Solow Modeli: Durağan Durum Analizi

17 soru

Soru 1Soru

Solow büyüme modelinin varsayımları altında, bir ekonominin üretim teknolojisi Y=K0,5L0,5Y = K^{0,5} L^{0,5} Cobb-Douglas üretim fonksiyonu ile temsil edilmektedir. Bu ekonomide tasarruf oranının (ss) 0,25, nüfus artış hızının (nn) 0,03 ve sermayenin amortisman oranının (δ\delta) 0,02 olduğu bilinmektedir. Buna göre, ekonominin uzun dönem dengesini ifade eden durağan durum (steady-state) sermaye-işgücü oranı (kk^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Durağan durum sermaye-işgücü oranı 25'tir.
Doğru yanıt olan 25 değeri, Solow modelindeki durağan durum yatırım eşitliği kullanılarak hesaplanmıştır. 0,25k=0,05k0,25 \cdot \sqrt{k} = 0,05k eşitliğinde, her iki taraf 0,05k0,05\sqrt{k} değerine bölündüğünde 5=k5 = \sqrt{k} elde edilir ve buradan k=25k=25 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üretim fonksiyonunu işçi başına (kişi başı) forma dönüştürün.
y=YL=K0,5L0,5L=k0,5y = \frac{Y}{L} = \frac{K^{0,5} L^{0,5}}{L} = k^{0,5}
Solow modelinde analizler işçi başına değişkenler üzerinden yapılır.
2
Durağan durum (steady-state) denge koşulunu yazın.
sy=(n+δ)ks \cdot y = (n + \delta) \cdot k
Durağan durumda fiili yatırım, sermaye stokunu sabit tutmak için gereken yatırıma eşittir.
3
Verilen değerleri denklemde yerine koyun.
0,25k0,5=(0,03+0,02)k0,25 \cdot k^{0,5} = (0,03 + 0,02) \cdot k
s=0,25s=0,25, n=0,03n=0,03 ve δ=0,02\delta=0,02 olarak verilmiştir.
4
Denklemi kk değişkeni için çözün.
0,25k=0,05kkk=0,250,05k=5k=250,25 \cdot \sqrt{k} = 0,05 \cdot k \Rightarrow \frac{k}{\sqrt{k}} = \frac{0,25}{0,05} \Rightarrow \sqrt{k} = 5 \Rightarrow k = 25
Matematiksel sadeleştirme ve her iki tarafın karesinin alınması sonucunda durağan durum sermaye stoku bulunur.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum, kişi başı tasarrufun (yatırımın), sermaye aşınması ve nüfus artışı nedeniyle sermaye stokunda meydana gelen azalmayı tam olarak karşıladığı (i=sy=(n+d)ki = sy = (n+d)k) noktadır. Tasarruf oranındaki kalıcı bir artış, sermaye-işgücü oranını (kk^*) ve işçi başına hasıla düzeyini (yy^*) artırırken, uzun dönemli ekonomik büyüme hızını (teknolojik gelişme yoksa) değiştirmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru

Solow büyüme modelinin varsayımları altında, teknolojik gelişmenin yaşanmadığı bir ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=5k0,5y = 5k^{0,5} olarak tanımlanmıştır. Tasarruf oranı s=0,20s = 0,20, nüfus artış hızı n=0,03n = 0,03 ve sermaye yıpranma (amortisman) oranı δ=0,02\delta = 0,02 olarak verilmiştir. Bu ekonomide durağan durumda (steady-state) kişi başına sermaye stoku (kk^*) ve toplam sermaye stokunun büyüme hızı (ΔK/K\Delta K / K) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: k=400k^* = 400; %3\%3

Cevap

Durağan durumdaki kişi başına sermaye stoku k=400k^* = 400 ve toplam sermaye stokunun büyüme hızı n=%3n = \%3 olarak bulunmuştur.
Durağan durumda tasarruflar (sf(k)s \cdot f(k)), mevcut sermayeyi korumak ve yeni işçilere sermaye sağlamak için gereken miktara ((n+δ)k(n+\delta)k) eşittir. 0,205k=(0,03+0,02)k0,20 \cdot 5\sqrt{k} = (0,03 + 0,02)k denkleminden k=400k^* = 400 bulunur. Bu noktada kişi başına sermaye sabit olduğundan, toplam sermaye stokunun büyüme hızı nüfus artış hızı olan %3\%3 düzeyindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum denge şartını (sf(k)=(n+δ)ksf(k) = (n+\delta)k) kurmak.
0,205k0,5=(0,03+0,02)k0,20 \cdot 5k^{0,5} = (0,03 + 0,02)k
Solow modelinde durağan durumda net yatırım sıfırdır, yani yapılan yatırım sermayedeki aşınmayı ve yeni işgücü için gereken sermaye ihtiyacını tam olarak karşılar.
2
Eşitliği çözerek kişi başına sermaye stokunu (kk^*) hesaplamak.
1k0,5=0,05kk0,5k=0,051k=120k=20k=4001 \cdot k^{0,5} = 0,05k \Rightarrow \frac{k^{0,5}}{k} = 0,05 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{20} \Rightarrow \sqrt{k} = 20 \Rightarrow k^* = 400
Üretim fonksiyonu ve model parametreleri kullanılarak ekonominin uzun dönemli denge sermaye yoğunluğu belirlenir.
3
Durağan durumda toplam sermaye stokunun (KK) büyüme hızını belirlemek.
ΔKK=n=0,03\frac{\Delta K}{K} = n = 0,03 (veya %3\%3)
Durağan durumda k=K/Lk = K/L oranı sabittir. Bu oranın sabit kalabilmesi için toplam sermaye (KK), işgücü (LL) ile aynı hızda (nn) büyümelidir. Teknolojik gelişme olmadığında (g=0g=0), bu oran nüfus artış hızına eşittir.

Anahtar Kavram

Solow Durağan Durum Dengesi ve Agregat Değişkenlerin Büyüme Hızları

İpuçları

1
Durağan durum denklemini sf(k)=(n+δ)ksf(k) = (n+\delta)k şeklinde kurarak işe başlayın.
2
Sermaye stokunu (kk) bulurken eşitliğin her iki tarafını k\sqrt{k} ifadesine bölmeyi veya her iki tarafın karesini almayı deneyin.
3
Durağan durumda k=K/Lk = K/L oranının sabit kalması için KK'nın büyüme hızının LL'nin büyüme hızıyla (nüfus artış hızı) aynı olması gerektiğini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı parametrelerle durağan durumdaki kişi başına tüketim (cc^*) düzeyini hesaplayarak bilginizi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru

Teknolojik gelişmenin yaşanmadığı ve nüfus artış hızının sabit olduğu bir ekonomide, kişi başına üretim fonksiyonu y=4k0,5y = 4k^{0,5} olarak verilmiştir. Bu ekonomide gelirin %20\%20'si tasarruf edilmekte, nüfus %6\%6 oranında büyümekte ve sermaye stokunun %4\%4'ü her dönem aşınmaktadır (amortisman). Buna göre, bu ekonominin durağan durum (steady-state) dengesindeki kişi başına tüketim düzeyi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25,6

Cevap

Durağan durum dengesindeki kişi başına tüketim düzeyi 25,625,6 birimdir.
Durağan durumda gerekli yatırım miktarı ile fiili yatırım miktarı eşitlenerek bulunan kişi başına sermaye stoku 6464 birimdir. Bu sermaye ile 3232 birim hasıla elde edilir. Tasarruf oranı %20\%20 olduğundan, hasılanın geriye kalan %80\%80'lik kısmı (32×0,80=25,632 \times 0,80 = 25,6) tüketilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum koşulunu belirleyiniz.
sf(k)=(n+δ)ks \cdot f(k) = (n + \delta)k
Solow modelinde durağan durumda kişi başına yatırım, kişi başına sermaye stokundaki aşınma ve nüfus artışından kaynaklanan azalmayı (sermaye yayılması) tam olarak karşılamalıdır.
2
Durağan durumdaki kişi başına sermaye stokunu (kk^*) hesaplayınız.
0,204k0,5=(0,06+0,04)k0,8k0,5=0,1k8=kk=640,20 \cdot 4k^{0,5} = (0,06 + 0,04)k \Rightarrow 0,8 \cdot k^{0,5} = 0,1 \cdot k \Rightarrow 8 = \sqrt{k} \Rightarrow k^* = 64
Verilen tasarruf, nüfus artış ve amortisman oranlarını denge denkleminde yerine koyarak sermaye-işgücü oranını bulmak gerekir.
3
Durağan durumdaki kişi başına hasılayı (yy^*) bulunuz.
y=4(64)0,5=48=32y^* = 4 \cdot (64)^{0,5} = 4 \cdot 8 = 32
Tüketim miktarını hesaplamak için öncelikle bu sermaye stoku ile ne kadar üretim yapıldığını belirlemek gerekir.
4
Kişi başına tüketim (cc^*) miktarını hesaplayınız.
c=(1s)y=(10,20)32=0,8032=25,6c^* = (1 - s) \cdot y^* = (1 - 0,20) \cdot 32 = 0,80 \cdot 32 = 25,6
Hasılanın tasarruf edilmeyen kısmı tüketime ayrıldığından, hasıla tüketim eğilimi ile çarpılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Durağan durumda sermaye birikimi denklemi ve kişi başına tüketimin hasıla ile tasarruf arasındaki fark olarak hesaplanması.

İpuçları

1
Önce kişi başına yatırımın (sys \cdot y) sermaye yayılmasına ((δ+n)k(\delta + n)k) eşit olduğu denge noktasını bulun.
2
Durağan durum sermaye stokunu (kk^*) bulduktan sonra bunu üretim fonksiyonunda yerine koyarak hasılayı (yy^*) hesaplayın.
3
Tüketim, hasıladan tasarrufların çıkarılmasıyla elde edilir (c=(1s)yc = (1-s)y).

Daha Fazla Pratik

Tasarruf oranındaki bir artışın durağan durumdaki tüketim düzeyi üzerindeki etkisini 'Altın Kural' kavramı çerçevesinde analiz edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru

Solow büyüme modelinin varsayımları altında, teknolojik gelişmenin yaşanmadığı bir ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=8k0,5y = 8k^{0,5} olarak tanımlanmıştır. Tasarruf oranı (ss) %20, nüfus artış hızı (nn) %5 ve sermaye aşınma (amortisman) oranı (dd) %3 olarak belirlenmiştir. Bu ekonomide durağan durum (steady-state) kişi başına sermaye stoku (kk^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 400

Cevap

Durağan durum kişi başına sermaye stoku 400'dür.
Durağan durum koşulu olan sf(k)=(n+d)ksf(k) = (n+d)k eşitliği uygulandığında 0,20×8k=0,08k0,20 \times 8\sqrt{k} = 0,08k denklemi kurulur. Buradan 1,6k=0,08k1,6\sqrt{k} = 0,08k ve k=20\sqrt{k} = 20 bulunur. Her iki tarafın karesi alındığında kişi başına sermaye stoku 400 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum temel denklemini yazınız.
s×f(k)=(n+d)×ks \times f(k) = (n+d) \times k
Solow modelinde durağan durumda kişi başına yatırımın, kişi başına yıpranmaya (nüfus artışı + amortisman) eşit olması gerekir.
2
Verilen parametreleri denkleme yerleştiriniz.
0,20×8k0,5=(0,05+0,03)k0,20 \times 8k^{0,5} = (0,05 + 0,03)k
s=0,20s = 0,20, n=0,05n = 0,05 ve d=0,03d = 0,03 değerleri denkleme aktarılır.
3
Denklemi sadeleştirerek sermayeyi bulunuz.
1,6×k=0,08kkk=1,60,08k=201,6 \times \sqrt{k} = 0,08k \Rightarrow \frac{k}{\sqrt{k}} = \frac{1,6}{0,08} \Rightarrow \sqrt{k} = 20
Her iki tarafın cebirsel sadeleştirilmesiyle sermayenin karekök değeri elde edilir.
4
Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alınız.
k=202=400k^* = 20^2 = 400
Kişi başına sermaye stokunun (kk) kendisini bulmak için son adım tamamlanır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum (steady-state), kişi başına sermaye stokunun zamanla değişmediği (Δk=0Δk = 0) dengedir.

Daha Fazla Pratik

Tasarruf oranının %20'den %40'a çıktığı bir senaryoda yeni durağan durum sermaye stokunun nasıl değişeceğini hesaplayarak 'düzey etkisini' analiz edebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru

Teknolojik gelişmenin yaşanmadığı bir ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=12k0,5y = 12k^{0,5} şeklindedir. Tasarruf oranı (ss) %25\%25, nüfus artış hızı (nn) %2\%2 ve amortisman oranı (δ\delta) %8\%8 olarak verilmiştir. Buna göre, bu ekonominin durağan durumdaki (steady-state) kişi başına çıktı düzeyi (yy^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360

Cevap

Durağan durum kişi başına çıktı düzeyi 360'tır.
Durağan durumda kişi başına tasarruf ve yatırım miktarı (sf(k)sf(k)), sermaye stokunu aşınma ve nüfus artışına karşı korumak için gereken yatırım miktarına ((n+δ)k(n+\delta)k) eşittir. Verilen y=12k0,5y = 12k^{0,5} fonksiyonu ve parametreler ile denge sağlandığında k=900k^* = 900 bulunur. Bu sermaye düzeyiyle üretilen çıktı miktarı ise 12×900=36012 \times \sqrt{900} = 360 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum denge koşulunu yazmak
sf(k)=(n+δ)ks \cdot f(k) = (n + \delta) \cdot k
Solow modelinde durağan durumda kişi başına yapılan yatırım, sermaye stokunu sabit tutmak için gereken yatırıma (nüfus artışı ve amortisman) eşit olmalıdır.
2
Verilen parametreleri denklemde yerine koyarak kişi başına sermaye stokunu (kk^*) bulmak
0,25(12k0,5)=(0,02+0,08)k3k=0,1k30=kk=9000,25 \cdot (12k^{0,5}) = (0,02 + 0,08) \cdot k \Rightarrow 3\sqrt{k} = 0,1k \Rightarrow 30 = \sqrt{k} \Rightarrow k^* = 900
Durağan durum sermaye düzeyi, yatırım ve sermaye genişlemesi eğrilerinin kesiştiği noktadır.
3
Kişi başına sermaye stokunu üretim fonksiyonunda yerine koyarak çıktı düzeyini hesaplamak
y=12(900)0,5y=1230=360y^* = 12 \cdot (900)^{0,5} \Rightarrow y^* = 12 \cdot 30 = 360
Kişi başına üretim, üretim teknolojisi ve mevcut sermaye stoku tarafından belirlenir.

Anahtar Kavram

Solow Modelinde Durağan Durum Dengesi (sf(k)=[n+δ]ks f(k) = [n + \delta] k)

Daha Fazla Pratik

Tasarruf oranındaki bir artışın durağan durum büyüme hızı ve düzeyi üzerindeki etkilerini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 6Soru

Solow büyüme modelinin varsayımları altında, teknolojik gelişmenin yaşanmadığı bir ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=6ky = 6\sqrt{k} şeklinde tanımlanmıştır. Ekonomide tasarruf oranı (ss) %15\%15, nüfus artış hızı (nn) %4\%4 ve sermaye aşınma oranı (δ\delta) %5\%5 olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu ekonominin durağan durum (steady-state) kişi başına çıktı düzeyi (yy^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Ekonominin durağan durum kişi başına çıktı düzeyi 60 birimdir.
Durağan durumda toplam yatırım (sf(k)sf(k)), sermaye ihtiyacına ((n+δ)k(n+\delta)k) eşittir. Verilenlerle 0,9k=0,09k0,9\sqrt{k} = 0,09k eşitliği elde edilir. Buradan k=10\sqrt{k}=10 ve k=100k^*=100 bulunur. Üretim fonksiyonunda k=100k=100 yazıldığında y=60y^*=60 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum koşulunun belirlenmesi
sf(k)=(n+δ)ksf(k) = (n + \delta)k
Solow modelinde durağan durumda kişi başına sermaye stokundaki değişim sıfırdır, dolayısıyla kişi başına yapılan yatırım yıpranma ve nüfus artışına bağlı sermaye ihtiyacına eşittir.
2
Parametrelerin denklemde yerine konulması
0,15×6k=(0,04+0,05)k0,15 \times 6\sqrt{k} = (0,04 + 0,05)k
Verilen tasarruf oranı, üretim fonksiyonu, nüfus artış hızı ve amortisman oranları durağan durum eşitliğine yerleştirilir.
3
Denklemin sadeleştirilmesi ve k\sqrt{k} değerinin bulunması
0,9k=0,09kk/k=0,09/0,91/k=1/10k=100,9\sqrt{k} = 0,09k \Rightarrow \sqrt{k} / k = 0,09 / 0,9 \Rightarrow 1/\sqrt{k} = 1/10 \Rightarrow \sqrt{k} = 10
Eşitliğin her iki tarafı düzenlenerek kişi başına sermaye stokunun karekök değerine ulaşılır.
4
Durağan durum sermaye stokunun (kk^*) hesaplanması
k=102=100k^* = 10^2 = 100
Karekök değeri 10 olan sermaye stokunun kendisi 100 olarak bulunur.
5
Durağan durum çıktı düzeyinin (yy^*) hesaplanması
y=6100=6×10=60y^* = 6\sqrt{100} = 6 \times 10 = 60
Bulunan sermaye stoku üretim fonksiyonunda yerine yazılarak durağan durumdaki çıktı düzeyine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum dengesi, toplam yatırımın (s×ys \times y) yıpranma ve nüfus artışı nedeniyle sermaye stokunda meydana gelen azalmayı tam olarak karşıladığı noktada gerçekleşir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru

Teknolojik gelişmenin olmadığı bir ekonomide üretim süreci Solow büyüme modeli ile açıklanmaktadır. Kişi başına üretim fonksiyonu y=10k0,5y = 10k^{0,5} olarak tanımlanmış olup; ekonomideki tasarruf oranı %30\%30, nüfus artış hızı %4\%4 ve sermayenin yıpranma (amortisman) oranı %6\%6’dır.

Buna göre, bu ekonomide durağan durum (steady-state) dengesinde kişi başına tüketim (cc) düzeyi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 210210

Cevap

Durağan durumda kişi başına tüketim düzeyi 210210 birimdir.
Durağan durumda yatırımın (3k3\sqrt{k}) gerekli yatırıma (0,1k0,1k) eşit olduğu noktada sermaye stoku 900900 olarak bulunur. Bu sermaye stoku ile üretilen 300300 birimlik çıktının %30\%30'u (9090 birim) yatırıma giderken, geri kalan %70\%70'i (210210 birim) tüketime ayrılmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum koşulu olan yatırımın (sf(k)sf(k)), gerekli yatırıma ((n+δ)k(n+\delta)k) eşitliğini kurunuz.
0,30×10k=(0,04+0,06)k3k=0,1k0,30 \times 10\sqrt{k} = (0,04 + 0,06)k \Rightarrow 3\sqrt{k} = 0,1k
Solow modelinde durağan durumda kişi başına sermaye stokunun değişmemesi için tasarrufların aşınma ve nüfus artışını tam olarak karşılaması gerekir.
2
Eşitliği çözerek durağan durum kişi başına sermaye stokunu (kk^*) bulunuz.
k=30,1=30k=302=900\sqrt{k} = \frac{3}{0,1} = 30 \Rightarrow k^* = 30^2 = 900
Sermaye-işgücü oranının denge düzeyini belirlemek için cebirsel işlem yapılır.
3
Durağan durum sermaye stokunu üretim fonksiyonunda yerine koyarak kişi başına çıktıyı (yy^*) bulunuz.
y=10×900=10×30=300y^* = 10 \times \sqrt{900} = 10 \times 30 = 300
Tüketim değerine ulaşmak için önce toplam gelirin (çıktının) bilinmesi gerekir.
4
Çıktıdan tasarrufları (yatırımı) çıkararak kişi başına tüketimi (cc) hesaplayınız.
c=(1s)yc=(10,30)×300=0,70×300=210c = (1 - s)y^* \Rightarrow c = (1 - 0,30) \times 300 = 0,70 \times 300 = 210
Gelirin tasarruf edilmeyen kısmı tüketime ayrılır (c=yic = y - i).

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum analizi, temel sermaye birikimi denklemi (sf(k)=(n+δ)ksf(k) = (n+\delta)k) üzerinden gerçekleştirilir ve tüketim, üretimden yatırımın çıkarılmasıyla bulunur.

İpuçları

1
Durağan durumda sermaye birikiminin durması için tasarrufun (sysy), amortisman ve nüfus artışına ((n+δ)k(n+\delta)k) eşit olması gerektiğini hatırlayın.
2
Önce s×10k=(n+δ)ks \times 10\sqrt{k} = (n+\delta)k eşitliğinden kk değerini çekin, ardından bu kk değerini üretim fonksiyonuna yazarak yy değerini bulun.
3
Bulduğunuz yy değerinden, gelirin %30\%30'u olan tasarruf miktarını çıkardığınızda kalan miktar tüketimi verecektir.

Daha Fazla Pratik

Eğer ekonomi Altın Kural (Golden Rule) düzeyinde olsaydı, tasarruf oranının sermaye payına (üretim fonksiyonunun esnekliğine) eşit olması gerektiğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kişi başına tüketimi doğrudan c=(1s)×10kc = (1-s) \times 10\sqrt{k^*} formülüyle hesaplayabilirsiniz. Burada kk^* durağan durum sermaye stokudur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru

Solow büyüme modelinde teknolojik gelişmenin yaşanmadığı (g=0g=0) bir ekonomide, kişi başına üretim fonksiyonu y=k0,5y = k^{0,5} şeklinde tanımlanmıştır. Bu ekonomide tasarruf oranı s=0,40s = 0,40, nüfus artış hızı n=0,01n = 0,01 ve sermaye yıpranma oranı δ=0,04\delta = 0,04 düzeyindedir. Bu ekonominin durağan durum (steady-state) dengesine ulaştığı bilindiğine göre, durağan durum sermaye stoku (kk^*) değeri ve toplam çıktı (YY) büyüme hızı aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: k=64k^* = 64 ve Toplam Çıktı Büyüme Hızı = %1\%1

Cevap

Durağan durumda sermaye stoku (kk^*) 64 birimdir ve toplam çıktı (YY), nüfus artış hızı olan %1\%1 oranında büyür.
Verilen parametreler durağan durum eşitliği olan 0,4k=0,05k0,4 \sqrt{k} = 0,05 k denklemine yerleştirildiğinde k=8\sqrt{k}=8 ve buradan k=64k^*=64 sonucu bulunur. Solow modelinin temel kuralına göre, durağan durumda kişi başına değişkenlerin büyüme hızı sıfır (çünkü teknolojik gelişme g=0g=0), ancak toplam değişkenlerin (toplam sermaye ve toplam çıktı) büyüme hızı nüfus artış hızına (nn) eşittir. Bu ekonomide n=0,01n=0,01 olduğundan toplam çıktı yıllık %1\%1 hızla büyür.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum koşulunu (yatırım = yıpranma/nüfus etkisi) yazın.
sf(k)=(n+δ)ks f(k) = (n + \delta) k denklemi elde edilir.
Solow modelinde durağan durum, kişi başına sermaye stokundaki değişimin (Δk\Delta k) sıfır olduğu noktadır.
2
Verilen parametreleri denklemde yerine koyun.
0,40k0,5=(0,01+0,04)k0,40k=0,05k0,40 \cdot k^{0,5} = (0,01 + 0,04) \cdot k \Rightarrow 0,40 \sqrt{k} = 0,05 k
Sayısal değerleri yerleştirerek sermaye stoku için çözüm hazırlığı yapılır.
3
Sermaye stoku (kk) değerini çekin.
kk=0,400,05k=8k=64\frac{k}{\sqrt{k}} = \frac{0,40}{0,05} \Rightarrow \sqrt{k} = 8 \Rightarrow k^* = 64
Cebirsel işlemlerle durağan durumdaki kişi başına sermaye düzeyi bulunur.
4
Durağan durumdaki büyüme hızlarını belirleyin.
Kişi başına çıktı büyüme hızı Δy/y=g=0\Delta y/y = g = 0; Toplam çıktı büyüme hızı ΔY/Y=n+g=0,01+0=0,01\Delta Y/Y = n + g = 0,01 + 0 = 0,01 (%1\%1).
Solow modeline göre durağan durumda kişi başına büyüme sadece teknolojik gelişmeye, toplam büyüme ise teknolojik gelişme ve nüfus artışına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durumda toplam çıktı büyüme hızı n+gn+g formülü ile hesaplanır ve sermaye birikimi sf(k)=(n+δ+g)ks f(k) = (n+\delta+g)k eşitliğinde durur.

İpuçları

1
Durağan durumda ekonomideki toplam yatırımın (sys \cdot y), sermaye stokunu azaltan etkilere (yıpranma ve nüfus artışı) tam olarak eşit olması gerektiğini hatırlayın.
2
Cebirsel işlem yaparken 0,40k=0,05k0,40 \sqrt{k} = 0,05 k eşitliğinde her iki tarafı k\sqrt{k} değerine bölerek çözüme ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Bu ekonomide tasarruf oranı s=0,40s=0,40 yerine Altın Kural tasarruf düzeyine (sgolds_{gold}) çıkarılsaydı durağan durum sermaye stoku nasıl değişirdi? (İpucu: f(k)=n+δf'(k) = n + \delta koşulunu kullanın).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru

Solow büyüme modelinin varsayımları altında, teknolojik gelişmenin yaşanmadığı bir ekonomide tasarruf oranı (ss) %20\%20, nüfus artış hızı (nn) %5\%5 ve amortisman oranı (dd) %5\%5 olarak belirlenmiştir. Bu ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=ky = \sqrt{k} şeklinde ifade edildiğine göre, ekonominin durağan durum (steady-state) kişi başına sermaye stoku (kk^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Ekonominin durağan durum kişi başına sermaye stoku 4 birimdir.
Durağan durumda kişi başına tasarruf (sys \cdot y) ile kişi başına gerekli yatırım ((n+d)k(n+d)k) birbirine eşittir. Verilen s=0,20s=0,20, n=0,05n=0,05, d=0,05d=0,05 ve y=ky=\sqrt{k} değerleri yerine yazıldığında 0,20k=0,10k0,20 \sqrt{k} = 0,10 k eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten k=2\sqrt{k}=2 ve her iki tarafın karesi alındığında k=4k=4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum denge koşulunun yazılması
sf(k)=(n+d)ks \cdot f(k) = (n + d)k
Durağan durumda kişi başına sermayedeki değişimin sıfır olması için kişi başına yatırımın kişi başına gerekli yatırıma (amortisman ve nüfus artışı) eşit olması gerekir.
2
Verilen değerlerin denklemde yerine konulması
0,20k=(0,05+0,05)k0,20 \cdot \sqrt{k} = (0,05 + 0,05) \cdot k
Tasarruf oranı, nüfus artışı ve amortisman değerlerinin matematiksel işleme hazırlanması için.
3
Denklemin kişi başına sermaye (k) için çözülmesi
0,20k=0,10kkk=0,100,201k=12k=2k=40,20 \cdot \sqrt{k} = 0,10 \cdot k \Rightarrow \frac{\sqrt{k}}{k} = \frac{0,10}{0,20} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{k} = 2 \Rightarrow k^* = 4
Matematiksel sadeleştirme ve kare alma yoluyla durağan durum sermaye düzeyinin bulunması.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum, kişi başına yatırımın (sf(k)sf(k)), mevcut sermaye stokunu korumak için gereken yatırıma ((n+d)k(n+d)k) eşit olduğu dengedir.

Alternatif Yöntem

Denklemde k=4k=4 değerini doğrudan yerine koyarak kontrol edilebilir: 0,204=0,400,20 \cdot \sqrt{4} = 0,40 ve (0,05+0,05)4=0,40(0,05+0,05) \cdot 4 = 0,40. Her iki taraf eşit olduğundan 4 değeri durağan durumdur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru

Solow büyüme modelinin varsayımları altında, teknolojik gelişmenin yaşanmadığı bir ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=ky = \sqrt{k} olarak tanımlanmıştır. Tasarruf oranı (ss) %40, nüfus artış hızı (nn) %6 ve sermaye aşınma (amortisman) oranı (dd) %4 olduğuna göre, bu ekonominin durağan durum (steady-state) kişi başına sermaye stoku (kk^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Ekonominin durağan durum kişi başına sermaye stoku 16 birimdir.
Durağan durumda, kişi başına tasarruflar (sys \cdot y), kişi başına sermayenin aşınmasını ve yeni katılan işçilere sermaye sağlanmasını ((n+d)k(n+d)k) tam olarak dengeler. Verilen değerlerle 0,4k=0,1k0,4\sqrt{k} = 0,1k eşitliği kurulduğunda, sermaye stokunun 16 olduğu noktada bu dengenin sağlandığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum temel denkleminin yazılması
sf(k)=(n+d)ksf(k) = (n+d)k
Solow modelinde durağan durum, kişi başına yatırımın, mevcut sermaye stokunu korumak için gerekli olan yatırıma eşit olduğu noktadır.
2
Verilen parametrelerin denklemde yerine konulması
0,40×k=(0,06+0,04)×k0,40 \times \sqrt{k} = (0,06 + 0,04) \times k
Soruda verilen tasarruf oranı (s=0,40s=0,40), nüfus artış hızı (n=0,06n=0,06) ve amortisman oranı (d=0,04d=0,04) değerleri modele yerleştirilir.
3
Denklemin sadeleştirilmesi ve çözülmesi
0,4k=0,1k4k=k4=kk=160,4\sqrt{k} = 0,1k \Rightarrow 4\sqrt{k} = k \Rightarrow 4 = \sqrt{k} \Rightarrow k = 16
Her iki taraf 0,1'e bölünür ve ardından her iki tarafın karesi alınarak sermaye stoku yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum analizi, yatırımın yıpranma ve nüfus artışını tam olarak karşıladığı ve kişi başına sermaye stokunun değişmediği denge durumunu inceler.
Tahmini Süre:50s
Soru 11Soru

Teknolojik gelişmenin yaşanmadığı bir ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=5ky = 5\sqrt{k} (veya y=5k0,5y = 5k^{0,5}) olarak tanımlanmıştır. Bu ekonomide tasarruf oranı (ss) %20\%20, nüfus artış hızı (nn) %2\%2 ve sermayenin aşınma oranı (dd) %8\%8 olarak belirlenmiştir. Solow büyüme modeli varsayımları altında, bu ekonominin durağan durum (steady-state) kişi başına sermaye stoku (kk^*) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Durağan durum kişi başına sermaye stoku 100'dür.
Durağan durum koşulu olan sf(k)=(n+d)ks \cdot f(k) = (n+d)k eşitliği uygulandığında; 0,20×5k=(0,02+0,08)k0,20 \times 5\sqrt{k} = (0,02 + 0,08)k ifadesinden 1k=0,10k1\sqrt{k} = 0,10k elde edilir. Her iki taraf kk değerine bölündüğünde 1/k=0,101/\sqrt{k} = 0,10 ve buradan k=10\sqrt{k} = 10 sonucu çıkar. Karesi alındığında durağan durum sermaye stoku 100 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum denge koşulunu belirle.
sf(k)=(n+d)ks \cdot f(k) = (n + d)k
Solow modelinde durağan durumda kişi başına sermaye stokunun değişmemesi için gerçekleşen yatırımın, yıpranma ve nüfus artışı nedeniyle gereken yatırıma eşit olması gerekir.
2
Verilen parametreleri denklemde yerine koy.
0,20×(5k)=(0,02+0,08)k0,20 \times (5\sqrt{k}) = (0,02 + 0,08)k
Soruda verilen tasarruf oranı (%20), nüfus artış hızı (%2) ve amortisman oranı (%8) değerleri denkleme yerleştirilir.
3
Denklemi sadeleştir ve kk değerini çöz.
1k=0,10kk=0,1k1=0,1kk=10k=1001\sqrt{k} = 0,10k \Rightarrow \sqrt{k} = 0,1k \Rightarrow 1 = 0,1\sqrt{k} \Rightarrow \sqrt{k} = 10 \Rightarrow k^* = 100
Matematiksel işlemler yapılarak durağan durum sermaye stoku yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum (steady state), kişi başına sermaye stokunun (kk) zaman içinde değişmediği (Δk=0)(\Delta k = 0) denge noktasını ifade eder.

Daha Fazla Pratik

Tasarruf oranındaki kalıcı bir artışın durağan durum hasıla düzeyi ve büyüme hızı üzerindeki etkilerini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru

Solow büyüme modelinin geçerli olduğu ve teknolojik gelişmenin yaşanmadığı bir ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=10ky = 10\sqrt{k} olarak tanımlanmıştır. Tasarruf oranının %10\%10, nüfus artış hızının %5\%5 ve sermayenin yıpranma (amortisman) oranının %5\%5 olduğu bu ekonomide, durağan durum (steady-state) kişi başına sermaye stoku (kk^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Durağan durum kişi başına sermaye stoku 100 birimdir.
Durağan durumda tasarruflar (sys \cdot y), sermaye stokunun azalmasına neden olan yıpranma ve nüfus artışı toplamını ((n+d)k(n+d)k) tam olarak karşılar. Verilen değerler yerine konulduğunda 0,10×10k=(0,05+0,05)k0,10 \times 10\sqrt{k} = (0,05+0,05)k denkleminden 1k=0,1k1\sqrt{k} = 0,1k elde edilir. Bu eşitliğin çözümü bizi 100 sonucuna ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum temel dengesi olan sf(k)=(n+d)ks \cdot f(k) = (n+d)k eşitliğini yazınız.
0,10×10k=(0,05+0,05)×k0,10 \times 10\sqrt{k} = (0,05 + 0,05) \times k
Solow modelinde durağan durumda gerçekleşen yatırımın, sermaye stokunu sabit tutmak için gereken yatırıma eşit olması gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki işlemleri sadeleştiriniz.
1k=0,1k1\sqrt{k} = 0,1k
Tasarruf oranı ile üretim fonksiyonu çarpılarak kişi başına tasarruf miktarı; nüfus artışı ve amortisman toplanarak sermaye aşınma hızı belirlenir.
3
Elde edilen denklemden kk değerini çekiniz.
k=100k = 100
k=0,1k10=kk=100\sqrt{k} = 0,1k \Rightarrow 10 = \sqrt{k} \Rightarrow k = 100 işlemleriyle durağan durum sermaye seviyesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum dengesi sf(k)=(n+d)ksf(k) = (n+d)k eşitliği ile belirlenir.
Soru 13Soru

Teknolojik gelişmenin dışlandığı bir Solow büyüme modelinde, kişi başına üretim fonksiyonu y=10k0,5y = 10k^{0,5} olarak saptanmıştır. Ekonomide tasarruf oranı 0,200,20, nüfus artış hızı 0,020,02 ve sermaye aşınma (amortisman) oranı 0,030,03 seviyesinde seyretmektedir. Bu verilere göre, ekonominin uzun dönem durağan denge (steady-state) noktasındaki kişi başına sermaye stoku (kk^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1600

Cevap

Durağan durum kişi başına sermaye stoku 1600 birimdir.
Durağan denge durumunda ekonomideki kişi başına yatırım miktarı, mevcut sermaye stokunun aşınması ve nüfus artışı nedeniyle sermayenin seyrelmesini karşılayacak miktara eşittir. Yapılan hesaplamalar sonucunda 2k=0,05k2\sqrt{k} = 0,05k eşitliğinden k=40\sqrt{k} = 40 ve buradan k=1600k = 1600 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum denge koşulunun tanımlanması.
sf(k)=(n+d)ks \cdot f(k) = (n + d)k
Solow modelinde durağan dengede kişi başına yatırım, kişi başına sermayeyi sabit tutmak için gereken başa baş yatırıma eşit olmalıdır.
2
Verilen sayısal değerlerin formülde yerine konulması.
0,2010k0,5=(0,02+0,03)k0,20 \cdot 10k^{0,5} = (0,02 + 0,03)k
Tasarruf oranı (s=0,20s=0,20), üretim fonksiyonu (f(k)=10k0,5f(k)=10k^{0,5}), nüfus artışı (n=0,02n=0,02) ve aşınma (d=0,03d=0,03) değerlerini kullanıyoruz.
3
Eşitliğin her iki tarafının sadeleştirilmesi.
2k0,5=0,05k2k^{0,5} = 0,05k
0,20×10=20,20 \times 10 = 2 ve 0,02+0,03=0,050,02 + 0,03 = 0,05 işlemleri yapılmıştır.
4
Karekök k değerinin yalnız bırakılması.
kk0,5=20,05k0,5=40\frac{k}{k^{0,5}} = \frac{2}{0,05} \Rightarrow k^{0,5} = 40
Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayarak kök değerine ulaşıyoruz.
5
Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesinin alınması.
k=402=1600k^* = 40^2 = 1600
Sermaye stokunun gerçek değerine ulaşmak için bulunan karekök değerinin karesi alınır.

Anahtar Kavram

Solow Durağan Durum Koşulu

İpuçları

1
Durağan durumda yatırımın başa baş yatırıma eşit olması gerektiğini hatırlayın.
2
sf(k)=(n+d)ksf(k) = (n+d)k formülünde s=0,20s=0,20, n+d=0,05n+d=0,05 ve f(k)=10kf(k)=10\sqrt{k} değerlerini kullanın.
3
Denklemi çözdüğünüzde k=40\sqrt{k} = 40 sonucuna ulaşacaksınız. Son adımda kk değerine geçmeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle durağan durumdaki kişi başına tüketim (cc^*) miktarını hesaplamayı deneyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru

Bir ekonomide kişi başına üretim fonksiyonu y=8ky = 8\sqrt{k} olarak tanımlanmıştır. Tasarruf oranının %25\%25, nüfus artış hızının %3\%3 ve sermayenin yıpranma (amortisman) oranının %2\%2 olduğu varsayıldığında; Solow büyüme modeline göre bu ekonominin durağan durum (steady-state) kişi başına hasıla düzeyi (yy^*) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 320

Cevap

Ekonominin durağan durumdaki kişi başına hasıla düzeyi 320 birimdir.
Durağan durumda kişi başına sermaye birikimi durur, çünkü toplam tasarruflar (sys \cdot y), sermayeyi aşınma ve nüfus artışı karşısında sabit tutmaya yetecek yatırım düzeyine ([n+δ]k[n+\delta] \cdot k) tam olarak eşittir. Verilen y=8ky = 8\sqrt{k}, s=0,25s = 0,25, n=0,03n = 0,03 ve δ=0,02\delta = 0,02 değerleri denge denkleminde yerine konulduğunda 2k=0,05k2\sqrt{k} = 0,05k eşitliği elde edilir. Buradan k=1600k^* = 1600 bulunur. Kişi başına hasıla ise y=81600=320y^* = 8\sqrt{1600} = 320 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum temel denklemini yazınız.
sf(k)=(n+δ)ks \cdot f(k) = (n + \delta) \cdot k
Solow modelinde durağan durum, kişi başına sermaye stokundaki değişimin sıfır olduğu, yani tasarrufların sermayeyi korumak için gereken yatırıma eşit olduğu noktadır.
2
Verilen değerleri denklemde yerine koyunuz.
0,258k=(0,03+0,02)k2k=0,05k0,25 \cdot 8\sqrt{k} = (0,03 + 0,02) \cdot k \Rightarrow 2\sqrt{k} = 0,05k
Tasarruf oranı, nüfus artış hızı ve amortisman oranını kullanarak denge koşulunu oluşturmak gerekir.
3
Kişi başına sermaye stokunu (kk) çözünüz.
kk=20,05k=40k=1600\frac{k}{\sqrt{k}} = \frac{2}{0,05} \Rightarrow \sqrt{k} = 40 \Rightarrow k^* = 1600
Durağan dengeyi sağlayan sermaye yoğunluğu düzeyini bulmak için cebirsel işlem yapılır.
4
Bulunan sermaye stokunu üretim fonksiyonunda yerine yazarak hasılayı hesaplayınız.
y=81600=840=320y^* = 8 \cdot \sqrt{1600} = 8 \cdot 40 = 320
Soru kişi başına sermaye stokunu değil, bu stokla üretilen kişi başına hasıla miktarını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum (steady state), kişi başına yatırımın (sf(k)sf(k)), mevcut sermaye stokunu yıpranma ve nüfus artışına karşı korumak için gereken 'gerekli yatırım' ([n+δ]k[n+\delta]k) miktarına eşit olduğu dengedir.

İpuçları

1
Durağan durumda kişi başına tasarrufların (sysy), kişi başına sermayeyi sabit tutan yatırımlara ([n+δ]k[n+\delta]k) eşit olduğunu hatırlayın.
2
Önce kk^* değerini bulun, ardından bu değeri kullanarak yy^* değerini hesaplayın.
3
0,25×8k=(0,03+0,02)×k0,25 \times 8\sqrt{k} = (0,03 + 0,02) \times k denklemini çözerek başlayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer tasarruf oranı artsaydı, durağan durum kişi başına hasıla düzeyi ve uzun dönem büyüme hızı nasıl etkilenirdi?

Alternatif Yöntem

Dengede k=kk = k^* olduğundan, hasıla cinsinden ifade etmek için k=(y/8)2k = (y/8)^2 dönüşümü yaparak doğrudan yy üzerinden de çözüm yapılabilir.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 15Soru

Teknolojik gelişmenin ihmal edildiği bir Solow büyüme modelinde, ekonominin üretim teknolojisi kişi başına üretim fonksiyonu olan y=20k0,5y = 20k^{0,5} ile temsil edilmektedir. Bu ekonomide tasarruf oranı %20\%20, nüfus artış hızı %3\%3 ve sermayenin aşınma (amortisman) oranı %5\%5 olarak belirlenmiştir. Buna göre, ekonominin durağan durum (steady state) kişi başına sermaye stoku (kk^*) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2500

Cevap

Ekonominin durağan durum kişi başına sermaye stoku 2500 birimdir.
Durağan durumda tasarruf oranı ile üretim fonksiyonunun çarpımı (0,20×20k0,50,20 \times 20k^{0,5}), nüfus artış hızı ve amortisman oranının toplamı ile sermaye stokunun çarpımına ((0,03+0,05)×k(0,03+0,05) \times k) eşit olmalıdır. Bu matematiksel denklik çözüldüğünde k0,5=50k^{0,5} = 50 ve dolayısıyla k=2500k^* = 2500 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum koşulunu yazınız.
s×f(k)=(n+d)×ks \times f(k) = (n + d) \times k
Solow modelinde durağan durumda kişi başına tasarruflar, kişi başına sermaye stokunu sabit tutmak için gereken yatırımlara eşittir.
2
Verilen parametreleri denklemde yerine koyunuz.
0,20×20k0,5=(0,03+0,05)k0,20 \times 20k^{0,5} = (0,03 + 0,05)k
Tasarruf oranı s=0,20s = 0,20, nüfus artış hızı n=0,03n = 0,03 ve amortisman oranı d=0,05d = 0,05 olarak verilmiştir.
3
Denklemi sadeleştiriniz.
4k0,5=0,08k4k^{0,5} = 0,08k
Eşitliğin sol tarafındaki çarpma ve sağ tarafındaki toplama işlemleri yapılmıştır.
4
Kişi başına sermayenin karekökünü (k\sqrt{k}) bulunuz.
k/k0,5=4/0,08k0,5=50k / k^{0,5} = 4 / 0,08 \Rightarrow k^{0,5} = 50
Değişkenler bir tarafa, sayılar diğer tarafa toplanarak oranlama yapılmıştır.
5
Durağan durum sermaye stokunu (kk^*) hesaplayınız.
k=502=2500k^* = 50^2 = 2500
Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesi alınmıştır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum, kişi başına sermaye stokundaki değişimin sıfır olduğu (Δk=0\Delta k = 0) ve kişi başına tasarrufların (sf(k)sf(k)), mevcut sermaye stokunu korumak için gereken genişlemeye ((n+d)k(n+d)k) eşitlendiği dengedir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru

Teknolojik gelişmenin ihmal edildiği bir Solow büyüme modelinde, ekonominin sahip olduğu kişi başına üretim fonksiyonu y=15k0,5y = 15k^{0,5} şeklinde tanımlanmıştır. Tasarruf oranının %20\%20, nüfus artış hızının %3\%3 ve sermaye aşınma (amortisman) oranının %2\%2 olduğu varsayıldığında, bu ekonominin durağan durum (steady-state) kişi başına hasıla düzeyi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 900

Cevap

Durağan durum kişi başına hasıla düzeyi 900 birimdir.
Solow büyüme modelinde durağan durum, kişi başına tasarrufların (sf(k)sf(k)), sermaye genişlemesine ((n+δ)k(n+\delta)k) eşit olduğu dengedir. Verilen y=15k0,5y = 15k^{0,5}, s=0,20s = 0,20, n=0,03n = 0,03 ve δ=0,02\delta = 0,02 değerleri denklemde yerine konulduğunda 3k=0,05k3\sqrt{k} = 0,05k eşitliği elde edilir. Buradan k=60\sqrt{k} = 60 bulunur. Kişi başına hasıla ise y=15×60=900y = 15 \times 60 = 900 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum temel denklemini (temel büyüme denklemi) yazınız.
sf(k)=(n+δ)ksf(k) = (n + \delta)k
Solow modelinde durağan durumda net yatırım sıfırdır, yani tasarruflar aşınma ve nüfus artışından kaynaklanan sermaye ihtiyacını tam olarak karşılar.
2
Verilen parametreleri denklemde yerine koyarak sadeleştiriniz.
0,20×15k0,5=(0,03+0,02)k3k0,5=0,05k0,20 \times 15k^{0,5} = (0,03 + 0,02)k \Rightarrow 3k^{0,5} = 0,05k
Tasarruf oranı (ss), nüfus artış hızı (nn) ve amortisman oranı (δ\delta) değerleri ile üretim fonksiyonu işleme dahil edilir.
3
Kişi başına sermaye stokunun karekökünü (k\sqrt{k}) bulunuz.
kk0,5=30,05k0,5=60\frac{k}{k^{0,5}} = \frac{3}{0,05} \Rightarrow k^{0,5} = 60
Denklemin her iki tarafı k0,5k^{0,5} değerine bölünerek sermaye stoku yalnız bırakılır.
4
Kişi başına hasıla düzeyini (yy^*) hesaplayınız.
y=15×60=900y = 15 \times 60 = 900
Bulunan sermaye değeri üretim fonksiyonunda yerine konularak denge üretim düzeyine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Solow modelinde durağan durum analizi, kişi başına sermaye birikiminin durduğu (Δk=0 \Delta k = 0 ) noktayı temsil eder.

İpuçları

1
Durağan durum koşulu olan sf(k)=(n+δ)ksf(k) = (n+\delta)k formülünü kullanarak başlayın.
2
0,20×15k=(0,03+0,02)k0,20 \times 15\sqrt{k} = (0,03 + 0,02)k eşitliğini çözerek k\sqrt{k} değerini bulun.
3
Bulduğunuz k=60\sqrt{k} = 60 değerini y=15ky = 15\sqrt{k} fonksiyonunda yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Eğer tasarruf oranı iki katına çıksaydı, yeni durağan durum hasıla düzeyi nasıl değişirdi? (İpucu: Düzey etkisi).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru

Sermaye birikiminin Solow büyüme modeliyle açıklandığı bir ekonomide, kişi başına üretim fonksiyonu y=5ky = 5\sqrt{k} olarak tanımlanmıştır. Tasarruf oranının 0,200,20, nüfus artış hızının 0,020,02 ve sermaye yıpranma oranının 0,030,03 olduğu varsayıldığında; bu ekonominin durağan durum (steady-state) kişi başına hasıla (yy) düzeyi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Durağan durum kişi başına hasıla düzeyi 100 birimdir.
Durağan durumda ekonomideki yatırım düzeyi (sf(k)sf(k)), sermayeyi mevcut düzeyinde tutmak için gereken yıpranma ve nüfus artışı karşılayacak yatırıma ((n+d)k(n+d)k) eşittir. Verilen s=0,20s=0,20, n=0,02n=0,02, d=0,03d=0,03 ve y=5ky=5\sqrt{k} değerleri bu eşitliğe konduğunda k=400k=400 bulunur. Üretim fonksiyonunda kk yerine 400 yazıldığında ise kişi başına hasıla (yy) 100 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Durağan durum denge koşulunun belirlenmesi
sf(k)=(n+d)ksf(k) = (n + d)k
Solow modelinde durağan durumda kişi başına tasarruflar (yatırımlar), kişi başına sermaye stokunu sabit tutmak için gereken yatırıma (nüfus artışı ve amortisman) eşit olmalıdır.
2
Parametrelerin denkleme yerleştirilmesi
0,20×5k=(0,02+0,03)×k0,20 \times 5\sqrt{k} = (0,02 + 0,03) \times k
Verilen tasarruf oranı (ss), üretim fonksiyonu (yy), nüfus artış hızı (nn) ve amortisman oranı (dd) değerleri denge formülüne uygulanır.
3
Durağan durum kişi başına sermaye stokunun (kk) hesaplanması
1k=0,05kk=10,05=20k=4001\sqrt{k} = 0,05k \Rightarrow \sqrt{k} = \frac{1}{0,05} = 20 \Rightarrow k = 400
Denklem sadeleştirilerek durağan durumdaki sermaye-emek oranı (kk^*) bulunur.
4
Durağan durum kişi başına hasılanın (yy) hesaplanması
y=5400=5×20=100y = 5\sqrt{400} = 5 \times 20 = 100
Hesaplanan k=400k=400 değeri üretim fonksiyonunda yerine konularak denge hasıla düzeyine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Durağan Durum Denge Koşulu (sf(k)=(n+d)ksf(k) = (n+d)k)

Alternatif Yöntem

Durağan durum hasıla formülü olan y=A(sn+d)α1αy^* = A (\frac{s}{n+d})^{\frac{\alpha}{1-\alpha}} genel formülü de kullanılabilir. Burada y=5k0,5y = 5k^{0,5} olduğundan α=0,5\alpha = 0,5 ve A=5A=5 alınarak doğrudan sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Solow Modeli: Durağan Durum Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İktisat | Examkin