Karar ve Oyun Teorisi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir kamu kurumu, yeni bir sosyal tesis projesi için üç farklı kapasite alternatifi ( $A_1, A_2, A_3$ ) ve bu tesisin karşılaşabileceği üç farklı talep durumunu ( $S_1, S_2, S_3$ ) değerlendirmektedir. Talep durumlarının gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $0,2$ , $0,5$ ve $0,3$ olarak tahmin edilmiştir. Alternatiflerin her bir talep durumu altındaki getiri matrisi aşağıda verilmiştir (Birim: Bin TL):

Alternatif	$S_1$ ( $P=0,2$ )	$S_2$ ( $P=0,5$ )	$S_3$ ( $P=0,3$ )
$A_1$	100	120	150
$A_2$	80	150	180
$A_3$	60	100	250

Buna göre, Beklenen Değer (EMV) ölçütüne göre $A_2$ alternatifinin beklenen değeri kaç bin TL'dir?

125

137

145

150

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 145

Cevap

İkinci alternatifin beklenen değeri 145 bin TL olarak hesaplanır.

İkinci alternatif için beklenen değer, her bir pazar durumundaki kar değerinin o durumun olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur:

80 \times 0,2 + 150 \times 0,5 + 180 \times 0,3 = 16 + 75 + 54 = 145

bin TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Alternatifin her bir pazar durumu için getirilerini ilgili olasılıklarla çarpın.

80 \times 0,2 = 16

;

150 \times 0,5 = 75

;

180 \times 0,3 = 54

Beklenen değer, her bir sonucun gerçekleşme olasılığı ile ağırlıklandırılmış ortalamasıdır.

2

Elde edilen çarpım sonuçlarını toplayın.

16 + 75 + 54 = 145

Toplam beklenen değeri bulmak için tüm olası durumların ağırlıklı getirileri toplanır.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (EMV) Hesaplaması

Daha Fazla Pratik

Bu matris üzerinden Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) değerlerini tüm alternatifler için hesaplayarak en iyi kararı teyit edebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 22Soru →

Bir kamu kurumu, inşa edilecek bir hizmet binasının kapasitesi için üç farklı alternatif ( $A_1$ : Küçük, $A_2$ : Orta, $A_3$ : Büyük) belirlemiştir. Gelecekteki talep düzeylerine ( $S_1$ : Düşük, $S_2$ : Orta, $S_3$ : Yüksek) ilişkin olasılıklar $P(S_1) = 0,2$ , $P(S_2) = 0,5$ , $P(S_3) = 0,3$ olarak tahmin edilmektedir. Bu durumlarda elde edilecek net sosyal fayda (milyon TL) değerleri aşağıdaki ödeme matrisinde verilmiştir:

Karar Alternatifi	$S_1$	$S_2$	$S_3$
$A_1$	$50$	$80$	$100$
$A_2$	$40$	$90$	$120$
$A_3$	$70$	$60$	$80$

Buna göre, beklenen değer (EMV) ölçütüne göre en iyi kararın beklenen sosyal fayda değeri kaç milyon TL'dir?

68

80

89

15

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $89$

Cevap

En yüksek beklenen sosyal fayda değeri, orta kapasite alternatifine (

A_2

) ait olan

89

milyon TL'dir.

Beklenen değer ölçütüne göre, her karar alternatifi için beklenen ödeme, durum olasılıkları ile ödeme değerlerinin çarpımlarının toplamıdır. Yapılan hesaplamalar sonucunda orta kapasiteli bina (

A_2

) için beklenen fayda

89

milyon TL olarak bulunmuştur ve bu değer diğer seçeneklerden (

80

ve

68

) büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1

A_1

(Küçük) alternatifi için beklenen değeri hesapla.

EMV(A_1) = (50 \times 0,2) + (80 \times 0,5) + (100 \times 0,3) = 10 + 40 + 30 = 80

Her bir sonucun gerçekleşme olasılığı ile çarpılıp toplanması gerekir.

2

A_2

(Orta) alternatifi için beklenen değeri hesapla.

EMV(A_2) = (40 \times 0,2) + (90 \times 0,5) + (120 \times 0,3) = 8 + 45 + 36 = 89

Risk altında karar vermede en yaygın kullanılan istatistiksel beklenen değer yöntemidir.

3

A_3

(Büyük) alternatifi için beklenen değeri hesapla.

EMV(A_3) = (70 \times 0,2) + (60 \times 0,5) + (80 \times 0,3) = 14 + 30 + 24 = 68

Karşılaştırma yapabilmek için tüm seçeneklerin beklenen değerleri bulunmalıdır.

4

Alternatifler arasındaki en yüksek değeri seç.

Max(80, 89, 68) = 89

Sosyal fayda veya kâr gibi ödemelerde beklenen değeri maksimize eden alternatif en iyi karardır.

Anahtar Kavram

Beklenen Değer (EMV) Ölçütü

Daha Fazla Pratik

Aynı veri seti için 'Beklenen Fırsat Kaybı (EOL)' değerlerini hesaplayarak EMV ile EOL arasındaki ilişkiyi gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 23Soru →

Aşağıda iki oyunculu ve sıfır toplamlı bir rekabet durumuna ait ödeme matrisi verilmiştir. Matristeki değerler satır oyuncusunun (A) kazançlarını, sütun oyuncusunun (B) ise kayıplarını temsil etmektedir.

$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	$12$	$5$	$9$
$A_2$	$11$	$10$	$15$
$A_3$	$7$	$3$	$8$

Buna göre, bu oyunun eyer noktası (eyer noktası) ve oyunun değeri aşağıdakilerden hangisidir?

(A_2, B_2)

strateji çifti ve oyunun değeri

10

(A_1, B_2)

strateji çifti ve oyunun değeri

5

(A_2, B_1)

strateji çifti ve oyunun değeri

11

(A_2, B_3)

strateji çifti ve oyunun değeri

15

Oyunun saf stratejiler altında bir eyer noktası bulunmamaktadır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(A_2, B_2)$ strateji çifti ve oyunun değeri $10$

Cevap

Oyunun eyer noktası

(A_2, B_2)

strateji çiftidir ve oyunun değeri

10

birimdir.

Verilen ödeme matrisinde satır minimumları sırasıyla

5, 10

ve

3

olarak belirlenir; bu değerlerin en büyüğü (maximin)

10

olup

A_2

stratejisine karşılık gelir. Sütun maksimumları ise

12, 10

ve

15

olarak belirlenir; bu değerlerin en küçüğü (minimax)

10

olup

B_2

stratejisine karşılık gelir. Maximin ve minimax değerleri

10

sayısında eşitlendiği için

(A_2, B_2)

noktası eyer noktasıdır ve oyunun değeri

10

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Satır minimumlarını (row mins) hesaplayın.

A_1: 5

,

A_2: 10

,

A_3: 3

Satır oyuncusu (A) her stratejisi için garantileyebileceği en az kazancı belirlemeye çalışır.

2

Maximin değerini bulun.

\max(5, 10, 3) = 10

(

A_2

stratejisi)

A oyuncusu, minimum kazançlarını maksimize eden stratejiyi seçer.

3

Sütun maksimumlarını (column maxs) hesaplayın.

B_1: 12

,

B_2: 10

,

B_3: 15

Sütun oyuncusu (B) rakibine kaptıracağı en yüksek değerleri belirler.

4

Minimax değerini bulun.

\min(12, 10, 15) = 10

(

B_2

stratejisi)

B oyuncusu, rakibinin maksimum kazancını (kendi kaybını) minimize eden stratejiyi seçer.

5

Eyer noktasını kontrol edin.

\text{Maximin} (10) = \text{Minimax} (10)

Bu iki değer eşit olduğunda, matristeki ilgili hücre

(A_2, B_2)

eyer noktasıdır.

Anahtar Kavram

Sıfır toplamlı oyunlarda eyer noktası (saddle point), satır oyuncusunun maximin değeri ile sütun oyuncusunun minimax değerinin çakıştığı denge noktasıdır.

Daha Fazla Pratik

Eyer noktası bulunmayan oyunlarda 'karma stratejiler' (mixed strategies) ve beklenen oyun değeri hesaplamalarına çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 24Soru →

Bir kamu kurumu, mülkiyetinde bulunan bir araziyi değerlendirmek amacıyla üç farklı yatırım projesini ( $P_1, P_2, P_3$ ) analiz etmektedir. Projelerin net getirileri, gelecekteki ekonomik koşullara ( $S_1$ : Büyüme, $S_2$ : Durgunluk) bağlı olarak aşağıdaki ödeme matrisinde (milyon TL) gösterilmiştir:

Alternatifler	$S_1$ (Büyüme)	$S_2$ (Durgunluk)
$P_1$	$180$	$30$
$P_2$	$140$	$70$
$P_3$	$220$	$-10$

Kurum yetkilileri, gelecekte hangi ekonomik koşulun ( $S_1$ veya $S_2$ ) gerçekleşeceğine dair herhangi bir olasılık değerine veya geçmiş veriye sahip değildir. Buna göre, bu karar problemi aşağıdaki karar verme ortamlarından hangisine örnektir?

Belirlilik altında karar verme

Belirsizlik altında karar verme

Risk altında karar verme

Çatışma altında karar verme

Tam bilgi altında karar verme

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirsizlik altında karar verme

Cevap

Kurumun olası durumları bildiği ancak olasılıkları bilmediği bu durum 'Belirsizlik altında karar verme' ortamına örnektir.

Belirsizlik altında karar verme ortamı, karar vericinin gelecekteki olası durumları (doğa durumlarını) bildiği ancak bu durumların gerçekleşme olasılıklarına dair hiçbir bilgiye sahip olmadığı ortamdır. Soruda kurumun senaryoları bildiği fakat olasılıkları bilmediği açıkça belirtildiğinden bu tanıma tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar vericinin bilgi düzeyini analiz etmek.

Gelecekteki ekonomik koşulların (

S_1

ve

S_2

) neler olabileceği bilinmektedir ancak bu koşulların gerçekleşme olasılıkları bilinmemektedir.

Karar verme ortamını sınıflandırmak için en temel kriter, durumların gerçekleşme ihtimallerine dair bilginin varlığıdır.

2

Mevcut durumu karar teorisi tanımları ile eşleştirmek.

Olasılıkların bilinmediği durumlar 'Belirsizlik' (Uncertainty) olarak tanımlanır.

Belirlilikte sonuç tektir, riskte olasılıklar bellidir, çatışmada ise bir rakip vardır; olasılıksız çoklu durumlar belirsizliği işaret eder.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamlarının Bilgi Düzeyine Göre Sınıflandırılması

Alternatif Yöntem

Karar ortamlarını bir süreklilik üzerinde düşünmek: Bilginin tam olduğu uç 'Belirlilik', bilginin (olasılıkların) kısmi olduğu nokta 'Risk', bilginin (olasılıkların) hiç olmadığı nokta ise 'Belirsizlik'tir.

Tahmini Süre:45s

Soru 25Soru →

Bir karar vericinin fayda fonksiyonu $U(x) = x^2$ olarak belirlenmiştir. Bu karar vericiye aşağıdaki iki seçenek sunulmaktadır:

I. Kesin olarak $4$ TL kazanmak.
II. $\%50$ olasılıkla $0$ TL veya $\%50$ olasılıkla $8$ TL kazanmak.

Fayda maksimizasyonu ilkesine göre bu karar vericinin risk tutumu ve tercihi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Riski seven biridir ve II. seçeneği tercih eder.

Riski sevmeyen biridir ve I. seçeneği tercih eder.

Risk nötrdür ve her iki seçenek arasında kayıtsızdır.

Riski seven biridir ancak I. seçeneği tercih eder.

Riski sevmeyen biridir ancak II. seçeneği tercih eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Riski seven biridir ve II. seçeneği tercih eder.

Cevap

Karar verici riski seven (risk-seeking) bir tutuma sahiptir ve beklenen faydası daha yüksek olan II. seçeneği tercih eder.

Karar vericinin fayda fonksiyonu

U(x) = x^2

şeklindedir. İkinci türevi

U''(x) = 2

pozitiftir, bu da fonksiyonun dışbükey (convex) olduğunu ve karar vericinin 'riski seven' bir tutum sergilediğini gösterir. Hesaplamalar sonucunda II. seçeneğin beklenen faydası (32), I. seçeneğin faydasından (16) daha yüksek çıktığı için bu karar verici II. seçeneği (kumarı) tercih eder.

Adım Adım Çözüm

1

I. seçeneğin (kesin kazanç) faydasını hesapla.

U(4) = 4^2 = 16

birim fayda.

Kesin sonuçlarda fayda, sonucun doğrudan fonksiyon altındaki değeridir.

2

II. seçeneğin (piyango) beklenen faydasını hesapla.

E[U] = 0,5 \times U(0) + 0,5 \times U(8) = 0,5 \times (0^2) + 0,5 \times (8^2) = 0 + 32 = 32

birim fayda.

Riskli durumlarda alternatifin değeri, olası sonuçların faydalarının olasılıklarla ağırlıklı ortalamasıdır.

3

Sonuçları karşılaştır ve risk tutumunu belirle.

32 > 16

olduğu için II. seçenek tercih edilir.

U''(x) = 2 > 0

olduğu için fonksiyon dışbükeydir.

Beklenen fayda kesin kazancın faydasından büyükse ve fonksiyon dışbükeyse karar verici riski seven biridir.

Anahtar Kavram

Beklenen Fayda Teorisi ve Risk Tutumları

Alternatif Yöntem

Grafiksel olarak,

U(x) = x^2

çizildiğinde

0

ile

8

arasındaki kirişin orta noktası (

x=4

için

y=32

), eğrinin üzerindeki noktadan (

x=4

için

y=16

) daha yukarıdadır. Bu durum dışbükeyliği ve risk severliği görsel olarak kanıtlar.

Tahmini Süre:45s

Soru 26Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, yeni kurulacak bir merkez kütüphane projesi için üç farklı yatırım ölçeği ( $d_1$ : Küçük, $d_2$ : Orta, $d_3$ : Büyük) belirlemiştir. Gelecekteki kullanıcı yoğunluğuna ( $s_1$ : Düşük, $s_2$ : Orta, $s_3$ : Yüksek) ilişkin olasılıkların bilinmediği bu belirsizlik ortamında, projeye dair beklenen ekonomik fayda matrisi (milyon TL) aşağıda verilmiştir:

Karar Alternatifi	$s_1$ (Düşük)	$s_2$ (Orta)	$s_3$ (Yüksek)
$d_1$ (Küçük Ölçek)	15	15	15
$d_2$ (Orta Ölçek)	10	25	25
$d_3$ (Büyük Ölçek)	5	20	40

Belediye yönetimi kararlarında iyimserlik katsayısını $\alpha = 0,7$ olarak belirlediğine göre, Hurwicz ölçütüne göre tercih edilmesi gereken en iyi karar ve bu kararın beklenen fayda değeri aşağıdakilerden hangisidir?

d_3

(Büyük ölçek); 29,5

d_1

(Küçük ölçek); 15,0

d_3

(Büyük ölçek); 40,0

d_3

(Büyük ölçek); 15,5

d_2

(Orta ölçek); 20,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $d_3$ (Büyük ölçek); 29,5

Cevap

Hurwicz ölçütüne göre en iyi karar

d_3

(Büyük ölçek) ve bu kararın değeri 29,5'tir.

Hurwicz ölçütüne göre en iyi karar, ağırlıklı ortalama değeri en yüksek olan seçenektir. Büyük ölçekli kütüphane (

d_3

) için maksimum getiri 40, minimum getiri ise 5'tir.

\alpha = 0,7

katsayısı ile hesaplama yapıldığında

0,7 \times 40 + 0,3 \times 5 = 29,5

değeri bulunur. Bu değer

d_1

(15,0) ve

d_2

(20,5) alternatiflerinin değerlerinden daha büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir karar alternatifi için matristeki en iyi (maksimum) ve en kötü (minimum) sonuçları belirle.

d_1

: [15, 15],

d_2

: [25, 10],

d_3

: [40, 5]

Hurwicz ölçütü, uç değerlerin ağırlıklı ortalamasına dayanır.

2

Hurwicz formülünü (

H = \alpha \times \text{Maks} + (1 - \alpha) \times \text{Min}

) kullanarak değerleri hesapla.

H(d_1) = 0,7(15) + 0,3(15) = 15

;

H(d_2) = 0,7(25) + 0,3(10) = 20,5

;

H(d_3) = 0,7(40) + 0,3(5) = 29,5

Verilen iyimserlik katsayısı

\alpha = 0,7

değerini formüle yerleştirerek her alternatifin puanını bulmak gerekir.

3

Hesaplanan Hurwicz değerleri arasında en yüksek olanı seç.

\max(15; 20,5; 29,5) = 29,5

Karar verici faydayı maksimize etmeyi amaçladığı için en yüksek ağırlıklı ortalamaya sahip olan

d_3

seçilir.

Anahtar Kavram

Belirsizlik altında karar vermede Hurwicz ölçütü, karar vericinin öznellliğini (iyimserlik/kötümserlik) bir katsayı aracılığıyla modele dahil eder.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 27Soru →

Bir lojistik firması, hizmet kapasitesini artırmak amacıyla üç farklı araç filosu yatırım seçeneğini ( $V_1, V_2, V_3$ ) değerlendirmektedir. Gelecekteki talep belirsizliği altında oluşabilecek üç farklı durum ( $T_1$ : Düşük, $T_2$ : Orta, $T_3$ : Yüksek) için beklenen yıllık kâr matrisi (milyon TL) aşağıda verilmiştir:

Yatırım Seçeneği	$T_1$ (Düşük)	$T_2$ (Orta)	$T_3$ (Yüksek)
$V_1$	200	200	200
$V_2$	140	280	280
$V_3$	60	240	440

Firma yöneticisi karar verirken Hurwicz ölçütünü kullanmaya karar vermiştir. İyimserlik katsayısı $\alpha = 0,4$ olarak belirlendiğine göre, Hurwicz ölçütüne göre en iyi yatırım seçeneği ve bu seçeneğin ağırlıklı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

V_3

; 212

V_1

; 200

V_2

; 196

V_3

; 288

V_3

; 440

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $V_3$ ; 212

Cevap

Hurwicz ölçütüne göre en iyi seçenek 212 değeri ile

V_3

seçeneğidir.

Hurwicz ölçütüne göre, her alternatifin en iyi sonucu iyimserlik katsayısı (

0,4

) ile, en kötü sonucu ise kötümserlik katsayısı (

1-0,4=0,6

) ile çarpılır.

V_3

seçeneği için

0,4 \times 440 + 0,6 \times 60 = 212

değeri elde edilir. Bu değer,

V_1

(200) ve

V_2

(196) seçeneklerinden daha yüksek olduğu için en iyi karardır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir yatırım seçeneği için minimum ve maksimum kâr değerlerini belirleyin.

V_1

: Min=200, Max=200;

V_2

: Min=140, Max=280;

V_3

: Min=60, Max=440

Hurwicz ölçütü, her seçeneğin en iyi ve en kötü durumlarının ağırlıklı ortalamasını temel alır.

2

Hurwicz formülünü (

H = \alpha \times Max + (1 - \alpha) \times Min

) her seçenek için uygulayın.

V_1: 0,4(200) + 0,6(200) = 200

;

V_2: 0,4(280) + 0,6(140) = 112 + 84 = 196

;

V_3: 0,4(440) + 0,6(60) = 176 + 36 = 212

İyimserlik katsayısı (

\alpha

) en iyi sonuca, kötümserlik katsayısı (

1-\alpha

) en kötü sonuca uygulanır.

3

Hesaplanan Hurwicz değerlerini karşılaştırarak en yüksek olanı seçin.

Max(200, 196, 212) = 212

Kâr maksimizasyonu hedeflendiği için en yüksek ağırlıklı değere sahip seçenek tercih edilir.

Anahtar Kavram

Hurwicz ölçütü, karar vericinin öznel iyimserlik derecesini (

\alpha

) kullanarak kötümserlik (Wald) ve iyimserlik (Maximax) kriterleri arasında bir denge kurar.

İpuçları

1

Hurwicz kriterinde sadece her seçeneğin en yüksek ve en düşük kâr değerlerini kullanmanız yeterlidir.

2

İyimserlik katsayısı

\alpha

ise, kötümserlik katsayısı

1-\alpha

olur. Ağırlıklı değer =

(\alpha \times Maksimum) + ((1-\alpha) \times Minimum)

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Aynı matrisi Savage (Pişmanlık) ölçütüne göre çözerek sonuçları karşılaştırabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 28Soru →

Bir tarım kooperatifi, gelecek sezon için üretim planlaması yapmaktadır. Üç farklı ürün alternatifi (Buğday, Mısır, Pamuk) ve hava durumuna bağlı üç farklı doğal durum ( $S_1$ : Kurak, $S_2$ : Normal, $S_3$ : Yağışlı) için hazırlanan beklenen kâr matrisi (Bin TL) aşağıda verilmiştir:

Ürün Çeşidi	$S_1$	$S_2$	$S_3$
Buğday	60	60	60
Mısır	40	80	100
Pamuk	20	70	150

Hava durumlarının gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $P(S_1) = 0,30$ , $P(S_2) = 0,50$ ve $P(S_3) = 0,20$ olarak tahmin edilmektedir.

Buna göre, Beklenen Değer (EMV) ölçütüne göre en iyi ürün alternatifinin beklenen kârı kaç Bin TL'dir?

60

72

71

16

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Beklenen Değer (EMV) ölçütüne göre en iyi karar, 72 Bin TL beklenen kâra sahip olan Mısır alternatifidir.

Beklenen Değer (EMV) ölçütüne göre en iyi karar, her bir doğal durumun olasılığı ile o durumdaki kârın çarpımlarının toplamı en yüksek olan alternatiftir. Mısır alternatifi için yapılan hesaplamada (12 + 40 + 20) 72 Bin TL değerine ulaşılır ve bu değer diğer alternatiflerden daha yüksektir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir karar alternatifi için beklenen değerleri (EMV) hesaplayın.

Buğday:

0,30 \times 60 + 0,50 \times 60 + 0,20 \times 60 = 60

Mısır:

0,30 \times 40 + 0,50 \times 80 + 0,20 \times 100 = 12 + 40 + 20 = 72

Pamuk:

0,30 \times 20 + 0,50 \times 70 + 0,20 \times 150 = 6 + 35 + 30 = 71

Risk altında karar verme sürecinde her alternatifin olası sonuçları gerçekleşme olasılıkları ile çarpılarak ağırlıklı ortalaması (EMV) bulunur.

2

Hesaplanan beklenen değerleri karşılaştırın ve en yükseğini seçin.

60, 72 ve 71 değerleri arasından en büyüğü 72'dir.

Kâr matrisi ile çalışıldığında karar verici beklenen kârı maksimize etmeyi amaçlar.

Anahtar Kavram

Beklenen Değer (EMV) Ölçütü

Alternatif Yöntem

Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI) üzerinden de sağlaması yapılabilir. Tam bilginin beklenen değeri (EVPI), Beklenen Fırsat Kaybına (EOL) eşittir. Bu soruda en iyi kararın beklenen kârı ile tam bilginin beklenen kârı arasındaki fark EOL'yi vermelidir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 29Soru →

İki siyasi parti ( $A$ ve $B$ ), kısıtlı bir kampanya bütçesini üç farklı stratejik bölgede ( $S_1, S_2, S_3$ ) kullanacaktır. Aşağıdaki ödeme matrisi, $A$ partisinin her bölge seçimi için beklenen oy oranı değişimlerini (yüzde puan cinsinden) göstermektedir. Bu oyunun iki oyunculu sıfır toplamlı bir oyun olduğu bilinmektedir.

$B_1$ ( $S_1$ )	$B_2$ ( $S_2$ )	$B_3$ ( $S_3$ )
$A_1$ ( $S_1$ )	$8$	$2$	$9$
$A_2$ ( $S_2$ )	$6$	$5$	$7$
$A_3$ ( $S_3$ )	$7$	$3$	$4$

Her iki partinin de rasyonel davranarak kendi çıkarlarını maksimize etmeye çalıştığı varsayıldığında, bu oyunun eyer noktası (saddle point) strateji çifti ve oyunun değeri aşağıdakilerden hangisidir?

(A_2, B_2)

strateji çifti ve

5

(A_1, B_2)

strateji çifti ve

2

(A_1, B_1)

strateji çifti ve

8

(A_3, B_1)

strateji çifti ve

7

Bu ödeme matrisine göre oyunun eyer noktası bulunmamaktadır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(A_2, B_2)$ strateji çifti ve $5$

Cevap

Oyunun eyer noktası

(A_2, B_2)

strateji çiftidir ve oyunun değeri

5

puanlık oy artışıdır.

Satır oyuncusu

A

için satır minimumlarının en büyüğü (maximin)

5

değeridir. Sütun oyuncusu

B

için sütun maksimumlarının en küçüğü (minimax) yine

5

değeridir. Bu iki değerin kesiştiği

(A_2, B_2)

hücresi oyunun eyer noktasını oluşturur ve oyunun değeri

5

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Satır minimumlarını (Maximin için) hesapla

A_1 \rightarrow \min(8, 2, 9) = 2

;

A_2 \rightarrow \min(6, 5, 7) = 5

;

A_3 \rightarrow \min(7, 3, 4) = 3

Satır oyuncusu (A) en kötü durumlar içindeki en iyi sonucu (Maximin) arar.

2

Sütun maksimumlarını (Minimax için) hesapla

B_1 \rightarrow \max(8, 6, 7) = 8

;

B_2 \rightarrow \max(2, 5, 3) = 5

;

B_3 \rightarrow \max(9, 7, 4) = 9

Sütun oyuncusu (B) rakibinin kazançlarını (kendi kayıplarını) minimize etmek için en büyük değerler içindeki en küçüğü (Minimax) arar.

3

Eyer noktası kontrolü yap

\text{Maximin} = \max(2, 5, 3) = 5

;

\text{Minimax} = \min(8, 5, 9) = 5

Maximin ve Minimax değerleri birbirine eşitse (

5 = 5

), oyunun saf stratejilerde bir eyer noktası vardır.

Anahtar Kavram

Sıfır Toplamlı Oyunlarda Eyer Noktası (Saddle Point) Analizi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 30Soru →

Bir ziraat işletmesi, gelecek üretim dönemi için mısır veya buğday ekimi seçeneklerinden birini tercih edecektir. Elde edilecek kar miktarı hava durumuna (Yağışlı veya Kurak) bağlı olarak değişmektedir. İşletmenin beklenen kar payları (bin TL) ve hava durumlarının gerçekleşme olasılıkları aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Karar Alternatifleri	Yağışlı ( $0,60$ )	Kurak ( $0,40$ )
Mısır ( $d_1$ )	$100$	$40$
Buğday ( $d_2$ )	$60$	$80$

Buna göre, tam bilginin beklenen değeri (EVPI) kaç bin TL'dir?

16

76

92

24

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $16$

Cevap

Tam bilginin beklenen değeri

16

bin TL'dir.

Doğru cevap olan

16

değeri, tam bilgi altında beklenen getiri (

92

) ile hiçbir ek bilgi olmadan mısır ekimi kararıyla elde edilecek en yüksek beklenen getiri (

76

) arasındaki farktır. Bu fark, işletmenin hava durumunu önceden kesin olarak bilmek için ödemeye razı olacağı maksimum tutarı temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Karar alternatifleri için Beklenen Değerleri (BD) hesaplayınız.

BD(d_1) = (100 \times 0,60) + (40 \times 0,40) = 76

BD(d_2) = (60 \times 0,60) + (80 \times 0,40) = 68

Belirsizlik altında hangi kararın en yüksek getiriyi sağladığını belirlemek için her seçeneğin ortalama getirisi hesaplanır.

2

Mevcut en iyi beklenen değeri seçiniz.

Max(BD) = 76

bin TL

Tam bilgi olmadan verilebilecek en rasyonel karar, beklenen değeri en yüksek olan mısır ekimidir.

3

Tam Bilgi Altında Beklenen Değeri (TBBD) hesaplayınız.

TBBD = (100 \times 0,60) + (80 \times 0,40) = 60 + 32 = 92

bin TL

Eğer hava durumu önceden kesin olarak bilinseydi, her durum için en yüksek kâr getiren seçenek (Yağışlıda

100

, Kurakta

80

) seçilirdi.

4

Tam Bilginin Beklenen Değerini (EVPI) hesaplayınız.

EVPI = TBBD - Max(BD) = 92 - 76 = 16

bin TL

EVPI, mükemmel bilgiye sahip olmanın bize sağlayacağı ek faydayı gösterir.

Anahtar Kavram

Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI), tam bilgi altında elde edilecek getiri ile en iyi beklenen değer (EMV) arasındaki farktır ve aynı zamanda minimum beklenen fırsat kaybına (EOL) eşittir.

Tahmini Süre:45s

Soru 31Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım dairesi, kentin ana arterlerinden birinde trafik yoğunluğunu azaltmak amacıyla üç farklı yatırım alternatifi ( $A_1$ : Otobüs Filosu Genişletme, $A_2$ : Metrobüs Hattı Kurma, $A_3$ : Raylı Sistem/Tramvay Yatırımı) üzerinde durmaktadır. Gelecekteki yolcu talebine göre tahmin edilen yıllık net getiriler (milyon TL) ve talep durumlarının gerçekleşme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yatırım Alternatifi	Düşük Talep ( $P=0,20$ )	Orta Talep ( $P=0,50$ )	Yüksek Talep ( $P=0,30$ )
$A_1$ (Otobüs)	$40$	$60$	$70$
$A_2$ (Metrobüs)	$20$	$80$	$100$
$A_3$ (Tramvay)	$-10$	$50$	$150$

Buna göre, beklenen fırsat kaybı (EOL) ölçütüne göre en iyi yatırım alternatifi ve bu alternatifin beklenen fırsat kaybı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Metrobüs;

19

Metrobüs;

74

Tramvay;

25

Otobüs;

34

Tramvay;

68

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Metrobüs; $19$

Cevap

Beklenen fırsat kaybı ölçütüne göre en iyi alternatif Metrobüs'tür ve değeri 19 milyon TL'dir.

Metrobüs alternatifinin beklenen fırsat kaybı (EOL) hesaplandığında, düşük talep durumu için

20 \times 0,2

, orta talep için

0 \times 0,5

ve yüksek talep için

50 \times 0,3

değerlerinin toplamı olan

19

sonucuna ulaşılır. Bu değer, diğer alternatiflerin kayıplarından (34 ve 25) daha düşüktür ve en iyi tercihi temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Fırsat kaybı (pişmanlık) matrisini oluşturmak için her bir doğa durumu (sütun) için en yüksek getiriyi belirleyin.

Düşük Talep için en yüksek:

40

; Orta Talep için en yüksek:

80

; Yüksek Talep için en yüksek:

150

.

Fırsat kaybı, en iyi kararın getirisinden mevcut kararın getirisinin çıkarılmasıyla bulunur.

2

Her bir hücre için fırsat kaybı değerlerini hesaplayın.

Otobüs için: (

40-40=0

;

80-60=20

;

150-70=80

). Metrobüs için: (

40-20=20

;

80-80=0

;

150-100=50

). Tramvay için: (

40-(-10)=50

;

80-50=30

;

150-150=0

).

Pişmanlık matrisi (Regret Matrix) bu değerlerden oluşur.

3

Her alternatif için beklenen fırsat kaybını (EOL) hesaplayın.

EOL(A_1) = (0 \times 0,2) + (20 \times 0,5) + (80 \times 0,3) = 34

.

EOL(A_2) = (20 \times 0,2) + (0 \times 0,5) + (50 \times 0,3) = 19

.

EOL(A_3) = (50 \times 0,2) + (30 \times 0,5) + (0 \times 0,3) = 25

.

Beklenen değer, olasılıklar ile kayıpların çarpımlarının toplamıdır.

4

Hesaplanan EOL değerleri arasından en küçüğünü (minimum) seçin.

En küçük değer

19

olup Metrobüs (

A_2

) alternatifine aittir.

Risk altında karar vermede EOL ölçütü, beklenen kaybı minimize eden alternatifi seçer.

Anahtar Kavram

Beklenen Fırsat Kaybı (Expected Opportunity Loss - EOL)

Daha Fazla Pratik

Karar matrisinde tam bilginin beklenen değerini (EVPI) hesaplayarak sonucun doğruluğunu teyit edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Beklenen Parasal Değer (EMV) ile Tam Bilginin Beklenen Değeri (EVPI) arasındaki ilişki kullanılabilir. En yüksek EMV değeri 74'tür. EVPI hesaplanarak (40*0,2 + 80*0,5 + 150*0,3 = 93) aradaki fark (93 - 74 = 19) en iyi EOL değerine ulaşmayı sağlar.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 32Soru →

Bir kamu kurumu, iki farklı yatırım projesi (Proje A ve Proje B) arasından birini seçmek zorundadır. Gelecekteki talep durumlarına ilişkin olasılıkların bilinmediği ve istatistiksel verilerle tahmin edilemediği saptanmıştır. Projelerin farklı talep seviyelerinde sağlayacağı yıllık net getiriler (milyon TL) aşağıdaki ödeme matrisinde sunulmuştur:

Karar Alternatifi	Düşük Talep	Yüksek Talep
Proje A	60	60
Proje B	40	90

Buna göre, kötümserlik (Maximin) ölçütünü kullanan bir karar vericinin seçmesi gereken proje ve bu karar sürecinin gerçekleştiği ortam türü aşağıdakilerden hangisidir?

Proje A - Belirsizlik altında karar verme

Proje B - Belirsizlik altında karar verme

Proje A - Risk altında karar verme

Proje B - Risk altında karar verme

Proje B - Belirlilik altında karar verme

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Proje A - Belirsizlik altında karar verme

Cevap

Proje A - Belirsizlik altında karar verme

Doğru cevap olan ifade, belirsizlik ortamının tanımına uygun olarak olasılıkların bilinmediği gerçeğini yansıtmakta ve kötümser (Maximin) yaklaşıma göre en kötü sonuçlar arasından en iyisini (60) seçmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar verme ortamını belirleme

Belirsizlik Altında Karar Verme

Soruda olasılıkların bilinmediği ve tahmin edilemediği açıkça belirtilmiştir. Bu durum, belirsizlik ortamının temel özelliğidir.

2

Kötümserlik (Maximin) ölçütünü uygulama

Proje A için minimum: 60; Proje B için minimum: 40

Her alternatif için en düşük (en kötü) getiri değerleri belirlenir. Proje A her iki durumda da 60 sağlarken, Proje B'nin en kötü getirisi 40'tır.

3

Minimumlar arasından maksimumu seçme

max(60, 40) = 60

Karar verici, en kötü senaryolar arasından en iyi sonucu veren Proje A'yı tercih eder.

Anahtar Kavram

Karar Verme Ortamları ve Belirsizlik Ölçütleri

Tahmini Süre:45s

Soru 33Soru →

İki rakip teknoloji firması ( $A$ ve $B$ ), pazardaki konumlarını güçlendirmek için farklı stratejiler izlemektedir. Aşağıdaki ödeme matrisi, $A$ firmasının $A_1$ ve $A_2$ stratejilerine karşılık, $B$ firmasının $B_1, B_2$ ve $B_3$ stratejileri sonucunda $A$ firmasının elde edeceği pazar payı değişimlerini (yüzde puan) göstermektedir:

Stratejiler	$B_1$	$B_2$	$B_3$
$A_1$	12	14	11
$A_2$	9	10	8

Bu oyunun iki oyunculu sıfır toplamlı bir rekabet olduğu varsayıldığında, oyunun değeri ve eyer (saddle) noktası strateji çifti aşağıdakilerden hangisidir?

Oyunun değeri 11, eyer noktası

(A_1, B_3)

Oyunun değeri 12, eyer noktası

(A_1, B_1)

Oyunun değeri 10, eyer noktası

(A_2, B_2)

Oyunun değeri 14, eyer noktası

(A_1, B_2)

Bu oyunun saf stratejilerde bir eyer noktası bulunmamaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Oyunun değeri 11, eyer noktası $(A_1, B_3)$

Cevap

Oyunun değeri 11'dir ve eyer noktası

(A_1, B_3)

strateji çiftinde oluşmaktadır.

Satır oyuncusu

A

için satır minimumları 11 ve 8'dir; bu değerlerin en büyüğü (maximin) 11'dir. Sütun oyuncusu

B

için sütun maksimumları 12, 14 ve 11'dir; bu değerlerin en küçüğü (minimax) 11'dir. Maximin ve minimax değerleri 11'de eşitlendiği için

(A_1, B_3)

noktası eyer noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Satır minimumlarını belirle

A_1

satırı için

\min(12, 14, 11) = 11

;

A_2

satırı için

\min(9, 10, 8) = 8

.

Satır oyuncusu (A) her stratejisi için garantileyebileceği en kötü (minimum) kazancı belirlemek ister.

2

Maximin değerini bul

\max(11, 8) = 11

.

A oyuncusu, garanti altına aldığı minimum kazançlar içinden en büyüğünü seçerek riskini minimize eder.

3

Sütun maksimumlarını belirle

B_1

sütunu için

\max(12, 9) = 12

;

B_2

sütunu için

\max(14, 10) = 14

;

B_3

sütunu için

\max(11, 8) = 11

.

Sütun oyuncusu (B), rakibinin kazancını (dolayısıyla kendi kaybını) minimize etmek için her strateji karşısındaki maksimum kaybı görür.

4

Minimax değerini bul

\min(12, 14, 11) = 11

.

B oyuncusu, rakibine vereceği maksimum kazançlar içinden en küçüğünü tercih eder.

5

Eyer noktasını kontrol et

Maximin (11) = Minimax (11) olduğundan, eyer noktası vardır ve değeri 11'dir.

Maximin ve minimax değerlerinin eşitliği, her iki oyuncu için de dengeli bir çözüm olan eyer noktasının varlığını kanıtlar.

Anahtar Kavram

Eyer Noktası (Saddle Point)

Daha Fazla Pratik

Eyer noktası olmayan oyunlarda optimal karma stratejileri belirlemek için 'Baskınlık (Dominance) Prensibi'ni çalışabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 34Soru →

Bir kamu kuruluşu, yeni bir sosyal hizmet projesinin beklenen getirisini analiz etmek için karar ağacı yöntemini kullanmaktadır. Projenin 'Yüksek Talep' görme olasılığı $\%60$ olup bu durumda kurumun elde edeceği getiri $400.000$ TL, 'Düşük Talep' görme olasılığı $\%40$ olup bu durumda elde edeceği getiri $150.000$ TL olarak tahmin edilmiştir. Buna göre, bu projenin beklenen parasal değeri (BPD) kaç TL'dir?

300.000

275.000

250.000

240.000

310.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $300.000$

Cevap

Projenin beklenen parasal değeri

300.000

TL'dir.

Doğru cevap olan 300.000 değeri, yüksek talep olasılığı olan 0,60 ile bu durumdaki getiri olan 400.000'in çarpımı (240.000) ile düşük talep olasılığı olan 0,40 ile bu durumdaki getiri olan 150.000'in çarpımının (60.000) toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılıkları ve getirileri tanımla.

P_{yüksek} = 0,60

,

G_{yüksek} = 400.000

TL;

P_{düşük} = 0,40

,

G_{düşük} = 150.000

TL.

Karar ağacı analizinde her bir dalın olasılık ve çıktı değerleri belirlenmelidir.

2

Beklenen Parasal Değer (BPD) formülünü uygula.

BPD = (P_{yüksek} \times G_{yüksek}) + (P_{düşük} \times G_{düşük})

Bir şans düğümünün değeri, o düğümden çıkan dalların beklenen değerlerinin toplamına eşittir.

3

Hesaplamayı gerçekleştir.

(0,60 \times 400.000) + (0,40 \times 150.000) = 240.000 + 60.000 = 300.000

Çarpma ve toplama işlemleriyle nihai beklenen değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Karar ağaçlarında şans düğümlerinin değerini belirlemek için Beklenen Parasal Değer (BPD) kriteri kullanılır.

Tahmini Süre:45s

Soru 35Soru →

Bir kamu kurumu, yeni bir yatırım projesini değerlendirmek üzere karar ağacı analizi yapmaktadır. Yapılan teknik analizler sonucunda projenin başarılı olma olasılığı $\%60$ , başarısız olma olasılığı ise $\%40$ olarak tahmin edilmiştir. Projenin başarılı olması durumunda $200.000$ TL kar elde edileceği, başarısız olması durumunda ise $50.000$ TL zarar edileceği öngörülmektedir. Buna göre, bu yatırım projesinin beklenen parasal değeri (BPD) kaç TL'dir?

50.000

100.000

120.000

140.000

150.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100.000

Cevap

Yatırım projesinin beklenen parasal değeri 100.000 TL olarak hesaplanır.

Beklenen parasal değer hesaplanırken, projenin başarılı olma olasılığı ile elde edilecek kar çarpılır (

0,60 \times 200.000 = 120.000

) ve başarısız olma olasılığı ile edilecek zarar çarpılır (

0,40 \times -50.000 = -20.000

). Bu iki değerin toplamı (

120.000 - 20.000 = 100.000

) projenin beklenen değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılıkları ve getirileri tanımlama

P(\text{Başarı}) = 0,60

,

\text{Kar} = 200.000

TL;

P(\text{Başarısızlık}) = 0,40

,

\text{Zarar} = -50.000

TL

Beklenen değer hesabı için her bir durumun gerçekleşme olasılığı ve bu durumun parasal sonucu belirlenmelidir.

2

Beklenen Parasal Değer (BPD) formülünü uygulama

\text{BPD} = (0,60 \times 200.000) + (0,40 \times -50.000)

BPD, olası tüm sonuçların kendi olasılıkları ile çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

3

Hesaplamayı tamamlama

\text{BPD} = 120.000 - 20.000 = 100.000

TL

Bileşenlerin çarpımı ve ardından cebirsel toplamı ile nihai beklenen değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Beklenen Parasal Değer (EMV) Hesaplaması

İpuçları

1

Beklenen değer, sonuçların gerçekleşme olasılıklarıyla ağırlıklı ortalamasıdır.

2

Zarar edilen durumların değerini formüle negatif işaretle

(-)

dahil etmeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Farklı olasılıklar altında karar ağacındaki şans düğümlerinin beklenen değerlerini hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 36Soru →

İki kamu kurumu ( $A$ ve $B$ ), ortak bir hizmet bölgesinde verimliliği artırmak için ikişer farklı strateji ( $A_1, A_2$ ve $B_1, B_2$ ) geliştirmiştir. Aşağıdaki ödeme matrisi, satır oyuncusu olan $A$ kurumunun (kazanç sağlayan taraf) elde edeceği verimlilik puanlarını göstermektedir. Bu rekabetin sıfır toplamlı bir oyun olduğu bilinmektedir.

$B_1$	$B_2$
$A_1$	$40$	$60$
$A_2$	$30$	$50$

Buna göre, bu oyunun değeri ve eyer noktası (saddle point) strateji çifti aşağıdakilerden hangisidir?

Oyunun değeri

40

, eyer noktası

(A_1, B_1)

strateji çiftidir.

Oyunun değeri

30

, eyer noktası

(A_2, B_1)

strateji çiftidir.

Oyunun değeri

60

, eyer noktası

(A_1, B_2)

strateji çiftidir.

Oyunun değeri

50

, eyer noktası

(A_2, B_2)

strateji çiftidir.

Oyunun değeri

40

, eyer noktası

(B_1, A_1)

strateji çiftidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Oyunun değeri $40$ , eyer noktası $(A_1, B_1)$ strateji çiftidir.

Cevap

Oyunun değeri

40

olup, eyer noktası

(A_1, B_1)

strateji çiftinde gerçekleşmektedir.

Doğru yanıt olan seçenek, oyun teorisinin temel rasyonel davranış kuralı olan maximin ve minimax değerlerinin eşitliğini (

40 = 40

) ve bu değerin kesiştiği strateji çiftini doğru tanımlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Satır minimumlarını belirleyin.

1. satır (

A_1

) minimumu

40

, 2. satır (

A_2

) minimumu

30

.

Satır oyuncusu (A) en kötü durumdaki minimum kazancını garanti altına almak ister.

2

Maximin (alt değer) değerini bulun.

\max(40, 30) = 40

.

Oyuncu A, minimum kazançlar içinden en büyüğünü seçer.

3

Sütun maksimumlarını belirleyin.

1. sütun (

B_1

) maksimumu

40

, 2. sütun (

B_2

) maksimumu

60

.

Sütun oyuncusu (B), karşı tarafın maksimum kazancını (kendi kaybını) minimize etmek ister.

4

Minimax (üst değer) değerini bulun.

\min(40, 60) = 40

.

Oyuncu B, maksimum kayıplar içinden en küçüğünü seçer.

5

Değerleri karşılaştırarak eyer noktasını tespit edin.

\text{Maximin} = \text{Minimax} = 40

olduğu için eyer noktası

(A_1, B_1)

noktasıdır.

Alt ve üst değerler birbirine eşit olduğunda denge (eyer) noktası oluşur.

Anahtar Kavram

Eyer Noktası (Saddle Point)

Daha Fazla Pratik

Eyer noktası bulunmayan oyunlarda 'karma stratejiler' (mixed strategies) kavramını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 37Soru →

Bir karar vericinin elde edeceği parasal kazançlara ( $x$ ) yönelik fayda fonksiyonu $U(x) = 3x + 15$ olarak tanımlanmıştır. Buna göre, bu karar vericinin risk karşısındaki tutumu aşağıdakilerden hangisidir?

Risk nötrdür.

Riskten kaçınandır.

Riski sevendir.

Azalan marjinal fayda sergilemektedir.

Risk primi pozitiftir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Risk nötrdür.

Cevap

Karar vericinin fayda fonksiyonu doğrusal olduğu için risk karşısındaki tutumu risk nötrdür.

Verilen

U(x) = 3x + 15

fonksiyonu birinci dereceden bir denklem olup grafiksel olarak bir doğru belirtir. İkinci türevi sıfıra eşit (

U''(x) = 0

) olduğu için bu fonksiyon doğrusal bir fayda fonksiyonudur. Literatürde doğrusal fayda fonksiyonuna sahip karar vericilerin, kazancın beklenen parasal değeri ile bu kazancın sağladığı faydayı eşdeğer gördüğü kabul edilir; bu tutum 'risk nötr' (risk-neutral) olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1

Fayda fonksiyonunun yapısını ve türevlerini incelemek.

U(x) = 3x + 15

fonksiyonunun birinci türevi

U'(x) = 3

ve ikinci türevi

U''(x) = 0

olarak bulunur.

Fonksiyonun ikinci türevinin işareti, marjinal faydanın değişimini ve dolayısıyla risk tutumunu belirler.

2

İkinci türeve göre risk tutumunu sınıflandırmak.

U''(x) = 0

olduğu için fonksiyon doğrusaldır ve marjinal fayda sabittir.

Fayda teorisine göre, ikinci türevi sıfır olan (doğrusal) fayda fonksiyonları risk nötr (risk-neutral) davranışın göstergesidir.

3

Sonucu beklenen değerlerle ilişkilendirmek.

Risk nötr bir birey için beklenen fayda, beklenen parasal değerin faydasına eşittir (

E[U(x)] = U(E[x])

).

Bu eşitlik sadece doğrusal fonksiyonlarda sağlandığı için birey risk karşısında kayıtsızdır.

Anahtar Kavram

Doğrusal fayda fonksiyonları (

U(x) = ax + b

) her zaman risk nötr bir tutumu ifade eder ve risk primi sıfırdır.

Tahmini Süre:45s

Soru 38Soru →

Bir yerel yönetim, yeni inşa edilecek bir otopark projesi için üç farklı kapasite alternatifi ( $A_1, A_2, A_3$ ) ve bu tesisin karşılaşabileceği üç farklı talep durumu ( $S_1$ : Düşük, $S_2$ : Orta, $S_3$ : Yüksek) belirlemiştir. Alternatiflerin farklı talep durumları altındaki getirileri (bin TL) ve talep durumlarının gerçekleşme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Alternatifler	$S_1$ ( $0,20$ )	$S_2$ ( $0,50$ )	$S_3$ ( $0,30$ )
$A_1$	$50$	$50$	$50$
$A_2$	$30$	$70$	$70$
$A_3$	$10$	$50$	$90$

Buna göre, risk altında karar verme tekniklerinden biri olan Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) ölçütüne göre $A_2$ alternatifinin değeri kaç bin TL'dir?

10

20

28

40

62

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$

Cevap

Hesaplanan beklenen fırsat kaybı değeri

10

bin TL'dir.

Doğru yanıt olan değer,

A_2

alternatifi için hesaplanan pişmanlık değerlerinin (

20, 0, 20

) sırasıyla

0,20

,

0,50

ve

0,30

olasılıkları ile çarpılıp toplanması sonucu elde edilen

10

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir doğa durumu (sütun) için en yüksek getiri değerlerini belirleyin.

S_1

için

max=50

;

S_2

için

max=70

;

S_3

için

max=90

.

Fırsat kaybı (pişmanlık), o durumdaki en iyi kararın getirisinden seçilen kararın getirisinin çıkarılmasıyla bulunur.

2

A_2

alternatifi için her bir durumdaki pişmanlık (fırsat kaybı) değerlerini hesaplayın.

S_1: 50 - 30 = 20

;

S_2: 70 - 70 = 0

;

S_3: 90 - 70 = 20

.

Belirli bir durum için fırsat kaybı

=

(Sütun Maksimumu)

-

(İlgili Alternatifin Getirisi).

3

Hesaplanan pişmanlık değerlerini ilgili durumların olasılıkları ile çarparak toplayın (Beklenen Fırsat Kaybı).

EOL(A_2) = (20 \times 0,20) + (0 \times 0,50) + (20 \times 0,30) = 4 + 0 + 6 = 10

.

Risk altında karar vermede her sonucun olasılığı ağırlıklandırma faktörü olarak kullanılır.

Anahtar Kavram

Beklenen Fırsat Kaybı (EOL), bir karar alternatifinin her bir doğa durumu için hesaplanan pişmanlık değerlerinin olasılıklı ortalamasıdır.

Soru 39Soru →

Bir karar vericinin parasal kazançlara ( $x$ ) yönelik fayda fonksiyonu $U(x) = 4\sqrt{x}$ olarak tanımlanmıştır. Bu karar vericiye, aşağıdaki tabloda olasılıkları ve kazanç miktarları belirtilen bir piyango seçeneği sunulmaktadır:

Kazanç Miktarı ( $x$ )	Olasılık ( $P$ )
$25$ TL	$0,50$
$81$ TL	$0,50$

Buna göre, bu piyango seçeneğinin beklenen faydası ( $E[U]$ ) kaçtır?

28

29,12

53

56

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Piyangonun beklenen faydası 28 olarak hesaplanır.

Beklenen fayda, piyangonun her bir olası sonucuna ait fayda değerlerinin gerçekleşme olasılıkları ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

25

TL kazancın faydası

20

,

81

TL kazancın faydası ise

36

birimdir. Her iki durumun olasılığı da

0,50

olduğundan,

(0,5 \times 20) + (0,5 \times 36) = 28

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir kazanç miktarı için fayda değerlerini hesaplayın.

U(25) = 4\sqrt{25} = 4 \times 5 = 20

ve

U(81) = 4\sqrt{81} = 4 \times 9 = 36

Beklenen fayda formülünde kullanılacak

U(x_i)

değerlerini bulmak için fayda fonksiyonu uygulanır.

2

Hesaplanan fayda değerlerini ilgili olasılıklarla çarpıp toplayın.

E[U] = (0,50 \times 20) + (0,50 \times 36) = 10 + 18 = 28

Beklenen fayda, fayda değerlerinin olasılık ağırlıklı ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Beklenen Fayda (Expected Utility)

Daha Fazla Pratik

Farklı olasılıklar veya risk seven bir bireyi temsil eden konveks (

U(x) = x^2

gibi) bir fonksiyon ile benzer bir hesaplama yapmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Olasılıklar eşit (

0,50

) olduğu için, beklenen fayda doğrudan hesaplanan iki fayda değerinin aritmetik ortalamasına eşittir:

(20 + 36) / 2 = 28

.

Tahmini Süre:45s

Soru 40Soru →

Bir perakende mağazası işletmecisi, stoklayacağı ürün miktarı için üç farklı kapasite alternatifi ( $A_1, A_2, A_3$ ) belirlemiştir. Gelecekteki talep durumlarına ( $S_1, S_2, S_3$ ) bağlı olarak beklenen kâr matrisi ( $TL$ ) ve her bir durumun gerçekleşme olasılıkları aşağıda verilmiştir:

Alternatif	$S_1$ ( $0,30$ )	$S_2$ ( $0,40$ )	$S_3$ ( $0,30$ )
$A_1$	$40$	$40$	$40$
$A_2$	$20$	$80$	$80$
$A_3$	$0$	$60$	$120$

Buna göre, beklenen değer (EMV) kriterine göre en iyi karar ve bu kararın beklenen kâr değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A_2

alternatifi;

62

A_1

alternatifi;

40

A_3

alternatifi;

60

A_2

alternatifi;

18

A_3

alternatifi;

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A_2$ alternatifi; $62$

Cevap

En iyi karar

A_2

alternatifidir ve beklenen kâr değeri

62

TL

olarak hesaplanmıştır.

Her bir karar alternatifinin beklenen değeri, ilgili durumların kâr değerleri ile bu durumların gerçekleşme olasılıklarının çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. A2 alternatifi için bu hesaplama (20 * 0,3) + (80 * 0,4) + (80 * 0,3) = 62 sonucunu verir ve bu değer diğer alternatiflerden (A1 = 40 ve A3 = 60) daha yüksek olduğu için en iyi karardır.

Adım Adım Çözüm

1

A_1

alternatifi için Beklenen Değeri (EMV) hesapla.

EMV(A_1) = (40 \times 0,3) + (40 \times 0,4) + (40 \times 0,3) = 12 + 16 + 12 = 40

Alternatifin beklenen değeri, her bir durumdaki getirinin o durumun olasılığı ile çarpımlarının toplamıdır.

2

A_2

alternatifi için Beklenen Değeri (EMV) hesapla.

EMV(A_2) = (20 \times 0,3) + (80 \times 0,4) + (80 \times 0,3) = 6 + 32 + 24 = 62

Sırasıyla düşük, orta ve yüksek talep olasılıkları ile ilgili kâr değerleri çarpılarak toplanır.

3

A_3

alternatifi için Beklenen Değeri (EMV) hesapla.

EMV(A_3) = (0 \times 0,3) + (60 \times 0,4) + (120 \times 0,3) = 0 + 24 + 36 = 60

Tüm alternatiflerin beklenen değerleri karşılaştırılmak üzere hesaplanır.

4

Hesaplanan beklenen değerleri karşılaştır ve en büyüğünü seç.

62 > 60 > 40

olduğu için en iyi karar

A_2

alternatifidir.

Risk altında karar verme sürecinde kâr odaklı bakıldığında, beklenen değeri en yüksek olan alternatif tercih edilir.

Anahtar Kavram

Risk Altında Karar Verme (Beklenen Değer)

Alternatif Yöntem

Aynı karar Beklenen Fırsat Kaybı (EOL) matrisi üzerinden de doğrulanabilir. En küçük beklenen fırsat kaybını veren alternatif (A2 için 18), aynı zamanda en yüksek beklenen değeri veren alternatiftir.

Tahmini Süre:1m 30s

Karar ve Oyun Teorisi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap