Zaman Serileri Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir finansal analist, bir varlığın günlük getiri oranlarını ( $Y_t$ ) modellemek amacıyla, $L$ gecikme operatörünü ve $\varepsilon_t$ beyaz gürültü sürecini kullanarak aşağıdaki ARMA modelini önermiştir:

(1 - 0,2L - cL^2)Y_t = (1 + 0,5L - dL^2)\varepsilon_t

Bu modelin zaman serisi analizinde anlamlı öngörüler üretebilmesi için hem durağanlık (stationarity) hem de tersinirlik (invertibility) koşullarını aynı anda sağlaması gerekmektedir.

Buna göre, analistin önerdiği modelde yer alan $c$ ve $d$ parametrelerinin alabileceği değer aralıkları aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

-1 < c < 0,8

ve

-1 < d < 0,5

-1 < c < 1

ve

-1 < d < 1

c < 0,8

ve

d < 0,5

-0,8 < c < 1

ve

-0,5 < d < 1

-1 < c < 0,2

ve

-1 < d < -0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-1 < c < 0,8$ ve $-1 < d < 0,5$

Cevap

Modelin AR(2) kısmından durağanlık için

-1 < c < 0,8

aralığı, MA(2) kısmından tersinirlik için ise

-1 < d < 0,5

aralığı hesaplanır.

Doğru yanıt, hem AR(2) durağanlık hem de MA(2) tersinirlik kısıt üçgenlerini aynı anda sağlayan aralıkları veren seçenektir.

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

-1 < \phi_2 < 1

kısıtlarına

\phi_1=0,2

ve

\phi_2=c

yerleştirildiğinde

c < 0,8

,

c < 1,2

ve

-1 < c < 1

eşitsizlikleri elde edilir; ortak çözüm

-1 < c < 0,8

'dir. Benzer şekilde MA(2) tersinirlik kısıtları için

\theta_1=-0,5

ve

\theta_2=d

değerleri standart kısıt denklemlerinde yerine konulduğunda

-0,5 + d < 1 \implies d < 1,5

ve

d - (-0,5) < 1 \implies d < 0,5

ve

-1 < d < 1

elde edilir; bu eşitsizliklerin ortak çözümü

-1 < d < 0,5

'tir.

Adım Adım Çözüm

1

AR(2) süreci için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması şartından türetilen durağanlık kısıtlarını (

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

,

-1 < \phi_2 < 1

) modeldeki parametrelerle eşleştirmek.

Modelden

\phi_1 = 0,2

ve

\phi_2 = c

olduğu tespit edilir.

Durağanlık için ikinci dereceden otoregresif modelin üçlü katsayı kısıtlarının aynı anda sağlanması zorunludur.

2

Tespit edilen değerleri eşitsizliklerde yerine koyarak

c

için çözüm aralığını bulmak.

0,2 + c < 1 \implies c < 0,8

ve

c - 0,2 < 1 \implies c < 1,2

ve

-1 < c < 1

eşitsizliklerinin kesişimi olarak

-1 < c < 0,8

aralığı elde edilir.

Parametrenin alabileceği geçerli değerler, her üç koşulu aynı anda sağlayan kesişim kümesidir.

3

MA(2) süreci için tersinirlik kısıtlarını (

\theta_1 + \theta_2 < 1

,

\theta_2 - \theta_1 < 1

,

-1 < \theta_2 < 1

) standart

(1 - \theta_1 L - \theta_2 L^2)

formunu kullanarak modele uyarlamak.

Hareketli ortalama polinomu

(1 + 0,5L - dL^2)

ile

(1 - \theta_1 L - \theta_2 L^2)

eşitlendiğinde,

\theta_1 = -0,5

ve

\theta_2 = d

bulunur.

Tersinirlik analizi için katsayı işaretlerinin standart MA gösterimine uygun olarak dönüştürülmesi gerekir.

4

Bulunan

\theta_1

ve

\theta_2

değerlerini kısıt denklemlerine yerleştirip

d

için çözüm kümesini elde etmek.

-0,5 + d < 1 \implies d < 1,5

,

d - (-0,5) < 1 \implies d < 0,5

ve

-1 < d < 1

eşitsizliklerinin kesişiminden

-1 < d < 0,5

aralığı hesaplanır.

Modelin güncel şokları geçmişe doğru sönümlenen bir formda ifade edebilmesi için (tersinirlik) parametreler bu kesişim aralığında olmalıdır.

Anahtar Kavram

ARMA(p,q) modellerinde ikinci dereceden AR ve MA süreçleri için karakteristik denklem köklerinden elde edilen durağanlık ve tersinirlik kısıt üçgenlerinin analitik çözümü

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 22Soru →

Merkez Bankası'nda çalışan bir uzman, çeyreklik bazda ölçülen reel perakende satış hacmi verilerini analiz etmektedir. Serinin zaman yolu grafiğinde yukarı yönlü sürekli bir doğrusal artış eğilimi tespit eden uzman, Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) birim kök testini "sabit terimli ve zaman trendli" model üzerinden gerçekleştirmiştir. Yapılan analiz sonucunda hesaplanan $t$ -istatistiğinin mutlak değeri, $\%5$ anlamlılık düzeyindeki kritik değerin mutlak değerinden daha büyük bulunmuş ve temel hipotez ( $H_0$ ) reddedilmiştir.

Bu test sonucuna göre, söz konusu zaman serisinin veri üreten süreci (DGP) ve analizde uygulanması gereken en uygun istatistiksel yaklaşım aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Seri deterministik trende sahip olup trend durağandır; bu nedenle birinci derece fark alma işlemi uygulanmamalı, seri trendden arındırılmalı veya ekonometrik modele bir zaman trendi değişkeni eklenmelidir.

Seri stokastik trende sahip olup fark durağandır; bu nedenle seriyi durağanlaştırmak ve sahte regresyon riskini önlemek için mutlaka birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Temel hipotez reddedildiği için serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) çok yavaş ve doğrusal bir sönümlenme gösterecektir; bu durum serinin düzey değerlerinde kullanılması gerektiğini kanıtlar.

Seri güçlü bir döngüsel hareket barındırdığından, fark alma yerine öncelikle hareketli ortalamalar yöntemi kullanılarak serinin periyodik etkilerden temizlenmesi gerekir.

Test sonucunda seride birim kök olduğu kanıtlandığından, model parametrelerinin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmesi tutarsızlık sorununa yol açacaktır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Seri deterministik trende sahip olup trend durağandır; bu nedenle birinci derece fark alma işlemi uygulanmamalı, seri trendden arındırılmalı veya ekonometrik modele bir zaman trendi değişkeni eklenmelidir.

Cevap

Serinin deterministik trende sahip olduğunu ve birinci derece fark alma işleminin uygulanmaması gerektiğini belirten seçenek doğru cevaptır.

Doğru seçenek; ADF testinde

H_0

'ın reddedilmesinin birim kökün bulunmadığını, testin trendli modelle yapılmış olmasının ise serinin 'trend durağan' (deterministik trende sahip) olduğunu ifade ettiği seçenektir. Trend durağan serilerde fark alma işlemi literatürde 'gereksiz fark alma' (over-differencing) olarak bilinir; bunun yerine serinin zamana göre regresyonu kurularak trendden arındırılması ya da modele zaman trendinin bağımsız değişken olarak dahil edilmesi gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) birim kök testinin temel hipotezini (

H_0

) ve karar kuralını tanımla.

ADF testinde

H_0

hipotezi 'Seride birim kök vardır (seri durağan değildir)' şeklindedir. Hesaplanan istatistiğin mutlak değeri kritik değerden büyükse

H_0

reddedilir.

Test istatistiğinin anlamlılığını doğru değerlendirmek, serinin durağanlık özelliğini ortaya çıkarmak için gereklidir.

2

Senaryodaki test sonucunu analiz et.

Hesaplanan test istatistiği mutlak değerce kritik değerden büyük olduğu için

H_0

reddedilmiştir. Yani seride birim kök yoktur.

Serinin stokastik trend barındırıp barındırmadığını kesinleştirmek için test sonucunun DGP ile eşleştirilmesi şarttır.

3

Modelde yer alan 'zaman trendi' bileşenini ve durağanlık ilişkisini sentezle.

Test 'sabitli ve trendli' model üzerinden yapıldığı ve

H_0

reddedildiği için, seri deterministik bir trend etrafında durağandır (Trend Durağan - Trend Stationary).

Bir serinin durağanlığı, etrafında dalgalandığı deterministik fonksiyona göre isimlendirilir.

4

Trend durağan serilere uygulanması gereken doğru metodolojiyi belirle.

Trend durağan serilerde birinci dereceden fark almak (stokastik trend varsaymak) gereksiz bir dönüşümdür ve sürece yapay bir Hareketli Ortalama (MA) birim kökü ekler (aşırı fark alma). Doğru işlem seriyi trendden arındırmak veya regresyona trend değişkenini eklemektir.

Yanlış dönüşüm işlemleri (gereksiz fark alma) sahte regresyona veya yapısal olarak bozulan hata terimlerine sebep olur.

Anahtar Kavram

Trend Durağanlık (Trend Stationarity) ve Fark Durağanlık (Difference Stationarity) Ayrımı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 23Soru →

Bir zaman serisi analizinde, rassal hataların (beyaz gürültü serisinin) doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilen $q$ . dereceden hareketli ortalama, MA( $q$ ), modeli kullanılmıştır.

Bu modelin teorik özellikleri, tanımlanması ve istatistiksel geçerliliği dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Otokorelasyon fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir ve modelin geçmiş gözlemlere dayalı olarak ifade edilebilmesi için tersinirlik koşulunu sağlaması şarttır.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF)

q

. gecikmeden sonra aniden kesilir ve modelin durağan olabilmesi için parametrelerinin mutlak değerce 1'den küçük olması gerekir.

Model yapısı gereği her durumda tersinirlik koşulunu sağlar, ancak durağan bir yapı sergilemesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması zorunludur.

Serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra kesilmesine rağmen, seriyi durağanlaştırmak için orijinal verinin

q

defa ardışık farkının alınması gerekir.

Hareketli ortalama modeli, zaman serisinin rassal şoklarını (hata terimlerini) dışlayarak yalnızca deterministik trend ve döngüsel bileşenleri modellemek amacıyla kurulur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otokorelasyon fonksiyonu (ACF) $q$ . gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir ve modelin geçmiş gözlemlere dayalı olarak ifade edilebilmesi için tersinirlik koşulunu sağlaması şarttır.

Cevap

Hareketli ortalama, MA(q), modellerinde otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) q. gecikmeden sonra kesilmesi ve modelin geçmiş gözlemler cinsinden ifade edilebilmesi için tersinirlik koşulunu sağlaması gerektiği seçeneği doğrudur.

Hareketli ortalama, MA(q), modellerinde ayırt edici grafiksel özellik, Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) gecikme derecesi olan q'dan sonra istatistiksel olarak sıfıra inmesi (kesilmesi)dir. Ayrıca, bu modeller yapıları gereği daima durağan olmalarına rağmen, modelin şimdiki değerinin sonsuz sayıdaki geçmiş gözlemlerin bir fonksiyonu olarak yazılabilmesi (AR modeline dönüştürülebilmesi) için karakteristik köklerin birim çemberin dışında olması, yani tersinirlik (invertibility) koşulunun sağlanması şarttır. Bu nedenle verilen teorik ifade bütünüyle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

MA(q) modelinin durağanlık ve tersinirlik özelliklerini analiz etmek.

MA modelleri yapısal olarak (geçmiş şokların sonlu toplamı olduğundan) her zaman durağandır. Ancak geçmiş gözlemler cinsinden, yani bir AR(∞) süreci olarak yazılabilmesi için tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlaması şarttır.

Zaman serisi modellerinde AR ve MA süreçlerinin birbirine dönüştürülebilirliği için temel teorik varsayımların bilinmesi gerekir.

2

MA(q) modelinin ACF ve PACF davranışlarını belirlemek.

MA(q) sürecinde Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) tam olarak q. gecikmeden sonra aniden kesilir (sıfır olur). Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ise sonsuza doğru yavaş yavaş sönümlenir.

Model derecesinin (q) belirlenmesinde ACF grafiğinin kesilme noktası referans alınır.

3

Seçenekleri bu teorik bilgiler ışığında değerlendirmek.

Doğru ifade, ACF'nin q. gecikmeden sonra kesildiğini ve modelin geçmiş değerlerle ifade edilebilmesi için tersinirlik koşulunu sağlaması gerektiğini belirten ifadedir.

Diğer seçeneklerde AR modeli özellikleriyle karışıklık, durağanlık ve tersinirlik kavramlarının yer değiştirmesi gibi teorik hatalar bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinin Teorik Özellikleri, ACF/PACF Davranışları ve Tersinirlik (Invertibility) Koşulu

Soru 24Soru →

Bir zaman serisi analizinde, serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) sinüs dalgaları şeklinde sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra kesildiği gözlemlenmiştir. Bu davranışa istinaden tahmin edilen modelin denklemi

Y_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t

olarak elde edilmiştir. (Burada

\varepsilon_t

, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Buna göre, tahmin edilen modelin özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Model durağan bir AR(2) sürecini temsil eder ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.

ACF'nin sönümlenmesi ve PACF'nin kesilmesi, serinin durağan bir MA(2) sürecine uygun olduğunu gösterir.

\phi_1

parametresi 1'den büyük olduğu için (

1.2 > 1

) seri durağan değildir, modelleme öncesi serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı (

\rho_1

) doğrudan

\phi_1

parametresine eşit olup değeri 1.2'dir.

Denklemde iki adet gecikmeli terim yer aldığı için bu model bir ARMA(2,2) sürecidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağan bir AR(2) sürecini temsil eder ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.

Cevap

Model durağan bir AR(2) sürecini temsil eder ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.

Verilen soruda kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra kesilmesi, sürecin otoregresif derecesinin 2 olduğunu (AR(2)) net biçimde belirler. Ayrıca,

Y_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t

modelinde parametreler

\phi_1 = 1.2

ve

\phi_2 = -0.5

'tir. AR(2) süreci için durağanlık koşulları incelendiğinde;

1.2 - 0.5 = 0.7 < 1

,

-0.5 - 1.2 = -1.7 < 1

ve

|-0.5| = 0.5 < 1

üçlü şartının tümü sağlanır. Bu yüzden model durağan bir AR(2) sürecidir ve serinin varyansı zaman içinde sabittir.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin ACF ve PACF grafiklerinin davranışını değerlendir.

PACF'nin 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilmesi ve ACF'nin sönümlenmesi serinin 2. dereceden Otoregresif, AR(2), bir süreç olduğunu gösterir.

AR(p) süreçlerinde PACF her zaman p. gecikmeden sonra kesilirken, ACF teorik olarak sonsuza kadar sönümlenerek devam eder.

2

Tahmin edilen denklemin AR(2) parametrelerini (

\phi_1

ve

\phi_2

) belirle.

Denklem

Y_t = 1.2 Y_{t-1} - 0.5 Y_{t-2} + \varepsilon_t

formatında olduğundan

\phi_1 = 1.2

ve

\phi_2 = -0.5

olarak bulunur.

Genel AR(2) modeli formülü

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

'dir.

3

Bulunan parametreleri AR(2) durağanlık koşullarında test et.

Koşul 1:

\phi_1 + \phi_2 = 1.2 - 0.5 = 0.7 < 1

(Sağlandı). Koşul 2:

\phi_2 - \phi_1 = -0.5 - 1.2 = -1.7 < 1

(Sağlandı). Koşul 3:

|\phi_2| = |-0.5| = 0.5 < 1

(Sağlandı).

Bir AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalması gerekir. Bu da ancak söz konusu üç eşitsizliğin eş zamanlı sağlanmasıyla mümkündür.

4

Bulguları birleştirerek nihai kararı ver.

Seri hem teorik yapı olarak hem de parametre sınırları bakımından durağan bir AR(2) sürecidir. Bu da zaman içinde ortalama ve varyansın sabit olduğu anlamına gelir.

Durağanlık koşulları sağlandığı için model rassal yürüyüş içermez, şokların etkisi zamanla kaybolur.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları ve ACF/PACF Davranışları

Soru 25Soru →

Bir meteoroloji uzmanı, bir bölgedeki aylık sıcaklık anomalilerini ( $Y_t$ ) zaman serisi olarak analiz etmektedir. Yapılan analizde, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğindeki değerlerin üstel olarak sönümlenerek azaldığı, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğindeki değerlerin ise 2. gecikmeden (lag) sonra istatistiksel olarak anlamlılık sınırlarının içine girerek aniden kesildiği tespit edilmiştir.

Uzman, bu davranışa dayanarak seriyi $B$ gecikme (backshift) operatörü ve $\varepsilon_t$ beyaz gürültü süreci kullanılarak $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = \varepsilon_t$ biçiminde modellemiştir.

Buna göre, modellenen sürecin türü ve bu sürecin durağan (stationary) olabilmesi için parametrelerin sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

AR(2) süreci;

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

AR(2) süreci;

|\phi_1| < 1

ve

|\phi_2| < 1

MA(2) süreci;

|\phi_1| < 1

ve

|\phi_2| < 1

MA(2) süreci;

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

ARMA(1,1) süreci;

|\phi_1| < 1

ve

|\phi_2| < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AR(2) süreci; $\phi_1 + \phi_2 < 1$ , $\phi_2 - \phi_1 < 1$ ve $|\phi_2| < 1$

Cevap

Süreç AR(2)'dir ve durağanlık için

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

koşulları sağlanmalıdır.

Zaman serilerinde Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) sönümlenmesi ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olması, sürecin 2. dereceden Otoregresif, yani AR(2) modeli olduğunu net bir şekilde gösterir. AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) = 0

karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir. Bu kısıt çözüldüğünde parametre uzayında üçgen şeklinde bir durağanlık bölgesi oluşur ve eşitsizlikler şu şekildedir:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

. Doğru eşleşme bu modeli ve bu üç eşitsizliği içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin davranışından model türünü belirlemek.

ACF üstel sönümleniyor, PACF ise 2. gecikmede kesiliyor. Bu davranış spesifik olarak 2. dereceden Otoregresif, AR(2), sürecinin imzasındır.

Zaman serilerinde model tanımlama (Box-Jenkins) adımında ACF ve PACF'nin kesilme/sönümlenme özellikleri kullanılır.

2

Verilen denklemde AR(2) gösterimini doğrulamak.

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)Y_t = \varepsilon_t

denklemi,

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

şeklindeki standart AR(2) sürecinin gecikme operatörü (

B

) ile yazılmış halidir.

Model parametrelerinin işaretlerini ve yapısını matematiksel olarak teyit etmek.

