Karar ve Oyun Teorisi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir yatırımcı, gelecek yıl için üç farklı proje ( $A$ , $B$ , $C$ ) arasından seçim yapmak istemektedir. Gelecekteki ekonomik koşullar; "Büyüme" ( $d_1$ ), "Durgunluk" ( $d_2$ ) ve "Kriz" ( $d_3$ ) olarak üç kategoride ele alınmıştır. Projelerin bu koşullar altında sağlayacağı tahmini kar miktarları (bin TL) aşağıdaki ödeme matrisinde verilmiştir:

Yatırım Projesi	$d_1$ (Büyüme)	$d_2$ (Durgunluk)	$d_3$ (Kriz)
Proje $A$	$120$	$70$	$30$
Proje $B$	$150$	$60$	$10$
Proje $C$	$90$	$80$	$50$

Yatırımcının elinde bu ekonomik koşulların gerçekleşme olasılıklarına dair hiçbir veri, istatistiksel bilgi veya uzman tahmini bulunmamaktadır.

Buna göre, bu karar verme problemi ve içinde bulunulan ortam ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Olasılık değerleri bilinmediği için bu bir "Risk Altında Karar Verme" ortamıdır ve beklenen değer ölçütü kullanılmalıdır.

Karar verici doğa durumlarını ve getiri matrisini bildiği için "Belirlilik Altında Karar Verme" ortamındadır.

Olasılık bilgisi eksik olduğu için "Belirsizlik Altında Karar Verme" ortamı söz konusudur ve Wald (Maximin) veya Maximax gibi ölçütler uygulanabilir.

Matristeki getiriler farklı ekonomik koşullara bağlı olduğu için bu bir "Çatışma (Oyun Teorisi)" ortamıdır.

Olasılıklar bilinmediği için Laplace ölçütü kullanılarak olasılıklar eşit kabul edilirse ortam "Belirlilik" ortamına dönüşür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Olasılık bilgisi eksik olduğu için "Belirsizlik Altında Karar Verme" ortamı söz konusudur ve Wald (Maximin) veya Maximax gibi ölçütler uygulanabilir.

Cevap

Olasılık bilgisi eksik olduğu için belirsizlik altında karar verme ortamı söz konusudur ve bu durumda Wald, Maximax, Hurwicz veya Savage gibi ölçütler kullanılabilir.

Verilen problemde doğa durumları ve bunlara karşılık gelen kazançlar bilinmekte ancak bu durumların ortaya çıkma olasılıkları bilinmemektedir. Yöneylem Araştırması literatüründe bu durum 'Belirsizlik Altında Karar Verme' olarak tanımlanır. Bu ortamda karar verebilmek için olasılık bilgisine ihtiyaç duymayan Wald (Maximin), Maximax, Hurwicz, Savage (Pişmanlık) ve Laplace gibi sübjektif yaklaşımlar içeren ölçütler kullanılır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar vericinin bilgi düzeyini analiz et.

Karar verici stratejileri (

A, B, C

) ve olası doğa durumlarını (

d_1, d_2, d_3

) bilmektedir.

Karar ortamını sınıflandırmak için mevcut bilgi miktarı belirlenmelidir.

2

Olasılık bilgisinin varlığını kontrol et.

Doğa durumlarının gerçekleşme olasılıklarına dair hiçbir bilgi (

P(d_i)

) bulunmamaktadır.

Olasılıkların bilinmemesi, ortamı 'Risk' ortamından ayırarak 'Belirsizlik' ortamına sokar.

3

Karar ortamını tanımla ve uygun yöntemleri belirle.

Bu bir 'Belirsizlik Altında Karar Verme' problemidir. Bu ortamda Wald (Kötümserlik), Maximax (İyimserlik), Laplace (Eş Olasılık) ve Hurwicz gibi ölçütler kullanılır.

Bilgi seviyesi ile karar verme teknikleri arasındaki teorik eşleşme yapılır.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamları ve Belirsizlik Koşulu

Daha Fazla Pratik

Belirsizlik altında karar verme ölçütlerinden olan Hurwicz katsayısı (

\alpha

) kullanarak bir çözümleme yapmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 2Soru →

Bir kamu kurumu, inşa edilecek bir sosyal tesisin kapasitesine karar vermek istemektedir. Gelecekteki talep düzeylerine ( $D_1, D_2, D_3$ ) göre beklenen yıllık net gelirler (bin TL) aşağıdaki ödeme matrisinde verilmiştir:

Karar Alternatifi	Düşük Talep ( $D_1$ )	Orta Talep ( $D_2$ )	Yüksek Talep ( $D_3$ )
Küçük Kapasite ( $S_1$ )	50	50	50
Orta Kapasite ( $S_2$ )	30	70	70
Büyük Kapasite ( $S_3$ )	10	40	100

Kurum yönetimi, belirsizlik altında karar verme tekniklerinden Hurwicz kriterini kullanmaya karar vermiştir. İyimserlik katsayısı $\alpha = 0,6$ olarak belirlendiğine göre, Hurwicz ölçütüne göre seçilmesi gereken en iyi karar ve bu karara ait değer aşağıdakilerden hangisidir?

S_3

kapasitesi; 64

S_3

kapasitesi; 46

S_1

kapasitesi; 50

S_3

kapasitesi; 100

S_2

kapasitesi; 54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $S_3$ kapasitesi; 64

Cevap

Büyük Kapasite (

S_3

) seçeneği ve 64 değeri

Büyük Kapasite (

S_3

) alternatifi için en iyi sonuç 100, en kötü sonuç 10'dur.

\alpha = 0,6

değeri ile yapılan

0,6 \times 100 + 0,4 \times 10 = 64

hesaplaması, diğer tüm alternatiflerden daha yüksek bir Hurwicz değeri vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir karar alternatifi için en iyi (maksimum) ve en kötü (minimum) değerleri belirleyin.

S_1: \max=50, \min=50

;

S_2: \max=70, \min=30

;

S_3: \max=100, \min=10

Hurwicz kriteri bu iki değerin ağırlıklı ortalamasını kullanır.

2

H = \alpha(\text{Maksimum}) + (1-\alpha)(\text{Minimum})

formülünü her seçenek için uygulayın.

H(S_1) = 0,6(50) + 0,4(50) = 50

;

H(S_2) = 0,6(70) + 0,4(30) = 54

;

H(S_3) = 0,6(100) + 0,4(10) = 64

Hurwicz değeri iyimserlik ve kötümserlik arasındaki dengeyi yansıtır.

3

Hesaplanan Hurwicz değerleri arasından en yükseğini seçin.

\max(50, 54, 64) = 64

değeri ile

S_3

alternatifi.

Gelir matrislerinde amaç en yüksek beklenen değeri elde etmektir.

Anahtar Kavram

Hurwicz Kriteri (İyimserlik Katsayısı)

Soru 3Soru →

Bir yatırımcı, iki farklı proje (A ve B) arasından seçim yapacaktır. A projesinin başlangıç maliyeti $40.000$ TL, B projesinin ise $60.000$ TL'dir. Gelecekteki pazar durumunun "başarılı" olma olasılığı $0,60$ ve "başarısız" olma olasılığı $0,40$ olarak belirlenmiştir. Projelerin pazar durumuna göre tahmini brüt gelirleri şu şekildedir:

* A Projesi: Başarılı durumda $120.000$ TL, başarısız durumda $50.000$ TL.
* B Projesi: Başarılı durumda $180.000$ TL, başarısız durumda $70.000$ TL.

Karar ağacı analizi ve beklenen parasal değer (EMV) ölçütüne göre, en iyi stratejinin beklenen net değeri kaç TL'dir?

52.000

54.000

76.000

136.000

65.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76.000

Cevap

En iyi stratejinin beklenen net değeri 76.000 TL'dir.

Doğru cevap, B seçeneğinin sunduğu 76.000 TL'dir. B projesi için başarılı olma olasılığı ile başarılı getirisinin (

180.000 \times 0,60 = 108.000

) ve başarısız olma olasılığı ile başarısız getirisinin (

70.000 \times 0,40 = 28.000

) toplamı olan

136.000

TL'den, projenin

60.000

TL'lik maliyeti çıkarıldığında en yüksek net beklenen değer elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A projesinin beklenen net değerini hesapla.

EMV(A) = (120.000 \times 0,60 + 50.000 \times 0,40) - 40.000 = 92.000 - 40.000 = 52.000

TL

Karar ağacındaki ilk alternatifin risk altındaki ağırlıklı ortalama getirisini bulmak için.

2

B projesinin beklenen net değerini hesapla.

EMV(B) = (180.000 \times 0,60 + 70.000 \times 0,40) - 60.000 = 136.000 - 60.000 = 76.000

TL

İkinci alternatifin risk altındaki ağırlıklı ortalama getirisini bulmak için.

3

Alternatifler arasından en yüksek değeri seç.

76.000 > 52.000

olduğu için B projesi seçilir.

Beklenen parasal değer ölçütü, net kazancı maksimize eden alternatifi tercih etmeyi gerektirir.

Anahtar Kavram

Karar ağaçlarında beklenen parasal değer (EMV) hesaplanırken, şans düğümlerinden gelen olasılıklarla getiriler çarpılır ve başlangıçtaki karar maliyetleri netleştirilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

İki oyunculu sıfır toplamlı bir oyunda $A$ oyuncusunun (satır oyuncusu) kazançlarını gösteren ödeme matrisi aşağıda verilmiştir:

Stratejiler	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$8$	$2$	$9$
$A_2$	$5$	$4$	$7$
$A_3$	$6$	$3$	$5$

Buna göre, bu oyunun eyer noktası (saddle point) strateji çifti ve oyunun değeri aşağıdakilerden hangisidir?

(

A_2, B_2

) strateji çifti; oyunun değeri

4

(

A_1, B_2

) strateji çifti; oyunun değeri

2

(

A_2, B_1

) strateji çifti; oyunun değeri

5

(

A_3, B_2

) strateji çifti; oyunun değeri

3

Bu oyunun eyer noktası (saddle point) yoktur

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ( $A_2, B_2$ ) strateji çifti; oyunun değeri $4$

Cevap

(

A_2, B_2

) strateji çifti ve oyunun değeri

4

Oyun matrisi incelendiğinde,

A_2

satırındaki en küçük değerin

4

,

B_2

sütunundaki en büyük değerin ise yine

4

olduğu görülmektedir. Bu durum, maximin (satır minimumlarının en büyüğü) ve minimax (sütun maksimumlarının en küçüğü) değerlerinin

4

noktasında eşitlendiğini gösterir. Bu koordinat (

A_2, B_2

) bir eyer noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Satır minimumlarını (row minimums) belirleyin.

A_1

satırı için

2

,

A_2

satırı için

4

,

A_3

satırı için

3

.

Maximin değerini bulmak için her stratejinin en kötü durumdaki kazancı belirlenmelidir.

2

Satır minimumlarının en büyüğünü (maximin) bulun.

\{2, 4, 3\}

kümesinin maksimumu

4

'tür.

A

oyuncusu (satır), en küçük kazançları arasından en büyük olanı seçmeyi hedefler.

3

Sütun maksimumlarını (column maximums) belirleyin.

B_1

sütunu için

8

,

B_2

sütunu için

4

,

B_3

sütunu için

9

.

Minimax değerini bulmak için

B

oyuncusunun (sütun) her stratejiye karşılık verebileceği en büyük kayıp belirlenmelidir.

4

Sütun maksimumlarının en küçüğünü (minimax) bulun.

\{8, 4, 9\}

kümesinin minimumu

4

'tür.

B

oyuncusu (sütun), maruz kalabileceği maksimum kayıplar arasından en küçük olanı seçmeyi hedefler.

5

Maximin ve minimax değerlerini karşılaştırın.

Maximin = 4

ve

Minimax = 4

. Değerler birbirine eşittir.

Değerlerin eşitliği, oyunda bir eyer noktası olduğunu ve bu değerin oyunun değerini verdiğini kanıtlar.

Anahtar Kavram

Eyer noktası (Saddle Point) ve Maximin-Minimax Kriteri

Daha Fazla Pratik

Karma strateji gerektiren (eyer noktası bulunmayan) oyunlarda oyun değerinin nasıl hesaplandığını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumu, yeni inşa edilecek bir barajın kapasitesine ( $d_1$ : Küçük, $d_2$ : Büyük) karar verecektir. Barajın yıllık getirisi, bölgedeki yağış miktarına ( $s_1$ : Az, $s_2$ : Çok) bağlıdır. Kurumun elinde gelecekteki yağış miktarlarının gerçekleşme olasılıklarına dair herhangi bir sayısal veri veya objektif/subjektif tahmin bulunmamaktadır. Alternatiflerin doğa durumlarına göre yıllık ekonomik getirileri (milyon TL) aşağıdaki matriste verilmiştir:

Karar Alternatifleri	$s_1$ (Az Yağış)	$s_2$ (Çok Yağış)
$d_1$ (Küçük Baraj)	150	150
$d_2$ (Büyük Baraj)	100	250

Bu karar problemi ve karar verme ortamları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Kurumun elinde olasılık bilgisi bulunmadığı için bu problem 'Belirsizlik' ortamında bir karar problemidir.

Eğer kurum geçmiş verilere dayanarak yağış durumlarının olasılıklarını hesaplayabilseydi, 'Risk' ortamında karar veriyor olurdu.

Kurum hangi yılın kesin olarak az veya çok yağışlı geçeceğini önceden bilseydi, karar 'Belirlilik' ortamında verilirdi.

Kararın sonucu sadece doğa durumlarına değil, aynı zamanda rakip bir su yönetiminin kararlarına da bağlı olsaydı, 'Çatışma' ortamı söz konusu olurdu.

Belirsizlik ortamında olan bu kurum, beklenen parasal değer (EMV) ölçütünü kullanarak kararını vermelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirsizlik ortamında olan bu kurum, beklenen parasal değer (EMV) ölçütünü kullanarak kararını vermelidir.

Cevap

Beklenen parasal değer (EMV) ölçütünün belirsizlik ortamında kullanılacağını belirten ifade yanlıştır.

Beklenen parasal değer (EMV) ölçütü, her bir doğa durumunun gerçekleşme olasılığı ile o durumdaki getirinin çarpılıp toplanması (ağırlıklı ortalama) esasına dayanır. Bu ölçütün hesaplanabilmesi için doğa durumlarının gerçekleşme olasılıklarının bilinmesi zorunludur. Ancak soruda kurumun elinde olasılık verisi olmadığı açıkça belirtilmiştir. Bu durum bir 'Belirsizlik' ortamıdır ve belirsizlik ortamında EMV yerine olasılık bilgisi gerektirmeyen Maximin, Maximax veya Laplace (eşit olasılık varsayımıyla) gibi ölçütler kullanılır. Dolayısıyla EMV'nin bu ortamda kullanılması gerektiğini söyleyen ifade hatalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Mevcut karar ortamının belirlenmesi

Belirsizlik Ortamı

Soru metninde olasılık bilgilerinin bilinmediği belirtilmiştir.

2

Karar verme ortamlarının tanımlarının analizi

Tanımların doğrulanması

Belirlilik (tam bilgi), Risk (olasılıklı bilgi), Belirsizlik (olasılık yok) ve Çatışma (rakip var) ortamlarının tanımları seçeneklerle karşılaştırılır.

3

Karar ölçütlerinin uygunluğunun kontrolü

EMV ölçütünün elenmesi

Beklenen Parasal Değer (EMV) hesaplaması için

P(s_j)

olasılıkları gereklidir. Olasılıkların olmadığı belirsizlik ortamında bu ölçüt kullanılamaz; bunun yerine Laplace, Maximin gibi ölçütler tercih edilir.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamları (Belirlilik, Risk, Belirsizlik, Çatışma)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumu, bölgesel ulaşımı rahatlatmak amacıyla yeni bir köprü inşa etme veya mevcut yolları genişletme seçeneklerini değerlendirmektedir. Yeni köprü inşasının maliyeti $20.000.000$ TL, yolları genişletmenin maliyeti ise $5.000.000$ TL'dir. Gelecek dönemde trafik yoğunluğunun artma olasılığı $0,70$ , durağan kalma olasılığı ise $0,30$ olarak tahmin edilmektedir. Yeni köprü durumunda trafik artarsa $50.000.000$ TL, durağan kalırsa $20.000.000$ TL ekonomik fayda elde edilecektir. Yolları genişletme durumunda ise trafik artarsa $30.000.000$ TL, durağan kalırsa $15.000.000$ TL ekonomik fayda elde edilecektir. Beklenen parasal değer (BPD) kriterine göre, kurumun elde edebileceği maksimum beklenen fayda kaç TL'dir?

21.000.000

20.500.000

41.000.000

30.000.000

9.000.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $21.000.000$

Cevap

Maksimum beklenen fayda, yeni köprü seçeneğinin hesaplanan değeri olan

21.000.000

TL'dir.

Yeni köprü seçeneğinin beklenen ekonomik faydası (

21.000.000

TL), yolları genişletme seçeneğinin beklenen faydasından (

20.500.000

TL) daha yüksektir. Karar ağacı analizinde her bir dalın beklenen değeri hesaplanırken, şans düğümlerinden gelen ağırlıklı ortalamadan başlangıç maliyetleri çıkarılır. Bu durumda en yüksek değeri veren seçenek optimal karardır.

Adım Adım Çözüm

1

Yeni köprü seçeneği için beklenen parasal değeri (BPD) hesapla.

BPD_{\text{Köprü}} = (0,70 \times 50.000.000 + 0,30 \times 20.000.000) - 20.000.000 = 41.000.000 - 20.000.000 = 21.000.000

TL

Şans düğümündeki olası sonuçlar olasılıklarıyla çarpılır ve toplamdan ilgili karar dalının maliyeti çıkarılır.

2

Yolları genişletme seçeneği için beklenen parasal değeri (BPD) hesapla.

BPD_{\text{Genişletme}} = (0,70 \times 30.000.000 + 0,30 \times 15.000.000) - 5.000.000 = 25.500.000 - 5.000.000 = 20.500.000

TL

Karşılaştırma yapabilmek için tüm karar alternatiflerinin beklenen değerleri aynı yöntemle hesaplanmalıdır.

3

Hesaplanan değerleri karşılaştır ve maksimum olanı seç.

21.000.000 > 20.500.000

Rasyonal karar verici, beklenen kârı veya faydayı maksimize eden alternatifi seçer.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (EMV) Karar Kriteri

Soru 7Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, şehrin katı atık yönetim kapasitesini artırmak amacıyla yeni bir geri dönüşüm tesisi kurmayı planlamaktadır. Belediyenin önünde üç farklı yatırım seçeneği ( $s_1, s_2, s_3$ ) bulunmaktadır. Gelecekteki nüfus artışı ve buna bağlı atık miktarının düşük ( $d_1$ ) veya yüksek ( $d_2$ ) olma durumlarına göre beklenen yıllık net kâr (milyon TL) değerleri aşağıdaki ödeme matrisinde verilmiştir:

Karar Seçenekleri	$d_1$ (Düşük Talep)	$d_2$ (Yüksek Talep)
$s_1$ (Düşük Kapasite)	70	60
$s_2$ (Yüksek Kapasite)	10	150
$s_3$ (Orta Kapasite)	50	130

Belediye yönetimi, gelecekteki atık miktarı durumlarına dair herhangi bir olasılık bilgisine sahip değildir. İyimserlik katsayısının $\alpha = 0,60$ olduğu Hurwicz ölçütüne göre, belediyenin tercih etmesi gereken yatırım seçeneği aşağıdakilerden hangisidir?

s_1

s_2

s_3

s_1

ve

s_3

Tüm stratejiler eşdeğerdir

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $s_3$

Cevap

Hurwicz ölçütüne göre beklenen değeri en yüksek olan seçenek orta kapasiteyi temsil eden stratejidir.

Hurwicz ölçütü, karar vericinin iyimserlik düzeyini yansıtan

\alpha

katsayısını kullanarak en iyi ve en kötü sonuçları birleştirir. Yapılan hesaplamada

s_3

stratejisi

98

puan ile en yüksek değeri almıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir karar seçeneği için ödeme matrisindeki en iyi (maksimum) ve en kötü (minimum) sonuçları belirleyin.

s_1: (Max=70, Min=60)

,

s_2: (Max=150, Min=10)

,

s_3: (Max=130, Min=50)

Hurwicz ölçütü, uç değerlerin ağırlıklı ortalamasını kullanır.

2

H = \alpha \cdot Max + (1 - \alpha) \cdot Min

formülünü

\alpha = 0,60

için uygulayın.

H(s_1) = 0,6(70) + 0,4(60) = 42 + 24 = 66

;

H(s_2) = 0,6(150) + 0,4(10) = 90 + 4 = 94

;

H(s_3) = 0,6(130) + 0,4(50) = 78 + 20 = 98

İyimserlik katsayısı en iyi sonuca, kötümserlik katsayısı ise en kötü sonuca ağırlık olarak verilir.

3

Hesaplanan Hurwicz değerlerini karşılaştırarak en yüksek olanı seçin.

98 > 94 > 66

olduğu için en iyi karar

s_3

seçeneğidir.

Belirsizlik altında karar verme ölçütlerinde amaç, kâr matrisleri için sonucu maksimize etmektir.

Anahtar Kavram

Hurwicz Ölçütü

İpuçları

1

Belirsizlik altında karar verirken olasılıklar bilinmediği için Hurwicz gibi sübjektif ölçütler kullanılır.

2

Formülde

\alpha

iyimserliği temsil ettiğinden, en büyük kâr değerini

0,60

ile çarpmanız gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumu, bir bölgeye yapılacak sosyal tesis yatırımı için üç farklı kapasite seçeneğini ( $A_1, A_2, A_3$ ) değerlendirmektedir. Gelecekteki talep durumlarına ( $S_1, S_2, S_3$ ) göre beklenen net kâr değerleri aşağıdaki ödeme matrisinde (bin TL) verilmiştir:

Alternatif	$S_1$ (Düşük)	$S_2$ (Orta)	$S_3$ (Yüksek)
$A_1$ (Küçük)	400	450	500
$A_2$ (Orta)	300	600	700
$A_3$ (Büyük)	200	500	900

Karar vericinin iyimserlik katsayısı ( $\alpha$ ) $0,70$ olduğuna göre, Hurwicz kriterine göre en iyi alternatif ve bu alternatife ait değer aşağıdakilerden hangisidir?

A_3

;

690

A_1

;

400

A_3

;

900

A_2

;

580

A_3

;

410

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A_3$ ; $690$

Cevap

A_3

alternatifi,

690

değeri ile en iyi seçenektir.

Hurwicz kriterine göre, her alternatifin en iyi sonucu

\alpha = 0,70

ve en kötü sonucu

1-\alpha = 0,30

ile çarpılarak toplanır. Büyük ölçekli projenin (

A_3

) en yüksek getirisi

900

ve en düşük getirisi

200

olduğu için

0,7 \times 900 + 0,3 \times 200 = 690

elde edilir. Bu değer diğer alternatiflerden (

470

ve

580

) daha yüksek olduğu için doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Her alternatif için minimum ve maksimum değerleri belirle.

A_1

:

[400, 500]

,

A_2

:

[300, 700]

,

A_3

:

[200, 900]

bin TL.

Hurwicz kriteri, alternatiflerin uç değerlerinin ağırlıklı ortalamasını temel alır.

2

Her alternatif için Hurwicz değerini (

H = \alpha \cdot \text{Max} + (1-\alpha) \cdot \text{Min}

) formülüyle hesapla.

H(A_1) = 0,7(500) + 0,3(400) = 470

;

H(A_2) = 0,7(700) + 0,3(300) = 580

;

H(A_3) = 0,7(900) + 0,3(200) = 690

.

Belirlenen iyimserlik katsayısı (

\alpha = 0,70

) kullanılarak karar değerleri bulunur.

3

Hesaplanan değerler arasında en yüksek olanı seç.

690

(

A_3

).

Kar maksimizasyonu hedeflendiği için en yüksek Hurwicz değerine sahip alternatif tercih edilir.

Anahtar Kavram

Hurwicz kriteri, iyimserlik ve kötümserlik yaklaşımlarının bir dengesi olup, karar vericinin risk alma eğilimini temsil eden

\alpha

katsayısı ile çalışır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir karar vericinin fayda fonksiyonu $U(x) = \sqrt{x}$ olarak tanımlanmıştır. Bu karar vericiye, $\%60$ olasılıkla $400$ TL kazanç veya $\%40$ olasılıkla $100$ TL kazanç sağlayacak bir piyango teklif edilmiştir.

Buna göre, bu piyangonun söz konusu karar verici için kesinlik eşdeğeri (certainty equivalent) kaç TL'dir?

16

24

250

256

280

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 256

Cevap

Piyangonun kesinlik eşdeğeri 256 TL olarak hesaplanır.

Kesinlik eşdeğeri, bir kumarın sağladığı beklenen faydaya eşit fayda sağlayan risk içermeyen (garanti) para miktarıdır. Bu problemde beklenen fayda 16 birim olarak hesaplanmış olup,

U(x) = \sqrt{x}

fonksiyonunda 16 faydasını veren

x

değeri 256'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Piyangonun beklenen faydasını (

EU

) hesapla.

EU = (0,60 \times \sqrt{400}) + (0,40 \times \sqrt{100}) = (0,60 \times 20) + (0,40 \times 10) = 12 + 4 = 16

Fayda teorisine göre karar verici beklenen faydayı maksimize eder.

2

Kesinlik eşdeğeri (

CE

) formülünü (

U(CE) = EU

) kullanarak denklemi kur.

\sqrt{CE} = 16

Kesinlik eşdeğeri, karar vericiye piyango ile aynı faydayı sağlayan garanti paradır.

3

Denklemi çözerek

CE

değerini bul.

CE = 16^2 = 256

TL

Karekök fonksiyonunun tersi karesini almaktır.

Anahtar Kavram

Fayda Teorisi ve Kesinlik Eşdeğeri

İpuçları

1

Önce piyangonun her bir sonucu için fayda değerlerini (

U(400)

ve

U(100)

) hesaplayıp beklenen faydayı bulun.

2

Beklenen fayda

16

çıktıktan sonra, hangi sayının karekökünün

16

olduğunu düşünün.

Daha Fazla Pratik

Fayda fonksiyonu

U(x) = x^2

(risk seven) olsaydı kesinlik eşdeğeri beklenen parasal değerden büyük mü yoksa küçük mü olurdu?

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

İki oyunculu sıfır toplamlı bir oyunda $A$ oyuncusunun (satır oyuncusu) kazançlarını gösteren ödeme matrisi aşağıda verilmiştir:

$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	12	8	15
$A_2$	6	5	9

Her iki oyuncunun da rasyonel davrandığı ve en iyi saf stratejilerini seçtiği varsayıldığında, bu oyunun değeri ve eyer noktası (saddle point) olan strateji çifti aşağıdakilerden hangisidir?

Oyunun değeri 8; (

A_1, B_2

) strateji çifti

Oyunun değeri 12; (

A_1, B_1

) strateji çifti

Oyunun değeri 5; (

A_2, B_2

) strateji çifti

Oyunun değeri 15; (

A_1, B_3

) strateji çifti

Oyunun değeri 6; (

A_2, B_1

) strateji çifti

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Oyunun değeri 8; ( $A_1, B_2$ ) strateji çifti

Cevap

Oyunun değeri 8'dir ve eyer noktası (

A_1, B_2

) strateji çiftidir.

Oyunun değeri 8 olarak belirlenmiştir çünkü satır oyuncusunun garantilediği en yüksek minimum kazanç (maximin) ile sütun oyuncusunun izin verdiği en düşük maksimum kayıp (minimax) 8 değerinde kesişmektedir. Bu denge noktası (

A_1, B_2

) strateji çiftine karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

A

oyuncusu için her satırdaki en küçük kazancı (satır minimumlarını) belirleyin.

A_1

satırı için minimum 8,

A_2

satırı için minimum 5'tir.

Satır oyuncusu her stratejisi için garantileyebileceği en kötü sonucu (taban kazancı) değerlendirir.

2

B

oyuncusu için her sütundaki en büyük kaybı (sütun maksimumlarını) belirleyin.

B_1

sütunu için 12,

B_2

sütunu için 8,

B_3

sütunu için 15'tir.

Sütun oyuncusu rakibine vereceği maksimum kazancı (kendi tavan kaybını) minimize etmek ister.

3

Satır minimumlarının en büyüğünü (Maximin) ve sütun maksimumlarının en küçüğünü (Minimax) karşılaştırın.

Maximin =

max(8, 5) = 8

; Minimax =

min(12, 8, 15) = 8

.

Maximin = Minimax olduğunda oyunun bir eyer noktası (saf strateji dengesi) vardır ve bu değer oyunun değeridir.

Anahtar Kavram

Eyer Noktası (Saddle Point)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir tarım kredi kooperatifi, gelecek üretim dönemi için tohumluk buğday stok miktarını belirlemek istemektedir. Talebi etkileyen mevsimsel yağış durumlarına ( $d_1$ : Düşük, $d_2$ : Orta, $d_3$ : Yüksek) göre beklenen kâr değerleri (bin TL) aşağıdaki ödeme matrisinde verilmiştir:

Karar Alternatifi	Düşük ( $d_1$ )	Orta ( $d_2$ )	Yüksek ( $d_3$ )
$s_1$ (Düşük Stok)	40	40	40
$s_2$ (Orta Stok)	20	60	60
$s_3$ (Yüksek Stok)	-10	30	90

Kooperatif yönetimi, yağış durumlarının gerçekleşme olasılıklarını bilmemekte ve karar verirken Hurwicz ölçütünü kullanmaya karar vermiştir. İyimserlik katsayısının $\alpha = 0,7$ olduğu varsayıldığında, Hurwicz ölçütüne göre en iyi karar ve bu karara ait değer aşağıdakilerden hangisidir?

s_3

kararı; 60

s_3

kararı; 90

s_1

kararı; 40

s_3

kararı; 20

s_2

kararı; 48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $s_3$ kararı; 60

Cevap

Hurwicz ölçütüne göre en iyi seçenek yüksek stok seviyesini temsil eden

s_3

kararıdır ve değeri 60'tır.

Hurwicz ölçütü uygulandığında, yüksek stok alternatifi olan seçeneğin en iyi durumu 90 ve en kötü durumu -10'dur. 0,7 ağırlıkla yapılan hesaplama sonucunda elde edilen 60 değeri, diğer tüm alternatiflerin ağırlıklı ortalamalarından daha yüksektir.

Adım Adım Çözüm

1

Her karar alternatifi için en iyi (maksimum) ve en kötü (minimum) kâr değerlerini belirle.

s_1

: [40, 40],

s_2

: [60, 20],

s_3

: [90, -10]

Hurwicz ölçütü, her seçeneğin en iyi ve en kötü sonuçlarının ağırlıklı ortalamasını temel alır.

2

\alpha = 0,7

iyimserlik katsayısını kullanarak her alternatif için Hurwicz değerini (

H

) hesapla:

H = \alpha \cdot \text{En İyi} + (1-\alpha) \cdot \text{En Kötü}

H(s_1) = 0,7(40) + 0,3(40) = 40

;

H(s_2) = 0,7(60) + 0,3(20) = 42 + 6 = 48

;

H(s_3) = 0,7(90) + 0,3(-10) = 63 - 3 = 60

Katsayılar, karar vericinin risk alma eğilimine göre en iyi ve en kötü durumları ağırlıklandırır.

3

Hesaplanan Hurwicz değerlerini karşılaştırarak en yüksek değere sahip olanı seç.

\max(40, 48, 60) = 60

(

s_3

kararı)

Kâr odaklı bir matriste en yüksek ağırlıklı ortalama değeri sunan strateji optimaldir.

Anahtar Kavram

Hurwicz Ölçütü

Soru 12Soru →

İki oyunculu sıfır toplamlı bir oyunda $A$ oyuncusunun (satır oyuncusu) kazançlarını gösteren ödeme matrisi aşağıda verilmiştir:

$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$8$	$12$	$10$
$A_2$	$14$	$16$	$15$
$A_3$	$10$	$11$	$9$

Bu oyuna ilişkin eyer noktası (saddle point) ve oyunun değeri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Eyer noktası (

A_2, B_1

) strateji çiftidir ve oyunun değeri

14

'tür.

Eyer noktası (

A_1, B_2

) strateji çiftidir ve oyunun değeri

12

'dir.

Eyer noktası (

A_2, B_2

) strateji çiftidir ve oyunun değeri

16

'dır.

Eyer noktası (

A_3, B_2

) strateji çiftidir ve oyunun değeri

11

'dir.

Bu oyunun eyer noktası yoktur, çözüm için karma strateji kullanılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Eyer noktası ( $A_2, B_1$ ) strateji çiftidir ve oyunun değeri $14$ 'tür.

Cevap

Eyer noktası (

A_2, B_1

) strateji çiftidir ve oyunun değeri

14

'tür.

Eyer noktası analizi yapıldığında, ikinci satırın minimumu olan

14

aynı zamanda birinci sütunun maksimumudur. Maximin (

14

) ve Minimax (

14

) değerleri birbirine eşit olduğu için (

A_2, B_1

) noktası oyunun dengesini oluşturur ve oyunun değeri

14

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Satır minimumlarını (row minima) hesaplayın.

A_1

satırı için

8

,

A_2

satırı için

14

,

A_3

satırı için

9

.

Satır oyuncusu (A) için her stratejide garanti edilen en düşük kazançları belirlemek gerekir.

2

Satır minimumlarının en büyüğünü (Maximin) seçin.

Max(8, 14, 9) = 14

.

A oyuncusu, rakipten bağımsız olarak en kötü durumdaki kazancını maksimize etmek ister.

3

Sütun maksimumlarını (column maxima) hesaplayın.

B_1

sütunu için

14

,

B_2

sütunu için

16

,

B_3

sütunu için

15

.

Sütun oyuncusu (B) için her stratejide rakibe verilecek maksimum ödemeleri belirlemek gerekir.

4

Sütun maksimumlarının en küçüğünü (Minimax) seçin.

Min(14, 16, 15) = 14

.

B oyuncusu, rakibe yapılacak maksimum ödemeyi minimize etmek ister.

5

Maximin ve Minimax değerlerini karşılaştırın.

Maximin (14) = Minimax (14)

olduğu için oyunun bir eyer noktası vardır.

Bu eşitlik, oyunun saf strateji dengesinde olduğunu ve eyer noktasının kesişim noktasında bulunduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Saf stratejili oyunlarda denge noktası (Eyer Noktası), satır minimumlarının maksimumu (maximin) ile sütun maksimumlarının minimumunun (minimax) eşit olduğu noktadır.

Soru 13Soru →

Bir belediye, planladığı hafta sonu etkinliği için "Açık Hava Konseri" veya "Kapalı Salon Tiyatrosu" seçeneklerinden birini tercih edecektir. Hava durumunun güneşli veya yağmurlu olma olasılıkları ile bu durumlar altında elde edilecek tahmini kâr değerleri (bin TL cinsinden) aşağıdaki ödeme matrisinde verilmiştir:

Karar Alternatifleri	Güneşli ( $P=0,60$ )	Yağmurlu ( $P=0,40$ )
Açık Hava Konseri	$100$	$-20$
Kapalı Salon Tiyatrosu	$60$	$50$

Buna göre, bu karar problemi için tam bilginin beklenen değeri (EVPI) kaç bin TL'dir?

24

28

56

80

44

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Tam bilginin beklenen değeri (EVPI) 24 bin TL olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan değer, mükemmel bilgiye sahip olunduğunda elde edilecek beklenen kâr (80) ile mevcut risk koşullarında seçilen en iyi alternatifin kârı (56) arasındaki farkı temsil eder. Bu değer aynı zamanda beklenen fırsat kaybının (EOL) minimum değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Alternatiflerin Beklenen Parasal Değerlerini (EMV) hesaplayınız.

EMV_{\text{Açık}} = (100 \times 0,60) + (-20 \times 0,40) = 52

bin TL;

EMV_{\text{Kapalı}} = (60 \times 0,60) + (50 \times 0,40) = 56

bin TL.

Belirsizlik altında en iyi kararı belirlemek için her seçeneğin ağırlıklı ortalaması bulunur.

2

Tam bilgi ile beklenen değeri (EVwPI) hesaplayınız.

EVwPI = (100 \times 0,60) + (50 \times 0,40) = 60 + 20 = 80

bin TL.

Tam bilgi olması durumunda her hava durumu için en yüksek kâr getiren alternatif seçileceği varsayılır (Güneşli iken 100, Yağmurlu iken 50).

3

EVPI formülünü uygulayınız:

EVPI = EVwPI - \max(EMV)

.

EVPI = 80 - 56 = 24

bin TL.

Tam bilginin değeri, mükemmel bilgi ile elde edilecek kâr ile mevcut bilgiyle elde edilen en iyi beklenen kâr arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI)

Alternatif Yöntem

EVPI değeri, Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) matrisindeki en küçük değere de eşittir. Güneşli durum için pişmanlıklar (0 ve 40), Yağmurlu durum için pişmanlıklar (70 ve 0) kullanılarak EOL hesaplanırsa;

EOL_{\text{Kapalı}} = (40 \times 0,6) + (0 \times 0,4) = 24

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Bir kamu kurumu, hizmet kalitesini artırmak amacıyla yeni bir bilgi işlem altyapısı kurmayı planlamaktadır. Kurumun önünde üç farklı yatırım alternatifi bulunmaktadır: Yeni bir veri merkezi kurulması ( $d_1$ ), mevcut sistemin kapasitesinin artırılması ( $d_2$ ) ve bulut tabanlı hizmet alımı ( $d_3$ ). Gelecekteki talep düzeylerine ( $s_1$ : Yüksek Talep, $s_2$ : Düşük Talep) göre tahmin edilen yıllık net getiriler (milyon TL) aşağıdaki ödeme matrisinde verilmiştir:

Karar Alternatifleri	$s_1$	$s_2$
$d_1$ : Yeni Veri Merkezi	$150$	$10$
$d_2$ : Kapasite Artırımı	$90$	$60$
$d_3$ : Bulut Hizmeti	$110$	$40$

Gelecekteki talep durumlarına ilişkin olasılıkların bilinmediği bu belirsizlik ortamında, kurumun iyimserlik katsayısı $\alpha = 0,70$ olarak belirlenmiştir.

Hurwicz ölçütüne göre kurumun seçmesi gereken en uygun yatırım alternatifi aşağıdakilerden hangisidir?

Yeni Veri Merkezi Kurulması

Mevcut Sistemin Kapasitesinin Artırılması

Bulut Tabanlı Hizmet Alımı

Tüm seçenekler eşit getiri sağlamaktadır

Karar verici kararsız kalmalıdır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yeni Veri Merkezi Kurulması

Cevap

Kurumun seçmesi gereken en uygun yatırım alternatifi 'Yeni Veri Merkezi Kurulması'dır.

Yeni veri merkezi kurulması alternatifi, en iyi durum getirisi olan 150 ve en kötü durum getirisi olan 10'un

\alpha=0,70

ağırlığıyla birleşmesi sonucu 108 puan elde ederek diğer alternatiflerden (81 ve 89) daha yüksek bir skor sağlamıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir karar alternatifi için maksimum ve minimum getiri değerlerini belirleyin.

d_1

: [150, 10],

d_2

: [90, 60],

d_3

: [110, 40]

Hurwicz ölçütü, en iyi ve en kötü durumların ağırlıklı ortalamasını kullanır.

2

H = \alpha \times (\text{Maksimum Getiri}) + (1 - \alpha) \times (\text{Minimum Getiri})

formülünü

\alpha = 0,70

için uygulayın.

H(d_1) = 0,7(150) + 0,3(10) = 105 + 3 = 108

;

H(d_2) = 0,7(90) + 0,3(60) = 63 + 18 = 81

;

H(d_3) = 0,7(110) + 0,3(40) = 77 + 12 = 89

İyimserlik katsayısı en iyi sonuca, kötümserlik katsayısı (

1-\alpha

) en kötü sonuca ağırlık verir.

3

Hesaplanan Hurwicz değerleri arasında en büyük olanı seçin.

\max(108, 81, 89) = 108

Getiri matrislerinde amaç beklenen değeri maksimize etmektir.

Anahtar Kavram

Hurwicz Ölçütü (İyimserlik Ölçütü)

Soru 15Soru →

Bir kamu kurumu, veri işleme kapasitesini artırmak amacıyla iki farklı teknolojik altyapı stratejisi üzerinde durmaktadır. Kurumun önündeki seçenekler ve olası sonuçlar aşağıda verilmiştir:

1. Özel Yazılım Geliştirme: Başlangıç maliyeti $500.000$ TL'dir. Yazılımın yüksek performans gösterme olasılığı $0,60$ olup bu durumda $1.200.000$ TL fayda sağlanacaktır. Düşük performans gösterme olasılığı $0,40$ olup bu durumda sağlanacak fayda $400.000$ TL'dir.

2. Hazır Çözüm Satın Alma: Başlangıç maliyeti $300.000$ TL'dir. Yazılımın sistemle tam uyumlu olma olasılığı $0,70$ olup bu durumda $800.000$ TL fayda sağlanacaktır. Kısmi uyumlu olma olasılığı $0,30$ olup bu durumda sağlanacak fayda $500.000$ TL'dir.

Beklenen parasal değer (BPD) kriterine göre, kurum için en uygun strateji ve bu stratejinin beklenen net faydası aşağıdakilerden hangisidir?

Hazır Çözüm Satın Alma;

410.000

TL

Özel Yazılım Geliştirme;

380.000

TL

Hazır Çözüm Satın Alma;

710.000

TL

Özel Yazılım Geliştirme;

880.000

TL

Hazır Çözüm Satın Alma;

350.000

TL

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hazır Çözüm Satın Alma; $410.000$ TL

Cevap

Hazır Çözüm Satın Alma stratejisi,

410.000

TL beklenen net fayda ile optimal seçenektir.

Hazır çözüm seçeneği hesaplandığında

410.000

TL net beklenen değer üretirken, özel yazılım seçeneği

380.000

TL değer üretmektedir. En yüksek beklenen parasal değere sahip seçenek optimaldir.

Adım Adım Çözüm

1

Özel Yazılım Geliştirme seçeneğinin beklenen brüt faydasını hesaplayın.

BPD_{brüt} = (0,60 \times 1.200.000) + (0,40 \times 400.000) = 720.000 + 160.000 = 880.000

TL

Şans düğümündeki olası sonuçların ağırlıklı ortalamasını bulmak için.

2

Özel Yazılım Geliştirme seçeneğinin beklenen net faydasını hesaplayın.

BPD_{net} = 880.000 - 500.000 = 380.000

TL

Net faydayı bulmak için yatırım maliyetini brüt değerden çıkarmak gerekir.

3

Hazır Çözüm Satın Alma seçeneğinin beklenen brüt faydasını hesaplayın.

BPD_{brüt} = (0,70 \times 800.000) + (0,30 \times 500.000) = 560.000 + 150.000 = 710.000

TL

İkinci alternatifin beklenen performans değerini belirlemek için.

4

Hazır Çözüm Satın Alma seçeneğinin beklenen net faydasını hesaplayın.

BPD_{net} = 710.000 - 300.000 = 410.000

TL

Net faydayı bulmak için yatırım maliyetini brüt değerden çıkarmak gerekir.

5

Sonuçları karşılaştırarak karar verin.

410.000 > 380.000

Karar verici, beklenen net faydası en yüksek olan alternatifi seçmelidir.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (BPD) ve Karar Düğümü Analizi

Soru 16Soru →

Bir tarım işletmesi, gelecek üretim sezonu için üç farklı ürün çeşidi ( $U_1, U_2, U_3$ ) arasından bir seçim yapacaktır. Elde edilecek net kârların (Bin TL), gerçekleşebilecek hava durumlarına ( $H_1, H_2, H_3$ ) bağlı olarak değişimini gösteren ödeme matrisi aşağıda verilmiştir:

Alternatif	$H_1$ (Kurak)	$H_2$ (Normal)	$H_3$ (Yağışlı)
$U_1$	50	70	100
$U_2$	30	100	120
$U_3$	10	60	150

Bu işletmenin kârını maksimize etmek istediği bilindiğine göre, Savage (Minimax Pişmanlık) ölçütüne göre en iyi karar ve bu karara ait pişmanlık değeri aşağıdakilerden hangisidir?

U_2

; 30

U_1

; 50

U_3

; 150

U_3

; 40

U_2

; 83,3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $U_2$ ; 30

Cevap

Savage ölçütüne göre en iyi karar Ürün 2 (

U_2

) ve bu karara ait pişmanlık değeri 30'dur.

Doğru cevap olan Ürün 2 ve 30 değeri, Savage kriterinin adımları (pişmanlık matrisi oluşturma, satır maksimumlarını bulma ve bunların en küçüğünü seçme) doğru uygulandığında elde edilen sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğa durumları için maksimum kârları belirle.

H_1

için

\max(50, 30, 10) = 50

;

H_2

için

\max(70, 100, 60) = 100

;

H_3

için

\max(100, 120, 150) = 150

.

Pişmanlık (fırsat kaybı) matrisini oluşturmak için her durumdaki en iyi sonucun bilinmesi gerekir.

2

Pişmanlık matrisini oluştur.

U_1: (50-50=0, 100-70=30, 150-100=50)

;

U_2: (50-30=20, 100-100=0, 150-120=30)

;

U_3: (50-10=40, 100-60=40, 150-150=0)

.

Gerçekleşen durum karşısında seçilmeyen alternatiflerin yaratacağı kaybı hesaplamak için çıkarma işlemi yapılır.

3

Her alternatif için maksimum pişmanlık değerlerini bul.

U_1: 50

;

U_2: 30

;

U_3: 40

.

Savage ölçütü, karar vericinin karşılaşabileceği en kötü pişmanlığı minimize etmeyi hedefler.

4

Maksimum pişmanlıkların en küçüğünü seç.

\min(50, 30, 40) = 30

. Bu değer

U_2

alternatifine aittir.

Minimax pişmanlık kuralı gereği en düşük maksimum pişmanlığa sahip seçenek en iyi karardır.

Anahtar Kavram

Savage (Minimax Pişmanlık) Ölçütü

Daha Fazla Pratik

Hurwicz ölçütünü kullanarak

\alpha = 0,6

iyimserlik katsayısı için aynı matrisi çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 17Soru →

Bir yatırımcının toplam serveti $w$ olmak üzere fayda fonksiyonu $U(w) = \ln(w)$ şeklinde tanımlanmıştır. Mevcut serveti $100$ TL olan bu yatırımcı, $\%50$ olasılıkla $300$ TL kazanç veya $\%50$ olasılıkla $75$ TL kayıp ile sonuçlanacak bir projeye girmeyi düşünmektedir. Buna göre, bu yatırımcının söz konusu projeye katılması durumundaki beklenen faydası (expected utility) aşağıdakilerden hangisidir?

\ln(100)

\ln(212,5)

212,5

\ln(112,5)

\ln(187,5)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\ln(100)$

Cevap

Yatırımcının beklenen faydası

\ln(100)

değerine eşittir.

Doğru cevap, yatırımcının her iki olası durumdaki servet seviyelerinin (400 ve 25) logaritmik faydalarının olasılıklarla ağırlıklı ortalaması alınarak bulunur. Logaritma kuralları uygulandığında

0,5 \ln(400) + 0,5 \ln(25)

ifadesi

\ln(100)

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olası durumlar için nihai servet seviyelerini (

w

) belirleyin.

Durum 1 (Kazanç):

100 + 300 = 400

TL; Durum 2 (Kayıp):

100 - 75 = 25

TL.

Fayda fonksiyonu toplam servet üzerinden tanımlandığı için başlangıç serveti ile değişimler toplanmalıdır.

2

Her bir servet seviyesi için fayda değerlerini hesaplayın.

U(400) = \ln(400)

ve

U(25) = \ln(25)

.

Beklenen fayda formülünde kullanılacak bireysel fayda değerlerine ihtiyaç vardır.

3

Beklenen fayda (E[U]) formülünü uygulayın:

E[U] = p_1 \cdot U(w_1) + p_2 \cdot U(w_2)

.

E[U] = 0,5 \cdot \ln(400) + 0,5 \cdot \ln(25) = \ln(400^{0,5}) + \ln(25^{0,5}) = \ln(20) + \ln(5) = \ln(20 \times 5) = \ln(100)

.

Logaritma özellikleri (

\ln(a^b) = b \ln a

ve

\ln a + \ln b = \ln(ab)

) kullanılarak sonuç sadeleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Beklenen Fayda Teorisi (Expected Utility Theory)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

İki rakip firmanın ( $A$ ve $B$ ) pazar paylarını artırmak için uygulayabilecekleri üçer farklı reklam stratejisi bulunmaktadır. Sıfır toplamlı bu oyunda, $A$ firmasının (satır oyuncusu) pazar payındaki değişimleri (yüzde puan cinsinden) gösteren ödeme matrisi aşağıda verilmiştir:

$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$8$	$5$	$9$
$A_2$	$7$	$6$	$8$
$A_3$	$4$	$2$	$10$

Bu oyunun dengede olduğu (eyer noktasına sahip olduğu) bilindiğine göre, oyunun değeri ve oyuncuların izlemesi gereken optimal saf strateji çifti aşağıdakilerden hangisidir?

A_2

ve

B_2

strateji çifti; oyunun değeri

6

A_1

ve

B_2

strateji çifti; oyunun değeri

5

A_2

ve

B_1

strateji çifti; oyunun değeri

7

A_3

ve

B_3

strateji çifti; oyunun değeri

10

A_2

ve

B_3

strateji çifti; oyunun değeri

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A_2$ ve $B_2$ strateji çifti; oyunun değeri $6$

Cevap

A

oyuncusu için

A_2

,

B

oyuncusu için

B_2

stratejisi optimaldir ve oyunun değeri

6

dır.

Oyunun eyer noktası, satır oyuncusunun 'minimum kazançların maksimumunu' (maximin) ve sütun oyuncusunun 'maksimum kayıpların minimumunu' (minimax) hedeflediği noktadır. Bu matriste

A_2

satırındaki minimum değer

6

,

B_2

sütunundaki maksimum değer ise

6

dır.

6=6

eşitliği sağlandığından, eyer noktası

(A_2, B_2)

strateji çiftidir ve oyunun değeri

6

dır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir satır için en küçük (minimum) değeri belirlemek

A_1 \rightarrow 5

,

A_2 \rightarrow 6

,

A_3 \rightarrow 2

A

oyuncusu (satır), uğrayabileceği minimum kazancı maksimize etmek ister (Maximin).

2

Satır minimumları arasından en büyüğünü (maximin) seçmek

Maximin = \max(5, 6, 2) = 6

A

oyuncusu için garantilenen en iyi sonuç budur.

3

Her bir sütun için en büyük (maksimum) değeri belirlemek

B_1 \rightarrow 8

,

B_2 \rightarrow 6

,

B_3 \rightarrow 10

B

oyuncusu (sütun),

A

'nın kazançlarını (kendi kayıplarını) minimize etmek ister (Minimax).

4

Sütun maksimumları arasından en küçüğünü (minimax) seçmek

Minimax = \min(8, 6, 10) = 6

B

oyuncusu için kayıpların minimize edildiği nokta budur.

5

Maximin ve Minimax değerlerini karşılaştırmak

Maximin (6) = Minimax (6)

Bu değerler eşit olduğundan, oyunun bir eyer noktası vardır ve bu değer oyunun değeridir.

Anahtar Kavram

Eyer Noktası (Saddle Point)

İpuçları

1

Her satırın en küçük değerini yanına, her sütunun en büyük değerini altına yazarak başlayın.

2

Satır minimumlarının en büyüğü (maximin) ile sütun maksimumlarının en küçüğünün (minimax) eşit olup olmadığını kontrol edin.

3

Maximin

6

ve Minimax

6

çıktığına göre, bu değerlerin kesiştiği hücreyi bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer maximin ve minimax değerleri birbirine eşit çıkmasaydı, oyunun saf stratejilerle çözümü olmazdı ve karma stratejilere geçilmesi gerekirdi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

Bir kamu iktisadi teşebbüsü (KİT), bölgedeki tarımsal faaliyetleri desteklemek amacıyla yeni bir soğuk hava deposu tesisi kurmayı planlamaktadır. Gelecekteki talep düzeylerine ( $S_1, S_2, S_3$ ) göre farklı kapasite seçeneklerinin ( $A_1, A_2, A_3$ ) sağlayacağı net kârlar (milyon TL) aşağıdaki ödeme matriste verilmiştir:

Karar Alternatifi	Düşük Talep ( $S_1$ )	Orta Talep ( $S_2$ )	Yüksek Talep ( $S_3$ )
$A_1$ (Küçük Ölçekli)	40	45	50
$A_2$ (Orta Ölçekli)	20	60	70
$A_3$ (Büyük Ölçekli)	-10	30	100

Karar vericinin iyimserlik katsayısı $\alpha = 0,6$ olarak belirlendiğine göre, belirsizlik altında Hurwicz ölçütüne göre en uygun karar aşağıdakilerden hangisidir?

A_1

(Küçük ölçekli)

A_2

(Orta ölçekli)

A_3

(Büyük ölçekli)

A_1

ve

A_2

arasında seçim yapılamaz

A_2

ve

A_3

arasında seçim yapılamaz

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A_3$ (Büyük ölçekli)

Cevap

Hurwicz ölçütüne göre en yüksek ağırlıklı ortalamayı sağlayan Büyük Ölçekli (

A_3

) yatırım seçeneği en uygun karardır.

Hurwicz ölçütüne göre yapılan hesaplamada, Büyük Ölçekli (

A_3

) yatırım seçeneği 56 milyon TL ağırlıklı ortalama değeri ile Küçük Ölçekli (46) ve Orta Ölçekli (50) seçenekleri geride bırakarak en yüksek faydayı sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir karar alternatifi için mümkün olan en iyi (Maksimum) ve en kötü (Minimum) getirileri belirleyin.

A_1

: Maks = 50, Min = 40;

A_2

: Maks = 70, Min = 20;

A_3

: Maks = 100, Min = -10.

Hurwicz ölçütü, karar vericinin öznel tutumunu yansıtan iyimserlik ve kötümserlik durumlarını birlikte dikkate alır.

2

Hurwicz formülünü (

H = \alpha \times \text{Maks} + (1 - \alpha) \times \text{Min}

) her alternatif için uygulayın.

H(A_1) = 0,6(50) + 0,4(40) = 30 + 16 = 46

;

H(A_2) = 0,6(70) + 0,4(20) = 42 + 8 = 50

;

H(A_3) = 0,6(100) + 0,4(-10) = 60 - 4 = 56

.

İyimserlik katsayısı

\alpha = 0,6

olduğu için kötümserlik katsayısı

1 - \alpha = 0,4

olarak işleme alınır.

3

Hesaplanan Hurwicz değerlerini karşılaştırarak en yüksek olanı seçin.

56 > 50 > 46

olduğundan en yüksek değer 56 birimdir.

Kâr veya getiri matrislerinde en yüksek beklenen değerin sağlandığı alternatif rasyonel olarak tercih edilir.

Anahtar Kavram

Hurwicz Ölçütü (İyimserlik Katsayısı)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Bir yatırımcının elde edeceği çeşitli kazanç miktarlarına ( $x$ ) karşılık gelen toplam fayda ( $U(x)$ ) değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Kazanç ( $x$ )	Fayda ( $U(x)$ )
$0$	$0$
$100$	$50$
$200$	$85$
$300$	$110$
$400$	$125$

Bu yatırımcıya $\%50$ olasılıkla $100$ TL ve $\%50$ olasılıkla $300$ TL kazanç sağlayacak bir proje teklif edilmiştir.

Buna göre, bu yatırımcının risk karşısındaki tutumu ve projenin beklenen faydası aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Riski sevmeyen;

80

Riski seven;

80

Riski sevmeyen;

85

Risk nötr;

110

Riski sevmeyen;

200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Riski sevmeyen; $80$

Cevap

Yatırımcı riski sevmeyen bir tutuma sahiptir ve projenin beklenen faydası 80'dir.

Yatırımcının marjinal faydası azaldığı için (fonksiyon konkavdır) riski sevmeyen bir tutuma sahiptir. Beklenen fayda ise olasılıklar ile bu kazançların tablodaki fayda değerlerinin çarpımı (

0,5 \times 50 + 0,5 \times 110

) sonucu

80

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Risk tutumunu belirlemek için marjinal fayda değerlerini analiz edin.

\\Delta U_1 (0 \\to 100) = 50

,

\\Delta U_2 (100 \\to 200) = 35

,

\\Delta U_3 (200 \\to 300) = 25

,

\\Delta U_4 (300 \\to 400) = 15

.

Kazanç miktarı eşit aralıklarla (

100

TL) artarken elde edilen ek fayda (marjinal fayda) sürekli azaldığı için yatırımcı riski sevmeyen (risk-averse) bir tutuma sahiptir.

2

Projenin beklenen faydasını (

EU

) hesaplayın.

EU = 0,5 \\times U(100) + 0,5 \\times U(300) = 0,5 \\times 50 + 0,5 \\times 110 = 25 + 55 = 80

.

Beklenen fayda, her bir sonucun faydasının o sonucun gerçekleşme olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Beklenen Fayda ve Risk Tutumu

Tahmini Süre:2m 0s

Karar ve Oyun Teorisi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar