All practice questions

Question 1521Question →

\cos^2(x) + \cos^2(2x) + \cos^2(3x) = 1

denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3\pi}{2}

2\pi

\frac{5\pi}{2}

3\pi

\frac{7\pi}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{5\pi}{2}$

Answer

Köklerin toplamı olan

\frac{5\pi}{2}

ifadesi

Denklemin derece düşürme ve toplam-çarpım formülleriyle çözümü sonucunda

[0, \pi]

aralığındaki farklı kökleri

\frac{\pi}{6}

,

\frac{\pi}{4}

,

\frac{\pi}{2}

,

\frac{3\pi}{4}

ve

\frac{5\pi}{6}

olarak bulunur. Bu köklerin toplamı

\frac{5\pi}{2}

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Derece düşürme formüllerini uygulamak.

\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}

Derecesi 2 olan terimleri daha kolay çarpanlarına ayırabilmek için birinci dereceden kosinüs ifadelerine dönüştürüyoruz.

2

Elde edilen ifadeleri denklemde yerine koyup sadeleştirmek.

\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = 1

1 + \frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 1

\frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 0

Denklemin her iki tarafındaki 1 sayıları sadeleşir ve denklem daha yalın bir hale gelir.

3

Kosinüs toplam-çarpım formülünü uygulamak.

\cos(6x) + \cos(2x) = 2\cos(4x)\cos(2x)

Denklemde yerine koyulduğunda:

\cos(4x)\cos(2x) + \cos^2(2x) = 0

Toplam durumundaki kosinüs terimlerini ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla çarpım biçimine dönüştürüyoruz.

4

Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma işlemini tamamlamak.

\cos(2x)(\cos(4x) + \cos(2x)) = 0

\cos(4x) + \cos(2x) = 2\cos(3x)\cos(x)

yazılarak nihai denklem:

2\cos(x)\cos(2x)\cos(3x) = 0

Denklemin sol tarafını tamamen çarpım biçimine getirerek her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyip kökleri bulmayı kolaylaştırıyoruz.

5

[0, \pi]

kapalı aralığındaki kökleri bulmak.

1)

\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

2)

\cos(2x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}

3)

\cos(3x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}

Çarpanların sıfır olduğu değerleri

[0, \pi]

tanım aralığında hesaplıyoruz.

6

Kökleri listeleyip toplamak.

Farklı köklerin kümesi:

\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}\right\}

Köklerin toplamı:

\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}

x = \frac{\pi}{2}

kökü iki farklı grupta da çıktığı için yalnızca bir kez toplanmalıdır. Bulunan farklı köklerin toplamını hesaplıyoruz.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin derece düşürme, toplam-çarpım formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü; belirli bir aralıktaki farklı köklerin tespiti.

Question 1522Question →

Analitik düzlemde, yarıçapı $1$ birim olan başlangıç noktası merkezli çember üzerindeki bir $P(\cos\theta, \sin\theta)$ noktasından çembere teğet olan doğru çiziliyor. Bu teğet doğrusu $x$ -eksenini $A$ , $y$ -eksenini ise $B$ noktasında kesmektedir.

$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ olduğuna göre, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklığın $\theta$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\tan\theta + \cot\theta

\tan\theta - \cot\theta

\cot\theta - \tan\theta

-(\tan\theta + \cot\theta)

\sec\theta + \csc\theta

Show answer & explanation

Answer: $\tan\theta + \cot\theta$

Answer

A noktası ile B noktası arasındaki uzaklık tanjant ile kotanjant değerlerinin toplamına eşittir.

Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar

A(\sec\theta, 0)

ve

B(0, \csc\theta)

olarak belirlenir. Eksenlerin dik kesişmesi sebebiyle oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında

|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta}

elde edilir. Bu ifade

\sqrt{(\tan\theta + \cot\theta)^2} = |\tan\theta + \cot\theta|

şeklinde yazılabilir.

\theta

açısı üçüncü bölgede yer aldığından bu bölgede tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır, dolayısıyla mutlak değer içi pozitif olup dışarıya aynen tanjant ile kotanjantın toplamı olarak çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Teğet doğrusunun denkleminin yazılması

x\cos\theta + y\sin\theta = 1

Birim çembere üzerindeki bir

P(x_0, y_0)

noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi

x_0 x + y_0 y = 1

formülüyle bulunur.

2

Eksenleri kestiği noktaların bulunması

A(\sec\theta, 0)

ve

B(0, \csc\theta)

Eksenleri kestiği noktaları bulmak amacıyla teğet doğrusunun denkleminde sırasıyla

y=0

ve

x=0

yazılır. Buradan

x = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta

ve

y = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta

elde edilir.

3

Noktalar arasındaki uzaklığın hesaplanması

|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta} = |\tan\theta + \cot\theta|

Eksenler dik kesiştiğinden, dik üçgende Pisagor teoremi kullanılarak uzaklık

|AB| = \sqrt{\sec^2\theta + \csc^2\theta}

şeklinde hesaplanır.

\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta

ve \csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta

özdeşlikleri yerine yazıldığında ifade

\sqrt{\tan^2\theta + \cot^2\theta + 2} = \sqrt{(\tan\theta + \cot\theta)^2} = |\tan\theta + \cot\theta|$ halini alır.

4

Bölge analizi ile mutlak değerin açılması

|AB| = \tan\theta + \cot\theta

Açının bulunduğu üçüncü bölgede (

\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}

) hem tanjant hem de kotanjant fonksiyonları pozitif değerler alır. Bu nedenle toplamları da pozitif olup mutlak değer dışına aynen çıkar.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemi ve bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar yardımıyla trigonometrik özdeşliklerin bölgelere göre işaret analizi yapılarak çözülmesi.

Question 1523Question →

x^2 - 6x - 7 < 0

\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.

Birinci eşitsizlikten

(-1, 7)

aralığı elde edilir. İkinci eşitsizlikten ise payda kökü hariç tutularak

(-\infty, -2] \cup (3, 5]

aralığı bulunur. İki kümenin kesişimi

(3, 5]

yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki

x

tam sayıları

4

ve

5

olup toplamları

9

'dur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci eşitsizlik olan

x^2 - 6x - 7 < 0

ifadesinin köklerini bulun.

Kökler

x_1 = -1

ve

x_2 = 7

olarak bulunur.

Eşitsizliğin sınır değerlerini ve işaret değişim noktalarını belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.

2

İkinci eşitsizlik olan

\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0

ifadesinin pay ve paydasındaki kökleri bulun.

Payın kökleri

x = -2

ve

x = 5

, paydanın kökü ise

x = 3

olarak elde edilir.

Rasyonel ifadenin kritik noktalarını tespit ederek işaret tablosunu oluşturmak gerekir.

3

Eşitsizlikler için işaret tablosu oluşturup çözüm aralıklarını belirleyin.

Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi

(-1, 7)

açık aralığıdır. İkinci eşitsizlikte paydanın kökü olan

x = 3

ifadesi tanımsızlık oluşturduğundan dahil edilmeden elde edilen çözüm kümesi

(-\infty, -2] \cup (3, 5]

yarı açık aralığıdır.

Her bir eşitsizliği sağlayan gerçel sayı bölgelerini net olarak ortaya koymak için.

4

İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini (ortak çözüm kümesini) alın.

Kesi��im kümesi

(3, 5]

yarı açık aralığı olarak bulunur.

Sistemdeki tüm eşitsizliklerin aynı anda sağlanması gerektiği için ortak bölgeyi bulmamız gerekir.

5

Çözüm kümesindeki

x

tam sayılarını toplayın.

4 + 5 = 9

elde edilir.

Soru kökünde istenen nihai sayısal değere ulaşmak için.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu oluşturularak çözülmesi ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması.

Question 1524Question →

\arcsin(x) = \arctan(2x)

denklemini sağlayan sıfırdan farklı $x$ gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

-\frac{3}{4}

-\frac{3}{2}

-\frac{1}{4}

-\frac{3}{8}

-\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $-\frac{3}{4}$

Answer

Sıfırdan farklı gerçel köklerin çarpımı olan negatif rasyonel sayı doğru cevaptır.

Denklemin sıfırdan farklı çözümleri olan kökler, ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları dikkate alınarak

\frac{\sqrt{3}}{2}

ve

-\frac{\sqrt{3}}{2}

olarak bulunur. Bu iki gerçel sayının çarpılmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Ters trigonometrik ifadelerin eşit olduğu açı değeri tanımlanır.

\arcsin(x) = \theta

ve

\arctan(2x) = \theta

olsun. Burada

\theta \in (-\pi/2, \pi/2)

ve

x \in [-1, 1]

aralığındadır.

Ters trigonometrik fonksiyonları ortak bir açı değişkenine bağlamak için.

2

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak trigonometrik denklemler yazılır.

\sin(\theta) = x

ve

\tan(\theta) = 2x

Denklemi çözmek için ters fonksiyon ifadelerini normal trigonometrik fonksiyonlara dönüştürmek gerekir.

3

İki denklemdeki ortak değişken kullanılarak tek bir trigonometrik denklem elde edilir.

\tan(\theta) = 2\sin(\theta)

Her iki eşitlikteki

x

değişkeni birbiriyle ilişkilendirilerek tek bilinmeyenli bir denklem kurulur.

4

Trigonometrik denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.

\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 2\sin(\theta) \implies \sin(\theta)\left(\frac{1}{\cos(\theta)} - 2\right) = 0

Tanjant fonksiyonunun sinüs/kosinüs açılımı yapılıp ortak terim parantezine alınması kökleri bulmayı sağlar.

5

Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek olası açı değerleri belirlenir.

\sin(\theta) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = 0

veya

\cos(\theta) = \frac{1}{2} \implies \theta = \pm\frac{\pi}{3}

Denklemi sağlayan tüm

\theta

değerlerinin bulunması hedeflenir.

6

Sıfırdan farklı

\theta

açıları için

x

kökleri hesaplanır.

\theta = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

ve

\theta = -\frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

\sin(\theta) = x

eşitliği kullanılarak aranan sıfırdan farklı kökler elde edilir.

7

Elde edilen sıfırdan farklı köklerin çarpımı hesaplanır.

\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4}

Soruda istenen sıfırdan farklı köklerin çarpımına ulaşmak için.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümelerine uygun olarak denklemlerin çözülmesi ve özel açıların kullanılması.

Question 1525Question →

x

tanımlı olduğu değerler için

\frac{\tan(2x) - \tan(x)}{1 + \tan(2x) \cdot \tan(x)}

ifadesinin en sade biçimi nedir?

Show answer & explanation

Answer: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x

Answer

İfadenin en sade biçimi tan(x) şeklindedir.

Verilen ifade, iki açının farkının tanjant formülü olan

\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}

ifadesinin

a=2x

ve

b=x

için yazılmış halidir. Bu formül uygulandığında ifade doğrudan

\tan(2x - x) = \tan(x)

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadenin pay ve paydasındaki terimleri inceleyerek toplam-fark formüllerinden hangisine benzediğini belirleyin.

İfade, iki açının farkının tanjantı formülü olan

\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(b)}

yapısındadır.

Formülün yapısı ile verilen ifadenin yapısı birebir aynıdır.

2

Formüldeki

a

ve

b

açıları yerine ifadedeki karşılıkları olan

2x

ve

x

değerlerini yazın.

a = 2x

ve

b = x

olarak belirlenir.

Pay kısmında

\tan(2x) - \tan(x)

ve paydada

1 + \tan(2x)\cdot\tan(x)

terimleri yer almaktadır.

3

Tanjant fark formülünü uygulayarak ifadeyi sadeleştirin.

\tan(2x - x) = \tan(x)

elde edilir.

2x

açısından

x

açısı çıkarıldığında

x

açısı kalır.

Key Concept

Tanjant fark formülü

Estimated Time:45s

Question 1526Question →

f(x) = (a^2 - |a| - 1)^x

ve

g(x) = (9 - a^2)^x

fonksiyonları gerçel sayılar kümesinde tanımlı birer üstel fonksiyondur.

$f$ azalan bir fonksiyon, $g$ ise artan bir fonksiyon olduğuna göre, $a$ parametresinin alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)

\left(-2\sqrt{2}, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\sqrt{2}\right)

\left(-2, -1\right) \cup \left(1, 2\right)

\left(-2\sqrt{2}, -2\right) \cup \left(2, 2\sqrt{2}\right)

\left(-\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)

Show answer & explanation

Answer: $\left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)$

Answer

a \in \left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)

Hem f fonksiyonunun azalan bir üstel fonksiyon olma koşulu olan 0 < a^2 - |a| - 1 < 1 eşitsizliğinden gelen (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 aralığı, hem de g fonksiyonunun artan bir üstel fonksiyon olma koşulu olan 9 - a^2 > 1 eşitsizliğinden gelen |a| < 2\sqrt{2} aralığı kesiştirildiğinde, aranan en geniş aralık (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 olarak bulunur. Bu eşitsizlik çözüldüğünde iki parçalı birleşim kümesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f(x) fonksiyonunun azalan bir üstel fonksiyon olması için taban koşulunu belirleme.

0 < a^2 - |a| - 1 < 1

Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Ayrıca fonksiyonun azalan olması için taban 0 ile 1 arasında yer almalıdır.

2

a^2 - |a| - 1 > 0 eşitsizliğini çözme.

|a| > \frac{1+\sqrt{5}}{2}

a^2 = |a|^2 yazılıp |a| = t >= 0 dönüşümü yapıldığında t^2 - t - 1 > 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri (1 - \sqrt{5})/2 ve (1 + \sqrt{5})/2'dir. t >= 0 olduğundan pozitif kökten büyük olan kısım yani t > (1 + \sqrt{5})/2 alınir.

3

a^2 - |a| - 1 < 1 eşitsizliğini çözme.

|a| < 2

|a|^2 - |a| - 2 < 0 ifadesi (|a| - 2)(|a| + 1) < 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. |a| + 1 her zaman pozitif olduğundan |a| - 2 < 0 yani |a| < 2 olmalıdır. İki eşitsizlik birleştirildiğinde (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 elde edilir.

4

g(x) fonksiyonunun artan bir üstel fonksiyon olması için taban koşulunu belirleme ve çözme.

|a| < 2\sqrt{2}

g(x) fonksiyonunun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekir. Buradan 9 - a^2 > 1 => a^2 < 8 => |a| < 2\sqrt{2} bulunur.

5

Elde edilen koşulların kesişimini alarak çözüm kümesini bulma.

a \in \left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)

(1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 aralığındaki tüm a değerleri, 2 < 2\sqrt{2} olduğundan |a| < 2\sqrt{2} şartını da sağlar. Dolayısıyla ortak çözüm kümesi (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 olur. Bu da mutlak değer tanımından dolayı iki parçalı birleşim kümesi olarak yazılır.

Key Concept

Üstel fonksiyonların tanım kümesi ve taban özellikleri (tabanın pozitif ve 1'den farklı olması), artanlık (tabanın 1'den büyük olması) ve azalanlık (tabanın 0 ile 1 arasında olması) durumlarının analitik olarak incelenmesi.

Estimated Time:3m 0s

Question 1527Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} + \sin x

b = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}

c = \tan x + \cot x

ifadeleri veriliyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

b < c < a

b < a < c

c < a < b

a < b < c

Show answer & explanation

Answer: $c < b < a$

Answer

c < b < a

sıralaması doğrudur.

Verilen aralıkta

\sin x + \cos x < 0

olduğundan

a

ifadesi mutlak değer dışına

-(\sin x + \cos x)

olarak çıkar ve

-\cos x

değerine sadeleşir.

b

ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde

\sin x - \cos x

olur.

c = \tan x + \cot x

ifadesinin değeri ise dördüncü bölgede

-2

değerinden küçüktür. Bu durumda elde edilen aralıklar sırasıyla

c < -2

,

-1.414 < b < -1

ve

-0.707 < a < 0

şeklinde olduğundan, doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right)

aralığına göre

\sin x

ve

\cos x

fonksiyonlarının işaretlerini belirleme ve

a

ifadesini sadeleştirme.

Bu aralıkta

\sin x < 0

,

\cos x > 0

ve

|\sin x| > \cos x

olduğundan

\sin x + \cos x < 0

olur.

a = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} + \sin x = |\sin x + \cos x| + \sin x = -(\sin x + \cos x) + \sin x = -\cos x

elde edilir.

\cos x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

olduğundan

a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

aralığındadır.

Kareköklü ifadenin mutlak değer dışına doğru işaretle çıkarılması ve ifadenin sınırlarının belirlenmesi için gereklidir.

2

b

ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirme ve sınırlarını belirleme.

b = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \cdot 1}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x

elde edilir. Verilen aralıkta

\sin x \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

ve

-\cos x \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

olduğundan, bu iki değer toplandığında

b = \sin x - \cos x \in (-\sqrt{2}, -1)

aralığında yer alır.

İfadenin sade hali üzerinden büyüklük karşılaştırması yapabilmek için gereklidir.

3

c

ifadesini tanjant ve kotanjantın özelliklerini kullanarak analiz etme.

c = \tan x + \cot x

ifadesinde,

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\right)

için

\tan x < -1

ve

\cot x \in (-1, 0)

olur.

u = |\tan x| > 1

dersek,

c = -\left(u + \frac{1}{u}\right)

yazılabilir. Her

u > 1

için

u + \frac{1}{u} > 2

olduğundan,

c < -2

elde edilir.

c

ifadesinin alabileceği değerlerin üst sınırını belirlemek için gereklidir.

4

Elde edilen

a

,

b

ve

c

aralıklarını karşılaştırarak nihai sıralamayı bulma.

c < -2

,

b \in (-\sqrt{2}, -1)

ve

a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

olduğundan, aralıklar kesişmez ve doğrudan

c < b < a

sıralaması elde edilir.

Her üç ifadenin de sayı doğrusundaki konumlarını netleştirip sıralamayı tamamlamak için gereklidir.

Key Concept

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi, bölgelere göre işaret tespiti ve trigonometrik değerlerin sıralanması.

Alternative Method

Sıralamayı daha rahat görebilmek için verilen aralıktan özel bir açı seçilebilir. Örneğin

x = 300^\circ

(

x = \frac{5\pi}{3}

) için değerler hesaplanırsa:

a = \sqrt{1 + 2\sin 300^\circ \cos 300^\circ} + \sin 300^\circ = |\sin 300^\circ + \cos 300^\circ| + \sin 300^\circ = |-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}| - \frac{\sqrt{3}}{2} = -(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5

.

b = \sin 300^\circ - \cos 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \approx -0.866 - 0.5 = -1.366

.

c = \tan 300^\circ + \cot 300^\circ = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -1.732 - 0.577 = -2.309

. Bu değerler karşılaştırıldığında

-2.309 < -1.366 < -0.5

olduğu için

c < b < a

sıralaması kolayca doğrulanabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 1528Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

üstel fonksiyonu, her

x

ve

y

gerçel sayıları için

f(x + y) = f(x) \cdot f(y)

eşitliğini sağlamaktadır.

f(x + 3) - f(x + 2) - 12f(x + 1) = 0

olduğuna göre, $f\left(\frac{5}{2}\right)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

İstenen değer 32 olarak bulunur.

Üstel fonksiyonun tanımı gereği tabanı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır. Verilen fonksiyon denklemi çözüldüğünde tabanın

a = 4

olduğu görülür. Buradan

f(x) = 4^x

fonksiyonu elde edilir ve

f(5/2) = 4^{5/2} = 32

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Üstel fonksiyonun genel formunu yazma

f(x) = a^x

(

a > 0

,

a \neq 1

)

f(x+y) = f(x) \cdot f(y)

bağıntısı ve üstel fonksiyon tanımı gereği fonksiyon

f(x) = a^x

biçimindedir.

2

Denklemde fonksiyonları yerine koyma

a^{x+3} - a^{x+2} - 12a^{x+1} = 0

Verilen fonksiyonel denklemde

f(x) = a^x

kuralını uygulamak için.

3

Denklemi ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme

a^2 - a - 12 = 0

a^{x+1} \cdot (a^2 - a - 12) = 0

ifadesinde

a^{x+1} > 0

olduğu için bu terim sadeleştirilebilir.

4

Kökleri bulma ve taban şartını uygulama

a = 4

(a-4)(a+3) = 0

denkleminden

a = 4

ve

a = -3

gelir. Üstel fonksiyon tabanı pozitif (

a > 0

) olmalıdır.

5

İstenen fonksiyon değerini hesaplama

f\left(\frac{5}{2}\right) = 32

f(x) = 4^x

fonksiyonunda

x

yerine

\frac{5}{2}

yazarak sonucu bulmak için.

Key Concept

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif ve 1'den farklı olma zorunluluğu.

Estimated Time:2m 0s

Question 1529Question →

Bir toplumda felsefi düşünüşün yaygınlaşması, bireylerin kendi zihinsel kabullerinin sınırlarını fark etmelerini sağlar. Kendi inançlarını, değerlerini ve düşünce kalıplarını sorgulamaya başlayan insan, başkalarının da benzer bir hakka sahip olduğunu ve farklı yaşam biçimlerinin meşruiyetini kabul eder. Felsefenin bu yönü, bireyi dogmaların esaretinden kurtarırken, toplumsal düzeyde de çoğulcu bir yapının inşasına katkıda bulunur.

Bu parçadan hareketle felsefenin bireysel ve toplumsal işlevlerine dair aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Bireyin kendi düşüncelerini sorgulayarak zihinsel özerklik kazanmasını, toplumsal düzeyde ise farklılıklara saygı duyan çoğulcu bir kültürün oluşmasını sağlar.

Bireyin nihai ve değişmez bir bilgeliğe ulaşarak zihinsel arayışını sonlandırmasın��, toplumsal düzeyde ise herkesin ortak doğrular etrafında birleşmesini sağlar.

Bireysel fikirlerin dış dünyadaki nesnel gerçeklikle tam olarak uyuşmasını denetlemesini, toplumsal düzeyde ise sosyal olayların nesnel gerçekliğini kanıtlamasını sağlar.

Bireyin varlığı deneysel yöntemlerle ve parçalara ayırarak incelemesine imkan vermesini, toplumsal düzeyde ise olgusal ve pratik çözümler üreterek refahı artırmasını sağlar.

Bireyin eylemlerinin tamamen önceden belirlenmiş olduğunu kavramasını, toplumsal düzeyde ise toplumsal kurallara mutlak bir boyun eğme bilinci geliştirmesini sağlar.

Show answer & explanation

Answer: Bireyin kendi düşüncelerini sorgulayarak zihinsel özerklik kazanmasını, toplumsal düzeyde ise farklılıklara saygı duyan çoğulcu bir kültürün oluşmasını sağlar.

Answer

Bireyin kendi düşüncelerini sorgulayarak zihinsel özerklik kazanmasını, toplumsal düzeyde ise farklılıklara saygı duyan çoğulcu bir kültürün oluşmasını sağlar.

Doğru seçenek felsefenin parçada vurgulanan iki temel işlevini de tam olarak açıklamaktadır: Bireysel düzeyde kişinin dogmalardan kurtulup özerk şekilde kendi düşüncelerini sorgulaması, toplumsal düzeyde ise çoğulculuğu ve farklılıklara saygıyı benimsemesi felsefenin temel işlevlerindendir.

Step-by-Step Solution

1

Parçadaki bireysel vurguları analiz etmek

Parçada bireyin 'kendi inançlarını, değerlerini ve düşünce kalıplarını sorgulaması' ve 'dogmaların esaretinden kurtulması' ifadelerinin bireyin zihinsel özerkliği ve bağımsızlığı ile ilgili olduğu tespit edilir.

Soruda felsefenin bireysel işlevini belirlemek için parçadaki bireye yönelik ifadeleri bulmak gerekir.

2

Parçadaki toplumsal vurguları analiz etmek

Parçada 'başkalarının da benzer bir hakka sahip olduğunu ve farklı yaşam biçimlerinin meşruiyetini kabul etme' ve 'çoğulcu bir yapının inşasına katkıda bulunma' ifadelerinin toplumsal düzeyde farklılıklara hoşgörü ve çoğulculuk ile ilgili olduğu tespit edilir.

Soruda felsefenin toplumsal işlevini belirlemek için parçadaki topluma yönelik ifadeleri bulmak gerekir.

3

Bireysel ve toplumsal işlevlerin birleştirildiği seçeneği bulmak

Hem bireysel özerklik hem de toplumsal çoğulculuk/hoşgörü vurgusunu bir arada içeren doğru seçeneğe ulaşılır.

Seçenekler arasından parçadaki iki temel vurguyu da doğru şekilde karşılayan ifadeyi belirlemek gerekir.

Key Concept

Felsefenin Bireysel ve Toplumsal İşlevleri

Estimated Time:1m 30s

Question 1530Question →

Şekildeki $ABC$ ve $CDE$ üçgenlerinin $C$ köşesi ortaktır. $A, C, E$ noktaları ile $B, C, D$ noktaları sırasıyla doğrusaldır.

$|AC| = 4\text{ birim}$ , $|BC| = 6\text{ birim}$ , $|AB| = 4\text{ birim}$ , $|CD| = 5\text{ birim}$ ve $|CE| = 8\text{ birim}$ olduğuna göre, $|DE|$ kaç birimdir?

\sqrt{59}

\sqrt{149}

\sqrt{29}

3

\sqrt{11}

\sqrt{89}

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{29}$

Answer

\sqrt{29}

Ortak

C

köşesinde oluşan ters açıların kosinüs değerleri birbirine eşittir. İlk üçgende tüm kenar uzunlukları bilindiği için Kosinüs Teoremi yardımıyla ortak açının kosinüsü

\frac{3}{4}

olarak hesaplanır. Ardından ikinci üçgende bu kosinüs değeri ve verilen kenarlar kullanılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve bilinmeyen kenar uzunluğu

\sqrt{29}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Ortak olan

C

köşesindeki ters açılardan yola çıkarak

m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE}) = \alpha

olduğunu belirleyelim.

İki üçgenin de tepe açısı eşittir ve kosinüs değerleri aynıdır.

Kosinüs Teoremi'ni her iki üçgende de uygulayabilmek için ortak açının belirlenmesi gerekir.

2

ABC

üçgeninde

AB

kenarına göre Kosinüs Teoremi formülünü uygulayarak

\cos(\alpha)

değerini hesaplayalım.

|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\alpha)

4^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(\alpha)

16 = 16 + 36 - 48\cos(\alpha)

48\cos(\alpha) = 36 \implies \cos(\alpha) = \frac{3}{4}

CDE

üçgeninde bilinmeyen kenarı bulmak için bu ortak açının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.

3

CDE

üçgeninde

DE

kenarı için Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım.

|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos(\alpha)

|DE|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4}

|DE|^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{3}{4}

|DE|^2 = 89 - 60 = 29 \implies |DE| = \sqrt{29}\text{ birim}

Kosinüs Teoremi yardımıyla bilinmeyen kenarın uzunluğu elde edilir.

Key Concept

Kosinüs Teoremi ve Ters Açılar

Estimated Time:2m 0s

Question 1531Question →

m

bir gerçel sayı olmak üzere,

x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3 < 0

eşitsizliğini sağlayan en az bir negatif gerçel sayı var iken, bu eşitsizliği sağlayan hiçbir pozitif gerçel sayı bulunmamaktadır.

Buna göre, $m$ parametresinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, -3]

(-\infty, -3)

(-\infty, 1)

[-3, 1)

(-\infty, -1]

Show answer & explanation

Answer: $(-\infty, -3]$

Answer

Sonsuzdan

-3

değerine kadar olan (ve

-3

'ü dahil eden) yarı açık aralıktır.

Sonsuzdan başlayıp

-3

sınır değerine kadar giden (ve

-3

'ü dahil eden) yarı açık aralık doğrudur. Çünkü bu aralıktaki herhangi bir

m

değeri için çözüm kümesi

(m-1, m+3)

tamamen negatif bölgede kalır ve en az bir negatif sayı içerirken hiçbir pozitif sayı barındırmaz.

Step-by-Step Solution

1

E��itsizliğin sol tarafındaki ifadenin köklerini çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemiyle bulalım.

x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m - 3 = 0

denkleminin kökleri tam kareye tamamlama yöntemiyle

(x - (m+1))^2 - 4 = 0

şeklinde yazılabilir. Buradan

x - (m+1) = \pm 2

elde edilir. Kökler

x_1 = m - 1

ve

x_2 = m + 3

olarak bulunur.

Eşitsizliğin çözüm kümesini belirlemek için öncelikle sınır değerleri olan kökleri bulmamız gerekir.

2

İşaret tablosunu oluşturup eşitsizliğin çözüm kümesini ifade edelim.

x^2

teriminin katsayısı pozitif (

1 > 0

) olduğu için işaret tablosu en sağdan

+

ile başlar:

+ \mid - \mid +

. Eşitsizlik sıfırdan küçük (

< 0

) değerleri aradığından çözüm kümesi

x_1

ve

x_2

köklerinin arasındaki açık aralıktır: Ç.K. =

(m - 1, m + 3)

.

İkinci dereceden ifadenin işaret incelemesini yaparak negatif olduğu bölgeyi saptamak için.

3

Çözüm kümesinde en az bir negatif gerçel sayı bulunması ko��ulunu inceleyelim.

(m - 1, m + 3)

aralığında en az bir negatif sayı bulunabilmesi için aralığın sol ucunun sıfırdan küçük olması yeterlidir. Buradan

m - 1 < 0 \implies m < 1

elde edilir. Aralık genişliği

4

birim sabit olduğundan, sol uç negatif olduğunda aralık içinde mutlaka negatif sayılar yer alır.

İlk koşulun

m

parametresi üzerindeki sınırlandırmasını belirlemek için.

4

Çözüm kümesinde hiçbir pozitif gerçel sayı bulunmaması koşulunu inceleyelim.

(m - 1, m + 3)

aralığında hiçbir pozitif sayı bulunmaması için bu aralığın pozitif gerçel sayılar kümesi

(0, \infty)

ile kesişimi boş küme olmalıdır. Bu durum aralığın sağ ucunun sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olmasıyla sağlanır:

m + 3 \le 0 \implies m \le -3

. Burada aralık açık aralık olduğu için sağ uç sıfır olduğunda çözüm kümesi

(m-1, 0)

olur ve bu kümede yine pozitif sayı bulunmaz, bu yüzden eşitlik dahil edilir.

İkinci koşulun

m

parametresi üzerindeki sınırlandırmasını belirlemek için.

5

Bulunan iki koşulun kesişimini alarak

m

parametresinin en geniş aralığını bulalım.

m < 1

ve

m \le -3

eşitsizliklerinin her ikisini de sağlayan değerler kümesi

m \le -3

aralığıdır. Bu aralık aralık gösterimiyle

(-\infty, -3]

şeklinde yazılır.

Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için kesişim kümesini elde etmek amacıyla.

Key Concept

İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu oluşturma, köklerin bulunması ve sınır koşullarına göre çözüm kümesinin parametrik incelenmesi.

Estimated Time:2m 30s

Question 1532Question →

f(x) = \log_{x - 2}\left(\frac{64 - x^2}{x + 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 22'dir.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken tabanının pozitif ve 1'den farklı olması, argümanının ise pozitif olması koşulları birlikte sağlanmalıdır. Bu koşulların kesişimi

(2, 8) \setminus \{3\}

aralığını verir ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 22'dir.

Step-by-Step Solution

1

Logaritmanın tabanının tanımlı olma koşullarını belirlemek.

x > 2

ve

x \neq 3

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir.

2

Logaritmanın argümanının (içinin) pozitif olma koşulunu belirlemek.

\frac{64 - x^2}{x + 1} > 0

Logaritmanın tanımlı olması için argümanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.

3

Eşitsizliğin köklerini bulup işaret incelemesi yapmak.

Kökler

x = -8

,

x = -1

ve

x = 8

'dir. Eşitsizliğin çözüm kümesi

(-\infty, -8) \cup (-1, 8)

olur.

Rasyonel ifadenin pay ve paydasının kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.

4

Taban ve argüman koşullarının kesişim kümesini bulmak.

x \in (2, 8) \setminus \{3\}

Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerlerden oluşur.

5

Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplamak.

Tam sayılar

\{4, 5, 6, 7\}

ve toplamları

4 + 5 + 6 + 7 = 22

'dir.

Elde edilen aralıktaki tam sayılar belirlenir ve bunların toplamı hesaplanır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir.

Estimated Time:2m 0s

Question 1533Question →

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{3\sqrt{2}}{10}

olduğuna göre,

25 \cdot \sin(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen

\cos(2x) = \frac{3}{5}

ve

\sin(2x) = \frac{4}{5}

değerleri kullanılarak, yarım açı formülü yardımıyla

25 \cdot \sin(4x)

ifadesinin değeri 24 olarak bulunur.

Verilen ifade iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde

\cos(2x) \cdot \cos(\pi/4) = 3\sqrt{2}/10

denklemi elde edilir. Buradan

\cos(2x) = 3/5

bulunur. Tanımlanan bölgede

\sin(2x) = 4/5

olup, yarım açı formülüyle

\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 24/25

bulunur. Sonuç olarak

25 \cdot \sin(4x) = 24

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi iki kare farkı ve toplam-fark özdeşlikleri kullanarak sadeleştirmek

\cos(2x) = \frac{3}{5}

İfadedeki terimlerin açılımını yaparak

\cos(2x)

değerine ulaşmak

2

Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak

\sin(2x)

değerini hesaplamak

\sin(2x) = \frac{4}{5}

Yarım açı formülünde kullanılacak olan sinüs değerini elde etmek

3

Sinüs yarım açı formülünü uygulayarak

\sin(4x)

değerini hesaplamak

\sin(4x) = \frac{24}{25}

İstenen ifadenin çarpanı olan

\sin(4x)

değerini bulmak

4

25 \cdot \sin(4x)

işlemini gerçekleştirmek

24

Soruda sorulan nihai sayısal değere ulaşmak

Key Concept

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerinin trigonometrik sadeleştirmelerde ve değer hesaplamalarında uygulanması

Alternative Method

İkinci bir yol olarak,

\cos\left(\frac{\pi}{8} + x\right)

ve

\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)

ifadeleri toplam-fark formülleriyle açılarak kareleri alınabilir. Kareler alındığında çapraz çarpım terimleri birbirini götürür ve geriye

(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}) = \cos(2x)\cos\frac{\pi}{4}

kalır. Buradan da aynı şekilde çözüme ulaşılır.

Estimated Time:2m 30s

Question 1534Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

\frac{1 + \cos(2x) + \cos x}{\sin(2x) + \sin x} = -\frac{4}{3}

olduğuna göre,

\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sqrt{10}}{10}

\frac{3\sqrt{10}}{10}

-\frac{\sqrt{10}}{10}

\frac{\sqrt{5}}{5}

-\frac{3\sqrt{10}}{10}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer

\frac{\sqrt{10}}{10}

Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde

\cot x = -\frac{4}{3}

elde edilir.

x

açısı ikinci bölgede olduğundan

\cos x = -\frac{4}{5}

olur. Sorulan ifade yarım açı formülüyle

\cos(x/2)

değerine eşittir. Yarım açı formülüyle

\cos(x/2) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10}

hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapınız.

\frac{\cos x(2\cos x + 1)}{\sin x(2\cos x + 1)} = \cot x = -\frac{4}{3}

Payda bulunan

\cos(2x)

yerine

2\cos^2 x - 1

ve paydada bulunan

\sin(2x)

yerine

2\sin x \cos x

yazılarak ortak paranteze alınır ve sadeleştirilir.

2

x

açısının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak

\cos x

değerini hesaplayınız.

\cos x = -\frac{4}{5}

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

aralığı ikinci bölgeye denk gelir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs ise pozitiftir.

\cot x = -\frac{4}{3}

olduğundan, dik üçgen bağıntıları yardımıyla

\cos x = -\frac{4}{5}

bulunur.

3

Sorulan ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla sadeleştiriniz.

\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)

\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta

özdeşliğinde

\theta = \frac{x}{4}

yazıldığında sorulan ifadenin

\cos\left(\frac{x}{2}\right)

değerine eşit olduğu görülür.

4

\cos\left(\frac{x}{2}\right)

değerini yarım açı formülüyle hesaplayınız.

\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{10}}{10}

\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2}

formülünde

\cos x = -\frac{4}{5}

yazılırsa

\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{10}

elde edilir.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olduğundan

\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olur (birinci bölge). Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan

\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}

bulunur.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri

Estimated Time:2m 0s

Question 1535Question →

x > 1

olmak üzere,

\arctan\left(\frac{x}{x+1}\right) - \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right) = \arctan\left(\frac{1}{32}\right)

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

2

4

8

16

32

Show answer & explanation

Answer: $4$

Answer

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel say�� değeri 4'tür.

Eşitliğin sol tarafındaki ifadelere sırasıyla

a

ve

b

diyerek tanjant fark formülü uygulandığında

\tan(a-b) = \frac{1}{2x^2}

ifadesi elde edilir. Sağ tarafın tanjantı olan

\frac{1}{32}

değerine eşitlendiğinde

2x^2 = 32

denkleminden

x^2 = 16

bulunur.

x > 1

koşulu altında bu denklemin tek çözümü

4

olur. Bu nedenle doğru cevap 4 değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin sol tarafındaki ifadelere değişken tanımlanır.

a = \arctan\left(\frac{x}{x+1}\right)

ve

b = \arctan\left(\frac{x-1}{x}\right)

olsun. Buradan

\tan(a) = \frac{x}{x+1}

ve

\tan(b) = \frac{x-1}{x}

elde edilir.

Ters trigonometrik fonksiyonları tanjant değerlerine dönüştürerek toplam-fark formülünü uygulayabilmek.

2

Tanjant fark formülü kurulur.

\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \cdot \tan(b)}

İki açının farkının tanjantını veren formülü uygulamak.

3

Tanjant fark formülünün pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılır.

\tan(a) - \tan(b) = \frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x} = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}

Pay kısmını sadeleştirmek.

4

Tanjant fark formülünün payda kısmındaki çarpma ve toplama işlemleri yapılır.

1 + \tan(a) \cdot \tan(b) = 1 + \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x} = 1 + \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1 + x-1}{x+1} = \frac{2x}{x+1}

Payda kısmını sadeleştirmek.

5

Pay ve payda birbirine oranlanarak

\tan(a-b)

ifadesi

x

cinsinden bulunur.

\tan(a - b) = \frac{\frac{1}{x(x+1)}}{\frac{2x}{x+1}} = \frac{1}{x(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2x} = \frac{1}{2x^2}

İfadenin en sade halini elde etmek.

6

Bulunan tanjant değeri, eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin tanjantı olan

\frac{1}{32}

değerine eşitlenerek denklem çözülür.

\frac{1}{2x^2} = \frac{1}{32} \implies 2x^2 = 32 \implies x^2 = 16

Buradan

x > 1

koşulu altında

x = 4

bulunur.

Bilinmeyen

x

değerini bulmak.

Key Concept

İki açının farkının tanjantı formülü ve ters trigonometrik fonksiyonların özellikleri

Estimated Time:2m 0s

Question 1536Question →

\log_2(x+2) + \log_2(x-4) = 4

denklemini sağlayan

x

gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

-24

3

2

6

9

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı 6'dır.

Logaritmanın tanım kümesi gereği

x > 4

olmalıdır. Denklemin çözümünden elde edilen

x = 6

ve

x = -4

köklerinden yalnızca

6

bu koşulu sağlar. Bu nedenle denklemi sağlayan

x

değerlerinin çarpımı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.

x > 4

olmalıdır.

Logaritmanın tanımı gereği argümanlar pozitif olmalıdır. Buradan

x+2 > 0 \implies x > -2

ve

x-4 > 0 \implies x > 4

elde edilir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü

x > 4

aralığıdır.

2

Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak denklemi tek bir logaritma altında birleştirmek.

\log_2((x+2)(x-4)) = 4

Aynı tabandaki iki logaritmanın toplamı, içlerinin çarpımının logaritmasına eşittir:

\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v)

.

3

Logaritma tanımını uygulayarak logaritmalı ifadeyi üstel ifadeye dönüştürmek ve ikinci dereceden denklemi elde etmek.

x^2 - 2x - 24 = 0

\log_2(A) = 4 \implies A = 2^4 = 16

olur. Buradan

(x+2)(x-4) = 16 \implies x^2 - 2x - 8 = 16 \implies x^2 - 2x - 24 = 0

denklemi bulunur.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası kökleri bulmak.

x = 6

veya

x = -4

.

x^2 - 2x - 24 = 0 \implies (x-6)(x+4) = 0

olur. Buradan denklemin kökleri

x = 6

ve

x = -4

olarak bulunur.

5

Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.

x = 6

(tek geçerli kök).

x > 4

koşulunu yalnızca

x = 6

değeri sağlar.

x = -4

değeri logaritmanın içini negatif yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan tek değer

6

'dır ve bu değerlerin çarpımı da

6

olur.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Denklemler ile Logaritmanın Tanım Kümesi

Question 1537Question →

Dik koordinat düzleminde, $O$ başlangıç noktası olmak üzere, merkezil birim çember üzerindeki bir $P$ noktası için $[OP]$ doğru parçası $x$ -ekseninin pozitif yönüyle $\theta = \frac{7\pi}{6}$ radyarlık açı yapmaktadır. $y = \sqrt{3}$ doğrusu üzerindeki bir $Q$ noktası için $O$ , $P$ ve $Q$ noktaları doğrusaldır. Buna göre, $Q$ noktasının apsisi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Doğru cevap 3'tür.

\theta = \frac{7\pi}{6}

açısı üçüncü bölgede yer alır. Bu açının tanjant değeri

\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}

olduğundan, orijinden geçen doğrunun denklemi

y = \frac{1}{\sqrt{3}}x

olur.

Q(x, \sqrt{3})

noktası bu doğru üzerinde bulunduğundan,

y

yerine

\sqrt{3}

yazıldığında

\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x

denkleminden

x = 3

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

P

noktasını belirleyen

\theta = \frac{7\pi}{6}

açısının tanjantını hesaplayarak

OP

doğrusunun eğimini bulmak.

Eğim

m = \tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}

Merkezil birim çember üzerindeki bir noktanın orijinle birleştirilmesiyle oluşan doğrunun eğimi, bu doğrunun

x

-ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantına eşittir.

2

O

,

P

ve

Q

noktalarının doğrusallığını kullanarak

Q(x, \sqrt{3})

noktası için doğru denklemini kurmak.

Doğru denklemi:

y = \frac{1}{\sqrt{3}}x

Orijinden geçen ve eğimi

m

olan doğrunun denklemi

y = mx

formundadır.

3

Q

noktasının

y

-koordinatını (

\sqrt{3}

) doğru denkleminde yerine yazarak

x

-koordinatını (apsisini) bulmak.

x = 3

Q

noktası bu doğru üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki geometrik yorumu, standart açıların indirgenmesi ve doğrunun analitik incelenmesi.

Alternative Method

P

ve

Q

noktalarının koordinatları oranından benzerlik veya eğim eşitliği kullanılarak bulunabilir.

P

noktası birim çember üzerinde

\theta = 7\pi/6

açısına karşılık geldiğinden koordinatları

P(\cos(7\pi/6), \sin(7\pi/6)) = P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})

olur.

O

,

P

ve

Q

noktaları doğrusal olduğundan

\frac{y_P}{x_P} = \frac{y_Q}{x_Q} \implies \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies x = 3

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 1538Question →

Bir

ABC

üçgeninin kenar uzunlukları

a

,

b

,

c

birim ve çevrel çemberinin yarıçapı

R

birimdir. Bu üçgenin kenarları ve açıları arasında

b^2 + c^2 - a^2 = -bc

\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4}

bağıntıları bulunduğuna göre,

ABC

üçgeninin alanının

R^2

cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sqrt{3}}{16}

\frac{\sqrt{3}}{8}

\frac{1}{4}

\frac{\sqrt{3}}{4}

\frac{\sqrt{3}}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer

Üçgenin alanının

R^2

cinsinden değeri

\frac{\sqrt{3}}{4}

olarak bulunur.

Doğru olan değer, Kosinüs Teoremi yardımıyla tepe açısının

A = 120^\circ

ve dolayısıyla

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}

bulunması, ardından Sinüs Teoremi ile

bc = R^2

bağıntısının elde edilip alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilen

\frac{\sqrt{3}}{4}

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Kosinüs Teoremi kullanılarak

A

açısının ölçüsünü belirleme.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

Kosinüs Teoremi bağıntısıdır. Soruda verilen

b^2 + c^2 - a^2 = -bc

ifadesi düzenlendiğinde

a^2 = b^2 + c^2 + bc

elde edilir. Bu iki eşitlik karşılaştırıldığında

-2bc \cos A = bc \implies \cos A = -\frac{1}{2}

bulunur.

ABC

üçgeninin bir iç açısı olan

A

açısı buradan

120^\circ

olarak belirlenir.

Üçgenin alan formülünde kullanılacak olan

\sin A

değerini elde etmek.

2

Sinüs Teoremi kullanılarak

bc

çarpımını çevrel çemberin yarıçapı

R

cinsinden ifade etme.

Sinüs Teoremi gereği

b = 2R \sin B

ve

c = 2R \sin C

eşitlikleri geçerlidir. Bu iki eşitlik taraf tarafa çarpıldığında

bc = 4R^2 \sin B \sin C

elde edilir.

Kenar uzunlukları ile çevrel ��emberin yarıçapı arasında ilişki kurarak alan hesaplamasını yarıçap cinsinden yapabilmek.

3

Soruda verilen sinüs değerleri çarpımını yerine yazarak

bc

ifadesinin değerini bulma.

\sin B \cdot \sin C = \frac{1}{4}

değeri yerine yazıldığında

bc = 4R^2 \cdot \frac{1}{4} = R^2

olarak bulunur.

bc

çarpımının değerini netleştirmek.

4

Üçgenin alan formülünü uygulayarak sonucu bulma.

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} bc \sin A

formülünde elde edilen değerler yerine yazılır:

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2

elde edilir. Buradan alanın

R^2

cinsinden değeri

\frac{\sqrt{3}}{4}

bulunur.

Üçgenin alanını nihai olarak hesaplamak.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs teoremlerinin birlikte kullanılması ile üçgen alanının çevrel çemberin yarıçapı cinsinden ifade edilmesi.

Question 1539Question →

\log_3(x^2 - 4) - \log_3(x-2) = 1

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\emptyset

\{1\}

\{1, 2\}

\{-1, 2\}

\{2\}

Show answer & explanation

Answer: $\emptyset$

Answer

Boş küme

Doğru cevap, denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin boş küme olduğunu ifade eden seçenektir. Çözüm süreci izlendiğinde elde edilen

x = 1

değeri, başlangıçtaki denklemde yer alan logaritmik terimlerin içini negatif yaptığından tanımlılık şartlarını ihlal eder ve bir kök olarak kabul edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan hiçbir gerçel sayı bulunmamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Orijinal denklemdeki logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan en geniş tanım kümesini belirleyin.

x^2 - 4 > 0

ve

x - 2 > 0

olmalıdır. Buradan

x > 2

veya

x < -2

ve

x > 2

eşitsizliklerinin kesişimi alınarak

x > 2

elde edilir.

Logaritma tanımı gereği taban ve argüman sıf��rdan büyük olmalıdır.

2

Logaritmanın çıkarma özelliğini kullanarak sol taraftaki ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirin.

\log_3\left(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\right) = 1

\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)

kuralı uygulan��r.

3

Logaritmanın içindeki rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.

\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \implies \log_3(x+2) = 1

x > 2

kabul edildiği için

x - 2 \neq 0

olur ve sadeleştirme yapılabilir.

4

Logaritma tanımını uygulayarak denklemden

x

değerini çekin.

x + 2 = 3^1 \implies x = 1

\log_a(b) = c \iff b = a^c

tanımı kullanılır.

5

Elde edilen

x = 1

aday kökünün, birinci adımda belirlenen tanım kümesi şartını (

x > 2

) sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

x = 1

değeri

x > 2

şartını sağlamaz (

1 < 2

).

x = 1

değeri orijinal denklemdeki logaritma argümanlarını negatif yaparak tanımsızlığa yol açar.

6

Bulunan aday kök elendiği için denklemin nihai çözüm kümesini yazın.

Çözüm kümesi boş kümedir (

\emptyset

).

Denklemi sağlayan hiçbir gerçel sayı bulunmamaktadır.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde, elde edilen köklerin orijinal ifadelerin tanım kümelerini sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir.

Alternative Method

Denklem

\log_3(x^2 - 4) = \log_3(x-2) + 1

şeklinde yazılabilir. Eşitliğin sağ tarafındaki

1

sayısı

\log_3(3)

olarak ifade edildiğinde, toplam özelliği kullanılarak

\log_3(x^2 - 4) = \log_3(3(x-2))

denkliği elde edilir. Logaritma tabanları eşit olduğundan içler eşitlenir:

x^2 - 4 = 3x - 6 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-2)(x-1) = 0

olur. Buradan aday kökler

x=1

ve

x=2

bulunur. Orijinal denklemde yer alan logaritmik ifadelerin tanımlı kalabilmesi için

x>2

olması gerektiğinden her iki aday kök de elenir ve çözüm kümesinin boş küme olduğu görülür.

Estimated Time:2m 0s

Question 1540Question →

Dik koordinat düzleminde verilen merkezil birim çember üzerindeki bir $P$ noktası ikinci bölgededir. Başlangıç noktası $O$ olmak üzere, $[OP]$ doğru parçasının $y$ -ekseninin pozitif kısmı ile yaptığ�� dar açının ölçüsü $\theta$ olduğuna göre, $P$ noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

(-\cos\theta, \sin\theta)

(\cos\theta, \sin\theta)

(-\sin\theta, \cos\theta)

(\sin\theta, -\cos\theta)

(-\cos\theta, -\sin\theta)

Show answer & explanation

Answer: $(-\sin\theta, \cos\theta)$

Answer

(-\sin\theta, \cos\theta)

Birim çemberde ikinci bölgedeki noktanın standart açısı

90^\circ + \theta

olur. Bu açının koordinatları

(\cos(90^\circ + \theta), \sin(90^\circ + \theta))

olup indirgeme kurallarına göre bu koordinatlar

(-\sin\theta, \cos\theta)

ifadesine eşittir.

Step-by-Step Solution

1

P

noktasının konumunu ve koordinatlarını belirlemek amacıyla standart konumdaki yönlü açıyı yazalım.

[OP]

doğru parçasının

x

-ekseninin pozitif kısmı ile yaptığı açı

90^\circ + \theta

(yani

\frac{\pi}{2} + \theta

radyan) olarak bulunur.

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları, o noktayı belirleyen yarıçapın

x

-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı (standart konum) cinsinden ifade edilir.

2

Birim çember üzerindeki

P

noktasının koordinatlarını standart konumdaki açı cinsinden yazalım.

P(\cos(90^\circ + \theta), \sin(90^\circ + \theta))

koordinatları elde edilir.

Birim çember üzerinde

\alpha

açısına karşılık gelen nokta

(\cos\alpha, \sin\alpha)

biçimindedir.

3

Trigonometrik indirgeme formüllerini uygulayarak koordinatları

\theta

dar açısı cinsinden basitleştirelim.

P(-\sin\theta, \cos\theta)

elde edilir.

İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir.

90^\circ

(veya

\frac{\pi}{2}

) kullanıldığında fonksiyonların isimleri değişerek

\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta

ve

\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta

olur.

Key Concept

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların gösterimi ve indirgeme formülleri

Estimated Time:2m 0s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes