Zaman Serileri Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir enerji piyasası analisti, rüzgar enerjisi santrallerinin aylık elektrik üretim miktarı ( $Y_t$ ) verilerini modellemektedir. Yapılan analizler sonucunda serinin veri yapısının aşağıdaki süreç ile ifade edilebileceği belirlenmiştir:

(1 - 0.4B - 0.2B^2) (1 - B) (1 - B^{12})^2 Y_t = (1 - 0.5B)(1 - 0.8B^{12}) \varepsilon_t

(Burada $B$ gecikme operatörünü ve $\varepsilon_t$ sıfır ortalamalı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Buna göre, bu zaman serisi modelinin $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ formatındaki gösterimi ve durağanlaştırılmış serinin mevsimsel gecikmelerdeki ( $k=12, 24, 36, \dots$ ) teorik Otokorelasyon (ACF) ile Kısmi Otokorelasyon (PACF) davranışları aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

| ACF 1. mevsimsel gecikmeden sonra kesilir, PACF sönümlenerek devam eder.

\text{SARIMA}(0,2,1)(2,1,1)_{12}

| ACF ve PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenerek devam eder.

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

| PACF 1. mevsimsel gecikmeden sonra kesilir, ACF sönümlenerek devam eder.

\text{SARIMA}(1,1,2)(1,2,0)_{12}

| PACF 1. mevsimsel gecikmeden sonra kesilir, ACF sönümlenerek devam eder.

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

| ACF ve PACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenerek devam eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}$ | ACF 1. mevsimsel gecikmeden sonra kesilir, PACF sönümlenerek devam eder.

Cevap

Model

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

yapısındadır ve mevsimsel kısmı MA(1) olduğu için ACF ilk mevsimsel gecikmede kesilirken PACF sönümlenerek devam eder.

Verilen model denklemi incelendiğinde, sol taraftaki

(1 - 0.4B - 0.2B^2)

terimi

p=2

dereceli mevsimsel olmayan AR sürecini,

(1 - B)

terimi

d=1

dereceli mevsimsel olmayan fark almayı gösterir.

(1 - B^{12})^2

terimi ise aylık veri (

s=12

) için

D=2

dereceli mevsimsel fark almayı belirtir. Sol tarafta

B^{12}

'ye bağlı bir AR polinomu olmadığı için

P=0

'dır. Sağ taraftaki

(1 - 0.5B)

terimi

q=1

dereceli mevsimsel olmayan MA sürecini,

(1 - 0.8B^{12})

ise

Q=1

dereceli mevsimsel MA sürecini ifade eder. Dolayısıyla model

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

olarak tanımlanır. Mevsimsel kısımda sadece

Q=1

olduğu (salt hareketli ortalama süreci) için, teorik ACF grafiği 1. mevsimsel gecikmede (

k=12

) pik yapıp ardından aniden kesilir (sıfıra düşer). PACF grafiği ise mevsimsel gecikmelerde (

k=12, 24, 36\dots

) sönümlenerek devam eder.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemin sol tarafındaki mevsimsel olmayan ve mevsimsel AR ile fark alma (d, D) operatörlerinin derecelerini belirlemek.

p=2

(ikinci derece

B

polinomu),

d=1

(birinci derece

1-B

),

D=2

(ikinci derece

1-B^{12}

),

P=0

(mevsimsel AR polinomu yok).

Modelin otoregresif ve bütünleşik (fark) bileşenlerini tanımlamak için.

2

Denklemin sağ tarafındaki mevsimsel olmayan ve mevsimsel MA operatörlerinin derecelerini belirlemek.

q=1

(birinci derece

B

polinomu),

Q=1

(birinci derece

B^{12}

polinomu).

Modelin hareketli ortalama (MA) bileşenlerini tanımlamak için.

3

Tüm parametreleri aylık periyot (

s=12

) ile

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

formatında birleştirmek.

Modelin yapısı

\text{SARIMA}(2,1,1)(0,2,1)_{12}

olarak elde edilir.

Serinin yapısını standart istatistiksel notasyonla ifade etmek için.

4

Bulunan modelin mevsimsel parametrelerine (

P=0

,

Q=1

) göre durağanlaştırılmış serinin ACF ve PACF teorik davranışını incelemek.

Mevsimsel bileşen salt MA(1) sürecidir. Dolayısıyla ACF 1. mevsimsel gecikmeden (

k=12

) sonra sıfıra düşer (kesilir), PACF ise mevsimsel gecikmelerde sönümlenerek devam eder.

Teorik çerçevede MA süreçlerinin otokorelasyon karakteristik özelliklerini saptamak için.

Anahtar Kavram

SARIMA Parametre Çıkarımı ve Mevsimsel ACF/PACF Davranışı

Soru 82Soru →

Kalkınma Ajansları Genel Müdürlüğü, bölgesel hibe destek programlarına yapılan yıllık proje başvuru sayılarını (bin adet) öngörmek için bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. $5$ yıllık bir dönem ( $n=5$ ) için modelin tahmin performansını değerlendiren bir uzman, Ortalama Mutlak Hata (MAE) değerini $4$ , Hata Kareleri Ortalaması (MSE) değerini ise $26$ olarak hesaplamıştır.

Daha sonra yapılan bir veri kalite denetiminde, 5. yıla ait mutlak tahmin hatasının ( $|e_5|$ ) veri girişindeki bir klavye hatası nedeniyle $5$ yerine $10$ olarak hesaba katıldığı tespit edilmiştir.

Bu veri giriş hatası düzeltildikten sonra elde edilecek yeni MAE ve MSE değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

MAE = 3 ; MSE = 25

MAE = 3 ; MSE = 21

MAE = 3 ; MSE = 11

MAE = 15 ; MSE = 55

MAE = 5 ; MSE = 41

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: MAE = 3 ; MSE = 11

Cevap

MAE = 3 ; MSE = 11

MAE ve MSE değerleri birer ortalama ölçütüdür. Yeni değerleri bulmak için öncelikle hataların toplamı ve hata karelerinin toplamı geriye dönük hesaplanmalıdır. Eski mutlak hata toplamı

4 \times 5 = 20

, eski hata kareler toplamı ise

26 \times 5 = 130

'dur. Hatalı olan 10 değeri çıkarılıp doğru olan 5 değeri eklendiğinde; yeni mutlak hata toplamı

20 - 10 + 5 = 15

, yeni hata kareler toplamı ise

130 - 10^2 + 5^2 = 55

olur. Bu toplamlar tekrar

n=5

'e bölündüğünde yeni MAE

15/5 = 3

ve yeni MSE

55/5 = 11

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Mevcut ortalamalar kullanılarak orijinal mutlak hata ve hata kareler toplamlarının bulunması

Eski

\sum |e_t| = 4 \times 5 = 20

Eski

\sum e_t^2 = 26 \times 5 = 130

MAE ve MSE formüllerinde bireysel bir hatayı düzeltebilmek için öncelikle serideki tüm hataların toplam değerlerine ulaşmak gerekir.

2

Hatalı gözlemin çıkarılıp doğru gözlemin eklenmesiyle yeni toplamların elde edilmesi

Yeni

\sum |e_t| = 20 - 10 + 5 = 15

Yeni

\sum e_t^2 = 130 - 10^2 + 5^2 = 130 - 100 + 25 = 55

Toplamlar üzerinden düzeltme yapmak, dizideki diğer gözlemlerin hata değerlerini bilmeden doğru sonuca ulaşmanın tek matematiksel yoludur.

3

Yeni toplamların gözlem sayısına bölünerek düzeltilmiş hata ölçütlerinin hesaplanması

Yeni MAE =

15 / 5 = 3

Yeni MSE =

55 / 5 = 11

MAE ve MSE birer ortalama ölçütü olduğu için düzeltilmiş toplamların tekrar zaman serisinin periyot sayısına (

n=5

) bölünmesi formülün gereğidir.

Anahtar Kavram

Öngörü Hata Ölçütlerinin (MAE ve MSE) Hesaplanması ve Hata Toplamlarının Ayarlanması

Soru 83Soru →

Bir çevre bilimci, bir metropoldeki aylık hava kirliliği endeksi sapmalarını analiz etmektedir. Yapılan incelemede serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) üstel olarak sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfırdan farksız olduğu (kesildiği) gözlemlenmiştir.

Araştırmacı, bu grafikleri dikkate alarak aşağıdaki zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

Y_t = 0.5 Y_{t-1} + 0.6 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.

Buna göre, tanımlanan bu modelin türü ve durağanlık durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir; ancak

\phi_1 + \phi_2 < 1

koşulunu ihlal ettiği için durağan değildir.

Model bir ikinci dereceden hareketli ortalama, MA(2), sürecidir ve ACF'nin sönümlenmesi bu modeli tanımlamak için yeterlidir.

Model bir AR(2) sürecidir ve parametreler

|\phi_1| < 1

ile

|\phi_2| < 1

eşitsizliklerini sağladığı için seri durağandır, fark alma işlemine gerek yoktur.

Serinin yapısı gereği dalgalanmalar döngüsel bir örüntüye işaret ettiğinden, süreç otoregresif bir model yerine mevsimsel bileşenli bir yapı ile tanımlanmalıdır.

Model bir ARMA(1,1) sürecidir; çünkü hem otokorelasyon fonksiyonu sönümlenmekte hem de denklemde iki ardışık gecikme terimi bulunmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir; ancak $\phi_1 + \phi_2 < 1$ koşulunu ihlal ettiği için durağan değildir.

Cevap

Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir; ancak

\phi_1 + \phi_2 < 1

koşulunu ihlal ettiği için durağan değildir.

Zaman serilerinde, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) belirli bir gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olması ve Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) sönümlenerek azalması süreci Otoregresif (AR) model olarak tanımlar. Soruda PACF 2. gecikmeden sonra kesildiğinden model AR(2)'dir. Bir AR(2) modelinin,

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

, durağanlık koşulları şunlardır: 1)

\phi_1 + \phi_2 < 1

, 2)

\phi_2 - \phi_1 < 1

, 3)

|\phi_2| < 1

. Denklemdeki katsayılar

\phi_1 = 0.5

ve

\phi_2 = 0.6

'dır. İlk koşul incelendiğinde

0.5 + 0.6 = 1.1

bulunur. Bu değer 1'den küçük olmadığı için model durağanlık varsayımını ihlal etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) davranışlarını analiz et.

PACF 2. gecikmede kesildiğinden ve ACF sönümlendiğinden süreç bir AR(2) modelidir.

Zaman serileri teorisine göre otoregresif modellerin (AR) derecesi (p), PACF grafiğinin istatistiksel olarak anlamlı kaldığı son gecikme noktası ile belirlenir.

2

AR(2) modeli için verilmiş olan

\phi_1 = 0.5

ve

\phi_2 = 0.6

katsayılarını kullanarak durağanlık koşullarını test et.

Durağanlık koşulu olan

\phi_1 + \phi_2 < 1

incelendiğinde,

0.5 + 0.6 = 1.1

bulunur. Bu değer 1'den küçüktür koşulunu sağlamaz.

Bir AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir. Bu da ancak şu üç koşulun aynı anda sağlanmasıyla mümkündür:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

.

Anahtar Kavram

AR(p) modellerinin belirlenmesi ve durağanlık koşulları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 84Soru →

Bir istatistik uzmanı, bir ülkenin 25 yıllık üç aylık (çeyreklik) turizm gelirleri veri setini toplanabilir model varsayımı ( $Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t$ ) altında klasik zaman serisi ayrıştırma yöntemiyle incelemektedir. Analiz sürecinde serinin trend ( $T_t$ ), mevsimsel ( $S_t$ ), döngüsel ( $C_t$ ) ve düzensiz ( $I_t$ ) bileşenleri tahmin edilmiştir.

Buna göre, zaman serisini oluşturan bu bileşenlerin özellikleri ve birbirleriyle olan ilişkileri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Mevsimsel bileşenin periyot uzunluğu kesin olarak bilinir ve bir yıl içinde tamamlanırken; döngüsel bileşenin dalgalanma süresi değişkendir ve genellikle bir yılı aşan periyotlarda gerçekleşir.

Turizm gelirlerinde her yılın üçüncü çeyreğinde yaşanan düzenli artışlar serinin döngüsel bileşenini oluştururken, ekonomik kriz dönemlerindeki çok yıllık daralmalar mevsimsel bileşeni oluşturur.

Kullanılan toplanabilir model varsayımında, zaman ilerledikçe ve serinin düzeyi (trend) arttıkça mevsimsel dalgalanmaların genliğinin de (şiddetinin) aynı oranda büyümesi beklenir.

Düzensiz hareketler (

I_t

) bileşeni, serideki rassal ve öngörülemeyen şokları temsil ettiğinden, toplanabilir modelde bu bileşenin beklenen değeri daima sıfırdan farklıdır ve serinin uzun dönem yönünü belirler.

Serideki mevsimsel hareketleri arındırmak için uygulanan basit hareketli ortalamalar yöntemi, aynı zamanda serideki uzun dönemli trendi de tamamen ortadan kaldırır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Mevsimsel bileşenin periyot uzunluğu kesin olarak bilinir ve bir yıl içinde tamamlanırken; döngüsel bileşenin dalgalanma süresi değişkendir ve genellikle bir yılı aşan periyotlarda gerçekleşir.

Cevap

Mevsimsel hareketlerin periyodunun sabit ve 1 yıl içinde tamamlandığını, döngüsel hareketlerin ise değişken periyotlu ve 1 yıldan uzun olduğunu belirten ifade doğrudur.

Zaman serilerinde mevsimsel bileşen (

S_t

), haftalık, aylık veya çeyreklik gibi periyodu kesin olarak bilinen ve genellikle bir takvim yılı içinde tamamlanıp kendini tekrar eden düzenli hareketlerdir. Döngüsel bileşen (

C_t

) ise ekonomik genişleme ve daralma dönemlerini (konjonktür) yansıtan, hem dalga genliği hem de tamamlanma süresi (periyodu) önceden tam olarak bilinemeyen ve genellikle bir yıldan daha uzun süren hareketlerdir. Bu ayrımı doğru yapan ifade aranan cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Zaman serisi bileşenlerinin temel tanımlarını hatırlama.

Trend (uzun dönemli yön), Mevsimsel (1 yıl içindeki sabit periyotlu tekrarlar), Döngüsel (1 yılı aşan değişken dalgalanmalar), Düzensiz (rassal şoklar).

Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu kavramsal bazda test etmek için.

2

Toplanabilir ve çarpımsal model varsayımları arasındaki farkı analiz etme.

Toplanabilir modelde (

Y = T+S+C+I

) mevsimsellik mutlaktır, trendden etkilenmez. Çarpımsal modelde (

Y = T \times S \times C \times I

) mevsimsellik oransaldır, trend arttıkça dalga boyu büyür.

Model türüne ait varsayımları içeren seçeneği değerlendirmek için.

3

Seçenekleri tanımlar ve varsayımlar eşliğinde eleme.

Mevsimsel ve döngüsel hareketin periyot yapılarını doğru bir şekilde ayıran seçeneğin kesin doğru olduğu tespit edilmiştir.

Yanlış eşleştirmeleri ve hatalı model özelliklerini tespit ederek doğru sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Zaman Serisi Bileşenleri (Trend, Mevsimsel, Döngüsel, Düzensiz Hareketler) ve Ayrıştırma Modelleri

Alternatif Yöntem

Soruyu çözerken formüller (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) üzerinden eleme yapılabilir: Toplama işleminde terimlerin birbirinden bağımsız olduğu düşünülerek genlik artışından bahseden çarpımsal özellik hemen elenebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 85Soru →

Hazine ve Maliye Bakanlığı, bir bölgedeki aylık vergi gelirlerini (milyon TL) takip etmek amacıyla bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Aşağıdaki tabloda son dört aya ait gerçekleşen vergi gelirleri ( $Y_t$ ) ve modelin bu aylar için ürettiği öngörü değerleri ( $F_t$ ) verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
$1$	$100$	$102$
$2$	$110$	$108$
$3$	$105$	$110$
$4$	$120$	$115$

Buna göre, bu öngörü modelinin performansını değerlendirmek için hesaplanan Ortalama Hata Karesi (MSE) değeri kaçtır?

0

3,5

14,0

14,5

58,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $14,5$

Cevap

Modelin Ortalama Hata Karesi (MSE) değeri

14,5

olarak hesaplanır.

MSE değeri hesaplanırken her döneme ait gerçekleşen değerden öngörü değeri çıkarılır, bu farkların kareleri toplanır ve toplam gözlem sayısına bölünür. Tablodaki veriler için hata kareleri

4, 4, 25, 25

şeklindedir. Bunların toplamı olan

58

sayısının

4

gözleme bölünmesi sonucunda

14,5

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir zaman noktası için hata (

e_t = Y_t - F_t

) değerlerini hesaplayınız.

e_1 = 100 - 102 = -2

;

e_2 = 110 - 108 = 2

;

e_3 = 105 - 110 = -5

;

e_4 = 120 - 115 = 5

.

Hata ölçütlerini hesaplamak için önce gerçekleşen ve öngörülen değerler arasındaki farkların bulunması gerekir.

2

Hesaplanan hataların karelerini (

e_t^2

) alınız.

(-2)^2 = 4

;

2^2 = 4

;

(-5)^2 = 25

;

5^2 = 25

.

MSE (Mean Squared Error) formülü gereği hataların kareleri üzerinden işlem yapılır.

3

Hata karelerini toplayarak Hata Kareler Toplamını (SSE) bulunuz.

∑ e_t^2 = 4 + 4 + 25 + 25 = 58

.

Ortalama değerine ulaşmak için önce toplam değişkenliğin belirlenmesi gerekir.

4

Toplamı gözlem sayısına (

n=4

) bölerek MSE değerine ulaşınız.

MSE = \frac{58}{4} = 14,5

.

Hata karelerinin aritmetik ortalaması MSE değerini verir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hata Karesi (MSE), öngörü hatalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır ve büyük hataları daha ağır cezalandıran bir ölçüttür.

İpuçları

1

MSE hesaplarken her satır için

(Y_t - F_t)^2

değerini bulmalısınız.

2

Dört ay için bulduğunuz hata kareleri

4, 4, 25

ve

25

şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Aynı veri seti için Ortalama Mutlak Yüzde Hatayı (MAPE) hesaplayarak modelin yüzde kaç hata payı ile çalıştığını bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 86Soru →

Bir halk sağlığı uzmanı, haftalık grip vakalarındaki oransal değişimleri sıfır ortalamalı durağan bir zaman serisi süreci ile modellemektedir. Araştırmacı, serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısını $\rho_1 = 0,5$ olarak hesaplamış ve süreci aşağıdaki ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeli ile tanımlamıştır:

Y_t = 0,4 Y_{t-1} + \theta Y_{t-2} + \epsilon_t

Buna göre, $\theta$ parametresinin değeri ve bu seriye ait kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) teorik davranışı aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak birlikte verilmiştir?

0,2

; 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir (kesilir)

0,2

; Gecikme sayısı arttıkça azalarak sönümlenir

0,1

; 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir (kesilir)

0,1

; Gecikme sayısı arttıkça azalarak sönümlenir

0,3

; 1. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir (kesilir)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,2$ ; 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir (kesilir)

Cevap

\theta

parametresinin değeri

0,2

'dir ve model AR(2) olduğu için Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşerek kesilir.

Verilen zaman serisi modeli bir AR(2) sürecidir ve Yule-Walker denklemlerine göre

\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2}

ilişkisi geçerlidir. Değerler yerine konduğunda

0,5 = \frac{0,4}{1 - \theta}

eşitliğinden

1 - \theta = 0,8

ve dolayısıyla

\theta = 0,2

bulunur. Ayrıca, teorik olarak bir AR(p) sürecinin Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) tam olarak p. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer (kesilir). Model AR(2) olduğu için PACF 2. gecikmeden sonra kesilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

AR(2) modeli için k=1 gecikmesindeki Yule-Walker denklemini yazın.

\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2}

Otokorelasyon katsayıları ile otoregresif parametreler arasındaki ilişkiyi kurmak için standart Yule-Walker denklemleri kullanılır.

2

Verilen değerleri (

\rho_1 = 0,5

,

\phi_1 = 0,4

,

\phi_2 = \theta

) denklemde yerine koyun ve

\theta

'yı çözün.

0,5 = \frac{0,4}{1 - \theta} \implies 1 - \theta = \frac{0,4}{0,5} \implies 1 - \theta = 0,8 \implies \theta = 0,2

İkinci gecikme parametresi olan

\theta

'nın değerini bulmak için basit cebirsel çözüm yapılır.

3

Otoregresif (AR) modeller için Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) teorik davranışını belirleyin.

AR(p) modellerinde PACF, p. gecikmeden sonra sıfıra kesilir.

PACF, aradaki gecikmelerin etkisi arındırıldıktan sonraki saf ilişkiyi ölçer. AR(2) modelinde 3. ve sonraki gecikmelerin doğrudan etkisi yoktur.

4

Elde edilen verileri birleştirerek doğru seçeneği tanımlayın.

\theta = 0,2

ve PACF 2. gecikmeden sonra kesilir.

Hesaplanan katsayı ve teorik özellik eşleştirilir.

Anahtar Kavram

AR(p) modellerinde Yule-Walker denklemleri ve ACF/PACF grafikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 87Soru →

Bir kamu kurumunun aylık vergi tahsilat gelirlerine ait zaman serisi verileri Box-Jenkins yöntemi ile analiz edilmektedir. Serinin düzey değerlerinde durağan olmadığı, ancak birinci dereceden farkı alındığında durağanlık kazandığı saptanmıştır. Durağanlaştırılmış seriye ilişkin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra anlamlılığını yitirerek kesilmekte (cutoff), Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ise geometrik olarak azalarak sönümlenmektedir (dying down). Bu bilgilere göre, söz konusu zaman serisi için önerilecek en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

ARIMA(2, 1, 0)

ARIMA(0, 1, 2)

ARIMA(2, 0, 0)

ARIMA(1, 1, 1)

ARIMA(0, 1, 1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $ARIMA(0, 1, 2)$

Cevap

Birinci farkın alınması ve ACF'nin 2. gecikmede kesilip PACF'nin sönümlenmesi nedeniyle en uygun model

ARIMA(0, 1, 2)

modelidir.

Box-Jenkins metodolojisinde, serinin durağan hale getirilmesi için yapılan fark alma işlemi 'd' parametresini belirler (

d=1

). Durağan seride ACF (Otokorelasyon Fonksiyonu) q. gecikmeden sonra kesiliyor ve PACF (Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu) sönümleniyorsa bu bir MA(q) sürecidir. Soruda ACF 2. gecikmede kesildiği için

q=2

olur. PACF sönümlendiği için AR bileşeni yoktur (

p=0

). Sonuç olarak model

ARIMA(0, 1, 2)

olarak tanımlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Fark alma derecesinin (

d

) belirlenmesi

d = 1

Serinin düzeyinde durağan olmayıp birinci farkı alındığında durağanlaşması, birim kökün bir kez giderildiğini gösterir.

2

Model tipinin (AR veya MA) ve derecesinin belirlenmesi

p=0, q=2

(MA(2) süreci)

ACF grafiğinin belirli bir gecikmeden (2. gecikme) sonra kesilmesi MA sürecine, PACF'nin sönümlenmesi ise bu MA sürecinin derecesine işaret eder.

3

Parametrelerin ARIMA(p,d,q) gösteriminde birleştirilmesi

ARIMA(0, 1, 2)

Elde edilen

p=0

,

d=1

ve

q=2

değerleri standart ARIMA notasyonuna yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Model Kimlik Belirleme (Identification) Aşaması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 88Soru →

Zaman serileri analizinde serinin durağanlaştırılması için gereğinden fazla fark alınması (aşırı fark alma), varyansı artırabildiği gibi hata terimlerinde yapay bir bağımlılık yapısı da oluşturabilir.

Bir ekonometrist, düzey değerlerinde birinci mertebeden entegre ( $I(1)$ ) olan ve birinci farkı alındığında saf rassal (beyaz gürültü) sürece dönüşen bir makroekonomik zaman serisine, durağanlığı sağlamak amacıyla yanlışlıkla ikinci mertebeden (iki kez art arda) fark alma işlemi uygulamıştır.

Buna göre, elde edilen aşırı farkı alınmış serinin teorik Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının davranışıyla ilgili aşağıdakilerden hangisinin gözlenmesi beklenir?

ACF grafiğinde sadece birinci gecikmede negatif yönde anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşanırken, PACF grafiğindeki katsayılar yavaş yavaş sıfıra yaklaşarak sönümlenir.

ACF grafiğindeki katsayılar yavaş yavaş sıfıra yaklaşarak sönümlenirken, PACF grafiğinde sadece birinci gecikmede anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşanır.

Her iki grafikte de gecikme katsayılarının tamamı istatistiksel olarak anlamsız çıkar ve sıfır etrafında rastgele dağılarak güven şeridi içinde kalır.

ACF grafiğinde birinci gecikmede pozitif yönde anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşanırken, PACF grafiğindeki katsayılar sinüs dalgası şeklinde sönümlenir.

ACF ve PACF grafiklerinin her ikisinde de katsayılar yavaş yavaş ve üstel olarak sıfıra yaklaşarak sönümlenme eğilimi gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ACF grafiğinde sadece birinci gecikmede negatif yönde anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşanırken, PACF grafiğindeki katsayılar yavaş yavaş sıfıra yaklaşarak sönümlenir.

Cevap

Doğru seçenek, ACF grafiğinde sadece birinci gecikmede negatif yönde anlamlı bir katsayı görülüp sonrasında kesilme yaşandığı, PACF grafiğindeki katsayıların ise yavaş yavaş sıfıra yaklaşarak sönümlendiği seçenektir.

Verilen senaryoda, birinci farkı alındığında hata terimi

e_t

'ye eşit olan serinin hatalı şekilde bir kez daha farkı alınarak

e_t - e_{t-1}

serisi elde edilmiştir. Bu matematiksel yapı doğrudan bir

MA(1)

modelini işaret etmektedir. Teorik olarak tüm

MA(q)

süreçlerinin ACF grafikleri

q

. gecikmeden sonra aniden istatistiksel olarak anlamsızlaşır (kesilme). PACF grafikleri ise geometrik veya asimptotik olarak sönümlenme eğilimi gösterir. Bu serinin formülasyonu gereği birinci gecikmedeki otokorelasyon katsayısı kesin olarak negatif (

-0.5

) olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin düzey değerlerindeki yapısını matematiksel olarak ifade et.

Seri

I(1)

(rassal yürüyüş) olduğu için veri üretim süreci

Y_t = Y_{t-1} + e_t

şeklindedir.

Uygulanan işlemlerin seriyi nasıl değiştirdiğini görmek için başlangıç modelini tanımlamak gerekir.

2

Seriye uygulanan birinci fark işleminin sonucunu belirle.

Birinci fark alındığında

\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1} = e_t

elde edilir. Bu durum seriyi durağan beyaz gürültü sürecine dönüştürür.

İkinci fark işlemine geçmeden önce birinci farkın etkisini görmek şarttır.

3

Seriye uygulanan hatalı ikinci fark işleminin matematiksel sonucunu bul.

İkinci fark alındığında

\Delta^2 Y_t = \Delta Y_t - \Delta Y_{t-1} = e_t - e_{t-1}

süreci elde edilir.

Analiz edilecek son serinin (aşırı farkı alınmış seri) yapısını ortaya çıkarmak.

4

Elde edilen

e_t - e_{t-1}

sürecini Box-Jenkins yaklaşımları çerçevesinde sınıflandır.

Bu süreç, hareketli ortalama parametresi

\theta = 1

olan teorik bir birinci dereceden hareketli ortalama, yani

MA(1)

sürecidir.

Hangi model tipinin otokorelogram özelliklerinin aranacağını belirlemek için sınıflandırma zorunludur.

5

MA(1)

sürecinin teorik ACF ve PACF davranışını hatırla ve gecikme işaretini tespit et.

Saf

MA(1)

sürecinde ACF 1. gecikmede kesilirken (cutting off), PACF yavaş yavaş sönümlenir (tailing off). İlgili sürecin 1. gecikme otokovaryansı beklenti değeri

E[(e_t-e_{t-1})(e_{t-1}-e_{t-2})] = -\sigma^2

olduğundan ACF değeri negatif (

-0.5

) olur.

Seçenekler arasından doğru yorumlamayı tespit etmek için ACF/PACF teorik sınırlarını kullanmak.

Anahtar Kavram

Aşırı fark almanın (over-differencing) veri üretim süreci üzerindeki etkisi ve saf MA(1) sürecinin teorik correlogram özellikleri

Alternatif Yöntem

Matematiksel beklenti (E) operatörü kullanılarak birinci gecikmeli otokovaryans

\gamma_1

şu şekilde hesaplanabilir:

E[(\Delta^2 Y_t)(\Delta^2 Y_{t-1})] = E[(e_t - e_{t-1})(e_{t-1} - e_{t-2})] = -\sigma^2

. Otokorelasyon formülünden

\rho_1 = \frac{\gamma_1}{\gamma_0} = \frac{-\sigma^2}{2\sigma^2} = -0.5

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 89Soru →

Devlet Su İşleri (DSİ), tarımsal sulama amacıyla kullanılan bir barajın aylık doluluk hacimlerini (milyon $m^3$ ) izlemektedir. İlgili barajın son 5 aylık gerçekleşen doluluk hacimleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen Hacim ( $Y_t$ )
1	120
2	110
3	130
4	150
5	140

DSİ uzmanları, baraj doluluk hacmini öngörmek için 3 aylık ağırlıklı hareketli ortalama yöntemini kullanmaktadır. Bu modelde en güncel aya $0.5$ , bir önceki aya $0.3$ ve iki önceki aya $0.2$ ağırlık verilmektedir.

Buna göre, barajın 6. ay için öngörülen doluluk hacmi ( $F_6$ ) kaç milyon metreküptür?

122

136

138

140

141

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 141

Cevap

Barajın 6. ay için öngörülen doluluk hacmi 141 milyon metreküptür.

Ağırlıklı hareketli ortalama hesaplanırken, tahmin edilecek dönemden hemen önceki dönemlerin gerçekleşen değerleri belirlenen ağırlıklarla çarpılarak toplanır. 6. dönemi (

F_6

) öngörmek için 5., 4. ve 3. aylara ait veriler kullanılır. İşlem adımı:

(140 \times 0.5) + (150 \times 0.3) + (130 \times 0.2) = 70 + 45 + 26 = 141

milyar metreküp bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kullanılacak döneme ait verileri ve ağırlık formülünü belirleme.

F_{t+1} = w_1Y_t + w_2Y_{t-1} + w_3Y_{t-2}

genel formülünde

t=5

olarak alınır.

6. dönemi tahmin edebilmek için ona en yakın ve gerçekleşmiş olan geçmiş 3 dönemin (5, 4 ve 3. aylar) verilerine ihtiyaç vardır.

2

Ağırlıkları ilgili aylardaki gerçekleşen hacim değerleriyle eşleştirme.

5. ay değeri

Y_5=140

(ağırlık

0.5

), 4. ay değeri

Y_4=150

(ağırlık

0.3

) ve 3. ay değeri

Y_3=130

(ağırlık

0.2

) olarak eşleştirilir.

Soruda en güncel aya en yüksek ağırlık (

0.5

), geçmişe doğru gittikçe sırasıyla

0.3

ve

0.2

ağırlık verilmesi istenmiştir.

3

Formülde değerleri yerine koyarak matematiksel işlemi tamamlama.

F_6 = (0.5 \times 140) + (0.3 \times 150) + (0.2 \times 130) = 70 + 45 + 26 = 141

.

Ağırlıklı hareketli ortalama yöntemi gereği, her bir dönemin verisi kendi ağırlığı ile çarpılıp toplanarak bir sonraki dönemin tahmini elde edilir.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Hareketli Ortalama

Soru 90Soru →

Bir e-ticaret platformunun veri analitiği birimi, günlük sipariş hacmini ( $Y_t$ ) modellemek amacıyla haftalık periyodu ( $s=7$ ) dikkate alan aşağıdaki mevsimsel zaman serisi (SARIMA) modelini kurmuştur:

(1 - 0.75B)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 + 0.4B + 0.1B^2)(1 - 0.6B^7)\epsilon_t

Burada $B$ geri fark (backshift) operatörünü ve $\epsilon_t$ ise hata terimi serisini (ak gürültü) ifade etmektedir.

Buna göre, tahmin edilen bu modelin $SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s$ yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(1,1,2)(0,1,1)_7

SARIMA(0,1,1)(1,1,2)_7

SARIMA(1,2,2)(0,0,1)_7

SARIMA(1,1,1)(0,1,2)_7

SARIMA(1,0,2)(0,1,1)_7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(1,1,2)(0,1,1)_7$

Cevap

SARIMA(1,1,2)(0,1,1)_7

yapısındaki model doğrudur.

Verilen denklemde

(1-0.75B)

ifadesi mevsimsel olmayan birinci derece otoregresif parametreyi (

p=1

),

(1-B)

ve

(1-B^7)

ifadeleri sırasıyla mevsimsel olmayan (

d=1

) ve mevsimsel (

D=1

) farkları, sağ taraftaki ikinci derece polinom (

q=2

) mevsimsel olmayan hareketli ortalamayı ve

(1-0.6B^7)

ifadesi ise mevsimsel hareketli ortalamayı (

Q=1

) temsil etmektedir. Periyot ise

B^7

operatöründen anlaşılacağı üzere 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki fark alma operatörlerini inceleyin.

d=1

ve

D=1

(1-B)

terimi mevsimsel olmayan birinci farkı (

d=1

),

(1-B^7)

terimi ise

s=7

periyodundaki mevsimsel birinci farkı (

D=1

) temsil eder.

2

Eşitliğin sol tarafındaki otoregresif (AR) terimleri belirleyin.

p=1

ve

P=0

(1-0.75B)

terimi birinci derece mevsimsel olmayan AR sürecidir (

p=1

). Sol tarafta

B^7

içeren bir çarpan (operatör) bulunmadığı için mevsimsel AR derecesi

P=0

'dır.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki hareketli ortalama (MA) terimlerini belirleyin.

q=2

ve

Q=1

(1 + 0.4B + 0.1B^2)

polinomu ikinci derece mevsimsel olmayan MA sürecini (

q=2

),

(1 - 0.6B^7)

terimi ise birinci derece mevsimsel MA sürecini (

Q=1

) gösterir.

Anahtar Kavram

SARIMA model gösterimi, mevsimsel ve mevsimsel olmayan bileşenlerin çarpımsal (multiplicative) olarak bir araya getirilmesiyle oluşur.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki her bir çarpanı ayrı ayrı etiketlemek (Örn:

\phi(B)

,

\Phi(B^7)

,

\nabla^d

,

\nabla_s^D

,

\theta(B)

,

\Theta(B^7)

) hata yapma riskini minimize eder.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 91Soru →

Bir merkez bankası analisti, aylık enflasyon oranlarındaki beklenmedik şokların etkisini incelemek için bir zaman serisi modeli kurmaktadır. Analist, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinin 1. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlendiğini (kesildiğini) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinin ise dalgalanarak sönümlendiğini belirlemiştir. Bu bulgular doğrultusunda analist, seriyi

Y_t = \mu + \varepsilon_t - \theta \varepsilon_{t-1}

formunda bir MA(1) (Birinci Dereceden Hareketli Ortalama) modeli ile ifade etmeye karar vermiştir. (Burada

\varepsilon_t

, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir).

Buna göre, analistin kurduğu bu modelin teorik özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak kesinlikle doğrudur?

Bu MA(1) modeli

\theta

parametresinin aldığı değerden bağımsız olarak her zaman durağandır; ancak modelin geçmiş gözlemler cinsinden sonsuz dereceli bir otoregresif modele dönüştürülebilmesi (tersinirlik) için

|\theta| < 1

koşulu sağlanmalıdır.

Modelin durağan olabilmesi için

|\theta| < 1

koşulunun sağlanması zorunludur; tersinirlik ise hareketli ortalama modellerinin doğası gereği parametre değerinden bağımsız olarak her zaman geçerlidir.

Analistin elde ettiği ACF ve PACF bulguları MA(1) modeli ile çelişmektedir; çünkü hareketli ortalama (MA) modellerinde PACF grafiğinin belirli bir gecikmede kesilmesi, ACF grafiğinin ise sönümlenmesi beklenir.

MA(1) modelinde

\varepsilon_t

beyaz gürültü şokları zaman içinde birikerek serideki deterministik döngüsel hareketleri oluşturacağından, seri uzun vadede periyodik bir dalgalanma sergiler.

ACF grafiğinin 1. gecikmeden sonra aniden kesilmesi serinin durağan olmadığını gösterdiğinden, MA(1) modelini tahmin etmeden önce serinin mutlaka birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu MA(1) modeli $\theta$ parametresinin aldığı değerden bağımsız olarak her zaman durağandır; ancak modelin geçmiş gözlemler cinsinden sonsuz dereceli bir otoregresif modele dönüştürülebilmesi (tersinirlik) için $|\theta| < 1$ koşulu sağlanmalıdır.

Cevap

Modelin durağanlık koşulu gerektirmeden her zaman durağan olduğu, ancak tersinirlik için mutlak parametre değerinin 1'den küçük olması gerektiğini belirten ifadedir.

Hareketli ortalama (MA) modelleri, sonlu sayıdaki beyaz gürültü şoklarının doğrusal bir kombinasyonu olduğu için parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır. Ancak bir MA sürecinin gözlemlenebilir geçmiş değerler (AR süreci) cinsinden ifade edilebilmesi özelliğine 'tersinirlik' (invertibility) denir ve MA(1) modeli için bu durum

|\theta| < 1

koşulunun sağlanmasına bağlıdır. Bu koşul, güncel şokların sadece geçmiş şoklar üzerinden değil, serinin kendi geçmiş gözlemleri üzerinden de tekil olarak hesaplanabilmesini garanti eder.

Adım Adım Çözüm

1

ACF ve PACF grafiklerinin özelliklerine göre serinin analiz edilmesi.

ACF 1. gecikmede kesiliyor ve PACF sönümleniyorsa, bu teorik olarak MA(1) sürecinin karakteristik özelliğidir.

MA(q) modellerinde teorik otokorelasyon fonksiyonu q. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşerken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu sönümlenir.

2

Hareketli Ortalama (MA) modelinin durağanlık özelliğinin değerlendirilmesi.

Tüm MA(q) süreçleri, beyaz gürültü serilerinin sonlu bir toplamı olduğu için ortalama ve varyansları zamanla değişmez; bu nedenle parametrelerden bağımsız olarak daima durağandır.

Zaman serilerinde durağanlık şartı, modelin mevcut formunda varyansın sonsuza gitmemesidir.

3

MA(1) modelinin tersinirlik (invertibility) koşulunun incelenmesi.

MA modelindeki mevcut şokların, geçmiş serinin gözlem değerleri cinsinden ifade edilebilmesi için karakterisik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir. Bu da

|\theta| < 1

şartını gerektirir.

Eğer tersinirlik şartı sağlanmazsa, modele ait tahmin ediciler tekil (unique) olmaz ve geçmiş gözlemler kullanılarak anlamlı öngörüler yapılamaz.

Anahtar Kavram

MA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Özellikleri

Soru 92Soru →

Zaman serilerinin klasik ayrıştırma (decomposition) yönteminde kullanılan bileşenlerin matematiksel özellikleri ve modellerin yapısal varsayımları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Toplanabilir modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

), mevsimsel etkilerin (

S_t

) bir tam periyot içindeki toplamı sıfıra eşittir.

Döngüsel bileşen (

C_t

), mevsimsel bileşen gibi sabit bir periyoda ve her zaman bir yıldan kısa süren bir dalgalanma yapısına sahiptir.

Çarpımsal modelde (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

), mevsimsel endeks değerlerinin (

S_t

) bir tam periyot içindeki ortalaması sıfıra eşittir.

Düzensiz hareketler (

I_t

), serideki diğer tüm bileşenler belirlendikten sonra geriye kalan ve sistematik bir yapı sergileyen değişimleri ifade eder.

Mevsimsel dalgalanmaların genliğinin (mutlak büyüklüğünün) trend değerindeki artışa paralel olarak arttığı durumlarda toplanabilir modelin kullanılması daha uygundur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Toplanabilir modelde ( $Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t$ ), mevsimsel etkilerin ( $S_t$ ) bir tam periyot içindeki toplamı sıfıra eşittir.

Cevap

Toplanabilir modelde mevsimsel bileşenlerin bir tam periyot içindeki toplamının sıfıra eşit olması ifadesi doğrudur.

Toplanabilir modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

), mevsimsel bileşen (

S_t

) serinin orijinal birimiyle ifade edilen bir sapma değeridir. İstatistiksel bir kısıt olarak, bir tam mevsimsel döngü içindeki pozitif ve negatif sapmaların birbirini dengelemesi ve toplamlarının sıfır (

∑ S_i = 0

) olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1

Zaman serisi bileşenlerinin (Trend, Mevsimsellik, Döngüsel, Düzensiz) periyot ve sistematik özelliklerini tanımlayın.

Mevsimsellik

L \leq 1

yıl ve sabit periyotludur; Döngüsellik

L > 1

yıl ve değişken periyotludur; Düzensiz hareketler rassaldır.

Bileşenler arası temel farkları ayırt etmek için gereklidir.

2

Toplanabilir ve çarpımsal modellerin varsayımlarını karşılaştırın.

Toplanabilir modelde bileşenler bağımsızdır ve mevsimsel toplam sıfırdır; çarpımsal modelde bileşenler birbirine bağlıdır (oranlıdır) ve mevsimsel ortalama 1'dir.

Model seçim kriterlerini ve kısıtlarını belirlemek için gereklidir.

3

Mevsimsel dalgalanma genliği ile trend arasındaki ilişkiyi analiz edin.

Genlik sabitse toplanabilir, genlik trendle birlikte değişiyorsa (genişliyor veya daralıyorsa) çarpımsal model uygundur.

Uygulamalı analizde en sık yapılan model seçimi hatasını kontrol etmek için gereklidir.

Anahtar Kavram

Zaman Serisi Ayrıştırma Modelleri ve Bileşen Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 93Soru →

Devlet Malzeme Ofisi (DMO), bir bölge hastanesinin tıbbi cihaz bakım setlerine olan aylık talebini ( $Y_t$ ) öngörmek amacıyla bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Son 4 aya ait gerçekleşen talep değerleri ve modelin ürettiği öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	50	48
2	60	65
3	55	50
4	65	67

Buna göre, bu öngörü modelinin Ortalama Hata Karesi (MSE) değeri kaçtır?

3,5

14,0

14,5

58,0

19,3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14,5

Cevap

Modelin Ortalama Hata Karesi (MSE) değeri 14,5 olarak hesaplanmıştır.

Verilen zaman serisi verileri için hatalar 2, -5, 5 ve -2 olarak bulunmuştur. Bu hataların kareleri sırasıyla 4, 25, 25 ve 4'tür. Toplam hata karesi 58 olup, bu değerin veri sayısı olan 4'e bölünmesiyle 14,5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir zaman dilimi için hata terimlerini (

e_t = Y_t - F_t

) hesaplayınız.

e_1 = 50-48=2

,

e_2 = 60-65=-5

,

e_3 = 55-50=5

,

e_4 = 65-67=-2

Hata ölçütlerini hesaplamak için önce gerçek değer ile öngörü değeri arasındaki farkı bulmak gerekir.

2

Hesaplanan hataların karelerini (

e_t^2

) alınız.

e_1^2 = 4

,

e_2^2 = 25

,

e_3^2 = 25

,

e_4^2 = 4

MSE (Ortalama Hata Karesi) formülü gereği hataların karelerinin ortalaması alınmalıdır.

3

Hata karelerini toplayınız ve toplamı gözlem sayısına (

n=4

) bölünüz.

MSE = \frac{4 + 25 + 25 + 4}{4} = \frac{58}{4} = 14,5

Kareler toplamının gözlem sayısına bölünmesiyle ortalama hata karesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortalama Hata Karesi (MSE), öngörü hatalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır ve büyük hataları daha ağır cezalandıran bir duyarlılık ölçütüdür.

İpuçları

1

Önce her ay için gerçekleşen değerden öngörü değerini çıkararak hatayı (

e_t

) bulun.

2

MSE hesaplarken bulduğunuz hataların işaretine bakmaksızın karelerini almalısınız.

3

Tüm hata karelerini topladıktan sonra veri seti 4 aylık olduğu için sonucu 4'e bölmeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

MSE değeri ile MAE değerini karşılaştırarak modelin büyük hatalara olan duyarlılığını yorumlayınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 94Soru →

Türkiye Elektrik İletim A.Ş. (TEİAŞ), belirli bir Organize Sanayi Bölgesi'nin haftalık en yüksek elektrik yükü talebini (Megawatt, MW) öngörmek için bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Modelin 4 haftalık öngörü performansına ilişkin veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta ( $t$ )	Gerçekleşen Talep ( $Y_t$ )	Öngörülen Talep ( $F_t$ )
1	20	22
2	40	44
3	50	50
4	30	Bilinmiyor

Modelin bu 4 haftalık dönemdeki Ortalama Mutlak Hata (MAE) değerinin $3 \text{ MW}$ olduğu hesaplanmıştır.

Buna göre, aynı dönem için modelin Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri kaçtır?

5

9

14

36

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Modelin Hata Kareler Ortalaması (MSE) 14 olarak hesaplanır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), her bir dönemdeki öngörü hatalarının karelerinin toplamının gözlem sayısına bölünmesiyle bulunur. Soruda 4 dönemlik MAE değeri 3 olarak verilmiştir. MAE, mutlak hataların ortalaması olduğu için 4 dönemlik toplam mutlak hata

3 \times 4 = 12

olmalıdır. İlk 3 haftanın mutlak hataları sırasıyla 2, 4 ve 0'dır. Bu durumda 4. haftanın mutlak hatası

12 - (2 + 4 + 0) = 6

olarak bulunur. MSE değerine ulaşmak için bu hataların kareleri toplanır ve n=4'e bölünür:

(2^2 + 4^2 + 0^2 + 6^2) / 4 = (4 + 16 + 0 + 36) / 4 = 56 / 4 = 14

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk 3 hafta için öngörü hatalarının mutlak değerlerini (

|e_t| = |Y_t - F_t|

) hesapla.

t_1

için

|20 - 22| = 2

,

t_2

için

|40 - 44| = 4

,

t_3

için

|50 - 50| = 0

MAE ve MSE hesaplamalarında kullanmak üzere bilinen tüm dönemlerin sapma miktarlarını belirlemek.

2

Verilen MAE değerini kullanarak 4. haftanın mutlak hatasını (

|e_4|

) bul.

MAE = \frac{\sum |e_t|}{n} \implies 3 = \frac{2 + 4 + 0 + |e_4|}{4} \implies 12 = 6 + |e_4| \implies |e_4| = 6

Bilinmeyen dönemin hata miktarını ters işlemle ortaya çıkarmak.

3

MSE formülünde kullanmak üzere tüm haftaların hata karelerini (

e_t^2

) hesapla.

2^2 = 4

,

4^2 = 16

,

0^2 = 0

,

6^2 = 36

MSE ölçütü, sapmaların büyüklüğünü cezalandırmak için hataların karelerini kullanır.

4

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygula.

MSE = \frac{\sum e_t^2}{n} = \frac{4 + 16 + 0 + 36}{4} = \frac{56}{4} = 14

Elde edilen hata kareleri toplamını toplam gözlem sayısına bölerek varyans benzeri nihai hata ölçütüne ulaşmak.

Anahtar Kavram

Öngörü Yöntemleri ve Hata Ölçütleri (MSE, MAE, MAPE)

Soru 95Soru →

Bir çevre mühendisi, bir sanayi bölgesindeki günlük

PM_{2.5}

emisyon sapmalarını (

Y_t

) modellemektedir. Yapılan teorik incelemelerde, seriye ait Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) 2. gecikmeden sonra aniden kesildiği (istatistiksel olarak sıfır olduğu), Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) ise yavaş yavaş sönümlendiği görülmüştür. Mühendis bu seriyi

Y_t = \varepsilon_t - 0{}5 \varepsilon_{t-1} + 1{}2 \varepsilon_{t-2}

şeklinde tahmin etmiştir (burada

\varepsilon_t

, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir).

Buna göre, tahmin edilen bu zaman serisi modeli ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Model bir Hareketli Ortalama (MA) sürecidir; yapısı gereği daima durağandır ancak parametre değerlerinden dolayı tersinir (invertible) değildir.

ACF ve PACF davranışları modelin bir Otoregresif (AR) süreci olduğunu gösterir; model tersinirdir fakat durağanlık şartını sağlamaz.

Model bir Hareketli Ortalama (MA) sürecidir; verilen parametre değerleriyle hem durağanlık hem de tersinirlik şartlarını eşzamanlı olarak sağlamaktadır.

Model bir Hareketli Ortalama (MA) sürecidir; tersinirlik şartını sağlamasına rağmen katsayıların mutlak toplamı 1'den büyük olduğu için durağan değildir.

ACF'nin 2. gecikmeden sonra kesilmesi modelin bir ARMA(2,2) süreci olduğunu gösterir; durağanlık için karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model bir Hareketli Ortalama (MA) sürecidir; yapısı gereği daima durağandır ancak parametre değerlerinden dolayı tersinir (invertible) değildir.

Cevap

Model bir Hareketli Ortalama (MA) sürecidir; yapısı gereği daima durağandır ancak parametre değerlerinden dolayı tersinir (invertible) değildir.

Verilen bilgilere göre ACF'nin 2. gecikmeden sonra kesilmesi serinin bir MA(2) süreci olduğunu kanıtlar. MA süreçleri doğası gereği durağandır, bu nedenle durağanlık koşulu otomatik olarak sağlanır. Ancak tersinirlik (invertibility) için

1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0

karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında kalması gerekir. Bu durum MA(2) için

\theta_1 + \theta_2 < 1

,

\theta_2 - \theta_1 < 1

ve

-1 < \theta_2 < 1

kısıtlarını doğurur. Model

Y_t = \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2}

formuna dönüştürüldüğünde

\theta_2 = -1{}2

olmaktadır.

-1 < \theta_2 < 1

kısıtı ihlal edildiğinden model tersinir değildir.

Adım Adım Çözüm

1

ACF ve PACF grafiklerinin davranışına göre zaman serisi modelinin türünü belirleme.

Model MA(2) sürecidir.

Teorik olarak Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) q. gecikmeden sonra aniden kesilmesi ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) sönümlenmesi, q. dereceden Hareketli Ortalama, MA(q), süreçlerine özgü bir davranıştır.

2

MA sürecinin durağanlık koşulunu değerlendirme.

Model daima durağandır.

Bütün sonlu dereceli Hareketli Ortalama (MA) modelleri, hata terimleri (beyaz gürültü) sabit varyansa sahip olduğu için parametre değerlerine bakılmaksızın yapısı gereği daima durağandır.

3

MA(2) modelinin tersinirlik (invertibility) sınırlarını kontrol etme.

Model tersinir değildir.

MA(2) modelinin standart gösterimi

Y_t = \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2}

şeklindedir. Verilen

Y_t = \varepsilon_t - 0{}5 \varepsilon_{t-1} + 1{}2 \varepsilon_{t-2}

denkleminden

\theta_1 = 0{}5

ve

\theta_2 = -1{}2

elde edilir. Tersinirlik için

-1 < \theta_2 < 1

şartı sağlanmalıdır.

-1{}2

bu aralıkta olmadığı için model tersinir değildir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve ACF/PACF Özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 96Soru →

Bir zaman serisi uzmanı, bir ekonomik göstergenin zaman içindeki değişimini modellemek amacıyla aşağıdaki ARMA(1,2) sürecini kurgulamıştır:

Y_t = 0,6 Y_{t-1} + \varepsilon_t - 0,9 \varepsilon_{t-1} + 0,2 \varepsilon_{t-2}

Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü (white noise) terimini temsil etmektedir. Buna göre, bu modelin durağanlık ve tersine çevrilebilirlik (invertibility) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarına uygundur.

Süreç durağandır ancak tersine çevrilebilirlik koşulunu sağlamamaktadır.

Süreç tersine çevrilebilirdir ancak durağanlık koşulunu sağlamamaktadır.

Süreç ne durağandır ne de tersine çevrilebilirlik koşuluna uygundur.

Modelin hareketli ortalama kısmındaki karakteristik denklemin bir kökü birim çember üzerindedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarına uygundur.

Cevap

Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşullarına uygundur.

Verilen modelde AR katsayısı

\phi_1 = 0,6

olup

|0,6| < 1

şartını sağladığı için süreç durağandır. MA kısmı için oluşturulan

1 - 0,9L + 0,2L^2 = 0

denkleminin kökleri

2

ve

2,5

olarak bulunur. Her iki kök de birim çemberin dışında (

|L| > 1

) yer aldığı için süreç tersine çevrilebilirdir. Dolayısıyla model her iki temel şartı da sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Otoregresif (AR) kısmının durağanlık kontrolünü yapın.

|\phi_1| = |0,6| < 1

Birinci dereceden otoregresif bir sürecin durağan olması için katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir.

2

Hareketli ortalama (MA) kısmının karakteristik denklemini oluşturun.

1 - 0,9L + 0,2L^2 = 0

Tersine çevrilebilirlik analizi için gecikme operatörü (

L

) kullanılarak MA kısmının polinomu sıfıra eşitlenir.

3

Karakteristik denklemin köklerini (

L

) hesaplayın.

L_1 = 2

ve

L_2 = 2,5

\Delta = (-0,9)^2 - 4(0,2)(1) = 0,81 - 0,8 = 0,01

. Kökler:

L = \frac{0,9 \pm \sqrt{0,01}}{2(0,2)} = \frac{0,9 \pm 0,1}{0,4}

.

4

Köklerin birim çember ile ilişkisini analiz edin.

|2| > 1

ve

|2,5| > 1

Tersine çevrilebilirlik için karakteristik denklemin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması şarttır.

Anahtar Kavram

ARMA süreçlerinde durağanlık AR katsayılarına, tersine çevrilebilirlik ise MA katsayılarına (veya köklerine) bağlıdır.

Alternatif Yöntem

MA(2) süreci için tersine çevrilebilirlik şartları katsayılar cinsinden de kontrol edilebilir:

|\theta_2| < 1

,

\theta_2 + \theta_1 < 1

ve

\theta_2 - \theta_1 < 1

. Modelde

\theta_1 = 0,9

ve

\theta_2 = -0,2

alınırsa:

|-0,2| < 1

(Doğru),

-0,2 + 0,9 = 0,7 < 1

(Doğru),

-0,2 - 0,9 = -1,1 < 1

(Doğru).

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 97Soru →

Bir istatistik uzmanı, bir kamu kurumunun yıllık harcamalarına ait zaman serisi verilerini Box-Jenkins metodolojisi ile analiz etmektedir. Uzman, serinin durağan olmadığını belirleyerek birinci dereceden fark alma ( $d=1$ ) işlemini uygulamış ve durağan seriye ait aşağıdaki korelasyon bulgularına ulaşmıştır:

Gecikme ( $k$ )	ACF	PACF
1	$0,72^*$	$0,72^*$
2	$0,48^*$	$-0,15$
3	$0,06$	$-0,10$
4	$-0,03$	$0,05$

(

^*

: İstatistiksel olarak anlamlı katsayıyı ifade eder.)

Bu bulgular doğrultusunda, Box-Jenkins yönteminin "Model Belirleme" (Identification) aşamasında önerilen en uygun model ve bu aşamadan hemen sonra gerçekleştirilmesi gereken işlem aşağıdakilerden hangisidir?

ARIMA(0, 1, 2)

modeli - Model parametrelerinin tahmin edilmesi

ARIMA(2, 1, 0)

modeli - Modelin tanısal kontrolünün yapılması

ARIMA(0, 1, 2)

modeli - Serinin öngörü amacıyla kullanılması

ARIMA(2, 0, 0)

modeli - İkinci dereceden fark alma işleminin uygulanması

ARIMA(1, 1, 0)

modeli - Modelin uygunluğunun sınanması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $ARIMA(0, 1, 2)$ modeli - Model parametrelerinin tahmin edilmesi

Cevap

Verilen korelasyon yapısına göre önerilen model

ARIMA(0, 1, 2)

olup, metodolojinin bir sonraki adımı parametrelerin tahmin edilmesidir.

Durağanlaştırılmış bir zaman serisinde ACF fonksiyonunun belirli bir gecikmeden (

q

) sonra kesilmesi ve PACF fonksiyonunun sönümlenerek devam etmesi, sürecin MA(

q

) yapısında olduğunu gösterir. Verilen tabloda ACF 2. gecikmeden sonra kesildiği için

q=2

'dir. Bir kez fark alındığı için

d=1

ve PACF sönümlendiği için

p=0

kabul edilir. Model Belirleme aşamasında ulaşılan bu bulgudan sonra, Box-Jenkins döngüsüne göre belirlenen modelin katsayılarının hesaplandığı 'Parametre Tahmini' aşamasına geçilir.

Adım Adım Çözüm

1

Durağanlık ve fark alma derecesinin belirlenmesi

d = 1

Soruda serinin birinci dereceden farkı alınarak durağanlaştırıldığı belirtilmiştir.

2

ACF ve PACF grafiklerinin yorumlanarak model derecelerinin saptanması

p=0, q=2

(MA(2) süreci)

ACF katsayılarının 2. gecikmeden sonra sıfıra kesilmesi (cutoff) MA(2) sürecini gösterir. PACF'nin sönümlenmesi (dying down) bu yapıyı teyit eder.

3

Box-Jenkins metodolojisi sıralamasının kontrol edilmesi

Parametre Tahmini

Metodoloji şu sırayı takip eder: Belirleme (Identification) → Tahmin (Estimation) → Tanısal Kontrol (Diagnostic Checking) → Öngörü (Forecasting).

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Metodolojisi ve ARIMA Model Derecelendirme

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 98Soru →

Bir ulaşım planlama uzmanı, yeni açılan bir köprüden geçen günlük araç sayısını modellemek amacıyla zaman serisi analizi yapmaktadır. Serinin durağan olduğu belirlendikten sonra otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) grafikleri incelenmiştir.

Uzman, PACF grafiğinde sadece 1. ve 2. gecikmelerdeki katsayıların istatistiksel olarak anlamlı (güven sınırlarının dışında) olduğunu ve sonraki gecikmelerde aniden sıfıra düştüğünü (kesildiğini) gözlemlemiştir. ACF grafiğinde ise katsayıların dalgalanarak azaldığı ve yavaş yavaş sıfıra yaklaştığı (sönümlendiği) görülmüştür.

Buna göre, Box-Jenkins metodolojisi çerçevesinde bu zaman serisi için belirlenmesi gereken en uygun deneme modeli aşağıdakilerden hangisidir?

AR(2)

MA(2)

ARMA(2,2)

ARIMA(2,1,0)

ARIMA(0,1,2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $AR(2)$

Cevap

Verilen ACF ve PACF özelliklerine göre en uygun model

AR(2)

modelidir.

Box-Jenkins metodolojisine göre, zaman serisi modellemesinde uygun modelin belirlenmesi ACF ve PACF grafiklerinin davranışına dayanır. Eğer bir serinin Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF)

p

. gecikmeden sonra güven sınırları içine girerek sıfıra kesiliyorsa (cut-off) ve Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) yavaş yavaş sönümlenerek sıfıra yaklaşıyorsa (tailing-off), bu seri

p

. dereceden bir Otoregresif (

AR(p)

) süreçtir. Senaryoda PACF grafiğinin 2. gecikmeden sonra kesildiği ve ACF'nin sönümlendiği belirtildiği için model

AR(2)

olmalıdır. Ayrıca seri durağan olduğu için modele herhangi bir bütünleşik (I) bileşen eklenmesine gerek yoktur.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin durağanlık durumunu değerlendir.

Serinin durağan olduğu soruda verilmiştir, bu nedenle entegrasyon derecesi

d=0

'dır.

Zaman serisi modelinin ARIMA mi yoksa AR/MA/ARMA mı olacağını belirlemek için gereklidir.

2

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğini incele.

PACF grafiği 2. gecikmeden sonra sıfıra aniden kesilmiştir (cut-off).

Otoregresif (AR) modelin derecesini (p) belirlemek için PACF grafiğindeki kesilme noktasına bakılır.

3

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğini incele.

ACF grafiği yavaş yavaş sıfıra yaklaşarak sönümlenmektedir (tailing-off).

Bulunan modelin saf bir AR modeli olduğunu doğrulamak (MA bileşeni olup olmadığını kontrol etmek) için gereklidir.

4

Bulguları birleştirerek modeli tanımla.

PACF'nin

p=2

'de kesilmesi ve ACF'nin sönümlenmesi

AR(2)

sürecini tanımlar.

Box-Jenkins metodolojisinin teorik kuralları bu davranışı

AR(p)

modeline atfeder.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) Fonksiyonlarının Yorumlanması

Soru 99Soru →

Bir ekonomi uzmanı, bir ülkenin aylık ihracat verilerindeki sapmaları analiz etmektedir. Serinin durağan olduğu belirlendikten sonra hazırlanan grafiklerde; otokorelasyon fonksiyonunun ( $ACF$ ) üstel olarak azalarak sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun ( $PACF$ ) ise birinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşerek kesildiği gözlenmiştir. Bu bulgulara göre, söz konusu zaman serisi için önerilecek en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

AR(1)

MA(1)

ARMA(1, 1)

AR(2)

Rastgele Yürüyüş (Random Walk)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $AR(1)$

Cevap

Birinci dereceden otoregresif model olan

AR(1)

Zaman serileri analizinde, durağan bir serinin otoregresif derecesini belirlemek için kısmi otokorelasyon fonksiyonuna (

PACF

) bakılır.

AR(p)

modelleri için

PACF

,

p

gecikmesinden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer ve 'kesilir'. Soruda bu kesilmenin birinci gecikmeden sonra gerçekleştiği belirtildiği için model birinci dereceden otoregresiftir (

AR(1)

).

ACF

'nin üstel olarak sönümlenmesi de bu tanıyı destekleyen tipik bir

AR

süreci özelliğidir.

Adım Adım Çözüm

1

ACF

(Otokorelasyon Fonksiyonu) davranışını incele

ACF

üstel olarak azalarak sönümlenmektedir (Tails off).

Bu durum serinin otoregresif (

AR

) bir bileşene sahip olduğunu veya durağan olduğunu gösterir.

2

PACF

(Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu) davranışını incele

PACF

birinci gecikmeden (

lag

1

) sonra kesilmektedir (Cuts off).

Kısmi otokorelasyonun kesildiği nokta, otoregresif modelin derecesini (

p

) belirler.

3

Box-Jenkins model tanılama kurallarını birleştir

ACF

sönümleniyor ve

PACF

p=1

noktasında kesiliyorsa model

AR(1)

'dir.

Teorik olarak

AR(p)

modelleri

PACF

grafiğinde

p

gecikmesinden sonra sıfıra düşer.

Anahtar Kavram

Box-Jenkins Model Tanılama (ACF ve PACF Davranışları)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, modelin matematiksel formu

Y_t = \phi Y_{t-1} + \epsilon_t

şeklinde yazıldığında, sadece

Y_{t-1}

'in

Y_t

üzerindeki doğrudan etkisinin (kısmi etki) var olduğu, daha uzak gecikmelerin doğrudan etkisinin olmadığı

PACF

üzerinden kolayca teyit edilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 100Soru →

T.C. Devlet Demiryolları (TCDD) bünyesinde çalışan bir istatistikçi, belirli bir hattaki aylık yolcu doluluk oranlarını zaman serisi analizi ile incelemektedir. Serinin durağan olduğu belirlendikten sonra elde edilen otokorelasyon fonksiyonunun ( $ACF$ ) azalan bir yapıda dalgalanarak (pozitif ve negatif değerler arasında gidip gelerek) sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun ( $PACF$ ) ise birinci gecikmeden sonra kesilerek istatistiksel olarak anlamsız hale geldiği gözlenmiştir. Ayrıca $PACF$ 'nin birinci gecikmedeki değeri $-0,65$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu yolcu doluluk verilerini modellemek için en uygun zaman serisi modeli ve katsayı özelliği aşağıdakilerden hangisidir?

AR(1)

modeli;

\phi_1 = -0,65

AR(1)

modeli;

\phi_1 = 0,65

MA(1)

modeli;

\theta_1 = -0,65

MA(1)

modeli;

\theta_1 = 0,65

AR(2)

modeli;

\phi_1 = -0,65

ve

\phi_2 = 0,65

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $AR(1)$ modeli; $\phi_1 = -0,65$

Cevap

Zaman serisi verileri için en uygun model, katsayısı -0,65 olan birinci dereceden otoregresif AR(1) modelidir.

PACF fonksiyonunun 1. gecikmeden sonra kesilmesi, serinin bir otoregresif (AR) süreç olduğunu ve derecesinin 1 olduğunu (p=1) kanıtlar. ACF'nin dalgalanarak (alternating) sönümlenmesi, katsayının negatif olduğunu gösterir. PACF'nin ilk gecikmedeki değeri doğrudan otoregresif katsayıyı verdiği için doğru model AR(1) ve katsayı -0,65'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyon davranışlarını analiz et

PACF 1. gecikmeden sonra kesiliyor, ACF ise sönümleniyor.

Zaman serilerinde PACF'nin p. gecikmeden sonra kesilmesi modelin AR(p) olduğunu gösterir.

2

Model derecesini ve türünü belirle

Model birinci dereceden otoregresif, yani AR(1) modelidir.

PACF'nin kesildiği nokta (p=1) modelin derecesini belirler.

3

Katsayı işaretini ve değerini yorumla

phi_1 = -0,65

AR(1) modelinde PACF'nin ilk gecikme değeri doğrudan otoregresif katsayıya eşittir (phi_1 = rho_1). Ayrıca ACF'nin dalgalanarak sönümlenmesi katsayının negatif olduğunu doğrular.

4

Durağanlık kontrolü yap

|-0,65| < 1 olduğu için süreç durağandır.

AR(1) modellerinde durağanlık için katsayının mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır.

Anahtar Kavram

Otoregresif (AR) Modellerde Model Tanımlama (ACF/PACF Davranışları)

Zaman Serileri Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram