Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 201Soru →

Köşeleri A(−4,0)A(-4, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(4,0)C(4, 0) noktaları olan bir üçgenin üst sınır çizgisi y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiğidir. Pozitif kk ve mm gerçel sayıları için g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) fonksiyonu oluşturuluyor.

g(0)=8g(0) = 8 olduğu ve gg fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanının 88 birimkare olduğu bilindiğine göre, k+mk + m toplamı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k + m toplamının değeri 6'dır.
g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) dönüşümünde, kk katsayısı fonksiyonu dikey doğrultuda esnetirken (yy-değerlerini kk ile çarpar), mm katsayısı fonksiyonu yatay doğrultuda sıkıştırır (xx-değerlerini mm'ye böler). g(0)=8g(0) = 8 bilgisiyle k=2k = 2 bulunmuş ve alanın 1616 birimkareden 88 birimkareye düşmesi kullanılarak yatayda 44 kat sıkıştırma yapıldığı belirlenmiştir (m=4m = 4). Bu iki değerin toplamı olan 2+4=62 + 4 = 6 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayalım.
f(x)f(x) grafiği köşeleri A(−4,0)A(-4, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(4,0)C(4, 0) olan bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin taban uzunluğu 88 birim ve yüksekliği 44 birimdir. Alanı ise 8×42=16\frac{8 \times 4}{2} = 16 birimkaredir.
g(x)g(x) fonksiyonunun alan dönüşümünü bulabilmek için öncelikle f(x)f(x) fonksiyonunun sınırladığı alanı bilmemiz gerekir.
2
g(0)=8g(0) = 8 eşitliğini kullanarak kk dikey esnetme katsayısını bulalım.
g(0)=k⋅f(m⋅0)=k⋅f(0)g(0) = k \cdot f(m \cdot 0) = k \cdot f(0) yazılır. f(0)=4f(0) = 4 olduğundan, g(0)=4k=8g(0) = 4k = 8 elde edilir. Buradan k=2k = 2 bulunur.
yy-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfır olduğundan, yatay sıkıştırma katsayısı mm bu noktadaki değeri etkilemez ve doğrudan dikey esnetme katsayısı kk'yi bulmamızı sağlar.
3
g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan alan bilgisini kullanarak mm yatay sıkıştırma katsayısını bulalım.
Dikey esnetme katsayısı k=2k = 2 ve yatay sıkıştırma katsayısı mm (m>0m > 0) olan g(x)=k⋅f(m⋅x)g(x) = k \cdot f(m \cdot x) fonksiyonunun sınırladığı alan, f(x)f(x)'in alanının km\frac{k}{m} katıdır. Buradan Alan(g)=km⋅Alan(f)⇒8=2m⋅16⇒8=32m⇒m=4\text{Alan}(g) = \frac{k}{m} \cdot \text{Alan}(f) \Rightarrow 8 = \frac{2}{m} \cdot 16 \Rightarrow 8 = \frac{32}{m} \Rightarrow m = 4 bulunur.
Bir fonksiyon yy-doğrultusunda kk katına çıkarıldığında alan kk katına çıkar, xx-doğrultusunda mm kat sıkıştırıldığında (yani xx değerleri mm'ye bölündüğünde) alan 1m\frac{1}{m} katına iner.
4
kk ve mm değerlerini toplayarak sonucu bulalım.
k+m=2+4=6k + m = 2 + 4 = 6 bulunur.
Soruda bizden istenen k+mk + m toplamıdır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında alan ve koordinat değişimleri.
Soru 202Soru →

Kartezyen koordinat sisteminde, merkezil birim çember üzerinde bulunan bir P(a,b)P(a, b) noktası dördüncü bölgededir.

Bu noktanın koordinatları arasında
3a+4b=03a + 4b = 0
bağıntısı olduğuna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.6

Cevap

P noktasının ordinat değeri -0,6'dır.
Birim çember üzerindeki her P(a,b)P(a, b) noktası için a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 eşitliği geçerlidir. Soruda verilen 3a+4b=03a + 4b = 0 bağıntısından a=−4b3a = -\frac{4b}{3} çekilerek çember denklemine yerleştirildiğinde 25b29=1\frac{25b^2}{9} = 1 ve buradan b2=925b^2 = \frac{9}{25} bulunur. Noktanın dördüncü bölgede olduğu belirtildiğinden ordinatı temsil eden bb değeri negatif olmalıdır. Bu sebeple doğru sonuç −0,6-0,6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinat ilişkisini yazma
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1
Koordinat düzleminde birim çember üzerindeki her noktanın orijine olan uzaklığının karesi 1'e eşittir.
2
Verilen doğrusal bağıntıdan bir değişkeni diğeri cinsinden ifade etme
a=−4b3a = -\frac{4b}{3}
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli hale getirmek amacıyla a değişkeni b cinsinden yazılır.
3
İfadeyi birim çember denkleminde yerine yazarak b değerini bulma
b2=925b^2 = \frac{9}{25}
Kareler toplamı denkleminde yerine koyma yapılarak b'nin mutlak değerce büyüklüğü belirlenir.
4
Bölge bilgisine göre ordinatın işaretini belirleme
b=−0,6b = -0,6
Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir. Bu nedenle b değerinin negatif olan kökü seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinat denklemi ve koordinat düzlemindeki bölgelere göre işaret tayini
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 203Soru →
f(x)=log⁡x−1(49−x2)+log⁡2(x2−9)f(x) = \log_{x - 1}(49 - x^2) + \log_{2}(x^2 - 9)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 15'tir.
Verilen fonksiyonun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olması için x>1x > 1, x≠2x \neq 2, −7<x<7-7 < x < 7 ve x2>9x^2 > 9 koşullarının hepsi sağlanmalıdır. Bu koşulların ortak kesişimi (3,7)(3, 7) açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 4, 5 ve 6 olup toplamları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin taban ve argüman koşullarını belirleme.
x>1x > 1, x≠2x \neq 2 ve −7<x<7-7 < x < 7 koşullarından x∈(1,7)∖{2}x \in (1, 7) \setminus \{2\} elde edilir.
Logaritma tabanı sıfırdan büyük ve 1'den farklı, argümanı ise sıfırdan büyük olmalıdır.
2
İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme.
x>3x > 3 veya x<−3x < -3 elde edilir.
Logaritma argümanı sıfırdan büyük olmalıdır (taban olan 2 zaten pozitif ve 1'den farklıdır).
3
Elde edilen tanım aralıklarının kesişimini bulma.
En geniş tanım kümesi (3,7)(3, 7) açık aralığı olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki logaritmik ifadenin de aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
Bu aralıktaki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşma.
4+5+6=154 + 5 + 6 = 15 bulunur.
(3,7)(3, 7) aralığındaki tam sayılar 44, 55 ve 66'dır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, argümanı ise sıfırdan büyük olmalıdır. Birden fazla logaritma içeren fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir terimin tanım kümelerinin kesişimidir.
Soru 204Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x+cos⁡x=52\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.875

Cevap

Doğru cevap 0.8750.875 (veya 78\frac{7}{8}) olarak bulunur.
Verilen ifadenin her iki tarafının karesi alındığında 1+sin⁡(2x)=1.251 + \sin(2x) = 1.25 eşitliğinden sin⁡(2x)=0.25\sin(2x) = 0.25 elde edilir. Bu değer, cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç olan 0.8750.875 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alınız.
(sin⁡x+cos⁡x)2=(52)2  ⟹  sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=54(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \implies \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{5}{4}
İfadedeki sinüs ve kosinüs toplamını yarım açı formüllerine dönüştürmek için her iki tarafın karesi alınır.
2
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \sin(2x) yarım açı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyiniz.
1+sin⁡(2x)=54  ⟹  sin⁡(2x)=141 + \sin(2x) = \frac{5}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{4}
Elde edilen ifadedeki temel trigonometrik bileşenler sadeleştirilerek sin⁡(2x)\sin(2x) yalnız bırakılır.
3
cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) cinsinden yazınız ve değeri hesaplayınız.
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)=1−2(14)2=1−216=78=0.875\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = \frac{7}{8} = 0.875
Kosinüsün yarım açı formülü cos⁡(2a)=1−2sin⁡2(a)\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) bağıntısı a=2xa = 2x için uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerinin cebirsel ifadelerin çözümünde kullanılması.

Alternatif Yöntem

sin⁡(2x)=14\sin(2x) = \frac{1}{4} değeri bulunduktan sonra, 2x2x açısına ait dik üçgen çizilerek komşu kenar 15\sqrt{15} birim bulunur. Buradan cos⁡(2x)=154\cos(2x) = \frac{\sqrt{15}}{4} elde edilir. cos⁡(4x)=cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)\cos(4x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x) yarım açı formülü kullanılarak cos⁡(4x)=1516−116=1416=78=0.875\cos(4x) = \frac{15}{16} - \frac{1}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} = 0.875 olarak hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 205Soru →
sin⁡(70∘)⋅cos⁡(20∘)−cos⁡(70∘)⋅sin⁡(20∘)cos⁡(40∘)\frac{\sin(70^\circ) \cdot \cos(20^\circ) - \cos(70^\circ) \cdot \sin(20^\circ)}{\cos(40^\circ)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.
Pay kısmındaki ifade sinüs fark formülüyle sin⁡(70∘−20∘)=sin⁡(50∘)\sin(70^\circ - 20^\circ) = \sin(50^\circ) olarak yazılır. Tümler açılardan sin⁡(50∘)=cos⁡(40∘)\sin(50^\circ) = \cos(40^\circ) olduğu için, payda ile sadeleştiğinde sonuç 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında yer alan sin⁡(70∘)⋅cos⁡(20∘)−cos⁡(70∘)⋅sin⁡(20∘)\sin(70^\circ) \cdot \cos(20^\circ) - \cos(70^\circ) \cdot \sin(20^\circ) ifadesini sinüs fark formülüne göre düzenlemek.
sin⁡(70∘−20∘)=sin⁡(50∘)\sin(70^\circ - 20^\circ) = \sin(50^\circ)
sin⁡(a−b)=sin⁡a⋅cos⁡b−cos⁡a⋅sin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b toplam-fark formülünü uygulamak.
2
Pay kısmında bulduğumuz sin⁡(50∘)\sin(50^\circ) değerini paydadaki cos⁡(40∘)\cos(40^\circ) değerine bölmek.
sin⁡(50∘)cos⁡(40∘)\frac{\sin(50^\circ)}{\cos(40^\circ)}
Verilen rasyonel ifadedeki pay ve payda terimlerini bir araya getirmek.
3
Tümler açılar arasındaki ilişkiyi kullanarak ifadeyi sadeleştirmek.
11
50∘+40∘=90∘50^\circ + 40^\circ = 90^\circ olduğundan sin⁡(50∘)=cos⁡(40∘)\sin(50^\circ) = \cos(40^\circ) eşitliği geçerlidir, dolayısıyla pay ve payda birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ve tümler açıların trigonometrik oranları arasındaki ilişki.
Soru 206Soru →
arcsin⁡(x)+arccos⁡(2x)=5π6\arcsin(x) + \arccos(2x) = \frac{5\pi}{6}

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayısı −0.5-0.5 olarak bulunur.
Denklemin çözümünde elde edilen 3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} eşitliğinin sol ve sağ taraflarının işaret uyumundan dolayı x≤0x \le 0 olması gerekir. Karesi alındığında x2=1/4x^2 = 1/4 çıkan denklemin tek geçerli kökü x=−0.5x = -0.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları belirlenir.
x∈[−0.5,0.5]x \in [-0.5, 0.5]
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun tanımlı olması için x∈[−1,1]x \in [-1, 1] ve arccos⁡(2x)\arccos(2x) fonksiyonunun tanımlı olması için 2x∈[−1,1]  ⟹  x∈[−0.5,0.5]2x \in [-1, 1] \implies x \in [-0.5, 0.5] olmalıdır.
2
arcsin⁡(x)=α\arcsin(x) = \alpha değişken değiştirmesi yapılır.
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]
Ters trigonometrik fonksiyon tanımından dolayı arcsin⁡(x)=α  ⟺  sin⁡α=x\arcsin(x) = \alpha \iff \sin\alpha = x olur ve α\alpha açısı [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] aralığında yer alır.
3
Eşitlik α\alpha cinsinden düzenlenerek her iki tarafın kosinüsü alınır.
2x=cos⁡(5π/6−α)2x = \cos(5\pi/6 - \alpha)
arccos⁡(2x)=5π/6−α\arccos(2x) = 5\pi/6 - \alpha eşitliğinden ters fonksiyon tanımı kullanılarak kosinüs değeri çekilir.
4
Kosinüs fark formülü açılır ve bilinen trigonometrik değerler yerine yazılır.
2x=−32cos⁡α+12sin⁡α2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha
cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B formülü uygulanır. Burada cos⁡(5π/6)=−32\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(5π/6)=12\sin(5\pi/6) = \frac{1}{2} değerleri kullanılır.
5
sin⁡α\sin\alpha ve cos⁡α\cos\alpha değerleri xx cinsinden yerine yazılıp denklem düzenlenir.
3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} ve x≤0x \le 0
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2] olduğundan cos⁡α=1−x2≥0\cos\alpha = \sqrt{1-x^2} \ge 0 olur. Eşitliğin sağ tarafı negatif veya sıfır olduğundan sol tarafın da negatif veya sıfır olması için x≤0x \le 0 olmalıdır.
6
Her iki tarafın karesi alınarak denklem çözülür.
x=−0.5x = -0.5
9x2=3(1−x2)  ⟹  12x2=3  ⟹  x2=1/4  ⟹  x=±1/29x^2 = 3(1-x^2) \implies 12x^2 = 3 \implies x^2 = 1/4 \implies x = \pm 1/2. Ancak x≤0x \le 0 koşulundan dolayı pozitif kök elenir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda değer aralığı sınırlamaları ve trigonometrik denklemlerin cebirsel çözümü
Soru 207Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a \cos(b x) + c
fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3} ve görüntü kümesi [−1,5][-1, 5]'tir.

aa ve bb pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Katsayıların toplamı 11'dir.
Fonksiyonun periyodundan b=6b = 6, görüntü kümesi sınırlarından ise a=3a = 3 ve c=2c = 2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1111 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Esas periyot formülü yardımıyla b katsayısını bulma.
b = 6
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a \cos(bx) + c biçimindeki kosinüs fonksiyonunun esas periyodu T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle bulunur. b>0b > 0 olduğu ve esas periyot π3\frac{\pi}{3} olarak verildiği için, 2πb=π3\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{3} eşitliğinden b=6b = 6 elde edilir.
2
Görüntü kümesi yardımıyla a ve c katsayılarını bulma.
a = 3, c = 2
Her xx gerçel sayısı için −1≤cos⁡(6x)≤1-1 \leq \cos(6x) \leq 1 aralığı geçerlidir. a>0a > 0 olduğu için fonksiyonun alabileceği en küçük değer −a+c-a + c, en büyük değer ise a+ca + c olur. Buradan −a+c=−1-a + c = -1 ve a+c=5a + c = 5 denklem sistemi kurulur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2c=4  ⟹  c=22c = 4 \implies c = 2 bulunur. Bulunan değer yerine yazıldığında a=3a = 3 elde edilir.
3
a, b ve c katsayılarını toplama.
a + b + c = 11
Hesaplanan a=3a = 3, b=6b = 6 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak 3+6+2=113 + 6 + 2 = 11 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda periyot ve katsayıların görüntü kümesine etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 208Soru →
Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerinde bulunan bir P(a,b)P(a, b) noktası ikinci bölgededir. Bu noktanın koordinatları arasında
4a+3b=04a + 3b = 0
bağıntısı olduğuna göre, b−ab - a farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.4

Cevap

Birim çember denklemi ve bölge işaretleri kullanılarak a=−0,6a = -0,6 ve b=0,8b = 0,8 bulunur. Buradan b−ab - a farkı 1,41,4 olarak elde edilir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 denklemini sağlamak zorundadır. İkinci bölgede a<0a < 0 ve b>0b > 0 olduğundan, 4a+3b=04a + 3b = 0 eşitliği ile birlikte çözüldüğünde tek bir P(−0,6;0,8)P(-0,6; 0,8) noktası elde edilir. Bu noktanın koordinatları farkı b−a=0,8−(−0,6)=1,4b - a = 0,8 - (-0,6) = 1,4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember denklemini yazma
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1
Merkezil birim çember üzerindeki tüm noktaların orijine olan uzaklığının karesi 1'dir.
2
Bölge işaretlerini belirleme
a<0a < 0 ve b>0b > 0
İkinci bölgedeki noktaların apsisleri negatif, ordinatları pozitif işaretlidir.
3
Verilen bağıntıyı kullanarak koordinatları hesaplama
a=−0,6a = -0,6 ve b=0,8b = 0,8
4a+3b=0  ⟹  a=−34b4a + 3b = 0 \implies a = -\frac{3}{4}b ilişkisini a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 denkleminde yerine koyup b>0b > 0 koşulunu uygulamak gerekir.
4
İstenen farkı hesaplama
b−a=1,4b - a = 1,4
0,8−(−0,6)0,8 - (-0,6) işlemini gerçekleştirerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinat ilişkileri ve bölge işaretleri
Soru 209Soru →

Bir limandan aynı anda hareket eden iki gemiden birincisi Kuzey 30∘30^\circ Doğu yönünde saatte 3 mil hızla, ikincisi ise Güney 30∘30^\circ Doğu yönünde saatte 5 mil hızla doğrusal olarak yol almaktadır. Buna göre, hareketlerinden 2 saat sonra bu iki gemi arasındaki en kısa uzaklık kaç mildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Gemiler arasındaki en kısa uzaklık 14 mildir.
Gemilerin aldıkları mesafeler 6 mil ve 10 mil olup aralarındaki açı 120∘120^\circ dir. Kosinüs Teoremi formülü uygulandığında d2=62+102−2⋅6⋅10⋅cos⁡(120∘)d^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) eşitliğinden d2=196d^2 = 196 ve buradan en kısa uzaklık 14 mil olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Gemilerin 2 saatlik süre sonunda ulaştıkları noktaların limana olan uzaklıklarını hesaplamak.
Birinci gemi 6 mil, ikinci gemi 10 mil yol almıştır.
Mesafe formülü (Mesafe = Hız x Zaman) kullanılarak gemilerin limandan olan uzaklıkları belirlenir.
2
İki geminin rotaları arasındaki açıyı belirlemek.
Rotalar arasındaki açı 120∘120^\circ dir.
Kuzey-Güney doğrusal hattından (180∘180^\circ) doğuya doğru yapılan 30∘30^\circ lik sapmalar çıkarılarak aradaki açı bulunur.
3
Kosinüs Teoremi yardımıyla gemiler arasındaki mesafeyi bulmak.
d2=196  ⟹  d=14d^2 = 196 \implies d = 14 mil.
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende bilinmeyen karşı kenar�� hesaplamak için Kosinüs Teoremi uygulanır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Soru 210Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=34\frac{\sin(4x) - \sin(2x)}{\cos(4x) - \cos(2x) + 1} = \frac{3}{4}

olduğuna göre, cot⁡x\cot x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Buradan yarım açı formülü yardımıyla tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} ve dolayısıyla cot⁡x=3\cot x = 3 bulunur.
Verilen ifade trigonometrik yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. tan⁡(2x)\tan(2x) yarım açı formülüyle açılıp çözüldüğünde tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} bulunur. Buradan cot⁡x=3\cot x = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi yarım açı formülü kullanarak ortak paranteze alma.
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)=sin⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\sin(4x) - \sin(2x) = \sin(2x)(2\cos(2x) - 1)
Sadeleştirme yapabilmek için terimleri çarpanlarına ayırmak gerekir.
2
Payda kısmındaki cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini cos⁡(2x)\cos(2x) cinsinden yazarak düzenleme.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=cos⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\cos(4x) - \cos(2x) + 1 = \cos(2x)(2\cos(2x) - 1)
Pay ile benzer terimler oluşturarak sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
3
İfadeyi sadeleştirme ve tan⁡(2x)\tan(2x) değerini belirleme.
tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4}
x∈(0,π/8)x \in (0, \pi/8) aralığında 2cos⁡(2x)−1≠02\cos(2x) - 1 \neq 0 olduğu için sadeleştirme geçerlidir.
4
tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin yarım açı formülünü kullanarak tan⁡x\tan x değerini bulma.
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=34\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{3}{4} denkleminden pozitif kök seçilir.
5
tan⁡x\tan x değerinden yararlanarak cot⁡x\cot x değerini hesaplama.
cot⁡x=3\cot x = 3
cot⁡x=1tan⁡x\cot x = \frac{1}{\tan x} özdeşliği kullanılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 211Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin iç açılarının sinüs değerleri arasında
sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B)
bağıntısı bulunmaktadır.
Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R=6R = 6 birim ve a+c=18a + c = 18 birim olduğuna göre, sin⁡(B)\sin(B) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

0.75
Sinüs Teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdir ve orantı sabiti çevrel çemberin çapı olan 2R2R değerine eşittir. Verilen sin⁡(A)+sin⁡(C)=2sin⁡(B)\sin(A) + \sin(C) = 2\sin(B) eşitliğinde her bir terim yerine sırasıyla a2R\frac{a}{2R}, c2R\frac{c}{2R} ve b2R\frac{b}{2R} yazıldığında paydalar sadeleşir ve a+c=2ba + c = 2b bağıntısı elde edilir. Soruda a+c=18a + c = 18 birim olarak verildiği için 2b=18  ⟹  b=92b = 18 \implies b = 9 birim bulunur. Çevrel çemberin yarıçapı R=6R = 6 birim olduğu için b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünden 9=12sin⁡(B)  ⟹  sin⁡(B)=0.759 = 12\sin(B) \implies \sin(B) = 0.75 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların sinüs değerlerini Sinüs Teoremi ile kenar uzunlukları ve çevrel çember yarıçapı cinsinden ifade etmek.
sin⁡(A)=a2R\sin(A) = \frac{a}{2R}, sin⁡(B)=b2R\sin(B) = \frac{b}{2R} ve sin⁡(C)=c2R\sin(C) = \frac{c}{2R}
Sorudaki sinüslü ifadeyi kenar uzunluklarına bağlamak için Sinüs Teoremi bağınt��sı kullanılır.
2
Elde edilen sinüs değerlerini verilen denklemde yerine yazıp sadeleştirerek kenarlar arasındaki bağıntıyı bulmak.
a+c=2ba + c = 2b
a2R+c2R=2⋅b2R\frac{a}{2R} + \frac{c}{2R} = 2 \cdot \frac{b}{2R} denkleminde her iki tarafı da 2R2R ile çarparak sadeleştirme yapılır.
3
Verilen a+c=18a + c = 18 bağıntısını kullanarak bb kenar uzunluğunu hesaplamak.
b=9b = 9 birim
a+c=2ba + c = 2b ve a+c=18a + c = 18 olduğundan, 2b=182b = 18 eşitliği elde edilir.
4
Sinüs Teoremi formülünde bb ve RR değerlerini yazarak sin⁡(B)\sin(B) değerini hesaplamak.
sin⁡(B)=0.75\sin(B) = 0.75
b=2Rsin⁡(B)b = 2R\sin(B) formülünde b=9b = 9 ve R=6R = 6 yazıldığında 9=12sin⁡(B)9 = 12\sin(B) denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi kullanılarak üçgenin kenarları ile açılarının sinüsleri arasında doğru orantı kurulması.
Soru 212Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−x+ky = x^2 - x + k parabolü ile y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkın mutlak değeri 1212 birim olduğuna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

k gerçek sayısı -1 olmalıdır.
Doğrunun eğimi 3 olduğundan, kesişim noktalarının ordinatları arasındaki fark, apsisleri arasındaki farkın 3 katına eşittir. Buradan apsisler farkının mutlak değeri 4 olarak bulunur. Kesişim noktalarının apsislerini veren ortak çözüm denklemi x2−4x+k+1=0x^2 - 4x + k + 1 = 0 olup, kökler farkı formülünden Δ=4  ⟹  12−4k=16  ⟹  k=−1\sqrt{\Delta} = 4 \implies 12 - 4k = 16 \implies k = -1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−x+k=3x−1  ⟹  x2−4x+k+1=0x^2 - x + k = 3x - 1 \implies x^2 - 4x + k + 1 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsisleri, bu ortak çözüm denkleminin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 değerleridir.
2
Kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkı, apsisler farkı cinsinden yazarak analiz edin.
Kesişim noktaları A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) olsun. Bu noktalar y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu üzerinde bulundu��undan, y1=3x1−1y_1 = 3x_1 - 1 ve y2=3x2−1y_2 = 3x_2 - 1 olur. Ordinatlar farkının mutlak değeri: ∣y1−y2∣=∣(3x1−1)−(3x2−1)∣=3∣x1−x2∣|y_1 - y_2| = |(3x_1 - 1) - (3x_2 - 1)| = 3|x_1 - x_2| olarak bulunur. Soruda bu fark 1212 birim verildiğinden, 3∣x1−x2∣=12  ⟹  ∣x1−x2∣=43|x_1 - x_2| = 12 \implies |x_1 - x_2| = 4 elde edilir.
Doğru üzerindeki iki noktanın dikey uzaklığı (ordinat farkı), yatay uzaklıklarının (apsis farkının) doğrunun eğimi ile çarpımına eşittir.
3
Ortak çözüm denkleminde kökler farkı formülünü (∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}) kullanarak kk değerini hesaplayın.
x2−4x+k+1=0x^2 - 4x + k + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(−4)2−4(1)(k+1)=12−4k\Delta = (-4)^2 - 4(1)(k+1) = 12 - 4k şeklindedir. Kökler farkı ∣x1−x2∣=12−4k1=4  ⟹  12−4k=4  ⟹  12−4k=16  ⟹  4k=−4  ⟹  k=−1|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{12 - 4k}}{1} = 4 \implies \sqrt{12 - 4k} = 4 \implies 12 - 4k = 16 \implies 4k = -4 \implies k = -1 bulunur.
Apsisler arasındaki farkın 4 birim olmasını sağlayan k parametresi, ikinci dereceden ortak çözüm denkleminin diskriminant bağıntısı yardımıyla belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının koordinat ilişkileri ve ortak çözüm denklemi

Alternatif Yöntem

Kökler farkı ∣x1−x2∣=4|x_1 - x_2| = 4 olarak belirlendikten sonra, (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 özdeşliği kullanılabilir. Ortak çözüm denkleminden kökler toplamı x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve kökler çarpımı x1x2=k+1x_1x_2 = k+1 değerleri yerine yazıldığında; 42=42−4(k+1)  ⟹  16=16−4(k+1)  ⟹  4(k+1)=0  ⟹  k=−14^2 = 4^2 - 4(k+1) \implies 16 = 16 - 4(k+1) \implies 4(k+1) = 0 \implies k = -1 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 213Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı bir ff fonksiyonunun yerel maksimum noktası A(6,12)A(6, 12), yerel minimum noktası ise B(−3,−6)B(-3, -6)'dır.

Buna göre,
g(x)=2⋅f(x3)g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right)

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık 45 birimdir.
Yerel maksimum noktası A(6,12)A(6,12) ve yerel minimum noktası B(−3,−6)B(-3,-6) olan ff fonksiyonuna uygulanan g(x)=2⋅f(x/3)g(x) = 2 \cdot f(x/3) dönüşümü, grafiği yatayda 3 kat ve dikeyde 2 kat esnetir. Bu dönüşüm sonucunda yeni yerel ekstremum noktaları A′(18,24)A'(18, 24) ve B′(−9,−12)B'(-9, -12) olur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık analitik düzlemde (18−(−9))2+(24−(−12))2=272+362=45\sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 45 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2⋅f(x3)g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatlarını belirlemek için ff fonksiyonunun maksimum noktası olan A(6,12)A(6, 12) referans alınır.
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktası A′(18,24)A'(18, 24) olarak bulunur.
g(x)g(x) fonksiyonunun maksimum değere ulaşması için ff fonksiyonunun girdisinin 66 olması gerekir. Buradan x3=6  ⟹  x=18\frac{x}{3} = 6 \implies x = 18 elde edilir. Dikey esneme katsayısı 22 olduğundan ordinat değeri 2⋅12=242 \cdot 12 = 24 olur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel minimum noktasının koordinatlarını belirlemek için ff fonksiyonunun minimum noktası olan B(−3,−6)B(-3, -6) referans alınır.
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel minimum noktası B′(−9,−12)B'(-9, -12) olarak bulunur.
g(x)g(x) fonksiyonunun minimum değere ulaşması için ff fonksiyonunun girdisinin −3-3 olması gerekir. Buradan x3=−3  ⟹  x=−9\frac{x}{3} = -3 \implies x = -9 elde edilir. Dikey esneme katsayısı 22 olduğundan ordinat değeri 2⋅(−6)=−122 \cdot (-6) = -12 olur.
3
Elde edilen A′(18,24)A'(18, 24) ve B′(−9,−12)B'(-9, -12) noktaları arasındaki uzaklık iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplanır.
Uzaklık 4545 birim olarak hesaplanır.
Uzaklık formülü ∣A′B′∣=(18−(−9))2+(24−(−12))2=272+362=9⋅32+42=9⋅5=45|A'B'| = \sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 9 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = 9 \cdot 5 = 45 birimdir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümlerinin koordinatlar üzerindeki etkisi.
Soru 214Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡4x−cos⁡4xtan⁡x−cot⁡x=38\frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\tan x - \cot x} = \frac{3}{8}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) olup, verilen eşitlikten sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifadenin pay ve paydası yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) ifadesi elde edilir. Bu ifade 38\frac{3}{8} değerine eşitlendiğinde sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak sadeleştirin.
sin⁡4x−cos⁡4x=−cos⁡(2x)\sin^4 x - \cos^4 x = -\cos(2x)
sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) olup sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazıp paydalarını eşitleyerek yarım açı formülleriyle sadeleştirin.
tan⁡x−cot⁡x=−2cos⁡(2x)sin⁡(2x)\tan x - \cot x = \frac{-2\cos(2x)}{\sin(2x)}
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} olup, pay için yarım açıdan −cos⁡(2x)-\cos(2x), payda için ise 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) yazılmıştır.
3
Pay ve payda ifadelerini oranlayarak denklemi çözün.
sin⁡(2x)=0.75\sin(2x) = 0.75
−cos⁡(2x)−cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=12sin⁡(2x)=38  ⟹  sin⁡(2x)=34=0.75\frac{-\cos(2x)}{\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)}} = \frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{3}{8} \implies \sin(2x) = \frac{3}{4} = 0.75 elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometride iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme ve sinüs ile kosinüsün yarım açı formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Payda kısmında tan⁡x−cot⁡x=−2cot⁡(2x)\tan x - \cot x = -2\cot(2x) özdeşliği doğrudan kullanılabilir. Bu özdeşlik cot⁡(2x)=cot⁡2x−12cot⁡x\cot(2x) = \frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} formülünün ters çevrilip eksi ile çarpılmış halidir. Bu sayede payda doğrudan −2cot⁡(2x)-2\cot(2x) olarak yazılıp sadeleştirme daha hızlı yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 215Soru →
f(x)=log⁡x−1(36−x2x+3)f(x) = \log_{x - 1}\left(\frac{36 - x^2}{x + 3}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 12'dir.
Logaritmanın tanımlı olması için taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2). Argümanın pozitif olması için ise 36−x2x+3>0\frac{36-x^2}{x+3} > 0 eşitsizliği çözüldüğünde x∈(−∞,−6)∪(−3,6)x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 6) elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi olan (1,6)∖{2}(1, 6) \setminus \{2\} aralığındaki tam sayılar 3,4,53, 4, 5 olup toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlılık şartlarını belirlemek
x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Argümanın pozitiflik şartını yazmak
36−x2x+3>0\frac{36 - x^2}{x + 3} > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanı pozitif olmalıdır.
3
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve işaret incelemesi yapmak
Kökler: x=−6x = -6, x=−3x = -3, x=6x = 6; Çözüm aralığı: (−∞,−6)∪(−3,6)(-\infty, -6) \cup (-3, 6)
Rasyonel ifadenin işaretini belirlemek amacıyla pay ve payda kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini elde etmek
(1,6)∖{2}(1, 6) \setminus \{2\}
Hem taban koşullarının hem de argümanın pozitiflik koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplamak
3,4,53, 4, 5 tam sayıları; Toplam: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12
Elde edilen aralıktaki tam sayılar tespit edilir ve toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonu log⁡g(x)f(x)\log_{g(x)}f(x) biçiminde tanımlandığında en geniş tanım kümesi için f(x)>0f(x) > 0, g(x)>0g(x) > 0 ve g(x)≠1g(x) \neq 1 şartlarının tamamı aynı anda sağlanmalıdır.

Alternatif Yöntem

Taban şartından dolayı x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2 olması gerektiği bilindiğinden, en geniş tanım kümesindeki tam sayı adayları 3,4,5,6,7,…3, 4, 5, 6, 7, \dots olarak sıralanabilir. Bu değerler fonksiyonda sırayla yerine yazılarak argümanın pozitif kalıp kalmadığı kontrol edilebilir: x=3x = 3 için 276>0\frac{27}{6} > 0 (sağlar), x=4x = 4 için 207>0\frac{20}{7} > 0 (sağlar), x=5x = 5 için 118>0\frac{11}{8} > 0 (sağlar). x=6x = 6 için pay 0 olur ve tanımsızlık oluşur. x>6x > 6 değerleri için pay negatif, payda ise pozitif olduğundan argüman daima negatif çıkar ve tanımlılık sağlanmaz. Buradan sadece 3,4,53, 4, 5 değerlerinin sağladığı görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 216Soru →
aa bir tam sayı olmak üzere,
x2−2ax+a2−a−4≤0x^2 - 2ax + a^2 - a - 4 \le 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının sayısı 55 olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Farklı aa tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Verilen x2−2ax+a2−a−4≤0x^2 - 2ax + a^2 - a - 4 \le 0 eşitsizliği (x−a)2≤a+4(x-a)^2 \le a+4 şeklinde yazılabilir. Çözüm kümesi [a−a+4,a+a+4][a-\sqrt{a+4}, a+\sqrt{a+4}] kapalı aralığıdır. Merkez elemanı aa tam sayısı olan bu simetrik aralıkta tam olarak 5 tane tam sayı bulunabilmesi için bu sayıların a−2,a−1,a,a+1,a+2a-2, a-1, a, a+1, a+2 olması gerekir. Bu durum 2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3 koşulunu gerektirir. Buradan 4≤a+4<9  ⟹  0≤a<54 \le a+4 < 9 \implies 0 \le a < 5 elde edilir. aa'nın alabileceği tam sayı değerleri 0, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik ifadesini tam kareye tamamlayarak düzenleyin.
(x−a)2≤a+4(x-a)^2 \le a+4
Eşitsizliğin sınırlarını ve köklerin simetrisini aa parametresi cinsinden daha kolay analiz edebilmek için.
2
Eşitsizliğin çözüm kümesini aa cinsinden kapalı aralık olarak yazın.
a−a+4≤x≤a+a+4a - \sqrt{a+4} \le x \le a + \sqrt{a+4}
x2−2ax+a2=(x−a)2x^2 - 2ax + a^2 = (x-a)^2 ifadesinin karekökü alınarak xx yalnız bırakılır. Eşitsizliğin gerçel sayılarda çözümünün olabilmesi için a+4≥0a+4 \ge 0 olmalıdır.
3
Çözüm aralığındaki tam sayı adedinin 5 olmasını sağlayan eşitsizlik koşulunu belirleyin.
2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3
aa bir tam sayı olduğundan, aralık aa noktasına göre simetriktir. Aralıktaki 5 tam sayı a−2,a−1,a,a+1,a+2a-2, a-1, a, a+1, a+2 olmalıdır. Bu durum, üst sın��r olan a+a+4a+\sqrt{a+4} değerinin a+2a+2 ile a+3a+3 arasında (alt sınıra eşit olabilir, üst sınıra eşit olamaz) olmasını gerektirir.
4
Elde edilen eşitsizliği çözerek aa tam sayısının alabileceği değerler kümesini bulun.
4≤a+4<9  ⟹  0≤a<54 \le a+4 < 9 \implies 0 \le a < 5
2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3 eşitsizliğinde her iki tarafın karesi alınarak aa yalnız bırakılır.
5
Koşulu sağlayan farklı aa tam sayılarının toplamını bulun.
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
0≤a<50 \le a < 5 aralığındaki aa tam sayıları {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\} değerleridir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde tam kareye tamamlama yöntemi ve çözüm aralığındaki tam sayıların simetri analizi.
Soru 217Soru →
tan⁡(arcsin⁡(35)+arccot(2))\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) + \text{arccot}(2)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.
Verilen ters trigonometrik ifadeler açılara eşitlendiğinde elde edilen trigonometrik değerler, dik üçgen bağıntıları yardımıyla tanjant değerlerine dönüştürülür. Ardından tanjant toplam formülü uygulanarak ifadenin sayısal değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonları açılara eşitleme
arcsin⁡(35)=α  ⟹  sin⁡α=35\arcsin\left(\frac{3}{5}\right) = \alpha \implies \sin\alpha = \frac{3}{5} ve arccot(2)=β  ⟹  cot⁡β=2\text{arccot}(2) = \beta \implies \cot\beta = 2
Ters trigonometrik fonksiyonların temel tanımını kullanarak açısal karşılıklarını belirlemek için.
2
Açıların tanjant değerlerini hesaplama
tan⁡α=34\tan\alpha = \frac{3}{4} ve tan⁡β=12\tan\beta = \frac{1}{2}
Toplam formülünde kullanmak üzere dik üçgen tanımı ve trigonometrik özdeşliklerden yararlanmak için.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak sonucu bulma
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡α⋅tan⁡β=2\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta} = 2
İstenen toplam açısının tanjantını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda açı dönüşümü ve toplam formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, koordinat düzleminde eğimleri sırasıyla 3/43/4 ve 1/21/2 olan iki doğrunun eğim açılarının toplamı dikkate alınabilir. Bu doğruların oluşturduğu toplam açının tanjantı doğrudan iki doğrunun kesişim geometrisinden elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 218Soru →
x2−6x−7<0x^2 - 6x - 7 < 0
x2−3x−10x−3≤0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Birinci eşitsizlikten (−1,7)(-1, 7) aralığı elde edilir. İkinci eşitsizlikten ise payda kökü hariç tutularak (−∞,−2]∪(3,5](-\infty, -2] \cup (3, 5] aralığı bulunur. İki kümenin kesişimi (3,5](3, 5] yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki xx tam sayıları 44 ve 55 olup toplamları 99'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizlik olan x2−6x−7<0x^2 - 6x - 7 < 0 ifadesinin köklerini bulun.
Kökler x1=−1x_1 = -1 ve x2=7x_2 = 7 olarak bulunur.
Eşitsizliğin sınır değerlerini ve işaret değişim noktalarını belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.
2
İkinci eşitsizlik olan x2−3x−10x−3≤0\frac{x^2 - 3x - 10}{x - 3} \le 0 ifadesinin pay ve paydasındaki kökleri bulun.
Payın kökleri x=−2x = -2 ve x=5x = 5, paydanın kökü ise x=3x = 3 olarak elde edilir.
Rasyonel ifadenin kritik noktalarını tespit ederek işaret tablosunu oluşturmak gerekir.
3
Eşitsizlikler için işaret tablosu oluşturup çözüm aralıklarını belirleyin.
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi (−1,7)(-1, 7) açık aralığıdır. İkinci eşitsizlikte paydanın kökü olan x=3x = 3 ifadesi tanımsızlık oluşturduğundan dahil edilmeden elde edilen çözüm kümesi (−∞,−2]∪(3,5](-\infty, -2] \cup (3, 5] yarı açık aralığıdır.
Her bir eşitsizliği sağlayan gerçel sayı bölgelerini net olarak ortaya koymak için.
4
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini (ortak çözüm kümesini) alın.
Kesi��im kümesi (3,5](3, 5] yarı açık aralığı olarak bulunur.
Sistemdeki tüm eşitsizliklerin aynı anda sağlanması gerektiği için ortak bölgeyi bulmamız gerekir.
5
Çözüm kümesindeki xx tam sayılarını toplayın.
4+5=94 + 5 = 9 elde edilir.
Soru kökünde istenen nihai sayısal değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu oluşturularak çözülmesi ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması.
Soru 219Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff üstel fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayıları için
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x + y) = f(x) \cdot f(y)
eşitliğini sağlamaktadır.
f(x+3)−f(x+2)−12f(x+1)=0f(x + 3) - f(x + 2) - 12f(x + 1) = 0

olduğuna göre, f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İstenen değer 32 olarak bulunur.
Üstel fonksiyonun tanımı gereği tabanı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır. Verilen fonksiyon denklemi çözüldüğünde tabanın a=4a = 4 olduğu görülür. Buradan f(x)=4xf(x) = 4^x fonksiyonu elde edilir ve f(5/2)=45/2=32f(5/2) = 4^{5/2} = 32 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun genel formunu yazma
f(x)=axf(x) = a^x (a>0a > 0, a≠1a \neq 1)
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x+y) = f(x) \cdot f(y) bağıntısı ve üstel fonksiyon tanımı gereği fonksiyon f(x)=axf(x) = a^x biçimindedir.
2
Denklemde fonksiyonları yerine koyma
ax+3−ax+2−12ax+1=0a^{x+3} - a^{x+2} - 12a^{x+1} = 0
Verilen fonksiyonel denklemde f(x)=axf(x) = a^x kuralını uygulamak için.
3
Denklemi ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme
a2−a−12=0a^2 - a - 12 = 0
ax+1⋅(a2−a−12)=0a^{x+1} \cdot (a^2 - a - 12) = 0 ifadesinde ax+1>0a^{x+1} > 0 olduğu için bu terim sadeleştirilebilir.
4
Kökleri bulma ve taban şartını uygulama
a=4a = 4
(a−4)(a+3)=0(a-4)(a+3) = 0 denkleminden a=4a = 4 ve a=−3a = -3 gelir. Üstel fonksiyon tabanı pozitif (a>0a > 0) olmalıdır.
5
İstenen fonksiyon değerini hesaplama
f(52)=32f\left(\frac{5}{2}\right) = 32
f(x)=4xf(x) = 4^x fonksiyonunda xx yerine 52\frac{5}{2} yazarak sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif ve 1'den farklı olma zorunluluğu.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 220Soru →
f(x)=log⁡x−2(64−x2x+1)f(x) = \log_{x - 2}\left(\frac{64 - x^2}{x + 1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 22'dir.
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi belirlenirken tabanının pozitif ve 1'den farklı olması, argümanının ise pozitif olması koşulları birlikte sağlanmalıdır. Bu koşulların kesişimi (2,8)∖{3}(2, 8) \setminus \{3\} aralığını verir ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tabanının tanımlı olma koşullarını belirlemek.
x>2x > 2 ve x≠3x \neq 3
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Logaritmanın argümanının (içinin) pozitif olma koşulunu belirlemek.
64−x2x+1>0\frac{64 - x^2}{x + 1} > 0
Logaritmanın tanımlı olması için argümanı daima sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Eşitsizliğin köklerini bulup işaret incelemesi yapmak.
Kökler x=−8x = -8, x=−1x = -1 ve x=8x = 8'dir. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−8)∪(−1,8)(-\infty, -8) \cup (-1, 8) olur.
Rasyonel ifadenin pay ve paydasının kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Taban ve argüman koşullarının kesişim kümesini bulmak.
x∈(2,8)∖{3}x \in (2, 8) \setminus \{3\}
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerlerden oluşur.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplamak.
Tam sayılar {4,5,6,7}\{4, 5, 6, 7\} ve toplamları 4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22'dir.
Elde edilen aralıktaki tam sayılar belirlenir ve bunların toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 11 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin