Oran ve Regresyon Tahminleyicileri

Bir ildeki işletmeler, bulundukları bölgeye göre iki tabakaya ayrılmıştır ($L=2$). İlgilenilen değişken yıllık enerji tüketimi ($y$, megavat-saat), yardımcı değişken ise işletmenin kapalı alan büyüklüğüdür ($x$, bin metrekare).
Kitledeki toplam işletme sayısı $N = 1000$'dir.
Tabakalara ilişkin kitle birim sayıları ve örneklemden elde edilen ortalamalar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, kitle oranının ($R$) tahmini için hesaplanacak birleşik oran tahminleyicisi ($\hat{R}_c$) değeri kaçtır?

Bir kamu kurumu, envanterindeki $N = 600$ adet hizmet aracının yıllık toplam bakım masrafını ($Y$) ve araç başına düşen ortalama bakım masrafını tahmin etmek istemektedir. Araçların yaşları ($X$) yardımcı değişken olarak kullanılacaktır. Kurum kayıtlarına göre tüm araçların toplam yaşı $\tau_x = 3.000$ yıldır.

Bu amaçla $n = 40$ araçlık basit rastgele bir örneklem seçilmiş ve örnekleme giren araçların toplam yaşı $\sum x_i = 250$ yıl, yıllık toplam bakım masrafı ise $\sum y_i = 1.500$ (Bin TL) olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, oran tahminleyicisi kullanılarak araçların yıllık bakım masraflarının kitle ortalaması ve kitle toplamı için elde edilen tahmin değerleri (Bin TL cinsinden) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, il genelindeki $N = 500$ aile hekimliği biriminin bu yılki günlük ortalama muayene sayısını ($\bar{Y}$) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 50$ birimlik bir örneklem seçilmiştir.

Araştırmada ilgilenilen değişken ($y$) bu yılki günlük ortalama muayene sayısı, yardımcı değişken ($x$) ise bir önceki yılın resmi kayıtlı günlük ortalama muayene sayısıdır. Örneklemden elde edilen istatistikler aşağıdaki gibidir:

$s_y^2 = 150$
$s_x^2 = 120$
$s_{xy} = 85$

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için $k = 1$ sabiti ile tanımlanan $\bar{y}_d = \bar{y} + 1 \cdot (\bar{X} - \bar{x})$ fark tahminleyicisini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, bu fark tahminleyicisinin varyans tahmini, $v(\bar{y}_d)$, kaçtır?

Bir yerel yönetim, bölgesindeki $N = 800$ farklı işletmenin yıllık atık miktarları ($y$, ton) ile çalışan sayıları ($x$) arasındaki doğrusal ilişkiyi incelemektedir. Yapılan ön çalışmada, kitledeki işletmelerin yıllık atık miktarının varyansının $S_y^2 = 50000$ ve bu iki değişken arasındaki korelasyon katsayısının $\rho = 0,60$ olduğu saptanmıştır.

Bu işletmeler arasından iadesiz seçim yöntemiyle $n = 160$ hacimli bir basit rastgele örneklem oluşturulmuştur.

Bölgedeki işletmelerin ortalama yıllık atık miktarını tahmin etmek için doğrusal regresyon tahminleyicisi kullanıldığında, bu tahminleyicinin varyansı ($V(\bar{y}_{lr})$) yaklaşık olarak kaçtır?

Ülke genelinde faaliyet gösteren bir lojistik firması, $N = 2000$ adet dağıtım merkezinde günlük işlenen kargo sayısının kitle ortalamasını ve kitle toplamını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla, merkezlerde çalışan personel sayısı yardımcı değişken ($X$) olarak belirlenmiştir. Kurum kayıtlarından, tüm merkezler üzerinden hesaplanan merkez başına ortalama personel sayısının $\bar{X} = 45$ olduğu bilinmektedir.

Firma, $n = 80$ adet dağıtım merkezini basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçmiş ve bu örneklemdeki merkezler için aşağıdaki istatistikleri hesaplamıştır:
- Örnekleme giren merkezlerin ortalama personel sayısı: $\bar{x} = 50$
- Örnekleme giren merkezlerin günlük işlenen ortalama kargo sayısı: $\bar{y} = 6.300$

Buna göre, oran tahminleyicisi kullanılarak kitle ortalaması ($\hat{\bar{Y}}_R$) ve kitle toplamı ($\hat{Y}_R$) için elde edilen tahmin değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Ulusal çapta yürütülen bir sosyo-ekonomik araştırmanın tasarım aşamasında, yalnızca basit rastgele örnekleme kullanılarak elde edilen tahminlerin yeterince hassas olmadığı görülmüştür. Bu durumu iyileştirmek için, tahmin edilecek temel değişken ($Y$) ile yüksek korelasyona sahip olan bir $X$ değişkeninin sürece dâhil edilerek oransal veya regresyon tahmin edicilerinin kullanılmasına karar verilmiştir.

Buna göre, araştırmada **yardımcı değişken ($X$)** kullanılmasının temel istatistiksel amacı ve bu yöntemin uygulanabilmesi için sağlanması gereken en kritik koşul aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

Orman Genel Müdürlüğü tarafından yürütülen bir çalışmada, belirli bir ormanlık alandaki hektar başına ortalama ağaç sayısını ($y$) tahmin etmek için, parsellerin ortalama rakım değerleri ($x$) yardımcı değişken olarak kullanılacaktır. Bu amaçla $\bar{y}_d = \bar{y} + k(\bar{X} - \bar{x})$ formülüyle verilen fark tahminleyicisi önerilmiştir.

Yapılan ön çalışmalarda değişkenlere ilişkin kitle parametreleri şu şekilde hesaplanmıştır:
- İlgilenilen değişkenin varyansı: $S_y^2 = 120$
- Yardımcı değişkenin varyansı: $S_x^2 = 80$
- İki değişken arasındaki kovaryans: $S_{xy} = 60$

Araştırmacının kullanacağı fark tahminleyicisinin, basit rastgele örnekleme ortalamasına ($\bar{y}$) göre daha etkin (daha küçük varyanslı) olabilmesi için $k$ sabitinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir uluslararası kargo şirketi, sistemine kayıtlı $N = 500$ nakliye operasyonunun toplam gecikme süresinin ($Y$, saat), toplam rota uzunluğuna ($X$, km) olan oranını ($R$) oran tahminleyicisi ile tahmin etmek istemektedir.

Bunun için iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 100$ operasyonluk bir örneklem seçilmiş ve örnekleme ait şu değerler hesaplanmıştır:
- Operasyon başına ortalama gecikme süresi: $\bar{y} = 200$ saat
- Operasyon başına ortalama rota uzunluğu: $\bar{x} = 100$ km
- Gecikme sürelerinin standart sapması: $s_y = 50$ saat
- Rota uzunluklarının standart sapması: $s_x = 25$ km
- Gecikme süresi ile rota uzunluğu arasındaki örneklem korelasyon katsayısı: $r = 0,80$

Buna göre, kitle oranının tahmin edicisi için hesaplanan örneklem varyansı, $v(\hat{r})$, kaçtır?

Bir araştırma enstitüsü, belirli bir coğrafi bölgedeki sanayi tesislerinin yıllık toplam enerji tüketimini ($Y$) tahmin etmek üzere bir saha çalışması planlamaktadır. Çalışmanın bütçe kısıtları nedeniyle örneklem hacmi sınırlı tutulacağından, tahminin standart hatasını düşürmek ve daha etkin sonuçlar elde etmek amacıyla tesislerin kapalı alan büyüklüğü ($X$) yardımcı değişken olarak sürece (oran veya regresyon tahminleyicisi aracılığıyla) dâhil edilecektir.

Bu tasarımda, $X$ yardımcı değişkeninin kullanılmasıyla elde edilecek tahminleyicinin, yalnızca $Y$ değişkenine dayalı basit rastgele örnekleme tahminleyicisinden istatistiksel olarak daha etkin (düşük varyanslı) olabilmesi için sağlanması gereken temel teorik koşul ve bilgi gereksinimi aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Geniş çaplı bir kargo şirketi, dağıtım ağında bulunan $N = 400$ şubesinin günlük işlediği paket sayısını ($y$) tahminlemeyi hedeflemektedir. Bu analizde, şubelerin sahip olduğu teslimat aracı sayısı ($x$) yardımcı değişken olarak değerlendirilmektedir.

Planlama departmanı, basit rastgele örnekleme ile iadesiz olarak seçilen $n = 40$ şube üzerinde çalışmıştır. Günlük paket sayısına ait kitle varyansı $S_y^2 = 2500$ olarak verilmiştir. Ayrıca, araç sayısı ile paket sayısı arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü gösteren kitle korelasyon katsayısı $\rho = 0,80$ bulunmuştur.

Bu veriler ışığında, günlük ortalama paket sayısına ilişkin regresyon tahminleyicisinin varyansı ($V(\bar{y}_{lr})$) kaçtır? (Geniş örneklem varsayımı altında hesaplama yapılacaktır.)

Bir tarım araştırma enstitüsü, bölgesindeki $N = 400$ serada yetiştirilen toplam domates miktarını (ton) ve sera başına düşen ortalama domates miktarını tahmin etmek istemektedir. Seranın genişliği (dekar) yardımcı değişken ($X$) olarak kullanılacaktır. Bölgedeki seraların toplam genişliği $\tau_X = 1.200$ dekar olarak bilinmektedir.

Rastgele seçilen $n = 40$ sera üzerinde yapılan ölçümler sonucunda, örneklemdeki ortalama sera genişliği $\bar{x} = 2,5$ dekar ve örneklemdeki ortalama domates üretimi $\bar{y} = 20$ ton olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, oran tahminleyicisi kullanılarak kitle ortalaması ($\bar{y}_R$) ve kitle toplamı ($\hat{\tau}_{yR}$) için elde edilen tahmin değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Bir e-ticaret platformu, kullanıcılarının aylık ortalama harcama tutarını ($Y$) tahmin etmek amacıyla platformda geçirilen süreyi ($X$) yardımcı değişken olarak kullanmaktadır. Kullanıcılar, üyelik tiplerine göre 'Premium' (Tabaka 1) ve 'Standart' (Tabaka 2) olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Tabakaların kitle büyüklükleri sırasıyla $N_1 = 1000$ ve $N_2 = 4000$ olarak belirlenmiştir.

Seçilen rastgele örneklemden elde edilen veriler ve tabakalara ait kitle ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Buna göre, aylık ortalama harcama tutarı için ayrı regresyon tahminleyicisi ($\bar{y}_{lr(s)}$) kullanılarak hesaplanan kitle ortalaması tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

İçişleri Bakanlığı, ülke genelindeki tüm ilçe belediyelerinin yıllık toplam altyapı harcamalarını ($Y$) tahmin etmek amacıyla bir örnekleme çalışması planlamaktadır. Bakanlık veritabanında, tüm belediyelerin kesinleşmiş yıllık vergi gelirleri ($X$) kitle için tam ve eksiksiz olarak kayıtlıdır. Tasarım ekibi, basit rastgele örnekleme ile elde edilecek ortalama veya toplam tahminleyicisi yerine, $X$'i yardımcı değişken olarak kullanan bir oran tahminleyicisi ($\hat{Y}_R$) kullanmaya karar vermiştir.

Bu örnekleme tasarımında yardımcı değişken kullanılmasının temel amacı ve oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemeye göre daha etkin sonuç vermesi için sağlanması gereken teorik koşul aşağıdakilerin hangisinde doğru ve eksiksiz olarak ifade edilmiştir?

Bir kamu kurumu, taşra teşkilatındaki birimlerin yıllık bakım-onarım harcamalarının kitle ortalamasını tahmin etmek için, her birimdeki personel sayısını yardımcı değişken olarak kullanıp oran tahminleyicisi ($\bar{y}_R$) ile tahmin yapmayı planlamaktadır.

Yapılan bir ön çalışmada, yardımcı değişken olan personel sayısına ilişkin değişim katsayısı $C_x = 0,40$ ve ilgilenilen değişken olan bakım-onarım harcamalarına ilişkin değişim katsayısı $C_y = 0,50$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, oran tahminleyicisinin basit rastgele örneklemedeki aritmetik ortalama tahminleyicisine ($\bar{y}$) göre daha etkin olabilmesi için, bu iki değişken arasındaki korelasyon katsayısının ($\rho$) aşağıdaki koşullardan hangisini sağlaması gerekir?

Sağlık Bakanlığı, ülke genelindeki hastanelerin yıllık tıbbi malzeme harcamalarını ($y$) incelemek amacıyla bir araştırma yürütmektedir. Hastaneler 'Kamu' ve 'Özel' olmak üzere iki tabakaya ($L=2$) ayrılmıştır. Araştırmada yardımcı değişken olarak hastanelerin kitledeki toplam yatak kapasiteleri ($x$) kullanılmaktadır.

Araştırmaya ilişkin kitle ve örneklem bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

*(Harcama değerleri bin TL cinsindendir.)*

Araştırmacı, tabaka içi örneklem birim sayılarının düşük kalması nedeniyle oluşabilecek yanlılık (bias) problemlerini en aza indirmek için birleşik oran tahminleyicisi (combined ratio estimator) yaklaşımını tercih etmiştir.

Verilen bilgilere göre, kitledeki toplam tıbbi malzeme harcamasının ($Y$) birleşik oran tahmini ($\hat{Y}_{Rc}$) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumu, ülkedeki tüm e-ticaret firmalarının 2026 yılındaki 'toplam siber güvenlik harcamalarını' ($Y$) tahmin etmek üzere bir örnekleme araştırması tasarlamaktadır. Tahminin standart hatasını küçültmek amacıyla, firmaların '2025 yılı toplam net satış gelirleri' ($X$) yardımcı değişken (auxiliary variable) olarak modele dahil edilmek istenmektedir.

Araştırmacılar, kitleye ait $X$ değişkeninin ortalamasının ($\bar{X}$) idari kayıtlardan tam ve eksiksiz olarak bilindiğini teyit etmiştir. Ancak ön saha testleri, $Y$ ile $X$ arasında doğrusal bir ilişki bulunmasına rağmen, bu ilişkinin orijinden geçmediğini ve korelasyon katsayısının $\rho = 0,20$ gibi oldukça düşük bir değerde olduğunu göstermiştir. Ayrıca, $X$ ve $Y$ değişkenlerinin değişim katsayıları (CV) birbirine yaklaşık olarak eşittir ($CV(X) \approx CV(Y)$).