Examkin

Pozitif ve Negatif Sayılar

72 soru

Tüm türler72Çoktan seçmeli37Doğru / Yanlış16Sayısal19
Soru 21Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a3⋅b4>0a^3 \cdot b^4 > 0
a+b<0a + b < 0
b5⋅c≥0b^5 \cdot c \geq 0
eşitsizlikleri sağlandığına göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a−ba - b

Cevap

a−ba - b ifadesi kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır.
a−ba - b ifadesinde aa pozitif ve bb negatif bir sayı olduğundan, −b-b pozitif olur. İki pozitif sayının toplamı her zaman pozitif olduğundan, bu ifade kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
aa ve bb sayılarının özelliklerini belirleme
a>0a > 0 ve b≠0b \neq 0
a3⋅b4>0a^3 \cdot b^4 > 0 eşitsizliğinde b4b^4 çift kuvvet olduğundan b≠0b \neq 0 için her zaman pozitiftir. Çarpımın pozitif olması için a3>0a^3 > 0 olmalıdır, bu da a>0a > 0 anlamına gelir.
2
bb sayısının işaretini belirleme
b<0b < 0
a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinde a>0a > 0 olduğu için toplamın negatif olabilmesi ancak bb sayısının negatif olması (b<0b < 0) ve mutlak değerce aa'dan büyük olmasıyla mümkündür.
3
cc sayısının işaret aralığını belirleme
c≤0c \leq 0
b<0b < 0 olduğundan tek kuvveti olan b5<0b^5 < 0 olur. b5⋅c≥0b^5 \cdot c \geq 0 eşitsizliğinde her iki taraf negatif olan b5b^5 sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve c≤0c \leq 0 elde edilir. Burada cc sayısı sıfır da olabilir.
4
Seçenekleri analiz etme
a−b>0a - b > 0
a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğu bilindiğine göre, −b>0-b > 0 olur. Dolayısıyla a−b=a+(−b)a - b = a + (-b) ifadesi iki pozitif sayının toplamı olup kesinlikle pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayıların çarpma, bölme ve toplama işlemleri altındaki işaret değişimleri ile sıfır sayısının nötr karakteri.
Soru 22Soru →
x=−24x = -2^4
y=(−3)2y = (-3)^2
z=0z = 0

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi pozitif bir gerçel sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y - x

Cevap

y - x ifadesi pozitif bir gerçel sayı belirtir.
y - x ifadesinde y = 9 ve x = -16 değerleri yerine yazıldığında 9 - (-16) = 25 değeri elde edilir. 25 sayısı sıfırdan büyük olduğu için pozitif bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
x, y ve z sayılarının değerlerini ve işaretlerini belirleyiniz.
x = -16 (negatif), y = 9 (pozitif) ve z = 0 (nötr) olarak bulunur.
Parantezsiz -2^4 ifadesinde üs sadece 2 sayısına aittir, bu nedenle -2^4 = -16 olur. Parantezli (-3)^2 ifadesinde ise taban -3 olup çift kuvvet sonucu pozitiftir, yani (-3)^2 = 9 olur. 0 sayısı ise işaretsizdir.
2
Seçeneklerde verilen ifadelerin değerlerini hesaplayarak işaretlerini kontrol ediniz.
y - x ifadesinin değeri 9 - (-16) = 25 (pozitif) olarak hesaplanır.
Diğer seçenekler incelendiğinde; x + y = -7 (negatif), x \cdot y = -144 (negatif), y \cdot z = 0 (nötr/işaretsiz) ve x - y = -25 (negatif) değerlerini alır. Bu durumda yalnızca y - x ifadesi pozitif bir değer belirtir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Üslü İşlemler ve Sıfırın Nötrlüğü
Soru 23Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a3⋅b<0a^3 \cdot b < 0
a2⋅(c−b)≤0a^2 \cdot (c - b) \le 0
b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,
I. a2−a⋅ba^2 - a \cdot b
II. b2−a⋅bb^2 - a \cdot b
III. (a−b)2(a - b)^2
IV. b2⋅c2b^2 \cdot c^2
V. c⋅(b−a)c \cdot (b - a)

ifadelerinden kaç tanesinin değeri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen eşitsizlikleri sağlayan tüm gerçel sayı durumları için I, II ve III numaralı ifadelerin değerleri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır. IV ve V numaralı ifadeler ise c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit olabildikleri için kesinlikle pozitif değillerdir. Bu nedenle doğru cevap 3'tür.
Verilen eşitsizliklerden aa ile bb'nin zıt işaretli olduğu ve c≤bc \le b olduğu bulunur. b>0b > 0 durumunda 0≤c≤b0 \le c \le b ve a<0a < 0 elde edilir. Bu durumda cc sıfır değerini alabilir. b<0b < 0 durumunda ise c<0c < 0 ve a>0a > 0 olur. Bu iki duruma göre; a2−aba^2 - ab ve b2−abb^2 - ab ifadeleri her zaman pozitif çarpanların çarpımı veya kareler toplamı biçiminde yazılıp pozitif bulunur. (a−b)2(a-b)^2 ifadesi a≠ba \ne b olduğundan sıfırdan farklı bir sayının karesi olarak daima pozitiftir. Ancak b2⋅c2b^2 \cdot c^2 ve c⋅(b−a)c \cdot (b - a) ifadeleri c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit oldukları için kesinlikle pozitif değildirler. Bu yüzden yalnızca 3 ifade kesinlikle pozitiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b<0a^3 \cdot b < 0 eşitsizliğinin analiz edilmesi
a≠0a \ne 0, b≠0b \ne 0 ve aa ile bb zıt işaretlidir.
Çarpımın sıfırdan küçük olması için çarpanların sıfırdan farklı ve zıt işaretli olması gerekir.
2
a2⋅(c−b)≤0a^2 \cdot (c - b) \le 0 eşitsizliğinin analiz edilmesi
c≤bc \le b
a≠0a \ne 0 olduğundan a2>0a^2 > 0 olur ve eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmez.
3
b3⋅c≥0b^3 \cdot c \ge 0 eşitsizliğinin b>0b > 0 ve b<0b < 0 durumlarına göre incelenmesi
b>0b > 0 iken 0≤c≤b0 \le c \le b ve a<0a < 0; b<0b < 0 iken c≤b<0c \le b < 0 ve a>0a > 0 elde edilir.
b3b^3 teriminin işareti bb'nin işaretiyle aynıdır. b<0b < 0 durumunda eşitsizliği b3b^3 ile bölerken negatif bir sayıya bölündüğü için yön değiştirme kuralı uygulanmalıdır.
4
Öncüllerdeki ifadelerin işaretlerinin her iki durum için ayrı ayrı kontrol edilmesi
I, II ve III kesinlikle pozitif; IV ve V ise c=0c = 0 durumunda sıfıra eşit olabildiği için kesinlikle pozitif değildir.
Sıfır sayısı nötrdür, işareti yoktur ve pozitif kabul edilemez. Bu nedenle sıfır olabilen ifadeler kesinlikle pozitif sınıfına girmez.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret analizi, sıfırın nötr olma özelliği ve negatif sayıların kuvvetlerinde eşitsizlik yön değişimi
Soru 24Soru →

Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için,
* x−y<0x - y < 0
* y⋅z3<0y \cdot z^3 < 0
* x2⋅(y−z)>0x^2 \cdot (y - z) > 0
* x3⋅z5>0x^3 \cdot z^5 > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,
I. x⋅y−z>0x \cdot y - z > 0
II. x2⋅y−z3>0x^2 \cdot y - z^3 > 0
III. (x−z)2⋅y>0(x - z)^2 \cdot y > 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Verilen eşitsizlikleri sağlayan değişkenlerin işaretleri x<0x < 0, y>0y > 0 ve z<0z < 0 olup, bu duruma göre sadece ikinci öncüldeki x2⋅y−z3x^2 \cdot y - z^3 ifadesi her zaman pozitiftir. Bu nedenle doğru cevap 'Yalnız II' seçeneğidir.
Değişkenlerin işaretleri x<0x < 0, y>0y > 0 ve z<0z < 0 olarak belirlendikten sonra, ikinci öncüldeki x2⋅y−z3x^2 \cdot y - z^3 ifadesinin her iki teriminin de pozitif olduğu görülür. İki pozitif sayının toplamı her zaman pozitif olacağından 'Yalnız II' ifadesi her zaman doğrudur. Birinci öncülde negatif ve pozitif sayıların toplamının işareti belirsizdir, üçüncü öncülde ise değişkenlerin birbirine eşit olma durumunda ifadenin sıfıra eşitlenebileceği unutulmamalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x3⋅z5>0x^3 \cdot z^5 > 0 ve y⋅z3<0y \cdot z^3 < 0 eşitsizliklerinden yola çıkarak değişkenlerin işaret ilişkilerini analiz etmek.
xx ile zz aynı işaretli, yy ile zz ise zıt işaretli olmalıdır.
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, pozitif sayıların tek kuvvetleri pozitif olduğundan, tek kuvvetler tabanın işaretini etkilemez.
2
x2⋅(y−z)>0x^2 \cdot (y - z) > 0 eşitsizliğinde x2x^2 teriminin işaretini belirleyip yy ile zz aras��ndaki sıralamayı bulmak.
xx sıfırdan farklı olduğu için x2>0x^2 > 0 olur. Dolayısıyla y−z>0y - z > 0 yani y>zy > z elde edilir.
Sıfırdan farklı her gerçel sayının karesi pozitif olduğundan, çarpımın pozitif olması için diğer çarpanın da pozitif olması gerekir.
3
Elde edilen y>zy > z ve yy ile zz'nin zıt işaretli olması bilgilerini birleştirerek tüm değişkenlerin işaretlerini kesinleştirmek.
y>0y > 0, z<0z < 0 ve x<0x < 0 olarak bulunur.
Zıt işaretli iki sayıdan büyük olanı pozitif, küçük olanı negatif olmak zorundadır. xx ile zz aynı işaretli olduğundan xx de negatif olur.
4
Bulunan işaretlere göre öncülleri sırasıyla test etmek.
I. öncül belirsizdir, II. öncül daima doğrudur, III. öncül ise x=zx = z durumu için yanlıştır.
I. öncülde negatif ve pozitif sayıların toplamı büyüklüklerine bağlıdır. III. öncülde farklı iki değişkenin birbirine eşit olabilme durumu (x=zx=z) sıfır sonucunu doğurabilir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların İşaret Analizi ve Kuvvet Kuralları
Soru 25Soru →

Bir laboratuvardaki üç farklı deney tüpünün sıcaklıkları santigrat derece (∘C^\circ\text{C}) cinsinden sırasıyla xx, yy ve zz olarak ölçülmüştür.

Bu sıcaklık değerleri şu şekildedir:
* x=−32x = -3^2
* y=(−3)2y = (-3)^2
* z=0z = 0

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Negatif, Pozitif, İşaretsiz

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif ve işaretsiz olan seçenektir.
İlk ifadede parantez olmadığından −32=−9-3^2 = -9 negatif, ikinci ifadede parantezli çift kuvvet olduğundan (−3)2=9(-3)^2 = 9 pozitif ve üçüncü ifade olan 00 sayısı işaretsiz (nötr) bir değerdir. Bu nedenle doğru sıralama negatif, pozitif, işaretsiz şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
x=−32x = -3^2 ifadesinin işaretini belirleyin.
x=−9x = -9 (Negatif)
Parantez kullanılmadığı için kuvvet alma işlemi işaretten bağımsızdır. −32=−(3⋅3)=−9-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9 olur.
2
y=(−3)2y = (-3)^2 ifadesinin işaretini belirleyin.
y=9y = 9 (Pozitif)
Negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti pozitiftir. (−3)2=(−3)⋅(−3)=9(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 olur.
3
z=0z = 0 değerinin işaretini belirleyin.
z=0z = 0 (İşaretsiz / Nötr)
Sıfır sayısı pozitif ya da negatif değildir, işaretsizdir.

Anahtar Kavram

Negatif sayıların parantezli ve parantezsiz kuvvetlerinin hesabı ile sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği
Tahmini Süre:45s
Soru 26Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a+b<0a + b < 0
(a⋅b)3⋅c5=0(a \cdot b)^3 \cdot c^5 = 0
a2⋅c>b2⋅ca^2 \cdot c > b^2 \cdot c
koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c⋅(a−b)c \cdot (a - b)

Cevap

c * (a - b) ifadesi
Doğru olan ifadede, değişkenlerin her iki olası durumunda da çarpımın sonucu negatif çıkmaktadır. Birinci durumda a sıfır, b negatif ve c negatif olduğundan c * (a - b) ifadesi negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı olup negatiftir. İkinci durumda a negatif, b sıfır ve c pozitif olduğundan c * (a - b) ifadesi pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı olup yine negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği analiz ederek değişkenlerin sıfır olma durumunu inceleme.
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 olduğu için aa, bb veya cc sayılarından en az birinin sıfır olması gerektiği belirlenir.
Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
2
a2⋅c>b2⋅ca^2 \cdot c > b^2 \cdot c eşitsizliğini kullanarak cc ve a2−b2a^2 - b^2 ifadelerinin işaretlerini belirleme.
(a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 elde edilir. Bu çarpım sıfırdan büyük olduğu için c≠0c \neq 0 ve a2≠b2a^2 \neq b^2 olmalıdır. Dolayısıyla sıfır olan değişken aa veya bb olmalıdır.
Eşitsizlik yönü ve çarpımın işareti analiz edilerek sıfır olamayacak değişkenler elenir.
3
a=0a = 0 durumunu (Durum 1) inceleme.
a2−b2=−b2<0a^2 - b^2 = -b^2 < 0 olur (çünkü b≠0b \neq 0). (a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 olması için c<0c < 0 olmalıdır. a+b<0  ⟹  0+b<0  ⟹  b<0a + b < 0 \implies 0 + b < 0 \implies b < 0 elde edilir. Bu durumda işaretler (a,b,c)=(0,−,−)(a, b, c) = (0, -, -) olur.
Değişkenlerden birinin sıfır olması varsayımı altında diğer değişkenlerin işaretleri bulunur.
4
b=0b = 0 durumunu (Durum 2) inceleme.
a2−b2=a2>0a^2 - b^2 = a^2 > 0 olur (çünkü a≠0a \neq 0). (a2−b2)c>0(a^2 - b^2)c > 0 olması için c>0c > 0 olmalıdır. a+b<0  ⟹  a+0<0  ⟹  a<0a + b < 0 \implies a + 0 < 0 \implies a < 0 elde edilir. Bu durumda işaretler (a,b,c)=(−,0,+)(a, b, c) = (-, 0, +) olur.
Diğer olası sıfır durumu incelenerek alternatif işaret dağılımı belirlenir.
5
Her iki durum için doğru seçenekteki ifadenin değerini inceleme.
c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi Durum 1 için −b⋅c<0-b \cdot c < 0 ve Durum 2 için a⋅c<0a \cdot c < 0 değerlerini alır. Her iki durumda da sonuç kesinlikle negatiftir.
Bulunan tüm durumların ortak olarak sağladığı kesin sonucu tespit etmek.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın İşaretsizlik Özelliği

Alternatif Yöntem

Değişkenlerin işaretlerini ve sıfır olma durumlarını belirledikten sonra, seçenekleri test etmek amacıyla her iki durumu da temsil edecek uygun değerler seçilebilir. Örneğin Durum 1 için a = 0, b = -1, c = -2 değerleri; Durum 2 için a = -2, b = 0, c = 1 değerleri verilerek seçeneklerin her iki durum için de negatif değer üretip üretmediği hızlıca kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 27Soru →

−32-3^2 sayısı ile (−3)2(-3)^2 sayısının toplamı, işaretsiz (nötr) bir sayı olan 00 değerine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur, çünkü −32=−9-3^2 = -9 ve (−3)2=9(-3)^2 = 9 olup bu iki sayının toplamı işaretsiz (nötr) olan 00 sayısına eşittir.
Verilen ifade doğrudur çünkü parantezsiz negatif sayının karesi negatif, parantezli negatif sayının karesi ise pozitiftir; bunların toplamı olan sıfır sayısı nötr bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
−32-3^2 ifadesinin değerini hesaplayın.
−32=−9-3^2 = -9
Kuvvet parantez içinde veya parantezsiz olduğunda, tabanın önündeki negatif işaret kuvvetten etkilenmez.
2
(−3)2(-3)^2 ifadesinin değerini hesaplayın.
(−3)2=9(-3)^2 = 9
Negatif bir sayının çift kuvveti parantez dışındaysa sonuç pozitif olur.
3
Elde edilen sonuçları toplayıp toplamın işaretini kontrol edin.
−9+9=0-9 + 9 = 0 ve 00 sayısı işaretsizdir.
Toplama işleminin sonucu olan sıfır sayısı ne pozitif ne de negatiftir, işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Negatif sayıların çift kuvvetlerinde parantezin önemi ve sıfırın işaretsiz (nötr) olması
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 28Soru →
aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
(a−2)4⋅(b+3)<0 (a - 2)^4 \cdot (b + 3) < 0
(−a)5⋅(c−1)3>0 (-a)^5 \cdot (c - 1)^3 > 0
(a−2)⋅(b+3)⋅c=0 (a - 2) \cdot (b + 3) \cdot c = 0
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aa ve bb birer tam sayı olmak üzere, a−b+ca - b + c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer 5'tir.
Verilen eşitsizlik sisteminin çözümüyle a>0a > 0, a≠2a \neq 2, b<−3b < -3 ve c=0c = 0 olduğu kesinleşir. a−b+ca - b + c ifadesini en küçük yapmak için a=1a = 1 ve b=−4b = -4 alınır. Buradan 1−(−4)+0=51 - (-4) + 0 = 5 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz ederek a ve b değişkenlerinin sınırlarını belirleme
a≠2a \neq 2 ve b<−3b < -3
Çift dereceli bir kuvvet (44. kuvvet) taban sıfır olmadığı sürece daima pozitiftir. Çarpımın negatif çıkması için diğer çarpanın negatif olması gerekir.
2
Çarpımın sıfır olma durumunu kullanarak c değerini bulma
c=0c = 0
Çarpımın sonucunun sıfır çıkması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. İlk adımdan diğer çarpanların sıfır olamayacağı bilindiği için cc değişkeni sıfıra eşit olmalıdır.
3
İkinci eşitsizlikte c = 0 değerini yazarak a'nın işaretini bulma
a>0a > 0
(−a)5⋅(−1)3>0  ⟹  (−a5)⋅(−1)>0  ⟹  a5>0(-a)^5 \cdot (-1)^3 > 0 \implies (-a^5) \cdot (-1) > 0 \implies a^5 > 0 olduğundan aa pozitif olmalıdır.
4
Koşullara uygun en küçük a ve en büyük b tam sayı değerlerini belirleme
a=1a = 1 ve b=−4b = -4
a−b+ca - b + c ifadesinin değerini minimize etmek için aa en küçük pozitif tam sayı (11), bb ise −3-3'ten küçük en büyük tam sayı (−4-4) seçilmelidir.
5
Değerleri yerine koyarak nihai sonucu hesaplama
1−(−4)+0=51 - (-4) + 0 = 5
Belirlenen değerlerin toplamı en küçük sonucu verir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda kuvvet alma, eşitsizlik çözümü ve sıfırın işaretsiz (nötr) olma özelliği.
Soru 29Soru →

Bir sayı doğrusu üzerindeki nötr (işaretsiz) başlangıç noktasına olan uzaklıkları sırasıyla 4, 6 ve 9 birim olan xx, yy ve zz gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:
* x5⋅y2⋅z3<0x^5 \cdot y^2 \cdot z^3 < 0
* y⋅z>0y \cdot z > 0
* x−y>0x - y > 0

Buna göre,
−x2−(−y)2z−(−z)2+86\frac{-x^2 - (-y)^2}{z - (-z)^2 + 86}
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İfadenin değeri 13'tür.
Verilen eşitsizlikler analiz edildiğinde x=4x = 4, y=−6y = -6 ve z=−9z = -9 değerleri elde edilir. Bu değerler rasyonel ifadede işlem önceliklerine ve parantezli/parantezsiz üs alma kurallarına dikkat edilerek yerine yazıldığında pay −52-52, payda −4-4 bulunur. Bölme işleminin sonucunda 13 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç noktasına olan uzaklık tanımından faydalanarak değişkenlerin mutlak değerlerini belirlemek.
∣x∣=4|x| = 4, ∣y∣=6|y| = 6 ve ∣z∣=9|z| = 9 elde edilir.
Bir gerçel sayının başlangıç noktasına (sıfır noktasına) olan uzaklığı o sayının mutlak değerine eşittir.
2
x5⋅y2⋅z3<0x^5 \cdot y^2 \cdot z^3 < 0 eşitsizliğini incelemek.
xx ve zz gerçel sayıları zıt işaretlidir (x⋅z<0x \cdot z < 0).
y≠0y \neq 0 olduğundan y2>0y^2 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için x5⋅z3<0x^5 \cdot z^3 < 0 olmalıdır, bu da xx ile zz'nin zıt işaretli olmasını gerektirir.
3
y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliğini incelemek.
yy ve zz gerçel sayıları aynı işaretlidir.
İki gerçel sayının çarpımının pozitif olması için ikisinin de aynı işaretli olması gerekir.
4
İşaret ilişkilerini birleştirmek.
xx ile yy gerçel sayıları zıt işaretlidir.
xx ile zz zıt, yy ile zz aynı işaretli olduğundan xx ile yy mutlaka zıt işaretli olmalıdır.
5
x−y>0x - y > 0 eşitsizliğini kullanmak.
x>0x > 0 ve y<0y < 0 bulunur.
Zıt işaretli iki sayının farkının pozitif çıkması için büyük olan sayının (xx) pozitif, küçük olan sayının (yy) negatif olması gerekir.
6
Tüm değişkenlerin kesin değerlerini bulmak.
x=4x = 4, y=−6y = -6 ve z=−9z = -9 olur.
y<0y < 0 ve yy ile zz aynı işaretli olduğundan z<0z < 0 olur. Mutlak değer büyüklükleri kullanılarak değerler belirlenir.
7
Bulunan değerleri istenen ifadede yerine yazıp hesaplamak.
13 elde edilir.
Pay: −x2−(−y)2=−(4)2−(6)2=−16−36=−52-x^2 - (-y)^2 = -(4)^2 - (6)^2 = -16 - 36 = -52. Payda: z−(−z)2+86=−9−(9)2+86=−90+86=−4z - (-z)^2 + 86 = -9 - (9)^2 + 86 = -90 + 86 = -4. Sonuç: −52−4=13\frac{-52}{-4} = 13 olur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda dört işlem kuralları, üs alma işlemleri ve mutlak değer yardımıyla işaret analizi.
Soru 30Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı olan pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayılarla ilgili aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. Her xx gerçel sayısı için, −x4-x^4 ile (−x)4(-x)^4 ifadelerinin toplamı işaretsiz bir sayıdır.
II. Her yy gerçel sayısı için, −y2-y^2 ifadesi negatif bir sayıdır.
III. zz sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere, (−z)−3(-z)^{-3} ile −z−3-z^{-3} ifadelerinin çarpımı her zaman pozitif bir sayıdır.

Buna göre, bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü ifadeler her zaman doğrudur.
Birinci ve üçüncü ifadelerin birlikte yer aldığı seçenek doğrudur. Birinci ifadede parantez içindeki negatif tabanın çift kuvveti pozitif olacağından (−x)4=x4(-x)^4 = x^4 olur ve −x4+x4=0-x^4 + x^4 = 0 elde edilir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Üçüncü ifadede ise sıfırdan farklı zz sayısı için (−z)−3=−z−3(-z)^{-3} = -z^{-3} olup, bu iki aynı ifadenin çarpımı karesini vereceğinden daima pozitif olur. İkinci ifade ise y=0y = 0 için sıfıra eşit olduğundan ve sıfır sayısı negatif olmadığından her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadeyi analiz edin.
−x4+(−x)4=−x4+x4=0-x^4 + (-x)^4 = -x^4 + x^4 = 0 bulunur. Sıfır (00) sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Dolayısıyla birinci ifade her zaman doğrudur.
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olduğundan (−x)4=x4(-x)^4 = x^4 olur. Bu durumda −x4-x^4 ile x4x^4 birbirini götürür.
2
İkinci ifadeyi analiz edin.
y=0y = 0 için −y2=−02=0-y^2 = -0^2 = 0 olur. Sıfır (00) sayısı negatif değildir, nötrdür (işaretsizdir). Dolayısıyla ikinci ifade her zaman doğru değildir.
Sıfır sayısı pozitif veya negatif sınıfına girmez, işaretsizdir.
3
Üçüncü ifadeyi analiz edin.
(−z)−3⋅(−z−3)=(−z−3)⋅(−z−3)=(z−3)2=z−6>0(-z)^{-3} \cdot (-z^{-3}) = (-z^{-3}) \cdot (-z^{-3}) = (z^{-3})^2 = z^{-6} > 0 bulunur. Sıfırdan farklı her zz gerçel sayısı için z−6z^{-6} daima pozitiftir. Dolayısıyla üçüncü ifade her zaman doğrudur.
Tek kuvvet negatif tabanın işaretini dışarı çıkarır: (−z)−3=−z−3(-z)^{-3} = -z^{-3} olur. Aynı iki sayının çarpımı karesini vereceğinden sıfırdan farklı her sayı için sonuç pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayıların özellikleri ile üslü ifadelerde parantez kullanımı.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 31Soru →

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için a3⋅b2⋅c<0a^3 \cdot b^2 \cdot c < 0, a−b<ca - b < c ve b2⋅c−a2⋅c=0b^2 \cdot c - a^2 \cdot c = 0 koşulları sağlanmaktadır. Buna göre, c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesinin alabileceği en büyük değer işaretsiz (nötr) bir gerçel sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Önerme doğrudur. c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesinin alabileceği en büyük değer 00 olup, bu sayı işaretsizdir (nötrdür).
Koşulları sağlayan durumlarda c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi en fazla 00 değerini alabilir ve sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
b2⋅c−a2⋅c=0b^2 \cdot c - a^2 \cdot c = 0 eşitliğini analiz etmek.
c≠0c \neq 0 olduğundan her iki taraf cc ile bölünürse b2=a2b^2 = a^2 elde edilir. Buradan b=ab = a veya b=−ab = -a olur.
Değişkenler arasındaki eşitlik ilişkilerini belirlemek.
2
a3⋅b2⋅c<0a^3 \cdot b^2 \cdot c < 0 eşitsizliğini analiz etmek.
b≠0b \neq 0 olduğundan b2>0b^2 > 0 olur. Dolayısıyla a3⋅c<0a^3 \cdot c < 0 elde edilir, bu da aa ile cc sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.
Değişkenlerin işaret durumlarını tespit etmek.
3
b=ab = a durumunu incelemek.
a−b<c  ⟹  a−a<c  ⟹  c>0a - b < c \implies a - a < c \implies c > 0 olur. aa ile cc zıt işaretli olduğundan a<0a < 0 ve dolayısıyla b<0b < 0 olur. Bu durumda c⋅(a−b)=c⋅0=0c \cdot (a - b) = c \cdot 0 = 0 elde edilir.
İlk olasılığa göre ifadenin değerini hesaplamak.
4
b=−ab = -a durumunu incelemek.
a−b<c  ⟹  a−(−a)<c  ⟹  2a<ca - b < c \implies a - (-a) < c \implies 2a < c olur. aa ve cc zıt işaretli olduğundan, eğer a>0a > 0 ve c<0c < 0 olsaydı 2a<c2a < c (pozitif < negatif) çelişkisi doğardı. Dolayısıyla a<0a < 0 ve c>0c > 0 olmalıdır. Bu durumda c⋅(a−b)=c⋅(2a)=2ac<0c \cdot (a - b) = c \cdot (2a) = 2ac < 0 elde edilir.
İkinci olasılığa göre ifadenin değerini hesaplamak.
5
Sonuçları birleştirerek ifadenin en büyük değerini ve işaretini bulmak.
c⋅(a−b)c \cdot (a - b) ifadesi 00 veya negatif değerler alabilir. Bu değerlerin en büyüğü 00 olup, 00 sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
Önermenin doğruluk değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işlemler, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik analizi.
Soru 32Soru →

A={−3,−1,0,2,4}A = \{-3, -1, 0, 2, 4\} kümesinin elemanlarından seçilen birbirinden farklı iki sayının çarpımı ile elde edilebilecek en büyük negatif sayı ile en küçük pozitif sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

En büyük negatif çarpım değeri olan -2 ile en küçük pozitif çarpım değeri olan 3'ün toplamı 1'dir.
Çarpım sonucu elde edilen negatif sayıların kümesi {−12,−6,−4,−2}\{-12, -6, -4, -2\} olup, bu gruptaki en büyük sayı −2-2'dir. Çarpım sonucu elde edilen pozitif sayıların kümesi ise {3,8}\{3, 8\} olup, bu gruptaki en küçük sayı 33'tür. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) olduğundan her iki gruba da dahil edilmemiştir. Bu iki değerin toplamı −2+3=1-2 + 3 = 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birbirinden farklı iki elemanın çarpımı ile elde edilebilecek tüm olası sonuçları hesaplamak.
Olası tüm çarpımlar şunlardır: (−3)⋅(−1)=3(-3) \cdot (-1) = 3, (−3)⋅0=0(-3) \cdot 0 = 0, (−3)⋅2=−6(-3) \cdot 2 = -6, (−3)⋅4=−12(-3) \cdot 4 = -12, (−1)⋅0=0(-1) \cdot 0 = 0, (−1)⋅2=−2(-1) \cdot 2 = -2, (−1)⋅4=−4(-1) \cdot 4 = -4, 0⋅2=00 \cdot 2 = 0, 0⋅4=00 \cdot 4 = 0 ve 2⋅4=82 \cdot 4 = 8. Küme olarak çarpım sonuçları {−12,−6,−4,−2,0,3,8}\{-12, -6, -4, -2, 0, 3, 8\} şeklindedir.
Soruda istenen en büyük negatif ve en küçük pozitif çarpım değerlerini bulmak için tüm olası çarpım sonuçlarını görmek gerekir.
2
Elde edilen sonu��lar arasından negatif olanları belirlemek ve en büyüğünü seçmek.
Negatif çarpım sonuçları {−12,−6,−4,−2}\{-12, -6, -4, -2\} kümesidir. Bu sayılardan en büyüğü −2-2'dir. Sıf��r sayısı işaretsiz (nötr) olduğu için bu gruba dahil edilmez.
Negatif sayılarda sıfıra yakın olan sayı daha büyüktür. Dolayısıyla en büyük negatif çarpım değeri −2-2 olur.
3
Elde edilen sonuçlar arasından pozitif olanları belirlemek ve en küçüğünü seçmek.
Pozitif çarpım sonuçları {3,8}\{3, 8\} kümesidir. Bu sayılardan en küçüğü 33'tür. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) olduğu için pozitif sayılar grubuna dahil edilmez.
Pozitif sayılardan en küçüğünü belirlemek gerekir. Sıfır sayısı pozitif olmadığı için en küçük pozitif sayı 33 olarak belirlenir.
4
Bulunan en büyük negatif sayı ile en küçük pozitif sayıyı toplamak.
−2+3=1-2 + 3 = 1 elde edilir.
Soru bizden bu iki değerin toplamını bulmamızı istemektedir.

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayıların tanımları ve bu sayıların kendi aralarındaki çarpım işlemleri.
Soru 33Soru →

Bir bilgisayar programına girilen aa, bb ve cc gerçel sayılarından biri negatif, biri pozitif, diğeri ise işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Program, girilen bu sayılar arasında aşağıdaki eşitsizliklerin sağlandığını denetlemektedir:

* a2⋅b>0a^2 \cdot b > 0
* −b3⋅c≥0-b^3 \cdot c \ge 0
* c−a>0c - a > 0

Program bu üç eşitsizliğin de sağlandığını onayladığına göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−a)3⋅(−b)2(-a)^3 \cdot (-b)^2

Cevap

(−a)3⋅(−b)2(-a)^3 \cdot (-b)^2
İfadedeki (−a)3⋅(−b)2(-a)^3 \cdot (-b)^2 çarpımında, aa negatif olduğundan −a-a pozitif bir sayıdır ve tek kuvveti (−a)3(-a)^3 de pozitif olur. bb pozitif olduğundan −b-b negatif bir sayıdır ancak çift kuvveti (−b)2(-b)^2 pozitif olur. İki pozitif sayının çarpımı kesinlikle pozitif bir gerçel sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
İşaretsiz (nötr) olan gerçel sayının 00 olduğunu belirlemek.
a,b,ca, b, c sayılarından biri 00'dır.
Gerçel sayılar kümesinde işaretsiz (nötr) olan tek sayı 00 sayısıdır.
2
cc sayısının 00 olduğunu tespit etmek.
a≠0a \neq 0, b≠0b \neq 0 ve buradan c=0c = 0 bulunur.
a2⋅b>0a^2 \cdot b > 0 eşitsizliğinde çarpım sonucu sıfırdan büyük olduğundan çarpılan sayılardan hiçbiri sıfır olamaz (a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0). Dolayısıyla sıfır olan tek değişken cc'dir.
3
aa ve bb sayılarının işaretlerini bulmak.
b>0b > 0 ve a<0a < 0 olarak bulunur.
a≠0a \neq 0 oldu��undan a2>0a^2 > 0'dır. a2⋅b>0a^2 \cdot b > 0 olması için b>0b > 0 olmalıdır. c=0c = 0 ve c−a>0c - a > 0 eşitsizliğinden 0−a>0  ⟹  a<00 - a > 0 \implies a < 0 elde edilir.
4
Değerleri seçeneklerdeki ifadelere uygulayarak pozitif olan ifadeyi bulmak.
(−a)3⋅(−b)2(-a)^3 \cdot (-b)^2 ifadesinin pozitif olduğu belirlenir.
a<0  ⟹  −a>0  ⟹  (−a)3>0a < 0 \implies -a > 0 \implies (-a)^3 > 0 ve b>0  ⟹  −b<0  ⟹  (−b)2>0b > 0 \implies -b < 0 \implies (-b)^2 > 0'dır. İki pozitif sayının çarpımı daima pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Özellikleri ve Sıfırın Nötrlüğü

Alternatif Yöntem

Eşitsizlikleri sağlayan uygun değerler seçilebilir. Örneğin c=0c = 0, b=1b = 1 ve a=−2a = -2 değerleri seçildiğinde tüm öncüller sağlanır. Bu değerler seçeneklerde yerine yazılarak da doğru cevaba ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 34Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere, x4x^4 ifadesinin değeri daima pozitif bir sayı belirtir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
İfade yanlıştır çünkü x=0x=0 için x4x^4 ifadesinin değeri sıfıra eşit olur ve sıfır pozitif değil, işaretsiz (nötr) bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenin alabileceği değer aralığını ve özel durumları belirleyin.
Değişkenimiz olan xx bir gerçel sayıdır. Dolayısıyla xx pozitif, negatif veya sıfır (nötr) değerlerini alabilir.
Gerçel sayılar k��mesi pozitif sayılar, negatif sayılar ve nötr olan sıfır sayısından oluşur.
2
Sıfır (nötr) değerinin çift kuvvetini inceleyin.
x=0x = 0 için x4=04=0x^4 = 0^4 = 0 olur.
Sıfırın tüm pozitif tam sayı kuvvetleri sıfıra eşittir.
3
Elde edilen sonucun işaretini değerlendirin.
00 sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır, pozitif bir sayı değildir.
Sıfır sayısının pozitif veya negatif bir işareti yoktur.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği ve çift kuvvetlerin sıfır için sonucu.
Tahmini Süre:45s
Soru 35Soru →

aa negatif bir gerçel sayı ve bb nötr (işaretsiz) bir gerçel sayıdır.

a<ca < c olduğuna göre, aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a−b<c−ba - b < c - b

Cevap

İki taraftan nötr sayının çıkarıldığı eşitsizlik daima doğrudur.
Nötr sayı sıfıra eşit olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafından sıfır çıkarılması eşitsizliğin yönünü ve doğruluğunu etkilemez. Bu nedenle iki taraftan nötr sayının çıkarıldığı ifade daima başlangıçtaki eşitsizlik ile aynı doğruluğa sahiptir.

Adım Adım Çözüm

1
Nötr (işaretsiz) gerçel sayının tanımını kullanarak bb değişkeninin değerini belirleyin.
b=0b = 0 olur.
Sayı doğrusunda işaretsiz (nötr) olan tek gerçel sayı sıfırdır.
2
Doğru seçenekteki ifadede b=0b = 0 değerini yerine yazarak eşitsizliği sadeleştirin.
a−b<c−b⇒a−0<c−0⇒a<ca - b < c - b \Rightarrow a - 0 < c - 0 \Rightarrow a < c elde edilir.
Sıfır sayısı çıkarma işleminde etkisiz elemandır.
3
Elde edilen eşitsizliğin başlangıçta verilen koşulla tutarlılığını kontrol edin.
a<ca < c ifadesi başlangıçta verilen koşul ile birebir aynıdır ve daima doğrudur.
Soruda a<ca < c olduğu başlangıçta bilgi olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Temel Özellikleri ve Eşitsizlik Kuralları
Soru 36Soru →

Bir xx ger��el sayısı için x4>−x3x^4 > -x^3 eşitsizliğinin sağlanması, xx sayısının pozitif bir gerçel sayı olması için gerek ve yeter koşuldur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır (doğruluk değeri False'tur).
Verilen önermenin yanlış olmasının nedeni, eşitsizliği sağlayan negatif gerçel sayıların da bulunmasıdır (örneğin x=−2x = -2 eşitsizliği sağlar ancak pozitif değildir). Dolayısıyla eşitsizliğin sağlanması, xx'in pozitif olması için gerek bir koşul değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Gerek ve yeter koşul ifadesinin matematiksel mantığını kuralım.
x4>−x3x^4 > -x^3 eşitsizliğinin sağlanması ile x>0x > 0 koşulunun birbirini çift yönlü gerektirmesi (x4>−x3  ⟺  x>0x^4 > -x^3 \iff x > 0) incelenmelidir. Koşulun gerek ve yeter olması için hem sağa doğru hem de sola doğru gerektirmenin doğru olması gerekir.
Önermenin doğruluğunu test etmek için gerekli ve yeterli olma durumlarını ayrı ayrı değerlendirmek.
2
x>0x > 0 (pozitif sayı) durumunda eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
x>0x > 0 ise x4>0x^4 > 0 olur. Ayrıca x3>0x^3 > 0 olacağından −x3<0-x^3 < 0 olur. Pozitif bir sayı, negatif bir sayıdan her zaman büyük olduğu için x4>−x3x^4 > -x^3 eşitsizliği x>0x > 0 olan tüm sayılar için her zaman doğrudur. Bu yönüyle koşul yeterlidir.
Pozitif sayıların tüm kuvvetlerinin pozitif olmasından yararlanarak eşitsizliğin sol ve sağ taraflarının işaretlerini belirlemek.
3
x<0x < 0 (negatif sayı) durumunda parantezli kuvvet kurallarını ve eşitsizlik yön değiştirmesini uygulayalım.
x<0x < 0 iken x4>0x^4 > 0 (negatif tabanın çift kuvveti pozitiftir) ve x3<0x^3 < 0 (negatif tabanın tek kuvveti negatiftir) olur. Buradan −x3>0-x^3 > 0 elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğundan, her iki tarafı negatif bir sayı olan x3x^3'e bölelim. Eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğü için yön değiştirir: x4>−x3⇒x4x3<−x3x3⇒x<−1x^4 > -x^3 \Rightarrow \frac{x^4}{x^3} < \frac{-x^3}{x^3} \Rightarrow x < -1 bulunur. Bu aralık sıfırın nötr (işaretsiz) olma durumunu da dışarıda bırakır.
Negatif sayıların tek ve çift kuvvetlerinin işaretlerini doğru analiz etmek ve negatif bölen durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesini yönetmek.
4
Koşulun gerekliliğini test etmek için negatif bölgeden karşıt örnek verelim.
x<−1x < -1 aralığından seçilen x=−2x = -2 sayısı için (−2)4=16(-2)^4 = 16 ve −(−2)3=8-(-2)^3 = 8 olup 16>816 > 8 eşitsizliği sağlanır. Ancak x=−2x = -2 pozitif bir sayı değildir. Bu durum, eşitsizliğin sağlanmasının x>0x > 0 olmasını gerektirmediğini gösterir. Dolayısıyla önerme yanlıştır.
Önermeyi çürüten en az bir gerçel sayı (karşıt örnek) bularak gerek koşul olmadığını ispatlamak.

Anahtar Kavram

Negatif ve pozitif sayıların kuvvetleri ile eşitsizliklerin yön değiştirme kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 37Soru →

xx bir gerçel sayı olmak üzere,

I. x2+1x^2 + 1
II. (x−1)2(x - 1)^2
III. x4x^4

ifadelerinden hangileri her xx gerçel sayısı için daima pozitif bir sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Yalnız birinci öncüldeki ifade, bilinmeyen hangi gerçel sayı seçilirse seçilsin en az 1 değerini alacağından daima pozitif bir sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülün incelenmesi
x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan x2+1≥1>0x^2 + 1 \geq 1 > 0 bulunur.
Her gerçel sayının çift kuvveti (karesi) en az sıfırdır. Bu ifadeye pozitif bir sayı olan 1 eklendiğinde sonuç daima 1 veya daha büyük, dolayısıyla kesinlikle pozitif olur.
2
İkinci öncülün incelenmesi
x=1x = 1 için (x−1)2=0(x-1)^2 = 0 olur.
Parantezli ifadenin tabanını sıfır yapan gerçel sayı değeri ifadenin sonucunu sıfır yapar. Sıfır sayısı ise nötr (işaretsiz) bir sayıdır ve pozitif değildir.
3
Üçüncü öncülün incelenmesi
x=0x = 0 için x4=0x^4 = 0 olur.
Taban sıfır seçildiğinde sıfırın tüm pozitif tam sayı kuvvetleri sıfıra eşittir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olduğundan pozitif değildir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların çift kuvvetlerinin en az sıfır olması ve sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 38Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
P=−x4P = -x^4
R=(−x)5R = (-x)^5
S=x2S = x^2
ifadeleri tanımlanıyor.
PP, RR ve SS sayılarından en az birinin işaretsiz (nötr) olduğu ve bu üç sayıdan en fazla bir tanesinin pozitif olduğu bilindiğine göre,
(x−3)2−(x+1)3(x - 3)^2 - (x + 1)^3
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İfadenin değeri 8'dir.
Verilen koşullara göre ifadelerden en az birinin nötr olabilmesi ve en fazla birinin pozitif olabilmesi yalnızca x=0x = 0 durumunda mümkündür. x=0x = 0 değeri hedef ifadede yerine yazıldığında (0−3)2−(0+1)3=9−1=8(0-3)^2 - (0+1)^3 = 9 - 1 = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x>0x > 0 durumu için ifadelerin işaretlerini belirleme
P=−x4<0P = -x^4 < 0 (negatif), R=(−x)5<0R = (-x)^5 < 0 (negatif), S=x2>0S = x^2 > 0 (pozitif)
Pozitif bir sayının çift kuvvetinin negatifi negatif, negatif bir tabanın tek kuvveti yine negatiftir. Bu durumda pozitif olan sadece bir ifade vardır ancak hiçbir ifade nötr (sıfır) değildir.
2
x<0x < 0 durumu için ifadelerin işaretlerini belirleme
P=−x4<0P = -x^4 < 0 (negatif), R=(−x)5>0R = (-x)^5 > 0 (pozitif), S=x2>0S = x^2 > 0 (pozitif)
xx negatif ise −x-x pozitif olur ve tek kuvveti de pozitiftir. Bu durumda pozitif olan iki ifade vardır, bu da 'en fazla bir pozitif' koşulunu ihlal eder. Ayrıca nötr ifade yoktur.
3
x=0x = 0 durumu için ifadelerin değerlerini belirleme
P=0P = 0, R=0R = 0, S=0S = 0
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Bu durumda tüm ifadeler sıfır olduğundan 'en az birinin nötr olması' ve sıfır adet pozitif değer bulunduğundan 'en fazla bir tanesinin pozitif olması' koşulları birlikte sağlanır.
4
Elde edilen tek geçerli x=0x = 0 değerini hedef ifadede yerine yazıp sonucu hesaplama
(0−3)2−(0+1)3=9−1=8(0-3)^2 - (0+1)^3 = 9 - 1 = 8
Koşulları yalnızca x=0x = 0 değeri sağladığı için bu değerle işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda kuvvet kuralları ve sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği
Soru 39Soru →

aa ve bb birer gerçel sayıdır.

−a2-a^2 ifadesi negatif bir sayıya, (−b)3(-b)^3 ifadesi ise pozitif bir sayıya eşittir.

Buna göre,

I. aa sayısı sıfırdan farklıdır.
II. bb sayısı negatif bir sayıdır.
III. a⋅ba \cdot b çarpımı sıfır (nötr) olabilir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Birinci öncülde, −a2<0  ⟹  a2>0  ⟹  a≠0-a^2 < 0 \implies a^2 > 0 \implies a \neq 0 bulunur. Bu nedenle birinci öncül kesinlikle doğrudur. İkinci öncülde, (−b)3>0  ⟹  −b>0  ⟹  b<0(-b)^3 > 0 \implies -b > 0 \implies b < 0 bulunur. Bu nedenle ikinci öncül kesinlikle doğrudur. Üçüncü öncülde, sıfırdan farklı iki sayının çarpımı sıfıra eşit olamayacağından çarpım sıfır (nötr) olamaz. Dolayısıyla doğru yanıt 'I ve II' ifadesini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
−a2-a^2 ifadesinin işaretini analiz etmek.
a≠0a \neq 0 elde edilir.
−a2-a^2 ifadesi negatif bir sayıya eşit olduğundan −a2<0-a^2 < 0 olmalıdır. Buradan a2>0a^2 > 0 bulunur. Bir gerçel sayının karesi pozitifse, o sayı sıfır olamaz. Dolayısıyla I. öncül kesinlikle doğrudur.
2
(−b)3(-b)^3 ifadesinin işaretini analiz etmek.
b<0b < 0 elde edilir.
(−b)3(-b)^3 ifadesi pozitif bir sayıya eşit olduğundan (−b)3>0(-b)^3 > 0 olmalıdır. Tek dereceli kuvvetler tabanın işaretini koruduğundan −b>0-b > 0 ve buradan b<0b < 0 bulunur. Dolayısıyla II. öncül kesinlikle doğrudur.
3
a⋅ba \cdot b çarpımının sıfır (nötr) olma durumunu incelemek.
a⋅b≠0a \cdot b \neq 0 elde edilir.
a≠0a \neq 0 ve b<0b < 0 (yani b≠0b \neq 0) olduğundan, bu iki sayının çarpımı sıfıra eşit olamaz. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) olduğundan, çarpım nötr olamaz. Dolayısıyla III. öncül kesinlikle doğru değildir.

Anahtar Kavram

Negatif sayıların tek ve çift kuvvetlerinin işaretleri ve sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Soru 40Soru →
aa bir negatif tam sayı, bb ise işareti olmayan (nötr) bir tam sayıdır.
cc bir tam sayı olmak üzere,
ac<0<b−ca^c < 0 < b - c
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatif bir gerçel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ab−ca^{b-c}

Cevap

ab−ca^{b-c} ifadesinin değeri daima negatif bir gerçel sayıdır.
ab−ca^{b-c} ifadesinde b=0b = 0 yazıldığında ifade a−ca^{-c} şekline dönüşür. cc negatif tek tam sayı olduğundan −c-c pozitif tek tam sayıdır. Negatif bir sayının pozitif tek kuvveti de daima negatif bir değer alacağından, bu ifadenin değeri kesinlikle negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Nötr tam sayı tanımından yararlanarak bb değişkeninin değerini belirleme
b=0b = 0
Gerçel sayılar kümesinde işareti olmayan (nötr) tek tam sayı sıfırdır.
2
0<b−c0 < b - c eşitsizliğinde b=0b = 0 değerini yerine yazarak cc sayısının işaretini bulma
c<0c < 0
0<0−c  ⟹  0<−c  ⟹  c<00 < 0 - c \implies 0 < -c \implies c < 0 elde edilir. Bu durumda cc bir negatif tam sayıdır.
3
ac<0a^c < 0 eşitsizliğini kullanarak cc sayısının tekliğini/çiftliğini analiz etme
cc negatif tek tam sayıdır.
aa negatif bir tam sayıdır. Negatif bir sayının tam sayı kuvvetinin negatif olabilmesi için üssün tek bir tam sayı olması gerekir. c<0c < 0 olduğundan cc negatif tek tam sayıdır.
4
ab−ca^{b-c} ifadesinin işaretini belirleme
ab−c=a−c<0a^{b-c} = a^{-c} < 0
b=0b = 0 yazıldığında ifade a−ca^{-c} olur. cc negatif tek sayı olduğundan −c-c pozitif tek sayıdır. Negatif bir sayı olan aa'nın pozitif tek kuvveti daima negatif bir gerçel sayıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Kuvvetleri ve İşaret Kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 4Sonraki
Pozitif ve Negatif Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin