Özel Olasılık Dağılımları Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunda, vatandaşların başvurularını sıraya koymak amacıyla günlük olarak verilen evrak kayıt numaraları kesikli düzgün dağılıma sahip $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

Belirli bir iş gününde verilen evrak kayıt numaraları $12$ 'den başlayıp $36$ 'da ( $12$ ve $36$ dâhil) sona ermektedir.

Kurumun işlem yoğunluğunu analiz etmek amacıyla, bu kayıt numaraları üzerinden $T = 5X - 20$ doğrusal dönüşümü tanımlanmıştır.

Buna göre, $T$ değişkeninin varyansı ( $Var(T)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

260

1200

1280

1300

1320

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1300

Cevap

Dönüşümü yapılan değişkenin varyansı 1300 olarak bulunur.

Verilen problemde

X

değişkeni

12, 13, \dots, 36

değerlerini alan kesikli düzgün dağılıma sahiptir. Bu kümedeki eleman sayısı

N = 36 - 12 + 1 = 25

'tir. Kesikli düzgün dağılımın varyansı

Var(X) = \frac{N^2 - 1}{12}

formülü ile hesaplanır, bu da bizi

\frac{25^2 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

sonucuna götürür. Soruda istenen değer

T = 5X - 20

değişkeninin varyansıdır. Varyansın doğrusal dönüşüm özelliği olan

Var(aX + b) = a^2 Var(X)

eşitliği gereğince

Var(5X - 20) = 5^2 \cdot Var(X) = 25 \cdot 52 = 1300

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin tanım kümesindeki eleman sayısını (

N

) belirlemek.

N = 36 - 12 + 1 = 25

bulunur.

Kesikli düzgün dağılımda varyans hesabı için serideki toplam terim sayısına ihtiyaç vardır.

2

X

değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplamak.

Var(X) = \frac{N^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

olarak hesaplanır.

Doğrusal dönüşümün varyansını bulmadan önce, orijinal değişkenin varyansının bilinmesi gerekir.

3

T = 5X - 20

dönüşümü için varyans özelliklerini uygulamak.

Var(T) = Var(5X - 20) = 5^2 \cdot Var(X) = 25 \cdot 52 = 1300

elde edilir.

Rastgele bir değişkenin doğrusal dönüşümünün varyansı hesaplanırken, katsayının karesi alınır ve eklenen veya çıkarılan sabitin varyansa etkisi olmaz (

Var(aX + b) = a^2 Var(X)

).

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılım

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezine gelen sunucu hata bildirimlerinin sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Yapılan geriye dönük incelemelerde, herhangi bir 2 saatlik zaman diliminde gelen bildirim sayısının varyansının 6 olduğu tespit edilmiştir.

Kurumun hizmet seviyesi anlaşmasına (SLA) göre, 3 saatlik bir mesai diliminde gelen toplam bildirim sayısı (

Y

) üzerinden hesaplanan ve adam-saat cinsinden ifade edilen operasyonel maliyet fonksiyonu

M(Y) = 2Y^2 - 5Y + 10

olarak modellenmiştir.

Buna göre, 3 saatlik bir mesai dilimi için beklenen operasyonel maliyet $E[M(Y)]$ aşağıdakilerden hangisidir?

30

64

127

145

289

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 145

Cevap

145

Poisson dağılımının temel özelliği gereği varyans, beklenen değere eşittir. Bu nedenle 2 saatlik periyot için

\lambda_2 = 6

'dır. Zaman ölçeklemesi yapıldığında 3 saatlik periyot için orantı kurularak

Y

'nin parametresi

\lambda = 9

bulunur. Maliyet fonksiyonunun beklenen değerini bulmak için

E[Y^2]

değerine ihtiyaç vardır. Varyans formülünden

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 9 + 81 = 90

olarak elde edilir. Son adımda beklenen değerin doğrusallık özelliği kullanılarak

E[2Y^2 - 5Y + 10] = 2(90) - 5(9) + 10 = 145

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

2 saatlik periyot için Poisson parametresini belirleme

2 saatlik bildirim sayısına

X_2

dersek,

Var(X_2) = 6

verilmiştir. Poisson dağılımında

E[X] = Var(X)

olduğundan, 2 saatlik parametre

\lambda_2 = 6

olarak bulunur.

Poisson dağılımının en temel yapısal özelliği olan ortalama ve varyans eşitliğini kurmak.

2

3 saatlik mesai dilimi için parametreyi (

\lambda_3

) ölçekleme

1 saatlik ortalama olay sayısı

6 / 2 = 3

'tür. 3 saatlik periyottaki olay sayısı

Y

için parametre

\lambda_3 = 3 \times 3 = 9

olur.

Poisson sürecinde beklenen olay sayısının zaman periyoduyla doğrudan (lineer) orantılı olması.

3

Y

rassal değişkeni için ikinci momenti (

E[Y^2]

) hesaplama

Y \sim Poisson(9)

olduğundan

E[Y] = 9

ve

Var(Y) = 9

'dur. Varyans formülünden yola çıkarak

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 9 + 9^2 = 90

elde edilir.

Maliyet fonksiyonundaki karesel terimin (

Y^2

) beklenen değerini doğru bir şekilde bulabilmek.

4

Beklenen maliyet fonksiyonunu (

E[M(Y)]

) çözme

E[2Y^2 - 5Y + 10] = 2E[Y^2] - 5E[Y] + 10 = 2(90) - 5(9) + 10 = 180 - 45 + 10 = 145

sonucuna ulaşılır.

Beklenen değer operatörünün doğrusallık (linearite) özelliğini kullanarak parçalı hesaplamaları birleştirmek.

Anahtar Kavram

Poisson Sürecinde Zaman Ölçeklemesi ve İkinci Moment Aracılığıyla Beklenen Değer Hesabı

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 3Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğüne, yaşlılık aylığı ve malullük aylığı bağlatmak amacıyla yapılan günlük başvuru sayıları, sırasıyla günde ortalama $6$ ve $4$ olan bağımsız Poisson dağılımlarına uymaktadır.

Herhangi bir $t$ günlük periyotta kuruma yapılan toplam başvuru sayısının (yaşlılık ve malullük aylığı toplamı) varyansı $V(t)$ ile gösterilmektedir.

Buna göre; $5$ günlük bir çalışma haftasında kuruma yapılan toplam başvuru sayısının varyansı $V(5)$ ile; raporlanan tek bir mesai gününde kuruma toplam $5$ başvuru yapıldığı bilindiğine göre, bu başvurulardan en az $4$ 'ünün yaşlılık aylığı talebi olma olasılığı aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

50

ve

\frac{1053}{3125}

10

ve

\frac{1053}{3125}

250

ve

\frac{1053}{3125}

50

ve

\frac{810}{3125}

50

ve

\frac{648}{3125}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $50$ ve $\frac{1053}{3125}$

Cevap

5 günlük toplam başvurunun varyansının 50 ve koşullu olasılığın

\frac{1053}{3125}

olduğu seçenek doğrudur.

Beş günlük zaman aralığı için Poisson oran parametresi 5 katına çıkacağından

V(5) = 5 \times 10 = 50

olmalıdır. Ayrıca, iki bağımsız Poisson sürecinin toplamı verildiğinde bileşenlerden birinin koşullu olasılık dağılımı Binom'dur. Deneme sayısının

n=5

, başarı olasılığının

\frac{6}{10} = \frac{3}{5}

olduğu Binom dağılımında

P(X \geq 4)

kümülatif olasılığı hesaplandığında doğru ihtimal

\frac{1053}{3125}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Günlük toplam başvurunun dağılımını ve parametresini belirleme.

Bağımsız iki Poisson değişkeninin toplamı da Poisson dağılır:

\lambda_{toplam} = \lambda_{yaşlılık} + \lambda_{malullük} = 6 + 4 = 10

.

Bağımsız Poisson süreçlerinin toplanabilirlik özelliğini uygulamak.

2

5 günlük periyottaki varyansı (

V(5)

) hesaplama.

5 gün için oran parametresi

\lambda_5 = 5 \times 10 = 50

olur. Poisson dağılımında varyans beklenen değere eşit olduğundan

V(5) = 50

olarak bulunur.

Poisson dağılımında varyansın oran (lambda) parametresiyle aynı olması ve zamanla doğrusal ölçeklenmesi ilkesini kullanmak.

3

Toplam başvuru sayısı bilindiğinde yaşlılık aylığı başvuru sayısının koşullu olasılık dağılımını kurma.

İki bağımsız Poisson süreci bilinen bir toplama ulaştığında koşullu dağılım Binom olur. Başarı olasılığı

p = \frac{\lambda_{yaşlılık}}{\lambda_{toplam}} = \frac{6}{10} = 0.6 = \frac{3}{5}

, deneme sayısı

n = 5

'tir.

İlgili koşullu olasılığın

Binom(n, p)

dağılımına uyduğu kuramsal teoremi işleme dahil etmek.

4

Kurulan

Binom(5, \frac{3}{5})

dağılımında "en az 4" başarı olasılığını hesaplama.

P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)

.

P(X = 4) = \binom{5}{4}(\frac{3}{5})^4(\frac{2}{5})^1 = 5 \times \frac{81}{625} \times \frac{2}{5} = \frac{810}{3125}

.

P(X = 5) = \binom{5}{5}(\frac{3}{5})^5(\frac{2}{5})^0 = 1 \times \frac{243}{3125} \times 1 = \frac{243}{3125}

.
İkisinin toplamı

\frac{1053}{3125}

elde edilir.

İstenen olayın birikimli (kümülatif) olasılığını ilgili ayrık değerler için toplamak.

Anahtar Kavram

İki Bağımsız Poisson Sürecinin Toplamı ve Koşullu Olasılığı (Binom Dağılımına Dönüşüm)

Soru 4Soru →

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sisteme sızma testi (penetrasyon) uygularken her bir denemesinde güvenlik duvarını aşma olasılığı $p = \frac{1}{3}$ olan birbirinden bağımsız girişimlerde bulunmaktadır.

$X$ rastgele değişkeni, güvenlik duvarının ilk kez başarıyla aşıldığı ana kadar yapılan toplam deneme sayısını;
$Y$ rastgele değişkeni ise ilk başarılı girişime kadar yaşanan başarısız deneme sayısını temsil etmektedir.

İlk 2 denemenin başarısız olduğu bilindiğine göre; sistemin tam olarak 5. denemede (toplam 5. girişimde) aşılma olasılığı, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Y]$ ) ve $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{4}{27}

,

2

,

6

\frac{8}{81}

,

3

,

6

\frac{4}{27}

,

2

,

2

\frac{16}{243}

,

2

,

6

\frac{16}{243}

,

3

,

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{27}$ , $2$ , $6$

Cevap

Sistemin 5. denemede aşılma olasılığı

\frac{4}{27}

, başarısız deneme sayısının beklenen değeri

2

ve toplam deneme sayısının varyansı

6

'dır.

Soruda istenilen değerler Geometrik dağılımın temel özellikleri yardımıyla adım adım bulunabilir. İlk olarak, Geometrik dağılımın en önemli özelliği olan hafızasızlık özelliği kullanıldığında

P(X=5 | X>2) = P(X=3)

olur. Formülde yerine konulduğunda

(1-1/3)^{3-1} \cdot (1/3) = (2/3)^2 \cdot (1/3) = 4/27

bulunur. İkinci olarak,

Y

(başarısızlık sayısı) değişkeninin beklenen değeri

E[Y] = (1-p)/p = (2/3)/(1/3) = 2

olarak hesaplanır. Üçüncü olarak,

X

'in varyansı standart Geometrik dağılım varyans formülü olan

(1-p)/p^2 = (2/3)/(1/9) = 6

ile bulunur. Bu üç değeri doğru veren seçenek aranan yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu olasılığı hesaplamak için Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini uygulama.

P(X=5 | X>2) = P(X = 5 - 2) = P(X=3)

Geometrik dağılım hafızasızdır; geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığını etkilemez. Süreç 3. denemeden itibaren baştan başlıyormuş gibi düşünülür.

2

P(X=3)

olasılığını

p = 1/3

için Geometrik dağılım formülü ile hesaplama.

P(X=3) = (1-p)^{3-1} \cdot p = (2/3)^2 \cdot (1/3) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

İlk başarının 3. denemede gerçekleşmesi, ilk 2 denemenin başarısız, 3. denemenin başarılı olması demektir.

3

İlk başarılı girişime kadar geçen başarısız deneme sayısı olan

Y

'nin beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplama.

Y = X - 1

olduğundan,

E[Y] = E[X] - 1 = \frac{1}{p} - 1 = \frac{1-p}{p} = \frac{2/3}{1/3} = 2

Toplam deneme sayısının beklenen değeri

E[X] = 1/p = 3

'tür. Son deneme başarılı olduğuna göre, başarısız denemelerin beklenen değeri bundan 1 eksiktir.

4

X

rastgele değişkeninin varyansını (

Var(X)

) standart formülü kullanarak hesaplama.

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{2/3}{(1/3)^2} = \frac{2/3}{1/9} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6

Geometrik dağılımda (

X

toplam deneme sayısı ise) varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

'dir.

Var(X)

ile

Var(Y)

aynıdır, değişkenlere sabit sayı eklemek veya çıkarmak varyansı değiştirmez.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği, Beklenen Değer ve Varyans Kavramları

Soru 5Soru →

Bir klinik deneyde, uygulanan yeni bir tedavi yönteminin başarılı olma durumu $X = 1$ , başarısız olma durumu ise $X = 0$ ile tanımlanmıştır. Tedavinin başarılı olma olasılığı $p \in (0,1)$ parametresi ile ifade edilmektedir.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = p^2

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = \sqrt{p}

ve

M_X(t) = p + (1-p)e^t

Var(X) = p(1+p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = p + (1-p)e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = p(1-p)$ ve $M_X(t) = (1-p) + pe^t$

Cevap

Rastgele değişkenin varyansı

Var(X) = p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

M_X(t) = (1-p) + pe^t

olarak hesaplanır.

Bernoulli dağılımında rastgele değişken yalnızca 1 ve 0 değerlerini alır.

E[X] = p

ve

E[X^2] = p

'dir. Bu nedenle varyans

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

olarak bulunur. Moment çıkaran fonksiyon ise

E[e^{tX}] = \sum e^{tx}P(X=x) = e^{t(0)}(1-p) + e^{t(1)}p = (1-p) + pe^t

formülü ile ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonunu yazmak.

P(X=1) = p

ve

P(X=0) = 1-p

olur.

Değişken sadece 0 ve 1 değerlerini aldığı için Bernoulli dağılımına sahiptir.

2

X

'in beklenen değerini (

E[X]

) ve karesinin beklenen değerini (

E[X^2]

) hesaplamak.

E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

ve

E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p

bulunur.

Varyans formülü olan

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

eşitliğini kullanabilmek için bu değerlere ihtiyaç vardır.

3

Varyansı hesaplamak.

Var(X) = p - p^2 = p(1-p)

elde edilir.

Varyansın temel tanımının Bernoulli dağılımına uygulanmasıdır.

4

Moment çıkaran fonksiyonu (

M_X(t)

) tanım üzerinden hesaplamak.

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

bulunur.

Moment çıkaran fonksiyon, her

x

değeri için

e^{tx}

ile o değerin olasılığının çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımının beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumunda görevli bir iç denetçi, rastgele seçilen satın alma dosyalarını incelemektedir. Geçmiş verilere göre, bir dosyanın usulsüzlük (eksik evrak, hatalı imza vb.) içerme olasılığı $0,20$ 'dir.

Buna göre, iç denetçinin tam olarak $3.$ usulsüz dosyayı, incelediği $8.$ dosyada bulma olasılığı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

\binom{8}{3} (0,2)^3 (0,8)^5

\frac{7!}{5!} (0,2)^3 (0,8)^5

\binom{7}{2} (0,2)^3 (0,8)^5

\binom{10}{2} (0,2)^3 (0,8)^8

\binom{7}{2} (0,2)^2 (0,8)^6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{7}{2} (0,2)^3 (0,8)^5$

Cevap

Doğru cevap, sonuncu incelemenin kesinlikle usulsüz dosya olduğunu ve önceki 7 incelemede 2 usulsüz dosyanın rastgele dağıldığını ifade eden

\binom{7}{2} (0,2)^3 (0,8)^5

formülüdür.

Negatif binom dağılımında, r. başarının k. denemede elde edilme olasılığı hesaplanırken; son denemenin (k. deneme) kesinlikle başarı olacağı garanti altına alınır. Bu nedenle kombinasyon hesabı ilk (k-1) denemeden (r-1) başarı seçilerek yapılır. Sorumuzda k=8, r=3, p=0,2 ve q=0,8'dir. İlk 7 dosyadan 2'sinin usulsüz olma durumu

\binom{7}{2}

şeklinde ifade edilir, toplamda 3 usulsüz ve 5 temiz dosya olasılıkları çarpılarak doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Sorudaki süreci modelleyecek uygun olasılık dağılımını belirleme.

Bağımsız denemeler yapılıyor ve r. başarıya (3. usulsüz dosya) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısı (8) aranıyor. Bu durum Negatif Binom (Pascal) Dağılımı ile modellenir.

Belirli sayıda başarı elde edilene kadar yapılan deneme sayısının olasılıkları Negatif Binom dağılımı ile hesaplanır.

2

Dağılım parametrelerini tanımlama.

Başarı olasılığı (p) = 0,20, Başarısızlık olasılığı (q) = 1 - 0,20 = 0,80. Hedeflenen başarı sayısı (r) = 3, Toplam deneme sayısı (k) = 8.

Formülü doğru kurabilmek için olaydaki tüm değişkenlerin sayısal karşılıkları netleştirilmelidir.

3

Negatif Binom olasılık fonksiyonunu uygulama.

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r q^{k-r}

formülünde değerler yerine konur.

8. denemenin kesinlikle başarı (usulsüz dosya) olacağı bilindiğinden, kombinasyon işlemi sadece ilk 7 denemedeki 2 başarının dağılımı için yapılır.

4

Matematiksel ifadeyi oluşturma.

P(X=8) = \binom{8-1}{3-1} (0,20)^3 (0,80)^{8-3} = \binom{7}{2} (0,2)^3 (0,8)^5

elde edilir.

Seçeneklerde hesaplamanın nihai sonucu değil, ifadenin kuruluşu sorulduğu için işlem bu adımda bırakılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı Olasılık Fonksiyonu

Soru 7Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım dairesi, şehir içi otobüslerde bulunan elektronik bilet okuyucularının periyodik bakımını yapmaktadır. Geçmiş istatistiklere göre, incelenen herhangi bir okuyucunun arızalı olma olasılığı 0,30'dur. İncelemeler birbirinden bağımsız olarak yapılmaktadır.

Buna göre, bakım ekibinin arızalı olan 4. okuyucuyu tam olarak 12. otobüs incelemesinde tespit etme olasılığı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

\binom{12}{4} (0,30)^4 (0,70)^8

\binom{15}{3} (0,30)^4 (0,70)^{12}

\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

\binom{12}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

\binom{11}{3} (0,70)^4 (0,30)^8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8$

Cevap

\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

ifadesi, 4. arızalı okuyucunun tam olarak 12. incelemede bulunma olasılığını gösterir.

Soruda, sabit bir başarı sayısına (4. arızalı) ulaşmak için yapılan toplam bağımsız deneme sayısı (12. inceleme) incelenmektedir. Bu senaryo Negatif Binom dağılımına uyar. Dağılımın mantığı gereği, 12. deneme kesinlikle arızalı olmalıdır (olasılığı

0,30

). Geriye kalan ilk 11 denemenin içinde ise tam olarak 3 arızalı cihaz bulunmalıdır (olasılığı

\binom{11}{3}(0,30)^3(0,70)^8

). Bu iki durumun çarpımı genel formülü olan

\binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

yapısını verir. Değerleri yerine koyduğumuzda

\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

doğru olasılık ifadesi olur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin dağılım türünü belirleme.

Belirli bir sayıda başarıya (4. arıza) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısı (12. inceleme) sorulduğu için Negatif Binom (Pascal) Dağılımı kullanılır.

Deneme sayısı sabit değildir, başarı sayısı sabittir ve son deneme mutlaka başarılı (arızalı) olmak zorundadır.

2

Dağılım parametrelerini tanımlama.

Toplam deneme sayısı

k = 12

, hedeflenen başarı sayısı

r = 4

, başarı (arıza) olasılığı

p = 0,30

, başarısızlık (sağlam) olasılığı

1-p = 0,70

.

Formülde yerine koyulacak değerlerin sorudan doğru şekilde çekilmesi gerekir.

3

Negatif Binom dağılımı formülünü uygulama.

P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

formülüne değerler yerleştirilir:

P(X = 12) = \binom{12-1}{4-1} (0,30)^4 (0,70)^{12-4}

12. denemenin kesinlikle arızalı olması gerektiğinden, ilk 11 denemede tam olarak 3 arızalı okuyucu bulunması şartı kombinasyon ile hesaplanır.

4

İfadeyi sadeleştirme.

\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

sonucu elde edilir.

Matematiksel işlemlerin sonuçlandırılarak seçeneklerdeki forma getirilmesi.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımında r. Başarı İçin Geçen Deneme Sayısı

Soru 8Soru →

Bir e-ticaret platformunda, bir ziyaretçinin sepete eklediği ürünü satın alma eylemi $X=1$ , sepeti terk etme eylemi ise $X=0$ olarak tanımlanmıştır. Bir ziyaretçinin ürünü satın alma olasılığının $p$ (burada $0 < p < 1$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu süreci modelleyen $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak ifade edilmiştir?

Beklenen değeri

p

, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

Beklenen değeri

p

, varyansı

p^2

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

Beklenen değeri

1-p

, varyansı

p(1+p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

p + (1-p)e^t

Beklenen değeri

p

, varyansı

\sqrt{p}

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

Beklenen değeri

p

, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

p + (1-p)e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Beklenen değeri $p$ , varyansı $p(1-p)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $(1-p) + pe^t$

Cevap

Beklenen değeri

p

, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

olarak verilen seçenektir.

Bernoulli dağılımı gösteren bir

X

rastgele değişkeninin yalnızca iki olası durumu vardır: başarı (

X=1

) ve başarısızlık (

X=0

). Bu değişkenin beklenen değeri, değerlerle olasılıkların çarpım toplamı olan

p

'dir. Varyansı,

E[X^2] - E[X]^2

işleminden

p - p^2 = p(1-p)

olarak elde edilir. Moment çıkaran fonksiyonu ise

E[e^{tX}]

formülünün uygulanmasıyla

(1-p) + pe^t

sonucunu verir. Tüm bu eşitliklerin doğru sağlandığı ifade doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen değerin (E[X]) hesaplanması

E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

Kesikli rastgele değişkenlerde beklenen değer, alınan değerlerin kendi olasılıklarıyla çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

2

Varyansın (Var(X)) hesaplanması

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (1^2 \cdot P(X=1) + 0^2 \cdot P(X=0)) - p^2 = p - p^2 = p(1-p)

Varyans formülü kullanılarak, ikinci momentten beklenen değerin karesi çıkarılır.

3

Moment çıkaran fonksiyonun (M_X(t)) hesaplanması

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

Moment çıkaran fonksiyonun tanımına göre

e^{tx}

ifadeleri olasılık ağırlıklarıyla toplanır.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımının beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu

Soru 9Soru →

Yalnızca $0$ ve $1$ değerlerini alabilen kesikli bir $X$ rastgele değişkeni için, moment çıkaran fonksiyonun $t=0$ noktasındaki birinci türevinin $M'_X(0) = p$ olduğu (burada $0 < p < 1$ ) bilinmektedir.

Bu rastgele değişkenin sadece iki farklı değer alabildiği gerçeği göz önüne alındığında, $X$ 'in varyansı ( $Var(X)$ ) ve genel moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^t

Var(X) = p^2

ve

M_X(t) = p + (1-p)e^t

Var(X) = p(1+p)

ve

M_X(t) = (1-p) + pe^{-t}

Var(X) = \sqrt{p}

ve

M_X(t) = (1-p)e^{-t} + pe^t

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = pe^t + (1-p)e^{-t}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(X) = p(1-p)$ ve $M_X(t) = (1-p) + pe^t$

Cevap

Varyansın

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonun

(1-p) + pe^t

olarak verildiği seçenektir.

Verilen

X

rastgele değişkeni yalnızca

0

ve

1

değerlerini alabildiğinden, parametresi

p

olan bir Bernoulli dağılımına sahiptir. Moment çıkaran fonksiyonun türevinden hareketle

E[X] = p

olarak bulunmuştur.

X^2 = X

özelliğinden ötürü ikinci ham moment de

E[X^2] = p

olur ve varyans

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p(1-p)

olarak hesaplanır. Moment çıkaran fonksiyon ise temel beklenti denkleminden

E[e^{tX}] = (1-p)e^{0} + pe^{t} = (1-p) + pe^t

biçiminde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeninin alabileceği değerleri ve beklenen değerini belirleme.

X \in \{0, 1\}

ve

M'_X(0) = E[X] = p

.

Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevinin

t=0

'daki değeri, istatistiksel teorem gereği değişkenin beklenen değerini (birinci ham momentini) verir.

2

X

'in olasılık fonksiyonunu (PMF) oluşturma.

X=1

durumu için

P(X=1) = p

ve

X=0

durumu için

P(X=0) = 1-p

.

Değişken sadece

0

ve

1

değerlerini aldığından

E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = p

eşitliğini sağlaması için başarının olasılığı

p

olmalıdır. Bu yapı Bernoulli dağılımını tanımlar.

3

Varyansı bulmak için ikinci ham momenti (

E[X^2]

) hesaplama.

X \in \{0, 1\}

olduğu için

X^2 = X

olacaktır. Buradan

E[X^2] = E[X] = p

elde edilir.

Yalnızca

0

ve

1

değerlerini alan gösterge (indicator) değişkenlerin her kuvveti kendisine eşittir.

4

Varyans formülünü uygulama.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

.

Varyansın temel tanımı kullanılarak hesaplama tamamlanır.

5

Moment çıkaran fonksiyonu tanımdan türetme.

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0}(1-p) + e^{t \cdot 1}p = (1-p) + pe^t

.

M_X(t)

genel beklenti operatörü altındaki tanımına doğrudan olasılık kütle fonksiyonu değerlerinin yazılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyon Üzerinden Teorik Türetimi

Soru 10Soru →

Bir vergi dairesi başkanlığının çağrı merkezine yapılan asılsız ihbar aramalarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Geçmiş verilere dayanılarak yapılan incelemelerde, herhangi bir $2$ saatlik zaman diliminde gelen asılsız ihbar sayısının varyansının $4$ olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, bu çağrı merkezine herhangi bir $3$ saatlik zaman diliminde en fazla $2$ asılsız ihbar gelme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

13e^{-4}

24e^{-6}

\frac{101}{2}e^{-9}

25e^{-6}

\frac{17}{2}e^{-3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $25e^{-6}$

Cevap

Doğru cevap

25e^{-6}

'dır.

Soruda verilen varyans değeri Poisson dağılımı özelliği gereği ortalamaya eşittir. Bu nedenle

2

saatlik dilimde

\lambda=4

'tür. Bize

3

saatlik süre sorulduğu için

\lambda

, zamanla doğrusal orantılı şekilde

\lambda = 4 \times (3/2) = 6

olarak güncellenmelidir. En fazla

2

ihbar gelmesi

X \le 2

olayını ifade eder.

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

değerleri Poisson kütle olasılık fonksiyonu üzerinden hesaplandığında sırasıyla

e^{-6}

,

6e^{-6}

ve

18e^{-6}

değerlerine ulaşılır. Bu olasılıkların toplamı bize doğru sonuç olan

25e^{-6}

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

2

saatlik zaman dilimi için oran parametresini (

\lambda_2

) belirlemek.

\lambda_2 = 4

Poisson dağılımında varyans ile beklenen değer (ortalama) birbirine eşittir (

Var(X) = E(X) = \lambda

).

2

Oran parametresini

3

saatlik zaman dilimine göre oranlayıp ölçeklendirmek.

\lambda_3 = 4 \times \left(\frac{3}{2}\right) = 6

Poisson sürecinde gerçekleşme sayısı, gözlem yapılan zaman aralığının uzunluğu ile doğrusal orantılıdır.

3

En fazla

2

asılsız ihbar gelme olasılığını kümülatif olarak ifade etmek.

P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

"En fazla 2" ifadesi;

0

,

1

ve

2

ihbar gelme olasılıklarının toplamını gerektirir.

4

Olasılık fonksiyonu formülünü

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

kullanarak hesaplamayı tamamlamak.

\frac{e^{-6} \cdot 6^0}{0!} + \frac{e^{-6} \cdot 6^1}{1!} + \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = e^{-6}(1 + 6 + 18) = 25e^{-6}

Formüldeki

x

yerine sırasıyla

0

,

1

,

2

değerleri ve

\lambda

yerine

6

yazılarak toplam elde edilir.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında varyansın ortalamaya eşit olması durumu ve

\lambda

oran parametresinin sürenin uzunluğuna göre doğrusal bir biçimde ölçeklendirilebilmesi.

Soru 11Soru →

Bir sınır kapısından geçiş yapan ticari araçlarda tespit edilen eksik belgeli araç sayısının Poisson dağılımına uygun olduğu bilinmektedir. Bu sınır kapısında $8$ saatlik bir mesai süresince tespit edilen eksik belgeli araç sayısının standart sapması $2$ 'dir.

Buna göre, aynı sınır kapısında ardışık $6$ saatlik bir zaman diliminde tam olarak $4$ eksik belgeli araç tespit edilme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{27}{8}e^{-3}

\frac{32}{3}e^{-4}

\frac{27}{128}e^{-1.5}

\frac{2187}{2048}e^{-2.25}

\frac{15}{64}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{27}{8}e^{-3}$

Cevap

İstenen olasılık

\frac{27}{8}e^{-3}

değeridir.

Poisson dağılımında varyans, dağılımın parametresi olan

\lambda

'ya eşittir. Soruda 8 saatlik sürenin standart sapması 2 olarak verilmiştir; bu durumda varyans

2^2 = 4

olur, yani 8 saatlik süreç için

\lambda_8 = 4

'tür. Soruda bizden 6 saatlik süreç için olasılık istendiğinden, beklenen değer orantı kurularak

\lambda_6 = 4 \times (6/8) = 3

şeklinde bulunur. Son adımda

X \sim Poisson(3)

için olasılık fonksiyonu

P(X=4) = \frac{e^{-3} 3^4}{4!} = \frac{81}{24}e^{-3} = \frac{27}{8}e^{-3}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

8 saatlik zaman dilimi için varyansın hesaplanması.

Var(X_8) = \sigma^2 = 2^2 = 4

Standart sapması

2

olarak verilen dağılımın parametresini bulmak için öncelikle varyansa geçiş yapılmalıdır.

2

8 saatlik Poisson parametresinin (

\lambda_8

) belirlenmesi.

\lambda_8 = 4

Poisson dağılımının en önemli özelliklerinden biri beklenen değerin varyansa eşit olmasıdır (

E(X) = Var(X) = \lambda

).

3

Parametrenin soruda istenen 6 saatlik zaman dilimine ölçeklenmesi.

\lambda_6 = 4 \times \frac{6}{8} = 3

Poisson sürecinde olayların gerçekleşme oranı (

\lambda

) zamanla doğrusal olarak orantılıdır.

4

Bulunan parametre ile 4 araç tespit edilme olasılığının hesaplanması.

P(X = 4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 81}{24} = \frac{27}{8}e^{-3}

Nihai olasılık değerini bulmak için Poisson olasılık kütle fonksiyonu

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}

formülü kullanılmalıdır.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında varyans-beklenen değer eşitliği ve parametrenin zamana göre ölçeklenmesi.

Soru 12Soru →

İstatistiksel bir çalışmada, belirli bir özelliğin gözlemlenip gözlemlenmemesi durumunu matematiksel olarak ifade etmek amacıyla bir $X$ indikatör (gösterge) değişkeni tanımlanmıştır. Bu değişkenin doğası gereği, tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin beklenen değeri aynı olup her $k = 1, 2, \dots$ için $E[X^k] = p$ $(0 < p < 1)$ koşulunu sağlamaktadır.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

p(1-p)

ve

(1-p) + pe^t

p(1+p)

ve

(1-p) + pe^t

p^2

ve

\frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t}

\sqrt{p}

ve

pe^t

p(1-p)

ve

p + (1-p)e^t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p(1-p)$ ve $(1-p) + pe^t$

Cevap

Doğru seçenek, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

olarak veren seçenektir.

Verilen

E[X^k] = p

koşulu, rastgele değişkenin yalnızca

0

ve

1

değerlerini alabildiğini gösterir, çünkü yalnızca bu sayıların her kuvveti kendisine eşittir (

X^k = X

). Bu durumda

X \sim Bernoulli(p)

olur. Bernoulli dağılımının varyansı

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

şeklinde hesaplanır. Moment çıkaran fonksiyon ise tanım gereği

E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0}P(X=0) + e^{t \cdot 1}P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

E[X^k] = p

eşitliğinden

X

değişkeninin durum uzayını ve olasılık dağılımını belirlemek.

E[X^2] = E[X] \implies X^2 = X

eşitliği yalnızca

X=0

ve

X=1

için sağlanır. Dolayısıyla

P(X=1) = p

ve

P(X=0) = 1-p

olan Bernoulli dağılımı söz konusudur.

Tüm kuvvetlerin aynı beklenen değere sahip olması, değişkenin sadece indikatör (gösterge) değerleri alabileceğini matematiksel olarak kanıtlar.

2

Varyansı temel formül üzerinden hesaplamak.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

olarak bulunur.

Varyans tanım formülü, dağılımın yayılımını bulmak için en doğrudan yöntemdir.

3

Moment çıkaran fonksiyonu (

M_X(t)

) tanım üzerinden oluşturmak.

M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum e^{tx}P(X=x) = e^{t(0)}(1-p) + e^{t(1)}p = (1-p) + pe^t

elde edilir.

Kesikli dağılımlar için moment çıkaran fonksiyon,

e^{tx}

değerleri ile olasılıkların ağırlıklı toplamıdır.

Anahtar Kavram

İndikatör değişkenlerin moment özellikleri ve Bernoulli Dağılımının karakteristikleri

Alternatif Yöntem

M_X(t) = E[e^{tX}]

tanımında

e^{tX}

fonksiyonunun Maclaurin serisi (Taylor açılımı) kullanılarak doğrudan analitik bir yaklaşım izlenebilir:

E[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(tX)^k}{k!}] = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^k E[X^k]}{k!}

. Soruda verilen

E[X^k] = p

eşitliği yerine yazıldığında işlem:

1 + p \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = 1 + p(e^t - 1) = 1 - p + pe^t

şekline dönüşür. Bu yöntem değişkenin

(0,1)

değerlerini aldığını baştan keşfetmeden bile doğru sonuca ulaştırır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 13Soru →

Olasılık teorisinde, bir

X

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) her

t \in \mathbb{R}

için

M_X(t) = (1-p) + p e^t \quad (0 < p < 1)

biçiminde tanımlanmaktadır.

Bu rastgele değişkene deterministik bir fonksiyon uygulanarak $Y = 2^X$ şeklinde yeni bir rastgele değişken elde ediliyor.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(Y)$ ) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

4p(1-p)

p^2

p(1-p)

p(1+p)

\sqrt{p}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p(1-p)$

Cevap

Dönüştürülmüş

Y

rastgele değişkeninin varyansı

p(1-p)

ifadesine eşittir.

Verilen moment çıkaran fonksiyon (MGF)

X \sim Bernoulli(p)

dağılımına aittir.

X

rastgele değişkeni yalnızca

0

ve

1

değerlerini alabildiğinden, bu iki nokta için

2^X = X+1

eşitliği her zaman doğrudur. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralına göre

Var(X+1) = Var(X)

olur. Bernoulli dağılımının varyansı da

p(1-p)

olduğundan, dönüştürülmüş değişkenin varyansı değişmez ve

p(1-p)

kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen moment çıkaran fonksiyondan (MGF)

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve alabileceği değerleri belirlemek.

M_X(t) = (1-p) + p e^t

fonksiyonu, başarı olasılığı

p

olan Bernoulli dağılımının karakteristik yapısıdır. Bu nedenle

X \sim Bernoulli(p)

olur ve

X

değişkeni yalnızca

0

ve

1

değerlerini alır.

Bir rastgele değişkenin dağılımı, eğer mevcutsa, moment çıkaran fonksiyonu ile tekil (unique) olarak belirlenir.

2

Y = 2^X

rastgele değişkeninin olasılık dağılımını (PMF) elde etmek.

X=0

durumunda

Y = 2^0 = 1

(Olasılık:

1-p

)

X=1

durumunda

Y = 2^1 = 2

(Olasılık:

p

)
Böylece

Y

değişkeninin kesikli olasılık dağılımı bulunmuş olur.

X

'in aldığı spesifik değerler üzerinden, tanımlanan üstel fonksiyon doğrudan dönüştürülerek

Y

'nin durumu saptanır.

3

Y

rastgele değişkeninin beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplamak.

E[Y] = \sum y \cdot P(Y=y) = 1 \cdot (1-p) + 2 \cdot p = 1 - p + 2p = 1 + p

.

Varyans formülünün (

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

) ikinci kısmı için birinci momente (beklenen değere) ihtiyaç vardır. (Alternatif olarak

E[2^X] = M_X(\ln 2)

ile de aynı sonuç bulunur).

4

Y^2

'nin beklenen değerini (

E[Y^2]

) hesaplamak.

Y^2

değerleri

1^2=1

ve

2^2=4

şeklindedir.

E[Y^2] = 1 \cdot (1-p) + 4 \cdot p = 1 - p + 4p = 1 + 3p

.

Varyans formülünün ilk kısmı olan ikinci momenti bulmak zorunludur.

5

Var(Y)

varyans değerini sonuca ulaştırmak ve alternatif yöntemi doğrulamak.

Var(Y) = (1 + 3p) - (1 + p)^2 = 1 + 3p - (1 + 2p + p^2) = p - p^2 = p(1-p)

.

Varyans tanımı başarıyla uygulanmıştır. Ayrıca,

X \in \{0,1\}

iken

2^X = X+1

lineer eşitliği geçerlidir. Buradan

Var(2^X) = Var(X+1) = Var(X) = p(1-p)

olduğu çok daha kısa yoldan teyit edilebilir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon ile Beklenen Değer ve Varyans Dönüşümleri

Alternatif Yöntem

E[Y]

ve

E[Y^2]

değerlerini doğrudan moment çıkaran fonksiyon kullanarak hesaplayabilirsiniz.

E[Y] = E[2^X] = E[e^{X \ln 2}] = M_X(\ln 2) = 1 - p + p e^{\ln 2} = 1 - p + 2p = 1 + p

. Benzer şekilde

E[Y^2] = E[4^X] = M_X(\ln 4) = 1 + 3p

bulunur ve buradan doğrudan varyans hesaplanarak yine

p(1-p)

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 14Soru →

Bir fabrikadaki kalite kontrol uzmanı, üretim hattından çıkan ürünleri kusurlu bir ürün bulana kadar sırasıyla ve bağımsız olarak incelemektedir. Bir ürünün kusurlu olma olasılığı $p = 0,25$ 'tir.

Uzmanın ilk kusurlu ürünü bulana kadar incelediği toplam ürün sayısı (kusurlu ürün dâhil) $Y$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. İnceleme sürecinin toplam maliyeti, $M(Y) = 5Y^2 + 10Y + 20$ (TL) fonksiyonu ile modellenmektedir.

Uzman ilk 2 ürünü incelemiş ve ikisinin de kusursuz olduğunu görmüştür.

Buna göre, bu inceleme sürecinin beklenen toplam maliyeti kaç TL'dir?

200

255

260

320

540

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 320

Cevap

İnceleme sürecinin beklenen toplam maliyeti 320 TL'dir.

Soruda ilk kusurlu ürünü bulana kadar incelenen toplam ürün sayısı

Y

olarak verilmiştir. Bu nedenle

Y

, başarı olasılığı

p=0,25

olan ve

k \in \{1, 2, 3, ...\}

değerlerini alan Geometrik dağılıma sahiptir. İlgili momentler

E[Y]=4

ve

E[Y^2]=28

şeklindedir. İlk 2 ürünün kusursuz çıkması

Y > 2

koşulunu yaratır. Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği (memoryless property) kullanıldığında, koşullu durumda

Y \mid Y > 2 \sim Y_{yeni} + 2

eşitliği sağlanır. Bu durumda koşullu anlar

E[Y \mid Y > 2] = 4+2=6

ve

E[Y^2 \mid Y > 2] = E[(Y+2)^2] = 28 + 16 + 4 = 48

olarak hesaplanır. Beklenen toplam maliyet ise

5(48) + 10(6) + 20 = 320

TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve koşulsuz beklenen değerlerini (anlarını) belirleme.

Y \sim Geo(p=0,25)

ve

Y \in \{1, 2, 3, ...\}

olduğu tespit edilir.

E[Y] = \frac{1}{p} = 4

ve

Var(Y) = \frac{1-p}{p^2} = 12

olduğundan, varyans formülünden

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 12 + 16 = 28

bulunur.

Maliyet fonksiyonunun beklentisini hesaplayabilmek için

Y

'nin birinci ve ikinci momentlerine ihtiyaç vardır.

2

Hafızasızlık özelliğini kullanarak verilen duruma ait koşullu anları hesaplama.

İlk 2 ürünün kusursuz olması

Y > 2

durumunu ifade eder. Geometrik dağılımın hafızasızlık özelliği gereği

Y \mid Y>2 \sim Y_{yeni} + 2

eşitliği sağlanır. Buradan

E[Y \mid Y>2] = E[Y_{yeni}] + 2 = 4 + 2 = 6

ve

E[Y^2 \mid Y>2] = E[(Y_{yeni}+2)^2] = E[Y_{yeni}^2] + 4E[Y_{yeni}] + 4 = 28 + 4(4) + 4 = 48

elde edilir.

Sürecin halihazırda 2 ürün incelenmiş olarak devam ettiği bilindiği için genel maliyet beklentisi bu koşullu bilgiye göre güncellenmelidir.

3

Koşullu beklenen maliyet fonksiyonunu hesaplama.

E[M(Y) \mid Y>2] = 5 \cdot E[Y^2 \mid Y>2] + 10 \cdot E[Y \mid Y>2] + 20 = 5(48) + 10(6) + 20 = 240 + 60 + 20 = 320

TL sonucu bulunur.

Bulunan koşullu anlar, doğrusal kombinasyon şeklindeki maliyet fonksiyonunda yerine konularak nihai beklenen maliyet elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dağılımın momentleri ve hafızasızlık (memoryless) özelliği

Soru 15Soru →

Bir elektronik şans oyununda sistem, her defasında $1$ ile $25$ arasındaki ( $1$ ve $25$ dâhil) tam sayılardan birini eşit olasılıkla rastgele seçmektedir. Seçilen bu sayı $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Oyunun kuralları gereği, oyuncunun kazanacağı puan $Y = 2X - 5$ eşitliği ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkenine göre belirlenmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı (değişintisi) kaçtır?

52

104

208

233

312

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 208

Cevap

Y

rastgele değişkeninin varyansı 208'dir.

Kesikli düzgün dağılımda,

1

'den

n

'e kadar değer alan bir değişkenin varyansı

(n^2 - 1) / 12

formülü ile elde edilir. Soruda

n=25

olduğundan

Var(X) = (625 - 1) / 12 = 52

bulunur.

Y = 2X - 5

eşitliğinin varyansını bulmak için

Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)

özelliğinden faydalanılır. Buradan

Var(Y) = 2^2 \cdot 52 = 4 \cdot 52 = 208

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametrelerini belirleme.

X

,

1

ile

25

arasındaki ardışık tam sayıları eşit olasılıkla aldığı için Kesikli Düzgün Dağılıma (Discrete Uniform) sahiptir ve kümenin eleman sayısı

n = 25

'tir.

Varyans hesabında kullanılması gereken doğru formülü seçebilmek için dağılımın türünün ve parametrelerinin tespit edilmesi gerekir.

2

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülünü kullanarak

X

'in varyansını hesaplama.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{625 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

olarak bulunur.

Y

'nin varyansına ulaşabilmek için temel değişken olan

X

'in varyansının bilinmesi zorunludur.

3

Y = 2X - 5

eşitliğine varyansın doğrusal dönüşüm özelliklerini uygulama.

Var(Y) = Var(2X - 5) = 2^2 \cdot Var(X) = 4 \cdot 52 = 208

elde edilir.

Varyans özelliklerine göre

Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)

eşitliği geçerlidir. Sabit terim (-5) varyansı etkilemezken, değişkenin katsayısının (2) karesi alınarak varyans büyütülür.

Anahtar Kavram

Kesikli Düzgün Dağılımın Varyansı ve Varyansın Doğrusal Dönüşüm Özellikleri

Soru 16Soru →

Bir risk analizi çalışmasında, belirli bir sistemin arıza yapma durumu $X$ indikatör (gösterge) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Sistem arıza yaparsa $X=1$ , yapmazsa $X=0$ değerini almaktadır. Sistemin arıza yapma olasılığı $p$ 'dir ( $0 < p < 1$ ).

Bu sistemin yarattığı finansal etki, $a$ sıfırdan farklı sabit bir reel sayı olmak üzere, $Z = e^{aX}$ üstel dönüşümü ile tanımlanmıştır.

Buna göre, finansal etkiyi temsil eden $Z$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[Z]$ ) ve varyansı ( $Var(Z)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1-p)(e^a - 1)^2

E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1-p)e^{2a}

E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1+p)(e^a - 1)^2

E[Z] = p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p^2(e^a - 1)^2

E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = \sqrt{p}(e^a - 1)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E[Z] = 1 - p + p e^a \quad \text{ve} \quad Var(Z) = p(1-p)(e^a - 1)^2$

Cevap

Z değişkeninin beklenen değeri E[Z] = 1 - p + p e^a ve varyansı Var(Z) = p(1-p)(e^a - 1)^2 olarak bulunur.

Bernoulli dağılımında değişken yalnızca 0 ve 1 değerlerini aldığı için, Z = e^{aX} fonksiyonu da yalnızca e^0=1 (1-p olasılıkla) ve e^a (p olasılıkla) değerlerini alabilir. Beklenen değer basitçe E[Z] = 1*(1-p) + e^a*p olarak hesaplanır. Varyans için Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 formülü uygulandığında (1-p+pe^{2a}) - (1-p+pe^a)^2 işlemi yapılır. Bu ifadenin (1-p) terimleri ve p kareleri üzerinden tam kareye tamamlanarak sadeleştirilmesiyle p(1-p)(e^a - 1)^2 kesin sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Z = e^{aX} rastgele değişkeninin alabileceği değerleri ve olasılıklarını belirleyin.

X=0 (Olasılık: 1-p) için Z = e^{a(0)} = 1 olur. X=1 (Olasılık: p) için Z = e^{a(1)} = e^a olur.

Sürekli veya ayrık bir değişkenin fonksiyonunun beklenen değerini bulmak için öncelikle fonksiyonun çıktı değerlerinin tanımlanması gerekir.

2

Z'nin beklenen değerini (E[Z]) hesaplayın.

E[Z] = \sum z \cdot P(Z=z) = 1 \cdot (1-p) + e^a \cdot p = 1 - p + p e^a.

Varyans formülünde (Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2) kullanmak üzere birinci momentin bulunması zorunludur.

3

Z'nin karesinin beklenen değerini (E[Z^2]) hesaplayın.

Z^2 değişkeni, X=0 için 1^2=1 ve X=1 için (e^a)^2=e^{2a} değerlerini alır. E[Z^2] = 1 \cdot (1-p) + e^{2a} \cdot p = 1 - p + p e^{2a}.

Varyansın temel hesaplama formülü olan E[Z^2] - (E[Z])^2 bağıntısındaki ikinci bileşeni elde etmek içindir.

4

Varyansı (Var(Z)) hesaplamak için bulduğunuz değerleri yerine koyun ve kare açılımını yapın.

Var(Z) = (1 - p + p e^{2a}) - (1 - p + p e^a)^2 = (1 - p + p e^{2a}) - ((1-p)^2 + 2p(1-p)e^a + p^2 e^{2a}).

İki momentin farkı, Z rastgele değişkeninin ortalamadan sapmalarının karesel ortalamasını verir.

5

Cebirsel ifadeyi sadeleştirerek nihai formata dönüştürün.

(1-p) - (1-p)^2 = (1-p)(1 - (1-p)) = p(1-p) elde edilir. Ayrıca pe^{2a} - p^2e^{2a} = p(1-p)e^{2a} olur. İfade p(1-p) + p(1-p)e^{2a} - 2p(1-p)e^a şekline gelir. p(1-p) parantezinde (1 - 2e^a + e^{2a}) tam karesi oluşur. Sonuç: p(1-p)(e^a - 1)^2.

Seçeneklerdeki şıklarla eşleşebilmesi için ifadenin çarpanlara ayrılmış en sade halinin bulunması gerekir.

Anahtar Kavram

Bernoulli dağılımına sahip bir değişkenin üstel dönüşümünde (moment çıkaran fonksiyon yapısında) beklenen değer ve varyans hesaplaması

Soru 17Soru →

Bir hava trafik kontrol merkezinde, belirli bir uçuş rotasından geçen izinsiz drone uçuşlarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Bu rotada 20 dakikalık bir zaman diliminde tespit edilen izinsiz uçuş sayısının standart sapması $\sqrt{2}$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu rotada 1 saatlik bir süre zarfında tespit edilen izinsiz drone uçuşu sayısının, o süre için beklenen uçuş sayısının tam yarısı kadar olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

36e^{-6}

18e^{-6}

6e^{-6}

\frac{4}{3}e^{-2}

2e^{-2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $36e^{-6}$

Cevap

İstenen olasılık

36e^{-6}

olarak hesaplanır.

Poisson dağılımının en ayırt edici özelliklerinden biri, beklenen değeri ile varyansının birbirine eşit olmasıdır (

E(X) = Var(X) = \lambda

). Soruda 20 dakikalık süre için standart sapma

\sqrt{2}

olarak verilmiştir. Buradan varyansın

(\sqrt{2})^2 = 2

olduğu, dolayısıyla 20 dakikalık oran parametresinin

\lambda = 2

olduğu bulunur. İstenilen olasılık 1 saatlik (60 dakikalık) bir süre içindir. Zaman aralığı 3 katına çıktığı için yeni Poisson parametresi

\lambda_{yeni} = 2 \times 3 = 6

olacaktır. Bu 1 saatlik aralıkta beklenen drone uçuş sayısı da 6'dır. Soru, gerçekleşen uçuş sayısının bu beklenen değerin tam yarısı (

6 / 2 = 3

) olma olasılığını sormaktadır. Poisson olasılık kütle fonksiyonu

P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

formülü kullanılarak

P(X=3) = \frac{e^{-6} 6^3}{3!} = 36e^{-6}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

20 dakikalık zaman dilimi için Poisson parametresinin (

\lambda

) belirlenmesi

Standart sapma =

\sqrt{2}

\implies

Varyans =

2

. Poisson dağılımında Varyans =

E(X) = \lambda

olduğundan, 20 dakikalık süre için

\lambda = 2

bulunur.

Poisson dağılımının temel özelliğinden yararlanarak varyans üzerinden ortalama oran parametresini bulmak.

2

1 saatlik (60 dakikalık) zaman dilimi için parametrenin (

\lambda_{yeni}

) ölçeklenmesi

1 saat içerisinde üç adet 20 dakikalık dilim olduğu için,

\lambda_{yeni} = 2 \times 3 = 6

olarak hesaplanır.

Poisson sürecinde oran parametresi, zaman aralığının uzunluğu ile doğru orantılı olarak değişir.

3

Soruda istenen hedef olay sayısının (

k

) hesaplanması

1 saatlik süre için beklenen uçuş sayısı

\lambda_{yeni} = 6

'dır. Bunun tam yarısı istendiği için aranan sayı

k = 6 / 2 = 3

olur.

Soruda belirtilen 'o süre için beklenen uçuş sayısının tam yarısı' koşulunu matematiksel ifadeye dönüştürmek.

4

Poisson olasılık kütle fonksiyonunun uygulanması

P(X = 3) = \frac{e^{-6} \cdot 6^3}{3!} = \frac{e^{-6} \cdot 216}{6} = 36e^{-6}

elde edilir.

Bulunan parametre (

\lambda=6

) ve istenilen x değeri (

k=3

) ile son olasılığı hesaplamak.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında varyans-beklenen değer eşitliği ve parametrenin zamana göre ölçeklenmesi (Homojen Poisson Süreci)

Soru 18Soru →

Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların %20'sinin acil müdahale gerektiren ("kırmızı alan") hastalar olduğu bilinmektedir. Hastaların gelişleri birbirinden bağımsızdır.

Doktorun muayene ettiği ilk 3 hastanın hiçbirinin acil müdahale gerektirmediği bilindiğine göre, ilk acil müdahale gerektiren hastanın tam olarak 6. sırada muayene edilme olasılığı ile ilk acil müdahale gerektiren hasta dâhil olmak üzere muayene edilecek toplam hasta sayısının varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{16}{125}

ve

20

\frac{64}{625}

ve

20

\frac{16}{125}

ve

25

\frac{1024}{15625}

ve

20

\frac{16}{125}

ve

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{16}{125}$ ve $20$

Cevap

İlk acil hastanın 6. sırada gelme olasılığı

\frac{16}{125}

ve toplam hasta sayısının varyansı

20

'dir.

Sorudaki rastgele değişken (X), ilk kırmızı alan hastası bulunana kadar muayene edilecek toplam hasta sayısını temsil etmektedir ve dağılımı X ~ Geometrik(p=0,20)'dir. Doktorun ilk 3 hastasının acil olmadığı bilindiğine göre (X > 3), 6. hastanın ilk acil hasta olma olasılığı bir koşullu olasılıktır. Geometrik dağılımın 'hafızasızlık (memoryless)' özelliği gereği P(X = 6 | X > 3) olasılığı P(X = 6 - 3) = P(X = 3) değerine eşittir. Bu olasılık (0,8)^2 * 0,2 = 0,128 yani 16/125 olarak bulunur. İlk başarıyı da içeren toplam deneme sayısının varyansı ise (1-p)/p^2 formülüyle hesaplanır. Varyans = 0,80 / 0,04 = 20 elde edilir. Doğru ikili 16/125 ve 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve başarı olasılığını belirleme

Başarı olasılığı

p = 0,20

, rastgele değişken

X \sim \text{Geometrik}(0,20)

İlk başarıya (ilk kırmızı alan hastasına) kadar geçen toplam muayene edilen hasta sayısı Geometrik dağılıma uyar.

2

Hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak istenen koşullu olasılığı hesaplama

P(X = 6 \mid X > 3) = P(X = 6 - 3) = P(X = 3) = (1 - 0,20)^{3-1} \cdot 0,20 = (0,8)^2 \cdot 0,20 = 0,64 \cdot 0,20 = 0,128 = \frac{16}{125}

Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir; geçmişteki başarısız denemeler, gelecek denemelerin dağılımını baştan başlıyormuş gibi etkiler.

3

Geometrik dağılımın varyans formülünü uygulama

\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{1-0,20}{(0,20)^2} = \frac{0,80}{0,04} = 20

Başarıyı içeren toplam deneme sayısı tanımlı Geometrik dağılımın varyansı her zaman

\frac{1-p}{p^2}

formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Varyansı

Soru 19Soru →

Bir Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı denetim istasyonunda ticari araçların ağırlıkları kontrol edilmektedir. İstasyona giren bir ticari aracın yasal yük sınırını aşmış (aşırı yüklü) olma olasılığı $\frac{1}{4}$ 'tür. İstasyona giren rastgele $4$ ticari araç bağımsız olarak incelenmektedir.

Buna göre, yasal yük sınırını aşmış araç sayısının, incelenen bu $4$ araç için beklenen aşırı yüklü araç sayısından daha fazla olma olasılığı kaçtır?

\frac{67}{256}

\frac{189}{256}

\frac{175}{256}

\frac{37}{64}

\frac{243}{256}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{67}{256}$

Cevap

Beklenen aşırı yüklü araç sayısından daha fazla aşırı yüklü araç bulunma olasılığı

\frac{67}{256}

'dır.

Beklenen aşırı yüklü araç sayısı

E(X) = n \cdot p = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1

olarak bulunur. Beklenen değerden daha fazla aşırı yüklü araç bulunması ihtimali

P(X > 1)

ile gösterilir. Bu olasılık, tüm olasılıkların toplamı olan

1

'den, hiç aşırı yüklü araç olmaması (

X=0

) ve tam

1

aşırı yüklü araç olması (

X=1

) olasılıklarının toplamının çıkarılmasıyla bulunur:

1 - \left(\frac{81}{256} + \frac{108}{256}\right) = \frac{67}{256}

.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve parametrelerini belirle.

X \sim \text{Binom}\left(n=4, p=\frac{1}{4}\right)

Bağımsız denemeler ve her araç için sabit bir başarı (aşırı yüklü olma) olasılığı bulunduğundan binom dağılımı kullanılır.

2

Beklenen değeri (ortalama aşırı yüklü araç sayısı) hesapla.

E(X) = n \cdot p = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1

Soruda istenen koşul, araç sayısının beklenen değere göre durumunu sormaktadır.

3

İstenen olasılık ifadesini matematiksel olarak kur.

P(X > E(X)) \Rightarrow P(X > 1)

Araç sayısının beklenen değerden 'daha fazla' olması kesin bir büyüklük (

>

) ifade eder.

4

Tümleyen olay kuralını kullanarak hesaplanacak durumları sadeleştir.

P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Üç durumu (

X=2,3,4

) tek tek hesaplamak yerine, iki durumu (

X=0,1

) hesaplayıp tümleyeni almak daha az işlem gerektirir.

5

X=0

ve

X=1

için olasılıkları hesapla.

P(X=0) = \binom{4}{0}\left(\frac{1}{4}\right)^0\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256}

P(X=1) = \binom{4}{1}\left(\frac{1}{4}\right)^1\left(\frac{3}{4}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{27}{64} = \frac{108}{256}

Binom olasılık kütle fonksiyonu

P(X=x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}

formülü ile nokta olasılıkları bulunur.

6

Hesaplanan olasılıkları toplayıp, toplam olasılık olan

1

'den çıkararak sonucu bul.

P(X > 1) = 1 - \left(\frac{81}{256} + \frac{108}{256}\right) = 1 - \frac{189}{256} = \frac{67}{256}

Tüm olasılıkların toplamının

1

olması kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Binom dağılımında beklenen değer hesaplaması ve birikimli olasılık hesabı sırasında tümleyen kuralının uygulanması.

Soru 20Soru →

Bir gümrük müdürlüğünde görevli bir muayene memuru, yurtdışından gelen ticari konteynerleri sırasıyla incelemektedir. Geçmiş verilere göre, bir konteynerin evrak eksikliği nedeniyle 'detaylı fiziki muayene' gerektirme olasılığı (başarı olasılığı) $0,25$ 'tir. Konteynerlerin durumları birbirinden bağımsızdır. Memurun günlük yasal raporunu tamamlayabilmesi için detaylı fiziki muayene gerektiren toplam $3$ konteyner tespit etmesi gerekmektedir.

Buna göre, memurun aradığı $3.$ detaylı fiziki muayene gerektiren konteyneri, tam olarak incelediği $7.$ konteynerde (toplam deneme sayısında) bulma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4

\binom{7}{3} (0,25)^3 (0,75)^4

\binom{9}{2} (0,25)^3 (0,75)^7

\frac{6!}{4!} (0,25)^3 (0,75)^4

\binom{6}{2} (0,75)^3 (0,25)^4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4$

Cevap

İstenilen olasılık

\binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4

ifadesidir.

Doğru yanıt, aranan hedefin (r=3) toplam n=7. denemede elde edilmesi kuralına dayanan Negatif Binom dağılımı formülünün doğru uygulanmış halidir.

P(X=n) = \binom{n-1}{r-1} p^r (1-p)^{n-r}

formülüne

n=7

,

r=3

ve

p=0,25

yerleştirildiğinde

\binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4

ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü belirleme.

Problemde ardışık bağımsız denemelerde, 'r. başarının n. denemede gerçekleşmesi' olasılığı sorulduğu için Negatif Binom (Pascal) dağılımı kullanılmalıdır.

Sabit deneme sayısında x başarı aransaydı Binom olurdu; ancak burada hedef başarı sayısına (3) ulaşılana kadar deneme (7) yapılmaktadır.

2

Dağılım parametrelerini tanımlama.

Başarı olasılığı

p = 0,25

, başarısızlık olasılığı

(1-p) = 0,75

, hedeflenen başarı sayısı

r = 3

, toplam deneme sayısı

n = 7

.

Soruda verilen olasılık ve hedefler doğrultusunda formülde kullanılacak değişkenleri saptamak.

3

Negatif Binom formülünü uygulama.

P(X = n) = \binom{n-1}{r-1} p^r (1-p)^{n-r}

denklemine sayıları yerleştirme.

Son denemenin kesinlikle başarı olması gerektiğinden, ilk (n-1) denemede (r-1) başarı seçilmesi gerekir.

4

İfadeyi matematiksel olarak sonuçlandırma.

P(X = 7) = \binom{7-1}{3-1} (0,25)^3 (0,75)^{7-3} = \binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4

İşlemin seçeneklerde istenen kapalı ve çarpan formatına getirilmesi.

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Tahmini Süre:1m 30s

Özel Olasılık Dağılımları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap