Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2121Soru →
∫022x(x2+1)3 dx\int_{0}^{2} 2x(x^2+1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

İntegralin değeri 156 olarak bulunur.
İntegral, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılarak 11 ile 55 sınırları arasında u3u^3 integraline dönüştürülür. Bu integral hesaplandığında doğru değer olan 156 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=x2+1u = x^2 + 1 olsun. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir.
İntegralin içindeki 2x dx2x \, dx ifadesini dudu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0x = 0 iken u=02+1=1u = 0^2 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2x = 2 iken u=22+1=5u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Yeni değişkene göre integral kurulur ve hesaplanır.
∫15u3 du=[u44]15=544−144=625−14=156\int_{1}^{5} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625 - 1}{4} = 156 elde edilir.
Basit üs integrali kuralı uygulanarak belirli integralin sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2122Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu
f(x)={x2−4x+a,x≤3−x2+bx−5,x>3f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + a, & x \le 3 \\ -x^2 + bx - 5, & x > 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında bir yerel maksimumu olduğu bilindiğine göre, aa tam sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Fonksiyonun gerçel sayılar üzerinde sürekli olması sebebiyle x=3x = 3 noktasındaki sol ve sağ limitler birbirine eşit olmalıdır. Buradan a=3b−11a = 3b - 11 ilişkisi elde edilir. x=3x = 3 noktasının bir yerel maksimum noktası olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda artan, sağında ise azalan olması gerekir. Sol tarafta (x<3x < 3 için) türev f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olup x∈(2,3)x \in (2, 3) aralığında pozitif olduğundan fonksiyon artandır. Sağ tarafta ise (x>3x > 3 için) fonksiyonun azalan olması için türevi olan f′(x)=−2x+b≤0f'(x) = -2x + b \le 0 şartı sağlanmalıdır. Buradan b≤2xb \le 2x ve x→3+x \to 3^+ için b≤6b \le 6 bulunur. Bu sınır değeri a=3b−11a = 3b - 11 eşitliğinde yerine yazıldığında a≤7a \le 7 elde edilir. Dolayısıyla aa tam sayısının alabileceği en büyük değer 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik şartını uygulayarak a ve b değişkenleri arasındaki ilişkiyi bulma
a−3=3b−14  ⟹  a=3b−11a - 3 = 3b - 14 \implies a = 3b - 11
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan x=3x = 3 noktasında sol limit, sağ limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.
2
x<3x < 3 için fonksiyonun artış/azalış durumunu inceleme
x∈(2,3)x \in (2, 3) aralığında f′(x)=2x−4>0f'(x) = 2x - 4 > 0 olduğundan fonksiyon artandır.
x=3x = 3 noktasının yerel maksimum olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda artan, sağında ise azalan (veya sabit) olması gerekir. Sol taraftaki türev incelendiğinde x=3x = 3 noktasına yaklaşırken fonksiyonun artan olduğu görülür.
3
x>3x > 3 için yerel maksimum şartını kullanarak b değerine sınır getirme
b≤6b \le 6
x>3x > 3 için f′(x)=−2x+bf'(x) = -2x + b olur. x=3x=3'ün yerel maksimum olması için x>3x > 3 bölgesinde (3'ün sağ komşuluğunda) fonksiyonun azalan olması, yani f′(x)≤0f'(x) \le 0 olması gerekir. Buradan −2x+b≤0  ⟹  b≤2x-2x + b \le 0 \implies b \le 2x olur. x→3+x \to 3^+ limiti için bu şartın sağlanması b≤6b \le 6 olmasını gerektirir.
4
Elde edilen sınır değerini a'nın ifadesinde yerine yazarak en büyük tam sayı değerini bulma
a≤7a \le 7 olup, en büyük aa tam sayısı 7'dir.
a=3b−11a = 3b - 11 eşitliğinde b≤6b \le 6 sınırını kullanırsak a≤3(6)−11=7a \le 3(6) - 11 = 7 elde ederiz.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik şartı ile türevin işaret değişimine göre yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi
Soru 2123Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫03f(x) dx=12\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 12
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
∫12f(x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(x+1) \, dx = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(2−x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2 - x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Beş bölü iki
Verilen integrallerde gerekli değişken değiştirmeler yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde ∫01f(x) dx=5\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 değeri elde edilir. Sorulan integralde u=2−x2u = 2 - x^2 dönüşümü uygulandığında integral 12∫01f(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesine eşit olur. Bu değer de beş bölü ikiye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
∫12f(x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(x+1) \, dx = 3 integralinde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫23f(u) du=3\int_{2}^{3} f(u) \, du = 3 elde edilir.
u=x+1u = x+1 dönüşümü için du=dxdu = dx olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=3u=3 olarak güncellenir.
2
Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılarak ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx değeri bulunur.
∫01f(x) dx=5\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 olur.
∫03f(x) dx=∫01f(x) dx+∫12f(x) dx+∫23f(x) dx\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx yazılabilir. Verilen değerler yerine konduğunda 12=∫01f(x) dx+4+3  ⟹  ∫01f(x) dx=512 = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + 4 + 3 \implies \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 bulunur.
3
İstenen integralde değişken değiştirme uygulanır.
12∫01f(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesi elde edilir.
u=2−x2u = 2 - x^2 dönüşümü yapılırsa du=−2x dx  ⟹  x dx=−12 dudu = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=1u=1 ve x=2x=\sqrt{2} için u=0u=0 olur. Buradan ∫10f(u)(−12)du=12∫01f(u) du\int_{1}^{0} f(u) \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du elde edilir.
4
Ende edilen son ifadede ∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du değeri yerine yazılır.
52\frac{5}{2} bulunur.
12∫01f(u) du=12⋅5=52\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
Soru 2124Soru →
Dik koordinat düzleminde, [0,4][0, 4] kapalı aralığında tanımlı
f(x)=∣x2−4x+3∣f(x) = |x^2 - 4x + 3|
fonksiyonu veriliyor. [0,4][0, 4] aralığı 4 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.

ff fonksiyonunun bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı UU, Riemann alt toplamı LL ve [0,4][0, 4] aralığındaki belirli integralinin değeri II olduğuna göre, U−L+IU - L + I ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Riemann üst toplamı ile belirli integralin toplamından Riemann alt toplamı çıkarıldığında elde edilen sonuç 12'dir.
Fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann üst toplamı U=8U = 8, minimum değerleri kullanılarak hesaplanan Riemann alt toplamı L=0L = 0 ve fonksiyonun sınırlandırdığı toplam alanı veren belirli integral değeri I=4I = 4 olduğundan, U−L+I=8−0+4=12U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini belirleme
Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1
Alt aralıkların uzunluklarını ve sınırlarını bulmak için bölüntü sayısı kullanılır.
2
Fonksiyonun her alt aralıktaki uç ve yerel ekstremum değerlerini analiz etme
[0,1][0, 1] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=3\max = 3; [1,2][1, 2] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=1\max = 1; [2,3][2, 3] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=1\max = 1; [3,4][3, 4] aralığında min⁡=0\min = 0, max⁡=3\max = 3.
Riemann alt ve üst toplamlarını bulmak için her alt aralıktaki mutlak minimum ve mutlak maksimum değerleri belirlemek gerekir.
3
Riemann alt ve ��st toplamlarını hesaplama
L=0L = 0 ve U=8U = 8
Alt aralıkların genişlikleri ile elde edilen minimum ve maksimum değerler çarpılıp toplanır.
4
Mutlak değerli fonksiyonun belirli integralini parçalı olarak hesaplama
I=∫04∣x2−4x+3∣ dx=4I = \int_{0}^{4} |x^2 - 4x + 3| \, dx = 4
İntegral alanı, mutlak değerin işaret değiştirdiği x=1x=1 ve x=3x=3 noktalarında parçalanarak hesaplanır.
5
Sonucu bulma
U−L+I=8−0+4=12U - L + I = 8 - 0 + 4 = 12
Bulunan tüm değerler sorudaki cebirsel ifadede yerine konur.

Anahtar Kavram

Monoton olmayan fonksiyonlarda alt aralıkların uç değerleri ve yerel ekstremum noktaları göz önüne alınarak Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması, belirli integral ile ilişkilendirilmesi.
Soru 2125Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu için [1,3][1, 3] kapalı aralığı 4 eş alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann alt toplamı LL, Riemann üst toplamı UU ve fonksiyonun bu aralıktaki belirli integral değeri II olmak üzere, U−I>I−LU - I > I - L eşitsizliği sağlanmaktadır ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu [1, 3] aralığında artan ve dışbükey olduğundan U - I > I - L eşitsizliği sağlanır.
Verilen fonksiyon artan ve dışbükey (konveks) olduğundan, Riemann üst toplamı ile integral arasındaki fark, integral ile Riemann alt toplamı arasındaki farktan büyüktür. Sayısal olarak hesaplandığında da bu eşitsizlik doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkların genişliğini (\Delta x) hesaplama
\Delta x = 0.5
Toplam aralık uzunluğu olan 3 - 1 = 2 birimlik mesafe, 4 eş alt aralığa bölündüğü için her bir aralığın genişliği 2/4 = 0.5 olur.
2
Belirlenen alt aralıkların uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulma
f(1) = 3, f(1.5) = 4.25, f(2) = 6, f(2.5) = 8.25, f(3) = 11
Riemann alt ve üst toplamlarını hesaplamak için bu uç noktalardaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç duyulur.
3
Riemann alt toplamı L ve Riemann üst toplamı U değerlerini hesaplama
L = 10.75 ve U = 14.75
f(x) artan olduğu için alt toplamda sol uç noktalar (1, 1.5, 2, 2.5), üst toplamda ise sağ uç noktalar (1.5, 2, 2.5, 3) kullanılır.
4
Belirli integral I değerini hesaplama
I=383≈12.67I = \frac{38}{3} \approx 12.67
Fonksiyonun grafiği altındaki gerçek alanı bulmak için integral alınır.
5
U - I ve I - L farklarını karşılaştırarak eşitsizliğin doğruluğunu kontrol etme
U - I = \frac{25}{12} ve I - L = \frac{23}{12} olduğundan U - I > I - L eşitsizliği doğrudur.
Elde edilen sayısal değerler karşılaştırıldığında eşitsizliğin sağlandığı görülür.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve dışbükey fonksiyonlarda fark analizi
Soru 2126Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
olduğuna göre,
∫14(2f(x)−3) dx\int_{1}^{4} (2f(x) - 3) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

��ntegralin değeri 7'dir.
Belirli integralin doğrusal özellikleri kullanılarak integral parçalandığında, ifade 2∫14f(x) dx−∫143 dx2\int_{1}^{4} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} 3 \, dx haline gelir. Birinci integralin değeri 8 olup 2 ile çarpıldığında 16 elde edilir. İkinci integral ise sabit fonksiyonun integrali olup değeri 3×(4−1)=93 \times (4 - 1) = 9 dur. Bu iki değerin farkı 16−9=716 - 9 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesini lineerlik (doğrusallık) özelliği yardımıyla parçalamak ve sabit katsayıyı dışarı almak.
∫14(2f(x)−3) dx=2∫14f(x) dx−∫143 dx\int_{1}^{4} (2f(x) - 3) \, dx = 2\int_{1}^{4} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} 3 \, dx
Belirli integralde toplama ve çıkarma işlemleri ayrı integral parçaları olarak yazılabilir, sabit çarpanlar ise integralin dışına alınabilir.
2
Sabit fonksiyon olan 3'ün [1,4][1, 4] aralığındaki belirli integralini hesaplamak.
∫143 dx=3⋅(4−1)=9\int_{1}^{4} 3 \, dx = 3 \cdot (4 - 1) = 9
Sabit bir cc sayısının [a,b][a, b] aralığındaki integral değeri c⋅(b−a)c \cdot (b - a) formülü ile hesaplanır.
3
Verilen integral değerini yerine yazıp aritmetik işlemleri tamamlamak.
2⋅8−9=72 \cdot 8 - 9 = 7
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 olarak soru kökünde verilmiştir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin lineerlik özellikleri ve sabit fonksiyonun belirli integrali.
Soru 2127Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} bir fonksiyon olmak üzere,
lim⁡x→2f(x−3)−4x2−4=18\lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x^2 - 4} = \frac{1}{8}
olduğuna göre,
lim⁡x→−1f2(x)−16x+5−2\lim_{x \to -1} \frac{f^2(x) - 16}{\sqrt{x+5} - 2}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Verilen ilk limit ifadesinde payda sıfıra yaklaştığından limitin varlığı için pay da sıfıra yaklaşmalıdır; buradan lim⁡x→−1f(x)=4\lim_{x \to -1} f(x) = 4 olduğu bulunur. Paydadaki x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4 = (x-2)(x+2) ifadesi açılıp limit kuralları uygulandığında lim⁡x→−1f(x)−4x+1=12\lim_{x \to -1} \frac{f(x)-4}{x+1} = \frac{1}{2} elde edilir. İstenen limitte iki kare farkı açılımı yapılarak ve payda x+5+2\sqrt{x+5}+2 eşleniğiyle çarpılarak sadeleştirildiğinde sonuç 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limitten f(x)f(x) fonksiyonunun x→−1x \to -1 noktasındaki limitini belirlemek.
lim⁡x→2f(x−3)=4\lim_{x \to 2} f(x-3) = 4 yani u=x−3u = x-3 dönüşümüyle lim⁡x→−1f(x)=4\lim_{x \to -1} f(x) = 4 elde edilir.
Payda x→2x \to 2 için sıfır olduğundan limitin bir gerçek sayı belirtmesi için payın da sıfır olması gerekir.
2
İlk limit ifadesini çarpanlarına ayırıp düzenleyerek lim⁡x→−1f(x)−4x+1\lim_{x \to -1} \frac{f(x) - 4}{x+1} değerini bulmak.
lim⁡x→2f(x−3)−4x−2⋅1x+2=18  ⟹  lim⁡x→2f(x−3)−4x−2⋅14=18  ⟹  lim⁡x→−1f(x)−4x+1=12\lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x-2} \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{8} \implies \lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x-2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \implies \lim_{x \to -1} \frac{f(x) - 4}{x+1} = \frac{1}{2} bulunur.
Belirsizlik içeren terimlerin limit değerini belirlemek için sadeleştirme işlemi uygulanır.
3
İstenen limiti iki kare farkı açılımı ve paydanın eşleniği ile çarparak düzenlemek ve hesaplamak.
lim⁡x→−1f2(x)−16x+5−2=lim⁡x→−1f(x)−4x+1⋅(f(x)+4)⋅(x+5+2)=12⋅8⋅4=16\lim_{x \to -1} \frac{f^2(x) - 16}{\sqrt{x+5} - 2} = \lim_{x \to -1} \frac{f(x)-4}{x+1} \cdot (f(x)+4) \cdot (\sqrt{x+5}+2) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 bulunur.
0/0 belirsizliğini ortadan kaldırmak için pay çarpanlara ayrılır, payda ise eşleniğiyle çarpılarak sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

0/0 Belirsizliği ve Limit Hesaplama Teknikleri
Soru 2128Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonunun türevi her x≠1x \neq 1 için,
f′(x)={3x2−2x,x>12x+a,x<1f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2x, & x > 1 \\ 2x + a, & x < 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

f(2)=6f(2) = 6 ve f(0)=−2f(0) = -2 olduğuna göre, f(−1)f(-1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İntegral sabitleri ve fonksiyonun süreklilik şartı doğru uygulandığında elde edilen değer −4-4 olmalıdır.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle her iki aralıkta ayrı ayrı belirsiz integral alınarak integral sabitleri belirlenir. x>1x > 1 aralığında f(2)=6f(2) = 6 kullanılarak birinci integral sabiti 22 olarak bulunur. x<1x < 1 aralığında f(0)=−2f(0) = -2 kullanılarak ikinci integral sabiti −2-2 olarak bulunur. Fonksiyon gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğundan x=1x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşitliğinden a=3a = 3 değeri elde edilir. Buradan x<1x < 1 için f(x)=x2+3x−2f(x) = x^2 + 3x - 2 kuralına ulaşılır. Bu kuralda x=−1x = -1 yazılarak doğru yanıt olan −4-4 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x>1x > 1 için belirsiz integrali alıp integral sabitini bulunuz.
f′(x)=3x2−2x⇒f(x)=x3−x2+C1f'(x) = 3x^2 - 2x \Rightarrow f(x) = x^3 - x^2 + C_1 elde edilir. f(2)=6f(2) = 6 verildiğinden, 23−22+C1=6⇒4+C1=6⇒C1=22^3 - 2^2 + C_1 = 6 \Rightarrow 4 + C_1 = 6 \Rightarrow C_1 = 2 bulunur. Dolayısıyla x>1x > 1 için f(x)=x3−x2+2f(x) = x^3 - x^2 + 2 olur.
Fonksiyonun x>1x > 1 bölgesindeki kuralını tam olarak belirlemek için integral sabitini bulmamız gerekir.
2
x<1x < 1 için belirsiz integrali alıp integral sabitini bulunuz.
f′(x)=2x+a⇒f(x)=x2+ax+C2f'(x) = 2x + a \Rightarrow f(x) = x^2 + ax + C_2 elde edilir. f(0)=−2f(0) = -2 verildiğinden, 02+a(0)+C2=−2⇒C2=−20^2 + a(0) + C_2 = -2 \Rightarrow C_2 = -2 bulunur. Dolayısıyla x<1x < 1 için f(x)=x2+ax−2f(x) = x^2 + ax - 2 olur.
Fonksiyonun x<1x < 1 bölgesindeki kuralını integral sabitiyle birlikte oluşturmak için bu adım gereklidir.
3
Süreklilik şartını kullanarak aa bilinmeyenini bulunuz.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğundan x=1x = 1 noktasında da süreklidir. Bu durumda sağdan limit soldan limite eşit olmalıdır: lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)⇒13−12+2=12+a(1)−2⇒2=a−1⇒a=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) \Rightarrow 1^3 - 1^2 + 2 = 1^2 + a(1) - 2 \Rightarrow 2 = a - 1 \Rightarrow a = 3 elde edilir.
Parçalı tanımlı fonksiyonların sınır noktasındaki sürekliliği, farklı bölgelerdeki kuralların birbirine bağlanmasını sağlar.
4
Belirlenen kuralda x=−1x = -1 yazarak sonucu hesaplayınız.
x<1x < 1 için f(x)=x2+3x−2f(x) = x^2 + 3x - 2 olduğundan, f(−1)=(−1)2+3(−1)−2=1−3−2=−4f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 bulunur.
Soruda istenen hedef değere ulaşmak için kuralı belirlenmiş olan parçalı fonksiyonda uygun aralık kullanılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların belirsiz integrali alınırken her bölge için ayrı bir integral sabiti yazılmalı ve bu sabitler fonksiyonun süreklilik şartı kullanılarak belirlenmelidir.
Soru 2129Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→3x2−ax+1−2=b\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - a}{\sqrt{x+1} - 2} = b
olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Otuz üç
Limit değerinin bir gerçel sayı olması için payın da sıfıra gitmesi gerektiğinden a=9a = 9 olarak bulunur. İfade eşlenik ile genişletilip sadeleştirildiğinde limit değeri olan b=24b = 24 elde edilir. Bu iki değerin toplamı otuz üç olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini kontrol etme ve payın limitini sıfıra eşitleyerek aa değerini bulma.
a=9a = 9
x→3x \to 3 için payda sıfıra yaklaşmaktadır. Limitin bir gerçel sayı (bb) olabilmesi için payın limitinin de sıfır olması gerekir (0/0 belirsizliği).
2
Limit ifadesinde a=9a = 9 yazıp paydadaki ifadenin eşleniği olan x+1+2\sqrt{x+1} + 2 ile payı ve paydayı çarpma.
lim⁡x→3(x+3)(x+1+2)\lim_{x \to 3} (x+3)(\sqrt{x+1} + 2)
Paydadaki x+1−2\sqrt{x+1} - 2 köklü ifadesinin eşleniğiyle çarpılarak paydadaki belirsizliğe yol açan çarpanın sadeleştirilmesi amaçlanır.
3
Belirsizlik giderildikten sonra x=3x = 3 değerini yerine yazarak limit değeri olan bb sayısını ve ardından a+ba+b toplamını hesaplama.
b=24b = 24 ve a+b=33a + b = 33
x−3x - 3 çarpanları sadeleştikten sonra fonksiyon x=3x = 3 noktasında tanımlı hale gelir, bu noktadaki değer limit değerini verir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliğinde köklü ifadelerin eşlenik yardımıyla sadeleştirilmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2130Soru →

Bir firmanın ürettiği xx adet ürünün tanesini 60−2x60 - 2x TL'den satacağı öngörülmektedir.

Buna göre, bu firmanın bu ürünlerin satışından elde edebileceği toplam gelirin en büyük olmas�� için kaç adet ürün satması gerekir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Gelirin en yüksek seviyeye ulaşması için satılması gereken ürün adedi 15'tir.
Toplam gelir fonksiyonu R(x)=60x−2x2R(x) = 60x - 2x^2 olarak bulunur. Bu fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktayı bulmak için türevi alınarak sıfıra eşitlenir: R′(x)=60−4x=0R'(x) = 60 - 4x = 0 denklemi çözüldüğünde geliri maksimum yapan ürün adedi 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) oluşturmak için satılan ürün adedi (xx) ile birim satış fiyatı (60−2x60 - 2x) çarpılır.
R(x)=x⋅(60−2x)=60x−2x2R(x) = x \cdot (60 - 2x) = 60x - 2x^2
Toplam geliri tek bir değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Gelirin en büyük değerini almasını sağlayan xx değerini bulmak için fonksiyonun türevi alınır.
R′(x)=60−4xR'(x) = 60 - 4x
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıfıra eşittir.
3
Elde edilen türev fonksiyonu sıfıra eşitlenerek denklem çözülür.
60−4x=0⇒4x=60⇒x=1560 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15
Türevin işaret değiştirdiği bu kritik nokta, geliri maksimum yapan ürün adedidir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Soru 2131Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x+1}{x-1}
fonksiyonunun x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu,
g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3
parabolüne teğettir.

Buna göre, kk gerçel sayısın��n alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

−1-1 değeri doğrudur.
Normal doğrusunun denklemi y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2 olarak elde edilir. Bu doğrunun g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3 parabolü ile teğet olması, ortak çözüm denklemi olan x2−(4k+2)x+4=0x^2 - (4k+2)x + 4 = 0 ifadesinin diskriminantının sıfır olmasını gerektirir. Buradan elde edilen k=12k = \frac{1}{2} ve k=−32k = -\frac{3}{2} değerlerinin toplamı −1-1 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon üzerindeki teğet ve normal noktasının koordinatlarını bulma.
x=2x = 2 için f(2)=2+12−1=3f(2) = \frac{2+1}{2-1} = 3 bulunur. Dolayısıyla normal doğrusunun geçtiği nokta P(2,3)P(2, 3) koordinatlarına sahiptir.
Normal doğrusunun denklemini yazabilmek için geçtiği noktayı belirlememiz gerekir.
2
Türev yard��mıyla teğet ve normal doğrularının eğimlerini hesaplama.
f′(x)=1⋅(x−1)−(x+1)⋅1(x−1)2=−2(x−1)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} olarak bulunur. x=2x=2 yaz��ldığında teğet eğimi mt=f′(2)=−2m_t = f'(2) = -2 olur. Teğet ile normal birbirine dik olduğundan normal eğimi mn=−1mt=12m_n = \frac{-1}{m_t} = \frac{1}{2} elde edilir.
Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir; normal doğrusunun eğimi ise teğet eğimiyle çarpımı −1-1 olacak şekilde bulunur.
3
Normal doğrusunun denklemini oluşturma.
Eğimi mn=12m_n = \frac{1}{2} olan ve P(2,3)P(2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi: y−3=12(x−2)⇒y=12x+2y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 2 olarak elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak normal doğrusunun denklemi bulunur.
4
Normal doğrusunun parabole teğetlik şartını uygulama.
Normal doğrusu ile g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3 parabolü teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır:
14x2−kx+3=12x+2⇒14x2−(k+12)x+1=0\frac{1}{4}x^2 - kx + 3 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow \frac{1}{4}x^2 - \left(k + \frac{1}{2}\right)x + 1 = 0
Denklemi 44 ile genişlettiğimizde:
x2−(4k+2)x+4=0x^2 - (4k + 2)x + 4 = 0
Teğetlik şartı için Δ=0\Delta = 0 olmalıdır:
Δ=[−(4k+2)]2−4⋅1⋅4=0⇒(4k+2)2=16\Delta = [-(4k + 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \Rightarrow (4k + 2)^2 = 16
Buradan:
4k+2=4⇒k=124k + 2 = 4 \Rightarrow k = \frac{1}{2}
veya
4k+2=−4⇒k=−324k + 2 = -4 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}
değerleri bulunur.
Bir doğru ile bir parabolün birbirine teğet olması, ortak kesim denkleminin çift katlı köke sahip olmasını, yani diskriminantının sıfıra eşit olmasını gerektirir.
5
kk değerlerinin toplamını hesaplama.
Alınabilecek değerlerin toplamı: 12+(−32)=−1\frac{1}{2} + \left(-\frac{3}{2}\right) = -1 olarak bulunur.
Soruda kk sayısının alabileceği tüm gerçel değerlerin toplamı istendiği için hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadan çizilen normal doğrusunun denklemini yazma ve bu doğrunun bir parabole teğet olması durumunu ortak çözüm denkleminin diskriminantı yardımıyla analiz etme.
Soru 2132Soru →

Tepe noktası yy ekseni üzerinde olan y=5−x2y = 5 - x^2 parabolü ile y=1y = 1 doğrusunun sınırlandırdığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 323\frac{32}{3}

Cevap

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanı 323\frac{32}{3} birimkaredir.
Doğru cevap olan 323\frac{32}{3} değeri, y=5−x2y = 5 - x^2 parabolünün y=1y = 1 doğrusunun üzerinde kalan kısmının [−2,2][-2, 2] aralığındaki integral farkı hesaplanarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
5−x2=1  ⟹  x2=4  ⟹  x=−25 - x^2 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = -2 ve x=2x = 2 bulunur.
Eğriler arasında kalan bölgenin sınırlarını belirleyecek olan integral limitlerini bulmak amacıyla kesişim noktalarının apsisleri hesaplanır.
2
[−2,2][-2, 2] aralığında üstte kalan eğriden altta kalan doğruyu çıkararak alan integralini kurun.
A=∫−22((5−x2)−1) dx=∫−22(4−x2) dxA = \int_{-2}^{2} ((5 - x^2) - 1) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx elde edilir.
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın belirli integralidir.
3
İntegrali simetriden yararlanarak veya doğrudan hesaplayın.
A=2∫02(4−x2) dx=2[4x−x33]02=2(8−83)=2(163)=323A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} birimkare bulunur.
Belirli integralin değerini sınırları yerine koyarak hesaplayıp sınırlandırılmış bölgenin alanını buluruz.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını belirli integral yardımıyla hesaplama.
Soru 2133Soru →
∫24f(x−3) dx\int_{2}^{4} f(x - 3) \, dx

belirli integrali veriliyor.

Buna göre, bu integralde u=x−3u = x - 3 dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫−11f(u) du\int_{-1}^{1} f(u) \, du

Cevap

∫−11f(u) du\int_{-1}^{1} f(u) \, du
Verilen integralde u=x−3u = x - 3 dönüşümü yapıldığında du=dxdu = dx olur. Alt sınır olan x=2x = 2 için u=−1u = -1, üst sınır olan x=4x = 4 için u=1u = 1 elde edilir. Bu değerler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi sınırları −1-1 ve 11 olacak şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma
u=x−3u = x - 3 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=dxdu = dx elde edilir.
İntegraldeki dxdx terimini dudu cinsinden yazmak için diferansiyel alınmalıdır.
2
İntegral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=2  ⟹  u=2−3=−1x = 2 \implies u = 2 - 3 = -1 ve üst sınır için x=4  ⟹  u=4−3=1x = 4 \implies u = 4 - 3 = 1 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Elde edilen ifadeleri orijinal integralde yerine yazma
∫24f(x−3) dx=∫−11f(u) du\int_{2}^{4} f(x - 3) \, dx = \int_{-1}^{1} f(u) \, du elde edilir.
Yeni değişken uu, diferansiyel dudu ve yeni sınırlar yerleştirilerek dönüşüm tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisinin kurulması.
Soru 2134Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi
y=3x−5y = 3x - 5
olarak verilmiştir.
Buna göre,
g(x)=f(x2+1)2x+1g(x) = \frac{f(x^2 + 1)}{2x + 1}
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi olan g′(1)g'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 169\frac{16}{9}

Cevap

Doğru cevap 169\frac{16}{9} değeridir.
Doğru cevap, bölüm kuralı ve zincir kuralı tam ve doğru olarak uygulandığında elde edilen 169\frac{16}{9} değeridir. Teğet doğrusunun denkleminden elde edilen f(2)=1f(2) = 1 ve f′(2)=3f'(2) = 3 değerleri formülde yerlerine yazıldığında bu sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminden fonksiyonun de��erini ve türevini elde etme
f(2)=1f(2) = 1 ve f′(2)=3f'(2) = 3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=3x−5y = 3x - 5 olduğundan, bu noktanın ordinatı f(2)=3(2)−5=1f(2) = 3(2) - 5 = 1 ve teğet doğrusunun eğimi fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan f′(2)=3f'(2) = 3 olur.
2
Bölüm ve zincir kurallarını uygulayarak g′(x)g'(x) ifadesini oluşturma
g′(x)=f′(x2+1)⋅2x⋅(2x+1)−f(x2+1)⋅2(2x+1)2g'(x) = \frac{f'(x^2 + 1) \cdot 2x \cdot (2x + 1) - f(x^2 + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}
Bölüm kuralı uygulandıktan sonra pay kısmındaki f(x2+1)f(x^2+1) ifadesinin türevi için zincir kuralı (f′(x2+1)⋅2xf'(x^2+1) \cdot 2x) kullanılmıştır.
3
x=1x = 1 değerini yerine yazarak sonucu hesaplama
g′(1)=169g'(1) = \frac{16}{9}
g′(1)=f′(2)⋅2(1)⋅(2(1)+1)−f(2)⋅2(2(1)+1)2=3⋅2⋅3−1⋅29=18−29=169g'(1) = \frac{f'(2) \cdot 2(1) \cdot (2(1) + 1) - f(2) \cdot 2}{(2(1) + 1)^2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{9} = \frac{18 - 2}{9} = \frac{16}{9} bulunur.

Anahtar Kavram

Bölüm kuralı, zincir kuralı ve teğet doğrusu denklemi aracılığıyla türev değeri bulma
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2135Soru →

nn bir doğal sayı olmak üzere,

(nn−2)+(n+1n−1)=36\binom{n}{n-2} + \binom{n+1}{n-1} = 36

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen eşitliği sağlayan nn doğal sayısı 6'dır.
Simetri özelliği ile sadeleştirilen kombinasyon ifadeleri açıldığında n2=36n^2 = 36 denklemine ulaşılır. Buradan nn değeri 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kombinasyonun simetri özelliğini uygulama
(n2)+(n+12)=36\binom{n}{2} + \binom{n+1}{2} = 36 denklemi elde edilir.
(xy)=(xx−y)\binom{x}{y} = \binom{x}{x-y} özelliği kullanılarak (nn−2)=(n2)\binom{n}{n-2} = \binom{n}{2} ve (n+1n−1)=(n+12)\binom{n+1}{n-1} = \binom{n+1}{2} şeklinde sadeleştirme yapılır.
2
Kombinasyon formüllerini yerine yazma
n(n−1)2+(n+1)n2=36\frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2} = 36 ifadesi elde edilir.
(x2)=x(x−1)2\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2} açılımı her iki terim için de uygulanır.
3
Cebirsel sadeleştirme yapma ve denklemi çözme
n2=36n^2 = 36 ve buradan n=6n = 6 elde edilir.
Pay kısımları açılıp toplandığında n2−n+n2+n=2n2n^2 - n + n^2 + n = 2n^2 olur. 22 ile sadeleşince n2=36n^2 = 36 kalır. nn doğal sayı olduğundan pozitif kök olan 66 seçilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun özellikleri ve formül uygulamaları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2136Soru →
a, b ve c birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−ax+bx2−4x+3f(x) = \frac{x^2 - ax + b}{x^2 - 4x + 3}
fonksiyonu tanımlanıyor.
g(x)={f(x),x≠3c,x=3g(x) = \begin{cases} f(x), & x \neq 3 \\ c, & x = 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu x=1x = 1 hariç tüm gerçel sayılarda süreklidir.
Buna göre, a+2ca + 2c toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen toplamın değeri 6'dır.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, fonksiyonun x=3x=3 noktasında sürekli olabilmesi için limitinin var olması ve bu limitin g(3)=cg(3)=c değerine eşit olması şartından yola çıkılarak bulunur. Payda x=3x=3 için sıfır olduğundan payın da x=3x=3 köküne sahip olması gerekir. Pay (x−3)(x−k)(x-3)(x-k) şeklinde yazılıp limit alındığında c=3−k2c = \frac{3-k}{2} ve a=k+3a = k+3 bulunur. Buradan a+2c=6a+2c = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
gg fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları belirlemek için tanım kümesini ve parçalı yapıyı analiz edin.
g(x)g(x) fonksiyonu x≠3x \neq 3 için f(x)f(x) rasyonel fonksiyonuna eşittir. f(x)f(x) fonksiyonunun paydası x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) şeklindedir. Dolayısıyla f(x)f(x) fonksiyonu x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktalarında tanımsızdır.
Bir rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda sürekli olamaz.
2
x=3x = 3 noktasındaki süreklilik koşulunu uygulayın.
g(x)g(x) fonksiyonu x=3x = 3 noktasında cc değerini alır. Soruda gg fonksiyonunun yalnızca x=1x = 1 noktasında süreksiz olduğu belirtilmiştir. Bu durum, gg fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında sürekli olması gerektiği anlamına gelir. Süreklilik tanımı gereği, lim⁡x→3g(x)=g(3)=c\lim_{x \to 3} g(x) = g(3) = c olmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin var olması ve fonksiyon değerine eşit olması gerekir.
3
x→3x \to 3 limitinin var olabilmesi için pay ve payda arasındaki ilişkiyi kurarak aa parametresini belirleyin.
lim⁡x→3g(x)=lim⁡x→3x2−ax+b(x−1)(x−3)\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax + b}{(x-1)(x-3)} limitinin bir gerçel sayıya eşit olması için, payda x→3x \to 3 iken sıfıra gittiğinden, payın da sıfıra gitmesi gerekir (0/00/0 belirsizliği). Buradan x=3x = 3 değerinin payın bir kökü olması gerektiği anlaşılır. Dolayısıyla x2−ax+b=(x−3)(x−k)x^2 - ax + b = (x-3)(x-k) şeklinde yazılabilir. Buradan a=k+3a = k + 3 ve b=3kb = 3k elde edilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel sayı olması ancak payın da aynı çarpanı içermesiyle (yani sıfıra yaklaşmasıyla) mümkündür.
4
cc değerini kk cinsinden hesaplayın ve a+2ca + 2c toplamını bulun.
Limit ifadesini sadeleştirerek hesaplayalım:
lim⁡x→3(x−3)(x−k)(x−1)(x−3)=lim⁡x→3x−kx−1=3−k3−1=3−k2\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x-k)}{(x-1)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-k}{x-1} = \frac{3-k}{3-1} = \frac{3-k}{2}
Bu limit değeri cc değerine eşit olmalıdır. Buradan c=3−k2  ⟹  2c=3−kc = \frac{3-k}{2} \implies 2c = 3 - k elde edilir.
a=k+3a = k + 3 olduğunu biliyoruz. O halde,
a+2c=(k+3)+(3−k)=6a + 2c = (k + 3) + (3 - k) = 6 bulunur.
Bulunan aa ve cc değerleri kk değişkenine bağlı olarak toplanırsa, kk değerleri birbirini götürür ve toplam sabit bir değer olan 6'ya ulaşır.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonlarda süreklilik tanımı, belirsizlik giderilmesi ve süreksizlik noktalarının belirlenmesi.
Soru 2137Soru →

Pozitif bir aa gerçel sayısı için [0,2][0, 2] kapalı aralığında tanımlı f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı AA birimkaredir. [0,2][0, 2] aralığı 22 eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonu için bir Riemann üst toplamı UU hesaplanıyor. U−A=7U - A = 7 birimkare olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
Pozitif aa değeri için f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonu [0,2][0, 2] kapalı aralığında artandır. Riemann üst toplamı, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile hesaplanır: U=1⋅(f(1)+f(2))=5a+2U = 1 \cdot (f(1) + f(2)) = 5a + 2. Eğrinin altında kalan alan ise belirli integral ile hesaplandığında A=8a3+2A = \frac{8a}{3} + 2 bulunur. İki değerin farkı U−A=7a3=7U - A = \frac{7a}{3} = 7 eşitliğinden a=3a = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğinin ve alt aralıkların belirlenmesi
Δx=1\Delta x = 1 ve aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2]
[0,2][0, 2] aralığı 22 eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği Δx=2−02=1\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1 olur. Bu durumda bölüntü noktaları x0=0x_0 = 0, x1=1x_1 = 1 ve x2=2x_2 = 2 şeklindedir.
2
Riemann üst toplamının (UU) aa cinsinden hesaplanması
U=5a+2U = 5a + 2
a>0a > 0 olduğu için f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında sürekli artandır. Dolayısıyla her bir alt aralıktaki maksimum değer sağ uç noktalarda alınır. Riemann üst toplamı: U=Δx⋅(f(1)+f(2))=1⋅((a⋅12+1)+(a⋅22+1))=5a+2U = \Delta x \cdot (f(1) + f(2)) = 1 \cdot ((a \cdot 1^2 + 1) + (a \cdot 2^2 + 1)) = 5a + 2 olur.
3
Eğri altında kalan alanın (AA) belirli integral ile aa cinsinden hesaplanması
A=8a3+2A = \frac{8a}{3} + 2
Eğri ile xx ekseni arasında kalan alan, fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki belirli integraline eşittir: A=∫02(ax2+1) dx=[ax33+x]02=(a⋅233+2)−0=8a3+2A = \int_0^2 (ax^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{ax^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{a \cdot 2^3}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8a}{3} + 2 olur.
4
U−A=7U - A = 7 denkleminin çözülerek aa değerinin bulunması
a=3a = 3
Verilen U−A=7U - A = 7 eşitliğinde bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım: (5a+2)−(8a3+2)=7  ⟹  5a−8a3=7  ⟹  15a−8a3=7  ⟹  7a3=7  ⟹  a=3(5a + 2) - \left( \frac{8a}{3} + 2 \right) = 7 \implies 5a - \frac{8a}{3} = 7 \implies \frac{15a - 8a}{3} = 7 \implies \frac{7a}{3} = 7 \implies a = 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Riemann üst toplamı ile belirli integralin temsil ettiği alan ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2138Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları ile bir aa gerçel sayısı için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→af(x)g(x)=L\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L (L∈RL \in \mathbb{R}) limitleri veriliyor. Buna göre, lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 olmak zorundadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır. Limitin sıfıra eşit olduğu durumlarda paydanın limitinin sıfır olması gerekmez.
Limit değerinin sıfır olması halinde paydanın sıfıra gitmesi gerekmediği için bu genel iddia yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Önermedeki limitlerin varlığını ve LL değerinin alabileceği durumları inceleyin.
LL limit değerinin sıfır dahil olmak üzere her gerçel sayı olabileceği tespit edilmiştir.
Önermenin her durumda doğru olup olmadığını belirlemek için uç durumların (özellikle sıfır durumunun) kontrol edilmesi gerekir.
2
Koşulları sağlayan ancak sonucu yanlışlayan bir karşıt örnek oluşturun.
f(x)=xf(x) = x, g(x)=1g(x) = 1 ve a=0a = 0 olarak seçilmiştir.
Genel bir iddianın yanlış olduğunu kanıtlamak için iddiayı çürüten tek bir geçerli örnek sunmak yeterlidir.
3
Seçilen örnek fonksiyonlar için limitleri hesaplayarak doğruluğu test edin.
lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0 ve lim⁡x→0f(x)g(x)=0\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 (L=0L=0) limitleri mevcuttur ancak lim⁡x→0g(x)=1≠0\lim_{x \to 0} g(x) = 1 \neq 0 dır.
Örnek fonksiyonların verilen tüm ön koşulları sağladığını fakat iddia edilen sonucu sağlamadığını matematiksel olarak göstermek.

Anahtar Kavram

Bölümün limiti bir gerçel sayıya eşit ve payın limiti sıfır olduğunda, paydanın limitinin de sıfır olması yalnızca limitin sıfırdan farklı olduğu (L≠0L \neq 0) durumlar için bir zorunluluktur. Eğer limit değeri sıfır ise paydanın limiti sıfırdan farklı bir gerçel sayı olabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2139Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=∫(6x2−4x) dxf(x) = \int (6x^2 - 4x) \, dx
g(x)=∫(2x⋅f(x)+x2⋅f′(x))dxg(x) = \int \left( 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) \right) dx
eşitlikleri veriliyor.

f(1)=3f(1) = 3 ve g(0)=2g(0) = 2 olduğuna göre, g(−1)g(-1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Doğru seçenekte belirtilen değer, integral alma kuralları ve çarpım türevi özellikleri kullanılarak adım adım yapılan çözüme uygundur. İlk fonksiyondan f(−1)=−1f(-1) = -1 ve ikinci integralden g(x)=x2⋅f(x)+2g(x) = x^2 \cdot f(x) + 2 bağıntısı elde edilir. Buradan g(−1)=1g(-1) = 1 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunu bulmak için integral alma kuralı uygulanır.
f(x)=2x3−2x2+C1f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1
Belirsiz integral alma kuralları gereğince, dereceler bir artırılıp yeni dereceye bölünerek integral hesaplanır.
2
f(1) = 3 sınır şartı kullanılarak C_1 integral sabiti hesaplanır.
C1=3C_1 = 3 ve f(x)=2x3−2x2+3f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3
f(1)=2(1)3−2(1)2+C1=3f(1) = 2(1)^3 - 2(1)^2 + C_1 = 3 eşitliğinden C1=3C_1 = 3 bulunur.
3
Bir sonraki adımda kullanılmak üzere f(-1) değeri hesaplanır.
f(−1)=−1f(-1) = -1
f(−1)=2(−1)3−2(−1)2+3=−2−2+3=−1f(-1) = 2(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3 = -2 - 2 + 3 = -1 elde edilir.
4
g(x) fonksiyonunun integralindeki ifade, çarpımın türevi kuralı kullanılarak sadeleştirilir.
g(x)=x2⋅f(x)+C2g(x) = x^2 \cdot f(x) + C_2
2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) ifadesi, x2⋅f(x)x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevidir. Dolayısıyla bu ifadenin integrali kendisini verir.
5
g(0) = 2 sınır şartı kullanılarak C_2 integral sabiti hesaplanır.
C2=2C_2 = 2 ve g(x)=x2⋅f(x)+2g(x) = x^2 \cdot f(x) + 2
g(0)=02⋅f(0)+C2=2g(0) = 0^2 \cdot f(0) + C_2 = 2 eşitliğinden C2=2C_2 = 2 bulunur.
6
g(-1) değeri hesaplanır.
g(−1)=1g(-1) = 1
g(−1)=(−1)2⋅f(−1)+2=1⋅(−1)+2=1g(-1) = (-1)^2 \cdot f(-1) + 2 = 1 \cdot (-1) + 2 = 1 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, türev-integral ilişkisi ve çarpımın türevi yardımıyla integral hesabı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2140Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen oluşturuluyor. Bu dikdörtgenin parabol üzerindeki köşesinden parabole çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle birinci bölgede oluşturduğu dik üçgenin alanı en küçük değerini aldığında, bu dikdörtgenin alanı kaç birimkare olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Teğet doğrusunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alan��nı minimum yapan a=2a = 2 değeri için çizilen dikdörtgenin alanı 16 birimkaredir.
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar kullanılarak oluşturulan üçgenin alan fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde a=2a=2 değeri elde edilir. Bu değer dikdörtgenin alan formülünde yerine yazıldığında alan 16 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki köşenin koordinatlarını belirleme
Birinci bölgedeki köşe P(a,12−a2)P(a, 12 - a^2) olur (0<a<120 < a < \sqrt{12}).
Dikdörtgenin bir köşesi parabolün üzerindedir ve alanı bu değişken cinsinden ifade edeceğiz.
2
Parabole PP noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulma
Teğet denklemi: y=−2ax+a2+12y = -2ax + a^2 + 12
Türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini (m=−2am = -2a) ve geçtiği noktayı kullanarak denklemi oluştururuz.
3
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulma
yy-eksenini kestiği nokta: a2+12a^2 + 12, xx-eksenini kestiği nokta: a2+122a\frac{a^2 + 12}{2a}
Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Dik üçgenin alan fonksiyonunu yazma
A(a)=(a2+12)24aA(a) = \frac{(a^2 + 12)^2}{4a}
Üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
5
Alan fonksiyonunun minimum noktasını bulma
a=2a = 2
Fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek yerel minimum noktasını buluruz. Bölümün türevi kuralı uygulandığında A′(a)=(a2+12)(3a2−12)4a2=0  ⟹  a=2A'(a) = \frac{(a^2+12)(3a^2-12)}{4a^2} = 0 \implies a = 2 elde edilir.
6
Dikdörtgenin alanını hesaplama
Alan = 16 birimkare
Bulunan a=2a = 2 değerini dikdörtgenin alan formülünde (a⋅(12−a2)a \cdot (12 - a^2)) yerine yazarız.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ile maksimum ve minimum problemleri uygulaması
ÖncekiSayfa 107 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin