Parametre Tahmin Yöntemleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir finansal risk analisti, belirli bir küçük işletme kredisi türü için temerrüde düşme olasılığını ( $\theta$ ) modellemektedir. Analist, geçmiş verilere dayanarak $\theta$ parametresinin önsel (prior) dağılımını $\alpha=3$ ve $\beta=7$ parametreli Beta dağılımı olarak belirlemiştir. Bu kredi türünden rastgele seçilen $n=20$ kredilik bir örneklem incelendiğinde, $x=4$ kredinin temerrüde düştüğü gözlemlenmiştir. Kredilerin temerrüde düşme durumu birbirinden bağımsızdır.

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) altında $\theta$ parametresinin Bayes tahmin edicisinin aldığı değer aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{5}

\frac{3}{14}

\frac{7}{30}

\frac{3}{10}

\frac{7}{18}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{30}$

Cevap

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi

\frac{7}{30}

olarak hesaplanır.

Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmin edicisi, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir. Önsel dağılım

Beta(3, 7)

ve örneklem bilgisi

Binomial(20, \theta)

ile

x=4

verildiğinde, sonsal dağılım

Beta(3+4, 7+20-4) = Beta(7, 23)

olur. Bu dağılımın beklenen değeri

\frac{7}{7+23} = \frac{7}{30}

'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonunu belirle.

Önsel dağılım:

\theta \sim Beta(3, 7)

. Olabilirlik fonksiyonu:

X \sim Binomial(20, \theta)

ve gözlem

x=4

.

Sonsal dağılımı bulmak için Bayes teoreminin temel bileşenlerine ihtiyaç vardır.

2

Sonsal (posterior) dağılımın parametrelerini hesapla.

Beta-Binom eşlenik (conjugate) yapısından dolayı sonsal dağılım

Beta(\alpha + x, \beta + n - x)

olur.

\alpha_{yeni} = 3 + 4 = 7

ve

\beta_{yeni} = 7 + 20 - 4 = 23

. Sonsal dağılım:

\theta|x \sim Beta(7, 23)

.

Bayes tahmin edicisi sonsal dağılım üzerinden hesaplanır.

3

Verilen kayıp fonksiyonuna göre Bayes tahmin edicisini belirle.

Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) için Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değeridir (ortalamasıdır).

Risk fonksiyonunu minimize eden tahmin edici, karesel hata için sonsal ortalamaya eşittir.

4

Sonsal dağılımın beklenen değerini hesapla.

E(\theta|x) = \frac{\alpha_{yeni}}{\alpha_{yeni} + \beta_{yeni}} = \frac{7}{7 + 23} = \frac{7}{30}

.

Beta dağılımının beklenen değer formülü uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Karesel Hata Kayıp Fonksiyonu ile Bayes Tahmini ve Beta-Binom Eşlenikliği

Soru 82Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, hizmet verdiği ilçelerin nüfus yoğunluğu ( $X$ , bin kişi/km $^2$ ) ile kişi başına düşen aylık ortalama su tüketim miktarı ( $Y$ , ton) arasındaki ilişkiyi modellemek istemektedir. Kurulan basit doğrusal regresyon modeli $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ şeklindedir; burada $\epsilon_i$ hata terimidir. Modelin parametreleri, normal denklemler kullanılarak en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilecektir. Toplanan veri setine ait özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = 40

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = -20

\bar{X} = 5, \quad \bar{Y} = 10

Buna göre, elde edilen en küçük kareler tahmin denklemine dayanarak, nüfus yoğunluğu $X = 7$ olan bir ilçenin tahmini ortalama su tüketim miktarı ( $\hat{Y}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

4.0

6.0

6.5

9.0

11.0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9.0

Cevap

9.0

En küçük kareler (EKK) yönteminde regresyon doğrusunun eğim parametresi

\hat{\beta}_1

, çapraz çarpımlar toplamının

X

'in sapma kareler toplamına bölünmesiyle hesaplanır ve

\frac{-20}{40} = -0.5

olarak bulunur. Tahmin doğrusu her zaman örneklem ortalamalarından geçeceği için kesişim terimi

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}

şeklinde yazılır. Değerler yerine konulduğunda

\hat{\beta}_0 = 10 - (-0.5)(5) = 12.5

olur. Elde edilen tahmin denklemi

\hat{Y} = 12.5 - 0.5X

olarak biçimlenir. Verilen

X = 7

değeri bu denklemde yerine yazıldığında,

\hat{Y} = 12.5 - 3.5 = 9.0

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

En küçük kareler yöntemi ile regresyon doğrusunun eğimini (

\hat{\beta}_1

) hesapla.

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{-20}{40} = -0.5

Normal denklemlerden elde edilen eğim formülü, ortak değişimin (kovaryansın) bağımsız değişkenin varyansına (sapma kareler toplamına) oranıdır.

2

Regresyon doğrusunun kesişim (sabit) terimini (

\hat{\beta}_0

) hesapla.

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 10 - (-0.5)(5) = 10 + 2.5 = 12.5

En küçük kareler regresyon doğrusu her zaman

(\bar{X}, \bar{Y})

örneklem ortalamaları noktasından geçmek zorundadır.

3

Bulunan parametreleri regresyon denklemine yerleştirerek

X = 7

için tahmini değeri (

\hat{Y}

) bul.

\hat{Y} = 12.5 - 0.5(7) = 12.5 - 3.5 = 9.0

Popülasyon için oluşturulan modelin doğrusal tahmin denklemi

\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X

formundadır.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler Yöntemi ile Tahmin

Soru 83Soru →

Bir araştırmacı, il bazında kişi başına düşen sağlık harcamalarını ( $Y$ ), ilgili ilin ortalama yaş seviyesi ( $X$ ) ile açıklamak amacıyla, sabit terim içermeyen (orijinden geçen) $Y_i = \beta X_i + \epsilon_i$ modelini kurmuştur.

Araştırmacı, modeldeki hata terimlerinin varyansının $X_i$ ile orantılı olduğunu ( $Var(\epsilon_i) = \sigma^2 X_i$ ) varsayarak, standart en küçük kareler yöntemi yerine ağırlıklı bir minimizasyon problemi çözmeye karar vermiştir. Bu doğrultuda, katsayı tahminini aşağıdaki ağırlıklandırılmış hata kareler toplamı fonksiyonunu minimize ederek yapacaktır:

S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i} (Y_i - \beta X_i)^2

Buna göre, araştırmacının bu minimizasyon problemi sonucunda elde edeceği $\beta$ parametresinin En Küçük Kareler tahmin edicisi ( $\hat{\beta}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i Y_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}

\frac{\sum_{i=1}^{n} Y_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i}

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{Y_i}{X_i}\right)

\frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}

\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2 Y_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i^3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sum_{i=1}^{n} Y_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i}$

Cevap

Minimizasyon problemi çözüldüğünde elde edilen doğru tahmin edici, gözlemlerin toplamlarının birbirine oranını ifade eden

\frac{\sum_{i=1}^{n} Y_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i}

değeridir.

Doğru cevap, ağırlıklandırılmış hata kareler toplamı fonksiyonunun

\beta

'ya göre birinci türevinin alınıp sıfıra eşitlenmesiyle türetilir. Türev işlemi sırasında zincir kuralı gereği parantez içinin türevi olan

-X_i

katsayısı ile baştaki ağırlık katsayısı olan

1/X_i

birbirini sadeleştirir. Geriye kalan

\sum (Y_i - \beta X_i) = 0

denklemi çözüldüğünde tahmin edicinin

\frac{\sum Y_i}{\sum X_i}

oranına eşit olduğu açıkça görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Minimize edilecek olan ağırlıklandırılmış hata kareler toplamı fonksiyonunu belirleyin.

S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i} (Y_i - \beta X_i)^2

En Küçük Kareler yöntemi, hata terimlerinin karesel toplamını en aza indiren parametre değerini bulmayı amaçlar.

2

S(\beta)

fonksiyonunun

\beta

'ya göre birinci türevini alın.

\frac{dS(\beta)}{d\beta} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i} \cdot 2(Y_i - \beta X_i) \cdot (-X_i)

Bir fonksiyonun minimum noktasını bulmak için fonksiyona göre birinci türev alınır.

3

Türev ifadesini sıfıra eşitleyerek gerekli sadeleştirmeleri yapın.

-2 \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{X_i}{X_i} (Y_i - \beta X_i) \right] = 0 \implies -2 \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta X_i) = 0

Türevi sıfıra eşitlemek normal denklemleri elde etmemizi sağlar. Ağırlık teriminin paydasındaki

X_i

ile zincir kuralından gelen

-X_i

birbirini götürür.

4

Elde edilen normal denklemi

\beta

için çözerek tahmin ediciyi (

\hat{\beta}

) yalnız bırakın.

\sum_{i=1}^{n} Y_i - \hat{\beta} \sum_{i=1}^{n} X_i = 0 \implies \hat{\beta} \sum_{i=1}^{n} X_i = \sum_{i=1}^{n} Y_i \implies \hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n} Y_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i}

Denklem çözüldüğünde en küçük kareler tahmin edicisi parametre formu elde edilmiş olur.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı En Küçük Kareler Yönteminde (WLS) Normal Denklemlerin Türetilmesi

Alternatif Yöntem

Matematiksel beklentiler ve momentler kullanılarak, WLS (Ağırlıklı En Küçük Kareler) tahmininde ağırlıklandırılmış değişkenler oluşturulabilir:

Y_i^* = Y_i / \sqrt{X_i}

ve

X_i^* = X_i / \sqrt{X_i} = \sqrt{X_i}

. Bu yeni değişkenler ile orijinden geçen regresyon yapıldığında

\hat{\beta} = \frac{\sum X_i^* Y_i^*}{\sum (X_i^*)^2} = \frac{\sum \sqrt{X_i} (Y_i / \sqrt{X_i})}{\sum (\sqrt{X_i})^2} = \frac{\sum Y_i}{\sum X_i}

sonucu yine elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 84Soru →

Bir çevre mühendisi, bir göldeki cıva konsantrasyonunu (mikrogram/litre) ölçmektedir. Cıva konsantrasyonu logaritmik olarak normal dağıldığından, rastgele seçilen $n$ farklı su örneğinden elde edilen ölçümler ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) Log-Normal dağılım ile modellenmiştir. Dağılımın temelini oluşturan varyans değerinin $\sigma^2 = 1$ olduğu bilinmektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu, bilinmeyen $\theta$ parametresi ( $-\infty < \theta < \infty$ ) için aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{1}{x \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x - \theta)^2\right), \quad x > 0

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, bilinmeyen $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i^2

\sum_{i=1}^n (\ln X_i)^2

\sum_{i=1}^n \ln X_i

\max_{1 \le i \le n} \ln X_i

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n \ln X_i$

Cevap

\theta

parametresi için yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n \ln X_i

değeridir.

Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonu yazıldığında

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x_i - \theta)^2\right)

elde edilir. Üstel ifade içindeki tam kare açılımı yapılıp terimler düzenlendiğinde fonksiyon; parametreyi ve istatistiği birlikte içeren

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \exp\left(\theta \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n\theta^2}{2}\right)

ile sadece gözlemlere bağlı olan

h(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2\right)

fonksiyonlarının çarpımı şeklinde yazılır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği,

g

fonksiyonunun içindeki

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i

terimi

\theta

için yeterli (sufficient) istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1

n

çaplı örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonunu) yazın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{x_i \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x_i - \theta)^2\right) \right]

Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı, tüm örneklemin ortak dağılımını temsil eden olabilirlik fonksiyonunu oluşturmaktır.

2

Çarpım sembolünü üstel ifadenin içine toplam olarak geçirin ve tam kare açılımını uygulayın.

L(\theta; \mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left((\ln x_i)^2 - 2\theta\ln x_i + \theta^2\right)\right)

Neyman teoremini uygulayabilmek için üstel ifadedeki parametre ile gözlem değerlerinin ilişkisini açıkça görmek gereklidir.

3

Fonksiyonu

g(T(\mathbf{x}), \theta)

ve

h(\mathbf{x})

formunda iki çarpana ayırın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\exp\left(\theta \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n\theta^2}{2}\right)}_{g(T(\mathbf{x}), \theta)} \cdot \underbrace{(2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2\right)}_{h(\mathbf{x})}

Teoreme göre, hem

\theta

'yı hem de istatistiği içeren

g

fonksiyonunun içindeki

T(\mathbf{x})

terimi yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem)

Soru 85Soru →

Bir sigorta şirketinin aktüerya departmanı, poliçe sahiplerinin hasar taleplerini incelemektedir. Bir poliçe sahibinin $r=4$ adet hasar talebinde bulunana kadar geçen ay sayısı $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık fonksiyonu, $p$ ( $0 < p < 1$ ) herhangi bir ayda hasar talebi gelme olasılığı olmak üzere,

P(X=x; p) = \binom{x-1}{3} p^4 (1-p)^{x-4}, \quad x = 4, 5, 6, \dots

şeklinde verilmiştir.

Rastgele seçilen $n$ adet poliçe sahibi için 4. hasar talebine kadar geçen ay sayıları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlenmiştir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, $p$ parametresi için yeterli (süfisan) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\prod_{i=1}^n X_i

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

\sum_{i=1}^n X_i

\sum_{i=1}^n X_i^2

\prod_{i=1}^n \binom{X_i-1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n X_i$

Cevap

p

parametresi için yeterli istatistik, gözlemlerin toplamı olan

\sum_{i=1}^n X_i

'dir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre olabilirlik fonksiyonu

L(p; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|p) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde iki parçaya ayrılır. Örneklem verileri için olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde parametre

p

'yi içeren kısım

p^{4n}(1-p)^{\sum X_i - 4n}

olarak bulunur. Bu ifade örnekleme yalnızca

\sum_{i=1}^n X_i

üzerinden bağlı olduğundan, doğru cevap gözlemlerin toplamını veren istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen olasılık fonksiyonunu kullanarak

n

birimlik örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu yazmak.

L(p; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \binom{x_i-1}{3} p^4 (1-p)^{x_i-4} \right]

Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle örneklemin ortak olasılık dağılımını temsil eden olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemini düzenleyerek ifadeyi sadeleştirmek ve üslü ifadeleri toplamak.

L(p; \mathbf{x}) = p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-4)} \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3} = \left[ p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - 4n} \right] \times \left[ \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3} \right]

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için parametreyi içeren terimler ile içermeyen terimleri belirgin şekilde ayırmak gerekir.

3

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kuralını (

L = g(T(\mathbf{x}) | p) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulamak.

Parametreye bağlı kısım:

g(T(\mathbf{x}) | p) = p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - 4n}

Parametreden bağımsız kısım:

h(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3}

Teoreme göre,

p

'ye bağlı olan

g

fonksiyonu, örnekleme yalnızca yeterli istatistik

T(\mathbf{x})

üzerinden bağlı olmalıdır.

4

g

fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği teşhis etmek.

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n X_i

Parametreye bağlı olan

g

fonksiyonu incelendiğinde, örneklem verilerinin (gözlemlerin) fonksiyon içinde sadece toplam (

\sum_{i=1}^n x_i

) formunda yer aldığı görülmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile Yeterli İstatistik Bulma

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 86Soru →

Bir üniversitede uygulanan çevrimiçi bir sınavda, öğrencilerin sınavı tamamlama süreleri (dakika cinsinden) $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. Çoğu öğrencinin süreyi sonuna kadar kullandığı gözlemlenmiş olup, $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu $\theta > 0$ (sınavın maksimum süresi) olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{4x^3}{\theta^4}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sınavı tamamlayan öğrenciler arasından alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklemin ortalaması $\bar{X}$ 'tir. Sınav sisteminin analiz modülü, bilinmeyen maksimum $\theta$ süresini tahmin etmek için $T = \bar{X}$ istatistiğini kullanmaktadır.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2}{75n}\theta^2

\frac{1}{24n}\theta^2

\frac{3n+2}{75n}\theta^2

\frac{48n+2}{75n}\theta^2

\frac{15n+2}{75n}\theta^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3n+2}{75n}\theta^2$

Cevap

MSE(T) = \frac{3n+2}{75n}\theta^2

ifadesidir.

Doğru Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri hesaplanırken, öncelikle örneklem ortalamasının beklenen değeri ve varyansı bulunur. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali üzerinden

E[X] = \frac{4}{5}\theta

ve

Var(X) = \frac{2}{75}\theta^2

elde edilir. Buradan

T=\bar{X}

'in yanlı bir tahmin edici olduğu görülür çünkü beklenen değeri parametrenin kendisine değil,

\frac{4}{5}

'ine eşittir. Yan (Bias) miktarı

E[\bar{X}] - \theta = -\frac{1}{5}\theta

olur. MSE formülü

MSE = Var(\bar{X}) + Bias^2

olduğundan,

\frac{2}{75n}\theta^2 + (-\frac{1}{5}\theta)^2 = \frac{2}{75n}\theta^2 + \frac{1}{25}\theta^2

işlemi yapılır. Paydalar

75n

değerinde eşitlendiğinde sonuç

\frac{3n+2}{75n}\theta^2

olarak eksiksiz bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle dağılımının beklenen değerini (

E[X]

) ve varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \left[ \frac{4x^5}{5\theta^4} \right]_0^\theta = \frac{4}{5}\theta

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \left[ \frac{4x^6}{6\theta^4} \right]_0^\theta = \frac{2}{3}\theta^2

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{3}\theta^2 - \left(\frac{4}{5}\theta\right)^2 = \frac{50-48}{75}\theta^2 = \frac{2}{75}\theta^2

Örneklem ortalamasının özelliklerini türetebilmek için öncelikle popülasyonun (kitlenin) beklenen değeri ve varyansı bulunmalıdır.

2

T = \bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını belirleyin.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{4}{5}\theta

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2}{75n}\theta^2

Örneklem ortalamasının dağılımına ait özellikler bağımsız örneklemler üzerinden ifade edilir.

3

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını türetin ve karesini alın.

Bias(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{4}{5}\theta - \theta = -\frac{1}{5}\theta

Bias(\bar{X})^2 = \left(-\frac{1}{5}\theta\right)^2 = \frac{1}{25}\theta^2

Tahmin edici yansız olmadığı için (

E[\bar{X}] \neq \theta

), Hata Kareler Ortalaması hesabında yan miktarının karesine ihtiyaç vardır.

4

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulayın.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + Bias(\bar{X})^2 = \frac{2}{75n}\theta^2 + \frac{1}{25}\theta^2

Paydaları

75n

üzerinde eşitlediğimizde (

\frac{1}{25}\theta^2 = \frac{3n}{75n}\theta^2

):

MSE(\bar{X}) = \frac{3n+2}{75n}\theta^2

Bir tahmin edicinin genel performansı MSE üzerinden varyans ve yan karesi toplamı ile ifade edilir.

Anahtar Kavram

Tahmin ediciler için yansızlık durumunun kontrol edilmesi ve yanlı tahmin edicilerde performansın MSE (Hata Kareler Ortalaması = Varyans + Yan^2) kullanılarak ölçülmesi.

Soru 87Soru →

Bir madencilik işletmesinde çıkarılan cevherlerdeki belirli bir mineralin yoğunluğu $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. Bu dağılımdan çekilen $n$ birimlik rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, $\theta$ parametresini tahmin etmek için $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

\frac{3\theta^2}{20n}

\frac{(10n+3)\theta^2}{40n}

\frac{(5n+3)\theta^2}{80n}

\frac{(5n+12)\theta^2}{80n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}$

Cevap

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

ifadesidir. Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Doğru seçenek, hata kareler ortalamasının (MSE) varyans ve yan miktarının karesinin toplamı (

MSE = Var(T) + [Bias(T)]^2

) kuralına uygun olarak eksiksiz hesaplandığı ifadedir.

Var(T) = \frac{3\theta^2}{20n}

ve

Bias(T)^2 = \frac{\theta^2}{4}

değerleri payda eşitlenerek toplandığında

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) ve varyansını (

Var(X)

) hesapla.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \frac{3x^2}{\theta^3} dx = \frac{3}{\theta^3} [\frac{x^4}{4}]_{0}^{\theta} = \frac{3\theta}{4}

.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \frac{3x^2}{\theta^3} dx = \frac{3\theta^2}{5}

.

Var(X) = \frac{3\theta^2}{5} - (\frac{3\theta}{4})^2 = \frac{3\theta^2}{80}

.

Örneklem ortalamasına dayalı bir istatistiğin özelliklerini bulmak için kitle momentlerine ihtiyaç vardır.

2

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesapla.

E[T] = 2 E[\bar{X}] = 2(\frac{3\theta}{4}) = \frac{3\theta}{2}

. Yan miktarı:

Bias(T) = E[T] - \theta = \frac{3\theta}{2} - \theta = \frac{\theta}{2}

.

MSE formülünde kullanılacak olan tahmin edicinin yanlılık durumunu belirlemek gereklidir.

3

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var(2\bar{X}) = 4 Var(\bar{X}) = 4 (\frac{Var(X)}{n}) = 4 (\frac{3\theta^2}{80n}) = \frac{3\theta^2}{20n}

.

MSE formülünün ikinci bileşeni olan varyans değerini bulmak gerekir.

4

MSE(T) = Var(T) + Bias(T)^2

formülünü uygula.

MSE(T) = \frac{3\theta^2}{20n} + (\frac{\theta}{2})^2 = \frac{3\theta^2}{20n} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{3\theta^2 + 5n\theta^2}{20n} = \frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

.

Yanlı bir tahmin edicinin performansını değerlendirmek için toplam hata (MSE) formülünün kullanılması kuraldır.

Anahtar Kavram

Yanlı Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 88Soru →

Bir veri merkezinde kullanılan yüksek kapasiteli belirli bir Katı Hal Sürücüsü (SSD) modelinin ömrü (yıl cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \beta) = \beta^2 x e^{-\beta x}, \quad x > 0

Burada $\beta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. Veri merkezindeki disklerden rastgele seçilen bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) $n$ adet diskin ömürleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlenmiş ve örneklem ortalaması $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, disk ömürlerinin varyansı olan $\tau(\beta) = \frac{2}{\beta^2}$ parametresi için en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\bar{X}^2}{2}

2\bar{X}^2

\frac{n^2 \bar{X}^2}{2}

\bar{X}

\frac{8}{\bar{X}^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\bar{X}^2}{2}$

Cevap

\frac{\bar{X}^2}{2}

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu için örneklemin olabilirlik fonksiyonu

L(\beta) = \beta^{2n} e^{-\beta \sum X_i} \prod X_i

şeklindedir. Log-olabilirlik fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde

\beta

parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi

\hat{\beta} = \frac{2}{\bar{X}}

olarak bulunur. En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliği gereği,

\tau(\beta) = \frac{2}{\beta^2}

fonksiyonunun tahmin edicisi,

\beta

yerine

\hat{\beta}

yazılarak hesaplanır. Bu işlem sonucunda

\frac{2}{(2/\bar{X})^2} = \frac{\bar{X}^2}{2}

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturma

L(\beta) = \prod_{i=1}^n \beta^2 X_i e^{-\beta X_i} = \beta^{2n} \left(\prod_{i=1}^n X_i\right) e^{-\beta \sum_{i=1}^n X_i}

Bağımsız ve özdeş dağılımlı örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak amacıyla.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunu hesaplama

\ln L(\beta) = 2n \ln \beta + \sum_{i=1}^n \ln X_i - \beta \sum_{i=1}^n X_i

Çarpım durumundaki ifadeyi toplama dönüştürerek parametreye göre türev alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla.

3

Parametreye göre türev alıp sıfıra eşitleme

\frac{\partial \ln L(\beta)}{\partial \beta} = \frac{2n}{\beta} - \sum_{i=1}^n X_i = 0 \implies \hat{\beta} = \frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{2}{\bar{X}}

Log-olabilirlik fonksiyonunu maksimum yapan

\beta

değerini (nokta tahmin edicisini) bulmak amacıyla.

4

Değişmezlik (invariance) özelliğini uygulama

\widehat{\tau(\beta)} = \frac{2}{\hat{\beta}^2} = \frac{2}{(2/\bar{X})^2} = \frac{2}{4/\bar{X}^2} = \frac{\bar{X}^2}{2}

Bir parametrenin fonksiyonunun en çok olabilirlik tahmin edicisi, parametrenin tahmin edicisinin o fonksiyonda yerine konmasıyla elde edildiğinden.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicisi ve Değişmezlik Özelliği

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 89Soru →

Bir bölgedeki kamu projelerinin tamamlanma süreleri (ay cinsinden), $\alpha$ (şekil) ve $\beta$ (ölçek) parametreli bir Gamma dağılımı ile modellenmektedir. Bir araştırmacı, $n$ adet projenin tamamlanma sürelerini rastgele seçerek birinci örneklem momentini $m_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ve ikinci örneklem momentini $m_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ olarak hesaplamıştır.

Gamma dağılımının beklenen değeri $E(X) = \alpha\beta$ ve varyansı $Var(X) = \alpha\beta^2$ olduğuna göre, $\alpha$ parametresi için momentler yöntemi tahmin edicisi ( $\hat{\alpha}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}

\frac{m_2 - m_1^2}{m_1}

\frac{m_1^2}{m_2}

\frac{m_2 - m_1^2}{m_1^2}

\frac{m_1}{m_2 - m_1^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}$

Cevap

\frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}

ifadesi

\alpha

parametresi için doğru momentler yöntemi tahmin edicisidir.

Momentler yönteminde, parametre sayısı kadar kitle momenti örneklem momentine eşitlenerek denklem sistemi çözülür. Gamma dağılımı için teorik momentler hesaplandığında;

E(X) = \alpha\beta = m_1

ve

E(X^2) = Var(X) + E(X)^2 = \alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2 = m_2

denklemleri kurulur. Birinci denklemden çekilen

\beta = m_1/\alpha

ifadesi ikinci denklemde yerine konup işlemler sadeleştirildiğinde doğrudan

\alpha = \frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle momentlerini dağılımın parametreleri cinsinden ifade edin.

E(X) = \alpha\beta

ve

E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \alpha\beta^2 + (\alpha\beta)^2 = \alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2

Momentler yönteminde öncelikle teorik kitle momentleri yazılmalıdır.

2

Birinci ve ikinci kitle momentlerini örneklem momentlerine (

m_1

ve

m_2

) eşitleyin.

1)

\alpha\beta = m_1

2)

\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta^2 = m_2

Parametreleri tahmin edebilmek için teorik momentler ile hesaplanan örneklem momentleri eşitlenir.

3

Oluşan denklem sisteminde

\beta

'yı yalnız bırakıp ikinci denklemde yerine yazın.

Birinci denklemden

\beta = \frac{m_1}{\alpha}

bulunur. İkinci denklemde yerine yazılırsa:

\alpha\left(\frac{m_1}{\alpha}\right)^2 + \alpha^2\left(\frac{m_1}{\alpha}\right)^2 = m_2

Sistemdeki iki bilinmeyenden birini yok ederek

\alpha

'yı tek bilinmeyen olarak elde etmek için.

4

Elde edilen son denklemi

\alpha

için çözün.

\frac{m_1^2}{\alpha} + m_1^2 = m_2 \implies \frac{m_1^2}{\alpha} = m_2 - m_1^2 \implies \alpha = \frac{m_1^2}{m_2 - m_1^2}

İstenilen

\alpha

parametresinin tahmin edicisini açık formda matematiksel olarak yazmak için.

Anahtar Kavram

Momentler Yöntemi ile Tahmin (Method of Moments Estimation)

Soru 90Soru →

Ekonometrik ve istatistiksel modellemelerde parametre tahmini için sıklıkla En Küçük Kareler (EKK) yöntemi tercih edilmektedir. $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i$ biçimindeki basit doğrusal modelde, $X_i$ açıklayıcı değişken değerlerinin sabit (stokastik olmayan) olduğu kabul edilmektedir.

Elde edilen $\hat{\beta}_0$ ve $\hat{\beta}_1$ EKK tahmin edicilerinin kitlenin gerçek parametreleri için yansız (unbiased) birer tahmin edici olabilmesi adına, gözlemlenemeyen hata terimleri ( $\epsilon_i$ ) üzerine konulması gereken temel varsayım aşağıdakilerden hangisidir?

Hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olması,

E(\epsilon_i) = 0

Hata terimlerinin varyansının sabit olması,

Var(\epsilon_i) = \sigma^2

Hata terimleri arasındaki kovaryansın sıfır olması,

Cov(\epsilon_i, \epsilon_j) = 0 \quad (i \neq j)

Hata terimlerinin normal dağılıma sahip olması,

\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)

Tahmin sonrası elde edilen kalıntıların toplamının sıfır olması,

\sum_{i=1}^n e_i = 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olması, $E(\epsilon_i) = 0$

Cevap

Hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olması,

E(\epsilon_i) = 0

Bir tahmin edicinin yansız olabilmesi için beklenen değerinin tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir. EKK tahmin edicileri hesaplanırken, doğrusal kombinasyonlar üzerinden

E(\epsilon_i) = 0

olduğu kabul edilirse

E(\hat{\beta}_1) = \beta_1

sonucuna ulaşılır. Sabit varyans, normal dağılım veya sıfır kovaryans özellikleri yansızlık için değil; etkinlik, normallik veya tutarlılık gibi diğer istatistiksel özellikler için gereklidir.

Adım Adım Çözüm

1

EKK yönteminde eğim parametresi tahmin edicisinin formülünü yazmak.

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}

Tahmin edicinin matematiksel yapısını anlamak, beklenen değerini hesaplamanın ilk adımıdır.

2

Tahmin ediciyi gerçek parametre cinsinden ifade etmek.

\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \sum w_i \epsilon_i \quad \text{burada } w_i = \frac{X_i - \bar{X}}{\sum (X_i - \bar{X})^2}

Yansızlık incelemesi için tahmin ediciyi sabitler (

w_i

,

\beta_1

) ve rastgele değişkenler (

\epsilon_i

) olarak ayırmak gerekir.

3

Eşitliğin her iki tarafının beklenen değerini (E) almak.

E(\hat{\beta}_1) = E(\beta_1) + \sum w_i E(\epsilon_i) = \beta_1 + \sum w_i E(\epsilon_i)

Yansızlık koşulu olan

E(\hat{\beta}_1) = \beta_1

eşitliğinin sağlanması için gereken şartı bulmak.

4

Yansızlık için gereken koşulu belirlemek.

E(\epsilon_i) = 0

varsayımı altında denklem

E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 + 0 = \beta_1

halini alır.

Tahmin edicinin beklenen değerinin gerçek parametreye eşit olmasını sağlayan temel varsayım budur.

Anahtar Kavram

EKK Tahmin Edicilerinin Yansızlık Özelliği ve Gauss-Markov Varsayımları

Soru 91Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülen bir hanehalkı bütçe anketinde, belirli bir zorunlu tüketim kalemine ait harcama tutarları, ortalaması $\theta$ olan bir olasılık dağılımı ile modellenmektedir. Uzmanlar, ellerindeki büyük örneklemi kullanarak $\theta$ parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) $\hat{\theta}$ olarak hesaplamıştır.

Çalışmanın ilerleyen aşamalarında, ekonomik bir refah endeksinin hesaplanabilmesi için $\theta$ 'nın doğrusal olmayan $g(\theta) = \theta^2 + \ln(\theta)$ şeklindeki bir fonksiyonunun tahmin edilmesi gerekmiştir. Uzmanlar, En Çok Olabilirlik yönteminin özelliklerine dayanarak bu endeksin tahmin edicisini $\widehat{g(\theta)} = \hat{\theta}^2 + \ln(\hat{\theta})$ olarak önermiştir.

Verilen bu duruma ve en çok olabilirlik tahmin edicilerinin genel özelliklerine göre, önerilen $\widehat{g(\theta)}$ tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Değişmezlik (invariance) özelliği gereği

g(\theta)

'nın en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve tutarlı (consistent) bir tahmin edici olmasına rağmen sonlu örneklemlerde genellikle yanlıdır (biased).

\hat{\theta}

yansız bir tahmin edici olduğundan, değişmezlik özelliği

\widehat{g(\theta)}

tahmin edicisinin de her örneklem çapı için mutlak surette yansız ve tutarlı olmasını garanti eder.

En çok olabilirlik yönteminde değişmezlik kuralının geçerli olabilmesi için

g(\theta)

fonksiyonunun mutlaka doğrusal bir fonksiyon olması gerekir, aksi takdirde önerilen bu tahmin edici kullanılamaz.

Delta metodu gereğince

\widehat{g(\theta)}

'nın asimptotik varyansı Cramer-Rao alt sınırına eşittir ve bu sınır doğrudan

\hat{\theta}

'nın varyans değeri ile tamamen aynıdır.

Bu tahmin edicinin geçerli bir en çok olabilirlik tahmin edicisi olabilmesi için, veri setinin log-olabilirlik fonksiyonunun doğrudan

g(\theta)

'ya göre türevlenip sıfıra eşitlenerek yeniden çözülmesi zorunludur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Değişmezlik (invariance) özelliği gereği $g(\theta)$ 'nın en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve tutarlı (consistent) bir tahmin edici olmasına rağmen sonlu örneklemlerde genellikle yanlıdır (biased).

Cevap

Doğru cevap, tahmin edicinin değişmezlik özelliği gereği en çok olabilirlik tahmin edicisi olduğunu, tutarlı kaldığını ancak sonlu örneklemlerde genellikle yanlı olduğunu belirten seçenektir.

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin (MLE) en önemli pratik özelliklerinden biri 'değişmezlik' (invariance) özelliğidir. Bu özelliğe göre, bir parametrenin fonksiyonunun MLE'sini bulmak için parametrenin kendi MLE'sini fonksiyonda yerine koymak yeterlidir. Asimptotik özellikler incelendiğinde; Sürekli Fonksiyon Teoremi uyarınca tutarlılık özelliği korunur (örneklem çapı sonsuza giderken gerçek değere yakınsar). Ancak doğrusal olmayan

g(\theta) = \theta^2 + \ln(\theta)

gibi fonksiyonlarda, Jensen eşitsizliği nedeniyle sonlu örneklemlerde yansızlık (unbiasedness) ortadan kalkar ve tahmin edici yanlı hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1

En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini hatırla.

Eğer

\hat{\theta}

,

\theta

'nın MLE'si ise, herhangi bir

g(\theta)

fonksiyonunun MLE'si

g(\hat{\theta})

olur.

Bu özellik, karmaşık fonksiyonların tahmin edilmesinde olabilirlik fonksiyonunun yeniden çözülmesini engeller.

2

Tahmin edicinin asimptotik özelliklerinden olan 'tutarlılık (consistency)' kavramının dönüşümlerde nasıl etkilendiğini değerlendir.

Sürekli Fonksiyon Teoremi (Continuous Mapping Theorem) gereğince,

\hat{\theta}

tutarlı ise sürekli bir

g

fonksiyonu için

g(\hat{\theta})

da tutarlıdır.

En çok olabilirlik tahmin edicileri genel düzenlilik koşulları altında tutarlıdır, dolayısıyla

\widehat{g(\theta)}

da tutarlı olacaktır.

3

Tahmin edicinin 'yansızlık (unbiasedness)' özelliğinin doğrusal olmayan (non-linear) dönüşümlerde nasıl etkilendiğini incele.

g(\theta) = \theta^2 + \ln(\theta)

doğrusal olmayan bir fonksiyondur. Jensen Eşitsizliği gereği, genelde

E[g(\hat{\theta})] \neq g(E[\hat{\theta}])

olur.

Bu nedenle,

\hat{\theta}

yansız olsa bile, doğrusal olmayan bir fonksiyonun MLE'si genellikle küçük ve sonlu örneklemlerde yanlı (biased) olur, ancak asimptotik olarak yansızlığa yaklaşır.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezliği (Invariance) ve Asimptotik Özellikler

Soru 92Soru →

Bir finansal risk analisti, bir kredi portföyündeki müşterilerin temerrüde düşme durumlarını bağımsız Bernoulli denemeleri olarak modellemiş ve başarı olasılığını $p$ ( $0 < p < 1$ ) olarak tanımlamıştır. Analist, bu dağılımın varyansı olan $\theta = p(1-p)$ parametresini tahmin etmek amacıyla $n$ hacimli ( $n \geq 2$ ) bir rastgele örneklem üzerinden aşağıdaki üç farklı tahmin ediciyi kurgulamıştır:

I. $T_1 = \bar{X}(1 - \bar{X})$
II. $T_2 = \frac{n}{n-1} \bar{X}(1 - \bar{X})$
III. $T_3 = X_1(1 - X_2)$

Tahmin edicilerin asimptotik davranışları ve tutarlılık (consistency) özellikleri incelendiğinde aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

T_1

yanlı olduğu için tutarlı değildir; yalnızca yansızlık şartını sağlayan

T_2

ve

T_3

tutarlı tahmin edicilerdir.

T_1

tahmin edicisinin varyansı

n \to \infty

iken sıfıra yakınsasa da, yanlı bir tahmin edici olduğu için Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfıra yakınsamaz ve bu nedenle tutarsızdır.

Yalnızca

T_1

ve

T_2

tutarlı tahmin edicilerdir;

T_3

yansız olmasına rağmen varyansı asimptotik olarak sıfıra yakınsamadığı için tutarlı değildir.

Yalnızca

T_2

tutarlı bir tahmin edicidir, çünkü bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için her örneklem çapında mutlak surette yansız olması zorunludur.

Üç tahmin edici de tutarlılık özelliğini sağlar, çünkü her birinin beklenen değeri örneklem çapı sonsuza giderken

\theta

parametresine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnızca $T_1$ ve $T_2$ tutarlı tahmin edicilerdir; $T_3$ yansız olmasına rağmen varyansı asimptotik olarak sıfıra yakınsamadığı için tutarlı değildir.

Cevap

Yalnızca

T_1

ve

T_2

tutarlı tahmin edicilerdir;

T_3

yansız olmasına rağmen varyansı asimptotik olarak sıfıra yakınsamadığı için tutarlı değildir.

Bir tahmin edicinin tutarlı olması için

n \to \infty

iken parametreye olasılıkta yakınsaması gerekir.

\bar{X}

tahmin edicisi Büyük Sayılar Yasası (WLLN) gereği

p

'ye olasılıkta yakınsar (

\bar{X} \xrightarrow{P} p

). Sürekli Dönüşüm Teoremi'ne göre

g(x)=x(1-x)

sürekli bir fonksiyon olduğundan

\bar{X}(1-\bar{X}) \xrightarrow{P} p(1-p)

olur, yani

T_1

tutarlıdır.

T_2

ise

T_1

'in asimptotik olarak

1

'e yakınsayan

n/(n-1)

sabiti ile çarpılmış halidir ve Slutsky Teoremi gereği tutarlıdır.

T_3

tahmin edicisi

E(X_1(1-X_2)) = p(1-p)

olduğu için tam yansızdır ancak tahmini yalnızca iki gözleme dayandırır. Örneklem çapı

n

sonsuza gitse bile verinin geri kalanını kullanmadığı için varyansı azalmaz ve sıfıra gitmez. Bu sebeple olasılıkta

\theta

'ya yığılma gerçekleşmez ve

T_3

tutarlı değildir.

Adım Adım Çözüm

1

T_1

,

T_2

ve

T_3

tahmin edicilerinin beklenen değerlerini inceleyerek yansızlık durumlarını belirlemek.

E(T_1) = \frac{n-1}{n}p(1-p)

olup yanlıdır (ancak limitinde asimptotik yansızdır).

E(T_2) = p(1-p)

olup tam yansızdır.

E(T_3) = E(X_1)E(1-X_2) = p(1-p)

olup tam yansızdır.

Tutarlılık analizi için öncelikle tahmin edicilerin asimptotik olarak parametreye yakınsayıp yakınsamadığı (beklenen değer limiti) kontrol edilmelidir.

2

Büyük Sayılar Yasası (WLLN) ve Sürekli Dönüşüm Teoremi kullanarak

T_1

ve

T_2

'nin tutarlılığını değerlendirmek.

Büyük Sayılar Yasası gereği

\bar{X} \xrightarrow{P} p

olur. Sürekli Dönüşüm Teoremi uygulanırsa

\bar{X}(1-\bar{X}) \xrightarrow{P} p(1-p)

elde edilir. Bu nedenle

T_1

tutarlıdır. Slutsky Teoremi ile

\frac{n}{n-1} \to 1

olduğundan

T_2

de aynı değere olasılıkta yakınsar ve tutarlıdır.

Olasılıkta yakınsama özellikleri, tahmin edicilerin tutarlılığını ispatlamak için yeterlidir.

3

T_3

'ün varyansının

n \to \infty

durumundaki limitini incelemek.

T_3

sadece ilk iki bağımsız gözleme (

X_1

ve

X_2

) dayanır. Örneklem çapı

n

ne kadar büyürse büyüsün yapısı değişmez. Varyansı sabittir ve sıfıra yakınsamaz. Bu nedenle olasılıkta yakınsama gerçekleşmez ve

T_3

tutarlı değildir.

Yansız bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için MSE'sinin (ve dolayısıyla varyansının) asimptotik olarak sıfıra gitmesi şarttır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Soru 93Soru →

Bir yenilenebilir enerji uzmanı, belirli bir bölgedeki rüzgâr türbinlerinin arızasız çalışma sürelerini (ay cinsinden) incelemektedir. Birbirinden bağımsız $n$ adet türbinin arızasız çalışma süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri ile modellenmiş olup, bu değişkenlerin $(0, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.

Uzman, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (Neyman Factorization Theorem) kullanarak $\theta$ parametresi için bir yeterli (sufficient) istatistik belirlemek istemektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi $\theta$ parametresi için bir yeterli istatistiktir?

Örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan

X_{(n)}

Örneklem ortalaması olan

\bar{X}

Düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olan

\frac{n+1}{n} X_{(n)}

Örneklemdeki en küçük gözlem değeri olan

X_{(1)}

Gözlem değerlerinin toplamı olan

\sum_{i=1}^{n} X_i

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan $X_{(n)}$

Cevap

\theta

parametresi için yeterli istatistik, örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan

X_{(n)}

istatistiğidir.

Düzgün dağılım gibi parametrenin tanım kümesini sınırlandırdığı durumlarda, yeterli istatistik genellikle uç değerlere (sıra istatistiklerine) bağlıdır. Olabilirlik fonksiyonu

L(\theta | \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(X_{(n)} \leq \theta) I(X_{(1)} \geq 0)

şeklinde yazıldığında,

\theta

'yı içeren çarpan yalnızca en büyük sıra istatistiği olan

X_{(n)}

'i barındırdığından, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği

X_{(n)}

yeterli istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) yazmak.

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} I(0 \leq x \leq \theta)

Olabilirlik fonksiyonunu oluşturmak için kitle dağılımının matematiksel formuna ihtiyaç vardır.

I

gösterge (indicator) fonksiyonudur.

2

Örneklem için ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu oluşturmak.

L(\theta | \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} I(0 \leq x_i \leq \theta) = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n} I(0 \leq x_i \leq \theta)

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için

n

çaplı bağımsız örneklemin ortak dağılımı yazılmalıdır.

3

Gösterge fonksiyonlarının çarpımını sıra istatistikleri cinsinden ifade etmek.

Tüm

x_i

'lerin

0

ile

\theta

arasında olması, en küçük değerin

0

'dan büyük veya eşit olması ve en büyük değerin

\theta

'dan küçük veya eşit olması demektir:

I(0 \leq x_{(1)}) \cdot I(x_{(n)} \leq \theta)

. Böylece

L(\theta | \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(x_{(n)} \leq \theta) \cdot I(x_{(1)} \geq 0)

elde edilir.

Parametreye (

\theta

) bağlı sınırları, örneklemin uygun istatistikleriyle (minimum ve maksimum) ayrıştırmak gerekir.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak

g(T(x), \theta)

ve

h(x)

çarpanlarını belirlemek.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} I(x_{(n)} \leq \theta)

ve

h(\mathbf{x}) = I(x_{(1)} \geq 0)

. Parametreye bağlı çarpan

g

fonksiyonu

X_{(n)}

istatistiğini içerdiğinden yeterli istatistik

T(\mathbf{x}) = X_{(n)}

olur.

Teoreme göre,

L(\theta | \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde yazılabiliyorsa

T(\mathbf{x})

yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Sıra İstatistikleri

Soru 94Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda ölçülen günlük rüzgar hızları, $(0, \theta)$ aralığında bir düzgün dağılıma (Uniform dağılım) sahip rastgele değişkenler olarak modellenmektedir.

Bu istasyondan birbirinden bağımsız olarak alınan $n=3$ günlük rüzgar hızı ölçümü $X_1, X_2, X_3$ olarak kaydedilmiştir. Bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek için başlangıçta yansız bir tahmin edici olan $T = 2X_1$ önerilmiştir.

Ancak, Rao-Blackwell teoremi kullanılarak tam ve yeterli (complete and sufficient) istatistik olan $S = \max(X_1, X_2, X_3)$ yardımıyla bu tahmin edicinin iyileştirilebileceği fark edilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $S$ yeterli istatistiğine göre koşullu beklenen değeri ( $E[T|S]$ ) alınarak elde edilen gelişmiş (Rao-Blackwell) tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

2 S

\frac{3}{4} S

\frac{4}{3} S

\frac{2}{3} S

\frac{3}{2} S

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{3} S$

Cevap

\frac{4}{3} S

Rao-Blackwell teoremine göre, yansız bir tahmin edicinin (

T=2X_1

) tam ve yeterli istatistiğe (

S

) göre koşullu beklenen değeri (

T^* = E[T|S]

), yansız ve minimum varyanslı bir tahmin edici (UMVUE) verir. Düzgün dağılımda

S = \max(X_1, X_2, X_3)

tam ve yeterli istatistiktir ve

E[S] = \frac{3}{4}\theta

'dır.

S

'yi yansız bir tahmin edici yapmak için

\frac{4}{3}

katsayısı ile çarpmak gerekir. Lehmann-Scheffe teoremi gereği bu tek yansız fonksiyon, aynı zamanda Rao-Blackwell tahmin edicisinin (

E[T|S]

) kendisine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

T = 2X_1

tahmin edicisinin yansız olup olmadığını kontrol etme

E[2X_1] = 2E[X_1] = 2(\frac{\theta}{2}) = \theta

elde edilir. Demek ki

T

tahmin edicisi yansızdır.

Rao-Blackwell teoreminin yansızlık özelliğini koruduğunu teyit etmek için.

2

Maksimum sıra istatistiğinin (

S

) beklenen değerini bulma

n=3

hacimli

(0, \theta)

aralığındaki düzgün dağılım için

E[S] = \frac{n}{n+1}\theta = \frac{3}{4}\theta

olarak hesaplanır.

Yeni tahmin edicinin

S

'nin bir fonksiyonu olacağını ve yansız olması gerektiğini Lehmann-Scheffe teoreminden bildiğimiz için.

3

S

istatistiğini yansız bir tahmin ediciye dönüştürme

E[c \cdot S] = \theta

denklemini çözecek

c

katsayısı aranır.

c \cdot \frac{3}{4}\theta = \theta \implies c = \frac{4}{3}

bulunur.

Tam ve yeterli bir istatistiğin yansız fonksiyonu tektir ve bu aynı zamanda Rao-Blackwell tahmin edicisinin ta kendisidir.

4

Gelişmiş Rao-Blackwell tahmin edicisini (

T^*

) yazma

T^* = \frac{4}{3} S

sonucuna ulaşılır.

Tüm koşullar sağlandığı için UMVUE formülü belirlenmiş olur.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Lehmann-Scheffe Uygulaması

Soru 95Soru →

Bir kamu laboratuvarında görevli bir gıda mühendisi, yeni geliştirilen bir gıda koruyucusunun belirli bir standart sıcaklıktaki etkinlik süresini (saat cinsinden) incelemektedir. Etkinlik süresini temsil eden rastgele değişkenin, $\theta$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere, $(\theta, \theta+5)$ aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Mühendis, birbirinden bağımsız $n$ adet ölçüm yaparak $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini elde etmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, $\theta$ parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n)$ ve $X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n)$ olarak tanımlanmıştır.)

(X_{(1)}, X_{(n)})

Yalnızca

X_{(n)}

Yalnızca

X_{(1)}

\sum_{i=1}^n X_i

\bar{X}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(X_{(1)}, X_{(n)})$

Cevap

\theta

parametresi için yeterli istatistik

(X_{(1)}, X_{(n)})

vektörüdür.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x})

biçiminde yazıldığında,

T(\mathbf{x})

yeterli istatistiktir. Dağılım

(\theta, \theta+5)

aralığında olduğu için olabilirlik fonksiyonu ancak tüm veriler bu aralıkta olduğunda sıfırdan farklıdır. Bu koşul, örneklemin en küçük değerinin

\theta

'dan büyük veya eşit (

X_{(1)} \ge \theta

) ve örneklemin en büyük değerinin

\theta+5

'ten küçük veya eşit (

X_{(n)} \le \theta+5

) olmasıyla sağlanır. Parametreye bağlı bu şart

g(T(\mathbf{x})|\theta)

çarpanını oluşturur ve bu fonksiyon veriye yalnızca

X_{(1)}

ve

X_{(n)}

üzerinden bağlı olduğu için yeterli istatistik bu iki sıra istatistiğinin oluşturduğu vektördür.

Adım Adım Çözüm

1

Sürekli düzgün dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) gösterge (indicator) fonksiyonu ile tanımlayın.

f(x; \theta) = \frac{1}{5} I(\theta \le x \le \theta+5)

Tanım aralığı (destek kümesi) bilinmeyen parametreye bağlı olduğunda, yeterli istatistiği bulabilmek için sınır koşullarını matematiksel olarak ifade etmek zorunludur.

2

n

çaplı örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{5} I(\theta \le x_i \le \theta+5) = (\frac{1}{5})^n \prod_{i=1}^n I(\theta \le x_i \le \theta+5)

Örneklemlerin bağımsızlığından dolayı ortak dağılım fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımıdır.

3

Gösterge fonksiyonlarının çarpımını, sıra istatistiklerini kullanarak tek bir ifadeye dönüştürün.

Tüm

x_i

'lerin

\theta

ile

\theta+5

arasında olması, en küçük değerin

\theta

'dan büyük ve en büyük değerin

\theta+5

'ten küçük olması demektir:

L(\theta; \mathbf{x}) = (\frac{1}{5})^n I(\theta \le X_{(1)}) I(X_{(n)} \le \theta+5)

Ortak gösterge bölgesini parametre ve veri ayrımı yapabilmek için basitleştirmek gereklidir.

4

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (

L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x})

) uygulayın.

g(T(\mathbf{x})|\theta) = I(\theta \le X_{(1)}) I(X_{(n)} \le \theta+5)

ve

h(\mathbf{x}) = (\frac{1}{5})^n

olarak belirlenir.

g

fonksiyonu veriye sadece

(X_{(1)}, X_{(n)})

üzerinden bağlıdır.

Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonunun parametreye bağlı çarpanı içindeki veri fonksiyonu

T(\mathbf{x})

, yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Sınırları parametreye bağlı dağılımlarda (düzgün dağılım gibi) yeterli istatistik bulunurken gösterge (indicator) fonksiyonlarının çarpımından doğan sıra istatistiklerinin (minimum ve maksimum) kullanımı.

Soru 96Soru →

Bir tarım uzmanı, yeni bir gübre türünün tohumların çimlenme olasılığı ( $p$ ) üzerindeki etkisini incelemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $5$ adet tohum ekilmiş ve her birinin çimlenme durumu ( $X_i=1$ : çimlenme gerçekleşti, $X_i=0$ : çimlenme gerçekleşmedi) kaydedilmiştir. Gözlemlerin $p$ parametreli Bernoulli dağılımına sahip bağımsız ve özdeş rastgele değişkenler olduğu varsayılmaktadır. Parametre için $T = X_1$ yansız tahmin edicisi tanımlanmıştır.

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak $S = \sum_{i=1}^5 X_i$ yeterli istatistiği yardımıyla elde edilen yeni tahmin edicinin ( $T^* = E[T|S]$ ) varyansının, başlangıçtaki $T$ tahmin edicisinin varyansına oranı kaçtır?

1/5

1/25

1

4/5

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1/5$

Cevap

Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen yeni tahmin edicinin varyansının orijinal tahmin ediciye oranı

1/5

olur.

Doğru cevap

1/5

oranıdır.

X_1, \dots, X_5

i.i.d. Bernoulli(

p

) olduğunda,

p

için

T=X_1

yansızdır ve

S=\sum X_i

yeterli istatistiktir. Rao-Blackwell teoremi gereği

T^* = E[X_1|S] = S/5 = \bar{X}

elde edilir.

\bar{X}

tahmin edicisinin varyansı

p(1-p)/5

iken orijinal tahmin edici

X_1

'in varyansı

p(1-p)

'dir. Bu iki değerin oranı

1/5

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç tahmin edicisinin (

T

) varyansını belirle.

Var(T) = Var(X_1) = p(1-p)

X_1

bir Bernoulli rastgele değişkeni olduğu için varyansı

p(1-p)

formülü ile hesaplanır.

2

Rao-Blackwell teoremini uygulayarak yeni tahmin ediciyi (

T^*

) bul.

T^* = E[X_1 | \sum_{i=1}^5 X_i] = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^5 X_i = \bar{X}

Bernoulli dağılımında, bir gözlemin toplam (yeterli istatistik) üzerindeki koşullu beklenen değeri örneklem ortalamasına eşittir.

3

Yeni tahmin edicinin (

T^*

) varyansını hesapla.

Var(T^*) = Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{5}

Bağımsız ve özdeş dağılan rastgele değişkenlerin ortalamasının varyansı, kitle varyansının örneklem çapına (

n=5

) bölünmesiyle bulunur.

4

Varyanslar arası oranı hesapla.

\frac{Var(T^*)}{Var(T)} = \frac{p(1-p)/5}{p(1-p)} = \frac{1}{5}

Yeni tahmin edicinin varyansı ile orijinal varyans oranlanarak iyileşme miktarı bulunur.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans Azaltma

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 97Soru →

Bir vergi denetmeni, bir bölgedeki yüksek gelirli mükelleflerin beyan ettikleri yıllık kazançları (bin TL) incelemektedir. Kazançların ( $X$ ), bilinen bir $x_0$ ( $x \geq x_0$ ) alt sınırı için aşağıdaki Pareto olasılık yoğunluk fonksiyonuna uygun olduğu varsayılmaktadır:

f(x; \theta) = \frac{\theta x_0^\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x \geq x_0, \theta > 0

Rastgele seçilen $n$ adet mükellefin kazançları $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre $\theta$ parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^{n} X_i

\prod_{i=1}^{n} X_i

\max(X_1, X_2, \dots, X_n)

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i

\min(X_1, X_2, \dots, X_n)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\prod_{i=1}^{n} X_i$

Cevap

Gözlemlerin çarpımı olan

\prod_{i=1}^{n} X_i

ifadesi,

\theta

parametresi için yeterli istatistiktir.

Olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde,

\theta

parametresini içeren çarpanın verilere sadece gözlemlerin çarpımı (

\prod X_i

) aracılığıyla bağlı olduğu görülmektedir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu durum, gözlemlerin çarpımının parametre hakkında tam bilgi sağladığını ve dolayısıyla yeterli istatistik olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik fonksiyonunu (

L(\theta)

) kurun.

L(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\theta x_0^\theta}{x_i^{\theta+1}} = \frac{\theta^n (x_0^\theta)^n}{(\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta+1}}

Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmaktır.

2

Fonksiyonu parametreye bağlı ve bağımsız kısımlara ayırın.

L(\theta; \mathbf{x}) = \left[ \theta^n x_0^{n\theta} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-\theta} \right] \cdot \left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1} \right]

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, olabilirlik fonksiyonunun

g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})

şeklinde yazılmasını gerektirir.

3

Yeterli istatistiği (

T(\mathbf{x})

) belirleyin.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^n x_0^{n\theta} (\prod x_i)^{-\theta} \implies T(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n X_i

Parametreye (

\theta

) bağlı olan kısım sadece gözlemlerin çarpımı (

T

) üzerinden verilere bağlıdır.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, olabilirlik fonksiyonu parametreye bağlı bir istatistik ve parametreden bağımsız bir gözlem fonksiyonu olarak çarpılabiliyorsa, o istatistik yeterlidir.

Alternatif Yöntem

Log-olabilirlik fonksiyonu üzerinden gidilerek

\sum \ln(X_i)

ifadesinin de yeterli olduğu görülebilir; ancak şıklarda bu ifadenin karşılığı olan çarpım formu (

\prod X_i

) yer almaktadır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 98Soru →

$p$ başarı olasılığına sahip bir Bernoulli kitlesinden $n=2$ birimlik bağımsız bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2$ ) seçilmiştir. $p$ parametresini tahmin etmek için $T = X_1$ yansız tahmin edicisi kullanılmaktadır. $S = X_1 + X_2$ istatistiğinin $p$ parametresi için yeterli olduğu bilinmektedir.

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen geliştirilmiş tahmin edici $T^* = E[T|S]$ için varyans değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{p(1-p)}{2}

p(1-p)

\frac{p(1-p)}{4}

\frac{p}{2}

2p(1-p)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{p(1-p)}{2}$

Cevap

Geliştirilmiş tahmin edicinin varyansı

\frac{p(1-p)}{2}

ifadesine eşittir.

Rao-Blackwell teoremi uyarınca

T^* = E[X_1 | X_1 + X_2]

işlemi yapıldığında elde edilen tahmin edici

\bar{X} = (X_1+X_2)/2

olur. Bağımsız Bernoulli değişkenleri için örneklem ortalamasının varyansı

Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}

formülü ile hesaplanır; burada

n=2

olduğu için sonuç

\frac{p(1-p)}{2}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinal tahmin edicinin varyansını hesapla

Var(T) = Var(X_1) = p(1-p)

Bernoulli dağılımında varyans

p(1-p)

formülü ile hesaplanır.

2

Rao-Blackwell tahmin edicisini (

T^*

) belirle

T^* = E[X_1 | X_1 + X_2] = \frac{X_1 + X_2}{2}

Simetri özelliğinden dolayı, toplam verildiğinde her bir gözlemin beklenen değeri ortalamaya eşit olur.

3

T^*

tahmin edicisinin varyansını hesapla

Var(T^*) = Var\left(\frac{X_1 + X_2}{2}\right) = \frac{1}{4} [Var(X_1) + Var(X_2)] = \frac{2p(1-p)}{4} = \frac{p(1-p)}{2}

Bağımsız değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir ve sabit çarpan dışarı karesi alınarak çıkar.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerine koşullandırılmasıyla varyansın azaltılabileceğini (veya aynı kalacağını) ifade eder.

Soru 99Soru →

Bir elektronik fabrikasında üretilen mikroçiplerin belirli bir yükleme altındaki maksimum çalışma gerilimi $X$ (volt cinsinden) rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ parametresi için aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2(\theta - x)}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitle içinden seçilen $n$ birimlik bir örneklemin ortalaması olan $\bar{X}$ istatistiği, $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla kullanılmaktadır. Buna göre, $\bar{X}$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(8n+1)\theta^2}{18n}

\frac{\theta^2}{18n}

\frac{(2n+1)\theta^2}{18n}

\frac{(8n+1)\theta^2}{18}

\frac{(n+8)\theta^2}{18n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{(8n+1)\theta^2}{18n}$

Cevap

\frac{(8n+1)\theta^2}{18n}

Yapılan hesaplamalar sonucunda kitlenin varyansının

\theta^2/18

, tahmin edicinin yan miktarının ise

-2\theta/3

olduğu görülmüştür.

MSE = Var + Bias^2

formülüne göre bu değerler yerine konulduğunda

((8n+1)\theta^2)/(18n)

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayınız.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\theta} = \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\theta^3}{2} - \frac{\theta^3}{3} \right) = \frac{\theta}{3}

Yan (bias) miktarını belirlemek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değeri (

E[\bar{X}] = E[X]

) bulunmalıdır.

2

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplayınız.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\theta} = \frac{\theta^2}{6}

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{3\theta^2 - 2\theta^2}{18} = \frac{\theta^2}{18}

MSE hesaplamasında kullanılacak olan varyans bileşenini bulmak gerekir.

3

\bar{X}

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını ve varyansını bulunuz.

Bias(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{\theta}{3} - \theta = -\frac{2\theta}{3}

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{\theta^2}{18n}

Örneklem ortalamasının özellikleri kitle özelliklerinden türetilir.

4

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulayınız.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + [Bias(\bar{X})]^2 = \frac{\theta^2}{18n} + \left(-\frac{2\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18n} + \frac{4\theta^2}{9} = \frac{\theta^2 + 8n\theta^2}{18n} = \frac{(8n+1)\theta^2}{18n}

MSE, tahmin edicinin hem değişkenliğini (varyans) hem de doğruluğunu (yan) ölçen birleşik bir kriterdir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) = Varyans + (Yan)^2

Daha Fazla Pratik

Farklı bir tahmin edici olarak

T = 3\bar{X}

istatistiğinin yansız olup olmadığını kontrol edip MSE değerini hesaplayarak karşılaştırma yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 100Soru →

Bir barajdaki günlük su buharlaşma miktarı (milimetre cinsinden) $X$ rassal değişkeni, $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{4x^3}{\theta^4}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden çekilen $n$ birimlik bir rassal örneklem için örneklem ortalaması $\bar{X}$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(3n+2)\theta^2}{75n}

\frac{2\theta^2}{75n}

\frac{(3n+1)\theta^2}{75n}

\frac{\theta^2}{25}

\frac{(n+2)\theta^2}{75n}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{(3n+2)\theta^2}{75n}$

Cevap

Örneklem ortalaması

\bar{X}

tahmin edicisinin

\theta

parametresi için Hata Kareler Ortalaması

\frac{(3n+2)\theta^2}{75n}

olarak bulunur.

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyansı (

2\theta^2/75n

) ile yan miktarının karesinin (

[-\theta/5]^2 = \theta^2/25

) toplamıdır. Bu iki terim toplandığında payda eşitleme sonucu

(3n+2)\theta^2/75n

ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rassal değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayın.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \frac{4}{\theta^4} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\theta} = \frac{4\theta}{5}

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını bulmak için kitlenin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

2

X

rassal değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \frac{4}{\theta^4} \left[ \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{\theta} = \frac{2\theta^2}{3}

olduğundan;

Var(X) = \frac{2\theta^2}{3} - \left( \frac{4\theta}{5} \right)^2 = \frac{2\theta^2}{3} - \frac{16\theta^2}{25} = \frac{50\theta^2 - 48\theta^2}{75} = \frac{2\theta^2}{75}

Tahmin edicinin varyansını hesaplamak için kitlenin varyansının bilinmesi gerekir.

3

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesaplayın.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{4\theta}{5}

Yan(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{4\theta}{5} - \theta = -\frac{\theta}{5}

MSE formülünde yer alan yan (bias) bileşenini belirlemek için gereklidir.

4

Tahmin edicinin varyansını hesaplayın.

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2\theta^2}{75n}

MSE formülündeki varyans bileşenini belirlemek için gereklidir.

5

MSE = Var + Yan^2

formülünü kullanarak sonucu bulun.

MSE(\bar{X}) = \frac{2\theta^2}{75n} + \left( -\frac{\theta}{5} \right)^2 = \frac{2\theta^2}{75n} + \frac{\theta^2}{25}

MSE(\bar{X}) = \frac{2\theta^2 + 3n\theta^2}{75n} = \frac{(3n+2)\theta^2}{75n}

Hata Kareler Ortalaması, varyans ve yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin hem değişkenliğini (varyans) hem de doğruluğunu (yansızlık/yan) aynı anda ölçen pedagojik bir ölçüttür.

Daha Fazla Pratik

Tahmin edicinin yansız olması için örneklem ortalamasının hangi katsayı ile çarpılması gerektiğini düşünerek UMVUE kavramını araştırabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Parametre Tahmin Yöntemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik