Zaman Serileri Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir araştırmacı, aylık olarak derlenen ve belirgin bir mevsimsellik barındıran turizm gelirleri serisini ( $Y_t$ ) durağanlaştırmak amacıyla seriye ardışık olarak $\nabla \nabla_{12} Y_t = (1-B)(1-B^{12})Y_t$ dönüşümünü uygulamıştır.

Elde edilen durağan serinin örneklem Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde şu bulgulara ulaşılmıştır:
- ACF grafiğinde, mevsimsel olmayan ilk iki gecikmede ( $k=1$ ve $k=2$ ) istatistiksel olarak anlamlı katsayılar görülmüş ve sonrasında katsayılar aniden sıfıra düşerek kesilme göstermiştir. Ayrıca mevsimsel gecikmeler incelendiğinde yalnızca 12. gecikmede ( $k=12$ ) anlamlı bir otokorelasyon katsayısı gözlenmiş, ardışık mevsimsel gecikmelerde ( $24, 36, \dots$ ) katsayılar yine aniden sıfıra düşmüştür.
- PACF grafiğinde ise katsayıların hem mevsimsel olmayan ardışık gecikmelerde hem de mevsimsel gecikmelerde ( $12, 24, 36, \dots$ ) yavaş yavaş sönümlendiği tespit edilmiştir.

Box-Jenkins model belirleme (teşhis) aşaması kuralları dikkate alındığında, bu seri için tanımlanabilecek en uygun $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(0,1,2)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,0)(1,1,0)_{12}

\text{SARIMA}(0,1,1)(0,1,2)_{12}

\text{SARIMA}(0,0,2)(0,0,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,2)(1,1,1)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(0,1,2)(0,1,1)_{12}$

Cevap

Doğru model

\text{SARIMA}(0,1,2)(0,1,1)_{12}

olarak belirlenmelidir.

Verilen problemde modelin bileşenleri adım adım şu şekilde belirlenir: İlk olarak seriye uygulanan

(1-B)(1-B^{12})

dönüşümü, modelde birinci dereceden düzenli fark (

d=1

) ve periyodu 12 olan birinci dereceden mevsimsel fark (

D=1

) alındığını gösterir. İkinci aşamada, ACF grafiğinin düzenli gecikmelerde

k=2

'den sonra kesilmesi düzenli MA derecesinin

q=2

olduğunu, mevsimsel gecikmelerde yalnızca

k=12

'de anlamlı olup sonra kesilmesi ise mevsimsel MA derecesinin

Q=1

olduğunu ifade eder. Son olarak, PACF grafiğinin her iki gecikme türünde de yavaş yavaş sönümlenmesi, modelde AR ve SAR bileşenlerinin bulunmadığını (

p=0, P=0

) teyit eder. Tüm bu parametreler

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

standart gösterimine yerleştirildiğinde doğru modelin

\text{SARIMA}(0,1,2)(0,1,1)_{12}

olduğu açıkça ortaya çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Seriye uygulanan fark alma işlemlerini analiz ederek d ve D parametrelerini belirlemek.

(1-B)

çarpanı birinci dereceden düzenli farkı (

d=1

),

(1-B^{12})

çarpanı ise periyodu 12 olan mevsimsel farkı (

D=1

) verir.

Uygulanan fark alma filtreleri, modelin durağanlaştırma derecelerini doğrudan belirler.

2

ACF grafiğinin davranışını inceleyerek Hareketli Ortalama (MA) bileşenlerini (q ve Q) tespit etmek.

ACF düzenli gecikmelerde

k=2

'de kesildiği için

q=2

, mevsimsel gecikmelerde ise yalnızca

k=12

'de sivrildiği için

Q=1

bulunur.

ACF grafiğinde anlamlı gecikmelerin aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi), Hareketli Ortalama (MA) süreçlerinin karakteristik özelliğidir.

3

PACF grafiğinin davranışını inceleyerek Otoregresif (AR) bileşenlerin (p ve P) varlığını sorgulamak.

PACF, hem düzenli hem de mevsimsel gecikmelerde sönümlenme davranışı gösterdiği için modelde AR ve SAR bileşeni yoktur (

p=0

ve

P=0

).

Otoregresif modellerde PACF belirli bir gecikmede kesilirken, burada sönümlendiği için modelin saf bir MA süreci olduğu teyit edilir.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinde ACF ve PACF Yorumlama

Soru 62Soru →

Bir enerji piyasası uzmanı, günlük elektrik tüketimindeki sapmaları birinci dereceden otoregresif, AR(1), modeli ile aşağıdaki gibi modellemiştir:

Y_t = 0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t

Bu modelde yer alan beyaz gürültü hata terimlerinin varyansı $Var(\varepsilon_t) = 75$ olarak tahmin edilmiştir. Sürecin durağan olduğu bilindiğine göre, elektrik tüketim serisinin teorik varyansı ( $\gamma_0$ ) ve ikinci gecikmeli otokovaryansı ( $\gamma_2$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

100 ve 25

100 ve 50

150 ve 75

75 ve 18.75

125 ve 31.25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100 ve 25

Cevap

Serinin teorik varyansı 100, ikinci gecikmeli otokovaryansı ise 25 olmalıdır.

Verilen model

Y_t = 0.5 Y_{t-1} + \varepsilon_t

şeklinde standart bir AR(1) sürecidir. Modelin otoregresif parametresi

\phi_1 = 0.5

ve beyaz gürültü varyansı

\sigma^2 = 75

'tir. Durağan AR(1) süreci için teorik varyans

\gamma_0 = \frac{\sigma^2}{1 - \phi_1^2}

formülü ile hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda

\gamma_0 = \frac{75}{1 - 0.25} = \frac{75}{0.75} = 100

elde edilir. AR(1) modellerinde k. gecikmeli otokovaryans

\gamma_k = \phi_1^k \gamma_0

bağlantısı ile bulunur. Bizden ikinci gecikmeli otokovaryans (k=2) istendiği için

\gamma_2 = (0.5)^2 \times 100 = 0.25 \times 100 = 25

sonucu doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

AR(1) modeli için teorik varyans formülünün uygulanması

\gamma_0 = \frac{\sigma^2}{1 - \phi_1^2} = \frac{75}{1 - 0.5^2} = \frac{75}{0.75} = 100

Durağan bir AR(1) sürecinde serinin kendi varyansı (0. gecikmedeki otokovaryans), beyaz gürültü varyansının model parametresine bağlı olan düzeltme faktörüne bölünmesiyle elde edilir.

2

İkinci gecikmeli (k=2) otokovaryans değerinin hesaplanması

\gamma_2 = \phi_1^2 \times \gamma_0 = (0.5)^2 \times 100 = 0.25 \times 100 = 25

AR(1) sürecinde otokovaryans fonksiyonu üssel olarak azalır ve genel formülü

\gamma_k = \phi_1^k \gamma_0

şeklindedir.

Anahtar Kavram

AR(1) Sürecinde Teorik Varyans ve Otokovaryans Fonksiyonu

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 63Soru →

Makroekonomik göstergeleri analiz eden bir araştırmacı, bir ülkenin 15 yıllık aylık ihracat hacmi verilerini klasik zaman serisi ayrıştırma (decomposition) yöntemleriyle incelemektedir. Araştırmacının amacı seriyi trend ( $T_t$ ), mevsimsellik ( $S_t$ ), döngüsel ( $C_t$ ) ve düzensiz ( $I_t$ ) bileşenlerine ayırmaktır. Ancak yapılan analiz sonucunda, literatürde varlığı bilinen ve ortalama 9-11 yıl periyoda sahip olan makroekonomik dalgalanmaların (döngüsel bileşen) seriden bağımsız bir faktör olarak izole edilemediği ve bu hareketlerin büyük ölçüde uzun dönemli eğilim (trend) bileşeni ile birleşerek tek bir 'Trend-Döngü' (Trend-Cycle) bileşenine dönüştüğü saptanmıştır.

Zaman serilerinin yapısal özellikleri dikkate alındığında, döngüsel bileşenin trend bileşeninden istatistiksel olarak ayrıştırılamamasının en temel teorik nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

Döngüsel hareketlerin periyot uzunluğunun yıldan yıla farklılık göstermesi sebebiyle, mevsimsel düzeltme algoritmalarının bu dalgalanmaları sabit periyotlu mevsimsellik bileşeni (

S_t

) olarak değerlendirip filtrelemesi.

Serinin durağanlaştırılması aşamasında uygulanan birinci dereceden fark alma işleminin, doğrusal trendi ortadan kaldırırken döngüsel bileşenin varyansını sıfıra indirgeyerek tamamen yok etmesi.

Veri setinin kapsadığı toplam zaman aralığının, tespit edilmek istenen döngüsel hareketin periyot uzunluğunun yeterli katlarını içermemesi nedeniyle döngünün kısmî yöneliminin uzun dönemli bir trend gibi algılanması.

Ayrıştırma modelinde döngüsel bileşenin genliğinin zaman içindeki değişiminin, tamamen şansa bağlı oluşan rassal şoklar (düzensiz bileşen) ile aynı frekans ve varyans yapısına sahip olduğunun varsayılması.

Verinin otokorelasyon fonksiyonundaki (ACF) döngüsel dalgalanmalara ait sönümlenmenin mevsimsel bir örüntü sanılarak, döngüsel etkinin mevsimsel ARIMA parametreleri ile modellenmeye çalışılması.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Veri setinin kapsadığı toplam zaman aralığının, tespit edilmek istenen döngüsel hareketin periyot uzunluğunun yeterli katlarını içermemesi nedeniyle döngünün kısmî yöneliminin uzun dönemli bir trend gibi algılanması.

Cevap

Veri seti uzunluğunun, döngüsel hareketin periyot uzunluğunun yeterli katlarını içermemesi nedeniyle bu hareketin istatistiksel algoritmalar tarafından uzun dönemli bir trend gibi algılanmasıdır.

Zaman serileri analizinde, belirli bir hareketin 'döngüsel (cyclical)' bileşen olarak modellenebilmesi için analiz edilen zaman aralığının o döngünün ortalama periyodunun birkaç katı olması (en az 3-4 döngü) gerekir. 15 yıllık bir veride, 10 yıllık bir döngünün ancak bir buçuk turu gözlemlenebilir. Döngünün sadece yükseliş veya sadece düşüş aşamasına denk gelen bu uzun periyotlu yavaş değişim, ayrıştırma algoritmaları tarafından geçici bir dalgalanma olarak değil, serinin yapısal uzun dönemli eğilimi (trend) olarak algılanır. Bu nedenle ayrıştırma sonucunda

C_t

ve

T_t

net ayrılamaz ve 'Trend-Döngü' bileşeni halini alır.

Adım Adım Çözüm

1

Zaman serisi bileşenlerinin periyodik özelliklerinin tanımlanması.

Trend (

T_t

) serinin uzun dönemli yönelimini gösterirken, döngüsel bileşen (

C_t

) genellikle 2 ile 10+ yıl arasında süren, periyodu tam sabit olmayan makroekonomik dalgalanmaları ifade eder.

Bileşenleri doğru ayırabilmek için önce teorik tanımlarını ve farklılıklarını belirlemek gerekir.

2

Araştırmacının veri seti ile döngüsel dalgalanmanın süresinin karşılaştırılması.

Araştırmacının elindeki veri 15 yıllıktır. Ancak tespit edilmeye çalışılan ekonomik döngünün periyodu 9-11 yıldır. Bu durumda veri seti içinde en fazla 1 veya 1.5 döngü yaşanmıştır.

Bir dalgalanmanın matematiksel olarak izole edilebilmesi için o döngünün veri seti içerisinde birden fazla kez (zirve ve dipleriyle) tekrarlanması teorik bir zorunluluktur.

3

Matematiksel ayrıştırma algoritmalarının bu duruma vereceği tepkinin değerlendirilmesi.

Yeterli tekrarın olmadığı bu durumda, hareketli ortalamalar veya diğer filtreler 10 yıllık döngünün yükseliş veya düşüş eğilimini serinin kalıcı bir yönelimi (trend) zannederek

T_t

bileşenine yansıtır.

Bunun sonucunda saf bir trend ve saf bir döngü elde edilemez, literatürdeki yaygın tabirle birleşik 'Trend-Döngü' (Trend-Cycle) bileşeni ortaya çıkar.

Anahtar Kavram

Zaman Serilerinde Trend ve Döngüsel Bileşenin Ayrıştırılabilirliği

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 64Soru →

Bir kamu kurumunda görevli veri analisti, aylık vergi tahsilat tutarlarını tahmin etmek için basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır. Analist, elde ettiği tahminlerin seride son dönemde ortaya çıkan yapısal değişikliklere ve ani dalgalanmalara yeterince hızlı tepki veremediğini gözlemlemiştir.

Modelin güncel verilere daha duyarlı hale gelmesini sağlamak isteyen analistin, düzeltme parametresi ( $\alpha$ ) üzerinde yapması gereken değişiklik ve bu parametrenin teorik tanım aralığı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

\alpha

değerini,

0 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde büyütmelidir.

\alpha

değerini,

0 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde küçültmelidir.

\alpha

değerini,

-1 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde büyütmelidir.

\alpha

değerini,

-1 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde küçültmelidir.

\alpha

değerini,

1

'den büyük bir değere eşitleyerek son gözlemin etkisini artırmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\alpha$ değerini, $0 \leq \alpha \leq 1$ aralığında kalacak şekilde büyütmelidir.

Cevap

Tahminlerin güncel verilere daha hızlı tepki vermesi için

0 \leq \alpha \leq 1

aralığında tanımlı olan düzeltme katsayısı (

\alpha

) büyütülmelidir.

Basit üstel düzeltme yönteminde

\alpha

parametresi

0

ile

1

arasında değerler alan bir ağırlıklandırma faktörüdür. Yeni tahmin değeri, mevcut dönemin gerçek değeri ile bir önceki dönemin tahmin değerinin ağırlıklı ortalaması alınarak hesaplanır.

\alpha

'nın büyük seçilmesi (1'e yaklaştırılması), son gerçekleşen gözleme verilen ağırlığı artırır ve böylece tahminlerin serideki ani dalgalanmalara veya şoklara daha hızlı tepki vermesini (duyarlı olmasını) sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme modelinin matematiksel formülü incelenir.

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha) F_t

Modelin işleyişini ve

\alpha

'nın mevcut gözlem ile geçmiş tahminler arasındaki ağırlıklandırma rolünü görmek için formüle ihtiyaç vardır.

2

\alpha

parametresinin teorik sınırları belirlenir.

\alpha

bir ağırlık oranı (yüzdesi) olduğu için her zaman

0

ile

1

arasında (

0 \leq \alpha \leq 1

) değer alır.

Ağırlıkların toplamının 1'e (

%100

) eşit olması gerektiğinden parametre negatif olamaz veya 1'i aşamaz.

3

\alpha

değerinin büyüklüğünün tahmin duyarlılığı üzerindeki etkisi analiz edilir.

\alpha

değerinin

1

'e yaklaşması (büyütülmesi), en son gerçekleşen gözleme (

Y_t

) tahminde verilen ağırlığı artırır;

0

'a yaklaşması ise geçmiş verilere (

F_t

) daha fazla ağırlık verir.

Analistin problemi, modelin son dönemdeki dalgalanmalara yeterince hızlı tepki vermemesidir, dolayısıyla son gözlemin ağırlığı artırılmalıdır.

4

Analistin yapması gereken eylem tanımlanır.

Güncel verilere duyarlılığı artırmak için

\alpha

değeri

0 \leq \alpha \leq 1

aralığında kalacak şekilde büyütülmelidir.

En son gözlemin tahmindeki ağırlığı artırıldığında model, meydana gelen ani şoklara çok daha çabuk uyum sağlar.

Anahtar Kavram

Basit üstel düzeltmede düzeltme katsayısının (

\alpha

) özellikleri ve tahmin duyarlılığına etkisi

Soru 65Soru →

Makroekonomik bir göstergenin zaman içindeki değişimini inceleyen bir araştırmacı, veriyi durağan hale getirdikten sonra Box-Jenkins metodolojisinin tanımlama aşamasına geçmiştir. Araştırmacı, durağanlaştırılmış serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiklerini incelediğinde şu karakteristik özellikleri saptamıştır:

- ACF grafiğinde katsayılar yalnızca ilk iki gecikmede istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş, üçüncü gecikmeden itibaren aniden güven sınırları içine girerek kesilmiştir.
- PACF grafiğinde ise katsayıların herhangi bir gecikmede aniden kesilmediği, sinüs dalgası şeklinde salınımlar yaparak yavaş yavaş sıfıra yaklaştığı (sönümlendiği) gözlenmiştir.

Elde edilen bu teorik bulgulara göre, durağanlaştırılmış seri için tanımlanması gereken en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

MA(2)

AR(2)

ARMA(1, 1)

MA(1)

AR(1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $MA(2)$

Cevap

Modelin

MA(2)

süreci olarak tanımlanması gerekir.

Box-Jenkins zaman serisi modellemesinde temel kural şudur: Eğer serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) belirli bir 'q' gecikmesinden sonra aniden güven sınırları içine düşüyor (kesiliyor) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) yavaş yavaş sıfıra yaklaşıyorsa (sönümleniyorsa), bu süreç q. dereceden bir Hareketli Ortalama (

MA(q)

) modelidir. Sorudaki senaryoda ACF 2. gecikmeden sonra kesildiği için doğru tespit

MA(2)

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) davranışını analiz et.

ACF katsayıları 2. gecikmeden sonra aniden kesilmiştir.

ACF'nin aniden kesildiği gecikme noktası (q), serideki Hareketli Ortalama (MA) sürecinin derecesini verir.

2

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) davranışını analiz et.

PACF katsayıları aniden kesilmemiş, yavaş yavaş sönümlenmiştir.

PACF'nin sönümlenmesi, serinin Otoregresif (AR) süreçten ziyade Hareketli Ortalama (MA) sürecine sahip olduğunu teorik olarak doğrular.

3

Bulguları birleştirerek modeli belirle.

Seri 2. dereceden bir Hareketli Ortalama modeli olan

MA(2)

sürecidir.

Bir zaman serisi modelinde ACF q. gecikmede kesiliyor ve PACF sönümleniyorsa, Box-Jenkins metodolojisine göre model

MA(q)

olarak tanımlanır. Burada q=2'dir.

Anahtar Kavram

Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonlarının Teorik Davranışları

Soru 66Soru →

Bir üretim tesisindeki günlük elektrik tüketim miktarlarını analiz eden bir endüstri mühendisi, zaman serisinin durağanlık koşulunu sağladığını doğrulamıştır. Modelleme aşamasına geçmek için serinin korelogramını incelediğinde, otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafiklerinin hiçbirinde belirgin bir kesilme (cut-off) noktasının bulunmadığını, aksine her iki grafikte de katsayıların artan gecikmelerle birlikte dalgalanarak yavaş yavaş sıfıra yaklaştığını (sönümlendiğini) gözlemlemiştir.

Box-Jenkins modelleme stratejisine göre, mühendisin bu seri için tanımlaması gereken en uygun temel model yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

Otoregresif (AR) Modeli

Hareketli Ortalama (MA) Modeli

Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Modeli

Rassal Yürüyüş (Random Walk) Modeli

Saf Mevsimsel Otoregresif (SAR) Modeli

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Modeli

Cevap

Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Modeli

Zaman serileri analizinde Box-Jenkins (ARIMA) modelleme sürecinin ilk adımı olan tanımlama (identification) aşamasında, durağan bir serinin uygun teorik modeli otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) grafiklerine bakılarak belirlenir. Otoregresif (AR) modellerde PACF belirli bir gecikmeden sonra kesilirken ACF sönümlenir. Hareketli Ortalama (MA) modellerinde ise ACF belirli bir gecikmeden sonra kesilirken PACF sönümlenir. Eğer her iki fonksiyon da (ACF ve PACF) aniden sıfıra düşerek kesilme (cut-off) davranışı göstermiyor ve artan gecikmelerle birlikte dalgalanarak veya üstel olarak azalıp sıfıra yaklaşıyorsa (tailing-off), bu durum serinin hem otoregresif hem de hareketli ortalama bileşenlerini aynı anda içerdiğini gösterir. Bu özellik doğrudan Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) modelini tanımlar.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin durağanlık durumunu ve ACF ile PACF'nin yapısal davranışlarını metinden tespit etmek.

Serinin durağan olduğu ve hem otokorelasyon (ACF) hem de kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının aniden kesilmediği, sönümlenme (tailing-off) sergilediği saptanmıştır.

Zaman serisi analizinde teorik model belirleme (identification) aşamasının en temel kuralı ACF ve PACF'nin kesilme/sönümlenme davranışlarını incelemektir.

2

Tespit edilen davranışları standart Box-Jenkins (ARIMA) modellerinin teorik özellikleri ile eşleştirmek.

Sadece ACF sönümlenseydi model AR, sadece PACF sönümlenseydi model MA olurdu. Her iki fonksiyonun da birlikte sönümlenmesi ARMA model yapısının varlığını kanıtlar.

ARMA(p,q) sürecinde, otoregresif ve hareketli ortalama bileşenlerinin ortak etkileşimi nedeniyle her iki fonksiyon da asimptotik olarak sıfıra yaklaşır.

3

Seçenekler arasından saptanan bu teorik özelliğe tam uyan modeli seçmek.

En uygun yapının Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Modeli olduğuna karar verilerek doğru seçenek bulunur.

Durağan süreçler arasında her iki grafikte de sürekli sönümlenme beklenen tek temel yapı ARMA modelidir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde ARMA modellerinin teorik ACF ve PACF davranışları

Soru 67Soru →

Bir makroekonomist, bir ülkenin çeyreklik büyüme oranlarındaki dalgalanmaları sıfır ortalamalı ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeli ile aşağıdaki gibi temsil etmektedir:

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t

Araştırmacı, modelin durağanlık varsayımını sağladığını ve seriye ait otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) işaret değiştirerek sönümlenen sinüsoidal (sözde periyodik) bir dalgalanma sergilediğini tespit etmiştir.

Buna göre, modelin parametreleri olan $\phi_1$ ve $\phi_2$ aşağıdaki koşul setlerinden hangisini eş anlı olarak sağlamalıdır?

\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 - 4\phi_2 < 0

\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 > 0

\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_1 - \phi_2 < 1, \quad -1 < \phi_1 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

\phi_1 + \phi_2 > 1, \quad \phi_2 - \phi_1 > 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

Cevap

Durağanlık ve karmaşık kök koşullarını sağlayan eşitsizliklerin tümünü barındıran

\phi_1 + \phi_2 < 1, \quad \phi_2 - \phi_1 < 1, \quad -1 < \phi_2 < 1, \quad \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

ifadesidir.

Verilen AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için parametrelerin durağanlık üçgenini oluşturan

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

-1 < \phi_2 < 1

eşitsizliklerini sağlaması şarttır. Ek olarak, ACF grafiğinin sinüsoidal (sözde periyodik) bir şekilde dalgalanarak sönümlenmesi, modelin karakteristik denklemi olan

1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0

'ın köklerinin karmaşık (complex) sayı olmasını gerektirir. Bu durum, denklemin diskriminantı olan

\phi_1^2 + 4\phi_2

değerinin sıfırdan küçük olmasıyla (

\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

) mümkündür. Doğru seçenek tüm bu koşulları eksiksiz sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

AR(2) modeli için temel durağanlık koşulları belirlenir.

Durağanlık için parametreler

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

-1 < \phi_2 < 1

eşitsizliklerini sağlamalıdır.

Karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması için bu üç eşitsizlik zorunludur.

2

ACF'nin sönümlenen sinüsoidal bir yapı gösterme koşulu analiz edilir.

Sinüsoidal sönümlenme için

1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0

karakteristik denkleminin kökleri karmaşık (kompleks) sayı olmalıdır.

Gerçel kökler üstel sönümlenmeye, karmaşık kökler ise dalgalı/sinüsoidal sönümlenmeye yol açar.

3

Karmaşık kök koşulu için diskriminant hesaplanır.

Denklemin diskriminantı

\Delta = \phi_1^2 - 4(-\phi_2) = \phi_1^2 + 4\phi_2

şeklindedir ve karmaşık kök için

\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

olmalıdır.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin karmaşık olması diskriminantın negatif olmasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları ve Karakteristik Denklem Kökleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 68Soru →

Bir enerji piyasası düzenleme kurumu analisti, bir bölgenin son 12 yıllık aylık elektrik tüketim verilerini (MWh) incelemektedir. Yapılan ön analizde aşağıdaki bulgular elde edilmiştir:

I. Elektrik tüketimi, her yıl kış aylarında düzenli bir zirve yaparken bahar aylarında belirgin şekilde düşmektedir. Ancak bu dönemsel dalgalanmaların şiddeti (genliği), serideki genel artış eğilimiyle doğru orantılı olarak zaman içinde büyümektedir.
II. Ekonomik konjonktüre bağlı olarak, seride 3 ila 4 yıl süren makroekonomik genişlemeler ve daralmalar yaşanmaktadır.
III. Analist başlangıçta toplanabilir (additive) ayrıştırma yöntemini kullanmış, ancak bu işlem sonucunda elde edilen düzensiz (rastgele) bileşenin varyansının zaman ilerledikçe sistematik olarak arttığını saptamıştır.

Bu bulgular dikkate alındığında, zaman serisinin yapısı ve yapılması gereken en uygun istatistiksel yaklaşım ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Serideki 3-4 yıllık dalgalanmalar döngüsel bileşeni ifade eder; mevsimsel dalgalanmaların genliğinin genel eğilimle (trend) birlikte artması ve toplanabilir modelin artıklarında görülen artan varyans, analistin çarpımsal (multiplikatif) ayrıştırma modelini kullanması gerektiğini kanıtlar.

Ekonomik konjonktüre bağlı 3-4 yıllık dalgalanmalar, uzun periyotlu mevsimsel hareketler olarak modellenmeli ve düzensiz bileşendeki varyans artışını engellemek için toplanabilir modelde kalınıp seriye sadece mevsimsel fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Düzensiz bileşenin varyansının sistematik biçimde artması, seriye gereğinden fazla fark alındığını işaret eder; 3-4 yıllık periyotsuz dalgalanmalar ise tamamen rastgele olduğundan düzensiz (hata) bileşeni kapsamında ele alınmalıdır.

Mevsimsel dalgalanmaların şiddetindeki artış, veri setinde değişen varyans sorunu bulunduğunu gösterir; bu problemi çözmek için ayrıştırma yöntemleri yerine standart EKK yöntemiyle doğrusal trend tahmini yapılmalı ve döngüsel etki sabit kabul edilmelidir.

Tüketimdeki 3-4 yıllık genişleme ve daralmalar, trend bileşeninin yapısal kırılmalara uğradığını gösterir; varyans artışı ise toplanabilir ayrıştırma modelinin doğası gereği beklenen bir durumdur ve model değiştirilmemelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Serideki 3-4 yıllık dalgalanmalar döngüsel bileşeni ifade eder; mevsimsel dalgalanmaların genliğinin genel eğilimle (trend) birlikte artması ve toplanabilir modelin artıklarında görülen artan varyans, analistin çarpımsal (multiplikatif) ayrıştırma modelini kullanması gerektiğini kanıtlar.

Cevap

Serideki 3-4 yıllık makroekonomik dalgalanmaların döngüsel bileşen olduğu ve varyans artışının toplanabilir model yerine çarpımsal model kullanılması gerektiğini gösterdiği seçenek doğrudur.

Verilen senaryoda, mevsimsel dalgalanmaların genliğinin genel eğilim ile orantılı olarak artması, zaman serisinin çarpımsal (multiplikatif) bir yapıya sahip olduğunu açıkça göstermektedir. Bu tür bir veriye toplanabilir model zorlandığında, modelin açıklayamadığı büyüme kalıntıya (düzensiz bileşene) yansır ve bu da artıkların varyansının zamanla sistematik olarak büyümesine neden olur. Dolayısıyla analistin çarpımsal ayrıştırma modeline geçmesi gerekir. Ayrıca, ekonomik konjonktüre bağlı olarak gerçekleşen ve 1 yıldan uzun süren (3-4 yıllık) periyotsuz genişleme ve daralmalar mevsimsel veya trend eğilimi değil, doğrudan döngüsel (konjonktürel) bileşenin tanımıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Dönemsel dalgalanmaların yapısını ve artan genliği analiz etme

Mevsimsel hareketlerin şiddetinin zamanla genel eğilim (trend) ile birlikte arttığı belirlenir.

Zaman serisi ayrıştırmasında, mevsimselliğin genliği trendden bağımsız ve sabitse toplanabilir model; trend ile orantılı olarak büyüyor veya küçülüyorsa çarpımsal model tercih edilmelidir.

2

Düzensiz bileşenin varyansındaki artışın teorik nedenini belirleme

Toplanabilir model kullanımının yanlış bir spesifikasyon olduğu sonucuna varılır.

Çarpımsal bir yapıya sahip seriye toplanabilir model (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) uygulandığında, açıklanamayan orantısal etkiler doğrudan düzensiz (artık) bileşene aktarılır. Bu da hata teriminin varyansının zamanla sistematik olarak büyümesine yol açar.

3

3-4 yıllık ekonomik genişleme ve daralma hareketlerini sınıflandırma

Bu dalgalanmalar döngüsel (konjonktürel) bileşen olarak tanımlanır.

1 yıldan uzun süren, başlangıç ve bitiş noktaları kesin öngörülemeyen makroekonomik konjonktür dalgalanmaları döngüsel hareketlerin temel tanımıdır.

Anahtar Kavram

Zaman Serisi Bileşenleri ve Ayrıştırma Modelleri

Soru 69Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, yeni açılan bir otobüs hattındaki günlük yolcu sayısını (bin kişi) tahmin etmek için bir zaman serisi modeli geliştirmiştir. Modelin ilk 4 gün için ürettiği öngörü değerleri ve gerçekleşen yolcu sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gün ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörülen ( $F_t$ )
1	8	10
2	12	11
3	14	10
4	10	13

Buna göre, kullanılan öngörü modelinin Ortalama Mutlak Hata (MAE) ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

2,5 ve 7,5

7,5 ve 2,5

10 ve 30

0 ve 7,5

3,33 ve 10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,5 ve 7,5

Cevap

Sırasıyla 2,5 ve 7,5 değerleridir.

Verilen zaman serisi verileri için Ortalama Mutlak Hata (MAE) hesaplanırken, hataların mutlak değerlerinin (

|-2|, |1|, |4|, |-3|

) toplamı olan 10, gözlem sayısı olan 4'e bölünür ve

10/4 = 2,5

elde edilir. Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken ise, hataların karesinin (

(-2)^2, 1^2, 4^2, (-3)^2

) toplamı olan 30, yine 4'e bölünerek

30/4 = 7,5

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir dönem için tahmin hatası (

e_t = Y_t - F_t

) değerlerini hesapla.

e_1 = 8 - 10 = -2

,

e_2 = 12 - 11 = 1

,

e_3 = 14 - 10 = 4

,

e_4 = 10 - 13 = -3

Hata ölçütlerinin hesaplanabilmesi için öncelikle ham tahmin hatalarının bulunması gerekir.

2

Ortalama Mutlak Hata (MAE) için mutlak hataların toplamını bul ve gözlem sayısına (

n=4

) böl.

|e_t|

değerleri: 2, 1, 4, 3. Toplamları = 10. MAE =

\frac{10}{4} = 2,5

MAE, öngörü hatalarının büyüklüğünü yönünden bağımsız olarak ölçmek için hataların mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasını kullanır.

3

Hata Kareler Ortalaması (MSE) için hata karelerinin toplamını bul ve gözlem sayısına (

n=4

) böl.

e_t^2

değerleri: 4, 1, 16, 9. Toplamları = 30. MSE =

\frac{30}{4} = 7,5

MSE, büyük hataları daha fazla cezalandırmak amacıyla hataların karesini alır ve bu karelerin aritmetik ortalamasını hesaplar.

Anahtar Kavram

Öngörü Yöntemleri ve Hata Ölçütleri

Soru 70Soru →

Bir Tarım ve Orman Bakanlığı araştırma enstitüsü, belirli bir tarım havzasındaki haftalık ortalama toprak nemi indeksini öngörmek için bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Dört haftalık bir döneme ait gerçekleşen indeks değerleri ( $Y_t$ ) ve modelin öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	20	18
2	25	28
3	15	14
4	30	$x$

Bu 4 haftalık dönem için modelin Ortalama Mutlak Hata (MAE) değeri 3 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, modelin aynı döneme ait Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri kaçtır?

9,0

12,5

16,7

39,5

50,0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12,5

Cevap

Hesaplanan Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri 12,5'tir.

Ortalama Mutlak Hata (MAE) formülünde her bir dönemin mutlak hatası toplanıp gözlem sayısına bölünür. Verilen ilk 3 değer üzerinden toplam mutlak hata 6 olarak hesaplanır. Toplam

MAE = 3

ve

n = 4

olduğundan, 4 dönemin mutlak hataları toplamı 12 olmalıdır. Bu durumda 4. haftanın mutlak hatası

12 - 6 = 6

'dır. Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken her dönemin hatasının karesi alınır (

2^2 + (-3)^2 + 1^2 + (\pm 6)^2

) ve toplanarak

n=4

'e bölünür. Hataların kareleri toplamı

4 + 9 + 1 + 36 = 50

olup,

4

'e bölündüğünde sonuç

12,5

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

İlk 3 haftaya ait mutlak hataları (

|e_t|

) hesaplamak.

|20-18|=2

,

|25-28|=3

,

|15-14|=1

. Toplam mutlak hata:

2+3+1 = 6

.

MAE formülünde kullanılmak üzere bilinen haftaların hata paylarını belirlemek gerekir.

2

MAE formülü yardımıyla 4. haftanın mutlak hatasını (

|e_4|

) bulmak.

MAE =

\frac{6 + |e_4|}{4} = 3

olduğundan,

6 + |e_4| = 12

ve dolayısıyla

|e_4| = 6

bulunur.

Tüm serinin hata kareleri toplamını (MSE) bulabilmek için bilinmeyen dönemin hatasının büyüklüğüne ihtiyaç vardır.

3

Her bir dönemin mutlak hatasının karesini alarak hata kareleri toplamını hesaplamak ve MSE değerini bulmak.

Hata kareleri:

2^2=4

,

3^2=9

,

1^2=1

,

6^2=36

. Toplam = 50. MSE =

\frac{50}{4} = 12,5

.

MSE (Hata Kareler Ortalaması), her bir döneme ait sapmaların (hataların) karelerinin toplanıp gözlem sayısına (

n

) bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Öngörü Hata Ölçütleri Arasındaki Matematiksel İlişkiler (MAE ve MSE)

Soru 71Soru →

Bir kargo şirketinde lojistik planlama uzmanı olarak çalışan bir istatistikçi, belirli bir dağıtım merkezindeki günlük kargo hacmi dalgalanmalarını analiz etmektedir. Gerekli ön işlemler yapılarak durağan hale getirilen zaman serisinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) incelendiğinde dalgalı bir şekilde sönümlendiği, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) incelendiğinde ise ilk iki gecikmede istatistiksel olarak anlamlı değerler alıp üçüncü gecikmeden itibaren güven sınırları içine girerek aniden sıfıra yaklaştığı (kesildiği) görülmüştür.

Buna göre, elde edilen bulgular doğrultusunda bu zaman serisini temsil eden en uygun model türü ve bu modelin durağanlık koşulu aşağıdakilerden hangisidir?

Model AR(2)'dir ve durağanlık için parametrelerin

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

koşullarını eş zamanlı sağlaması gerekir.

Model MA(2)'dir ve durağanlık yerine tersine çevrilebilirlik koşulu olan

\theta_1 + \theta_2 < 1

,

\theta_2 - \theta_1 < 1

ve

|\theta_2| < 1

test edilmelidir.

Model AR(1)'dir ve modelin durağan olabilmesi için otoregresif parametrenin mutlak değerce 1'den küçük olması (

|\phi_1| < 1

) yeterlidir.

Model ARMA(1,1)'dir ve durağanlık için hem otoregresif hem de hareketli ortalama parametrelerinin mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır.

Serinin ACF grafiğindeki dalgalı sönümlenme durağanlığın henüz sağlanmadığını gösterir, bu nedenle modellemeden önce serinin ikinci dereceden farkı alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model AR(2)'dir ve durağanlık için parametrelerin $\phi_1 + \phi_2 < 1$ , $\phi_2 - \phi_1 < 1$ ve $|\phi_2| < 1$ koşullarını eş zamanlı sağlaması gerekir.

Cevap

En uygun model İkinci Dereceden Otoregresif (AR(2)) modelidir. Bu modelin durağan olması için

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

koşullarının tümü sağlanmalıdır.

Zaman serisi modellemesinde Box-Jenkins metodolojisine göre; eğer ACF (Otokorelasyon) grafiği üstel veya sinüzoidal şekilde sönümleniyor, PACF (Kısmi Otokorelasyon) grafiği ise 'p' gecikmesinden sonra aniden sıfıra yaklaşıyorsa (güven aralığı içine giriyorsa), süreç AR(p) olarak modellenir. Sorudaki senaryoda PACF 2. gecikmeden sonra kesildiği için en uygun model AR(2)'dir. Bir AR(2) modelinin (formülü:

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + e_t

) teorik olarak durağan kabul edilebilmesi için parametre katsayılarının üç koşulu aynı anda sağlaması zorunludur:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve parametre varyansının pozitifliğini garantileyen

|\phi_2| < 1

.

Adım Adım Çözüm

1

ACF ve PACF grafiklerinin davranışlarına göre genel model türünü (AR, MA, ARMA) belirleme.

ACF sönümlenirken (tails off), PACF kesiliyorsa (cuts off) bu bir Otoregresif (AR) modeldir.

Teorik olarak otoregresif süreçler önceki kendi değerlerine bağlıdır, bu yüzden ACF sonsuz bir sönümlenme gösterirken, PACF sadece gerçek gecikme derecesine kadar anlamlı kalır.

2

PACF grafiğinin kesilme noktasına bakarak modelin derecesini (p) tespit etme.

PACF ilk iki gecikmede anlamlı olup üçüncüde kesildiği için modelin derecesi p=2'dir. Model AR(2)'dir.

AR(p) modellerinde PACF tam olarak p'nci gecikmeden sonra sıfıra düşer.

3

Belirlenen AR(2) modeli için durağanlık koşullarını tanımlama.

Durağanlık için karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında olmalıdır, bu da parametrelerin

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

koşullarını sağlamasını gerektirir.

İkinci dereceden fark denkleminin istikrarlı çözüm sınırları bu üçgensel bölge ile ifade edilir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde AR, MA ve ARMA modellerinin ACF/PACF grafikleri ile teşhisi ve AR(2) durağanlık sınırları.

Soru 72Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından aylık olarak yayımlanan bir perakende satış hacim endeksi ( $Y_t$ ) verilerini inceleyen bir uzman, serinin temel dinamiklerini açıklamak amacıyla aşağıdaki gecikme (backshift) operatörü ( $B$ ) ile ifade edilen zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12}) Y_t = (1 - \theta_1 B)(1 - \Theta_1 B^{12}) e_t

Buna göre, uzmanın tahmin ettiği bu modelin standart $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(1,1,1)(2,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,0)_{12}

\text{SARIMA}(2,0,1)(1,0,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,12,1)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}$

Cevap

Modelin doğru gösterimi

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

şeklindedir.

Verilen denklem incelendiğinde; sol taraftaki

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

terimi mevsimsel olmayan

AR(2)

bileşenini (

p=2

),

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi mevsimsel

AR(1)

bileşenini (

P=1

),

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan 1. sıra farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi mevsimsel 1. sıra farkı (

D=1

) ifade eder. Sağ taraftaki

(1 - \theta_1 B)

terimi mevsimsel olmayan

MA(1)

bileşenini (

q=1

) ve

(1 - \Theta_1 B^{12})

terimi mevsimsel

MA(1)

bileşenini (

Q=1

) gösterir. Üslerde yer alan 12 değeri ise verinin aylık (

s=12

) olduğunu kanıtlar. Bu doğrultuda gösterim

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Otoregresif (AR) bileşenlerin derecelerini belirleme

Mevsimsel olmayan AR derecesi

p=2

, mevsimsel AR derecesi

P=1

olarak bulunur.

Denklemin sol tarafındaki

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

ifadesi en yüksek

B^2

içerdiği için

p=2

'dir.

(1 - \Phi_1 B^{12})

ifadesi ise mevsimsel gecikmeyi gösterdiğinden

P=1

'dir.

2

Fark alma (I) operatörlerini analiz etme

Mevsimsel olmayan fark derecesi

d=1

, mevsimsel fark derecesi

D=1

olarak tespit edilir.

Denklemdeki

(1 - B)

birinci dereceden standart fark almayı (

d=1

),

(1 - B^{12})

ise birinci dereceden mevsimsel fark almayı (

D=1

) ifade eder.

3

Hareketli Ortalama (MA) bileşenlerinin derecelerini belirleme

Mevsimsel olmayan MA derecesi

q=1

, mevsimsel MA derecesi

Q=1

olarak bulunur.

Denklemin sağ tarafında yer alan hata terimi katsayılarından

(1 - \theta_1 B)

ifadesi

q=1

'i,

(1 - \Theta_1 B^{12})

ifadesi ise

Q=1

'i gösterir.

4

Mevsimsellik periyodunu belirleme ve notasyonu oluşturma

Periyot

s=12

olup model

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,1)_{12}

şeklinde yazılır.

Mevsimsel operatörlerdeki kuvvetin 12 olması, verinin aylık frekansta (

s=12

) olduğunu gösterir. Elde edilen parametreler

(p,d,q)(P,D,Q)_s

sırasıyla yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Mevsimsel ARIMA (SARIMA) Modellerinin Gecikme Operatörü ile Gösterimi

Soru 73Soru →

Bir siber güvenlik şirketi, müşterilerinin sunucularına yönelik günlük siber saldırı girişimlerinin sayısını ( $Y_t$ ) öngörmek için bir zaman serisi modeli geliştirmiştir. Dört günlük bir test dönemi için modelin ürettiği öngörü değerleri ( $F_t$ ) ve bu öngörülere ait yüzdesel hatalar ( $YH_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Yüzdesel hata, $YH_t = \left( \frac{Y_t - F_t}{Y_t} \right) \times 100$ formülü ile hesaplanmaktadır.

Gün ( $t$ )	Öngörü Değeri ( $F_t$ )	Yüzdesel Hata ( $YH_t$ )
1	52	-%4
2	38	%5
3	22	-%10
4	38	%5

Buna göre, bu öngörü modelinin Hata Kareleri Ortalaması (MSE) ve Ortalama Mutlak Hata (MAE) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

4 ve 2

2 ve 4

16 ve 8

16 ve 2

2 ve 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4 ve 2

Cevap

Modelin Hata Kareleri Ortalaması (MSE) 4 ve Ortalama Mutlak Hata (MAE) değeri 2'dir.

Verilen yüzdesel hata (

YH_t

) formülünde bilinenler yerine konularak gerçek değerler (

Y_t

) tersine hesaplanır.
1. Gün:

-4 = \left( \frac{Y_1 - 52}{Y_1} \right) \times 100 \Rightarrow -0,04 Y_1 = Y_1 - 52 \Rightarrow Y_1 = 50

.
2. Gün:

5 = \left( \frac{Y_2 - 38}{Y_2} \right) \times 100 \Rightarrow 0,05 Y_2 = Y_2 - 38 \Rightarrow Y_2 = 40

.
3. Gün:

-10 = \left( \frac{Y_3 - 22}{Y_3} \right) \times 100 \Rightarrow -0,10 Y_3 = Y_3 - 22 \Rightarrow Y_3 = 20

.
4. Gün:

5 = \left( \frac{Y_4 - 38}{Y_4} \right) \times 100 \Rightarrow 0,05 Y_4 = Y_4 - 38 \Rightarrow Y_4 = 40

.
Hata terimleri (

e_t = Y_t - F_t

) sırasıyla

-2, 2, -2

ve

2

'dir.
MSE hesabı:

\frac{(-2)^2 + 2^2 + (-2)^2 + 2^2}{4} = \frac{16}{4} = 4

.
MAE hesabı:

\frac{|-2| + |2| + |-2| + |2|}{4} = \frac{8}{4} = 2

.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen yüzdesel hata formülü ile her bir gün için gerçek değerleri (

Y_t

) hesapla.

Y_1 = 50

,

Y_2 = 40

,

Y_3 = 20

,

Y_4 = 40

Hata ölçütlerini (MSE ve MAE) bulabilmek için öncelikle gerçekleşen değerlere ve dolayısıyla hata terimlerine (

e_t

) ihtiyaç vardır.

2

Her bir gün için hata terimlerini (

e_t = Y_t - F_t

) bul.

e_1 = -2

,

e_2 = 2

,

e_3 = -2

,

e_4 = 2

Performans ölçütleri her bir gözlemdeki tahmin sapmasına dayanır.

3

Hata terimlerinin karelerini alarak topla ve gözlem sayısına (

n=4

) böl (MSE hesabı).

MSE = \frac{(-2)^2 + 2^2 + (-2)^2 + 2^2}{4} = \frac{16}{4} = 4

Hata Kareleri Ortalaması (MSE), hataların karesel büyüklüklerinin ortalamasını ifade eder.

4

Hata terimlerinin mutlak değerlerini alarak topla ve gözlem sayısına böl (MAE hesabı).

MAE = \frac{|-2| + |2| + |-2| + |2|}{4} = \frac{8}{4} = 2

Ortalama Mutlak Hata (MAE), hataların yönünden bağımsız mutlak büyüklüklerinin ortalamasını verir.

Anahtar Kavram

Öngörü Yöntemlerinde Hata Ölçütlerinin Hesaplanması ve Yüzdesel Hata Dönüşümü

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 74Soru →

Zaman serileri analizinde, sıfır ortalamalı bir süreç aşağıdaki ikinci dereceden otoregresif, AR(2), modeli ile tanımlanmıştır:

Y_t = c Y_{t-1} + \left(c^2 - \frac{1}{4}\right) Y_{t-2} + \varepsilon_t

Burada $c$ bir gerçel sayı sabitini ve $\varepsilon_t$ , sıfır ortalama ve $\sigma^2$ varyanslı beyaz gürültü (white noise) sürecini temsil etmektedir.

Bu modelin durağan olması ve aynı zamanda otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) sönümlenen sinüs dalgaları (sözde-periyodik) biçiminde bir yapı sergilemesi için $c$ parametresinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

-1 < c < 1

\frac{1-\sqrt{6}}{2} < c < \frac{-1+\sqrt{6}}{2}

-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}}

-\frac{1}{2} < c < \frac{1}{2}

c < -\frac{1}{\sqrt{5}} \text{ veya } c > \frac{1}{\sqrt{5}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}}$

Cevap

Modelin istenen özellikleri sağlaması için c parametresinin

-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}}

aralığında olması gerekir.

İkinci dereceden otoregresif bir modelin, otokorelasyon fonksiyonunun sönümlenen sinüs dalgaları (sözde-periyodik yapı) üretebilmesi için karakteristik denkleminin karmaşık eşlenik köklere sahip olması gereklidir. Bu matematiksel koşul

\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

şeklindedir. Verilen modelde

\phi_1 = c

ve

\phi_2 = c^2 - 0.25

yerine konduğunda,

5c^2 - 1 < 0

elde edilir. Bu eşitsizliğin çözümü

c^2 < 1/5

, yani

-1/\sqrt{5} < c < 1/\sqrt{5}

aralığıdır. Bu aralık, AR(2) durağanlık üçgeninin tamamıyla içindedir ve her iki şartı birden eşzamanlı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

AR(2) modelinin parametrelerini tanımla.

Modelden

\phi_1 = c

ve

\phi_2 = c^2 - \frac{1}{4}

olarak belirlenir.

Zaman serisi özelliklerini analiz etmek için standart

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

formuna dönüştürmek gerekir.

2

ACF'nin sönümlenen sinüs dalgası olma koşulunu uygula.

AR(2) sürecinde ACF'nin dalgalı (sözde-periyodik) olması için karakteristik denklemin kökleri karmaşık sayı olmalıdır. Bu koşul:

\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0

eşitsizliğidir.

Gerçel kökler üstel sönümlenmeye neden olurken, karmaşık eşlenik kökler trigonometrik bir dalgalanma (sinüs dalgası) yaratır.

3

Eşitsizliği c parametresine göre çöz.

c^2 + 4(c^2 - \frac{1}{4}) < 0 \implies c^2 + 4c^2 - 1 < 0 \implies 5c^2 < 1 \implies c^2 < \frac{1}{5}

. Buradan

-\frac{1}{\sqrt{5}} < c < \frac{1}{\sqrt{5}}

aralığı bulunur.

Parametreleri formülde yerine koyarak c'nin alabileceği sınırları cebirsel olarak hesaplıyoruz.

4

Bulunan aralığın durağanlık koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol et.

Durağanlık için

|\phi_2| < 1

,

\phi_1 + \phi_2 < 1

ve

\phi_2 - \phi_1 < 1

olmalıdır.

c^2 < \frac{1}{5}

olduğunda

\phi_2 \in [-0.25, -0.05)

olur,

|\phi_2|<1

sağlanır. Benzer şekilde diğer kısıtlar da bu dar aralıkta her zaman sağlanır.

Sürecin ACF'sinin tanımlı olabilmesi için modelin baştan durağan olması şarttır.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Durağanlık ve Karakteristik Köklerin Doğası

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 75Soru →

Bir turizm acentesi, bir tatil beldesine yönelik haftalık otel rezervasyon iptal sayılarını tahmin etmek için basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır.

Acente kayıtlarına göre;
- $1.$ hafta için yapılan iptal tahmini $10$ , gerçekleşen iptal sayısı ise $15$ 'tir.
- $2.$ haftada gerçekleşen iptal sayısı $9$ 'dur.
- $3.$ hafta için hesaplanan iptal tahmini ise $10,8$ 'dir.

Buna göre, acentenin tahmin modelinde kullandığı düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) kaçtır?

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,4$

Cevap

Acentenin tahmin modelinde kullandığı düzeltme katsayısı (

\alpha

)

0,4

'tür.

Basit üstel düzeltme yönteminde her yeni tahmin, bir önceki tahmin ile o dönemin hata miktarının

\alpha

katsayısıyla düzeltilmesiyle bulunur. İki ardışık dönem için formül art arda uygulandığında, bilinen değerler yerine konulur ve bilinmeyen

\alpha

için

5\alpha^2 - 4\alpha + 0,8 = 0

denklemi elde edilir. Bu ikinci dereceden denklemin tam kare çözümü

\alpha = 0,4

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme yönteminin ardışık tahmin formülünün yazılması.

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

Her dönemin tahmini, bir önceki dönemin tahmini ile o dönemin tahmin hatasının

\alpha

katsayısıyla çarpımının toplamından elde edilir.

2

2.

hafta (

F_2

) için tahmin denkleminin

\alpha

'ya bağlı olarak oluşturulması.

F_2 = 10 + \alpha(15 - 10) = 10 + 5\alpha

1.

haftanın gerçekleşen (

Y_1 = 15

) ve tahmin edilen (

F_1 = 10

) değerleri kullanılarak bir sonraki dönemin tahmini formüle edilir.

3

3.

hafta (

F_3

) için tahmin denkleminin oluşturulması ve verilen değere eşitlenmesi.

F_3 = (10 + 5\alpha) + \alpha(9 - (10 + 5\alpha)) = 10,8

Aynı mantıkla

3.

hafta tahmini,

2.

haftanın formüle edilen tahmini ve gerçekleşen değeri (

Y_2 = 9

) üzerinden yazılarak bilinen

10,8

değerine eşitlenir.

4

Oluşan ikinci dereceden denklemin düzenlenerek çözülmesi.

10,8 = 10 + 5\alpha - \alpha - 5\alpha^2 \implies 5\alpha^2 - 4\alpha + 0,8 = 0 \implies (5\alpha - 2)^2 = 0 \implies \alpha = 0,4

Polinom genişletilip standart ikinci dereceden denklem formatına getirildiğinde tek bir çakışık kök elde edilir ve bu kök aranan düzeltme katsayısıdır.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing) Yönteminde Ardışık Tahmin Denklemleri

Soru 76Soru →

Bir tedarik zinciri analisti, bir hammaddenin aylık talep miktarındaki değişimleri Box-Jenkins yaklaşımıyla modellemektedir. Verilerin durağan olduğu varsayımı altında çizilen örneklem korelogramlarında; Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) dalgalanarak yavaşça sönümlendiği, Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) ise ilk iki gecikmede istatistiksel güven sınırlarını aşarak anlamlı değerler aldığı, ancak üçüncü gecikmeden itibaren tamamen sıfır etrafındaki güven sınırları içine düştüğü (kesildiği) tespit edilmiştir.

Bu korelogram bulgularına göre, analistin talep serisi için tahmin etmesi gereken en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Geçmiş iki döneme ait şokların etkisini yansıtan

MA(2)

modeli

Serinin kendi geçmiş iki döneminden etkilendiğini gösteren

AR(2)

modeli

Hem geçmiş değerlerin hem de geçmiş şokların etkili olduğu

ARMA(2,2)

modeli

Serinin durağan olmadığını ve birinci dereceden fark alınması gerektiğini işaret eden

ARIMA(0,1,2)

modeli

Seride periyodik dalgalanmaların bulunduğunu ifade eden mevsimsel

SMA(2)

modeli

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Geçmiş iki döneme ait şokların etkisini yansıtan $MA(2)$ modeli

Cevap

Geçmiş iki döneme ait şokların etkisini yansıtan

MA(2)

modeli

Box-Jenkins zaman serileri metodolojisinde model tanımlama aşaması, örneklem korelogramlarının teorik örüntülerle karşılaştırılmasına dayanır. Hareketli ortalama (MA) modellerinin karakteristik özelliği, Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) modelin derecesi olan 'q' gecikmesinden sonra aniden sıfıra yaklaşması (kesilmesi) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) kademeli olarak sönümlenmesidir. Verilen senaryoda ACF 2. gecikmeden sonra kesildiğinden ve PACF sönümlendiğinden, talep serisinin q=2 olan bir MA(2) süreciyle modellenmesi en doğru yaklaşımdır.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin PACF (Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu) davranışını değerlendir.

PACF grafiğinin dalgalanarak yavaşça sönümlendiği (azalarak sıfıra yaklaştığı) belirlenmiştir.

PACF'nin sönümlenmesi, sürecin saf bir AR (Otoregresif) modeli olmadığını, modelin güçlü bir MA (Hareketli Ortalama) karakteristiği taşıdığını gösterir.

2

Serinin ACF (Otokorelasyon Fonksiyonu) davranışını değerlendir.

ACF grafiği ilk iki gecikmede anlamlı değerler alırken, üçüncü gecikmeden itibaren aniden kesilerek güven sınırları içinde kalmaktadır.

ACF'nin aniden kesildiği nokta MA modelinin derecesini (q) verir. İkinci gecikmeden sonra kesilme olduğu için q=2'dir.

3

ACF ve PACF bulgularını Box-Jenkins metodolojisi kurallarına göre birleştirerek modeli tanımla.

Zaman serisi veri üretim sürecinin ikinci dereceden hareketli ortalama modeli, yani MA(2) olduğu sonucuna varılır.

Teorik olarak MA(q) süreçlerinin en ayırt edici özelliği, ACF'nin q. gecikmeden sonra kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesidir. Analistin bulguları tam olarak MA(2) yapısına uymaktadır.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde hareketli ortalama (MA) modellerinin teorik korelogram (ACF ve PACF) özellikleri

Soru 77Soru →

Bölgesel bir elektrik dağıtım şirketi, hanehalklarının aylık elektrik tüketim değerlerini ( $Y_t$ ) incelemektedir. Veri bilimi ekibi, serinin davranışını modellemek amacıyla geriye kaydırma operatörü ( $B$ ) kullanarak aşağıdaki tahmin denklemini oluşturmuştur:

(1 - 0.6B^{12} - 0.3B^{24})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - 0.4B - 0.2B^2)(1 - 0.8B^{12})\varepsilon_t

Buna göre, aylık elektrik tüketim verisine uygulanan mevsimsel zaman serisi modelinin standart gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}

SARIMA(2,1,1)(0,1,2)_{12}

SARIMA(1,1,2)(3,1,1)_{12}

SARIMA(0,2,2)(2,0,1)_{12}

SARIMA(2,1,0)(1,1,2)_{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}$

Cevap

Doğru model gösterimi

SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}

şeklindedir.

Verilen denklem incelendiğinde; eşitliğin sol tarafında

(1-B)

ile

d=1

ve

(1-B^{12})

ile

D=1

fark alma işlemleri yer almaktadır. Sol taraftaki

(1 - 0.6B^{12} - 0.3B^{24})

polinomu en yüksek 2. dereceden mevsimsel gecikme içerdiğinden

P=2

'dir. Mevsimsel olmayan AR terimi bulunmadığı için

p=0

'dır. Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - 0.4B - 0.2B^2)

polinomu mevsimsel olmayan 2. dereceden bir MA süreci (

q=2

) yaratırken,

(1 - 0.8B^{12})

polinomu 1. dereceden mevsimsel bir MA sürecine (

Q=1

) aittir. Seriler aylık olduğu için s=12'dir. Tüm bileşenler

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s

yapısında birleştirildiğinde model

SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Veri periyodunu belirleyin.

Veriler aylık olduğu için mevsimsellik periyodu

s = 12

olarak alınır.

Mevsimsel zaman serilerinde periyot uzunluğu,

B^s

operatöründeki üs değerinden veya verinin sıklığından anlaşılır.

2

Fark alma derecelerini (d ve D) tespit edin.

Denklemdeki

(1-B)

terimi mevsimsel olmayan 1. derece farkı (

d=1

),

(1-B^{12})

terimi ise mevsimsel 1. derece farkı (

D=1

) ifade eder.

Durağanlaştırma işlemleri eşitliğin sol tarafında fark alma operatörleriyle gösterilir.

3

Otoregresif (AR) bileşenleri (p ve P) ayrıştırın.

Eşitliğin sol tarafında mevsimsel olmayan AR terimi yoktur (

p=0

).

(1 - 0.6B^{12} - 0.3B^{24})

ifadesi 2. dereceden mevsimsel otoregresif polinomdur (

P=2

).

Bağımlı değişkene (

Y_t

) uygulanan ve

B^{12}

'nin katları şeklinde ilerleyen polinomlar mevsimsel AR terimlerini belirler.

4

Hareketli Ortalama (MA) bileşenlerini (q ve Q) ayrıştırın.

Eşitliğin sağ tarafında hata terimine (

\varepsilon_t

) etki eden

(1 - 0.4B - 0.2B^2)

ifadesi 2. dereceden mevsimsel olmayan MA (

q=2

),

(1 - 0.8B^{12})

ifadesi ise 1. dereceden mevsimsel MA (

Q=1

) terimidir.

Hata terimi üzerindeki gecikmeler, hareketli ortalama modelinin mertebesini verir.

5

Bulunan parametreleri

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s

formatında birleştirin.

p=0, d=1, q=2

ve

P=2, D=1, Q=1

olduğu için model

SARIMA(0,1,2)(2,1,1)_{12}

olarak yazılır.

Uluslararası standart gösterimde önce mevsimsel olmayan dereceler, sonra mevsimsel dereceler parantez içinde sırasıyla yazılır.

Anahtar Kavram

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA) Geriye Kaydırma Operatörü Gösterimi

Soru 78Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım koordinasyon merkezi, ana arterlerden birindeki günlük ortalama araç geçiş sayılarındaki rastgele dalgalanmaları incelemektedir. Mevsimsel ve trend etkilerinden arındırılmış $Y_t$ serisi için yapılan korelasyon analizinde; otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) ilk iki gecikmede istatistiksel olarak anlamlı değerler alıp 3. gecikmeden itibaren aniden sıfıra düştüğü, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise asimptotik olarak sönümlendiği tespit edilmiştir.

Sürece uygun olarak $Y_t = \mu + \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2}$ modeli tahmin edilmiştir (Burada $\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$ 'dir). Modelin hareketli ortalama karakteristik denklemi $1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0$ olarak tanımlandığında, bu denklemin köklerinden birinin $B_1 = 0.5$ olduğu belirlenmiştir.

Bu model ve tahmin sonuçları dikkate alındığında, modelin teorik özellikleri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

ACF ve PACF grafiklerindeki bu spesifik davranış, sürecin ikinci dereceden otoregresif (AR(2)) bir yapıya sahip olduğunu ve

B_1 = 0.5

kökünün durağanlık koşulunu sağladığını kanıtlar.

MA modellerinde karakteristik denklem kökünün birim çemberin içinde yer alması serinin durağan olmadığını gösterir; bu nedenle modellemeye devam etmeden önce serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Model, matematiksel yapısı gereği her zaman durağandır; ancak karakteristik denklemin kökü mutlak değerce 1'den küçük (

|B_1| < 1

) olduğundan süreç tersinir (invertible) değildir ve sonsuz dereceli bir AR modeli olarak ifade edilemez.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun sönümlenerek azalması, serideki güçlü döngüsel hareketlerin tam olarak arındırılamadığını gösterir; bu yüzden MA(2) yerine farklı bir filtreleme yöntemi kullanılmalıdır.

Bir hareketli ortalama sürecinin geçmiş gözlemler cinsinden yazılabilmesi (tersinirlik) için köklerin mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır, dolayısıyla bu model tersinirlik koşulunu kesinlikle sağlamaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model, matematiksel yapısı gereği her zaman durağandır; ancak karakteristik denklemin kökü mutlak değerce 1'den küçük ( $|B_1| < 1$ ) olduğundan süreç tersinir (invertible) değildir ve sonsuz dereceli bir AR modeli olarak ifade edilemez.

Cevap

Doğru seçenek, modelin her zaman durağan olduğunu ancak köklerin birim çemberin içinde kalmasından dolayı tersinir olmadığını ve AR(∞) formatında yazılamayacağını belirten ifadedir.

Verilen model bir MA(2) modelidir. Hareketli ortalama (MA) modelleri, sonlu sayıdaki beyaz gürültü hatalarının doğrusal bir kombinasyonu olduğu için katsayılardan bağımsız olarak daima durağandır. Ancak, modelin tersinir (invertible) olabilmesi ve sonsuz dereceli bir AR modeli gibi geçmiş gözlemler cinsinden ağırlıklandırılarak ifade edilebilmesi için,

\theta(B) = 0

karakteristik denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması şarttır. Soruda verilen

B_1 = 0.5

kökü mutlak değerce 1'den küçük olup birim çemberin içinde yer aldığından, süreç kesinlikle tersinir değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin davranışından modelin türünü tespit et.

ACF 2. gecikmede kesiliyor, PACF sönümleniyor. Bu özellikler serinin net bir şekilde MA(2) modeli olduğunu gösterir.

Zaman serisi teorisinde MA(q) modellerinin teorik otokorelasyon fonksiyonu q. gecikmeden sonra sıfır olurken, PACF asimptotik olarak sönümlenir.

2

MA(2) modelinin durağanlık durumunu değerlendir.

Hareketli ortalama (MA) modelleri, yapısı gereği sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin doğrusal birleşimi olduğundan parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır.

MA süreçlerinde otoregresif süreçlerin aksine durağanlık için ekstra bir parametre kısıtı gerekmez.

3

Modelin tersinirlik (invertibility) koşullarını kontrol et.

Bir MA sürecinin tersinir olabilmesi ve sonsuz dereceli bir AR sürecine (AR(∞)) dönüştürülebilmesi için karakteristik denklemin (

\theta(B)=0

) köklerinin birim çemberin dışında, yani mutlak değerce 1'den büyük (

|B| > 1

) olması zorunludur.

Geçmiş şokların ağırlıklarının zamanla sıfıra yakınsaması için matematiksel gereklilik budur.

4

Verilen kökü tersinirlik kuralına göre analiz et.

Soruda verilen kök

B_1 = 0.5

'tir.

|0.5| < 1

olduğundan, kök birim çemberin içindedir. Bu durum tersinirlik şartını ihlal eder.

Birim çemberin içinde kalan kökler, MA modelinin geçmiş gözlemler üzerinden ifade edilmesini imkansız kılar.

5

Tüm bulguları sentezleyerek doğru seçeneği belirle.

Model durağandır ancak tersinir değildir (AR formunda yazılamaz).

Hem MA modellerinin doğasından gelen durağanlığı hem de spesifik karakteristik kökün getirdiği tersinmezlik kısıtını aynı anda doğru ifade etmek gereklidir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Soru 79Soru →

Bir bölgedeki aylık enerji tüketim verilerini ( $Y_t$ ) analiz eden bir istatistikçi, serinin zaman grafiğinde belirgin bir yukarı yönlü eğilim gözlemlemiştir. Bu eğilimin deterministik bir fonksiyona mı (trend-durağan) yoksa rassal şokların birikimli etkisine mi (fark-durağan) dayandığını sınamak amacıyla EKK yöntemiyle sabitli ve doğrusal trendli Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) regresyonunu tahmin etmiştir.

İlk aşama tahmin sonucunda, gecikmeli düzey değerinin katsayısına ait $t$ -istatistiği ( $\tau$ ) $-1.82$ olarak hesaplanmış, $\%5$ anlamlılık düzeyindeki MacKinnon kritik değeri ise $-3.45$ olarak belirlenmiştir. Ardından serinin birinci sıra farkları ( $\Delta Y_t$ ) alınarak yalnızca sabitli model tahmin edildiğinde $\tau$ istatistiği $-4.10$ (kritik değer: $-2.89$ ) bulunmuştur. (Not: ADF testinde temel hipotez $H_0$ : 'Seride birim kök vardır' şeklindedir.)

Bu bulgulara göre, orijinal $Y_t$ serisinin özellikleri ve uygulanması gereken zaman serisi işlemi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Orijinal seri fark-durağan (DS) yapıdadır; düzey değerlerinin varyansı zamana bağlı olarak sonsuza ıraksar ve seriyi durağanlaştırmak için birinci sıra farkı alınmalıdır.

İlk modelde hesaplanan

\tau

istatistiği (

-1.82

) temel hipotezin reddedilmesini sağladığından seri trend-durağan (TS) kabul edilmeli ve fark almak yerine deterministik trendden arındırılmalıdır.

Orijinal düzey serisi stokastik trend barındırsa da varyansı zaman içinde sabit kaldığından, uygulanan fark alma işlemi gereksizdir ve seride yapay otokorelasyon problemi yaratır.

Birinci farklar ile yapılan testte

\tau

istatistiği (

-4.10

) kritik değerden (

-2.89

) küçük olduğu için serideki birim kökün ortadan kalkmadığı anlaşılmalı ve durağanlık için ikinci sıra fark alınmalıdır.

Serinin durağan dışı olduğu yalnızca Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinin ilk birkaç gecikmede hızla sıfıra düşmesiyle anlaşılabileceğinden, bu tür serilerde ADF testinin kullanılması hatalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Orijinal seri fark-durağan (DS) yapıdadır; düzey değerlerinin varyansı zamana bağlı olarak sonsuza ıraksar ve seriyi durağanlaştırmak için birinci sıra farkı alınmalıdır.

Cevap

Düzey değerinde test istatistiği kritik değerden büyük olduğundan

H_0

reddedilemez, seride birim kök vardır. Birinci farkında ise test istatistiği kritik değerden küçük olduğundan

H_0

reddedilir. Bu nedenle seri fark-durağandır (DS). Fark-durağan serilerde varyans zamana bağlıdır ve seriyi durağanlaştırmak için birinci sıra farkı alınmalıdır.

ADF testinde hesaplanan test istatistiği (

\tau

) mutlak değerce kritik değerden küçük olduğunda (veya negatif bölgede kritik değerden büyük, yani sıfıra daha yakın olduğunda)

H_0

reddedilemez. Düzey değerinde

\tau = -1.82 > -3.45

olduğundan seride birim kök vardır. Birinci farkta ise

\tau = -4.10 < -2.89

olduğundan

H_0

reddedilir ve serinin

I(1)

, yani Fark-Durağan (Difference Stationary - DS) olduğu anlaşılır. Fark-durağan seriler stokastik trend içerir, şokların etkisi kalıcıdır ve varyansları zaman ilerledikçe sonsuza ıraksar (

Var(Y_t) = t\sigma^2

). Bu serileri durağanlaştırmak için deterministik trendden arındırma işlemi DEĞİL, zorunlu olarak birinci sıra fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Sabitli ve trendli ADF testinin düzey değerlerindeki sonucunun yorumlanması.

\tau = -1.82

,

-3.45

'ten büyüktür (sağındadır). Bu nedenle sol kuyruk testinde

H_0

: 'Birim kök vardır' hipotezi reddedilemez.

Düzey serisinin durağan olmadığını ve deterministik bir trend etrafında durağanlık (TS) sergilemediğini ispatlamak için.

2

Birinci fark alınarak yapılan ADF testi sonucunun değerlendirilmesi.

\tau = -4.10

,

-2.89

'dan küçüktür (solundadır).

H_0

hipotezi reddedilir.

Serinin birinci sıra farkının durağan olduğunu (birim kök içermediğini) ve entegrasyon derecesinin

I(1)

olduğunu doğrulamak için.

3

Durağanlık türünün belirlenmesi ve teorik özelliklerin saptanması.

Serinin

I(1)

olduğu kanıtlandığından Fark-Durağan (DS) olarak sınıflandırılır. Bu serilerin varyansı

t\sigma^2

şeklinde zamanla sonsuza ıraksar.

Doğru zaman serisi modellemesi yapabilmek ve uygulanan fark alma işleminin teorik dayanağını açıklamak için.

Anahtar Kavram

Fark-Durağanlık (DS) Özellikleri ve ADF Testinde Hipotez Red Bölgeleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 80Soru →

Bir lojistik firmasının haftalık taşıdığı kargo tonajını tahmin etmek için basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemi kullanılmaktadır. Bu firmanın 15. hafta için kargo tonajı tahmini $400$ ton olarak hesaplanmış, ancak 15. haftanın gerçekleşen verileri sisteme girildikten sonra 16. hafta için yapılan tahmin $415$ ton olarak güncellenmiştir.

Tahmin modelinde kullanılan düzeltme katsayısı (düzleştirme parametresi) $\alpha = 0,25$ olduğuna göre, bu firmanın 15. haftada taşıdığı fiili kargo miktarı kaç tondur?

340

412

420

430

460

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 460

Cevap

Doğru cevap 460 tondur.

Basit üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin tahmini, mevcut dönemin tahmini ile mevcut dönemin tahmin hatasının

\alpha

ile çarpımının toplamına eşittir. Denklem

415 = 400 + 0,25 \times (Y_{15} - 400)

şeklinde kurulduğunda, hata payının

15 / 0,25 = 60

olduğu görülür. Bu hata payı 15. hafta tahminine eklendiğinde fiili değer

400 + 60 = 460

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme yönteminin genel formülünü yazınız.

F_{t+1} = F_t + \alpha (Y_t - F_t)

16. haftanın tahminini, 15. haftanın tahmini ve gerçekleşen değeri üzerinden ifade etmek için bu temel eşitlik kullanılır.

2

Soruda verilen bilinen değerleri formülde yerlerine koyunuz.

Verilenler:

F_{15} = 400

,

F_{16} = 415

,

\alpha = 0,25

. Formüle yerleştirildiğinde:

415 = 400 + 0,25 \times (Y_{15} - 400)

Bilinmeyen fiili değeri (

Y_{15}

) yalnız bırakabilmek için öncelikle mevcut verilerle denklemi oluşturmak gerekir.

3

Oluşturulan birinci dereceden denklemi

Y_{15}

için çözünüz.

415 - 400 = 0,25 \times (Y_{15} - 400) \implies 15 = 0,25 \times (Y_{15} - 400) \implies 15 / 0,25 = Y_{15} - 400 \implies 60 = Y_{15} - 400 \implies Y_{15} = 460

Basit cebirsel işlemlerle 15. haftanın gerçekleşen fiili kargo miktarı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing)

Alternatif Yöntem

Formülü

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha)F_t

şeklinde yazarak, ağırlıklı ortalama gibi düşünüp çözüme ulaşabilirsiniz:

415 = 0,25 Y_{15} + 0,75(400)

eşitliğinden

0,25 Y_{15} = 115

ve buradan

Y_{15} = 460

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Zaman Serileri Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram