Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2421Soru →

Bir yazılım firması, geliştirdiği bir uygulama için kullanıcılardan aşağıdaki kurallara uygun 4 basamaklı şifreler oluşturmalarını istemektedir:

* Şifrenin tüm basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreyi oluşturan rakamlar soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
* Şifrede kullanılacak rakamlar {1,2,3,4,5,6,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin elemanları arasından seçilmelidir.

Bu şifrede yer alan rakamlardan en az iki tanesinin çift sayı olması istendiğine göre, bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Bu kurallara uygun 22 farklı şifre oluşturulabilir.
Kümedeki tek rakamlar {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet) ve çift rakamlar {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 adet) olarak ayrılır. Rakamlar soldan sağa doğru artan sırada yazılacağı için her 4 elemanlı seçim tek bir şifre üretir. En az 2 çift sayı koşulu için; 2 çift ve 2 tek rakam seçimi (32)⋅(42)=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 18 şekilde, veya 3 çift ve 1 tek rakam seçimi (33)⋅(41)=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 4 şekilde yapılabilir. Toplam şifre sayısı 18+4=2218 + 4 = 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 tane), Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 tane)
Şartlardaki tek ve çift sayı seçimlerini ayrı gruplardan yapabilmek için küme elemanlarını sınıflandırmamız gerekir.
2
Sıralama kısıtını analiz etme
Seçilen her 4 elemanlı küme için tek bir şifre yazılabilir.
��ifrenin basamaklarındaki rakamların soldan sağa doğru artan sırada olması istenmektedir. Seçilen her farklı 4 rakam grubu yalnızca tek bir şekilde (küçükten büyüğe) sıralanabileceğinden, sıralama hesabı (permütasyon) yapmaya gerek yoktur; sadece seçim (kombinasyon) yapmak yeterlidir.
3
En az iki çift sayı içerme durumlarını hesaplama
Toplam 22 farklı seçim yapılır.
En az 2 çift sayı seçilmesi koşulu iki alt durumda incelenir:
1) Tam 2 çift sayı ve 2 tek sayı seçilmesi: (32)⋅(42)=3⋅6=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 3 \cdot 6 = 18 durum.
2) Tam 3 çift sayı ve 1 tek sayı seçilmesi: (33)⋅(41)=1⋅4=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 1 \cdot 4 = 4 durum. Bu iki durumun toplamı 18+4=2218 + 4 = 22 olur.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Sıralama Bağımsız Seçimler

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Seçilebilecek tüm 4 elemanlı grupların sayısı (74)=35\binom{7}{4} = 35'tir. İstenmeyen durumlar, şifrede 2'den az çift sayı bulunmasıdır:
1) Hiç çift sayı bulunmaması (4 tek sayı seçilmesi): (44)=1\binom{4}{4} = 1 durum.
2) Sadece 1 çift sayı bulunması (1 çift, 3 tek sayı seçilmesi): (31)⋅(43)=3⋅4=12\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{3} = 3 \cdot 4 = 12 durum.
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 35−(1+12)=2235 - (1 + 12) = 22 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2422Soru →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(x+1x3)n\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^n
ifadesinin açılımındaki rasyonel terimlerin (yani xx değişkeninin üssü tam sayı olan terimlerin) sayısı 4'tür.
Buna göre, nn sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

n sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı 43'tür.
Genel terim formülü ile xx'in üssü 3n−5r6\frac{3n-5r}{6} olarak bulunur. Bu üssün tam sayı olması için 3n−5r≡0(mod6)3n - 5r \equiv 0 \pmod 6 olmalıdır. Buradan r≡3n(mod6)r \equiv 3n \pmod 6 elde edilir. nn çift ise rr değerleri 0,6,12,180, 6, 12, 18 olup en küçük nn değeri 18'dir. nn tek ise rr değerleri 3,9,15,213, 9, 15, 21 olup en büyük nn değeri 25'tir. Bu iki değerin toplamı 18+25=4318 + 25 = 43 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim form��lünü yazıp xx değişkeninin üssünü bulunuz.
Genel terim Tr+1=(nr)(x1/2)n−r(x−1/3)r=(nr)x3n−5r6T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^{1/2})^{n-r} (x^{-1/3})^r = \binom{n}{r} x^{\frac{3n-5r}{6}} şeklindedir.
Binom açılımındaki terimlerin kuvvetlerini bulmak için genel terim formülü kullanılır.
2
xx değişkeninin üssünün tam sayı olma koşulunu belirleyiniz.
3n−5r6\frac{3n-5r}{6} ifadesinin tam sayı olması için 3n−5r≡0(mod6)3n - 5r \equiv 0 \pmod 6 olmalıdır. Buradan r≡3n(mod6)r \equiv 3n \pmod 6 elde edilir.
Terimin rasyonel olması için xx'in kuvvetinin bir tam sayı olması gerekir.
3
nn sayısının tek ve çift olma durumlarına göre rr'nin alabileceği değerleri analiz ediniz.
Eğer nn çift ise r≡0(mod6)r \equiv 0 \pmod 6 olur. 4 terim için r∈{0,6,12,18}r \in \{0, 6, 12, 18\} olmalıdır, buradan 18≤n<2418 \le n < 24 elde edilir. Çift nn değerleri {18,20,22}\{18, 20, 22\} olur. Eğer nn tek ise r≡3(mod6)r \equiv 3 \pmod 6 olur. 4 terim için r∈{3,9,15,21}r \in \{3, 9, 15, 21\} olmalıdır, buradan 21≤n<2721 \le n < 27 elde edilir. Tek nn değerleri {21,23,25}\{21, 23, 25\} olur.
Terim sayısının tam olarak 4 olması koşulunu sağlayan sınırları tespit etmek için modüler analiz yapılır.
4
nn değerlerinin en büyüğünü ve en küçüğünü tespit edip toplayınız.
nn'nin alabileceği en küçük değer 18, en büyük değer ise 25'tir. Toplamları 18+25=4318 + 25 = 43 olur.
İstenen sonucu bulmak için belirlenen değer kümesindeki uç elemanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim bulma ve terimlerin rasyonellik şartı
Soru 2423Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=4g′(2)=6\begin{aligned} g(2) &= 4 \\ g'(2) &= 6 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.
f(x)=g(x2−2)+g(x)xf(x) = g(x^2 - 2) + \frac{g(x)}{x}
olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında sonuç 26 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği içinin türeviyle çarpılır ve bölümün türevi kuralı doğru uygulanarak x=2x=2 için tüm değerler yerine yazıldığında sonuç 26 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun genel türev ifadesini yazmak için toplamın türevi kuralı uygulanır.
f′(x)=[g(x2−2)]′+[g(x)x]′f'(x) = [g(x^2 - 2)]' + \left[\frac{g(x)}{x}\right]'
Toplamın türevi, her bir terimin türevlerinin toplamına eşittir.
2
Bileşke fonksiyon ve bölüm fonksiyonu türev kuralları uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir.
f′(x)=(x2−2)′⋅g′(x2−2)+g′(x)⋅x−g(x)⋅(x)′x2=2x⋅g′(x2−2)+g′(x)⋅x−g(x)x2f'(x) = (x^2 - 2)' \cdot g'(x^2 - 2) + \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot (x)'}{x^2} = 2x \cdot g'(x^2 - 2) + \frac{g'(x) \cdot x - g(x)}{x^2}
Zincir kuralı ve bölümün türevi kuralı uygulanmıştır.
3
Elde edilen türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılır ve bilinen g(2)=4g(2) = 4, g′(2)=6g'(2) = 6 değerleri yerleştirilir.
f′(2)=2(2)⋅g′(22−2)+g′(2)⋅2−g(2)22=4⋅g′(2)+2g′(2)−g(2)4=4(6)+2(6)−44=24+12−44=24+2=26f'(2) = 2(2) \cdot g'(2^2 - 2) + \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{2^2} = 4 \cdot g'(2) + \frac{2g'(2) - g(2)}{4} = 4(6) + \frac{2(6) - 4}{4} = 24 + \frac{12 - 4}{4} = 24 + 2 = 26
Türev değerini bulmak için fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki görüntüsü hesaplanır.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları (Zincir Kuralı ve Bölümün Türevi)
Soru 2424Soru →

Aynı düzlemde bulunan ve birim vektörler cinsinden tanımlanan u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} ve w⃗\vec{w} vektörleri ile yapılan bazı işlemler sol sütunda, bu işlemler sonucunda elde edilen bileşke vektörlerin büyüklükleri ise sağ sütunda karışık olarak verilmiştir. Sol sütundaki işlemler ile sağ sütundaki büyüklükleri doğru bir şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}
u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}
u⃗+2v⃗+w⃗\vec{u} + 2\vec{v} + \vec{w}
w⃗−2u⃗−2v⃗\vec{w} - 2\vec{u} - 2\vec{v}
2w⃗−3u⃗2\vec{w} - 3\vec{u}

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} işlemi 55 birim ile, u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} işlemi 1313 birim ile, u⃗+2v⃗+w⃗\vec{u} + 2\vec{v} + \vec{w} işlemi 1717 birim ile, w⃗−2u⃗−2v⃗\vec{w} - 2\vec{u} - 2\vec{v} işlemi 77 birim ile ve 2w⃗−3u⃗2\vec{w} - 3\vec{u} işlemi 66 birim ile eşleşir.
Verilen vektörlerin analitik bileşenleri işlem yönergelerine göre toplanıp çıkarıldıktan sonra elde edilen sonuçların büyüklükleri Pisagor bağıntısı yardımıyla doğru olarak hesaplanmış ve eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Vektörlerin koordinat bileşenlerini belirleme
Tanımlanan birim vektörlere göre u⃗=(4,8)\vec{u} = (4, 8), v⃗=(−1,−4)\vec{v} = (-1, -4) ve w⃗=(6,15)\vec{w} = (6, 15) vektör bileşenleri elde edilir.
Vektörel toplama ve çıkarma işlemlerini analitik yöntem kullanarak daha kolay ve hatasız gerçekleştirmek.
2
Vektörel işlemlerin sonucunda oluşan yeni vektörleri hesaplama
Birinci işlem: (3,4)(3, 4), İkinci işlem: (5,12)(5, 12), Üçüncü işlem: (8,15)(8, 15), Dördüncü işlem: (0,7)(0, 7) ve Beşinci işlem: (0,6)(0, 6) bileşke vektörleri bulunur.
İşlem sonucu elde edilen bileşke vektörlerin xx ve yy eksenlerindeki iz düşümlerini bulmak.
3
Sonuç vektörlerinin büyüklüklerini hesaplama
Hesaplanan bileşenler yardımıyla sırasıyla 55, 1313, 1717, 77 ve 66 birim büyüklükleri elde edilir.
Bileşenleri bilinen bir vektörün büyüklüğünü hesaplamak için Pisagor bağıntısını (R=Rx2+Ry2R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}) uygulamak.

Anahtar Kavram

İki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde vektörlerin analitik yöntemle toplanması, çıkarılması, skaler sayı ile çarpılması ve bileşke vektörün büyüklüğünün hesaplanması.
Soru 2425Soru →

Düz bir yolda +20 m/s+20\text{ m/s} sabit hızla ilerleyen bir araç, sürücüsünün frene basmasıyla −4 m/s2-4\text{ m/s}^2 büyüklüğünde sabit ivmeyle yavaşlamaya başlamaktadır.

Buna göre, araç yavaşlamaya başladıktan sonraki ilk 3 s3\text{ s} içinde kaç metre yer değiştirmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

Aracın ilk 3 s3\text{ s} içindeki yer değiştirmesi 42 m42\text{ m}'dir.
Aracın hareketi sabit ivmeli yavaşlayan harekettir. Başlangıç hızı v0=20 m/sv_0 = 20\text{ m/s} ve ivmesi a=−4 m/s2a = -4\text{ m/s}^2 olan araç için yer değiştirme formülü Δx=v0t−12∣a∣t2\Delta x = v_0 t - \frac{1}{2}|a|t^2 şeklindedir. t=3 st = 3\text{ s} için değerler yerine yazıldığında yer değiştirme 42 m42\text{ m} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk hız, zaman ve ivme değerlerini yer değiştirme formülünde yerine yazın.
Yer değiştirme formülü: Δx=v0t+12at2\Delta x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2. Verilenler: v0=20 m/sv_0 = 20\text{ m/s}, t=3 st = 3\text{ s}, a=−4 m/s2a = -4\text{ m/s}^2. Formüle yerleştirildiğinde: Δx=20×3+12×(−4)×32\Delta x = 20 \times 3 + \frac{1}{2} \times (-4) \times 3^2 elde edilir.
Sabit ivmeli doğrusal harekette yer değiştirme bu hareket denklemiyle hesaplanır.
2
Matematiksel işlemleri gerçekleştirin.
Δx=60−18=42 m\Delta x = 60 - 18 = 42\text{ m} bulunur.
İlk terim olan 60 m60\text{ m} ilk hızla alınan yolu, ikinci terim olan −18 m-18\text{ m} ise yavaşlamadan kaynaklanan azalmayı gösterir.

Anahtar Kavram

Sabit ivmeli harekette yer değiştirme ve hareket denklemleri

Alternatif Yöntem

Ortalama hız formülü kullanılarak da çözülebilir. Aracın ilk hızı vilk=20 m/sv_{ilk} = 20\text{ m/s} ve 3 s3\text{ s} sonraki son hızı vson=20−4×3=8 m/sv_{son} = 20 - 4 \times 3 = 8\text{ m/s}'dir. Sabit ivmeli harekette ortalama hız vort=vilk+vson2=20+82=14 m/sv_{ort} = \frac{v_{ilk} + v_{son}}{2} = \frac{20 + 8}{2} = 14\text{ m/s} olur. Buradan yer değiştirme Δx=vort×t=14×3=42 m\Delta x = v_{ort} \times t = 14 \times 3 = 42\text{ m} olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2426Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 parabolü, bu parabole x=3x = 3 apsisli noktasında teğet olan doğru ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Parabole x=3x = 3 noktasında teğet olan doğru y=2x−6y = 2x - 6 denklemine sahiptir. x∈[0,3]x \in [0, 3] aralığında parabol bu doğrudan üstte konumlandığından, bu eğriler ve yy-ekseni (x=0x=0) arasında kalan sınırlı bölgenin alanı, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen (x−3)2(x-3)^2 ifadesinin 00 ile 33 sınırları arasında integralinin alınmasıyla hesaplanır. Bu hesaplama sonucunda alan 99 birimkare olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 99 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasının koordinatlarını bulmak
x=3x = 3 için y=32−4(3)+3=0y = 3^2 - 4(3) + 3 = 0 olup, teğet noktası (3,0)(3, 0) olarak elde edilir.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek adına teğet noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.
2
Teğet doğrusunun eğimini türev yardımıyla hesaplamak
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 türev fonksiyonundan, x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimi m=f′(3)=2(3)−4=2m = f'(3) = 2(3) - 4 = 2 bulunur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun denklemini yazmak
Eğimi m=2m = 2 olan ve (3,0)(3, 0) noktasından geçen doğrunun denklemi y−0=2(x−3)  ⟹  y=2x−6y - 0 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6 olarak elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklem formülü kullanılarak teğet doğrusu belirlenir.
4
Eğriler arasında kalan alanı belirli integral ile hesaplamak
x∈[0,3]x \in [0, 3] aralığında parabol teğet doğrusunun üstünde yer aldığından, alan A=∫03[(x2−4x+3)−(2x−6)]dx=∫03(x−3)2dx=[(x−3)33]03=0−(−273)=9A = \int_{0}^{3} \left[(x^2 - 4x + 3) - (2x - 6)\right] dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx = \left[\frac{(x-3)^3}{3}\right]_{0}^{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9 birimkare bulunur.
Sınırlı bölge üstteki parabol ile alttaki teğet doğrusu arasında x=0x = 0 (yy-ekseni) ve x=3x = 3 (kesişim noktası) sınırları ile belirlenir.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Soru 2427Soru →
∫01x5(x3+1)4 dx\int_{0}^{1} x^5 (x^3 + 1)^4 \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4330\frac{43}{30}

Cevap

İntegralin değeri 4330\frac{43}{30} olarak bulunur.
İntegral u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümüyle çözüldüğünde sınırların x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=1x = 1 için u=2u = 2 olarak güncellenmesiyle integralin değeri 4330\frac{43}{30} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapıldığında du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir. Ayrıca x3=u−1x^3 = u - 1 olur.
İntegral içindeki x5x^5 ifadesini x3⋅x2x^3 \cdot x^2 şeklinde ayırarak dönüşümü tamamlamak amacıyla bu işlem yapılır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=03+1=1x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1, üst sınır için x=1  ⟹  u=13+1=2x = 1 \implies u = 1^3 + 1 = 2 olur.
xx de��işkeninden uu değişkenine geçerken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Yeni değişkenlere göre integral oluşturulur ve hesaplanır.
∫12(u−1)⋅u4⋅du3=13∫12(u5−u4) du\int_{1}^{2} (u - 1) \cdot u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} (u^5 - u^4) \, du elde edilir.
Değişken ve sınır dönüşümleri integrale yerleştirilir.
4
Elde edilen integralin değeri hesaplanır.
13[u66−u55]12=13[(646−325)−(16−15)]=13[6415−(−130)]=13(12930)=4330\frac{1}{3} \left[ \frac{u^6}{6} - \frac{u^5}{5} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{64}{6} - \frac{32}{5} \right) - \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{5} \right) \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{64}{15} - \left( -\frac{1}{30} \right) \right] = \frac{1}{3} \left( \frac{129}{30} \right) = \frac{43}{30} bulunur.
Temel integral alma ve yerine koyma kuralları uygulanır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi ile Belirli İntegral Hesabı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2428Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu her x>0x > 0 için
∫f′(x)x2 dx=x2−3x+C1 \int \frac{f'(x)}{x^2} \, dx = x^2 - 3x + C_1
eşitliğini sağlamaktadır.
f(2)=3f(2) = 3 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
(Burada C1C_1 integral sabitidir.)
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Beş bölü iki
İntegral ile türev arasındaki ters ilişki kullanılarak eşitliğin türevi alınmış, elde edilen türev fonksiyonu x2x^2 ile çarpılarak f′(x)f'(x) elde edilmiştir. Ardından integral kuralları ile f(x)f(x) fonksiyonu bulunmuş ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabiti hesaplanmıştır. Son adımda x=1x = 1 yazılarak beş bölü iki sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f′(x)x2=2x−3\frac{f'(x)}{x^2} = 2x - 3
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapılarak türev fonksiyonu yalnız bırakılır.
f′(x)=2x3−3x2f'(x) = 2x^3 - 3x^2
f′(x)f'(x) fonksiyonunu elde etmek için eşitliğin her iki tarafı x2x^2 ile çarpılır.
3
f(x)f(x) fonksiyonuna ulaşmak için f′(x)f'(x) ifadesinin belirsiz integrali alınır.
f(x)=12x4−x3+C2f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + C_2
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
4
f(2)=3f(2) = 3 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti hesaplanır.
C2=3C_2 = 3 yani f(x)=12x4−x3+3f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 3
x=2x = 2 değeri fonksiyonda yerine yazılarak eşitlik sağlanır.
5
Fonksiyonda x=1x = 1 yazılarak istenen değer hesaplanır.
f(1)=52f(1) = \frac{5}{2}
f(1)=12(1)4−(1)3+3=12−1+3=52f(1) = \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + 3 = \frac{1}{2} - 1 + 3 = \frac{5}{2} işlemi sonuçlandırılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve temel integral alma kuralları kullanılarak fonksiyonun kendisinin elde edilmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin türevi integralin içine eşit olduğundan, doğrudan türev alarak f′(x)f'(x) elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2429Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b parabolü ile g(x)=cxg(x) = \frac{c}{x} eğrisi x=1x = 1 apsisli ortak noktasında birbirine teğettir. Bu ortak teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 88 olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

a + b + c toplamının doğru değeri 7'dir.
Ortak teğet noktasında fonksiyonların değerleri ve türevleri eşittir. Buradan elde edilen denklemler ve teğet doğrusunun y-eksenini kestiği nokta kullanılarak a, b ve c değerleri sırasıyla -6, 9 ve 4 olarak bulunur. Toplamları ise 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin x=1x = 1 apsisli ortak noktadaki değerlerini eşitleyin.
f(1)=g(1)  ⟹  1+a+b=c  ⟹  a+b−c=−1f(1) = g(1) \implies 1 + a + b = c \implies a + b - c = -1
Teğet noktasında her iki fonksiyonun da y-değerleri birbirine eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonların türevlerini alıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimlerini eşitleyin.
f′(x)=2x+a  ⟹  f′(1)=2+af'(x) = 2x + a \implies f'(1) = 2 + a ve g′(x)=−cx2  ⟹  g′(1)=−cg'(x) = -\frac{c}{x^2} \implies g'(1) = -c olur. Eğimler eşit olduğundan 2+a=−c  ⟹  a+c=−22 + a = -c \implies a + c = -2 elde edilir.
Eğriler teğet noktasında ortak teğet doğrusuna sahip olduklarından türev değerleri aynı olmalıdır.
3
Ortak teğet doğrusunun denklemini yazın ve yy eksenini kestiği noktayı bulun.
Teğet noktası (1,c)(1, c) ve eğim m=−cm = -c olduğundan teğet doğrusunun denklemi y−c=−c(x−1)  ⟹  y=−cx+2cy - c = -c(x - 1) \implies y = -cx + 2c olur. x=0x = 0 için y=2c=8  ⟹  c=4y = 2c = 8 \implies c = 4 bulunur.
Doğrunun y-eksenini kestiği nokta olan ordinat değerini (8) kullanarak c sabitini elde etmek için.
4
aa, bb ve istenen toplamı hesaplayın.
c=4c = 4 ise a+4=−2  ⟹  a=−6a + 4 = -2 \implies a = -6 olur. a+b−c=−1  ⟹  −6+b−4=−1  ⟹  b=9a + b - c = -1 \implies -6 + b - 4 = -1 \implies b = 9 bulunur. Buradan a+b+c=−6+9+4=7a + b + c = -6 + 9 + 4 = 7 elde edilir.
Bulunan parametreleri yerine koyarak nihai toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, iki eğrinin birbirine teğet olma koşulları ve teğet doğrusu denklemi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2430Soru →

Bir kurye A şehrinden D şehrine paket taşıyacaktır. Şehirler arası ulaşım alternatifleri şu şekildedir:
- A ile B arasında 3 farklı kara yolu ve 1 demir yolu,
- B ile C arasında 2 farklı kara yolu ve 2 farklı demir yolu,
- A ile C arasında doğrudan 2 farklı kara yolu,
- C ile D arasında 2 farklı kara yolu ve 1 demir yolu,
- B ile D arasında doğrudan 1 kara yolu
bulunmaktadır.

Kurye, A şehrinden D şehrine ulaşmak için aşağıdaki rotalardan birini tercih edecektir:
- A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D
- A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D
- A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D

Güvenlik protokolleri gereği kuryenin kullandığı rotada ardışık iki bağlantının ikisi birden demir yolu olamaz.

Buna göre, kurye A şehrinden D şehrine kaç farklı şekilde ulaşabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Kurye A şehrinden D şehrine 46 farklı şekilde ulaşabilir.
Doğru cevap 46'dır. Üç rota alternatifi ayrı ayrı hesaplanır: Birinci rota (A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D) ve üçüncü rota (A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D) kısıtlamalardan etkilenmez ve sırasıyla 4 ve 6 yol sunar. İkinci rota (A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D) için tüm durumlar olan 48'den, ardışık demir yollarının kullanıldığı 12 geçersiz durum çıkarılarak 36 geçerli yol elde edilir. Tüm rotaların toplamı 4+36+6=464 + 36 + 6 = 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olası tüm rotaları ve bu rotalardaki yol sayılarını belirlemek.
Üç rota mevcuttur: A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D (A-B: 4 yol, B-D: 1 yol), A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D (A-B: 4 yol, B-C: 4 yol, C-D: 3 yol), A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D (A-C: 2 yol, C-D: 3 yol).
Rotaları bağımsız olarak analiz edip toplama kuralını uygulamak için gruplandırma yapılır.
2
A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D ve A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D rotaları için geçerli yol sayılarını hesaplamak.
A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D rotasında 4×1=44 \times 1 = 4 yol; A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D rotasında 2×3=62 \times 3 = 6 yol bulunur.
Bu iki rotada ardışık iki demir yolu bağlantısı kullanılması mümkün olmadığından kısıtlamadan etkilenmezler.
3
A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D rotası için ardışık demir yolu kullanılmayan geçerli yol sayısını kapsama-dışlama ilkesiyle bulmak.
Toplam durum: 4×4×3=484 \times 4 \times 3 = 48. A-B ve B-C demir yolu olan durumlar: 1×2×3=61 \times 2 \times 3 = 6. B-C ve C-D demir yolu olan durumlar: 4×2×1=84 \times 2 \times 1 = 8. Her üçü de demir yolu olan durumlar: 1×2×1=21 \times 2 \times 1 = 2. Geçersiz durumlar: 6+8−2=126 + 8 - 2 = 12. Geçerli durumlar: 48−12=3648 - 12 = 36.
Yasaklı durumları tüm durumlardan çıkararak geçerli alternatifleri buluruz.
4
Tüm rotalardan elde edilen geçerli yol sayılarını toplamak.
Toplam geçerli yol sayısı: 4+36+6=464 + 36 + 6 = 46 bulunur.
Bağımsız alternatif rotalar toplama kuralı gereğince toplanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Prensipleri ile Kapsama-Dışlama İlkesi
Soru 2431Soru →

Bir madeni para ile bir düzgün zar aynı anda havaya atılıyor. Paranın tura gelmesi olayı ile zarın üst yüzüne gelen sayının 44'ten küçük olması olayının birlikte gerçekleşme olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan dörtte bir
Paranın tura gelmesi ve zarın 44'ten küçük gelmesi olayları bağımsız olaylardır. Bağımsız iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Paranın tura gelme olasılığı 12\frac{1}{2}, zarın 44'ten küçük gelme olasılığı ise 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2} olduğundan, birlikte gerçekleşme olasılığı 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paranın tura gelme olasılığını belirleyin.
P(A)=12P(A) = \frac{1}{2}
Madeni paranın tura veya yazı olmak üzere iki olası sonucu vardır ve tura gelme olasılığı ikide birdir.
2
Zarın üst yüzüne gelen sayının 44'ten küçük olma olasılığını belirleyin.
P(B)=12P(B) = \frac{1}{2}
Zarın üst yüzüne gelebilecek sayılar {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olmak üzere 6 tanedir. 44'ten küçük olanlar {1,2,3}\{1, 2, 3\} olmak üzere 3 tanedir. Olasılık 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2} olur.
3
Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığını çarpım kuralı ile hesaplayın.
P(A∩B)=14P(A \cap B) = \frac{1}{4}
Paranın gelme durumu ile zarın gelme durumu birbirini etkilemediğinden bu olaylar bağımsızdır. Birlikte gerçekleşme olasılığı: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=12⋅12=14P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Anahtar Kavram

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı (P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B))
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2432Soru →
f(x)={x2−ax+4x2−3x+2,x>2bx−1,x≤2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 4}{x^2 - 3x + 2}, & x > 2 \\ bx - 1, & x \leq 2 \end{cases} biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde süreklidir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Çarpımın doğru değeri 22 olmalıdır.
Süreklilik gereği, x=2x=2 noktasında sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Sağdan limitin sonlu bir gerçel sayı olması için paydasındaki x−2x-2 çarpanının sadeleşmesi gerekir, bu da a=4a=4 olmasını gerektirir. Sadeleşme sonrasında sağdan limit 00 olur. Soldan limitin de 00 olması için 2b−1=0  ⟹  b=1/22b-1=0 \implies b=1/2 olmalıdır. Buradan doğru çarpım sonucu 22 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x>2x > 2 aralığındaki rasyonel ifadenin paydasını çarpanlarına ayırarak tanımsızlık durumunu analiz etmek.
x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) olur. Bu ifadenin kökleri x=1x=1 ve x=2x=2'dir. Fonksiyon x>2x > 2 aralığında tanımlandığından, x=1x=1 kökü bu aralıkta değildir ve süreksizliğe yol açmaz. Ancak sınır noktası olan x=2x=2 paydanın köküdür.
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik sınır noktası olan x=2x=2'de sağdan limitinin var ve sonlu olması şarttır.
2
x→2+x \to 2^+ için sağdan limitin mevcut olması amacıyla pay ifadesinin alması gereken değeri bulmak.
lim⁡x→2+x2−ax+4(x−1)(x−2)\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - ax + 4}{(x-1)(x-2)} limitinde payda sıfıra yaklaşmaktadır. Limitin sonlu bir gerçel sayı olabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir (0/00/0 belirsizliği). Buradan, 22−a(2)+4=0  ⟹  8−2a=0  ⟹  a=42^2 - a(2) + 4 = 0 \implies 8 - 2a = 0 \implies a = 4 elde edilir.
Pay sıfırdan farklı olsaydı, limit ±∞\pm\infty olurdu ve fonksiyon x=2x=2 noktasında sürekli olamazdı.
3
a=4a = 4 değeri için sağdan limit değerini hesaplamak.
lim⁡x→2+x2−4x+4(x−1)(x−2)=lim⁡x→2+(x−2)2(x−1)(x−2)=lim⁡x→2+x−2x−1=2−22−1=01=0\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4x + 4}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)^2}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x-2}{x-1} = \frac{2-2}{2-1} = \frac{0}{1} = 0 bulunur.
Süreklilik şartı gereği sağdan limitin tam değerini bulup soldan limit değeriyle eşitlemek gerekir.
4
x=2x=2 noktasındaki soldan limiti sağdan limite eşitleyerek bb parametresini ve ardından a⋅ba \cdot b çarpımını bulmak.
Soldan limit lim⁡x→2−(bx−1)=2b−1\lim_{x \to 2^-} (bx - 1) = 2b - 1 olur. Süreklilik için lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)  ⟹  2b−1=0  ⟹  b=12\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies 2b - 1 = 0 \implies b = \frac{1}{2} elde edilir. Buradan a⋅b=4⋅12=2a \cdot b = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 bulunur.
Süreklilik tanımı uyarınca kritik noktadaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun parçalı tanımlı kritik noktalarda ve rasyonel ifadelerde süreklilik şartı, limitin varlığı ve 0/00/0 belirsizliğinin giderilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2433Soru →
(2x2+1x)n\left(2x^2 + \frac{1}{x}\right)^n ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında sabit terim baştan 5. terimdir. Buna göre, bu açılımdaki terimlerin katsayılar toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 729

Cevap

729
Açılımdaki baştan 5. terim r=4r=4 durumuna karşılık gelir. Genel terim ifadesinde xx'in üssü sıfıra eşitlendiğinde 2n−12=02n-12=0 denkleminden n=6n=6 bulunur. Katsayılar toplamını bulmak için açılımdaki değişken yerine x=1x=1 yazıldığında (2+1)6=36=729(2+1)^6 = 3^6 = 729 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü yazılır.
(nr)(2x2)n−r(1x)r=(nr)2n−rx2n−2rx−r=(nr)2n−rx2n−3r\binom{n}{r} (2x^2)^{n-r} \left(\frac{1}{x}\right)^r = \binom{n}{r} 2^{n-r} x^{2n-2r} x^{-r} = \binom{n}{r} 2^{n-r} x^{2n-3r}
Binom açılımındaki terimlerin değişken kuvvetini ve katsayısını belirlemek için genel terim ifadesi düzenlenir.
2
Baştan 5. terim için rr değeri belirlenir.
r=4r = 4 olmalıdır.
Baştan (r+1)(r+1). terim ifadesinden dolayı, 5. terim için r=5−1=4r = 5 - 1 = 4 alınır.
3
Sabit terim koşulu kullanılarak nn değeri bulunur.
2n−3r=0⇒2n−3(4)=0⇒2n=12⇒n=62n - 3r = 0 \Rightarrow 2n - 3(4) = 0 \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n = 6
Sabit terimde xx değişkeninin üssü sıfıra eşit olmalıdır.
4
Katsayılar toplamı hesaplanır.
x=1x = 1 yazılarak (2(1)2+1)6=36=729(2(1)^2 + 1)^6 = 3^6 = 729 bulunur.
Bir açılımın katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü yardımıyla belirli bir terimin bulunması, sabit terim için değişken üssünün sıfıra eşitlenmesi ve katsayılar toplamı için değişken yerine 1 yazılması.
Soru 2434Soru →

Bir moleküler biyolog, laboratuvarda sentezleyeceği yapay bir DNA zinciri için 4 adet AA (Adenin), 3 adet TT (Timin) ve 2 adet GG (Guanin) nükleotidinin tamamını yan yana dizerek sarmallar oluşturacaktır.

Sentezlenecek bu sarmallar ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Sarmalın iki ucunda (en başında ve en sonunda) yer alan nükleotidler aynı türdedir.
- Herhangi iki GG (Guanin) nükleotidi yan yana bulunmamaktadır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı DNA sarmalı sentezlenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 260

Cevap

Koşulları sağlayan 260 farklı DNA sarmalı sentezlenebilir.
Doğru cevap olan 260 değeri; uçların A-A (150 durum), T-T (75 durum) ve G-G (35 durum) olduğu tüm senaryoların ayrı ayrı analiz edilmesi ve G nükleotidlerinin yan yana gelmeyecek şekilde boşluklara yerleştirilerek kalan elemanların tekrarlı permütasyonla sıralanması sonucu elde edilen sayıların toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sarmalın iki ucundaki nükleotidlerin aynı olması kısıtlamasına göre durum analizi yapılır.
Sarmalın uçları A-A, T-T veya G-G olmak üzere 3 farklı durum mevcuttur. Bu durumlar birbirlerinden ayrıktır.
Sarmalın en başında ve en sonunda aynı türden nükleotid yer almalıdır.
2
Uçların A-A olması durumu (A…AA \dots A) hesaplanır.
Başta ve sonda birer AA sabitlendiğinden, ortadaki 7 pozisyona yerleştirilmek üzere 2 adet AA, 3 adet TT ve 2 adet GG kalır. G'lerin yan yana gelmemesi için ortadaki 7 pozisyonun iç kısmında kalan ve uçlarla sınırlanan 6 boşluktan 2'si (62)=15\binom{6}{2} = 15 farklı şekilde seçilir. Geriye kalan 5 pozisyona 2 adet AA ve 3 adet TT nükleotidi 5!2!3!=10\frac{5!}{2!3!} = 10 farklı şekilde dizilir. Bu durum için toplam sıralama sayısı 15×10=15015 \times 10 = 150 olur.
G'lerin yan yana gelmesini önlemek için boşluk seçimi yapılır ve kalan özdeş nükleotidler tekrarlı permütasyonla sıralanır.
3
Uçların T-T olması durumu (T…TT \dots T) hesaplanır.
Başta ve sonda birer TT sabitlendiğinden, geriye 4 adet AA, 1 adet TT ve 2 adet GG kalır. Benzer şekilde, G'lerin yan yana gelmeyeceği 6 boşluktan 2'si (62)=15\binom{6}{2} = 15 yolla seçilir. Kalan 5 pozisyona 4 adet AA ve 1 adet TT nükleotidi 5!4!1!=5\frac{5!}{4!1!} = 5 farklı şekilde yerleştirilir. Bu durum için toplam sıralama sayısı 15×5=7515 \times 5 = 75 olur.
G'lerin yan yana gelmemesi için boşluk yöntemi uygulanır ve kalan nükleotidler tekrarlı permütasyon formülüyle dizilir.
4
Uçların G-G olması durumu (G…GG \dots G) hesaplanır.
2 adet GG nükleotidinin ikisi de uçlarda sabitlendiği için sarmalın içinde başka GG kalmaz ve yan yana gelme ihtimalleri yoktur. Geriye kalan ortadaki 7 pozisyona 4 adet AA ve 3 adet TT nükleotidi 7!4!3!=35\frac{7!}{4!3!} = 35 farklı şekilde dizilir.
G'ler uçlarda sabitlendiğinden yan yana gelmeme koşulu doğrudan sağlanmış olur ve sadece kalan A ve T nükleotidleri sıralanır.
5
Tüm durumlardan elde edilen sıralama sayıları toplanır.
150+75+35=260150 + 75 + 35 = 260 bulunur.
Ayrık durumların toplamı, toplam olası sarmal sayısını verir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon, durum analizi ve elemanların yan yana gelmeme koşulunun gap (boşluk) yöntemiyle çözümü.
Soru 2435Soru →
Tanımlı olduğu kümede türevlenebilen bir gg fonksiyonu yardımıyla
f(x)=g(x)−x2x+1f(x) = \frac{g(x) - x^2}{x + 1}
fonksiyonu tanımlanıyor.

g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=9g'(1) = 9 olduğuna göre, f′(1)f'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

f'(1) değeri 3'tür.
Bölüm türevi kuralı uygulandığında elde edilen türev fonksiyonunda verilen değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını kullanarak f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=(g′(x)−2x)(x+1)−(g(x)−x2)⋅1(x+1)2f'(x) = \frac{(g'(x) - 2x)(x + 1) - (g(x) - x^2) \cdot 1}{(x + 1)^2}
f(x)f(x) fonksiyonu iki fonksiyonun bölümü biçiminde tanımlandığı için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazarak f′(1)f'(1) ifadesini elde ediniz.
f′(1)=(g′(1)−2)(2)−(g(1)−1)4f'(1) = \frac{(g'(1) - 2)(2) - (g(1) - 1)}{4}
Bizden istenen değer x=1x = 1 noktasındaki türev de��eridir.
3
Soruda verilen g(1)=3g(1) = 3 ve g′(1)=9g'(1) = 9 değerlerini yerlerine yazarak işlemi sonuçlandırınız.
f′(1)=3f'(1) = 3
Gerekli dört işlem yapıldığında f′(1)=(9−2)⋅2−(3−1)4=14−24=3f'(1) = \frac{(9 - 2) \cdot 2 - (3 - 1)}{4} = \frac{14 - 2}{4} = 3 bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi ve temel türev alma kuralları
Soru 2436Soru →
aa sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
(ax2−1ax)8\left(ax^2 - \frac{1}{ax}\right)^8
ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında x7x^7 li terimin katsayıs�� −224-224 olduğuna göre, xx li terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -14

Cevap

x'li terimin katsayısı -14 olarak bulunur.
Genel terim formülü düzenlendiğinde x'in üssünü 7 yapan r değeri 3 bulunur. Buradan elde edilen katsayı denkleminden a'nın karesi 4 olarak hesaplanır. Ardından x'in üssünü 1 yapan r değeri 5 bulunur ve bu değerler katsayı formülünde yerine konulduğunda doğru sonuç olan -14 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazıp düzenleme
Tr+1=(8r)(ax2)8−r(−1ax)r=(8r)(−1)ra8−2rx16−3rT_{r+1} = \binom{8}{r} (ax^2)^{8-r} \left(-\frac{1}{ax}\right)^r = \binom{8}{r} (-1)^r a^{8-2r} x^{16-3r}
Açılımdaki herhangi bir terimin katsayısını ve x'in üssünü belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
Verilen katsayı bilgisinden faydalanarak a değerini bulma
16−3r=7  ⟹  r=316-3r = 7 \implies r=3 ve buradan katsayı: (83)(−1)3a8−6=−56a2=−224  ⟹  a2=4\binom{8}{3} (-1)^3 a^{8-6} = -56a^2 = -224 \implies a^2 = 4
x^7'li terimin katsayısının -224 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen a parametresi elde edilir.
3
İstenen terimin indisini (r) belirleme
16−3r=1  ⟹  3r=15  ⟹  r=516-3r = 1 \implies 3r = 15 \implies r=5
x'li (yani x^1'li) terimi bulmak için genel terimdeki x'in üssü 1'e eşitlenir.
4
Belirlenen indis ve a değeriyle katsayıyı hesaplama
Katsayı=(85)(−1)5a8−10=56⋅(−1)⋅a−2=−56⋅1a2=−56⋅14=−14\text{Katsayı} = \binom{8}{5} (-1)^5 a^{8-10} = 56 \cdot (-1) \cdot a^{-2} = -56 \cdot \frac{1}{a^2} = -56 \cdot \frac{1}{4} = -14
Bulunan r=5 indisi ve a'nın karesinin 4'e eşit olması bilgisi genel terim katsayısında yerine yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısının ve değişken üslerinin belirlenmesi
Soru 2437Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(x−1)f′′(x) dx+∫f′(x) dx=x2−3x+C \int (x-1) f''(x) \, dx + \int f'(x) \, dx = x^2 - 3x + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=3f(2) = 3 olduğuna göre, f(6)f(6) değeri kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Sol taraftaki iki integral birleştirildiğinde integralin içinin (x−1)f′(x)(x-1)f'(x) ifadesinin türevi olduğu görülür. Buradan elde edilen (x−1)f′(x)=x2−3x+K(x-1)f'(x) = x^2 - 3x + K eşitliğinde, ff fonksiyonunun gerçel sayılarda türevlenebilir olması için x=1x=1 yazıldığında sağ tarafın sıfır olması gerektiği kullanılarak K=2K=2 bulunur. Buradan f′(x)=x−2f'(x) = x-2 elde edilir. Bu ifadenin integrali alınarak ve f(2)=3f(2)=3 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti C2=5C_2 = 5 bulunur. Son olarak f(6)=11f(6) = 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki integral ifadesini integralin doğrusallık özelliğini kullanarak birleştirin.
∫[(x−1)f′′(x)+f′(x)] dx=x2−3x+C\int [ (x-1)f''(x) + f'(x) ] \, dx = x^2 - 3x + C
Aynı değişkene göre alınan belirsiz integraller tek bir integral altında toplanabilir.
2
İntegralin içindeki ifadenin çarpımın türevi kuralına uygunluğunu tespit edin.
(x−1)f′(x)=x2−3x+K(x-1)f'(x) = x^2 - 3x + K (KK bir gerçel sayı sabiti)
[(x−1)f′(x)]′=(x−1)f′′(x)+f′(x)[(x-1)f'(x)]' = (x-1)f''(x) + f'(x) olduğundan, integral alındığında ifadenin kendisi elde edilir.
3
ff fonksiyonunun her yerde türevlenebilir olması koşulunu kullanarak KK sabitini bulun.
x=1x = 1 için 0=1−3+K  ⟹  K=20 = 1 - 3 + K \implies K = 2 bulunur. Dolayısıyla (x−1)f′(x)=(x−1)(x−2)(x-1)f'(x) = (x-1)(x-2) olur.
f′(1)f'(1) değerinin tanımlı bir gerçel sayı olması için eşitliğin sağ tarafının da x=1x = 1 için sıfır olması gerekir.
4
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulun ve belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunu elde edin.
f′(x)=x−2f'(x) = x-2 ve f(x)=x22−2x+C2f(x) = \frac{x^2}{2} - 2x + C_2
x≠1x \neq 1 için sadeleştirme yapıldığında f′(x)=x−2f'(x) = x-2 olur. f′f' fonksiyonunun sürekli olmasından dolayı bu eşitlik tüm gerçel sayılarda geçerlidir.
5
f(2)=3f(2) = 3 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti C2C_2 değerini bulun ve f(6)f(6) değerini hesaplayın.
C2=5C_2 = 5 ve f(6)=11f(6) = 11 bulunur.
f(2)=42−4+C2=3  ⟹  C2=5f(2) = \frac{4}{2} - 4 + C_2 = 3 \implies C_2 = 5 olur. Buradan f(6)=362−12+5=11f(6) = \frac{36}{2} - 12 + 5 = 11 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral özellikleri, çarpımın türevinin tersini bulma ve sınır koşulları ile fonksiyon bulma.
Soru 2438Soru →

Yatay ve sürtünmeli bir düzlemde durmakta olan 2 kg2\text{ kg} kütleli bir cisme, yola paralel 10 N10\text{ N} büyüklüğünde sabit bir kuvvet uygulanmaktadır. Cismin hareket ettiği yüzey ile arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 020{}2 olduğuna göre, cisim bu kuvvet etkisinde 5 m5\text{ m} yer değiştirdiğinde cisim üzerinde yapılan net iş kaç joule (J\text{J}) olur? (g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Yapılan net iş 30 J'dür.
Cisme etki eden kinetik sürtünme kuvveti 4 N4\text{ N}'dur. Uygulanan 10 N10\text{ N}'luk kuvvet ile sürtünme kuvvetinin farkı alınarak net kuvvet 6 N6\text{ N} olarak bulunur. Bu net kuvvetin 5 m5\text{ m} yer değiştirme boyunca yaptığı net iş 30 J30\text{ J} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kinetik sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü hesaplayınız.
fk=μ⋅m⋅g=02⋅2⋅10=4 Nf_k = \mu \cdot m \cdot g = 0{}2 \cdot 2 \cdot 10 = 4\text{ N}
Sürtünmeli yüzeyde hareket eden cisimlerin üzerindeki sürtünme kuvveti, hareket doğrultusuna zıt yönde etki eder.
2
Cisme etki eden net kuvveti bulunuz.
Fnet=F−fk=10−4=6 NF_{\text{net}} = F - f_k = 10 - 4 = 6\text{ N}
Sürtünme kuvveti harekete zıt yönlü olduğu için net kuvvet bulunurken uygulanan kuvvetten çıkarılır.
3
Net kuvvetin yaptığı net işi hesaplayınız.
Wnet=Fnet⋅Δx=6⋅5=30 JW_{\text{net}} = F_{\text{net}} \cdot \Delta x = 6 \cdot 5 = 30\text{ J}
Net iş, cisme etki eden net kuvvet ile yer değiştirme miktarının çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Net iş, cisme etki eden net kuvvetin yaptığı işe eşittir. Sürtünmeli ortamlarda sürtünme kuvvetinin yaptığı negatif iş de net iş hesaplanırken dikkate alınmalıdır.
Soru 2439Soru →
f(x)=x3−6x2+9x+af(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a

fonksiyonunun [−1,2][-1, 2] kapalı aralığındaki mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı 1616'dır.

Buna göre, aa sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1414

Cevap

Fonksiyonun [−1,2][-1, 2] aralığındaki mutlak maksimum ve minimum değerlerinin toplamından aa parametresi 1414 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonun [−1,2][-1, 2] aralığındaki mutlak maksimum değeri x=1x=1 noktasında a+4a+4 ve mutlak minimum değeri x=−1x=-1 noktasında a−16a-16 olup, bu değerlerin toplamı 2a−12=162a-12=16 eşitliğinden a=14a=14 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alıp kritik noktalarını belirleme
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) elde edilir. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin sıfır olduğu veya tanımlı olmadığı kritik noktalarda aranır.
2
Aralığa uygun kritik noktaları seçme
x=3x = 3 noktası [−1,2][-1, 2] aralığının dışında kaldığından elenir. İncelenecek tek kritik nokta x=1x = 1 noktasıdır.
Mutlak ekstremum değerleri bulunurken yalnızca verilen kapalı aralığa ait kritik noktalar değerlendirilmelidir.
3
Sınır noktaları ve aralıktaki kritik noktadaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(−1)=(−1)3−6(−1)2+9(−1)+a=a−16f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) + a = a - 16
f(1)=13−6(1)2+9(1)+a=a+4f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + a = a + 4
f(2)=23−6(2)2+9(2)+a=a+2f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + a = a + 2
değerleri elde edilir.
Kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerleri, aralığın uç noktalarında veya bu aralıktaki yerel ekstremum noktalarında gerçekleşir.
4
Mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini belirleyip toplama
En büyük değer a+4a+4 (mutlak maksimum), en küçük değer ise a−16a-16 (mutlak minimum) olur. Toplamları: (a+4)+(a−16)=2a−12(a+4) + (a-16) = 2a-12 olarak bulunur.
Elde edilen değerler karşılaştırılarak en büyük ve en küçük olanlar mutlak ekstremumlar olarak seçilir.
5
Verilen toplam değerini kullanarak bilinmeyeni çözme
2a−12=16  ⟹  2a=28  ⟹  a=142a - 12 = 16 \implies 2a = 28 \implies a = 14 elde edilir.
Soruda verilen mutlak maksimum ve minimum değerlerin toplamının 16 olması bilgisiyle denklem kurulup çözülür.

Anahtar Kavram

Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri, aralığın uç noktalarındaki değerleri ile aralık içindeki yerel ekstremum değerleri karşılaştırılarak bulunur.
Soru 2440Soru →

Hileli bir madeni para havaya atıldığında tura gelme olasılığı 23\frac{2}{3}'tür. Bu para ile oynanan bir oyunda, her tura atışında oyuncu 11 puan kazanmakta, her yazı atışında ise 11 puan kaybetmektedir.

Oyuna 00 puanla başlayan bir oyuncunun puanı +2+2 veya −2-2 olduğunda oyun bitmektedir.

Oyunun en fazla 44 atışta bittiği bilindiğine göre, oyuncunun oyunu +2+2 puanla (kazanarak) bitirmiş olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45\frac{4}{5}

Cevap

Oyuncunun oyunu kazanarak bitirmiş olma olasılığı 45\frac{4}{5}'tir.
Oyunun en fazla 4 atışta bittiği bilindiğine göre örnek uzayımız bu koşulu sağlayan durumlar ile sınırlanır. Bu durumların toplam olasılığı 6581\frac{65}{81}'dir. Bu durumlardan oyuncunun oyunu +2+2 puanla bitirdiği durumların olasılıkları toplamı ise 5281\frac{52}{81}'dir. İstenen koşullu olasılık bu iki değerin birbirine oranı olup 5265=45\frac{52}{65} = \frac{4}{5} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Oyunun en fazla 4 atışta bitmesini sağlayan tüm olası atış dizilimlerini (yolları) belirleyelim.
Oyunun bitmesi için oyuncunun puanının +2+2 veya −2-2 olması gerekir. Puan değişimi her atışta +1+1 veya −1-1 olduğundan, oyun yalnızca çift numaralı atışlarda (2. veya 4. atışta) bitebilir:
- 2. atışta +2+2 ile biten yol: TTTT
- 2. atışta −2-2 ile biten yol: YYYY
- 4. atışta +2+2 ile biten yollar: TYTTTYTT ve YTTTYTTT (İlk iki atışta oyun bitmemelidir, yani ilk iki atış TTTT veya YYYY olamaz. Bu nedenle TYTY veya YTYT ile başlayıp +2+2 ile biten yollar belirlenir.)
- 4. atışta −2-2 ile biten yollar: TYYYTYYY ve YTYYYTYY
Koşullu olasılık hesaplamasında örnek uzayı doğru şekilde daraltmak için koşulu sağlayan tüm durumları tespit etmemiz gerekir.
2
Belirlenen bu durumların gerçekleşme olasılıklarını tura gelme olasılığı P(T)=23P(T) = \frac{2}{3} ve yazı gelme olasılığı P(Y)=13P(Y) = \frac{1}{3} değerlerini kullanarak hesaplayalım.
- P(TT)=(23)2=49=3681P(TT) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} = \frac{36}{81}
- P(YY)=(13)2=19=981P(YY) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} = \frac{9}{81}
- P(TYTT)=23×13×23×23=881P(TYTT) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{81}
- P(YTTT)=13×23×23×23=881P(YTTT) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{81}
- P(TYYY)=23×13×13×13=281P(TYYY) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{81}
- P(YTYY)=13×23×13×13=281P(YTYY) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{81}
Her bir bağımsız atış diziliminin olasılığını bulmak için adım adım çarpma kuralı uygulanır.
3
Oyunun en fazla 4 atışta bitme olasılığını (koşul uzayının olasılığını) bu olasılıkları toplayarak bulalım.
P(Oyunun en fazla 4 atıs¸ta bitmesi)=P(TT)+P(YY)+P(TYTT)+P(YTTT)+P(TYYY)+P(YTYY)P(\text{Oyunun en fazla 4 atışta bitmesi}) = P(TT) + P(YY) + P(TYTT) + P(YTTT) + P(TYYY) + P(YTYY)
=3681+981+881+881+281+281=6581= \frac{36}{81} + \frac{9}{81} + \frac{8}{81} + \frac{8}{81} + \frac{2}{81} + \frac{2}{81} = \frac{65}{81}
Koşullu olasılık formülündeki payda değerini (koşul olayının olasılığını) elde etmek için.
4
Oyunun en fazla 4 atışta bittiği durumlardan, oyuncunun oyunu +2+2 puanla (kazanarak) bitirdiği durumların olasılıkları toplamını (kesişim kümesini) hesaplayalım.
Oyunu +2+2 puanla bitiren yollar TTTT, TYTTTYTT ve YTTTYTTT durumlarıdır.
P(Kazanarak bitirme∩En fazla 4 atıs¸ta bitme)=P(TT)+P(TYTT)+P(YTTT)P(\text{Kazanarak bitirme} \cap \text{En fazla 4 atışta bitme}) = P(TT) + P(TYTT) + P(YTTT)
=3681+881+881=5281= \frac{36}{81} + \frac{8}{81} + \frac{8}{81} = \frac{52}{81}
Koşullu olasılık formülündeki pay değerini (istenen olay ile koşul olayının kesişiminin olasılığını) elde etmek için.
5
Koşullu olasılık formülünü uygulayarak nihai olasılık değerine ulaşalım.
P(Kazanarak bitirme∣En fazla 4 atıs¸ta bitme)=P(Kazanarak bitirme∩En fazla 4 atıs¸ta bitme)P(Oyunun en fazla 4 atıs¸ta bitmesi)P(\text{Kazanarak bitirme} \mid \text{En fazla 4 atışta bitme}) = \frac{P(\text{Kazanarak bitirme} \cap \text{En fazla 4 atışta bitme})}{P(\text{Oyunun en fazla 4 atışta bitmesi})}
=52816581=5265=45= \frac{\frac{52}{81}}{\frac{65}{81}} = \frac{52}{65} = \frac{4}{5}
Daraltılmış örnek uzayında istenen olayın oranını bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık, bir A olayının gerçekleştiği bilindiğinde bir B olayının gerçekleşme olasılığıdır ve P(B∣A)=P(B∩A)P(A)P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} formülü ile hesaplanır. Bu soruda örnek uzay, oyunun en fazla 4 atışta bittiği durumlarla sınırlandırılmıştır.
ÖncekiSayfa 122 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin