Problemler

Soru 361Soru →

Bir top kumaşın ucundan önce $\frac{3}{8}$ 'i, sonra kalanın $\frac{2}{5}$ 'i kesiliyor. Kumaşın orta noktası ilk duruma göre 15 cm kaydığına göre, kumaşın başlangıçtaki boyu kaç cm'dir?

24

40

48

60

96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Kumaşın başlangıçtaki boyu 48 cm'dir.

Kumaş problemlerinde orta nokta kayması, tek taraftan kesilen toplam miktarın yarısına eşittir. İlk kesim 3/8, ikinci kesim kalanın (5/8'in) 2/5'i yani 2/8'idir. Toplam kesim 5/8 olur. Kayma miktarı (5/8)/2 = 5/16'dır. 5/16'sı 15 olan sayının tamamı 48'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Kesilen parçaların kumaşın tamamına oranını belirle.

İlk kesilen:

\frac{3}{8}x

, Kalan:

\frac{5}{8}x

. İkinci kesilen:

\frac{5}{8}x \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{8}x = \frac{1}{4}x

.

İkinci kesim kalanın üzerinden yapıldığı için çarpma işlemi uygulanır.

2

Toplam kesilen miktarı hesapla.

Toplam Kesilen =

\frac{3}{8}x + \frac{2}{8}x = \frac{5}{8}x

.

Orta nokta kayması toplam kesilen miktara bağlıdır.

3

Orta nokta kayma formülünü uygula.

Kayma Miktarı =

\frac{\text{Toplam Kesilen}}{2} \Rightarrow 15 = \frac{\frac{5}{8}x}{2} = \frac{5}{16}x

.

Bir çubuğun bir ucundan parça kesilirse, orta nokta kesilen parçanın yarısı kadar diğer yöne kayar.

4

Denklemi çözerek başlangıç boyunu bul.

\frac{5x}{16} = 15 \Rightarrow 5x = 240 \Rightarrow x = 48

.

x değerini yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Orta Nokta Kayması

İpuçları

1

Bir kumaşın ucundan x cm kesilirse, orta noktası kesilen kısmın zıt yönüne doğru x/2 cm kayar.

2

Önce toplam ne kadar kumaş kesildiğini kesir cinsinden bulunuz. İkinci kesimin 'kalanın' üzerinden yapıldığına dikkat ediniz.

3

Toplam kesilen miktar kumaşın 5/8'idir. Bu miktarın yarısı 15 cm olduğuna göre denklemi kurunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, her iki uçtan kesim yapıldığında orta noktanın ne kadar kayacağını soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kumaşın boyuna işlem kolaylığı için paydaların ortak katı olan 40x diyerek de çözüm yapılabilir. İlk kesim 15x, kalan 25x. İkinci kesim 10x. Toplam kesilen 25x. Kayma 12.5x = 15 ise 40x = 48 bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 362Soru →

Bir manav, kilogramını $12$ TL'den aldığı bir miktar yaş kayısıyı kurutarak satacaktır. Kayısılar kuruduğunda ağırlığının $\%25$ 'ini kaybetmektedir. Manavın bu satıştan $\%50$ kâr elde edebilmesi için kuru kayısının kilogramını kaç TL'den satmalıdır?

16

18

20

24

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kuru kayısının kilogram satış fiyatı

24

TL olmalıdır.

Manavın hedeflediği toplam gelir

1200

TL maliyetin

\%50

fazlası olan

1800

TL'dir. Elinde kalan

75

kg kuru kayısının kilogramını

24

TL'den sattığında bu gelire tam olarak ulaşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

İşlemleri kolaylaştırmak için

100

kg yaş kayısı alındığını varsayarak toplam maliyeti hesaplayın.

100 \times 12 = 1200

TL

Başlangıçtaki toplam harcamayı belirlemek için.

2

Maliyet üzerinden

\%50

kâr eklendiğinde elde edilmesi gereken toplam geliri hesaplayın.

1200 + (1200 \times 0,50) = 1800

TL

Satış sonunda manavın kasasına girmesi gereken hedef tutarı bulmak için.

3

Kayısılar kuruduğunda

\%25

fire verdikten sonra elde kalan net ağırlığı hesaplayın.

100 - (100 \times 0,25) = 75

kg

Satılacak olan kuru ürün miktarını belirlemek için.

4

Hedeflenen toplam geliri, kalan ürün miktarına bölerek birim satış fiyatını bulun.

1800 / 75 = 24

TL/kg

Kuru kayısının kilogram fiyatını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Kar-zarar problemlerinde fire (ağırlık kaybı) durumunda, toplam maliyet değişmezken birim maliyet artar; kâr hesabı toplam maliyet üzerinden yapılır.

İpuçları

1

Önce

100

kg kayısı almış gibi düşünerek toplam cebinden çıkan parayı bulun.

2

Ürün kuruduğunda elinizde kaç kilogram ürün kaldığını ve kâr eklenince kaç TL kazanmanız gerektiğini ayrı ayrı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'enflasyon ve alım gücü' arasındaki ilişkiyi kurarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Birim maliyeti doğrudan fire oranına göre artırabilirsiniz:

12 / 0,75 = 16

TL (fireli birim maliyet). Ardından bu yeni maliyete

\%50

kâr ekleyerek:

16 \times 1,5 = 24

TL sonucuna ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 363Soru →

Bir kamu kurumunun peyzaj düzenleme çalışmaları kapsamında, belirlenen bir alanın ağaçlandırılması işi yapılacaktır. Bu işi tecrübeli bir bahçıvan tek başına 9 günde, yeni başlayan bir bahçıvan ise tek başına 18 günde bitirebilmektedir.

Buna göre, bu iki bahçıvan birlikte çalışırlarsa aynı işin tamamını kaç günde bitirirler?

4,5

6

9

13,5

27

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İki bahçıvan işi birlikte 6 günde bitirirler.

İşçi problemlerinde genel formül

\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_{ortak}}

şeklindedir. Verilenler yerine konulduğunda

\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}

bulunur. Buradan ortak çalışma süresi 6 gün olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İşçilerin birim zamanda (1 günde) yaptıkları iş miktarlarını bul.

Birinci bahçıvan 1 günde işin

\frac{1}{9}

'unu, ikinci bahçıvan ise

\frac{1}{18}

'ini yapar.

İşçi problemlerinde temel mantık, birim zamanda yapılan iş üzerinden gitmektir.

2

İki işçinin birim zamanda birlikte yaptıkları işi hesaplamak için kesirleri topla.

\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18}

Birlikte çalışma kapasitesini bulmak için bireysel kapasiteler toplanır.

3

Bulunan kesri sadeleştir ve işin tamamının ne kadar sürede biteceğini bul (kesri ters çevir).

\frac{3}{18} = \frac{1}{6}

. İşin tamamı (

1

) için geçen süre

t

ise,

\frac{1}{t} = \frac{1}{6} \Rightarrow t = 6

gündür.

Birim zamanda yapılan iş

\frac{1}{t}

ise, işin tamamı

t

sürede biter.

Anahtar Kavram

Birim Zamanda Yapılan İş

Soru 364Soru →

Bir lojistik firması, bir depodaki 630 adet koliyi taşımak için 40 ve 60 koli kapasiteli iki farklı türde araç kullanmaktadır. Toplam 12 seferin yapıldığı taşıma işlemiyle ilgili şunlar bilinmektedir:

* 40 koli kapasiteli araçların tamamı tam dolu olarak sefer yapmıştır.
* 60 koli kapasiteli araçlardan sadece biri yarı dolu, diğerleri tam dolu olarak sefer yapmıştır.

Buna göre, 40 koli kapasiteli araçla kaç sefer yapılmıştır?

2

3

4

6

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

40 koli kapasiteli araçla 3 sefer yapılmıştır.

Soruda verilen koşullar matematiksel modele döküldüğünde, 40 kapasiteli araçlarla yapılan sefer sayısı 3 olarak bulunur. Bu değer, toplam sefer (3+9=12) ve toplam yük (

3 \times 40 + 8 \times 60 + 1 \times 30 = 120 + 480 + 30 = 630

) koşullarını sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla.

40 kapasiteli araç sefer sayısı = x, 60 kapasiteli araç sefer sayısı = y olsun.

Bilinmeyen değerleri matematiksel ifadelere dönüştürmek için.

2

Toplam sefer sayısı denklemini kur.

x + y = 12

Soruda toplam 12 sefer yapıldığı belirtilmiştir.

3

Toplam koli sayısı denklemini kur (yarı dolu koşuluna dikkat et).

40x + 30 + 60(y - 1) = 630

40'lıklar tam dolu (40x). 60'lıklardan biri yarı dolu (30), kalanlar (y-1) tam doludur (60(y-1)).

4

Denklemi düzenle ve sadeleştir.

40x + 30 + 60y - 60 = 630 \Rightarrow 40x + 60y = 660 \Rightarrow 2x + 3y = 33

İşlemleri kolaylaştırmak için denklemi 20 ile sadeleştiriyoruz.

5

İki bilinmeyenli denklemi çöz.

2(x+y) = 2(12) \Rightarrow 2x + 2y = 24

. Bunu

2x + 3y = 33

'ten çıkarırsak

y = 9

bulunur.

x + 9 = 12 \Rightarrow x = 3

.

Yok etme metodu ile x değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Denklem Kurma ve Özel Koşullu Sayı Problemleri

İpuçları

1

İki bilinmeyen kullanın: 40'lık sefer sayısı 'x' ve 60'lık sefer sayısı 'y'. İlk denklem toplam sefer sayısıdır.

2

Yük denklemini kurarken 60'lık araçlardan birinin yükünü 30, diğerlerinin yükünü 60 olarak hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerden Giderek (Deneme-Yanılma): Cevabın 3 olduğunu varsayalım. 40'lık sefer 3 ise, 60'lık sefer 9'dur. Yükü hesaplayalım: (3*40) + (8*60) + (1*30) = 120 + 480 + 30 = 630. Doğru sonucu verdiği için cevap 3'tür.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 365Soru →

Aşağıdaki doğrusal grafikte, bir imalathanenin üretim miktarına bağlı olarak toplam maliyetindeki değişim gösterilmiştir. Bu imalathanede üretilen her bir ürün 60 TL'den satılmaktadır.

Buna göre, imalathanenin bu satıştan elde ettiği kârın, toplam maliyetin %50'sine eşit olması için kaç adet ürün satılması gerekir?

200

300

400

600

1200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 600

Cevap

İstenen kâr oranına ulaşmak için 600 adet ürün satılması gerekir.

Grafik verilerinden maliyet fonksiyonu C(x) = 20x + 12000 olarak bulunur. Satış geliri R(x) = 60x'tir. Kâr, maliyetin yarısına (%50) eşit olmalıdır: (60x - (20x + 12000)) = 0,5(20x + 12000). Bu denklem çözüldüğünde 30x = 18000 eşitliğinden x = 600 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Grafikten sabit maliyeti ve birim değişken maliyeti bulma

Grafik (0, 12000) noktasından başladığı için Sabit Maliyet = 12.000 TL'dir. (300, 18000) noktasından geçtiği için 300 ürünün değişken maliyeti 18000 - 12000 = 6000 TL'dir. Birim değişken maliyet = 6000 / 300 = 20 TL/adet.

Maliyet fonksiyonunu oluşturmak için doğrunun denklemini analiz etmemiz gerekir.

2

Toplam maliyet ve gelir fonksiyonlarını oluşturma

x adet ürün için; Toplam Maliyet C(x) = 20x + 12000. Toplam Gelir R(x) = 60x.

Kâr denklemini kurmak için gelir ve gideri x cinsinden ifade etmeliyiz.

3

Kâr denklemini kurma ve çözme

Kâr = Gelir - Maliyet. İstenen durum: Kâr = 0,50 * Maliyet. Yani; (60x) - (20x + 12000) = 0,5 * (20x + 12000).

Soruda verilen yüzde şartını matematiksel eşitliğe dökmek gerekir.

4

Denklemi çözme

40x - 12000 = 10x + 6000 → 30x = 18000 → x = 600.

Bilinmeyen x değerini bularak satış miktarını elde ederiz.

Anahtar Kavram

Doğrusal Grafiklerin Yorumlanması ve Kâr-Zarar Problemleri

İpuçları

1

Önce grafiğin y eksenini kestiği noktaya bakarak sabit maliyeti belirleyin, ardından eğimden birim başına üretim maliyetini (değişken maliyet) hesaplayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 366Soru →

A kabında ağırlıkça $\%20$ tuz içeren $x$ litre, B kabında ise ağırlıkça $\%50$ tuz içeren $y$ litre tuzlu su karışımı bulunmaktadır. Önce A kabındaki karışımın $\frac{1}{4}$ 'ü B kabına dökülüp karıştırılıyor. Daha sonra B kabında oluşan yeni karışımın $\frac{1}{5}$ 'i tekrar A kabına dökülüyor. Son durumda A kabındaki karışımın tuz oranı $\%25$ olduğuna göre, başlangıçtaki karışım miktarlarının oranı $\frac{x}{y}$ kaçtır?

1

\frac{5}{4}

\frac{4}{3}

\frac{3}{2}

\frac{5}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{4}$

Cevap

Başlangıçtaki karışım miktarlarının oranı 5/4'tür.

Doğru cevap, karışım korunum yasaları ve adım adım kütle takibi ile bulunur. İlk adımda A'dan B'ye aktarılan tuz miktarı ve karışım hacmi B'nin derişimini değiştirir. İkinci adımda, bu yeni derişime sahip karışımdan A'ya geri aktarım yapılır. Sonuçta A kabındaki toplam tuz miktarının toplam hacme oranı 0,25'e eşitlenerek denklem çözüldüğünde x/y oranı 5/4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki tuz ve su miktarlarını değişkenler cinsinden ifade etme.

A kabı:

x

litre,

\%20

tuz

\rightarrow

0,20x

tuz. B kabı:

y

litre,

\%50

tuz

\rightarrow

0,50y

tuz.

Karışım problemlerinde madde miktarı takibi yapmak esastır.

2

Birinci işlem: A'dan B'ye

\frac{x}{4}

litre karışım aktarma.

Aktarılan tuz:

0,20 \cdot \frac{x}{4} = 0,05x

. B'deki yeni hacim:

y + 0,25x

. B'deki yeni tuz:

0,50y + 0,05x

.

B kabının yeni derişimini hesaplamak için toplam madde ve toplam hacim bulunmalıdır.

3

İkinci işlem: B'deki yeni karışımın

\frac{1}{5}

'ini A'ya geri aktarma.

Aktarılan hacim:

\frac{1}{5}(y + 0,25x) = 0,2y + 0,05x

. Aktarılan tuz:

\frac{1}{5}(0,50y + 0,05x) = 0,10y + 0,01x

.

Geri aktarılan karışımın tuz oranı, B'deki son durumla aynıdır.

4

A kabındaki son durum için denklem kurma ve çözme.

A'da kalan hacim

0,75x

. Son hacim:

0,75x + 0,2y + 0,05x = 0,8x + 0,2y

. Son tuz:

0,15x + 0,10y + 0,01x = 0,16x + 0,10y

.

Son tuz oranı

\%25

(0,25) olarak verilmiştir.

5

Orantı kurarak

\frac{x}{y}

değerini bulma.

\frac{0,16x + 0,10y}{0,8x + 0,2y} = \frac{1}{4} \Rightarrow 0,64x + 0,40y = 0,8x + 0,2y \Rightarrow 0,2y = 0,16x \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}

.

İçler dışlar çarpımı ile x ve y arasındaki ilişki bulunur.

Anahtar Kavram

Homojen Karışımların Aktarılması ve Madde Korunumu

İpuçları

1

Karışım problemlerinde her adımda 'Toplam Tuz Miktarı / Toplam Karışım Miktarı' oranını takip etmek en güvenli yoldur.

2

Birinci adım sonunda B kabındaki yeni karışımın tuz yüzdesini

x

ve

y

cinsinden ifade etmeye çalışmayın; doğrudan transfer edilen tuz kütlesi üzerinden ilerleyin.

3

Son adımda A kabında kalan

\%75

hacimlik eski karışım ile B'den gelen

\%20

hacimlik yeni karışım birleşiyor. A'daki son tuz miktarı:

(0,15x) + (B'den gelen tuz)

.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'Buharlaşma sonucu tuz oranının değişimi' konusunu içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: Seçeneklerden gidilebilir. Örneğin oranın 5/4 olduğunu varsayarak

x=500

,

y=400

alıp işlemleri yaparak sonucun

\%25

çıkıp çıkmadığı kontrol edilebilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 367Soru →

A kabında ağırlıkça %40 şeker içeren 40 kg, B kabında ise ağırlıkça %20 şeker içeren 60 kg şekerli su karışımı bulunmaktadır.

Önce A kabındaki karışımın yarısı B kabına dökülüp karıştırılıyor. Daha sonra B kabında oluşan yeni karışımın dörtte biri (1/4'ü) alınıp A kabına dökülüyor.

Buna göre, son durumda A kabındaki karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

30

31,5

32,5

34

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32,5

Cevap

Son durumda A kabındaki karışımın şeker oranı %32,5'tir.

Doğru cevap, karışım süreçlerinin adım adım takip edilmesiyle bulunur. İlk adımda A'dan B'ye 20 kg (%40 şekerli) transfer edilir, bu da B'yi 80 kg ve %25 şeker oranına getirir. İkinci adımda B'den A'ya 20 kg (%25 şekerli) transfer edilir. A'da halihazırda 20 kg (%40 şekerli) karışım kaldığı için, eşit kütleli (20 kg ve 20 kg) iki karışım birleşmiş olur. Bu durumda son yüzde, karışanların yüzdelerinin aritmetik ortalaması olan

(40 + 25) / 2 = 32,5

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki şeker ve su miktarlarını hesapla.

A Kabı: 40 kg karışım, %40 şeker → 16 kg şeker. B Kabı: 60 kg karışım, %20 şeker → 12 kg şeker.

Her adımda madde miktarlarının korunumu ilkesini takip etmek için başlangıç değerleri gereklidir.

2

A kabındaki karışımın yarısını (20 kg) B kabına dök ve B'nin yeni yüzdesini hesapla.

B'ye eklenen: 20 kg (%40'lık) → 8 kg şeker. B'nin Yeni Hali: 60+20=80 kg toplam, 12+8=20 kg şeker. Yeni oran: 20/80 = %25.

İkinci transfer işlemi, B kabının güncellenmiş yoğunluğu üzerinden yapılmalıdır.

3

B'nin yeni karışımından dörtte birini (1/4) alıp A'ya geri dök ve A'nın son yüzdesini bul.

Transfer edilen: 80'in 1/4'ü = 20 kg. İçindeki şeker: 20 × %25 = 5 kg. A'da kalan: 20 kg (%40'lık, 8 kg şeker).

A kabının son durumunu bulmak için kalan miktar ile B'den gelen yeni karışımı birleştirmeliyiz.

4

A kabındaki son toplam madde ve şeker miktarını oranla.

Son A: 20 kg (kalan) + 20 kg (gelen) = 40 kg toplam. Şeker: 8 + 5 = 13 kg. Oran: 13/40 = %32,5.

Sonuç yüzdesi = (Toplam Şeker / Toplam Ağırlık) × 100 formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Ortalama ve Madde Korunumu

İpuçları

1

Karışım problemlerinde her adımda kaplardaki toplam ağırlığı ve saf madde (şeker) miktarını ayrı ayrı takip ediniz.

2

Birinci adım sonunda B kabında 60 kg eski karışım ve 20 kg A'dan gelen karışım vardır. B'nin yeni yüzdesini hesaplamadan ikinci adıma geçmeyiniz.

3

Son adımda A kabında kalan 20 kg (%40'lık) karışım ile B'den gelen 20 kg (%25'lik) karışım birleşmektedir. Kütleler eşit olduğunda yüzdelerin ortalamasını alabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kütle eşitliği yöntemi: Son adımda A'da kalan miktar (20 kg) ile B'den gelen miktar (20 kg) eşittir. Bu durumda uzun hesaplama yapmak yerine, karışan sıvıların yüzdelerinin aritmetik ortalaması alınabilir:

(40 + 25) / 2 = 32,5

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 368Soru →

Ardışık pozitif tam sayılar, $1$ 'den başlayarak her satıra satır numarası kadar sayı gelecek biçimde bir sayı piramidi oluşturmaktadır. Bu dizilişin ilk dört satırı aşağıda gösterilmiştir:

$1$ . Satır: $1$
$2$ . Satır: $2, 3$
$3$ . Satır: $4, 5, 6$
$4$ . Satır: $7, 8, 9, 10$

Buna göre, bu sayı piramidinin $10$ . satırında yer alan ilk sayı kaçtır?

44

45

46

55

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Sayı piramidinin

10

. satırındaki ilk sayı

46

'dır.

Sayı piramidinde her satırda satır numarası kadar sayı bulunduğu için,

10

. satıra kadar toplam kaç sayı yazıldığını bulmamız gerekir. İlk

9

satırın toplam sayı adedi

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

işleminden bulunur. Bu,

9

. satırın son sayısının

45

olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla,

10

. satırın ilk sayısı

45

'ten hemen sonra gelen

46

sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Satırlardaki sayı adedi ile satır numarası arasındaki ilişkiyi belirlemek.

Her satırdaki sayı adedi, o satırın numarasına eşittir (

1

. satırda

1

sayı,

2

. satırda

2

sayı, vb.).

Örüntünün genel kuralını anlamak için gereklidir.

2

10

. satıra gelene kadar (ilk

9

satırda) yazılan toplam sayı adedini hesaplamak.

1 + 2 + 3 + ... + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45

.

9

. satırın hangi sayıyla bittiğini bulmak için önceki satırlardaki toplam eleman sayısını bilmemiz gerekir.

3

10

. satırın başlangıç sayısını belirlemek.

45 + 1 = 46

.

9

. satırın son sayısı

45

ise, bir sonraki sayı

10

. satırın ilk sayısı olur.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülü kullanılarak örüntü analizi yapma.

İpuçları

1

Her satırda kaç tane sayı olduğuna dikkat edin:

1

. satırda

1

tane,

2

. satırda

2

tane...

2

10

. satıra başlamadan önce toplamda kaç sayının yazılmış olduğunu bulmak için

1

'den

9

'a kadar olan sayıları toplayın.

3

1

'den

n

'e kadar olan sayıların toplamı için

\frac{n(n+1)}{2}

formülünü kullanabilirsiniz.

9

. satır bittiğinde toplam

45

sayı yazılmış olur.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

20

. satırın son sayısını bulmaya çalışarak örüntü kavrama becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

n

. satırın ilk sayısını veren genel formül:

\frac{n(n-1)}{2} + 1

. Burada

n = 10

yazılırsa:

\frac{10 \times 9}{2} + 1 = 45 + 1 = 46

bulunur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 369Soru →

Bir boya ustası, elindeki iki farklı gri boyayı karıştırarak yeni bir ton elde etmek istemektedir. $A$ marka boyanın $\%40$ 'ı, $B$ marka boyanın ise $\%10$ 'u beyaz boyadan oluşmaktadır. Usta, $A$ marka boyadan $30$ kg alarak bunu belirli bir miktar $B$ marka boya ile karıştırmıştır. Elde edilen yeni karışımın $\%20$ 'si beyaz boya olduğuna göre, usta $B$ marka boyadan kaç kg kullanmıştır?

40

45

50

60

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Usta B marka boyadan

60

kg kullanmıştır.

Doğru yanıt olan seçenek, karışım denklemindeki saf madde korunumu ilkesini tam olarak sağlar.

30

kg

\%40

'lık boya ile

60

kg

\%10

'luk boya karıştırıldığında, toplam

90

kg karışım elde edilir ve bu karışımın içindeki toplam beyaz boya miktarı

12 + 6 = 18

kg olur.

18/90

oranı ise hedeflenen

\%20

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

A marka boyadaki beyaz boya miktarını hesapla.

30 \times \frac{40}{100} = 12

kg beyaz boya.

Karışımın içindeki saf madde miktarını belirlemek için toplam miktar ile yüzde çarpılır.

2

B marka boyadan kullanılan miktara

x

diyerek içindeki beyaz boya miktarını ifade et.

x \times \frac{10}{100} = 0,1x

kg beyaz boya.

Bilinmeyen miktar üzerinden saf madde miktarını cebirsel olarak ifade etmek gerekir.

3

Karışım denklemini kur ve çöz.

12 + 0,1x = (30 + x) \times \frac{20}{100} \Rightarrow 12 + 0,1x = 6 + 0,2x \Rightarrow 6 = 0,1x \Rightarrow x = 60

.

Karımlardaki toplam beyaz boya miktarı, son karışımdaki beyaz boya miktarına eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Karışım Problemlerinde Saf Madde Dengesi

İpuçları

1

Karışım sorularında 'Saf Madde Miktarı = Toplam Miktar × Yüzde' formülü her bileşen için ayrı ayrı uygulanır.

2

Eklenen B marka boya miktarını

x

olarak kabul edin. Son karışımın toplam ağırlığı

(30 + x)

kg olacaktır.

3

A'dan gelen beyaz boya (

12

kg) ile B'den gelen beyaz boyanın (

0,1x

) toplamı,

(30+x)

'in

\%20

'sine eşit olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Karışıma saf madde eklenmesi veya karışımdan su buharlaştırılması durumlarını içeren soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı mantığıyla (Terazi Yöntemi): A boyası

\%40

, B boyası

\%10

, hedef

\%20

. Hedefe uzaklıklar:

|40-20|=20

birim ve

|10-20|=10

birim. Miktarlar bu uzaklıklarla ters orantılıdır. Yani

30 \times 20 = x \times 10

eşitliğinden

x = 60

bulunur.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 370Soru →

Saatte $108$ km sabit hızla ilerleyen bir Yüksek Hızlı Tren (YHT), güzergahı üzerindeki bir tüneli $40$ saniyede, bir viyadüğü ise $25$ saniyede tamamen geçmektedir. Tünelin uzunluğunun viyadüğün uzunluğunun $2$ katı olduğu bilinmektedir. Buna göre, bu trenin uzunluğu kaç metredir?

250

300

450

600

900

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Trenin uzunluğu 300 metredir.

Soruda trenin tüneli ve viyadüğü 'tamamen geçtiği' belirtilmiştir. Bu durumda alınan yol formülü

X = V \cdot t

uygulanırken, yol (

X

) kısmına hem yapının uzunluğu hem de trenin uzunluğu eklenmelidir. Hız

30

m/sn'ye çevrildikten sonra, tünel geçişi için

Tren + Tünel = 1200

m, viyadük geçişi için

Tren + Viyadük = 750

m denklemleri kurulur. Tünelin viyadükten

2

kat uzun olduğu bilgisi kullanılarak aradaki farkın (

450

m) viyadük boyuna eşit olduğu bulunur. Buradan trenin boyu

300

m olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Hız birimini dönüştür

108 \text{ km/sa} = \frac{108000 \text{ m}}{3600 \text{ sn}} = 30 \text{ m/sn}

Süreler saniye cinsinden verildiği için hız metre/saniye cinsine çevrilmelidir.

2

Alınan toplam yolları hesapla

Tünel geçişi:

30 \times 40 = 1200

metre. Viyadük geçişi:

30 \times 25 = 750

metre.

Hız ve zaman çarpımı, (Tren Boyu + Geçilen Yapı Uzunluğu) toplamını verir.

3

Denklem sistemini kur

x + T = 1200

ve

x + V = 750

. Ayrıca

T = 2V

olduğu verilmiş.

x

: Tren boyu,

T

: Tünel boyu,

V

: Viyadük boyu.

4

Sistemi çöz

İki denklem taraf tarafa çıkarılırsa:

(x + T) - (x + V) = 1200 - 750 \Rightarrow T - V = 450

.

T=2V

yerine yazılırsa:

2V - V = 450 \Rightarrow V = 450

m.

Aradaki mesafe farkı, tünel ve viyadük boyları farkına eşittir.

5

Tren boyunu bul

x + 450 = 750 \Rightarrow x = 300

metre.

Viyadük uzunluğu yerine konularak trenin boyu bulunur.

Anahtar Kavram

Tren-Tünel problemlerinde alınan yol, trenin boyu ile tünelin boyunun toplamına eşittir.

İpuçları

1

Trenin bir tüneli tamamen geçmesi için, kendi boyu artı tünelin boyu kadar yol alması gerekir.

2

Hız birimi km/sa olarak verilmiş ancak süreler saniye cinsinden. Önce hızı m/sn cinsine çevirmelisin.

3

İki durum arasındaki süre farkı (15 saniye), alınan yol farkını oluşturur. Bu fark sadece tünel ve viyadük uzunlukları farkından kaynaklanır.

Alternatif Yöntem

Süre farkı yöntemini kullanabilirsin: Tren tüneli 40, viyadüğü 25 saniyede geçiyor. Aradaki 15 saniyelik fark, (Tünel - Viyadük) mesafesini almak için geçer.

15 \text{ sn} \times 30 \text{ m/sn} = 450 \text{ m}

. Tünel viyadüğün 2 katı olduğu için

2V - V = V = 450 \text{ m}

.

Tren + 450 = 25 \times 30

denkleminden tren 300 m bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 371Soru →

Bir belediyenin denetim birimi, sorumluluk alanındaki iş yerlerini denetlemek üzere bir çalışma takvimi hazırlamıştır. Denetim ekipleri, birinci hafta planlanan iş yerlerinin $\frac{2}{7}$ 'sini, ikinci hafta ise kalan iş yerlerinin $\frac{1}{4}$ 'ini denetlemiştir. İki haftanın sonunda henüz denetlenmemiş 150 iş yeri kaldığına göre, denetim planına dahil edilen toplam iş yeri sayısı kaçtır?

210

240

280

350

420

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 280

Cevap

Toplam iş yeri sayısı 280'dir.

Soruda verilen işlem adımları sırasıyla uygulandığında; ilk hafta sonrası kalanın

\frac{5}{7}

olduğu, ikinci hafta bu kalanın

\frac{1}{4}

'inin daha eksildiği görülür. Geriye kalanın

\frac{3}{4}

'ü kalır. Yani başlangıçtaki miktarın

\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{28}

'i 150'ye eşittir. Buradan toplam sayı 280 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam iş yeri sayısını bir değişken ile tanımla.

Toplam iş yeri sayısı =

x

olsun.

Bilinmeyen değeri bulmak için denklem kurmamız gerekir.

2

Birinci hafta denetlenen ve kalan miktarı hesapla.

Birinci hafta denetlenen:

\frac{2}{7}x

. Geriye kalan:

x - \frac{2}{7}x = \frac{5}{7}x

.

Problemde ikinci haftanın 'kalan' üzerinden hesaplandığı belirtilmiştir.

3

İkinci hafta denetlenen miktarı kalana göre hesapla.

İkinci hafta denetlenen:

\frac{5}{7}x \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{28}x

.

İkinci hafta yapılan iş, ilk haftadan arta kalanın dörtte biridir.

4

Son durumda kalan iş yeri sayısını kesir olarak ifade et.

Birinci kalandan (

\frac{5}{7}x

), ikinci hafta denetlenen (

\frac{5}{28}x

) çıkarılır:

\frac{5}{7}x - \frac{5}{28}x

. Paydaları eşitlemek için

\frac{5}{7}

kesri 4 ile genişletilir:

\frac{20}{28}x - \frac{5}{28}x = \frac{15}{28}x

.

Kalan miktarı verilen sayısal değere eşitlemek için kesir karşılığını bulmalıyız.

5

Denklemi kur ve çöz.

\frac{15}{28}x = 150

ise

x = \frac{150 \cdot 28}{15} = 10 \cdot 28 = 280

.

Son kalan miktar 150 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Bütünün kesri hesaplanırken, ardışık işlemlerde 'kalan' ifadesine dikkat edilmeli ve işlem sırası takip edilmelidir.

İpuçları

1

Soruda verilen işlemleri tersten yapmayı deneyebilirsiniz. Son kalan 150 iş yeri, ikinci hafta öncesindeki miktarın kaçta kaçıdır?

2

İkinci hafta, kalan iş yerlerinin

\frac{1}{4}

'i denetlendiğine göre, geriye bu 'kalan' miktarın

\frac{3}{4}

'ü kalmıştır. Yani

X \cdot \frac{3}{4} = 150

eşitliğinden ikinci hafta başındaki sayıyı bulabilirsiniz.

3

İkinci hafta başında 200 iş yeri vardır (150, 3 parça ise tamamı 200). Bu 200 iş yeri, ilk hafta sonrasındaki kalan kısımdır ve tüm işin

\frac{5}{7}

'sine eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, maaşının belirli oranlarını harcayan bir memurun kalan parasını hesaplama soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Ters İşlem Yöntemi: Geriye 150 kaldı. Bu, ikinci aşamadaki kalanın

\frac{3}{4}

'üdür (çünkü

\frac{1}{4}

'i gitti). O halde ikinci aşama öncesi:

150 \cdot \frac{4}{3} = 200

. Bu 200, birinci aşamadaki kalandır (yani tamamının

\frac{5}{7}

'si, çünkü

\frac{2}{7}

'si gitti). Tamamı:

200 \cdot \frac{7}{5} = 280

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 372Soru →

Bir marketin sadakat programında puan kazanma şartları şöyledir:

* Her gıda ürünü için $4$ puan,
* Her temizlik ürünü için $6$ puan verilmektedir.
* Kasadan geçen her $6.$ üründe (türü ne olursa olsun) sisteme ekstradan $10$ puan "sadakat bonusu" yansıtılmaktadır.

Sepetinde toplam $25$ ürün bulunan bir müşteri bu alışverişten toplam $164$ puan kazandığına göre, sepetindeki temizlik ürünü sayısı kaçtır?

7

10

12

13

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Müşterinin sepetinde 12 adet temizlik ürünü vardır.

Toplam puandan periyodik olarak gelen bonus puanları düşüldüğünde, kalan puan ürünlerin kendi değerlerinden oluşur. 25 ürün içinde 6'nın katı olan 4 sayı (6, 12, 18, 24) vardır, yani 40 puan bonustur. Geriye kalan 124 puan, temizlik (

6

puan) ve gıda (

4

puan) ürünlerinden elde edilir. Denklem kurulduğunda temizlik ürünü sayısı 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bonus puanlarını hesapla.

Toplam 25 ürün var. Her 6. üründe bonus veriliyor. 6, 12, 18 ve 24. ürünlerde olmak üzere toplam 4 kez bonus kazanılır. Toplam bonus:

4 \times 10 = 40

puan.

Problemdeki sabit olmayan (periyodik) puan kısmını ayıklamak için.

2

Ürünlerden gelen saf puanı bul.

Toplam puan 164. Bonus düşüldüğünde ürünlerin puanı:

164 - 40 = 124

puan.

Standart bir denklem kurma problemine dönüştürmek için.

3

Denklemi kur ve çöz.

Temizlik ürünü sayısına

x

diyelim. Gıda ürünü sayısı

(25 - x)

olur.
Denklem:

6x + 4(25 - x) = 124

6x + 100 - 4x = 124

2x = 24

x = 12

Bilinmeyeni bulmak için.

Anahtar Kavram

Periyodik Problemler ve Denklem Kurma

İpuçları

1

Önce, ürünlerin türünden bağımsız olarak kazanılan toplam 'sadakat bonusu' puanını hesaplayıp toplam puandan çıkarın.

2

25 ürün içinde 6'nın katı olan kaç sıra numarası olduğunu bulun (6, 12...). Bu sayı kadar 10 puanlık bonus kazanılmıştır.

3

Bonusları çıkardıktan sonra elinizde 124 puan ve 25 ürün kalıyor. 'Yok etme metodu' kullanarak temizlik ürünü sayısına

x

deyip denklemi

6x + 4(25-x) = 124

şeklinde kurabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'her 3 doğru cevapta 1 net artış' gibi periyodik kurallı sınav puanı hesaplama soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Varsayım Yöntemi: Tümü gıda ürünü olsaydı

25 \times 4 = 100

puan olurdu. Bonuslar (

40

puan) hariç hedeflenen puan

124

'tür. Aradaki fark (

124 - 100 = 24

), her bir temizlik ürününün gıdadan farkı (

6-4=2

) ile kapatılmalıdır.

24 / 2 = 12

temizlik ürünü gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 373Soru →

Bir pastacı, şeker oranı $\%10$ olan $20$ kg şerbet ile şeker oranı $\%20$ olan $30$ kg şerbeti büyük bir tencerede karıştırıyor. Elde edilen yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

12

14

15

16

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Yeni karışımın şeker oranı %16'dır.

Doğru yanıt olan %16 değerine, her iki şerbetteki şeker miktarlarını ayrı ayrı bulup toplam şeker miktarını yeni toplam ağırlığa bölerek ulaşılır. Toplam 8 kg şeker, 50 kg'lık toplam karışımın %16'sına tekabül eder.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci karışımdaki şeker miktarını hesapla.

20 \times \frac{10}{100} = 2

kg şeker

Karışımdaki saf madde miktarını bulmak için toplam ağırlık ile yüzde çarpılır.

2

İkinci karışımdaki şeker miktarını hesapla.

30 \times \frac{20}{100} = 6

kg şeker

İkinci karışımın katkısını belirlemek gerekir.

3

Toplam ağırlığı ve toplam şeker miktarını bul.

Toplam ağırlık:

20 + 30 = 50

kg, Toplam şeker:

2 + 6 = 8

kg

Yeni karışım, bileşenlerin toplamından oluşur.

4

Yeni karışımın yüzde oranını belirle.

\frac{8}{50} = \frac{16}{100} \Rightarrow \%16

Toplam madde miktarının toplam ağırlığa oranı yeni yüzdeyi verir.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinin temel kuralı: (1. Karışım Ağırlığı × 1. Yüzde) + (2. Karışım Ağırlığı × 2. Yüzde) = (Toplam Ağırlık × Yeni Yüzde) formülüdür. Bu mantık, toplam saf madde miktarının korunmasına dayanır.

İpuçları

1

Yeni karışımın içindeki toplam şeker miktarını ve karışımın toplam kilosunu bulmalısın.

2

İlk karışımdan gelen

2

kg şeker ile ikinci karışımdan gelen

6

kg şekeri toplayarak tenceredeki toplam şeker miktarını belirle.

3

Toplam

50

kg olan karışımın içinde toplam

8

kg şeker varsa, bu oranı paydayı

100

yapacak şekilde genişletmelisin.

Daha Fazla Pratik

Karışıma saf su eklenmesi veya karışımdan su buharlaştırılması durumlarında şeker miktarının nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik bir yaklaşım olarak; miktarlar

20

ve

30

kg olduğu için oran

2:3

'tür. Yeni yüzde, %10 ile %20 arasında, %20'ye (ağırlığı fazla olana) daha yakın olacaktır. Aradaki 10 birimlik farkı toplam 5 parçaya bölersek (2+3=5), %10'dan itibaren 3 parça ilerlemek bizi

10 + (3/5 \times 10) = 16

sonucuna götürür.

Tahmini Süre:45s

Soru 374Soru →

Bir konfeksiyon mağazası, toptan aldığı bir parti gömleğin %20'sinin defolu olduğunu tespit etmiştir. Mağaza, defolu gömlekleri maliyet fiyatı üzerinden %40 zararla elden çıkarmış, sağlam gömleklerin ise %25'ini maliyet fiyatı üzerinden %60 kârla satmıştır. Bu mağazanın tüm gömleklerin satışından, toplam maliyet üzerinden %28 kâr elde edebilmesi için, elinde kalan diğer sağlam gömlekleri maliyet üzerinden yüzde kaç kârla satması gerekir?

35

40

45

48

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Elinde kalan son grup sağlam gömlekleri %40 kârla satmalıdır.

Mağaza toplamda %28 kâr hedeflemektedir, bu da 100 birim maliyet için 128 birim gelir demektir. Defolu ürünlerden (20 adet) %40 zararla 12 birim, ilk parti sağlam ürünlerden (20 adet) %60 kârla 32 birim gelir elde edilmiştir. Toplam 44 birim gelir mevcuttur. Hedefe ulaşmak için kalan 60 üründen 84 birim gelir (128 - 44) elde edilmelidir. 84/60 = 1,4 olduğundan, birim başına %40 kâr gereklidir.

Adım Adım Çözüm

1

İşlem kolaylığı sağlaması için toplam gömlek sayısını 100 ve her birinin maliyetini 1 TL olarak varsayalım.

Toplam Maliyet = 100 x 1 = 100 TL.

Yüzde problemlerinde taban değeri 100 seçmek işlemleri basitleştirir.

2

Defolu ürünlerin miktarını ve satıştan elde edilen geliri hesaplayalım.

Defolu Miktar = 100'ün %20'si = 20 adet. Satış Fiyatı = 1 TL'nin %40 eksiği = 0,6 TL. Gelir = 20 x 0,6 = 12 TL.

Zararına satış gelirini toplam ciroya eklemek için.

3

İlk grup sağlam ürünlerin miktarını ve satış gelirini hesaplayalım.

Toplam Sağlam = 100 - 20 = 80 adet. İlk Grup = 80'in %25'i = 20 adet. Satış Fiyatı = 1 TL'nin %60 fazlası = 1,6 TL. Gelir = 20 x 1,6 = 32 TL.

Kârlı satışın ilk kısmını toplam gelire eklemek için.

4

Hedeflenen toplam kâr için gereken toplam geliri ve şu ana kadar elde edilen geliri karşılaştıralım.

Hedef Kâr = %28. Hedef Toplam Gelir = 100 + 28 = 128 TL. Mevcut Gelir = 12 (Defolu) + 32 (Sağlam 1) = 44 TL. Eksik Gelir = 128 - 44 = 84 TL.

Kalan ürünlerden ne kadar gelir elde edilmesi gerektiğini bulmak için.

5

Kalan ürün miktarını ve gereken birim kâr oranını bulalım.

Kalan Ürün = 80 (Sağlam) - 20 (Satılan) = 60 adet. Gereken Satış Fiyatı = 84 TL / 60 adet = 1,4 TL. Bu fiyat maliyetin (1 TL) %40 fazlasıdır.

Sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Bu soru, bütünü parçalara ayırarak her parçanın maliyet ve satış fiyatı üzerinden ağırlıklı ortalama hesabını yapmayı ve zarar durumunu toplam gelirden düşmeyi gerektirir.

İpuçları

1

Toplam gömlek sayısını 100 adet ve her birinin maliyetini 1 TL olarak varsayarak işe başlayın.

2

Önce defolu ürünlerden elde edilen kasaya giren parayı, sonra ilk grup sağlam ürünlerden kasaya giren parayı hesaplayın.

3

Hedeflenen toplam gelir 128 TL'dir. Şu ana kadar elde ettiğiniz geliri (12 TL + 32 TL) bundan çıkarıp, sonucu kalan 60 gömleğe bölün.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 375Soru →

Bir züccaciye dükkanı sahibi, tanesini $50$ TL'den aldığı bir miktar porselen tabağın $\%10$ 'unun taşıma sırasında kırıldığını fark etmiştir. Dükkan sahibi, sağlam kalan tabakların tanesini kaç TL'den satarsa tüm satıştan $\%35$ kâr elde eder?

60

67,5

72,5

75

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Dükkan sahibi sağlam kalan tabakların tanesini 75 TL'den satmalıdır.

Toplam maliyetin

\%35

fazlası olan

6750

TL'lik gelire ulaşmak için, sağlam kalan

90

birim ürünün her biri

75

TL'den satılmalıdır. Bu durum, hem maliyeti hem de hedeflenen kârı karşılamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam maliyeti hesapla.

100 adet tabak alındığını varsayalım:

100 \times 50 = 5000

TL.

Hesaplamaları kolaylaştırmak için ürün miktarını 100 birim olarak belirlemek standart bir yöntemdir.

2

Hedeflenen toplam satış gelirini bul.

5000 \times 1,35 = 6750

TL.

Tüm satıştan

\%35

kâr elde etmek için toplam maliyetin

\%135

'i kadar gelir elde edilmelidir.

3

Sağlam kalan ürün miktarını belirle.

100 \times 0,90 = 90

adet tabak.

Tabakların

\%10

'u kırıldığına göre geriye

\%90

'ı kalmıştır.

4

Birim satış fiyatını hesapla.

6750 / 90 = 75

TL.

Hedeflenen toplam gelirin, satışa sunulabilen sağlam ürün adedine bölünmesi birim fiyatı verir.

Anahtar Kavram

Kar-Zarar Problemlerinde Fire/Kırılma Durumu

İpuçları

1

Ürün sayısını 100 olarak kabul ederek toplam maliyeti ve kalan ürün sayısını bulmayı deneyin.

2

Toplam maliyetin üzerine

\%35

kâr ekleyerek ulaşmanız gereken 'toplam kasaya girmesi gereken para' miktarını hesaplayın.

3

Bulduğunuz toplam parayı, sağlam kalan 90 tabağa böldüğünüzde bir tabağın satış fiyatını elde edeceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Fire (ürün kaybı) içeren sorularda her zaman 'Toplam Maliyet = Toplam Satış' dengesini kârı da ekleyerek kurmaya özen gösterin.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak maliyet artış oranı üzerinden gidilebilir: Ürünlerin

\%10

'u gittiği için maliyet

50 / 0,90 = 55,55...

TL'ye yükselmiştir. Bu yeni maliyetin

\%35

kârlı hali:

(50 / 0,90) \times 1,35 = 50 \times (1,35 / 0,90) = 50 \times 1,5 = 75

TL olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 376Soru →

Ali, Burak ve Can'ın yaşları birer tam sayıdır. Bu üç kişinin yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ali, Burak'ın bugünkü yaşındayken; Burak, Can'ın o tarihteki yaşının 2 katı yaştaydı.
* Can, Burak'ın bugünkü yaşına geldiğinde ise üçünün yaşları toplamı 84 olacaktır.

Buna göre, Burak'ın bugünkü yaşı kaçtır?

18

21

24

28

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Burak'ın bugünkü yaşı 21'dir.

Ali, Burak ve Can'ın yaşları arasındaki ilişkiyi zaman farklarına göre kurduğumuzda, Ali'nin Can'ın iki katı yaşında olduğu (A=2C) ve gelecekteki toplam yaş denkleminde A ve C'nin birbirini sadeleştirdiği görülür. Bu matematiksel sadeleşme sonucunda doğrudan Burak'ın yaşı hesaplanabilir. 4B = 84 eşitliğinden Burak 21 yaşında bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kişilerin bugünkü yaşlarını değişkenlerle ifade edip geçmiş zaman ilişkisini kur.

Ali=A, Burak=B, Can=C olsun. Ali, Burak'ın yaşındayken (yani geçmişte), geçen süre (A-B) yıldır. Bu tarihte Burak'ın yaşı: B - (A-B) = 2B - A olur. Can'ın yaşı: C - (A-B) = C - A + B olur.

Yaş problemlerinde 'zaman farkı' herkes için eşittir ilkesini uygulamak gerekir.

2

Birinci öncüldeki denklemi çözerek A ve C arasındaki ilişkiyi bul.

Burak o tarihte Can'ın 2 katı yaşındaydı: 2B - A = 2(C - A + B) → 2B - A = 2C - 2A + 2B. Buradan A = 2C bulunur.

Bu ilişki, ilerideki toplama işleminde değişkenleri sadeleştirmek için kritiktir.

3

Gelecek zaman durumunu (ikinci öncül) denkleme dök.

Can, Burak'ın yaşına geldiğinde (yani B yaşına), aradan geçen süre (B-C) yıldır. Yeni yaşlar toplamı: (A + B - C) + (B + B - C) + B = 84 → A + 4B - 2C = 84.

Herkesin yaşı (B-C) kadar artmıştır. Yeni yaşların toplamı 84'e eşitlenir.

4

Bulunan iki denklemi birleştirerek sonucu bul.

A = 2C bilgisini A + 4B - 2C = 84 denkleminde yerine yazalım: (2C) + 4B - 2C = 84 → 4B = 84 → B = 21.

A ve 2C terimleri birbirini götürür, doğrudan Burak'ın yaşı bulunur.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde kişiler arasındaki yaş farkı sabittir, ancak geçen süre herkesin yaşına aynı miktarda eklenir veya çıkarılır.

İpuçları

1

Ali'nin Burak'ın bugünkü yaşına inmesi için 'A - B' yıl geriye gitmek gerekir. Bu süreyi diğer kişilerin yaşlarından da çıkarmalısınız.

2

Birinci öncülden elde edeceğiniz denklemde 'A = 2C' ilişkisini bulmaya çalışın.

3

Gelecekteki yaşlar toplamı denklemi 'A + 4B - 2C = 84' şeklindedir. A yerine 2C yazdığınızda ne olduğunu görün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan, ancak yaş farkının sabit olduğu iki kişilik problemler çözülerek pekiştirilebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: Burak'ın yaşı şıklardan gidilerek denenebilir. Örneğin B=21 için; A=2C ilişkisiyle A=28, C=14 olsun (A>B>C mantıklı). Can 21 olduğunda (7 yıl sonra), yaşlar 35, 28, 21 olur. Toplam: 35+28+21 = 84. Sağlıyor.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 377Soru →

Bir lojistik firmasına ait kargo aracı, A merkezinden B şubesine saatte $60$ km sabit hızla gitmiş ve hiç durmadan B şubesinden A merkezine saatte $V$ km sabit hızla geri dönmüştür. Aracın gidiş ve dönüşteki ortalama hızı saatte $72$ km'dir. Aracın gidiş süresi, dönüş süresinden $40$ dakika daha uzun olduğuna göre, A merkezi ile B şubesi arasındaki yol kaç kilometredir?

70

90

120

180

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120 kilometre

Soruda gidiş ve dönüş yolları eşit olduğundan ortalama hız harmonik ortalama formülü (

V_{ort} = \frac{2V_1V_2}{V_1+V_2}

) ile hesaplanır. Buradan dönüş hızı

V=90

km/sa bulunur. Gidiş süresi ile dönüş süresi arasındaki 40 dakikalık fark (

\frac{2}{3}

saat),

\frac{x}{60} - \frac{x}{90} = \frac{2}{3}

denkleminde yerine konularak yolun 120 km olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüş hızını (V) bulmak için ortalama hız formülünü kullan.

V_{ort} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1 + V_2} \Rightarrow 72 = \frac{2 \cdot 60 \cdot V}{60 + V}

Gidiş ve dönüş yolları eşit olduğunda ortalama hız harmonik ortalama ile bulunur.

2

Denklemi çözerek V değerini hesapla.

72(60 + V) = 120V \Rightarrow 4320 + 72V = 120V \Rightarrow 48V = 4320 \Rightarrow V = 90

km/sa.

Dönüş hızını bulmadan mesafeyi hesaplayamayız.

3

Zaman farkını birim olarak saat cinsine çevir ve denklem kur.

40

dakika =

\frac{40}{60} = \frac{2}{3}

saat. Yol

x

olsun. Gidiş süresi (

t_1

) - Dönüş süresi (

t_2

) =

\frac{2}{3}

.

Hızlar km/saat cinsinden olduğu için zaman farkı da saat cinsinden yazılmalıdır.

4

Yol denklemini kur ve çöz.

\frac{x}{60} - \frac{x}{90} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{3x - 2x}{180} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{x}{180} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 120

km.

Süre = Yol / Hız formülü kullanılarak mesafe bulunur.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız (Harmonic Ortalama) ve Birim Çevirme

Soru 378Soru →

Bir yük treni, gideceği yolun ilk yarısını saatte $40$ km, kalan yarısını ise saatte $60$ km sabit hızla tamamlamıştır. Bu tren hareket ettikten $20$ dakika sonra, aynı istasyondan aynı yöne doğru saatte $72$ km sabit hızla bir yolcu treni hareket etmiştir. Buna göre, yolcu treni harekete başladıktan kaç dakika sonra yük trenini yakalar?

25

30

40

45

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Yolcu treni harekete geçtikten 40 dakika sonra yük trenini yakalar.

Yük treninin harmonik ortalama ile hesaplanan

48

km/sa hızı, yolcu treni kalkana kadar geçen

20

dakikada

16

km mesafe oluşturur. Saatte

72

km hızla giden yolcu treni ile yük treni arasındaki

24

km/sa'lik hız farkı (bağıl hız), bu

16

km'lik mesafeyi tam

40

dakikada kapatır.

Adım Adım Çözüm

1

Yük treninin tüm yol boyunca ortalama hızını hesaplayın.

V_{ort} = \frac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48

km/sa

Yolun iki eşit yarısında farklı hızlar kullanıldığı için ortalama hız harmonik ortalama formülü ile bulunur.

2

Yük treninin tek başına hareket ettiği süreyi saate çevirin.

20

dakika

= \frac{20}{60} = \frac{1}{3}

saat

Hız birimi km/saat olduğundan süre birimi de saate çevrilmelidir.

3

Yolcu treni harekete başladığında iki tren arasındaki mesafe farkını bulun.

x = V_{ort} \times t = 48 \times \frac{1}{3} = 16

km

Yolcu treni kalkana kadar geçen sürede yük treninin aldığı yol, kapatılması gereken mesafedir.

4

Trenler arasındaki bağıl hızı (hız farkını) belirleyin.

V_{bağıl} = 72 - 48 = 24

km/sa

Aynı yöne giden araçların birbirine göre hızı, hızlarının farkına eşittir.

5

Yolcu treninin yük trenini yakalama süresini saat cinsinden hesaplayın.

t_{yakalama} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}

saat

Yakalama süresi, aradaki mesafenin bağıl hıza bölünmesiyle bulunur (

t = x / V_{bağıl}

).

6

Sonucu tekrar dakika birimine çevirin.

\frac{2}{3} \times 60 = 40

dakika

Soru bizden sonucu dakika cinsinden istemektedir.

Anahtar Kavram

Hareket problemlerinde ortalama hız (harmonik ortalama) ve aynı yöne hareket eden araçlarda bağıl hız kavramlarının birlikte kullanımı.

Soru 379Soru →

Dairesel bir platform üzerinde, saat yönünde artan sırada 1'den 9'a kadar numaralandırılmış 9 adet sensör bulunmaktadır. Sistem başlangıçta 1 numaralı sensörü aktif etmektedir.

Sistemin işleyiş kuralı şu şekildedir: $n$ . işlem adımında, aktif olan sensörden başlanarak saat yönünde $(2n + 1)$ birim ilerlenir ve varılan noktadaki sensör yeni aktif sensör olur.

Buna göre, 12. işlem adımının sonunda aktif olan sensörün numarası kaçtır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

12. adımın sonunda aktif olan sensör 7 numaralı sensördür.

Toplam yer değiştirme miktarı 1'den 12'ye kadar olan

(2n+1)

terimlerinin toplamıdır. Bu toplam 168 birim eder. 9 sensörlü bir dairesel sistemde 168 birimlik hareket,

168 \pmod 9 = 6

birimlik net ilerlemeye denktir. Başlangıç sensörü 1 olduğu için, 6 birim ilerlendiğinde 7 numaralı sensöre ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir adımda gerçekleşen yer değiştirme miktarını belirle.

n

. adımda yer değiştirme miktarı

(2n + 1)

birimdir.

Soruda verilen kurala göre hareket miktarı tanımlanmıştır.

2

12 adım sonundaki toplam yer değiştirme miktarını hesapla.

Toplam yer değiştirme =

\sum_{n=1}^{12} (2n + 1)

Konum değişikliği kümülatif olduğu için tüm adımların toplamı alınmalıdır.

3

Toplam formülünü uygula.

2 \cdot \frac{12 \cdot 13}{2} + 12 \cdot 1 = 156 + 12 = 168

birim.

\sum (an+b) = a \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \cdot b

formülü kullanılır.

4

Toplam yer değiştirmenin mod 9'a göre dengini bul.

168 \pmod 9 \equiv 6

. (Çünkü

1+6+8=15

,

15

'in 9'a bölümünden kalan 6'dır).

9 sensörlü dairesel sistemde her 9 birimlik hareket aynı konuma getirir.

5

Başlangıç konumuna kalanı ekleyerek sonucu bul.

Başlangıç (1) + Yer değiştirme (6) = 7.

Sistem 1 numaradan başladığı için kalan değer üzerine eklenir.

Anahtar Kavram

Modüler Aritmetik ve Sayı Dizileri Toplamı

İpuçları

1

Sensörlerin dairesel dizilmesi, işlemin modüler aritmetik (kalan bulma) ile ilgili olduğunu gösterir.

2

Her adımda gidilen mesafe artmaktadır. 12 adımın sonunda toplam ne kadar yol alındığını bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, sensör sayısının 9 yerine 12 olduğu durumda sonucun nasıl değişeceğini düşünün.

Alternatif Yöntem

Toplam formülü yerine ardışık toplam mantığı kullanılabilir: Tek sayıların toplamı

n^2

ile ilişkilidir ancak burada formül

\sum(2n+1) = n(n+1) + n = n^2 + 2n

.

12^2 + 24 = 144 + 24 = 168

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 380Soru →

Bir kamu kurumuna bağlı olarak hizmet veren gezici kütüphane aracı, merkeze uzak bir köy okuluna kitap ulaştırmak amacıyla yola çıkmıştır. Bu araç, saatte $75$ km sabit hızla hiç mola vermeden $3$ saat boyunca hareket ederek köye ulaşmıştır.

Buna göre, gezici kütüphane aracının merkezden köye gidene kadar aldığı toplam yol kaç kilometredir?

225

25

78

150

300

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $225$

Cevap

Gezici kütüphane aracının aldığı toplam yol

225

kilometredir.

Doğru yanıt olan seçenek, temel hareket formülü olan

Yol = Hız \times Zaman

(

x = v \cdot t

) bağıntısının uygulanmasıyla bulunur. Saatte

75

km hızla

3

saat hareket eden bir araç için

75 \times 3 = 225

km hesabı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemde verilen değerleri tanımlayalım.

Hız (

v

) =

75

km/sa, Zaman (

t

) =

3

saat.

Hareket problemlerinde temel bileşenler olan hız ve zaman verilerini belirlemek çözümün ilk adımıdır.

2

Temel hareket formülünü uygulayalım.

Yol = Hız \times Zaman

yani

x = v \times t

Sabit hızla hareket eden bir nesnenin aldığı yol, hızı ile hareket süresinin çarpımına eşittir.

3

Verilen değerleri formülde yerine koyarak çarpma işlemini gerçekleştirelim.

75 \times 3 = 225

km

75

km/sa hızla

3

saat giden bir araç her saat

75

km yol alacağı için toplamda

225

km yol katetmiş olur.

Anahtar Kavram

Sabit hızla hareket eden bir cismin aldığı yol, hız (

v

) ve zaman (

t

) parametrelerinin çarpımı (

x = v \cdot t

) ile bulunur.

İpuçları

1

Aracın her bir saatte ne kadar yol aldığını düşünün.

2

Hareket problemlerinde yol, hız ve zaman arasındaki temel ilişkiyi hatırlayın:

Yol = Hız \times Zaman

.

3

75

sayısını

3

ile çarparak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda yolu ve hızı verip zamanı bulmayı deneyerek formülün farklı kullanımlarını pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram