Tüm alıştırma soruları

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonunun türevi,

x \in \mathbb{R} \setminus \{2, 4\}

için

f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3) (x-4)}{(x-2) (x-4)^2}

olarak verilmiştir.
Buna göre,

f

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

3

5

7

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 9'dur.

Fonksiyon gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu için türevinin işaret değiştirdiği her noktada yerel ekstremum vardır. Türev fonksiyonunun sadeleşmiş hali olan

f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3)}{(x-2)(x-4)}

ifadesinin işaret tablosu yapıldığında

x = 2

,

x = 3

ve

x = 4

noktalarında işaret değişimi olduğu görülür. Dolayısıyla bu üç nokta yerel ekstremum noktasıdır ve apsisleri toplamı

2 + 3 + 4 = 9

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Türev fonksiyonunun kritik noktalarını belirleme.

Kritik noktalar

x = 1

,

x = 2

,

x = 3

ve

x = 4

olarak bulunur.

Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevinin işaret değiştirdiği noktalarda oluşabileceğinden, önce türevi sıfır yapan veya tanımsız yapan değerler tespit edilir.

2

Türev fonksiyonunun sadeleşmiş halini ve işaret durumunu analiz etme.

x \neq 4

i��in türev ifadesi

f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3)}{(x-2)(x-4)}

halini alır.

Sadeleştirme işlemi, işaret tablosunun daha rahat incelenmesini sağlar. Ancak paydada sadeleşen terimin çift/tek katlılık durumuna göre etkisi unutulmamalıdır.

3

Türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturma.

Türevin işaret tablosuna göre;

(-\infty, 1)

aralığında negatif,

(1, 2)

aralığında negatif (işaret değişmedi),

(2, 3)

aralığında pozitif (işaret değişti),

(3, 4)

aralığında negatif (işaret değişti),

(4, \infty)

aralığında pozitif (işaret değişti) olur.

Türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek yerel ekstremum noktalarını bulmak için gereklidir.

4

Süreklilik şartı altında yerel ekstremum noktalarını belirleyip apsisleri toplama.

Türevin işaret değiştirdiği

x = 2

,

x = 3

ve

x = 4

noktaları yerel ekstremum noktalarıdır. Toplamları

2 + 3 + 4 = 9

olur.

f

fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan, türevinin tanımlı olmadığı

x=2

ve

x=4

noktalarında da türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremumdur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun sürekli olduğu noktalarda türevinin işaret değiştirmesi, o noktanın yerel ekstremum noktası olması için yeterlidir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2102Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2$ parabolü üzerinde bulunan ve $A\left(8, \frac{5}{2}\right)$ noktasına en yakın olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabol üzerinde verilen noktaya en yakın olan noktanın koordinatları toplamı 6'dır.

Parabol üzerindeki genel bir

P(x, x^2)

noktasının

A(8, 5/2)

noktasına olan uzaklığının karesi

f(x) = (x-8)^2 + (x^2-5/2)^2

fonksiyonudur. Bu fonksiyonun türevi olan

f'(x) = 4x^3 - 8x - 16

ifadesini sıfır yapan tek gerçel sayı

x=2

değeridir. Bu apsis değeri parabol denkleminde yerine yazıldığında en yakın nokta

P(2, 4)

olarak elde edilir. Koordinatları toplamı ise

2+4=6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol üzerindeki genel bir noktayı temsil eden koordinatları belirleyin.

P(x, x^2)

noktası parabol üzerindeki herhangi bir noktayı temsil eder.

y = x^2

parabolü üzerindeki tüm noktaların ordinatı, apsisinin karesine eşittir.

2

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak

P(x, x^2)

ile

A\left(8, \frac{5}{2}\right)

noktaları arasındaki uzaklığın karesini veren fonksiyonu yazın.

f(x) = (x - 8)^2 + \left(x^2 - \frac{5}{2}\right)^2

fonksiyonu elde edilir. Bu ifade açılıp düzenlendiğinde

f(x) = x^4 - 4x^2 - 16x + \frac{281}{4}

halini alır.

Uzaklığı minimum yapan

x

değeri ile uzaklığın karesini minimum yapan

x

değeri aynıdır. Kareköklü ifadeyle uğraşmamak için uzaklığın karesi fonksiyon olarak seçilmiştir.

3

Elde edilen fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirlemek üzere sıfıra eşitleyin.

f'(x) = 4x^3 - 8x - 16 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklem ortak çarpan parantezine alınarak

4(x^3 - 2x - 4) = 0

şeklinde yazılabilir.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.

4

x^3 - 2x - 4 = 0

denkleminin gerçel köklerini bulun.

x = 2

değeri denklemi sağlar (

2^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0

). Polinom b��lmesi yapıldığında denklem

(x - 2)(x^2 + 2x + 2) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

x^2 + 2x + 2 = 0

çarpanının diskriminantı

\Delta = 2^2 - 4(1)(2) = -4 < 0

olduğundan buradan gerçel kök gelmez. Dolayısıyla tek kritik nokta

x = 2

'dir.

Türev fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktalar incelenerek en yakın noktanın apsisi belirlenir.

5

Bulunan apsis değerini parabol denkleminde yerine yazıp koordinatları ve koordinatların toplamını bulun.

x = 2

için parabol üzerindeki en yakın nokta

P(2, 2^2) = P(2, 4)

olur. Bu noktanın koordinatları toplamı

2 + 4 = 6

olarak bulunur.

Soru kökünde en yakın noktanın koordinatlarının toplamı sorulmaktad��r.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığın optimizasyonu.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın

P(x, x^2)

noktasından parabole çizilen teğet doğrusu,

PA

doğru parçasına dik olmak zorundadır.

P(x, x^2)

noktasındaki teğetin eğimi türev yardımıyla

m_t = 2x

bulunur. Bu noktadaki normalin eğimi ise

m_n = -\frac{1}{2x}

olur.

P

ve

A(8, 2.5)

noktalarından geçen doğrunun eğimi ise

\frac{x^2 - 2.5}{x - 8}

'dir. İki doğrunun diklik şartından:

\frac{x^2 - 2.5}{x - 8} = -\frac{1}{2x} \Rightarrow 2x^3 - 5x = -x + 8 \Rightarrow 2x^3 - 4x - 8 = 0 \Rightarrow x^3 - 2x - 4 = 0

denklemi elde edilir. Buradan tek gerçel kök

x=2

olarak bulunur. Dolayısıyla aranan nokta

P(2, 4)

olup koordinatları toplamı 6'dır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2103Soru →

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f

fonksiyonu

f(x) = 4\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)

kuralı ile verilmiştir.
Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{6} + 3h\right) - f\left(\frac{\pi}{6} - h\right)}{2h}

limitinin değeri kaçtır?

-4

2

4

8

-2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4

Verilen limit ifadesi düzenlendiğinde

2f'\left(\frac{\pi}{6}\right)

değerine karşılık gelir. Fonksiyonun indirgenmiş hali

f(x) = -4\cos(x)

olup türevi

f'(x) = 4\sin(x)

şeklindedir.

x = \frac{\pi}{6}

için türev değeri 2 olduğundan limitin sonucu

2 \times 2 = 4

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunu trigonometrik indirgeme kuralları ile sadeleştirin.

f(x) = 4\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -4\cos(x)

\frac{3\pi}{2}

açısına göre indirgeme yapıldığında sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür ve üçüncü bölgede sinüs negatif olduğu için önüne eksi işareti gelir.

2

f(x)

fonksiyonunun türevini al��n.

f'(x) = -4(-\sin(x)) = 4\sin(x)

Kosinüs fonksiyonunun türevi

-\sin(x)

olduğundan zincir kuralı gereği eksi işaretleri birbirini artı yapar.

3

x = \frac{\pi}{6}

noktasındaki türev değerini hesaplayın.

f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 \times \frac{1}{2} = 2

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

değeri türev fonksiyonunda yerine yazılır.

4

Verilen limit ifadesini türevin limit tanımı cinsinden düzenleyin.

\lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{6} + 3h\right) - f\left(\frac{\pi}{6} - h\right)}{2h} = 2f'\left(\frac{\pi}{6}\right)

Pay kısmındaki terimlerin türev katsayıları

3 - (-1) = 4

olup paydadaki 2 ile bölündüğünde

2f'\left(\frac{\pi}{6}\right)

ifadesine eşit olur.

5

Bulunan türev değerini limit ifadesinde yerine yazarak sonucu bulun.

2 \times 2 = 4

Daha önce hesaplanan

f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2

değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve trigonometrik fonksiyonların indirgeme özellikleri ile türev hesabı

Soru 2104Soru →

Her

x

gerçel sayısı için türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları,

\int \left( f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \right) dx = 2x^2 + 3x + C

f(x) - g(x) = x

eşitliklerini sağlamaktadır.

$f(1) = 3$ olduğuna göre, $g(2)$ değeri kaçtır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 değeridir.

Çarpımın türevi kuralı kullanılarak belirsiz integralden

f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + C_0

ifadesi elde edilir.

x = 1

için sınır koşulları (

f(1) = 3

ve

g(1) = 2

) yerine yazıldığında integral sabiti

C_0 = 1

olarak bulunur. Sonrasında

x = 2

için oluşturulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, fonksiyonların sürekliliği göz önüne alınarak

g(2) = 3

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen belirsiz integralin sol tarafındaki ifadeyi çarpımın türevi kuralı yardımıyla sadeleştirmek.

\int (f(x) \cdot g(x))' \, dx = 2x^2 + 3x + C

ifadesinden

f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + C_0

elde edilir (burada

C_0

bir integral sabitidir).

İntegral altındaki

f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

ifadesi,

f(x) \cdot g(x)

çarpımının türevidir.

2

f(1) = 3

bilgisini ve

f(x) - g(x) = x

eşitliğini kullanarak

g(1)

değerini bulmak.

x = 1

için

f(1) - g(1) = 1 \implies 3 - g(1) = 1 \implies g(1) = 2

bulunur.

C_0

sabitini belirlemek amacıyla öncelikle

g(1)

değerinin bulunması gerekir.

3

f(1) = 3

ve

g(1) = 2

değerlerini çarpım denkleminde yerine yazarak

C_0

sabitini hesaplamak.

f(1) \cdot g(1) = 2(1)^2 + 3(1) + C_0 \implies 3 \cdot 2 = 5 + C_0 \implies C_0 = 1

bulunur. Böylece her

x

gerçel sayısı için

f(x) \cdot g(x) = 2x^2 + 3x + 1

fonksiyon ilişkisi kurulmuş olur.

İntegral sabitinin net değerini bulmak, fonksiyonun diğer noktalardaki değerlerini doğru hesaplayabilmek için şarttır.

4

x = 2

için

f(2) \cdot g(2)

değerini hesaplamak ve

f(x) - g(x) = x

eşitliğini

x = 2

için yazmak.

f(2) \cdot g(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 15

f(2) - g(2) = 2 \implies f(2) = g(2) + 2

elde edilir.

g(2)

değerine ulaşmak için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur.

5

f(2)

değerini çarpım denkleminde yerine yazarak

g(2)

değerine bağlı ikinci dereceden denklemi çözmek.

(g(2) + 2) \cdot g(2) = 15 \implies [g(2)]^2 + 2g(2) - 15 = 0 \implies (g(2) + 5)(g(2) - 3) = 0

Buradan

g(2) = 3

veya

g(2) = -5

bulunur.

g(2)

değerinin alabileceği olası kökleri belirlemek.

6

f

ve

g

fonksiyonlarının gerçel sayılarda türevlenebilir (dolayısıyla sürekli) olmasını kullanarak doğru kökü seçmek.

g(x) = \frac{-x + |3x+2|}{2} = x + 1

(çünkü

g(1) = 2 > 0

olup fonksiyonun işareti

x > -2/3

için pozitiftir). Dolayısıyla

g(2) = 2 + 1 = 3

olmalıdır.

Fonksiyonun süreklilik koşulu altında tek bir tanımlı dalı olabileceğinden negatif kök elenir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevle ilişkisi, çarpımın türevi integrali ve sınır koşulları yardımıyla fonksiyon tayini.

Soru 2105Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int (2x + 1) \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(1) = \frac{3}{2}$ olduğuna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

3

4

5

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

f(2) = 5

Verilen integral eşitliğinin her iki yanının türevi alındığında

(2x + 1) f'(x) = (2x+1)(3x-1)

elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında

f'(x) = 3x - 1

olur. Bu ifadenin integrali alındığında

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + C_1

bulunur.

f(1) = \frac{3}{2}

koşulu kullanılarak

C_1 = 1

olarak elde edilir. Buradan fonksiyon

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1

bulunur ve

f(2) = 5

değeri hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

(2x + 1) \cdot f'(x) = 6x^2 + x - 1

Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.

2

Türev alma sonucu oluşan

6x^2 + x - 1

ifadesi çarpanlarına ayrılır.

(2x + 1) \cdot f'(x) = (2x + 1)(3x - 1)

Eşitliğin her iki tarafındaki ortak çarpanları sadeleştirmek için sağ taraf çarpanlarına ayrılmalıdır.

3

Her iki taraf

2x + 1

ile sadeleştirilerek

f'(x)

fonksiyonu yalnız bırakılır.

f'(x) = 3x - 1

f(x) fonksiyonunu bulmak için öncelikle türev fonksiyonu olan f'(x) elde edilmelidir.

4

Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integrali alınarak f(x) fonksiyonu bulunur.

f(x) = \int (3x - 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} - x + C_1

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulanır ve integral sabiti eklenir.

5

Verilen

f(1) = \frac{3}{2}

başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti

C_1

hesaplanır.

f(1) = \frac{3(1)^2}{2} - 1 + C_1 = \frac{3}{2} \implies C_1 = 1

Fonksiyonun tam kuralını bulabilmek için belirsiz integralden gelen sabit sayı belirlenmelidir.

6

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1

fonksiyonunda

x = 2

yazılarak istenen değer hesaplanır.

f(2) = \frac{3(2)^2}{2} - 2 + 1 = 6 - 2 + 1 = 5

Soruda bizden istenen f(2) değerini elde etmek için fonksiyonda x yerine 2 yazılır.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral ve integral alma kuralları kullanılarak kendisinin elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.

Soru 2106Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = 2x$ doğrusu ile $y = x^2$ parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{2}{3}

\frac{20}{3}

\frac{4}{3}

\frac{16}{3}

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{3}$

Cevap

Sın��rlı bölgenin alanı

\frac{4}{3}

birimkaredir.

Kesişim noktaları

x = 0

ve

x = 2

olarak bulunan

y = 2x

doğrusu ile

y = x^2

parabolü arasında kalan alan, üstte yer alan doğrudan alttaki parabolün çıkarılmasıyla oluşturulan

\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx

belirli integrali ile hesaplanır ve bu integralin değeri

\frac{4}{3}

birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru ile parabolün kesim noktalarını bulmak için fonksiyon denklemlerini birbirine eşitleriz.

x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0

denkleminden kesim noktalarının apsisleri

x_1 = 0

ve

x_2 = 2

olarak bulunur.

İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği noktaları bulmamız gerekir.

2

Belirlenen sınırlar arasında üstte kalan eğriden altta kalan eğriyi çıkararak alan integralini kurarız.

[0, 2]

aralığında

y = 2x

doğrusu

y = x^2

parabolünün üstünde yer aldığından, alan

A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx

integrali ile ifade edilir.

İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen belirli integral ile hesaplanır.

3

Belirli integrali hesaplarız.

A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

birimkare bulunur.

İntegral alma kuralları ve belirli integral tanımı uygulanarak alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2107Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar kümesi olan bir $f$ fonksiyonunun her $x_0$ gerçel sayısı için limiti mevcut ve $\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)|$ eşitliği sağlandığına göre, $f$ fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda sürekli olduğu önermesi doğru bir önerme midir?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır (False). Bir fonksiyonun mutlak değerinin limitinin o noktadaki görüntünün mutlak değerine eşit olmas�� ve fonksiyonun limitinin var olması, fonksiyonun kendisinin sürekli olduğunu garanti etmez; çünkü limit değeri ile fonksiyonun o noktadaki değeri zıt işaretli olabilir.

Verilen önerme yanlıştır. Çünkü bir fonksiyonun limitinin bulunması ve mutlak değerinin limitinin görüntüsünün mutlak değerine eşit olması, o noktada limitin görüntünün kendisine eşit olmasını garanti etmez. Limit değeri görüntünün zıt işaretlisine eşit olduğunda (

L = -f(x_0) \neq 0

) fonksiyon süreksiz olur.

Adım Adım Çözüm

1

Süreklilik tanımını gözden geçirme ve verilen koşulları analiz etme

Bir

f

fonksiyonunun

x_0

noktasında sürekli olması için

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

olmalıdır. Bize verilenler ise

\lim_{x \to x_0} f(x) = L

limitinin varlığı ve

\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)|

koşuludur.

Verilen koşulların süreklilik tanımıyla doğrudan uyuşup uyuşmadığını anlamak için.

2

Limit kurallarını mutlak değer fonksiyonuna uygulama

Eğer

\lim_{x \to x_0} f(x) = L

ise, mutlak değer fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı

\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |L|

olur. Bize verilen diğer eşitlikle birleştirirsek

|L| = |f(x_0)|

elde edilir.

Limit değerinin mutlak değeri ile fonksiyonun o noktadaki değerinin mutlak değerinin ilişkisini kurmak için.

3

Mutlak değer eşitliğini çözme ve olası durumları inceleme

|L| = |f(x_0)|

eşitliğinden

L = f(x_0)

veya

L = -f(x_0)

elde edilir. Eğer

L = -f(x_0)

ve

f(x_0) \neq 0

ise,

\lim_{x \to x_0} f(x) = -f(x_0) \neq f(x_0)

olacağından fonksiyon sürekli olmaz.

İfadenin her durumda doğru olup olmadığını belirlemek için karşıt bir durum aramaktır.

4

Karşıt örnek (aksine örnek) oluşturma

f(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 0 \\ -1, & x = 0 \end{cases}

fonksiyonunu tanımlayalım. Bu fonksiyon için

x_0 = 0

noktasında limit

\lim_{x \to 0} f(x) = 1

olur ve mevcuttur.

\lim_{x \to 0} |f(x)| = 1

ve

|f(0)| = |-1| = 1

eşitliği sağlanır. Ancak

\lim_{x \to 0} f(x) = 1 \neq f(0) = -1

olduğundan fonksiyon

x=0

'da süreksizdir. Dolayısıyla önerme yanlıştır.

İddia edilen genel önermeyi çürüten somut bir örnek sunmak için.

Anahtar Kavram

Süreklilik tanımı, limit varlığı ve mutlak değer ilişkisi

Soru 2108Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı;

[1, 5]

kapalı aralığında sürekli, türevlenebilir ve azalan bir

f

fonksiyonu için

[1, 5]

aralığı

n

adet eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye ait Riemann alt toplamı

L_n

ve Riemann üst toplamı

U_n

olmak üzere, her

n

pozitif tam sayısı için

U_n - L_n = \frac{12}{n}

eşitliği sağlanmaktadır.

$[1, 5]$ aralığı $2$ eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann üst toplamı $U_2 = 24$ olduğuna göre,
I. $\int_1^5 f(x) \, dx > 18$
II. $f(3) < 6$
III. $f(5) > 3$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III

Sürekli ve azalan bir fonksiyonun belirli integral değeri, aynı aralıktaki Riemann alt toplamından daima büyüktür. Riemann üst toplamı

U_2 = 24

ve iki toplam arasındaki fark

U_2 - L_2 = 6

olduğundan Riemann alt toplamı

L_2 = 18

olarak elde edilir. Bu nedenle belirli integral değeri 18'den büyüktür. Ayrıca fonksiyonun azalanlık koşulu olan

f(1) > f(3) > f(5)

eşitsizliği ve verilen denklemler çözüldüğünde

f(3) < 6

ve

f(5) > 3

sınırları kesin olarak elde edilir. Bu sebeple her üç ifadenin de doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Riemann üst ve alt toplamları arasındaki fark formülünü yazarak fonksiyon değerleri arasındaki ilişkiyi bulunuz.

f(1) - f(5) = 3

Azalan bir fonksiyon için

U_n - L_n = \frac{b-a}{n}(f(a) - f(b))

eşitliği geçerlidir. Burada

b-a = 5-1=4

olduğundan,

U_n - L_n = \frac{4}{n}(f(1) - f(5)) = \frac{12}{n} \implies f(1) - f(5) = 3

elde edilir.

2

n=2

için Riemann üst toplamı formülünü kullanarak

f(1) + f(3)

değerini hesaplayınız.

f(1) + f(3) = 12

[1, 5]

aralığı 2 eş alt aralığa bölündüğünde alt aralıklar

[1, 3]

ve

[3, 5]

olur. Aralık genişliği

\Delta x = 2

birimdir. Azalan bir fonksiyon için Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak hesaplanır:

U_2 = 2 \cdot (f(1) + f(3)) = 24 \implies f(1) + f(3) = 12

bulunur.

3

f

fonksiyonunun azalanlık özelliğini kullanarak fonksiyon değerleri için eşitsizlik sistemini kurup çözünüz.

6 < f(1) < 7.5

,

4.5 < f(3) < 6

ve

3 < f(5) < 4.5

Fonksiyon azalan olduğundan

f(1) > f(3) > f(5)

olmalıdır.

f(3) = 12 - f(1)

ve

f(5) = f(1) - 3

ifadelerini bu eşitsizlikte yerine yazarsak:
1)

f(1) > 12 - f(1) \implies 2f(1) > 12 \implies f(1) > 6

elde edilir.
2)

12 - f(1) > f(1) - 3 \implies 15 > 2f(1) \implies f(1) < 7.5

elde edilir.
Buradan

6 < f(1) < 7.5

aralığı bulunur. Bu aralık kullanılarak

f(3) = 12 - f(1) \implies 4.5 < f(3) < 6

ve

f(5) = f(1) - 3 \implies 3 < f(5) < 4.5

elde edilir. Dolayısıyla II. ve III. öncüller her zaman doğrudur.

4

Riemann alt toplamı

L_2

değerini bulup integral değeri ile karşılaştırınız.

L_2 = 18

ve

\int_1^5 f(x) \, dx > 18

U_2 - L_2 = 6

ve

U_2 = 24

olduğundan

L_2 = 18

olur. Sürekli ve azalan bir fonksiyon için belirli integral, Riemann alt toplamından daima büyüktür. Bu durumda

\int_1^5 f(x) \, dx > 18

ifadesi (I. öncül) her zaman doğrudur.

Anahtar Kavram

Riemann alt/üst toplamları ile belirli integral ve fonksiyonun monotonluğu (artanlık/azalanlık) arasındaki ilişkiler

Soru 2109Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanıml�� $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & x < 1 \\ x^2 - 6x + 15, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?

7

11

13

17

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Yerel ekstremum değerlerinin toplamı 17'dir.

Yerel ekstremum değerleri, fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarındaki görüntüleridir. Fonksiyonun yerel minimumları

x = -2

(

f(-2) = 1

) ve

x = 3

(

f(3) = 6

) noktalarında; yerel maksimumu ise türevinin olmadığı fakat sürekli olup artanlıktan azalanlığa geçtiği

x = 1

(

f(1) = 10

) noktasındadır. Bu değerlerin toplamı

1 + 10 + 6 = 17

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dalların türevlerini alarak kritik noktaları belirleme

x < 1

için

f'(x) = 2x + 4

ve

x > 1

için

f'(x) = 2x - 6

bulunur. Buradan türevi sıfır yapan aday noktalar

x = -2

ve

x = 3

olarak elde edilir.

Fonksiyonun türevlenebildiği aralıklardaki yerel ekstremum adaylarını bulmak amacıyla türevin kökleri hesaplanır.

2

Kritik noktaların aralıklara uygunluğunu kontrol etme

x = -2

değeri

x < 1

şartını,

x = 3

değeri ise

x > 1

şartını sağladığı için her ikisi de geçerli kritik noktalardır.

Her bir türev kuralının geçerli olduğu tanım aralığına uygun noktaları belirlemek gerekir.

3

Sınır noktası olan

x = 1

noktasında süreklilik ve artanlık-azalanlık incelemesi

\lim_{x \to 1^-} f(x) = 10

,

\lim_{x \to 1^+} f(x) = 10

ve

f(1) = 10

olduğundan fonksiyon

x = 1

noktasında süreklidir.

x \in (-2, 1)

aralığında

f'(x) > 0

(artan) ve

x \in (1, 3)

aralığında

f'(x) < 0

(azalan) olduğundan

x = 1

noktası yerel maksimum noktasıdır.

Fonksiyonun türevinin olmadığı veya kural değiştirdiği noktalarda da yerel ekstremum bulunabileceğini incelemek ve süreklilik şartını doğrulamak gerekir.

4

Ekstremum değerlerini bulma ve toplama

f(-2) = 1

(yerel minimum),

f(1) = 10

(yerel maksimum) ve

f(3) = 6

(yerel minimum) değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı

1 + 10 + 6 = 17

olur.

Soruda istenen yerel ekstremum değerlerinin toplamını hesaplamak için bu ordinat değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevinin sıfır olması şart değildir; fonksiyon sürekli olduğu bir noktada artanlıktan azalanlığa (veya tersi) geçiş yapıyorsa o nokta bir yerel ekstremum noktasıdır.

Soru 2110Soru →

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos(2x)}{1 - \tan(x)}

limitinin değeri kaçtır?

-\sqrt{2}

-1

\frac{1}{2}

1

\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

Doğru yanıt olan seçenek limit değerini

1

olarak belirtmektedir.

Limit ifadesinde yer alan belirsizliği gidermek üzere pay kısmındaki

\cos(2x)

terimi yarım açı formülüyle

(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))

olarak, paydadaki

1 - \tan(x)

terimi ise

\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}

olarak yazılır. İfadeler sadeleştirildiğinde limit

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos(x)(\cos(x) + \sin(x))

şekline dönüşür. Bu ifadede

x = \frac{\pi}{4}

değeri yerine yazıldığında sonuç

1

çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Belirsizlik kontrolünü yapalım.

x \to \frac{\pi}{4}

için hem pay

\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 0

hem de payda

1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0

değerini alır. Dolayısıyla

\frac{0}{0}

belirsizliği vardır.

Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik durumunu tespit etmek gerekir.

2

Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirmek amacıyla trigonometrik özdeşlikleri kullanarak açalım.

Pay kısmındaki

\cos(2x)

ifadesi iki kare farkı biçiminde

\cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))

olarak yazılır. Paydadaki

\tan(x)

ise

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

biçimine dönüştürülerek payda eşitlenir ve

1 - \tan(x) = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}

elde edilir.

Belirsizliği ortadan kaldırmak için ortak çarpanları bulup sadeleştirmek gerekir.

3

Elde edilen ifadeleri oranlayıp sadeleştirelim.

\frac{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))}{\frac{\cos(x) - \sin(x)}{\cos(x)}} = \cos(x)(\cos(x) + \sin(x))

Ortak olan

\cos(x) - \sin(x)

terimleri sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirilir.

4

Sadeleşmiş ifadede

x = \frac{\pi}{4}

değerini yerine yazarak limit değerini bulalım.

\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos(x)(\cos(x) + \sin(x)) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 1

Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limitlerde yarım açı ve temel özdeşlikler yardımıyla 0/0 belirsizliğinin giderilmesi.

Soru 2111Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonu, $x \neq 2$ için

f(x) = \int \frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} \, dx

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(2) = 10$ olduğuna göre, $f(1)$ değeri kaçtır?

1

2

3

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 değeridir.

Verilen rasyonel ifade sadeleştirilip integral kuralları uygulandığında

f(x) = x^3 + C

elde edilir. Süreklilik gereği

f(2) = 10

olduğundan

C = 2

bulunur. Buradan

f(x) = x^3 + 2

kuralına ulaşılır ve

f(1) = 3

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İntegralin içindeki rasyonel ifadeyi sadeleştirelim.

x \neq 2

için

\frac{3x^3 - 6x^2}{x - 2} = \frac{3x^2(x - 2)}{x - 2} = 3x^2

elde edilir.

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla cebirsel sadeleştirme yapılır.

2

Sadeleşen ifadenin belirsiz integralini alalım.

f(x) = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C

bulunur.

Belirsiz integral alma kuralları uygulanır.

3

f(2) = 10

sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (

C

) hesaplayalım.

f(2) = 2^3 + C = 10 \Rightarrow 8 + C = 10 \Rightarrow C = 2

bulunur.

Sürekli bir fonksiyonun verilen noktadaki değeri kullanılarak bilinmeyen integral sabiti belirlenir.

4

Fonksiyon denkleminde

x = 1

yazarak istenen değeri bulalım.

f(1) = 1^3 + 2 = 3

elde edilir.

Fonksiyonun kuralı tam olarak belirlendikten sonra istenen noktadaki değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve temel belirsiz integral alma kuralları.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2112Soru →

Bir dik koordinat düzleminde, $y = x^2$ parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1/4; -0,25; -0.25

Cevap

Parabol üzerindeki koordinatların toplamının en küçük değeri

-1/4

olur.

Parabol üzerindeki noktalar

P(x, x^2)

biçimindedir. Bu noktanın koordinatları toplamı

f(x) = x^2 + x

fonksiyonunu tanımlar. Bu fonksiyonun türevi

f'(x) = 2x + 1

olup, türevin sıfır olduğu

x = -1/2

değerinde fonksiyon en küçük değerine ulaşır. En küçük değer ise

f(-1/2) = -1/4

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol üzerindeki herhangi bir noktayı değişken cinsinden ifade edin.

y = x^2

olduğundan, parabol üzerindeki bir nokta

P(x, x^2)

şeklinde yazılır.

Nokta parabol üzerinde bulunduğundan ordinat değeri apsisin karesine eşittir.

2

Koordinatlar toplamını veren fonksiyonu tanımlayın.

f(x) = x^2 + x

P(x, x^2)

noktasının koordinatları toplamı

x + y = x + x^2

ifadesine karşılık gelir.

3

Tanımlanan fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek en küçük değeri veren

x

değerini bulun.

f'(x) = 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}

Bir fonksiyonun yerel ekstremum değerleri, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda oluşur.

4

Bulunan

x

değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük değeri hesaplayın.

f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}

Kritik noktadaki fonksiyon değeri, koordinatlar toplamının alabileceği en küçük değeri verir.

Anahtar Kavram

Bir parabol üzerindeki değişken bir noktanın koordinat ilişkisi kurulduktan sonra toplamı veren fonksiyonun türevi yardımıyla minimum değeri hesaplanır.

Soru 2113Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

fonksiyonunun

[0, 3]

kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu kapalı aralık,

3

eş alt aralığa bölünerek bir

P

bölüntüsü oluşturuluyor.

Buna göre,
I.

f

fonksiyonunun

P

bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı

2

'dir.
II.

f

fonksiyonunun

P

bölüntüsüne göre Riemann üst toplamı

10

'dur.
III.

\int_0^3 f(x) \, dx

belirli integralinin değeri,

P

bölüntüsüne göre Riemann orta toplamından büyüktür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III (yani tüm ifadeler doğrudur)

Verilen üç öncül de doğru hesaplanmıştır. Riemann alt toplamı

2

, Riemann üst toplamı

10

ve belirli integralin değeri (

5{}25

), Riemann orta toplamından (

4{}875

) büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alarak artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyelim.

f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)

elde edilir. İşaret tablosuna göre,

x \in [0, 2]

aralığında

f'(x) \le 0

olduğundan fonksiyon azalandır.

x \in [2, 3]

aralığında ise

f'(x) \ge 0

olduğundan fonksiyon artandır.

Riemann alt ve üst toplamlarında hangi noktada en küçük veya en büyük değerin alınacağın�� bulmak için fonksiyonun artan/azalanlık analizi gereklidir.

2

[0, 3]

aralığını

3

eş alt aralığa bölerek her aralık için sınır değerlerini yazalım.

Alt aralıklar

[0, 1]

,

[1, 2]

ve

[2, 3]

olup her birinin genişliği

\Delta x = 1

'dir.

[0, 1]

ve

[1, 2]

aralıklarında fonksiyon azalan;

[2, 3]

aralığında ise artandır.

Bölüntünün alt aralıklarını belirlemek, Riemann toplamı hesaplamalarının temel adımıdır.

3

Riemann alt ve üst toplamlarını hesaplayalım.

Riemann alt toplamı için aralıklardaki en küçük değerler:

[0, 1]

aralığında

f(1) = 2

,

[1, 2]

aralığında

f(2) = 0

,

[2, 3]

aralığında

f(2) = 0

'dır. Alt toplam:

A = (2 + 0 + 0) \cdot 1 = 2

. Riemann üst toplamı için aralıklardaki en büyük değerler:

[0, 1]

aralığında

f(0) = 4

,

[1, 2]

aralığında

f(1) = 2

,

[2, 3]

aralığında

f(3) = 4

'tür. Üst toplam:

U = (4 + 2 + 4) \cdot 1 = 10

. Bu durumda I ve II. öncüller doğrudur.

Riemann alt ve üst toplam tanımlarını kullanarak öncüllerin doğruluğunu test ederiz.

4

Belirli integral ile Riemann orta toplamını hesaplayıp karşılaştıralım.

Belirli integral değeri:

\int_0^3 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 4x \right]_0^3 = 5{}25

bulunur. Riemann orta toplamı için orta noktalar

0{}5

,

1{}5

ve

2{}5

alınır. Orta toplam:

O = f(0{}5) \cdot 1 + f(1{}5) \cdot 1 + f(2{}5) \cdot 1 = 3{}375 + 0{}625 + 0{}875 = 4{}875

olur.

5{}25 > 4{}875

olduğundan integral değeri orta toplamdan büyüktür. Dolayısıyla III. öncül de doğrudur.

Belirli integralin değeri ile Riemann orta toplamının sayısal değerlerini karşılaştırarak son öncülün doğruluğunu kontrol ederiz.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Alternatif Yöntem

Riemann orta toplamı hesaplanırken her aralıktaki orta noktaların görüntüleri tek tek hesaplanıp toplanır. Parabolik ve kübik fonksiyonların simetri özellikleri veya integral alan yaklaşımları kullanılarak da kabaca bir kıyaslama yapılabilir ancak kesin sonuç için sayısal hesaplama tercih edilmelidir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2114Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun $x = x_0$ noktasında sürekli olduğu bilinmektedir. Buna göre, $g(x) = (x - x_0) \cdot f(x)$ biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun $x = x_0$ noktasında her zaman türevlenebilir olduğu ifadesi doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Türevin limit tanımına göre limit alındığında

(x - x_0)

terimleri sadeleşir ve geriye yalnızca

\lim_{x \to x_0} f(x)

kalır.

f

fonksiyonu

x = x_0

noktasında sürekli olduğundan bu limit değeri mevcut ve

f(x_0)

gerçel sayısına eşittir. Bu nedenle

g

fonksiyonu bu noktada her zaman türevlenebilirdir.

Adım Adım Çözüm

1

g

fonksiyonunun

x = x_0

noktasındaki değerini hesaplayın.

g(x_0) = (x_0 - x_0) \cdot f(x_0) = 0 \cdot f(x_0) = 0

Türevin limit tanımını yazabilmek için fonksiyonun o noktadaki görüntüsünü bilmemiz gerekir.

2

g

fonksiyonunun

x = x_0

noktasındaki türevlenebilirliğini incelemek amacıyla türevin limit tanımını oluşturun.

g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)f(x) - 0}{x - x_0}

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması, limit türev tanımının mevcudiyetiyle belirlenir.

3

Elde edilen limit ifadesinde gerekli sadeleştirmeleri yapın ve süreklilik şartını uygulayın.

\lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)f(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

x \neq x_0

koşulu altında pay ve paydadaki

(x - x_0)

terimleri sadeleşir.

f

fonksiyonu

x = x_0

noktasında sürekli olarak verildiğinden, limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine (

f(x_0)

) eşit olur. Bu limit gerçel bir sayı belirttiğinden

g

fonksiyonu

x = x_0

noktasında türevlenebilirdir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve süreklilik ile türevlenebilme arasındaki ilişki.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2115Soru →

y

değişkeni

t

değişkenine,

t

değişkeni ise

x

bağımsız değişkenine bağlı olarak

y = t^2 - t

t = x^2 - 3x

eşitlikleriyle tanımlanmaktadır.

Buna göre, $x = 4$ için $\frac{dy}{dx}$ türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

35

Zincir kuralına göre

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

eşitliği geçerlidir.

x = 4

için

t = 4

olur.

\frac{dy}{dt} = 2t - 1

türevinde

t = 4

yazıldığında

7

elde edilir.

\frac{dt}{dx} = 2x - 3

türevinde

x = 4

yazıldığında

5

elde edilir. Bu iki değer çarpıldığında

7 \cdot 5 = 35

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Zincir kuralı bağıntısını kurma

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

y

değişkeni

t

'ye,

t

ise

x

'e bağlı olduğundan

y

'nin

x

'e göre türevi zincir kuralı ile hesaplanır.

2

x = 4

için

t

değerini belirleme

t = 4

\frac{dy}{dt}

türevinde

t

yerine yazılacak değeri bulmak gerekir.

3

\frac{dy}{dt}

türevini bulup

t = 4

değerini yerine yazma

\frac{dy}{dt}\Big|_{t=4} = 7

y = t^2 - t

fonksiyonunun türevi alınıp noktadaki değeri hesaplanır.

4

\frac{dt}{dx}

türevini bulup

x = 4

değerini yerine yazma

\frac{dt}{dx}\Big|_{x=4} = 5

t = x^2 - 3x

fonksiyonunun türevi alınıp noktadaki değeri hesaplanır.

5

Türev değerlerini çarparak sonucu bulma

35

Zincir kuralı gereği elde edilen türev değerleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonun türevini hesaplama.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

t = x^2 - 3x

ifadesi

y = t^2 - t

denkleminde yerine yazılarak

y

doğrudan

x

cinsinden ifade edilebilir:

y = (x^2 - 3x)^2 - (x^2 - 3x)

. Ardından bu ifadenin

x

'e göre türevi alınır:

\frac{dy}{dx} = 2(x^2 - 3x)(2x - 3) - (2x - 3)

.

x = 4

yazıldığında,

2(16 - 12)(8 - 3) - (8 - 3) = 2(4)(5) - 5 = 40 - 5 = 35

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2116Soru →

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

x > 0

olmak üzere,

\int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx = x^2 - 3x + C

eşitliği verilmektedir.

f(1) = 4

olduğuna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

-8

0

8

16

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16 değeri doğrudur.

Bölümün türevi kuralı hatırlandığında integralin içindeki ifadenin

\frac{f(x)}{x^2}

fonksiyonunun türevi olduğu fark edilir. İntegral alındığında elde edilen

\frac{f(x)}{x^2} = x^2 - 3x + K

eşitliğinde

f(1) = 4

başlangıç koşulu yerine yazılırsa integral sabiti

K = 6

olarak bulunur. Buradan

f(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2

fonksiyonuna ulaşılır ve bu fonksiyonda

x = 2

yazıldığında doğru değer olan

16

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İntegralin içindeki ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu bölüm kuralı yardımıyla belirleme.

\left( \frac{f(x)}{x^2} \right)' = \frac{f'(x) \cdot x^2 - 2x \cdot f(x)}{x^4} = \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3}

olduğu görülür.

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla integrali alınan ifadenin bilinen bir türev kalıbı olup olmadığını incelemek gerekir.

2

Elde edilen türev ilişkisini integral eşitliğinde yerine yazarak her iki tarafın integralini alma.

\frac{f(x)}{x^2} = x^2 - 3x + K

(burada

K

gerçel sayı olan bir integral sabitidir) bağıntısı elde edilir.

Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyonun kendisini (bir sabit farkıyla) bulma işlemidir.

3

f(1) = 4

bilgisini kullanarak

K

integral sabitini bulma.

\frac{f(1)}{1^2} = 1^2 - 3(1) + K \implies 4 = -2 + K \implies K = 6

Buradan fonksiyon

f(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2

olarak elde edilir.

Özel bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla genel integral ailesinden spesifik fonksiyonumuza ait sabit değer tespit edilir.

4

Bulunan

f(x)

fonksiyonunda

x = 2

yazarak sonucu hesaplama.

f(2) = 2^4 - 3(2^3) + 6(2^2) = 16 - 24 + 24 = 16

bulunur.

Soruda bizden istenen

f(2)

değerine ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Bölüm türevi kalıbını fark ederek belirsiz integral alma kuralları yardımıyla fonksiyonu inşa etme.

Soru 2117Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - ax^2 + 4x

eğrisinin

x = 1

apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile

g(x) = x^2 - bx + c

parabolünün

x = 2

apsisli noktasındaki normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

a + b + c toplamının değeri 17'dir.

Verilen f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusu ile g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun çakışık (aynı doğru) olması, bu iki doğrunun eğimlerinin eşit olmasını ve her iki noktanın da bu doğru üzerinde bulunmasını gerektirir. Buradan elde edilen denklemler çözüldüğünde a = 3, b = 5 ve c = 9 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin toplamı ise 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğimini ve denklemini a cinsinden bulma.

f'(1) = 7 - 2a (eğim) ve teğet noktası P(1, 5-a). Teğet doğrusu: y - (5-a) = (7-2a)(x-1)

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

2

g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimini b cinsinden ve normal noktasını b ile c cinsinden bulma.

g'(2) = 4 - b (teğet eğimi), normal doğrusunun eğimi m_N = -1/(4-b) ve normal noktası Q(2, 4-2b+c).

Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.

3

Doğruların çakışık olması şartını kullanarak a, b ve c bilinmeyenlerini çözme.

Eğimlerin eşitliğinden 7 - 2a = -1/(4-b) elde edilir. Ortak eğimin 1 olması durumunda a = 3, b = 5 bulunur. Ortak doğru denklemi y = x + 1 olur. Q(2, g(2)) noktası bu doğru üzerinde olduğundan g(2) = 3 olmalıdır. Buradan c = 9 bulunur.

Çakışık doğruların eğimleri ve geçtikleri noktalar aynı olmalıdır.

4

a, b ve c değerlerinin toplamını hesaplama.

a + b + c = 3 + 5 + 9 = 17

Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının denklemleri ile bu doğruların eğimleri arasındaki ilişki (m_teget * m_normal = -1).

Soru 2118Soru →

$[0, 4]$ kapalı aralığında tanımlı $f(x) = 12 - x^2$ fonksiyonunun bu aralıkta $2$ eş alt aralığa göre hesaplanan Riemann alt toplamı $8$ 'dir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Riemann alt toplamı

8

olarak hesaplanır.

Fonksiyon

[0, 4]

aralığında sürekli azalan olduğundan, her alt aralıktaki en küçük değerler sağ uç noktalarda gerçekleşir.

[0, 2]

aralığı için en küçük değer

f(2) = 8

,

[2, 4]

aralığı için en küçük değer

f(4) = -4

olup Riemann alt toplamı

2 \cdot (8 + (-4)) = 8

bulunur. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Aralık genişliğini (

\Delta x

) ve alt aralıkları belirleme

\Delta x = \frac{4 - 0}{2} = 2

olup alt aralıklar

[0, 2]

ve

[2, 4]

şeklinde elde edilir.

Riemann toplamı hesaplanırken aralığın kaç eş parçaya bölündüğü ve her bir parçanın genişliği temel alınır.

2

Fonksiyonun artan/azalan olma durumunu inceleme

f'(x) = -2x

olup,

x \in [0, 4]

için

f'(x) \le 0

olduğundan fonksiyon azalandır. En küçük değerler alt aralıkların sağ uçlarında (

x = 2

ve

x = 4

) oluşur.

Riemann alt toplamında, fonksiyonun her bir alt aralıktaki minimum değerleri yükseklik olarak seçilmelidir.

3

Belirlenen noktalardaki değerleri hesaplama ve alt toplamı bulma

f(2) = 12 - 2^2 = 8

ve

f(4) = 12 - 4^2 = -4

bulunur. Buradan Riemann alt toplamı

L = 2 \cdot (f(2) + f(4)) = 2 \cdot (8 - 4) = 8

elde edilir.

Her bir alt aralığın genişliği ile o aralıktaki minimum fonksiyon değerinin çarpımlarının toplamı Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun ilgili aralıktaki monotonluk (artan/azalan) durumuna göre alt aralıklardaki minimum değerlerin belirlenmesi gerekir.

Soru 2119Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(x) = \int (3x^2 - 2ax + 5) \, dx

eşitliği verilmektedir.

f(1) = 4

ve

f(2) = 7

olduğuna göre,

a

değeri kaçtır?

2

3

6

-3

\frac{4}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3 olan seçenektir.

Verilen belirsiz integralin kurallara göre integrali alındığında fonksiyon

f(x) = x^3 - ax^2 + 5x + C

biçiminde elde edilir.

f(1) = 4

koşulundan

C - a = -2

ve

f(2) = 7

koşulundan

C - 4a = -11

denklemlerine ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

a = 3

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel kuralını integral sabiti ile birlikte yazmak.

f(x) = x^3 - ax^2 + 5x + C

Belirsiz integral kurallarına göre

\int 3x^2 \, dx = x^3

,

\int -2ax \, dx = -ax^2

ve

\int 5 \, dx = 5x

olarak integral dışına çıkar ve ifadeye bir

C

integral sabiti eklenir.

2

f(1) = 4

sınır koşulunu kullanarak integral sabiti ile bilinmeyen parametre arasındaki ilk ilişkiyi bulmak.

C = a - 2

Fonksiyonda

x = 1

yazıldığında

1^3 - a(1)^2 + 5(1) + C = 4 \implies 6 - a + C = 4

elde edilir ve bu eşitlikten

C

yalnız bırakılır.

3

f(2) = 7

sınır koşulunu kullanarak ikinci denklemi kurmak ve elde edilen denklem sistemini çözmek.

a = 3

ve

C = 1

Fonksiyonda

x = 2

yaz��ldığında

2^3 - a(2)^2 + 5(2) + C = 7 \implies 18 - 4a + C = 7 \implies C - 4a = -11

elde edilir.

C = a - 2

ifadesi bu denklemde yerine yazıldığında

(a - 2) - 4a = -11 \implies -3a = -9 \implies a = 3

bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral kuralları ve integral sabitinin sınır koşullarıyla belirlenmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2120Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için,

\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 4

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{3} f(x+2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

4

6

8

9

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegralin değeri 9 olarak bulunur.

İntegralde

u = x+2

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

du = dx

olur. Sınırlar ise

x=1

için

u=3

ve

x=3

için

u=5

olarak güncellenir. Böylece integral

\int_{3}^{5} f(u) \, du

haline gelir ve bu değer soruda 9 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x+2

ve

du = dx

olarak belirlenir.

İntegralin içindeki

f(x+2)

ifadesini sadeleştirmek ve bilinen integral değerleriyle ilişkilendirmek için.

2

Değişken değiştirmeye uygun olarak belirli integralin sınırları güncellenir.

x = 1

için

u = 1+2 = 3

ve

x = 3

için

u = 3+2 = 5

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre hesaplanması gerektiği için.

3

Yeni sınırlar ve değişken integralde yerine yazılarak sonuç bulunur.

\int_{1}^{3} f(x+2) \, dx = \int_{3}^{5} f(u) \, du = 9

Soruda verilen

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9

bilgisi kullanılarak belirli integralin değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi özellikleri.

Tahmini Süre:45s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar