Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2381Soru →

Bir restoranın menüsünde 4 farklı çorba, 3 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Bu restorandan yemek siparişi vermek isteyen bir müşteri; menüdeki her bir yemek türünden (çorba, ana yemek ve tatlı) en az birer tane bulunması şartıyla toplam 4 farklı yemek sipariş edecektir. Buna göre, bu müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

126 farklı şekilde sipariş oluşturulabilir.
Sorudaki koşullara göre seçilebilecek 4 yemek ancak (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı), (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı) ya da (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı) şeklinde gruplandırılabilir. Bu üç durumun kombinasyon değerleri sırasıyla 54, 36 ve 36 olup, bu değerlerin toplamı 126'dır. Dolayısıyla doğru cevap 126 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam 4 yemek seçilecektir ve her yemek türünden (çorba, ana yemek, tatlı) en az bir tane bulunmalıdır. Bu koşulu sağlayan olası grup dağılımları belirlenir.
Olası dağılımlar şunlardır: (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı), (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı) veya (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı).
Toplam seçilecek yemek sayısının 4 olması ve her gruptan en az 1 tane seçilmesi gerektiğinden, gruplardan birinden 2, diğerlerinden ise 1'er tane seçilmelidir.
2
Belirlenen ü�� durum için kombinasyon hesaplamaları yapılır.
1. Durum (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı): C(4,2) * C(3,1) * C(3,1) = 6 * 3 * 3 = 54.
2. Durum (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı): C(4,1) * C(3,2) * C(3,1) = 4 * 3 * 3 = 36.
3. Durum (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı): C(4,1) * C(3,1) * C(3,2) = 4 * 3 * 3 = 36.
Her bir gruptan yapılan seçimler birbirinden bağımsız olaylar olduğu için çarpma kuralı uygulanır.
3
Elde edilen durum sayıları toplanarak toplam olasılık sayısı bulunur.
Toplam seçim sayısı = 54 + 36 + 36 = 126.
Belirlenen üç durum birbirini dışlayan (ayrık) olaylar olduğundan toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla kısıtlı seçim yapma ve toplama/çarpma kurallarını birlikte uygulama.
Soru 2382Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(x⋅f′(x)+f(x))dx=x2−2x \int \left( x \cdot f'(x) + f(x) \right) dx = x^2 - 2x
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2'dir.
Verilen eşitliğin sol tarafında yer alan integralin içerisindeki x⋅f′(x)+f(x)x \cdot f'(x) + f(x) ifadesi, x⋅f(x)x \cdot f(x) ifadesinin türevidir. Buradan integral alındığında x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C denklemi elde edilir. f(1)=2f(1) = 2 sınır koşulu yerine yazıldığında 1⋅2=12−2(1)+C1 \cdot 2 = 1^2 - 2(1) + C den C=3C = 3 olarak bulunur. Fonksiyon denklemi x⋅f(x)=x2−2x+3x \cdot f(x) = x^2 - 2x + 3 halini alır. x=3x = 3 için bu denklem 3⋅f(3)=32−2(3)+3=63 \cdot f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 6 eşitliğini verir ve buradan f(3)=2f(3) = 2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralin içindeki ifadenin çarpımın türevi kuralına uygunluğunu kontrol etme.
x⋅f′(x)+f(x)=(x⋅f(x))′x \cdot f'(x) + f(x) = (x \cdot f(x))' olduğunu görme.
Çarpımın türevi kuralı gereği, (g(x)⋅h(x))′=g′(x)h(x)+g(x)h′(x)(g(x) \cdot h(x))' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) olup bu kural g(x)=xg(x) = x ve h(x)=f(x)h(x) = f(x) için uygulandığında integralin içindeki ifadeyi verir.
2
Eşitliğin her iki tarafının integralini çözerek f(x)f(x) fonksiyonuna bağlı ifadeyi elde etme.
x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C
Türevi alınmış bir ifadenin belirsiz integrali, ifadenin kendisine bir integral sabiti (C) eklenmesiyle bulunur.
3
Verilen f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulunu kullanarak C sabitini hesaplama.
1⋅f(1)=12−2(1)+C  ⟹  2=−1+C  ⟹  C=31 \cdot f(1) = 1^2 - 2(1) + C \implies 2 = -1 + C \implies C = 3
Fonksiyonun kuralını tam olarak belirlemek için integral sabitinin sayısal değerini bulmamız gerekir.
4
Elde edilen x⋅f(x)=x2−2x+3x \cdot f(x) = x^2 - 2x + 3 eşitliğinde x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) değerini hesaplama.
3⋅f(3)=32−2(3)+3  ⟹  3⋅f(3)=6  ⟹  f(3)=23 \cdot f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 \implies 3 \cdot f(3) = 6 \implies f(3) = 2
Soruda bizden istenen hedef değeri bulmak için denklemde değişken yerine ilgili sayıyı yazarız.

Anahtar Kavram

Çarpımın türevi kuralı içeren ifadelerin belirsiz integrali ve integral sabiti (C) hesabı

Alternatif Yöntem

Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevi alınabilir:
ddx[∫(x⋅f′(x)+f(x)) dx]=ddx(x2−2x)\frac{d}{dx} \left[ \int (x \cdot f'(x) + f(x)) \, dx \right] = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x)
Buradan x⋅f′(x)+f(x)=2x−2x \cdot f'(x) + f(x) = 2x - 2 elde edilir. Sol taraf (x⋅f(x))′(x \cdot f(x))' çarpım türevi olduğundan:
(x⋅f(x))′=2x−2(x \cdot f(x))' = 2x - 2
Her iki tarafın tekrar belirsiz integrali alınırsa:
x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C
bağıntısı bulunur. Buradan da f(1)=2f(1) = 2 yazılarak C=3C = 3 ve ardından f(3)=2f(3) = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2383Soru →

Analitik düzlemde, koordinatları x,y∈{1,2,3,4,5,6}x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olan 36 nokta arasından rastgele seçilen iki farklı noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin bir tam sayı olma olasılığı, en sade haliyle ab\frac{a}{b} kesri olarak ifade edilmektedir. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 473

Cevap

Seçilen iki noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin bir tam sayı olma olasılığı en sade halde 158315\frac{158}{315} olup, pay ve paydanın toplamı 473'tür.
Seçilen iki noktanın oluşturduğu doğrunun eğiminin tam sayı olması için y-koordinatları farkının, sıfırdan farklı olan x-koordinatları farkına tam bölünmesi gerekir. Bu durumlar her x farkı (d) için tek tek incelendiğinde 316 uygun durum bulunur. Toplam durum sayısı olan 630'a bölündüğünde en sade olasılık kesri 158/315 elde edilir. Buradan pay ve paydanın toplamı 473 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası nokta çiftlerinin sayısını hesaplama
Tüm olas�� durumların sayısı 630'dur.
36 nokta arasından 2 farklı nokta kombinasyon yöntemiyle seçilir.
2
Eğimi tam sayı yapan y-koordinatı farklarını analiz etme
x-koordinatları farkı d iken, y-koordinatları farkı d'nin katı olmalıdır.
Eğim formülü m = (y2 - y1)/(x2 - x1) olduğundan eğimin tam sayı olması bu farkların birbirini bölmesini gerektirir.
3
Her d değeri için uygun y çiftlerini bulup toplama
Toplam uygun durum sayısı 316'dır.
d = 1, 2, 3, 4, 5 durumları için olası y farklarını tek tek inceleyip topladık.
4
En sade olasılık değerinden a + b toplamını bulma
a + b = 473
Olasılık 316/630 = 158/315 olup en sade kesirdir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 2384Soru →

Aşağıdaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin cinsiyetlerine ve gözlük kullanma durumlarına göre dağılımı verilmiştir:

GözlüklüGözlüksüz
Erkek661010
Kız4488

Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38\frac{3}{8}

Cevap

Seçilen öğrencinin gözlüklü olma olasılığı 38\frac{3}{8}'dir.
Seçilen öğrencinin erkek olduğu bilindiği için örnek uzay yalnızca erkek öğrencilerden oluşur. Erkek öğrencilerin toplam sayısı 1616'dır. Bu öğrenciler arasından gözlüklü olanların sayısı 66 olduğundan, aranan olasılık 616=38\frac{6}{16} = \frac{3}{8} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul doğrultusunda daraltılmış örnek uzayın eleman sayısını bulma
Erkek öğrencilerin toplam sayısı: 6+10=166 + 10 = 16 kişi.
Öğrencinin erkek olduğu bilindiği için örnek uzay sadece erkek öğrencilerden oluşur.
2
İstenen olayın eleman sayısını belirleme
Gözlüklü erkek öğrencilerin sayısı: 66 kişi.
Seçilen erkek öğrencinin aynı zamanda gözlüklü olması istenmektedir.
3
Koşullu olasılık değerini hesaplama ve sadeleştirme
Olasılık = 616=38\frac{6}{16} = \frac{3}{8}
İstenen durum sayısının daraltılmış örnek uzay eleman sayısına oranı aradığımız olasılığı verir.

Anahtar Kavram

Bir AA olayının gerçekleştiği bilindiğinde bir BB olayının gerçekleşme olasılığına BB olayının AA koşullu olasılığı denir ve P(B∣A)=s(A∩B)s(A)P(B|A) = \frac{s(A \cap B)}{s(A)} şeklinde hesaplanır. Burada örnek uzay tüm evrensel kümeden AA kümesine indirgenir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2385Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−5x+7f(x) = x^2 - 5x + 7
parabolünün üzerindeki bir AA noktasından çizilen normal doğrusu, x+y−3=0x + y - 3 = 0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, AA noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Koordinatlar toplamı 4 olan seçenek doğrudur.
Parabolün üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, bu doğruya paralel olan x+y−3=0x + y - 3 = 0 doğrusunun eğimine eşittir. Buradan normal doğrusunun eğimi mn=−1m_n = -1 bulunur. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir. Dolayısıyla teğet doğrusunun eğimi mt=1m_t = 1 olur. Fonksiyonun türevi alınıp teğet doğrusunun eğimine eşitlendiğinde değme noktasının apsisi x0=3x_0 = 3 olarak elde edilir. Bu değer fonksiyonda yerine yazılarak ordinat y0=1y_0 = 1 bulunur. Sonuç olarak koordinatlar toplamı 3+1=43 + 1 = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulma
x+y−3=0  ⟹  y=−x+3x + y - 3 = 0 \implies y = -x + 3 olduğundan bu doğrunun eğimi −1-1'dir.
Normal doğrusu bu doğruya paralel olduğu için normal doğrusunun eğimi de mn=−1m_n = -1 olacaktır.
2
Teğet doğrusunun eğimini bulma
mt⋅mn=−1  ⟹  mt⋅(−1)=−1  ⟹  mt=1m_t \cdot m_n = -1 \implies m_t \cdot (-1) = -1 \implies m_t = 1 olarak bulunur.
Aynı noktadaki teğet ve normal doğruları birbirine diktir ve eğimleri çarpımı −1-1'dir.
3
Teğet noktasının apsisini bulma
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 olur. Değme noktasının apsisi x0x_0 ise, 2x0−5=1  ⟹  x0=32x_0 - 5 = 1 \implies x_0 = 3 elde edilir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının ordinatını ve koordinatlar toplamını bulma
y0=f(3)=32−5(3)+7=1y_0 = f(3) = 3^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. Koordinatlar toplamı: x0+y0=3+1=4x_0 + y_0 = 3 + 1 = 4 bulunur.
Değme noktası parabolün üzerinde olduğundan koordinatları parabol denklemini sağlar.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Normal doğrusunun eğimi ile teğet doğrusunun eğiminin çarpımı -1'dir.
Soru 2386Soru →

Sürtünmesiz yatay bir düzlemde durmakta olan 3 kg3\text{ kg} kütleli bir cisme, yatay doğrultuda zıt yönlü F1=18 NF_1 = 18\text{ N} ve F2=6 NF_2 = 6\text{ N} büyüklüğünde iki kuvvet uygulanmaktadır. Buna göre, cismin ivmesinin büyüklüğü kaç m/s2\text{m/s}^2 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

İvmenin büyüklüğü 4 m/s24\text{ m/s}^2 olur.
Cisme etki eden zıt yönlü kuvvetlerin farkı net kuvveti (12 N12\text{ N}) verir. Net kuvvet kütleye (3 kg3\text{ kg}) bölündüğünde cismin ivmesi 4 m/s24\text{ m/s}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Net kuvvetin yönü ve büyüklüğünün bulunması
Fnet=18 N−6 N=12 NF_{\text{net}} = 18\text{ N} - 6\text{ N} = 12\text{ N}
Yatay düzlemdeki kuvvetler zıt yönlü (biri sağa diğeri sola) olduğundan bileşke (net) kuvvet bulunurken büyüklükleri birbirinden çıkarılır.
2
Newton'ın ikinci hareket yasasının uygulanması
a=Fnetm=12 N3 kg=4 m/s2a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{12\text{ N}}{3\text{ kg}} = 4\text{ m/s}^2
Newton'ın ikinci yasası olan Fnet=m⋅aF_{\text{net}} = m \cdot a bağıntısı kullanılarak cismin ivmesi hesaplanır.

Anahtar Kavram

Newton'ın ikinci hareket yasasına göre bir cismin ivmesi, cisme etki eden net kuvvet ile doğru, cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Kuvvet vektörel bir büyüklük olduğundan net kuvvet hesaplanırken kuvvetlerin yönleri dikkate alınmalıdır.
Soru 2387Soru →

Bir torbada 11'den 1010'a kadar numaralandırılmış 1010 kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının asal sayı olduğu bilindiğine göre, bu sayının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Çekilen kartın üzerindeki sayının asal sayı olduğu bilindiğinde, bu sayının tek sayı olma olasılığı 0,75'tir.
Çekilen kartın asal sayı olduğu bilindiği için yeni örnek uzayımız 44 elemanlı {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} kümesidir. Bu kümedeki tek sayılar {3,5,7}\{3, 5, 7\} olmak üzere 33 tanedir. Dolayısıyla olasılık 34=0,75\frac{3}{4} = 0,75 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul kümesini (yeni örnek uzayı) belirleme
Asal sayılar kümesi: A={2,3,5,7}A = \{2, 3, 5, 7\} ve eleman sayısı s(A)=4s(A) = 4
Çekilen kartın asal sayı olduğu bilindiği için olası tüm durumlar sadece asal sayılardan oluşabilir.
2
İstenen olayın elemanlarını belirleme
Hem asal hem de tek olan sayılar kümesi: B={3,5,7}B = \{3, 5, 7\} ve eleman sayısı s(B)=3s(B) = 3
Koşul kümesi içinden tek sayı olan elemanlar seçilmelidir.
3
Koşullu olasılığ�� hesaplama
P(Tek∣Asal)=s(B)s(A)=34=0,75P(\text{Tek} | \text{Asal}) = \frac{s(B)}{s(A)} = \frac{3}{4} = 0,75
İstenen durum sayısının koşul durum sayısına bölünmesiyle koşullu olasılık elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2388Soru →
aa bir gerçel sayı ve nn bir pozitif çift tam sayı olmak üzere,
(x2−ax)n\left(x^2 - \frac{a}{x}\right)^n
ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı 11 ve sabit terim 240240'tır.

Buna göre, bu açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -160

Cevap

Açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 olur.
Katsayılar toplamı bağıntısı kullanılarak a=2a = 2 değeri saptanır. Ardından sabit terimin 240240 olması koşulundan n=6n = 6 ve r=4r = 4 değerlerine ulaşılır. Son adımda x3x^3 lü terimi veren r=3r = 3 değeri genel terim formülünde yerine yazılarak aranan katsayı −160-160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı formülünü uygulamak ve aa değerini belirlemek.
a=2a = 2 (çünkü a=0a = 0 durumunda sabit terim sıfır olurdu).
Katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılarak (1−a)n=1(1-a)^n = 1 eşitliği elde edilir. nn çift olduğundan 1−a=±11-a = \pm 1 denklemi çözülür.
2
Genel terim formülünü yazarak değişkenin kuvvetini düzenlemek.
Genel terim: (nr)(−2)rx2n−3r\binom{n}{r} (-2)^r x^{2n - 3r} olarak bulunur.
Binom açılımının genel terim formülü uygulanarak üslü ifadeler sadeleştirilir.
3
Sabit terim bilgisini kullanarak nn ve rr değerlerini bulmak.
n=6n = 6 ve r=4r = 4 olarak elde edilir.
Sabit terim için 2n−3r=02n - 3r = 0 olmalıdır. nn çift olduğundan 66'nın katı olması gerektiği tespit edilir ve deneme yoluyla n=6n=6 için sabit terimin 240240 olduğu doğrulanır.
4
x3x^3 lü terimin katsayısını hesaplamak.
Katsayı −160-160 olarak hesaplanır.
2n−3r=32n - 3r = 3 eşitliğinde n=6n=6 yazıldığında r=3r=3 bulunur. Genel terimde r=3r=3 konularak katsayı değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Katsayılar Toplamı, Sabit Terim ve Belirli bir Terimin Katsayısını Bulma
Soru 2389Soru →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2
olduğuna göre,
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İstenen integral işleminin sonucu 10'dur.
Verilen fonksiyonel denklemden fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır. Bu periyot özelliği kullanılarak sınırları daha büyük olan integral terimleri [0,4][0, 4] periyot aralığı cinsinden parçalanır ve ortak [1,2][1, 2] aralığı sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun periyodiklik özelliğinin belirlenmesi
f(x)=f(x+4)f(x) = f(x+4) eşitliği elde edilerek fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır.
İntegral sınırlarını kaydırabilmek ve periyot özelliğini kullanabilmek için.
2
Periyot aralığındaki integral değerinin hesaplanması
[0,4][0, 4] aralığındaki integral değeri 12 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki yanının [0,2][0, 2] aralığında entegre edilmesi ve değişken değiştirme uygulanması ile tam bir periyottaki integral değerine ulaşmak amacıyla.
3
İstenen integral ifadesinin parçalanması
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx=12+∫02f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 12 + \int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesi elde edilir.
Sınırları [0,4][0, 4] periyot uzunluğuna göre sadeleştirmek için.
4
Fark integralinin ortak aralıklar kullanılarak basitleştirilmesi
∫02f(x) dx−∫13f(x) dx=∫01f(x) dx−∫23f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{2}^{3} f(x) \, dx olduğu görülür.
[1,2][1, 2] aralığındaki ortak integral değerlerinin sadeleşmesini sağlamak için.
5
Kayıp aralıktaki integral değerinin bulunması
∫23f(x) dx=4\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4 olarak hesaplanır.
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6 eşitliği [0,1][0, 1] aralığında entegre edilip verilen ∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 değeri kullanılarak.
6
Nihai sonucun elde edilmesi
İşlemin sonucu 12+(2−4)=1012 + (2 - 4) = 10 olarak bulunur.
Bulunan tüm değerlerin sadeleştirilmiş ana ifadede yerine konulması amacıyla.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınır kaydırma, periyodik fonksiyonların integrali ve değişken değiştirme özellikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2390Soru →

Bir okulun basketbol takımında 5 oyun kurucu ve 6 pivot olmak üzere toplam 11 oyuncu bulunmaktadır. Bu oyuncular arasından 4 kişilik bir antrenman kadrosu seçilecektir.

Seçilecek bu kadroda en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot bulunması gerektiğine göre, bu kadro kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250

Cevap

Antrenman kadrosu 250 farklı şekilde oluşturulabilir.
Seçilecek 4 kişilik kadroda en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot bulunması koşulu, (1 oyun kurucu, 3 pivot) veya (2 oyun kurucu, 2 pivot) durumlarının gerçekleşmesini gerektirir. Bu durumların kombinasyon sayıları hesaplanıp toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara uygun olası oyuncu da��ılımlarını belirlemek.
(1 oyun kurucu, 3 pivot) veya (2 oyun kurucu, 2 pivot)
Toplam 4 oyuncu seçileceği, en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot gerektiği için bu iki durum dışında koşulları sağlayan başka bir dağılım yoktur.
2
1 oyun kurucu ve 3 pivot seçimi için kombinasyon hesabını yapmak.
100 farklı seçim
5 oyun kurucu arasından 1 kişi ve 6 pivot arasından 3 kişi seçilmesi gerektiğinden C(5, 1) * C(6, 3) = 5 * 20 = 100 hesaplanır.
3
2 oyun kurucu ve 2 pivot seçimi için kombinasyon hesabını yapmak.
150 farklı seçim
5 oyun kurucu arasından 2 kişi ve 6 pivot arasından 2 kişi seçilmesi gerektiğinden C(5, 2) * C(6, 2) = 10 * 15 = 150 hesaplanır.
4
Elde edilen seçim sayılarını toplamak.
250
Belirlenen iki durum ayrık olaylar olduğu için toplam seçim sayısı bu durumların ayrı ayrı kombinasyon değerlerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) problemleri ve koşullu seçimler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2391Soru →
∫13x3−x(x2+1)3 dx\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x}{(x^2 + 1)^3} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 225\frac{2}{25}

Cevap

225\frac{2}{25}
İntegral ifadesinde pay kısmındaki x3−xx^3 - x ifadesi x(x2−1)x(x^2 - 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki x2+1x^2 + 1 ifadesine uu denilirse, diferansiyel x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olarak elde edilir. Bu durumda paydaki x2−1x^2 - 1 terimi u−2u - 2 haline gelir. İntegralin sınırları da x=1x=1 için u=2u=2 ve x=3x=3 için u=10u=10 olarak güncellenir. Bu dönüşümler altında integral 12∫210(u−2−2u−3) du\frac{1}{2} \int_{2}^{10} (u^{-2} - 2u^{-3}) \, du biçimine dönüşür. İntegral hesaplandığında doğru sonuç 225\frac{2}{25} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali daha kolay hesaplayabilmek amacıyla u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesini yapalım.
Diferansiyel alındığında du=2x dx⇒x dx=12 dudu = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
Paydadaki ifadeyi tek bir değişkenin kuvvetine dönüştürmek ve pay kısmındaki x3−x=x(x2−1)x^3 - x = x(x^2 - 1) ifadesindeki xx çarpanı ile diferansiyel ilişkisi kurmak amacıyla bu dönüşüm seçilmiştir.
2
x2−1x^2 - 1 ifadesini uu türünden yazalım.
u=x2+1⇒x2=u−1u = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 = u - 1 olduğundan, x2−1=(u−1)−1=u−2x^2 - 1 = (u - 1) - 1 = u - 2 olur.
İntegral içindeki tüm xx terimlerinin yeni değişken olan uu türünden ifade edilmesi zorunludur.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken olan uu değerlerine göre güncelleyelim.
Alt sınır için x=1⇒u=12+1=2x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=3⇒u=32+1=10x = 3 \Rightarrow u = 3^2 + 1 = 10 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir, aksi takdirde yanlış sonuç elde edilir.
4
Dönüşümleri ve yeni sınırları integralde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayalım.
∫210u−2u3⋅12 du=12∫210(u−2−2u−3) du=12[−u−1+u−2]210=12[−1u+1u2]210\int_{2}^{10} \frac{u - 2}{u^3} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{2}^{10} \left( u^{-2} - 2u^{-3} \right) \, du = \frac{1}{2} \left[ -u^{-1} + u^{-2} \right]_2^{10} = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} \right]_2^{10}

Sınırları yerine yazarsak:
12[(−110+1100)−(−12+14)]=12[−9100−(−14)]=12[−9100+25100]=12⋅16100=225\frac{1}{2} \left[ \left( -\frac{1}{10} + \frac{1}{100} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{9}{100} - \left( -\frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{9}{100} + \frac{25}{100} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{100} = \frac{2}{25} elde edilir.
Elde edilen basit rasyonel fonksiyonların integralleri alınır ve sınırlar yerine konur.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Soru 2392Soru →
Bir ff fonksiyonu için
lim⁡x→2f(x)−3x−2=4\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
lim⁡x→2f2(x)−9x2−4\lim_{x \to 2} \frac{f^2(x) - 9}{x^2 - 4}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
İstenen limit ifadesinde iki kare farkı özdeşliği kullanılarak belirsizliğe yol açan çarpanlar gruplandırılır. lim⁡x→2f(x)−3x−2=4\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-3}{x-2} = 4 değeri ve payın sıfıra gitme koşulundan elde edilen lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} f(x) = 3 değeri kullanılarak limit özellikleri yardımıyla doğru yanıt olan 6 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit bilgisinden faydalanarak f(x)f(x) fonksiyonunun x→2x \to 2 iken limit değerini belirlemek.
lim⁡x→2(x−2)=0\lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 olduğundan, limitin bir gerçel sayıya (4) eşit olabilmesi için payın limitinin de sıfır olması gerekir:
lim⁡x→2(f(x)−3)=0  ⟹  lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} (f(x) - 3) = 0 \implies \lim_{x \to 2} f(x) = 3
Payda sıfıra yaklaşırken limitin var olabilmesi için 0/00/0 belirsizliği oluşmalıdır.
2
İstenen limit ifadesini çarpanlarına ayırmak.
f2(x)−9=(f(x)−3)(f(x)+3)f^2(x) - 9 = (f(x) - 3)(f(x) + 3) ve x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) iki kare farkı açılımları kullanılır.
Bu durumda limit ifadesi:
lim⁡x→2(f(x)−3)(f(x)+3)(x−2)(x+2)\lim_{x \to 2} \frac{(f(x) - 3)(f(x) + 3)}{(x - 2)(x + 2)} şekline dönüşür.
Belirsizliği oluşturan çarpanları belirlemek ve ifadeyi sadeleştirebilir hale getirmek.
3
Limit özelliklerini kullanarak ifadeyi parçalamak ve değerleri yerine yazmak.
İfadeyi çarpım durumunda iki limite ayırabiliriz:
lim⁡x→2(f(x)−3x−2⋅f(x)+3x+2)=(lim⁡x→2f(x)−3x−2)⋅(lim⁡x→2f(x)+3x+2)\lim_{x \to 2} \left( \frac{f(x) - 3}{x - 2} \cdot \frac{f(x) + 3}{x + 2} \right) = \left( \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 2} \frac{f(x) + 3}{x + 2} \right)
Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
4⋅3+32+2=4⋅64=64 \cdot \frac{3 + 3}{2 + 2} = 4 \cdot \frac{6}{4} = 6
Çarpım limitinin, limitlerin çarpımına eşit olması özelliğini kullanıp sonucu hesaplamak.

Anahtar Kavram

Limit özelliklerini uygulama ve iki kare farkı özdeşliği yardımıyla belirsizlik içeren limitleri hesaplama.
Soru 2393Soru →
Bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integral değerleri ile ilgili olarak,
∫13f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4
∫15f(x) dx=10\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 10
bilgileri verilmektedir.
Buna göre,
∫12f(2x+1) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegral özelliklerinin uygulanmasıyla elde edilen doğru sonuç 9'dur.
İntegralin aralık bölme özelliğinden yararlanılarak 3 ile 5 sınırları arasındaki integral değeri 6 olarak hesaplanır. Ardından, birinci integralde değişken değiştirme uygulanarak sınırlar 3 ve 5'e dönüştürülür ve katsayı çarpanıyla birlikte bu integralin değeri 3 bulunur. Son olarak iki değer toplandığında 9 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak 3 ile 5 arasındaki integral değerini hesaplayın.
∫35f(x) dx=6\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 6
[1,5][1, 5] aralığı [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olarak ikiye bölünebildiğinden, ∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx eşitliği yazılır. Buradan 10=4+∫35f(x) dx10 = 4 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx elde edilerek aranan değer 6 bulunur.
2
İlk integral olan ∫12f(2x+1) dx\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx ifadesinde u=2x+1u = 2x+1 değişken değiştirmesini uygulayın.
∫12f(2x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x+1) \, dx = 3
u=2x+1u = 2x+1 için du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1x = 1 için u=3u = 3 ve x=2x = 2 için u=5u = 5 olur. Buradan integral ∫35f(u) du2=12∫35f(x) dx=12⋅6=3\int_{3}^{5} f(u) \, \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 olarak bulunur.
3
Elde edilen iki integral değerini toplayarak sonucu bulun.
3+6=93 + 6 = 9
Toplamı oluşturan ilk terim 3, ikinci terim ise 6 olarak hesaplandığından bu iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemlerinin birlikte kullanılması.
Soru 2394Soru →

Kübra, elindeki 6 farklı renkteki boya kalemini kullanarak yan yana dizilmiş 6 bölmeli bir kutuyu boyayacaktır. Boyama işlemiyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Her bölme farklı bir renkle boyanacaktır.
* Mavi ve yeşil renkli bölmeler yan yana olmayacaktır.
* Sarı renkli bölme, kırmızı renkli bölmenin solunda yer alacaktır.
* Turuncu renkli bölme, mor renkli bölmenin hemen sağında yer alacaktır.

Buna göre, Kübra bu kutuyu kaç farklı şekilde boyayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Kübra bu kutuyu 36 farklı şekilde boyayabilir.
Mor ve turuncu bölmeler tek bir nesne olarak kabul edildiğinde toplam nesne sayısı 5 olur. Bu nesnelerin kendi aralarındaki diziliminde sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda olduğu 60 farklı durum vardır. Mavi ve yeşilin yan yana geldiği 24 durum bu 60 durumdan çıkarıldığında geriye koşullara uyan 36 farklı sıralama kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Mor ve turuncu bölmelerin yan yana olma durumunu tek bir blok olarak tanımlama.
Turuncu bölme mor bölmenin hemen sağında olacağı için bu iki bölme (Mor-Turuncu) şeklinde tek bir grup olarak düşünülür. Bu grubun kendi içinde yer değiştirme hakkı yoktur (sadece tek bir sıra mümkündür). Böylece elimizde 5 farklı nesne kalır: Mavi (M), Yeşil (Y), Sarı (S), Kırmızı (K) ve (Mor-Turuncu) grubu.
Koşullardan biri iki elemanın belirli bir sırada yan yana olmasını gerektirmektedir.
2
Sarı ve kırmızı bölmelerin konum ilişkisine göre olası tüm sıralamaları hesaplama.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olmama koşulunu şimdilik göz ardı ederek, elimizdeki 5 nesnenin toplam sıralama sayısı 5!=1205! = 120 olur. Sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda yer aldığı durumlar, simetri gereği tüm durumların yarısı kadardır. Dolayısıyla 120/2=60120 / 2 = 60 farklı sıralama elde edilir.
İki nesnenin birbirine göre sağda veya solda olma durumlarının sayısı tüm durumların yarısına eşittir.
3
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana geldiği istenmeyen durumları hesaplama.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olduğu durumları bulmak için bu iki bölmeyi de tek bir blok (Mavi-Yeşil) olarak gruplarız. Bu blok kendi içinde (Mavi-Yeşil) veya (Yeşil-Mavi) olmak üzere 2!=22! = 2 farklı şekilde sıralanabilir. Bu durumda elimizde 4 nesne kalır: (Mavi-Yeşil) grubu, Sarı, Kırmızı ve (Mor-Turuncu) grubu. Bu 4 nesnenin sıralanma sayısı 4!=244! = 24'tür. Sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda olduğu durumlar yine simetri gereği yarısı kadardır: 24/2=1224 / 2 = 12. Mavi ve yeşil kendi arasında 22 farklı şekilde yer değiştirebileceği için istenmeyen durumların toplam sayısı 12×2=2412 \times 2 = 24 olur.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olmama koşulunu sağlamak amacıyla, yan yana oldukları durumların sayısını tüm durumlardan çıkarmamız gerekir.
4
İstenmeyen durumları tüm durumlardan çıkararak sonucu bulma.
60−24=3660 - 24 = 36 farklı geçerli boyama şekli bulunur.
Kümelerdeki tümleme prensibi kullanılarak istenen koşulun sağlandığı durum sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu doğrusal permütasyon ve tümleme yöntemi
Soru 2395Soru →

Aşağıdaki dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre, bu iki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Doğru cevap, iki eğrinin kesişim noktaları olan -2, 0 ve 2 değerleri kullanılarak, her iki bölge için ayrı ayrı hesaplanan integral değerlerinin (4 + 4) toplanmasıyla elde edilen 8 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri ve doğrunun kesişim noktalarını belirlemek için denklemleri birbirine eşitleriz.
x3−3x=x  ⟹  x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \implies x^3 - 4x = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0 denklemi çözüldüğünde kesişim noktalarının apsisleri x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını do��ru bir şekilde belirleyebilmek için kesişim noktalarının apsislerini bulmamız gerekir.
2
Grafiği inceleyerek hangi aralıkta hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirleriz ve alan integrallerini yazarız.
[−2,0][-2, 0] aralığında eğri doğrunun üstünde olduğundan A1=∫−20(x3−3x−x)dx=∫−20(x3−4x)dxA_1 = \int_{-2}^0 (x^3 - 3x - x) dx = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x) dx olur. [0,2][0, 2] aralığında ise doğru eğrinin üstünde olduğundan A2=∫02(x−(x3−3x))dx=∫02(4x−x3)dxA_2 = \int_0^2 (x - (x^3 - 3x)) dx = \int_0^2 (4x - x^3) dx olur.
İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken integral sınırları içerisinde daima üstteki fonksiyonun denkleminden alttaki fonksiyonun denklemi çıkarılır.
3
Belirli integrallerin değerlerini hesaplarız.
A1=[x44−2x2]−20=0−(4−8)=4A_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4 ve A2=[2x2−x44]02=(8−4)−0=4A_2 = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4 olarak bulunur.
Her bir bölgenin sınırladığı alan miktarını sayısal olarak bulmak için.
4
Elde edilen alan değerlerini toplayarak toplam alanı buluruz.
A1+A2=4+4=8A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 birimkare.
Bizden istenen toplam sınırlı alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan belirli integral yardımıyla hesaplanırken, kesişim noktaları sınırları belirler ve ilgili aralıkta üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak integral alınır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2396Soru →

Bir teknoloji şirketinde çalışan 5 farklı yazılım mühendisi; Yapay Zeka, Siber Güvenlik ve Veri Analizi departmanlarından birine görevlendirilecektir.

Bu görevlendirmeyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Her mühendis yalnız bir departmana görevlendirilecektir.
- Yapay Zeka departmanına en az bir mühendis görevlendirilmelidir.
- Siber Güvenlik departmanına en fazla iki mühendis görevlendirilebilir.
- Veri Analizi departmanına görevlendirilecek mühendis sayısı ile ilgili bir sınırlandırma yoktur.

Buna göre, bu 5 mühendis departmanlara kaç farklı şekilde görevlendirilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 176

Cevap

5 farklı yazılım mühendisinin belirtilen koşullar altında departmanlara görevlendirilebileceği farklı yolların sayısı 176'dır.
Koşullara uygun görevlendirme sayısı, tüm olası görevlendirmelerden (243243) kuralları ihlal eden istenmeyen durumların (6767) çıkarılmasıyla 176176 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam görevlendirme sayısını hesaplamak
35=2433^5 = 243
Hiçbir koşul olmadan 5 farklı mühendisin 3 farklı departmana dağıtılması çarpma yoluyla sayma ilkesine göre 3×3×3×3×3=353 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 farklı şekilde gerçekleşir.
2
Yapay Zeka departmanına hiç mühendis atanmadığı (A=0A = 0) istenmeyen durumları hesaplamak
25=322^5 = 32
Mühendislerin sadece Siber Güvenlik (BB) ve Veri Analizi (CC) departmanlarına atanması durumudur.
3
Siber Güvenlik departmanına en az 3 mühendis atandığı (B≥3B \geq 3) istenmeyen durumları hesaplamak
40+10+1=5140 + 10 + 1 = 51
B departmanına 3 mühendis atanırsa (53)×22=40\binom{5}{3} \times 2^2 = 40 durum; 4 mühendis atanırsa (54)×21=10\binom{5}{4} \times 2^1 = 10 durum; 5 mühendis atanırsa (55)×20=1\binom{5}{5} \times 2^0 = 1 durum oluşur. Toplamda 51 durumdur.
4
Hem Yapay Zeka departmanına hiç mühendis atanmayan hem de Siber Güvenlik departmanına en az 3 mühendis atanan (A=0A = 0 ve B≥3B \geq 3) kesişim durumlarını hesaplamak
10+5+1=1610 + 5 + 1 = 16
Mühendisler sadece B ve C'ye atanırken B'ye 3, 4 veya 5 mühendis gitmesi durumudur. B'ye 3 mühendis için (53)=10\binom{5}{3} = 10 durum, 4 mühendis için (54)=5\binom{5}{4} = 5 durum, 5 mühendis için (55)=1\binom{5}{5} = 1 durum bulunur.
5
Kümelerdeki birleşim formülü ile toplam istenmeyen durum sayısını hesaplamak
32+51−16=6732 + 51 - 16 = 67
İki istenmeyen durumun birleşiminin eleman sayısı ∣X∪Y∣=∣X∣+∣Y∣−∣X∩Y∣|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y| formülüyle bulunur.
6
İstenen durum sayısını bulmak
243−67=176243 - 67 = 176
Tüm durumlardan kısıtlamaları ihlal eden tüm istenmeyen durumların çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

İstenmeyen durumların tüm durumlardan çıkarılması (tümleyen yöntemi) ve kümelerin birleşimi ilkesinin saymada kullanılması.
Soru 2397Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları koordinat düzleminde y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusu üzerindedir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Türev alınarak elde edilen yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir. Bu noktalar doğru denklemi üzerinde yer aldığından ordinatları toplamı 6 olur. Fonksiyon tanımından elde edilen ordinat toplamı ifadesi 2a + 2b - 4 olup bu ifade 6'ya eşitlendiğinde a + b = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak yerel ekstremum noktalarının apsislerinin sağladığı denklemi belirlemek.
f′(x)=3x2−6x+a=0f'(x) = 3x^2 - 6x + a = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleridir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu noktalarda yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
2
Kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkilerini yazmak.
x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 ve x1⋅x2=a3x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{3}
İkinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanmak gerekir.
3
Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamını doğrunun denklemini kullanarak ifade etmek.
y1+y2=−2(x1+x2)+10=−2(2)+10=6y_1 + y_2 = -2(x_1 + x_2) + 10 = -2(2) + 10 = 6 elde edilir.
Ekstremum noktaları doğru üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Fonksiyon tanımını kullanarak yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamını a ve b cinsinden yazıp eşitlemek.
y1+y2=(x13+x23)−3(x12+x22)+a(x1+x2)+2b=(8−2a)−3(4−2a3)+2a+2b=2a+2b−4y_1 + y_2 = (x_1^3 + x_2^3) - 3(x_1^2 + x_2^2) + a(x_1 + x_2) + 2b = (8 - 2a) - 3(4 - \frac{2a}{3}) + 2a + 2b = 2a + 2b - 4. Buradan 2a+2b−4=6  ⟹  a+b=52a + 2b - 4 = 6 \implies a + b = 5 bulunur.
Ordinatların fonksiyon tanımıyla elde edilen değeri ile doğru denklemiyle elde edilen değerinin eşitlenmesiyle a + b toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının koordinatları, hem fonksiyonun kendisini hem de noktaların üzerinde bulunduğu doğrunun denklemini sağlar.
Soru 2398Soru →

Gerçek sayılar kümesinin belirli alt kümelerinde tanımlı

f(x)=x2−4x+3x−3f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3}

ve

g(x)={x−1,x≠35,x=3g(x) = \begin{cases} x - 1, & x \neq 3 \\ 5, & x = 3 \end{cases}

fonksiyonları veriliyor.

Buna göre,

I. lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3g(x)\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} g(x) eşitliği sağlanır.

II. ff fonksiyonu x=3x = 3 noktasında süreklidir.

III. gg fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde süreklidir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Doğru cevap 'Yalnız I' seçeneğidir. Çünkü f ve g fonksiyonlarının her ikisinin de x = 3 noktasındaki limiti 2'ye eşittir. Ancak f fonksiyonu x = 3'te tanımsız olduğundan, g fonksiyonu ise x = 3'teki limit değeri ile fonksiyon değeri birbirine eşit olmadığından sürekli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki fonksiyonun x = 3 noktasındaki limitlerini belirleyin.
f(x) fonksiyonu x ≠ 3 için x - 1 olarak sadeleşir, bu yüzden limiti 2'dir. g(x) fonksiyonu x ≠ 3 için x - 1 kuralına sahip olduğundan onun da limiti 2'dir. Dolayısıyla limitler eşittir ve I. öncül doğrudur.
Limit varlığını ve eşitliğini doğrulamak için x değerinin 3'e sağdan ve soldan yaklaşırken aldığı değerleri analiz etmek gerekir.
2
f fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sürekliliğini kontrol edin.
f(3) ifadesi tanımsızdır çünkü payda sıfır olmaktadır.
Sürekliliğin ilk şartı fonksiyonun o noktada tanımlı olmasıdır. f(3) tanımlı olmadığından f fonksiyonu x = 3 noktasında sürekli olamaz. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
3
g fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sürekliliğini kontrol edin.
g(3) = 5 iken limit değeri 2'dir. Limit değeri ile fonksiyon değeri eşit değildir.
Süreklilik için limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. 2 ≠ 5 olduğundan g fonksiyonu sürekli değildir. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir.
Soru 2399Soru →

Kütlesi 2 kg2\text{ kg} olan bir cisim, düşey doğrultuda yukarı doğru 30 N30\text{ N} büyükl��ğündeki sabit bir kuvvetle çekilmektedir. Yerçekimi ivmesi g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 olduğuna göre, cismin ivmesi kaç m/s2\text{m/s}^2 büyüklüğündedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Cismin ivmesi 5 m/s25\text{ m/s}^2 büyüklüğündedir.
Düşey doğrultuda yukarı doğru uygulanan 30 N30\text{ N} büyüklüğündeki kuvvete karşılık, cismin aşağı doğru 20 N20\text{ N} büyüklüğünde yerçekimi kuvveti (ağırlığı) bulunur. Net kuvvet zıt yönlü bu iki kuvvetin farkı olan 10 N10\text{ N} büyüklüğündedir. Fnet=m⋅aF_{net} = m \cdot a bağıntısından cismin ivmesi 5 m/s25\text{ m/s}^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Cismin ağırlığını hesaplamak
Cismin ağırlığı G=20 NG = 20\text{ N} olarak bulunur.
Düşey doğrultudaki hareketlerde yerçekimi kuvveti (ağırlık) net kuvvete etki eder.
2
Net kuvveti hesaplamak
Net kuvvet Fnet=10 NF_{net} = 10\text{ N} olarak bulunur.
Yukarı yönlü çekme kuvveti ile aşağı yönlü ağırlık zıt yönlü olduğu için çıkartılır.
3
Cismin ivmesini hesaplamak
Cismin ivmesi a=5 m/s2a = 5\text{ m/s}^2 olarak bulunur.
Newton'ın ikinci hareket yasasına göre ivme, net kuvvetin kütleye oranıdır (a=Fnetma = \frac{F_{net}}{m}).

Anahtar Kavram

Newton'ın İkinci Hareket Yasası ve Düşey Doğrultuda Net Kuvvet Analizi
Soru 2400Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun x=3x = 3 apsisli noktasındaki normal doğrusu, g(x)=x3−2x2+ax+bg(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasında teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a + b toplamının değeri 5'tir.
f(x)f(x)'in x=3x=3 noktasındaki teğet eğimi 22 olduğundan normal doğrusunun eğimi −12-\frac{1}{2}'dir. A(3,3)A(3,3) noktasından geçen bu normal doğrusunun denklemi y=−12x+92y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olarak elde edilir. Bu doğru g(x)g(x)'e x=1x=1 noktasında teğet olduğu için türev değeri teğet eğimine eşit olmalıdır: g′(1)=a−1=−12  ⟹  a=12g'(1) = a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2}. Teğet noktası doğrunun üzerinde yer aldığından (1,4)(1, 4) noktasıdır. Bu nokta g(x)g(x) üzerinde de bulunduğundan g(1)=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies a+b-1 = 4 \implies a+b = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimini ve buna bağlı olarak normal doğrusunun eğimini hesaplayınız.
f′(x)=2x−4  ⟹  f′(3)=2f'(x) = 2x - 4 \implies f'(3) = 2 olur. Normal doğrusunun eğimi mn=−12m_n = -\frac{1}{2} olarak elde edilir.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
2
Parabol üzerindeki normal noktasını belirleyip normal doğrusunun denklemini kurunuz.
f(3)=3f(3) = 3 olduğundan normal doğrusu (3,3)(3, 3) noktasından geçer. Denklemi y−3=−12(x−3)  ⟹  y=−12x+92y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 3) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olur.
Bir doğrunun denklemini yazmak için eğimi ve geçtiği bir nokta kullanılır.
3
Normal doğrusunun g(x)g(x) eğrisine x=1x = 1 noktasında teğet olması bilgisini kullanarak aa parametresini bulunuz.
g′(x)=3x2−4x+a  ⟹  g′(1)=a−1g'(x) = 3x^2 - 4x + a \implies g'(1) = a - 1 olur. Eğim −12-\frac{1}{2} olduğundan a−1=−12  ⟹  a=12a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2} bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının koordinatlarını g(x)g(x) fonksiyonunda yerine yazarak a+ba + b değerini hesaplayınız.
x=1x = 1 için teğet doğrusunun ordinatı y=−12(1)+92=4y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{9}{2} = 4 olur. g(1)=4  ⟹  13−2(1)2+a+b=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies 1^3 - 2(1)^2 + a + b = 4 \implies a + b - 1 = 4 \implies a + b = 5 elde edilir.
Teğet noktası hem teğet doğrusunun hem de fonksiyon eğrisinin üzerinde yer alır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumunda teğet ve normal doğrularının eğimleri ile denklemlerinin oluşturulması ve ortak teğet ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 120 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin