Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2081Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=−x2+18x+20f(x) = -x^2 + 18x + 20
fonksiyonunun [2,8][2, 8] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu kapalı aralık nn adet eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonunun bu bölüntüye ait Riemann üst toplamı UnU_n ve Riemann alt toplamı LnL_n hesaplanıyor.
Buna göre,
Un−Ln<3U_n - L_n < 3
eşitsizliğini sağlayan en küçük nn doğal sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 97

Cevap

97
Fonksiyonun tepe noktası apsisi 99 olduğundan, [2,8][2, 8] kapalı aralığında fonksiyon sürekli ve artandır. Artan bir fonksiyonun nn eş alt aralığa göre Riemann üst ve alt toplamlarının farkı Un−Ln=b−an(f(b)−f(a))U_n - L_n = \frac{b-a}{n}(f(b) - f(a)) formülü ile hesaplanır. Buradan 6n(100−52)=288n<3\frac{6}{n}(100 - 52) = \frac{288}{n} < 3 eşitsizliği elde edilir ve n>96n > 96 koşulundan en küçük doğal sayı değeri 97 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parabolün tepe noktasını bulup [2,8][2, 8] aralığındaki artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.
f(x)=−x2+18x+20f(x) = -x^2 + 18x + 20 fonksiyonunun tepe noktası apsisi r=−182(−1)=9r = -\frac{18}{2(-1)} = 9 olarak bulunur. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan, fonksiyon (−∞,9](-\infty, 9] aralığında artandır. Bu nedenle, [2,8][2, 8] aralığında da sürekli ve kesin artandır.
Riemann alt ve üst toplamlarının hangi uç değerlerde hesaplanacağını belirlemek için fonksiyonun bu aralıkta artan mı azalan mı olduğunu saptamak gerekir.
2
Riemann üst toplamı (UnU_n) ile Riemann alt toplamı (LnL_n) arasındaki farkı veren genel formülü oluşturun.
ff fonksiyonu [2,8][2, 8] aralığında artan olduğundan, her bir eş alt aralıkta Riemann üst toplamı için aralığın sağ ucu, alt toplam�� için ise sol ucu kullanılır. Alt aralık genişliği Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n} olmak üzere, üst toplam ile alt toplam arasındaki fark: Un−Ln=Δx⋅(f(8)−f(2))U_n - L_n = \Delta x \cdot (f(8) - f(2)) olarak elde edilir.
Ardışık alt aralıkların uç noktalarındaki fonksiyon değerleri Riemann toplamlarının farkında birbirini sadeleştirir (teleskopik toplam) ve geriye sadece sınır değerleri kalır.
3
f(8)f(8) ve f(2)f(2) değerlerini hesaplayıp fark formülünde yerine koyun.
f(8)=−82+18(8)+20=−64+144+20=100f(8) = -8^2 + 18(8) + 20 = -64 + 144 + 20 = 100
f(2)=−22+18(2)+20=−4+36+20=52f(2) = -2^2 + 18(2) + 20 = -4 + 36 + 20 = 52
Fark: f(8)−f(2)=48f(8) - f(2) = 48
Buradan: Un−Ln=6n⋅48=288nU_n - L_n = \frac{6}{n} \cdot 48 = \frac{288}{n} bulunur.
Eşitsizliği çözebilmek için Riemann toplamların��n farkını nn cinsinden sayısal bir ifadeye dönüştürmek gerekir.
4
288n<3\frac{288}{n} < 3 eşitsizliğini çözerek en küçük nn doğal sayısını bulun.
288n<3  ⟹  288<3n  ⟹  n>96\frac{288}{n} < 3 \implies 288 < 3n \implies n > 96
nn bir doğal sayı olduğundan, bu eşitsizliği sağlayan en küçük değer n=97n = 97 olarak bulunur.
İstenen eşitsizlik koşulunu sağlayan en küçük tam sayı (doğal sayı) sınır değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2082Soru →
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−3)(x−a)2(x−b)f'(x) = (x-3)(x-a)^2(x-b)
olarak veriliyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı NN olduğuna göre,

I. a=3a = 3 ve b≠3b \neq 3 ise N=2N = 2 dir.
II. N=0N = 0 ise b=3b = 3 tür.
III. N=2N = 2 ise a≠ba \neq b dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Verilen türev fonksiyonunda birinci ve ikinci öncüller matematiksel olarak kesinlikle doğrudur. Birinci öncüldeki durumda türevin kökleri tek kuvvetli olduğundan işaret değiştirir. İkinci öncülde ise ekstremum bulunmama durumu sadece tüm köklerin çift katlı olmasıyla mümkündür, bu da ancak ikinci parametrenin üçe eşit olmasıyla sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin köklerini ve katlılık durumlarını analiz etmek.
Türevin kökleri 33, aa ve bb'dir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmezken, tek katlı (veya tek kuvvetli) köklerde türevin işareti değişir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin işaret değiştirdiği noktalardır.
2
Birinci öncülü değerlendirmek.
a=3a = 3 ve b≠3b \neq 3 durumunda f′(x)=(x−3)3(x−b)f'(x) = (x-3)^3(x-b) elde edilir. Kökler 33 (üç katlı) ve bb (tek katlı) olup her ikisi de tek katlı kök gibi davranarak türevin işaretini değiştirir. Bu durumda iki ekstremum noktası vardır (N=2N = 2).
Tek kuvvetli kökler işaret değişimine neden olur.
3
İkinci öncülü değerlendirmek.
b≠3b \neq 3 olduğunda aa'nın değeri ne olursa olsun (a=3a = 3, a=ba = b veya hepsi farklı) türevin en az bir tek katlı kökü bulunur ve işaret değişimi gerçekleşir. Dolayısıyla N=0N = 0 olması ancak b=3b = 3 iken türevin f′(x)=(x−3)2(x−a)2≥0f'(x) = (x-3)^2(x-a)^2 \geq 0 biçiminde olmasıyla mümkündür.
Hiç ekstremum noktasının olmaması için türev fonksiyonunun işaret değiştirmemesi gerekir.
4
Üçüncü öncülü değerlendirmek.
a=b≠3a = b \neq 3 seçildiğinde (örneğin a=b=1a = b = 1), türev f′(x)=(x−3)(x−1)3f'(x) = (x-3)(x-1)^3 olur. Burada 33 (tek katlı) ve 11 (üç katlı) noktalarında işaret değişimi olur ve N=2N = 2 sağlanır, ancak a=ba = b'dir.
Aksi bir örnek göstererek öncülün her zaman doğru olmadığını kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Türevin işaret değiştirdiği noktaların yerel ekstremum noktaları olması ve çift katlı köklerde ekstremum noktası oluşmaması.
Soru 2083Soru →

Gerçel sayılar kümesinin x=−1x = -1 dışındaki tüm noktalarında türevlenebilir ff fonksiyonu,

f(x)=x2−f′(2)⋅x−42x+1f(x) = \frac{x^2 - f'(2) \cdot x - 42}{x + 1}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bölümün türevi kuralı uygulanarak fonksiyonun türevi alınır, f′(2)f'(2) sabiti bulunur ve ardından f′(1)=10f'(1) = 10 olarak hesaplanır.
Türev kuralı gereğince f′(2)=5f'(2) = 5 sabiti bulunur. Bu değer yerine yazıldığında elde edilen türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında sonuç 10 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev ifadesindeki f′(2)f'(2) değerini sabit bir sayı olarak belirlemek üzere f′(2)=kf'(2) = k dönüşümü yapılır.
f(x)=x2−kx−42x+1f(x) = \frac{x^2 - kx - 42}{x + 1} fonksiyonu elde edilir.
Türev alma işlemi sırasında bilinmeyen türev değerini bir sabit parametre gibi yönetebilmek için.
2
Elde edilen fonksiyonun türevini almak için bölümün türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=(2x−k)(x+1)−(x2−kx−42)⋅1(x+1)2=x2+2x−k+42(x+1)2f'(x) = \frac{(2x - k)(x + 1) - (x^2 - kx - 42) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - k + 42}{(x + 1)^2} türev fonksiyonu bulunur.
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevini hesaplamak için.
3
f′(2)=kf'(2) = k eşitliğini kurmak amacıyla türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılır.
k=22+2(2)−k+42(2+1)2  ⟹  k=50−k9  ⟹  10k=50  ⟹  k=5k = \frac{2^2 + 2(2) - k + 42}{(2 + 1)^2} \implies k = \frac{50 - k}{9} \implies 10k = 50 \implies k = 5 değeri bulunur.
Türev fonksiyonundaki bilinmeyen kk sabitinin değerini bulmak için.
4
Bulunan k=5k = 5 değeri türev fonksiyonunda yerine yazılarak f′(1)f'(1) değeri hesaplanır.
f′(x)=x2+2x+37(x+1)2f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 37}{(x + 1)^2} fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=12+2(1)+37(1+1)2=404=10f'(1) = \frac{1^2 + 2(1) + 37}{(1 + 1)^2} = \frac{40}{4} = 10 elde edilir.
Bizden istenen f′(1)f'(1) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve türev değerinin parametre olarak kullanıldığı fonksiyonların çözümü.
Soru 2084Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→3x2+ax−12x2−5x+6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax - 12}{x^2 - 5x + 6}
limiti bir gerçel sayıya eşittir.

Buna göre, bu limitin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Limit değeri 7 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 7 değeri, limitin var olması için gereken a=1a=1 parametresi bulunduktan sonra limit ifadesindeki belirsizliğin (x−3)(x-3) çarpanlarının sadeleştirilmesiyle giderilmesi ve kalan ifadede x=3x=3 yazılıp hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın x=3x = 3 için sıfır olduğunu belirlemek ve limitin gerçel sayı olması için payın da sıfır olması gerektiğini saptamak.
Payda olan x2−5x+6x^2-5x+6 ifadesinde x=3x=3 yazıldığında 32−5(3)+6=9−15+6=03^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 olur. Limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için pay kısmının da x=3x=3 için sıfır olması gerekir: 32+3a−12=03^2 + 3a - 12 = 0.
Eğer pay sıfır olmasaydı, limit gerçel bir sayı yerine tanıms��z (sonsuz) olurdu.
2
aa parametresini hesaplamak.
9+3a−12=0⇒3a−3=0⇒a=19 + 3a - 12 = 0 \Rightarrow 3a - 3 = 0 \Rightarrow a = 1 bulunur.
Limit ifadesindeki payı tam olarak belirleyip çarpanlarına ayırabilmek için aa değerine ihtiyaç duyulmaktadır.
3
a=1a = 1 değerini yerine yazarak pay ve paydayı çarpanlarına ayırmak ve belirsizliği gidermek.
Limit ifadesi lim⁡x→3x2+x−12x2−5x+6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 5x + 6} haline gelir. Payı (x−3)(x+4)(x-3)(x+4) ve paydayı (x−3)(x−2)(x-3)(x-2) şeklinde çarpanlarına ayırırız. Buradan limit: lim⁡x→3(x−3)(x+4)(x−3)(x−2)=lim⁡x→3x+4x−2\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)}{(x-3)(x-2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+4}{x-2} olur.
0/00/0 belirsizliğine neden olan ortak (x−3)(x-3) çarpanını sadeleştirmek için.
4
Sadeleştirilmiş ifadede x=3x=3 değerini yerine yazarak limit değerini bulmak.
3+43−2=71=7\frac{3+4}{3-2} = \frac{7}{1} = 7 elde edilir.
Belirsizlik ortadan kalktığı için doğrudan yerine koyma yöntemi uygulanabilir.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/00/0 belirsizliği durumunda, belirsizliğe neden olan çarpanlar sadeleştirilerek limit hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2085Soru →

f:[1,4]→Rf: [1, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonu veriliyor. [1,4][1, 4] kapalı aralığı 33 eşit alt aralığa bölünerek elde edilen bölüntüye göre, ff fonksiyonunun bu aralıktaki Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Riemann alt toplamı 7'dir.
Verilen fonksiyon [1,2][1, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aralığında ise artandır. Bu nedenle [1,2][1, 2] alt aralığında minimum değer f(2)=2f(2) = 2, [2,3][2, 3] alt aralığında minimum değer f(2)=2f(2) = 2 ve [3,4][3, 4] alt aralığında minimum değer f(3)=3f(3) = 3 olur. Genişlik olan 1 ile bu değerler çarpılıp toplandığında Riemann alt toplamı 1⋅2+1⋅2+1⋅3=71 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini bulma
Δx=1\Delta x = 1
[1,4][1, 4] aralığının 3 eşit parçaya bölünmesi nedeniyle aralık uzunluğu olan 3 değeri 3'e bölünür.
2
Her alt aralıktaki minimum değerleri belirleme
[1,2][1, 2] aralığı için minimum değer 2, [2,3][2, 3] aralığı için minimum değer 2, [3,4][3, 4] aralığı için minimum değer 3'tür.
Fonksiyonun tepe noktası x=2x=2 olduğundan, bu noktada en küçük değerini alır. Parabolün tepe noktasının solunda azalan, sağında artan olması incelenir.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
7
Her bir alt aralık için elde edilen minimum değerler alt aralık genişliği olan 1 ile çarpılıp toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, tanım aralığının alt aralıklarında sürekli fonksiyonun aldığı mutlak minimum değerler ile alt aralık genişlikleri çarpılır ve bu değerler toplanır.
Soru 2086Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x3−3(a−1)x2+3(a2−3a+2)x+5f(x) = x^3 - 3(a-1)x^2 + 3(a^2 - 3a + 2)x + 5
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı, apsisleri çarpımına eşittir.
Buna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının varlığı için türevin diskriminant��nın pozitif olması (a>1a > 1) gerekir. Apsislerin toplamı ile çarpımının eşitliğinden elde edilen a2−5a+4=0a^2 - 5a + 4 = 0 denkleminin köklerinden bu şartı sağlayan değer 4'tür.
Doğru seçenekteki değer olan 4, türevin sıfıra eşitlendiği denklemin iki farklı reel kökü olmasını (a>1a > 1 şartını) sağlar ve ekstremum noktalarının apsisleri toplamı ile çarpımını birbirine eşitler.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleyen denklemi elde etmek.
f′(x)=3x2−6(a−1)x+3(a2−3a+2)=0f'(x) = 3x^2 - 6(a-1)x + 3(a^2 - 3a + 2) = 0 denklemi, yani sadeleştirildiğinde x2−2(a−1)x+(a2−3a+2)=0x^2 - 2(a-1)x + (a^2 - 3a + 2) = 0 denklemi bulunur.
Bir polinom fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türevinin işaret değiştirdiği (tek katlı kökleri olan) noktalardır.
2
Ekstremum noktalarının var olabilmesi için türev denkleminin iki farklı reel kökünün olması gerektiğini belirlemek.
Δ>0  ⟹  [−2(a−1)]2−4(a2−3a+2)>0  ⟹  4(a−1)>0  ⟹  a>1\Delta > 0 \implies [-2(a-1)]^2 - 4(a^2 - 3a + 2) > 0 \implies 4(a-1) > 0 \implies a > 1 şartı elde edilir.
Eğer Δ≤0\Delta \le 0 ise türev fonksiyonu işaret değiştirmez, dolayısıyla yerel ekstremum noktası oluşmaz.
3
Kökler toplamı ve k��kler çarpımı formüllerini kullanarak aa parametresine bağlı denklemi kurmak.
Kökler toplamı x1+x2=2(a−1)x_1 + x_2 = 2(a-1), kökler çarpımı x1⋅x2=a2−3a+2x_1 \cdot x_2 = a^2 - 3a + 2 olarak bulunur. Soruda verilen eşitlikten 2(a−1)=a2−3a+2  ⟹  a2−5a+4=02(a-1) = a^2 - 3a + 2 \implies a^2 - 5a + 4 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden bir denklemin kökler toplamı −b/a-b/a ve kökler çarpımı c/ac/a formülleriyle hesaplanır.
4
Elde edilen denklemi çözüp a>1a > 1 şartını sağlayan değeri seçmek.
a2−5a+4=0  ⟹  (a−1)(a−4)=0  ⟹  a=1a^2 - 5a + 4 = 0 \implies (a-1)(a-4) = 0 \implies a = 1 veya a=4a = 4 bulunur. a>1a > 1 olması gerektiğinden a=4a = 4 olarak belirlenir.
a=1a = 1 değeri için Δ=0\Delta = 0 olup fonksiyonun yerel ekstremum noktası bulunmadığından bu değer elenir.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarda yerel ekstremum noktalarının varlığı ve türevin kökleri ile ilişkisi.
Soru 2087Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+5x+cf(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + c
fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet doğruları arasında eğimi en küçük olan doğrunun denklemi y=2x−3y = 2x - 3 olarak veriliyor.

Buna göre, cc gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İstenen c gerçel sayısı -4 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 olarak elde edilir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası apsisi olan x=1x = 1 noktasında gerçekleşir. Teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) olup, bu nokta aynı zamanda y=2x−3y = 2x - 3 teğet doğrusu üzerinde bulunduğundan ordinatı y=2(1)−3=−1y = 2(1) - 3 = -1 olur. Grafiğin de bu noktadan geçmesi gerektiğinden f(1)=−1f(1) = -1 eşitliği kurulur ve 3+c=−13 + c = -1 den c=−4c = -4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir xx noktasındaki teğetinin eğimini veren fonksiyonu bulun.
f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
2
Teğet eğiminin en küçük olduğu noktayı bulmak için f′(x)f'(x) parabolünün tepe noktasını hesaplayın.
r=−−62⋅3=1r = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1
f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiğinden, en küçük değerini tepe noktasında (x=rx = r) alır.
3
Eğimi en küçük olan teğet doğrusunun değme noktasının apsisi x=1x = 1 olduğuna göre, bu noktadaki teğet eğimini bulun.
m=f′(1)=3(1)2−6(1)+5=2m = f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 2
Bu eğim değeri, verilen y=2x−3y = 2x - 3 teğet doğrusunun eğimiyle (yani 2 ile) de uyuşmaktadır.
4
Değme noktasının yy koordinatını bulmak için x=1x = 1 değerini teğet doğrusunun denkleminde yerine yazın.
y=2(1)−3=−1y = 2(1) - 3 = -1
Teğet doğrusu ile eğri, değme noktasında çakışırlar; bu nedenle değme noktası olan (1,−1)(1, -1) her iki denklemi de sağlar.
5
(1,−1)(1, -1) noktası f(x)f(x) eğrisi üzerinde olduğundan, bu noktayı fonksiyon denkleminde yerine yazarak cc değerini çözün.
f(1)=−1  ⟹  13−3(1)2+5(1)+c=−1  ⟹  3+c=−1  ⟹  c=−4f(1) = -1 \implies 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) + c = -1 \implies 3 + c = -1 \implies c = -4
Fonksiyonun kuralını sağlayan değme noktası yardımıyla bilinmeyen cc sabiti bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim fonksiyonunun minimum değeri parabolün tepe noktası yardımıyla bulunur.
Soru 2088Soru →

Grafikte [0,6][0, 6] kapalı aralığında tanımlı f(x)=x+2f(x) = x + 2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre, [0,6][0, 6] aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann üst toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36
Doğru cevap 36'dır. f(x)=x+2f(x) = x + 2 artan bir fonksiyondur. [0,6][0, 6] aralığı 3 eş alt aralığa bölündüğünde alt aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 olur. Artan fonksiyonlar için Riemann üst toplamı hesaplanırken her aralığın sağ uç noktasındaki fonksiyon değerleri yükseklik olarak alınır. Bu değerler f(2)=4f(2) = 4, f(4)=6f(4) = 6 ve f(6)=8f(6) = 8 olup Riemann üst toplamı 2⋅(4+6+8)=362 \cdot (4 + 6 + 8) = 36 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüntünün alt aralık genişliğini bulunuz.
Δx=6−03=2\Delta x = \frac{6 - 0}{3} = 2
[0,6][0, 6] aralığı 3 eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n} formülü ile hesaplanır.
2
Alt aralıkları ve bu aralıkların sağ uç noktalarını belirleyiniz.
Alt aralıklar [0,2][0, 2], [2,4][2, 4] ve [4,6][4, 6] olup, sağ uç noktalar sırasıyla 22, 44 ve 66 elemanlarıdır.
Artan bir fonksiyonda Riemann üst toplamı hesaplanırken her alt aralığın sağ uç noktasındaki fonksiyon değeri kullanılır.
3
Riemann üst toplamını hesaplayınız.
Üst Toplam =Δx⋅[f(2)+f(4)+f(6)]=2⋅(4+6+8)=2⋅18=36= \Delta x \cdot [f(2) + f(4) + f(6)] = 2 \cdot (4 + 6 + 8) = 2 \cdot 18 = 36
Bölüntünün her bir alt aralık genişliği ile o aralıktaki sağ uç noktanın fonksiyon değerinin çarpımlarının toplamı Riemann üst toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann üst toplamı, tanımlı olduğu aralıkta sürekli ve artan bir fonksiyon için, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliklerinin çarpımlarının toplamıdır.
Soru 2089Soru →

Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden bir f(x)f(x) polinom fonksiyonu için f(1)=4f(1) = 4 eşitliği sağlanmaktadır.

lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h=7 \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 7

olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İkinci dereceden polinom fonksiyonunun katsayıları belirlendikten sonra f(3)f(3) değeri hesaplandığında doğru cevap 18 olarak bulunur.
Türevin limit tanımı gereğince lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} limitinin değeri f′(2)f'(2) ye eşittir. f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b polinomunun türevi f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a olup f′(2)=4+a=7f'(2) = 4 + a = 7 denklemi çözüldüğünde a=3a = 3 bulunur. f(1)=4  ⟹  1+a+b=4  ⟹  b=0f(1) = 4 \implies 1 + a + b = 4 \implies b = 0 elde edilir. Buradan fonksiyon f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x olur ve f(3)=32+3(3)=18f(3) = 3^2 + 3(3) = 18 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom fonksiyonunun genel formunu yazarak verilen noktayı yerine koyma
a+b=3a + b = 3
Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b polinomunda f(1)=4f(1) = 4 bilgisini uygulamak amacıyla.
2
Limit ifadesini türevin limit tanımı ile eşleştirme
f′(2)=7f'(2) = 7
lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} limitinin ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki anlık değişim oranı olan türev değerini ifade ettiğini belirlemek amacıyla.
3
Türev fonksiyonunu bulup bilinen türev değerini yerine yazarak aa katsayısını çözme
a=3a = 3
f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a olduğundan f′(2)=4+a=7f'(2) = 4 + a = 7 eşitliğini çözmek amacıyla.
4
Bulunan aa katsayısını kullanarak bb katsayısını belirleme
b=0b = 0
a+b=3a + b = 3 denkleminde a=3a = 3 değerini yerine yazarak bb sabitini bulmak amacıyla.
5
Belirlenen fonksiyon kuralında x=3x = 3 yazarak istenen değeri hesaplama
f(3)=18f(3) = 18
f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x kuralında x=3x = 3 değerini hesaplayarak sonuca ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranı, o noktadaki türevine eşittir ve bu değer türevin limit tanımı olan lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} limitinin hesaplanmasıyla bulunur.
Soru 2090Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+2f(x) = x^2 - ax + 2
g(x)=x3−3x2+bx+1g(x) = x^3 - 3x^2 + bx + 1
fonksiyonları veriliyor. ff fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu ile gg fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Aranan a⋅ba \cdot b çarpımının değeri 3 olarak bulunur.
Verilen iki doğrunun çakışık olması, eğimlerinin ve y-eksenini kestikleri noktaların aynı olmasını gerektirir. Eğimlerin eşitliğinden 2−a=−1/b2 - a = -1/b elde edilir. y-kesim noktalarının eşitliğinden ise 2b−3+2/b=12b - 3 + 2/b = 1 denklemi çözülerek b=1b=1 bulunur. Bu değer eğim eşitliğinde yerine yazıldığında a=3a=3 bulunur ve çarpımları 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki teğet denklemini elde etmek.
y=(2−a)x+1y = (2 - a)x + 1 doğrusu.
Teğet doğrusunun denklemi y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) formülü kullanılarak bulunur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki normal denklemini elde etmek.
y=−1bx+(2b−3+2b)y = -\frac{1}{b}x + \left(2b - 3 + \frac{2}{b}\right) doğrusu.
Normal doğrusunun eğimi, teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir (mn=−1/mtm_n = -1 / m_t).
3
Doğruların çakışık olması şartını kullanarak denklem sistemini çözmek.
a=3a = 3 ve b=1b = 1 değerleri.
İki doğrunun çakışık olmas�� için eğimleri ve sabit terimleri (y-kesim noktaları) eşit olmalıdır.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
3
Soru kökünde istenen ifade a⋅ba \cdot b çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin teğet ve normal doğrularının denklemlerinin türev yardımıyla bulunması ve doğruların analitik incelenmesi.

Alternatif Yöntem

Teğet ve normal doğrularının çakışık olması, aslında her iki doğrunun da aynı doğruyu temsil ettiği anlamına gelir. Bu doğrunun y=mx+ny = mx + n formundaki gösterimi düşünüldüğünde, f′(1)=mf'(1) = m ve −1/g′(2)=m-1/g'(2) = m eşitliği kurulabilir. Aynı zamanda, doğrunun üzerindeki teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) ve normal noktası (2,g(2))(2, g(2)) bu doğrunun denklemini sağlamalıdır. Buradan hareketle eğim formülünden m=g(2)−f(1)2−1m = \frac{g(2) - f(1)}{2 - 1} yazılarak da çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2091Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonunun [0,1][0, 1] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bir bölüntü oluşturulmaktadır. Bu bölüntüye bağlı Riemann alt toplamı AnA_n, Riemann üst toplamı U¨nÜ_n ve Riemann orta toplamı OnO_n olarak belirleniyor. Buna göre, her n∈N+n \in \mathbb{N}^+ için On<∫01ex dx<An+U¨n2O_n < \int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2} eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu yönündeki iddia doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur.
Doğru olan seçenektir. f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonu dışbükey olduğu için, grafiğin teğetlerinin altında kalmasından ötürü Riemann orta toplamı integralden küçük, kirişlerinin üzerinde kalmasından ötürü ise alt-üst Riemann toplamlarının ortalaması integralden büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=exf(x) = e^x fonksiyonunun türevlerini alarak bükülme yönünü (konvekslik durumunu) belirleyin.
f′(x)=exf'(x) = e^x ve f′′(x)=exf''(x) = e^x bulunur. Her x∈[0,1]x \in [0, 1] için f′′(x)>0f''(x) > 0 olduğundan, fonksiyon [0,1][0, 1] aralığında kesinlikle dışbükeydir.
Fonksiyonun grafik bükülme yönü, Riemann toplamlarının belirli integral değeriyle olan büyüklük ilişkisini geometrik olarak belirler.
2
Dışbükey bir fonksiyon için Riemann orta toplamı (OnO_n) ile integral alanı arasındaki ilişkiyi analiz edin.
Dışbükey bir fonksiyonda, herhangi bir noktadan çizilen teğet doğrusu daima fonksiyon grafiğinin altında kalır. Her alt aralığın orta noktası mim_i için f(x)>f(mi)+f′(mi)(x−mi)f(x) > f(m_i) + f'(m_i)(x - m_i) eşitsizliği (orta nokta hariç) ge��erlidir. Bu eşitsizlik aralık boyunca entegre edildiğinde, orta toplam dikdörtgeninin alanının integralden daha küçük olduğu görülür. Tüm aralıklar toplandığında On<∫01ex dxO_n < \int_0^1 e^x \, dx elde edilir.
Teğetlerin grafiğin altında kalması özelliğinin Riemann orta toplamı üzerindeki etkisini matematiksel olarak göstermek amacıyla yapılır.
3
Riemann alt (AnA_n) ve üst (U¨nÜ_n) toplamlarının aritmetik ortalamasının geometrik anlamını inceleyin ve integral ile karşılaştırın.
Eşit alt aralıklı bir bölüntüde, alt ve üst Riemann toplamlarının aritmetik ortalaması Yamuk Yöntemi alanına karşılık gelir: An+U¨n2=∑i=1nf(xi−1)+f(xi)2Δx\frac{A_n + Ü_n}{2} = \sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x. Dışbükey fonksiyonlarda grafik üzerindeki iki noktayı birleştiren kirişler daima grafiğin üstünde yer alır. Dolayısıyla bu yamukların alanları toplamı integralden büyüktür: ∫01ex dx<An+U¨n2\int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2}.
Kirişlerin grafik üstünde kalması prensibini yamukların alan toplamıyla ilişkilendirip integralden büyük olduğunu göstermek için yapılır.
4
Bulunan iki eşitsizlik sonucunu birleştirerek öncülü değerlendirin.
Analiz edilen iki parçadan On<∫01ex dx<An+U¨n2O_n < \int_0^1 e^x \, dx < \frac{A_n + Ü_n}{2} eşitsizliğinin her n∈N+n \in \mathbb{N}^+ için her zaman sağlandığı doğrulanmış olur.
Soruda sunulan genel iddianın kesin doğruluğunu kanıtlamak için adımlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Dışbükey (konveks) fonksiyonlarda Riemann toplamları, belirli integral ve yamuk alanı arasındaki geometrik ilişkiler.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2092Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫x⋅f′(x) dx=2x3−3x2+C\int x \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 - 3x^2 + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7'dir.
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında x⋅f′(x)=6x2−6xx \cdot f'(x) = 6x^2 - 6x elde edilir. Her iki taraf xx ile bölündüğünde f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=3x2−6x+C1f(x) = 3x^2 - 6x + C_1 bulunur. f(1)=4f(1) = 4 koşuluyla C1=7C_1 = 7 olarak elde edilir. Buradan f(2)=3(2)2−6(2)+7=7f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
x⋅f′(x)=6x2−6xx \cdot f'(x) = 6x^2 - 6x
Belirsiz integralin türevi, integralin içerisindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen eşitlikte her iki taraf xx ile bölünerek f′(x)f'(x) yalnız bırakılır.
f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6
f(x)f(x) fonksiyonuna ulaşmak için öncelikle türev fonksiyonunun kuralı bulunmalıdır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak genel f(x)f(x) kuralı yazılır.
f(x)=∫(6x−6) dx=3x2−6x+C1f(x) = \int (6x - 6) \, dx = 3x^2 - 6x + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulan��r ve integral sabiti eklenir.
4
f(1)=4f(1) = 4 başlangıç koşulu kullanılarak C1C_1 integral sabiti hesaplanır.
f(1)=3(1)2−6(1)+C1=4  ⟹  −3+C1=4  ⟹  C1=7f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + C_1 = 4 \implies -3 + C_1 = 4 \implies C_1 = 7
Fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri yardımıyla belirsiz integraldeki sabit terim netleştirilir.
5
Kuralı f(x)=3x2−6x+7f(x) = 3x^2 - 6x + 7 olarak bulunan fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak sonuç elde edilir.
f(2)=3(2)2−6(2)+7=12−12+7=7f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 12 - 12 + 7 = 7
Fonksiyonun kuralı tam olarak belirlendikten sonra istenen herhangi bir noktadaki değeri doğrudan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevi ve temel integral alma kuralları yardımıyla fonksiyon kurallarının bulunması.

Alternatif Yöntem

Elde edilen f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6 fonksiyonu için belirli integral yardımıyla da sonuca ulaşılabilir. ∫12f′(x) dx=f(2)−f(1)\int_{1}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(1) eşitliği yazılırsa, ∫12(6x−6) dx=[3x2−6x]12=(12−12)−(3−6)=3\int_{1}^{2} (6x - 6) \, dx = [3x^2 - 6x]_{1}^{2} = (12 - 12) - (3 - 6) = 3 olur. Buradan f(2)−f(1)=3  ⟹  f(2)−4=3  ⟹  f(2)=7f(2) - f(1) = 3 \implies f(2) - 4 = 3 \implies f(2) = 7 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2093Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları ile bir aa gerçel sayısı için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 olduğu bilinmektedir. Buna göre, 'lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} limitinin de��eri her zaman bir gerçel sayıya eşittir.' ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limitin bir gerçel sayı olması zorunlu değildir. Örneğin, pay xx ve payda x2x^2 iken sıfıra giderken bölümün limiti olan 1/x1/x limiti mevcut değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik kavramını ve limitin var olma koşulunu analiz etme.
lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 durumu 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşturur. Belirsizlik durumlarında limitin değeri bir gerçel sayı olabileceği gibi, limit var olmayabilir de.
Bölüm durumundaki limitlerde pay ve paydanın sıfıra gitmesi, limitin kesinlikle var olduğunu veya gerçel sayı olduğunu garanti etmez.
2
İfadeyi çürüten bir karşı örnek (karşıt örnek) bulma.
f(x)=xf(x) = x ve g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonlarını seçelim. a=0a = 0 olsun. Bu durumda lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} x = 0 ve lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0 olur.
Önermenin her zaman doğru olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.
3
Seçilen fonksiyonlar için limitin değerini hesaplama.
lim⁡x→0f(x)g(x)=lim⁡x→0xx2=lim⁡x→01x\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} limiti elde edilir. xx, 00'a sağdan yaklaşırken limit +∞+\infty, soldan yaklaşırken −∞-\infty olur. Dolayısıyla limit bir gerçel sayıya eşit değildir (limit yoktur).
Karşı örnekteki limitin bir gerçel sayıya eşit olmadığını göstererek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlarız.

Anahtar Kavram

Sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limitin varlığı her zaman garanti değildir; limit bir gerçel sayı olabilir, sonsuz olabilir veya hiç var olmayabilir.
Soru 2094Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu
f(x)={log⁡2(a−x),x<2x2−b,2≤x≤3x−3x+c−3,x>3f(x) = \begin{cases} \log_2(a - x), & x < 2 \\ x^2 - b, & 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{x - 3}{\sqrt{x + c} - 3}, & x > 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı 13'tür.
Doğru cevap süreklilik şartlarını sağlayan parametrelerin toplamı olan 13 değeridir. x=3x = 3 noktasındaki sağdan limitin varlığı için 00\frac{0}{0} belirsizliği kullanılarak c=6c = 6 ve limit değeri 6 bulunur. Buradan soldan limit ile eşitleme yapılarak b=3b = 3 elde edilir. Son olarak x=2x = 2 noktasındaki soldan ve sağdan limit eşitliğinden a=4a = 4 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki süreklilik şartını belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)=f(3)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) olmalıdır. Burada f(3)=32−b=9−bf(3) = 3^2 - b = 9 - b olur.
Süreklilik tan��mı gereği bir noktadaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyonun değeri eşit olmalıdır.
2
x=3x = 3 noktasındaki sağdan limiti hesaplama ve cc değerini bulma
lim⁡x→3+x−3x+c−3\lim_{x \to 3^+} \frac{x - 3}{\sqrt{x + c} - 3} limitinin reel sayı çıkması için paydanın sıfır olması gerekir (00\frac{0}{0} belirsizliği). 3+c−3=0  ⟹  3+c=9  ⟹  c=6\sqrt{3 + c} - 3 = 0 \implies 3 + c = 9 \implies c = 6 bulunur.
Pay sıfıra giderken payda sıfıra gitmezse limit sıfır olur, bu da sürekli olmayan durumlar yaratabilir ya da tanımsızlık oluşturur. Burada limitin gerçel sayı olması için belirsizlik şarttır.
3
c=6c = 6 için limiti hesaplama
lim⁡x→3+x−3x+6−3=lim⁡x→3+(x−3)(x+6+3)x+6−9=lim⁡x→3+(x+6+3)=6\lim_{x \to 3^+} \frac{x - 3}{\sqrt{x + 6} - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)}{x + 6 - 9} = \lim_{x \to 3^+} (\sqrt{x + 6} + 3) = 6 olur.
Eşlenik çarpımı yapılarak belirsizliğe neden olan çarpanlar sadeleştirilir.
4
bb değerini bulma
9−b=6  ⟹  b=39 - b = 6 \implies b = 3 elde edilir.
x=3x = 3 noktasında soldan limit ile sağdan limitin eşit olması gerekir.
5
x=2x = 2 noktasındaki süreklilikten aa değerini bulma
lim⁡x→2−log⁡2(a−x)=lim⁡x→2+(x2−3)  ⟹  log⁡2(a−2)=1  ⟹  a−2=2  ⟹  a=4\lim_{x \to 2^-} \log_2(a - x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 3) \implies \log_2(a - 2) = 1 \implies a - 2 = 2 \implies a = 4 bulunur.
x=2x = 2 kritik noktasında limitlerin eşitliği sağlanmalıdır.
6
a+b+ca + b + c toplamını hesaplama
a+b+c=4+3+6=13a + b + c = 4 + 3 + 6 = 13 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değeridir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarda limit ve süreklilik şartları ile belirsizlik giderme yöntemleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2095Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları, x≠−1x \neq -1 olmak üzere,
f(x)=(x2+2)⋅g(x)f(x) = (x^2 + 2) \cdot g(x)
g(x)=x2⋅f(x)−8x+1g(x) = \frac{x^2 \cdot f(x) - 8}{x + 1}
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -152

Cevap

f'(1) değeri -152 olarak bulunur.
Verilen iki fonksiyonel denklemde x = 1 yazarak f(1) ve g(1) değerleri bulunur. Ardından her iki denklemin türevi alınarak x = 1 için türev değerleri arasında bir sistem kurulur. Bu sistemi çözdüğümüzde aranan türev değeri -152 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 için f(1) ve g(1) değerlerini hesaplama
f(1) = 24 ve g(1) = 8
Verilen eşitliklerde x yerine 1 yazıldığında f(1) = 3g(1) ve g(1) = (f(1) - 8)/2 denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden g(1) = 8 ve f(1) = 24 bulunur.
2
f(x) fonksiyonunun t��revini alıp x = 1 yazma
f'(1) = 16 + 3g'(1)
f(x) = (x^2 + 2) * g(x) ifadesine çarpım kuralı uygulanır: f'(x) = 2x * g(x) + (x^2 + 2) * g'(x). x = 1 yazılıp g(1) = 8 değeri yerine konduğunda f'(1) = 16 + 3g'(1) ilişkisine ulaşılır.
3
g(x) fonksiyonunun türevini alıp x = 1 yazma
g'(1) = 20 + f'(1)/2
g(x) = (x^2 * f(x) - 8) / (x + 1) ifadesine bölüm ve çarpım kuralları uygulanır: g'(x) = [(2x * f(x) + x^2 * f'(x)) * (x + 1) - (x^2 * f(x) - 8)] / (x + 1)^2. x = 1 ve f(1) = 24 yazıldığında g'(1) = [(48 + f'(1)) * 2 - 16] / 4 = 20 + f'(1)/2 ilişkisi bulunur.
4
Oluşan denklem sistemini çözme
f'(1) = -152
f'(1) = 16 + 3 * g'(1) denkleminde g'(1) yerine (20 + f'(1)/2) yazılarak f'(1) = 76 + 1.5 * f'(1) elde edilir. Buradan f'(1) = -152 bulunur.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm türev kurallarının fonksiyonel denklem sistemlerinde uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2096Soru →
f:[1,3]→Rf: [1, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=3xf(x) = 3^x
fonksiyonu tanımlanıyor. [1,3][1, 3] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bu fonksiyonun Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı hesaplanıyor.
Hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 33 olduğuna göre, alt aralık sayısı olan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki farkın 3 olması için alt aralık sayısı (nn) 16 olmalıdır.
Tanımlanan f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonu artan olduğundan, her bir alt aralıktaki maksimum ve minimum değerler sırasıyla sağ ve sol uç noktalarda alınır. Riemann üst ve alt toplamları farkı, aralık uç değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımına eşittir: (2/n)∗(27−3)=48/n(2/n) * (27 - 3) = 48/n. Bu farkın 3 olması için n = 16 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık durumunu belirleme
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun türevi f′(x)=3xln⁡3>0f'(x) = 3^x \ln 3 > 0 olduğundan fonksiyon [1,3][1, 3] aralüğında sürekli ve kesinlikle artandır.
Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamının sol uç noktalarla, üst toplamının ise sağ uç noktalarla oluşturulacağını saptamak için.
2
Üst ve alt toplam farkını formüle etme
Genel olarak, [a,b][a, b] aralığında tanımlı artan bir ff fonksiyonunun nn eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann üst toplamı (U¨nÜ_n) ve alt toplamı (AnA_n) arasındaki fark: U¨n−An=b−an(f(b)−f(a))Ü_n - A_n = \frac{b-a}{n} (f(b) - f(a)) şeklinde ifade edilir. Burada a=1a = 1, b=3b = 3 ve Δx=2n\Delta x = \frac{2}{n}'dir. f(1)=3f(1) = 3 ve f(3)=27f(3) = 27 değerleri yerine yazıldığında: U¨n−An=2n(27−3)=48nÜ_n - A_n = \frac{2}{n} (27 - 3) = \frac{48}{n} elde edilir.
Teleskobik toplam sadeleştirmesiyle fark ifadesini nn cinsinden yazmak için.
3
Bölüntü sayısı olan n değerini hesaplama
Verilen fark değeri 3 olduğundan: 48n=3  ⟹  3n=48  ⟹  n=16\frac{48}{n} = 3 \implies 3n = 48 \implies n = 16 bulunur.
Riemann toplamları arasındaki farkın 3'e eşit olması koşulunu sağlayan alt aralık sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Artan bir fonksiyonun Riemann üst ve alt toplamları arasındaki farkın hesaplanması
Soru 2097Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann alt toplamı 55 olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] aralığında 33 eş alt aralığa göre Riemann alt toplamı 55'tir.
Verilen fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve artan olduğundan, sol uç noktalardaki değerler kullanılarak yapılan Riemann alt toplamı hesabı 1⋅(0+1+4)=51 \cdot (0 + 1 + 4) = 5 sonucunu verir. Bu nedenle ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini (\Delta x) hesaplayın.
Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1
Kapalı aralık [a,b]=[0,3][a, b] = [0, 3] ve alt aralık sayısı n=3n = 3 olduğundan aralık genişliği Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n} formülüyle bulunur.
2
Alt aralıkları belirleyin ve her aralıktaki sol uç noktaları tespit edin.
Aral��klar: [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3]. Sol uç noktalar: x0=0x_0 = 0, x1=1x_1 = 1, x2=2x_2 = 2.
Fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında artan olduğundan, her alt aralıktaki minimum değer sol uç noktada ger��ekleşir.
3
Sol uç noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0, f(1)=12=1f(1) = 1^2 = 1, f(2)=22=4f(2) = 2^2 = 4.
Alt toplam hesabında kullanılacak dikdörtgen yüksekliklerini bulmak için fonksiyon değerleri hesaplanır.
4
Riemann alt toplamını hesaplayın.
Alt Toplam=Δx⋅[f(0)+f(1)+f(2)]=1⋅(0+1+4)=5\text{Alt Toplam} = \Delta x \cdot [f(0) + f(1) + f(2)] = 1 \cdot (0 + 1 + 4) = 5.
Alt aralık genişliği ile elde edilen yüksekliklerin çarpılarak toplanması Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann Alt Toplamı

Alternatif Yöntem

Grafik üzerinde [0,3][0, 3] aralığında xx-ekseni ile y=x2y = x^2 eğrisi arasında kalan bölge çizilebilir. Tabanı 1 birim olan ve yükseklikleri sırasıyla f(0)=0f(0)=0, f(1)=1f(1)=1 ve f(2)=4f(2)=4 olan üç adet dikdörtgenin alanları toplamı doğrudan 0+1+4=50 + 1 + 4 = 5 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2098Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolüne dışındaki bir P(1,−3)P(1, -3) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor. Buna göre, AA ve BB noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Değme noktalarından geçen doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.
Teğet değme noktaları olan A(3, 9) ve B(-1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemi y = 2x + 3 olup y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir teğet noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla ifade etmek.
Teğet noktası T(t,t2)T(t, t^2) olsun. Fonksiyonun türevi f′(x)=2xf'(x) = 2x olduğundan bu noktadaki teğet eğimi m=2tm = 2t olur. Teğet doğrusunun denklemi: y−t2=2t(x−t)⇒y=2tx−t2y - t^2 = 2t(x - t) \Rightarrow y = 2tx - t^2 olarak bulunur.
Türevin geometrik yorumu gereği, teğet doğrusunun eğimi o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğet doğrusunun dışındaki P(1,−3)P(1, -3) noktasından geçtiğini kullanarak teğet noktalarının apsislerini bulmak.
−3=2t(1)−t2⇒t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0-3 = 2t(1) - t^2 \Rightarrow t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0 denkleminden t1=3t_1 = 3 ve t2=−1t_2 = -1 bulunur.
P(1,−3)P(1, -3) noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
3
Teğet değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını hesaplamak.
t1=3t_1 = 3 için A(3,9)A(3, 9) ve t2=−1t_2 = -1 için B(−1,1)B(-1, 1) elde edilir.
Apsis değerleri f(x)=x2f(x) = x^2 kuralında yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
4
A(3,9)A(3, 9) ve B(−1,1)B(-1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulup y-eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplamak.
Doğrunun eğimi mAB=9−13−(−1)=2m_{AB} = \frac{9 - 1}{3 - (-1)} = 2 olup denklemi y−1=2(x+1)⇒y=2x+3y - 1 = 2(x + 1) \Rightarrow y = 2x + 3 olur. x=0x = 0 için ordinat y=3y = 3 olarak bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun denklemi yazıldıktan sonra y-eksenini kestiği noktayı bulmak için apsis sıfır alınır.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Denklemleri)

Alternatif Yöntem

Pratik Yol (Kutup Doğrusu): y = x^2 parabolüne dışındaki bir P(x0, y0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarından geçen doğrunun (kutup doğrusu) denklemi (y + y0) / 2 = x * x0 formülü ile bulunur. P(1, -3) noktası için bu denklem (y - 3) / 2 = x * 1 => y = 2x + 3 olur. Bu doğrunun y-keseni x = 0 için y = 3 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2099Soru →

Analitik düzlemde birinci bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi y=12−2xy = 12 - 2x doğrusu üzerinde olan bir dikdörtgen çiziliyor.

Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Maksimum alan değeri 18 birimkaredir.
Alan fonksiyonu A(x)=x(12−2x)=12x−2x2A(x) = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2 olarak kurulur. Bu fonksiyonun türevi olan A′(x)=12−4xA'(x) = 12 - 4x ifadesini sıfıra eşitleyen x=3x = 3 değeri için alan en büyük değerini alır. Maksimum alan A(3)=3(12−2(3))=18A(3) = 3(12 - 2(3)) = 18 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını ve alan fonksiyonunu belirleyin.
Dikdörtgenin bir köşesi y=12−2xy = 12 - 2x doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları (x,12−2x)(x, 12 - 2x) olur. Alan fonksiyonu A(x)=x⋅y=x(12−2x)=12x−2x2A(x) = x \cdot y = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2 olarak elde edilir.
Maksimum/minimum problemlerinde en büyük olması istenen niceliği tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek gerekir.
2
Alan fonksiyonunun birinci türevini alarak kritik noktayı bulun.
A′(x)=12−4xA'(x) = 12 - 4x türev fonksiyonu elde edilir. 12−4x=012 - 4x = 0 denkleminden kritik nokta x=3x = 3 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.
3
Bulunan kritik değeri alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayın.
A(3)=3⋅(12−2(3))=3⋅6=18A(3) = 3 \cdot (12 - 2(3)) = 3 \cdot 6 = 18 birimkare bulunur.
Maksimum alan değerini bulmak için, bu alanı veren xx değeri orijinal alan fonksiyonunda yerine yazılmalıdır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Soru 2100Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2)
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=2g(2) = 2
g′(2)=12g'(2) = \frac{1}{2}
olduğuna göre, (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Doğru cevap 4 olacaktır.
Doğru cevaba ulaşmak için zincir kuralı iki kez doğru bir şekilde uygulanmalıdır. İlk olarak (f∘f)′(2)=f′(f(2))⋅f′(2)(f \circ f)'(2) = f'(f(2)) \cdot f'(2) eşitliği kurulur. f(2)=g(2)=2f(2) = g(2) = 2 olduğu bulunur. Ardından f′(x)=g′(x2−2)⋅2xf'(x) = g'(x^2 - 2) \cdot 2x türevi alınarak f′(2)=g′(2)⋅4=2f'(2) = g'(2) \cdot 4 = 2 elde edilir. Bu değerler bileşke türev formülünde yerine yazıldığında 2⋅2=42 \cdot 2 = 4 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulanarak (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) ifadesinin açılımı yazılır.
(f∘f)′(2)=f′(f(2))⋅f′(2)(f \circ f)'(2) = f'(f(2)) \cdot f'(2)
Bileşke fonksiyon türevinde dıştaki fonksiyonun türevi alınır, içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
2
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2) eşitliğinde x=2x = 2 yazılarak f(2)f(2) değeri bulunur.
f(2)=g(22−2)=g(2)=2f(2) = g(2^2 - 2) = g(2) = 2
Bileşke türev formülündeki f′(f(2))f'(f(2)) ifadesini hesaplamak için öncelikle içteki f(2)f(2) değerine ihtiyaç vardır.
3
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2) fonksiyonunun her iki tarafının xx'e göre türevi alınır.
f′(x)=g′(x2−2)⋅2xf'(x) = g'(x^2 - 2) \cdot 2x
Bileşke fonksiyon türev kuralı uyarınca dıştaki gg fonksiyonunun türevi alındıktan sonra, içteki x2−2x^2 - 2 ifadesinin türevi olan 2x2x ile çarpılması gerekir.
4
Türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak f′(2)f'(2) değeri hesaplanır.
f′(2)=g′(2)⋅(2⋅2)=12⋅4=2f'(2) = g'(2) \cdot (2 \cdot 2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2
g′(2)=12g'(2) = \frac{1}{2} bilgisi kullanılarak f′(2)f'(2) değeri elde edilir.
5
Bulunan f(2)=2f(2) = 2 ve f′(2)=2f'(2) = 2 değerleri birinci adımdaki bileşke türev formülünde yerine yazılır.
(f∘f)′(2)=f′(2)⋅f′(2)=2⋅2=4(f \circ f)'(2) = f'(2) \cdot f'(2) = 2 \cdot 2 = 4
Aranan (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) değeri, elde edilen bu iki değerin çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı
ÖncekiSayfa 105 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin