Temel Kavramlar ve Sayılar

$a, b$ ve $c$ pozitif tam sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $a \cdot b$ çarpımı çift sayıdır.
* $a + b$ toplamı tek sayıdır.
* $b + c$ toplamı çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

a + c

b + c

a \cdot b + c

a \cdot c + b

a \cdot b \cdot c

Show answer & explanation

Answer: $a + c$

Answer

Verilen koşullar altında

a

ve

c

sayılarının toplamı olan ifade daima tek sayıdır.

Verilen bilgiler ışığında iki temel durum mevcuttur. İlk durumda

b

tek sayı ise, toplamın çift olması için

c

de tek olmalı,

a+b

toplamının tek olması için ise

a

çift olmalıdır. Bu durumda

a+c

(Çift + Tek) tek olur. İkinci durumda

b

çift sayı ise,

c

çift ve

a

tek olur. Bu durumda

a+c

(Tek + Çift) yine tek olur. Her iki senaryoda da

a

ve

c

zıt karakterde olduğundan toplamları daima tektir.

Step-by-Step Solution

1

a

ve

b

sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirle.

a+b

tek ise biri tek, diğeri çifttir.

İki tam sayının toplamı tek ise bu sayılar farklı karakterdedir (biri T, diğeri Ç).

2

b

ve

c

sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirle.

b

ve

c

aynı karakterdedir.

b+c

toplamı çift ise her iki sayı da ya tek ya da çifttir.

3

Olası durumları birleştirerek

a

ve

c

ilişkisini kur.

a

ve

c

her zaman zıt karakterdedir.

1. Durum:

b

tek ise

c

tek ve

a

çifttir. 2. Durum:

b

çift ise

c

çift ve

a

tektir.

4

a+c

ifadesini kontrol et.

Tek + Çift = Tek veya Çift + Tek = Tek.

Zıt karakterli iki sayının toplamı her zaman tek sayıdır.

Key Concept

Tek ve çift sayıların toplamı ve çarpımı kuralları (T+T=Ç, T+Ç=T, Ç+Ç=Ç; T×T=T, T×Ç=Ç).

Hints

1

a+b

tek ise

a

ve

b

sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğunu unutmayın.

2

b

ve

c

sayılarının aynı türde (ikisi de tek veya ikisi de çift) olduğunu belirleyin.

3

b

üzerinden bir varsayım yapın (örneğin

b

tek olsun) ve

a

ile

c

değerlerini buna göre test edin.

Practice More

Ardışık sayıların çarpımı ve toplamı ile ilgili tek-çift sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemi kullanılabilir:

b=1

(tek) için

c=1

(çift olması için toplamın),

a=2

(toplamın tek olması için). Bu durumda

a+c=3

olur.

b=2

(çift) için

c=2

,

a=1

olur. Bu durumda

a+c=3

olur.

Estimated Time:1m 15s

Question 202Question →

Ardışık $n$ tane pozitif tek tam sayının toplamı $S$ 'dir. Bu sayılardan en büyük üç tanesi çıkarıldığında toplam $117$ azalmaktadır. Bu sayı dizisinin en küçük terimi $15$ olduğuna göre, $n$ değeri kaçtır?

12

13

14

15

16

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Ardışık sayı dizisindeki terim sayısı 14 olarak hesaplanmıştır.

Verilen dizide en büyük üç terim sırasıyla

2n+13

,

2n+11

ve

2n+9

olarak belirlenir. Bu ifadelerin toplamı

6n+33

eder ve soruda verilen

117

değerine eşitlendiğinde

n=14

sonucu elde edilir. Bu değer dizideki toplam terim sayısını temsil eder.

Step-by-Step Solution

1

En büyük üç terimi

n

cinsinden ifade etme

T_n = 2n + 13

,

T_{n-1} = 2n + 11

,

T_{n-2} = 2n + 9

Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2'dir. En küçük terim

a_1 = 15

ise,

n

. terim

a_n = a_1 + (n-1) \cdot 2 = 15 + 2n - 2 = 2n + 13

olur. Bu durumda sondan önceki terimler ikişer azalarak devam eder.

2

Bu üç terimin toplamını 117'ye eşitleme

(2n + 13) + (2n + 11) + (2n + 9) = 117

Soruda en büyük üç sayı çıkarıldığında toplamın 117 azaldığı belirtilmiştir; bu durum, bu üç sayının toplamının 117 olduğu anlamına gelir.

3

Denklemi düzenleme ve

n

değerini bulma

6n + 33 = 117 \Rightarrow 6n = 84 \Rightarrow n = 14

Değişkenleri bir tarafta, sayıları diğer tarafta toplayarak basit bir birinci dereceden denklem çözülür.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde genel terim formülü ve sonlu toplamların mantığı

Hints

1

Ardışık tek sayılar arasındaki farkın her zaman 2 olduğunu unutmayın.

2

En küçük terim 15 ise,

n

. terim olan en büyük terimi

15 + (n-1) \cdot 2

formülüyle yazabilirsiniz.

3

En büyük üç terim

a_n

,

a_{n-1}

ve

a_{n-2}

'dir. Bunların toplamını 117'ye eşitleyen denklemi kurun.

Practice More

Benzer bir soruyu ardışık çift sayılar için veya toplamın en küçük terimler üzerinden verildiği durumlar için çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Ortanca terim mantığı kullanılabilir. En büyük üç sayının toplamı 117 ise, bu üç sayının ortancası

117 / 3 = 39

olur. Sayılar tek olduğu için bu üçlü (37, 39, 41) şeklindedir. En büyük terim 41 olduğuna göre;

15 + (n-1) \cdot 2 = 41 \Rightarrow 2n - 2 = 26 \Rightarrow n = 14

bulunur.

Estimated Time:1m 15s

Question 203Question →

Sıfırdan farklı $x$ ve $y$ gerçel sayıları için;

I. $x \cdot y$ çarpımının bir rasyonel sayı,
II. $x + y$ toplamının bir irrasyonel sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu sayılarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

x rasyonel, y irrasyonel sayıdır

x ve y irrasyonel sayılardır

x ve y rasyonel sayılardır

x² ve y² rasyonel sayılardır

x bir tam sayı ise y bir doğal sayıdır

Show answer & explanation

Answer: x ve y irrasyonel sayılardır

Answer

Her iki sayının da irrasyonel sayı olduğu kesindir.

Verilen iki koşulu aynı anda sağlayan tek durum, her iki sayının da irrasyonel olmasıdır. Rasyonel sayılar kümesi çarpma ve toplama işlemlerine göre kapalıdır; yani iki rasyonel sayının toplamı ve çarpımı yine rasyoneldir. Toplamın irrasyonel olması için sayılardan en az biri irrasyonel olmalıdır. Eğer biri rasyonel (sıfır hariç) diğeri irrasyonel olsaydı, çarpımları irrasyonel olurdu. Çarpımın rasyonel kalabilmesi için (biri diğerinin eşleniği gibi durumlarda) her ikisinin de irrasyonel olması gerekir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci durumu analiz et (Rasyonel olma durumu)

Eğer x rasyonel bir sayı olsaydı (x ∈ Q ve x ≠ 0), çarpımları rasyonel olduğu için y = (x·y)/x işlemi gereği y de rasyonel olmak zorunda kalırdı.

Sıfırdan farklı iki rasyonel sayının bölümü rasyoneldir.

2

Çelişkiyi tespit et

Eğer hem x hem de y rasyonel olsaydı, toplamları (x+y) kesinlikle rasyonel olurdu. Ancak soruda toplamın irrasyonel olduğu verilmiştir.

Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

3

Sonuca var

Varsayımımız yanlış olduğu için x rasyonel olamaz. x irrasyoneldir. Aynı mantık y için de geçerlidir. Dolayısıyla her ikisi de irrasyoneldir.

Olmayana ergi (redüksiyon) yöntemi ile ispat.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

Hints

1

Rasyonel sayılar kendi aralarında toplandığında sonuç ne tür bir sayı olur?

2

Eğer sayılardan biri rasyonel (örneğin 3) diğeri irrasyonel (örneğin √2) olsaydı, çarpımları (3√2) rasyonel olabilir miydi?

Practice More

Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamının daima irrasyonel olduğunu gösteren bir ispat sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: x = √2 ve y = √2 durumunu dene (Toplam: 2√2 İrrasyonel, Çarpım: 2 Rasyonel). x = 2 ve y = 3 durumunu dene (Toplam: 5 Rasyonel - uymaz).

Estimated Time:1m 30s

Question 204Question →

Rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı, rakamları toplamının $26$ katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük $ABC$ sayısının rakamları çarpımı kaçtır?

24

96

144

192

216

Show answer & explanation

Answer: 192

Answer

Koşulu sağlayan en büyük sayı 468 olup, rakamları çarpımı 192'dir.

Verilen

ABC = 26(A+B+C)

eşitliği çözümlendiğinde

74A = 16B + 25C

elde edilir. Bu eşitliği sağlayan (ve rakamları sıfırdan farklı olan) sayılar 234 ve 468'dir. En büyük sayı olan 468'in rakamları çarpımı

4 \times 6 \times 8 = 192

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dök

ABC = 26 \cdot (A + B + C)

Soruda sayının, rakamları toplamının 26 katı olduğu belirtilmiştir.

2

ABC sayısını basamaklarına ayırarak denklemi düzenle

100A + 10B + C = 26A + 26B + 26C

ifadesinden

74A = 16B + 25C

elde edilir.

Çözümleme yaparak aynı türden terimleri bir araya getirmek çözümü kolaylaştırır.

3

Elde edilen

74A = 16B + 25C

denkleminde A için olası değerleri sınırla

B ve C en fazla 9 olabileceğinden

74A \le 16(9) + 25(9) = 369

olur. Bu durumda

A \le 4

olmalıdır.

Katsayısı büyük olan A değişkeninin alabileceği değerleri belirlemek deneme sayısını azaltır.

4

A değerlerini deneyerek B ve C rakamlarını bul

A=2

için

148 = 16B + 25C

ise

B=3, C=4

(Sayı: 234).

A=4

için

296 = 16B + 25C

ise

B=6, C=8

(Sayı: 468).

Diyofant denklem mantığıyla katsayılara uygun (özellikle 25'in katları ve 16'nın katları ilişkisi) rakamlar aranır.

5

Bulunan sayılardan en büyük olanı seç ve rakamlarını çarp

En büyük sayı 468'dir. Rakamları çarpımı:

4 \cdot 6 \cdot 8 = 192

.

Soru 'en büyük' sayının rakamları çarpımını istemektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1

ABC

sayısını

100A + 10B + C

şeklinde açarak eşitliği düzenleyin.

2

Düzenleme sonucunda

74A = 16B + 25C

eşitliğini elde etmelisiniz. A'nın alabileceği maksimum değeri düşünün.

3

A=4 için eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin.

16B + 25C = 296

olması için C kaç olmalıdır?

Practice More

Benzer mantıkla

ABC = k \cdot (A+B+C)

tipindeki diğer soruları (örneğin k=21 durumu) inceleyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 205Question →

$x, y$ ve $z$ asal sayıları için aşağıda verilen eşitlik sağlanmaktadır:

x \cdot y + x \cdot z = 4x^2 + 3

Buna göre $x \cdot y \cdot z$ çarpımının değeri kaçtır?

39

66

78

90

114

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Doğru cevap 66'dır.

Verilen eşitlikte

x

'in 3'ü tam bölmesi gerektiği ve

x

'in asal olduğu görülür, bu da

x=3

sonucunu verir. Yerine konulduğunda

y+z=13

bulunur. Toplamı 13 olan tek asal sayı çifti 2 ve 11'dir. Bu sayıların çarpımı 66 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi

x

parantezine alarak düzenle.

x(y + z) = 4x^2 + 3

Ortak çarpan parantezine almak denklemin analizini kolaylaştırır.

2

Eşitliğin her iki tarafını

x

'e bölerek

y+z

'yi yalnız bırak.

y + z = 4x + \frac{3}{x}

y

ve

z

birer tam sayı (asal sayı) olduğu için, eşitliğin sağ tarafı da tam sayı olmalıdır.

3

x

'in alabileceği değeri belirle.

x = 3

\frac{3}{x}

ifadesinin tam sayı olması için

x

, 3'ün böleni olmalıdır.

x

asal sayı olduğu için sadece 3 olabilir.

4

Bulunan

x

değerini yerine yazarak

y+z

toplamını hesapla.

y + z = 4(3) + \frac{3}{3} = 12 + 1 = 13

Diğer asal sayıların toplamını bulmak için.

5

Toplamı 13 olan asal sayı çiftini belirle.

y = 2

ve

z = 11

(veya tam tersi)

13 sayısının asal sayı toplananları sadece 2 ve 11'dir (Diğer tam sayı ikilileri, örneğin 1+12, 3+10, 4+9, 5+8, 6+7 içinde en az biri asal değildir).

6

Sonucu bulmak için

x \cdot y \cdot z

çarpımını hesapla.

3 \cdot 2 \cdot 11 = 66

Soruda istenen nihai değer.

Key Concept

Asal sayılar kümesinde denklem çözümü ve bölünebilme analizi.

Hints

1

Eşitliğin sol tarafını

x

parantezine alarak ifadeyi sadeleştirmeyi deneyin.

2

x(y+z) = 4x^2 + 3

ifadesinde her iki tarafı

x

'e böldüğünüzde, sağ taraftaki

\frac{3}{x}

teriminin tam sayı olması gerektiğini hatırlayın.

3

x

bir asal sayı olduğu için 3'ü bölen tek değer 3'tür.

x=3

yazarak

y+z

toplamını bulun.

Practice More

Benzer mantıkla

p(q+r) = 5p^2 + 7

eşitliğini sağlayan asalları bulunuz.

Estimated Time:2m 30s

Question 206Question →

n

pozitif bir tam sayı olmak üzere,

\frac{n!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)!}{n!} = 145

eşitliği veriliyor. Buna göre, bu eşitliği sağlayan

n

değeri kaçtır?

10

11

12

13

14

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 12'dir.

Verilen eşitlikte her iki terim ayrı ayrı sadeleştirilir. İlk terim

\frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)

olur. İkinci terim

\frac{(n+1)!}{n!} = n+1

olur. Bu iki ifade toplandığında

n^2 - n + n + 1 = 145

denklemi elde edilir. Buradan

n^2 = 144

bulunur ve

n

pozitif olduğu için cevap 12'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen denklemdeki faktöriyel ifadelerini sadeleşecek şekilde aç.

\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)n!}{n!} = 145

Faktöriyel tanımı gereği

n! = n(n-1)(n-2)!

ve

(n+1)! = (n+1)n!

şeklinde yazılabilir.

2

Kesirleri sadeleştir.

n(n-1) + (n+1) = 145

Pay ve paydadaki ortak faktöriyel çarpanları birbirini götürür.

3

İfadeyi düzenle ve denklemi çöz.

n^2 - n + n + 1 = 145 \Rightarrow n^2 + 1 = 145

Parantez dağıtılıp toplama işlemi yapıldığında

-n

ve

+n

birbirini sıfırlar.

4

n

değerini bul.

n^2 = 144 \Rightarrow n = 12

n

pozitif bir tam sayı olduğu için

144

'ün pozitif karekökü alınır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayı küçüğüne benzetilerek açılır ve sadeleştirme yapılır. Ardından elde edilen cebirsel denklem çözülür.

Hints

1

Faktöriyel ifadelerini kesirden kurtarmak için büyük olan faktöriyeli paydadaki küçük olana kadar açın. Örneğin:

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!

2

Birinci kesir

n(n-1)

, ikinci kesir ise

n+1

şeklinde sadeleşir. Bu ifadeleri toplayarak denklemi kurun.

3

n(n-1) + (n+1) = 145

denklemini düzenlediğinizde

n^2 + 1 = 145

elde edeceksiniz. Hangi sayının karesinin 1 fazlası 145 eder?

Practice More

Benzer mantıkla

\frac{(n+2)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = K

tipindeki soruları çözerek sadeleştirme becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Şıklardan giderek çözüm: Sırayla şıklardaki değerleri n yerine koyun. C şıkkı (12) için:

\frac{12!}{10!} + \frac{13!}{12!} = (12 \cdot 11) + 13 = 132 + 13 = 145

. Eşitlik sağlandığı için doğru cevap 12'dir.

Estimated Time:2m 30s

Question 207Question →

$A$ bir tam sayı olmak üzere, $40 < A < 70$ eşitsizliği verilmiştir.

$A$ sayısı ile $30$ sayısının aralarında asal olduğu bilindiğine göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı $A$ değeri vardır?

7

8

9

10

15

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Bu koşulu sağlayan 8 farklı değer vardır.

Soruda istenen

A

değerlerinin

30

ile aralarında asal olması gerekmektedir.

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

olduğundan, aradığımız

A

sayısı bu çarpanların hiçbirine bölünmemelidir.

40

ile

70

arasındaki sayılar incelendiğinde; çift sayılar, 3'ün katları ve 5'in katları elendiğinde geriye

41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67

sayıları kalır. Bu küme toplam 8 elemanlıdır. Dikkat edilmesi gereken nokta,

49

sayısı asal olmamasına rağmen (

7 \cdot 7

),

30

ile ortak böleni olmadığı için şartı sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Aralarında asallık şartını incelemek için 30 sayısını asal çarpanlarına ayır.

30 = 2 \times 3 \times 5

İki sayının aralarında asal olması için ortak asal çarpanlarının olmaması gerekir. Bu nedenle A sayısı 2, 3 veya 5'e bölünmemelidir.

2

Verilen

40 < A < 70

aralığındaki tüm sayıları düşünerek eleme yöntemini uygula. Öncelikle 2'ye bölünenleri (çift sayıları) ele.

Geriye kalan tek sayılar: 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69.

A sayısı 30 ile aralarında asal olacağı için 2 çarpanını içermemelidir.

3

Kalan tek sayılar arasından 3'e bölünenleri ele.

Elenenler: 45, 51 (

5+1=6

), 57 (

5+7=12

), 63 (

6+3=9

), 69 (

6+9=15

).

A sayısı 3 çarpanını da içermemelidir. Rakamları toplamı 3'ün katı olanlar elenir.

4

Kalan sayılar arasından 5'e bölünenleri ele.

Elenenler: 55, 65 (Sonu 0 veya 5 olanlar).

A sayısı 5 çarpanını da içermemelidir.

5

Tüm elemelerden sonra geriye kalan sayıları listele ve say.

Kalan sayılar: 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67. Toplam 8 sayı.

Bu sayılar 30 ile ortak bir asal çarpana sahip değildir.

Key Concept

İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif tam sayı bölenleri olmamalıdır.

Hints

1

30 sayısının asal çarpanlarını bularak işe başlayın.

2

30 = 2 · 3 · 5 olduğundan, A sayısı 2, 3 ve 5'e bölünmemelidir.

3

40 ile 70 arasındaki tek sayıları yazın ve içlerinden 3'ün veya 5'in katı olanları eleyin.

Practice More

Aralığın genişlediği (örneğin 1'den 120'ye kadar) ve Euler

\phi

fonksiyonunun kullanılabileceği sorular çözülebilir.

Alternative Method

Toplam sayı adedinden, istenmeyen özellikleri sağlayan kümelerin birleşimini çıkarma (Kümeler Prensibi) yöntemi de kullanılabilir, ancak bu aralık için doğrudan saymak (eleme yöntemi) daha hızlıdır.

Estimated Time:2m 30s

Question 208Question →

Sayı kümelerini öğrenen bir öğrenci, elindeki listede bulunan sayılardan hangisinin rasyonel sayılar kümesinin ( $\mathbb{Q}$ ) bir elemanı olduğu halde tam sayılar kümesinin ( $\mathbb{Z}$ ) bir elemanı olmadığını fark etmiştir.

Buna göre, öğrencinin fark ettiği bu sayı aşağıdakilerden hangisidir?

-3

0

\frac{2}{5}

\sqrt{25}

8

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{5}$

Answer

İki tam sayının oranı şeklinde ifade edilen ancak tam sayı değeri taşımayan

\frac{2}{5}

sayısı rasyonel bir sayıdır fakat tam sayı değildir.

\frac{2}{5}

sayısı, rasyonel sayı tanımına uygun olarak iki tam sayının oranı şeklinde yazılmıştır. Ancak bu bölme işleminin sonucu bir tam sayı vermediği için tam sayılar kümesine dahil değildir. Diğer tüm seçeneklerdeki sayılar rasyonel olmalarının yanı sıra aynı zamanda birer tam sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Tam sayılar kümesini (

\mathbb{Z}

) tanımlama

\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}

Bir sayının tam sayı olup olmadığını anlamak için kümenin sınırlarını bilmek gerekir.

2

Rasyonel sayılar kümesini (

\mathbb{Q}

) tanımlama

a

ve

b

tam sayı,

b \neq 0

olmak üzere

\frac{a}{b}

biçiminde yazılabilen sayılardır.

Her tam sayı paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır (

\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

).

3

Seçeneklerdeki sayıların kümelerini inceleme

-3

,

0

,

8

ve

\sqrt{25}=5

sayıları tam sayılardır.

\frac{2}{5}

ise rasyoneldir ancak tam sayı değildir.

Tam sayı olmayan bir rasyonel sayı, paydası 1'e sadeleştirilemeyen bir kesirdir.

Key Concept

Sayı Kümeleri Arasındaki Kapsama İlişkisi

Hints

1

Her tam sayının paydası 1 olan bir rasyonel sayı olduğunu hatırlayın.

2

Karekök içindeki sayıları dışarı çıkarıp çıkaramayacağınıza bakın; örneğin

\sqrt{25}

kaça eşittir?

3

Bir sayının tam sayı olmaması için ondalıklı bir kısmının bulunması veya kesir olarak sadeleştiğinde paydasının 1 olmaması gerekir.

Practice More

İrrasyonel sayılar ile rasyonel sayılar arasındaki farkı anlamak için

\pi

ve

\sqrt{2}

gibi örnekleri inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 209Question →

a, b

ve

c

tam sayıları için

a \cdot b + 3a = 4c^2 + 6

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

a + b

b + c

a \cdot c

a \cdot (b - 1)

b \cdot (a + 1)

Show answer & explanation

Answer: $a \cdot (b - 1)$

Answer

Verilen eşitlikten a'nın çift veya b'nin tek olması gerektiği sonucuna varılır; bu koşullar altında daima çift olan ifade

a \cdot (b - 1)

seçeneğidir.

Eşitliğin sağ tarafı (

4c^2 + 6

) kesinlikle çifttir. Dolayısıyla sol taraf

a(b+3)

de çift olmalıdır. Bu çarpımın çift olması için ya

a

çift olmalı ya da

(b+3)

çift (yani

b

tek) olmalıdır. Tek imkansız durum,

a

'nın tek ve

b

'nin çift olduğu durumdur (Tek

\times

Tek = Tek olacağından). Doğru seçenekteki

a \cdot (b - 1)

ifadesini incelersek: Eğer

a

çift ise, çarpım zaten çifttir. Eğer

a

tek ise, yukarıdaki kural gereği

b

mutlaka tek olmalıdır; bu durumda

(b-1)

çift olur ve çarpım yine çift çıkar. Her iki durumda da sonuç çifttir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitliği ortak çarpan parantezine alarak ve sağ tarafın paritesini (tek/çift durumunu) inceleyerek analiz et.

a(b + 3) = 2(2c^2 + 3)

Sol tarafı a parantezine almak çarpan analizi yapmayı sağlar; sağ tarafın 2 çarpanı içerdiği için kesinlikle çift olduğu görülür.

2

Çarpımın sonucunun çift olması kuralını uygula.

a(b + 3)

ifadesi çifttir.

Bir çarpım işleminin sonucu çift ise, çarpanlardan en az biri çift olmalıdır.

3

Olası durumları (senaryoları) listele.

Durum 1: a çifttir (b her şey olabilir). Durum 2: b+3 çifttir

\Rightarrow

b tektir (a her şey olabilir).

Tek ve çift sayı kurallarına göre analiz yapılır. Tek yasaklı durum: a'nın tek VE b'nin çift olduğu durumdur (Çünkü Tek

\times

Tek = Tek olurdu).

4

Seçenekleri geçerli durumlara göre test et.

a \cdot (b - 1)

ifadesi incelendiğinde; eğer a çiftse sonuç çifttir. Eğer a tekse, zorunlu olarak b tektir; b tek ise (b-1) çifttir ve sonuç yine çift olur.

Her iki geçerli senaryoda da sonucun çift olduğunu doğrulayan tek seçenek budur.

Key Concept

Bir çarpımın sonucu çift ise çarpanlardan en az biri çifttir prensibi ve durum analizi.

Hints

1

Eşitliğin sağ tarafındaki

4c^2 + 6

ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.

2

Sol tarafı

a

parantezine alın:

a(b+3)

. Bu çarpımın sonucu çift olmalıdır. Hangi (a, b) çifti bu sonucu sağlamaz?

3

Çarpımın çift olması için çarpanlardan en az biri çift olmalıdır.

a

tek ve

b

çift olursa

a(b+3)

tek olur, bu durum imkansızdır. Şıkları denerken 'a tek ise b mutlaka tektir' kuralını kullanın.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan (a,b) örnekleri seçin. Örn: a=2 (Çift) ise b=1 olabilir. a=1 (Tek) ise b=1 olmak zorundadır. Bu örnekleri şıklarda yerine koyarak elemeler yapabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 210Question →

x

ve

y

aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,

x \cdot y = 60

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x + y$ ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

59

120

136

152

168

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

İstenen değerlerin toplamı 120'dir.

Doğru cevap, çarpımları 60 olan tüm çiftlerin incelenip sadece 1'den başka ortak böleni olmayanların seçilmesiyle bulunur. Geçerli çiftler (1,60), (3,20), (4,15) ve (5,12)'dir. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 61, 23, 19 ve 17 olup, bu değerlerin toplamı 120 eder.

Step-by-Step Solution

1

Çarpımları 60 olan pozitif tam sayı ikililerini

(x, y)

belirle.

(1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10)

Tüm olası çarpan çiftlerini bulmak çözümün ilk adımıdır.

2

Bu ikililerden hangilerinin 'aralarında asal' olduğunu tespit et.

Aralarında asal olanlar: (1, 60), (3, 20), (4, 15), (5, 12)

Aralarında asal sayılar 1 dışında ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır. (2, 30) ve (6, 10) çiftlerinin ortak böleni 2 olduğu için elenir.

3

Seçilen ikililer için

x + y

toplamlarını hesapla ve hepsini topla.

(1+60) + (3+20) + (4+15) + (5+12) = 61 + 23 + 19 + 17 = 120

Soruda istenen sonuç, uygun çiftlerin toplamlarının genel toplamıdır.

Key Concept

Aralarında Asal Sayılar

Hints

1

60 sayısının tüm pozitif tam sayı çarpanlarını ikililer halinde (x, y) şeklinde yazarak başlayın.

2

Yazdığınız ikililerden her birinin ortak bölenlerini kontrol edin. Sadece ortak böleni 1 olanları (aralarında asal olanları) seçin.

3

1 sayısının her pozitif tam sayı ile aralarında asal olduğunu unutmayın. (1, 60) çiftini çözüm kümesine dahil etmelisiniz.

Alternative Method

60 sayısını asal çarpanlarına ayırın:

2^2 \cdot 3 \cdot 5

. Aralarında asal iki sayının çarpımı bu ise, asal çarpanlar (gruplar halinde) parçalanamaz. Yani

2^2=4

,

3

ve

5

blokları bir bütündür. Bu blokların x ve y'ye dağılım kombinasyonlarını inceleyerek de sonuca ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 211Question →

x, y

ve

z

birbirinden farklı asal sayılardır.

x \cdot (y - z) = 15

olduğuna göre,

x + y + z

toplamı kaçtır?

10

11

12

14

15

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Değişkenlerin toplamı 12'dir.

Verilen denklemde

x

asal sayısı 15'in bir çarpanı olmalıdır.

x=5

seçilirse

y-z=3

olur ve bu durum

y=5, z=2

sonucunu verir. Ancak sayılar birbirinden farklı olması gerektiğinden

x

ve

y

aynı olamaz.

x=3

seçildiğinde

y-z=5

olur; buradan

y=7

ve

z=2

elde edilir. Bu üç sayı da asaldır ve birbirinden farklıdır. Toplamları ise 12 yapar.

Step-by-Step Solution

1

15 sayısının çarpanlarını analiz edin.

15'in çarpanları: 1, 3, 5 ve 15'tir.

x

bir asal sayı olduğu için bu çarpanlar arasından sadece 3 veya 5 değerini alabilir.

2

x = 5

olasılığını değerlendirin.

y - z = 3

olur. Farkları tek sayı olan iki asal sayıdan biri mutlaka 2 olmalıdır.

z = 2

ise

y = 5

olur.

Ancak soruda

x, y

ve

z

sayılarının birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir.

x=5

ve

y=5

olduğundan bu durum çözüm olamaz.

3

x = 3

olasılığını değerlendirin.

y - z = 5

olur. Farkları tek sayı olduğu için

z = 2

olmalıdır. Buradan

y = 7

bulunur.

x=3, y=7

ve

z=2

sayıları hem asaldır hem de birbirinden farklıdır. Bu durum tüm şartları sağlar.

4

Değerlerin toplamını hesaplayın.

3 + 7 + 2 = 12

.

Bulunan

x, y

ve

z

değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Asal sayıların özellikleri, farkları tek olan asal sayıların durumu (çift olan tek asal sayı 2'dir) ve denklem çözme.

Hints

1

x

sayısı 15'in asal bir çarpanı olmalıdır (

3

veya

5

).

2

y - z

farkı tek sayı ise, bu sayılardan biri mutlaka en küçük çift asal sayı olan 2 olmalıdır.

3

x, y, z

sayılarının 'birbirinden farklı' olmasına dikkat edin;

x=5

durumunda bir çelişki oluşup oluşmadığını kontrol edin.

Practice More

İki asal sayının farkı tek ise, bu sayılardan birinin neden her zaman 2 olması gerektiğini düşünerek benzer soruları çözebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 212Question →

a, b

ve

c

pozitif tam sayıları için,

\frac{a \cdot b + c}{c - 1} = c + 2

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

a \cdot b + c

a + b + c

a \cdot c

b + c

a^2 + b^2

Show answer & explanation

Answer: $a \cdot b + c$

Answer

a \cdot b + c

ifadesi daima çift sayıdır.

Verilen eşitlik düzenlendiğinde

a \cdot b + c = c(c+1) - 2

elde edilir.

c(c+1)

ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımı olduğu için

c

ne olursa olsun (tek veya çift) bu çarpım daima çifttir. Çift bir sayıdan 2 çıkarıldığında sonuç yine çift olur. Bu nedenle

a \cdot b + c

ifadesi kesinlikle çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitliği düzenleyerek içler dışlar çarpımı yapın.

a \cdot b + c = (c - 1) \cdot (c + 2)

Kesirli ifadeden kurtulup doğrusal bir denklem elde etmek için.

2

Eşitliğin sağ tarafındaki çarpımı dağıtın ve düzenleyin.

a \cdot b + c = c^2 + 2c - c - 2 = c^2 + c - 2

İfadenin paritesini (tek/çift durumunu) analiz edebilmek için.

3

Elde edilen

c^2 + c - 2

ifadesini

c(c+1) - 2

şeklinde gruplandırın ve pariteyi inceleyin.

c(c+1)

ardışık iki tam sayının çarpımı olduğundan daima çifttir. Çift sayıdan 2 (çift) çıkarılırsa sonuç yine ÇİFT olur.

Ardışık sayıların çarpımı (

n(n+1)

) matematikte her zaman çift sayıdır kuralını uygulamak için.

Key Concept

Ardışık Tam Sayıların Çarpımı

Question 213Question →

Üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* Sayının birler ve yüzler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayının değeri $396$ azalmaktadır.
* Sayının onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan $1$ küçüktür.

Buna göre, bu koşulları sağlayan en büyük $ABC$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

18

19

21

22

23

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Rakamları toplamı 22'dir.

Basamak çözümlemesi yapıldığında

99(A-C) = 396

eşitliğinden

A-C=4

bulunur. Sayının en büyük olması için yüzler basamağı

A=9

seçilir, buradan

C=5

gelir.

B=A-1

koşulundan

B=8

bulunur. Sayımız 958'dir ve rakamları toplamı

9+8+5=22

olur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen yer değiştirme bilgisini matematiksel denkleme dökün.

ABC - CBA = 396

Sayının değeri azaldığına göre, ilk sayı (

ABC

) ikinci sayıdan (

CBA

) büyüktür.

2

Basamak çözümlemesi yaparak ifadeyi sadeleştirin.

(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 396 \Rightarrow 99(A - C) = 396 \Rightarrow A - C = 4

100A'dan A çıktı 99A, 10B'ler sadeleşti, C'den 100C çıktı -99C kaldı.

3

En büyük

ABC

sayısını elde etmek için

A

rakamını maksimize edin.

A

en fazla

9

olabilir. Bu durumda

C = A - 4 = 5

olur.

Bir sayının değerinin en büyük olması için en büyük basamağının (yüzler) en büyük seçilmesi gerekir.

4

Verilen ikinci koşulu kullanarak

B

rakamını bulun.

B = A - 1 \Rightarrow B = 9 - 1 = 8

.

Soruda onlar basamağının yüzler basamağından 1 küçük olduğu belirtilmiştir.

5

Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.

Sayı

958

'dir. Rakamlar toplamı:

9 + 8 + 5 = 22

.

Sonuç hesabı.

Key Concept

Doğal sayıların 10'un kuvvetleri şeklinde yazılması (çözümlenmesi) ve basamaklar arası ilişkilerin cebirsel ifadesi.

Hints

1

Sayı

100A + 10B + C

şeklinde çözümlenebilir. Rakamlar yer değiştiğinde sayı

100C + 10B + A

olur.

2

İlk sayı ile ikinci sayı arasındaki farkı 396'ya eşitleyin:

(100A + C) - (100C + A) = 396

. Bu işlem size A ve C arasındaki farkı verecektir.

3

99(A-C)=396

bulduktan sonra

A-C=4

olur. Sayının en büyük olması için A'ya verebileceğiniz en büyük rakamı düşünün.

Practice More

Benzer koşullarla 'en küçük' sayının sorulduğu veya farkın negatif olduğu durumları inceleyin.

Alternative Method

Deneme yanılma yöntemi: A ve C arasındaki farkın belirleyici olduğunu fark edip, A'ya 9 vererek başlanabilir. A=9 için C=5 olur. Farkları (900-500) civarında mı? Evet. Tam hesapla kontrol edilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 214Question →

$x, y$ ve $z$ birbirinden farklı asal sayılardır.

x \cdot (y+z) = 3x^2 + 12

eşitliği sağlanmaktadır.

x < z < y

sıralaması olduğuna göre,

x + y + z

toplamı kaçtır?

12

14

16

19

21

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

14

Verilen denklem düzenlendiğinde

x

'in 12'nin asal böleni olması gerektiği görülür (

x=2

veya

x=3

). Her iki durum için

y

ve

z

asal sayı çiftleri bulunur. Ancak sorudaki

x < z < y

sıralama şartını sadece

x=2, z=5, y=7

değerleri sağlar. Bu değerlerin toplamı 14'tür.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliği düzenle ve

y+z

ifadesini yalnız bırak.

x(y+z) = 3x^2 + 12

ifadesini her iki tarafı

x

'e bölerek düzenlersek:

y+z = 3x + \frac{12}{x}

elde edilir.

Tam sayı ve asal sayı analizi yapabilmek için bilinmeyenleri ayrıştırmak gerekir.

2

x

'in alabileceği değerleri belirle.

y+z

ve

3x

birer tam sayı olduğundan,

\frac{12}{x}

ifadesi de tam sayı olmalıdır.

x

bir asal sayı olduğu için 12'yi bölen asallar

x=2

veya

x=3

olabilir.

Asal sayı tanımı ve bölünebilme kuralı gereği.

3

x=3

durumunu incele.

x=3

için

y+z = 3(3) + \frac{12}{3} = 9+4=13

. Toplamı 13 olan asal sayılar 2 ve 11'dir. Sayılar

\{3, 2, 11\}

olur. Ancak

x < z < y

şartına göre

3 < 2 < 11

veya

3 < 11 < 2

ifadeleri yanlıştır. Bu durum çözüm sağlamaz.

Verilen eşitsizlik kısıtlamasının kontrolü.

4

x=2

durumunu incele ve sonucu hesapla.

x=2

için

y+z = 3(2) + \frac{12}{2} = 6+6=12

. Toplamı 12 olan asal sayılar 5 ve 7'dir. Sayılar

\{2, 5, 7\}

olur.

x < z < y

şartı için

2 < 5 < 7

sıralaması DOĞRUDUR. O halde

x=2, z=5, y=7

. Toplam:

2+5+7=14

.

Tek geçerli çözüm kümesinin bulunması.

Key Concept

Asal çarpanlar ve tam sayı bölenleri analizi ile denklem çözme

Hints

1

Eşitliğin sol tarafındaki çarpım durumundaki x'i, eşitliğin sağ tarafına bölme olarak atarak y+z ifadesini yalnız bırakmayı deneyin.

2

y+z = 3x + 12/x

denkleminde sonucun tam sayı olması için

x

'in 12'yi bölen bir asal sayı olması gerekir.

3

x

sadece 2 veya 3 olabilir. Her iki durum için

y

ve

z

asallarını bulun ve

x < z < y

sıralamasını hangisinin sağladığını kontrol edin.

Practice More

Benzer mantıkla

p

bir asal sayı olmak üzere

m^2 - n^2 = p

denkleminin çözümünü içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Deneme yanılma yöntemiyle en küçük asallardan (2, 3, 5) başlayarak x yerine değer verip y+z toplamının asal sayı toplamlarına uygunluğunu kontrol etmek.

Estimated Time:2m 30s

Question 215Question →

$1$ 'den $n$ 'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$ formülü ile hesaplanmaktadır.

Ardışık üç pozitif tam sayının toplamı, $1$ 'den $11$ 'e kadar olan ( $11$ dahil) ardışık tam sayıların toplamına eşit olduğuna göre, bu üç sayıdan en büyüğü kaçtır?

21

22

23

25

45

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

Ardışık üç sayıdan en büyüğü 23'tür.

Verilen formül kullanılarak 1'den 11'e kadar olan sayıların toplamı 66 olarak bulunur. Ardışık üç tam sayının toplamı 66 ise, ortanca sayı 66/3 = 22 olur. Sayılar ardışık olduğu için 21, 22 ve 23 şeklindedir. Bu gruptaki en büyük sayı 23'tür.

Step-by-Step Solution

1

1'den 11'e kadar olan sayıların toplamını bulalım.

\frac{11 \cdot 12}{2} = 11 \cdot 6 = 66

Soruda verilen karşılaştırma değerini (hedef toplamı) belirlemek için.

2

Ardışık üç sayıyı

x, x+1, x+2

olarak tanımlayıp toplamlarını kuralım.

x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3

Ardışık tam sayılar arasındaki fark 1 olduğu için matematiksel model oluşturulur.

3

Bu toplamı hedef sayı olan 66'ya eşitleyip denklemi çözelim.

3x + 3 = 66 \Rightarrow 3x = 63 \Rightarrow x = 21

En küçük sayıyı (x) bulmak için denklem çözülür.

4

En büyük sayıyı (x+2) hesaplayalım.

21 + 2 = 23

Soruda bizden istenen en büyük değer olduğu için.

Key Concept

Ardışık tam sayıların tanımı ve Gauss toplam formülü

Hints

1

Önce 1'den 11'e kadar olan sayıların toplamını bulmak için verilen formülü kullanın.

2

Toplamın 66 olduğunu bulduktan sonra, ardışık üç sayının ortancasını bulmak için bu toplamı 3'e bölebilirsiniz.

3

Ortanca sayı 22 ise, bir büyüğü en büyük sayıyı, bir küçüğü ise en küçük sayıyı verecektir.

Practice More

Ardışık çift sayıların toplam formülünü inceleyerek benzer bir soruyu çift sayılar için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Ardışık tek sayıda (3, 5, 7...) tam sayının toplamı biliniyorsa, bu toplam sayı adedine bölünerek her zaman 'ortanca sayı' bulunur. Burada 66 / 3 = 22 ortanca sayıdır. En büyük sayı bu değerin 1 fazlası olan 23'tür.

Estimated Time:45s

Question 216Question →

$ab$ iki basamaklı bir doğal sayıdır. $ab$ sayısı, rakamları toplamının $8$ katına eşit olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

3

7

8

9

11

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Rakamları toplamı 9 olan seçenek doğrudur.

İki basamaklı

ab

sayısı

10a + b

şeklinde yazılır. Eşitlik

10a + b = 8(a + b)

olarak kurulduğunda

2a = 7b

bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıyı sağlayan tek rakam çifti

a=7

ve

b=2

olduğundan toplam 9 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

ab

sayısını basamak değerlerine göre çözümleyelim.

ab = 10a + b

İki basamaklı bir sayıda onlar basamağındaki rakam 10, birler basamağındaki rakam 1 ile çarpılır.

2

Soruda verilen eşitliği kuralım ve düzenleyelim.

10a + b = 8(a + b) \Rightarrow 10a + b = 8a + 8b

Sayının rakamları toplamının 8 katına eşit olduğu belirtilmiştir.

3

Benzer terimleri eşitliğin aynı tarafına toplayarak sadeleştirelim.

10a - 8a = 8b - b \Rightarrow 2a = 7b

Bilinmeyenleri bir araya getirerek rakamlar arasındaki oranı bulmamız gerekir.

4

a

ve

b

birer rakam ve

a \neq 0

olduğu için uygun değerleri bulalım.

a = 7

ve

b = 2

2a = 7b

eşitliğini sağlayan ve rakam olma koşuluna uyan tek değer çifti budur (

a=14

olamaz çünkü bir rakam değildir).

5

a + b

toplamını hesaplayalım.

7 + 2 = 9

Soruda rakamların toplamı istenmiştir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Çözümleme

Hints

1

İki basamaklı

ab

sayısını

10a + b

şeklinde açarak başlayın.

2

10a + b = 8(a + b)

denkleminde sağ taraftaki 8 sayısını parantez içine dağıtın.

3

2a = 7b

eşitliğini bulduğunuzda,

a

ve

b

değerlerinin rakam olması gerektiğini unutmayın;

a

sadece 7 olabilir.

Practice More

Üç basamaklı

abc

sayılarının çözümlenmesi ile ilgili bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: Rakamları toplamının 8 katı olan iki basamaklı sayıları düşünün.

8 \times 9 = 72

sayısının rakamları toplamı

7+2=9

olduğu için şartı sağlar.

Estimated Time:1m 30s

Question 217Question →

Aşağıdaki tabloda bazı matematiksel işlemler verilmiştir:

İşlem No	İşlem
I	$15 + 8$
II	$12 - 7$
III	$6 \times (-3)$

Buna göre, numaralandırılmış işlemlerden hangilerinin sonucu bir tek sayıdır?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II numaralı işlemlerin sonuçları tek sayıdır.

I ve II numaralı işlemlerin sonuçları olan 23 ve 5 sayıları, 2 ile kalansız bölünemedikleri için tek sayılardır. III numaralı işlemin sonucu olan -18 ise 2 ile kalansız bölünebildiği için çift sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci işlemi hesaplayın.

15 + 8 = 23

Toplama işleminde tek bir sayı ile çift bir sayının toplamı her zaman tek sayıdır (

T + Ç = T

).

2

İkinci işlemi hesaplayın.

12 - 7 = 5

Çıkarma işleminde çift bir sayıdan tek bir sayı çıkarıldığında sonuç tek sayı olur (

Ç - T = T

).

3

Üçüncü işlemi hesaplayın.

6 \times (-3) = -18

Çarpma işleminde çarpanlardan en az biri çift ise sonuç daima çift sayıdır (

Ç \times T = Ç

).

4

Tek sayı olan sonuçları belirleyin.

I ve II

23 ve 5 sayıları tek, -18 sayısı ise çifttir.

Key Concept

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde tek-çiftlik (parite) kuralları.

Hints

1

Her bir işlemin sonucunu tam sayı olarak hesaplayarak işe başlayabilirsiniz.

2

Bir tam sayının son basamağı 1, 3, 5, 7 veya 9 ise o sayı tektir. Negatif sayılarda da bu kural geçerlidir.

3

İşlemleri kontrol ettiğinizde:

15+8=23

,

12-7=5

ve

6 \times (-3)=-18

sonuçlarını bulursunuz. Hangi sonuçların 2 ile tam bölünemediğini belirleyin.

Practice More

Benzer bir soruyu, değişkenler (örneğin a çift ise 2a+1 tektir gibi) kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

İşlemlerin sonuçlarını bulmadan sadece sayıların paritelerini kullanarak da çözebilirsiniz: I) T+Ç=T, II) Ç-T=T, III) ÇxT=Ç. Bu kurallara göre sadece I ve II işlemlerinin sonucu tek çıkar.

Estimated Time:45s

Question 218Question →

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere,

* $a \cdot (b + c)$
* $(a + b) \cdot c$

ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. $a + b + c$
II. $a \cdot c + b$
III. $a \cdot b \cdot c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

Verilen koşullara göre I ve III numaralı ifadeler her zaman çift sayıdır.

Yapılan analizler sonucunda iki geçerli durum ortaya çıkmaktadır:

(a,b,c)

ya

(Tek, Tek, Çift)

ya da

(Çift, Tek, Tek)

şeklindedir. Her iki durumda da

a+b+c

toplamı iki tek bir çift sayının toplamından dolayı çift,

a \cdot b \cdot c

çarpımı ise çarpanlardan en az biri çift olduğu için çift sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1

a \cdot (b + c)

ifadesinin tek olduğu durumu incele.

a

tek,

b + c

tek olmalıdır. Bu durumda

(a,b,c)

üçlüsü

(T, T, Ç)

veya

(T, Ç, T)

olabilir.

Bir çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir.

2

Elde edilen durumları

(a + b) \cdot c

ifadesinde dene.

(T, T, Ç)

için

(T+T) \cdot Ç = Ç \cdot Ç = Ç

(Şartı sağlar).

(T, Ç, T)

için

(T+Ç) \cdot T = T \cdot T = T

(Şartı sağlamaz).

İfadelerden biri tek iken diğeri çift olmalıdır.

3

(a + b) \cdot c

ifadesinin tek olduğu durumu incele.

c

tek,

a + b

tek olmalıdır. Bu durumda

(a,b,c)

üçlüsü

(T, Ç, T)

veya

(Ç, T, T)

olabilir.

Çarpımın tekliği kuralı uygulanır.

4

Elde edilen durumları

a \cdot (b + c)

ifadesinde dene.

(T, Ç, T)

için

T \cdot (Ç+T) = T \cdot T = T

(Şartı sağlamaz).

(Ç, T, T)

için

Ç \cdot (T+T) = Ç \cdot Ç = Ç

(Şartı sağlar).

İfadelerin farklı paritede olması kontrol edilir.

5

Öncülleri sağlayan iki durumu (

T, T, Ç

ve

Ç, T, T

) değerlendir.

Her iki durumda da

b

tektir,

a

ve

c

ise zıt paritelidir. I:

a+b+c = T+T+Ç

veya

Ç+T+T

daima çifttir. II:

a \cdot c + b = T \cdot Ç + T

veya

Ç \cdot T + T

daima tektir. III:

a \cdot b \cdot c

çarpanlardan biri çift olduğu için daima çifttir.

Tüm olasılıklar için kesinlik kontrolü yapılır.

Key Concept

Tek ve çift sayılarda toplama ve çarpma kuralları ile durum analizi.

Question 219Question →

$x, y$ ve $z$ birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere, $x < y < z$ sıralaması veriliyor.

x \cdot y + y \cdot z = 105

olduğuna göre, $z$ sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

19

32

33

46

65

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Z'nin alabileceği değerler 19 ve 13 olup toplamları 32'dir.

Verilen denklem çarpanlarına ayrıldığında

y(x+z) = 105

elde edilir. 105'in asal çarpanları 3, 5 ve 7'dir.

y

bu değerleri alabilir ancak

x<y<z

koşulu ve sayıların asal olma şartı test edilmelidir. Yapılan incelemede sadece

y=5

için

z=19

ve

y=7

için

z=13

değerleri koşulları sağlar. Bu değerlerin toplamı 32'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alma

y(x + z) = 105

İfadeyi çarpanlarına ayırarak asal sayı olan y'nin alabileceği değerleri belirlemek için.

2

105 sayısının asal çarpanlarını belirleme ve y için olası değerleri test etme

105 = 3 \cdot 5 \cdot 7

.

y

bir asal çarpan olduğu için

y \in \{3, 5, 7\}

olabilir.

Eşitliğin sağlanması için y, 105'in asal çarpanlarından biri olmalıdır.

3

y = 3 durumunu inceleme

x < 3 \Rightarrow x=2

.

3(2+z)=105 \Rightarrow 2+z=35 \Rightarrow z=33

. 33 asal değildir (

3 \cdot 11

).

Bu durumda geçerli bir asal sayı üçlüsü elde edilemez.

4

y = 5 durumunu inceleme

x < 5 \Rightarrow x \in \{2, 3\}

.
Eğer

x=2

ise:

5(2+z)=105 \Rightarrow 2+z=21 \Rightarrow z=19

. 19 asaldır. (Sıralama

2<5<19

✓)
Eğer

x=3

ise:

5(3+z)=105 \Rightarrow 3+z=21 \Rightarrow z=18

(Asal değil).

Bu durumda sadece z=19 geçerli bir çözümdür.

5

y = 7 durumunu inceleme

x < 7 \Rightarrow x \in \{2, 3, 5\}

. Denklemi

7(x+z)=105 \Rightarrow x+z=15

şeklinde çözelim.
Eğer

x=2

ise:

z=13

(Asal). (Sıralama

2<7<13

✓)
Diğer x değerleri için z asal çıkmaz.

Bu durumda sadece z=13 geçerli bir çözümdür.

6

Bulunan geçerli z değerlerini toplama

19 + 13 = 32

Soruda z'nin alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Asal Çarpanlar ve Asal Sayı Özellikleri

Hints

1

İfadeyi

y

parantezine alarak 105 sayısının çarpanlarını düşünün.

2

105 sayısının asal çarpanları 3, 5 ve 7'dir.

y

bu değerlerden biri olmalıdır. Her bir durum için

x

ve

z

değerlerini bulup asal olup olmadıklarını kontrol edin.

3

y=3

için

z=33

çıkar (asal değil).

y=5

ve

y=7

durumlarını deneyerek geçerli

z

asallarını bulun.

Estimated Time:2m 30s

Question 220Question →

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere; $n$ elemanlı ardışık çift tam sayılar kümesi $A$ , $n$ elemanlı ardışık tek tam sayılar kümesi $B$ olarak tanımlanıyor.

Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- $A$ kümesindeki en büyük sayı, $B$ kümesindeki en küçük sayıdan $23$ fazladır.
- $A$ kümesindeki sayıların toplamı ile $B$ kümesindeki sayıların toplamı arasındaki fark $77$ 'dir ( $A - B = 77$ ).

Buna göre, $n$ kaçtır?

5

7

9

11

13

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Verilen matematiksel modeller ve denklem çözümü sonucunda n değeri 7 olarak bulunur.

Kümelerin ilk terimleri arasındaki fark (

x-y

) ile terim sayısı (

n

) çarpımı 77'yi vermelidir. Aynı zamanda en büyük terim ilişkisinden

x-y

ifadesinin

25-2n

olduğu belirlenir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde oluşan ikinci dereceden denklemin pozitif tam sayı kökü 7'dir.

Step-by-Step Solution

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını temsil eden değişkenleri tanımla.

A = \{x, x+2, \dots, x+2n-2\}

(

x

çift),

B = \{y, y+2, \dots, y+2n-2\}

(

y

tek)

Ardışık çift ve tek sayılar ikişer ikişer artar.

n

tane terim olduğu için son terim ilk terimden

2(n-1)

fazladır.

2

A

ve

B

kümelerinin toplam farkını

n

cinsinden ifade et.

A - B = n(x - y) = 77

Her iki küme de

n

elemanlıdır. Terimler arasındaki farklar toplandığında küme toplamlarının farkı, ilk terimlerin farkının

n

katına eşit olur.

3

En büyük çift sayı ile en küçük tek sayı arasındaki ilişkiyi denkleme dök.

x + 2n - 2 = y + 23 \Rightarrow x - y = 25 - 2n

A

kümesinin en büyüğü

x+2n-2

,

B

kümesinin en küçüğü

y

'dir. Aradaki fark 23 olarak verilmiştir.

4

İkinci ve üçüncü adımdaki denklemleri birleştirerek

n

'yi çöz.

n(25 - 2n) = 77 \Rightarrow 2n^2 - 25n + 77 = 0 \Rightarrow (2n - 11)(n - 7) = 0

n

değeri bir tam sayı olmalıdır.

2n-11=0

ise

n=5,5

(tam sayı değil),

n-7=0

ise

n=7

bulunur.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde toplam formülü ve terimler arası doğrusal ilişkilerin denklem sistemine dönüştürülmesi.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes