Nokta Tahmini ve Özellikleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ parametresi $\lambda$ olan Poisson dağılımından çekilmiş $n$ çaplı rastgele bir örneklem olsun. $\lambda$ parametresini tahmin etmek için $\hat{\lambda} = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n} X_i$ tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, bu tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{n\lambda + n^2\lambda^2}{(n+1)^2}

\frac{\lambda^2}{(n+1)^2}

\frac{n\lambda}{(n+1)^2}

\frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2}

\frac{\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2}$

Cevap

\frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2}

ifadesi Hata Kareler Ortalamasıdır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının (bias) karesinin toplamına eşittir. Verilen tahmin edici yansız olmadığı için hem varyans bileşeni

\frac{n\lambda}{(n+1)^2}

hem de yan bileşeni

-\frac{\lambda}{n+1}

mevcuttur. Bu iki değerin (varyans ve yanın karesi) toplanmasıyla

\frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla ve yan (bias) miktarını bul.

E[\hat{\lambda}] = \frac{1}{n+1} E[\sum X_i] = \frac{n\lambda}{n+1}

bulunur. Yan miktarı ise

Bias = E[\hat{\lambda}] - \lambda = \frac{n\lambda}{n+1} - \lambda = -\frac{\lambda}{n+1}

olur.

MSE formülündeki yan miktarının karesi (

Bias^2

) bileşenini elde etmek için öncelikle beklenen değeri bulmalıyız.

2

Tahmin edicinin varyansını hesapla.

Var(\hat{\lambda}) = Var\left(\frac{1}{n+1} \sum X_i\right) = \frac{1}{(n+1)^2} Var(\sum X_i) = \frac{n\lambda}{(n+1)^2}

olarak hesaplanır.

MSE hesaplamasında varyans temel bileşenlerden biridir. Bağımsız değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslar toplamına eşittir.

3

MSE(θ̂) = Var(θ̂) + [Bias(θ̂)]² formülünü uygula.

MSE(\hat{\lambda}) = \frac{n\lambda}{(n+1)^2} + \left(-\frac{\lambda}{n+1}\right)^2 = \frac{n\lambda}{(n+1)^2} + \frac{\lambda^2}{(n+1)^2} = \frac{n\lambda + \lambda^2}{(n+1)^2}

elde edilir.

Hata Kareler Ortalaması tanımı gereği varyans ve yan miktarının karesinin toplamı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyans ve yan miktarının karesi toplamıdır:

MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2

Soru 22Soru →

Bir perakende şirketi, müşterilerinin sunulan hizmetten memnuniyet oranını ( $p$ ) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla birbirinden bağımsız $4$ müşteri rastgele seçilmiş ve memnun olanlar için $X_i = 1$ , memnun olmayanlar için $X_i = 0$ $(i=1, 2, 3, 4)$ olacak şekilde bir örneklem oluşturulmuştur. $X_i$ rastgele değişkenlerinin $Bernoulli(p)$ dağılımına sahip olduğu bilinmektedir.

Bu parametrenin tahmini için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}

T_2 = \frac{X_1 + 2X_2 + 2X_3 + X_4}{6}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin Cramer-Rao alt sınırına (CRLB) ulaşıp ulaşmadığı (mutlak etkinlik durumu) ile $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göre göreli etkinliği $\left( RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} \right)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

Mutlak etkindir;

\frac{10}{9}

Mutlak etkin değildir;

\frac{10}{9}

Mutlak etkindir;

\frac{9}{10}

Mutlak etkin değildir;

\frac{9}{10}

Mutlak etkindir;

\frac{2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Mutlak etkindir; $\frac{10}{9}$

Cevap

T_1

'in varyansı Cramer-Rao alt sınırına eşit olduğundan mutlak etkindir ve

RE(T_1, T_2) = \frac{10}{9}

olarak hesaplanır.

T_1

tahmin edicisinin varyansı

p(1-p)/4

olarak bulunur.

n=4

için Bernoulli dağılımının Fisher bilgi miktarı

I_n(p) = 4/(p(1-p))

'dir. Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) ise

1/I_n(p) = p(1-p)/4

olur.

Var(T_1) = CRLB

olduğundan

T_1

mutlak etkindir.

T_2

tahmin edicisinin varyansı ise katsayıların kareleri toplamı yardımıyla

(1^2+2^2+2^2+1^2)/36 \cdot p(1-p) = 10/36 \cdot p(1-p) = 5p(1-p)/18

çıkar. Göreli etkinlik

RE(T_1, T_2) = Var(T_2) / Var(T_1) = (5/18) / (1/4) = 10/9

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

T_1

tahmin edicisinin varyansını hesaplama.

Var(T_1) = \frac{1}{16} \sum_{i=1}^4 Var(X_i) = \frac{4p(1-p)}{16} = \frac{p(1-p)}{4}

Göreli etkinlik için ilk tahmin edicinin varyansı gereklidir.

2

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesaplama.

Var(T_2) = \frac{1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2}{36} Var(X) = \frac{1+4+4+1}{36}p(1-p) = \frac{10}{36}p(1-p) = \frac{5}{18}p(1-p)

Ağırlıklı tahmin edicilerde katsayıların karesi alınarak varyans toplanır.

3

RE(T_1, T_2)

göreli etkinlik oranını bulma.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{5/18}{1/4} = \frac{5}{18} \cdot 4 = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}

Göreceli etkinlik, varyansların formüldeki tanıma uygun şekilde oranlanmasıyla elde edilir.

4

Fisher Bilgi Matrisi ve Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesaplama.

I_n(p) = \frac{n}{p(1-p)} = \frac{4}{p(1-p)}

ve

CRLB = \frac{1}{I_n(p)} = \frac{p(1-p)}{4}

Mutlak etkinlik durumu, varyansın teorik alt sınıra ulaşıp ulaşmadığı test edilerek tespit edilir.

5

Mutlak etkinlik durumunu kontrol etme.

Var(T_1) = \frac{p(1-p)}{4} = CRLB

olduğundan

T_1

mutlak etkindir.

Yansız bir tahmin edicinin varyansı CRLB'ye eşitse o tahmin edici mutlak etkindir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Göreli Etkinlik

Soru 23Soru →

Bir web sunucusuna saniyede gelen bağlantı isteği sayısı, beklenen değeri $\lambda$ olan bir Poisson dağılımı izlemektedir. Bu sunucudaki trafiği analiz etmek amacıyla, birbirinden bağımsız olarak rastgele seçilen 3 farklı saniyedeki bağlantı istek sayıları sırasıyla $X_1, X_2$ ve $X_3$ olarak kaydedilmiştir.

Bilinmeyen $\lambda$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{X_1 + X_2 + 2X_3}{4}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin mutlak etkinliği (Cramer-Rao alt sınırına ulaşıp ulaşmaması bakımından) ve $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göre göreli etkinliği $\left( RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} \right)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Mutlak etkindir,

9/8

Mutlak etkindir,

8/9

Mutlak etkin değildir,

9/8

Mutlak etkin değildir,

8/9

Mutlak etkindir,

3/4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Mutlak etkindir, $9/8$

Cevap

T_1

mutlak etkindir ve göreli etkinlik oranı

9/8

'dir.

Doğru cevap,

T_1

'in mutlak etkin olduğunu ve göreli etkinliğin

9/8

olduğunu belirten seçenektir. Poisson dağılımında

n=3

birimlik örneklem için Fisher bilgi miktarı

I(\lambda) = 1/\lambda

ve Cramer-Rao alt sınırı (CRLB)

1/(n \cdot I(\lambda)) = \lambda/3

'tür.

T_1

örneklem ortalamasıdır ve varyansı

Var(T_1) = \lambda/3

'tür. Varyansı CRLB'ye eşit olduğu için

T_1

mutlak etkindir.

T_2

ağırlıklı ortalamasının varyansı hesaplanırken bağımsızlık gereği katsayıların karesi alınır:

Var(T_2) = (1^2 \cdot \lambda + 1^2 \cdot \lambda + 2^2 \cdot \lambda)/4^2 = 6\lambda/16 = 3\lambda/8

. Göreli etkinlik oranı ise formüle göre hesaplanır:

RE(T_1, T_2) = Var(T_2) / Var(T_1) = (3\lambda/8) / (\lambda/3) = 9/8

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson dağılımı için Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesapla.

n=3

için

I(\lambda) = 1/\lambda

olduğundan

CRLB = \frac{1}{n \cdot I(\lambda)} = \frac{\lambda}{3}

bulunur.

Bir tahmin edicinin mutlak etkin olup olmadığını belirlemek için varyansının CRLB'ye eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

2

T_1

tahmin edicisinin varyansını bul ve mutlak etkinliğini değerlendir.

Var(T_1) = Var(\bar{X}) = \frac{\lambda}{3}

.

Var(T_1) = CRLB

olduğu için

T_1

mutlak etkindir.

Mutlak etkinlik, bir yansız tahmin edicinin Cramer-Rao alt sınırına tam olarak ulaştığı (en küçük varyansa sahip olduğu) durumu ifade eder.

3

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T_2) = \frac{1^2 Var(X_1) + 1^2 Var(X_2) + 2^2 Var(X_3)}{4^2} = \frac{\lambda + \lambda + 4\lambda}{16} = \frac{6\lambda}{16} = \frac{3\lambda}{8}

Ağırlıklı bir ortalamanın varyansı bulunurken, rastgele değişkenlerin bağımsızlığından yararlanılır ve katsayıların kareleri alınarak varyanslar toplanır.

4

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini formülü kullanarak hesapla.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{3\lambda/8}{\lambda/3} = \frac{3}{8} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{8}

Bir

T_1

tahmin edicisinin

T_2

'ye göre göreli etkinliği, varyansların ters oranıdır; yani

Var(T_2)

'nin

Var(T_1)

'e bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği, Cramer-Rao Alt Sınırı ve Göreli Etkinlik

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 24Soru →

Bir risk analiz uzmanı, belirli bir elektronik bileşenin ömrünün (saat cinsinden) ortalaması $\theta$ olan üstel dağılıma uygun olduğunu modellemiştir. Uzman, bileşenin bozulma hızını ifade eden $\lambda = \frac{1}{\theta}$ parametresi ile ilgilenmektedir. Bu parametreyi tahmin etmek için $n$ hacimli ( $n>1$ ) bağımsız bir rastgele örneklem çekmiş ve $\lambda$ 'nın en çok olabilirlik tahmin edicisini $\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}}$ olarak belirlemiştir.

(Bilgi: $X_i \sim \text{Üstel}(\theta)$ rassal değişkenlerinin toplamı olan $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiği $\text{Gamma}(n, \theta)$ dağılımına sahiptir ve $n>1$ için $E(Y^{-1}) = \frac{1}{\theta(n-1)}$ eşitliği sağlanır.)

Buna göre, $\hat{\lambda}$ tahmin edicisinin beklenen değeri $E(\hat{\lambda})$ ve $\lambda$ parametresi için asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

E(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda

;

\hat{\lambda}

asimptotik yansız bir tahmin edicidir.

E(\hat{\lambda}) = \lambda

;

\hat{\lambda}

yansız bir tahmin edicidir (dolayısıyla asimptotik yansızdır).

E(\hat{\lambda}) = \frac{n-1}{n}\lambda

;

\hat{\lambda}

asimptotik yansız bir tahmin edicidir.

E(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda

;

\hat{\lambda}

asimptotik yansız değildir.

E(\hat{\lambda}) = \frac{1}{n-1}\lambda

;

\hat{\lambda}

asimptotik yansız değildir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda$ ; $\hat{\lambda}$ asimptotik yansız bir tahmin edicidir.

Cevap

Tahmin edicinin beklenen değeri

E(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda

olarak bulunur. Limit durumu

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\lambda = \lambda

olduğu için tahmin edici asimptotik yansızdır.

Beklenen değer hesaplaması doğru yapıldığında

E(\frac{n}{Y}) = n \cdot E(Y^{-1}) = \frac{n}{n-1}\frac{1}{\theta} = \frac{n}{n-1}\lambda

sonucuna ulaşılır. Bu ifade

\lambda

'ya eşit olmadığı için tahmin edici yanlıdır (yan miktarı

\frac{1}{n-1}\lambda

). Ancak

n \to \infty

için

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\lambda = \lambda

eşitliği sağlandığından tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin ediciyi verilen istatistik (

Y

) cinsinden ifade et.

\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{Y}{n}

olduğundan,

\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} = \frac{n}{Y}

elde edilir.

Beklenen değeri hesaplayabilmek için soruda dağılım özelliği verilen Y istatistiğine geçiş yapılmalıdır.

2

Beklenen değer operatörünü uygula ve soruda verilen bilgiyi kullan.

E(\hat{\lambda}) = E\left(\frac{n}{Y}\right) = n \cdot E(Y^{-1}) = n \cdot \frac{1}{\theta(n-1)}

bulunur.

Sabit katsayılar (

n

) beklenen değerin dışına alınır ve Gamma dağılımı için geçerli olan ters moment formülü yerine konur.

3

Sonucu hedef parametre (

\lambda

) cinsinden düzenle.

\lambda = \frac{1}{\theta}

olduğundan,

E(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda

elde edilir.

Soru

\lambda

parametresi üzerinden sorulmuştur, bu yüzden

\theta

hedef parametreye dönüştürülmelidir.

4

Asimptotik yansızlık durumu için örneklem çapı

n

'i sonsuza götürerek limit al.

\lim_{n \to \infty} E(\hat{\lambda}) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n-1}\lambda\right) = 1 \cdot \lambda = \lambda

sonucu elde edilir.

Asimptotik yansızlığın tanımı

\lim_{n \to \infty} E(\hat{\lambda}) = \lambda

şartının sağlanmasıdır.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık

Alternatif Yöntem

Beklenen değeri bulmak için

\bar{X}

'in tam dağılımını (Erlang dağılımı) bularak

E(1/\bar{X})

integrali doğrudan da hesaplanabilir, ancak Gamma dağılımının moment üreten özellikleri soruda verildiği için dönüştürerek çözmek daha pratiktir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 25Soru →

İstatistiksel çıkarım sürecinde bilinmeyen bir $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $n$ çaplı bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alınmıştır. Bu süreçle ilgili olarak bir araştırmacı aşağıdaki tanımlamaları yapmıştır:

I. $\hat{\theta} = t(X_1, X_2, \dots, X_n)$ fonksiyonu
II. Gözlemlenen özel bir örneklem veri seti kullanılarak hesaplanan $\hat{\theta}_{hesaplanan} = 2.71$ değeri
III. $E(\hat{\theta}) = \theta$ eşitliği
IV. $n \to \infty$ iken her $\epsilon > 0$ için $\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0$ limiti

Nokta tahmin edici, tahmin ve parametre kavramları ile tahmin edicilerin asimptotik özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi yanlıştır?

I numaralı ifade

\theta

parametresi için bir 'nokta tahmin edicisi'dir (estimator) ve kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametreyi içermeyen bir istatistik olmak zorundadır.

II numaralı ifade bir 'tahmin' (estimate) değeridir; I numaralı ifadenin aksine rastgele bir değişken değil, belirli bir örneklem veri seti için hesaplanmış sabit bir sayıdır.

III numaralı eşitlik tahmin edicinin 'yansız' (unbiased) olduğunu ifade eder ve yansız olan her tahmin edici, IV numaralı özellikle belirtilen 'tutarlılık' (consistency) şartını da kesinlikle sağlar.

III numaralı eşitliği sağlayan I numaralı ifade, aynı zamanda yeterli (sufficient) ve tam (complete) bir istatistiğin fonksiyonu ise Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici) olur.

I numaralı tahmin edicinin performansını değerlendirmede kullanılan Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının (bias) karesinin toplamına eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: III numaralı eşitlik tahmin edicinin 'yansız' (unbiased) olduğunu ifade eder ve yansız olan her tahmin edici, IV numaralı özellikle belirtilen 'tutarlılık' (consistency) şartını da kesinlikle sağlar.

Cevap

Yansız olan her tahmin edicinin kesinlikle tutarlı olacağını iddia eden yargı yanlıştır.

Doğru yanıt olan seçenekteki yargı bütünüyle yanlıştır çünkü bir tahmin edicinin yansız (unbiased) olması, onun tutarlı (consistent) olmasını garanti etmez. Örneğin,

X_1, X_2, \dots, X_n

örnekleminde

\mu

parametresi için sadece ilk gözlemi kullanan

\hat{\mu} = X_1

tahmin edicisi yansızdır (

E(X_1) = \mu

). Ancak örneklem çapı

n

ne kadar büyürse büyüsün bu tahmin edicinin varyansı (

Var(X_1) = \sigma^2

) sıfıra yaklaşmaz, dolayısıyla parametreye olasılıkta yakınsamaz ve tutarlı değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Öncüllerde verilen matematiksel sembollerin kavramsal karşılıklarını belirle.

I. ifade Tahmin Edici (Estimator), II. ifade Tahmin (Estimate), III. ifade Yansızlık (Unbiasedness), IV. ifade Tutarlılık (Consistency) özelliklerini tanımlamaktadır.

Seçeneklerdeki karmaşık yargıları değerlendirebilmek için temel kavramların ne anlama geldiğinin netleştirilmesi şarttır.

2

Tahmin edici ve tahmin kavramları arasındaki yapısal farkı değerlendir.

Tahmin edici örneklem değerlerine bağlı rastgele bir fonksiyondur (istatistiktir). Tahmin ise bu fonksiyona özel veri girildiğinde çıkan sabit sayıdır.

İlk iki seçeneğin doğruluğunu teyit etmek için bu ayrımın bilinmesi gerekir.

3

Yansızlık ve tutarlılık özellikleri arasındaki teorik ilişkiyi analiz et.

Yansızlık, sonlu bir örneklemde beklenen değerin parametreyi vermesidir. Tutarlılık ise örneklem çapı sonsuza giderken gerçekleşen asimptotik bir özelliktir. Yansız bir tahmin edicinin varyansı örneklem çapı arttıkça sıfıra yaklaşmıyorsa (örneğin sadece ilk gözlem değerini almak:

T = X_1

), bu tahmin edici tutarlı olmaz.

Yanlış olan yargıyı bulmak ve aralarındaki nedensellik bağını sınamak içindir.

Anahtar Kavram

Tahmin Teorisi Temel Kavramları ve Özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 26Soru →

Bir araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, \quad (x \ge 1, \ \theta > 0)

olan Pareto dağılımından

n \ (n > 2)

çaplı rastgele bir örneklem almıştır. Bu dağılımın

\theta

parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE)

\hat{\theta}

olarak bulunmuştur.

Buna göre, $\hat{\theta}$ 'nın beklenen değeri ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

E(\hat{\theta}) = \frac{n-1}{n}\theta

; Asimptotik olarak yansızdır.

E(\hat{\theta}) = \theta

; Yansızdır.

E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1}\theta

; Asimptotik olarak yansızdır.

E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta

; Asimptotik olarak yansızdır.

E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-2}\theta

; Asimptotik olarak yansızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta$ ; Asimptotik olarak yansızdır.

Cevap

Doğru seçenek

E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta

ve tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu belirten ifadedir.

Pareto dağılımı için

\theta

parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi

\hat{\theta} = \frac{n}{\sum \ln X_i}

formülüyle bulunur.

X_i \sim \text{Pareto}(1, \theta)

dağılımından

\ln X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

dağılımı elde edilir. Bağımsız üstel dağılımların toplamı olan

W = \sum \ln X_i

değişkeni

\text{Gamma}(n, \theta)

dağılımına uyar.

\text{Gamma}(n, \theta)

dağılımında

1/W

ifadesinin beklenen değeri (ters Gamma momenti)

E[1/W] = \frac{\theta}{n-1}

'dir. Bu nedenle

E[\hat{\theta}] = E[\frac{n}{W}] = \frac{n}{n-1}\theta

olarak hesaplanır. Limit alındığında

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\theta = \theta

olduğu görülür; bu durum tahmin edicinin sonlu örneklemlerde yanlı, ancak örneklem hacmi sonsuza giderken asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Log-olabilirlik fonksiyonunun türevi alınarak

\theta

'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) bulunur.

\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}

olarak elde edilir.

Tahmin edicinin asimptotik özelliklerini incelemek için öncelikle tahmin edicinin cebirsel formunun net olarak bulunması gerekir.

2

Örneklemdeki

X_i

değişkenlerine

Y_i = \ln X_i

dönüşümü uygulanarak yeni değişkenin dağılımı belirlenir.

Y_i

değişkenlerinin

\lambda = \theta

parametreli Üstel dağılıma,

Y_i \sim \text{Üstel}(\theta)

, sahip olduğu bulunur.

Paydada yer alan

\sum \ln X_i

ifadesinin toplam dağılımını elde edebilmek için tekil terimlerin bilindik bir dağılıma dönüştürülmesi şarttır.

3

W = \sum_{i=1}^n \ln X_i

toplam değişkeninin dağılımı ve bu dağılımın tersinin beklenen değeri

E(1/W)

hesaplanır.

Bağımsız üstel dağılımların toplamından

W \sim \text{Gamma}(n, \theta)

elde edilir ve ters Gamma özelliğiyle

E(1/W) = \frac{\theta}{n-1}

bulunur.

\hat{\theta} = n/W

şeklinde ifade edildiğinden, tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayabilmek için

1/W

'nin beklenen değeri kullanılmalıdır.

4

\hat{\theta}

'nın beklenen değeri

E(\hat{\theta}) = n \cdot E(1/W)

eşitliğinden hesaplanır ve

n \to \infty

için limiti alınarak asimptotik yansızlık durumu kontrol edilir.

E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n-1}\theta

bulunur.

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\theta = \theta

olduğundan tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğu ispatlanır.

Bir tahmin edicinin asimptotik yansız olabilmesi için örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değerinin gerçek kitle parametresine tam olarak eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve MLE'nin Beklenen Değeri

Soru 27Soru →

Bir elektronik parçasının ömrü, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(y; \beta) = \frac{1}{\beta} e^{-y/\beta}, \quad y > 0$ olan üstel dağılıma uymaktadır. Bu parçalardan rastgele seçilen $n$ ( $n > 2$ ) tanesinin ömürleri $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ olarak gözlemlenmiştir. Parçanın bozulma oranını ifade eden $\lambda = \frac{1}{\beta}$ parametresi için Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilecek Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{n}{\sum_{i=1}^n Y_i}

\sum_{i=1}^n Y_i

\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i}

\frac{n-2}{\sum_{i=1}^n Y_i}

\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i}$

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistiğin düzeltilmiş hali olan

\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i}

ifadesidir.

Üstel dağılımda

\beta

için tam ve yeterli istatistik

T = \sum_{i=1}^n Y_i

'dir ve

\text{Gamma}(n, \beta)

dağılımına sahiptir. Bizden

\lambda = 1/\beta

parametresinin yansız tahmin edicisi istenmektedir. Gamma dağılımının beklenen değer özellikleri kullanılarak

E[1/T]

hesaplandığında sonuç

\frac{1}{(n-1)\beta}

çıkar. Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu, varyansı en küçük olan yansız tahmin edicidir (UMVUE). Bu nedenle ifadeyi

(n-1)

ile çarparak elde edilen

\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n Y_i}

UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik fonksiyonundan yeterli istatistiği bulmak.

Neyman Çarpanlara Ayırma teoremine göre

T = \sum_{i=1}^n Y_i

,

\beta

parametresi için yeterli istatistiktir.

Örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

L(\beta) = \frac{1}{\beta^n} e^{-\frac{1}{\beta} \sum Y_i}

biçiminde yazılabilir.

2

Yeterli istatistiğin tamlığını (completeness) doğrulamak.

Üstel dağılım düzenli üstel aileye mensup olduğundan

T = \sum_{i=1}^n Y_i

aynı zamanda tam bir istatistiktir.

Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için istatistiğin hem tam hem de yeterli olması gerekir.

3

Yeterli istatistiğin dağılımını belirlemek.

T = \sum_{i=1}^n Y_i \sim \text{Gamma}(n, \beta)

dağılımına uyar.

Bağımsız ve aynı üstel dağılıma sahip rastgele değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.

4

\lambda = 1/\beta

için yansız olan

g(T)

fonksiyonunu bulmak.

E\left[\frac{1}{T}\right] = \int_0^\infty \frac{1}{t} \frac{t^{n-1} e^{-t/\beta}}{\Gamma(n)\beta^n} dt = \frac{\Gamma(n-1)\beta^{n-1}}{\Gamma(n)\beta^n} = \frac{1}{(n-1)\beta} = \frac{\lambda}{n-1}

bulunur. Bu eşitlik düzenlenerek

E\left[\frac{n-1}{T}\right] = \lambda

elde edilir.

UMVUE olabilmesi için tahmin edicinin beklenen değerinin tam olarak tahmin edilmek istenen parametreye eşit (yansız) olması gerekir.

Anahtar Kavram

Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE'dir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 28Soru →

Bir mühendislik çalışmasında, bir sistemin bozulma süresi (ay cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem olmak üzere, sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{2\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, $\tau(\theta) = \sqrt{\theta}$ parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2}{n}

\frac{\theta}{n}

\frac{\theta}{2n}

\frac{\theta}{4n}

\frac{1}{4n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\theta}{4n}$

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı

\frac{\theta}{4n}

olarak bulunur.

Cramer-Rao alt sınırı, hedeflenen fonksiyonun türevinin karesinin, n hacimli örneklemin Fisher bilgi miktarına bölünmesiyle hesaplanır. Rayleigh dağılımına benzer bu olasılık fonksiyonunda skor fonksiyonunun özelliklerini kullanarak

E[X^2] = 2\theta

elde edilir. Buradan Fisher bilgi miktarı

I_n(\theta) = n/\theta^2

çıkar.

\tau(\theta) = \sqrt{\theta}

fonksiyonunun türevinin karesi ise

1/(4\theta)

'dir. Payı paydaya oranladığımızda sonuç

\theta / (4n)

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun logaritmasını (log-olabilirlik) almak.

\ln f(x; \theta) = \ln x - \ln \theta - \frac{x^2}{2\theta}

Fisher bilgi miktarını (Information) hesaplamak için öncelikle fonksiyonun logaritmasının birinci ve ikinci türevlerine ihtiyaç vardır.

2

Logaritmik fonksiyonun

\theta

'ya göre birinci ve ikinci türevlerini hesaplamak.

Birinci türev:

\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x^2}{2\theta^2}

. İkinci türev:

\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{x^2}{\theta^3}

İkinci türevin beklenen değerinin negatif işaretlisi, tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarını verir.

3

Skor fonksiyonunun (birinci türev) beklenen değerinin sıfır olmasından faydalanarak

E[X^2]

değerini bulmak ve Fisher bilgi miktarını hesaplamak.

E\left[-\frac{1}{\theta} + \frac{X^2}{2\theta^2}\right] = 0 \implies E[X^2] = 2\theta

. Buradan

I_1(\theta) = -E\left[\frac{1}{\theta^2} - \frac{X^2}{\theta^3}\right] = -\left(\frac{1}{\theta^2} - \frac{2\theta}{\theta^3}\right) = \frac{1}{\theta^2}

. Örneklem için:

I_n(\theta) = \frac{n}{\theta^2}

$

Cramer-Rao formülünün paydası olan örneklem Fisher bilgi miktarına (

I_n(\theta)

) ulaşmak için bu işlem gereklidir.

4

Tahmin edilmek istenen fonksiyonun

\tau(\theta)

türevini alıp, Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygulamak.

\tau(\theta) = \sqrt{\theta} \implies \tau'(\theta) = \frac{1}{2\sqrt{\theta}}

. CRLB =

\frac{[\tau'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{1/(4\theta)}{n/\theta^2} = \frac{\theta^2}{4n\theta} = \frac{\theta}{4n}

Doğrudan

\theta

yerine

\sqrt{\theta}

parametresi araştırıldığından, pay kısmına fonksiyonun türevinin karesi gelmelidir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Soru 29Soru →

İki parametreli bir kitleden, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ (her ikisi de bilinmeyen) olan normal dağılımdan $n$ çaplı rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alınmıştır.

İstatistiksel tahminleme teorisinde, bir fonksiyonun "nokta tahmin edici" olabilmesi için taşıması gereken temel koşul dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi bu kitlenin herhangi bir parametresi için geçerli bir nokta tahmin edici olamaz?

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i

\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

X_{(n)} - X_{(1)}

\frac{X_1 + X_n}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$

Cevap

İçinde bilinmeyen kitle ortalaması parametresini barındıran karesel sapmalar ortalaması fonksiyonu geçerli bir nokta tahmin edici olamaz.

İstatistiksel çıkarımda bir tahmin edici (estimator), sadece elde edilen rastgele örnekleme (gözlemlere) bağlı olan ve hiçbir bilinmeyen kitle parametresini içermeyen bir fonksiyondur. Soruda

\mu

parametresinin bilinmediği açıkça belirtilmiştir. Doğru cevap olan seçenekteki fonksiyon doğrudan bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiği için, örneklem çekildikten sonra hesaplanıp sayısal bir tahmin (estimate) değeri üretemez. Bu nedenle geçerli bir nokta tahmin edici (istatistik) olamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Nokta tahmin edici (istatistik) kavramının tanımını hatırla.

Bir istatistik,

T(X_1, X_2, \dots, X_n)

şeklinde sadece örneklem değerlerine bağlı olan ve hiçbir bilinmeyen kitle parametresini içermeyen bir fonksiyondur.

Tahmin edicinin temel amacı veriden hesaplanarak bilinmeyeni bulmaktır. İçinde bilinmeyen parametre varsa, örneklem çekildiğinde sayısal bir değer elde edilemez.

2

Soruda verilen kitle özelliklerini ve bilinmeyenleri tespit et.

Dağılımın her iki parametresi olan

\mu

(kitle ortalaması) ve

\sigma^2

(kitle varyansı) bilinmemektedir.

Seçeneklerdeki fonksiyonların içinde bu sembollerin doğrudan yer alıp almadığını kontrol etmek için.

3

Seçeneklerdeki matematiksel ifadelerin parametre içerip içermediğini analiz et.

İçinde doğrudan

\mu

sembolü bulunan seçenek belirlenir. Diğer tüm seçenekler

X_i

değerleri ve bunlardan türetilen

\bar{X}

gibi bilinen istatistiklerden oluşmaktadır.

Sadece veriye dayalı olmayan tek fonksiyonu ayıklamak için.

Anahtar Kavram

İstatistik ve Tahmin Edici Tanımı

Soru 30Soru →

Bir üretim sürecinde hatalı ürün üretme olasılığı $p$ olup, ardışık üretilen $n$ ( $n \geq 2$ ) adet ürünün hatalı olup olmadığı bağımsız Bernoulli denemeleri olarak $X_1, X_2, \dots, X_n$ şeklinde modellenmektedir. Bu kitleye ait varyans olan $\theta = p(1-p)$ parametresini tahmin etmek için $T = X_1(1-X_2)$ yansız tahmin edicisi önerilmiştir.

Toplam hatalı ürün sayısı $S = \sum_{i=1}^n X_i$ 'nin $p$ için yeterli istatistik olduğu bilindiğine göre, Rao-Blackwell teoremi aracılığıyla $T$ tahmin edicisinden elde edilen $\phi(S) = E(T|S)$ tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{S^2}{n^2}

\frac{S(n-S)}{n(n-1)}

\frac{S(S-1)}{n(n-1)}

\frac{S(n-S)}{n^2}

\frac{S}{n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{S(n-S)}{n(n-1)}$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen yansız tahmin edici

\frac{S(n-S)}{n(n-1)}

şeklindedir.

Rao-Blackwell tahmin edicisini bulmak için

\phi(S) = E(X_1(1-X_2)|S)

koşullu beklentisi hesaplanmalıdır.

X_1

ve

X_2

değişkenleri Bernoulli dağıldığından,

X_1(1-X_2)

çarpımı sadece

X_1=1

ve

X_2=0

olduğunda

1

değerini alır. Bu nedenle koşullu beklenti,

P(X_1=1, X_2=0 | S=s)

olasılığına eşittir. Yeterli istatistik

S

, başarılı deneme sayısıdır.

n

denemeden

S

tanesi başarılıysa, ilk denemenin başarılı ve ikincisinin başarısız olması durumu, kalan

n-2

denemeden

S-1

tanesinin başarılı olması ile mümkündür. Bu olasılık kombinatorik yolla

\frac{\binom{n-2}{S-1}}{\binom{n}{S}}

olarak yazılır. Faktöriyeller açılarak sadeleştirme yapıldığında doğru tahmin edici olan

\frac{S(n-S)}{n(n-1)}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu beklenti ifadesini oluşturun.

\phi(S) = E(X_1(1-X_2) | S)

Rao-Blackwell teoremi, verilen yansız bir tahmin edicinin (

T

) yeterli istatistik (

S

) üzerine koşullanarak beklentisinin alınmasıyla daha küçük varyanslı yeni bir tahmin edici üretir.

2

Beklenti değerini koşullu olasılık cinsinden yazın.

E(X_1(1-X_2)|S=s) = P(X_1=1, X_2=0 | S=s)

X_1

ve

X_2

sadece

\{0, 1\}

değerlerini aldığı için

X_1(1-X_2)

ifadesi sadece

X_1=1

ve

X_2=0

durumunda

1

, diğer durumlarda

0

değerini alır.

3

Koşullu olasılığı kombinasyonlarla hesaplayın.

P(X_1=1, X_2=0 | S=s) = \frac{\binom{n-2}{s-1}}{\binom{n}{s}}

Toplam

n

denemeden

s

tanesinin başarılı olduğu biliniyorken, ilk denemenin başarılı ve ikinci denemenin başarısız olması; geriye kalan

n-2

denemenin içinden

s-1

tanesinin başarılı olması demektir.

4

Kombinasyon oranını faktöriyelleri açarak sadeleştirin.

\frac{\frac{(n-2)!}{(s-1)!(n-1-s)!}}{\frac{n!}{s!(n-s)!}} = \frac{s(n-s)}{n(n-1)}

Faktöriyel terimleri bölme işleminde ters çevrilip çarpıldığında

n!

ile

(n-2)!

ve diğer terimler sadeleşerek nihai tahmin edici elde edilir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Koşullu Beklenti

Soru 31Soru →

Bir klinik araştırmada, belirli bir ilacın hastalarda oluşturduğu yan etkiler 3 kategoride sınıflandırılmaktadır: Hafif, Orta ve Şiddetli. Hastaların bu kategorilere düşme olasılıkları sırasıyla $p_1 = \theta$ , $p_2 = 2\theta$ ve $p_3 = 1 - 3\theta$ olarak tanımlanmıştır ( $0 < \theta < 1/3$ ).

Araştırma kapsamında $n$ hasta rasgele seçilmiş olup, Hafif, Orta ve Şiddetli yan etki gösteren hasta sayıları sırasıyla $X_1$ , $X_2$ ve $X_3$ rasgele değişkenleriyle ifade edilmektedir ( $\sum_{i=1}^3 X_i = n$ ).

Buna göre, aşağıdaki istatistiklerden hangisi $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) olduğu halde tam (complete) DEĞİLDİR?

X_1 + X_2

X_3

(X_1, X_2)

X_1

2X_1 + X_2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(X_1, X_2)$

Cevap

Doğru istatistik

(X_1, X_2)

vektörüdür.

Soruda bizden yeterli olup tam olmayan bir istatistik istenmektedir. Olabilirlik fonksiyonunu yazıp Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uyguladığımızda

X_1 + X_2

toplamının minimal yeterli istatistik olduğunu görürüz. Minimal yeterli istatistiği tam olarak belirleyebilen

(X_1, X_2)

vektörü de yeterlidir. Ancak tamlık (completeness) özelliğini incelediğimizde; kategorik dağılımın beklenen değer özelliklerinden dolayı

E[X_1] = n\theta

ve

E[X_2] = 2n\theta

'dır. Eğer

g(X_1, X_2) = 2X_1 - X_2

şeklinde sıfırdan farklı bir fonksiyon tanımlarsak, bu fonksiyonun beklenen değeri

E[2X_1 - X_2] = 2n\theta - 2n\theta = 0

olur. Beklenen değeri sıfır olan ancak kendisi (olasılıkla 1 olarak) sıfıra eşit olmayan bir

g

fonksiyonu bulunabildiği için

(X_1, X_2)

istatistiği tam (complete) değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturarak Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak.

L(\theta) = \frac{n!}{X_1! X_2! X_3!} (\theta)^{X_1} (2\theta)^{X_2} (1-3\theta)^{X_3} = \frac{n! 2^{X_2}}{X_1! X_2! X_3!} \theta^{X_1+X_2} (1-3\theta)^{n - (X_1+X_2)}

şeklinde ifade edilir.

Yeterli istatistiği belirlemek için parametreye bağlı kısmın hangi fonksiyona dayandığını görmek.

2

Minimal yeterli istatistiği belirlemek.

Olabilirlik fonksiyonunda bilinmeyen

\theta

parametresi, veriye sadece

X_1 + X_2

toplamı üzerinden bağlıdır. Bu nedenle minimal yeterli istatistik

T = X_1 + X_2

'dir.

Çarpanlara ayırma teoremine göre, parametreyi içeren kısım

g(T(x), \theta)

formunda yazıldığında

T(x)

yeterli istatistiktir.

3

Seçeneklerdeki istatistiklerin yeterlilik ve tamlık durumlarını incelemek.

(X_1, X_2)

istatistiği,

X_1 + X_2

toplamını doğrudan belirlediği için yeterlidir. Ancak

E[X_1] = n\theta

ve

E[X_2] = 2n\theta

olduğundan,

g(X_1, X_2) = 2X_1 - X_2

fonksiyonu için

E[2X_1 - X_2] = 0

elde edilir. İstatistik sıfırdan farklı olduğu halde beklenen değeri her

\theta

için sıfır olduğundan tam (complete) değildir.

Tamlık (completeness) tanımına göre, beklentisi her parametre değeri için sıfır olan tek fonksiyonun, olasılıkla 1 olarak sıfıra eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Yeterli ve Tam İstatistikler (Sufficient and Complete Statistics)

Alternatif Yöntem

Olabilirlik fonksiyonunu çok terimli (multinomial) üstel aile formunda yazarak doğal parametreleri ve yeterli istatistikleri belirleyebilirsiniz. Ortak dağılımı

f(x) = h(x) \exp(\sum \eta_i T_i(x) - A(\eta))

şeklinde ifade ettiğimizde, doğal parametre uzayının boyutunun (burada

\theta

tek boyutlu) yeterli istatistiğin boyutundan (eğer

(X_1, X_2)

seçilirse 2 boyutlu) küçük olduğu durumlarda kavisli (curved) üstel aile oluştuğunu ve bu yüzden daha geniş vektörün tamlık özelliğini kaybettiğini doğrudan teorik olarak tespit edebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 32Soru →

Bir elektronik şirketinin ürettiği belirli bir mikroçipin kullanım ömrü (saat cinsinden), beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma uymaktadır. Bu çipin ortalama ömrü olan $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla birbirinden bağımsız $4$ adet mikroçip rastgele test edilmiş ve ölçülen ömür değerleri sırasıyla $X_1, X_2, X_3$ ve $X_4$ olarak kaydedilmiştir.

$\theta$ parametresi için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

\hat{\theta}_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}

\hat{\theta}_2 = \frac{X_1 + 2X_2 + X_3 + X_4}{5}

Buna göre, $\hat{\theta}_1$ tahmin edicisinin $\hat{\theta}_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) kaçtır ve $\hat{\theta}_1$ 'in mutlak etkinliği hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Göreli etkinlik

\frac{28}{25}

'tir ve

\hat{\theta}_1

mutlak etkindir.

Göreli etkinlik

\frac{25}{28}

'dir ve

\hat{\theta}_1

mutlak etkindir.

Göreli etkinlik

\frac{28}{25}

'tir ve

\hat{\theta}_1

mutlak etkin değildir.

Göreli etkinlik

\frac{25}{28}

'dir ve

\hat{\theta}_1

mutlak etkin değildir.

Göreli etkinlik

\frac{7}{25}

'tir ve

\hat{\theta}_1

mutlak etkin değildir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Göreli etkinlik $\frac{28}{25}$ 'tir ve $\hat{\theta}_1$ mutlak etkindir.

Cevap

Doğru seçenek, göreli etkinliğin 28/25 olduğu ve birinci tahmin edicinin mutlak etkin olduğu seçenektir.

Verilen üstel dağılımda, birinci tahmin edicinin varyansı

\frac{\theta^2}{4}

ve ikinci tahmin edicinin varyansı hesaplandığında

\frac{7\theta^2}{25}

olarak bulunur. Göreli etkinlik formülü gereği oran

\frac{7/25}{1/4} = \frac{28}{25}

olur. Aynı zamanda 4 örneklemli üstel dağılım için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB)

\frac{\theta^2}{4}

'tür. Birinci tahmin edicinin varyansı bu sınıra eşit olduğundan tahmin edici mutlak etkindir.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edicilerin varyanslarını hesaplamak

Var(\hat{\theta}_1) = \frac{\theta^2}{4}

ve

Var(\hat{\theta}_2) = (\frac{1^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2}{25})\theta^2 = \frac{7\theta^2}{25}

bulunur.

Göreli etkinliği bulmak için her iki tahmin edicinin varyans değerlerine ihtiyaç vardır.

2

Göreli etkinliği (Relative Efficiency) hesaplamak

RE(\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2) = \frac{Var(\hat{\theta}_2)}{Var(\hat{\theta}_1)} = \frac{7\theta^2/25}{\theta^2/4} = \frac{28}{25}

elde edilir.

Birinci tahmin edicinin ikinciye göre göreli etkinliği, ikinci tahmin edicinin varyansının birinci tahmin edicinin varyansına oranı ile bulunur.

3

Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesaplamak

Üstel dağılım için

I_n(\theta) = \frac{n}{\theta^2}

olduğundan,

n=4

için CRLB

= \frac{1}{I_4(\theta)} = \frac{\theta^2}{4}

hesaplanır.

Mutlak etkinliği test etmek için tahmin edicinin varyansının Cramer-Rao alt sınırına eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

4

Mutlak etkinliği değerlendirmek

Var(\hat{\theta}_1) = \frac{\theta^2}{4} = \text{CRLB}

olduğundan

\hat{\theta}_1

'in mutlak etkin olduğu sonucuna varılır.

Varyansı Cramer-Rao alt sınırına (CRLB) eşit olan yansız tahmin ediciler mutlak etkin kabul edilir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Soru 33Soru →

Bir fabrikada üretilen elektronik parçaların dayanma süreleri, bilinmeyen bir $\theta$ parametresine sahip Üstel (Exponential) dağılıma uymaktadır. Bu üretim hattından rastgele seçilen $n$ adet parçanın dayanma süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemini oluşturmaktadır.

Bu örneklem üzerinden tanımlanan aşağıdaki fonksiyonlar göz önüne alınmıştır:

I. $W_1 = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)$
II. $W_2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\theta}\right)$
III. $W_3 = \frac{X_1 + X_n}{2}$
IV. $W_4 = \bar{X} - \theta$

Buna göre, yukarıda verilen fonksiyonlardan hangileri $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla tanımlanmış bir "istatistik" (dolayısıyla nokta tahmin edici) olma şartını sağlar?

Yalnız I

II ve IV

I ve III

I, II ve III

I, III ve IV

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III numaralı ifadeler birer istatistiktir çünkü formüllerinde bilinmeyen bir parametre yer almaz, yalnızca örneklem değerleri ile hesaplanabilirler.

İstatistiksel çıkarımda bir fonksiyonun 'istatistik' (statistic) ve dolayısıyla bir 'tahmin edici' (estimator) olarak kullanılabilmesi için temel şart, yalnızca gözlemlenebilen örneklem değerlerine (

X_i

) bağlı olması ve bilinmeyen herhangi bir parametre içermemesidir. I. ifadede yer alan örneklem minimumu (

W_1

) ve III. ifadede yer alan uç değerlerin ortalaması (

W_3

) bilinmeyen

\theta

parametresini içermez, dolayısıyla örneklem verisi geldiğinde doğrudan hesaplanabilirler. II. ve IV. ifadeler ise

\theta

parametresini açıkça barındırdıkları için hesaplanamazlar ve istatistik tanımına uymazlar.

Adım Adım Çözüm

1

İstatistik ve nokta tahmin edici kavramlarının tanımını hatırlamak.

Bir

T(X_1, \dots, X_n)

fonksiyonunun istatistik olabilmesi için yalnızca gözlemlenebilen örneklem değerlerine ve bilinen sabitlere bağlı olması, bilinmeyen herhangi bir parametre içermemesi gerektiği tespit edilir.

Tahmin edici, örneklem çekildikten sonra sayısal bir değere (tahmin) dönüşebilmelidir. İçinde bilinmeyen parametre olan bir formül hesaplanamaz.

2

I ve III numaralı fonksiyonları incelemek.

W_1 = \min(X_1, \dots, X_n)

ve

W_3 = (X_1 + X_n)/2

fonksiyonlarının sadece örneklemdeki değerlere bağlı olduğu görülür.

Her iki fonksiyon da bilinmeyen

\theta

parametresini içermediğinden tanım gereği birer istatistiktir.

3

II ve IV numaralı fonksiyonları incelemek.

W_2

fonksiyonunun paydasında,

W_4

fonksiyonunun ise çıkarma işleminde bilinmeyen

\theta

parametresi bulunmaktadır.

Formüllerinde bilinmeyen parametre barındıran fonksiyonlar örneklem verisiyle sayısal olarak hesaplanamayacakları için istatistik veya tahmin edici olamazlar (bunlar pivot büyüklükler olabilir).

Anahtar Kavram

İstatistik ve Tahmin Edici Tanımı (Parametreden Bağımsızlık)

Soru 34Soru →

Bir ilaç şirketinin ürettiği belirli bir etken maddenin tabletlerdeki miktarı, birbirinden bağımsız ve aynı $N(\mu, \sigma^2)$ dağılımına sahip $X_1, X_2, X_3, X_4$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Burada $\sigma^2$ bilinen bir sabittir.

Bu etken maddenin ortalama miktarını (

\mu

) tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + 2X_2 + 3X_3 + 4X_4}{10}

T_2 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}

Buna göre, $T_2$ tahmin edicisinin mutlak etkin olup olmadığı ve $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göreli etkinliği $\left(eff(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)}\right)$ , sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Mutlak etkindir ;

\frac{6}{5}

Mutlak etkin değildir ;

\frac{5}{6}

Mutlak etkindir ;

\frac{5}{6}

Mutlak etkin değildir ;

\frac{6}{5}

Mutlak etkindir ;

\frac{1}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Mutlak etkindir ; $\frac{5}{6}$

Cevap

Örneklem ortalaması olan T2 mutlak etkindir ve T1'in T2'ye göreli etkinliği 5/6'dır.

Normal dağılımdan gelen rastgele bir örneklemin ortalaması olan

T_2

'nin varyansı

\sigma^2/n = \sigma^2/4

'tür. Normal dağılımda

\mu

için Cramer-Rao Alt Sınırı da

\sigma^2/n

'dir; bu nedenle

T_2

varyans alt sınırına ulaştığı için 'mutlak etkin'dir.

T_1

ağırlıklı bir ortalama olup varyansı katsayıların kareleri alınarak hesaplandığında

(1^2+2^2+3^2+4^2)/100 \times \sigma^2 = 30\sigma^2/100 = 3\sigma^2/10

bulunur. İstenen göreli etkinlik formülünde oranlandığında

Var(T_2)/Var(T_1) = (1/4)/(3/10) = 10/12 = 5/6

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

T_2

tahmin edicisinin varyansını ve Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesapla.

Var(T_2) = \frac{\sigma^2}{4}

ve

CRLB = \frac{\sigma^2}{4}

Bir tahmin edicinin mutlak etkin olabilmesi için varyansının CRLB'ye eşit olması gerekir. Normal dağılımda ortalama için Fisher bilgisi

I(\mu) = 1/\sigma^2

ve

n=4

için

CRLB = \sigma^2/4

'tür.

2

T_2

'nin mutlak etkinliğini değerlendir.

Var(T_2) = CRLB

olduğundan

T_2

mutlak etkindir.

Örneklem ortalamasının varyansı teorik minimum varyansa (alt sınıra) ulaştığı için mutlak etkindir.

3

T_1

tahmin edicisinin varyansını doğrusal kombinasyon kurallarına göre hesapla.

Var(T_1) = \left(\frac{1}{10}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{2}{10}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{3}{10}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{4}{10}\right)^2\sigma^2 = \frac{1+4+9+16}{100}\sigma^2 = \frac{30}{100}\sigma^2 = \frac{3}{10}\sigma^2

Bağımsız rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı alınırken, katsayıların kareleri çarpım olarak dışarı çıkar:

Var(aX) = a^2Var(X)

.

4

Göreli etkinlik formülünü kullanarak

eff(T_1, T_2)

oranını hesapla.

eff(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{\sigma^2 / 4}{3\sigma^2 / 10} = \frac{1}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

Soruda verilen göreli etkinlik formülüne doğrudan hesaplanan varyans değerleri yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Etkinliği ve Varyans Hesaplamaları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 35Soru →

Bir fabrikada üretilen elektronik bir parçanın ömrü (saat cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x^2}{2\theta^3} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. $X_1, X_2, \dots, X_n$ bu kütleden alınmış $n$ birimlik rastgele bir örneklem olmak üzere, bu parçaların beklenen ömrünü (kitle ortalamasını) tahmin etmek için kullanılacak yansız bir tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3\theta^2}{n}

\frac{\theta^2}{3n}

\frac{\theta^2}{n}

\frac{9\theta^2}{n}

\frac{\theta^3}{3n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3\theta^2}{n}$

Cevap

Beklenen ömrü tahmin eden yansız tahmin edicinin varyans alt sınırı

\frac{3\theta^2}{n}

'dir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, şekil parametresi

\alpha=3

ve ölçek parametresi

\beta=\theta

olan bir Gamma dağılımıdır. Bu dağılımın beklenen değeri (kitle ortalaması)

E[X] = \alpha\beta = 3\theta

şeklindedir. Tahmin edilecek olan parametrik fonksiyon

g(\theta) = 3\theta

'dır. Tek bir örnek için Fisher bilgi matrisi log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin eksi işaretlisidir ve

I(\theta) = 3/\theta^2

olarak hesaplanır. Cramer-Rao eşitsizliğine göre

g(\theta)

'nın varyansı

[g'(\theta)]^2 / (n I(\theta))

formülünden hesaplandığı için,

(3)^2 / [n(3/\theta^2)] = 3\theta^2/n

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan kitle ortalamasını (beklenen değeri) belirleyin.

X \sim Gamma(3, \theta)

olduğundan beklenen ömür

g(\theta) = E[X] = 3\theta

olur.

Soruda Cramer-Rao alt sınırı

\theta

için değil, beklenen ömür için istenmektedir.

2

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritmasını alın.

\ln f(x; \theta) = \ln(x^2/2) - 3\ln\theta - \frac{x}{\theta}

Fisher bilgi miktarını hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

3

Log-olabilirlik fonksiyonunun

\theta

'ya göre birinci ve ikinci türevlerini alın.

\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{3}{\theta} + \frac{x}{\theta^2}

ve

\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{3}{\theta^2} - \frac{2x}{\theta^3}

İkinci türevin beklenen değerinin negatif işaretlisi Fisher bilgisini verir.

4

Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarını (

I(\theta)

) hesaplayın.

I(\theta) = -E\left[\frac{3}{\theta^2} - \frac{2X}{\theta^3}\right] = -\left(\frac{3}{\theta^2} - \frac{2(3\theta)}{\theta^3}\right) = \frac{3}{\theta^2}

Cramer-Rao eşitsizliği paydasında

n \cdot I(\theta)

ifadesi yer alır.

5

g(\theta)

fonksiyonu için Cramer-Rao alt sınırını hesaplayın.

Alt Sınır

= \frac{[g'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} = \frac{3^2}{n(3/\theta^2)} = \frac{9\theta^2}{3n} = \frac{3\theta^2}{n}

Parametrenin bir fonksiyonunu tahmin ederken türevinin karesi, Fisher bilgisine bölünmelidir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Fonksiyon Tahmini

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 36Soru →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ ( $n > 1$ ) bağımsız rastgele değişkenleri, başarı olasılığı $p$ olan bir geometrik dağılımdan (ilk başarıya kadar geçen deneme sayısı) elde edilen rastgele bir örneklem olsun. Bu dağılımın olasılık fonksiyonu $P(X = x) = p(1-p)^{x-1}$ , $x=1, 2, \dots$ şeklinde verilmektedir.

p

parametresi için yansız bir tahmin edici şu şekilde tanımlanmıştır:

W = \begin{cases} 1, & X_1 = 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

$T = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $p$ için yeterli (sufficient) olduğu bilindiğine göre, Rao-Blackwell teoremi uyarınca $W$ tahmin edicisinin $T$ yeterli istatistiğine göre koşullu beklenen değeri olan $\phi(T) = E(W|T)$ yansız tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{n}{T}

\frac{T-n}{T}

\frac{n-1}{T-1}

\frac{T}{n}

\frac{n-1}{T}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n-1}{T-1}$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak hesaplanan koşullu beklenen değer

\frac{n-1}{T-1}

şeklindedir.

Rao-Blackwell teoremine göre

\phi(T) = E(W|T)

hesaplanmalıdır.

W

gösterge (indikatör) fonksiyonu olduğundan bu beklenti

P(X_1=1 | T=t)

olasılığına denktir. Koşullu olasılık açılımından

\frac{P(X_1=1) \cdot P(\sum_{i=2}^n X_i = t-1)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)}

elde edilir. Bağımsız geometrik rastgele değişkenlerin toplamı Negatif Binom dağılımına uyduğu için, paydaki toplam

\binom{t-2}{n-2} p^{n-1} (1-p)^{t-n}

, paydadaki toplam ise

\binom{t-1}{n-1} p^n (1-p)^{t-n}

olarak yazılır. Paydaki

P(X_1=1)=p

olasılığı da dâhil edilip taraf tarafa bölündüğünde kombinasyonların oranı

\frac{n-1}{t-1}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

W

tahmin edicisinin

T=t

verildiğindeki koşullu beklenen değerini yazmak.

E(W|T=t) = P(X_1=1 | T=t)

W

yalnızca

X_1=1

durumunda

1

değerini alan bir gösterge (indikatör) fonksiyonudur. Gösterge fonksiyonunun beklenen değeri, olayın olasılığına eşittir.

2

Koşullu olasılık formülünü uygulamak.

P(X_1=1 | T=t) = \frac{P(X_1=1 \text{ ve } \sum_{i=2}^n X_i = t-1)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)}

Olayların bağımsızlığından yararlanarak,

T=t

kısıtı altında

X_1=1

durumunu, geri kalan

n-1

gözlemin toplamının

t-1

olması şartına dönüştürmek gerekir.

3

Geometrik dağılımların toplamı olan Negatif Binom dağılımı olasılıklarını yerlerine koymak.

Pay:

p \cdot \binom{t-2}{n-2} p^{n-1}(1-p)^{t-n}

, Payda:

\binom{t-1}{n-1} p^n(1-p)^{t-n}

n

adet bağımsız Geometrik dağılımın toplamı Negatif Binom dağılımı gösterir. Hem tüm toplam için hem de geri kalan

n-1

değişkenin toplamı için olasılık kütle fonksiyonu uygulanır.

4

İfadeleri sadeleştirerek nihai tahmin ediciyi elde etmek.

\frac{\binom{t-2}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}} = \frac{\frac{(t-2)!}{(n-2)!(t-n)!}}{\frac{(t-1)!}{(n-1)!(t-n)!}} = \frac{n-1}{t-1}

Pay ve paydadaki

p^n(1-p)^{t-n}

ortak terimleri sadeleşir. Kalan faktöriyel açılımları düzenlendiğinde

\phi(T)

elde edilir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi Uygulaması (Koşullu Beklenen Değer Yoluyla UMVUE Bulma)

Soru 37Soru →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , $(0, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip bir kitleden alınan $n$ hacimli ( $n \geq 2$ ) bir rastgele örneklemi göstermektedir.

Buna göre, kitlenin varyansı olan $Var(X) = \frac{\theta^2}{12}$ parametresi için Lehmann-Scheffe teoremine göre Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ sıralı istatistiği ifade etmektedir.)

\frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2

S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\frac{1}{12} X_{(n)}^2

\frac{(n+1)^2}{12n^2} X_{(n)}^2

\frac{n+1}{12n} X_{(n)}^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2$

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) \frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2 şeklindedir.

Düzgün dağılımda

X_{(n)}

istatistiği

\theta

için tam ve yeterli istatistiktir. Lehmann-Scheffe teoremine göre, bu istatistiğin yansız olan herhangi bir fonksiyonu hedeflenen parametre için UMVUE'dir.

E[X_{(n)}^2] = \frac{n}{n+2}\theta^2

eşitliğinden yola çıkarak, ifadenin tamamı

\frac{n+2}{n}

ile çarpıldığında

\theta^2

'nin yansız tahmin edicisi bulunur. Kitle varyansı

\frac{\theta^2}{12}

olduğundan, bu tahmin edicinin 1/12'si alınarak varyansın UMVUE'si

\frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle dağılımı için tam ve yeterli istatistiği belirlemek.

Uniform(0, \theta) dağılımında Neyman Çarpanlara Ayırma teoremine göre

T = X_{(n)} = \max(X_i)

istatistiği tam ve yeterlidir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman UMVUE'dir.

2

Yeterli istatistik olan

X_{(n)}

'in olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) yazmak.

f_{X_{(n)}}(t) = \frac{n t^{n-1}}{\theta^n}, \quad 0 < t < \theta

Beklenen değeri hesaplayarak yansızlaştırma işlemini yapabilmek için istatistiğin dağılımına ihtiyaç vardır.

3

X_{(n)}^2

'nin beklenen değerini hesaplayarak

\theta^2

için yansız bir tahmin edici bulmak.

E[X_{(n)}^2] = \int_0^\theta t^2 \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} dt = \frac{n}{\theta^n} \left[ \frac{t^{n+2}}{n+2} \right]_0^\theta = \frac{n}{n+2} \theta^2

Varyans parametresi

Var(X) = \theta^2 / 12

olduğundan,

\theta^2

terimini tahmin etmemiz gerekir.

4

Beklenen değerden yola çıkarak varyans için UMVUE formunu elde etmek.

E\left[ \frac{n+2}{n} X_{(n)}^2 \right] = \theta^2

bulunur. Varyans

\frac{\theta^2}{12}

olduğu için eşitlik 12'ye bölünür:

E\left[ \frac{n+2}{12n} X_{(n)}^2 \right] = \frac{\theta^2}{12}

Tam ve yeterli istatistiğin yansız hale getirilmiş bu fonksiyonu Lehmann-Scheffe teoremine göre yegâne UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi, Düzgün Dağılımda Yeterli İstatistik ve Beklenen Değer

Alternatif Yöntem

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak

S^2

yansız tahmin edicisinin, yeterli istatistik olan

X_{(n)}

bilindiğindeki koşullu beklenen değeri (

E[S^2 | X_{(n)}]

) alınarak da aynı UMVUE sonucuna ulaşılabilir. Ancak bu yöntemde integral hesaplamaları daha karmaşıktır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 38Soru →

İstatistiksel çıkarım teorisinde, kitleye ait bilinmeyen parametrelerin tahmin edilmesi sürecinde 'istatistik' ve 'nokta tahmin edici' kavramları temel bir role sahiptir. Bir araştırmacı, rastgele bir örneklem üzerinden elde edilen tahmin edicilerin matematiksel ve asimptotik özelliklerini incelemektedir.

Bu araştırmacının değerlendirmeleri dikkate alındığında, nokta tahmin ediciler ve istatistik kavramıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir fonksiyonun nokta tahmin edicisi (istatistik) olabilmesi için kitleye ait hiçbir bilinmeyen parametre içermemesi gerekir; aksi takdirde örneklem verilerinden tekil bir sayısal değer elde edilemez.

Yansızlık (unbiasedness) özelliğine sahip olan her nokta tahmin edicisi, örneklem çapı sonsuza yaklaşırken otomatik olarak tutarlılık (consistency) özelliğini de sağlar.

Herhangi bir tahmin edicinin varyansı ile hata kareler ortalaması (MSE) birbirine daima eşittir; bu nedenle varyansı en küçük olan tahmin edici her zaman en küçük hata payına sahiptir.

Bir tahmin edicinin UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici) olabilmesi için yalnızca yeterli (sufficient) bir istatistiğin fonksiyonu olması yeterlidir, ilgili istatistiğin tam (complete) olma şartı aranmaz.

İçerisinde bilinmeyen

\theta

parametresini barındıran

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \theta)}{S}

gibi bir fonksiyon, örneklem değişkenlerini içerdiği için

\theta

adına doğrudan bir nokta tahmin edicisi olarak kullanılabilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bir fonksiyonun nokta tahmin edicisi (istatistik) olabilmesi için kitleye ait hiçbir bilinmeyen parametre içermemesi gerekir; aksi takdirde örneklem verilerinden tekil bir sayısal değer elde edilemez.

Cevap

Bir fonksiyonun nokta tahmin edicisi (istatistik) olabilmesi için kitleye ait hiçbir bilinmeyen parametre içermemesi gerekir.

İstatistik (ve dolayısıyla nokta tahmin edicisi), salt olarak örneklem verilerinden ve bilinen sabitlerden oluşan bir fonksiyondur. Kitleye ait ilgilenilen veya ilgilenilmeyen (rahatsız edici) hiçbir bilinmeyen parametreyi barındıramaz. Eğer barındırsaydı, hesaplanabilir, somut ve tekil bir sayısal değer (tahmin) elde edilemezdi.

Adım Adım Çözüm

1

İstatistik ve nokta tahmin edici kavramlarının temel tanımlarını hatırlamak.

İstatistik, sadece örneklem değerlerinin ve bilinen sabitlerin bir fonksiyonudur; kitleye ait hiçbir bilinmeyen parametre içeremez.

Bir fonksiyon tahmin edici olarak kullanılacaksa, örneklem çekildikten sonra sadece gözlemlenen değerler yerine konduğunda hesaplanabilir sayısal bir değer (tahmin) üretebilmelidir.

2

Seçeneklerdeki ileri düzey teorik özellikleri (yansızlık, tutarlılık, MSE, UMVUE) analiz etmek.

Yansızlığın asimptotik tutarlılığı tek başına garanti etmediği, MSE'nin varyansa her zaman eşit olmadığı ve Lehmann-Scheffe teoreminin tamlık koşulu gerektirdiği tespit edilir.

Çeldirici seçeneklerdeki kavramsal hataları tespit ederek elemeyi sağlamak.

3

Parametre içeren fonksiyonların (pivot fonksiyonlar) durumunu değerlendirmek.

İçinde tahmin edilecek veya ilgilenilmeyen parametreyi barındıran fonksiyonların tahmin edici olarak kullanılamayacağı belirlenir.

Tahmin edici tanımının kesin sınırlarını belirlemek.

Anahtar Kavram

İstatistik ve Tahmin Edici Tanımı

Soru 39Soru →

Bir kitlenin $(0, \theta)$ aralığında düzgün (üniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu kitleden alınan $n$ çaplı bağımsız rastgele örneklemin gözlem değerleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olmak üzere, örneklemin en büyük sıra istatistiği $Y = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ olarak tanımlanmıştır.

Bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek için $\hat{\theta} = Y$ tahmin edicisi kullanıldığında, bu tahmin edicinin yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta}{n+1}

-\frac{\theta}{n}

-\frac{\theta}{n+1}

0

\frac{\theta}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{\theta}{n+1}$

Cevap

Tahmin edicinin yan miktarı

-\frac{\theta}{n+1}

değeridir.

Doğru cevap, en büyük sıra istatistiğinin beklenen değerinin hesaplanıp gerçek parametre değerinden çıkarılmasıyla elde edilen

-\frac{\theta}{n+1}

değerini gösteren seçenektir. Düzgün dağılımda en büyük sıra istatistiğinin beklenen değeri her zaman

\theta

'dan küçüktür (

E(Y) = \frac{n}{n+1}\theta

). Bu durum, söz konusu tahmin edicinin parametreyi olduğundan küçük tahmin etme eğiliminde olduğunu (negatif yan) matematiksel olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

En büyük sıra istatistiği olan

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

g(y)

) belirle.

Düzgün dağılım için

F(x) = \frac{x}{\theta}

ve

f(x) = \frac{1}{\theta}

'dır.

g(y) = n[F(y)]^{n-1}f(y) = n\left(\frac{y}{\theta}\right)^{n-1}\frac{1}{\theta} = \frac{n y^{n-1}}{\theta^n}

bulunur.

Bir tahmin edicinin yan miktarını hesaplayabilmek için öncelikle o istatistiğin örnekleme dağılımının bilinmesi gerekir.

2

Y

istatistiğinin beklenen değerini (

E(Y)

) hesapla.

E(Y) = \int_{0}^{\theta} y \frac{n y^{n-1}}{\theta^n} dy = \frac{n}{\theta^n} \int_{0}^{\theta} y^n dy = \frac{n}{\theta^n} \left[ \frac{y^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{\theta} = \frac{n}{n+1}\theta

olarak elde edilir.

Yansızlık incelemesi, tahmin edicinin beklenen değerinin tahmin edilmek istenen parametreye eşit olup olmadığının kontrol edilmesiyle yapılır.

3

Yan miktarını (

B(\hat{\theta})

) formülü uygulayarak bul.

B(Y) = E(Y) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = \frac{n\theta - (n+1)\theta}{n+1} = -\frac{\theta}{n+1}

bulunur.

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki cebirsel farktır.

Anahtar Kavram

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Soru 40Soru →

Bir araştırmacı, bir popülasyondaki belirli bir özelliğe sahip bireylerin oranını ( $\theta$ ) incelemektedir. Bu amaçla, $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi, $P(X_i = 1) = \theta$ ve $P(X_i = 0) = 1 - \theta$ olmak üzere Bernoulli dağılımından çekilmiştir.

Araştırmacı, popülasyon varyansını ifade eden $g(\theta) = \theta(1-\theta)$ parametresi ile ilgilenmektedir.

Buna göre, $g(\theta)$ parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta(1-\theta)}{n}

\frac{(1-2\theta)^2}{n \theta (1-\theta)}

\frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n}

\frac{(1-2\theta)^2}{n}

\frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)}{n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n}$

Cevap

İstenilen parametre fonksiyonu için Cramer-Rao alt sınırı

\frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n}

olarak bulunur.

Verilen dağılım Bernoulli dağılımıdır. Bernoulli dağılımı için tek bir gözlemin Fisher bilgisi

I_1(\theta) = \frac{1}{\theta(1-\theta)}

olarak hesaplanır.

n

çaplı bir örneklem için toplam Fisher bilgisi

I_n(\theta) = \frac{n}{\theta(1-\theta)}

olur. Tahmin etmek istediğimiz fonksiyon

g(\theta) = \theta(1-\theta)

'dır. Bu fonksiyonun

\theta

'ya göre türevi

g'(\theta) = 1-2\theta

'dır. Parametrenin bir fonksiyonu için Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) formülü

\frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)}

şeklindedir. Değerler formülde yerine konulduğunda

\frac{(1-2\theta)^2}{\frac{n}{\theta(1-\theta)}} = \frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bernoulli dağılımı için tek bir gözlemin log-olabilirlik fonksiyonunun (

\ln f(x; \theta)

) türevini al.

\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = \frac{X}{\theta} - \frac{1-X}{1-\theta}

Fisher bilgi matrisini bulmak için log-olabilirlik fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerine ihtiyaç vardır.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevini al ve eksi beklenen değerini bularak tek bir gözlem için Fisher bilgisini (

I_1(\theta)

) hesapla.

I_1(\theta) = -E\left[-\frac{X}{\theta^2} - \frac{1-X}{(1-\theta)^2}\right] = \frac{\theta}{\theta^2} + \frac{1-\theta}{(1-\theta)^2} = \frac{1}{\theta(1-\theta)}

Cramer-Rao alt sınırı formülünün paydasında yer alan

n

birimlik toplam Fisher bilgisini (

I_n(\theta) = n \cdot I_1(\theta)

) elde etmek için.

3

Tahmin edilecek parametre fonksiyonunun (

g(\theta) = \theta(1-\theta)

) türevini al.

g'(\theta) = 1 - 2\theta

Bir fonksiyonun yansız tahmin edicisi için CRLB formülünün pay kısmı

[g'(\theta)]^2

şeklindedir.

4

Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygula:

CRLB = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)}

.

CRLB = \frac{(1-2\theta)^2}{\frac{n}{\theta(1-\theta)}} = \frac{\theta(1-\theta)(1-2\theta)^2}{n}

İstenilen

g(\theta)

parametresi için varyansın teorik alt sınırını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) ve Parametre Fonksiyonu Dönüşümü

Alternatif Yöntem

Cramer-Rao alt sınırının alternatif formülü olan

I_n(\theta) = n E[(\frac{\partial \ln f}{\partial \theta})^2]

varyans yaklaşımı kullanılarak da Fisher bilgisi hesaplanabilir ve ardından parametre fonksiyonu dönüşüm işlemi karesel olarak aynı şekilde uygulanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Nokta Tahmini ve Özellikleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar