Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir tedarik zinciri ağında, merkezi bir depodan zıt yönlerdeki iki farklı bölgeye (Kuzey ve Güney) gönderilen sevkiyatların planlanan varış saatinden sapma süreleri (saat cinsinden) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Negatif değerler erken varışı, pozitif değerler ise gecikmeyi ifade etmektedir.

Bu sapma sürelerine ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x,y) = \frac{1}{2}

Tanım kümesi (destek kümesi):

|x| + |y| \leq 1

olarak verilmiştir.

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenlerinin bağımsızlığı ve aralarındaki doğrusal ilişki (kovaryans) durumu hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları hesaplanırken integral sınırları

X

ve

Y

değerlerinden bağımsız sabitler olduğu için bu değişkenler bağımsızdır.

Aralarındaki kovaryans değeri sıfıra eşit olarak hesaplandığı için, değişkenler hem doğrusal olarak ilişkisizdir hem de istatistiksel olarak tamamen bağımsızdır.

Tanımlı oldukları destek kümesi dikdörtgensel bir bölge (kartezyen çarpım) oluşturmadığı için değişkenler bağımlıdır; ancak simetriden dolayı aralarındaki kovaryans sıfırdır.

Destek kümesini belirleyen eşitsizlik nedeniyle

X

ve

Y

'nin aynı anda uç değerler alması imkansız (ayrık) olduğundan, bu iki değişken istatistiksel olarak birbirlerinden bağımsızdır.

Değişkenler birbirine bağımlı olduğu için, her durumda

E[XY] \neq E[X]E[Y]

eşitsizliği sağlanmak zorundadır ve bu durum aralarında sıfırdan farklı bir kovaryans yaratır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tanımlı oldukları destek kümesi dikdörtgensel bir bölge (kartezyen çarpım) oluşturmadığı için değişkenler bağımlıdır; ancak simetriden dolayı aralarındaki kovaryans sıfırdır.

Cevap

Değişkenlerin tanımlı oldukları bölge dikdörtgen şeklinde olmadığı için birbirlerine bağımlıdırlar; ancak bölgenin ve yoğunluk fonksiyonunun orijine göre simetrik olması sebebiyle aralarındaki kovaryans sıfırdır.

Verilen soruda değişkenlerin tanımlı olduğu alan

|x| + |y| \leq 1

eşitsizliği ile belirlenen bir elmas şeklidir. İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve destek kümesinin ayrı ayrı

X

ve

Y

'ye bağlı iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılabilmesi gerekir. Destek kümesi dikdörtgensel olmadığı için

X

ve

Y

kesinlikle bağımlıdır. Bununla birlikte, destek bölgesi koordinat eksenlerine göre simetrik olduğundan,

E[XY]

,

E[X]

ve

E[Y]

integrallerinin sonucu sıfırdır ve bu durum kovaryansın sıfır çıkmasına sebep olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesi (domain) incelenir.

|x| + |y| \leq 1

eşitsizliği koordinat düzleminde köşeleri

(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)

olan bir eşkenar dörtgen (elmas) belirtir.

Değişkenlerin bağımsızlığını test etmenin ilk adımı, ortak destek kümesinin bağımsız parçalara (kartezyen çarpıma) ayrılıp ayrılamadığını kontrol etmektir.

2

Bağımsızlık durumu destek kümesinin geometrisi üzerinden değerlendirilir.

Destek kümesi

X \in [-1, 1]

ve

Y \in [-1, 1]

aralıklarının direkt çarpımı (bir kare) değildir.

X

'in aldığı bir değer,

Y

'nin alabileceği değerlerin sınırlarını daraltır. Bu nedenle

X

ve

Y

bağımlıdır.

Bağımsız değişkenlerin ortak destek kümesi her zaman

A \times B

formatında (dikdörtgensel) olmak zorundadır.

3

Kovaryans formülünü uygulamak için beklenen değerler (

E[X]

,

E[Y]

,

E[XY]

) hesaplanır.

Destek kümesi hem x eksenine hem de y eksenine göre simetriktir ve

f(x,y)

sabittir. Tek fonksiyonlar olan

x

,

y

ve

x\cdot y

'nin bu simetrik bölge üzerindeki integralleri sıfırdır. (

E[X]=0, E[Y]=0, E[XY]=0

)

Kovaryansın formülü

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

şeklindedir ve doğrudan doğrusal ilişkiyi ölçer.

4

Elde edilen verilerle kovaryans hesaplanır ve sonuç yorumlanır.

Cov(X,Y) = 0 - (0 \times 0) = 0

.

X

ve

Y

doğrusal olarak ilişkisizdir, ancak 2. adımda kanıtlandığı üzere birbirlerine bağımlıdır.

Sıfır kovaryans bağımsızlığı garanti etmez; bu problem klasik bir 'ilişkisiz fakat bağımlı' değişken örneğidir.

Anahtar Kavram

Rastgele değişkenlerde destek kümesinin (tanım bölgesinin) dikdörtgensel olmamasının mutlak bağımlılık yaratması ve sıfır kovaryansın bağımsızlık garantisi vermemesi.

Soru 22Soru →

Bir ekosistem çalışmasında, su kalitesini belirleyen üç farklı ölçüm sırasıyla $X_1, X_2$ ve $X_3$ rassal değişkenleri ile ifade edilmektedir. Bu değişkenlerin ortak dağılımı, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ olan üç değişkenli normal dağılıma sahiptir:

\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 20 \\ 50 \\ 15 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 9 & 3 & -2 \\ 3 & 16 & 4 \\ -2 & 4 & 25 \end{bmatrix}

Su kalitesini tek bir skorla değerlendirmek için $W = 2X_1 - X_2 + X_3$ formülüyle hesaplanan bir indeks kullanılmaktadır.

Buna göre, $W$ indeksinin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

N(5, 49)

N(5, 77)

N(5, 63)

N(5, 105)

N(105, 89)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $N(5, 49)$

Cevap

W

indeksi ortalaması

5

ve varyansı

49

olan

N(5, 49)

dağılımına sahiptir.

Çok değişkenli normal vektörlerin doğrusal kombinasyonları da normal dağılıma sahiptir. İndeks formülü

W = 2X_1 - X_2 + X_3

olduğuna göre; beklenen değer doğrusal olarak

E[W] = 2(20) - 50 + 15 = 5

bulunur. Varyans ise matris formülü

\mathbf{a}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{a}

veya genişletilmiş denklem ile

Var(W) = 4(9) + 1(16) + 1(25) + 2[ -2(3) - 2(2) - 1(4) ] = 77 + 2[-14] = 49

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

W

değişkeninin beklenen değerini hesaplayın.

E[W] = 2E[X_1] - E[X_2] + E[X_3] = 2(20) - 50 + 15 = 40 - 50 + 15 = 5

Beklenen değer operatörü doğrusaldır ve sabit katsayılar dışarı alınabilir.

2

Doğrusal kombinasyonun varyans formülünü yazın.

Var(W) = a_1^2 Var(X_1) + a_2^2 Var(X_2) + a_3^2 Var(X_3) + 2a_1 a_2 Cov(X_1,X_2) + 2a_1 a_3 Cov(X_1,X_3) + 2a_2 a_3 Cov(X_2,X_3)

Çok değişkenli dağılımlarda varyans hesaplanırken hem bireysel varyanslar hem de değişkenler arası kovaryanslar katsayılarla birlikte dikkate alınmalıdır.

3

Matristeki değerleri varyans formülüne yerleştirin.

Var(W) = (2)^2(9) + (-1)^2(16) + (1)^2(25) + 2[ (2)(-1)(3) + (2)(1)(-2) + (-1)(1)(4) ]

Matrisin köşegen elemanları varyansları, köşegen dışı elemanları kovaryansları verir.

a_1=2, a_2=-1, a_3=1

katsayıları yerlerine konur.

4

Varyans matematiksel işlemini tamamlayın.

Var(W) = 36 + 16 + 25 + 2[ -6 - 4 - 4 ] = 77 + 2[-14] = 77 - 28 = 49

Toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak

W

'nin varyansı elde edilir.

5

Sonuç dağılımını belirleyin.

W \sim N(5, 49)

Çok değişkenli normal dağılımın herhangi bir doğrusal kombinasyonu da normal dağıldığı için sonuç parametreleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal kombinasyonların (linear combination) dağılım özellikleri

Soru 23Soru →

Bir siber güvenlik merkezinde gerçekleşen ağ saldırılarında, saldırının başlamasından tespit edilmesine kadar geçen süre ( $X$ saat) ile saldırının başlamasından tamamen kontrol altına alınmasına kadar geçen süre ( $Y$ saat) sürekli rastgele değişkenler olarak modellenmektedir.

Saldırının kontrol altına alınması için önce tespit edilmesi gerektiğinden her zaman $X < Y$ eşitsizliği sağlanmaktadır. Bu iki değişkene ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, saldırının tespit edilme süresine ( $X$ ) ait marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

4x - 4x^3, \quad 0 < x < 1

4x^3, \quad 0 < x < 1

4x, \quad 0 < x < 1

2x, \quad 0 < x < 1

4x(1-x)^2, \quad 0 < x < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4x - 4x^3, \quad 0 < x < 1$

Cevap

Saldırının tespit edilme süresine ait marjinal dağılım fonksiyonu

4x - 4x^3, \quad 0 < x < 1

şeklindedir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan

X

'in marjinal dağılımını elde etmek için

y

'ye göre integral alınmalıdır. Tanım bölgesi olan

0 < x < y < 1

eşitsizliğine göre, sınırlandırılmış alanda

y

'nin değer aralığı

x

ile

1

arasındadır. Bu nedenle hesaplama

f_X(x) = \int_{x}^{1} 8xy \, dy

şeklinde olmalıdır. İntegral alındığında

8x(y^2/2)

elde edilir ve sınırlar yerine konduğunda sonuç

4x(1^2 - x^2) = 4x - 4x^3

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu olan

f_X(x)

'i bulmak için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

y

'ye göre integralini alacağımızı belirlemek.

f_X(x) = \int f(x,y) \, dy

Bir değişkenin marjinal dağılımı, ortak dağılım üzerinden diğer değişkenin (veya değişkenlerin) kendi aralığında entegre edilmesiyle (toplanması/integralinin alınması) bulunur.

2

İntegralin sınırlarını belirlemek.

Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge

0 < x < y < 1

olduğundan, sabit bir

x

değeri için

y

'nin alabileceği değerler

x

'ten başlar ve

1

'de biter. İntegral sınırları

y = x

'ten

y = 1

'e kadardır.

Marjinal dağılım hesaplanırken, integralin sınırları değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu ortak tanım aralığından (bölgeden) çıkarılmalıdır. Eğer sadece 0'dan 1'e kadar alınsaydı eşitsizlik kısıtı ihlal edilmiş olurdu.

3

Belirlenen sınırlar ile integrali hesaplamak.

f_X(x) = \int_{x}^{1} 8xy \, dy = 8x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x}^{1}

x

bir sabit gibi düşünülerek

y

değişkenine göre genel integral kuralları uygulanır.

4

İntegral sınırlarını yerine koyarak fonksiyonu son haline getirmek.

f_X(x) = 4x (1^2 - x^2) = 4x - 4x^3

Belirli integral sınırları işlemde yerine yazılarak sadeleştirme tamamlanır ve

X

'in kendi tanım aralığında (

0 < x < 1

) marjinal dağılımı elde edilir.

Anahtar Kavram

Marjinal Olasılık Dağılımları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 24Soru →

Bir yenilenebilir enerji tesisinde, güneş panellerinden elde edilen günlük enerji üretim verimliliği $X$ ve rüzgar türbinlerinden elde edilen üretim verimliliği $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Her iki verimlilik değeri de $0$ ile $1$ arasında oranlar olarak ifade edilmektedir.

Bu değişkenlere ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} x + \frac{3}{2}y^2, & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bu iki enerji kaynağının verimlilik oranlarının ortak beklenen değeri (çarpımlarının beklenen değeri), $E[XY]$ , aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{1}{96}

\frac{17}{48}

\frac{35}{96}

\frac{7}{12}

\frac{5}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{48}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{17}{48}

değeridir.

Ortak beklenen değer (

E[XY]

), değişkenlerin çarpımının olasılık yoğunluk fonksiyonuyla çarpılarak değişkenlerin tanımlı olduğu aralıklarda integre edilmesiyle bulunur. Bu işlem çift katlı integral kuralına göre adım adım yapıldığında, sonuç

\frac{17}{48}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak beklenen değer tanımını oluştur

E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy \cdot f(x,y) dx dy

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda beklenen değer hesabı, ilgilenilen fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çarpılarak tüm tanım aralığında integralleri alınarak yapılır.

2

Fonksiyonu integral içine yerleştir ve dağıt

E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy \left(x + \frac{3}{2}y^2\right) dx dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left(x^2y + \frac{3}{2}xy^3\right) dx dy

İntegrali alabilmek için cebirsel ifadeyi basit terimler haline getirmek gerekir.

3

İçteki integrali

x

'e göre çöz (ve

y

'yi sabit kabul et)

\int_{0}^{1} \left(x^2y + \frac{3}{2}xy^3\right) dx = \left[ \frac{x^3}{3}y + \frac{3}{4}x^2y^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}y + \frac{3}{4}y^3

Çok katlı integrallerde içeriden dışarıya doğru sırayla integral alınır.

4

Dıştaki integrali

y

'ye göre çöz

\int_{0}^{1} \left(\frac{1}{3}y + \frac{3}{4}y^3\right) dy = \left[ \frac{y^2}{6} + \frac{3}{16}y^4 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} + \frac{3}{16}

Kalan tek değişkenli ifade integrallenerek kesin beklenen değer sonucuna ulaşılır.

5

Kesirleri topla ve sonucu sadeleştir

\frac{1}{6} + \frac{3}{16} = \frac{8}{48} + \frac{9}{48} = \frac{17}{48}

Payda eşitlemesi yapılarak nihai matematiksel değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak Beklenen Değer

İpuçları

1

E[XY]

değerini bulmak için genel tanım gereği

\int \int xy \cdot f(x,y) dx dy

işlemini yapmalısınız.

2

İç integralde dağıtma işlemini uyguladığınızda

\int_0^1 (x^2y + \frac{3}{2}xy^3) dx

ifadesini elde edip, bunu

x

'e göre çözmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Bu iki rastgele değişkenin kovaryansını bularak, aralarındaki lineer ilişkinin yönünü analiz ediniz.

Alternatif Yöntem

Önce marjinal olasılık fonksiyonları olan

f_X(x)

ve

f_Y(y)

'yi bularak değişkenlerin bağımsız olup olmadığını test edebilirsiniz. Bağımlı olduklarını (yani

f(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)

) gördüğünüzde, mecburen tanıma dönüp çift katlı integrali almanız gerektiğini teyit edersiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 25Soru →

Bir psikometrik araştırmada, bireylerin sözel ( $X$ ), sayısal ( $Y$ ) ve soyut düşünme ( $Z$ ) beceri puanları ortak çok değişkenli normal dağılıma sahiptir. Yapılan analiz sonucunda bu puanların beklenen değerleri sırasıyla 60, 50 ve 55 olarak bulunmuştur. Değişkenlerin varyansları sırasıyla $Var(X)=100$ , $Var(Y)=64$ , $Var(Z)=81$ ve aralarındaki kovaryans değerleri $Cov(X,Y)=40$ , $Cov(X,Z)=20$ , $Cov(Y,Z)=16$ olarak elde edilmiştir.

Bireylerin genel yetenek puanı $G = X + 2Y - Z$ doğrusal kombinasyonu ile tanımlandığına göre, $G$ rastgele değişkeninin varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

397

437

465

493

701

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 493

Cevap

493

Verilen

G = X + 2Y - Z

doğrusal kombinasyonu için varyans

Var(G) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + c^2Var(Z) + 2abCov(X,Y) + 2acCov(X,Z) + 2bcCov(Y,Z)

genel formülü ile bulunur. Burada

a=1

,

b=2

ve

c=-1

değerleri ve soruda verilen istatistikler yerine konduğunda:

Var(G) = 1^2(100) + 2^2(64) + (-1)^2(81) + 2(1)(2)(40) + 2(1)(-1)(20) + 2(2)(-1)(16)

denklemi elde edilir. Bu işlem çözüldüğünde

100 + 256 + 81 + 160 - 40 - 64 = 437 + 56 = 493

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusal kombinasyonun varyans formülünün yazılması.

Var(aX + bY + cZ) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + c^2Var(Z) + 2abCov(X,Y) + 2acCov(X,Z) + 2bcCov(Y,Z)

eşitliği tanımlanır.

Çok değişkenli dağılımlarda birden fazla rastgele değişkenin doğrusal kombinasyonunun varyansı, değişkenlerin kendi varyansları ile aralarındaki kovaryansların ağırlıklı toplamına eşittir.

2

G fonksiyonundaki katsayıların belirlenerek formüle uyarlanması.

G = X + 2Y - Z

için katsayılar

a=1

,

b=2

,

c=-1

şeklindedir. Formül:

Var(G) = 1^2Var(X) + 2^2Var(Y) + (-1)^2Var(Z) + 2(1)(2)Cov(X,Y) + 2(1)(-1)Cov(X,Z) + 2(2)(-1)Cov(Y,Z)

olur.

Varyans hesabında katsayıların karesi alınırken, kovaryans hesabında katsayıların kendileri doğrudan birbirleriyle ve 2 ile çarpılır.

3

Sayısal değerlerin formülde yerine konulup hesaplanması.

Var(G) = 100 + 4(64) + 1(81) + 4(40) - 2(20) - 4(16)

işlemi yapılır.

Soruda verilen varyans ve kovaryans değerleri açık formüldeki yerlerine yerleştirilir.

4

Matematiksel işlemlerin tamamlanması.

Var(G) = 100 + 256 + 81 + 160 - 40 - 64 = 437 + 56 = 493

sonucuna ulaşılır.

Doğrusal kombinasyonun toplam varyansı nihai olarak hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda doğrusal kombinasyonların varyansı

Soru 26Soru →

Bir meteoroloji istasyonunda incelenen iki iklimsel değişken olan bulutluluk oranı ( $X$ ) ve bağıl nem oranı ( $Y$ ), sürekli rastgele değişkenler olarak modellenmiştir. Bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{5}{2}y, & 0 < x < 1 \text{ ve } x^2 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bağıl nem oranının ( $Y$ ) marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu, $f_Y(y)$ , aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{5}{2} y^{3/2}, \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = \frac{5}{2} y, \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = \frac{5}{4} (1 - y^4), \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = \frac{5}{2} (y - y^3), \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = \frac{5}{2} y^2, \quad 0 < y < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = \frac{5}{2} y^{3/2}, \quad 0 < y < 1$

Cevap

Bağıl nem oranının marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{5}{2} y^{3/2}, \quad 0 < y < 1

şeklindedir.

Bağıl nem oranının (

Y

) marjinal dağılımını bulmak için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulutluluk oranı (

X

) üzerinden integrali alınmalıdır. İntegral bölgesi

0 < x < 1

ve

x^2 < y < 1

eşitsizlikleriyle tanımlanmıştır. Bu bölgede belirli bir

y

değeri için

x

'in değişim aralığı

0 < x < \sqrt{y}

olmaktadır.

f(x,y) = \frac{5}{2}y

ifadesinin

x

değişkenine göre

0

'dan

\sqrt{y}

'ye kadar integrali alındığında sonuç

\frac{5}{2}y \cdot \sqrt{y} = \frac{5}{2}y^{3/2}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen tanımlım bölgesindeki eşitsizlikleri kullanarak

X

'in entegrasyon sınırlarını

Y

cinsinden ifade etme.

Tanım bölgesi

0 < x < 1

ve

x^2 < y < 1

olarak verilmiştir.

Y

'nin belirli bir değeri için

X

'in alt sınırı

0

, üst sınırı ise

x^2 < y \implies x < \sqrt{y}

eşitsizliğinden dolayı

\sqrt{y}

olur.

Bir marjinal fonksiyonu elde etmek için diğer değişken üzerinden doğru sınırlar kullanılarak entegral alınması zorunludur.

2

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak için

X

'e göre entegral formülünü kurma.

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \,dx = \int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{5}{2}y \,dx

Marjinal dağılımlar, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun istenmeyen değişkenin tüm tanım aralığı üzerinden entegre edilmesiyle bulunur.

3

Belirli entegrali hesaplama.

\int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{5}{2}y \,dx = \frac{5}{2}y \cdot [x]_{0}^{\sqrt{y}} = \frac{5}{2}y (\sqrt{y} - 0) = \frac{5}{2}y^{3/2}

Entegral çözülerek aranan nihai marjinal yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır. Sınırlar

0 < y < 1

olarak korunur.

Anahtar Kavram

Sürekli Çok Değişkenli Dağılımlarda Marjinal Olasılık

Soru 27Soru →

Bir üretim tesisinde iki farklı sensörden alınan $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerine ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-(x+y)}, & 0 \leq x \leq y < \infty \\\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu iki rastgele değişkenin özellikleri ve bağımsızlık durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Fonksiyon

f(x,y) = (2e^{-x})(e^{-y})

şeklinde

x

ve

y

'nin bağımsız fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabildiği için, sınır kısıtlamalarına bakılmaksızın bu değişkenler birbirinden bağımsızdır.

X

'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_X(x)

elde etmek için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

y

değişkenine göre integrali

0

'dan

\infty

'a kadar hesaplanmalıdır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu çarpanlarına ayrılabilir formda olsa da, değişkenlerin tanımlı olduğu

0 \leq x \leq y

bölgesi bir dikdörtgen oluşturmadığından

X

ve

Y

bağımsız değildir.

X

ve

Y

değişkenleri sürekli olduğundan, bağımsızlık durumlarına bakılmaksızın iki değişkenin çarpımının beklenen değeri için daima

E[XY] = E[X]E[Y]

eşitliği sağlanır.

Eğer bu iki değişkenin hesaplanan kovaryans değeri sıfır (

Cov(X,Y)=0

) çıkarsa, tanımlı oldukları

x \leq y

kısıtlamasına rağmen bu değişkenlerin kesinlikle bağımsız olduğu ispatlanmış olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu çarpanlarına ayrılabilir formda olsa da, değişkenlerin tanımlı olduğu $0 \leq x \leq y$ bölgesi bir dikdörtgen oluşturmadığından $X$ ve $Y$ bağımsız değildir.

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu çarpanlarına ayrılabilir formda olsa da, değişkenlerin tanımlı olduğu

0 \leq x \leq y

bölgesi bir dikdörtgen oluşturmadığından

X

ve

Y

bağımsız değildir.

Sürekli iki rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun her noktada

f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

şartını sağlaması gerekir. Bu durum, yalnızca fonksiyon kuralının çarpanlarına ayrılabilmesini değil, aynı zamanda değişkenlerin tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesinin) kartezyen bir çarpım (bir dikdörtgen bölge) olmasını da zorunlu kılar. Sorudaki

0 \leq x \leq y < \infty

eşitsizliğinde

Y

'nin alabileceği en küçük değer

X

'e bağlıdır. Sınırlar birbirine bağlı olduğundan bölge kartezyen çarpım özelliği taşımaz ve bu yüzden iki değişken bağımlı olarak nitelendirilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun kuralını bağımsızlık açısından değerlendirme.

f(x,y)

kuralı

2e^{-x} \cdot e^{-y}

şeklinde

x

ve

y

'ye ait terimlerin çarpımı şeklinde ayrıştırılabilmektedir.

Bağımsızlığın ilk aşaması fonksiyon kuralının

g(x)h(y)

şeklinde ayrılıp ayrılamadığını kontrol etmektir.

2

Değişkenlerin tanımlı olduğu bölgeyi (destek kümesini) inceleme.

Verilen eşitsizlikte

0 \leq x \leq y < \infty

şartı bulunmaktadır. Bu durum

Y

değişkeninin alacağı değerlerin alt sınırının,

X

değişkeninin aldığı değere bağlı olduğunu gösterir.

Bağımsızlık şartı sadece fonksiyon kuralı için değil, aynı zamanda olayın tanımlı olduğu durum uzayı (sınırlar) için de geçerli olmalıdır.

3

Sınır bağımlılığının istatistiksel sonuca olan etkisini belirleme.

Destek kümesi sınırları birbirine bağlı olduğundan, söz konusu bölge

X

ve

Y

'nin ayrı ayrı alabileceği aralıkların kartezyen bir çarpımı (dikdörtgen bölge) değildir.

Destek kümesi kartezyen çarpım olmayan ortak dağılımlarda, marjinal fonksiyonların çarpımı ortak yoğunluk fonksiyonunu vermeyeceği için değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Bağımsızlık ve Destek Kümesi Şartı

Soru 28Soru →

Bir sistemin iki farklı sensöründen elde edilen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenlerinin birbirleriyle olan bağımlılık durumu ve aralarındaki kovaryans ( $Cov(X,Y)$ ) değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Bağımsızdır ve

Cov(X,Y) = 0

'dır.

Bağımlıdır ve

Cov(X,Y) = \frac{1}{\pi}

'dir.

Bağımlıdır ve

Cov(X,Y) = 0

'dır.

Bağımsızdır ve

Cov(X,Y) = \frac{1}{\pi}

'dir.

Bağımlıdır ve

Cov(X,Y) = 1

'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bağımlıdır ve $Cov(X,Y) = 0$ 'dır.

Cevap

Değişkenlerin tanımlı olduğu bölge dairesel bir alan olduğundan X ve Y bağımlıdır. Ancak alan orijine göre simetrik olduğu için beklenen değerler sıfırlanır ve kovaryans 0 bulunur.

Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge (

x^2 + y^2 \leq 1

) nedeniyle

X

ve

Y

'nin sınırları birbirine bağlıdır, bu yüzden değişkenler bağımlıdır. Bununla birlikte, dağılım bölgesinin orijine göre simetrik bir daire olması sebebiyle

E[X]

,

E[Y]

ve

E[XY]

beklenen değerleri sıfır olur. Bu matematiksel gerçekler bizi

Cov(X,Y) = 0

olduğu ancak değişkenlerin bağımlı olduğu sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Bağımsızlık durumunun incelenmesi.

Değişkenlerin tanımlı olduğu alan

x^2 + y^2 \leq 1

çembersel bir bölge olduğundan, marjinal sınırları birbirine bağlıdır (

Y

'nin alabileceği değerler

X

'e göre değişir). Ortak tanım kümesi bir kartezyen çarpım (dikdörtgen) olmadığı için

X

ve

Y

bağımlıdır.

Bağımsız değişkenlerin ortak tanımlı oldukları bölge, sınırları sabitten oluşan bir dikdörtgen bölge olmak zorundadır.

2

E[X]

ve

E[Y]

değerlerinin hesaplanması.

E[X] = 0

ve

E[Y] = 0

.

Ortak dağılım bölgesi ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

x

ve

y

eksenlerine göre simetriktir. Değişkenlerin kendisi tek fonksiyon olduğundan simetrik bölgedeki integralleri sıfıra eşittir.

3

E[XY]

değerinin hesaplanması.

E[XY] = 0

.

xy

çarpımı da eksenlerin her ikisine göre tek fonksiyon karakteri taşır. Dört bölgenin (çeyrek daireler) alanları eşit ve işaretleri birbirini götürecek şekilde dağıldığından toplam integral sıfır olur.

4

Kovaryansın hesaplanması.

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - (0 \times 0) = 0

.

Kovaryans tanım formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Bağımlı olan iki rastgele değişkenin arasındaki ilişkinin doğrusal olmaması durumunda (örneğin dairesel bir ilişki) kovaryanslarının ve korelasyonlarının sıfır çıkabilmesi kuralı.

Alternatif Yöntem

Matematiksel tanım gereği

f_X(x)

ve

f_Y(y)

marjinal yoğunluk fonksiyonları ayrı ayrı hesaplanarak,

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

eşitliğinin sağlanmadığı doğrudan gösterilebilir. Ancak tanım bölgesinin çember yapısı gereği hiçbir işlem yapmadan sınır koşullarından bağımlılık analizi yapmak zamandan tasarruf sağlar.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 29Soru →

Bir üretim sürecinde, bir ürünün yalnızca montaj hattında geçen süresi $X$ (saat) ve ürünün paketleme dâhil tüm işlemlerinin tamamlanması için geçen toplam süre $Y$ (saat) sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. İşlem akışı gereği toplam sürenin, montaj süresinden daha az olamayacağı ( $0 \le X \le Y$ ) bilinmektedir.

$X$ ve $Y$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x, y) = \begin{cases} c \cdot x \cdot y & 0 \leq x \leq y \leq 2 \\ 0 & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir ürünün toplam işlem süresinin 1 saatten az olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{32}

\frac{1}{16}

\frac{1}{8}

\frac{7}{16}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{16}$

Cevap

Rastgele seçilen bir ürünün toplam işlem süresinin 1 saatten az olma olasılığı

\frac{1}{16}

'dır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm tanımlı bölge üzerinden integrali 1 olmalıdır. Verilen bölge

0 \le x \le y \le 2

olduğu için,

x

değişkeninin alt sınırı

0

, üst sınırı ise

y

olacak;

y

'nin de alt sınırı

0

, üst sınırı

2

olacak şekilde çift katlı integral kurulur.

1 = \int_0^2 \int_0^y c \cdot x \cdot y \, dx \, dy = \int_0^2 c \cdot y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y \, dy = \int_0^2 \frac{c}{2} y^3 \, dy = \frac{c}{2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^2 = 2c \implies c = \frac{1}{2}

Ürünün toplam işlem süresinin 1 saatten az olma olasılığı, yani

P(Y \le 1)

hesaplanırken, genel tanım kümesi olan

0 \le x \le y

koşulu ile

Y \le 1

birleştirildiğinde entegre edilecek bölge

0 \le x \le y \le 1

haline gelir.

P(Y \le 1) = \int_0^1 \int_0^y \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \, dx \, dy

Öncelikle içteki integrali çözersek:

\int_0^y \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \, dx = \frac{1}{2} y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y = \frac{1}{4} y^3

Bulunan bu sonucu dıştaki y integraline uygularsak:

\int_0^1 \frac{1}{4} y^3 \, dy = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{16}

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun özelliğini kullanarak bilinmeyen

c

sabitini hesaplamak.

c = \frac{1}{2}

bulunur.

Tüm uzay üzerindeki toplam olasılığın 1'e eşit olması gerektiğinden,

\int \int f(x,y) dx dy = 1

eşitliği çözülmelidir. Verilen

0 \le x \le y \le 2

kısıtıyla doğru sınırlar belirlenir.

2

İstenen olasılık durumu olan

P(Y \le 1)

için çift katlı integralin sınırlarını tespit etmek.

İntegral sınırları;

x

için

0

'dan

y

'ye,

y

için ise

0

'dan

1

'e olarak ayarlanır.

Genel tanım aralığı ile

Y \le 1

koşulu kesiştirildiğinde, geçerli yeni bölge

0 \le x \le y \le 1

üçgensel bölgesi olur.

3

Tespit edilen sınırlar üzerinden çift katlı integrali alarak toplam olasılık değerini hesaplamak.

İntegral işlemleri sonucunda olasılık

\frac{1}{16}

çıkar.

Oluşturulan

\int_0^1 \int_0^y \frac{1}{2} x y \, dx \, dy

integrali adım adım integre edilir.

Anahtar Kavram

İki sürekli rastgele değişkenin ortak olasılık dağılımında, değişkenler birbirine bağımlı eşitsizlik sınırları içerdiğinde doğru bölge çiziminin yapılması ve sınırların çift katlı integrallerde doğru kurgulanması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 30Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğüne yapılan maluliyet emekliliği başvuruları incelendikten sonra üç farklı durumdan birine ayrılmaktadır:

- Durum 1: Doğrudan reddedilenler (Olasılık: $0,20$ )
- Durum 2: Ek sağlık kurulu raporu istenenler (Olasılık: $0,30$ )
- Durum 3: Onaylananlar (Olasılık: $0,50$ )

Her bir dosyanın durumu diğerlerinden bağımsız olarak belirlenmektedir. Rastgele seçilen

100

dosyalık bir partide, Durum 1'e ayrılan dosya sayısı

X_1

ve Durum 2'ye ayrılan dosya sayısı

X_2

ile gösterilmektedir. Kurumun iş süreçlerini modellemek için kullandığı "İş Yükü Endeksi" (

W

),

W = 4X_1 + 3X_2

formülü ile tanımlanmıştır.

Buna göre, $W$ endeksinin varyansı ( $Var(W)$ ) kaçtır?

115

373

301

445

589

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 301

Cevap

İş Yükü Endeksinin varyansı 301'dir.

Doğru hesaplamada, multinomiyal dağılımın özellikleri kullanılarak

Var(X_1)

ve

Var(X_2)

değerleri

n \cdot p_i \cdot (1-p_i)

formülüyle sırasıyla

16

ve

21

olarak bulunur. Bu iki değişken arasındaki bağımlılığı gösteren negatif kovaryans değeri

-n \cdot p_1 \cdot p_2 = -6

olarak tespit edilir. Son olarak

Var(4X_1+3X_2) = 16Var(X_1) + 9Var(X_2) + 24Cov(X_1,X_2)

doğrusal dönüşüm kuralı eksiksiz uygulanarak sonuç

256 + 189 - 144 = 301

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve parametreleri belirleme

Dağılım: Multinomiyal. Parametreler:

n = 100

,

p_1 = 0,20

,

p_2 = 0,30

,

p_3 = 0,50

.

Sorudaki dosyalar belirli olasılıklarla kategorilere ayrılmaktadır ve toplam dosya sayısı sabittir.

2

X_1

ve

X_2

için marjinal varyansları hesaplama

Var(X_1) = 16

ve

Var(X_2) = 21

Multinomiyal dağılımda her bir kategorinin frekansı binom dağılımına uyar.

Var(X_i) = n \cdot p_i \cdot (1 - p_i)

kuralı uygulanır.

Var(X_1) = 100 \cdot 0,20 \cdot 0,80 = 16

ve

Var(X_2) = 100 \cdot 0,30 \cdot 0,70 = 21

bulunur.

3

X_1

ve

X_2

arasındaki kovaryansı hesaplama

Cov(X_1, X_2) = -6

Aynı örneklem içinde bir kategoriye düşen eleman sayısı arttıkça diğerlerine kalan eleman sayısı azalacağından, aralarında negatif bir ilişki vardır.

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

formülü ile

Cov(X_1, X_2) = -100 \cdot 0,20 \cdot 0,30 = -6

elde edilir.

4

Doğrusal kombinasyonun varyans formülünü (

Var(W)

) uygulama

Var(4X_1 + 3X_2) = 16 \cdot Var(X_1) + 9 \cdot Var(X_2) + 24 \cdot Cov(X_1, X_2)

Var(aX + bY) = a^2 \cdot Var(X) + b^2 \cdot Var(Y) + 2ab \cdot Cov(X, Y)

genel özelliği kullanılır.

5

Bulunan değerleri formülde yerine koyma

16(16) + 9(21) + 24(-6) = 256 + 189 - 144 = 301

Hesaplanan varyans ve kovaryans değerleri kullanılarak son matematiksel işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Multinomiyal dağılımda marjinal varyanslar ve değişkenler arası bağımlılığı (kovaryans) kullanarak doğrusal dönüşüm varyansını hesaplama.

Soru 31Soru →

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri, $(0,1)$ aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir.

Yeni rastgele değişkenler

U

ve

V

,

U = XY

V = \frac{Y}{X}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre, $U$ ve $V$ 'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ ve tanımlı olduğu bölge aşağıdakilerden hangisidir?

g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

g(u,v) = 2v, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

g(u,v) = 1, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad 0 < u < 1, \ v > 0

g(u,v) = 2v, \quad 0 < u < 1, \ v > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$

Cevap

Dönüşüm sonucunda ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

g(u,v) = \frac{1}{2v}

ve tanımlı olduğu bölge

v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

olarak bulunur.

Verilen iki rastgele değişkenin

(0,1)

aralığında düzgün dağılması ortak olasılık fonksiyonunu

1

yapar. Ters dönüşümlerle Jakobiyen determinantı (

|J|

) hesaplandığında

\frac{1}{2v}

elde edilir. Yeni bölgesel sınırlar belirlenirken, eski değişkenlerin

(0,1)

arasındaki kısıtlamaları yeni değişkenlerin üzerinde eşzamanlı olarak sağlanmalıdır. Bu sebeple hem

u < v

hem de

u < 1/v

şartları birleşerek

0 < u < \min(v, \frac{1}{v})

ortak destek bölgesini oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirlemek.

f(x,y) = 1

,

0 < x < 1

ve

0 < y < 1

Değişkenler

(0,1)

aralığında bağımsız düzgün (uniform) dağıldığı için, ortak yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunlukların (

f(x)=1, f(y)=1

) çarpımına eşittir.

2

U

ve

V

dönüşümlerinden

x

ve

y

'yi çekerek ters dönüşümleri bulmak.

x = \sqrt{\frac{u}{v}}

ve

y = \sqrt{uv}

Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplayabilmek ve fonksiyon sınırlarını yeni değişkenlere adapte edebilmek için

x

ve

y

'nin

u

ve

v

cinsinden ifade edilmesi zorunludur.

3

Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplamak.

|J| = \left| \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} \right| = \left| \left(\frac{1}{2\sqrt{uv}}\right)\left(\frac{u}{2\sqrt{uv}}\right) - \left(-\frac{u}{2v\sqrt{uv}}\right)\left(\frac{v}{2\sqrt{uv}}\right) \right| = \left| \frac{1}{4v} + \frac{1}{4v} \right| = \frac{1}{2v}

Çok değişkenli olasılık dönüşüm teoremi gereği, yeni uzaydaki alan ölçeklemesini telafi etmek için bu çarpan gereklidir.

4

Dönüşüm formülünü uygulayarak yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

g(u,v)

) elde etmek.

g(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{2v} = \frac{1}{2v}

Orijinal fonksiyon

1

'e eşit olduğu için, yeni fonksiyon doğrudan Jakobiyen determinantının mutlak değerine eşittir.

5

U

ve

V

için sınırları (tanımlı olduğu bölgeyi) belirlemek.

0 < x < 1 \implies 0 < \sqrt{\frac{u}{v}} < 1 \implies u < v

0 < y < 1 \implies 0 < \sqrt{uv} < 1 \implies uv < 1 \implies u < \frac{1}{v}

Her ikisi de pozitif olduğundan

u > 0, v > 0

olmalıdır. Sonuç:

v > 0

için

0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

Yeni değişkenler eski değişkenlerin eşitsizlik kurallarına tabi kalmak zorundadır. Ortak sağlanan kesişim bölgesi yeni değişkenlerin sınırlarını oluşturur.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Jakobiyen

Soru 32Soru →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x, y) = \begin{cases} c \cdot x, & 0 < x < y < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $P(X < 1 \text{ ve } Y > 1)$ olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{3}{8}

\frac{1}{2}

\frac{7}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{8}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{3}{8}

değeridir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarında geçerlilik şartı, tüm tanım bölgesi üzerindeki toplam hacmin 1 olmasıdır.

0 < x < y < 2

üçgensel bölgesinde integral alınarak bilinmeyen

c

sabiti

\frac{3}{4}

olarak bulunur. Soruda istenen

P(X < 1, Y > 1)

olasılığı,

0 < x < 1

ve

1 < y < 2

dikdörtgensel alt bölgesine denk gelmektedir. Bu bölgede

\frac{3}{4}x

fonksiyonunun çift katlı integrali alındığında sonuç

\frac{3}{8}

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun altında kalan toplam hacmin 1'e eşit olmasını kullanarak

c

sabitini bulunuz.

\int_0^2 \int_0^y c \cdot x \, dx \, dy = 1 \implies \int_0^2 c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y \, dy = \int_0^2 c \frac{y^2}{2} \, dy = c \left[ \frac{y^3}{6} \right]_0^2 = c \frac{8}{6} = 1 \implies c = \frac{3}{4}

Geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için tüm tanım kümesi üzerindeki çift katlı integralinin 1 olması gerekir.

2

İstenen

P(X < 1 \text{ ve } Y > 1)

olasılığı için entegrasyon sınırlarını belirleyiniz.

Ana tanım bölgesi

0 < X < Y < 2

şartıdır. Sorulan koşullar

X < 1

ve

Y > 1

olduğundan, bu ikisinin kesişimi

0 < X < 1

ve

1 < Y < 2

bölgesidir. Bu aralıkta

X < Y

şartı doğal olarak sağlandığı için sınırlar bağımsızlaşır.

Çift katlı integrali doğru kurabilmek için olay bölgesinin ortak tanım kümesi içindeki sınırlarının netleştirilmesi gerekir.

3

Belirlenen sınırlar üzerinde olasılığı hesaplamak için integrali alınız.

P(X < 1, Y > 1) = \int_1^2 \int_0^1 \frac{3}{4} x \, dx \, dy = \int_1^2 \frac{3}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \, dy = \int_1^2 \frac{3}{8} \, dy = \frac{3}{8} \left[ y \right]_1^2 = \frac{3}{8}(2 - 1) = \frac{3}{8}

Kesin olasılık değeri, olasılık yoğunluk fonksiyonunun hedef olay bölgesindeki hacmidir.

Anahtar Kavram

Sürekli Çok Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ve Olasılık Hesabı

Soru 33Soru →

Bir orman ekosistemi araştırmasında, belirli bir ağaç türünün kök gelişim endeksi ( $X$ ) ile aynı dönemdeki gövde su tutma kapasitesi ( $Y$ ) arasındaki ilişki modellenmektedir. Yapılan istatistiksel analizler sonucunda, bu iki sürekli rastgele değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{3}{4}, & -1 < x < 1 \text{ ve } x^2 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olarak belirlenmiştir.

Bu olasılık modeline göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı ve aralarındaki ilişki durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Değişkenlerin kovaryansı sıfır olmasına rağmen, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesi dikdörtgensel bir bölge oluşturmadığı için

X

ve

Y

bağımlı değişkenlerdir.

Kovaryans değeri sıfır olarak hesaplandığından dolayı,

X

ve

Y

aralarında hiçbir ilişki bulunmayan istatistiksel olarak tam bağımsız değişkenlerdir.

X

ve

Y

'nin bağımsız olabilmesi için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının toplamının ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna eşit olması gerekir, bu sağlanmadığı için değişkenler bağımlıdır.

Değişkenler bağımlı olduğu için beklenen değerin özellikleri gereği

E[XY] \neq E[X]E[Y]

eşitsizliği kesinlikle geçerlidir ve kovaryans sıfırdan farklıdır.

X

değişkeninin negatif ve pozitif değerleri de kapsayan aralığı,

X

ve

Y

değişkenlerinin örnek uzayda ayrık olaylar oluşturduğunu ve dolayısıyla bağımsız olduklarını gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Değişkenlerin kovaryansı sıfır olmasına rağmen, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesi dikdörtgensel bir bölge oluşturmadığı için $X$ ve $Y$ bağımlı değişkenlerdir.

Cevap

Değişkenlerin kovaryansı sıfır olmasına rağmen destek kümesi dikdörtgensel olmadığı için bağımlıdırlar.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesi (support) sınırları incelendiğinde,

y

'nin alt sınırının

x

'e bağlı (

x^2 < y

) olduğu görülmektedir. Destek kümesinin dikdörtgensel (kartezyen çarpım şeklinde) olmaması, bu değişkenlerin istatistiksel olarak birbirine bağımlı olduğunu doğrudan kanıtlar. Aynı zamanda

E[X]=0

ve

E[XY]=0

hesaplanabildiği için kovaryansları sıfırdır. Bu durum, 'sıfır kovaryansın bağımsızlık için yeterli olmadığı' teorik kuralının geçerliliğini göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin beklenen değeri

E[X]

'in hesaplanması.

E[X] = \int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 x \frac{3}{4} dy dx = \int_{-1}^1 \frac{3}{4} x (1-x^2) dx = 0

Kovaryansı bulmak için öncelikle marjinal beklenen değerlere ihtiyaç vardır. Fonksiyon simetrik bir aralıkta tek fonksiyon olduğundan integral doğrudan sıfır sonucunu verir.

2

X

ve

Y

'nin çarpımının beklenen değeri

E[XY]

'nin hesaplanması.

E[XY] = \int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 xy \frac{3}{4} dy dx = \int_{-1}^1 \frac{3}{8} x (1-x^4) dx = 0

Kovaryansın diğer bileşeni olan

E[XY]

hesaplanır.

x(1-x^4)

ifadesi tek fonksiyon olduğu için

[-1, 1]

aralığında integral yine sıfırdır.

3

Kovaryansın hesaplanması.

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - 0 \cdot E[Y] = 0

Hesaplanan beklenen değerler formülde yerine konularak kovaryansın sıfır olduğu teyit edilir.

4

Destek kümesi (support) sınırlarının incelenerek bağımsızlığın kontrol edilmesi.

Destek kümesi sınırları

-1 < x < 1

ve

x^2 < y < 1

şeklindedir.

y

'nin alt sınırının

x

'e bağlı olması, bölgenin dikdörtgensel olmadığını gösterir.

Eğer iki değişkenin ortak tanımlı olduğu bölge (destek kümesi) bir kartezyen çarpım (dikdörtgen) oluşturmuyorsa, o iki değişken kesinlikle bağımlıdır. Çarpımsal ayrılabilirlik şartı baştan ihlal edilmiştir.

Anahtar Kavram

Sıfır Kovaryansın Bağımsızlık İçin Yeterli Olmaması ve Destek Kümesi Analizi

Soru 34Soru →

Bir endüstriyel tesiste kullanılan özel bir jeneratörün bileşenleri üzerinde yapılan bir dayanıklılık testinde, iki ardışık hata türü incelenmektedir. Jeneratörün çalışmaya başlamasından itibaren ilk küçük arızayı verme süresi $X$ (yıl) ve ilk büyük arızayı verme süresi $Y$ (yıl) olmak üzere, bu iki sürekli rastgele değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2}xy, & 0 < x < y < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, jeneratörün büyük arıza yapma süresini temsil eden $Y$ değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{y^3}{4}, \quad 0 < y < 2

y - \frac{y^3}{4}, \quad 0 < y < 2

y, \quad 0 < y < 2

\frac{y^2}{4}, \quad 0 < y < 2

\frac{y^3}{2}, \quad 0 < y < 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{y^3}{4}, \quad 0 < y < 2$

Cevap

Doğru yanıt, integral işleminin doğru sınırlarla (0'dan y'ye) yapılması sonucu elde edilen

f_Y(y) = \frac{y^3}{4}

ifadesini içeren seçenektir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu verildiğinde,

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

'yi bulmak için

f(x,y)

fonksiyonu

x

'in tanımlı olduğu bölge üzerinden integre edilmelidir. Eşitsizlikten (

0 < x < y < 2

) anlaşıldığı üzere, belirli bir

y

değeri için

x

'in sınırları

0

ile

y

arasındadır. Buna göre integral işlemi;

f_Y(y) = \int_{0}^{y} \frac{1}{2}xy \, dx = \frac{y}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{y} = \frac{y^3}{4}

olarak hesaplanır.

y

'nin tanımlı olduğu genel aralık ise

0 < y < 2

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Y

rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünü kurun.

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx

Bir değişkenin marjinal dağılımı, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun diğer değişkenin tüm olası değerleri üzerinden integre edilmesiyle bulunur.

2

Tanım kümesine (

0 < x < y < 2

) göre

x

değişkeninin alt ve üst sınırlarını belirleyin.

Belirli bir

y

değeri için,

x

'in alabileceği değerler

0

ile

y

arasındadır. İntegral sınırları

x=0

'dan

x=y

'ye olacaktır.

İntegralin sınırları, ortak dağılımın geçerli olduğu üçgensel bölgeden doğru bir şekilde çıkarılmalıdır.

3

Belirlenen sınırlar dahilinde integrali hesaplayın.

\int_{0}^{y} \frac{1}{2}xy \, dx = \frac{y}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{y} = \frac{y}{2} \left( \frac{y^2}{2} - 0 \right) = \frac{y^3}{4}

x

'e göre integral alınırken

y

sabit gibi düşünülür ve belirli integral sınırları yerine konarak marjinal fonksiyon elde edilir.

Anahtar Kavram

Marjinal Olasılık Dağılımı ve İntegral Sınırları

Soru 35Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen bölgesel kalkınma araştırmasında, iki farklı ilçenin yıllık ekonomik büyüme oranları sırasıyla $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Yapılan istatistiksel analizler sonucunda bu değişkenlerin varyansları $Var(X) = 16$ ve $Var(Y) = 9$ olarak hesaplanmış, ayrıca iki ilçe arasındaki büyüme korelasyon katsayısı $\rho_{X,Y} = 0.25$ olarak bulunmuştur.

Çalışma kapsamında, istatistiksel analizleri farklı bir boyutta incelemek amacıyla iki yeni bileşik endeks tanımlanmıştır:
• Birinci Endeks: $U = 3X + 4Y$
• İkinci Endeks: $V = 3X - 4Y$

Bu bilgilere göre, $U$ ve $V$ endeksleri arasındaki ilişkiyle (kovaryans ve bağımsızlık durumu) ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cov(U, V) = 0

'dır ve kovaryansın sıfır çıkması

U

ile

V

'nin birbirinden bağımsız değişkenler olduğunu garanti eder.

Cov(U, V) = 0

'dır ancak

U

ile

V

'nin bağımsız olup olmadığı bu bilgilerle kesin olarak söylenemez.

Cov(U, V) = 288

'dir ve bu iki endeks arasında pozitif yönlü doğrusal bir ilişki bulunmaktadır.

Cov(U, V) = 0

'dır ve bu sonuç,

U

ile

V

'nin ayrık (kesişimi boş küme olan) olaylara dayandığını ifade eder.

Cov(U, V) = 12

'dir ve bu iki endeks arasında pozitif yönlü doğrusal bir ilişki bulunmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Cov(U, V) = 0$ 'dır ancak $U$ ile $V$ 'nin bağımsız olup olmadığı bu bilgilerle kesin olarak söylenemez.

Cevap

Hesaplamalar sonucunda kovaryansın sıfır olduğu bulunur; ancak kovaryansın sıfır olması, değişkenlerin bağımsız olduğunu garanti etmediğinden bağımsızlık durumu kesin olarak söylenemez.

Kovaryansın bilineerlik özelliği kullanılarak

Cov(3X+4Y, 3X-4Y)

ifadesi açıldığında, çapraz terimler (

-12Cov(X,Y)

ve

+12Cov(X,Y)

) birbirini yok eder. Geriye

9Var(X) - 16Var(Y)

kalır. Verilen varyans değerleri yerine konulduğunda sonuç 0 çıkar. Ancak istatistik teorisinde kovaryansın (veya korelasyonun) sıfır olması, değişkenler arasında yalnızca 'doğrusal' bir ilişki olmadığını gösterir. Değişkenlerin ortak dağılımının çok değişkenli normal olduğu belirtilmedikçe, sıfır kovaryans kesinlikle bağımsızlık anlamına gelmez.

Adım Adım Çözüm

1

Cov(U, V)

ifadesini doğrusal bileşenlerine ayırarak yazın.

Cov(3X + 4Y, 3X - 4Y) = Cov(3X, 3X) + Cov(3X, -4Y) + Cov(4Y, 3X) + Cov(4Y, -4Y)

Kovaryansın bilineer (iki doğrusal) olma özelliğini kullanarak terimleri parçalamak işlemin temelidir.

2

Katsayıları dışarı çıkarın ve varyans eşitliklerini düzenleyin.

= (3)(3)Cov(X,X) + (3)(-4)Cov(X,Y) + (4)(3)Cov(Y,X) + (4)(-4)Cov(Y,Y)

= 9Var(X) - 12Cov(X,Y) + 12Cov(X,Y) - 16Var(Y)

Kovaryans formülünde sabit katsayılar çarpım olarak dışarı çıkar ve

Cov(X,X) = Var(X)

'tir. Ayrıca simetri özelliğinden dolayı

Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

'tir.

3

Birbirini götüren terimleri sadeleştirin ve bilinen değerleri yerine koyun.

-12Cov(X,Y)

ve

+12Cov(X,Y)

birbirini götürür.
Geriye

9Var(X) - 16Var(Y)

kalır.

9(16) - 16(9) = 144 - 144 = 0

bulunur.

Çapraz terimlerin birbirini yok etmesi nedeniyle, soruda verilen

\rho_{X,Y} = 0.25

bilgisini kullanarak

Cov(X,Y)

hesaplamaya gerek kalmadan sonuca ulaşılır.

4

Elde edilen 0 değerini istatistiksel bağımsızlık kavramı açısından yorumlayın.

Cov(U, V) = 0

çıktı. Bu durum aralarında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir, ancak değişkenlerin bağımsız olduğunu kesin olarak kanıtlamaz.

Kovaryans yalnızca doğrusal ilişkinin ölçüsüdür. Bağımsız olan değişkenlerin kovaryansı her zaman 0'dır, fakat kovaryansı 0 olan değişkenler (örneğin

Y=X^2

gibi doğrusal olmayan bir ilişkiye sahipseler) bağımlı olabilirler.

Anahtar Kavram

Kovaryansın Doğrusal Özellikleri ve Bağımsızlık İlişkisi

Soru 36Soru →

Bir kalite kontrol sürecinde, bir cihazın test aşamasındaki iki farklı işlem adımının tamamlanma süreleri (saat cinsinden) sırasıyla $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Birinci adım tamamlanmadan ikinci adım bitirilemediği için $X < Y$ koşulu geçerlidir. Bu değişkenlere ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, $c$ bir sabit olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x, y) = \begin{cases} c(x + y), & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, birinci adımın yarım saatten daha kısa sürede tamamlanma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{4}

\frac{1}{2}

\frac{5}{8}

\frac{5}{16}

\frac{1}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{8}$

Cevap

Birinci adımın yarım saatten kısa sürme olasılığı

\frac{5}{8}

'dir.

Çözüm için öncelikle fonksiyonun hacminin 1 olması kuralı uygulanarak c katsayısı 2 olarak bulunur. Ardından, X'in marjinal dağılımı f_X(x), y değişkeninin alt sınırı x ve üst sınırı 1 olacak şekilde entegre edilerek f_X(x) = 1 + 2x - 3x^2 elde edilir. Son olarak bu marjinal dağılım üzerinden birinci adımın yarım saati geçmemesi şartı için 0'dan 0.5'e belirli integral alındığında olasılık 5/8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

c

sabitini bulmak için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzay üzerindeki integralini 1'e eşitleriz.

\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} c(x + y) \,dy \,dx = 1

denklemi çözüldüğünde

\int_{0}^{1} c\left(x(1-x) + \frac{1-x^2}{2}\right)\,dx = 1

ve integral sonucu

\frac{c}{2} = 1

elde edilerek

c = 2

bulunur.

Bir fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) olabilmesi için tanımlı olduğu tüm alan altındaki toplam hacminin 1'e eşit olması zorunludur.

2

Birinci adımın olasılığı istendiği için

X

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_X(x)

) buluruz.

f_X(x) = \int_{x}^{1} 2(x + y) \,dy = 2\left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_{x}^{1} = 2\left(x + \frac{1}{2} - x^2 - \frac{x^2}{2}\right) = 1 + 2x - 3x^2

fonksiyonu elde edilir.

Sadece

X

ile ilgili bir olasılık (

P(X < 0.5)

) hesaplanacağından, ortak dağılımdan

Y

değişkeni üzerinden (alt sınır

x

, üst sınır

1

olacak şekilde) integral alınarak

X

'in marjinal dağılımı elde edilmelidir.

3

Bulunan marjinal dağılımı kullanarak istenen olasılığı (

P(X < 0.5)

) hesaplarız.

P(X < 0.5) = \int_{0}^{0.5} (1 + 2x - 3x^2) \,dx = \left[x + x^2 - x^3\right]_{0}^{0.5} = 0.5 + 0.25 - 0.125 = 0.625 = \frac{5}{8}

bulunur.

Birinci adımın yarım saatten kısa sürme olasılığı matematiksel olarak

P(X < 0.5)

ifadesine eşittir.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde kısıtlı bölgeler üzerinde ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan marjinal dağılımın bulunması ve olasılık hesaplaması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 37Soru →

Bir makine öğrenmesi algoritmasının eğitim sürecinde, iki farklı öznitelik (feature) değerinin standartlaştırılmış ölçümleri $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri olarak tanımlanmıştır. Yapılan incelemelerde, bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun $f(x,y) > 0$ olduğu destek kümesinin (tanım bölgesinin) $\mathcal{B} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 4\}$ şeklinde dairesel bir alan olduğu saptanmıştır. Ayrıca, algoritmanın hata metrikleri incelendiğinde bu iki değişken arasındaki kovaryans değerinin tam olarak sıfır ( $Cov(X,Y) = 0$ ) olduğu görülmüştür.

Bu durumdaki $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin istatistiksel bağımsızlığı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge

x

ve

y

eksenlerine paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) oluşturmadığından, değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Kovaryans değeri sıfır olduğundan, aralarındaki her türlü ilişki ortadan kalkmış olup değişkenler birbirlerinden kesinlikle bağımsızdır.

Kovaryansın sıfır olması

E[XY] = E[X]E[Y]

eşitliğini doğrudan sağladığından, bu matematiksel özellik bağımsızlık için hem gerekli hem de yeterli koşuldur.

X

ve

Y

değişkenleri aynı dairesel uzayı paylaştıkları ve kesişimleri boş küme (ayrık) olmadığı için aralarında tam bağımsızlık vardır.

Bağımsızlık kararı verebilmek için, dairesel bölge üzerinden sırasıyla

x

ve

y

'ye göre alınan marjinal integrallerin toplamının 1'e eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge $x$ ve $y$ eksenlerine paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) oluşturmadığından, değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Cevap

Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge x ve y eksenlerine paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) oluşturmadığından, değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

İki sürekli rastgele değişkenin istatistiksel olarak bağımsız olabilmesi için zorunlu koşullardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesinin (pozitif olduğu bölgenin) iki bağımsız aralığın kartezyen çarpımı (dikdörtgensel alan) olmasıdır. Sınırların birbiri cinsinden ifade edildiği dairesel bölge gibi durumlarda fonksiyon

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

biçiminde faktörize edilemeyeceğinden, kovaryans sıfır bile olsa değişkenler zorunlu olarak bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin ortak dağılımına ait destek kümesini (tanım bölgesini) analiz et.

Destek kümesinin x^2 + y^2 \leq 4 eşitsizliğiyle sınırlanan dairesel bir alan olduğu görülür.

Bağımsızlık incelemesinde ilk adım fonksiyonun tanımlı olduğu alanın şeklini kontrol etmektir.

2

Destek kümesinin şeklinin bağımsızlık için gerekli teorik şartları sağlayıp sağlamadığını değerlendir.

Dairesel bölge, x ve y sınırlarının birbirinden tamamen bağımsız olarak ifade edilebildiği bir kartezyen çarpım (dikdörtgen bölge) değildir. x'in alabileceği değer aralığı y'ye bağlıdır.

İki rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) eşitliği sağlanmalıdır. Bu ayrımın yapılabilmesi için tanım bölgesinin x ve y için sınırlarının birbirinden bağımsız olması gerekir.

3

Kovaryans bilgisini (Cov(X,Y) = 0) bu durum ışığında yorumla.

Kovaryansın sıfır olması sadece aralarında doğrusal bir korelasyon olmadığını gösterir, bağımsız olduklarını kanıtlamaz.

Bağımsız değişkenlerin kovaryansı daima sıfırdır ancak kovaryansın sıfır olması bağımsızlık garantisi vermez. Bölge yapısından dolayı değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Anahtar Kavram

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesinin dikdörtgensel bir bölge (kartezyen çarpım) olması gerekliliği ve sıfır kovaryansın bağımsızlık için yeterli bir şart olmaması.

Soru 38Soru →

$X$ ve $Y$ kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X \setminus Y$	$1$	$2$
$1$	$0{}2$	$0{}1$
$2$	$0{}3$	$0{}4$

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenlerinin ortak beklenen değeri olan $E[XY]$ kaçtır?

1,5

1,7

2,55

2,6

3,2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,6

Cevap

Ortak beklenen değer 2,6 olarak hesaplanır.

Ortak beklenen değer

E[XY]

, çiftlerin değerleri ile olasılıklarının çarpımının toplamı olan

1 \cdot 1 \cdot 0{}2 + 1 \cdot 2 \cdot 0{}1 + 2 \cdot 1 \cdot 0{}3 + 2 \cdot 2 \cdot 0{}4 = 2{}6

işleminden elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tanımlı tüm

(x, y)

çiftlerini ve bunlara karşılık gelen

P(X=x, Y=y)

olasılıklarını belirleyin.

(1, 1) \rightarrow 0{}2

;

(1, 2) \rightarrow 0{}1

;

(2, 1) \rightarrow 0{}3

;

(2, 2) \rightarrow 0{}4

E[XY]

hesaplamak için her hücrenin değerine ihtiyaç vardır.

2

Her bir çift için

x \cdot y \cdot P(X=x, Y=y)

değerlerini hesaplayın.

1 \cdot 1 \cdot 0{}2 = 0{}2

;

1 \cdot 2 \cdot 0{}1 = 0{}2

;

2 \cdot 1 \cdot 0{}3 = 0{}6

;

2 \cdot 2 \cdot 0{}4 = 1{}6

Beklenen değer tanımı gereği değerler olasılıklarla ağırlıklandırılmalıdır.

3

Elde edilen tüm çarpımları toplayın.

0{}2 + 0{}2 + 0{}6 + 1{}6 = 2{}6

Toplam, değişkenlerin ortak beklenen değerini verir.

Anahtar Kavram

İki kesikli rastgele değişkenin fonksiyonunun beklenen değeri, fonksiyonun aldığı değerlerin ortak olasılıklarla çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

Daha Fazla Pratik

Aynı tabloyu kullanarak

Cov(X,Y)

değerini hesaplayarak değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü belirleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce marjinal olasılıkları bulup

E[X]

ve

E[Y]

hesaplayarak kovaryansı biliyorsanız

E[XY] = Cov(X,Y) + E[X]E[Y]

formülünden de gidilebilir, ancak bu tabloda doğrudan hesaplama çok daha hızlıdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 39Soru →

Bir üniversitedeki öğrencilerin okudukları bölümler ( $Y$ ) ve yabancı dil seviyeleri ( $X$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla oluşturulan ortak olasılık kütle fonksiyonu tablosu aşağıda verilmiştir. $Y=1$ Maliye bölümünü, $Y=2$ İktisat bölümünü; $X=0$ düşük seviyeyi, $X=1$ ise yüksek seviyeyi temsil etmektedir.

$Y=1$	$Y=2$
$X=0$	$0,30$	$0,10$
$X=1$	$0,20$	$0,40$

Buna göre, seçilen bir öğrencinin Maliye bölümünde ( $Y=1$ ) okuduğu bilindiğine göre, yabancı dil seviyesinin yüksek ( $X=1$ ) olma olasılığı kaçtır?

1/5

2/5

1/2

3/5

1/3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2/5$

Cevap

Koşullu olasılık tanımı gereği

P(X=1 | Y=1) = 2/5

(

0,40

) olarak hesaplanır.

Verilen tabloda

Y=1

(Maliye) sütunundaki değerlerin toplamı

P(Y=1) = 0,50

marjinal olasılığını verir. Bu sütun içindeki

X=1

(Yüksek seviye) hücresinin değeri

0,20

olduğundan, koşullu olasılık

0,20 / 0,50 = 0,40

yani

2/5

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşul olayının marjinal olasılığını hesapla.

P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) = 0,30 + 0,20 = 0,50

Koşullu olasılık formülünde payda kısmında yer alacak olan marjinal olasılığın belirlenmesi gerekir.

2

Ortak olasılığı koşulun marjinal olasılığına böl.

P(X=1 | Y=1) = \frac{P(X=1, Y=1)}{P(Y=1)} = \frac{0,20}{0,50} = 0,40 = \frac{2}{5}

Koşullu olasılık, istenen durumun ortak olasılığının, kısıtlanan örnek uzayına (koşula) oranıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde koşullu olasılık dağılımı, ortak olasılık kütle fonksiyonunun ilgili marjinal olasılığa bölünmesiyle elde edilir.

Daha Fazla Pratik

Aynı tabloyu kullanarak

P(Y=2 | X=0)

olasılığını hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 40Soru →

Bir kalite kontrol sürecinde iki farklı ölçüm sonucu olan $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilmiştir:

f(x,y) = x + y, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

Buna göre, $X$ değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu ( $f_X(x)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

x + \frac{1}{2}, \quad 0 < x < 1

y + \frac{1}{2}, \quad 0 < y < 1

2x, \quad 0 < x < 1

\frac{1}{2}, \quad 0 < x < 1

x + 1, \quad 0 < x < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x + \frac{1}{2}, \quad 0 < x < 1$

Cevap

x + \frac{1}{2}

fonksiyonu,

0 < x < 1

aralığında

X

değişkeninin marjinal dağılımıdır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x,y) = x+y

olan bir dağılımda,

X

değişkeninin marjinalini bulmak için ifadeyi

y

değişkeninin sınırları (0'dan 1'e) üzerinden entegre ederiz. İşlem sonucunda elde edilen

x + 1/2

ifadesi,

X

değişkeninin olasılık yapısını tek başına temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünü kur.

f_X(x) = \int_{0}^{1} (x + y) dy

X

değişkeninin marjinalini bulmak için ortak fonksiyonu

Y

değişkeninin tüm tanım aralığı üzerinden entegre etmemiz gerekir.

2

y

değişkenine göre integral al.

[xy + \frac{y^2}{2}]_{0}^{1}

x

terimi

y

üzerinden integral alınırken sabit bir çarpan gibi davranır.

3

Sınırları yerine koyarak sonucu hesapla.

(x \cdot 1 + \frac{1^2}{2}) - (x \cdot 0 + \frac{0^2}{2}) = x + \frac{1}{2}

Üst sınır (1) ve alt sınır (0) değerleri integral sonucuna uygulanarak marjinal fonksiyon elde edilir.

Anahtar Kavram

Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Daha Fazla Pratik

Aynı ortak yoğunluk fonksiyonunu kullanarak

Y

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:45s

Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap