Examkin

Veri, Sayma ve Olasılık

98 soru

Tüm türler98Çoktan seçmeli51Doğru / Yanlış4Sayısal39Sıralama3Boşluk doldurma1
Soru 21Soru →

Bir kafede yan yana bulunan 6 boş sandalyeye özdeş 4 mavi ve özdeş 2 yeşil minder yerleştirilecektir. Her sandalyeye bir minder gelmesi koşuluyla, bu minderler sandalyelere kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Toplam 6 minderin 4'ü mavi, 2'si yeşil renkte olup kendi renklerinde özdeştirler. Bu minderlerin sandalyelere kaç farklı şekilde dizilebileceği tekrarlı permütasyon formülü olan 6!4!⋅2!\frac{6!}{4! \cdot 2!} ile hesaplanır. Sadeleştirme yapıldığında sonuç 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam yerleştirilecek minder sayısını ve tekrar eden (özdeş) minderlerin sayılarını belirleme.
Toplam 6 minder vardır. Bunlardan 4 tanesi mavi (özdeş) ve 2 tanesi yeşildir (özdeş).
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ile tekrar eden eleman sayılarının belirlenmesi gerekir.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak farklı sıralama sayısını hesaplama.
6!4!×2!=72024×2=72048=15\frac{6!}{4! \times 2!} = \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15
Özdeş elemanların kendi aralarında yer değiştirmesi yeni bir dizilim oluşturmadığından, toplam sıralama sayısı tekrar eden elemanların faktöriyellerinin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Özdeş elemanların bir sıra halinde dizilmesinde tekrarlı permütasyon kullanılır. nn elemandan n1,n2,…n_1, n_2, \dots tanesi özdeş ise farklı dizilimlerin sayısı n!n1!⋅n2!…\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots} formülüyle bulunur.

Alternatif Yöntem

6 adet sandalyeden yeşil minderlerin yerleştirileceği 2 sandalyeyi seçmek yeterlidir. Geriye kalan 4 sandalyeye mavi minderler tek bir şekilde yerleşir. Bu seçim (62)=6×52=15\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15 farklı şekilde yapılabilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 22Soru →

Aşağıda tekrarlı permütasyon kuralları kullanılarak hesaplanabilecek 33 farklı durum verilmiştir.

Buna göre, bu durumların gerçekleşme sayılarının en küçükten en büyüğe doğru sıralanışı nasıl olmalıdır?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama bardak dizilimi (1010), kelime oluşturma (3636) ve 66 basamaklı sayı yazma (120120) şeklindedir.
Durumların sayıları sırasıyla 1010, 3636 ve 120120 olarak hesaplandığından küçükten büyüğe sıralama bardak dizilimi, kelime oluşturma ve sayı yazma şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
44 özdeş kırmızı ve 22 özdeş beyaz bardağın beyazlar yan yana olmayacak şekilde dizilim sayısını bulmak.
10
44 özdeş kırmızı bardak yerleştirildiğinde oluşan 55 boşluğa 22 özdeş beyaz bardak (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde konabilir.
2
FU¨ZEEEFÜZEEE kelimesinin harfleriyle yazılabilecek, EE ile başlayıp EE ile bitmeyen 66 harfli kelime sayısını hesaplamak.
36
FU¨ZEEEFÜZEEE kelimesinde 66 harf vardır (EE harfi 33 kez tekrarlamaktadır). EE ile başlayıp EE ile bitmeyen kelimeler için; ilk harf EE olarak sabitlenir, son harf EE dışında FF, U¨Ü veya ZZ olmak üzere 33 seçenekten biri olur. Kalan 44 harf (ikisi EE olmak üzere) orta kısma 4!2!=12\frac{4!}{2!} = 12 şekilde dizilir. Toplam durum 3×12=363 \times 12 = 36 bulunur.
3
Rakamları farklı 66 basamaklı sayılarda tek rakamların (11, 33, 55) soldan sağa doğru artan sırada olduğu durum sayısını bulmak.
120
66 basamaktan 33'ü tek rakamlar için (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde seçilir ve bu rakamlar tek bir şekilde (11, 33, 55 sırasıyla) yerleştirilir. Kalan 33 basamağa çift rakamlar 3!=63! = 6 şekilde dizilir. Toplam durum 20×6=12020 \times 6 = 120 bulunur.
4
Bulunan durum sayılarını karşılaştırıp küçükten büyüğe sıralamak.
10 < 36 < 120
Durum sayıları sırasıyla 1010, 3636 ve 120120 olduğundan en küçükten en büyüğe sıralama bardak dizilimi, kelime oluşturma ve sayı yazma şeklindedir.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin diziliminde tekrarlı permütasyon formülü ve belirli elemanların sıralama kısıtlarında kombinasyon kullanımı.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 23Soru →

Bir spor kulübündeki 5 sporcunun boy uzunlukları sırasıyla 180 cm180\text{ cm}, 185 cm185\text{ cm}, 175 cm175\text{ cm}, 195 cm195\text{ cm} ve 190 cm190\text{ cm} olarak ölçülmüştür. Buna göre, bu sporcuların boy uzunluklarından oluşan veri grubunun açıklığı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Veri grubunun açıklığı 20 santimetredir.
Veri grubundaki elemanlar küçükten büyüğe sıralandığında 175,180,185,190,195175, 180, 185, 190, 195 elde edilir. Bu gruptaki en büyük değer 195195, en küçük değer ise 175175'tir. Açıklık bu iki değerin farkı olduğundan 195−175=20195 - 175 = 20 bulunur. Bu nedenle 20 seçeneği doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubundaki elemanları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Sıralı veri grubu: 175,180,185,190,195175, 180, 185, 190, 195 olur.
En büyük ve en küçük değerleri net bir şekilde belirlemek için sıralama yapılır.
2
Sıralı gruptan en büyük ve en küçük değerleri tespit ediniz.
En büyük değer 195195, en küçük değer 175175'tir.
Açıklık tanımı gereği bu iki uç değere ihtiyaç vardır.
3
En büyük değerden en küçük değeri çıkararak açıklığı hesaplayınız.
Açıklık = 195−175=20195 - 175 = 20 santimetredir.
Açıklık (ranj), en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Bir veri grubunun açıklığı (ranjı), o veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
Soru 24Soru →

Bir kafenin menüsünde sıcak içecek, soğuk içecek ve tatlı çeşitleri bulunmaktadır. Bu kafedeki seçeneklerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Soğuk içecek çeşidi sayısı, sıcak içecek çeşidi sayısının 22 katıdır.
* Bir müşteri; 11 soğuk içecek veya 11 tatlıyı 2424 farklı şekilde seçebilmektedir.
* Bir müşteri; 11 sıcak içecek ve 11 tatlıyı 6464 farklı şekilde seçebilmektedir.

Buna göre, bu kafeden 11 soğuk içecek ve 11 tatlı almak isteyen bir müşteri bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Bir soğuk içecek ve bir tatlı seçimi 128 farklı şekilde yapılabilir.
Sıcak içecek çeşidi sayısı HH, soğuk içecek çeşidi sayısı SS ve tatlı çeşidi sayısı TT olsun. Soruda verilen bilgilere göre S=2HS = 2H ilişkisi vardır. Bir soğuk içecek veya bir tatlı seçimi toplama yoluyla sayma kuralı gereği S+T=24S + T = 24 farklı şekilde yapılabilir. Bir sıcak içecek ve bir tatlı seçimi ise çarpma yoluyla sayma kuralı gereği H×T=64H \times T = 64 farklı şekilde yapılabilir. Bizden istenen bir soğuk içecek ve bir tatlı seçimi S×TS \times T farklı şekilde yapılabilir. S=2HS = 2H eşitliğini bu ifadede yerine yazarsak S×T=2H×T=2(H×T)S \times T = 2H \times T = 2(H \times T) elde edilir. H×T=64H \times T = 64 olduğu bilindiğine göre, S×T=2×64=128S \times T = 2 \times 64 = 128 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri matematiksel değişkenlere ve denklemlere dönüştürün.
Sıcak içecek çeşidi sayısı HH, soğuk içecek çeşidi sayısı SS ve tatlı çeşidi sayısı TT olsun. Birinci bilgiden S=2HS = 2H yazılır. 'Veya' bağlacı toplama ilkesini belirttiği için S+T=24S + T = 24 olur. 'Ve' bağlacı çarpma ilkesini belirttiği için H×T=64H \times T = 64 olur.
Sözel problemleri matematiksel olarak çözebilmek için denklemleri kurmak gerekir.
2
Müşterinin yapmak istediği seçimin matematiksel ifadesini belirleyin.
Müşteri 1 soğuk içecek VE 1 tatlı seçmek istediğinden, çarpma yoluyla sayma ilkesi gereği bu seçim S×TS \times T farklı şekilde yapılabilir.
İstenen durumun formülünü netleştirmek için.
3
S×TS \times T ifadesinde SS yerine 2H2H yazarak bilinen değerleri yerine koyun.
S×T=(2H)×T=2×(H×T)S \times T = (2H) \times T = 2 \times (H \times T) elde edilir. H×T=64H \times T = 64 olduğunu bildiğimiz için, 2×64=1282 \times 64 = 128 sonucuna ulaşılır.
Elde edilen denklemleri ilişkilendirerek doğrudan sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 25Soru →

Bir teknoloji mağazasının deposunda bulunan A, B ve C model akıllı saatlerin sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A model saatlerin sayısı, B model saatlerin sayısının 2 katıdır.
* C model saatlerin sayısı, A ve B model saatlerinin toplam sayısından azdır.

Bu depodaki tüm saatler arasından rastgele seçilen bir saatin C model olma olasılığı 310\frac{3}{10}'dur.

Depodaki toplam saat sayısı 120'den fazla olduğuna göre, depodaki B model saat sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Depodaki B model saat sayısı en az 35'tir.
Olasılık tanımına göre istenen durumun eleman sayısının tüm durumların eleman sayısına oranı y3x+y=310\frac{y}{3x + y} = \frac{3}{10} eşitliğini verir. Bu eşitlikten 7y=9x7y = 9x elde edilir. Saat sayıları pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan x=7kx = 7k ve y=9ky = 9k yazılır. Toplam saat sayısı 30k30k olup 120'den fazla olduğundan kk en az 5 olmalıdır. Bu durumda B model saat sayısı x=35x = 35 olur.

Adım Adım Çözüm

1
B model saat sayısına xx, C model saat sayısına yy diyerek model sayılarını tanımlama
A model saat sayısı: 2x2x, Toplam saat sayısı: 3x+y3x + y
Soruda verilen oranları ve sayı ilişkilerini cebirsel olarak ifade etmek için
2
Seçilen saatin C model olma olasılığı eşitliğini kurma ve düzenleme
10y=9x+3y⇒7y=9x10y = 9x + 3y \Rightarrow 7y = 9x
Olasılık tanımını (İstenen Durum / Tüm Durumlar) kullanarak değişkenler arası ilişkiyi bulmak için
3
xx ve yy tam sayı koşullarını belirleme
x=7kx = 7k, y=9ky = 9k (Burada k∈Z+k \in \mathbb{Z}^+)
Saat sayılarının pozitif tam sayı olması gerekliliğinden hareketle en küçük ortak kat analizi yapmak için
4
Toplam saat sayısının 120'den fazla olma koşulunu uygulama
30k>120⇒k≥530k > 120 \Rightarrow k \ge 5
En küçük sınır değerini belirleyerek B model saat sayısının minimum değerini bulmak için

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Değişkenlerin Tam Sayı Koşulları
Soru 26Soru →

Tam sayılardan oluşan 5 elemanlı bir veri grubunun aritmetik ortalaması 66, standart sapması 22 ve açıklığı 55'tir.

Buna göre, bu veri grubu ile ilgili;

I. Medyanı ile modu birbirine eşittir.
II. En büyük elemanı en fazla 99 olabilir.
III. Elemanlarının çarpımı en az 58805880'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Her üç öncülün de yer aldığı seçenek doğrudur.
Verilen koşullara uygun olan ve tam sayılardan oluşan iki farklı veri grubu vardır: Birincisi {3,5,7,7,8}\{3, 5, 7, 7, 8\}, ikincisi ise {4,5,5,7,9}\{4, 5, 5, 7, 9\}'dur. Her iki veri grubu incelendiğinde; birinci grubun medyanı ve modu 77, ikinci grubun medyanı ve modu 55 olup birbirine eşittir (I. öncül doğru). En büyük eleman birinci grupta 88, ikinci grupta 99 olup en fazla 99 değerini alabilir (II. öncül doğru). Elemanların çarpımı birinci grupta 58805880, ikinci grupta 63006300 olup en az 58805880'dir (III. öncül doğru). Bu nedenle tüm ifadeler doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Standart sapma formülü kullanılarak verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı hesaplanır.
Sapmaların kareleri toplamı 1616 olarak bulunur.
Standart sapma s=2s = 2 ise varyans s2=4s^2 = 4'tür. Veri sayısı n=5n = 5 olduğundan, sapmaların kareleri toplamı (n−1)⋅s2=4⋅4=16(n - 1) \cdot s^2 = 4 \cdot 4 = 16 olmalıdır.
2
Veri elemanlarının aritmetik ortalamadan sapmaları olan di=xi−6d_i = x_i - 6 değerleri için sistem denklemleri kurulur.
d1+d2+d3+d4+d5=0d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 0, d12+d22+d32+d42+d52=16d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 + d_5^2 = 16 ve açıklık 55 olduğu için d5−d1=5d_5 - d_1 = 5 elde edilir.
Aritmetik ortalamadan sapmaların toplamı her zaman sıfıra eşittir. En büyük ve en küçük elemanlar arasındaki fark (açıklık) sapmaların farkına eşittir.
3
Kareleri toplamı 1616 olan, toplamları sıfır ve farkları 55 olan did_i tam sayı çözümleri araştırılır.
İki farklı sapma kümesi elde edilir: {−3,−1,1,1,2}\{-3, -1, 1, 1, 2\} ve {−2,−1,−1,1,3}\{-2, -1, -1, 1, 3\}.
0,1,4,9,160, 1, 4, 9, 16 tam kareleri kullanılarak toplamları 1616, elemanlarının farkı 55 ve toplamları 00 olan sadece bu iki grup oluşturulabilir.
4
Sapma kümelerinden yola çıkılarak olası veri grupları oluşturulur ve öncüller test edilir.
Birinci veri grubu {3,5,7,7,8}\{3, 5, 7, 7, 8\}, ikinci veri grubu {4,5,5,7,9}\{4, 5, 5, 7, 9\} olarak bulunur. Her iki grupta da medyan ile mod birbirine eşittir (7=77=7 ve 5=55=5). En büyük eleman en fazla 99 olabilir (88 veya 99). Çarpımları en az 3⋅5⋅7⋅7⋅8=58803 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 8 = 5880 olur (4⋅5⋅5⋅7⋅9=63004 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 6300).
Olası her iki veri grubu da üç öncülü birden sağlamaktadır.

Anahtar Kavram

Merkezi yayılım ölçüleri (açıklık ve standart sapma) ile merkezi eğilim ölçülerinin (ortalama, medyan, mod) tam sayılar üzerindeki cebirsel ilişkisi.
Soru 27Soru →

Bir kırtasiye mağazasında özel defter kapağı tasarlamak isteyen bir müşteri için aşağıdaki seçenekler sunulmaktadır:

* 44 farklı kapak rengi (mavi, kırmızı, yeşil, sarı)
* 33 farklı desen seçeneği (çizgili, kareli, noktalı)
* 33 farklı arma seçeneği (yıldız, hilal, güneş)

Defter kapakları tasarlanırken şu kurallara uyulacaktır:

* Kapak rengi olarak mavi veya kırmızı seçilirse kapak desensiz olacaktır (herhangi bir desen kullanılmayacaktır).
* Kapak rengi olarak yeşil veya sarı seçilirse belirtilen 33 desen seçeneğinden biri mutlaka kullanılacaktır.
* Her iki durumda da kapağa belirtilen 33 arma seçeneğinden en fazla biri yapıştırılabilecektir (hiç arma yapıştırılmaması da bir seçenektir).

Buna göre, bu kurallara uygun olarak kaç farklı defter kapağı tasarlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Kurallara uygun olarak tasarlanabilecek toplam defter kapağı sayısı 32'dir.
Defter kapakları tasarlanırken renk seçenekleri mavi/kırmızı ve yeşil/sarı olmak üzere iki ayrık gruba ayrılır. İlk grupta desen kullanılmadığı için kapak rengi ve arma seçenekleri çarpılarak 2×1×4=82 \times 1 \times 4 = 8 durum elde edilir. İkinci grupta desen kullanılması gerektiğinden kapak rengi, desen ve arma seçenekleri çarpılarak 2×3×4=242 \times 3 \times 4 = 24 durum elde edilir. Bu iki grup ayrık olduğundan toplam durum sayısı toplama kuralı ile 8+24=328 + 24 = 32 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Mavi veya kırmızı kapak rengi seçimi durumunu hesaplama
8
Mavi veya kırmızı renk seçilirse (22 seçenek), desen olmamalıdır (11 durum) ve arma en fazla bir tane seçilebilir (33 arma + 11 armasız = 44 durum). Çarpma kuralı ile 2×1×4=82 \times 1 \times 4 = 8 bulunur.
2
Yeşil veya sarı kapak rengi seçimi durumunu hesaplama
24
Yeşil veya sarı renk seçilirse (22 seçenek), desen kullanılmalıdır (33 seçenek) ve arma en fazla bir tane seçilebilir (44 durum). Çarpma kuralı ile 2×3×4=242 \times 3 \times 4 = 24 bulunur.
3
Ayrık durumların toplamını bulma
32
��ki durum ayrık olduğundan, toplama kuralı gereğince durumlar toplanır: 8+24=328 + 24 = 32 elde edilir.

Anahtar Kavram

Toplama ve çarpma yoluyla sayma kurallarını kullanarak ayrık durumları analiz etme ve toplam olasılıkları bulma.
Soru 28Soru →

Bir postacının çantasında; A caddesine ait 3 adet, B caddesine ait 2 adet ve C caddesine ait 2 adet olmak üzere toplam 7 adet teslimat zarfı bulunmaktadır. A caddesindeki evler A1,A2,A3A_1, A_2, A_3; B caddesindeki evler B1,B2B_1, B_2 ve C caddesindeki evler C1,C2C_1, C_2 şeklinde numaralandırılmıştır.

Postacı, teslimatları yaparken şu kurallara uymaktadır:
* Her bir caddenin kendi içindeki teslimat sırasını, ev numarası küçük olandan büyük olana doğru (örneğin A1A_1 evine teslimat yapmadan A2A_2 evine teslimat yapmayacak şekilde) gerçekleştirmektedir.
* C caddesine ait teslimatları art arda (peş peşe) yapmamaktadır.

Buna göre, postacı bu 7 teslimatı kaç farklı sıralama ile gerçekle��tirebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

150
Soruda belirtilen sıralama kısıtına göre, her caddenin teslimatları kendi içinde belirli bir sıra takip etmelidir. Bu durum, elemanları özdeş kabul ederek tekrarlı permütasyon yapmamızı sağlar. Tüm olası teslimat sıralamaları 210'dur. C caddesi teslimatlarının peş peşe yapıldığı durumlar tek bir blok olarak alındığında 60 farklı sıralama elde edilir. İstenen koşulda C caddesi teslimatları art arda yapılmayacağı için, tüm durumlardan bu istenmeyen durum çıkarılarak 150 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Teslimatların kendi içlerindeki sıralama kısıtını analiz etme.
Her caddenin kendi içindeki teslimat sırası (A1→A2→A3A_1 \to A_2 \to A_3, B1→B2B_1 \to B_2, C1→C2C_1 \to C_2) sabit olduğundan, bu durum tekrarlı permütasyon mantığıyla çözülür. A caddesi için 3, B caddesi için 2 ve C caddesi için 2 özdeş nesne varmış gibi düşünülür.
Belirli nesnelerin kendi aralarındaki sırası sabitlendiğinde, bu nesneler tekrarlı permütasyon nesneleri gibi işlem görür.
2
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın tüm olası teslimat sıralamalarını bulma.
Toplam durum sayısı: 7!3!×2!×2!=50406×2×2=210\frac{7!}{3! \times 2! \times 2!} = \frac{5040}{6 \times 2 \times 2} = 210 olur.
3 adet A, 2 adet B ve 2 adet C harfinin toplam sıralama sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
3
C caddesi teslimatlarının art arda (peş peşe) yapıldığı durumları hesaplama.
C1C_1 ve C2C_2 teslimatları peş peşe olacağı için bu iki teslimat tek bir blok [CC][CC] olarak kabul edilir. Bu durumda sıralanacak elemanlar: 3 adet A, 2 adet B ve 1 adet [CC][CC] bloğudur. Toplam 6 elemanın sıralama sayısı: 6!3!×2!×1!=7206×2=60\frac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60 olur.
Art arda gelmesi istenen nesneler tek bir grup olarak birleştirilerek tekrarlı permütasyon hesabı yapılır.
4
İstenen koşula uygun durum sayısını bulma.
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 210−60=150210 - 60 = 150 olarak bulunur.
Tüm olası durumlardan, C caddesi teslimatlarının yan yana geldiği durumlar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Koşullu Sıralama

Alternatif Yöntem

A ve B caddelerine ait 5 teslimat kendi içinde 5!3!×2!=10\frac{5!}{3! \times 2!} = 10 farklı şekilde sıralanır. Bu sıralamada nesnelerin başları, araları ve sonlarında olmak üzere toplam 6 adet boşluk oluşur. C caddesi teslimatlarının art arda gelmemesi için bu 6 boşluktan 2 tanesi seçilerek C teslimatları yerleştirilir. Seçim sayısı (62)=15\binom{6}{2} = 15 olup, teslimat sırası kendi içinde sabit olduğu için yerleştirme 1 türlüdür. Sonuç 10×15=15010 \times 15 = 150 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 29Soru →

Aşağıdaki tabloda, küçükten büyüğe doğru sıralanmış bir veri grubundaki elemanlar ve bu elemanların frekansları (tekrar sayıları) verilmiştir:

Veri DeğeriFrekans
22
62
xx1

Bu veri grubunun açıklığı ile standart sapmasının toplamı 1010 olduğuna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Veri grubunun elemanları 2,2,6,6,92, 2, 6, 6, 9 olduğunda aritmetik ortalama 55 olur. Değerlerin ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı 3636 olup veri sayısının bir eksiği olan 44'e bölündüğünde varyans 99, standart sapma ise 9=3\sqrt{9} = 3 olarak hesaplanır. Veri grubunun açıklığı ise en büyük değer ile en küçük değerin farkı olan 9−2=79 - 2 = 7 olur. Açıklık ile standart sapmanın toplamı 7+3=107 + 3 = 10 eşitliğini sağladığı için doğru değer 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubunun elemanlarını belirleme ve aritmetik ortalamayı xx cinsinden yazma.
Veriler küçükten büyüğe sıralı olduğundan ve frekansları verildiğinden veri grubu: 2,2,6,6,x2, 2, 6, 6, x şeklindedir (x≥6x \ge 6). Aritmetik ortalama (xˉ\bar{x}): xˉ=2+2+6+6+x5=16+x5\bar{x} = \frac{2 + 2 + 6 + 6 + x}{5} = \frac{16 + x}{5} olarak bulunur.
Standart sapmayı hesaplamak için öncelikle veri grubunun aritmetik ortalamasını bulmamız gerekir.
2
Veri grubunun standart sapmasını (ss) xx cinsinden ifade etme.
Her bir verinin ortalamadan farkının kareleri toplamı: (2−xˉ)2+(2−xˉ)2+(6−xˉ)2+(6−xˉ)2+(x−xˉ)2(2 - \bar{x})^2 + (2 - \bar{x})^2 + (6 - \bar{x})^2 + (6 - \bar{x})^2 + (x - \bar{x})^2 İfadede xˉ=16+x5\bar{x} = \frac{16+x}{5} yazılıp gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapıldığında bu toplam: 4(x2−8x+36)5\frac{4(x^2 - 8x + 36)}{5} olarak elde edilir. Standart sapma formülü s=∑(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} olduğundan: s=4(x2−8x+36)54=x2−8x+365s = \sqrt{\frac{\frac{4(x^2 - 8x + 36)}{5}}{4}} = \sqrt{\frac{x^2 - 8x + 36}{5}} bulunur.
Standart sapma formülünde veri sayısının bir eksiğine (5−1=45 - 1 = 4) bölme yapılarak karekök alınır.
3
Açıklığı belirleme ve verilen denklemi kurup çözme.
Veri grubunun açıklığı (en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark): R=x−2R = x - 2 Soruda verilen R+s=10R + s = 10 eşitliği kurulur: x−2+x2−8x+365=10  ⟹  x2−8x+365=12−xx - 2 + \sqrt{\frac{x^2 - 8x + 36}{5}} = 10 \implies \sqrt{\frac{x^2 - 8x + 36}{5}} = 12 - x Bu eşitliğin sağlanabilmesi için 12−x≥0  ⟹  x≤1212 - x \ge 0 \implies x \le 12 olmalıdır. Her iki tarafın karesi alındığında: x2−8x+365=(12−x)2\frac{x^2 - 8x + 36}{5} = (12 - x)^2 x2−8x+36=5(144−24x+x2)x^2 - 8x + 36 = 5(144 - 24x + x^2) 4x2−112x+684=0  ⟹  x2−28x+171=04x^2 - 112x + 684 = 0 \implies x^2 - 28x + 171 = 0 Bu denklemin çarpanları (x−9)(x−19)=0(x - 9)(x - 19) = 0 şeklindedir.
Açıklık ve standart sapmanın toplamı 10 olarak verilmiştir. Kareköklü bir denklemi çözmek için her iki tarafın karesi alınır.
4
Bulunan köklerin sınır şartlarını kontrol etme.
Denklemin kökleri x=9x = 9 veya x=19x = 19 olarak bulunur. Ancak başlangıçtaki köklü ifadede 12−x≥012 - x \ge 0 şartı olduğundan, x=19x = 19 değeri bu şartı sağlamaz (12−19=−7<012 - 19 = -7 < 0). Dolayısıyla tek geçerli çözüm x=9x = 9 olur.
Kareköklü bir ifadenin değeri negatif bir sayıya eşit olamayacağı için elde edilen köklerin kontrol edilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Standart sapma ve açıklık (merkezi yayılım ölçüleri) kavramlarının formülleriyle birlikte uygulanması ve kareköklü denklem çözümü ile sınır şartlarının kontrolü.
Soru 30Soru →

Bir kenar uzunluğu 3 birim olan bir kare, her birinin bir kenar uzunluğu 1 birim olan 9 eş birim kareye bölünmüştür. Bu 9 birim kareden rastgele 3 tanesi seçilerek boyanacaktır.

Buna göre, boyanan bu 3 birim kareden herhangi ikisinin ortak bir kenara sahip olmama olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1142\frac{11}{42}

Cevap

Ortak kenara sahip olmama olasılığı 1142\frac{11}{42} olarak bulunur.
Toplam 84 olası seçim arasından, hiçbirinin birbiriyle ortak kenar paylaşmadığı durumların sayısı; merkez kare seçildiğinde 6, seçilmediğinde ise 16 olmak üzere toplam 22 tanedir. Bu iki sayının oranı sadeleştirildiğinde olasılık 11/42 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam seçim sayısını kombinasyon yöntemiyle hesaplayın.
9 birim kareden 3 tanesi (93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 farklı şekilde seçilebilir.
Olasılık hesabındaki örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını belirlemek için.
2
İstenen durumları belirlemek amacıyla, merkezdeki birim karenin seçildiği durumu (Durum 1) inceleyin.
Merkez kare seçildiğinde, onunla ortak kenarı olan 4 kenar kare seçilemez. Kalan 4 köşe kareden 2'si seçilmelidir. Köşelerin hiçbiri birbiriyle ortak kenara sahip olmadığından bu seçim (42)=6\binom{4}{2} = 6 farklı şekilde yapılır.
Merkez karenin seçimi komşuluk yapısını doğrudan kısıtladığı için durum analizine buradan başlanır.
3
Merkezdeki birim karenin seçilmediği durumu (Durum 2) köşe ve kenar karelerin seçilme sayılarına göre alt durumlara ayırarak inceleyin.
Merkez hariç kalan 8 kareden 3'ü seçilecektir:
- 3 köşe seçimi: (43)=4\binom{4}{3} = 4 durum (köşeler komşu değildir).
- 2 köşe, 1 kenar seçimi: Seçilen kenarın komşusu olmayan diğer 2 köşe seçilmelidir. 4 kenar için 4×1=44 \times 1 = 4 durum.
- 1 köşe, 2 kenar seçimi: Seçilen 2 kenarın yan yana olması durumunda aralarında kalan köşenin karşısındaki köşe seçilir. 4 farklı yan yana kenar çifti için 4×1=44 \times 1 = 4 durum.
- 3 kenar seçimi: Kenarlar komşu olmadığından (43)=4\binom{4}{3} = 4 durum.
Toplam durum sayısı: 4+4+4+4=164 + 4 + 4 + 4 = 16 bulunur.
Merkez karenin seçilmediği tüm olası yerleşimleri eksiksiz ve mükerrer olmadan saymak için.
4
İstenen durumların toplam sayısını bulup tüm durumlara oranlayın.
İstenen durumların sayısı 6+16=226 + 16 = 22 olur. Olasılık değeri ise 2284=1142\frac{22}{84} = \frac{11}{42} olarak hesaplanır.
Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısının örnek uzay sayısına oranını bulmak için.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Sistematik Durum Sayma

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan, en az iki karenin ortak kenara sahip olduğu durumların sayısını çıkartarak (tümleyen yöntemiyle) istenen durum sayısı olan 22'ye ulaşılabilir. Grid üzerindeki komşu ikili sayısı 12'dir. Bu ikililer üzerinden aşırı sayımları (L-şekilleri ve 3'lü düz hatları) dışlama prensibiyle ayıklayarak sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 31Soru →

En az iki elemanı olan ve tüm elemanları birbirinden farklı sayılardan oluşan bir veri grubuna, bu grubun aritmetik ortalamasına eşit olan yeni bir veri eklendiğinde; yeni grubun açıklığı başlangıçtaki grubun açıklığına eşit olur, standart sapması ise başlangıçtaki grubun standart sapmasından daha küçük olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. En az iki farklı elemandan oluşan bir veri grubuna aritmetik ortalamaya eşit bir eleman eklendiğinde açıklık değişmez, standart sapma ise azalır.
Verilen ifade tamamen doğrudur. Aritmetik ortalamaya eşit bir verinin eklenmesi veri grubunun yayılımını (ortalamaya olan uzaklık kareleri toplamını) artırmazken veri sayısını artırdığı için standart sapmayı azaltır. Aynı zamanda ortalama uç değerlerden farklı olduğu için en büyük ve en küçük değerleri değiştirmez, dolayısıyla açıklık sabit kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubunun elemanlarını ve aritmetik ortalamasını tanımlayın.
Elemanları x1<x2<⋯<xnx_1 < x_2 < \dots < x_n (n≥2n \geq 2) olan veri grubunun aritmetik ortalaması xˉ\bar{x} olsun. Veriler birbirinden farklı olduğu için x1<xˉ<xnx_1 < \bar{x} < x_n olur.
Açıklık ve standart sapmanın nasıl değiştiğini incelemek için başlangıç durumunu belirlememiz gerekir.
2
Aritmetik ortalamaya eşit yeni bir veri eklendiğinde açıklığın nasıl değiştiğini inceleyin.
Yeni veri grubunun elemanları {x1,x2,…,xn,xˉ}\{x_1, x_2, \dots, x_n, \bar{x}\} olur. x1<xˉ<xnx_1 < \bar{x} < x_n olduğundan, yeni grubun en küçük elemanı yine x1x_1, en büyük elemanı ise yine xnx_n olur. Bu durumda yeni açıklık da xn−x1x_n - x_1 olarak kalır, yani açıklık değişmez.
Açıklık, en büyük veri ile en küçük veri arasındaki farktır.
3
Yeni veri eklendiğinde standart sapmanın nasıl değiştiğini hesaplayın.
Yeni grubun ortalaması yine xˉ\bar{x} olur. Sapma kareleri toplamı ∑i=1n(xi−xˉ)2+(xˉ−xˉ)2=∑i=1n(xi−xˉ)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + (\bar{x} - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 şeklinde değişmeden kalır. Ancak eleman sayısı nn'den n+1n+1'e çıktığı için standart sapma formülündeki payda (n−1n-1'den nn'ye) büyür. Pay sabit kalıp payda büyüdüğü için standart sapma değeri azalır.
Standart sapma, verilerin ortalamaya olan uzaklıklarının kareleri toplamının veri sayısının bir eksiğine bölümünün kareköküdür.

Anahtar Kavram

Aritmetik ortalamaya eşit veri eklenmesinin merkezi yayılım ölçülerine (açıklık ve standart sapma) etkisi.
Soru 32Soru →

Bir sınıftaki öğrenciler arasından oluşturulabilecek 22 kişilik tüm farklı temsilci gruplarının sayısı 4545 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu sınıftaki öğrenciler arasından seçilebilecek 33 kişilik bir temsilci grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Seçilebilecek 3 kişilik temsilci grubu 120 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevap olan 120 değeri, nn kişilik bir gruptan 2 kişinin seçilme sayısı olan (n2)=45\binom{n}{2} = 45 eşitliğinden öncelikle sınıf mevcudu n=10n = 10 olarak belirlenip, ardından bu 1010 kişiden 33 kişilik komisyonun (103)=120\binom{10}{3} = 120 şeklinde seçilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıf mevcudu olan nn değerini bulmak için 2 kişilik grup sayısını veren kombinasyon formülünü kurun ve nn sayısını çekin.
(n2)=45  ⟹  n×(n−1)2=45  ⟹  n×(n−1)=90  ⟹  n=10\binom{n}{2} = 45 \implies \frac{n \times (n-1)}{2} = 45 \implies n \times (n-1) = 90 \implies n = 10
Grup seçiminde sıra önemli olmadığından kombinasyon kullanılır. İki ardışık sayının çarpımı 90 olduğundan büyük olan sayı yani sınıf mevcudu n=10n = 10 olur.
2
Bulunan 1010 kişilik sınıf mevcudunu kullanarak 33 kişilik temsilci grubunun kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplayın.
(103)=10×9×83×2×1=120\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
1010 elemanlı bir kümeden sırası önemsiz 33 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak için kombinasyon hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçim) hesabı ve eleman sayısının belirlenmesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 33Soru →

Bir pastanede vitrine yan yana dizilecek olan aynı boyuttaki makaronlardan 3'ü çilekli (kırmızı), 2'si yaban mersinli (mavi) ve 2'si fıstıklıdır (yeşil). Vitrinde estetik bir görünüm elde etmek amacıyla aynı renkli herhangi iki makaronun yan yana gelmemesi istenmektedir. Buna göre, bu makaronlar vitrinde yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Aynı renkli makaronların yan yana gelmediği toplam dizilim sayısı 38'dir.
Çilekli makaronlar yan yana gelmeyecek şekilde yerleştirildikten sonra, kalan boşluklarda mavi ve yeşil makaronların yan yana gelmesini engelleyen durumlar sistemli bir biçimde sayıldığında toplam 38 geçerli dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kırmızı makaronların (KK) yan yana gelmeyeceği taslak durumların sayısını bulun.
Kırmızı makaronlar yan yana gelmeyecek şekilde 7 pozisyondan 3'ü (7−3+13)=(53)=10\binom{7-3+1}{3} = \binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilebilir.
Kırmızı makaronların yan yana gelmemesi için aralarında en az birer boşluk bulunmalıdır.
2
Kalan 4 boşluğa 2 mavi (MM) ve 2 yeşil (YY) makaronun yerleşimlerini gruplandırarak inceleyin.
Toplam yerleşim sayısı 4!2!⋅2!=6\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6'dır. Boşlukların yan yana gelme durumlarına göre geçerli dizilimler şu şekildedir:
- Boşlukların hiç yan yana gelmediği durum (11 adet): 66 geçerli dizilim.
- Yalnızca tek bir boşluk çiftinin yan yana geldiği durumlar (66 adet): Her biri için 6−2=46 - 2 = 4 geçerli dizilim (toplam 2424).
- İkişerli iki çift boşluğun yan yana geldiği durum (11 adet): 44 geçerli dizilim.
- Üç boşluğun yan yana geldiği durumlar (22 adet): Her biri için 22 geçerli dizilim (toplam 44).
Mavi ve yeşil makaronların da kendi aralarında yan yana gelmemesi koşulunu sağlamak amacıyla yan yana gelen boşluklara aynı renklerin gelmesini engelliyoruz.
3
Tüm gruplardaki geçerli dizilim sayılarını toplayın.
6+24+4+4=386 + 24 + 4 + 4 = 38 geçerli dizilim elde edilir.
Farklı taslak durumlar ayrık olaylar olduğu için toplam dizilim sayısı bu durumların toplamı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve koşullu sıralama problemlerinde durum analizi (vaka analizi) yapılması.
Soru 34Soru →

Bir çember üzerinde işaretlenmiş birbirinden farklı 66 nokta kullanılarak köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en çok kaç farkl�� üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Köşeleri çember üzerindeki 66 noktadan seçilen en ��ok 2020 farklı üçgen çizilebilir.
Çember üzerindeki 66 noktadan herhangi üçü doğrusal olmadığından, bu noktalardan seçilen her 33 nokta grubu bir üçgen tanımlar. 66 noktadan 33 nokta (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde seçilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen oluşturma koşulunu belirleme
Doğrusal olmayan 33 nokta seçilmelidir.
Çember üzerindeki tüm noktalar doğrusal olmayan konumdadır.
2
Seçimlerin sayısını hesaplama
(63)=20\binom{6}{3} = 20
66 elemanlı bir kümeden 33 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak için kombinasyon uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 35Soru →

Bir oyuncak fabrikası, çocuklar için blok oyuncaklar üretmektedir. Her bir blok oyuncak; alt taban, gövde ve tepe olmak üzere 3 farklı parçanın üst üste birleştirilmesiyle oluşturulmaktadır.

Bu parçaların seçimiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Alt taban parçası için; 3 farklı geometrik şekil (kare, daire, üçgen) ve her bir şekil için 2 farklı renk seçeneği bulunmaktadır.
* Gövde parçası için; 4 farklı desen seçeneği bulunmaktadır.
* Tepe parçası için; 3 farklı geometrik şekil (daire, üçgen, yıldız) seçeneği bulunmaktadır.

Bir blok oyuncağın alt tabanındaki geometrik şekil ile tepesindeki geometrik şekil birbirinden farklı olmalıdır.

Buna göre, bu koşullara uygun kaç farklı blok oyuncak üretilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Koşullara uygun olarak üretilebilecek farklı oyuncak sayısı 56'dır.
Alt tabanda kullanılan şeklin tepe seçenekleri kümesiyle olan ilişkisine göre durumlar ayrı incelenir. Kare seçildiğinde kısıtlama oluşmaz ve tepe için 3 seçenek kullanılabilir. Daire veya üçgen seçildiğinde ise tepe için 2 seçenek kalır. Her durum için alt taban rengi (2), gövde deseni (4) ve tepe şekli seçenekleri çarpılır. Bu ayrık durumlardan elde edilen 24, 16 ve 16 değerleri toplanarak 56 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt taban şeklinin kare seçildiği durum için oyuncak sayısını hesaplayalım.
Alt taban kare seçildiğinde; renk için 2 seçenek, gövde için 4 seçenek vardır. Tepe parçası kümesinde ({daire, üçgen, yıldız}) kare bulunmadığından, tepe için 3 seçeneğin tamamı kullanılabilir. Bu durumda: 2×4×3=242 \times 4 \times 3 = 24 farklı oyuncak üretilir.
Kare şekli tepe seçeneklerinde yer almadığı için tepe parçası seçiminde herhangi bir kısıtlamaya neden olmaz.
2
Alt taban şeklinin daire seçildiği durum için oyuncak sayısını hesaplayalım.
Alt taban daire seçildiğinde; renk için 2 seçenek, gövde için 4 seçenek vardır. Tepe parçası kümesinden daire elendiği için tepeye {üçgen, yıldız} olmak üzere 2 seçenek kalır. Bu durumda: 2×4×2=162 \times 4 \times 2 = 16 farklı oyuncak üretilir.
Alt taban ile tepe şekillerinin farklı olması kısıtlaması nedeniyle daire şekli tepe seçimlerinde kullanılamaz.
3
Alt taban şeklinin üçgen seçildiği durum için oyuncak sayısını hesaplayalım.
Alt taban üçgen seçildiğinde; renk için 2 seçenek, gövde için 4 seçenek vardır. Tepe parçası kümesinden üçgen elendiği için tepeye {daire, yıldız} olmak üzere 2 seçenek kalır. Bu durumda: 2×4×2=162 \times 4 \times 2 = 16 farklı oyuncak üretilir.
Benzer şekilde, üçgen şekli alt tabanda kullanıldığı için tepe parçası seçimlerinde kullanılamaz.
4
Hesaplanan tüm ayrık durumların sonuçlarını toplayalım.
Toplam oyuncak sayısı: 24+16+16=5624 + 16 + 16 = 56 olarak bulunur.
Alt tabanın farklı geometrik şekillerde olması birbirini engelleyen (ayrık) olaylar olduğundan toplama prensibi uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Alternatif Yöntem

Tüm olası durumların sayısından, alt taban ile tepe parçalarının aynı geometrik şekle sahip olduğu durumların sayısı çıkarılabilir.
1) Kısıtlamasız tüm durumlar: Alt taban için 3×2=63 \times 2 = 6 seçenek, gövde için 44 seçenek, tepe için 33 seçenek vardır. Toplam durum: 6×4×3=726 \times 4 \times 3 = 72 olur.
2) Alt taban ve tepe şeklinin aynı olduğu durumlar: Aynı olan şekil daire veya üçgen olabilir (kare tepe seçeneklerinde yoktur).
* Şekil daire ise: Alt taban için 1 (daire)×2 (renk)=21 \text{ (daire)} \times 2 \text{ (renk)} = 2 seçenek, gövde için 44 seçenek, tepe için 1 (daire)1 \text{ (daire)} seçenek vardır. Toplam: 2×4×1=82 \times 4 \times 1 = 8 durum.
* Şekil üçgen ise: Alt taban için 1 (u¨c¸gen)×2 (renk)=21 \text{ (üçgen)} \times 2 \text{ (renk)} = 2 seçenek, gövde için 44 seçenek, tepe için 1 (u¨c¸gen)1 \text{ (üçgen)} seçenek vardır. Toplam: 2×4×1=82 \times 4 \times 1 = 8 durum.
Aynı şekle sahip toplam durum sayısı: 8+8=168 + 8 = 16'dır.
Koşula uygun durum sayısı: 72−16=5672 - 16 = 56 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →

Elemanları birbirine eşit olmayan bir veri grubuna, bu grubun aritmetik ortalamasına eşit olan yeni bir veri eklendiğinde, yeni oluşan veri grubunun açıklığı değişmezken standart sapması azalır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Veri grubuna aritmetik ortalamaya eşit bir değer eklendiğinde açıklık değişmez ve standart sapma azalır.
İfade doğrudur. Aritmetik ortalamaya eşit bir veri eklenmesi durumunda veri grubunun açıklığı değişmezken, kareler toplamı sabit kalıp terim sayısı arttığı için standart sapma değeri azalır.

Adım Adım Çözüm

1
Açıklık üzerindeki etkiyi incelemek için aritmetik ortalamanın veri grubundaki konumunu belirleyin.
Bir veri grubunun aritmetik ortalaması (xˉ\bar{x}), en küçük veri (xmin⁡x_{\min}) ile en büyük veri (xmax⁡x_{\max}) arasında yer alır. Elemanları birbirine eşit olmadığından bu eşitsizlik xmin⁡<xˉ<xmax⁡x_{\min} < \bar{x} < x_{\max} şeklindedir.
Eklenen yeni verinin sınır değerleri değiştirip değiştirmeyeceğini belirlemek.
2
Yeni veri eklendikten sonraki açıklığı analiz edin.
Ortalamaya eşit olan xˉ\bar{x} verisi eklendiğinde, grubun yeni en küçük elemanı yine xmin⁡x_{\min} ve yeni en büyük elemanı yine xmax⁡x_{\max} olur. Dolayısıyla açıklık (R=xmax⁡−xmin⁡R = x_{\max} - x_{\min}) değişmez.
Açıklık tanımına göre en büyük ve en küçük değerlerin farkını kontrol etmek.
3
Standart sapma üzerindeki etkiyi formül üzerinden analiz edin.
Standart sapma formülü s=∑(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} şeklindedir. Ortalamaya eşit yeni bir veri (xˉ\bar{x}) eklendiğinde aritmetik ortalama değişmez. Kare farklar toplamı da eklenen terim için fark 00 olduğundan değişmez. Ancak terim sayısı nn yerine n+1n+1 olur ve paydadaki değer n−1n-1'den nn'e çıkarak büyür. Bu da standart sapmanın değerini azaltır.
Standart sapmanın formülsel değişimini açıklamak.

Anahtar Kavram

Aritmetik ortalamanın eklenmesinin açıklık ve standart sapma üzerindeki etkisi
Soru 37Soru →

Bir kütüphanede araştırma yapan Bilge; tarih, bilim ve sanat kategorilerinde kitaplar okuyacaktır. Bu kategorilerde kütüphanede bulunan kitap sayıları aşağıda verilmiştir:

* Tarih kategorisinde 44 farklı kitap,
* Bilim kategorisinde 33 farklı kitap,
* Sanat kategorisinde 33 farklı kitap.

Bilge, her gün daha önce okumadığı farklı bir kitabı incelemek koşuluyla 33 günlük bir okuma planı hazırlayacaktır.

Bilge'nin okuma planıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Birinci gün tarih kategorisinden bir kitap okuyacaktır.
* Son gün bilim kategorisinden bir kitap okumayacaktır.
* Ardışık iki günde aynı kategoriden kitap okumayacaktır.

Buna göre, Bilge bu okuma planını kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Bilge bu okuma planını 108 farklı şekilde yapabilir.
Doğru cevaba ulaşmak için tüm koşulları sağlayan kategori dizilimleri (T-B-T, T-B-S, T-S-T) belirlenmeli, her bir adımda kullanılabilir durumdaki farklı kitap sayıları çarpılmalı ve elde edilen sonuçlar toplanmalıdır. Bu hesaplama sonucunda 108 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Okuma planındaki günlerin kategori dizilimlerini analiz etme
Uygun kategori dizilimleri T -> B -> T, T -> B -> S ve T -> S -> T şeklindedir.
Birinci gün tarih (T) ile başlamalı, son gün bilim (B) olmamalı ve ardışık günlerde aynı kategoriden kitap seçilmemelidir.
2
Her bir durum için seçilebilecek farklı kitap sayılarını çarpma yoluyla hesaplama
T -> B -> T durumu için 4×3×3=364 \times 3 \times 3 = 36, T -> B -> S durumu için 4×3×3=364 \times 3 \times 3 = 36, T -> S -> T durumu için 4×3×3=364 \times 3 \times 3 = 36 farklı seçim yapılabilir.
Her gün farklı bir kitap okunacağı için aynı kategorinin tekrar seçildiği durumlarda kalan kitap sayısı 1 azaltılır.
3
Elde edilen durum sayılarını toplama yoluyla birleştirme
36+36+36=10836 + 36 + 36 = 108 farklı okuma planı yapılabilir.
Bu durumlar ayrık olaylar olduğu için toplamları genel durum sayısını verir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Soru 38Soru →

Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında 3,7,x,14,y3, 7, x, 14, y veri grubu elde ediliyor.

Bu veri grubunun açıklığı 1212 ve aritmetik ortalaması 1010 olduğuna göre, bu veri grubunun standart sapması kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Veri grubunun standart sapması 5'tir.
Doğru cevap olan 5 değeri, standart sapma formülünün doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir. Verilen açıklık bilgisinden en büyük eleman 15, aritmetik ortalama bilgisinden ise bilinmeyen eleman 11 olarak bulunur. Aritmetik ortalama olan 10 değerinden sapmaların kareleri toplamı 100 olup, bu değer veri sayısının bir eksiği olan 4'e bölündüğünde varyans 25 bulunur. Varyansın karekökü alındığında standart sapma 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubunun açıklığı ve elemanların sıralı olduğu bilgisi kullanılarak en büyük değer olan yy bulunur.
y=15y = 15
Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Sıralı grupta en küçük eleman 33 olduğundan y−3=12  ⟹  y=15y - 3 = 12 \implies y = 15 olur.
2
Veri grubunun aritmetik ortalamasından yararlanılarak bilinmeyen veri elemanı xx bulunur.
x=11x = 11
Aritmetik ortalama 1010 ve veri sayısı 55 olduğundan, verilerin toplamı 5050 olmalıdır. Buradan 3+7+x+14+15=50  ⟹  39+x=50  ⟹  x=113 + 7 + x + 14 + 15 = 50 \implies 39 + x = 50 \implies x = 11 bulunur.
3
Her bir verinin aritmetik ortalamadan olan sapmaları hesaplanır.
Sapmalar sırasıyla −7,−3,1,4,5-7, -3, 1, 4, 5 olarak elde edilir.
Standart sapma hesabında her verinin ortalamadan uzaklığı kullanılır. Sapmalar: 3−10=−73-10 = -7, 7−10=−37-10 = -3, 11−10=111-10 = 1, 14−10=414-10 = 4, 15−10=515-10 = 5 şeklindedir.
4
Sapmaların kareleri toplamı hesaplanır.
Sapmaların kareleri toplamı 100100 olarak bulunur.
Standart sapma formülünde pay kısmındaki değer sapmaların kareleri toplamıdır: (−7)2+(−3)2+12+42+52=49+9+1+16+25=100(-7)^2 + (-3)^2 + 1^2 + 4^2 + 5^2 = 49 + 9 + 1 + 16 + 25 = 100.
5
Varyans ve standart sapma değerleri hesaplanır.
Standart sapma 55 olarak bulunur.
Sapmaların kareleri toplamı olan 100100 değeri, veri sayısının bir eksiği olan 5−1=45-1 = 4'e bölünerek varyans 2525 bulunur. Varyansın karekökü alındığında standart sapma 55 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Merkezi yayılım ölçülerinden açıklık (ranj) ve standart sapmanın tanımı ile hesaplama adımları.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 39Soru →

Bir üniversitenin araştırma merkezinde çalışan 77 yazılımcı arasından, bir yapay zekâ projesinde görevlendirilmek üzere 33 kişilik bir çalışma ekibi oluşturulacaktır.

Buna göre, bu çalışma ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Seçim sırasız bir grup oluşturma işlemi olduğundan kombinasyon kullanılır ve 7 yazılımcı arasından 3 kişilik bir ekip 35 farklı şekilde seçilebilir.
Seçilecek ekibin üyeleri arasında herhangi bir görev veya sıra ayrımı yapılmadığı için bu bir kombinasyon problemidir. 7 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir alt küme seçimi (73)=7×6×53×2×1=35\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 farklı şekilde yapılır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin bir kombinasyon (seçim) problemi olduğunu belirlemek.
Grup oluşturulurken kişilerin seçilme sırası önemli değildir. Bu nedenle permütasyon değil, kombinasyon formülü kullanılmalıdır.
Belirli bir sayıda eleman arasından alt küme (grup) seçimi yaparken elemanların sırası önemsizdir.
2
Kombinasyon formülünü uygulamak ve sadeleştirmeleri yapmak.
(73)=7!3!×(7−3)!=7×6×53×2×1\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \times (7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} olarak yazılır. Paydadaki 3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6 ifadesi pay kısmındaki 6 ile sadeleşir.
Faktöriyel sadeleştirmesi yapılarak işlem kolaylaştırılır.
3
Kalan sayıları çarparak sonucu bulmak.
7×5=357 \times 5 = 35 elde edilir.
Sadeleştirme sonrasında kalan sayıların çarpılmasıyla nihai kombinasyon sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, (nr)=(nn−r)\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} özelliğinden yararlanarak 3 kişilik seçimlerin sayısı (73)=(74)\binom{7}{3} = \binom{7}{4} şeklinde de düşünülebilir. Ancak (73)\binom{7}{3} ifadesini hesaplamak daha az çarpan içerdiği için daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 40Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yeri uygun sayısal değerle doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

(3x−2y)4(3x - 2y)^4 ifadesinin açılımında x2⋅y2x^2 \cdot y^2 teriminin katsayısı olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadenin açılımındaki x2⋅y2x^2 \cdot y^2 teriminin katsayısı 216'dır.
Genel terim formülü olan (4r)(3x)4−r(−2y)r\binom{4}{r} (3x)^{4-r} (-2y)^r ifadesinde x2⋅y2x^2 \cdot y^2 terimi için r=2r = 2 olmalıdır. Değerler yerine yazılıp hesaplandığında (42)⋅9⋅4=6⋅36=216\binom{4}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 6 \cdot 36 = 216 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımın genel terim formülünü yazalım.
Genel terim formülü: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir. Soruda verilen ifadede n=4n = 4, a=3xa = 3x ve b=−2yb = -2y alınır.
Açılımdaki terimleri belirlemek için genel formülü kullanırız.
2
x2⋅y2x^2 \cdot y^2 terimini veren rr değerini belirleyelim.
Değişkenlerin üslerinin 2 olması için 4−r=24-r = 2 ve r=2r = 2 olmalıdır. Buradan r=2r = 2 bulunur.
Terimin derecesine göre rr parametresini seçeriz.
3
r=2r = 2 için terimi ve katsayısını hesaplayalım.
(42)(3x)2(−2y)2=6⋅9x2⋅4y2=216x2y2\binom{4}{2} (3x)^2 (-2y)^2 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 = 216x^2y^2 bulunur.
Formüldeki değerleri yerine yazarak katsayıyı hesaplarız.

Anahtar Kavram

Binom açılımının genel terim formülünü kullanarak belirli terimlerin katsayılarını hesaplama.
ÖncekiSayfa 2 / 5Sonraki
Veri, Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin