_b + 2k_b = 20 eşitliğinde, toplam büyük boy içecek sayısı olan tb+kb=20−kbt_b + k_b = 20 - k_b ifadesindeki kbk_b değeri en küçük seçilmelidir. Toplam çay sayısı en fazla 15 olabileceğinden tb≤15  ⟹  20−2kb≤15  ⟹  kb≥2,5t_b \leq 15 \implies 20 - 2k_b \leq 15 \implies k_b \geq 2,5 eşitsizliği elde edilir. Buradan en küçük tam sayı değeri kb=3k_b = 3 olarak bulunur. Bu durumda tb=14t_b = 14 olur ve toplam büyük boy içecek sayısı en fazla 14+3=1714 + 3 = 17 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çay ve kahve sayılarını belirlemek için denklem kurma.
Toplam çay sayısı T=15T = 15 ve toplam kahve sayısı K=30K = 30 olarak bulunur.
Toplam 45 bardak içecek alınmıştır ve kahve sayısı çay sayısının 2 katıdır (K=2TK = 2T). Buradan T+2T=45  ⟹  3T=45  ⟹  T=15T + 2T = 45 \implies 3T = 45 \implies T = 15 ve K=30K = 30 elde edilir.
2
Küçük ve büyük boy içeceklerin adetlerine göre toplam ücret denklemini oluşturma.
tb+2kb=20t_b + 2k_b = 20 denklemi elde edilir.
Büyük boy çay sayısı tbt_b, büyük boy kahve sayıs�� kbk_b olsun. Küçük boy çay sayısı 15−tb15 - t_b ve küçük boy kahve sayısı 30−kb30 - k_b olur. Toplam ücret: 15(15−tb)+25tb+40(30−kb)+60kb=162515(15 - t_b) + 25t_b + 40(30 - k_b) + 60k_b = 1625 olarak yazılır. Bu denklem düzenlendiğinde 1425+10tb+20kb=1625  ⟹  10tb+20kb=200  ⟹  tb+2kb=201425 + 10t_b + 20k_b = 1625 \implies 10t_b + 20k_b = 200 \implies t_b + 2k_b = 20 bulunur.
3
Sın��r koşullarını (eşitsizlikleri) kullanarak büyük boy içeceklerin toplam sayısını en üst seviyeye çıkarma.
Büyük boy içeceklerin toplam sayısı en fazla 17 olur.
Toplam büyük boy içecek sayısı tb+kbt_b + k_b ifadesini en büyük yapmak istiyoruz. tb=20−2kbt_b = 20 - 2k_b yazarak toplamı 20−kb20 - k_b olarak buluruz. Bu toplamın en büyük olması için kbk_b en küçük seçilmelidir. Çay sayısı en fazla 15 olabileceğinden tb≤15  ⟹  20−2kb≤15  ⟹  2kb≥5  ⟹  kb≥2.5t_b \leq 15 \implies 20 - 2k_b \leq 15 \implies 2k_b \geq 5 \implies k_b \geq 2.5 olur. kbk_b tam sayı olmak zorunda olduğundan en az 3 seçilebilir. kb=3k_b = 3 için tb=14t_b = 14 olur ve toplam büyük boy içecek sayısı 14+3=1714 + 3 = 17 bulunur.

Anahtar Kavram

Denklem kurma ve sınır koşullarına bağlı olarak çok değişkenli ifadeleri en büyük/en küçük yapma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 859Soru →

Bir sinema salonunun bilet gişesinde çalışan Aslı ve Berk'in bilet satış hızlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Aslı, her 33 dakikada 44 müşteriye bilet satmaktadır.
- Berk ise her 44 dakikada 55 müşteriye bilet satmaktadır.

Aslı tek başına bilet satışına başladıktan 1212 dakika sonra Berk de diğer gişede bilet satışına başlamıştır. Bir süre sonra her iki gişe de aynı anda satışı sonlandırmıştır.

Gişelerin açık olduğu bu süre zarfında iki görevli toplam 171171 müşteriye bilet sattığına göre, Aslı kaç dakika boyunca bilet satışı yapmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7272

Cevap

Aslı toplamda 7272 dakika boyunca bilet satışı yapmıştır.
Doğru cevap olan 7272 dakikaya ulaşmak için, Aslı'nın tek başına çalıştığı ilk 1212 dakikada sattığı bilet sayısı (1616 bilet) toplamdan çıkarılarak ortak çalışma dönemine kalan bilet sayısı (155155 bilet) bulunur. Aslı ve Berk'in dakikalık hızları toplanarak ortak çalışma hızı (dakikada 3112\frac{31}{12} bilet) elde edilir. Kalan bilet sayısı ortak hıza bölünerek birlikte çalışılan süre (6060 dakika) hesaplanır. Aslı'nın tek başına çalıştığı ilk 1212 dakika da bu süreye eklenerek toplam süre 7272 dakika olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aslı ve Berk'in 11 dakikada sattıkları bilet sayılarını (bilet satış hızlarını) belirlemek.
Aslı'nın hızı dakikada 43\frac{4}{3} bilet, Berk'in hızı ise dakikada 54\frac{5}{4} bilettir.
Birlikte ve yalnız çalıştıkları sürelerde satılan bilet miktarlarını hesaplayabilmek için birim zamandaki hızları bulunmalıdır.
2
Aslı'nın tek başına çalıştığı ilk 1212 dakikada sattığı bilet sayısını ve geriye kalan bilet sayısını hesaplamak.
Aslı ilk 1212 dakikada 12×43=1612 \times \frac{4}{3} = 16 bilet satar. Geriye kalan bilet sayısı 171−16=155171 - 16 = 155 bilet olur.
Berk işe başlamadan önce satılan bilet sayısını toplamdan çıkararak ortak çalışma dönemine kalan bilet sayısını bulmak gerekir.
3
Berk işe başladıktan sonra birlikte çalıştıkları tt süresini bulmak.
Birlikte 11 dakikada 43+54=3112\frac{4}{3} + \frac{5}{4} = \frac{31}{12} bilet satarlar. Buradan t×3112=155  ⟹  t=60t \times \frac{31}{12} = 155 \implies t = 60 dakika bulunur.
Geriye kalan biletlerin tamamlanması için geçen ortak süreyi hesaplamak gerekir.
4
Aslı'nın toplam çalışma süresini hesaplamak.
Aslı'nın toplam süresi 60+12=7260 + 12 = 72 dakikadır.
Aslı, Berk'ten 1212 dakika önce çalışmaya başladığı için Berk ile çalıştığı süreye bu ek süre eklenmelidir.

Anahtar Kavram

İki farklı nesnenin veya kişinin belirli zaman aralıklarındaki çalışma hızlarını kullanarak ortak bir işin tamamlanma süresini hesaplama.
Soru 860Soru →

Bir okulda yürütülen sıfır atık projesi kapsamında, öğrenciler topladıkları plastik ve cam şişeleri okula teslim etmektedir. Teslim edilen her bir plastik şişe için 1515 puan, her bir cam şişe için ise 2020 puan verilmektedir.

Bu proje kapsamında bir sınıftaki öğrenciler toplam 5050 adet şişe teslim etmiştir. Bu şişelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Plastik şişelerin tamamı 44'erli paketler hâlinde, cam şişelerin tamamı ise 66'şarlı kutular hâlinde getirilmiştir.
- Sınıfın bu şişelerden kazandığı toplam puan 840840'tır.

Buna göre, bu sınıfın okula teslim ettiği toplam paket ve kutu sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Toplam paket ve kutu sayısı 11'dir.
Plastik şişe paket sayısı aa, cam şişe kutu sayısı bb olarak tanımlandığında şişe sayıları toplamından 2a+3b=252a + 3b = 25 ve puanlar toplamından a+2b=14a + 2b = 14 denklemleri elde edilir. Bu iki denkleminin ortak çözümünden a=8a = 8 ve b=3b = 3 bulunur. Toplam paket ve kutu sayısı olan 11 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve şişe sayısı denkleminin kurulması
Plastik şişe paket sayısı aa ve cam şişe kutu sayısı bb olsun. Paketlerde 44'er plastik şişe, kutularda 66'şar cam şişe bulunduğundan, toplam şişe sayısı: 4a+6b=504a + 6b = 50 olarak yazılır. Bu denklem 22 ile sadeleştirilirse 2a+3b=252a + 3b = 25 elde edilir.
Soruda verilen toplam şişe adedini paket ve kutu cinsinden ifade etmek için.
2
Toplam puan denkleminin kurulması
Her plastik şişe 1515 puan, her cam şişe 2020 puan değerindedir. Toplam puan: 15×(4a)+20×(6b)=840⇒60a+120b=84015 \times (4a) + 20 \times (6b) = 840 \Rightarrow 60a + 120b = 840 elde edilir. Bu denklem 6060 ile sadeleştirilirse a+2b=14a + 2b = 14 bulunur.
Şişelerin puan değerlerini kullanarak paket ve kutu sayıları arasında ikinci bir bağıntı kurmak için.
3
Denklem sisteminin çözülmesi
Elt edilen 2a+3b=252a + 3b = 25 ve a+2b=14a + 2b = 14 denklemleri ortak çözülür. İkinci denklem 22 ile çarpılırsa 2a+4b=282a + 4b = 28 olur. İlk denklem bundan çıkarıldığında (2a+4b)−(2a+3b)=28−25⇒b=3(2a + 4b) - (2a + 3b) = 28 - 25 \Rightarrow b = 3 bulunur. b=3b = 3 değeri a+2b=14a + 2b = 14 denkleminde yerine yazılırsa a+6=14⇒a=8a + 6 = 14 \Rightarrow a = 8 elde edilir.
Paket ve kutu sayılarını ayrı ayrı hesaplamak için.
4
Toplam paket ve kutu sayısının bulunması
Toplam paket ve kutu sayısı: a+b=8+3=11a + b = 8 + 3 = 11 olarak hesaplanır.
Soruda istenen toplam paket ve kutu sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemi çözme
ÖncekiSayfa 43 / 45Sonraki
Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 43 | Examkin