Examkin

Sayma ve Olasılık

293 soru

Soru 201Soru →
(x2−2x)6\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6
ifadesinin açılımındaki sabit terim (x'ten bağımsız terim) aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

İfadenin sabit terimi 240'tır.
Verilen ifadenin genel terimi
(6r)(x2)6−r(−2x−1)r\binom{6}{r}(x^2)^{6-r}(-2x^{-1})^r
şeklinde yazılır. x'in kuvvetleri düzenlendiğinde
x12−3rx^{12-3r}
elde edilir. Sabit terim olması için kuvvetin 0 olması gerekir (
12−3r=012-3r=0
), buradan
r=4r=4
bulunur. Katsayı hesabı yapıldığında
(64)(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4}(-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240
sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz.
(6r)(x2)6−r⋅(−2x−1)r\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \cdot (-2x^{-1})^r
Binom açılımının genel terimi
(nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r
formülü ile bulunur.
2
x'in kuvvetlerini düzenle.
(6r)⋅(−2)r⋅x2(6−r)⋅x−r=(6r)(−2)rx12−2r−r=(6r)(−2)rx12−3r\binom{6}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{2(6-r)} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-2r-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-3r}
Katsayıyı ve değişkenin üslerini ayrıştırarak x'in toplam kuvvetini bulmak gerekir.
3
Sabit terim için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve r değerini bul.
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (yani x'in kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.
4
Bulunan r değerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.
(64)⋅(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240
(64)=6⋅52⋅1=15\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
ve
(−2)4=16(-2)^4 = 16
olduğu için çarpım 240'tır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında sabit terimi bulmak için genel terim formülünde değişkenin üssü 0'a eşitlenir.
Soru 202Soru →

Bir İl Özel İdaresinde görevli 88 teknik personel arasından, bir altyapı projesini denetlemek üzere 44 kişilik bir "Geçici Kabul Komisyonu" oluşturulacaktır. Bu personeller arasında yer alan Müdür ve Müdür Yardımcısının idari sebeplerle aynı komisyonda bulunmamaları gerekmektedir.

Buna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Komisyon 55 farklı şekilde oluşturulabilir
Problemi çözmek için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en pratik yoldur. Toplam 8 kişi arasından 4 kişi C(8,4)=70C(8,4)=70 farklı şekilde seçilebilir. İstenmeyen durum, Müdür ve Müdür Yardımcısının birlikte seçilmesidir. Bu iki kişi seçildiğinde, geriye kalan 6 kişiden 2 kişi daha seçilmelidir: C(6,2)=15C(6,2)=15. Sonuç olarak 70−15=5570 - 15 = 55 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm durumların sayısını hesapla (koşulsuz seçim).
C(8,4)=8⋅7⋅6⋅54⋅3⋅2⋅1=70C(8, 4) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70
Toplam 8 personelden 4'ü seçilecektir.
2
İstenmeyen durumların sayısını hesapla (Müdür ve Müdür Yardımcısının birlikte olduğu durumlar).
C(6,2)=6⋅52⋅1=15C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
Müdür ve Müdür Yardımcısı seçilirse, geriye kalan 6 kişiden 2 kişi daha seçilmelidir.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
70−15=5570 - 15 = 55
Toplam olasılıklardan kısıtlamaya uymayanlar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Kombinasyon Hesabı

İpuçları

1
Doğrudan istenen durumları saymak yerine, tüm olasılıklardan istenmeyen durumu çıkarmayı deneyin.
2
İstenmeyen durum: Müdür ve Müdür Yardımcısının aynı anda ekipte olmasıdır. Bu durumda geriye kalan 2 üyeyi kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?
3
Tüm seçimler C(8,4)C(8,4)'tür. İkisinin birlikte olduğu durum C(6,2)C(6,2)'dir. Farkı alın.

Alternatif Yöntem

Ayrık durumları toplama yöntemi: (İkisi de yok: C(6,4)=15C(6,4)=15) + (Sadece Müdür var: C(6,3)=20C(6,3)=20) + (Sadece Yrd. var: C(6,3)=20C(6,3)=20) = 15+20+20=5515 + 20 + 20 = 55.
Soru 203Soru →

A ve B torbaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A torbasında: 4 sarı, 2 mavi bilye vardır.
* B torbasında: 3 sarı, 5 mavi bilye vardır.

Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayı 3'ten küçükse A torbasından, 3 veya daha büyükse B torbasından rastgele bir bilye çekiliyor.

Çekilen bilyenin sarı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin A torbasından alınmış olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 817\frac{8}{17}

Cevap

817\frac{8}{17}
Çekilen bilyenin sarı olduğu bilindiğine göre, örnek uzayımız artık tüm bilyeler değil, sadece 'sarı bilye çekilen durumlar' kümesidir. Bu durumda Bayes teoremi kullanılır.

İstenen Durum: A torbasından Sarı gelmesi = 13×46=29=836\frac{1}{3} \times \frac{4}{6} = \frac{2}{9} = \frac{8}{36}

Tüm Durumlar: (A'dan Sarı) + (B'den Sarı) = 836+(23×38)=836+14=836+936=1736\frac{8}{36} + (\frac{2}{3} \times \frac{3}{8}) = \frac{8}{36} + \frac{1}{4} = \frac{8}{36} + \frac{9}{36} = \frac{17}{36}

Olasılık = I˙stenenTu¨m=8/3617/36=817\frac{\text{İstenen}}{\text{Tüm}} = \frac{8/36}{17/36} = \frac{8}{17} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Zar atışına göre torbaların seçilme olasılıklarını hesapla.
Zar {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 durumludur.
P(A Torbası)=P(Zar<3)=P({1,2})=26=13P(\text{A Torbası}) = P(\text{Zar} < 3) = P(\{1, 2\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
P(B Torbası)=P(Zar≥3)=P({3,4,5,6})=46=23P(\text{B Torbası}) = P(\text{Zar} \geq 3) = P(\{3, 4, 5, 6\}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Olasılık ağacının ilk dalını oluşturmak için torba seçim olasılıkları gereklidir.
2
Her torbadan sarı bilye çekilme olasılığını hesapla (P(S∣A)P(S|A) ve P(S∣B)P(S|B)).
A Torbası (4 Sarı, 2 Mavi, Toplam 6): P(S∣A)=46=23P(S|A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
B Torbası (3 Sarı, 5 Mavi, Toplam 8): P(S∣B)=38P(S|B) = \frac{3}{8}
Koşullu olasılık formülünde kullanılacak parçaları bulmak gerekir.
3
Toplam olasılık kuralı ile çekilen bilyenin sarı olma olasılığını (P(S)P(S)) bul.
P(S)=P(A)⋅P(S∣A)+P(B)⋅P(S∣B)P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B)
P(S)=(13⋅23)+(23⋅38)=29+624P(S) = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}\right) = \frac{2}{9} + \frac{6}{24}
P(S)=29+14=836+936=1736P(S) = \frac{2}{9} + \frac{1}{4} = \frac{8}{36} + \frac{9}{36} = \frac{17}{36}
Bayes teoreminin paydası olan 'tüm sarı gelme durumları' hesaplanmalıdır.
4
Koşullu olasılık formülünü uygula: P(A∣S)=P(A∩S)P(S)P(A|S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)}.
P(A∣S)=P(A)⋅P(S∣A)P(S)=2/917/36P(A|S) = \frac{P(A) \cdot P(S|A)}{P(S)} = \frac{2/9}{17/36}
Paydaları eşitlemek için 29=836\frac{2}{9} = \frac{8}{36} yazılır.
P(A∣S)=8/3617/36=817P(A|S) = \frac{8/36}{17/36} = \frac{8}{17}
İstenen durum (A'dan Sarı), tüm olası durumlara (Herhangi bir Sarı) oranlanır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık

İpuçları

1
Önce zar atışına göre hangi torbanın seçilme ihtimalinin ne olduğunu hesaplayın (1/3 ve 2/3).
2
İki ayrı durumu hesaplayın: 1) A torbası seçilip sarı gelmesi, 2) B torbası seçilip sarı gelmesi.
3
Koşullu olasılık formülü: (A'dan Sarı gelme olasılığı) / (Toplam Sarı gelme olasılığı).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'B torbasından gelme olasılığı' için çözünüz veya bilye renklerini değiştirerek deneyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 204Soru →

Bir devlet arşivi uzmanı, restore edilen 33 farklı Osmanlı dönemi fermanı ile 33 farklı Cumhuriyet dönemi kararnamesini sergilemek amacıyla tek bir vitrin rafına yan yana dizecektir. Aynı döneme ait belgelerin yan yana gelmemesi koşuluyla, bu 66 belge kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7272

Cevap

Belgeler, aynı türden olanlar yan yana gelmeyecek şekilde 7272 farklı biçimde sıralanabilir.
Doğru cevap olan 7272 değeri, belgelerin önce türlerine göre dizilim şablonlarının (O-C-O-C-O-C veya C-O-C-O-C-O olmak üzere 22 şablon) belirlenmesi ve ardından her türün kendi içindeki farklı sıralanışlarının (3!×3!=363! \times 3! = 36) bu şablon sayısıyla çarpılması (36×236 \times 2) sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olası dizilim kalıplarını belirleyin.
O (Osmanlı) ve C (Cumhuriyet) olmak üzere iki ana kalıp vardır: 1) O-C-O-C-O-C ve 2) C-O-C-O-C-O.
Toplamda 3'er adet belge olduğu için, aynı türden olanların yan yana gelmemesi ancak bu şekilde ardışık (münavebeli) dizilmeleriyle mümkündür.
2
Birinci kalıp (O-C-O-C-O-C) için sıralama sayısını hesaplayın.
3!×3!=6×6=363! \times 3! = 6 \times 6 = 36.
3 farklı Osmanlı fermanı kendi arasında 3!3! kadar, 3 farklı Cumhuriyet kararnamesi kendi arasında 3!3! kadar farklı şekilde sıralanabilir.
3
Toplam sıralama sayısını hesaplayın.
36×2=7236 \times 2 = 72.
Aynı durum Cumhuriyet kararnamesi ile başlayan ikinci kalıp (C-O-C-O-C-O) için de geçerlidir (3636 durum).

Anahtar Kavram

Koşullu Permütasyon (Nesnelerin Belirli Bir Düzende Sıralanması)

İpuçları

1
Belgelerin aynı türden olanlarının yan yana gelmemesi için 'bir Osmanlı, bir Cumhuriyet' şeklinde ardışık dizilmeleri gerekir.
2
Dizilimin Osmanlı fermanıyla mı yoksa Cumhuriyet kararnamesiyle mi başladığını kontrol edin; iki farklı başlangıç durumu mevcuttur.
3
Her bir tür için 3!3! farklı sıralama olduğunu ve toplamda iki ana kalıp (O-C... ve C-O...) olduğunu kullanarak 2×3!×3!2 \times 3! \times 3! işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Nesne sayıları eşit olmadığında (örneğin 4 ferman ve 3 kararname) dizilimin nasıl değişeceğini ve neden sadece tek bir ana kalıbın mümkün olacağını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce 3 Osmanlı fermanını aralarında boşluk kalacak şekilde sıralayın (3!3!). Oluşan 4 boşluğa (baş, aralar ve son) 3 Cumhuriyet kararnamesini, aralarda boşluk kalmayacak ve sadece fermanların arasına/uçlarına gelecek şekilde kaç farklı biçimde yerleşebileceğini düşünün. Ancak bu durumda ferman ve kararnamelerin sayıları eşit olduğu için sadece iki tam kalıp oluşacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 205Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin 35\frac{3}{5}'i idari işler biriminde, geri kalanı ise teknik işler biriminde görev yapmaktadır. İdari işler birimindeki personelin 13\frac{1}{3}'ü, teknik işler birimindeki personelin ise 14\frac{1}{4}'ü yüksek lisans mezunudur.

Bu kurumdan rastgele seçilen bir personelin yüksek lisans mezunu olduğu bilindiğine göre, bu personelin idari işler biriminde görev yapıyor olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23\frac{2}{3}

Cevap

Seçilen personelin idari işler biriminde olma olasılığı 23\frac{2}{3} olarak bulunur.
Kurumda yüksek lisans mezunu olan toplam kişi sayısı, her iki birimdeki mezunların toplamıdır. İdari birimdeki mezunların sayısı bu toplam mezun sayısına oranlandığında, yüksek lisans mezunu olduğu bilinen birinin idari birimde çalışma olasılığı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam personel sayısı için paydalara uygun bir değer belirleme
Toplam personel sayısı 60x60x olsun.
Hesaplamalarda kesirlerle uğraşmamak için 55, 33 ve 44 sayılarının ortak katı seçilmiştir.
2
Birimlerdeki personel sayılarını hesaplama
İdari İşler: 60x×35=36x60x \times \frac{3}{5} = 36x, Teknik İşler: 60x−36x=24x60x - 36x = 24x.
Personelin 35\frac{3}{5}'i idari, geri kalanı tekniktir.
3
Yüksek lisans mezunu sayılarını belirleme
İdari & Yüksek Lisans: 36x×13=12x36x \times \frac{1}{3} = 12x. Teknik & Yüksek Lisans: 24x×14=6x24x \times \frac{1}{4} = 6x.
Birimlerdeki yüksek lisans oranları personelin kendi grupları üzerinden hesaplanır.
4
Koşullu olasılık formülünü uygulama
Toplam Yüksek Lisanslı: 12x+6x=18x12x + 6x = 18x. Olasılık: 12x18x=23\frac{12x}{18x} = \frac{2}{3}.
Koşullu olasılıkta istenen durum (İdari ve Yüksek Lisans), bilinen duruma (Tüm Yüksek Lisanslılar) bölünür.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Uygulaması)

İpuçları

1
Toplam personel sayısını paydaların ortak katı olan bir sayı (örneğin 100 veya 60) kabul ederek başlayın.
2
Sadece yüksek lisans mezunu olan personellerin sayılarını bulun. Örnek uzayınız (payda) bu toplam sayı olacaktır.
3
İdari birimde görev yapan yüksek lisanslı sayısını, toplam yüksek lisanslı sayısına oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, üç farklı birim ve birimlere göre hata oranları üzerinden kurgulayarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Bayes Formülü kullanılarak: P(I˙dari∣Y.Lisans)=P(I˙dari)⋅P(Y.Lisans∣I˙dari)P(Y.Lisans)=(3/5)⋅(1/3)(3/5⋅1/3)+(2/5⋅1/4)P(İdari|Y.Lisans) = \frac{P(İdari) \cdot P(Y.Lisans|İdari)}{P(Y.Lisans)} = \frac{(3/5) \cdot (1/3)}{(3/5 \cdot 1/3) + (2/5 \cdot 1/4)} şeklinde doğrudan hesaplanabilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 206Soru →

Bir kurumun belge kayıt sisteminde, dosyalar {0,2,3,4,5,7}\{0, 2, 3, 4, 5, 7\} kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan rakamları birbirinden farklı dört basamaklı sayılarla kodlanmaktadır.

Sisteme kaydedilecek bir dosya kodunun 3000'den büyük ve tek sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı dosya kodu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Verilen koşullara uygun 108 farklı dosya kodu oluşturulabilir.
Soruda hem '3000'den büyük olma' hem de 'tek sayı olma' şartı verildiği için, bu iki şartı sağlayan rakam kümeleri ({3,5,7}\{3, 5, 7\}) kesişmektedir. Bu tür sorularda binler basamağının bu kesişim kümesinden seçilip seçilmediğine göre iki ayrı durum incelenmelidir. İlk durumda binler basamağı 4 seçilir (tek seçenek), birler basamağına 3 seçenek kalır (1×3×4×3=361 \times 3 \times 4 \times 3 = 36). İkinci durumda binler basamağı 3, 5, 7'den biri seçilir (3 seçenek), birler basamağına kalan 2 tek sayıdan biri gelir (3×2×4×3=723 \times 2 \times 4 \times 3 = 72). Toplam 36+72=10836 + 72 = 108 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlamaları ve kümeyi analiz et
Küme: {0,2,3,4,5,7}\{0, 2, 3, 4, 5, 7\}. İstenen kod 4 basamaklı, rakamları farklı, 30003000'den büyük ve tek sayı olmalıdır. Binler basamağı {3,4,5,7}\{3, 4, 5, 7\} olabilir. Birler basamağı {3,5,7}\{3, 5, 7\} olabilir.
Sayının değeri binler basamağına, tekliği ise birler basamağına bağlıdır.
2
Durumları belirle (Çakışma analizi)
Binler basamağı ve birler basamağı için aday kümeler kesiştiği ({3,5,7}\{3, 5, 7\}) için hesaplama iki durumda yapılmalıdır: 1. Binler basamağının ÇİFT olduğu durum (4). 2. Binler basamağının TEK olduğu durum (3, 5, 7).
Eğer binler basamağına tek sayı koyarsak, birler basamağı için kullanılabilecek tek sayı adedi azalır. Bu yüzden durumlar ayrılmalıdır.
3
1. Durumu Hesapla (Binler basamağı 4)
Binler basamağı: {4}\{4\} (1 seçenek). Birler basamağı: {3,5,7}\{3, 5, 7\} (3 seçenek). Aradaki 2 basamak: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (4×3=124 \times 3 = 12). Toplam: 1×12×3=361 \times 12 \times 3 = 36.
İlk basamak çift olduğu için birler basamağındaki tüm tek sayı adayları kullanılabilir.
4
2. Durumu Hesapla (Binler basamağı 3, 5 veya 7)
Binler basamağı: {3,5,7}\{3, 5, 7\} (3 seçenek). Birler basamağı: Kalan tek sayılar (2 seçenek). Aradaki 2 basamak: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (4×3=124 \times 3 = 12). Toplam: 3×12×2=723 \times 12 \times 2 = 72.
Binler basamağında kullanılan tek sayı, birler basamağında tekrar kullanılamaz.
5
Toplamı bul
36+72=10836 + 72 = 108
Ayrık durumların sonuçları toplanır.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Kısıtlı Sıralama)
Soru 207Soru →

Nüfus ve Vatandaşlık İşleri Genel Müdürlüğü, vatandaşların randevu işlemlerini takip edebilmeleri için 44 haneli bir 'Randevu Takip Numarası' formatı oluşturmuştur. Bu numaralar A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak aşağıdaki kurallara göre belirlenmektedir:

* Takip numarasının ilk hanesi sıfır olamaz.
* İlk iki hanedeki rakamların toplamı tek bir sayıdır.
* Son iki hanedeki rakamların çarpımı çift bir sayıdır.

Rakamların tekrarlanabildiği bu sisteme göre, kaç farklı randevu takip numarası oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 405

Cevap

Verilen kurallara uygun olarak toplam 405 farklı randevu takip numarası oluşturulabilir.
Doğru yanıt olan 405 değerine ulaşmak için numara iki bloğa ayrılmalıdır. İlk iki hane için toplamın tek olması, rakamların (Tek-Çift) veya (Çift-Tek) diziliminde olmasını gerektirir. İlk hane 0 olamadığından (Ç-T) durumu için 2×3=62 \times 3 = 6 imkan, (T-Ç) durumu için 3×3=93 \times 3 = 9 imkan bulunur (toplam 15). Son iki hanenin çarpımının çift olması için ise toplam 3636 durumdan, her ikisinin de tek olduğu 99 durum çıkartılır (27 imkan). Çarpma ilkesi gereği 15×27=40515 \times 27 = 405 sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1
Rakam kümesini sınıflara ayırma
Tek rakamlar: {1,3,5}\{1, 3, 5\} (3 adet), Çift rakamlar: {0,2,4}\{0, 2, 4\} (3 adet)
Toplamın tek veya çarpımın çift olması durumları rakamların tek/çift olmasına bağlıdır.
2
İlk iki hane (d1,d2d_1, d_2) için olasılıkları hesaplama
(d1d_1 Tek, d2d_2 Çift) →3×3=9\rightarrow 3 \times 3 = 9 durum; (d1d_1 Çift ve ≠0\neq 0, d2d_2 Tek) →2×3=6\rightarrow 2 \times 3 = 6 durum. Toplam: 9+6=159 + 6 = 15 durum.
Toplamın tek olması için rakamlardan biri tek diğeri çift olmalıdır. İlk hane sıfır olamayacağı için çift hane başında sadece 2 ve 4 kullanılabilir.
3
Son iki hane (d3,d4d_3, d_4) için olasılıkları hesaplama
Tüm durumlar: 6×6=366 \times 6 = 36. Çarpımın tek olduğu (T-T) durumlar: 3×3=93 \times 3 = 9. Çarpımın çift olduğu durumlar: 36−9=2736 - 9 = 27 durum.
Çarpımın çift olması için en az bir rakamın çift olması gerekir. Tüm durumlardan çarpımın tek olduğu (her ikisinin de tek olduğu) durumları çıkarmak en kısa yoldur.
4
Sayma kurallarını uygulama
15×27=40515 \times 27 = 405
Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme sayısı, her bir olayın gerçekleşme sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma İlkeleri)

Alternatif Yöntem

Son iki hane için doğrudan sayma yöntemi: (Çift-Çift) = 3×3=93 \times 3 = 9, (Çift-Tek) = 3×3=93 \times 3 = 9, (Tek-Çift) = 3×3=93 \times 3 = 9 olmak üzere toplam 9+9+9=279+9+9=27 durum vardır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 208Soru →

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları verilmiştir. d1d_1 doğrusu üzerinde 3 nokta, d2d_2 doğrusu üzerinde ise 4 farklı nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı dörtgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18 farklı dörtgen oluşturulabilir.
Paralel iki doğru kullanılarak dörtgen oluşturulabilmesi için, dörtgenin iki köşesinin bir doğru üzerinde, diğer iki köşesinin ise diğer doğru üzerinde olması gerekir. Bu nedenle d1d_1 doğrusundaki 3 noktadan 2'si (C(3,2)C(3,2)) ve d2d_2 doğrusundaki 4 noktadan 2'si (C(4,2)C(4,2)) seçilmelidir. Çarpma kuralı gereği bu iki değer çarpılır: 3×6=183 \times 6 = 18.

Adım Adım Çözüm

1
Dörtgen oluşturma kuralını belirle
İki paralel doğrudan dörtgen elde etmek için, her bir doğrudan ikişer nokta seçilmelidir (2 nokta üstten, 2 nokta alttan).
Paralel doğrular üzerinde bulunan noktalardan 3 tanesi seçilirse üçgen oluşur, dörtgen oluşmaz. Bu yüzden her doğrudan 2 nokta alınmalıdır.
2
d1d_1 doğrusundan seçim yap
C(3,2)=3×22×1=3C(3, 2) = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3
d1d_1 üzerinde 3 nokta vardır, bunlardan 2'si seçilmelidir.
3
d2d_2 doğrusundan seçim yap
C(4,2)=4×32×1=6C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
d2d_2 üzerinde 4 nokta vardır, bunlardan 2'si seçilmelidir.
4
Toplam durumu hesapla
3×6=183 \times 6 = 18
Seçim işlemleri birbirine bağlı olduğu için (ve) çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasında dörtgen oluşturma (Seçme / Kombinasyon)

İpuçları

1
Bir dörtgenin 4 köşesi vardır. Bu köşelerin paralel doğrular üzerine nasıl dağılması gerektiğini düşünün.
2
Dörtgen oluşması için d1d_1 doğrusundan kaç nokta, d2d_2 doğrusundan kaç nokta seçmelisiniz?
3
Dörtgen için her iki doğrudan da ikişer nokta seçilmelidir. Kombinasyon formülü ile C(3,2)C(3,2) ve C(4,2)C(4,2) değerlerini bulup çarpın.

Daha Fazla Pratik

Aynı noktalarla kaç farklı üçgen çizilebileceğini hesaplayınız.
Tahmini Süre:45s
Soru 209Soru →

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilecek protokol töreninde; 1 Vali, 3 Kaymakam ve 4 Belediye Başkanı yan yana dizilerek fotoğraf çektirecektir. Protokol kuralları gereği;

* Vali sıranın en sağında veya en solunda yer almalıdır.
* Kaymakamların üçü de mutlaka yan yana bulunmalıdır.

Buna göre, bu 8 kişilik protokol heyeti kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1440

Cevap

Protokol heyeti kurallara uygun olarak 1440 farklı şekilde sıralanabilir.
Soru iki temel kısıt içerir: Vali uçta olmalı ve Kaymakamlar ayrılmamalıdır.
1. Vali için 2 ihtimal vardır (Sağ baş veya Sol baş).
2. Kaymakamlar (K1,K2,K3K_1, K_2, K_3) bir paket yapılır. Geriye kalan 4 Belediye Başkanı ile birlikte, araya girebilecek toplam 5 nesne oluşur (4+14 + 1 paket). Bu 5 nesne 5!=1205! = 120 şekilde sıralanır.
3. Kaymakamlar paket içinde kendi aralarında 3!=63! = 6 şekilde yer değiştirir.
Sonuç: 2×120×6=14402 \times 120 \times 6 = 1440.

Adım Adım Çözüm

1
Vali'nin konumunu belirle.
2 Durum
Vali sıranın en sağında veya en solunda olabilir. Bu nedenle 2 farklı durum vardır.
2
Kaymakamları gruplandır ve Belediye Başkanları ile birlikte sıralanacak nesne sayısını bul.
5 Nesne (5!)
3 Kaymakam yan yana olacağından onları tek bir blok (KblokK_{blok}) gibi düşünürüz. Geriye 4 Belediye Başkanı (B1,B2,B3,B4B_1, B_2, B_3, B_4) kalır. Vali zaten uçta sabittir. Sıralanacak elemanlar: {Kblok,B1,B2,B3,B4K_{blok}, B_1, B_2, B_3, B_4}. Toplam 5 nesne 5!5! şekilde sıralanır.
3
Kaymakamların kendi arasındaki yer değişimini hesapla.
6 Durum (3!)
Kaymakamlar kendi aralarında yer değiştirebilirler. 3 kişi 3!3! farklı şekilde sıralanır.
4
Tüm durumları çarpma kuralına göre hesapla.
2×120×6=14402 \times 120 \times 6 = 1440
Toplam Durum = (Vali'nin Durumu) ×\times (Blok ve Diğerlerinin Sıralanışı) ×\times (Blok İçi Sıralanış) = 2×5!×3!2 \times 5! \times 3!

Anahtar Kavram

Bu soru, 'bağlama/blok yöntemi' (yan yana olma şartı) ile 'sabit konum' (uçlarda olma şartı) prensiplerinin permütasyonda birlikte uygulanmasını ölçmektedir.

İpuçları

1
Önce yan yana olması gereken kişileri (Kaymakamlar) tek bir kişiymiş gibi (paketleyerek) düşünün.
2
Vali'nin sıranın başında olması ile sonunda olması simetrik durumlardır; birini hesaplayıp 2 ile çarpabilirsiniz.
3
Sıralama formülü: (Vali'nin Durum Sayısı) x (Paket + Belediye Başkanlarının Sıralaması) x (Paket İçi Sıralama).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'Dairesel Permütasyon' (yuvarlak masa) kuralıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm durumları hesaplayıp kısıtlamalara uymayanları çıkarmak yerine, doğrudan istenen durumu inşa etmek (çarpma kuralı) bu tip sorularda daha güvenlidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 210Soru →

Matematikte n!n! ifadesi, 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını ifade eder. Özel bir durum olarak 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.

Buna göre,
6!+5!5!\frac{6! + 5!}{5!}


işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

İşlemin sonucu 77 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan değer, 6!6! ifadesinin 6×5!6 \times 5! şeklinde açılması ve pay kısmının 5!5! parantezine alınmasıyla elde edilir. Bu durumda pay 5!×75! \times 7 olur ve paydadaki 5!5! ile sadeleştiğinde geriye sadece 77 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
6!6! ifadesini bir alt basamaktaki faktöriyel cinsinden yazın.
6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5!
Büyük faktöriyelli ifadeleri küçük olanlar cinsinden yazmak sadeleştirme yapmayı kolaylaştırır.
2
Bulduğunuz ifadeyi ana denklemde yerine koyun.
6⋅5!+5!5!\frac{6 \cdot 5! + 5!}{5!}
Tüm terimleri aynı faktöriyel (5!5!) cinsinden ifade etmek için bu adım gereklidir.
3
Pay kısmını 5!5! ortak parantezine alın.
5!⋅(6+1)5!\frac{5! \cdot (6 + 1)}{5!}
Toplama işlemini çarpanlarına ayırarak paydadaki ifadeyle sadeleşebilir hale getirmek hedeflenir.
4
Pay ve paydadaki 5!5! ifadelerini sadeleştirin ve kalan işlemi yapın.
6+1=76 + 1 = 7
Aynı çarpanlar birbirini yok eder ve geriye sadece tam sayıların toplamı kalır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanımı ve Sadeleştirme Özelliği (n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!)

İpuçları

1
Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayıyı, paydada bulunan daha küçük sayıya benzeterek yazabilirsiniz. Örneğin 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! yazmayı deneyin.
2
Pay kısmındaki ifadeyi 5!5! ortak parantezine alırsanız, paydadaki 5!5! ile sadeleştirme yapabileceğinizi göreceksiniz.
3
İfadeyi 5!⋅(6+1)5!\frac{5! \cdot (6 + 1)}{5!} şeklinde yazdığınızda pay ve paydadaki 5!5! terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece parantez içindeki işlem kalır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 8!−7!7!\frac{8! - 7!}{7!} işleminin sonucunu bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Faktöriyel değerlerini tek tek hesaplayarak da sonuca ulaşabilirsiniz: 6!=7206! = 720 ve 5!=1205! = 120. Bu durumda işlem 720+120120=840120=7\frac{720 + 120}{120} = \frac{840}{120} = 7 olur. Ancak büyük sayılarla uğraşmamak için sadeleştirme yöntemi daha pratiktir.
Tahmini Süre:45s
Soru 211Soru →

Bir kamu kurumunun personel veri tabanında, çalışanlar için 4 farklı kadro unvanı ve 6 farklı görev yeri kodu tanımlanmıştır. Her çalışan için sisteme bir kadro unvanı ve bir görev yeri kodu girilmesi zorunludur.

Buna göre, sistemde unvan ve görev yeri kombinasyonundan oluşan kaç farklı çalışan profili tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Toplam 24 farklı çalışan profili tanımlanabilir.
Soruda bir çalışanın profili oluşturulurken hem kadro unvanı hem de görev yeri seçilmesi istenmektedir. İşlemler birbirine bağlı olduğundan ve birlikte gerçekleşmesi gerektiğinden (A ve B olayı), saymanın çarpma kuralı uygulanır. 4 farklı unvan ve 6 farklı görev yeri olduğu için toplam kombinasyon sayısı 4×6=244 \times 6 = 24 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olayın türünü belirle
Birbirinden bağımsız iki seçimin birlikte gerçekleşmesi (Ve bağlacı)
Bir profil oluşturmak için hem unvanın hem de görev yerinin seçilmesi gerekmektedir. Bu durum çarpma kuralını gerektirir.
2
Seçenek sayılarını belirle ve çarp
4 x 6 = 24
4 farklı unvanın her biri için 6 farklı görev yeri seçeneği vardır. Toplam durum sayısı bu değerlerin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel İlkesi (Çarpma Kuralı)
Soru 212Soru →

Bir kamu kurumunun arşivinde bulunan dosyaların %60\%60’ı A birimine, geri kalanlar ise B birimine aittir. Yapılan denetimler sonucunda A birimine ait dosyaların %10\%10’unun, B birimine ait dosyaların ise %20\%20’sinin hatalı olduğu tespit edilmiştir. Arşivden rastgele seçilen bir dosyanın hatalı olduğu bilindiğine göre, bu dosyanın A birimine ait olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37\frac{3}{7}

Cevap

Arşivden seçilen hatalı dosyanın A birimine ait olma olasılığı 37\frac{3}{7} olarak bulunur.
Doğru cevap olan 37\frac{3}{7} ifadesi, toplam 1414 birimlik 'hatalı dosya' kümesi içerisinde A birimine ait olan 66 birimlik payın sadeleşmiş halidir. Koşullu olasılık mantığına göre, 'hatalı olduğu bilindiğine göre' ifadesi örnek uzayı sadece hatalı dosyalarla sınırlandırır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam dosya sayısını varsayarak birimlere dağıtın.
Toplam dosya sayısı 100100 olsun. Bu durumda A birimine ait 6060 dosya, B birimine ait 100−60=40100 - 60 = 40 dosya bulunur.
Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için örnek uzayı 100100 olarak belirlemek işlem kolaylığı sağlar.
2
Her bir birimdeki hatalı dosya sayılarını ayrı ayrı hesaplayın.
A birimindeki hatalı dosyalar: 60×10100=660 \times \frac{10}{100} = 6 adet. B birimindeki hatalı dosyalar: 40×20100=840 \times \frac{20}{100} = 8 adet.
Koşullu olasılık için istenen durum ve kısıtlanmış örnek uzay verilerini elde etmek gerekir.
3
Koşula bağlı olarak yeni (kısıtlanmış) örnek uzayı belirleyin.
Toplam hatalı dosya sayısı: 6+8=146 + 8 = 14 adet.
Soruda dosyanın hatalı olduğu bilindiği için, olasılık hesabı artık tüm dosyalar üzerinden değil, sadece hatalı dosyalar üzerinden yapılmalıdır.
4
İstenen durum sayısını yeni örnek uzay sayısına oranlayın.
Olasılık = A birimine ait hatalı dosyalarToplam hatalı dosyalar=614=37\frac{\text{A birimine ait hatalı dosyalar}}{\text{Toplam hatalı dosyalar}} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}
Koşullu olasılık formülü olan P(A∣H)=P(A∩H)P(H)P(A | H) = \frac{P(A \cap H)}{P(H)} uyarınca sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık: Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığının hesaplanmasıdır. Bu durumda örnek uzay, gerçekleşen olayla kısıtlanır.

İpuçları

1
Soruda dosyanın hatalı olduğu bilindiği söyleniyor. Bu, paydanızın tüm dosyalar değil, sadece toplam hatalı dosyalar olacağı anlamına gelir.
2
Toplam dosya sayısını 100100 kabul ederek A ve B birimlerindeki hatalı dosya sayılarını (örneğin 66 ve 88) bulun.
3
İstenen olasılığı hesaplamak için A birimindeki hatalı sayısını (66), toplam hatalı sayısına (6+8=146+8=14) bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, üç farklı birim (A, B, C) ve farklı hata oranları kullanarak çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bayes Teoremi kullanılarak da çözülebilir: P(A∣H)=P(H∣A)⋅P(A)P(H∣A)⋅P(A)+P(H∣B)⋅P(B)P(A|H) = \frac{P(H|A) \cdot P(A)}{P(H|A) \cdot P(A) + P(H|B) \cdot P(B)} formülüyle P(A∣H)=0,10⋅0,60(0,10⋅0,60)+(0,20⋅0,40)=0,060,06+0,08=0,060,14=37P(A|H) = \frac{0,10 \cdot 0,60}{(0,10 \cdot 0,60) + (0,20 \cdot 0,40)} = \frac{0,06}{0,06 + 0,08} = \frac{0,06}{0,14} = \frac{3}{7} elde edilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 213Soru →

Bir düzlemde bulunan 8 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu doğrulardan 3 tanesi sabit bir A noktasında kesişmektedir.
* Farklı 2 tanesi birbirine paraleldir.
* Geriye kalan doğrular ile ilgili herhangi bir paralellik veya noktadaşlık durumu yoktur.

Buna göre, bu doğruların kesişimiyle en çok kaç farklı nokta oluşur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Doğruların en çok 25 farklı noktada kesiştiği bulunur.
Düzlemde nn tane doğrunun en çok kesişim noktası sayısı C(n,2)C(n,2) formülü ile bulunur. Özel durumlar (paralellik veya noktadaşlık) varsa bu genel toplamdan düşülür. Sorumuzda 8 doğru vardır: C(8,2)=28C(8,2) = 28 potansiyel kesişim. Ancak 3 doğru A noktasında kesiştiği için, bu 3 doğrunun oluşturacağı C(3,2)=3C(3,2)=3 nokta yerine sadece 1 nokta oluşur (Kayıp: 2). Ayrıca 2 doğru paralel olduğu için, bu doğruların oluşturacağı C(2,2)=1C(2,2)=1 nokta hiç oluşmaz (Kayıp: 1). Toplam kesişim: 28−2−1=2528 - 2 - 1 = 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm durumların sayısını hesapla
C(8, 2) = 28
Hiçbir şart olmasaydı, 8 doğru en çok ikili kombinasyonları sayısı kadar noktada kesişirdi.
2
Noktadaş (bir noktada kesişen) doğrular için düzeltme yap
Azalma: C(3, 2) - 1 = 3 - 1 = 2
3 doğru normalde 3 noktada kesişecekken, hepsi tek bir A noktasında kesişmektedir. Bu yüzden toplamdan 3 çıkarıp, oluşan 1 noktayı (A) geri ekleriz (veya net kayıp 2'dir).
3
Paralel doğrular için düzeltme yap
Azalma: C(2, 2) = 1
Paralel olan 2 doğru asla kesişmez. Bu yüzden bunların oluşturması beklenen 1 kesişim noktasını toplamdan çıkarırız.
4
Sonucu hesapla
28 - 2 - 1 = 25
Tüm durumlardan hesaplanan kayıpları düşerek en çok kesişim sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ile Kesişim Sayısı Hesabı

İpuçları

1
Önce hiçbir özel durum yokmuş gibi 8 doğrunun en çok kaç noktada kesişeceğini hesaplayın.
2
Bir noktada kesişen 3 doğru için normalde beklenen kesişim sayısını toplamdan çıkarıp, oluşan o tek noktayı ekleyin.
3
Paralel olan 2 doğru asla kesişmez, bu yüzden onlardan gelecek 1 kesişim noktasını toplamdan tamamen çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, çemberlerin kesişim sayısı (her iki çember en çok 2 noktada kesişir) üzerine bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 214Soru →

Bir Bakanlık müfettişi, yıllık denetim programı kapsamında A veya B hizmet bölgelerinden sadece birini seçecek; seçtiği bölgedeki bir il müdürlüğünü ve ardından o müdürlüğe bağlı bir şube ofisini denetleyecektir.

Bu bölgelerdeki teşkilat yapısı şöyledir:
* A Bölgesi'nde: 3 farklı il müdürlüğü ve her müdürlüğe bağlı 4 farklı şube ofisi bulunmaktadır.
* B Bölgesi'nde: 2 farklı il müdürlüğü ve her müdürlüğe bağlı 5 farklı şube ofisi bulunmaktadır.

Buna göre, müfettiş bu denetim görevini kaç farklı "Bölge - İl - Şube" seçimiyle gerçekleştirebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Müfettişin toplamda 22 farklı seçim hakkı vardır.
Müfettişin önünde iki ana yol (A veya B bölgesi) vardır. 'Veya' bağlacı bize durumların ayrık olduğunu ve sonuçların toplanması gerektiğini (Toplama Kuralı) gösterir. Her bir bölge içindeki seçim ise 'önce il, sonra şube' şeklinde sıralı olduğu için çarpma kuralı gerektirir. A rotası için 3×4=123 \times 4 = 12, B rotası için 2×5=102 \times 5 = 10 seçenek oluşur. Toplam seçenek sayısı 12+10=2212 + 10 = 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin mantıksal yapısını analiz et
Müfettiş A Bölgesi'ni VEYA B Bölgesi'ni seçecektir. Bu iki durum birbirine alternatif olduğu için (ayrık olaylar), her iki bölgedeki seçenek sayıları hesaplanıp toplanmalıdır (Toplama Kuralı).
Olaylar birbirinin alternatifi olduğunda toplama yoluyla sayma kuralı kullanılır.
2
A Bölgesi için seçenek sayısını hesapla
A Bölgesi seçildiğinde: 3 İl Müdürlüğü x 4 Şube Ofisi = 12 farklı seçenek vardır.
Bir il ve ona bağlı bir şube seçimi ardışık/bağlı olaylar olduğu için çarpma yoluyla sayma kuralı kullanılır.
3
B Bölgesi için seçenek sayısını hesapla
B Bölgesi seçildiğinde: 2 İl Müdürlüğü x 5 Şube Ofisi = 10 farklı seçenek vardır.
Burada da il ve şube seçimi birbirine bağlı aşamalardır.
4
Toplam seçenek sayısını bul
Toplam Seçenek = (A Bölgesi Seçenekleri) + (B Bölgesi Seçenekleri) = 12 + 10 = 22.
İki ana durumun sonuçları toplanır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma Prensibi)

İpuçları

1
Müfettiş A bölgesine giderse kaç farklı seçim yapabilir? B bölgesine giderse kaç farklı seçim yapabilir? Bu iki durumu ayrı ayrı düşünün.
2
A Bölgesi'nde bir il seçip (3 seçenek) ardından bir şube seçmek (4 seçenek) çarpma işlemi gerektirir (3×43 \times 4). Aynısını B Bölgesi için de yapmalısınız.
3
A Bölgesi seçenekleri (12) ile B Bölgesi seçenekleri (10) birbirinin alternatifidir ('veya' durumu). Bu yüzden bu iki sonucu toplamalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla kurgulanan 'Farklı gömlek ve kravat kombinasyonları' sorusunu çözerek çarpma kuralını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 215Soru →
(3x−y)n(3x - y)^n
ifadesinin binom açılımında 44 farklı terim bulunmaktadır.

Buna göre, bu açılımın katsayılar toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Binom açılımının katsayılar toplamı 8 olarak bulunur.
Verilen ifadede 4 terim olduğu belirtildiğinden n+1=4n+1=4 denkleminden n=3n=3 bulunur. Katsayılar toplamı için xx ve yy yerine 1 yazıldığında (3−1)3=23=8(3-1)^3 = 2^3 = 8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Terim sayısından faydalanarak ifadenin kuvvetini (n) belirleyin.
n+1=4⇒n=3n + 1 = 4 \Rightarrow n = 3
Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına (n+1n+1) eşittir.
2
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazın.
x=1x = 1 ve y=1y = 1 için (3(1)−1)n(3(1) - 1)^n
Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmanın en kısa yolu, tüm değişkenlerin yerine 1 yazmaktır.
3
Bulunan kuvvet değerini yerine koyarak işlemi tamamlayın.
(3−1)3=23=8(3 - 1)^3 = 2^3 = 8
Tabandaki çıkarma işlemi yapıldıktan sonra elde edilen sayının belirlenen kuvveti alınır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında terim sayısı n+1n+1 kuralına bağlıdır; katsayılar toplamı ise değişkenlere 1 verilerek bulunur.

İpuçları

1
Binom açılımındaki terim sayısı ile parantez dışındaki kuvvet arasındaki ilişkiyi hatırlayın (n+1n+1).
2
Katsayılar toplamını bulmak için xx ve yy yerine hangi sayıyı yazmanız gerektiğini düşünün.
3
Önce nn değerini bulun, ardından değişkenlere 1 vererek üslü ifadenin sonucunu hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

İçinde negatif terim bulunan bir binom açılımında katsayılar toplamının 0 çıktığı durumları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 216Soru →

Görsel Sanatlar dersinde bir öğrenci; elindeki özdeş 3 mavi, özdeş 3 kırmızı ve özdeş 3 sarı boncuğu bir ipe dizecektir.

Dizilimde aşağıdaki kurallara uyulması zorunludur:
1. Mavi boncukların tamamı yan yana olacaktır.
2. Herhangi iki sarı boncuk yan yana gelmeyecektir.
3. Dizilim, mavi boncuk ile bitmeyecektir.

Buna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı dizilim oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Kurallara uygun 36 farklı dizilim vardır.
Mavi boncuklar tek blok (X) sayılır. X ve 3 Kırmızı (K) boncuk 4 farklı şekilde sıralanır. Oluşan 5 boşluğa 3 Sarı (S) boncuk C(5,3)=10 şekilde yerleşir. Toplam 40 dizilim vardır. Ancak dizi X ile biterse (KKKX) ve en sona S gelmezse dizi Mavi ile biter. Bu istenmeyen durum sayısı, KKKX iskeletinde son boşluğun boş kaldığı, diğer 4 boşluğa 3 S'nin yerleştiği C(4,3)=4 durumdur. Sonuç 40 - 4 = 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Mavi boncukları bloklama ve iskelet oluşturma
Maviler (M) tek bir 'X' birimi kabul edilir. Eldeki birimler: X, K, K, K. Bunların sıralanışı 4!/3! = 4 farklı şekilde olur: {XKKK, KXKK, KKXK, KKKX}.
Mavi boncukların bir arada olma şartı nedeniyle bloklama yöntemi kullanılır.
2
Sarı boncukları boşluklara yerleştirme (Ayraç Yöntemi)
4 birimlik iskelet (Örn: _ K _ K _ K _ X _) 5 boşluk yaratır. 3 sarı boncuk bu 5 boşluğa, her boşluğa en fazla bir tane gelecek şekilde C(5,3) = 10 farklı şekilde yerleşebilir.
Sarıların yan yana gelmeme şartı için boşluk (gap) yöntemi kullanılır.
3
Toplam olası durumları hesaplama (Son kural hariç)
4 (iskelet) × 10 (sarı yerleşimi) = 40 toplam durum.
Çarpma kuralı gereği iskelet ve sarı boncuk yerleşimleri çarpılır.
4
İstenmeyen durumları (Mavi ile bitenler) çıkarma
Dizilim, sadece iskelet 'KKKX' şeklinde bitiyorsa VE son boşluğa sarı boncuk gelmiyorsa mavi ile biter. İskeletin sonu X olan 1 durum vardır. Bu durumda son boşluk (X'in sağı) boştur. Kalan 4 boşluğa 3 sarı boncuk C(4,3) = 4 farklı şekilde yerleşir. İstenmeyen durum sayısı: 1 × 4 = 4.
Mavi boncuk ile bitmeme şartını sağlamak için tüm durumlardan mavi ile bitenler çıkarılır.
5
Sonucu bulma
40 (Tüm durumlar) - 4 (İstenmeyen durumlar) = 36.
Tüm geçerli durumlardan kısıtlamaya uymayanlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Ayraç Yöntemi

İpuçları

1
Mavi boncukların hepsini tek bir nesne (X) gibi düşünün. Kırmızıları da K harfi ile gösterin.
2
Sarı boncukların yan yana gelmemesi için, önce diğer boncukları (X ve K'ları) sıralayın, sonra oluşan boşluklara sarıları yerleştirin.
3
Tüm şartları sağlayan yerleşimlerden, 'sonunda Mavi boncuk olan' (yani X bloğu ile biten ve sonrasında sarı olmayan) durumları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir sarı boncuk başta veya sonda olacak' şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

İki ayrı durumu toplayarak çözebilirsiniz: 1) İskeletin Kırmızı ile bittiği durumlar (Sonra sarı gelse de gelmese de olur), 2) İskeletin Mavi ile bittiği ancak en sona Sarı boncuğun geldiği durumlar.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 217Soru →

Bir belediyenin yürüttüğü sosyal sorumluluk projesinde görevli 11 proje koordinatörü, 22 teknik personel ve 33 saha görevlisi; projenin tanıtım faaliyetleri kapsamında yan yana dizilerek fotoğraf çektirecektir.

Proje koordinatörünün her iki teknik personele de komşu olması ve tam ortalarında bulunması şartıyla, bu 66 kişi kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4848

Cevap

Proje koordinatörü ve teknik personellerin oluşturduğu grubun bir blok olarak kabul edilip, diğer kişilerle birlikte sıralanması sonucu elde edilen 4848 farklı dizilim mevcuttur.
Proje koordinatörü ve iki teknik personeli tek bir paket olarak düşündüğümüzde, bu paketin içinde koordinatör ortada sabit kalırken teknik personeller 2!2! kadar yer değiştirebilir. Bu paketle birlikte geriye kalan 33 saha görevlisi toplam 44 birim eder ve 4!4! kadar sıralanır. Sonuç 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula uygun bir blok (paket) oluşturulması
Blok yapısı: (Teknik Personel - Proje Koordinatörü - Teknik Personel)
Proje koordinatörünün her iki teknik personele komşu olması ve ortada yer alması gerektiği için bu üç kişi birbirinden ayrılamaz.
2
Blok içi yer değişimlerinin hesaplanması
2!=22! = 2 farklı durum
Proje koordinatörü ortada sabit kalmak zorundadır, ancak iki teknik personel kendi aralarında yer değiştirebilir.
3
Toplam birim sayısının belirlenmesi ve sıralanması
11 blok + 33 saha görevlisi = 44 birim. Sıralama: 4!=244! = 24
Oluşturulan blok tek bir kişi gibi düşünülür ve toplamda 4 birim yan yana sıralanır.
4
Toplam sıralama sayısının bulunması
24×2=4824 \times 2 = 48
Dış sıralama ile blok içi sıralama çarpılarak tüm durumlar elde edilir.

Anahtar Kavram

Permütasyon problemlerinde 'yan yana olma' veya 'belirli bir düzen içinde olma' şartı verildiğinde, bu kişiler tek bir birim (blok) olarak kabul edilir.

İpuçları

1
Birbirinden ayrılmaması gereken kişileri bir kutu içerisine koyarak tek bir kişi gibi düşünün.
2
Kutunun içinde koordinatörün sabit olduğunu, ancak diğer iki personelin yer değiştirebileceğini unutmayın.
3
Toplam 44 birimi (11 kutu + 33 saha görevlisi) sıralayıp, bulduğunuz sonucu kutu içindeki 22 farklı durumla çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'saha görevlilerinin hiçbirinin yan yana gelmediği' durumu ekleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 218Soru →

Bir Büyükşehir Belediyesi, 'Akıllı Şehir' projesi kapsamında yeni bir trafik denetleme sistemi kuracaktır. Bu sistemin kurulumu için bir kamera markası, bir sensör markası ve bir yazılım firması seçilecektir. Belediye yetkililerinin önündeki seçenekler şunlardır:

* 44 farklı kamera markası,
* 55 farklı sensör markası,
* 33 farklı yazılım firması.

Teknik şartnameye göre; kamera markalarından biri olan K1K_1, yazılım firmalarından biri olan Y1Y_1 ile teknik uyumsuzluk nedeniyle birlikte kullanılamamaktadır.

Buna göre, bu trafik denetleme sistemi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Sistem 55 farklı şekilde oluşturulabilir.
Soruda verilen üç bileşen (kamera, sensör, yazılım) birbirine bağlı seçimler olduğu için çarpma kuralı uygulanır. Önce hiçbir kısıtlama yokmuş gibi tüm durumlar hesaplanır: 4×5×3=604 \times 5 \times 3 = 60. Daha sonra teknik şartnameye uymayan durumlar hesaplanır: K1K_1 kamerası ve Y1Y_1 yazılımı seçildiğinde, sensör ne olursa olsun (5 farklı sensör seçeneği) sistem kurulamaz. Yani istenmeyen durum sayısı 1×5×1=51 \times 5 \times 1 = 5'tir. Son olarak, tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarılır: 60−5=5560 - 5 = 55.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm durumların sayısını hesapla (kısıtlama olmaksızın).
4×5×3=604 \times 5 \times 3 = 60 farklı seçenek.
Sayma kurallarına göre, birbirinden bağımsız olayların birlikte gerçekleşme sayısı çarpma işlemi ile bulunur.
2
İstenmeyen (uyumsuz) durumların sayısını belirle.
K1K_1 ve Y1Y_1'in birlikte seçildiği durumlar: 1 (Kamera)×5 (Senso¨r)×1 (Yazılım)=51 \text{ (Kamera)} \times 5 \text{ (Sensör)} \times 1 \text{ (Yazılım)} = 5 durum.
K1K_1 ve Y1Y_1 sabitlendiğinde, sensör için hala 5 farklı seçenek bulunmaktadır. Bu nedenle istenmeyen durum sayısı 1 değil, 5'tir.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
60−5=5560 - 5 = 55.
Toplam olasılıklardan teknik olarak mümkün olmayan kombinasyonlar çıkarılarak geçerli seçenek sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel İlkesi (Çarpma Yoluyla Sayma) ve Kısıtlı Permütasyon
Soru 219Soru →

Bir hastanenin acil servis bölümünde görev yapan 4 doktor ve 4 hemşire bulunmaktadır. Bu 8 sağlık personeli arasından 4 kişilik bir nöbet ekibi oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu ekip için aşağıdaki şartlar belirlenmiştir:
1. Ekipte en az 2 doktor bulunmalıdır.
2. Doktorlardan Ali Bey ile hemşirelerden Ayşe Hanım, aralarındaki akrabalık bağı nedeniyle aynı ekipte yer almamalıdır.

Buna göre, bu nöbet ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Ekipte en az 2 doktor bulunması ve belirtilen iki kişinin aynı anda bulunmaması şartıyla toplam 41 farklı seçim yapılabilir.
Bu soru iki aşamada çözülmelidir. Önce 'en az 2 doktor' şartını sağlayan tüm durumları bulalım, sonra bu durumlardan Ali Bey ve Ayşe Hanım'ın birlikte olduğu istenmeyen durumları çıkaralım.

1. Adım: Ali ve Ayşe kısıtlaması olmadan 'En az 2 Doktor' durumları:
- 2 Doktor, 2 Hemşire: C(4,2)×C(4,2)=6×6=36C(4,2) \times C(4,2) = 6 \times 6 = 36
- 3 Doktor, 1 Hemşire: C(4,3)×C(4,1)=4×4=16C(4,3) \times C(4,1) = 4 \times 4 = 16
- 4 Doktor, 0 Hemşire: C(4,4)×C(4,0)=1×1=1C(4,4) \times C(4,0) = 1 \times 1 = 1
- Toplam: 36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53 durum.

2. Adım: Ali ve Ayşe'nin BİRLİKTE olduğu ve 'En az 2 Doktor' şartını sağlayan (istenmeyen) durumlar:
Ekipte Ali (Doktor) ve Ayşe (Hemşire) kesinlikle var. Geriye 2 kişi seçmeliyiz. Toplam doktor sayısının en az 2 olması için, kalan 2 kişiden en az 1'i daha doktor olmalı (çünkü Ali zaten 1 doktor).
- Kalanlardan 1 Doktor, 1 Hemşire seçimi: C(3,1)×C(3,1)=3×3=9C(3,1) \times C(3,1) = 3 \times 3 = 9 (Toplamda 2 Dr, 2 Hemşire olur)
- Kalanlardan 2 Doktor seçimi: C(3,2)=3C(3,2) = 3 (Toplamda 3 Dr, 1 Hemşire olur)
- İstenmeyen Toplam: 9+3=129 + 3 = 12 durum.

Sonuç: 53−12=4153 - 12 = 41 farklı seçim yapılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlamasız (Ali Bey ve Ayşe Hanım şartı olmadan) 'en az 2 doktor' bulunan durumların sayısını hesapla.
53 durum
Olası durumlar: (2 Doktor, 2 Hemşire), (3 Doktor, 1 Hemşire) veya (4 Doktor).
2
Ali Bey ve Ayşe Hanım'ın BİRLİKTE olduğu ve 'en az 2 doktor' şartını sağlayan istenmeyen durumları hesapla.
12 durum
Ali ve Ayşe ekipteyken, kalan 2 kişilik kontenjan için gereken doktor şartı kontrol edilmelidir.
3
Toplam geçerli durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
53 - 12 = 41
Tüm durumlar kümesinden kısıtlamaya uymayan alt kümeyi çıkarmak işlemi kolaylaştırır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon Problemleri

İpuçları

1
Soruyu iki parça halinde düşünün: Önce kişi kısıtlaması (Ali/Ayşe) olmadan tüm geçerli ekipleri bulun.
2
'En az 2 doktor' demek; 2 doktor, 3 doktor veya 4 doktorun olduğu durumların toplamıdır.
3
Tüm geçerli durumlardan (En az 2 doktor olan), Ali ve Ayşe'nin 'birlikte' olduğu durumları çıkararak sonuca ulaşabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ali ve Ayşe'nin durumlarına göre 3 ayrı senaryoyu toplayabilirsiniz: 1) İkisinin de olmadığı durumlar, 2) Sadece Ali'nin olduğu durumlar, 3) Sadece Ayşe'nin olduğu durumlar.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 220Soru →

0,1,1,2,2,3,30, 1, 1, 2, 2, 3, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek 77 basamaklı çift doğal sayıların sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Verilen rakamlarla 240 farklı 7 basamaklı çift doğal sayı yazılabilir.
Çift sayı olması için son basamak {0} veya {2} olmalıdır. Sıfırın başa gelme kısıtlaması nedeniyle bu iki durum ayrı ayrı hesaplanır. Sonu 0 olanlar için 90 durum, sonu 2 olanlar için (başta 0 olmayanlar dahil) 150 durum bulunur. Toplamda 240 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının çift olması için birler basamağının çift rakam olması gerekir.
Birler basamağı 0 veya 2 olabilir. Bu durum iki ayrı kuralda incelenmelidir.
Sıfırın (0) hem çift sayı şartını sağlaması hem de başa gelememe kuralını etkilemesi nedeniyle ayrı incelenmesi gerekir.
2
1. Durum: Sayının sonunun 0 ile bitmesi durumunu hesapla.
Kalan rakamlar: 1, 1, 2, 2, 3, 3. Permütasyon sayısı: 6! / (2! . 2! . 2!) = 720 / 8 = 90.
Son basamak 0 olduğunda, 0 başa gelemeyeceği için ayrıca çıkarmaya gerek yoktur.
3
2. Durum: Sayının sonunun 2 ile bitmesi durumunu hesapla.
Kalan rakamlar: 0, 1, 1, 2, 3, 3. Toplam dizilim: 6! / (2! . 2!) = 180.
Bu dizilimlerin içinde 0'ın başa geldiği geçersiz durumlar da vardır.
4
2. Durum için geçersiz (0 ile başlayan) dizilimleri çıkar.
Başa 0, sona 2 sabitlendiğinde araya (1, 1, 2, 3, 3) kalır. Dizilim: 5! / (2! . 2!) = 120 / 4 = 30. Geçerli Sayı: 180 - 30 = 150.
7 basamaklı sayı olması için 0 ile başlayanlar çıkarılmalıdır.
5
Her iki durumun sonuçlarını topla.
Toplam = 90 + 150 = 240.
İki durum birbirinden bağımsızdır (bir sayı aynı anda hem 0 hem 2 ile bitemez), bu yüzden toplanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde, '0' rakamı varsa ve özel şartlar (çift sayı vb.) isteniyorsa, 0'ın birler basamağında olduğu durum ile diğer çift sayıların birler basamağında olduğu durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

İpuçları

1
Sayının çift olması için birler basamağına hangi rakamlar gelebilir?
2
0 rakamı hem çiftlik şartını sağlar hem de başa gelemez. Bu yüzden son basamağın 0 olduğu durum ile 2 olduğu durumu ayrı ayrı hesaplamalısın.
3
Sonu 0 ise kalanları sırala. Sonu 2 ise tüm sıralamadan 0 ile başlayanları çıkar.

Daha Fazla Pratik

Rakamlar arasında 0 bulunmayan bir küme ile çift sayı oluşturma sorusu çözerek farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar (çift olma şartı olmadan) hesaplanıp, tek sayı olma durumları çıkarılarak da bulunabilir, ancak bu soruda tek sayılar (1 ve 3 ile bitenler) daha fazla durum oluşturacağı için bu yöntem daha uzundur.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 11 / 15Sonraki