3

AR(2) süreci için durağanlık koşullarını formüle etmek.

Karakteristik denklem olan

\Phi(B) = 1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 = 0

'ın köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması gerekir. Bu şart, şu üç eşitsizliğin eş zamanlı sağlanmasıyla elde edilir:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

,

|\phi_2| < 1

.

Serinin zaman içinde varyansının patlamaması (sabit kalması) için köklerin durağanlık sınırları içinde olması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

AR(p) ve MA(q) Modellerinin ACF/PACF Davranışları ve Durağanlık Koşulları

Soru 26Soru →

Bir çevre mühendisi, bir sanayi bölgesindeki günlük ortalama kükürtdioksit ( $SO_2$ ) emisyon seviyelerini analiz etmektedir. Yapılan incelemede, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinin birinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır sınırları içine girerek aniden kesildiği, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinin ise dalgalanarak yavaşça sönümlendiği görülmüştür.

Mühendis, bu bulgulara dayanarak seriyi $Y_t = \mu + \varepsilon_t - 1.4\varepsilon_{t-1}$ şeklinde birinci dereceden bir hareketli ortalama, yani $MA(1)$ modeli ile tahmin etmiştir (Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir).

Tahmin edilen bu modelin teorik özellikleri ve kullanışlılığı dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Süreç yapısal olarak durağandır; ancak hareketli ortalama parametresinin mutlak değeri 1'den büyük olduğu için tersinirlik (invertibility) şartını sağlamaz ve geçmiş gözlemlere dayalı öngörü için uygun değildir.

Parametre değeri mutlak değerce 1'den büyük olduğu için sürecin varyansı zamanla sonsuza gideceğinden model durağanlık varsayımını ihlal etmektedir.

PACF grafiği sönümlenerek azaldığı için serinin aslında birinci dereceden otoregresif, yani

AR(1)

süreci olarak modellenmesi gerekirdi.

Doğru bir

MA(1)

modeli kurulabilmesi için ACF grafiği ile birlikte PACF grafiğinin de birinci gecikmeden sonra aniden kesilmesi teorik bir zorunluluktur.

Hareketli ortalama modelleri doğası gereği durağan dışı süreçler olduğundan, modelin tahmininden önce serinin birinci dereceden farkının alınması zorunludur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç yapısal olarak durağandır; ancak hareketli ortalama parametresinin mutlak değeri 1'den büyük olduğu için tersinirlik (invertibility) şartını sağlamaz ve geçmiş gözlemlere dayalı öngörü için uygun değildir.

Cevap

Süreç yapısal olarak durağandır; ancak hareketli ortalama parametresinin mutlak değeri 1'den büyük olduğu için tersinirlik (invertibility) şartını sağlamaz.

Verilen

Y_t = \mu + \varepsilon_t - 1.4\varepsilon_{t-1}

modeli bir MA(1) sürecidir. MA süreçleri sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin birleşimi olduğu için doğası gereği daima durağandır. Ancak, bir MA modelinin güncel değerinin geçmiş gözlemlerin yakınsak bir fonksiyonu olarak yazılabilmesi (tersinirlik/invertibility) için

\theta

parametresinin mutlak değerinin 1'den küçük olması şarttır (

|\theta| < 1

). Bu soruda

\theta = 1.4

olarak verildiğinden

|1.4| > 1

'dir. Bu nedenle model durağan olmasına rağmen tersinir değildir ve istatistiksel öngörü (forecasting) amacıyla kullanılamaz.

Adım Adım Çözüm

1

ACF ve PACF grafiklerinin davranışını analiz ederek model tipini doğrulama.

ACF'nin 1. gecikmede kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi, serinin gerçekten bir MA(1) süreci olduğunu teorik olarak doğrular.

Zaman serilerinde model tanımlaması (identification) ACF ve PACF'nin kesilme/sönümlenme özelliklerine göre yapılır.

2

MA modellerinde durağanlık varsayımını kontrol etme.

Hareketli ortalama (MA) süreçleri, geçmiş şokların (beyaz gürültü) sonlu doğrusal birleşimi olduğu için parametre değerinden bağımsız olarak *daima durağandır*.

Durağanlık koşulu (köklerin birim çemberin dışında olması) AR süreçleri için sınırlayıcıdır, MA süreçleri için her zaman sağlanır.

3

Modelin tersinirlik (invertibility) şartını test etme.

Tersinirlik şartı

|\theta_1| < 1

olmasını gerektirir. Verilen modelde

Y_t = \mu + \varepsilon_t - 1.4\varepsilon_{t-1}

olduğundan

\theta_1 = 1.4

'tür.

|1.4| > 1

olduğundan model tersinir değildir.

Bir MA modelinin otoregresif (AR) bir forma dönüştürülebilmesi ve geçmiş gözlemler cinsinden anlamlı bir şekilde öngörüde kullanılabilmesi için tersinirlik şartı zorunludur.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 27Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yayımlanan aylık sanayi üretim endeksi serisinin durağanlaştırılmış hali üzerinde yapılan Box-Jenkins model tanımlama (spesifikasyon) aşamasında aşağıdaki bulgular elde edilmiştir:

* Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğindeki katsayılar üstel bir dalgalanma ile sönümlenerek yavaşça sıfıra yaklaşmaktadır.
* Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinde ise sadece ilk iki gecikmedeki katsayılar istatistiksel olarak anlamlı (güven sınırlarının dışında) bulunmuş, 3. gecikmeden itibaren katsayılar aniden kesilerek istatistiksel olarak anlamsız hale gelmiştir.

Buna göre, söz konusu durağan zaman serisi için belirlenmesi gereken en uygun teorik model aşağıdakilerden hangisidir?

İkinci dereceden otoregresif model,

AR(2)

İkinci dereceden hareketli ortalama modeli,

MA(2)

İkinci dereceden otoregresif hareketli ortalama modeli,

ARMA(2,2)

Birinci dereceden otoregresif model,

AR(1)

İkinci dereceden mevsimsel otoregresif model,

SAR(2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İkinci dereceden otoregresif model, $AR(2)$

Cevap

İkinci dereceden otoregresif model,

AR(2)

Box-Jenkins metodolojisine göre durağan zaman serisi modellerinin tanımlanmasında ACF ve PACF korelogramları kullanılır. Eğer bir serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) yavaşça (üstel veya sinüzoidal olarak) sönümlenerek sıfıra yaklaşıyorsa ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF)

p

. gecikmeden sonra istatistiksel olarak anlamsız hale gelerek kesiliyorsa, bu seri

p

. dereceden bir Otoregresif, yani

AR(p)

sürecidir. Verilen durumda PACF 2. gecikmeden sonra kesildiği için belirlenmesi gereken en uygun model

AR(2)

modelidir.

Adım Adım Çözüm

1

ACF (Otokorelasyon Fonksiyonu) grafiğinin davranışını analiz et.

ACF katsayıları üstel bir dalgalanma ile sönümlenerek sıfıra yaklaşmaktadır (tailing off).

ACF'nin sönümlenmesi, serinin Otoregresif (AR) veya Karma (ARMA) bir sürece sahip olduğunu, saf bir Hareketli Ortalama (MA) süreci olmadığını gösterir.

2

PACF (Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu) grafiğinin davranışını analiz et.

PACF katsayıları 2. gecikmeye kadar anlamlı olup, 3. gecikmeden itibaren aniden kesilmektedir (cutting off).

PACF'nin belirli bir gecikmeden sonra kesilmesi, serinin Otoregresif (AR) bir model olduğuna kesin kanıttır. Kesilmenin yaşandığı son anlamlı gecikme noktası modelin derecesini verir.

3

ACF ve PACF bulgularını Box-Jenkins metodolojisine göre birleştirerek modeli tanımla.

Model, ikinci dereceden otoregresif olan

AR(2)

modelidir.

Teorik olarak

AR(p)

süreçlerinde ACF sönümlenerek azalırken, PACF

p

. gecikmeden sonra aniden kesilir. Sorudaki senaryoda

p=2

şartı sağlanmaktadır.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Metodolojisinde Model Tanımlama:

AR(p)

modelleri için Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının teorik özellikleri.

Soru 28Soru →

Bir araştırmacı, incelediği bir makroekonomik göstergeye ait zaman serisinde kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşit olduğunu (kesildiğini) belirlemiştir. Bu serinin ilk iki gecikmesine ait otokorelasyon katsayıları sırasıyla $\rho_1 = 0.6$ ve $\rho_2 = 0.2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, incelenen veri üreten süreç ve bu sürece ait modelin özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Süreç bir AR(2) modelidir ve Yule-Walker denklemleriyle parametreleri

\phi_1 = 0.75

,

\phi_2 = -0.25

olarak hesaplandığından durağanlık koşullarını sağlamaktadır.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun ikinci gecikmeden sonra kesilmesi nedeniyle süreç bir MA(2) modelidir ve doğası gereği her zaman durağandır.

Süreç bir AR(2) modelidir, ancak parametre değerleri doğrudan otokorelasyon katsayılarına eşit olduğu için

\phi_1 = 0.60

ve

\phi_2 = 0.20

'dir.

Sürecin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı yüksek (

\rho_1 = 0.6

) olduğu için seri durağan değildir, analize devam etmek için serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Süreç bir ARMA(1,1) modelidir; çünkü durağan serilerde otokorelasyon katsayılarının sıfırdan farklı olması AR ve MA bileşenlerinin birlikte bulunduğunu gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç bir AR(2) modelidir ve Yule-Walker denklemleriyle parametreleri $\phi_1 = 0.75$ , $\phi_2 = -0.25$ olarak hesaplandığından durağanlık koşullarını sağlamaktadır.

Cevap

İncelenen süreç, PACF'nin 2. gecikmeden sonra kesilmesinden ötürü bir AR(2) modelidir. Yule-Walker denklemleri sisteminden çözüldüğünde parametreler

\phi_1 = 0.75

ve

\phi_2 = -0.25

bulunur. Bu parametreler, AR(2) sürecinin üç temel durağanlık koşulunu da sağlamaktadır.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ikinci gecikmeden sonra aniden kesilmesi, serinin Otoregresif AR(2) sürecine uygun olduğunu kesin olarak gösterir. AR(2) süreci için parametre tahminleri Yule-Walker denklem sistemi olan

\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1

ve

\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2

aracılığıyla hesaplanır. Değerler yerine konduğunda

\phi_1 = 0.75

ve

\phi_2 = -0.25

elde edilir. Bir AR(2) modelinin durağan olabilmesi için üç koşulun sağlanması gerekir:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

. Hesaplanan parametreler (

0.5 < 1

,

-1.0 < 1

ve

0.25 < 1

) bu eşitsizliklerin tamamını sağladığı için süreç durağandır.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi otokorelasyon (PACF) özelliğine göre model tipini belirlemek.

Model AR(2) olarak tespit edilir.

Zaman serilerinde PACF

p

. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır oluyorsa (kesiliyorsa), süreç

p

. dereceden Otoregresif (AR) modeldir.

2

AR(2) modeli için Yule-Walker denklemlerini kurmak.

\rho_1 = \phi_1 + \phi_2 \rho_1

ve

\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2

denklemleri elde edilir.

Otokorelasyon katsayıları (

\rho

) ile otoregresif parametreler (

\phi

) arasındaki matematiksel ilişki Yule-Walker denklemleri ile ifade edilir.

3

Verilen

\rho_1 = 0.6

ve

\rho_2 = 0.2

değerlerini denklem sisteminde yerine koyarak

\phi_1

ve

\phi_2

değerlerini çözmek.

0.6 = \phi_1 + 0.6\phi_2

ve

0.2 = 0.6\phi_1 + \phi_2

. İkinci denklemden

\phi_2 = 0.2 - 0.6\phi_1

bulunur. Birinci denklemde yerine konduğunda:

0.6 = \phi_1 + 0.6(0.2 - 0.6\phi_1) \Rightarrow 0.6 = 0.12 + 0.64\phi_1 \Rightarrow \phi_1 = 0.48/0.64 = 0.75

. Ardından

\phi_2 = 0.2 - 0.6(0.75) = -0.25

bulunur.

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözülerek parametre tahminlerine ulaşılır.

4

Bulunan AR(2) parametreleri için durağanlık koşullarını test etmek.

\phi_1 + \phi_2 = 0.5 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 = -1.0 < 1

, ve

|\phi_2| = 0.25 < 1

eşitsizlikleri kontrol edilir. Üçü de sağlandığı için seri durağandır.

AR(2) modellerinin durağan olması için parametrelerin bu üç matematiksel kısıtı eşzamanlı olarak sağlaması zorunludur.

Anahtar Kavram

AR Modellerinde Model Belirleme ve Yule-Walker Denklemleri

Alternatif Yöntem

AR(2) parametreleri için Yule-Walker denklem sisteminden doğrudan türetilmiş şu formüller de pratik olarak kullanılabilir:

\phi_1 = \frac{\rho_1(1-\rho_2)}{1-\rho_1^2}

ve

\phi_2 = \frac{\rho_2-\rho_1^2}{1-\rho_1^2}

. Verilen değerleri yerine koyduğumuzda:

\phi_1 = \frac{0.6(1-0.2)}{1-(0.6)^2} = \frac{0.48}{0.64} = 0.75

ve

\phi_2 = \frac{0.2-(0.6)^2}{1-(0.6)^2} = \frac{0.2-0.36}{0.64} = -0.25

sonuçlarına hızlıca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 29Soru →

Bir kamu kurumunda risk analizi yapan bir uzman, durağan bir $Y_t$ zaman serisinin otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) yapısını incelemektedir. Yapılan analizde, seriye ait otokorelasyon katsayılarının $\rho_1 = -0.5$ , $\rho_2 = 0.25$ , $\rho_3 = -0.125$ şeklinde işaret değiştirerek sönümlendiği ve kısmi otokorelasyon katsayılarının birinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfırdan farksız olduğu görülmüştür.

Buna göre, bu seriyi modellemek için kullanılması gereken en uygun süreç aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Y_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t

Y_t = 0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t

Y_t = \varepsilon_t - 0.5 \varepsilon_{t-1}

Y_t = \varepsilon_t + 0.5 \varepsilon_{t-1}

Y_t = -0.5 Y_{t-1} + 0.25 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Y_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t$

Cevap

Verilen ACF ve PACF özelliklerini sağlayan model

Y_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t

denklemi ile ifade edilen AR(1) sürecidir.

Zaman serisi analizinde Box-Jenkins yaklaşımına göre; Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ilk p gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır (anlamsız) oluyorsa ve Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) yavaş yavaş veya dalgalanarak sönümleniyorsa, bu seri p. dereceden bir Otoregresif, AR(p), sürecidir. Sorudaki seride PACF 1. gecikmeden sonra kesilmiştir, dolayısıyla model AR(1)'dir. Bir AR(1) modeli

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t

biçimindedir ve ACF değerleri

\rho_k = \phi_1^k

ilişkisiyle bulunur. Verilen ilk otokorelasyon katsayısı

\rho_1 = -0.5

olduğuna göre, otoregresif parametre

\phi_1 = -0.5

olur. Değerin negatif olması, ACF'nin (

-0.5

,

0.25

,

-0.125

şeklinde) işaret değiştirerek sönümlenmesi kuralıyla tam uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi otokorelasyon (PACF) ve otokorelasyon (ACF) davranışlarına bakarak modelin türünü ve derecesini (p, q) belirle.

PACF 1. gecikmeden sonra kesildiği ve ACF sönümlendiği için sürecin 1. dereceden Otoregresif, yani AR(1) modeli olduğu anlaşılır.

AR(p) modellerinin karakteristik özelliği, PACF'nin p. gecikmeden sonra sıfır olması ve ACF'nin sonsuza doğru sönümlenmesidir.

2

AR(1) modelinin genel denklemini ve ACF formülünü yaz.

Genel denklem:

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t

. Otokorelasyon fonksiyonu:

\rho_k = \phi_1^k

.

Otokorelasyon değerlerini kullanarak modeldeki bilinmeyen

\phi_1

parametresini hesaplamak için bu ilişki gereklidir.

3

Verilen

\rho_1

değerini formülde yerine koyarak parametreyi hesapla ve modeli oluştur.

k=1 için

\rho_1 = \phi_1^1 \Rightarrow \phi_1 = -0.5

elde edilir. Model

Y_t = -0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t

olur.

Parametre tahmini yapılarak soruda istenen nihai model denklemine ulaşılması hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde AR(p) ve MA(q) modellerinin ACF ile PACF grafikleri üzerinden teşhisi ve AR(1) modelinin analitik yapısı.

Soru 30Soru →

Durağan bir $Y_t$ zaman serisinin,

Y_t = 0,6 Y_{t-1} - 0,5 Y_{t-2} + \varepsilon_t

sürecini izlediği bilinmektedir (burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir).

Bu sürecin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) davranışlarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

ACF, sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşırken; PACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olur (kesilir).

ACF, üstel (eksponansiyel) olarak tekdüze biçimde azalarak sıfıra yaklaşırken; PACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olur (kesilir).

ACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olurken (kesilirken); PACF, sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşır.

ACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olurken (kesilirken); PACF, üstel (eksponansiyel) olarak tekdüze biçimde azalarak sıfıra yaklaşır.

Hem ACF hem de PACF, hiçbir gecikmede teorik olarak sıfır olmaz ve sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ACF, sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşırken; PACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olur (kesilir).

Cevap

ACF'nin sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yapması ve PACF'nin ikinci gecikmeden sonra kesilmesi

Verilen süreç, iki gecikmeli değere (

Y_{t-1}

ve

Y_{t-2}

) sahip olduğu için bir AR(2) modelidir. Temel kural olarak AR(p) süreçlerinde Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF), 'p' numaralı gecikmeden sonra teorik olarak sıfıra eşitlenir (kesilir). Bu nedenle bu modelde PACF 2. gecikmeden sonra kesilir. Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ise sonsuza kadar sönümlenme eğilimindedir. Ancak ACF'nin sönümlenme şeklini sürecin karakteristik denklemi olan

\lambda^2 - 0,6\lambda + 0,5 = 0

belirler. Bu denklemin diskriminantı

\Delta = (-0,6)^2 - 4(1)(0,5) = -1,64

'tür. Diskriminant sıfırdan küçük olduğu için denklemin kökleri karmaşık sayılardır. Teorik olarak, karakteristik kökleri karmaşık sayı olan AR süreçlerinde ACF, üstel olarak tekdüze bir biçimde azalmaz; bunun yerine sönümlenen bir sinüs dalgası (periyodik salınım) biçiminde yavaş yavaş sıfıra yaklaşır. Doğru seçenek her iki teorik özelliği de eksiksiz sunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Zaman serisi modelinin tanımlanması.

Verilen süreç

Y_t = 0,6 Y_{t-1} - 0,5 Y_{t-2} + \varepsilon_t

formunda olduğundan, bu bir ikinci dereceden otoregresif (AR(2)) modelidir.

Modelin türünü belirlemek, ACF ve PACF'nin teorik yapısını saptamak için temel adımdır.

2

PACF'nin (Kısmi Otokorelasyon) genel teorik davranışının belirlenmesi.

AR(2) süreci olduğu için PACF, 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir (kesilir).

Bütün AR(p) süreçlerinde PACF, her zaman model derecesi olan p'ninci gecikmeden sonra kesilme (sıfır olma) özelliği gösterir.

3

ACF'nin (Otokorelasyon) sönümlenme karakteristiğinin analizi için karakteristik denklemin kurulması.

Sürecin fark denklemi formuna karşılık gelen karakteristik denklem

\lambda^2 - 0,6\lambda + 0,5 = 0

şeklinde elde edilir.

AR(p) süreçlerinde ACF yavaş yavaş sönümlenir, ancak bu sönümlenmenin şeklini (tekdüze mi yoksa dalgalı mı) karakteristik denklemin kökleri belirler.

4

Karakteristik denklemin diskriminantının (

\Delta

) hesaplanması ve kök türünün bulunması.

\Delta = (-0,6)^2 - 4(1)(0,5) = 0,36 - 2 = -1,64

. Diskriminant negatif (

\Delta < 0

) olduğu için karakteristik kökler karmaşık (kompleks) sayılardır.

Karmaşık köklerin varlığı, ACF'nin monoton (tekdüze) bir şekilde azalmayacağını, periyodik bir dalga hareketi yapacağını kanıtlar.

5

ACF'nin kesin davranışının yorumlanması.

Karmaşık kökler sebebiyle ACF, sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşır.

Zaman serileri teorisine göre karmaşık eşlenik kökler otokorelasyon fonksiyonunda kosinüs/sinüs tabanlı sönümlü periyodik dalgalanmalar yaratır.

Anahtar Kavram

AR(2) Süreçlerinde ACF/PACF Davranışı ve Karakteristik Kök İlişkisi

Soru 31Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK), tarımsal üretim endeksini tahmin etmek amacıyla bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Modele ait son 4 çeyreklik gerçek değerler ( $Y_t$ ) ve öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıda verilmiştir:

Çeyrek ( $t$ )	Gerçek Değer ( $Y_t$ )	Öngörü Değeri ( $F_t$ )
1	60	51
2	60	63
3	30	$F_3$
4	60	66

Bu modelin Ortalama Mutlak Yüzde Hatası (MAPE) %12,5'tir. Üçüncü çeyreğe ait öngörü değerinin, gerçekleşen değerin altında kaldığı ( $F_3 < Y_3$ ) bilinmektedir.

Buna göre, uygulanan bu modelin Ortalama Hata Karesi (MSE) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

6.0

36.0

40.5

54.0

162.0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40.5

Cevap

Modelin Ortalama Hata Karesi (MSE) değeri 40.5'tir.

MSE değeri, her bir dönemdeki tahmin hatasının (

Y_t - F_t

) karelerinin toplamının gözlem sayısına (n) bölünmesiyle elde edilir. Soruda verilen %12,5 MAPE bilgisi kullanılarak 3. dönemin mutlak yüzde hatası %20 ve dolayısıyla mutlak hatası 6 olarak bulunur. Tüm dönemlerin hataları sırasıyla 9, -3, 6 ve -6'dır. Bunların kareleri toplamı

81 + 9 + 36 + 36 = 162

'dir. Gözlem sayısına bölündüğünde (

162 / 4

) 40.5 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen MAPE formülünü kullanarak bilinen dönemlerin mutlak yüzde hatalarını hesapla.

1. Çeyrek:

|60 - 51| / 60 = 0.15

. 2. Çeyrek:

|60 - 63| / 60 = 0.05

. 4. Çeyrek:

|60 - 66| / 60 = 0.10

.

MAPE, tüm dönemlerin mutlak yüzde hatalarının ortalaması olduğu için öncelikle eksik olmayan dönemlerin hata oranları bulunmalıdır.

2

Toplam MAPE değerinden yola çıkarak eksik olan 3. dönemin mutlak hatasını (|e_3|) bul.

Ortalama %12,5 (0.125) olduğundan:

(0.15 + 0.05 + APE_3 + 0.10) / 4 = 0.125 \Rightarrow 0.30 + APE_3 = 0.50 \Rightarrow APE_3 = 0.20

. Buradan

|e_3| / 30 = 0.20 \Rightarrow |e_3| = 6

bulunur.

Bilinmeyen döneme ait hatayı bulmak, MSE'yi hesaplayabilmek için zorunludur.

3

Bulunan mutlak hatayı kullanarak tüm dönemlerin hata karelerini hesapla.

e_1^2 = 9^2 = 81

,

e_2^2 = (-3)^2 = 9

,

e_3^2 = 6^2 = 36

(Soruda

F_3 < Y_3

verildiği için

e_3

pozitiftir, karesi 36'dır),

e_4^2 = (-6)^2 = 36

. Toplam = 162.

MSE hesaplamasında mutlak değerler değil, hataların kareleri dikkate alınır.

4

Hata kareleri toplamını gözlem sayısına (n) bölerek MSE'ye ulaş.

162 / 4 = 40.5

.

MSE (Ortalama Hata Karesi), tanımı gereği hata kareleri toplamının veri sayısına (n) bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Öngörü Yöntemleri ve Hata Ölçütleri (MSE, MAE, MAPE)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 32Soru →

İktisadi bir araştırmada, çeyreklik sanayi üretim endeksi verilerinin modellenmesi hedeflenmektedir. Bu amaçla verinin durağanlık sınaması için Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testi, sabit terim ve doğrusal zaman trendi içeren bir denklem üzerinden tahmin edilmiştir. Test sonucunda hesaplanan $\tau$ (tau) istatistiği $-1.95$ iken, $\%5$ anlamlılık düzeyindeki MacKinnon kritik değeri $-3.45$ olarak verilmiştir.

Birim kök testlerinin varsayımları ve testin yokluk hipotezi ( $H_0$ ) dikkate alındığında, bu analiz sonucuna ilişkin aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için "Seride birim kök vardır" hipotezi reddedilemez; seriyi durağanlaştırmak amacıyla fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Yokluk hipotezi reddedilemediği için serinin trend durağan (trend-stationary) olduğu sonucuna varılır; serinin durağanlaştırılması için fark almak yerine deterministik trendden arındırılması gerekir.

Test istatistiği mutlak değerce kritik değerden küçük olduğundan "Seride birim kök yoktur" hipotezi kabul edilir; seri düzey değerlerinde durağan olduğu için modele doğrudan geçilmelidir.

"Seri durağandır" şeklindeki yokluk hipotezi reddedildiği için seri stokastik trende sahiptir; bu nedenle doğrudan ikinci dereceden farkı alınarak otokorelasyon sorunu giderilmelidir.

Test istatistiği kritik değerin sağında kaldığı için birim kök hipotezi reddedilir; uygun hareketli ortalama (MA) modelinin tespiti için ACF grafiğinin kesilme noktası incelenmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için "Seride birim kök vardır" hipotezi reddedilemez; seriyi durağanlaştırmak amacıyla fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Cevap

Hesaplanan test istatistiği (

-1.95

), kritik değerden (

-3.45

) daha büyük olduğu için 'Seride birim kök vardır' şeklindeki

H_0

hipotezi reddedilemez ve seriyi durağanlaştırmak için fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testinde yokluk hipotezi (

H_0

), serinin birim kök içerdiğini yani durağan olmadığını varsayar. Test sol kuyruklu bir test olduğundan, test istatistiği (

\tau

) kritik değerden daha küçük (daha negatif) olduğunda ancak

H_0

reddedilir. Bu soruda hesaplanan

\tau = -1.95

değeri,

\%5

kritik değeri olan

-3.45

'ten daha büyük (sayı doğrusunda sağında) olduğu için

H_0

reddedilemez. Bu durum, serinin deterministik bir trend etrafında durağan olmadığını, stokastik bir trende sahip olduğunu (fark durağan olduğunu) gösterir. Sonuç olarak, seriyi durağanlaştırmak için serinin birinci dereceden farkının alınması gerekmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Test istatistiği ile kritik değeri karşılaştır.

-1.95 > -3.45

eşitsizliği belirlenir.

ADF testi sol kuyruklu bir testtir. Test istatistiği kritik değerden daha küçük (daha negatif) olmadığı sürece ret bölgesine girilmez.

2

Yokluk hipotezi (

H_0

) hakkında karar ver.

H_0

hipotezi reddedilemez.

Hesaplanan değer ret bölgesine düşmediği için, "Seri birim kök içerir (durağan değildir)" şeklindeki temel varsayım geçerliliğini korur.

3

Serinin yapısını ve uygulanacak dönüştürme işlemini belirle.

Serinin durağanlaştırılması için birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Birim kök içeren seriler stokastik trende (fark durağan yapıya) sahiptir. Bu seriler, trendden arındırma yerine fark alma işlemiyle durağan hale getirilir.

Anahtar Kavram

ADF Birim Kök Testi ve Fark Durağanlık

Soru 33Soru →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, hastanelerin acil servislerine yapılan haftalık başvuru sayılarını tahmin etmek amacıyla üstel düzeltme (exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır.

Müdürlük, modeldeki düzeltme katsayısını ( $\alpha$ ) $0,30$ olarak belirlemiştir. Belirli bir hastane için $t$ haftasında gerçekleşen başvuru sayısı $200$ , aynı hafta için yapılan tahmin ise $180$ 'dir. Bir sonraki hafta olan $t+1$ haftasında ise acil servise $210$ başvuru gerçekleşmiştir.

Buna göre, bu hastane için $t+2$ haftasına ait acil servis başvuru tahmini ( $F_{t+2}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

186,0

189,0

193,2

195,0

205,2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 193,2

Cevap

Doğru tahmin değeri 193,2'dir.

t+2

dönemi tahminini bulmak için ardışık iki adımda üstel düzeltme formülü (

F_{t+1} = F_t + \alpha(A_t - F_t)

) uygulanmalıdır. İlk olarak

t+1

dönemi tahmini hesaplanır:

F_{t+1} = 180 + 0,30 \times (200 - 180) = 186

. Daha sonra bulunan bu güncel tahmin değeri kullanılarak

t+2

dönemi tahmini elde edilir:

F_{t+2} = 186 + 0,30 \times (210 - 186) = 186 + 7,2 = 193,2

.

Adım Adım Çözüm

1

t+1

haftası için başvuru tahmininin (

F_{t+1}

) hesaplanması

F_{t+1} = 180 + 0,3 \times (200 - 180) = 186,0

t+2

tahminini bulabilmek için öncelikle bir önceki dönemin güncel tahmin değerinin formül yardımıyla elde edilmesi gerekir.

2

t+2

haftası için başvuru tahmininin (

F_{t+2}

) hesaplanması

F_{t+2} = 186 + 0,3 \times (210 - 186) = 186 + 7,2 = 193,2

Bulunan

F_{t+1}

değeri ve

t+1

dönemindeki gerçek başvuru sayısı kullanılarak

t+2

dönemi için nihai öngörü elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing) Yöntemi ile Ardışık Tahmin

Soru 34Soru →

Bir finansal analist, bir varlığın günlük logaritmik getiri serisini, $\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$ beyaz gürültü süreci olmak üzere;

Y_t = 0.02 + \varepsilon_t - 1.3 \varepsilon_{t-1} + 0.4 \varepsilon_{t-2}

şeklinde ikinci dereceden bir hareketli ortalama, MA(2), süreci olarak modellemiştir.

Bu modelin teorik özellikleri ve tanımlayıcı grafikleri (ACF/PACF) hakkında yapılan aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Süreç, doğası gereği yapısal olarak durağandır ve karakteristik denkleminin kökleri birim çemberin dışında yer aldığı için tersinirlik (invertibility) koşulunu da sağlamaktadır.

Sürecin durağan olabilmesi için karakteristik denklem köklerinin mutlak değerce 1'den küçük olması gerekir; bu koşul sağlanmadığı için analizden önce serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Modelin teorik Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) üstel olarak sönümlenirken, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra keser.

Süreç durağan olmasına karşın, birinci gecikme katsayısının mutlak değeri 1'den büyük (

|-1.3| > 1

) olduğu için tersinirlik koşulu ihlal edilmiştir ve sonsuz dereceden bir AR modeline dönüştürülemez.

Modelin durağanlık ve tersinirlik koşullarını eşzamanlı olarak sağlaması nedeniyle, serinin hem ACF hem de PACF grafikleri 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşerek kesilme (cut-off) eğilimi gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç, doğası gereği yapısal olarak durağandır ve karakteristik denkleminin kökleri birim çemberin dışında yer aldığı için tersinirlik (invertibility) koşulunu da sağlamaktadır.

Cevap

Süreç bir MA(2) modeli olduğundan yapısal olarak durağandır ve karakteristik denklem kökleri hesaplandığında (1.25 ve 2) birim çemberin dışında yer aldığı görüldüğü için aynı zamanda tersinirdir.

Verilen model ikinci dereceden bir hareketli ortalama, MA(2), sürecidir. MA(q) süreçleri, beyaz gürültü terimlerinin sonlu sayıdaki doğrusal birleşimi oldukları için parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman yapısal olarak durağandır. Bir MA(q) sürecinin tersinir (invertible) olabilmesi için karakteristik denkleminin (

\theta(B) = 1 - 1.3B + 0.4B^2 = 0

) köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması (birim çemberin dışında yer alması) gerekir. Denklemin kökleri hesaplandığında

B_1 = 1.25

ve

B_2 = 2

bulunur. Her iki kök de 1'den büyük olduğu için model tersinirlik koşulunu da sağlamaktadır. Bu nedenle süreç doğası gereği durağan, kök yapısı gereği tersinirdir.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin türünü ve durağanlık durumunu belirleme

Verilen denklem geçmiş hata terimlerini içerdiğinden ikinci dereceden bir hareketli ortalama, MA(2), sürecidir. MA süreçleri sonlu varyanslı hata terimlerinin toplamı olduğu için her zaman durağandır.

Zaman serisi bileşenlerinin yapısına göre model durağanlık şartlarının temel teorisinin hatırlanması gerekir.

2

Tersinirlik (invertibility) için karakteristik denklemi oluşturma

Hareketli ortalama polinomu kullanılarak karakteristik denklem

\theta(B) = 1 - 1.3B + 0.4B^2 = 0

şeklinde yazılır.

Bir MA sürecinin sonsuz dereceli bir AR sürecine dönüştürülebilmesi (tersinirlik) için bu polinomun köklerinin incelenmesi zorunludur.

3

Karakteristik denklemin köklerini hesaplama

0.4B^2 - 1.3B + 1 = 0

denkleminin kökleri çözüldüğünde

B_1 = 1.25

ve

B_2 = 2

olarak bulunur.

Tersinirlik şartının sağlanması için hesaplanan tüm köklerin mutlak değerinin 1'den büyük olması (köklerin birim çemberin dışında kalması) gerekir. Her iki kök de 1'den büyük olduğu için süreç tersinirdir.

4

ACF ve PACF grafiklerinin teorik davranışını tanımlama

Model bir MA(2) süreci olduğu için teorik olarak Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) 2. gecikmede kesilir (cuts off), Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ise asimptotik olarak sönümlenir.

MA ve AR modellerini birbirinden ayırmak için tanımlayıcı istatistiksel grafiklerin (korelogram) imzalarının bilinmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve ACF/PACF Davranışları

Soru 35Soru →

Bir merkez bankası analisti, sanayi üretim endeksindeki aylık değişimleri modellemek amacıyla ikinci dereceden otoregresif, AR(2), süreci kullanmaya karar vermiştir. Kurulacak olan modelin denklemi $Y_t = \delta + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t$ olarak tanımlanmıştır. Analist, serinin şoklara karşı kalıcı bir tepki vermemesini, yani modelin durağanlık varsayımını sağlamasını hedeflemektedir.

Buna göre, analistin tahmin ettiği model parametreleri ( $\phi_1$ ve $\phi_2$ ) aşağıdakilerden hangisi olursa model durağanlık koşullarını sağlar?

\phi_1 = 0.6, \quad \phi_2 = 0.2

\phi_1 = 0.7, \quad \phi_2 = 0.4

\phi_1 = -0.8, \quad \phi_2 = 0.5

\phi_1 = 0.3, \quad \phi_2 = -1.2

\phi_1 = 1.5, \quad \phi_2 = -0.2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\phi_1 = 0.6, \quad \phi_2 = 0.2$

Cevap

Modelin durağan olması için

\phi_1 = 0.6

ve

\phi_2 = 0.2

parametre değerleri kullanılmalıdır.

AR(2) modeli olan

Y_t = \delta + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalması gerekir. Bu durum matematiksel olarak üç eşitsizliğin aynı anda sağlanmasını zorunlu kılar:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

-1 < \phi_2 < 1

. Doğru yanıttaki

\phi_1 = 0.6

ve

\phi_2 = 0.2

değerleri, bu eşitsizliklerin üçünü de (

0.8 < 1

,

-0.4 < 1

,

0.2 < 1

) sağlayan tek parametre setidir.

Adım Adım Çözüm

1

İkinci dereceden otoregresif, AR(2), modelinin durağanlık koşullarını belirle.

Durağanlık için üç eşitsizlik sağlanmalıdır: 1)

\phi_1 + \phi_2 < 1

, 2)

\phi_2 - \phi_1 < 1

, 3)

|\phi_2| < 1

.

AR(2) sürecinin karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında yer alması için bu üç matematiksel eşitsizliğin tümü geçerli olmalıdır.

2

Verilen seçenekleri birinci koşul (

\phi_1 + \phi_2 < 1

) açısından test et.

\phi_1=0.7, \phi_2=0.4

toplamı 1.1'dir (İhlal).

\phi_1=1.5, \phi_2=-0.2

toplamı 1.3'tür (İhlal). Bu seçenekler elenir.

Birinci koşulu sağlamayan parametreler birim kök veya patlayıcı süreç yaratır.

3

Kalan seçenekleri ikinci koşul (

\phi_2 - \phi_1 < 1

) açısından test et.

\phi_1=-0.8, \phi_2=0.5

için

0.5 - (-0.8) = 1.3

(İhlal). Bu seçenek elenir.

İkinci koşulu sağlamayan modeller, durağanlık sınırlarının dışına çıkar.

4

Kalan seçenekleri üçüncü koşul (

|\phi_2| < 1

) açısından test et.

\phi_1=0.3, \phi_2=-1.2

için

|-1.2| = 1.2

(İhlal). Ancak

\phi_1=0.6, \phi_2=0.2

için tüm koşullar sağlanır:

0.8 < 1

,

-0.4 < 1

ve

0.2 < 1

.

Üç koşulu aynı anda sağlayan tek parametre kümesi doğru durağanlık bölgesindedir.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları

Soru 36Soru →

Bir makroekonomik göstergeyi tahmin etmek amacıyla geliştirilen Model I ve Model II'nin 5 dönemlik test verisi üzerindeki öngörü performansları karşılaştırılmıştır.

Her iki modelin de Ortalama Mutlak Hata (MAE) değeri $4$ birim olarak bulunmuştur. Ancak, hata karelerinin ortalaması alındığında Model I'in MSE (Hata Kareler Ortalaması) değeri $26$ iken, Model II'nin MSE değeri $16$ olarak hesaplanmıştır.

Bu sonuçlar dikkate alındığında, modellerin öngörü hataları ( $e_t = Y_t - \hat{Y}_t$ ) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Model II'nin tüm öngörü hataları aynı işaretlidir, bu nedenle MSE değeri MAE'nin karesine tam eşit çıkmıştır.

Model I, serideki tüm dönemlerde Model II'ye kıyasla daha büyük öngörü hataları yapmıştır.

Model I'in öngörü hataları incelendiğinde, bu hataların çoğunluğunun serinin döngüsel bileşenini modelleyememekten kaynaklandığı görülür.

Model II'nin incelenen tüm dönemlerindeki öngörü hatalarının mutlak değeri birbirine eşittir.

Her iki modelin de MAE değerleri eşit olduğu için, modellerin tahminlerinde meydana gelen maksimum sapma miktarları da birbirine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model II'nin incelenen tüm dönemlerindeki öngörü hatalarının mutlak değeri birbirine eşittir.

Cevap

Model II'nin incelenen tüm dönemlerindeki öngörü hatalarının mutlak değeri birbirine eşittir.

Ortalama Mutlak Hata (MAE), mutlak hataların aritmetik ortalamasıdır. Hata Kareler Ortalaması (MSE) ise hataların karelerinin ortalamasıdır ve matematiksel olarak mutlak hataların da karelerinin ortalamasıdır. İstatistiksel varyans tanımına göre, bir değişkenin karelerinin ortalaması ile ortalamasının karesi arasındaki fark, o değişkenin varyansını verir (

Varyans = MSE - MAE^2

). Model II için MSE (

16

) ile MAE'nin karesi (

4^2=16

) birbirine eşittir. Bu durum, Model II'nin mutlak hatalarının varyansının sıfır olduğunu gösterir. Varyansın sıfır olması, serideki tüm gözlemlerin birbirine ve ortalamaya eşit olmasıyla mümkündür. Dolayısıyla, Model II'nin incelenen tüm dönemlerindeki öngörü hatalarının mutlak değeri kesinlikle

4

'tür.

Adım Adım Çözüm

1

MSE ve MAE formüllerini kullanarak mutlak hataların varyans ilişkisini kurma

Varyans(|e_t|) = \frac{1}{n}\sum |e_t|^2 - (\frac{1}{n}\sum |e_t|)^2 = MSE - MAE^2

Hata metrikleri arasındaki matematiksel ilişkiyi, verilerin dalgalanma (varyans) durumunu tespit etmek için kullanmak

2

Model II için mutlak hataların varyansını hesaplama

Varyans_\text{II} = 16 - 4^2 = 16 - 16 = 0

Model II'nin hataları arasındaki değişkenliği belirlemek

3

Varyans sonucunu yorumlama

Model II'de varyans

0

olduğu için, tüm dönemlerdeki mutlak hatalar ortalamaya (yani

4

'e) eşittir.

Varyansı sıfır olan bir veri setinde tüm gözlemlerin birbirine eşit olduğu istatistiksel kuralını uygulamak

Anahtar Kavram

Öngörü hatalarında MSE ve MAE ilişkisinin hata varyansını ifade etmesi

Soru 37Soru →

Bir epidemiyolog, haftalık hastalık vaka sayılarındaki ani dalgalanmaları (rastgele şokları) modellemek için bir zaman serisi analizi yürütmektedir. Veriler genel trend ve mevsimsel etkilerden arındırıldıktan sonra, serinin sadece mevcut haftanın ve önceki $q$ haftanın rastgele hata terimlerinin (beyaz gürültü) ağırlıklı doğrusal bir birleşimi olan $MA(q)$ (Hareketli Ortalama) sürecine uygun olduğu tespit edilmiştir.

Bu $MA(q)$ modeli dikkate alındığında, sürecin durağanlığı, tersinirliği (invertibility) ve korelasyon fonksiyonlarının (ACF ve PACF) teorik davranışları hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreç, model parametrelerinin değerlerinden bağımsız olarak daima durağandır; ancak tersinir olabilmesi için katsayılarına bağlı belirli matematiksel koşulları sağlaması gerekir ve teorik Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilir.

Sürecin Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) tam olarak

q

. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilirken, teorik Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) zamanla üstel veya sinüzoidal biçimde yavaşça sönümlenir.

Süreç yapısı gereği her durumda tersinirlik koşulunu sağlar; ancak durağan olabilmesi için hareketli ortalama parametrelerinin karakteristik denkleminin köklerinin mutlak değerce

1

'den büyük olması zorunludur.

Modelin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) teorik olarak hiçbir gecikmede sıfıra kesilmez, bu sebeple sürecin durağan hale getirilebilmesi için öncelikle seriye en az birinci dereceden fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Süreç, bağımlı değişkenin kendi geçmiş değerlerinin doğrudan bir kombinasyonu olarak modellendiği için, hem ACF hem de PACF grafikleri eşzamanlı olarak

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç, model parametrelerinin değerlerinden bağımsız olarak daima durağandır; ancak tersinir olabilmesi için katsayılarına bağlı belirli matematiksel koşulları sağlaması gerekir ve teorik Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) $q$ . gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilir.

Cevap

Süreç, model parametrelerinin değerlerinden bağımsız olarak daima durağandır; ancak tersinir olabilmesi için katsayılarına bağlı belirli matematiksel koşulları sağlaması gerekir ve teorik Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilir.

Zaman serileri teorisinde

MA(q)

(Hareketli Ortalama) süreci, sonlu sayıdaki beyaz gürültü hata teriminin doğrusal birleşimidir. Bu yapısı gereği varyans ve otokovaryansları zamana bağlı olmadığından, model katsayıları ne olursa olsun süreç her zaman durağandır. Sürecin tersinir (invertible) olabilmesi, yani bağımlı değişkenin geçmiş gözlem değerleri cinsinden yazılabilmesi için ise karakteristik denklemin köklerinin mutlak değerce

1

'den büyük olması şartı aranır. Korelasyon yapısına gelince, aralarındaki gecikme

q

'dan büyük olan gözlemler ortak hiçbir hata terimi içermediğinden Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra teorik olarak sıfıra eşitlenir (aniden kesilir).

Adım Adım Çözüm

1

MA(q) modelinin durağanlık koşulunun incelenmesi.

MA(q) süreçleri sonlu sayıda bağımsız, aynı dağılımlı (beyaz gürültü) rastgele değişkenin doğrusal toplamı olduğu için her durumda (parametre değerlerinden bağımsız olarak) durağandır.

Zaman serisi teorisinde MA modellerinin temel yapısal özelliğini (durağanlık garantisi) belirlemek.

2

MA(q) modelinin tersinirlik (invertibility) durumunun değerlendirilmesi.

Sürecin mevcut değerini geçmiş gözlemler cinsinden sonsuz dereceli bir AR sürecine dönüştürebilmek (tersinirlik) için karakteristik denklemin köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) kalması şartı aranır. Bu nedenle tersinirlik her zaman sağlanmaz.

Durağanlık ile tersinirlik arasındaki şarta bağlı ayrımı kavramak.

3

ACF ve PACF grafik davranışlarının belirlenmesi.

MA(q) modelinde aralarındaki mesafe q'dan büyük olan gecikmeler ortak bir hata terimi paylaşmadığı için ACF q. gecikmede aniden kesilir, PACF ise üstel olarak sönümlenir.

Korelasyon fonksiyonlarının teorik kesilme özelliklerini MA modellerine doğru şekilde eşleştirmek.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve Korelasyon Yapısı

Soru 38Soru →

Bir finansal analist, bir varlığın günlük getiri oranlarındaki dalgalanmaları modellemek için durağan bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), süreci kullanmaktadır. Modelin analizi sonucunda, serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı $\rho_1 = 0.75$ ve ikinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı $\rho_2 = 0.65$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu AR(2) sürecinin üçüncü gecikmeli otokorelasyon katsayısı ( $\rho_3$ ) kaçtır?

0.42

0.49

0.54

0.55

0.58

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.54

Cevap

Doğru cevap 0.54 değeridir.

Durağan bir AR(2) modeli için Yule-Walker denklemleri

k=1

için

\rho_1 = \phi_1 + \phi_2\rho_1

ve

k=2

için

\rho_2 = \phi_1\rho_1 + \phi_2

şeklindedir. Verilen

\rho_1 = 0.75

ve

\rho_2 = 0.65

değerleri kullanılarak iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde modelin otoregresif katsayıları

\phi_1 = 0.60

ve

\phi_2 = 0.20

olarak bulunur. Üçüncü gecikmeli otokorelasyon olan

\rho_3

,

\rho_3 = \phi_1\rho_2 + \phi_2\rho_1

formülü ile hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda

0.60 \times 0.65 + 0.20 \times 0.75 = 0.39 + 0.15 = 0.54

sonucuna ulaşılır. Doğru hesaplama budur.

Adım Adım Çözüm

1

AR(2) süreci için

k=1

ve

k=2

gecikmelerine ait Yule-Walker denklemlerini yazın.

\rho_1 = \phi_1 + \phi_2\rho_1

ve

\rho_2 = \phi_1\rho_1 + \phi_2

Otokorelasyon katsayıları ile model parametreleri (

\phi_1, \phi_2

) arasındaki ilişkiyi kurmak için gereklidir.

2

Verilen

\rho_1=0.75

ve

\rho_2=0.65

değerlerini denklemlerde yerine koyarak

\phi_1

ve

\phi_2

parametrelerini çözün.

1. Denklem:

0.75 = \phi_1 + 0.75\phi_2 \Rightarrow \phi_1 = 0.75 - 0.75\phi_2

2. Denklem:

0.65 = 0.75\phi_1 + \phi_2

İkinci denklemde

\phi_1

'i yerine koyarsak:

0.65 = 0.75(0.75 - 0.75\phi_2) + \phi_2 \Rightarrow 0.65 = 0.5625 + 0.4375\phi_2 \Rightarrow \phi_2 = 0.20

ve

\phi_1 = 0.60

bulunur.

Üçüncü gecikmeye ulaşabilmek için öncelikle serinin temel yapısal parametrelerinin bilinmesi şarttır.

3

Hesaplanan

\phi_1

ve

\phi_2

değerlerini,

k=3

için Yule-Walker denklemi olan

\rho_3 = \phi_1\rho_2 + \phi_2\rho_1

ifadesinde yerine koyun.

\rho_3 = 0.60(0.65) + 0.20(0.75) = 0.390 + 0.150 = 0.54

AR(2) sürecinde herhangi bir gecikmedeki otokorelasyon, önceki iki gecikmenin ağırlıklı toplamı şeklinde kendini tekrarlar.

Anahtar Kavram

Yule-Walker Denklemleri

Soru 39Soru →

Bir bölgesel enerji dağıtım şirketi, belirli bir sanayi bölgesinin haftalık elektrik tüketimini (Megawatt saat - MWh) öngörmek için bir zaman serisi modeli geliştirmiştir. Modelin performansını değerlendirmek amacıyla son dört haftaya ait gerçekleşen tüketim değerleri ( $Y_t$ ) ve modelin ürettiği öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	100	90
2	50	60
3	200	200
4	150	135

Buna göre, kullanılan öngörü modelinin Ortalama Mutlak Yüzde Hatası (MAPE) yüzde kaçtır?

3

7

8,75

10

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Doğru yanıt 10'dur.

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE), her dönemdeki mutlak hatanın o dönemin gerçek değerine oranlanması, bu oranların toplanıp gözlem sayısına bölünmesi ve sonucun 100 ile çarpılması yoluyla bulunur. Dört haftanın oranları sırasıyla 0,10, 0,20, 0,00 ve 0,10'dur. Bunların toplamı 0,40 yapar. Gözlem sayısı olan 4'e bölündüğünde 0,10 bulunur. Yüzde cinsinden ifade edildiğinde doğru sonuç %10 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir hafta için mutlak hataları (

|Y_t - F_t|

) hesaplayın.

1. Hafta:

|100 - 90| = 10

, 2. Hafta:

|50 - 60| = 10

, 3. Hafta:

|200 - 200| = 0

, 4. Hafta:

|150 - 135| = 15

Öngörü hatalarının büyüklüğünü (yönünden bağımsız olarak) belirlemek için.

2

Her hafta için mutlak yüzde hatayı (

|Y_t - F_t| / Y_t

) bulun.

1. Hafta:

10 / 100 = 0,10

, 2. Hafta:

10 / 50 = 0,20

, 3. Hafta:

0 / 200 = 0

, 4. Hafta:

15 / 150 = 0,10

Hatanın gerçekleşen değere oranını bularak oransal (yüzde) hatayı tespit etmek için.

3

Mutlak yüzde hataları toplayın ve gözlem sayısına (

n=4

) bölün.

Toplam

= 0,10 + 0,20 + 0 + 0,10 = 0,40

. Ortalama

= 0,40 / 4 = 0,10

Tüm dönemleri kapsayan ortalama mutlak yüzde sapmayı hesaplamak için.

4

Elde edilen sonucu 100 ile çarparak yüzde formunda ifade edin.

0,10 \times 100 = 10

(%10)

Soruda sonucun 'yüzde kaç' olduğu sorulduğu için.

Anahtar Kavram

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE)

Soru 40Soru →

Zaman serileri ekonometrisinde, serilerin durağan dışı özelliklerinin kaynağını doğru saptamak, uygulanacak arındırma yöntemi açısından büyük önem taşır.

Bir araştırmacı, ulusal düzeyde derlenen aylık bir hizmet sektörü endeksini modellerken Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testinden yararlanmaktadır. Endeksin zaman yolu grafiğinde doğrusal bir yönelim olduğu gözlemlendiğinden, test regresyonu hem kesme (sabit) hem de zaman eğilimi (trend) değişkenleri dâhil edilerek tahmin edilmiştir. Test sonucunda hesaplanan $\tau$ (tau) test istatistiğinin, %5 anlamlılık seviyesindeki MacKinnon tablo kritik değerinden daha büyük olduğu (sol kuyruk reddetme bölgesine düşmediği) saptanmıştır.

Buna göre, incelenen endeks serisinin temel davranışı ve seriyi durağan yapıya getirmek için uygulanması gereken en uygun işlem aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Seri, geçmiş şokların etkisini kalıcı olarak taşıyan fark-durağan bir yapıdadır; durağanlığı sağlamak için verilerin ardışık birinci farkları alınmalıdır.

Serideki dalgalanmalar zamanın doğrusal bir fonksiyonu etrafında gerçekleşmektedir; durağanlık için verilerin zaman bileşeninden arındırılması yeterli bir adımdır.

Birim kök sınamasının yokluk hipotezi geçersiz kılındığı için seri halihazırda durağan bir veri üreten sürece sahiptir; hiçbir dönüştürme işlemi yapılmadan analize devam edilmelidir.

Birim kök testi sonucuna göre serinin otokorelasyon (ACF) fonksiyonunun hızla sıfıra yaklaştığı kanıtlanmıştır; bu nedenle düzey değerleri üzerinden doğrudan otoregresif modeller kurulabilir.

Standart birim kök testi sonucunun anlamlı bulunmaması seride mevsimsel bir durağansızlık olduğuna işaret eder; düzeltme işlemi için serinin yalnızca periyot uzunluğu kadar gecikmeli farkı alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Seri, geçmiş şokların etkisini kalıcı olarak taşıyan fark-durağan bir yapıdadır; durağanlığı sağlamak için verilerin ardışık birinci farkları alınmalıdır.

Cevap

Seri, geçmiş şokların etkisini kalıcı olarak taşıyan fark-durağan bir yapıdadır; durağanlığı sağlamak için verilerin ardışık birinci farkları alınmalıdır.

Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testinde temel hipotez (H0), seride birim kök bulunduğunu iddia eder. Sınama sol kuyrukta yapıldığından, hesaplanan

\tau

istatistiğinin kritik değerden büyük olması (mutlak değerce daha küçük olması), H0 hipotezinin reddedilemediğini kanıtlar. Bu durum, serinin deterministik bir trend etrafında dalgalanmadığını, aksine stokastik (rastgele) bir trend barındırdığını gösterir. Literatürde bu tür seriler fark-durağan (difference-stationary) olarak adlandırılır. Fark-durağan serilerde meydana gelen şokların etkisi kalıcıdır ve seriyi durağanlık koşuluna ulaştırmak için deterministik trendden arındırma değil, ardışık (birinci dereceden) fark alma (

\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}

) işlemi uygulanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ADF testinin temel (yokluk) hipotezini belirleme

H0: Seride birim kök vardır (Seri durağan değildir).

Testin neyi sınadığını ve reddetme durumunda hangi sonuca varılacağını saptamak.

2

Test istatistiği ile kritik değeri karşılaştırma

Hesaplanan

\tau

istatistiği %5 kritik değerinden büyüktür (örneğin -1.50 > -3.45). Bu nedenle istatistik sol kuyruktaki red bölgesine düşmemiştir.

Sol kuyruk testlerinde hipotezin reddedilip reddedilmeyeceğine karar vermek.

3

Karar ve veri üreten süreci (DGP) tanımlama

H0 hipotezi reddedilemez. Seri birim kök içermektedir ve stokastik bir yapıya (fark-durağanlığa) sahiptir.

Birim kök içeren serilerde şokların etkisi kalıcıdır ve seri deterministik değil, stokastik bir trend barındırır.

4

Durağanlaştırma işlemini seçme

Serinin düzey değerlerinin ardışık birinci farkı (

\Delta Y_t

) alınmalıdır.

Fark-durağan (I(1)) serileri durağan (I(0)) hale getirmenin istatistiksel olarak geçerli yöntemi fark alma işlemidir.

Anahtar Kavram

Birim Kök Testleri (ADF) ve Fark-Durağanlık

Tahmini Süre:1m 30s

Zaman Serileri Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm