Stokastik Süreçler Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir ilçe nüfus müdürlüğüne pasaport işlemi için gelen randevusuz vatandaşların gelişleri, saatte ortalama $\lambda = 3$ kişi oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu süreçle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Herhangi bir

2

saatlik zaman diliminde tam olarak

4

vatandaş gelme olasılığı

\frac{e^{-3}3^4}{4!}

formülü ile hesaplanır.

Ardışık iki vatandaşın gelişleri arasında geçen süre, beklenen değeri

3

saat olan üstel dağılıma sahiptir.

Sürecin herhangi bir

t

zaman aralığındaki olay sayısının varyansı

3t^2

'dir.

Ayrık zaman aralıkları olan 09:00-10:00 ile 10:00-12:00 saatleri arasında kuruma gelen vatandaş sayıları birbiriyle bağımlı rastgele değişkenlerdir.

Sürecin ilk bir saati içinde tam olarak

2

vatandaş gelmiş olması koşuluyla, başlangıçtan itibaren ilk üç saatin sonuna kadar toplam

5

vatandaş gelmiş olma olasılığı

\frac{e^{-6}6^3}{3!}

'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürecin ilk bir saati içinde tam olarak $2$ vatandaş gelmiş olması koşuluyla, başlangıçtan itibaren ilk üç saatin sonuna kadar toplam $5$ vatandaş gelmiş olma olasılığı $\frac{e^{-6}6^3}{3!}$ 'tür.

Cevap

Doğru ifade, sürecin bağımsız ve durağan artışlar özelliğini doğru şekilde uygulayan ve koşullu olasılığı

\frac{e^{-6}6^3}{3!}

olarak veren ifadedir.

Poisson süreci bağımsız ve durağan artışlar özelliklerine sahiptir. İstenen durum

P(N(3)=5 | N(1)=2)

şeklinde ifade edilebilir. Bağımsız artışlar özelliği gereği, ayrık aralıklar olan

(0, 1]

ve

(1, 3]

birbirini etkilemez; yani

N(3)-N(1)

ile

N(1)

bağımsızdır. Bu yüzden ifade

P(N(3)-N(1)=3)

olasılığına dönüşür. Durağan artışlar özelliği gereği bu, 2 saatlik herhangi bir aralıkta 3 kişi gelme olasılığına, yani

P(N(2)=3)

'e eşittir. Oran parametresi 2 saat için

\lambda t = 3 \times 2 = 6

olacağından, Poisson olasılık formülü ile sonuç

\frac{e^{-6}6^3}{3!}

olarak doğru şekilde bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Koşullu olasılık ifadesindeki aralıkları ve olay sayılarını tanımlama.

İstenen olasılık

P(N(3)=5 | N(1)=2)

şeklinde yazılır. Bu ifade

P(N(3)-N(1)=3 | N(1)=2)

ile aynı anlama gelir.

İlk bir saatte 2 kişi geldiğine göre, toplamda 5 kişi olması için sonraki 2 saatlik zaman diliminde tam olarak 3 kişinin gelmesi gerekmektedir.

2

Poisson sürecinin bağımsız artışlar özelliğini uygulama.

N(3)-N(1)

rastgele değişkeni ile

N(1)

rastgele değişkeni birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle koşul düşer:

P(N(3)-N(1)=3)

.

(0, 1]

aralığı ile

(1, 3]

aralığı birbiriyle kesişmeyen ayrık zaman aralıklarıdır.

3

Durağan artışlar özelliğini ve ölçeklenmiş oran parametresini kullanarak olasılığı hesaplama.

2 saatlik aralık için yeni ortalama

\lambda t = 3 \times 2 = 6

'dır. Formül uygulanırsa:

P(N(2)=3) = \frac{e^{-6}6^3}{3!}

sonucu elde edilir.

N(3)-N(1)

'in dağılımı

N(2)

'nin dağılımı ile aynıdır ve

6

parametreli Poisson dağılımına uyar.

Anahtar Kavram

Poisson Süreci Özellikleri (Bağımsız Artışlar, Durağan Artışlar, Beklenen Değer ve Varyans)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 42Soru →

Bir bölgesel lojistik merkezine yük boşaltmak için gelen tırların varışları Poisson dağılımına, tek bir peronun bulunduğu (M/M/1 modeli) boşaltma sistemindeki hizmet süreleri ise üstel dağılıma uymaktadır.

Bu lojistik merkezi ile ilgili mevcut durumda şu bilgiler verilmektedir:
- Boşaltma peronunun boş kalma olasılığı $P_0 = 0,2$ 'dir.
- Bir tırın lojistik merkezinde geçirdiği ortalama toplam süre (sistemde kalma süresi) $1$ saattir.

Merkez yönetimi, peron önünde bekleyen tır kuyruğunun trafiği aksatmaması amacıyla, kuyrukta bekleyen ortalama tır sayısını ( $L_q$ ) $\frac{4}{3}$ değerine düşürmeyi hedeflemektedir.

Tırların varış hızında ( $\lambda$ ) herhangi bir değişiklik olmayacağı varsayıldığında, hedeflenen bu iyileşme için boşaltma peronunun yeni hizmet hızı ( $\mu_{yeni}$ ) saatte kaç tır olmalıdır?

2

3

5

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Yeni hizmet hızı saatte 6 tır olmalıdır.

Doğru cevap, hedeflenen kuyruk uzunluğu (Lq) değerini sağlayan yeni hizmet hızının (μ) hesaplanmasıyla elde edilir. Öncelikle

P_0 = 0,2

bilgisinden

\rho = 0,8

(yani

\lambda = 0,8\mu

) bağıntısı çıkarılır. Ardından sistemde kalma süresi olan

W = \frac{1}{\mu - \lambda} = 1

denkleminde yerine konularak mevcut durumdaki

\mu = 5

ve

\lambda = 4

değerleri kesin olarak bulunur. Yönetim varış hızını sabit (

\lambda = 4

) tutup kuyruktaki araç sayısını

L_q = \frac{4}{3}

yapmak istediğinden;

\frac{4^2}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - 4)} = \frac{4}{3}

eşitliği kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde

\mu_{yeni}^2 - 4\mu_{yeni} - 12 = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir. Denklemin pozitif kökü

\mu_{yeni} = 6

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Mevcut durumdaki varış hızı (λ) ve hizmet hızı (μ) değerlerini bulmak için boş kalma olasılığı (P_0) eşitliğini kullanın.

Sonuç:

P_0 = 1 - \rho = 0,2 \implies \rho = 0,8

. Buradan

\rho = \frac{\lambda}{\mu} = 0,8 \implies \lambda = 0,8\mu

elde edilir.

Neden: Sistemin boş kalma olasılığı, M/M/1 modelinde sistemin kullanım oranının (ρ) tümleyeni olarak tanımlanır.

2

Sistemde geçen ortalama süre (W) formülünü kullanarak parametrelerin mutlak değerlerini hesaplayın.

Sonuç:

W = \frac{1}{\mu - \lambda} = 1 \implies \mu - \lambda = 1

. Birinci adımda bulunan

\lambda = 0,8\mu

değeri yerine konulduğunda

\mu - 0,8\mu = 1 \implies 0,2\mu = 1 \implies \mu = 5

ve

\lambda = 4

bulunur.

Neden: Ortalama süre (W) bilindiğinde, λ ve μ arasındaki doğrusal ilişki kullanılarak her iki parametre kesin olarak çözülebilir.

3

Hedeflenen yeni durum için kuyruk uzunluğu (Lq) denklemini kurun.

Sonuç: Hedef

L_q = \frac{4}{3}

ve varış hızı

\lambda = 4

sabit kalacağından;

\frac{\lambda^2}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - \lambda)} = \frac{16}{\mu_{yeni}(\mu_{yeni} - 4)} = \frac{4}{3}

denklemi oluşturulur.

Neden: İyileştirme sadece hizmet hızında yapılacağı için, kuyruk uzunluğu formülünde yeni μ değeri yalnız bırakılır.

4

Oluşturulan denklemi çözerek yeni hizmet hızını bulun.

Sonuç: İçler dışlar çarpımı ile

48 = 4\mu_{yeni}^2 - 16\mu_{yeni} \implies \mu_{yeni}^2 - 4\mu_{yeni} - 12 = 0

. Çarpanlarına ayrıldığında

(\mu_{yeni} - 6)(\mu_{yeni} + 2) = 0

olur. Hizmet hızı pozitif olması gerektiğinden

\mu_{yeni} = 6

bulunur.

Neden: İkinci dereceden denklemin pozitif kökü sistemin aranan yeni fiziksel kapasitesini temsil eder.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modellerinde Kararlı Durum (Steady-State) Parametreleri ve Hedef Optimizasyonu

Alternatif Yöntem

Problemi hızla çözmek için Lq formülünü direkt kullanım oranı (ρ) üzerinden yazabilirsiniz:

L_q = \frac{\rho^2}{1-\rho}

. Hedeflenen

L_q = \frac{4}{3}

olduğundan;

\frac{\rho^2}{1-\rho} = \frac{4}{3} \implies 3\rho^2 + 4\rho - 4 = 0

. Çarpanlarına ayırırsak

(3\rho - 2)(\rho + 2) = 0

. Sistemin kararlı olabilmesi için

0 < \rho < 1

olmalıdır, bu nedenle geçerli kök

\rho = \frac{2}{3}

'tür.

\rho = \frac{\lambda}{\mu_{yeni}} = \frac{4}{\mu_{yeni}} = \frac{2}{3}

eşitliği kurularak

\mu_{yeni} = 6

sonucu doğrudan ve çok daha basit sayılarla bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 43Soru →

Zamana bağlı stokastik bir süreç olan ve bağımsız, durağan artışlara sahip standart bir Brown hareketi (Wiener süreci) $B(t)$ ile gösterilsin. $\mathcal{F}_t$ , bu sürecin $t$ anına kadar olan bilgisini içeren doğal filtrasyonudur.

Sıfırdan farklı bir

\alpha

gerçel sayısı kullanılarak yeni bir stokastik süreç,

X(t) = e^{\alpha B(t) - k t}

formülüyle tanımlanmıştır.

$X(t)$ sürecinin $\mathcal{F}_t$ 'ye göre bir martingal (martingale) olabilmesi için $k$ sabiti hangi değere eşit olmalıdır?

\alpha^2

0

\frac{\alpha^2}{2}

\frac{\alpha}{2}

\alpha

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\alpha^2}{2}$

Cevap

Martingal koşulunu sağlayan değer

\frac{\alpha^2}{2}

olmalıdır.

Bir üstel Brown hareketinin (Wald martingali) martingal olabilmesi için sürecin koşullu beklenen değerinin mevcut duruma eşit olması gerekir.

B(t) - B(s) \sim N(0, t-s)

olduğundan, beklenen değer hesabında Normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu olan

E[e^{\alpha(B(t)-B(s))}] = e^{\frac{1}{2}\alpha^2(t-s)}

kullanılır. Bu değerin deterministik zaman bileşeni olan

e^{-k(t-s)}

ile çarpımının 1'e (yani etkisiz elemana) eşit olması, ancak üslerin toplamının sıfır olmasıyla mümkündür:

\frac{1}{2}\alpha^2(t-s) - k(t-s) = 0 \implies k = \frac{\alpha^2}{2}

.

Adım Adım Çözüm

1

X(t)

'nin bir martingal olma koşulu olan

E[X(t) | \mathcal{F}_s] = X(s)

denklemini (burada

s < t

) yazmak.

E[e^{\alpha B(t) - kt} | \mathcal{F}_s] = e^{\alpha B(s) - ks}

eşitliği elde edilir.

Bir sürecin martingal sayılabilmesi için gelecekteki koşullu beklenen değerinin şu anki durumuna eşit olması gerekir.

2

X(t)

ifadesini bilinen

s

anı ve

(t-s)

zaman aralığındaki artış cinsinden çarpanlara ayırmak.

X(t) = e^{\alpha B(s) - ks} \cdot e^{\alpha(B(t)-B(s)) - k(t-s)}

şeklinde yeniden düzenlenir.

Brown hareketinde

B(t) - B(s)

artışı geçmişten (yani

\mathcal{F}_s

'den) bağımsızdır, bu sayede beklenen değer hesabı kolaylaşır.

3

Bağımsız artışın dağılımını kullanarak koşullu beklenen değeri hesaplamak.

B(t) - B(s) \sim N(0, t-s)

olduğundan, moment çıkaran fonksiyon kuralıyla

E[e^{\alpha(B(t)-B(s))}] = e^{\frac{1}{2}\alpha^2(t-s)}

bulunur.

Normal dağılımlı bir

Z \sim N(0, \sigma^2)

değişkeni için üstel beklenen değer formülü

E[e^{\alpha Z}] = e^{\frac{1}{2}\alpha^2 \sigma^2}

'dir.

4

Hesaplanan değeri yerine koyarak denklemi çözmek.

X(s) \cdot e^{-k(t-s)} \cdot e^{\frac{1}{2}\alpha^2(t-s)} = X(s)

eşitliğinden

e^{(t-s)(\frac{\alpha^2}{2} - k)} = 1

elde edilir. Üssün sıfır olması gerektiğinden

k = \frac{\alpha^2}{2}

bulunur.

Eşitliğin her iki tarafının dengelenmesi için üslü ifadenin 1'e, dolayısıyla üssün 0'a eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Wiener Süreci ve Martingal Özelliği (Wald Martingali)

Alternatif Yöntem

İto Lemması (Ito's Calculus) kullanılarak çözüm yapılabilir:

f(B, t) = e^{\alpha B - kt}

fonksiyonuna İto Lemması uygulandığında

df = (\frac{1}{2}\alpha^2 - k)f dt + \alpha f dB

diferansiyel denklemi elde edilir. Bir sürecin martingal olması için dt'li terimin (sürüklenme/drift terimi) sıfır olması gerekir. Buradan

\frac{1}{2}\alpha^2 - k = 0 \implies k = \frac{\alpha^2}{2}

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 44Soru →

Fiziksel, biyolojik veya ekonomik sistemlerde zamanla değişen ve belirsizlik içeren dinamikleri matematiksel olarak ifade etmek için stokastik süreçler teorisinden yararlanılır. Bir sistemin herhangi bir $t$ anındaki durumunu temsil eden rastgele değişkenler ailesi, sürecin temel yapıtaşlarını oluşturur.

Stokastik süreçleri oluşturan bileşenler, süreçlerin sınıflandırılması ve artış karakterleri göz önüne alındığında, aşağıdaki teorik açıklamalardan hangisi doğrudur?

Zaman parametresi kümesi (

T

) sürecin indekslendiği anları, durum uzayı (

S

) ise rastgele değişkenlerin alabileceği tüm olası değerleri belirtir; bu iki kümenin kesikli veya sürekli olmasına göre süreçler (örneğin sürekli zamanlı-kesikli durumlu gibi) dört farklı grupta sınıflandırılırken, sabit bir

\omega

deney çıktısı için zamana bağlı elde edilen

t \mapsto X(t,\omega)

atamasına örneklem fonksiyonu veya örneklem yolu adı verilir.

Bir stokastik sürecin bağımsız artışlı (independent increments) olarak tanımlanabilmesi için, örtüşmeyen zaman aralıklarındaki

X(t_2) - X(t_1)

ve

X(t_3) - X(t_2)

değişimlerinin ayrık olaylar kümesi oluşturması, yani eşzamanlı kesişimlerinin boş küme olması zorunludur.

Zaman parametresi ve durum uzayı sürekli olan standart Kahverengi hareket (Wiener süreci) modelinde, sürecin belirli bir

[t, t+s]

zaman aralığındaki artış miktarı, sürecin geçmiş

t

anına kadarki davranışına bağımlı bir yapı sergiler.

Sürecin herhangi iki farklı

t_1

ve

t_2

anındaki durumları olan

X(t_1)

ve

X(t_2)

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır ise, sürecin bu anlarda kesinlikle birbirinden bağımsız hareket ettiği söylenir.

Sürekli durum uzayına (

S

) sahip sürekli zamanlı bir stokastik süreçte, sürecin belirli bir

t

anında tam olarak spesifik bir

c

sabit değerini alma olasılığı olan

P(X(t) = c)

, o noktadaki olasılık yoğunluk fonksiyonunun değerine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Zaman parametresi kümesi ( $T$ ) sürecin indekslendiği anları, durum uzayı ( $S$ ) ise rastgele değişkenlerin alabileceği tüm olası değerleri belirtir; bu iki kümenin kesikli veya sürekli olmasına göre süreçler (örneğin sürekli zamanlı-kesikli durumlu gibi) dört farklı grupta sınıflandırılırken, sabit bir $\omega$ deney çıktısı için zamana bağlı elde edilen $t \mapsto X(t,\omega)$ atamasına örneklem fonksiyonu veya örneklem yolu adı verilir.

Cevap

Zaman parametresi kümesinin indeksleri, durum uzayının alabileceği değerleri belirttiği ve bu kümelerin süreklilik durumuna göre sürecin dört farklı sınıfa ayrılıp, gerçekleşen yörüngeye örneklem fonksiyonu dendiğini ifade eden seçenek doğrudur.

Stokastik süreçler teorisinde, sistemin indekslendiği anlar zaman parametresi kümesi (

T

), sistemin alabileceği değerler ise durum uzayı (

S

) olarak adlandırılır. Bu iki kümenin yapısı (kesikli veya sürekli olmaları), süreçleri dört ana gruba (örn. kesikli zaman-kesikli durum, sürekli zaman-kesikli durum vb.) ayırmamızı sağlar. Ayrıca, rassal bir sürecin doğası gereği, belirli bir deney sonucu (bir

\omega

çıktısı) sabitlendiğinde geriye kalan zamana bağlı fonksiyona sürecin örneklem yolu veya örneklem fonksiyonu denir. Bu açıklama tüm terminolojiyi matematiksel olarak doğru yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Stokastik sürecin temel kavramları olan

S

ve

T

kümelerinin işlevlerini analiz et.

T

(zaman parametresi kümesi) sistemin gözlemlendiği anları,

S

(durum uzayı) ise sistemin alabileceği değerleri gösterir.

Süreçlerin sınıflandırılabilmesi için temel kümelerin fonksiyonlarının doğru bilinmesi gerekir.

2

Örneklem fonksiyonu (sample function) ve örneklem yolu kavramını tanımla.

Belirli bir olay (

\omega

) gerçekleştiğinde, sürecin zamana göre çizdiği deterministik yörüngeye

X(\cdot, \omega)

örneklem yolu denir.

Rastgele değişken ailesinin tek bir deneme sonrasındaki gerçekleşmesini teorik olarak ayırmak için.

3

Sürecin artış özelliklerini ve bağımsızlık koşullarını değerlendir.

Bağımsız artışlı süreçlerde artışların olasılıksal olarak bağımsız olduğu teyit edilir; bunun ayrıklık (kesişim boşluğu) olmadığı hatırlanır.

Çeldirici seçeneklerde yer alan bağımsızlık/ayrıklık ve sıfır kovaryans hatalarına düşmemek için.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreç Bileşenleri ve Bağımsız Artışlar

Soru 45Soru →

Bir risk analizi modelinde, incelenen bir sistemin durum skoru her bir zaman adımında eşit olasılıkla $1$ birim artmakta veya $1$ birim azalmaktadır. Bu durum, $P(U_n = 1) = \frac{1}{2}$ ve $P(U_n = -1) = \frac{1}{2}$ olasılık dağılımına sahip, birbirinden bağımsız ve eş dağılımlı $\{U_n\}_{n \geq 1}$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Sistemin $n$ . adımdaki toplam durum skoru $S_0 = 0$ olmak üzere, $n \geq 1$ için $S_n = S_{n-1} + U_n$ eşitliği ile verilmektedir. $\mathcal{F}_n$ , $\{S_n\}$ sürecinin doğal filtrasyonu olsun.

Araştırmacılar, $M_n = S_n^2 - c \cdot n$ şeklinde yeni bir stokastik süreç tanımlamış ve bu sürecin $\mathcal{F}_n$ 'ye göre bir martingal olmasını hedeflemiştir. Analiz, sistemin skoru $4$ 'e ulaştığında (üst sınır) veya $-2$ 'ye düştüğünde (alt sınır) durdurulacaktır. Durdurma zamanı $T = \min\{n : S_n = 4 \text{ veya } S_n = -2\}$ olarak tanımlanmıştır.

Opsiyonel Durdurma Teoremi'nin (Optional Stopping Theorem) geçerli olduğu varsayımı altında, sürecin martingal olmasını sağlayan $c$ sabiti ile sistemin durdurulmasına kadar geçecek beklenen adım sayısı $E[T]$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

c = 1, \quad E[T] = 8

c = 1, \quad E[T] = 12

c = 1, \quad E[T] = 10

c = 0, \quad E[T] = 8

c = 2, \quad E[T] = 6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $c = 1, \quad E[T] = 8$

Cevap

c = 1

ve

E[T] = 8

değerlerini içeren seçenektir.

Sürecin martingal olması için

E[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_n

olmalıdır.

S_n

süreç adımlarının varyansı 1 olduğu için

M_n = S_n^2 - n

denklemi martingal koşulunu sağlar, dolayısıyla

c=1

dir. Opsiyonel Durdurma Teoremi gereği, martingal olan

S_n

süreci için

E[S_T] = 0

olmalıdır. Sınırlar

4

ve

-2

olduğundan,

4 \cdot P(S_T=4) - 2 \cdot P(S_T=-2) = 0

eşitliğinden

P(S_T=4) = 1/3

ve

P(S_T=-2) = 2/3

bulunur. Aynı teorem

M_n

süreci için uygulandığında

E[M_T] = 0

elde edilir, yani

E[T] = E[S_T^2]

olur.

E[S_T^2] = 16 \cdot (1/3) + 4 \cdot (2/3) = 24/3 = 8

olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

M_n

sürecinin martingal olma şartı olan

E[M_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = M_n

eşitliğini kurun.

E[S_n^2 + 2S_n U_{n+1} + U_{n+1}^2 - c(n+1) \mid \mathcal{F}_n] = M_n

Bir sürecin martingal olabilmesi için gelecekteki beklenen değerinin, mevcut bilgi (filtrasyon) altındaki değerine eşit olması gerekir.

2

Koşullu beklenen değeri hesaplayarak

c

sabitini bulun.

S_n^2 + 2S_n E[U_{n+1}] + E[U_{n+1}^2] - cn - c = S_n^2 + 1 - cn - c = M_n + 1 - c

. Buradan

1 - c = 0 \implies c = 1

elde edilir.

S_n

bilinen bir değerdir,

U_{n+1}

ise bağımsızdır.

E[U_{n+1}] = 0

ve

E[U_{n+1}^2] = 1

eşitlikleri kullanılmıştır.

3

\mathcal{F}_n

'ye göre bir martingal olan

S_n

için Opsiyonel Durdurma Teoremi'ni uygulayarak durdurma anındaki olasılıkları hesaplayın.

E[S_T] = S_0 = 0

. Sınırlara ulaşma olasılıkları

p = P(S_T = 4)

ise,

4p + (-2)(1-p) = 0 \implies 6p = 2 \implies p = 1/3

. Alt sınıra ulaşma olasılığı ise

2/3

olur.

Durdurma anında sürecin beklenen değeri başlangıç değerine (0) eşittir.

4

\mathcal{F}_n

'ye göre bir martingal olan

M_n = S_n^2 - n

için Opsiyonel Durdurma Teoremi'ni kullanarak

E[T]

değerini bulun.

E[M_T] = M_0 = 0 \implies E[S_T^2 - T] = 0 \implies E[T] = E[S_T^2]

.

E[S_T^2] = 4^2(1/3) + (-2)^2(2/3) = 16/3 + 8/3 = 8

.

M_n

bir martingal olduğundan durdurma anındaki beklenen değeri de

M_0 = 0

olacaktır.

Anahtar Kavram

Martingal Özellikleri ve Opsiyonel Durdurma Teoremi

Soru 46Soru →

Bir veri tabanı sunucusuna gelen anlık sorgu istekleri, saniyede ortalama $\lambda = 8$ sorgu oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$ , olarak modellenmektedir.

Buna göre, bu süreç ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Herhangi bir

3

saniyelik zaman aralığında tam olarak

2

sorgu gelme olasılığı, süreç parametresi zamanla değişmediği için

P(N(3)=2) = \frac{e^{-8} 8^2}{2!}

olarak hesaplanır.

Sürecin herhangi bir

t

zaman aralığında sunucuya ulaşan toplam sorgu sayısı

N(t)

, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(t) = 8e^{-8t}

olan sürekli bir dağılımla modellenir.

Sürece ait ardışık iki sorgu arasındaki bekleme süreleri üstel dağılıma sahiptir ve sürecin bağımsız artışlar özelliği gereği, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen sorgu sayıları birbirinden bağımsızdır.

Sürecin herhangi bir

t

anındaki toplam sorgu sayısı

N(t)

için, bu rastgele değişken

2

katsayısı ile çarpıldığında varyansı

Var(2N(t)) = 2 \cdot Var(N(t)) = 16t

olur.

Sürecin bağımsız artışlara sahip olması,

[0, 1]

zaman aralığında sorgu gelmesi olayı ile

[1, 2]

zaman aralığında sorgu gelmesi olaylarının ayrık (kesişimi boş küme) olaylar olduğunu ifade eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sürece ait ardışık iki sorgu arasındaki bekleme süreleri üstel dağılıma sahiptir ve sürecin bağımsız artışlar özelliği gereği, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen sorgu sayıları birbirinden bağımsızdır.

Cevap

Ardışık iki sorgu isteği arasında geçen süre üstel dağılıma sahiptir ve sürecin bağımsız artışlar özelliği gereği, kesişmeyen zaman aralıklarında gerçekleşen sorgu sayıları birbirinden bağımsızdır.

Poisson sürecinde, ardışık olaylar (sorgular) arasında geçen bekleme süreleri her zaman üstel dağılıma sahiptir. Aynı zamanda bu süreç 'bağımsız artışlar' (independent increments) özelliğine sahiptir; bu da kesişmeyen (farklı) zaman aralıklarında gözlemlenen olay sayılarının rastgele değişkenler olarak birbirinden bütünüyle bağımsız olduğu anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson sürecinde zaman parametresi ile olayın sayısının (kesikli) ve bekleme süresinin (sürekli) dağılımlarını belirlemek.

Olay sayısı (N(t)) Poisson dağılımına, bekleme süresi (T) Üstel dağılıma uyar.

Poisson sürecinin teorik tanımı gereği, olayların geliş sayıları kesikli iken geçen süre süreklidir.

2

Bağımsız artışlar özelliğinin anlamını analiz etmek.

Kesişmeyen (ayrık) zaman aralıklarındaki olay sayıları birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerdir.

Sürecin geçmişten bağımsız olarak sadece aralığın uzunluğuna bağlı olmasını sağlayan temel özelliktir.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu teorem ve kurallara göre test etmek.

Doğru olan tek ifade, bekleme sürelerinin üstel dağıldığı ve ayrık zaman aralıklarındaki artışların bağımsız olduğu C seçeneğindeki ifadedir.

Diğer ifadeler; oran parametresinin zamanla ölçeklenmemesi, varyans hesabı hatası ve ayrıklık-bağımsızlık kavramlarının karıştırılmasını içermektedir.

Anahtar Kavram

Poisson Sürecinin Özellikleri ve Dağılım İlişkileri

Soru 47Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsünde kullanılan tam otomatik seraların iklimlendirme sistemlerindeki özel filtreler, işlevini yitirdiği anda bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Bir filtrenin çalışma ömrü (ay cinsinden), şekil parametresi $\alpha = 4$ ve oran (rate) parametresi $\lambda = 0,5$ olan Gamma dağılımına sahiptir. Filtrelerin ömürleri birbirinden bağımsızdır.

$N(t)$ , $(0, t]$ zaman aralığında gerçekleştirilen toplam filtre yenileme sayısını ve $M(t) = E[N(t)]$ beklenen yenileme sayısını (yenileme fonksiyonu) göstermektedir.

Buna göre, uzun dönemde birim zaman başına beklenen yenileme oranı $\left( \lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} \right)$ ile yenileme sayısının asimptotik varyans oranı $\left( \lim_{t \to \infty} \frac{Var(N(t))}{t} \right)$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{1}{8}

ve

\frac{1}{8}

8

ve

16

\frac{1}{8}

ve

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

ve

\frac{1}{32}

\frac{1}{2}

ve

\frac{1}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{8}$ ve $\frac{1}{32}$

Cevap

Doğru değerler sırasıyla

1/8

ve

1/32

'dir.

Temel yenileme teoremine göre uzun dönem yenileme oranı

1/\mu

ile bulunur. Asimptotik varyans oranı ise

\sigma^2 / \mu^3

formülü ile hesaplanır. Verilen Gamma dağılımının beklenen değeri

\mu = \alpha/\lambda = 8

ve varyansı

\sigma^2 = \alpha/\lambda^2 = 16

'dır. Bu değerler asimptotik limit formüllerinde yerine konulduğunda oranlar sırasıyla

1/8

ve

16/512 = 1/32

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Filtre ömrünün (X) beklenen değerini (

\mu

) hesaplama

\mu = \frac{\alpha}{\lambda} = \frac{4}{0,5} = 8

ay

Temel yenileme teoreminde uzun dönem yenileme oranı formülü olan

1/\mu

'yü bulmak için gereklidir.

2

Filtre ömrünün varyansını (

\sigma^2

) hesaplama

\sigma^2 = \frac{\alpha}{\lambda^2} = \frac{4}{(0,5)^2} = \frac{4}{0,25} = 16

Asimptotik varyans oranını formülize edebilmek için dağılımın varyansına ihtiyaç vardır.

3

Uzun dönem birim zaman başına beklenen yenileme oranını hesaplama

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{8}

Temel yenileme teoremi,

t \to \infty

için bu limitin

1/\mu

olduğunu garanti eder.

4

Yenileme sayısının asimptotik varyans oranını hesaplama

\lim_{t \to \infty} \frac{Var(N(t))}{t} = \frac{\sigma^2}{\mu^3} = \frac{16}{8^3} = \frac{16}{512} = \frac{1}{32}

Merkezi limit teoreminin yenileme süreçlerine uygulanmasıyla elde edilen asimptotik varyans formülü

\sigma^2/\mu^3

'tür.

Anahtar Kavram

Yenileme Süreçlerinde Asimptotik Limit Teoremleri

Soru 48Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen bir denetim sürecinde, incelenen her bir dosya, işlem sonucunda rastgele sayıda yeni alt dosya incelenmesini gerektirmektedir. Bu durum bir Galton-Watson dallanma süreci $\{X_n, n \geq 0\}$ ile modellenmektedir.

Başlangıçta incelenen $1$ adet dosya ( $X_0 = 1$ ) bulunmaktadır. Bir dosyanın yarattığı yeni alt dosya sayısının ( $Y$ ) olasılık dağılımı aşağıdaki gibidir:

\begin{itemize}
\item $P(Y = 0) = \frac{1}{6}$
\item $P(Y = 1) = \frac{1}{3}$
\item $P(Y = 2) = \frac{1}{2}$
\end{itemize}

Buna göre, bu denetim sürecinin er ya da geç tamamen sonlanma olasılığı ( $\pi$ ) ile 2. adımda (nesilde) incelenmesi beklenen ortalama dosya sayısı ( $E[X_2]$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{3}

ve

\frac{16}{9}

1

ve

\frac{16}{9}

\frac{1}{3}

ve

\frac{4}{3}

\frac{1}{6}

ve

\frac{16}{9}

1

ve

\frac{4}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$ ve $\frac{16}{9}$

Cevap

Sürecin sonlanma olasılığı

\frac{1}{3}

ve 2. nesilde beklenen dosya sayısı

\frac{16}{9}

'dur.

Sürecin tek bir adımda üreteceği beklenen dosya sayısı

\mu = 0(\frac{1}{6}) + 1(\frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{4}{3}

olarak bulunur.

\mu > 1

olduğu için süreç süperkritiktir ve sonlanma olasılığı (

\pi

), olasılık üreten fonksiyon

G(s) = s

denkleminin

[0,1)

aralığındaki köküdür. Denklemi kurduğumuzda:

\frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{2}s^2 = s \implies 3s^2 - 4s + 1 = 0 \implies (3s-1)(s-1)=0

olur.

\mu > 1

şartından dolayı 1'den küçük olan kök alınmalıdır, yani

\pi = \frac{1}{3}

'tür. İkinci adımda (nesilde) incelenmesi beklenen ortalama dosya sayısı ise

E[X_n] = \mu^n

formülüyle

E[X_2] = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Bir dosyanın üreteceği beklenen yeni dosya sayısını (

\mu

) hesaplamak.

\mu = E[Y] = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}

.

Sürecin dallanma karakteristiğini (süperkritik, kritik, kritikaltı) belirlemek ve beklenen değer formülünü kurabilmek için

\mu

hesaplanmalıdır.

2

Sürecin sonlanma olasılığını (

\pi

) bulmak için

G(s) = s

denklemini çözmek.

G(s) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}s + \frac{1}{2}s^2 = s \implies 3s^2 - 4s + 1 = 0 \implies (3s-1)(s-1)=0

. Kökler

s_1=1

ve

s_2=\frac{1}{3}

olarak bulunur.

Dallanma süreçlerinde sonlanma olasılığı her zaman

G(s)=s

denkleminin

[0, 1]

aralığındaki en küçük köküdür.

3

\mu

'nün durumuna göre doğru kökü seçmek.

\mu = \frac{4}{3} > 1

(süperkritik süreç) olduğu için, sürecin kesin olarak sonlanmama ihtimali vardır ve sonlanma olasılığı

\pi < 1

olmak zorundadır. Dolayısıyla

\pi = \frac{1}{3}

'tür.

Süperkritik süreçlerde sonlanma olasılığı 1'den kesinlikle küçüktür.

4

2. adımdaki beklenen dosya sayısını (

E[X_2]

) hesaplamak.

E[X_n] = \mu^n

formülüne göre,

E[X_2] = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}

elde edilir.

Her nesildeki ortalama birey sayısı, başlangıçtaki birey sayısının (

X_0=1

)

\mu^n

katı olarak büyür.

Anahtar Kavram

Süperkritik Dallanma Süreçlerinde Sonlanma Olasılığı ve Olasılık Üreten Fonksiyon

Soru 49Soru →

Bir veri merkezindeki sunucu ağının kümülatif işlem yükü sapması, $\{\mathcal{F}_n\}_{n \ge 0}$ filtrasyonuna göre $M_0 = 0$ başlangıç değeriyle $M_n = \sum_{i=1}^n \Delta_i$ stokastik süreci olarak modellenmiştir. Bu süreçteki $\Delta_i$ adım değişimlerinin, her $n \ge 1$ için

E[\Delta_n | \mathcal{F}_{n-1}] = 0 \quad \text{ve} \quad E[\Delta_n^2 | \mathcal{F}_{n-1}] = \sigma^2 \quad (\sigma^2 > 0)

şartlarını sağladığı bilinmektedir.

Sistem yöneticisi, soğutma sisteminin enerji maliyeti projeksiyonunu yapabilmek amacıyla karesel sapmayı temsil eden $C_n = M_n^2$ sürecini ve bu maliyetin kompanze edilmiş hali olan $N_n = C_n - n\sigma^2$ sürecini tanımlamıştır.

Buna göre, $C_n$ sürecinin martingal teorisine göre sınıflandırması ve Opsiyonel Durdurma Teoremi (Optional Stopping Theorem) şartlarını sağlayan sonlu bir $T$ durdurma zamanı için $E[N_T]$ beklenen değeri aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

C_n

alt martingaldir ve

E[N_T] = 0

C_n

martingaldir ve

E[N_T] = 0

C_n

alt martingaldir ve

E[N_T] = E[T]\sigma^2

C_n

üst martingaldir ve

E[N_T] = \sigma^2

C_n

üst martingaldir ve

E[N_T] = -E[T]\sigma^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $C_n$ alt martingaldir ve $E[N_T] = 0$

Cevap

Süreç

C_n

bir alt martingaldir ve Opsiyonel Durdurma Teoremi gereği kompanze edilmiş sürecin beklenen değeri

E[N_T] = 0

olur.

Doğru sınıflandırma ve beklenti değeri şöyledir:

C_n

sürecinin koşullu beklenen değeri, karesel artışın getirdiği

\sigma^2

terimi nedeniyle daima mevcut değerinden fazladır.

E[C_n | \mathcal{F}_{n-1}] = C_{n-1} + \sigma^2 \ge C_{n-1}

eşitsizliği

C_n

'in alt martingal olduğunu kanıtlar.

N_n = C_n - n\sigma^2

süreci ise bu

\sigma^2

artışını her adımda kompanze ettiği için tam bir martingal olur. Opsiyonel Durdurma Teoremi uygulandığında, bir martingalin durdurma anındaki beklenen değeri baştaki değere (

N_0 = 0

) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

C_n

sürecinin koşullu beklenen değerini hesapla.

E[C_n | \mathcal{F}_{n-1}] = E[M_n^2 | \mathcal{F}_{n-1}] = E[(M_{n-1} + \Delta_n)^2 | \mathcal{F}_{n-1}]

formülü yazılır.

Sürecin martingal sınıflandırmasını yapabilmek için bir sonraki adımın mevcut bilgiye göre beklenen durumuna bakmak gerekir.

2

Parantez içini açarak terimleri ayrıştır ve koşullu beklenen değer özelliklerini uygula.

E[M_{n-1}^2 + 2M_{n-1}\Delta_n + \Delta_n^2 | \mathcal{F}_{n-1}] = M_{n-1}^2 + 2M_{n-1}E[\Delta_n|\mathcal{F}_{n-1}] + E[\Delta_n^2|\mathcal{F}_{n-1}]

elde edilir.

M_{n-1}

değeri

\mathcal{F}_{n-1}

bilindiğinde bir sabit gibi dışarı çıkar.

3

Verilen şartları yerine koyarak sınıflandırmayı tamamla.

M_{n-1}^2 + 2M_{n-1}(0) + \sigma^2 = C_{n-1} + \sigma^2

.

\sigma^2 > 0

olduğundan

E[C_n | \mathcal{F}_{n-1}] \ge C_{n-1}

bulunur. Bu nedenle

C_n

alt martingaldir.

Bir sürecin koşullu beklentisi kendisinden büyükse bu süreç alt martingal (submartingale) olarak adlandırılır.

4

N_n

sürecinin martingal özelliğini test et.

E[N_n | \mathcal{F}_{n-1}] = E[C_n - n\sigma^2 | \mathcal{F}_{n-1}] = C_{n-1} + \sigma^2 - n\sigma^2 = C_{n-1} - (n-1)\sigma^2 = N_{n-1}

. Süreç martingaldir.

C_n

sürecinden sistematik artış terimi olan kompanzatör (Doob ayrışımı) çıkarıldığında geriye saf bir martingal kalır.

5

Opsiyonel Durdurma Teoremini uygula.

E[N_T] = E[N_0] = E[M_0^2 - 0] = E[0] = 0

bulunur.

Uygun şartları sağlayan bir durdurma zamanı

T

için martingal sürecinin beklenen değeri ilk andaki değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Martingal Süreçlerin Sınıflandırılması ve Doob-Meyer Ayrışımı

Soru 50Soru →

Bir Nüfus ve Vatandaşlık İşleri ilçe müdürlüğünde, pasaport yenileme işlemleri için tek bir banko hizmet vermektedir (M/M/1 modeli). Bu bankoya başvuru yapan vatandaşların gelişleri Poisson sürecine uygun olup, saatte ortalama $20$ kişi gelmektedir.

Müdürlük yönetimi, hizmet standartları gereği bir vatandaşın kuyrukta (bekleme hattında) geçirdiği ortalama sürenin en fazla $4$ dakika olmasını hedeflemektedir.

Buna göre, bu hedefin sağlanabilmesi için gişe memurunun hizmet hızının (üstel dağılıma uygun olarak) saatte ortalama en az kaç kişi olması gerekir?

20

25

30

35

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Hedefin sağlanabilmesi için gişe memurunun hizmet hızının saatte ortalama en az 30 kişi olması gerekir.

M/M/1 kuyruk modelinde kuyrukta bekleme süresi

W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}

formülü ile hesaplanır. Dakika cinsinden verilen

4

dakikalık hedeflenen bekleme süresi saate çevrildiğinde

1/15

saat elde edilir. Formülde

\lambda = 20

ve

W_q = 1/15

yerine konulduğunda

\frac{20}{\mu^2 - 20\mu} = \frac{1}{15}

denklemi ortaya çıkar. İçler dışlar çarpımı yapıldığında

\mu^2 - 20\mu - 300 = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir. Çarpanlarına ayırma işlemi sonucunda kökler

30

ve

-10

olarak bulunur. Hizmet hızı pozitif bir değer olması gerektiğinden doğru sonuç

\mu = 30

'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri ve istenen hedefi standart zaman birimlerine (saat) dönüştürmek.

Varış hızı

\lambda = 20

kişi/saat. Hedeflenen kuyrukta bekleme süresi

W_q = 4 \text{ dakika} = \frac{4}{60} \text{ saat} = \frac{1}{15} \text{ saat}

.

Kuyruk formüllerinde varış ve hizmet hızlarının zaman birimleri ile bekleme sürelerinin birimleri birbiriyle mutlaka tutarlı olmalıdır.

2

Little Kanunu'nu kullanarak kuyruktaki ortalama kişi sayısını (

L_q

) hesaplamak.

L_q = \lambda \times W_q = 20 \times \frac{1}{15} = \frac{4}{3} \text{ kişi}

.

Little Kanunu (

L_q = \lambda W_q

),

W_q

bilindiğinde

L_q

değerine hızlıca geçiş yapmayı sağlar ve kullanılacak formülü basitleştirir.

3

M/M/1 modeli için

L_q

formülünü yazıp

\mu

(hizmet hızı) değerini bulmak amacıyla ana denklemi kurmak.

L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} \implies \frac{4}{3} = \frac{20^2}{\mu(\mu - 20)} \implies \frac{4}{3} = \frac{400}{\mu^2 - 20\mu}

.

Sistemdeki tek bilinmeyen olan

\mu

değerini bulmak için standart M/M/1 kuyruk uzunluğu formülü kullanılır.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözmek.

4(\mu^2 - 20\mu) = 1200 \implies \mu^2 - 20\mu - 300 = 0

. Bu denklem

(\mu - 30)(\mu + 10) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Hizmet hızı pozitif olacağından

\mu = 30

kişi/saat olarak elde edilir.

Gerekli minimum hizmet hızını matematiksel olarak net bir şekilde belirlemek için ikinci dereceden denklem çözülmelidir.

Anahtar Kavram

M/M/1 Kuyruk Modellerinde Performans Ölçütleri ve Little Kanunu

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 51Soru →

Bir merkez bankasının finansal istikrar birimi, piyasa dinamiklerini modellemek amacıyla iki farklı stokastik süreç tanımlamıştır:

I. Her işlem gününün kapanışında kaydedilen ulusal likidite endeksi değeri.
II. Gün içerisinde herhangi bir anda sisteme ulaşan toplam anlık EFT işlem sayısı.

Bu $\{X(t), t \in T\}$ stokastik süreçlerinin durum uzayı ( $S$ ), zaman parametresi kümesi ( $T$ ) ve temel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

I. modelin zaman parametresi kümesi (

T

) kesikli olup durum uzayı (

S

) sürekliyken; II. model sürekli zamanlı ve kesikli durumlu bir süreci yansıtır ve bu süreçlerin sabit bir

\omega

sonucu için zamana göre çizimi örneklem yolunu oluşturur.

Süreçlerin bağımsız artışlı bir yapıya sahip olması, herhangi iki kesişmeyen zaman aralığındaki durum değişimlerinin örnek uzayda ayrık (kesişimleri boş küme) olaylar olmasını gerektirir.

Sabit bir

t

zamanı için sürecin alabileceği tüm değerlerin oluşturduğu fonksiyona örneklem fonksiyonu denir ve bu fonksiyonların gelecekteki beklenen değeri her zaman mevcut durumuna eşittir.

II. modelin farklı zaman dilimlerindeki gözlemleri arasındaki kovaryansın sıfır bulunması, bu sürecin kesinlikle bağımsız artışlı bir stokastik süreç olduğunu matematiksel olarak kanıtlar.

I. model sürekli zamanlı bir yapıda olup, II. modelde ardışık iki EFT işlemi arasında geçen bekleme süreleri Poisson dağılımı ile modellenen kesikli durumlu bir yapı gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I. modelin zaman parametresi kümesi ( $T$ ) kesikli olup durum uzayı ( $S$ ) sürekliyken; II. model sürekli zamanlı ve kesikli durumlu bir süreci yansıtır ve bu süreçlerin sabit bir $\omega$ sonucu için zamana göre çizimi örneklem yolunu oluşturur.

Cevap

I. modelin zaman parametresi kesikli, durum uzayı sürekli; II. modelin zaman parametresi sürekli, durum uzayı kesiklidir ve süreçlerin belirli bir gerçekleşmesi örneklem yolunu oluşturur.

I. modelde endeks sadece gün sonlarında kaydedildiği için zaman parametresi kesiklidir, ancak endeksin alabileceği değerler süreklidir. II. modelde işlemler zamanın herhangi bir anında gerçekleşebildiği için zaman süreklidir, fakat sayım yapıldığı için durum uzayı kesiklidir. Ayrıca, olasılık teorisinde bir stokastik sürecin sabit bir örnek uzay çıktısı (

\omega

) için zamana (

t

) bağlı çizimi örneklem yolu (sample path) olarak tanımlanır.

Adım Adım Çözüm

1

I. modelin zaman ve durum özelliklerini belirle.

Zaman: 'Her günün kapanışı' (Kesikli,

T = \{1, 2, 3, ...\}

). Durum: 'Endeks değeri' (Sürekli,

S = \mathbb{R}

).

Zaman parametresi kümesinin (

T

) ve durum uzayının (

S

) yapısı sürecin sınıflandırılmasını sağlar.

2

II. modelin zaman ve durum özelliklerini belirle.

Zaman: 'Herhangi bir an' (Sürekli,

t \geq 0

). Durum: 'İşlem sayısı' (Kesikli,

S = \{0, 1, 2, ...\}

).

Süreçlerin ayrımını netleştirmek ve sınıflandırmayı tamamlamak için.

3

Örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) kavramını teorik tanımla karşılaştır.

Bir

\{X(t)\}

sürecinde

\omega \in \Omega

sabitlenip,

t \in T

değiştirildiğinde elde edilen deterministik fonksiyona örneklem yolu denir.

Seçeneklerdeki kavramsal iddiaların doğruluğunu test etmek için.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreçlerde Zaman (

T

) ve Durum Uzayı (

S

) Sınıflandırması

Soru 52Soru →

Bir stokastik süreç modelinde, $\{X_t\}_{t \geq 0}$ başlangıç değeri $X_0 = 0$ olan standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) olarak tanımlanmaktadır.

Buna göre, sürecin $t = 2$ anındaki konumu olan $X_2$ ile $t = 8$ anındaki konumu olan $X_8$ rastgele değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı kaçtır?

0

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Standart Wiener sürecinin kovaryans ve varyans özelliklerine göre hesaplanan korelasyon katsayısı

\frac{1}{2}

'dir.

Standart Wiener sürecinde

Cov(X_t, X_s) = \min(t, s)

özelliğinden hareketle

Cov(X_2, X_8) = 2

olarak elde edilir. Aynı sürecin varyans özelliği

Var(X_t) = t

olduğundan,

Var(X_2) = 2

ve

Var(X_8) = 8

değerleri bulunur. Tüm bu değerler korelasyon formülünde yerine konulduğunda

\rho = \frac{2}{\sqrt{2 \times 8}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X_2

ve

X_8

rastgele değişkenlerinin kovaryansını hesaplama.

Cov(X_2, X_8) = \min(2, 8) = 2

Standart Wiener sürecinde

s

ve

t

zamanlarındaki iki noktanın kovaryansı, her zaman zamanların minimum olanına

\min(s, t)

eşittir.

2

Değişkenlerin varyanslarını belirleme.

Var(X_2) = 2

ve

Var(X_8) = 8

Standart Wiener sürecinin tanımı gereği, herhangi bir

t

anındaki rastgele değişkenin varyansı zamana (

Var(X_t) = t

) eşittir.

3

Korelasyon katsayısı formülünü uygulama.

\rho(X_2, X_8) = \frac{Cov(X_2, X_8)}{\sqrt{Var(X_2) \times Var(X_8)}} = \frac{2}{\sqrt{2 \times 8}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

İki rastgele değişken arasındaki korelasyon katsayısı, kovaryanslarının standart sapmalarının çarpımına oranlanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Standart Wiener sürecinde kovaryans ve korelasyon katsayısı ilişkisi

Alternatif Yöntem

X_8

değeri bağımsız artışlar kuralıyla

X_8 = X_2 + (X_8 - X_2)

şeklinde parçalanabilir. Buradan kovaryans işlemi dağıtılarak

Cov(X_2, X_8) = Cov(X_2, X_2) + Cov(X_2, X_8 - X_2)

yazılır. Artışlar bağımsız olduğu için ikinci terim sıfırdır. Böylece

Cov(X_2, X_8) = Var(X_2) = 2

sonucuna çok daha pratik ve sezgisel bir şekilde varılabilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 53Soru →

Bir petrokimya tesisindeki kritik bir kimyasal reaktörün basınç stabilizasyon valfi, arıza ve onarım süreçlerine bağlı olarak $S = \{V_1, V_2, V_3\}$ durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov zinciri (CTMC) ile izlenmektedir. Sistemdeki geçiş oranlarını $\text{saat}^{-1}$ cinsinden gösteren sonsuz küçük üreteç (infinitesimal generator) matrisi $Q$ aşağıda verilmiştir:

Q = \begin{bmatrix} -a & 4 & 0 \\ 3 & -5 & b \\ 0 & 6 & -c \end{bmatrix}

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinin temel özellikleri dikkate alındığında, bu sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) $V_2$ durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4}{25}

\frac{3}{16}

\frac{12}{37}

\frac{1}{3}

\frac{12}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{12}{25}$

Cevap

Sistemin uzun dönemde

V_2

durumunda bulunma olasılığı

\frac{12}{25}

'tir.

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde Q-matrisinin satır toplamları sıfır olmalıdır. Buradan matristeki eksik

b

değeri 2 olarak bulunur. Kararlı durum denklemleri (

\pi Q = 0

) çözüldüğünde

\pi_2 = \frac{4}{3}\pi_1

ve

\pi_3 = \frac{4}{9}\pi_1

oranları elde edilir. Toplam olasılığın 1 olma şartından

\pi_1 = \frac{9}{25}

, ve dolayısıyla soruda istenen

V_2

durumunun olasılığı

\pi_2 = \frac{12}{25}

olarak kesin biçimde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Q-matrisinin özelliklerini kullanarak bilinmeyen geçiş oranlarını (

a, b, c

) bulmak.

Satır toplamları sıfır olmalıdır:

2.\text{ satır için } 3 - 5 + b = 0 \implies b = 2

. Diğer satırlardan

a=4

ve

c=6

elde edilir.

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde herhangi bir durumdan ayrılma hızı (köşegen elemanın negatifi), diğer tüm durumlara geçiş hızlarının toplamına eşit olmalıdır.

2

Kararlı durum (steady-state) denklemlerini (

\pi Q = 0

) kurmak.

-4\pi_1 + 3\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{4}{3}\pi_1

ve

2\pi_2 - 6\pi_3 = 0 \implies \pi_3 = \frac{1}{3}\pi_2 = \frac{4}{9}\pi_1

oranları elde edilir.

Uzun dönemde sistem dengededir, yani bir duruma giriş hızlarının toplamı, o durumdan çıkış hızlarının toplamına eşit olmalıdır (Global denge denklemleri).

3

Toplam olasılık kuralını uygulayarak

\pi_1

olasılığını bulmak.

\pi_1 + \frac{12}{9}\pi_1 + \frac{4}{9}\pi_1 = 1 \implies \frac{25}{9}\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = \frac{9}{25}

olarak bulunur.

Sistem her an mutlak suretle bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır, bu nedenle kararlı durum olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.

4

İstenilen

V_2

durumu için kararlı durum olasılığını hesaplamak.

\pi_2 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25}

bulunur.

Soruda sistemin uzun dönemde

V_2

durumunda bulunma olasılığı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi ve Üreteç Matrisi

Soru 54Soru →

Bir büyükşehir belediyesine ait otobüs filosunun haftalık operasyonel durumları, durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olan kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Durumlar sırasıyla şu şekildedir:

1: Seferde
2: Rutin Bakımda
3: Arızalı

Bu Markov zincirinin tek adımlı geçiş olasılık matrisi

P

aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0,6 & 0,3 & 0,1 \\ 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,4 & 0,4 & 0,2 \end{bmatrix}

Başlangıçta ( $t=0$ ) seferde olduğu bilinen bir otobüsün, 2. haftanın sonunda ( $t=2$ ) arızalı duruma geçtiği gözlemlenmiştir.

Buna göre, bu otobüsün 1. haftanın sonunda ( $t=1$ ) rutin bakımda olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{11}

\frac{3}{100}

\frac{11}{100}

\frac{3}{10}

\frac{1}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{11}$

Cevap

İstenen olasılık

\frac{3}{11}

'dir.

İstenen durum, başlangıç ve bitiş noktası belli olan bir sürecin aradaki adımını sormaktadır. Markov zincirinin hafızasızlık özelliği kullanılarak Bayes teoremi uygulandığında, payda 1'den 2'ye ve 2'den 3'e geçiş olasılıklarının çarpımı olan 0,03 değeri bulunur. Paydada ise 1'den 3'e 2 adımda ulaşılabilecek tüm yolların (1->1->3, 1->2->3, 1->3->3) toplamı olan 0,11 değeri yer alır. Bu iki değerin oranı bize doğru sonucu, yani 3/11'i verir.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen olasılığı Bayes teoremi ve Markov özelliğini kullanarak matematiksel olarak ifade et.

P(X_1=2 | X_2=3, X_0=1) = \frac{P(X_1=2 | X_0=1) \cdot P(X_2=3 | X_1=2)}{P(X_2=3 | X_0=1)}

Markov özelliğine göre, geçmiş ve gelecek bilindiğinde aradaki bir durumun olasılığı, ardışık geçiş olasılıkları çarpımının, uçtan uca toplam geçiş olasılığına bölünmesiyle bulunur.

2

Koşullu olasılığın pay kısmındaki çarpımı hesapla.

P_{12} \cdot P_{23} = 0,3 \cdot 0,1 = 0,03

Bu değer, otobüsün 1. haftada 2. duruma uğrayıp ardından 3. duruma geçme (istenen yol) olasılığını verir.

3

Koşullu olasılığın paydasında yer alan 2 adımlı geçiş olasılığını (

P_{13}^{(2)}

) hesapla.

P_{13}^{(2)} = (P_{11}\cdot P_{13}) + (P_{12}\cdot P_{23}) + (P_{13}\cdot P_{33}) = (0,6 \cdot 0,1) + (0,3 \cdot 0,1) + (0,1 \cdot 0,2) = 0,06 + 0,03 + 0,02 = 0,11

Başlangıçta 1 numaralı durumda olan sistemin 2. adımda 3 numaralı durumda olabilmesi için geçebileceği tüm olası yolların toplam olasılığı (marjinal oran) hesaplanmalıdır.

4

Payı paydaya bölerek nihai koşullu olasılığı bul.

\frac{0,03}{0,11} = \frac{3}{11}

Belirli bir yoldan gitme olasılığının, koşulun sağlandığı tüm olası yolların toplam olasılığına oranı bize koşullu olasılığı verir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Markov Zincirlerinde Geriye Dönük Çıkarım

Soru 55Soru →

Bir tarım bölgesindeki günlük hava durumu 'Yağışlı' ( $Y$ ) ve 'Güneşli' ( $G$ ) olmak üzere iki durumlu bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Sürece ilişkin tek adımlı geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0,4 & 0,6 \\ 0,3 & 0,7 \end{bmatrix}

Matristeki satır ve sütunlar sırasıyla $Y$ ve $G$ durumlarını temsil etmektedir. Buna göre, bugün havanın yağışlı olduğu bilindiğine göre yarın güneşli olma olasılığı kaçtır?

0,3

0,4

0,6

0,7

1,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,6

Cevap

Yağışlı durumdan güneşli duruma geçiş olasılığı 0,6'dır.

Geçiş olasılıkları matrisinde

P_{ij}

, sürecin

i

durumundan

j

durumuna geçme olasılığını temsil eder. Soru kökünde bugün havanın yağışlı (

Y

) olduğu belirtilmiştir, bu durum matrisin ilk satırına karşılık gelir. Yarın güneşli (

G

) olma olasılığı ise ilk satır ile ikinci sütunun kesiştiği nokta olan 0,6 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Durum uzayını ve matris dizilimini belirleme

Durumlar:

Y

(1. durum) ve

G

(2. durum). Matris

2 \times 2

boyutundadır.

Olasılıkları doğru satır ve sütundan okumak için indislerin karşılık geldiği durumları netleştirmek gerekir.

2

Koşullu olasılık ifadesini matris indislerine dönüştürme

İstenen olasılık

P(X_{t+1} = G | X_t = Y)

yani

P_{YG}

'dir.

Markov zincirlerinde

P_{ij}

ifadesi,

i

durumundan

j

durumuna geçiş olasılığını gösterir.

3

Matristen ilgili değeri okuma

P_{YG}

matrisin 1. satır ve 2. sütununda bulunan 0,6 değeridir.

Matris tanımına göre ilk satır

Y

durumundan çıkışları, ikinci sütun ise

G

durumuna girişleri temsil eder.

Anahtar Kavram

Geçiş olasılıkları matrisinde satırlar mevcut durumu, sütunlar ise bir sonraki adımdaki durumu temsil eder.

Alternatif Yöntem

Geçiş diyagramı (durum geçiş grafiği) çizilerek

Y

düğümünden

G

düğümüne giden okun üzerindeki değer doğrudan görülebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 56Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezindeki bir sunucunun günlük durumu "Çalışıyor" (1) ve "Arızalı" (2) olmak üzere iki durumda incelenmektedir. Sunucunun durumları arasındaki geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.1 \\ 0.4 & 0.6 \end{bmatrix}

Buna göre, bu sistemin uzun dönemdeki (kararlı durum) "Çalışıyor" durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,8

Cevap

Sistemin uzun dönemde "Çalışıyor" durumunda olma olasılığı 0,8'dir.

Verilen geçiş matrisine göre kararlı durum denklemleri kurulduğunda

0,1π_1 = 0,4π_2

ilişkisi elde edilir. Toplam olasılık kuralı olan

π_1 + π_2 = 1

eşitliği ile birleştirildiğinde

4π_2 + π_2 = 1

den

5π_2 = 1

ve sonuç olarak

π_2 = 0,2

bulunur. Buradan

π_1 = 0,8

olarak hesaplanır ve bu değer sistemin uzun dönemde çalışır vaziyette olma ihtimalidir.

Adım Adım Çözüm

1

Kararlı durum denklemlerini (

π P = π

) yazın.

0,9π_1 + 0,4π_2 = π_1

ve

0,1π_1 + 0,6π_2 = π_2

Kararlı durumda sistemin durum olasılıkları zamanla değişmez.

2

Denklemi basitleştirin.

0,1π_1 = 0,4π_2 \Rightarrow π_1 = 4π_2

Durumlar arasındaki ilişkiyi belirlemek için denklemlerden biri kullanılır.

3

Normalleştirme koşulunu (

π_1 + π_2 = 1

) uygulayın.

4π_2 + π_2 = 1 \Rightarrow 5π_2 = 1 \Rightarrow π_2 = 0,2

Tüm durum olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.

4

İstenen durumun (

π_1

) değerini hesaplayın.

π_1 = 4 \times 0,2 = 0,8

"Çalışıyor" durumu (durum 1) sorulduğu için

π_1

hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kararlı Durum Olasılıkları

İpuçları

1

Kararlı durum olasılıkları için

\pi P = \pi

sistemini çözmeniz gerekir.

2

Denklemlerden birini (örneğin

0,1\pi_1 = 0,4\pi_2

) seçin ve bunu

\pi_1 + \pi_2 = 1

kuralı ile birlikte kullanın.

3

Eğer

\pi_1 = 4\pi_2

ise, toplamları olan

5\pi_2

ifadesini 1'e eşitleyerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Geçiş matrisindeki olasılıkları değiştirerek (örneğin

p_{12}=0,2

) kararlı durum olasılıklarının nasıl değiştiğini inceleyin.

Tahmini Süre:45s

Soru 57Soru →

Bir belediyenin sosyal yardım başvuru sisteminde dosyaların durumları 'Sırada' (1), 'İncelemede' (2) ve 'Sonuçlandı' (3) olarak sınıflandırılmaktadır. Bu sürece ait tek adımlı geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0,6 & 0,4 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Buna göre, bu Markov zincirinde hangi durum 'yutucu' (absorbing) durum olarak sınıflandırılır?

Sadece 1 numaralı durum

Sadece 2 numaralı durum

Sadece 3 numaralı durum

1 ve 2 numaralı durumlar

1, 2 ve 3 numaralı durumlar

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sadece 3 numaralı durum

Cevap

Sadece 3 numaralı durum yutucu (absorbing) bir durumdur.

Markov zincirlerinde bir durumun yutucu (absorbing) olarak adlandırılabilmesi için o durumdan ayrılma olasılığının 0 olması gerekir. Verilen matriste 3. satır incelendiğinde,

P_{33} = 1

ve diğer geçiş olasılıklarının (

P_{31}

ve

P_{32}

) 0 olduğu görülmektedir. Bu, sürecin 3 numaralı duruma girdiğinde orada sonsuza kadar kalacağı anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Geçiş olasılıkları matrisindeki köşegen elemanlarını (

P_{ii}

) inceleyin.

P_{11} = 0,6

,

P_{22} = 0,5

,

P_{33} = 1,0

.

Yutucu durum tanımı gereği, bir durumdan kendisine geçme olasılığı 1 olmalıdır.

2

Yutucu durum şartını (

P_{ii} = 1

) sağlayan satırı belirleyin.

3. satırda

P_{33} = 1

olduğu görülmektedir.

Bu durum, süreç 3 numaralı duruma ulaştığında olasılığın tamamının orada hapsolduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Yutucu Durum (Absorbing State)

Daha Fazla Pratik

Durumların geçici veya yinelenen (recurrent) olma özelliklerini pekiştirmek için durum geçiş diyagramı çizmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 58Soru →

Bir finansal risk analizinde, bir yatırım portföyünün kümülatif getirisini temsil eden $\{X_n\}_{n \geq 0}$ süreci, $\{\mathcal{F}_n\}$ filtrasyonuna göre bir martingal olarak modellenmiştir. Portföyün başlangıçtaki değeri $X_0 = 50$ birim olarak belirlenmiştir. $T$ , bu süreç için tanımlanmış sınırlı (bounded) bir durdurma zamanı (stopping time) olduğuna göre, Opsiyonel Durdurma Teoremi (Optional Stopping Theorem) uyarınca bu portföyün durdurma anındaki beklenen değeri ( $E[X_T]$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0

25

50

100

50 \times E[T]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Durdurma anındaki beklenen değer, martingal özelliği ve Opsiyonel Durdurma Teoremi uyarınca başlangıç değeri olan 50'ye eşittir.

Martingal süreçlerin en karakteristik özelliği, geçmiş bilgiler ışığında gelecekteki beklenen değerin mevcut değere eşit olmasıdır. Bu durum, beklentinin zaman boyunca sabit kaldığı anlamına gelir (

E[X_n] = E[X_0]

). Opsiyonel Durdurma Teoremi, bu özelliğin belirli koşullar altında (örneğin durdurma zamanı

T

'nin sınırlı olması durumu gibi) durdurma anında da geçerli olduğunu söyler. Dolayısıyla, süreç 50 değeriyle başladıysa, herhangi bir geçerli durdurma anındaki beklenen değeri de 50 olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Sürecin türünü ve verilen başlangıç değerini belirleyin.

Süreç bir martingaldir ve

X_0 = 50

olarak verilmiştir.

Martingal süreçlerin temel özelliği

E[X_{n+1} | \mathcal{F}_n] = X_n

olmasıdır.

2

Opsiyonel Durdurma Teoremi'ni (Optional Stopping Theorem) uygulayın.

E[X_T] = E[X_0]

eşitliği elde edilir.

Durdurma zamanı

T

sınırlı olduğunda, martingal süreçler için beklenen değer durdurma anında da korunur.

3

Beklenen değeri hesaplayın.

E[X_T] = 50

.

Başlangıç değeri

X_0

sabit bir değer olduğu için

E[X_0] = 50

olur.

Anahtar Kavram

Opsiyonel Durdurma Teoremi (Optional Stopping Theorem)

Tahmini Süre:45s

Soru 59Soru →

Bir tekstil atölyesinde kullanılan dikiş makinelerinin motor kayışları, koptukları anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmektedir. Bir motor kayışının kopana kadar geçen çalışma süresi, beklenen değeri $\mu = 8$ saat olan bir dağılıma sahiptir. Yenileme fonksiyonu $M(t) = E[N(t)]$ ile gösterildiğine göre, Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) dayanarak bu yenileme sürecinde uzun dönemde ( $t \to \infty$ ) birim zamanda gerçekleşen beklenen yenileme sayısı kaçtır?

0,125

8,000

0,250

1,000

0,064

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,125

Cevap

Uzun dönemde beklenen yenileme sayısı

0,125

olarak bulunur.

Temel Yenileme Teoremi'ne göre, bir yenileme sürecinde zaman sonsuza giderken (

t \to \infty

), beklenen yenileme sayısı olan

M(t)

fonksiyonunun zamana oranı (

M(t)/t

), ardışık yenilemeler arasındaki sürenin beklenen değerinin tersine (

1/\mu

) yakınsar. Soruda

\mu = 8

olarak verildiğinden, doğru sonuç

1/8 = 0,125

olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen parametreyi belirleme

\mu = 8

Soruda ardışık iki yenileme (kayış değişimi) arasındaki sürenin beklenen değerinin 8 saat olduğu belirtilmiştir.

2

Temel Yenileme Teoremi'ni (Elementary Renewal Theorem) hatırlama

\lim_{t \to \infty} \frac{M(t)}{t} = \frac{1}{\mu}

Yenileme teorisinde, uzun dönemde birim zamandaki beklenen yenileme sayısının (yenileme hızı), yenilemeler arası geçen ortalama sürenin tersine eşit olduğu bilinmektedir.

3

Sayısal hesaplamayı yapma

1 / 8 = 0,125

Bulunan formülde verilen

\mu

değeri yerine konularak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Yenileme Teoremi ve Yenileme Hızı

Tahmini Süre:45s

Soru 60Soru →

Bir kamu araştırma projesinde her bir çalışma birimi, bir sonraki dönemde kendisinden bağımsız olarak rastgele sayıda yeni alt çalışma birimi oluşturmaktadır. Bir birimin oluşturacağı yeni birim sayısı ( $Z$ ) için olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

$z$	$P(Z=z)$
0	0,4
1	0,3
2	0,3

Başlangıçta bir adet çalışma birimi ( $X_0=1$ ) olduğu bilindiğine göre, ikinci nesildeki beklenen çalışma birimi sayısı ( $E[X_2]$ ) kaçtır?

0,60

0,81

0,90

1,80

0,729

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,81

Cevap

İkinci nesilde beklenen çalışma birimi sayısı 0,81'dir.

Dallanma süreçlerinde başlangıçta bir birim varsa,

n

. nesilde beklenen birim sayısı

E[X_n] = \mu^n

şeklinde hesaplanır. Burada

\mu

, bir birimin oluşturacağı yeni birimlerin ortalamasıdır. Hesaplama sonucunda

\mu = 0,9

bulunmuştur. İkinci nesil sorulduğu için

0,9^2 = 0,81

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Yavru dağılımının beklenen değerini (

\mu = E[Z]

) hesaplayın.

\mu = (0 \times 0,4) + (1 \times 0,3) + (2 \times 0,3) = 0 + 0,3 + 0,6 = 0,9

Dallanma süreçlerinde her nesildeki değişim, tek bir birimin üreteceği ortalama birim sayısına bağlıdır.

2

Dallanma süreçleri için nesil beklenen değer formülünü uygulayın.

E[X_n] = \mu^n

formülünden

E[X_2] = 0,9^2 = 0,81

X_0 = 1

olduğunda,

n

. nesildeki beklenen değer ana kütle ortalamasının

n

. kuvvetidir.

Anahtar Kavram

Galton-Watson dallanma süreçlerinde beklenen değer hesabı ve

\mu < 1

durumu (alt-kritik süreç).

Stokastik Süreçler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar