Examkin

Veri, Sayma ve Olasılık

98 soru

Tüm türler98Çoktan seçmeli51Doğru / Yanlış4Sayısal39Sıralama3Boşluk doldurma1
Soru 41Soru →

Tam sayılardan oluşan 5 elemanlı bir veri grubunun aritmetik ortalaması 66 ve standart sapması 33’tür.

Buna göre, bu veri grubunun açıklığı ile medyanının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Veri grubunun açıklığı ile medyanının toplamı 16 olamaz.
Veri grubunun elemanları tam sayı olduğunda, sapma kareleri toplamının 36 ve sapmalar toplamının 0 olmasını sağlayan tüm olası durumlarda açıklık ve medyan toplamı 12, 13, 14 veya 15 olabilmektedir. 16 değeri bu olası toplamlar arasında yer almaz.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik ortalama ve standart sapma formüllerini kullanarak elemanların sapma kareleri toplamını bulmak.
Standart sapma formülü: s=∑i=15(xi−xˉ)25−1s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2}{5-1}} dir. s=3s = 3 ve xˉ=6\bar{x} = 6 değerleri yerine yazıldığında, ∑i=15(xi−6)2=36\sum_{i=1}^5 (x_i - 6)^2 = 36 elde edilir.
Verilerin aritmetik ortalamadan sapma karelerinin toplamını bulmak, veri elemanlarının olası değerlerini sınırlandırmak için gereklidir.
2
Veri grubu elemanlarının tam sayı olduğu bilgisini kullanarak sapma değerlerinin olası tam sayı kombinasyonlarını belirlemek.
Sapmalar di=xi−6d_i = x_i - 6 olsun. Elemanlar tam sayı olduğundan did_i değerleri de tam sayıdır. Ayrıca sapmaların toplamı ∑i=15di=0\sum_{i=1}^5 d_i = 0 olmalıdır. Kareleri toplamı 36 ve kendilerinin toplamı 0 olan olası tam sayı sapma grupları şunlardır: 1) {−5,0,1,1,3}\{-5, 0, 1, 1, 3\}, 2) {−3,−1,−1,0,5}\{-3, -1, -1, 0, 5\}, 3) {−4,−1,−1,3,3}\{-4, -1, -1, 3, 3\}, 4) {−3,−3,1,1,4}\{-3, -3, 1, 1, 4\}, 5) {−3,−3,0,3,3}\{-3, -3, 0, 3, 3\}.
Açıklık ve medyan değerleri veri grubunun alabileceği farklı biçimlere göre değişeceğinden, tüm olası tam sayı veri gruplarını listelemek gerekir.
3
Her bir sapma grubu için veri grubunun kendisini oluşturup açıklık ve medyan değerlerini hesaplamak.
- {−5,0,1,1,3}  ⟹  {1,6,7,7,9}\{-5, 0, 1, 1, 3\} \implies \{1, 6, 7, 7, 9\} veri grubu için: Açıklık = 8, Medyan = 7. Toplam = 15.
- {−3,−1,−1,0,5}  ⟹  {3,5,5,6,11}\{-3, -1, -1, 0, 5\} \implies \{3, 5, 5, 6, 11\} veri grubu için: Açıklık = 8, Medyan = 5. Toplam = 13.
- {−4,−1,−1,3,3}  ⟹  {2,5,5,9,9}\{-4, -1, -1, 3, 3\} \implies \{2, 5, 5, 9, 9\} veri grubu için: Açıklık = 7, Medyan = 5. Toplam = 12.
- {−3,−3,1,1,4}  ⟹  {3,3,7,7,10}\{-3, -3, 1, 1, 4\} \implies \{3, 3, 7, 7, 10\} veri grubu için: Açıklık = 7, Medyan = 7. Toplam = 14.
- {−3,−3,0,3,3}  ⟹  {3,3,6,9,9}\{-3, -3, 0, 3, 3\} \implies \{3, 3, 6, 9, 9\} veri grubu için: Açıklık = 6, Medyan = 6. Toplam = 12.
Her bir durumun açıklık ve medyan toplamlarını karşılaştırarak seçenekleri değerlendirmek gerekir.
4
Elde edilen toplamları seçeneklerle karşılaştırarak olamayacak değeri bulmak.
Olası toplamlar 12, 13, 14 ve 15'tir. Ancak 16 toplamı elde edilemez.
Soruda bizden olamayacak değer istendiği için, olası durumların dışında kalan değeri seçmeliyiz.

Anahtar Kavram

Merkezi yayılım ölçülerinden açıklık ve standart sapmanın veri gruplarındaki tam sayı sınırlamalarıyla birlikte analizi
Soru 42Soru →

Bir veri grubunun standart sapmasını hesaplamak için;
1. Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2. Her bir verinin aritmetik ortalama ile farkının karesi bulunur ve bu değerler toplanır.
3. Bulunan toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünerek elde edilen böl��mün karekökü alınır.

Elemanları tam sayılardan oluşan

1,1,5,9,x1, 1, 5, 9, x

veri grubunun standart sapması 44 olduğuna göre, bu veri grubunun açıklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Doğru cevap olan 18, standart sapması 4 olan veri grubunun bilinmeyen elemanının alabileceği iki tam sayı değeri (9 ve -1) için hesaplanan açıklıkların (8 ve 10) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubunun aritmetik ortalamasını x cinsinden yazın.
Verilerin toplamı 1+1+5+9+x=16+x1 + 1 + 5 + 9 + x = 16 + x ve eleman sayısı 55 olduğundan, aritmetik ortalama xˉ=16+x5\bar{x} = \frac{16 + x}{5} olur.
Standart sapma formülünde elemanların aritmetik ortalamadan sapmalarını bulabilmek için ortalama ifadesine ihtiyaç duyulmaktadır.
2
Standart sapma formülünü kullanarak x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem kurun.
Standart sapma 44 ise varyans 42=164^2 = 16'dır. Sapma karelerinin toplamı (5−1)×16=64(5 - 1) \times 16 = 64 olmalıdır. Buradan ∑i=15(xi−xˉ)2=108+x2−5⋅(16+x5)2=64\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = 108 + x^2 - 5 \cdot \left(\frac{16+x}{5}\right)^2 = 64 denklemi elde edilir. Denklem düzenlendiğinde x2−8x−9=0x^2 - 8x - 9 = 0 sonucuna ulaşılır.
Verilen standart sapma değerinden yararlanarak bilinmeyen x elemanını bulmak gerekir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.
(x−9)(x+1)=0(x - 9)(x + 1) = 0 denkleminin kökleri x=9x = 9 veya x=−1x = -1 olarak bulunur. Her iki değer de tam sayı şartını sağlar.
Bilinmeyen x elemanının alabileceği tüm olası durumları belirlemek için denklemin kökleri bulunmalıdır.
4
Her iki x değeri için veri grubunu küçükten büyüğe sıralayıp açıklık değerlerini hesaplayın.
x=9x = 9 için veri grubu {1,1,5,9,9}\{1, 1, 5, 9, 9\} olur. En büyük değer 99, en küçük değer 11 olduğundan açıklık 9−1=89 - 1 = 8 olur. x=−1x = -1 için veri grubu {−1,1,1,5,9}\{-1, 1, 1, 5, 9\} olur. En büyük değer 99, en küçük değer −1-1 olduğundan açıklık 9−(−1)=109 - (-1) = 10 olur.
Elde edilen farklı durumlarda en büyük ve en küçük değerler değişebileceğinden açıklık değerleri yeniden hesaplanmalıdır.
5
Bulunan farklı açıklık değerlerini toplayın.
8+10=188 + 10 = 18 bulunur.
Soruda veri grubunun alabileceği farklı açıklık değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Veri grubunun standart sapması ve açıklık (ranj) kavramlarının hesaplanması
Soru 43Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan 77 yazılım geliştirici ve 55 veri analisti arasından; en az 22 yazılım geliştirici ve en az 11 veri analistinin bulunduğu 44 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Ancak yazılım geliştiricilerden Ahmet ile veri analistlerinden Burcu daha önce birlikte çalışırken sorun yaşadıkları için aynı ekipte yer almak istememektedirler.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 346

Cevap

Proje ekibi 346 farklı şekilde oluşturulabilir.
En az 2 yazılım geliştirici ve en az 1 veri analisti koşuluna uyan tüm olası seçimlerin sayısı 385'tir. Bu seçimlerden Ahmet ve Burcu'nun birlikte yer aldığı ve mesleki dağılım koşullarını da sağlayan 39 durum çıkarıldığında, koşullara uygun 346 farklı ekip oluşturulabildiği görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Mesleki dağılım koşullarına göre oluşturulabilecek tüm olası durumların sayısını (Ahmet ve Burcu kısıtlamasını hesaba katmadan) belirlemek.
4 kişilik ekibin dağılımı (3 Yazılım Geliştirici, 1 Veri Analisti) veya (2 Yazılım Geliştirici, 2 Veri Analisti) şeklinde olabilir. Bu durumların toplamı: (73)⋅(51)+(72)⋅(52)=35⋅5+21⋅10=175+210=385\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{1} + \binom{7}{2} \cdot \binom{5}{2} = 35 \cdot 5 + 21 \cdot 10 = 175 + 210 = 385 olarak bulunur.
En az 2 yazılım geliştirici ve en az 1 veri analisti koşulunu sağlayan kısıtlamasız tüm durumları bulmak için.
2
Ahmet ve Burcu'nun aynı ekipte yer aldığı ve mesleki dağılım koşullarına uyan geçersiz durumların sayısını belirlemek.
Ahmet (Yazılımcı) ve Burcu (Analist) ekipte olduğunda, ekibe 2 kişi daha seçilmelidir. Grupta en az 2 yazılım geliştirici bulunması gerektiğinden, kalan 6 yazılım geliştirici ve 4 veri analisti arasından en az 1 yazılım geliştirici daha seçilmelidir. Bu seçimler (2 Yazılımcı, 0 Analist) veya (1 Yazılımcı, 1 Analist) şeklinde olabilir: (62)⋅(40)+(61)⋅(41)=15⋅1+6⋅4=15+24=39\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{0} + \binom{6}{1} \cdot \binom{4}{1} = 15 \cdot 1 + 6 \cdot 4 = 15 + 24 = 39 durum bulunur.
Ahmet ve Burcu'nun birlikte bulunduğu istenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarmak amacıyla bu durum sayısını hesaplamak gerekir.
3
Tüm durumların sayısından geçersiz durumların sayısını çıkarmak.
385−39=346385 - 39 = 346 farklı şekilde proje ekibi oluşturulabilir.
İstenen tüm kısıtlamaları sağlayan geçerli durumların sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon formülü yardımıyla kısıtlı alt küme seçimi yapma ve tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma yöntemi.
Soru 44Soru →

4040 yolcu kapasiteli bir otobüsteki koltukların 2424 tanesi doludur. Boş koltukların 66 tanesi pencere kenarında olduğuna göre, bu otobüsteki boş koltuklar arasından rastgele seçilen bir koltuğun pencere kenarında olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38\frac{3}{8}

Cevap

Rastgele seçilen bir boş koltuğun pencere kenarında olma olasılığı 38\frac{3}{8}'dir.
Seçim boş koltuklar arasından yapılacaktır. Otobüste 40−24=1640 - 24 = 16 tane boş koltuk vardır ve bu bizim örnek uzayımızın eleman sayısıdır. İstenen durum ise bu boş koltuklardan pencere kenarında olanlerdir, yani 66 koltuktur. Olasılık değeri, istenen durum sayısının örnek uzayın eleman sayısına oranı olduğundan 616=38\frac{6}{16} = \frac{3}{8} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Otobüsteki toplam boş koltuk sayısının (örnek uzayın eleman sayısı) belirlenmesi.
Toplam boş koltuk sayısı: 40−24=1640 - 24 = 16 koltuk.
Olasılık hesabında örnek uzay, seçimin yapıldığı kümedir. Soru boş koltuklar arasından seçim yapılacağını belirttiği için örnek uzayımız boş koltuklardır.
2
İstenen olayın (pencere kenarındaki boş koltuklar) eleman sayısının belirlenmesi.
İstenen koltuk sayısı: 66 koltuk.
Seçilen boş koltuğun pencere kenarında olması istendiğinden, bu koşulu sağlayan boş koltuk sayısı belirlenir.
3
Basit olayların olasılığı formülü kullanılarak olasılık değerinin hesaplanması.
Olasılık = 616=38\frac{6}{16} = \frac{3}{8}
Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm olası durum sayısına (örnek uzayın eleman sayısına) oranlanmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir A olayının gerçekleşme olasılığı, istenen durumların sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölünmesiyle bulunur: P(A)=s(A)s(E)P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}.
Tahmini Süre:45s
Soru 45Soru →

Bir veri grubunun elemanları 33, 55, 77, 99 ve aa tam sayılarından oluşmaktadır.

Bu veri grubunun standart sapması 55 olduğuna göre, aa'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Verilen veri grubunun standart sapma formülü kurulup düzenlendiğinde a2−12a−64=0a^2 - 12a - 64 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 16 ve -4'tür. Bu iki tam sayının toplamı 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubunun eleman sayısı (nn) ve aritmetik ortalaması (xˉ\bar{x}) ifade edilir.
Veri grubunda 55 eleman vardır (n=5n = 5). Aritmetik ortalama:
xˉ=3+5+7+9+a5=24+a5\bar{x} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + a}{5} = \frac{24 + a}{5}
Standart sapma hesaplanırken verilerin aritmetik ortalamadan sapmaları kullanılmaktadır.
2
Standart sapma formülü kullanılarak denklem kurulur.
Standart sapma s=5s = 5 olduğuna göre:
5=(3−xˉ)2+(5−xˉ)2+(7−xˉ)2+(9−xˉ)2+(a−xˉ)25−15 = \sqrt{\frac{(3 - \bar{x})^2 + (5 - \bar{x})^2 + (7 - \bar{x})^2 + (9 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2}{5 - 1}}
Her iki tarafın karesi alınarak:
25=(3−xˉ)2+(5−xˉ)2+(7−xˉ)2+(9−xˉ)2+(a−xˉ)2425 = \frac{(3 - \bar{x})^2 + (5 - \bar{x})^2 + (7 - \bar{x})^2 + (9 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2}{4}
100=(3−xˉ)2+(5−xˉ)2+(7−xˉ)2+(9−xˉ)2+(a−xˉ)2100 = (3 - \bar{x})^2 + (5 - \bar{x})^2 + (7 - \bar{x})^2 + (9 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2 elde edilir.
Sapmaların kareler toplamı standart sapma ve eleman sayısı yardımıyla bulunur.
3
Kareler toplamı sadeleştirilerek aa değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
Matematiksel olarak ∑(xi−xˉ)2=∑xi2−nxˉ2\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 ��zdeşliği kullanılır:
∑xi2=32+52+72+92+a2=164+a2\sum x_i^2 = 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + a^2 = 164 + a^2
5xˉ2=5(24+a5)2=a2+48a+57655\bar{x}^2 = 5 \left(\frac{24+a}{5}\right)^2 = \frac{a^2 + 48a + 576}{5}
Bu ifadeler yerlerine yazıldığında:
164+a2−a2+48a+5765=100164 + a^2 - \frac{a^2 + 48a + 576}{5} = 100
64+a2−a2+48a+5765=064 + a^2 - \frac{a^2 + 48a + 576}{5} = 0
5(64+a2)−(a2+48a+576)=05(64 + a^2) - (a^2 + 48a + 576) = 0
320+5a2−a2−48a−576=0320 + 5a^2 - a^2 - 48a - 576 = 0
4a2−48a−256=04a^2 - 48a - 256 = 0
Her terim 4'e bölündüğünde:
a2−12a−64=0a^2 - 12a - 64 = 0 denklemi elde edilir.
aa'nın değerlerini bulabilmek için denklem çarpanlarına ayrılabilecek forma getirilir.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek aa değerlerinin toplamı bulunur.
a2−12a−64=0  ⟹  (a−16)(a+4)=0a^2 - 12a - 64 = 0 \implies (a - 16)(a + 4) = 0
Buradan a=16a = 16 veya a=−4a = -4 bulunur.
Değerlerin toplamı ise:
16+(−4)=1216 + (-4) = 12 olarak bulunur.
(Alternatif olarak, kökler toplamı formülü olan −ba-\frac{b}{a} kullanılarak toplam doğrudan −−121=12-\frac{-12}{1} = 12 olarak bulunur.)
Denklemin kökleri belirlenerek istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Standart sapma formülü ve verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamının hesaplanması.
Soru 46Soru →

Bir sınıftaki 3030 öğrenciden 1212'si kızdır. Bu sınıftaki gözlüklü öğrencilerin 44'ü kız, 66'sı ise erkektir. Buna göre, bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüksüz veya kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüksüz veya kız öğrenci olma olasılığı 0,8'dir.
Sınıfta gözlüksüz veya kız olan öğrencilerin kümesi; tüm kız öğrenciler (1212 kişi) ile gözlüksüz erkek öğrencilerin (1212 kişi) birleşimidir. Bu iki grup ayrık olduğundan toplamda istenen koşulu sağlayan 2424 öğrenci vardır. Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 3030 olduğuna göre, seçilen öğrencinin bu koşulu sağlama olasılığı 2430=0,8\frac{24}{30} = 0,8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıftaki erkek öğrenci sayısı bulunur.
Erkek öğrenci sayısı: 30−12=1830 - 12 = 18 kişidir.
Öğrencilerin cinsiyet dağılımını eksiksiz belirlemek için.
2
Gözlüksüz kız ve erkek öğrenci sayıları hesaplanır.
Gözlüksüz kız sayısı: 12−4=812 - 4 = 8 kişi, gözlüksüz erkek sayısı: 18−6=1218 - 6 = 12 kişidir.
Gözlüksüz olma durumuna uyan öğrenci sayılarını bulmak için.
3
Gözlüksüz veya kız öğrenci olan toplam kişi sayısı belirlenir.
Gözlüksüz erkek öğrenciler (1212) ile tüm kız öğrencilerin (1212) birleşimi 12+12=2412 + 12 = 24 kişidir.
Olasılığı istenen olayın eleman sayısını belirlemek için.
4
İstenen durum sayısı toplam öğrenci sayısına oranlanarak olasılık değeri ondalık sayıya çevrilir.
Olasılık = 2430=45=0,8\frac{24}{30} = \frac{4}{5} = 0,8 bulunur.
İstenen olayın olasılığını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı

Alternatif Yöntem

Kümelerdeki birleşim formülü kullanılarak da çözülebilir: P(Gözlüksüz ∪ Kız) = P(Gözlüksüz) + P(Kız) - P(Gözlüksüz ∩ Kız) yazılır. Sınıfta gözlüksüz öğrenci sayısı 8+12=208 + 12 = 20'dir. Hem kız hem gözlüksüz olan öğrenci sayısı ise 88'dir. Formül uygulandığında: Olasılık = 2030+1230−830=2430=0,8\frac{20}{30} + \frac{12}{30} - \frac{8}{30} = \frac{24}{30} = 0,8 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 47Soru →

Bir veri grubundaki sayılar 3,3,5,7,x3, 3, 5, 7, x tam sayılarından oluşmaktadır. Bu veri grubunun standart sapması 22 olduğuna göre, xx'in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Verilen veri grubunun standart sapması 2 ise varyansı 4'tür. Aritmetik ortalama xx cinsinden ifade edilip varyans formülünde yerine konulduğunda x2−9x+14=0x^2 - 9x + 14 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri olan 2 ve 7 değerleri veri grubunu tamamlayan tam sayılardır. Bu değerlerin toplamı 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubunun aritmetik ortalamasını xx cinsinden ifade edin.
xˉ=3+3+5+7+x5=18+x5\bar{x} = \frac{3 + 3 + 5 + 7 + x}{5} = \frac{18 + x}{5}
Standart sapmayı hesaplamak için öncelikle aritmetik ortalamanın bulunması gerekir.
2
Standart sapma formülünü yazarak varyans değerini belirleyin.
s2=22=4  ⟹  ∑i=15(xi−xˉ)25−1=4  ⟹  ∑i=15(xi−xˉ)2=16s^2 = 2^2 = 4 \implies \frac{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2}{5 - 1} = 4 \implies \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = 16
Standart sapmanın karesi varyanstır ve paydadaki serbestlik derecesi (n−1=4n-1 = 4) karşıya çarpım olarak geçirilerek sapma kareleri toplamı elde edilir.
3
Verileri varyans formülünde yerine yerleştirerek xx'e bağlı bir denklem oluşturun.
2⋅(3−18+x5)2+(5−18+x5)2+(7−18+x5)2+(x−18+x5)2=162 \cdot \left(3 - \frac{18+x}{5}\right)^2 + \left(5 - \frac{18+x}{5}\right)^2 + \left(7 - \frac{18+x}{5}\right)^2 + \left(x - \frac{18+x}{5}\right)^2 = 16

Sadeleştirildiğinde:

x2−9x+14=0x^2 - 9x + 14 = 0
Verilerin ortalamadan farklarının kareleri toplamını hesaplayıp varyans eşitliğini kullanarak çözüme gitmek.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözün.
(x−7)(x−2)=0  ⟹  x1=2 ve x2=7(x-7)(x-2) = 0 \implies x_1 = 2 \text{ ve } x_2 = 7
xx'in alabileceği olası tam sayı değerlerini belirlemek.
5
xx için bulunan tam sayı değerlerini toplayın.
2+7=92 + 7 = 9
Soruda bizden istenen, xx'in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Standart sapma ve varyans hesaplama adımları.

Alternatif Yöntem

Denklemi uzun uzadıya çözmek yerine, standart sapmanın 2 çıkabilmesi için varyansın 4 olması gerektiği bilgisiyle tam sayı değerleri denenebilir. x=7x=7 için veri grubu 3,3,5,7,73, 3, 5, 7, 7 olur. Aritmetik ortalaması 5, sapma kareleri toplamı 4+4+0+4+4=164+4+0+4+4=16 ve varyansı 16/4=416/4 = 4 (standart sapma 2) olarak doğrulanır. Benzer şekilde x=2x=2 için veri grubu 2,3,3,5,72, 3, 3, 5, 7 olur. Aritmetik ortalaması 4, sapma kareleri toplamı 4+1+1+1+9=164+1+1+1+9=16 ve varyansı 16/4=416/4 = 4 olarak doğrulanır. Bu iki değerin toplamından 9 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 48Soru →

Bir restoranda 4 farklı çorba, 5 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı alternatifi bulunmaktadır. Bir müşteri, bu alternatifler arasından her birinden en fazla bir adet seçmek koşuluyla bir sipariş menüsü oluşturacaktır.

Müşterinin oluşturacağı bu sipariş menüsüyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Menüde en az bir çorba, en az bir ana yemek ve en az bir tatlı bulunmalıdır.
- Menüdeki toplam çorba ve tatlı sayısı en fazla 3 olmalıdır.

Buna göre, bu müşteri sipariş menüsünü kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1302

Cevap

Müşteri sipariş menüsünü 1302 farklı şekilde oluşturabilir.
Çorba ve tatlı seçimi için c+t≤3c+t \le 3 kısıtlaması altında olası (c,t)(c,t) ikilileri (1,1)(1,1), (2,1)(2,1) ve (1,2)(1,2) olup bu durumların kombinasyon toplamı 42'dir. En az bir ana yemek seçimi için boş küme hariç alt küme sayısı olan 31 seçeneği bulunur. Bağımsız seçimlerin çarpımı ile doğru sonuç 1302 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çorba ve tatlı sayıları için olası durumları belirleme.
En az birer adet çorba (c≥1c \ge 1) ve tatlı (t≥1t \ge 1) seçilmesi ve toplamlarının en fazla 3 olması (c+t≤3c+t \le 3) gerektiğinden, olası porsiyon sayıları (c,t)∈{(1,1),(2,1),(1,2)}(c,t) \in \{(1,1), (2,1), (1,2)\} olabilir.
Soruda verilen kısıtlamalara uygun çorba ve tatlı sayılarını belirlemek için.
2
Her durum için çorba ve tatlı kombinasyonlarını hesaplayıp toplama.
(41)×(31)=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{1} = 12, (42)×(31)=18\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 18 ve (41)×(32)=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 12 durumlarının toplamı 12+18+12=4212 + 18 + 12 = 42 olur.
Çorba ve tatlı çeşitlerinin kendi aralarında kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmak için.
3
Ana yemek seçimi için en az bir ana yemek kısıtlamasına uyan kombinasyon sayısını bulma.
5 farklı ana yemek arasından en az bir tanesinin seçildiği durum sayısı, tüm alt kümelerden boş kümenin çıkarılmasıyla bulunur: 25−1=312^5 - 1 = 31.
Ana yemek seçimlerinin sınırlandırılmasını hesaplamak için.
4
Çarpma yoluyla sayma kuralını uygulayarak toplam kombinasyon sayısını hesaplama.
42×31=130242 \times 31 = 1302 farklı menü oluşturulabilir.
Çorba-tatlı seçimi ile ana yemek seçimi birbirlerinden bağımsız işlemler olduğu için sonuçları çarparak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçim) kuralları ve alt küme sayısının sayma problemlerine uygulanması

Alternatif Yöntem

Toplam çorba ve tatlı seçimleri tüm durumlar üzerinden de modellenebilir. Ancak çorba ve tatlı sayılarının sınırları küçük olduğundan durumları tek tek analiz etmek işlem hatası riskini en aza indirir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 49Soru →

Bir hediyelik eşya dükkanında çalışan Aslı, yan yana duran 7 kutunun üzerine renkli şeritler yapıştıracaktır. Kutulardan 3 tanesine kırmızı, 3 tanesine mavi ve 1 tanesine beyaz şerit yapıştırılacaktır.

Aslı, beyaz şerit yapıştırılmış kutunun kırmızı şerit yapıştırılmış kutulardan herhangi biriyle yan yana olmasını istememektedir.

Buna göre, kutuların renklerine göre yan yana dizilimi kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Kutuların renklerine göre yan yana dizilimi 40 farklı şekilde yapılabilir.
Doğru cevap 40'tır. Beyaz kutu dizilimin en solunda veya en sağında olduğunda, komşusu olan tek kutunun mavi olması gerekir; bu durumda kalan 5 kutu (3 kırmızı, 2 mavi) 10 farklı şekilde sıralanabilir. Beyaz kutu ortadaki 5 konumdan birinde olduğunda ise her iki komşusunun da mavi olması gerekir (Mavi-Beyaz-Mavi bloğu); bu durumda kalan 4 kutu (3 kırmızı, 1 mavi) 4 farklı şekilde sıralanabilir. Bu durumların toplamı olan 10+10+(5×4)=4010 + 10 + (5 \times 4) = 40 bize istenen dizilim sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Beyaz kutunun (B) dizilimdeki konumuna göre durumları sınıflandırma.
7 kutu yan yana dizildiğinde B kutusu 1. sırada, 7. sırada veya ortadaki 5 sıradan (2, 3, 4, 5, 6) birinde bulunabilir.
B kutusunun uç noktalarda (1. veya 7. sıra) olması ile ortada olması durumunda komşu olabileceği kutu sayısı farklıdır. Bu yüzden konuma göre incelemek çözümü kolaylaştırır.
2
B kutusunun uç noktalarda (1. veya 7. sıra) olduğu durumları hesaplama.
B kutusu 1. sırada ise yanındaki 2. sırada mutlaka Mavi (M) kutu bulunmalıdır. Geriye kalan 5 sıraya (3, 4, 5, 6, 7) ise 3 Kırmızı (K) ve 2 Mavi (M) kutu yerleştirilecektir. Bu yerleşim 5!3!2!=10\frac{5!}{3!2!} = 10 farklı şekilde yapılabilir. Benzer şekilde, B kutusu 7. sırada ise 6. sırada mutlaka Mavi kutu bulunmalıdır. Kalan 5 sıraya 3 K ve 2 M kutu 5!3!2!=10\frac{5!}{3!2!} = 10 farklı şekilde yerleştirilir.
Uç noktalardaki B kutusunun yalnızca tek bir komşusu vardır ve bu komşu kırmızı kutularla yan yana gelmeme koşulu gereği mutlaka mavi olmak zorundadır.
3
B kutusunun ortadaki 5 sıradan (2, 3, 4, 5, 6) birinde olduğu durumları hesaplama.
B kutusu ortadaki bir sırada olduğunda, hemen solundaki ve hemen sağındaki sıralarda mutlaka Mavi kutu bulunmalıdır. Bu durumda (Mavi - Beyaz - Mavi) şeklinde 3'lü sabit bir blok oluşur. Geriye kalan 4 boş sıraya ise kalan 3 Kırmızı ve 1 Mavi kutu yerleştirilecektir. Bu yerleşim 4!3!1!=4\frac{4!}{3!1!} = 4 farklı şekilde yapılabilir. Ortada 5 farklı konum (2, 3, 4, 5, 6. sıralar) olduğundan toplam durum: 5×4=205 \times 4 = 20 olur.
Ortadaki B kutusunun her iki yanındaki komşusu da mavi olmak zorundadır, bu da kalan elemanların sayısını ve dizilimini belirler.
4
Elde edilen tüm durumları toplayarak toplam geçerli dizilim sayısını bulma.
Toplam dizilim sayısı: 10 (sol uc¸)+10 (sag˘ uc¸)+20 (orta konumlar)=4010 \text{ (sol uç)} + 10 \text{ (sağ uç)} + 20 \text{ (orta konumlar)} = 40 farklı şekilde dizilim yapılabilir.
Bütün konum durumları ayrık olduğundan, elde edilen sonuçların toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve koşullu sıralama problemlerinde tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması veya boşluk yöntemiyle güvenli konumların belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 50Soru →

Aritmetik ortalaması ve standart sapması sıfırdan farklı olan bir veri grubuna, bu grubun aritmetik ortalamasına eşit olan yeni bir veri eklendiğinde veri grubunun standart sapması ilk duruma göre azalır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Aritmetik ortalamaya eşit bir verinin eklenmesi veri grubunun standart sapmasını azaltır.
İfade doğrudur çünkü gruba aritmetik ortalamayla aynı değerde bir eleman eklendiğinde ortalamadan sapma karelerinin toplamı (pay) değişmezken veri sayısı arttığından payda büyüyecek, bu da standart sapma değerinin azalmasına yol açacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Standart sapma formülünü göz önüne alalım.
s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
Standart sapmanın veri sayısı ve ortalamadan farklar ile ilişkisini analiz etmek amacıyla formülü kurarız.
2
Yeni veri grubunun aritmetik ortalamasını belirleyelim.
Yeni veri ortalamaya eşit (xn+1=xˉx_{n+1} = \bar{x}) olduğundan, yeni aritmetik ortalama yine xˉ\bar{x} olur.
Bir veri grubuna aritmetik ortalama değerine eşit bir veri eklenmesi, grubun genel ortalamasını değiştirmez.
3
Formüldeki pay ve payda değişimini inceleyelim.
Pay olan ∑i=1n(xi−xˉ)2\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 toplamı de��işmez çünkü yeni eklenen elemanın ortalamadan farkı (xn+1−xˉ)=0(x_{n+1} - \bar{x}) = 0 olup kareler toplamına etkisi sıfırdır. Payda ise veri sayısı arttığı için n−1n-1 yerine nn olur.
Yeni elemanla birlikte eleman sayısı 1 artmış, ancak sapma kareleri toplamına yeni bir katkı gelmemiştir.
4
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak standart sapmanın değişimini belirleyelim.
syeni=∑i=1n(xi−xˉ)2ns_{yeni} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n}} değeri, n>n−1>0n > n-1 > 0 olduğu için ilk standart sapma değeri olan ss değerinden küçüktür.
Payı sabit kalan bir kesrin paydası büyüdüğünde değeri küçülür.

Anahtar Kavram

Veri ekleme durumlarında standart sapmanın değişimi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 51Soru →

Bir gardıropta bulunan gömleklerin bir kısmı beyaz, geri kalanları ise mavi renklidir. Bu gardıroptan rastgele seçilen bir gömleğin mavi renkli olma olasılığı 35\frac{3}{5}'tir.

Gardıropta 1212 tane beyaz gömlek oldu��una göre, gardıroptaki toplam gömlek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Gardıroptaki toplam gömlek sayısı 30'dur.
Mavi gömlek seçilme olasılığı 35\frac{3}{5} olduğuna göre, beyaz gömlek seçilme olasılığı 1−35=251 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}'tir. Gardıroptaki 12 beyaz gömlek bu orana karşılık geldiğinden toplam gömlek sayısı 12/(2/5)=3012 / (2/5) = 30 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Beyaz gömlek seçilme olasılığının belirlenmesi
Beyaz gömlek seçilme olasılığı 25\frac{2}{5}'tir.
Mavi gömlek seçilme olasılığı 35\frac{3}{5} olduğundan, tümleyen olay kuralı gereği beyaz gömlek seçilme olasılığı 1−35=251 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} olur.
2
Olasılık tanımı kullanılarak toplam gömlek sayısının hesaplanması
Toplam gömlek sayısı 30'dur.
Beyaz gömlek sayısının toplam gömlek sayısına oranı beyaz gömlek olasılığına eşittir: 12x=25  ⟹  x=30\frac{12}{x} = \frac{2}{5} \implies x = 30.

Anahtar Kavram

Bir olayın tümleyeninin olasılığı ve basit olayların olasılığı
Soru 52Soru →

Bir torbada renkleri dışında özdeş olan 66 kırmızı, 44 mavi ve 55 sarı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olmama olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1115\frac{11}{15}

Cevap

Mavi olmama olasılığı 1115\frac{11}{15} olarak hesaplanır.
Torbadaki toplam bilye sayısı 6+4+5=156 + 4 + 5 = 15'tir. Mavi olmayan bilyelerin sayısı 66 kırmızı ve 55 sarı olmak üzere toplam 1111'dir. Dolayısıyla rastgele seçilen bir bilyenin mavi olmama olasılığı 1115\frac{11}{15} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Torbadaki toplam bilye sayısı hesaplanır.
6+4+5=156 + 4 + 5 = 15 bilye.
Olasılık hesabındaki örnek uzay eleman sayısını (tüm olası durumları) bulmak amacıyla toplam bilye sayısı hesaplanır.
2
Mavi olmayan bilyelerin sayısı belirlenir.
66 kırmızı ve 55 sarı bilye olmak üzere 6+5=116 + 5 = 11 bilye.
Olayın mavi olmama olasılığı sorulduğu için mavi rengin dışındaki bilye sayısı hesaplanmalıdır.
3
Mavi olmama olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle bulunur.
Olasılık = 1115\frac{11}{15} bulunur.
Basit bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Bir olayın tümleyeninin olasılığı ve basit olayların olasılığı

Alternatif Yöntem

Tüm durumların olasılığı 11'dir. Mavi çekme olasılığı 415\frac{4}{15} olduğundan, mavi çekmeme olasılığı 1−415=11151 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15} olarak da bulunabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 53Soru →

Bir kütüphanede yan yana bulunan boş bir rafa renkleri ve boyutları tamamen aynı olan özdeş 33 matematik, özdeş 22 fizik ve özdeş 22 kimya kitabı dizilecektir.

Fizik kitaplarının tamamının yan yana olması koşuluyla, bu kitaplar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Kitaplar rafa 60 farklı şekilde dizilebilir.
Fizik kitapları yan yana olacağından bir bütün olarak kabul edilir ve tek bir eleman sayılır. Bu durumda rafta sıralanacak elemanlar: 3 özdeş matematik kitabı, 2 özdeş kimya kitabı ve 1 fizik grubu olmak üzere toplam 6 elemandır. Bu elemanların kendi aralarında farklı dizilişlerinin sayısı tekrarlı permütasyon ile hesaplanır. Matematik kitapları 3 adet ve kimya kitapları 2 adet özdeş olduğu için işlem 6! / (3! * 2!) = 60 şeklinde sonuçlanır. Fizik kitapları özdeş olduğundan bu grubun kendi içindeki sıralanışı sadece 1 yolla gerçekleşir ve sonucu değiştirmez.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula göre yan yana olması istenen özdeş 2 fizik kitabını tek bir paket (blok) haline getirme.
(FF) şeklinde 1 grup oluşturulur.
Yan yana durması gereken nesneler sıralamada tek bir nesne gibi işlem görür.
2
Sıralanacak toplam nesne (eleman) sayısını hesaplama.
3 adet özdeş matematik, 2 adet özde�� kimya ve 1 adet fizik grubu olmak üzere toplam 3 + 2 + 1 = 6 eleman elde edilir.
Tüm nesnelerin ve grupların toplam sayısını belirlemek için.
3
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayarak farklı dizilimlerin sayısını hesaplama.
6 elemanın 3'ü matematik (özdeş), 2'si kimya (özdeş) olduğundan dizilim sayısı: 6! / (3! * 2!) = 720 / (6 * 2) = 60 olarak bulunur. Fizik kitapları kendi aralarında özdeş olduğu için gruptaki iç yer değişimleri (1 durum) sonucu etkilemez.
Özdeş nesnelerin yer değiştirmesi yeni bir görsel dizilim oluşturmadığından tekrarlı durumlar bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Koşullu Sıralama
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 54Soru →

Bir spor salonundaki 2424 soyunma dolabının bir kısmı dolu, geri kalanı ise boştur. Bu dolaplardan rastgele seçilen bir dolabın boş olma olasılığı 23\frac{2}{3}'tür.

Buna göre, bu spor salonundaki dolu dolap sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 88

Cevap

Dolu dolap sayısı 8'dir.
Dolapların boş olma olasılığı 23\frac{2}{3} olduğuna göre, dolu olma olasılığı tümleyen olay kuralı gereğince 1−23=131 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}'tür. Toplam dolap sayısı 2424 olduğundan, dolu dolap sayısı 24×13=824 \times \frac{1}{3} = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Boş dolap sayısını bulmak için toplam dolap sayısı ile boş olma olasılığını çarpın.
Boş dolap sayısı: 24×23=1624 \times \frac{2}{3} = 16
Bir olayın eleman sayısı, örnek uzay eleman sayısı ile bu olayın olasılığının çarpımına eşittir.
2
Toplam dolap sayısından boş dolap sayısını çıkararak dolu dolap sayısını bulun.
Dolu dolap sayısı: 24−16=824 - 16 = 8
Dolaplar ya dolu ya da boş olmak üzere iki durumdan birindedir. Toplam durum sayısından boş olanları çıkardığımızda dolu olanları elde ederiz.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Tümleyen Olay Olasılığı

Alternatif Yöntem

Tümleyen olay kavramını kullanarak da çözebiliriz: Dolapların boş olma olasılığı P(Bos¸)=23P(\text{Boş}) = \frac{2}{3} ise dolu olma olasılığı P(Dolu)=1−P(Bos¸)=1−23=13P(\text{Dolu}) = 1 - P(\text{Boş}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}'tür. Buradan dolu dolap sayısı 24×13=824 \times \frac{1}{3} = 8 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 55Soru →

Bir restoranda çalışan bir usta, bir şişe dizmek üzere aynı büyüklükte 33 adet özdeş köfte, 22 adet özdeş domates ve 11 adet biber hazırlamıştır. Usta, köftelerin hiçbirinin yan yana gelmediği kaç farklı şiş dizilimi yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Köftelerin hiçbirinin yan yana gelmediği toplam farklı dizilim sayısı 12'dir.
Köftelerin yan yana gelmemesi için öncelikle diğer malzemeler (2 domates, 1 biber) dizilir. Bu dizilim 3!2!⋅1!=3\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 farklı şekilde gerçekleşir. Ardından oluşan 4 boşluktan 3'ü köfteler için seçilir. Köfteler özdeş olduğundan bu seçim (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde yapılır. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre 3×4=123 \times 4 = 12 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Köfteler dışındaki malzemelerin dizilim sayısını hesaplama
3
Köfteler dışındaki 2 domates ve 1 biber, tekrarlı permütasyon formülü olan 3!2!⋅1!\frac{3!}{2! \cdot 1!} ile 3 farklı şekilde sıralanabilir.
2
Köftelerin yerleştirilebileceği boşluk sayısını ve seçimini belirleme
4
3 malzemenin yan yana dizilmesiyle oluşan 4 boşluk arasından, 3 özdeş köftenin yerleştirileceği 3 boşluk (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde seçilir.
3
Toplam dizilim sayısını bulma
12
Toplam dizilim sayısı, köfteler dışındaki malzemelerin sıralanış sayısı ile boşluk seçim sayısının çarpımı (3×4=123 \times 4 = 12) olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon dizilimi içeren durumlarda, belirli elemanların yan yana gelmemesi koşulu aranırken diğer elemanlar önceden dizilir ve aralarında oluşan boşluklara yerleşim yapılır.
Soru 56Soru →

Bir mimarlık firması, tasarladığı bir binanın ön cephesindeki yan yana bulunan 66 özdeş pencereyi renklendirmek istemektedir. Bu pencerelerin 33'ü maviye, 22'si sarıya ve 11'i kırmızıya boyanacaktır.

Maviye boyanacak pencerelerin hiçbirinin yan yana olmaması istendiğine göre, bu pencereler kaç farklı desen oluşturacak şekilde boyanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1212

Cevap

Mavi pencerelerin hiçbirinin yan yana gelmediği boyama durum sayısı 1212'dir.
Doğru cevap 1212'dir. Mavi olmayan pencerelerin (2 sarı, 1 kırmızı) kendi aralarındaki tekrarlı permütasyon sıralaması 3!2!⋅1!=3\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 farklı durum oluşturur. Mavi pencerelerin yan yana gelmesini önlemek için, bu pencereler mavi olmayan pencerelerin soluna, sağına veya aralarına yerleştirilmelidir. Bu yerleşim için belirlenen 44 boşluktan 33 tanesi (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde seçilir. Mavi pencereler özdeş olduğundan yerleştirilmeleri tek bir durumdur. Dolayısıyla toplam durum sayısı 3×4=123 \times 4 = 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mavi olmayan pencerelerin kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplama
33
Mavi olmayan pencereler 22 sarı ve 11 kırmızı penceredir. Sarı pencereler özdeş olduğundan tekrarlı permütasyon uygulanır: 3!2!⋅1!=3\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 farklı dizilim elde edilir.
2
Mavi pencerelerin yerleştirilebileceği boşlukların sayısını ve yerleştirme biçimini belirleme
44 boşluktan 33'ünün seçilmesi
Mavi pencerelerin hiçbirinin yan yana gelmemesi için, mavi olmayan pencerelerin oluşturduğu boşluklara yerleştirilmeleri gerekir. _ X _ Y _ Z _ şeklinde temsil edilen bu dizilimde 44 adet boşluk (başlar ve aralar) bulunur. Özdeş 33 mavi pencere bu 44 boşluktan 33'üne yerleştirilecektir. Bu seçim (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde yapılır.
3
Toplam geçerli boyama durumunu çarpma yoluyla hesaplama
3×4=123 \times 4 = 12
Mavi olmayanların her bir dizilimi için mavi pencereler 44 farklı biçimde yerleştirilebilir. Çarpma prensibine göre toplam durum sayısı 3×4=123 \times 4 = 12 olur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve belirli elemanların yan yana gelmeme koşulunun (boşluk yöntemi) birlikte uygulanması
Soru 57Soru →

Bir çalışma masasındaki çekmecede yalnızca kırmızı ve mavi renkli tükenmez kalemler bulunmaktadır. Bu çekmeceden rastgele seçilen bir kalemin kırmızı olma olasılığı 49\frac{4}{9}'dur.

Çekmecede toplam 3636 adet tükenmez kalem olduğuna göre, mavi renkli tükenmez kalem sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Mavi renkli tükenmez kalem sayısı 20'dir.
Çekmecedeki kalemlerin kırmızı olma olasılığı 49\frac{4}{9} ise, tümleyen kuralı gereğince bir kalemin mavi olma olasılığı 1−49=591 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} olur. Toplam kalem sayısı 3636 olduğuna göre, mavi kalemlerin sayısı 36×59=2036 \times \frac{5}{9} = 20 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kırmızı kalemlerin sayısını hesaplama
16
Toplam kalem sayısının kırmızı olma olasılığı ile çarpılması, kırmızı kalemlerin sayısını verir.
2
Mavi kalemlerin sayısını hesaplama
20
Çekmecede sadece kırmızı ve mavi kalemler bulunduğundan, toplam kalem sayısından kırmızı kalem sayısı çıkarıldığında geriye kalanlar mavi kalem sayısı olur.

Anahtar Kavram

Bir deneyde bir olayın olasılığı, o olaya ait istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır. Olasılık değeri ve toplam eleman sayısı bilindiğinde, belirli bir özelliğe sahip eleman sayısı oran orantı yoluyla bulunabilir.
Soru 58Soru →

Bir metro istasyonunda yan yana bulunan ve 1'den 8'e kadar numaralandırılmış 8 adet geçiş turnikesinin bazılarında temassız kart okuyucu bulunmakta, bazılarında ise bulunmamaktadır.

Ardışık numaralı herhangi iki turnikenin en az birinde temassız kart okuyucu bulunduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu istasyondaki kart okuyucusu olan turnikeler arasından rastgele seçilen bir turnikenin numarasının asal sayı olma olasılığı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15\frac{1}{5}

Cevap

Kart okuyucusu olan turnikeler arasından rastgele seçilen bir turnikenin numarasının asal sayı olma olasılığı en az beş birdir (1/5).
Okuyucusu olan turnikeler kümesinde en az bir asal sayı (ardışık olan 2 ve 3 sayılarının ikisinin birden dışlanamaması nedeniyle) bulunmak zorundadır. Olasılığı en küçük yapmak için asal sayı adedini 1 seçip, asal olmayan 4 sayının tamamını kümeye ekleriz. Böylece 5 elemanlı kümede 1 asal sayı bulunarak en küçük olasılık elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Turnike numaralarını asal olanlar ve olmayanlar olarak sınıflandırın.
Asal sayılar: {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} (4 adet), Asal olmayan sayılar: {1,4,6,8}\{1, 4, 6, 8\} (4 adet).
Olasılık hesabında pay ve payda değerlerini oluşturacak elemanları doğru gruplamak gerekir.
2
Ardışık iki turnikede birden okuyucu olmaması durumunu analiz ederek en az kaç asal sayı seçilmesi gerektiğini belirleyin.
Asal sayılardan 22 ve 33 ardışık olduğundan, okuyucusu olmayan turnikeler kümesinde bu iki sayı aynı anda yer alamaz. Dolayısıyla okuyuculu turnikeler kümesinde en az bir adet asal sayı bulunmalıdır.
Ardışık iki turnikeden en az birinde kart okuyucu bulunması kuralına uymak zorunludur.
3
Asal sayının seçilme olasılığını en aza indirmek için uygun kümeyi oluşturun.
Payı en az yapmak için 11 asal sayı (33) ve paydayı en çok yapmak için asal olmayan tüm sayıları ({1,4,6,8}\{1, 4, 6, 8\}) seçerek S={1,3,4,6,8}S = \{1, 3, 4, 6, 8\} kümesini elde ederiz. Bu durumda okuyucusuz turnikeler {2,5,7}\{2, 5, 7\} olur ve ardışık değildir.
Olasılığı minimize etmek için payı (asal sayılar) en küçük, paydayı (tüm okuyuculu turnikeler) en büyük seçmeliyiz.
4
Olasılığı hesaplayın.
Toplam 55 turnikeden 11 tanesi asal olduğundan olasılık 15\frac{1}{5} olur.
İstenen olayın eleman sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölünmesiyle basit olayların olasılığı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Örnek Uzay Belirleme

Alternatif Yöntem

Kart okuyucusu bulunmayan turnikelerin oluşturduğu kümenin eleman sayısını en fazla tutmaya çalışırız. Ardışık olamayacakları için en fazla 4 eleman ({1, 3, 5, 7} veya {2, 4, 6, 8}) seçebiliriz. Ancak bu durumda geriye kalan okuyuculu turnikelerde asal sayı oranı daha yüksek çıkmaktadır. Asal sayıları olabildiğince dışarıda bırakmak için okuyucusuz kümesini {2, 5, 7} olarak seçersek geriye kalan okuyuculu küme {1, 3, 4, 6, 8} olur. Burada sadece 3 asaldır. Olasılık 1/5'tir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 59Soru →

Bir çarkın dairesel yüzeyi mavi, kırmızı, yeşil ve sarı renkli olmak üzere 4 eş bölgeye ayrılmıştır. Bu çark art arda 20 defa çevriliyor ve ibrenin durduğu bölgelerin renklerine göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

RenkMaviKırmızıYeşilSarı
Gelme Sayısı6473

Bu çark 21. kez çevrildiğinde ibrenin mavi bölgeyi gösterme olayının deneysel olasılığı ile teorik olasılığı arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120\frac{1}{20}

Cevap

Deneysel olasılık ile teorik olasılık arasındaki fark 120\frac{1}{20} olarak bulunur.
Çark 4 eş bölgeden oluştuğu için mavi gelmesinin teorik olasılığı 14\frac{1}{4}'tür. Yapılan 20 denemeden 6'sında mavi geldiği için mavi gelmesinin deneysel olasılığı 620\frac{6}{20}'dir. Bu iki değer arasındaki fark ise 620−520=120\frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teorik olasılığı hesaplayın.
Teorik olasılık = 14\frac{1}{4}
Çark 4 eş bölgeye ayrıldığından, her bir rengin gelme teorik olasılığı eşittir ve 14\frac{1}{4}'tür.
2
Deneysel olasılığı hesaplayın.
Deneysel olasılık = 620=310\frac{6}{20} = \frac{3}{10}
Çark 20 kez çevrilmiş ve 6 kez mavi renk gelmiştir. Deneysel olasılık, mavi gelme sayısının toplam çevrilme sayısına oranıdır.
3
Deneysel olasılık ile teorik olasılık arasındaki farkı bulun.
∣620−14∣=620−520=120\left| \frac{6}{20} - \frac{1}{4} \right| = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}
İki olasılık değeri arasındaki mutlak farkı bulmak için paydaları eşitleyerek çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Bir olayın deneysel olasılığı, yapılan deneylerde olayın gerçekleşme sayısının toplam deney sayısına oranıdır. Teorik olasılık ise matematiksel olarak beklenen olasılık değeridir.
Soru 60Soru →

Bir turizm acentesinde çalışan 10 rehberin her biri İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini konuşabilmektedir. Bu rehberlerden;

* 7'si İngilizce,
* 6'sı Almanca,
* 5'i Fransızca,
* 4'ü İngilizce ve Almanca,
* 3'ü Almanca ve Fransızca,
* 3'ü İngilizce ve Fransızca,
* 2'si ise her üç dili de

konuşabilmektedir.

Buna göre, bu rehberler arasından rastgele seçilen iki kişinin en az bir ortak yabancı dil konuşabiliyor olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 79\frac{7}{9}

Cevap

Seçilen iki kişinin en az bir ortak yabancı dil konuşabiliyor olma olasılığı 79\frac{7}{9}'dur.
Seçilen iki kişinin en az bir ortak dil konuşma olasılığı, tüm durumların sayısından (45) ortak dili olmayan çiftlerin sayısının (10) çıkarılmasıyla elde edilen 35 durumun tüm durumlara oranı olan 3545=79\frac{35}{45} = \frac{7}{9}'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Gruptaki toplam rehber sayısından seçilebilecek tüm 2 kişilik grupların (örnek uzayın) sayısını hesaplayalım.
(102)=10×92=45\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 farklı çift seçilebilir.
Olasılık hesabının paydası olan tüm olası durumların sayısını belirlemek için.
2
Rehberlerin dil dağılımını Venn şeması bölgelerine göre belirleyelim.
Rehberlerin dil dağılımı şu şekildedir: Yalnız İngilizce konuşan 2 kişi, Yalnız Almanca konuşan 1 kişi, Yalnız Fransızca konuşan 1 kişi, İngilizce ve Almanca konuşan (Fransızca hariç) 2 kişi, Almanca ve Fransızca konuşan (İngilizce hariç) 1 kişi, İngilizce ve Fransızca konuşan (Almanca hariç) 1 kişi, her üç dili de konuşan 2 kişi vardır.
Ortak dili olmayan kişileri daha kolay tespit edebilmek için her bir dil bölgesindeki kişi sayılarını netleştirmek gerekir.
3
Aralarında hiç ortak dil bulunmayan rehber çiftlerinin sayısını hesaplayalım.
Ortak dili olmayan çiftler: (Yalnız İngilizce, Yalnız Almanca) için 2×1=22 \times 1 = 2; (Yalnız İngilizce, Yalnız Fransızca) için 2×1=22 \times 1 = 2; (Yalnız İngilizce, Almanca ve Fransızca) için 2×1=22 \times 1 = 2; (Yalnız Almanca, Yalnız Fransızca) için 1×1=11 \times 1 = 1; (Yalnız Almanca, İngilizce ve Fransızca) için 1×1=11 \times 1 = 1; (Yalnız Fransızca, İngilizce ve Almanca) için 1×2=21 \times 2 = 2 çift olmak üzere toplam 2+2+2+1+1+2=102 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 = 10 çifttir.
İstenen durum olan 'en az bir ortak dil konuşabilme' durumunu, tüm durumlardan ortak dili olmayan durumları çıkararak (tümleyen yöntemiyle) daha kolay bulabiliriz.
4
En az bir ortak dil konuşan çiftlerin sayısını ve bu olayın olasılığını hesaplayalım.
Ortak dil konuşan çift sayısı: 45−10=3545 - 10 = 35 çift. Olasılık: 3545=79\frac{35}{45} = \frac{7}{9} olarak bulunur.
İstenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlayarak olasılık değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
ÖncekiSayfa 3 / 5Sonraki