Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2401Soru →
Bir ff fonksiyonunun birinci türevi olan f′(x)f'(x) fonksiyonu her xx gerçel sayısı için
f′(2x−1)=4x2−4x+3f'(2x - 1) = 4x^2 - 4x + 3
eşitliğini sağlamaktadır.
f(3)=17f(3) = 17 olduğuna göre, f(−3)f(-3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −13-13

Cevap

−13-13
Doğru seçenekteki değer, f′(2x−1)f'(2x-1) fonksiyonundan değişken dönüşümü yapılarak f′(x)=x2+2f'(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun bulunması, ardından integral kuralları ile f(x)=x33+2x+2f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + 2 genel kuralına ulaşılması ve x=−3x = -3 yazılarak −13-13 sonucunun elde edilmesiyle bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
f′(2x−1)f'(2x-1) ifadesinde değişken değiştirme yapılarak f′(x)f'(x) fonksiyonu elde edilir.
f′(x)=x2+2f'(x) = x^2 + 2
u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümüyle x=u+12x = \frac{u+1}{2} yazılır. Bu değer f′(2x−1)=4x2−4x+3f'(2x-1) = 4x^2 - 4x + 3 eşitliğinde yerine yazıldığında f′(u)=u2+2f'(u) = u^2 + 2 bulunur.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak f(x)f(x) fonksiyonu bulunur.
f(x)=x33+2x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C
Belirsiz integral alma kuralları gereği, dereceler 1 artırılıp yeni dereceye bölünür ve integral sabiti eklenir.
3
f(3)=17f(3) = 17 başlangıç koşulu kullanılarak CC integral sabiti bulunur.
C=2C = 2
f(3)=333+2(3)+C=17  ⟹  15+C=17  ⟹  C=2f(3) = \frac{3^3}{3} + 2(3) + C = 17 \implies 15 + C = 17 \implies C = 2 elde edilir.
4
Elde edilen f(x)=x33+2x+2f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + 2 fonksiyonunda x=−3x = -3 yazılarak f(−3)f(-3) değeri hesaplanır.
f(−3)=−13f(-3) = -13
f(−3)=(−3)33+2(−3)+2=−9−6+2=−13f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + 2(-3) + 2 = -9 - 6 + 2 = -13 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral kuralları ve integral sabitinin hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2402Soru →

nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,

(2x−1x2)n\left(2x - \frac{1}{x^2}\right)^n

ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı 729729 dur.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Sabit terim 240 olarak bulunur.
Açılımdaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı (2+1)n=3n=729(2+1)^n = 3^n = 729 eşitliğinden n=6n=6 olarak bulunur. Genel terim ifadesinde sabit terimi elde etmek için xx'in kuvveti sıfıra eşitlenerek r=2r=2 elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında sabit terim 240240 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımdaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamını veren ifadeyi yazmak.
Genel terim (nr)(2x)n−r(−x−2)r=(nr)2n−r(−1)rxn−3r\binom{n}{r} (2x)^{n-r} (-x^{-2})^r = \binom{n}{r} 2^{n-r} (-1)^r x^{n-3r} şeklindedir. Katsayıların mutlak değerleri toplamı ∑r=0n(nr)2n−r∣−1∣r=(2+1)n=3n\sum_{r=0}^n \binom{n}{r} 2^{n-r} |-1|^r = (2+1)^n = 3^n olur.
Katsayılar��n mutlak değerlerinin toplamı, terimlerdeki negatif işaretlerin pozitif yapılmasıyla elde edilen binom açılımına eşittir.
2
nn değerini belirlemek.
3n=729  ⟹  n=63^n = 729 \implies n = 6 olarak bulunur.
729729 sayısı 33 tabanında 363^6 olarak ifade edilir.
3
Sabit terimi bulmak için değişkenin üssünü sıfıra eşitlemek.
n=6n=6 için genel terim (6r)26−r(−1)rx6−3r\binom{6}{r} 2^{6-r} (-1)^r x^{6-3r} olur. Sabit terimde xx'in kuvveti sıfır olmalıdır: 6−3r=0  ⟹  r=26 - 3r = 0 \implies r = 2 bulunur.
Sabit terim, değişken içermeyen yani değişkenin kuvvetinin sıfır olduğu terimdir.
4
r=2r=2 değerini genel terimde yerine yazarak sabit terimi hesaplamak.
Sabit terim: (62)26−2(−1)2=15⋅24⋅1=15⋅16=240\binom{6}{2} 2^{6-2} (-1)^2 = 15 \cdot 2^4 \cdot 1 = 15 \cdot 16 = 240 olarak hesaplanır.
Genel terim formülünde bulunan değerler yerine yazılarak sabit terim katsayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı, katsayıların mutlak değerleri toplamı ve sabit terim hesabı.
Soru 2403Soru →

Bir çember üzerinde eşit aralıklarla işaretlenmiş 12 nokta, bir düzgün onikigenin köşeleridir. Bu 12 nokta arasından rastgele seçilen üç farklı noktanın birleştirilmesiyle bir üçgen oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu üçgenin geniş açılı bir üçgen olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 611\frac{6}{11}

Cevap

Seçilen üçgenin geniş açılı olma olasılığı 6/11'dir.
Düzgün onikigenin köşeleriyle oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısı 220'dir. Geniş açılı üçgenlerin oluşabilmesi için üçgenin köşeleri arasındaki yaylardan birinin yarım çemberden uzun olması gerekir. Saat yönündeki sıralamayı kullanarak her bir köşeden başlayıp 5 birimlik yay içinde kalan diğer 2 köşeyi seçtiğimizde (toplam 10 durum), her köşe için 10 adet olmak üzere toplam 120 benzersiz geniş açılı üçgen elde edilir. Olasılık değeri de 120/220 sadeleştirilerek 6/11 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam olası üçgen sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
12 noktadan seçilen 3 nokta ile oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısı: (123)=12×11×103×2×1=220\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 adet.
Olasılık hesabında örnek uzayın eleman sayısını belirlemek gerekir.
2
Çember üzerindeki yay uzunlukları cinsinden geniş açılı üçgen olma koşulunu belirlemek.
Üçgenin köşeleri arasındaki yay segmentleri saat yönünde x,y,zx, y, z birim olsun (x+y+z=12x+y+z=12 ve x,y,z≥1x,y,z \ge 1). Üçgenin geniş açılı olması için köşelerden birinin gördüğü yayın yarım çemberden büyük olması gerekir. Bu da x,y,zx, y, z değerlerinden birinin 66'dan büyük (>6> 6) olması anlamına gelir.
Çemberde bir çevre açının geniş açı (>90∘>90^\circ) olması için gördüğü yayın ölçüsünün 180∘180^\circ'den (yani 6 birimlik yaydan) büyük olması şarttır.
3
Geniş açılı üçgenlerin sayısını benzersiz bir sıralama yöntemiyle saymak.
Bir köşe başlangıç noktası olarak seçildiğinde, üçgenin diğer iki köşesi bu noktadan sonraki saat yönündeki ilk 5 nokta arasından seçilirse, kalan geri dönüş yayı en az 12−5=712-5=7 birim olur ve 66'dan büyük kalır. Bu durum her zaman geniş açılı bir üçgen tanımlar. Bu seçim (52)=10\binom{5}{2} = 10 yolla yapılır. Toplam 12 köşe başlangıç noktası olabileceğinden, toplam geniş açılı üçgen sayısı 12×10=12012 \times 10 = 120 olarak bulunur.
Her geniş açılı üçgenin en uzun yayı gören benzersiz bir 'ilk' köşesi (saat yönünde en önde olan köşesi) vardır. Bu sayede her geniş açılı üçgeni tam olarak bir kez saymış oluruz.
4
İstenen olasılık değerini hesaplamak.
P(Genis¸ Ac¸ılı)=120220=611P(\text{Geniş Açılı}) = \frac{120}{220} = \frac{6}{11} olarak sadeleştirilir.
İstenen durum sayısı toplam durum sayısına bölünerek basit olasılık tanımı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir çember üzerinde seçilen noktalarla oluşturulan üçgenlerin açı özelliklerine göre kombinasyon ve olasılık hesabı.
Soru 2404Soru →

Gerçel sayılar kümesinin −1-1 dışındaki tüm elemanları üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu, aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere

f(x)=x2+ax+bx+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x + 1}

kuralıyla verilmektedir.

f(1)=2f(1) = 2
f′(1)=2f'(1) = 2

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Doğru cevap −4-4 olarak bulunur.
Doğru cevap −4-4 değeridir. Fonksiyonun verilen noktadaki değeri ve bölüm türevi yardımıyla elde edilen türev değeri kullanılarak a=4a = 4 ve b=−1b = -1 olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı −4-4 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)=2f(1) = 2 eşitliğini kullanarak aa ve bb arasındaki ilk denklemi elde etmek.
a+b=3a + b = 3
Fonksiyonun tanımından f(1)=1+a+b2=2  ⟹  a+b=3f(1) = \frac{1 + a + b}{2} = 2 \implies a + b = 3 olur.
2
Bölümün türevi kuralını uygulayarak f′(x)f'(x) türev fonksiyonunu bulmak ve x=1x = 1 yazarak ikinci denklemi elde etmek.
a−b=5a - b = 5
f′(x)=(2x+a)(x+1)−(x2+ax+b)(x+1)2f'(x) = \frac{(2x + a)(x + 1) - (x^2 + ax + b)}{(x + 1)^2} olup x=1x = 1 için f′(1)=(2+a)(2)−(1+a+b)4=2  ⟹  4+2a−(1+a+b)=8  ⟹  3+a−b=8  ⟹  a−b=5f'(1) = \frac{(2 + a)(2) - (1 + a + b)}{4} = 2 \implies 4 + 2a - (1 + a + b) = 8 \implies 3 + a - b = 8 \implies a - b = 5 elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini bulmak.
a=4a = 4 ve b=−1b = -1
a+b=3a + b = 3 ve a−b=5a - b = 5 denklemleri taraf tarafa toplanarak 2a=8  ⟹  a=42a = 8 \implies a = 4 bulunur. Bu değer birinci denklemde yerine yazıldığında b=−1b = -1 elde edilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
−4-4
a=4a = 4 ve b=−1b = -1 olduğundan, çarpımları 4⋅(−1)=−44 \cdot (-1) = -4 olur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve fonksiyonlarda türev uygulamaları.
Soru 2405Soru →
[1,7][1, 7] kapalı aralığında sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10
ve
∫25f(2x−3) dx=8\int_{2}^{5} f(2x - 3) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫47(f(x)+2) dx\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Belirli integralin özellikleri kullanılarak elde edilen sonuç 12'dir.
Verilen ikinci integralde değişken değiştirme yapılarak sınırların güncellenmesiyle [1,7][1, 7] aralığındaki integral değeri 16 olarak bulunur. Ardından aralık bölme özelliği kullanılarak [4,7][4, 7] aralığındaki integral değeri 6 olarak elde edilir. Son olarak doğrusal parçalama ile bu değere sabit olan 2 sayısının aynı aralıktaki integrali (yani 6) eklenerek doğru cevap 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanarak sınırlar ve ifade düzenlenir.
∫17f(x) dx=16\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 16
u=2x−3u = 2x - 3 dönüşümüyle sınırları ve diferansiyel ifadesini (dx=du2dx = \frac{du}{2}) güncellemek için.
2
Belirli integralin sınırları bölme özelliği uygulanarak bilinmeyen aralıktaki integral değeri hesaplanır.
∫47f(x) dx=6\int_{4}^{7} f(x) \, dx = 6
[1,7][1, 7] aralığındaki integrali [1,4][1, 4] ve [4,7][4, 7] aralıklarına bölerek bilinen değerlerden yararlanmak için.
3
İstenen integral ifadesi doğrusal olarak parçalanarak hesaplanır.
∫47(f(x)+2) dx=12\int_{4}^{7} (f(x) + 2) \, dx = 12
Toplama halindeki integral ifadesini fonksiyonun integrali ile sabit terimin integralinin toplamı şeklinde yazıp hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme, aralık bölme ve doğrusallık özellikleri
Soru 2406Soru →

Kartezyen koordinat sisteminde tanımlanan A⃗=(3,−2)\vec{A} = (3, -2), B⃗=(−1,4)\vec{B} = (-1, 4) ve C⃗=(2,3)\vec{C} = (2, 3) vektörleri verilmiştir. Sol sütunda verilen vektör işlemlerini, sağ sütundaki bu işlemlerin sonucunda elde edilen bileşke vektörlerin kartezyen koordinatları ile doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

A⃗+B⃗\vec{A} + \vec{B}
B⃗−C⃗\vec{B} - \vec{C}
2A⃗+C⃗2\vec{A} + \vec{C}
C⃗−A⃗\vec{C} - \vec{A}

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki işlemler sırasıyla sağ sütundaki (2,2)(2, 2), (−3,1)(-3, 1), (8,−1)(8, -1) ve (−1,5)(-1, 5) koordinatlarıyla eşleşir.
Vektörlerin kartezyen koordinatlarındaki toplama ve çıkarma işlemleri bileşenler bazında yapılır. A⃗+B⃗\vec{A} + \vec{B} işlemi (2,2)(2, 2) vektörünü; B⃗−C⃗\vec{B} - \vec{C} işlemi (−3,1)(-3, 1) vektörünü; 2A⃗+C⃗2\vec{A} + \vec{C} işlemi (8,−1)(8, -1) vektörünü; C⃗−A⃗\vec{C} - \vec{A} işlemi ise (−1,5)(-1, 5) vektörünü verir.

Adım Adım Çözüm

1
A⃗+B⃗\vec{A} + \vec{B} işlemini gerçekleştirmek için vektörlerin x ve y bileşenlerini kendi aralarında toplayın.
A⃗+B⃗=(3+(−1),−2+4)=(2,2)\vec{A} + \vec{B} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)
İki vektörün toplamı, karşılık gelen bileşenlerinin toplamına eşittir.
2
B⃗−C⃗\vec{B} - \vec{C} işlemini gerçekleştirmek için B⃗\vec{B} vektörünün bileşenlerinden C⃗\vec{C} vektörünün bileşenlerini çıkarın.
B⃗−C⃗=(−1−2,4−3)=(−3,1)\vec{B} - \vec{C} = (-1 - 2, 4 - 3) = (-3, 1)
Vektör çıkarmada, çıkarılan vektörün bileşenleri ters işaretli olarak toplanır.
3
2A⃗+C⃗2\vec{A} + \vec{C} işlemini gerçekleştirmek için önce A⃗\vec{A} vektörünü 22 ile çarpın, ardından C⃗\vec{C} vektörünü ekleyin.
2A⃗+C⃗=(2×3+2,2×(−2)+3)=(8,−1)2\vec{A} + \vec{C} = (2 \times 3 + 2, 2 \times (-2) + 3) = (8, -1)
Bir vektörün skalerle çarpımı tüm bileşenlerinin o skalerle çarpılması anlamına gelir.
4
C⃗−A⃗\vec{C} - \vec{A} işlemini gerçekleştirmek için C⃗\vec{C} vektörünün bileşenlerinden A⃗\vec{A} vektörünün bileşenlerini çıkarın.
C⃗−A⃗=(2−3,3−(−2))=(−1,5)\vec{C} - \vec{A} = (2 - 3, 3 - (-2)) = (-1, 5)
Çıkarma işlemi yapılırken y bileşenindeki eksi işaretlerinin çarpımına (3−(−2)=53 - (-2) = 5) dikkat edilmelidir.

Anahtar Kavram

İki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde vektörlerin bileşenlerine ayrılması, toplanması, çıkarılması ve skalerle çarpımı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2407Soru →

AA ve BB, aynı örnek uzayda tanımlı iki olaydır.

P(B)=25P(B) = \frac{2}{5}
P(A∩B)=16P(A \cap B) = \frac{1}{6}

ve P(B)>0P(B) > 0 olduğuna göre, BB olayının gerçekleştiği bilindiğine göre AA olayının gerçekleşme olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 512\frac{5}{12}

Cevap

512\frac{5}{12}
B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A'nın gerçekleşme olasılığı, A ve B olaylarının ortak gerçekleşme olasılığının B olayının olasılığına oranlanmasıyla bulunur. Yani P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} formülüyle hesaplama yapıldığında 1/62/5=512\frac{1/6}{2/5} = \frac{5}{12} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu olasılık formülünü yazma
B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının gerçekleşme olasılığı P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} formülü ile hesaplanır.
Koşullu olasılık hesaplanırken örnek uzay sadece koşul olayının gerçekleştiği durumlarla sınırlandırılır.
2
Verilen değerleri formülde yerine koyma
P(A∣B)=1625P(A|B) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{5}}
Soruda verilen P(A∩B)=16P(A \cap B) = \frac{1}{6} ve P(B)=25P(B) = \frac{2}{5} değerlerini formüle yerleştirmek gerekir.
3
Rasyonel sayılarda bölme işlemini gerçekleştirme
P(A∣B)=16×52=512P(A|B) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{12}
Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık formülü ve örnek uzayın daraltılması
Soru 2408Soru →

4 fizikçi, 3 kimyager ve 1 matematikçiden oluşan 8 kişilik bir araştırmacı grubundan 4 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır.

Kurulacak ekipte matematikçinin bulunması, ayrıca en az bir fizikçi ve en az bir kimyagerin yer alması zorunludur.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Proje ekibi 30 farklı şekilde oluşturulabilir.
Matematikçi ekibe kesin olarak dahil edildikten sonra, kalan 3 üye 4 fizikçi ve 3 kimyager arasından seçilir. En az bir fizikçi ve en az bir kimyager şartı nedeniyle; 1 fizikçi ve 2 kimyager seçimi (41)×(32)=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 12 farklı şekilde, 2 fizikçi ve 1 kimyager seçimi ise (42)×(31)=18\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 18 farklı şekilde yapılabilir. Toplamda 12+18=3012 + 18 = 30 farklı şekilde ekip oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Matematikçinin ekipte yer alması zorunlu olduğundan, ekipteki 1 kişilik yer kesinleşir. Geriye kalan 3 kişi, 4 fizikçi ve 3 kimyager arasından seçilmelidir.
Geriye kalan 7 kişiden 3 kişi seçilecektir.
Matematikçi seçildikten sonra ekibin diğer üyelerinin belirlenmesi gerekir.
2
Ekipte en az bir fizikçi ve en az bir kimyager olması koşulunu inceleyelim. İki durum mevcuttur: (1) 1 fizikçi ve 2 kimyager seçilmesi, (2) 2 fizikçi ve 1 kimyager seçilmesi.
Durum 1: (41)×(32)=4×3=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 4 \times 3 = 12 yol. Durum 2: (42)×(31)=6×3=18\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 6 \times 3 = 18 yol.
Koşulları sağlayan tüm olası alt seçim durumlarının sayısı ayrı ayrı hesaplanır.
3
Bu iki durumun sonuçlarını toplayarak toplam farklı seçim sayısını buluruz.
12+18=3012 + 18 = 30
Farklı seçim olasılıkları toplama yoluyla sayma prensibiyle birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Seçimler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2409Soru →
lim⁡x→π3sin⁡(3π2−x)−4cos⁡(π+x)tan⁡(3π4)⋅cos⁡(2x)\lim_{x \to \pi} \frac{3\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - 4\cos(\pi + x)}{\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \cos(2x)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Limit değerlerinin doğrudan yerine yazılması ve trigonometrik sadeleştirmelerin yapılmasıyla doğru cevap 1 olarak bulunur.
Limit özellikleri gereğince pay ve paydadaki ifadelerin limitleri ayrı ayrı hesaplanıp oranlanır. Değişken yerine pi yazıldığında pay kısmında sin(pi/2) = 1 ve cos(2pi) = 1 değerleri elde edilir, böylece pay -1 olur. Payda kısmında ise tan(3pi/4) = -1 ve cos(2pi) = 1 değerleri çarpılarak -1 elde edilir. Bu iki değerin oranı olan 1 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit özellikleri gereğince, pay ve paydadaki ifadelerin limitleri ayrı ayrı hesaplanır. Sürekli fonksiyonlarda limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemi ile hesaplanabildiğinden x yerine pi yazılır.
Pay ve payda limitleri ayrı ayrı limit kurallarına göre değerlendirilir.
Bölümün limitini hesaplamak için pay ve paydanın limit değerlerinin bulunması gerekir.
2
Pay kısmında bulunan ifadeler için x yerine pi yazılarak değerler hesaplanır: sin(3pi/2 - pi) = sin(pi/2) = 1 ve cos(pi + pi) = cos(2pi) = 1. Buradan pay kısmının limit değeri 3(1) - 4(1) olarak bulunur.
Pay limit değeri: -1
Payda yer alan fonksiyonların pi noktasındaki limit değerlerini belirlemek.
3
Payda kısmında bulunan ifadeler için limit değerleri hesaplanır: tan(3pi/4) = -1 ve cos(2pi) = 1. Buradan payda kısmının limit değeri (-1) * 1 olarak bulunur.
Payda limit değeri: -1
Paydada yer alan fonksiyonların pi noktasındaki limit değerlerini belirlemek.
4
Elde edilen pay ve payda limit değerleri birbirine oranlanır: (-1) / (-1) işlemi yapılır.
Limit değeri: 1
Bölümün limit kuralını uygulayarak nihai sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limitlerin hesaplanmasında limit özelliklerinin ve trigonometrik indirgeme kurallarının doğru uygulanması.
Soru 2410Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x2−4x−2,x<2ax+b,2≤x≤5x2−3x−10x−5,x>5f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x < 2 \\ ax + b, & 2 \le x \le 5 \\ \frac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}, & x > 5 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

f fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarda limitlerinin ve fonksiyon değerlerinin eşit olması gerekir. Buradan elde edilen denklem sisteminin çözümünden a = 1 ve b = 2 bulunur. Dolayısıyla a * b çarpımının değeri 2'dir.
Fonksiyonun x = 2 noktasındaki sol limiti 4 ve x = 5 noktasındaki sağ limiti 7'dir. Süreklilik tanımı gereği, bu noktalardaki fonksiyon değerleri de sırasıyla bu limit değerlerine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen 2a + b = 4 ve 5a + b = 7 denklemleri çözüldüğünde a = 1 ve b = 2 bulunur. Çarpımları ise 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 2 kritik noktasındaki süreklilik şartını incelemek için sol limit ile fonksiyon değerini eşitleyin.
2a + b = 4 denklemi elde edilir.
x = 2 noktasında fonksiyonun sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x < 2 için f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) ifadesi x - 2 sadeleştirmesi ile x + 2 olur ve sol limit 4 olarak bulunur.
2
x = 5 kritik noktasındaki süreklilik şartını incelemek için sağ limit ile fonksiyon değerini eşitleyin.
5a + b = 7 denklemi elde edilir.
x = 5 noktasında fonksiyonun sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x > 5 için f(x) = (x^2 - 3x - 10)/(x - 5) ifadesi x - 5 sadeleştirmesi ile x + 2 olur ve sağ limit 7 olarak bulunur.
3
Elde edilen 2a + b = 4 ve 5a + b = 7 denklem sistemini çözerek a ve b değerlerini bulun.
a = 1 ve b = 2 olarak bulunur. Buradan a * b = 2 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa çıkararak a'yı, ardından yerine yazarak b'yi bulup çarpım değerini hesaplarız.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktalarında tanımlı olması, bu noktalarda limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Ayrıca rasyonel ifadelerde tanımsızlık oluşturan sadeleşebilir çarpanlar limit hesabında dikkate alınmalıdır.
Soru 2411Soru →

Yatay ve sürtünmesiz bir zemin üzerinde yan yana duran iki kutudan biri diğerine yatay doğrultuda doğu yönünde 12 N12\text{ N} büyüklüğünde bir etki kuvveti uygulamaktadır.

Buna göre, diğer kutunun bu kutuya uyguladığı tepki kuvvetinin yönü ve büyüklüğü aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Batı yönünde, 12 N12\text{ N}

Cevap

Batı yönünde, 12 N12\text{ N}
Newton'ın Üçüncü Hareket Yasası'na göre, temas halindeki iki cisimden birinin diğerine uyguladığı etki kuvvetine karşılık, diğer cisim de birinciye eşit büyüklükte fakat zıt yönde bir tepki kuvveti uygular. Kutulardan birinin diğerine uyguladığı etki kuvveti doğu yönünde ve 12 N12\text{ N} büyüklüğünde ise, diğer kutunun uyguladığı tepki kuvveti de batı yönünde ve 12 N12\text{ N} büyüklüğünde olmalıdır. Dolayısıyla doğru seçenek batı yönünde, 12 N12\text{ N} ifadesini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Newton'ın Üçüncü Hareket Yasası'nı (Etki-Tepki Yasası) hatırlamak.
Etki ve tepki kuvvetleri her zaman eşit büyüklükte ve zıt yönlerdedir: F⃗etki=−F⃗tepki\vec{F}_{\text{etki}} = -\vec{F}_{\text{tepki}} ifadesi geçerlidir.
İki kutu arasındaki temas kuvvetlerinin yön ve büyüklük ilişkisini belirlemek için bu yasa kullanılır.
2
Verilen etki kuvveti değerlerini tepki kuvveti bağıntısına uygulamak.
Etki kuvveti doğu yönünde 12 N12\text{ N} büyüklüğünde olduğuna göre, tepki kuvveti batı yönünde ve 12 N12\text{ N} büyüklüğünde olmalıdır.
Soruda istenen tepki kuvvetinin fiziksel özelliklerini doğrudan bulmak için.

Anahtar Kavram

Newton'ın Üçüncü Hareket Yasası (Etki-Tepki Yasası)
Tahmini Süre:45s
Soru 2412Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
I=∫12x5f(x3−1) dxI = \int_{1}^{2} x^5 f(x^3 - 1) \, dx
integrali veriliyor. Buna göre, bu integralde u=x3−1u = x^3 - 1 değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13∫07(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du

Cevap

Yapılan değişken değiştirme sonucunda 13∫07(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du ifadesi elde edilir.
Doğru değişken değiştirme adımları uygulandığında; x5 dxx^5 \, dx ifadesi x3⋅x2 dxx^3 \cdot x^2 \, dx şeklinde parçalanır, u=x3−1u = x^3 - 1 eşitliğinden x3=u+1x^3 = u + 1 ve x2 dx=13 dux^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du bulunur. Sınırlar ise x=1x=1 için 00 ve x=2x=2 için 77 olarak güncellenir. Bu değerler yerine yazıldığında doğru integral ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel hesabı yapılması
u=x3−1  ⟹  du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=13 duu = x^3 - 1 \implies du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazmak için diferansiyel alınır.
2
İntegral altındaki ifadenin düzenlenmesi
x5 f(x3−1) dx=x3⋅f(x3−1)⋅x2 dxx^5 \, f(x^3 - 1) \, dx = x^3 \cdot f(x^3 - 1) \cdot x^2 \, dx olarak yazılır. Buradan x3=u+1x^3 = u + 1 ve x2 dx=13 dux^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du değerleri yerlerine yazıldığında, integral içi (u+1)f(u)⋅13 du(u + 1) f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du haline gelir.
İntegral değişkenlerini tamamen uu cinsine dönüştürmek için x5x^5 terimi x3x^3 ve x2x^2 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
İntegral sınırlarının güncellenmesi
Alt sınır için: x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7
Yeni sınırlar [0,7][0, 7] aralığı olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
4
Yeni integralin yazılması
I=∫07(u+1)f(u)⋅13 du=13∫07(u+1)f(u) duI = \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du
Tüm dönüşümler ve yeni sınırlar birleştirilerek nihai integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel ilişkisine, fonksiyonel dönüşümlere ve sınırların doğru güncellenmesine dikkat edilmelidir.
Soru 2413Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+kf(x) = x^2 - 3x + k
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=x3−2x2+2g(x) = x^3 - 2x^2 + 2
eğrisini x=1x = 1 apsisli noktasında kesmektedir.

Buna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Parabolün belirtilen noktasındaki teğet doğrusunun denklemi kurulup kesişim noktası olan (1,1)(1, 1) yerine yazıldığında bilinmeyen parametre 4 olarak bulunur.
Parabolün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi f′(2)=1f'(2) = 1 ve teğet noktası (2,k−2)(2, k-2)'dir. Buradan teğet doğrusunun denklemi y=x+k−4y = x + k - 4 olarak elde edilir. Bu doğru, g(x)g(x) eğrisini x=1x = 1 apsisli noktada kestiğine göre kesim noktası olan (1,g(1))=(1,1)(1, g(1)) = (1, 1) noktasını sağlamalıdır. Denklemde yerleştirildiğinde 1=1+k−41 = 1 + k - 4 eşitliğinden k=4k = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−3x+kf(x) = x^2 - 3x + k fonksiyonunun türevi alınır ve teğet noktasının apsisi olan x=2x = 2 değeri türevde yerine yazılarak teğet doğrusunun eğimi (mm) bulunur.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 ve m=f′(2)=2(2)−3=1m = f'(2) = 2(2) - 3 = 1 elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
f(x)f(x) parabolünün üzerindeki teğet noktasının koordinatları belirlenir.
x=2x = 2 için y0=f(2)=22−3(2)+k=k−2y_0 = f(2) = 2^2 - 3(2) + k = k - 2 olup teğet noktası (2,k−2)(2, k-2) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasının koordinatlarına ihtiyaç vardır.
3
Eğimi m=1m = 1 olan ve (2,k−2)(2, k-2) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi yazılır.
y−(k−2)=1⋅(x−2)  ⟹  y=x+k−4y - (k - 2) = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x + k - 4 elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) uygulanır.
4
Teğet doğrusunun g(x)=x3−2x2+2g(x) = x^3 - 2x^2 + 2 eğrisini kestiği x=1x = 1 apsisli noktanın y-koordinatı hesaplanır ve bu nokta teğet doğrusunun denkleminde yerine yazılır.
g(1)=13−2(1)2+2=1g(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2 = 1 olduğundan kesişim noktası (1,1)(1, 1)'dir. Doğru denkleminde yerine yazıldığında 1=1+k−4  ⟹  k=41 = 1 + k - 4 \implies k = 4 bulunur.
Kesişim noktası hem teğet doğrusunun hem de g(x)g(x) eğrisinin üzerinde yer aldığından her iki denklemi de sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu kullanılarak bir eğriye teğet olan doğrunun eğimini ve denklemini bulma, ardından bu doğrunun başka bir eğriyle kesişim noktasını kullanarak bilinmeyen parametreyi hesaplama.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2414Soru →
R∖{12}\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈R∖{12}x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} için
f′(x)=2x3−3x2+x2x−1f'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{2x - 1}
eşitliğini sağlamaktadır.
f(3)=112f(3) = \frac{11}{2} olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Doğru cevap 55'tir.
Verilen türev fonksiyonunda pay çarpanlarına ayrılıp paydadaki ifadeyle sadeleştirildiğinde f′(x)=x2−xf'(x) = x^2 - x elde edilir. Bu ifadenin integral kurallarına göre integrali alındığında f(x)=x33−x22+Cf(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C bulunur. f(3)=112f(3) = \frac{11}{2} koşulu kullanılarak C=1C = 1 olarak elde edilir. Buradan fonksiyon kuralı f(x)=x33−x22+1f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1 olarak belirlenir ve x=6x = 6 yazıldığında sonuç 55 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun pay kısmını çarpanlarına ayırma ve sadeleştirme
2x3−3x2+x=x(2x2−3x+1)=x(2x−1)(x−1)2x^3 - 3x^2 + x = x(2x^2 - 3x + 1) = x(2x-1)(x-1)
İfadeyi türev denkleminde yerine yazıp 2x−12x - 1 terimlerini sadeleştirdiğimizde (çünkü x≠12x \neq \frac{1}{2}):
f′(x)=x(2x−1)(x−1)2x−1=x2−xf'(x) = \frac{x(2x-1)(x-1)}{2x-1} = x^2 - x elde edilir.
Belirsiz integral alma kurallarını doğrudan uygulayabilmek için rasyonel ifadeyi sadeleştirmeliyiz.
2
Belirsiz integral kurallarını kullanarak genel fonksiyon kuralın�� bulma
f(x)=∫(x2−x) dx=x33−x22+Cf(x) = \int (x^2 - x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C (C∈RC \in \mathbb{R})
f′(x)f'(x) fonksiyonundan f(x)f(x) fonksiyonuna geçmek için her iki tarafın belirsiz integralini alırız.
3
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerini hesaplama
f(3)=333−322+C=9−92+C=92+Cf(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + C = 9 - \frac{9}{2} + C = \frac{9}{2} + C
92+C=112  ⟹  C=1\frac{9}{2} + C = \frac{11}{2} \implies C = 1 elde edilir.
Böylece fonksiyonun kuralı:
f(x)=x33−x22+1f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1 olur.
Belirsiz integral sabitinin değerini bulmak için fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri kullanılır.
4
f(6)f(6) değerini hesaplama
f(6)=633−622+1=72−18+1=55f(6) = \frac{6^3}{3} - \frac{6^2}{2} + 1 = 72 - 18 + 1 = 55
Fonksiyonun kuralında xx yerine 66 yazarak istenen değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonların belirsiz integrali ve integral sabitinin başlangıç koşulu yardımıyla bulunması
Soru 2415Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, üç basamaklı abcabc doğal sayıları yazılacaktır.

Buna göre, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin de��erinin tek sayı olduğu kaç farklı abcabc doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 132

Cevap

Koşulları sağlayan abcabc doğal sayılarının toplam sayısı 132'dir.
Toplam sonucunun tek sayı olması için toplanan terimlerden birinin çift, diğerinin tek olması gerekir. Bu bağlamda, cc tek iken a⋅ba \cdot b çarpımının çift olduğu durumlar (96 adet) ile cc çift iken a⋅ba \cdot b çarpımının tek olduğu durumlar (36 adet) ayrı ayrı hesaplanarak toplanır ve 132 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
cc sayısının tek, a⋅ba \cdot b çarpımının çift olduğu birinci durumu hesaplamak.
cc için 4 seçenek ve a⋅ba \cdot b çarpımının çift olması için 24 seçenek bulunarak bu durumdan 4×24=964 \times 24 = 96 farklı sayı elde edilir.
Toplama işleminin sonucunun tek sayı çıkması için toplanan iki ifadeden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
cc sayısının çift, a⋅ba \cdot b çarpımının tek olduğu ikinci durumu hesaplamak.
cc için 3 seçenek ve hem aa hem de bb sayısının tek olması için 12 seçenek bulunarak bu durumdan 3×12=363 \times 12 = 36 farklı sayı elde edilir.
a⋅ba \cdot b çarpımının tek sayı çıkması ancak ve ancak her iki çarpanın da tek sayı olmasıyla mümkündür.
3
Elde edilen durum sayılarını toplamak.
Toplamda 96+36=13296 + 36 = 132 farklı sayı yazılabilir.
Belirlenen iki durum birbirini dışlayan (ayrık) olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma kurallarının ayrık durum analizleri ile birlikte basamaklı sayı oluşturma problemlerine uygulanması.
Soru 2416Soru →

Analitik düzlemde A(0,0)A(0,0) noktasında bulunan bir hareketli, yalnızca 1 birim sağa veya 1 birim yukarı doğru hareket ederek en kısa yoldan B(4,4)B(4,4) noktasına ulaşmak istemektedir. Bu hareketli, yolculuğu boyunca üst üste en fazla iki kez aynı yönde adım atabilmektedir (yani güzergâhında yan yana 3 tane sağa veya 3 tane yukarı adımı bulunmamaktadır). Buna göre, bu hareketlinin AA noktasından BB noktasına gidebileceği kaç farklı yol vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

İstenen koşullara uygun yolların toplam sayısı 34'tür.
Doğru cevap, kısıtlamasız tüm yolların sayısından (70), en az 3 ardışık sağa adımı veya en az 3 ardışık yukarı adımı içeren istenmeyen yolların sayısının (36) kapsama-dışlama ilkesiyle çıkarılması sonucu 34 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam atılması gereken sağa (S) ve yukarı (Y) adım sayılarını belirleyip tüm olası yolların sayısını hesaplamak.
Toplam 8 adım (4 sağa, 4 yukarı) atılmalıdır. Kısıtlamasız yolların sayısı: 8!4!⋅4!=70\frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70 olur.
Referans alınacak kısıtlamasız durum sayısını tekrarlı permütasyonla bulmak için.
2
Koşulları sağlamayan (istenmeyen) durumları tanımlamak ve küme sembollerini belirlemek.
En az bir tane 'SSS' içeren yolların kümesi AA, en az bir tane 'YYY' içeren yolların kümesi BB olsun. İstenen durum sayısı: 70−∣A∪B∣=70−(∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣)70 - |A \cup B| = 70 - (|A| + |B| - |A \cap B|) formül��yle modellenir.
Kural ihlallerini kapsama-dışlama ilkesiyle matematiksel olarak ifade etmek için.
3
Yalnızca S adımlarının kuralı ihlal ettiği durumların sayısı olan ∣A∣|A| değerini hesaplamak.
1) Tek blok 'SSSS' için 5!1!⋅4!=5\frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5 durum; 2) İki ayrı blok 'SSS' ve 'S' için (52)⋅2!=20\binom{5}{2} \cdot 2! = 20 durum vardır. Toplamda ∣A∣=25|A| = 25 olur. Simetriden dolayı ∣B∣=25|B| = 25 elde edilir.
Harfleri gruplandırarak istenmeyen durumların her birinin ayrı ayrı eleman sayılarını bulmak için.
4
Hem S hem de Y adımlarının kuralı ihlal ettiği ortak durumların sayısı olan ∣A∩B∣|A \cap B| kesişim kümesini hesaplamak.
Farklı blok tiplerinin alternatif dizilimleri analiz edilerek: 2 (Durum 1)+2 (Durum 2)+2 (Durum 3)+8 (Durum 4)=142 \text{ (Durum 1)} + 2 \text{ (Durum 2)} + 2 \text{ (Durum 3)} + 8 \text{ (Durum 4)} = 14 durum bulunur.
Kapsama-dışlama formülünde iki kez çıkarılan durumları geri eklemek amacıyla kesişim kümesini bulmak için.
5
Kapsama-dışlama formülünü uygulayarak nihai doğru cevaba ulaşmak.
∣A∪B∣=25+25−14=36|A \cup B| = 25 + 25 - 14 = 36 ve İstenen Yol Sayısı = 70−36=3470 - 36 = 34 olarak bulunur.
Tüm durumlardan istenmeyen durumların birleşimini çıkartıp sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Kapsama-Dışlama İlkesi
Soru 2417Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=10\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 10
olduğu bilinmektedir.
Buna göre,
∫02(f(2x+1)+3x) dx\int_{0}^{2} (f(2x + 1) + 3x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İntegralin değeri 11 olarak bulunur.
Verilen integral iki parçaya bölünerek incelenir. İlk parça olan f(2x+1)f(2x+1) integrali için u=2x+1u=2x+1 dönüşümü yapıldığında sınırlar 11 ve 55 olur ve integral değeri 55 olarak bulunur. İkinci parça olan 3x3x ifadesinin belirli integrali ise 66 çıkar. Bu iki değerin toplamı olan 11 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali toplama özelliğini kullanarak iki ayrı integral haline getirin.
∫02f(2x+1) dx+∫023x dx\int_{0}^{2} f(2x + 1) \, dx + \int_{0}^{2} 3x \, dx
Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir.
2
Birinci integralde u=2x+1u = 2x + 1 değişken değiştirmesini uygulayın.
u=2x+1  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x + 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}
Sınırlar için:
x=0  ⟹  u=1x = 0 \implies u = 1
x=2  ⟹  u=5x = 2 \implies u = 5
Yeni integral:
∫15f(u)du2=12∫15f(u) du\int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du
Değişken de��iştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini yeni değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Birinci integralin değerini hesaplayın.
12∫15f(x) dx=12×10=5\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \times 10 = 5
Verilen belirli integral değeri yerine yazılır.
4
İkinci integralin değerini hesaplayın.
∫023x dx=[3x22]02=3(2)22−0=6\int_{0}^{2} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{3(2)^2}{2} - 0 = 6
Polinom fonksiyonların belirli integral alma kuralları uygulanır.
5
Elde edilen iki integral değerini toplayın.
5+6=115 + 6 = 11
İlk adımda ayrıştırılan iki parçanın toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Lineerlik Özellikleri

Alternatif Yöntem

İntegrali doğrudan çözmek yerine grafiğin yatayda sıkışma ve öteleme özelliklerini düşünerek alanı yorumlayabilirsiniz. f(2x+1)f(2x+1) grafiği, f(x)f(x) grafiğinin 11 birim sola ötelenip 22 kat yatayda daraltılmış halidir. Sınırlar da bu daralmaya uygun olarak yarıya indiğinden alan da yarıya inecektir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2418Soru →
Tanım kümesi R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} olan ve bu tanım kümesinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} için
f′(x)=(x−2)2(x+3)(x−5)x−1f'(x) = \frac{(x - 2)^2(x + 3)(x - 5)}{x - 1}
olarak verilmiştir.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.
Türevin tek katlı kökleri olan ve fonksiyonun tanım kümesinde yer alan x=−3x = -3 ve x=5x = 5 noktalarında türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bunların toplamı ise 22 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin sıfır olduğu kritik noktaları ve tanımsız olduğu noktaları belirlemek.
Türevi sıfır yapan noktalar x=−3x = -3, x=2x = 2 ve x=5x = 5'dir. Türevin tanımsız olduğu tek nokta ise paydanın kökü olan x=1x = 1'dir.
Yerel ekstremum noktaları adayları, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki türevin sıfır olduğu (kritik) veya türevin var olmadığı noktalardır.
2
Tanım kümesini kontrol ederek aday noktaları elemek.
Fonksiyonun tanım kümesi R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} olarak verildiğinden, x=1x = 1 noktası tanım kümesinde değildir. Dolayısıyla x=1x = 1 bir ekstremum noktası olamaz. Diğer noktalar (x=−3x = -3, x=2x = 2, x=5x = 5) tanım kümesindedir.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktada tanımlı olması şarttır.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturmak ve işaret değişimlerini incelemek.
İşaret tablosu yapıldığında:

Aralık(−∞,−3)(-\infty, -3)−3-3(−3,1)(-3, 1)11(1,2)(1, 2)22(2,5)(2, 5)55(5,∞)(5, \infty)
f′(x)f'(x)−-00++tanımsız−-00−-00++
f(x)f(x)↘\searrowYerel Min↗\nearrowtanımsız↘\searrowEkstremum yok↘\searrowYerel Min↗\nearrow
Buradan, x=−3x = -3 noktasında türev eksiden artıya geçerek yerel minimum oluşturur. x=2x = 2 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez (ekstremum yoktur). x=5x = 5 noktasında türev eksiden artıya geçerek yerel minimum oluşturur.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Çift katlı köklerde işaret değişmediği için bu noktalarda ekstremum oluşmaz.
4
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini toplayarak sonuca ulaşmak.
Belirlenen yerel ekstremum noktalarının apsisleri x=−3x = -3 ve x=5x = 5 olup, bunların toplamı −3+5=2-3 + 5 = 2 olarak hesaplanır.
Soru, yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin işaret tablosu yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi, çift katlı köklerin ve tanım kümesi sınırlarının ekstremum üzerindeki etkisi.
Soru 2419Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin %60\%60'ı İngilizce, %50\%50'si Almanca ve %30\%30'u ise her iki dili de konuşabilmektedir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce konuşabildiği bilindiğine g��re, bu öğrencinin Almanca da konuşabiliyor olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

İngilizce konuşabildiği bilinen bir öğrencinin Almanca da konuşabiliyor olma olasılığı 0,5'tir.
İngilizce konuşabildiği bilinen bir öğrencinin Almanca da konuşabilmesi olasılığı, her iki dili de konuşanların oranının İngilizce konuşanların oranına bölünmesiyle bulunur. Buradan 0306=05\frac{0{}3}{0{}6} = 0{}5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıftaki öğrencilerin dil bilme oranlarını olasılık değerleri cinsinden yazalım.
İngilizce konuşanlar için P(I˙)=06P(\dot{I}) = 0{}6 ve her iki dili de konuşanlar için P(A∩I˙)=03P(A \cap \dot{I}) = 0{}3 elde edilir.
Soruda verilen yüzde oranlarını olasılık değerlerine dönüştürerek koşullu olasılık formülünü uygulamak için zemin hazırlarız.
2
Koşullu olasılık formülünü kullanarak istenen olasılığı hesaplayalım.
P(A∣I˙)=P(A∩I˙)P(I˙)=0306=05P(A | \dot{I}) = \frac{P(A \cap \dot{I})}{P(\dot{I})} = \frac{0{}3}{0{}6} = 0{}5 bulunur.
Öğrencinin İngilizce bildiği kesin olduğundan, örnek uzayımız İngilizce bilenler kümesiyle sınırlanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Alternatif Yöntem

Kişi sayısı üzerinden de gidilebilir. Sınıf mevcudu 100 kişi kabul edilirse; İngilizce konuşan 60 kişi, Almanca konuşan 50 kişi ve her iki dili de konuşan 30 kişi olur. Seçilen öğrencinin İngilizce konuştuğu bilindiğine göre yeni örnek uzayımız İngilizce konuşan 60 kişidir. Bu 60 kişiden 30'u Almanca da bildiğinden, istenen olasılık 3060=12=05\frac{30}{60} = \frac{1}{2} = 0{}5 bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2420Soru →

A torbasında 33 mavi ve 22 kırmızı bilye, B torbasında ise 22 mavi ve 44 kırmızı bilye bulunmaktadır. Önce A torbasından rastgele seçilen iki bilye B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından rastgele seçilen iki bilye A torbasına atılıyor. Son durumda A torbasındaki mavi bilye sayısının başlangıçtaki mavi bilye sayısı ile aynı olduğu bilindiğine göre, A torbasından B torbasına atılan bilyelerin farklı renklerde olma olasılığı en sade haliyle ab\frac{a}{b} (aa ve bb pozitif tam sayılar) olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

Son durumda A torbasında başlangıçtaki kadar mavi bilye kalması koşulu altında, ilk adımda farklı renkte bilyelerin aktarılmış olma olasılığı en sade şekliyle 30/41 olup, pay ve paydanın toplamı 71'dir.
Son durumda A'da 3 mavi bilye bulunması koşulu, tüm olası durumların (2 mavi aktarılması, 1 mavi 1 kırmızı aktarılması veya 2 kırmızı aktarılması durumları) uygun geri dönüş olasılıklarıyla çarpılıp toplanmasıyla elde edilen 123/280 olasılığına sahip bir koşuldur. Bu koşul altında ilk aktarımda farklı renk bilyelerin (1 mavi, 1 kırmızı) seçilmiş olma olasılığı, bu duruma ait ortak olasılığın (90/280) toplam koşul olasılığına (123/280) bölünmesiyle 30/41 olarak bulunur. En sade haliyle yazılan bu kesrin pay ve paydanın toplamı 30 + 41 = 71 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A torbasından B torbasına bilye aktarımı için olası durumları ve bu durumların olasılıklarını hesaplama
2 mavi bilye aktarma olasılığı 3/10; 1 mavi, 1 kırmızı bilye aktarma olasılığı 6/10; 2 kırmızı bilye aktarma olasılığı 1/10 olarak bulunur.
İlk aktarımda A torbasından seçilebilecek bilye kombinasyonlarının olasılıklarını belirlemek için kombinasyon kullanılır.
2
Her bir aktarım durumu için, son durumda A'daki mavi bilye sayısının 3 olmasını sağlayacak geri aktarım olasılıklarını ve bu durumların ortak olasılıklarını hesaplama
2 mavi aktarıldığında A'da tekrar 3 mavi kalma ortak olasılığı 18/280; farklı renk aktarıldığında 90/280; 2 kırmızı aktarıldığında ise 15/280 olarak hesaplanır.
Koşulun gerçekleşmesini sağlayan tüm olası yolların ortak olasılıklarını elde etmek gerekir.
3
Koşulun (son durumda A'da 3 mavi bilye bulunması) gerçekleşme olasılığını bulma
P(A'da 3 Mavi) = 18/280 + 90/280 + 15/280 = 123/280.
Koşullu olasılık formülündeki payda değerini (koşulun gerçekleşme olasılığını) bulmak için tüm ortak olasılıklar toplanır.
4
Koşullu olasılık formülüyle farklı renkte bilye aktarılmış olma olasılığını bulma
Olasılık = (90/280) / (123/280) = 30/41 olarak bulunur.
Verilen koşul altında istenen durumun olasılığını bulmak için Bayes teoremi / daraltılmış örnek uzay mantığı uygulanır.
5
Elde edilen en sade kesrin pay ve paydanın toplamını hesaplama
30 + 41 = 71.
Soruda istenen a + b toplamını bulmak için sadeleştirilmiş kesrin pay ve payda değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

İki yönlü bilye aktarımı içeren ve örnek uzayın daraltılmasını gerektiren koşullu olasılık hesabı
ÖncekiSayfa 121 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin